Differentialregning. for B-niveau i hf udgave Karsten Juul

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Differentialregning. for B-niveau i hf udgave 3. 2015 Karsten Juul"

Transkript

1 Dierentialregning r B-niveau i h udgave t s 05 Karsten Juul

2 Dierentialkvtient. Tangent g räringspunkt..... FunktinsvÅrdi g dierentialkvtient..... Frtlkning a ' vedr. gra Frtlkning a ' nçr er tiden Frtlkning a ' nçr ikke er tiden Frtlkninger a ' begrundet Bestem ' med Nspire Reglerne r at bestemme ' uden hjålpemidler Advarsler m regler ra ramme Eksempel pç brug a regler ra ramme AlÅs tallet r pç igur AlÅs tallet 'r pç igur AlÅs läsninger til =t pç igur AlÅs läsninger til '=s pç igur Tangent 5. Bestem ligning r tangent Bestem punkt pç gra nçr vi kender -krdinat Bestem punkt pç gra nçr vi kender y-krdinat Bestem punkt pç gra nçr vi kender tangenthåldning Bestem tangenthåldning Har graen en tangent med håldningskeicienten a? Er linjen tangent? Bestem räringspunkt r tangent.... VÄksthastighed. VÅksthastighed AlÅs stärrelsen nçr tidspunktet er kendt AlÅs våksthastigheden nçr tidspunktet er kendt AlÅs tidspunktet nçr stärrelsen er kendt AlÅs tidspunktet nçr våksthastigheden er kendt Udregn stärrelsen nçr tidspunktet er kendt Udregn våksthastigheden nçr tidspunktet er kendt Udregn tidspunktet nçr stärrelsen er kendt Udregn tidspunktet nçr våksthastigheden er kendt Du skal ikke altid dierentiere r at inde hastighed Mntni. Vksende g atagende Hvad er mntnirhld? Regel r at inde mntnirhld Bestem mntnirhld GÄr rede r at er vksende eller at er atagende Tegn -gra ud ra '-rtegn m.m Ekstrema 9. Maksimum g minimum Bestem med ' den vårdi a hvr y er stärst Bestem med ' den stärste vårdi a y Bestem med ' den vårdi a hvr y er mindst Bestem med ' den mindste vårdi a y Bestem ekstrema GÄr rede r at unktinen har et minimum eller maksimum Lkalt maksimum g minimum Bestem lkale ekstrema... 5 Beviser 48. Dierentiabel GrÅnsevÅrdi Vi kan inde en dierentialkvtient ved at udregne en grånsevårdi Udledning a rmlen r at dierentiere Udledning a rmlen r at dierentiere udtryk plus udtryk Tidligere udgave a dette häte har skitet adresse til: Dierentialregning r B-niveau i h, udgave, Ä 05 Karsten Juul 4/8-05 Nyeste versin a dette häte kan dwnlades ra HÄtet må benyttes i undervisningen hvis läreren med det samme sender en til sm plyser at dette häte benyttes, g plyser hld, niveau, lärer g skle.

3 Dierentialkvtient. Tangent g räringspunkt. a. At l er tangent i P betyder at l er linjen gennem P sm Älger graen når P. b. P kaldes tangentens råringspunkt. c. Grapunkterne når P ligger nrmalt ikke pç tangenten selv m det ser sçdan ud pç en tegning da stregen ikke er uendelig tynd. d. PÇ iguren er linje l tangent til -gra i P. l P. FunktinsvÅrdi g dierentialkvtient. a. At t er unktinsvärdien a r betyder at t er y-krdinaten til grapunktet med -krdinat r g skrives t = r sm låses t er lig a r t P a b. At a er dierentialkvtienten i r betyder at a er tangenthäldningen i grapunktet med -krdinat r g skrives a = 'r sm låses a er lig märke a r l r c. r = y-krdinat til -gras punkt med -krdinat r. d. 'r = tangents häldning i -gras punkt med -krdinat r. e. 'r = väksthastighed r pç tidspunkt r. Hvis er tid.. NÇr er lig r, g vi lågger et lille tal til, sç lågges ca. 'r gange dette lille tal til y. g. I ligninger a typerne m = n g 'm = p gålder: Tallet pç m 's plads er en -vårdi. Tallet pç n 's plads er en y-vårdi. Tallet pç p 's plads er en tangenthåldning eller våksthastighed. h. typerne i rammerne 0-, 7-9, 6-9, 6 läses med Älgende metde: Skriv en ligning a en a typerne m n g m p. Brug ligningen til at bestemme m eller n eller p eller en knstant i rskriten. Denne metde indgçr sm en del a pgavetyperne i mange a de andre rammer. c g d er vedtägter. e g er begrundet i ramme 6. Dierentialregning r B-niveau i h, udgave Side 05 Karsten Juul

4 . Frtlkning a ' vedr. gra. Frtlkning a ' vedr. graen. LÄsningerne til ligningen ' = er = g = 7. Hvad rtåller dette m graen? ' = tangenthåldning se d sç det at läsningerne er = g = 7, rtåller: Det er grapunkterne med -krdinat g 7 hvr tangenthåldningen er. 4. Frtlkning a ' nçr er tiden. Frtlkning a ' vedr. nget ra virkeligheden når er tiden. Der er et tegnet dyr pç skårmen. er dyrets häjde mçlt i mm, g er tiden mçlt i minutter. Det er plyst at 0. GÄr rede r betydningen a dette. Regel se e: 'r er våksthastighed r pç tidspunkt r. I denne regel indsåtter vi de aktuelle rd g tal: er våksthastighed r håjden pç tidspunktet 0. Dvs. PÇ tidspunktet 0 minutter vkser dyrets häjde med hastigheden mm pr. minut. 5. Frtlkning a ' nçr ikke er tiden. Frtlkning a ' vedr. nget ra virkeligheden når ikke er tiden. Der er et tegnet dyr pç skårmen. er dyrets häjde mçlt i mm, g er långden mçlt i mm. Det er plyst at 0. GÄr rede r betydningen a dette. Regel Se : Jeg har brugt blå arve r at pege på udskitningen. Du behéver ikke bruge arve. Hvis du glemmer rdet hastighed, så betyder sätningen at héjden i lébet a et minut vkser mm, g det er ikke det der er meningen. Jeg har brugt blå arve r at pege på udskitningen. Du behéver ikke bruge arve. NÇr er lig r, g vi lågger et lille tal til, sç lågges ca. 'r gange dette lille tal til y. I denne regel indsåtter vi de aktuelle rd g tal: NÇr längde lig 0, g vi lågger et lille tal til längde, sç lågges ca. gange det lille tal til håjde. 6. Frtlkninger a ' begrundet. Symblet ' 0 betyder tangenthåldning, sç ' 0 = betyder tangenthåldning er, sç pç tangenten gålder: nçr bliver stärre, sç vil y blive stärre. Fr når 0 er gra g tangent nåsten ens, sç nçr er ca. 0 g bliver stärre, * sç vil blive ca. stärre. ca. h l I ramme 4 betyder * : NÇr tidspunktet er ca. 0 minutter g der gçr Ét minut, vil dyrets häjde blive ca. mm stärre. dvs. våksthastigheden er ca. mm pr. minut. I ramme 5 betyder * : NÇr er når 0 g vi lågger et lille tal til, sç bliver der lagt ca. gange dette lille tal til y, dvs. nçr vi lågger et lille tal til långden, sç lågges gange dette lille tal til häjden. h Dierentialregning r B-niveau i h, udgave Side 05 Karsten Juul

5 7. Bestem ' med Nspire. 7a Fr at Ç Nspire til at dierentiere mht. bruger vi skabelnen : Udregnet a Nspire 7b Hvis rskrit indehlder cs eller sin: HÄjreklik pç matematikelt, vålg Attributter g såt vinkel til radianer. HUSK at skrive dette! 7c Fr at udregne ' skal vi Ärst bestemme rskriten r ' sm vist i 7a. SÇ indsåtter vi r i denne rskrit: d Symblet kan IKKE skrives ved hjälp a en brékstreg. d 7d Eksempel Dette er både krrekt matematiksprg g krrekt Nspiresprg. 7e Eksempel Her rtäller vi til Nspire g til läseren at m betyder '. := bevirker at kmmer til at betyde ln så vi kan skrive g i stedet r ln g ln. 8. Reglerne r at bestemme ' uden hjålpemidler. 8a k 0 nçr k er en knstant..eks. 4 0 g ln 0 8b k k.eks. g 4 4 8c a aa.eks. 4 4 g,6, 6 4,6 8d e er et bestemt tal ligesm. e,788. e er ikke den sådvanlige e-tast. Brug tegn-palet. e 8e ln e 8 k k Funktinen ln kaldes "den naturlige lgaritmeunktin". g ln.eks g g g 7 7.eks. ln h g g 8i Da.eks. 4 ln g kan vi udregne g med reglen a aa. PÇ de t nåste sider er der lere eksempler pç brug a reglerne 8a-8i. 7 Dierentialregning r B-niveau i h, udgave Side 05 Karsten Juul

6 9. Advarsler m regler ra ramme 8. a er IKKE e er IKKE a g 4 e g er IKKE ln er IKKE e er IKKE e e g er IKKE er IKKE 4. er IKKE. g ln g e er IKKE e er IKKE. e.. 0. Eksempel pç brug a regler ra ramme 8. En unktin er givet ved sç Bestem Her må vi Érst inde '. Dereter indsätter vi 4 r i det dierentierede udtryk Hera Çr vi Dierentialregning r B-niveau i h, udgave Side 4 05 Karsten Juul

