Differentialregning. for B-niveau i hf udgave Karsten Juul

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Differentialregning. for B-niveau i hf udgave 3. 2015 Karsten Juul"

Transkript

1 Dierentialregning r B-niveau i h udgave t s 05 Karsten Juul

2 Dierentialkvtient. Tangent g räringspunkt..... FunktinsvÅrdi g dierentialkvtient..... Frtlkning a ' vedr. gra Frtlkning a ' nçr er tiden Frtlkning a ' nçr ikke er tiden Frtlkninger a ' begrundet Bestem ' med Nspire Reglerne r at bestemme ' uden hjålpemidler Advarsler m regler ra ramme Eksempel pç brug a regler ra ramme AlÅs tallet r pç igur AlÅs tallet 'r pç igur AlÅs läsninger til =t pç igur AlÅs läsninger til '=s pç igur Tangent 5. Bestem ligning r tangent Bestem punkt pç gra nçr vi kender -krdinat Bestem punkt pç gra nçr vi kender y-krdinat Bestem punkt pç gra nçr vi kender tangenthåldning Bestem tangenthåldning Har graen en tangent med håldningskeicienten a? Er linjen tangent? Bestem räringspunkt r tangent.... VÄksthastighed. VÅksthastighed AlÅs stärrelsen nçr tidspunktet er kendt AlÅs våksthastigheden nçr tidspunktet er kendt AlÅs tidspunktet nçr stärrelsen er kendt AlÅs tidspunktet nçr våksthastigheden er kendt Udregn stärrelsen nçr tidspunktet er kendt Udregn våksthastigheden nçr tidspunktet er kendt Udregn tidspunktet nçr stärrelsen er kendt Udregn tidspunktet nçr våksthastigheden er kendt Du skal ikke altid dierentiere r at inde hastighed Mntni. Vksende g atagende Hvad er mntnirhld? Regel r at inde mntnirhld Bestem mntnirhld GÄr rede r at er vksende eller at er atagende Tegn -gra ud ra '-rtegn m.m Ekstrema 9. Maksimum g minimum Bestem med ' den vårdi a hvr y er stärst Bestem med ' den stärste vårdi a y Bestem med ' den vårdi a hvr y er mindst Bestem med ' den mindste vårdi a y Bestem ekstrema GÄr rede r at unktinen har et minimum eller maksimum Lkalt maksimum g minimum Bestem lkale ekstrema... 5 Beviser 48. Dierentiabel GrÅnsevÅrdi Vi kan inde en dierentialkvtient ved at udregne en grånsevårdi Udledning a rmlen r at dierentiere Udledning a rmlen r at dierentiere udtryk plus udtryk Tidligere udgave a dette häte har skitet adresse til: Dierentialregning r B-niveau i h, udgave, Ä 05 Karsten Juul 4/8-05 Nyeste versin a dette häte kan dwnlades ra HÄtet må benyttes i undervisningen hvis läreren med det samme sender en til sm plyser at dette häte benyttes, g plyser hld, niveau, lärer g skle.

3 Dierentialkvtient. Tangent g räringspunkt. a. At l er tangent i P betyder at l er linjen gennem P sm Älger graen når P. b. P kaldes tangentens råringspunkt. c. Grapunkterne når P ligger nrmalt ikke pç tangenten selv m det ser sçdan ud pç en tegning da stregen ikke er uendelig tynd. d. PÇ iguren er linje l tangent til -gra i P. l P. FunktinsvÅrdi g dierentialkvtient. a. At t er unktinsvärdien a r betyder at t er y-krdinaten til grapunktet med -krdinat r g skrives t = r sm låses t er lig a r t P a b. At a er dierentialkvtienten i r betyder at a er tangenthäldningen i grapunktet med -krdinat r g skrives a = 'r sm låses a er lig märke a r l r c. r = y-krdinat til -gras punkt med -krdinat r. d. 'r = tangents häldning i -gras punkt med -krdinat r. e. 'r = väksthastighed r pç tidspunkt r. Hvis er tid.. NÇr er lig r, g vi lågger et lille tal til, sç lågges ca. 'r gange dette lille tal til y. g. I ligninger a typerne m = n g 'm = p gålder: Tallet pç m 's plads er en -vårdi. Tallet pç n 's plads er en y-vårdi. Tallet pç p 's plads er en tangenthåldning eller våksthastighed. h. typerne i rammerne 0-, 7-9, 6-9, 6 läses med Älgende metde: Skriv en ligning a en a typerne m n g m p. Brug ligningen til at bestemme m eller n eller p eller en knstant i rskriten. Denne metde indgçr sm en del a pgavetyperne i mange a de andre rammer. c g d er vedtägter. e g er begrundet i ramme 6. Dierentialregning r B-niveau i h, udgave Side 05 Karsten Juul

4 . Frtlkning a ' vedr. gra. Frtlkning a ' vedr. graen. LÄsningerne til ligningen ' = er = g = 7. Hvad rtåller dette m graen? ' = tangenthåldning se d sç det at läsningerne er = g = 7, rtåller: Det er grapunkterne med -krdinat g 7 hvr tangenthåldningen er. 4. Frtlkning a ' nçr er tiden. Frtlkning a ' vedr. nget ra virkeligheden når er tiden. Der er et tegnet dyr pç skårmen. er dyrets häjde mçlt i mm, g er tiden mçlt i minutter. Det er plyst at 0. GÄr rede r betydningen a dette. Regel se e: 'r er våksthastighed r pç tidspunkt r. I denne regel indsåtter vi de aktuelle rd g tal: er våksthastighed r håjden pç tidspunktet 0. Dvs. PÇ tidspunktet 0 minutter vkser dyrets häjde med hastigheden mm pr. minut. 5. Frtlkning a ' nçr ikke er tiden. Frtlkning a ' vedr. nget ra virkeligheden når ikke er tiden. Der er et tegnet dyr pç skårmen. er dyrets häjde mçlt i mm, g er långden mçlt i mm. Det er plyst at 0. GÄr rede r betydningen a dette. Regel Se : Jeg har brugt blå arve r at pege på udskitningen. Du behéver ikke bruge arve. Hvis du glemmer rdet hastighed, så betyder sätningen at héjden i lébet a et minut vkser mm, g det er ikke det der er meningen. Jeg har brugt blå arve r at pege på udskitningen. Du behéver ikke bruge arve. NÇr er lig r, g vi lågger et lille tal til, sç lågges ca. 'r gange dette lille tal til y. I denne regel indsåtter vi de aktuelle rd g tal: NÇr längde lig 0, g vi lågger et lille tal til längde, sç lågges ca. gange det lille tal til håjde. 6. Frtlkninger a ' begrundet. Symblet ' 0 betyder tangenthåldning, sç ' 0 = betyder tangenthåldning er, sç pç tangenten gålder: nçr bliver stärre, sç vil y blive stärre. Fr når 0 er gra g tangent nåsten ens, sç nçr er ca. 0 g bliver stärre, * sç vil blive ca. stärre. ca. h l I ramme 4 betyder * : NÇr tidspunktet er ca. 0 minutter g der gçr Ét minut, vil dyrets häjde blive ca. mm stärre. dvs. våksthastigheden er ca. mm pr. minut. I ramme 5 betyder * : NÇr er når 0 g vi lågger et lille tal til, sç bliver der lagt ca. gange dette lille tal til y, dvs. nçr vi lågger et lille tal til långden, sç lågges gange dette lille tal til häjden. h Dierentialregning r B-niveau i h, udgave Side 05 Karsten Juul

5 7. Bestem ' med Nspire. 7a Fr at Ç Nspire til at dierentiere mht. bruger vi skabelnen : Udregnet a Nspire 7b Hvis rskrit indehlder cs eller sin: HÄjreklik pç matematikelt, vålg Attributter g såt vinkel til radianer. HUSK at skrive dette! 7c Fr at udregne ' skal vi Ärst bestemme rskriten r ' sm vist i 7a. SÇ indsåtter vi r i denne rskrit: d Symblet kan IKKE skrives ved hjälp a en brékstreg. d 7d Eksempel Dette er både krrekt matematiksprg g krrekt Nspiresprg. 7e Eksempel Her rtäller vi til Nspire g til läseren at m betyder '. := bevirker at kmmer til at betyde ln så vi kan skrive g i stedet r ln g ln. 8. Reglerne r at bestemme ' uden hjålpemidler. 8a k 0 nçr k er en knstant..eks. 4 0 g ln 0 8b k k.eks. g 4 4 8c a aa.eks. 4 4 g,6, 6 4,6 8d e er et bestemt tal ligesm. e,788. e er ikke den sådvanlige e-tast. Brug tegn-palet. e 8e ln e 8 k k Funktinen ln kaldes "den naturlige lgaritmeunktin". g ln.eks g g g 7 7.eks. ln h g g 8i Da.eks. 4 ln g kan vi udregne g med reglen a aa. PÇ de t nåste sider er der lere eksempler pç brug a reglerne 8a-8i. 7 Dierentialregning r B-niveau i h, udgave Side 05 Karsten Juul

6 9. Advarsler m regler ra ramme 8. a er IKKE e er IKKE a g 4 e g er IKKE ln er IKKE e er IKKE e e g er IKKE er IKKE 4. er IKKE. g ln g e er IKKE e er IKKE. e.. 0. Eksempel pç brug a regler ra ramme 8. En unktin er givet ved sç Bestem Her må vi Érst inde '. Dereter indsätter vi 4 r i det dierentierede udtryk Hera Çr vi Dierentialregning r B-niveau i h, udgave Side 4 05 Karsten Juul

7 . AlÅs tallet r pç igur. AlÅs tallet 4 pç iguren. SÇdan tänker vi Der stçr 4 i parentesen, sç vi skal vi inde det punkt pç graen hvr -krdinaten er 4. Der stçr, sç y-krdinaten er acit. 4 = y-krdinat til grapunkt med -krdinat 4 4. Se markering pç igur. Husk NÇr vi alåser et tal pç en igur, skal vi skrive tallet pç iguren der hvr vi har alåst det. Hvis der ikke er plads, kan vi lave en pil ra tallet til det sted hvr det er alåst.. AlÅs tallet 'r pç igur. AlÅs tallet '4 pç iguren. SÇdan tänker vi Der stçr 4 i parentesen, sç vi skal inde det punkt pç graen hvr -krdinaten er 4. Der stçr, sç tangenthåldningen er acit. '4 Vi tegner l. = håldningskeicient r tangent l i grapunkt med -krdinat 4. Vi alåser punkterne 4, g 6,7 pç l. l 's håldningskeicient er sç ' 4. 6,7 l 4, Dierentialregning r B-niveau i h, udgave Side 5 05 Karsten Juul

8 . AlÅs läsninger til =t pç igur. AlÅs läsningerne til ligningen 6 pç iguren SÇdan tänker vi Der stçr 6, sç vi skal inde de punkter pç graen hvr y-krdinaten er 6. Der stçr i parentesen, sç acit er -krdinaterne til de punkter vi har undet. Vi skal läse 6. er y-krdinaten til et grapunkt. Vi inder de grapunkter hvr y-krdinaten er 6. Vi alåser -krdinaten til hvert a disse punkter g Çr g 7. Se markeringen pç iguren. LÄsningerne til 6 er eller AlÅs läsninger til '=s pç igur. AlÅs läsningerne til ligningen 0 pç iguren. SÇdan tänker vi Der stçr 0, sç vi skal inde de punkter pç graen hvr tangenthåldningen er 0. Der stçr i parentesen, sç acit er -krdinaterne til de punkter vi har undet. Vi skal läse 0. er tangenthåldningen i et grapunkt. Vi inder det grapunkt hvr tangenthåldningen er 0. Vi alåser -krdinaten til dette punkt g Çr 5. Se markeringen pç iguren. LÄsningen til 0 er 5. Husk at tegne tangenten g skrive at det givne tal er denne linjes håldningskeicient. Dierentialregning r B-niveau i h, udgave Side 6 05 Karsten Juul

9 5. Bestem ligning r tangent.. Tangent Bestem ligning r tangent til gra r i punktet,. er plyst Se ramme 8., y g a er räringspunkt g håldning r tangent: er plyst y 4 Se c g ramme 6. Tangent: a Se d g ramme 9. y y a y 4 y 6 y 4 Tangenten til graen r i punktet, har ligningen y. GrÉnne kmmentarer er ikke en del a besvarelsen. Du skal IKKE bruge tallene g i andre pgaver. I stedet skal du bruge de tal du inder ved at dierentiere den givne unktin. Fra rmelsamlingen: Linjen gennem punktet, y med håldningskeicienten a har ligningen y = a + y. Kntrl a tangentligning med Nspire Vi angiver rskriten g -krdinaten, g Çr Nspire til at bestemme tangentligning, g Çr y. 6. Bestem punkt pç gra nçr vi kender -krdinat. En unktin er givet ved. Bestem y-krdinaten til det punkt pç graen r hvr -krdinaten er 5. Bevarelse y-krdinat = 5 Se c. y-krdinat = 5 5 da y-krdinat = 50 Det punkt pç graen r hvr -krdinaten er 5, har y-krdinaten 50. Dierentialregning r B-niveau i h, udgave Side 7 05 Karsten Juul

10 7. Bestem punkt pç gra nçr vi kender y-krdinat. Bevarelse. Bestem -krdinaten til hvert a de punkter pç graen r hvr y-krdinaten er 4. y-krdinat = 4 = 4 Se c. = 4 Nspire läser ligningen = 4 mht. g Çr = eller = De punkter pç graen r hvr y-krdinaten er 4, har -krdinaterne g. Nspire: 8. Bestem punkt pç gra nçr vi kender tangenthåldning. Bevarelse En unktin er givet ved. Bestem krdinatsåttet til hvert a de punkter pç graen r hvr tangenthåldningen er 9.. tangenthåldning = 9 ' = 9 Se d. 6 = 9 Se ramme 7 g 8. Nspire läser ligningen 6 = 9 mht. g Çr Nspire: = eller = y-krdinat = y-krdinat = Se c. y-krdinat = y-krdinat = y-krdinat = 4 y-krdinat = 0 De punkter pç graen hvr tangenthåldningen er 9, har krdinatsåttene, 4 g, 0. Dierentialregning r B-niveau i h, udgave Side 8 05 Karsten Juul