7 . AlÅs tallet r pç igur. AlÅs tallet 4 pç iguren. SÇdan tänker vi Der stçr 4 i parentesen, sç vi skal vi inde det punkt pç graen hvr -krdinaten er 4. Der stçr, sç y-krdinaten er acit. 4 = y-krdinat til grapunkt med -krdinat 4 4. Se markering pç igur. Husk NÇr vi alåser et tal pç en igur, skal vi skrive tallet pç iguren der hvr vi har alåst det. Hvis der ikke er plads, kan vi lave en pil ra tallet til det sted hvr det er alåst.. AlÅs tallet 'r pç igur. AlÅs tallet '4 pç iguren. SÇdan tänker vi Der stçr 4 i parentesen, sç vi skal inde det punkt pç graen hvr -krdinaten er 4. Der stçr, sç tangenthåldningen er acit. '4 Vi tegner l. = håldningskeicient r tangent l i grapunkt med -krdinat 4. Vi alåser punkterne 4, g 6,7 pç l. l 's håldningskeicient er sç ' 4. 6,7 l 4, Dierentialregning r B-niveau i h, udgave Side 5 05 Karsten Juul

8 . AlÅs läsninger til =t pç igur. AlÅs läsningerne til ligningen 6 pç iguren SÇdan tänker vi Der stçr 6, sç vi skal inde de punkter pç graen hvr y-krdinaten er 6. Der stçr i parentesen, sç acit er -krdinaterne til de punkter vi har undet. Vi skal läse 6. er y-krdinaten til et grapunkt. Vi inder de grapunkter hvr y-krdinaten er 6. Vi alåser -krdinaten til hvert a disse punkter g Çr g 7. Se markeringen pç iguren. LÄsningerne til 6 er eller AlÅs läsninger til '=s pç igur. AlÅs läsningerne til ligningen 0 pç iguren. SÇdan tänker vi Der stçr 0, sç vi skal inde de punkter pç graen hvr tangenthåldningen er 0. Der stçr i parentesen, sç acit er -krdinaterne til de punkter vi har undet. Vi skal läse 0. er tangenthåldningen i et grapunkt. Vi inder det grapunkt hvr tangenthåldningen er 0. Vi alåser -krdinaten til dette punkt g Çr 5. Se markeringen pç iguren. LÄsningen til 0 er 5. Husk at tegne tangenten g skrive at det givne tal er denne linjes håldningskeicient. Dierentialregning r B-niveau i h, udgave Side 6 05 Karsten Juul

9 5. Bestem ligning r tangent.. Tangent Bestem ligning r tangent til gra r i punktet,. er plyst Se ramme 8., y g a er räringspunkt g håldning r tangent: er plyst y 4 Se c g ramme 6. Tangent: a Se d g ramme 9. y y a y 4 y 6 y 4 Tangenten til graen r i punktet, har ligningen y. GrÉnne kmmentarer er ikke en del a besvarelsen. Du skal IKKE bruge tallene g i andre pgaver. I stedet skal du bruge de tal du inder ved at dierentiere den givne unktin. Fra rmelsamlingen: Linjen gennem punktet, y med håldningskeicienten a har ligningen y = a + y. Kntrl a tangentligning med Nspire Vi angiver rskriten g -krdinaten, g Çr Nspire til at bestemme tangentligning, g Çr y. 6. Bestem punkt pç gra nçr vi kender -krdinat. En unktin er givet ved. Bestem y-krdinaten til det punkt pç graen r hvr -krdinaten er 5. Bevarelse y-krdinat = 5 Se c. y-krdinat = 5 5 da y-krdinat = 50 Det punkt pç graen r hvr -krdinaten er 5, har y-krdinaten 50. Dierentialregning r B-niveau i h, udgave Side 7 05 Karsten Juul

10 7. Bestem punkt pç gra nçr vi kender y-krdinat. Bevarelse. Bestem -krdinaten til hvert a de punkter pç graen r hvr y-krdinaten er 4. y-krdinat = 4 = 4 Se c. = 4 Nspire läser ligningen = 4 mht. g Çr = eller = De punkter pç graen r hvr y-krdinaten er 4, har -krdinaterne g. Nspire: 8. Bestem punkt pç gra nçr vi kender tangenthåldning. Bevarelse En unktin er givet ved. Bestem krdinatsåttet til hvert a de punkter pç graen r hvr tangenthåldningen er 9.. tangenthåldning = 9 ' = 9 Se d. 6 = 9 Se ramme 7 g 8. Nspire läser ligningen 6 = 9 mht. g Çr Nspire: = eller = y-krdinat = y-krdinat = Se c. y-krdinat = y-krdinat = y-krdinat = 4 y-krdinat = 0 De punkter pç graen hvr tangenthåldningen er 9, har krdinatsåttene, 4 g, 0. Dierentialregning r B-niveau i h, udgave Side 8 05 Karsten Juul

11 9. Bestem tangenthåldning. En unktin g er givet ved g. Bevarelse Bestem tangenthåldningen i gra-punktet med -krdinat. g tangenthåldning = g' Se d. tangenthåldning = + da g Se ramme 7 g 8. tangenthåldning = 4 TangenthÅldningen i gra-punktet med -krdinat er Har graen en tangent med håldningskeicienten a? Bevarelse En unktin g er givet ved g. Er der et punkt pç g-graen sç tangenten i dette punkt har håldningskeicienten?. g tangenthåldning = g' = Se d. + = Se ramme 7 g 8. = Dette er ikke pyldt r nget tal da et tal i anden aldrig er negativt. Der er ikke et punkt pç graen sç tangenten i dette punkt har håldningskeicienten. Dierentialregning r B-niveau i h, udgave Side 9 05 Karsten Juul

12 . Er linjen tangent? En linje er tangent til graen r en unktin i et punkt netp hvis der bçde gålder at y-krdinat er ens g tangenthåldning er ens. Dette er vist pç de tre igurer. ab yab ab yab ab yab y-krdinat er rskellig: ab y-krdinat er ens: ab y-krdinat er ens: ab TangenthÅldning er ens: a TangenthÅldn. er rskellig: a TangenthÅldning er ens: a Linjen er ikke tangent. Linjen er ikke tangent. Linjen er tangent. Er linjen l : y 9 7 tangent til graen r unktinen? l : y 9 7 g Hvis l er tangent til -gra: I räringspunktet skal -graens tangenthåldning l 's håldningskeicient sm er 9: 9 9 Nspire läser ligning 9 mht. g Çr eller våre lig Nspire: Hvis er y-krdinat pç -gra lig y-krdinat pç l lig sç y-krdinaterne er ikke ens, sç l er ikke tangent i grapunktet med -krdinat. Hvis er y-krdinat pç -gra lig y-krdinat pç l lig sç y-krdinaterne er ens, g vi vidste i rvejen at tangenthåldningerne er ens, sç l er tangent i grapunktet med -krdinat. Linjen l er tangent til graen r. Hvis du skriver i hånden, skal der parentes m - eter gangetegn. Dierentialregning r B-niveau i h, udgave Side 0 05 Karsten Juul

13 . Bestem räringspunkt r tangent. Linjen l : y 9 7 er tangent til graen r unktinen. Bestem krdinatsåttet til räringspunktet. l : y 9 7 er tangent til gra r. I räringspunktet skal -graens tangenthåldning våre lig l 's håldningskeicient sm er 9: 9 9 Nspire läser ligning 9 mht. g Çr eller Nspire: Hvis er y-krdinat pç -gra lig y-krdinat pç l lig sç y-krdinaterne er ikke ens, sç grapunkt med -krdinat er ikke räringspunkt. Hvis er y-krdinat pç -gra lig y-krdinat pç l lig sç y-krdinaterne er ens, g vi vidste i rvejen at tangenthåldningerne er ens, sç grapunkt med -krdinat er räringspunkt. KrdinatsÅttet til räringspunktet er,. Hvis du skriver i hånden, skal der parentes m - eter gangetegn. Dierentialregning r B-niveau i h, udgave Side 05 Karsten Juul

14 VÄksthastighed. VÅksthastighed. Figuren viser graen r en unktin hvr mm = antal dage eter at vi begyndte at mçle = plantens häjde i mm PÇ iguren ser vi at 0 0,5 g at mkring tidspunktet 0 dage vil plantens häjde blive ca. 0,5 mm häjere pr. dag. Vi siger at pç tidspunktet 0 dage eter at vi begyndte at mçle, er våksthastigheden lig 0,5 mm pr. dag. I et lille tidsum pç -aksen er graen nåsten sammenaldende med den tegnede tangent. Det er i dette tidsrum at våksthastigheden er ca. 0,5 mm pr. dag. dage 4. AlÅs stärrelsen nçr tidspunktet er kendt. Graen viser hvrdan temperaturen T er vkset. Tiden t mçles i sekunder. Bestem temperaturen pç tidspunktet sekunder. T / C t / s Vi inder grapunktet hvr t, g alåser at r dette punkt er T 4. Dette har vi vist pä skitsen. T / C PÇ tidspunktet sekunder er temperaturen 4 C. t / s Dierentialregning r B-niveau i h, udgave Side 05 Karsten Juul