11 9. Bestem tangenthåldning. En unktin g er givet ved g. Bevarelse Bestem tangenthåldningen i gra-punktet med -krdinat. g tangenthåldning = g' Se d. tangenthåldning = + da g Se ramme 7 g 8. tangenthåldning = 4 TangenthÅldningen i gra-punktet med -krdinat er Har graen en tangent med håldningskeicienten a? Bevarelse En unktin g er givet ved g. Er der et punkt pç g-graen sç tangenten i dette punkt har håldningskeicienten?. g tangenthåldning = g' = Se d. + = Se ramme 7 g 8. = Dette er ikke pyldt r nget tal da et tal i anden aldrig er negativt. Der er ikke et punkt pç graen sç tangenten i dette punkt har håldningskeicienten. Dierentialregning r B-niveau i h, udgave Side 9 05 Karsten Juul

12 . Er linjen tangent? En linje er tangent til graen r en unktin i et punkt netp hvis der bçde gålder at y-krdinat er ens g tangenthåldning er ens. Dette er vist pç de tre igurer. ab yab ab yab ab yab y-krdinat er rskellig: ab y-krdinat er ens: ab y-krdinat er ens: ab TangenthÅldning er ens: a TangenthÅldn. er rskellig: a TangenthÅldning er ens: a Linjen er ikke tangent. Linjen er ikke tangent. Linjen er tangent. Er linjen l : y 9 7 tangent til graen r unktinen? l : y 9 7 g Hvis l er tangent til -gra: I räringspunktet skal -graens tangenthåldning l 's håldningskeicient sm er 9: 9 9 Nspire läser ligning 9 mht. g Çr eller våre lig Nspire: Hvis er y-krdinat pç -gra lig y-krdinat pç l lig sç y-krdinaterne er ikke ens, sç l er ikke tangent i grapunktet med -krdinat. Hvis er y-krdinat pç -gra lig y-krdinat pç l lig sç y-krdinaterne er ens, g vi vidste i rvejen at tangenthåldningerne er ens, sç l er tangent i grapunktet med -krdinat. Linjen l er tangent til graen r. Hvis du skriver i hånden, skal der parentes m - eter gangetegn. Dierentialregning r B-niveau i h, udgave Side 0 05 Karsten Juul

13 . Bestem räringspunkt r tangent. Linjen l : y 9 7 er tangent til graen r unktinen. Bestem krdinatsåttet til räringspunktet. l : y 9 7 er tangent til gra r. I räringspunktet skal -graens tangenthåldning våre lig l 's håldningskeicient sm er 9: 9 9 Nspire läser ligning 9 mht. g Çr eller Nspire: Hvis er y-krdinat pç -gra lig y-krdinat pç l lig sç y-krdinaterne er ikke ens, sç grapunkt med -krdinat er ikke räringspunkt. Hvis er y-krdinat pç -gra lig y-krdinat pç l lig sç y-krdinaterne er ens, g vi vidste i rvejen at tangenthåldningerne er ens, sç grapunkt med -krdinat er räringspunkt. KrdinatsÅttet til räringspunktet er,. Hvis du skriver i hånden, skal der parentes m - eter gangetegn. Dierentialregning r B-niveau i h, udgave Side 05 Karsten Juul

14 VÄksthastighed. VÅksthastighed. Figuren viser graen r en unktin hvr mm = antal dage eter at vi begyndte at mçle = plantens häjde i mm PÇ iguren ser vi at 0 0,5 g at mkring tidspunktet 0 dage vil plantens häjde blive ca. 0,5 mm häjere pr. dag. Vi siger at pç tidspunktet 0 dage eter at vi begyndte at mçle, er våksthastigheden lig 0,5 mm pr. dag. I et lille tidsum pç -aksen er graen nåsten sammenaldende med den tegnede tangent. Det er i dette tidsrum at våksthastigheden er ca. 0,5 mm pr. dag. dage 4. AlÅs stärrelsen nçr tidspunktet er kendt. Graen viser hvrdan temperaturen T er vkset. Tiden t mçles i sekunder. Bestem temperaturen pç tidspunktet sekunder. T / C t / s Vi inder grapunktet hvr t, g alåser at r dette punkt er T 4. Dette har vi vist pä skitsen. T / C PÇ tidspunktet sekunder er temperaturen 4 C. t / s Dierentialregning r B-niveau i h, udgave Side 05 Karsten Juul

15 5. AlÅs våksthastigheden nçr tidspunktet er kendt. Graen viser hvrdan temperaturen T er vkset. Tiden t mçles i sekunder. Bestem temperaturens våksthastighed pç tidspunktet sekunder. T / C t / s Vi inder grapunktet hvr t, g vi tegner tangenten l i dette punkt, g pç l alåser vi punkterne A,5 g B 7, 7. Alt dette har vi vist pä skitsen. T / C A l B l 's häldningskeicient er temperaturens väksthastighed pç tidspunktet sekunder. l 's håldningskeicient er t / s ,75 Temperaturens våksthastighed pç tidspunktet sekunder er 0,75 C pr. sekund. 6. AlÅs tidspunktet nçr stärrelsen er kendt. Graen viser hvrdan temperaturen T er vkset. Tiden t mçles i sekunder. Bestem det tidspunkt hvr temperaturen er 4 C. T / C t / s Vi inder grapunktet hvr T 4, g alåser at r dette punkt er t. Dette har vi vist pä skitsen. T / C Temperaturen er 4 C pç tidspunktet sekunder. t / s Dierentialregning r B-niveau i h, udgave Side 05 Karsten Juul

16 7. AlÅs tidspunktet nçr våksthastigheden er kendt. Graen viser hvrdan temperaturen T er vkset. Tiden t mçles i sekunder. Bestem det tidspunkt hvr temperaturens våksthastighed er 0,75 C pr. sekund. T / C Vi tegner en linje m sm har håldningskeicient 0,75, g vi lågger en lineal langs m g parallelrskyder til linjen er en tangent l til graen, g vi alåser at r räringspunktet er t. Alt dette har vi vist pä iguren. VÅksthastigheden r t er l 's håldningskeicient: PÇ tidspunktet sekunder er temperaturens våksthastighed T / C l m 0 t / s 5 0,75 C pr. sekund. 0 0,75 5 t / s 8. Udregn stärrelsen nçr tidspunktet er kendt. VÅgten a et dyr kan beskrives ved unktinen 56,0 40 hvr er dage g er vågten i gram. Bestem dyrets vågt pç tidspunktet 0 dage. 56,0 40 er dyrets vågt pç tidspunktet dage. Dyrets vågt er 4 gram pç tidspunktet 0 dage. Hvis du skriver i hånden, skal der ikke parentes m,0. 9. Udregn våksthastigheden nçr tidspunktet er kendt. VÅgten a et dyr kan beskrives ved unktinen 56,0 40 hvr er dage g er vågten i gram. Bestem den hastighed hvrmed dyrets vågt vkser pç tidspunktet 0 dage. 56,0 40 er dyrets vågt pç tidspunktet dage. PÇ tidspunktet 0 dage vkser dyrets vågt med hastigheden Hvis du skriver i hånden, skal der ikke parentes m,0.,0 gram pr. dag. Dierentialregning r B-niveau i h, udgave Side 4 05 Karsten Juul