15 5. AlÅs våksthastigheden nçr tidspunktet er kendt. Graen viser hvrdan temperaturen T er vkset. Tiden t mçles i sekunder. Bestem temperaturens våksthastighed pç tidspunktet sekunder. T / C t / s Vi inder grapunktet hvr t, g vi tegner tangenten l i dette punkt, g pç l alåser vi punkterne A,5 g B 7, 7. Alt dette har vi vist pä skitsen. T / C A l B l 's häldningskeicient er temperaturens väksthastighed pç tidspunktet sekunder. l 's håldningskeicient er t / s ,75 Temperaturens våksthastighed pç tidspunktet sekunder er 0,75 C pr. sekund. 6. AlÅs tidspunktet nçr stärrelsen er kendt. Graen viser hvrdan temperaturen T er vkset. Tiden t mçles i sekunder. Bestem det tidspunkt hvr temperaturen er 4 C. T / C t / s Vi inder grapunktet hvr T 4, g alåser at r dette punkt er t. Dette har vi vist pä skitsen. T / C Temperaturen er 4 C pç tidspunktet sekunder. t / s Dierentialregning r B-niveau i h, udgave Side 05 Karsten Juul

16 7. AlÅs tidspunktet nçr våksthastigheden er kendt. Graen viser hvrdan temperaturen T er vkset. Tiden t mçles i sekunder. Bestem det tidspunkt hvr temperaturens våksthastighed er 0,75 C pr. sekund. T / C Vi tegner en linje m sm har håldningskeicient 0,75, g vi lågger en lineal langs m g parallelrskyder til linjen er en tangent l til graen, g vi alåser at r räringspunktet er t. Alt dette har vi vist pä iguren. VÅksthastigheden r t er l 's håldningskeicient: PÇ tidspunktet sekunder er temperaturens våksthastighed T / C l m 0 t / s 5 0,75 C pr. sekund. 0 0,75 5 t / s 8. Udregn stärrelsen nçr tidspunktet er kendt. VÅgten a et dyr kan beskrives ved unktinen 56,0 40 hvr er dage g er vågten i gram. Bestem dyrets vågt pç tidspunktet 0 dage. 56,0 40 er dyrets vågt pç tidspunktet dage. Dyrets vågt er 4 gram pç tidspunktet 0 dage. Hvis du skriver i hånden, skal der ikke parentes m,0. 9. Udregn våksthastigheden nçr tidspunktet er kendt. VÅgten a et dyr kan beskrives ved unktinen 56,0 40 hvr er dage g er vågten i gram. Bestem den hastighed hvrmed dyrets vågt vkser pç tidspunktet 0 dage. 56,0 40 er dyrets vågt pç tidspunktet dage. PÇ tidspunktet 0 dage vkser dyrets vågt med hastigheden Hvis du skriver i hånden, skal der ikke parentes m,0.,0 gram pr. dag. Dierentialregning r B-niveau i h, udgave Side 4 05 Karsten Juul

17 0. Udregn tidspunktet nçr stärrelsen er kendt. VÅgten a et dyr kan beskrives ved unktinen 56,0 40 hvr er dage g er vågten i gram. Bestem det tidspunkt hvr dyrets vågt er 500 gram. 56,0 40 er dyrets vågt pç tidspunktet dage. vågt = 500 = , = 500 Nspire läser ligning 56, mht. g Çr 77, 56. Dyrets vågt er 500 gram pç tidspunktet 78 dage.. Udregn tidspunktet nçr våksthastigheden er kendt. VÅgten a et dyr kan beskrives ved unktinen 56,0 40 hvr er dage g er vågten i gram. Bestem det tidspunkt hvr dyrets vågt vkser med hastigheden 4 gram pr. dag. 56,0 40 er dyrets vågt pç tidspunktet dage. Vi Çr hastighed = 4 ' = 4 Se e.,0895,0 = 4 Nspire läser ligningen,0895,0 4 PÇ tidspunktet Hvis du skriver i hånden, skal der ikke parentes m,0. mht. g Çr 64, dage vkser dyrets vågt med hastigheden 4 gram pr. dag.. Du skal ikke altid dierentiere r at inde hastighed! Et linjestykkes långde Åndres sçdan at = hvr er långden pç tidspunktet. Hvr hurtigt Åndres långden pç tidspunktet? er långden pç tidspunktet. =. ' =. ' = = 6. PÇ tidspunktet Åndres långden med hastigheden 6. Et linjestykkes långde Åndres sçdan at = hvr er den hastighed sm långden Åndres med pç tidspunktet. Hvr hurtigt Åndres långden pç tidspunktet? er den hastighed sm långden Åndres med pç tidspunktet. =. = = 9. PÇ tidspunktet Åndres långden med hastigheden 9. Dierentialregning r B-niveau i h, udgave Side 5 05 Karsten Juul

18 . Vksende g atagende. Mntni Figuren viser en interaktiv igur ra en cmputerskårm. NÇr vi tråkker -punktet hen pç et tal kan vi alåse unktinsvårdien. PÇ iguren kan vi se: NÇr vi tråkker gennem tallene ra g med til g med 9, vil NÇr vi tråkker gennem tallene ra g med 9 til g med 4, vil hele tiden blive stärre. hele tiden blive mindre. 4 Sm bekendt siger man: er vksende i intervallet 9 er atagende i intervallet 9 4 Er bçde atagende g vksende i 9? Nej, vi taler ikke m at en unktin er vksende i Ét tal. Vi taler m at en unktin er vksende i et interval. Der skal våre mindst t y-vårdier hvis vi skal kunne tale m at y er blevet stärre eller mindre. At er vksende i intervallet 9 betyder at nçr vi i intervallet vålger stärre g stärre -vårdi, sç bliver y-vårdien stärre g stärre. At er atagende i intervallet 9 4 betyder at nçr vi i intervallet vålger stärre g stärre -vårdi, sç bliver y-vårdien mindre g mindre. Dierentialregning r B-niveau i h, udgave Side 6 05 Karsten Juul

19 4. Hvad er mntnirhld? I ngle pgaver stçr at vi skal bestemme mntnirhldene r en unktin. Det betyder at vi skal skrive i hvilke -intervaller unktinen atager, g i hvilke -intervaller unktinen vkser. PÇ iguren er vist graen r et tredjegradsplynmium. Mntnirhldene kan vi skrive sçdan: er vksende i intervallet atagende i intervallet vksende i intervallet P, 4 Q, 5. Regel r at inde mntnirhld. Hvis ' er psitiv * tangenthåldningen er psitiv r hvert tal i intervallet 4. ** er vksende i intervallet 4. Hvis man präver at tegne graen sçdan at *, men ikke ** gålder, sç bliver man verbevist m at det ikke kan lade sig gäre. Man kan bevise at hvis * gålder, sç gålder ** gsç. Hvis der er undtagelser ra at ' er psitiv Funktinen pç nederste igur er vksende selv m der er Ét punkt hvri tangenthåldningen er 0. Selv m der er enkelte undtagelser ra *, kan man slutte at ** gålder. SÄtning 5. Hvis er psitiv r alle i et interval, evt. med endeligt mange undtagelser, sç er vksende i intervallet. Hvis er negativ r alle i et interval, evt. med endeligt mange undtagelser, sç er atagende i intervallet. Dierentialregning r B-niveau i h, udgave Side 7 05 Karsten Juul

20 6. Bestem mntnirhld. Bestem mntnirhldene r unktinen udregnet a Nspire kan kun skite rtegn i de vårdier a hvr 0, dvs. hvr 0. Nspire läser ligningen 0 mht. g Çr eller 0 : Disse t tal deler tallinjen p i tre intervaller. I hvert a disse vålger vi et tal g udregner : 9 sç negativ r sç psitiv r 0 sç psitiv r 0 A dette Älger at mntnirhldene er Älgende: er atagende i intervallet er vksende i intervallet Husk at kntrllere at tallene der agränser intervallerne, er de tal du ik sm lésning til '=0. Oversigt: : 0 : 0 0 : Dierentialregning r B-niveau i h, udgave Side 8 05 Karsten Juul

21 7. GÄr rede r at er vksende eller at er atagende. En unktin er givet ved Bestem 4 4 e. g gär rede r at er vksende. 4 e 4 Da 4 e altid er psitiv, er psitiv, g sç er vksende. 4 BemÄrkning: Hvis e 4, er 4e. 4 Da e altid er psitiv, er negativ, sç er atagende. 8. Tegn -gra ud ra '-rtegn m.m. Tegn r 6 0 en mulig gra r en unktin der pylder at 6 g 8 g hvr rtegn g nulpunkter r ' er sm vist pç tallinjen: NÇr : : m n, gçr -graen gennem punktet m, n. er atagende i -intervaller hvr er vksende i -intervaller hvr er negativ. er psitiv. Fr de -vårdier hvr er 0, har graen vandret tangent. Dierentialregning r B-niveau i h, udgave Side 9 05 Karsten Juul

22 9. Maksimum g minimum. Ekstrema g Maksimum r er den stärste y-krdinat til et punkt pç -graen. Vi ser at maksimum r er. Minimum r er den mindste y-krdinat til et punkt pç -graen. Vi ser at minimum r er. Graen r g er en parabel hvr grenene gçr uendelig häjt p. Der er ikke nget punkt pç graen der har den stärste y-krdinat da man altid kan asåtte et punkt häjere ppe pç graen, sç unktinen g har ikke nget maksimum. NÇr vi skriver hvad maksimum eller minimum er, sç skriver vi nrmalt gsç hvad punktets -krdinat er: har maksimum r 4 g maksimum er y har minimum r g minimum er y Undertiden er det skrevet krtere,.eks: har maksimum i 4 g maksimum er. har minimum i g minimum er. StÄrstevÅrdi g mindstevårdi r en unktin er det samme sm hhv. maksimum g minimum. I ngle pgaver stçr at vi skal bestemme ekstrema. Dette betyder at vi skal inde maksimum hvis der er et maksimum, g minimum hvis der er et minimum. Ekstremum er en Ållesbetegnelse r maksimum g minimum. Ordet ekstremum hedder i lertal ekstremummer eller ekstrema. Det er den sidste rm der bruges i eksamenspgaver. Dierentialregning r B-niveau i h, udgave Side 0 05 Karsten Juul

23 40. Bestem med ' den vårdi a hvr y er stärst. 6 HÄjden a en igur er givet ved 86, 9, 5 hvr er igurens bredde, g er igurens häjde. Bestem bredden sç häjden bliver stärst mulig. 6 86, 9, hvr igurs bredde g häjde er g. 5 Vi bestemmer mntnirhldene r : udregnet a Nspire kan kun skite rtegn i de vårdier a hvr 6 0, dvs. hvr 0. 5 Nspire läser ligningen 0 mht. r 9 g Çr : Vi udregner i en -vårdi pç hver side a : 6 4 sç er psitiv r sç er negativ r 9. 4 Hera slutter vi Älgende mntnirhld: er vksende i intervallet g er atagende i intervallet 9. Vi bestemmer bredden sç häjden er stärst mulig: 5 A mntnirhldene Älger: er stärst mulig nçr, dvs. HÄjden bliver stärst mulig nçr bredden er. Dierentialregning r B-niveau i h, udgave Side 05 Karsten Juul

24 4. Bestem med ' den stärste vårdi a y. 6 HÄjden a en igur er givet ved 86, 9, 5 hvr er igurens bredde, g er igurens häjde. Bestem den stärst mulige häjde. 6 86, 9, hvr igurs bredde g häjde er g. 5 Vi bestemmer mntnirhldene r : udregnet a Nspire kan kun skite rtegn i de vårdier a hvr 6 0, dvs. hvr 0. 5 Nspire läser ligningen 0 mht. r 9 g Çr : Vi udregner i en -vårdi pç hver side a : 6 4 sç er psitiv r sç er negativ r 9. 4 Hera slutter vi Älgende mntnirhld: er vksende i intervallet g er atagende i intervallet 9. Vi bestemmer den stärst mulige häjde: 5 6 A mntnirhldene Älger: er stärst mulig nçr Den stärst mulige häjde er 74. Dierentialregning r B-niveau i h, udgave Side 05 Karsten Juul

25 4. Bestem med ' den vårdi a hvr y er mindst. Dette gäres sm vist i ramme 40 brtset ra at mntnirhldene nu er atagende-vksende i stedet r vksende-atagende, g at vi nu skriver mindst i stedet r stärst. 4. Bestem med ' den mindste vårdi a y. Dette gäres sm vist i ramme 4 brtset ra at mntnirhldene nu er atagende-vksende i stedet r vksende-atagende, g at vi nu skriver mindst i stedet r stärst. 44. Bestem ekstrema. NÇr der stçr Bestem ekstrema, sç skal vi bestemme minimum hvis der er et minimum, g vi skal bestemme maksimum hvis der er et maksimum. Se ramme 4 g GÄr rede r at unktinen har et minimum eller maksimum. Metde GÄr rede r at unktinen 9, 0 har et minimum. Vi bestemmer mntnirhld r med metden ra ramme 6. Hereter skriver vi: Da er atagende i intervallet 0 g vksende i intervallet kan vi slutte at har minimum r. Dierentialregning r B-niveau i h, udgave Side 05 Karsten Juul

26 46. Lkalt maksimum g minimum. P Figuren viser graen r en unktin. I de t ender rtsåtter graen uendelig häjt p. P er grapunktet med -krdinat 0 g y-krdinat 5. Vi kan vålge et stykke a graen mkring P sçdan at 5 er mindste y-krdinat pç dette stykke. Vi siger derr at har lkalt minimum r 0 g det lkale minimum er y 5. 5 er ikke minimum da der andre steder pç graen er y-krdinater sm er mindre. Hvis Q, y er et punkt pç graen r en unktin, g vi kan vålge et stykke a graen mkring Q sçdan at y er mindste y-krdinat pç dette stykke, sç siger vi at unktinen har lkalt minimum r g det lkale minimum er y y Hvis Q, y er et punkt pç graen r en unktin, g vi kan vålge et stykke a graen mkring Q sçdan at y er stärste y-krdinat pç dette stykke, sç siger vi at unktinen har lkalt maksimum r g det lkale maksimum er y y Om unktinen ra iguren venr gålder: har lkalt minimum r 0 g det lkale minimum er y 5. har lkalt maksimum r 40 g det lkale maksimum er y 5. har lkalt minimum r 70 g det lkale minimum er y 5. har minimum r 70 g minimum er y 5. Undertiden er det skrevet krtere,.eks: har minimum i 70 g minimum er 5. har lkalt maksimum i 40 g det lkale maksimum er 5. I ngle pgaver stçr at vi skal bestemme lkale ekstrema. Dette betyder at vi skal inde bçde de lkale minimummer g de lkale maksimummer. Ordet ekstremum hedder i lertal ekstremummer eller ekstrema. Det er den sidste rm der bruges i eksamenspgaver. Dierentialregning r B-niveau i h, udgave Side 4 05 Karsten Juul

27 47. Bestem lkale ekstrema. Bestem de lkale ekstrema r unktinen Vi bestemmer mntnirhldene r : ' = udregnet a Nspire kan kun skite rtegn i de vårdier a hvr 0, dvs. hvr 8 0. Nspire läser ligningen 8 0 mht. g Çr = 6 eller =. 6 g deler tallinjen p i tre intervaller. I hvert a disse vålger vi et tal g udregner : Da er psitiv r 6 Da er negativ r 6 Da er psitiv r A dette Älger at mntnirhldene er Älgende: er vksende i intervallet 6, atagende i intervallet 6 g vksende i intervallet. Vi bestemmer de lkale ekstrema: A mntnirhldene Älger: der er lkalt maksimum r = 6 g lkalt minimum r = har lkalt maksimum r = 6 g det lkale maksimum er y = 0 4 har lkalt minimum r = g det lkale minimum er y = 0 : 6 ': : vks at vks 4 Dierentialregning r B-niveau i h, udgave Side 5 05 Karsten Juul

28 Beviser 48. Dierentiabel. Graen r har et knåk i punktet med -krdinat. Derr har graen ikke ngen tangent i dette punkt. Tangenten er en linje der Älger graen når punktet. Funktinen har ikke ngen dierentialkvtient i, r dierentialkvtienten er tangentens håldningskeicient, g der er ikke ngen tangent. Der gålder altsç at ikke eksisterer. Graen r g har en ldret tangent i punktet med -krdinat. En ldret linje har ikke ngen håldningskeicient. Funktinen g har ikke ngen dierentialkvtient i, r dierentialkvtienten er tangentens håldningskeicient, g tangenten har ikke ngen håldningskeicient. g Der gålder altsç at g ikke eksisterer. Deinitin 48. Man siger at en unktin er dierentiabel i et tal hvis unktinen har en dierentialkvtient i dvs. hvis eksisterer. Dierentialregning r B-niveau i h, udgave Side 6 05 Karsten Juul

29 49. GrÅnsevÅrdi. 49. Udtrykket u 6 kan vi ikke regne ud r da nåvneren bliver 0. Vi kan udregne u r vårdier a sm er tåt pç : Ved at vålge vårdien a tilstråkkelig tåt pç kan vi Ç vårdien a u sç tåt det skal våre pç 6. Vi siger: gränsevärdien r gçende md a u er lig 6 6 Med symbler skriver vi dette sçdan: lim 6 Metde 49.,98,999,00,0 u 5,94 5,997 6,00 6,06 Vi kan regne s rem til denne grånsevårdi ved at bruge Älgende metde: Vi aktriserer bräkens tåller g rkrter bräken. SÇ Çr vi et udtryk sm vi kan udregne nçr er : 6 Fr er 6 sç lim lim g lim 6 Regel 49. lim k udtryk k lim udtryk nçr k er en knstant Regel 49.4 lim udtryk udtryk lim udtryk lim udtryk 49.5 Udregning a grånsevårdi med Nspire. HÄjden a stlpen er e h hvr er det tal stlpen stçr i. PÇ iguren ser det ud til at stlpens häjde nårmer sig nçr vi tråkker stlpen hen md 0, hvr stlpen ikke eksisterer. Vi Çr Nspire til at udregne grånsevårdien a häjden r gçende md 0 : e lim 0 PÅ Nspire kan vi välge gränsevärdi-skabelnen på skabelnpaletten. Skabelnen ser sådan ud: Vi behéver ikke skrive nget i det tredje elt. Dierentialregning r B-niveau i h, udgave Side 7 05 Karsten Juul

30 50. Vi kan inde en dierentialkvtient ved at udregne en grånsevårdi. Hvis er dierentiabel i, sç gålder 50. lim Begrundelse r 50.: y t m t er tangent til -graen. ' = t 's håldk. Dette er deinitinen pç dierentialkvtient. Vi tegner en linje m der skårer -graen i punkterne med -krdinater g. y-krdinater til disse punkter er g. SÇ m 's håldk. = NÇr nårmer sig til vil m 's håldk. nårme sig til t 's håldk., sç t 's håldk. = lim m ' s håldk. = lim iälge rmlen a y y. Vi har nu indset at bçde venstre g häjre side i ligningen i 50. er lig t 's håldk., sç ligningen gålder. Dierentialregning r B-niveau i h, udgave Side 8 05 Karsten Juul