17 0. Udregn tidspunktet nçr stärrelsen er kendt. VÅgten a et dyr kan beskrives ved unktinen 56,0 40 hvr er dage g er vågten i gram. Bestem det tidspunkt hvr dyrets vågt er 500 gram. 56,0 40 er dyrets vågt pç tidspunktet dage. vågt = 500 = , = 500 Nspire läser ligning 56, mht. g Çr 77, 56. Dyrets vågt er 500 gram pç tidspunktet 78 dage.. Udregn tidspunktet nçr våksthastigheden er kendt. VÅgten a et dyr kan beskrives ved unktinen 56,0 40 hvr er dage g er vågten i gram. Bestem det tidspunkt hvr dyrets vågt vkser med hastigheden 4 gram pr. dag. 56,0 40 er dyrets vågt pç tidspunktet dage. Vi Çr hastighed = 4 ' = 4 Se e.,0895,0 = 4 Nspire läser ligningen,0895,0 4 PÇ tidspunktet Hvis du skriver i hånden, skal der ikke parentes m,0. mht. g Çr 64, dage vkser dyrets vågt med hastigheden 4 gram pr. dag.. Du skal ikke altid dierentiere r at inde hastighed! Et linjestykkes långde Åndres sçdan at = hvr er långden pç tidspunktet. Hvr hurtigt Åndres långden pç tidspunktet? er långden pç tidspunktet. =. ' =. ' = = 6. PÇ tidspunktet Åndres långden med hastigheden 6. Et linjestykkes långde Åndres sçdan at = hvr er den hastighed sm långden Åndres med pç tidspunktet. Hvr hurtigt Åndres långden pç tidspunktet? er den hastighed sm långden Åndres med pç tidspunktet. =. = = 9. PÇ tidspunktet Åndres långden med hastigheden 9. Dierentialregning r B-niveau i h, udgave Side 5 05 Karsten Juul

18 . Vksende g atagende. Mntni Figuren viser en interaktiv igur ra en cmputerskårm. NÇr vi tråkker -punktet hen pç et tal kan vi alåse unktinsvårdien. PÇ iguren kan vi se: NÇr vi tråkker gennem tallene ra g med til g med 9, vil NÇr vi tråkker gennem tallene ra g med 9 til g med 4, vil hele tiden blive stärre. hele tiden blive mindre. 4 Sm bekendt siger man: er vksende i intervallet 9 er atagende i intervallet 9 4 Er bçde atagende g vksende i 9? Nej, vi taler ikke m at en unktin er vksende i Ét tal. Vi taler m at en unktin er vksende i et interval. Der skal våre mindst t y-vårdier hvis vi skal kunne tale m at y er blevet stärre eller mindre. At er vksende i intervallet 9 betyder at nçr vi i intervallet vålger stärre g stärre -vårdi, sç bliver y-vårdien stärre g stärre. At er atagende i intervallet 9 4 betyder at nçr vi i intervallet vålger stärre g stärre -vårdi, sç bliver y-vårdien mindre g mindre. Dierentialregning r B-niveau i h, udgave Side 6 05 Karsten Juul

19 4. Hvad er mntnirhld? I ngle pgaver stçr at vi skal bestemme mntnirhldene r en unktin. Det betyder at vi skal skrive i hvilke -intervaller unktinen atager, g i hvilke -intervaller unktinen vkser. PÇ iguren er vist graen r et tredjegradsplynmium. Mntnirhldene kan vi skrive sçdan: er vksende i intervallet atagende i intervallet vksende i intervallet P, 4 Q, 5. Regel r at inde mntnirhld. Hvis ' er psitiv * tangenthåldningen er psitiv r hvert tal i intervallet 4. ** er vksende i intervallet 4. Hvis man präver at tegne graen sçdan at *, men ikke ** gålder, sç bliver man verbevist m at det ikke kan lade sig gäre. Man kan bevise at hvis * gålder, sç gålder ** gsç. Hvis der er undtagelser ra at ' er psitiv Funktinen pç nederste igur er vksende selv m der er Ét punkt hvri tangenthåldningen er 0. Selv m der er enkelte undtagelser ra *, kan man slutte at ** gålder. SÄtning 5. Hvis er psitiv r alle i et interval, evt. med endeligt mange undtagelser, sç er vksende i intervallet. Hvis er negativ r alle i et interval, evt. med endeligt mange undtagelser, sç er atagende i intervallet. Dierentialregning r B-niveau i h, udgave Side 7 05 Karsten Juul

20 6. Bestem mntnirhld. Bestem mntnirhldene r unktinen udregnet a Nspire kan kun skite rtegn i de vårdier a hvr 0, dvs. hvr 0. Nspire läser ligningen 0 mht. g Çr eller 0 : Disse t tal deler tallinjen p i tre intervaller. I hvert a disse vålger vi et tal g udregner : 9 sç negativ r sç psitiv r 0 sç psitiv r 0 A dette Älger at mntnirhldene er Älgende: er atagende i intervallet er vksende i intervallet Husk at kntrllere at tallene der agränser intervallerne, er de tal du ik sm lésning til '=0. Oversigt: : 0 : 0 0 : Dierentialregning r B-niveau i h, udgave Side 8 05 Karsten Juul

21 7. GÄr rede r at er vksende eller at er atagende. En unktin er givet ved Bestem 4 4 e. g gär rede r at er vksende. 4 e 4 Da 4 e altid er psitiv, er psitiv, g sç er vksende. 4 BemÄrkning: Hvis e 4, er 4e. 4 Da e altid er psitiv, er negativ, sç er atagende. 8. Tegn -gra ud ra '-rtegn m.m. Tegn r 6 0 en mulig gra r en unktin der pylder at 6 g 8 g hvr rtegn g nulpunkter r ' er sm vist pç tallinjen: NÇr : : m n, gçr -graen gennem punktet m, n. er atagende i -intervaller hvr er vksende i -intervaller hvr er negativ. er psitiv. Fr de -vårdier hvr er 0, har graen vandret tangent. Dierentialregning r B-niveau i h, udgave Side 9 05 Karsten Juul

22 9. Maksimum g minimum. Ekstrema g Maksimum r er den stärste y-krdinat til et punkt pç -graen. Vi ser at maksimum r er. Minimum r er den mindste y-krdinat til et punkt pç -graen. Vi ser at minimum r er. Graen r g er en parabel hvr grenene gçr uendelig häjt p. Der er ikke nget punkt pç graen der har den stärste y-krdinat da man altid kan asåtte et punkt häjere ppe pç graen, sç unktinen g har ikke nget maksimum. NÇr vi skriver hvad maksimum eller minimum er, sç skriver vi nrmalt gsç hvad punktets -krdinat er: har maksimum r 4 g maksimum er y har minimum r g minimum er y Undertiden er det skrevet krtere,.eks: har maksimum i 4 g maksimum er. har minimum i g minimum er. StÄrstevÅrdi g mindstevårdi r en unktin er det samme sm hhv. maksimum g minimum. I ngle pgaver stçr at vi skal bestemme ekstrema. Dette betyder at vi skal inde maksimum hvis der er et maksimum, g minimum hvis der er et minimum. Ekstremum er en Ållesbetegnelse r maksimum g minimum. Ordet ekstremum hedder i lertal ekstremummer eller ekstrema. Det er den sidste rm der bruges i eksamenspgaver. Dierentialregning r B-niveau i h, udgave Side 0 05 Karsten Juul