Differentialligninger

Differentialligninger Differentialligninger for A-niveau i st, udgave SkÄrmbillede fra TI-Nspire 015 Karsten Juul Differentialligninger for A-niveau i st, udgave 1 Hvad er en differentialligning? 1a OplÄg til differentialligninger1

Læs mere

Integralregning. 1. del. 2006 Karsten Juul. M l

Integralregning. 1. del. 2006 Karsten Juul. M l Integralregning del () M l () 6 Karsten Juul Indhold Stamunktion OplÄg om stamunktion Deinition a stamunktion 6 Kontrol a stamunktion 9 SÄtning om stamunktionerne til en unktion Deinition a ubestemt integral

Læs mere

sammenhänge for gymnasiet og hf 2010 Karsten Juul

sammenhänge for gymnasiet og hf 2010 Karsten Juul LineÄre sammenhänge for gymnasiet og hf y 0,5x 2,5 200 Karsten Juul I dette häfte har jeg gjort meget for at teksten er skrevet sçdan at du nemmere kan fç overblik over reglerne og den sammenhäng der er

Læs mere

sammenhänge 2008 Karsten Juul

sammenhänge 2008 Karsten Juul LineÄre sammenhänge y x 3 3 008 Karsten Juul Dette häfte er en fortsättelse af häftet "VariabelsammenhÄnge, 008". Indhold 8. Hvad er en lineär sammenhäng?... 3 9. Hvordan ser grafen ud for en lineär sammenhäng?...

Læs mere

Kort om. Andengradspolynomier. 2011 (2012) Karsten Juul

Kort om. Andengradspolynomier. 2011 (2012) Karsten Juul Kort om Anengraspolynomier 11 (1) Karsten Juul Dette häfte ineholer pensum i anengraspolynomier for gymnasiet og hf Inhol 1. Definition Anengraspolynomium... 1. Eksempel Hvilke tal er a, b og c lig?...

Læs mere

Trekantsberegning 25 B. 2009 Karsten Juul

Trekantsberegning 25 B. 2009 Karsten Juul Trekantsberegning 7,0 3 5 009 Karsten Juul ette häfte indeholder den del af trekantsberegningen som skal kunnes på - niveau i gymnasiet (stx) og hf ra sommer 0 kräves mere remstillingen undgår at forudsätte

Læs mere

Skabelon til funktionsundersøgelser

Skabelon til funktionsundersøgelser Skabelon til funktionsundersøgelser Nedenfor en angivelse af fremgangsmåder ved funktionsundersøgelser. Ofte vil der kun blive spurgt om et udvalg af nævnte spørgsmål. Syntaksen i løsningerne vil være

Læs mere

Deskriptiv statistik. for C-niveau i hf. 2015 Karsten Juul

Deskriptiv statistik. for C-niveau i hf. 2015 Karsten Juul Deskriptiv statistik for C-niveau i hf 75 50 25 2015 Karsten Juul DESKRIPTIV STATISTIK 1.1 Hvad er deskriptiv statistik?...1 1.2 Hvad er grupperede og ugrupperede data?...1 1.21 Eksempel pä ugrupperede

Læs mere

Projekt 4.12 Definition og differentiation af sammensat funktion og omvendt funktion

Projekt 4.12 Definition og differentiation af sammensat funktion og omvendt funktion ISBN 978-87-766-498- Projekter: Kapitel 4. Projekt 4. Deinition og dierentiation a sammensat unktion og omvendt unktion Projekt 4. Deinition og dierentiation a sammensat unktion og omvendt unktion Materialerne

Læs mere

Bogstavregning. En indledning for stx og hf. 2008 Karsten Juul

Bogstavregning. En indledning for stx og hf. 2008 Karsten Juul Bogstavregning En indledning for stx og hf 2008 Karsten Juul Dette hæfte træner elever i den mest grundlæggende bogstavregning (som omtrent springes over i lærebøger for stx og hf). Når elever har lært

Læs mere

Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient

Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient N 0,35N 0, 76t 2010 Karsten Juul Til eleven Dette hæfte giver dig mulighed for at arbejde sådan med nogle begreber at der er god mulighed for at der

Læs mere

Glæden ved at være til meditationsgruppe Level II udvidet program Et åbent hjerte

Glæden ved at være til meditationsgruppe Level II udvidet program Et åbent hjerte Glæden ved at være til meditatinsgruppe Level II udvidet prgram Et åbent hjerte I de kmmende måneder vil vi udfrske meditatin på kærlig-venlighed g medfølelse. Vi vil lære hvrdan vi kan åbne vre hjerter

Læs mere

Nogle emner fra. Deskriptiv Statistik. 2011 Karsten Juul

Nogle emner fra. Deskriptiv Statistik. 2011 Karsten Juul Nogle emner fra Deskriptiv Statistik 75 50 25 2011 Karsten Juul Indhold Hvad er deskriptiv statistik?... 1 UGRUPPEREDE OBSERVATIONER Hyppigheder... 1 Det samlede antal observationer... 1 Middeltallet...

Læs mere

Brugermanual til Folkeskoledatabasen

Brugermanual til Folkeskoledatabasen Brugermanual til Flkeskledatabasen SKRIV CLIENT NAME INDHOLD. 1. FOLKESKOLEDATABASEN 2 2. HJEM 2 3. RAPPORTER 3 3.1 EKSEMPEL - SÅDAN FINDER DU EN RAPPORT 3 4. BYG EGEN TABEL 5 4.1 Eksempel sådan laver

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

Spammærkning. 2. Udgave september 2007. UNI C SkoleKom Vermundsgade 5 2100 København Ø Tlf. 35878889

Spammærkning. 2. Udgave september 2007. UNI C SkoleKom Vermundsgade 5 2100 København Ø Tlf. 35878889 Spammærkning 2. Udgave september 2007 UNI C SkleKm Vermundsgade 5 2100 København Ø Tlf. 35878889 SkleKm - Spammærkning Spammærkningen af internetpst på SkleKm Af Ole Nmann Thmsen UNI-C, ansvarlig fr internetmail

Læs mere

Bedømmelseskriterier for skriftlig matematik stx A-niveau

Bedømmelseskriterier for skriftlig matematik stx A-niveau Bedømmelseskriterier for skriftlig matematik stx A-niveau Sådan bedømmes opgaverne ved skriftlig studentereksamen i matematik En vejledning for elever Skriftlighedsgruppe 01.04.09 Dette dokument henvender

Læs mere

Verdensborger. Hjem. Målgruppe: Spirer og grønsmutter. Varighed: 3 trin + et engagement

Verdensborger. Hjem. Målgruppe: Spirer og grønsmutter. Varighed: 3 trin + et engagement Verdensbrger Hjem Målgruppe: Spirer g grønsmutter Årstid: Hele året. Evt. i frbindelse med Spejderhjælpsugen Varighed: 3 trin + et engagement Hjem - niveau 1 g 2 - trin fr trin Danske pigespejdere skal

Læs mere

Indledning. Side 2 af 13

Indledning. Side 2 af 13 Frside Indledning e-addin er et Excel tilføjelses prgram der nemt kan hente data fra e-cnmic ver i Excel. Fr at bruge det skal du have dit regnskab hs e-cnmic. Hvis du ikke har det kan du prette en gratis

Læs mere

(3 ;3 ) (2 ;0 ) f(x)=3 *x-6 -1 1 2 3 4 5 6. Serie 1 Serie 2

(3 ;3 ) (2 ;0 ) f(x)=3 *x-6 -1 1 2 3 4 5 6. Serie 1 Serie 2 MAT B GSK august 008 delprøven uden hjælpemidler Opg Grafen for en funktion f er en ret linje, med hældningskoefficienten 3 og skærer -aksen i punktet P(;0). a) Bestem en forskrift for funktionen f. Svar

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

Microsoft Office Word-dokumenter kan gå tabt i visse situationer. Dokumentet kan eksempelvis gå tabt, hvis en

Microsoft Office Word-dokumenter kan gå tabt i visse situationer. Dokumentet kan eksempelvis gå tabt, hvis en INTRODUKTION Micrsft Office Wrd-dkumenter kan gå tabt i visse situatiner. Dkumentet kan eksempelvis gå tabt, hvis en fejl tvinger Wrd til at afslutte, hvis du plever en strømafbrydelse under redigering,

Læs mere

Matematik & Statistik

Matematik & Statistik Matematik & Statistik Simon Kaiser August 6 FORORD... - 4 - KAPITEL 1: SIMPLE REGNEREGLER OG LIGNINGER... - 5-1. ELEMENTÆRE REGNEREGLER...- 5-1.1 Parentesregning... - 5-1. Brøkregneregler... - 5-1..1 Generelle

Læs mere

Gmail Beskrivelse af Gmail.

Gmail Beskrivelse af Gmail. 1 Gmail Beskrivelse af Gmail. Åbn Gmail. Klik på Indbakken g klik på pilen(2) fr indstilling af visninger. Vælg Klassisk (3) Hvis der er fr mange etiketter i venstre side, kan de, der ikke bruges så fte,

Læs mere

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge 2008 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for st og hf. Indhold 1. Hvordan viser en tabel sammenhængen mellem to variable?... 1 2.

Læs mere

Hvordan Leibniz opfandt integralregningen

Hvordan Leibniz opfandt integralregningen Hvord Leiiz opdt itegrlregige 0 Krste Juul EglÄdere Isc Newto (6-) opdt i 66 itegrlregige. Tskere Gottried Wilhelm Leiiz (66-6) opdt i 6 itegrlregige. Ige dem oetliggjorde deres opidelse med det smme.