23 40. Bestem med ' den vårdi a hvr y er stärst. 6 HÄjden a en igur er givet ved 86, 9, 5 hvr er igurens bredde, g er igurens häjde. Bestem bredden sç häjden bliver stärst mulig. 6 86, 9, hvr igurs bredde g häjde er g. 5 Vi bestemmer mntnirhldene r : udregnet a Nspire kan kun skite rtegn i de vårdier a hvr 6 0, dvs. hvr 0. 5 Nspire läser ligningen 0 mht. r 9 g Çr : Vi udregner i en -vårdi pç hver side a : 6 4 sç er psitiv r sç er negativ r 9. 4 Hera slutter vi Älgende mntnirhld: er vksende i intervallet g er atagende i intervallet 9. Vi bestemmer bredden sç häjden er stärst mulig: 5 A mntnirhldene Älger: er stärst mulig nçr, dvs. HÄjden bliver stärst mulig nçr bredden er. Dierentialregning r B-niveau i h, udgave Side 05 Karsten Juul

24 4. Bestem med ' den stärste vårdi a y. 6 HÄjden a en igur er givet ved 86, 9, 5 hvr er igurens bredde, g er igurens häjde. Bestem den stärst mulige häjde. 6 86, 9, hvr igurs bredde g häjde er g. 5 Vi bestemmer mntnirhldene r : udregnet a Nspire kan kun skite rtegn i de vårdier a hvr 6 0, dvs. hvr 0. 5 Nspire läser ligningen 0 mht. r 9 g Çr : Vi udregner i en -vårdi pç hver side a : 6 4 sç er psitiv r sç er negativ r 9. 4 Hera slutter vi Älgende mntnirhld: er vksende i intervallet g er atagende i intervallet 9. Vi bestemmer den stärst mulige häjde: 5 6 A mntnirhldene Älger: er stärst mulig nçr Den stärst mulige häjde er 74. Dierentialregning r B-niveau i h, udgave Side 05 Karsten Juul

25 4. Bestem med ' den vårdi a hvr y er mindst. Dette gäres sm vist i ramme 40 brtset ra at mntnirhldene nu er atagende-vksende i stedet r vksende-atagende, g at vi nu skriver mindst i stedet r stärst. 4. Bestem med ' den mindste vårdi a y. Dette gäres sm vist i ramme 4 brtset ra at mntnirhldene nu er atagende-vksende i stedet r vksende-atagende, g at vi nu skriver mindst i stedet r stärst. 44. Bestem ekstrema. NÇr der stçr Bestem ekstrema, sç skal vi bestemme minimum hvis der er et minimum, g vi skal bestemme maksimum hvis der er et maksimum. Se ramme 4 g GÄr rede r at unktinen har et minimum eller maksimum. Metde GÄr rede r at unktinen 9, 0 har et minimum. Vi bestemmer mntnirhld r med metden ra ramme 6. Hereter skriver vi: Da er atagende i intervallet 0 g vksende i intervallet kan vi slutte at har minimum r. Dierentialregning r B-niveau i h, udgave Side 05 Karsten Juul

26 46. Lkalt maksimum g minimum. P Figuren viser graen r en unktin. I de t ender rtsåtter graen uendelig häjt p. P er grapunktet med -krdinat 0 g y-krdinat 5. Vi kan vålge et stykke a graen mkring P sçdan at 5 er mindste y-krdinat pç dette stykke. Vi siger derr at har lkalt minimum r 0 g det lkale minimum er y 5. 5 er ikke minimum da der andre steder pç graen er y-krdinater sm er mindre. Hvis Q, y er et punkt pç graen r en unktin, g vi kan vålge et stykke a graen mkring Q sçdan at y er mindste y-krdinat pç dette stykke, sç siger vi at unktinen har lkalt minimum r g det lkale minimum er y y Hvis Q, y er et punkt pç graen r en unktin, g vi kan vålge et stykke a graen mkring Q sçdan at y er stärste y-krdinat pç dette stykke, sç siger vi at unktinen har lkalt maksimum r g det lkale maksimum er y y Om unktinen ra iguren venr gålder: har lkalt minimum r 0 g det lkale minimum er y 5. har lkalt maksimum r 40 g det lkale maksimum er y 5. har lkalt minimum r 70 g det lkale minimum er y 5. har minimum r 70 g minimum er y 5. Undertiden er det skrevet krtere,.eks: har minimum i 70 g minimum er 5. har lkalt maksimum i 40 g det lkale maksimum er 5. I ngle pgaver stçr at vi skal bestemme lkale ekstrema. Dette betyder at vi skal inde bçde de lkale minimummer g de lkale maksimummer. Ordet ekstremum hedder i lertal ekstremummer eller ekstrema. Det er den sidste rm der bruges i eksamenspgaver. Dierentialregning r B-niveau i h, udgave Side 4 05 Karsten Juul

27 47. Bestem lkale ekstrema. Bestem de lkale ekstrema r unktinen Vi bestemmer mntnirhldene r : ' = udregnet a Nspire kan kun skite rtegn i de vårdier a hvr 0, dvs. hvr 8 0. Nspire läser ligningen 8 0 mht. g Çr = 6 eller =. 6 g deler tallinjen p i tre intervaller. I hvert a disse vålger vi et tal g udregner : Da er psitiv r 6 Da er negativ r 6 Da er psitiv r A dette Älger at mntnirhldene er Älgende: er vksende i intervallet 6, atagende i intervallet 6 g vksende i intervallet. Vi bestemmer de lkale ekstrema: A mntnirhldene Älger: der er lkalt maksimum r = 6 g lkalt minimum r = har lkalt maksimum r = 6 g det lkale maksimum er y = 0 4 har lkalt minimum r = g det lkale minimum er y = 0 : 6 ': : vks at vks 4 Dierentialregning r B-niveau i h, udgave Side 5 05 Karsten Juul

28 Beviser 48. Dierentiabel. Graen r har et knåk i punktet med -krdinat. Derr har graen ikke ngen tangent i dette punkt. Tangenten er en linje der Älger graen når punktet. Funktinen har ikke ngen dierentialkvtient i, r dierentialkvtienten er tangentens håldningskeicient, g der er ikke ngen tangent. Der gålder altsç at ikke eksisterer. Graen r g har en ldret tangent i punktet med -krdinat. En ldret linje har ikke ngen håldningskeicient. Funktinen g har ikke ngen dierentialkvtient i, r dierentialkvtienten er tangentens håldningskeicient, g tangenten har ikke ngen håldningskeicient. g Der gålder altsç at g ikke eksisterer. Deinitin 48. Man siger at en unktin er dierentiabel i et tal hvis unktinen har en dierentialkvtient i dvs. hvis eksisterer. Dierentialregning r B-niveau i h, udgave Side 6 05 Karsten Juul

29 49. GrÅnsevÅrdi. 49. Udtrykket u 6 kan vi ikke regne ud r da nåvneren bliver 0. Vi kan udregne u r vårdier a sm er tåt pç : Ved at vålge vårdien a tilstråkkelig tåt pç kan vi Ç vårdien a u sç tåt det skal våre pç 6. Vi siger: gränsevärdien r gçende md a u er lig 6 6 Med symbler skriver vi dette sçdan: lim 6 Metde 49.,98,999,00,0 u 5,94 5,997 6,00 6,06 Vi kan regne s rem til denne grånsevårdi ved at bruge Älgende metde: Vi aktriserer bräkens tåller g rkrter bräken. SÇ Çr vi et udtryk sm vi kan udregne nçr er : 6 Fr er 6 sç lim lim g lim 6 Regel 49. lim k udtryk k lim udtryk nçr k er en knstant Regel 49.4 lim udtryk udtryk lim udtryk lim udtryk 49.5 Udregning a grånsevårdi med Nspire. HÄjden a stlpen er e h hvr er det tal stlpen stçr i. PÇ iguren ser det ud til at stlpens häjde nårmer sig nçr vi tråkker stlpen hen md 0, hvr stlpen ikke eksisterer. Vi Çr Nspire til at udregne grånsevårdien a häjden r gçende md 0 : e lim 0 PÅ Nspire kan vi välge gränsevärdi-skabelnen på skabelnpaletten. Skabelnen ser sådan ud: Vi behéver ikke skrive nget i det tredje elt. Dierentialregning r B-niveau i h, udgave Side 7 05 Karsten Juul

30 50. Vi kan inde en dierentialkvtient ved at udregne en grånsevårdi. Hvis er dierentiabel i, sç gålder 50. lim Begrundelse r 50.: y t m t er tangent til -graen. ' = t 's håldk. Dette er deinitinen pç dierentialkvtient. Vi tegner en linje m der skårer -graen i punkterne med -krdinater g. y-krdinater til disse punkter er g. SÇ m 's håldk. = NÇr nårmer sig til vil m 's håldk. nårme sig til t 's håldk., sç t 's håldk. = lim m ' s håldk. = lim iälge rmlen a y y. Vi har nu indset at bçde venstre g häjre side i ligningen i 50. er lig t 's håldk., sç ligningen gålder. Dierentialregning r B-niveau i h, udgave Side 8 05 Karsten Juul

Differentialregning. for A-niveau i stx udgave Karsten Juul

Differentialregning. for A-niveau i stx udgave Karsten Juul Dierentialregning r A-niveau i st udgave 4 t s 07 Karsten Juul Dierentialkvtient Tangent g räringspunkt FunktinsvÅrdi g dierentialkvtient Frtlkning a ' vedr gra 4 Frtlkning a ' nçr er tiden 5 Frtlkning

Læs mere

Differentialregning. for gymnasiet og hf. 2010 Karsten Juul

Differentialregning. for gymnasiet og hf. 2010 Karsten Juul Dierentialregning r gymnasiet g h t s 1 010 Karsten Juul 1. GrundlÄggende typer a pgaver med graer...1. Regel m tilväkster r lineäre sammenhänge.... SÅdan kan vi inde häldningskeicienten ud ra lineär gra...

Læs mere

Differential- regning for gymnasiet og hf

Differential- regning for gymnasiet og hf Dierential- regning r gymnasiet g h Udgave t s 0 Karsten Juul HÄtet Åvelser til hätet Dierentialregning r gymnasiet g h, udgave. gér det nemt at supplere klasseundervisningen med elevers selvständige arbejde

Læs mere

Integralregning. for B-niveau i stx. 2015 Karsten Juul

Integralregning. for B-niveau i stx. 2015 Karsten Juul Integralregning or B-niveau i st 05 Karsten Juul Stikordsregister A areal mellem gra og -akse6, 7, 8, 9 areal mellem to graer0, arealunktion, 5, 6 B bestemt integral 5 bestemt integral med Nspire5 bestemt

Læs mere

Differentialligninger

Differentialligninger Differentialligninger for A-niveau i st, udgave SkÄrmbillede fra TI-Nspire 015 Karsten Juul Differentialligninger for A-niveau i st, udgave 1 Hvad er en differentialligning? 1a OplÄg til differentialligninger1

Læs mere

Øvelser. Differentialregning for gymnasiet og hf Karsten Juul. til hæftet

Øvelser. Differentialregning for gymnasiet og hf Karsten Juul. til hæftet Øvelser til hæftet Differentialregning fr gymnasiet g hf f () t s f f () 00 Karsten Juul Øvelserne i dette hæfte får eleverne til at pdage hvad det er der fregår i differentialregningen Dette pnår man

Læs mere

Differentialligninger

Differentialligninger Differentialligninger for A-niveau i st SkÄrmbillede fra TI-Nspire 013 Karsten Juul Differentialligninger for A-niveau i st 1 OplÄg til differentialligninger1 Hvad er en differentialligning?1 3 UndersÅg

Læs mere

Integralregning. 1. del. 2006 Karsten Juul. M l

Integralregning. 1. del. 2006 Karsten Juul. M l Integralregning del () M l () 6 Karsten Juul Indhold Stamunktion OplÄg om stamunktion Deinition a stamunktion 6 Kontrol a stamunktion 9 SÄtning om stamunktionerne til en unktion Deinition a ubestemt integral

Læs mere

Integralregning. med Ävelser. for B-niveau i gymnasiet og hf. 2011 Karsten Juul

Integralregning. med Ävelser. for B-niveau i gymnasiet og hf. 2011 Karsten Juul Integralregning med Ävelser or B-niveau i gymnasiet og h 0 Karsten Juul Dette håte gennemgçr integralregningen or B-niveau uden at gäre det mere indviklet end kråvet Évelserne giver eleverne et kendskab

Læs mere

sammenhänge for gymnasiet og hf 2010 Karsten Juul

sammenhänge for gymnasiet og hf 2010 Karsten Juul LineÄre sammenhänge for gymnasiet og hf y 0,5x 2,5 200 Karsten Juul I dette häfte har jeg gjort meget for at teksten er skrevet sçdan at du nemmere kan fç overblik over reglerne og den sammenhäng der er

Læs mere

sammenhänge 2008 Karsten Juul

sammenhänge 2008 Karsten Juul LineÄre sammenhänge y x 3 3 008 Karsten Juul Dette häfte er en fortsättelse af häftet "VariabelsammenhÄnge, 008". Indhold 8. Hvad er en lineär sammenhäng?... 3 9. Hvordan ser grafen ud for en lineär sammenhäng?...

Læs mere

Start pä ny 3D-figur. Tilpas koordinatsystem. Tegn trekant

Start pä ny 3D-figur. Tilpas koordinatsystem. Tegn trekant Intro til nspire_3d.tns Dokumentet nspire_3d.tns gär det meget hurtigere at tegne figurer til gymnasiets rumgeometri. Nyeste version kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm. Start pä ny 3D-figur 1)

Læs mere

Kort om. Andengradspolynomier. 2011 (2012) Karsten Juul

Kort om. Andengradspolynomier. 2011 (2012) Karsten Juul Kort om Anengraspolynomier 11 (1) Karsten Juul Dette häfte ineholer pensum i anengraspolynomier for gymnasiet og hf Inhol 1. Definition Anengraspolynomium... 1. Eksempel Hvilke tal er a, b og c lig?...