Læs mere

Fagligt og økonomisk tilsyn på BPA-ordninger

Fagligt og økonomisk tilsyn på BPA-ordninger Fagligt g øknmisk tilsyn på BPA-rdninger Tilsynspunkt Stikrd Frberedelse Egne bservatiner Afdækning af behvet fr hjælp Nuværende behv, jf. bevilling Aktivitetsbehv med ledsagelse det seneste år Seneste

Læs mere

Systembeskrivelse KMD Digital Valgliste Version 2.1.0

Systembeskrivelse KMD Digital Valgliste Version 2.1.0 KMD Digital Valgliste Versin 2.1.0 Indhldsfrtegnelse Indhldsfrtegnelse Frrd... 2 1 Applikatinen... 3 1.1 Applikatinens rbusthed... 3 1.2 Ansvar fr afvikling... 3 1.3 Evnen til at håndtere fejl... 4 2 Systemversigt...

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 22. maj 2015: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Ligningen løses ved at isolere x i det åbne udsagn: 4 x 7 81 4 x 88 88 x 22 4 Opgave 2: y 87 0,45 x Det

Læs mere

1. Velkomst ved Ebbe Hargbøl ESH bød velkommen til den nye styregruppe, hvorefter de nye styregruppemedlemmer præsenterede sig for hinanden.

1. Velkomst ved Ebbe Hargbøl ESH bød velkommen til den nye styregruppe, hvorefter de nye styregruppemedlemmer præsenterede sig for hinanden. Deltagere: Afbud: ESB-netværkets styregruppe Anne Birthe Mrtensen, Tradium (ABM) Jan Havreland, VUC Vestsjælland Nrd (JH) Carl E. Trnhjem, SOSU Sjælland (CES) Karin Rsenmejer, København VUC (KR) Mia Rasmussen,

Læs mere

Indholdsfortegnelse. Bilag: Et faktaark pr. retning i censorkorpset... 7

Indholdsfortegnelse. Bilag: Et faktaark pr. retning i censorkorpset... 7 Indhldsfrtegnelse Beretning fra censrfrmandskaberne fr Ingeniøruddannelserne g Diplmuddannelserne fr IT g Teknik fr periden september 2013 til september 2014... 2 Resume... 2 Uddannelsernes niveau... 2

Læs mere

Brugervejledning til Graph

Brugervejledning til Graph Graph (brugervejledning) side 1/17 Steen Toft Jørgensen Brugervejledning til Graph Graph er et gratis program, som ikke fylder meget. Downloades på: www.padowan.dk/graph/. Programmet er lavet af Ivan Johansen,

Læs mere

Funktioner af to og tre variable

Funktioner af to og tre variable MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Kort indøring i Funktioner a to og tre variable. udgave 00 FORORD Dette notat giver en kort indøring i, hvorledes man ved anvendelse a passende regnemidler og benttelse a partielle

Læs mere

Coaching og Selvværd Jantelovens udfordrer

Coaching og Selvværd Jantelovens udfordrer Caching g Selvværd Jantelvens udfrdrer Af Jan Wittrup, Adm. Direktør / Executive Advisr En artikel der primært er tilegnet de, der har sat sig fr knstant at være under selvudvikling. Inspireret af egne

Læs mere

Panini A150.674 V7/0211

Panini A150.674 V7/0211 Panini A150.674 V7/0211 DK 1. Generelle plysninger 100 1.1 Generelt m denne vejledning 100 1.2 Symblfrklaring 100 1.3 Prducentens ansvar g garanti 101 1.4 Ophavsret 101 1.5 Overensstemmelseserklæring 101

Læs mere

Inklusion af børn og unge med autisme En opgave der kræver viden og indsigt

Inklusion af børn og unge med autisme En opgave der kræver viden og indsigt Inklusin af børn g unge med autisme En pgave der kræver viden g indsigt I denne artikel vil jeg diskutere g perspektivere de erfaringer jeg har med inklusin. Mit ønske er, at du sm læser vil få nuanceret

Læs mere

Checkliste ved revision

Checkliste ved revision Lederhåndbg side 8.4.1 Checkliste ved revisin Grundlag til brug ved revisin af freningens tilskudsregnskab: Kmmunens regler fr revisin. Fra 1.januar 2003 er det kmmunen, sm fastsætter reglerne fr revisin.

Læs mere

SKOV- OG NATURSTY- RELSEN Natur og Skov J.nr. SNS-302-00100 Ref. elbra Den 22.september 2009

SKOV- OG NATURSTY- RELSEN Natur og Skov J.nr. SNS-302-00100 Ref. elbra Den 22.september 2009 Referat fra møde i Vildtfrvaltningsrådet Tirsdag den 24. marts 2009 kl. 9.30 14.00 SKOV- OG NATURSTY- RELSEN Natur g Skv J.nr. SNS-302-00100 Ref. elbra Den 22.september 2009 Fra Vildtfrvaltningsrådet deltg:

Læs mere

Vejen til Mars et master class project

Vejen til Mars et master class project FORLAG Vejen til Mars et master class prject Ungdmsuddannelserne Af Kirsten Søgaard Nevers g Mette Kbw, Næstved Gymnasium Intrduktin Udvikling g psætning af den dramatiske tekst Vejen til Mars af Daniel

Læs mere

Grundlæggende færdigheder

Grundlæggende færdigheder Regnetest A: Grundlæggende færdigheder Træn og Test Niveau: 7. klasse Uden brug af lommeregner 1 INFA-Matematik: Informatik i matematikundervisningen Et delprojekt under INFA: Informatik i skolens fag

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Teatret Fair Play: MIRAS VERDENER

Teatret Fair Play: MIRAS VERDENER Teatret Fair Play: S VERDENER Frfatter: Martina Mntelius Oversættelse fra svensk: Michael Ramløse Undervisningsmateriale til frdybelse I ngle af de emner, sm frestillingen tager p. Klassetrin: 4. 5. klasse

Læs mere

Sådan undgår du, at dit barn bliver mobbet

Sådan undgår du, at dit barn bliver mobbet Sådan undgår du, at dit barn bliver mbbet Bliver dit barn mbbet, bør du gribe ind, fr mbning kan give alvrlige ar på sjælden. I denne guide kan du læse en masse gde råd m, hvrdan du sm frælder håndterer

Læs mere

Hjelp til Speedadmin. Fakturering

Hjelp til Speedadmin. Fakturering Hjelp til Speedadmin Fakturering Indhld Indhld... 2 Faktureringsdelen... Fejl! Bgmærke er ikke defineret. Opsætning af betalingssystemet... 3 Opsætning til Visma/Agress/ERV... 4 Test af første fil... 4

Læs mere

Sorg- og kriseplan. Retningslinjer ved sorg og krise I Udelivsinstitutionen Terslev Børnehus

Sorg- og kriseplan. Retningslinjer ved sorg og krise I Udelivsinstitutionen Terslev Børnehus Srg- g kriseplan Retningslinjer ved srg g krise I Udelivsinstitutinen Terslev Børnehus Terslev Børnehus srg- g kriseplan Denne srgplan er tænkt sm en køreplan, når et barn eller en medarbejder rammes af

Læs mere

Projektbeskrivelse. Skive Kommune

Projektbeskrivelse. Skive Kommune Prjektbeskrivelse My New Hme - Party Skive Kmmune My New Hme - Party Krt beskrivelse Inspireret af Tupperwares markedsføringsmetde vil vi iværksætte hme parties med fkus på energirenvering af enfamiliehuse.

Læs mere

1 monotoni & funktionsanalyse

1 monotoni & funktionsanalyse 1 monotoni & funktionsanalyse I dag har vi grafregnere (TI89+) og programmer på computer (ex.vis Derive og Graph), hvorfor det ikke er så svært at se hvordan grafen for en matematisk funktion opfører sig

Læs mere

Emne Oplæg Referat. Greenkeeperfaciliteterne. på Lærkeager og

Emne Oplæg Referat. Greenkeeperfaciliteterne. på Lærkeager og Greenkeeperfaciliteterne Hvilke frdele er der ved at flytte faciliteterne til Lærkeager på Lærkeager g Greenkeeperfaciliteterne ved klubhuset Oversigtsft Lærkeager Detailtegning af prjekt fr nye greenkeeper

Læs mere

Vedligehold af kirker, præstegårde og andre bygninger

Vedligehold af kirker, præstegårde og andre bygninger Vedligehld af kirker, præstegårde g andre bygninger Ntat udarbejdet i frbindelse med kursusaften 29.10.14 Frebyggelse g gd vedligehldelsespraksis Frebyggelse drift - Kirker: Anbefalinger vedr. ventilatin:

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Kursus i CMSimple 2.9SE. - Mads Bischoff, Safi.dk. Indhold: Velkommen Klar parat o. Indhold & form o. Skitse over hjemmesiden Kom igang o

Kursus i CMSimple 2.9SE. - Mads Bischoff, Safi.dk. Indhold: Velkommen Klar parat o. Indhold & form o. Skitse over hjemmesiden Kom igang o Kursus i CMSimple 2.9SE - Mads Bischff, Safi.dk Indhld: Velkmmen Klar parat Indhld & frm Skitse ver hjemmesiden Km igang Lgin på hjemmesiden Skriv/redigér en side Lav nye sider Indsæt et ft på siden Link

Læs mere

Matematik B. Højere handelseksamen

Matematik B. Højere handelseksamen Matematik B Højere handelseksamen hhx132-mat/b-16082013 Fredag den 16. august 2013 kl. 9.00-13.00 Matematik B Prøven består af to delprøver. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1 til 5 med i alt

Læs mere

PR UDVALGET ARBEJDE OG ORGANISATION DYNAMISK DOKUMENT ROTARY DANMARKS PR UDVALG

PR UDVALGET ARBEJDE OG ORGANISATION DYNAMISK DOKUMENT ROTARY DANMARKS PR UDVALG PR UDVALGET ARBEJDE OG ORGANISATION DYNAMISK DOKUMENT ROTARY DANMARKS PR UDVALG Februar 2014 1 HVORDAN ARBEJDER PR UDVALGET OG HVAD ER DERES ROLLE Indledning PR udfrdringer i Danmark PR er en prces der

Læs mere

Et redskab til brug ved mediekontakt, hvad enten den er opsøgende og man selv tager kontakt eller Rotarys repræsentanter bliver opsøgt af medierne.