Læs mere

for C-niveau i stx 2017 Karsten Juul

for C-niveau i stx 2017 Karsten Juul for C-niveau i stx 75 50 25 2017 Karsten Juul Indholdsfortegnelse Indledning 1 Hvad er deskriptiv statistik?...1 2 Hvad er grupperede og ugrupperede data?...1 Ugrupperede data 3 Hvordan udregner vi middeltal

Læs mere

Integralregning. for A-niveau i stx, udgave Karsten Juul

Integralregning. for A-niveau i stx, udgave Karsten Juul Integrlregning or A-niveu i st, udgve 5 Krsten Juul Stmunktion (uestemt integrl) Hvd er en stmunktion? UndersÄg om g( er stmunktion til ( GÄr rede or t g( er stmunktion til ( En unktion hr mnge stmunktioner

Læs mere

Trekantsberegning 25 B. 2009 Karsten Juul

Trekantsberegning 25 B. 2009 Karsten Juul Trekantsberegning 7,0 3 5 009 Karsten Juul ette häfte indeholder den del af trekantsberegningen som skal kunnes på - niveau i gymnasiet (stx) og hf ra sommer 0 kräves mere remstillingen undgår at forudsätte

Læs mere

for matematik på C-niveau i stx og hf

for matematik på C-niveau i stx og hf VariabelsammenhÄnge generelt for matematik på C-niveau i stx og hf NÅr x 2 er y 2,8. 2014 Karsten Juul 1. VariabelsammenhÄng og dens graf og ligning 1.1 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1):

Læs mere

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf f f ( ),8 014 Karsten Juul 1 Funktion og dens graf, forskrift og definitionsmängde 11 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1): -akse

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del f(5) () f f () f ( ) I 5 () 006 Karsten Juul Indhold 6 Kontinuert funktion 7 Monotoniforhold7 8 Lokale ekstrema44 9 Grænseværdi5 Differentialregning del udgave 006 006 Karsten

Læs mere

Deskriptiv statistik. for C-niveau i hf. 2015 Karsten Juul

Deskriptiv statistik. for C-niveau i hf. 2015 Karsten Juul Deskriptiv statistik for C-niveau i hf 75 50 25 2015 Karsten Juul DESKRIPTIV STATISTIK 1.1 Hvad er deskriptiv statistik?...1 1.2 Hvad er grupperede og ugrupperede data?...1 1.21 Eksempel pä ugrupperede

Læs mere

Vejledning til Plakater

Vejledning til Plakater Vejledning til Plakater Når du er lgget ind, finder du plakatskabelnerne ved at klikke skabelner g derefter Plakat. Under teksten plakater finder du tre ikner. Det er skabelner til tre frskellige plakater:

Læs mere

Skabelon til funktionsundersøgelser

Skabelon til funktionsundersøgelser Skabelon til funktionsundersøgelser Nedenfor en angivelse af fremgangsmåder ved funktionsundersøgelser. Ofte vil der kun blive spurgt om et udvalg af nævnte spørgsmål. Syntaksen i løsningerne vil være

Læs mere

Funktioner generelt. for matematik pä B-niveau i stx. 2013 Karsten Juul

Funktioner generelt. for matematik pä B-niveau i stx. 2013 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B-niveau i st f f ( ),8 0 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B-niveau i st Funktion, forskrift, definitionsmångde Find forskrift StÇrste og mindste vårdi

Læs mere

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul Asymptoter for standardforsøgene i matematik i gymnasiet 2003 Karsten Juul Indledning om lodrette asymptoter Lad f være funktionen bestemt ved =, 2. 2 Vi udregner funktionsværdierne i nogle -værdier der

Læs mere

Kom i gang-opgaver til differentialregning

Kom i gang-opgaver til differentialregning Kom i gang-opgaver til differentialregning 00 Karsten Juul Det er kortsigtet at løse en opgave ved blot at udskifte tallene i en besvarelse af en tilsvarende opgave Dette skyldes at man så normalt ikke

Læs mere

sammenhänge for C-niveau i stx 2013 Karsten Juul

sammenhänge for C-niveau i stx 2013 Karsten Juul LineÄre sammenhänge for C-niveau i stx y 0,5x 2,5 203 Karsten Juul : OplÄg om lineäre sammenhänge 2 Ligning for lineär sammenhäng 2 3 Graf for lineär sammenhäng 2 4 Bestem y når vi kender x 3 5 Bestem

Læs mere

for matematik pä B-niveau i hf

for matematik pä B-niveau i hf for matematik pä B-niveau i hf 75 50 5 016 Karsten Juul GRUPPEREDE DATA 1.1 Hvad er deskriptiv statistik?...1 1. Hvad er grupperede og ugrupperede data?...1 1.1 Eksempel pä ugrupperede data...1 1. Eksempel

Læs mere

Eksempler på problemløsning med differentialregning

Eksempler på problemløsning med differentialregning Eksempler på problemløsning med differentialregning 004 Karsten Juul Opgave 1: Monotoniforhold = 1+, x 3 3 x Bestem monotoniforholdene for f Besvarelse af opgave 1 Først differentierer vi f : (3 x) (3

Læs mere

Start pä matematik. for gymnasiet og hf. 2010 (2012) Karsten Juul

Start pä matematik. for gymnasiet og hf. 2010 (2012) Karsten Juul Start pä matematik for gymnasiet og hf 2010 (2012) Karsten Juul Til eleven Brug blyant og viskelåder när du skriver og tegner i håftet, sä du fär et håfte der er egnet til jåvnligt at slä op i under dit

Læs mere

GrundlÄggende variabelsammenhänge

GrundlÄggende variabelsammenhänge GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i stx 2016 Karsten Juul LineÄr sammenhäng og regler for ligevägt 1. Regler om ligevägt... 1 2. Eksempler med regler for ligevägt... 2 3. OplÄg om lineäre

Læs mere

Differentialregning. Et oplæg Karsten Juul L P

Differentialregning. Et oplæg Karsten Juul L P Differentialregning Et oplæg L P A 2009 Karsten Juul Til eleven Dette hæfte kan I bruge inden I starter på differentialregningen i lærebogen Det meste af hæftet er små spørgsmål med korte svar Spørgsmålene

Læs mere

GrundlÄggende. Bogstavregning. for stx og hf Karsten Juul

GrundlÄggende. Bogstavregning. for stx og hf Karsten Juul GrundlÄggende Bogstavregning for st og hf 01 Karsten Juul 1. LigevÄgt bevares når vi träkker fra begge sider... 1. LigevÄgt bevares IKKE når vi träkker fra venstre side... 1. LigevÄgt bevares når vi dividerer

Læs mere

SMART Notebook 11.1 Math Tools

SMART Notebook 11.1 Math Tools SMART Ntebk 11.1 Math Tls Windws perativsystemer Brugervejledning Prduktregistrering Hvis du registrerer dit SMART-prdukt, giver vi dig besked, når der er nye funktiner g sftwarepgraderinger. Registrer

Læs mere

Differential- ligninger

Differential- ligninger Differential- ligninger Et oplæg 2007 Karsten Juul Dette hæfte er tænkt brugt som et oplæg der kan gennemgås før man går i gang med en lærebogs fremstilling af emnet differentialligninger Læreren skal

Læs mere

Projekt 4.12 Definition og differentiation af sammensat funktion og omvendt funktion

Projekt 4.12 Definition og differentiation af sammensat funktion og omvendt funktion ISBN 978-87-766-498- Projekter: Kapitel 4. Projekt 4. Deinition og dierentiation a sammensat unktion og omvendt unktion Projekt 4. Deinition og dierentiation a sammensat unktion og omvendt unktion Materialerne

Læs mere

Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient

Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient N 0,35N 0, 76t 2010 Karsten Juul Til eleven Dette hæfte giver dig mulighed for at arbejde sådan med nogle begreber at der er god mulighed for at der

Læs mere

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul Lineære sammenhænge Udgave 2 y = 0,5x 2,5 2009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Variabelsammenhænge, 2. udgave 2009". Indhold 1. Lineære sammenhænge, ligning og graf... 1 2. Lineær