Et redskab til brug ved mediekontakt, hvad enten den er opsøgende og man selv tager kontakt eller Rotarys repræsentanter bliver opsøgt af medierne. Værktøjskassen Et redskab til brug ved mediekntakt, hvad enten den er psøgende g man selv tager kntakt eller Rtarys repræsentanter bliver psøgt af medierne. Indhld: Værktøjskassen...1 Indhld:...1 01. Generelt

Læs mere

Inspiration til etablering af læringsmiljøer for medarbejdere

Inspiration til etablering af læringsmiljøer for medarbejdere Inspiratin til etablering af læringsmiljøer fr medarbejdere Varde Kmmune 2013 Dk. nr. 181170-13 Dette dkument har til frmål at give inspiratin g sætte pejlemærker fr det lkale arbejde i Varde Kmmunes skler,

Læs mere

Time Sag Styring i Qmanager

Time Sag Styring i Qmanager Indhldsfrtegnelse Opsætning (NOVAQ Administratr)... 1 Licensnøgle... 1 Rd gruppen til Time-Sag administratrerne... 1 Rettighedspsætning (Default psætning)... 2 Hvem kan administrere brugernes tidsindstillinger...

Læs mere

Undersøgelse af funktioner i GeoGebra

Undersøgelse af funktioner i GeoGebra Undersøgelse af funktioner i GeoGebra GeoGebra er tænkt som et dynamisk geometriprogram, men det kan også anvendes til undersøgelser og opdagelser omkring funktioner. Eksempel Tegn linjen med ligningen:

Læs mere

Integralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul

Integralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul Integrlregning del ( ( 6 Krsten Juul Indhold 6 Uestemt integrl8 6 Sætning om eksistens stmunktioner 8 6 Oplæg til "regneregler or integrl"8 6 Regneregler or uestemt integrl 9 68 Foreredelse til "integrtion

Læs mere

DanaWeb A/S Herlev hovedgade 201B 2730 Herlev Tlf: 55 55 55 55 support@danaweb.dk

DanaWeb A/S Herlev hovedgade 201B 2730 Herlev Tlf: 55 55 55 55 support@danaweb.dk 1 Indhld DanaWeb A/S Herlev hvedgade 201B 2730 Herlev Tlf: 55 55 55 55 supprt@danaweb.dk Indhld... 2 1. Lg ind... 5 2. Tpbaren... 6 3. Menuen... 7 4. Instrumentbræt... 7 4.1. Hurtige hyperlinks... 8 4.2.

Læs mere

AutoPilot kurser og servicebesøg

AutoPilot kurser og servicebesøg AutPilt - Kursusbeskrivelse AutPilt kurser g servicebesøg KORSGAARD EDB tilbyder følgende kurser, sm giver et gdt indblik i g en slid viden m AutPilt. Basiskurser: Administratin, Fakturering g Sagsplanlægning.

Læs mere

Af Astrid Juul Poulsen, udsendt lektor i dansk ved Kennaraháskóli Íslands/Islands pædagogiske universitet, 2006-2007

Af Astrid Juul Poulsen, udsendt lektor i dansk ved Kennaraháskóli Íslands/Islands pædagogiske universitet, 2006-2007 SIG DET PÅ DANSK! Om at give eleverne kmmunikatinsstrategier til at turde mere Af Astrid Juul Pulsen, udsendt lektr i dansk ved Kennaraháskóli Íslands/Islands pædaggiske universitet, 2006-2007 I det følgende

Læs mere

Modul 8 Få det ekstra forspring. Modul 8. Få det ekstra forspring. Side 1. Lederkursus Modul 8 2008 Menu of Life

Modul 8 Få det ekstra forspring. Modul 8. Få det ekstra forspring. Side 1. Lederkursus Modul 8 2008 Menu of Life Mdul 8 Få det ekstra frspring Mdul 8 Få det ekstra frspring Side 1 Lederkursus Mdul 8 2008 Menu f Life Mdul 8 Få det ekstra frspring Mdul 8: Få det ekstra frspring I de tidligere mduler har du lært det

Læs mere

Skolepraktik: Et attraktivt alternativ

Skolepraktik: Et attraktivt alternativ Sklepraktik: Et attraktivt alternativ 1) Oplysninger m ansøger Rskilde Tekniske Skle, Pstbks 132, 4000 Rskilde. Telefn 46 300 400 E mail rts@rts.dk 2) Ansøgningen vedrører (I dette felt skal det plyses,

Læs mere

En mobbefri kultur giver mulighed for, at den enkelte medarbejder/leder tør folde sine ideer og ressourcer ud.

En mobbefri kultur giver mulighed for, at den enkelte medarbejder/leder tør folde sine ideer og ressourcer ud. Udkast til CenterMED 24. marts 2011 Mppeplitik Mppefri-kultur ja-tak! En mbbefri kultur giver mulighed fr, at den enkelte medarbejder/leder tør flde sine ideer g ressurcer ud. En mbbefri kultur fremmer

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

MATEMATIK ( 5 h ) DATO: 8. juni 2009

MATEMATIK ( 5 h ) DATO: 8. juni 2009 EUROPÆISK STUDENTEREKSAMEN 2009 MATEMATIK ( 5 h ) DATO: 8. juni 2009 PRØVENS VARIGHED: 4 timer (240 minutter) TILLADTE HJÆLPEMIDLER Europaskolernes formelsamling Ikke-grafisk, ikke-programmerbar lommeregner

Læs mere

MobilePeople. Lemvig Vand og Spildevand webmåleraflæsning Unik URL/QR Version 1. 2013 MobilePeople All Rights Reserved

MobilePeople. Lemvig Vand og Spildevand webmåleraflæsning Unik URL/QR Version 1. 2013 MobilePeople All Rights Reserved MbilePeple Lemvig Vand g Spildevand webmåleraflæsning Unik URL/QR Versin 1 2013 MbilePeple All Rights Reserved Måleraflæsning startside Slutbruger mdtager e-mail eller sms med unik QR eller URL til MP

Læs mere

Generalforsamling den 23. april 2014

Generalforsamling den 23. april 2014 Generalfrsamling den 23. april 2014 Referat 1. Indledning med andagt v/ Martin Lykkegaard 2. Valg af dirigent - Kristian Søndergaard blev valgt 3. Bestyrelsens beretning g visiner - Året der gik i Elim.

Læs mere

Fælles telefoni & Internet for Rytterkasernen og Åløkkegården. Bilag

Fælles telefoni & Internet for Rytterkasernen og Åløkkegården. Bilag Fælles telefni & Internet fr Rytterkasernen g Åløkkegården. Bilag Versin 1.1, sidst revideret 20.05.2003 Bilag 1: Teleudbyder Vres nuværende teleudbyder er: Cirque Bredbånd Brgergade 14 1300 København

Læs mere

I dette dokument kan du finde information og inspiration til, hvordan I kan komme i gang i dit lokalområde. Dette er en guide til de ting, som

I dette dokument kan du finde information og inspiration til, hvordan I kan komme i gang i dit lokalområde. Dette er en guide til de ting, som Start ny gruppe PLan Ldsskvvad. Ft: Henrik Weigelt. Du kan skabe gde friluftsplevelser fr børn g unge. Vær med til at starte en ny Blå spejdergruppe i dit lkalmråde. Hvis du synes, at det er fantastisk

Læs mere

Integralregning Infinitesimalregning

Integralregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement

Læs mere

Pronestor Visitor. Modul 10. Tekniske krav & Installation Pronestor Visitor Side 10.0 10.4. Server opsætning og konfigurering (SQL) Side 10.

Pronestor Visitor. Modul 10. Tekniske krav & Installation Pronestor Visitor Side 10.0 10.4. Server opsætning og konfigurering (SQL) Side 10. Prnestr Visitr Prnestr Visitr Mdul 10 Tekniske krav & Installatin Prnestr Visitr Side 10.0 10.4 Server psætning g knfigurering (SQL) Side 10.1 Generelle server krav Opsætning af Prnestr databasen Installatin

Læs mere

FastStone Image Viewer

FastStone Image Viewer FastStne Image Viewer FastStne Image Viewer Oversigt Prgrammet FastStne Image Viewer er en hurtig, stabil, brugervenlig billedsøger, knverter g editeringsværktøj. Det har en flt samling af funktiner, sm

Læs mere

Vejledning Digital post på Virk.dk

Vejledning Digital post på Virk.dk Vejledning Digital pst på Virk.dk Indbakke g arkiv Sådan får du vist din pst Sådan får du installeret nyeste versin af Adbe Reader Sådan anvender du arkivmapper Pst Åbne pst Slette pst Flytte pst Arkivere

Læs mere

Principper og rammer for pædagogisk tilsyn i Syddjurs Kommune. Tilsynsrapport Børnehuset Romlehøj.

Principper og rammer for pædagogisk tilsyn i Syddjurs Kommune. Tilsynsrapport Børnehuset Romlehøj. PÆDAGOGISK TILSYN. Daginstitutinerne i Syddjurs kmmune. 2012. INDHOLD: Principper g rammer fr pædaggisk tilsyn i Syddjurs Kmmune. Tilsynsrapprt Børnehuset Rmlehøj. ML-CONSULT, Østergårdsparken 31 8410

Læs mere

l-/ 4. Forelæggelse af drifts- og likviditetsbudget for 2013 til godkendelse og beslutning om eventuel ændring af boligafgiften. 5. Forslag.

l-/ 4. Forelæggelse af drifts- og likviditetsbudget for 2013 til godkendelse og beslutning om eventuel ændring af boligafgiften. 5. Forslag. n l-/ Ar 2013, den 4. april, kl. 19.00, blev der afhldt rdinær generalfrsamling i A/B Lllandsvej 35-37-39, der blev afhldt i beberlkalet, Lllandsvej 39 med følgende dagsrden: 1. Valg af dirigent g referent.

Læs mere

FlexMatematik B. Introduktion

FlexMatematik B. Introduktion Introduktion TI-89 er fra start indstillet til at åbne skrivebordet med de forskellige applikationer, når man taster. Almindelige regneoperationer foregår på hovedskærmen som fås ved at vælge applikationen

Læs mere

WebGuide for Slagelse Kommunes hjemmeside

WebGuide for Slagelse Kommunes hjemmeside Prjektgruppe hjemmeside WebGuide fr Slagelse Kmmunes hjemmeside Indhldsfrtegnelse Om at læse på Nettet...2 Hvrdan læser flk på Nettet?...2 Skærmen er dit papir...3 Tekster på en skærm...3 Målgrupper...4

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Ligning med + - / hvor x optræder 1 gang... 3 IT-programmer

Læs mere

De 5 mål i Den aktive borger

De 5 mål i Den aktive borger R e v i d e r e t d e n 1 2. m a j 2 0 1 5 De 5 mål i Den aktive brger Knkretiseringen af Den aktive brger i fagmrådet Sundhed g Omsrg, er på nuværende tidspunkt centreret mkring 5 mål. Disse mål er langt

Læs mere

Handlingsplan for frivilligt socialt arbejde og aktivt medborgerskab

Handlingsplan for frivilligt socialt arbejde og aktivt medborgerskab Staben Middelfart Kmmune Østergade 11 5500 Middelfart www.middelfart.dk Telefn +45 8888 5500 Direkte +45 8888 5010 Fax +45 8888 5501 Dat: 20. februar 2013 Sagsnr.: 2012-010287-12 Sabine.Christensen@middelfart.dk

Læs mere

BRUG DET DU HAR DEL 2

BRUG DET DU HAR DEL 2 1 BRUG DET DU HAR DEL 2 Kim Trp, søndag d. 17. maj 2015 Brug det du har, fr du kan ikke bruge det du ikke har ALLE ER SKABT TIL AT DELTAGE Lad s prøve at adskille Karismagaver Tjenestegaver g Åndens gaver

Læs mere

REFERAT AF BEBOERFORENINGENS GENERALFORSAMLING DEN 24. OKTOBER 2013 AFHOLDT PÅ LUNDDAL, RØRTHVEJ 130.

REFERAT AF BEBOERFORENINGENS GENERALFORSAMLING DEN 24. OKTOBER 2013 AFHOLDT PÅ LUNDDAL, RØRTHVEJ 130. REFERAT AF BEBOERFORENINGENS GENERALFORSAMLING DEN 24. OKTOBER 2013 AFHOLDT PÅ LUNDDAL, RØRTHVEJ 130. Frmanden bød velkmmen g pegede på bestyrelsens vegne på Vagn Christensen sm dirigent. Pkt. 1: Vagn

Læs mere

og fastlæggelse af dato for tøjaften, hvor man kan prøve tøjet 7. Orientering om kommende arrangementer - to er planlagt 8.

og fastlæggelse af dato for tøjaften, hvor man kan prøve tøjet 7. Orientering om kommende arrangementer - to er planlagt 8. Medlemsmøde/Februar/2011møde/Februar/2011 Så fik vi endelig afhldt det første rigtige medlemsmøde i RyCC. Omkring 35 mødte frem g det er vel meget gdt i betragtning af, at møde var lagt lige i den travle

Læs mere

Indbydelse til Beg/Talent Cup - Fredericia LÄrdag den 18. september 2010

Indbydelse til Beg/Talent Cup - Fredericia LÄrdag den 18. september 2010 Promotor: Tidsplan: Dansk Taekwondo Klub Sidste tilmelding: ArrangÄr: 27. august 2010 Fredericia Taekwondo Klub Info mail sendes til de klubber der har tilmeldt deltagere, info Dato: LÅgges ogsç pç forbundets

Læs mere

23. ENoLIVSSTIL, DER NAR UD

23. ENoLIVSSTIL, DER NAR UD 23. ENLIVSSTIL, DER NAR UD "Åh nej. Otte sider. De her figurer er ved at blive kmplicerede." Lad dig ikke afskrække af, at Ottekanten har tte sider. Vi vil ikke bebyrde dig med tte stre telgiske lektiner

Læs mere

Redegørelse for anvendelse af bedste tilgængelige teknologi på Metro Cityringen

Redegørelse for anvendelse af bedste tilgængelige teknologi på Metro Cityringen Redegørelse fr anvendelse af bedste tilgængelige teknlgi på Metr Cityringen I frbindelse med Metrselskabets frslag m udvidet arbejdstid, er det nødvendigt med en frnyet vurdering af m den anvendte teknik

Læs mere

Nedenstående regler gælder for IT-brugere ved Aalborg Handelsskole medmindre andet er skriftligt aftalt.

Nedenstående regler gælder for IT-brugere ved Aalborg Handelsskole medmindre andet er skriftligt aftalt. Generelle regler fr IT-brugere ved Aalbrg Handelsskle. Nedenstående regler gælder fr IT-brugere ved Aalbrg Handelsskle medmindre andet er skriftligt aftalt. IT-brugere ved Aalbrg Handelsskle mfatter Medarbejdere

Læs mere

Referat fra Generalforsamlingen 2013 17. marts

Referat fra Generalforsamlingen 2013 17. marts Referat fra Generalfrsamlingen 2013 17. marts Sted: Højby Frsamlingshus, Højbyvej 23, 5260 Odense S. Dat: 17 marts 2013 Tid. 13.00 Kl. 18.00 Referent: Line Grundtvig Sørensen/ Drte Andersen Frmål Generalfrsamling

Læs mere

Høringssvar vedrørende sundhedspolitik og idræts- og fritidspolitik:

Høringssvar vedrørende sundhedspolitik og idræts- og fritidspolitik: Høringssvar vedrørende sundhedsplitik g idræts- g fritidsplitik: Der er indkmmet 21 høringssvar Høringssvar primært i frhld til Sundhedsplitik (markeret med FED) Høringssvar primært i frhld til Idræts-

Læs mere

Virksomhedsoplysninger

Virksomhedsoplysninger Alt det inf du behøver... Frretningsbetingelser & persndataplitik Virksmhedsplysninger Den-design A/S (datterselskab af HFP) CVR NR.: 17023292 Adresse: Hestehaven 16, 8721 Daugaard, DK Mail: Michela@den-design.dk

Læs mere

Appendiksoversigt. Bilag 1. Bilag 2. Bilag 3. Undersøgelsesbeskrivelse. Spørgeguide til kvalitative interviews. Interviewoversigt

Appendiksoversigt. Bilag 1. Bilag 2. Bilag 3. Undersøgelsesbeskrivelse. Spørgeguide til kvalitative interviews. Interviewoversigt Appendiksversigt Bilag 1 Undersøgelsesbeskrivelse Bilag 2 Spørgeguide til kvalitative interviews Bilag 3 Interviewversigt Bilag 1 Undersøgelsesbeskrivelse NCK 2.5, undersøgelse 3 - fase 2 Titel Barrierer

Læs mere

En lille vejledning til lærere og elever i at bruge matematikprogrammet WordMat (begynderniveau)

En lille vejledning til lærere og elever i at bruge matematikprogrammet WordMat (begynderniveau) Matematik i WordMat En lille vejledning til lærere og elever i at bruge matematikprogrammet WordMat (begynderniveau) Indholdsfortegnelse 1. Introduktion... 3 2. Beregning... 4 3. Beregning med brøker...

Læs mere

VA Afdeling 10, Hyldespjældet

VA Afdeling 10, Hyldespjældet Deltagere: Referat fra Afdelingsbestyrelsesmøde tirsdag d. 2. ktber 2012 Afdelingsbestyrelsen: Vinie Hansen (VH), Sif Enevld (SE), Nina Rytter (NR), Per Zffmann (PZ), Mette Nielsen (MN) g Marianne Bahl

Læs mere

Matematik A. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. Mandag den 4. juni 2012. kl. 9.00-14.00

Matematik A. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. Mandag den 4. juni 2012. kl. 9.00-14.00 Matematik A Højere handelseksamen 1. Delprøve, uden hjælpemidler kl. 9.00-10.00 hh121-mat/a-04062012 Mandag den 4. juni 2012 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøven uden hjælpemidler Prøvens varighed er 1 time.

Læs mere