Læs mere

Kvalitetsstandard for støtte i eget hjem ( 85) Høringsmateriale 1.-26. juni 2015

Kvalitetsstandard for støtte i eget hjem ( 85) Høringsmateriale 1.-26. juni 2015 11 Kvalitetsstandard fr støtte i eget hjem ( 85) Høringsmateriale 1.-26. juni 2015 1 Frmålet med kvalitetsstandarden En kvalitetsstandard er et andet rd fr serviceniveau. Den beskriver indhldet g mfanget

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

REMOTE BACKUP. Skyfillers Kundemanual. Opsætning... 2. Installation... 2 Log ind... 3 Backup-sets... 4. Datasikring... 7

REMOTE BACKUP. Skyfillers Kundemanual. Opsætning... 2. Installation... 2 Log ind... 3 Backup-sets... 4. Datasikring... 7 REMOTE BACKUP Skyfillers Kundemanual INDHOLD Opsætning... 2 Installatin... 2 Lg ind... 3 Backup-sets... 4 Datasikring... 7 Online datasikring... 7 Lkal datasikring... 7 Gendannelse af data... 9 Gendannelse

Læs mere

Start-mat. for stx og hf Karsten Juul

Start-mat. for stx og hf Karsten Juul Start-mat for stx og hf 0,6 5, 9 2017 Karsten Juul Start-mat for stx og hf 2017 Karsten Juul 1/8-2017 (7/8-2017) Nyeste version af dette hæfte kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm. Hæftet må benyttes

Læs mere

Bogstavregning. En indledning for stx og hf. 2008 Karsten Juul

Bogstavregning. En indledning for stx og hf. 2008 Karsten Juul Bogstavregning En indledning for stx og hf 2008 Karsten Juul Dette hæfte træner elever i den mest grundlæggende bogstavregning (som omtrent springes over i lærebøger for stx og hf). Når elever har lært

Læs mere

Differentialregning Infinitesimalregning

Differentialregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Differentialregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne differentialregning, og anskuer dette som et derligere redskab til vækst og funktioner. Noterne er supplement til kapitel

Læs mere

GrundlÄggende funktioner

GrundlÄggende funktioner GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf Udgve 014 Krsten Juul GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf Procent 1. Procenter på en ny måde... 1. VÄkstrte.... Gennemsnitlig procent... LineÄr väkst 4.

Læs mere

PeterSørensen.dk : Differentiation

PeterSørensen.dk : Differentiation PeterSørensen.dk : Differentiation Betydningen af ordet differentialkvotient...2 Sekant...2 Differentiable funktioner...3 Bestemmelse af differentialkvotient i praksis ved opgaveløsning...3 Regneregler:...3

Læs mere

for matematik pä B-niveau i hf

for matematik pä B-niveau i hf for matematik pä B-niveau i hf 014 Karsten Juul TEST 1 StikprÅver... 1 1.1 Hvad er populationen?... 1 1. Hvad er stikpråven?... 1 1.3 Systematiske fejl ved valg af stikpråven.... 1 1.4 TilfÇldige fejl

Læs mere

Simple udtryk og ligninger

Simple udtryk og ligninger Simple udtryk og ligninger 009 Karsten Juul Til eleven Brug blyant og viskelæder når du skriver og tegner i hæftet, så du får et hæfte der er egenet til jævnligt at slå op i under dit videre arbejde med

Læs mere

BILAG 1: Studieplanstilføjelse 2e - Skriftlighed i studieretningen

BILAG 1: Studieplanstilføjelse 2e - Skriftlighed i studieretningen BILAG 1: Studieplanstilføjelse 2e - Skriftlighed i studieretningen MÅL FOR ELEVERNES ARBEJDE Fælles fkusmråder mht. udviklingen af elevernes faglige kmpetencer herunder særligt den skriftlige! Overrdnet

Læs mere

Ligninger med Mathcad

Ligninger med Mathcad Ligninger med Mathcad for standardforsøget for B-niveau Udgave.02 Eksemplerne viser hvordan man kan finde frem til facit. Eksemplerne viser ikke hvordan besvarelsen kan formuleres. Der forudsættes et vist

Læs mere

GrundlÄggende variabelsammenhänge

GrundlÄggende variabelsammenhänge GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i hf 2014 Karsten Juul LineÄr sammenhäng 1. OplÄg om lineäre sammenhänge... 1 2. Ligning for lineär sammenhäng... 1 3. Graf for lineär sammenhäng... 2 4.

Læs mere

Nogle emner fra. Deskriptiv Statistik. 2011 Karsten Juul

Nogle emner fra. Deskriptiv Statistik. 2011 Karsten Juul Nogle emner fra Deskriptiv Statistik 75 50 25 2011 Karsten Juul Indhold Hvad er deskriptiv statistik?... 1 UGRUPPEREDE OBSERVATIONER Hyppigheder... 1 Det samlede antal observationer... 1 Middeltallet...

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01

Læs mere

BRUGERUNDERSØGELSE 2015 PLEJEBOLIG KÆRBO

BRUGERUNDERSØGELSE 2015 PLEJEBOLIG KÆRBO BRUGERUNDERSØGELSE PLEJEBOLIG KÆRBO Sundheds- g Omsrgsfrvaltningen Brugerundersøgelse : Plejeblig 1 Brugerundersøgelse Plejeblig Brugerundersøgelsen er udarbejdet af Epinin P/S g Afdeling fr Data g Analyse,

Læs mere

11. Funktionsundersøgelse

11. Funktionsundersøgelse 11. Funktionsundersøgelse Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen,Matematik for adgangskursus, B-niveau 2, 2. udg. 11.1 Generelt om funktionsundersøgelse Formålet med

Læs mere

Differentialregning ( 16-22)

Differentialregning ( 16-22) Differentialregning ( 16-22) 16-22. Side 1 Opgaver med rødt nummer er opgaver der går ud over B-niveauet. 0401 Figuren viser grafen for en funktion f. a) Find ud fra aflæsning på figuren f (3) og f (5)

Læs mere

FACITLISTE TIL KAPITEL 3 ØVELSER ØVELSE 1. a) Voksende. b) Voksende. c) Konstant. d) Aftagende ØVELSE 2. a) f aftagende i f voksende i

FACITLISTE TIL KAPITEL 3 ØVELSER ØVELSE 1. a) Voksende. b) Voksende. c) Konstant. d) Aftagende ØVELSE 2. a) f aftagende i f voksende i 1 af 41 MATEMATIK B hhx Udskriv siden FACITLISTE TIL KAPITEL 3 ØVELSER ØVELSE 1 Voksende Voksende Konstant Aftagende ØVELSE 2 f aftagende i f aftagende i f aftagende i f aftagende i ØVELSE 3 Hældningen

Læs mere

Guide til netværk LÆR AT TACKLE

Guide til netværk LÆR AT TACKLE Guide til netværk LÆR AT TACKLE Guide til netværk Kmiteen fr Sundhedsplysning 2. udgave, 1. plag 2015 Med støtte fra Indhld Guide til netværk... 2 Hvrdan kan netværket rganiseres?... 3 Hvrdan frdeles pgaverne?...

Læs mere

År 2010. Computerspil. Nils Per Olsen og Martin Vigholt. Computerspil

År 2010. Computerspil. Nils Per Olsen og Martin Vigholt. Computerspil År 2010 Cmputerspil Nils Per Olsen g Martin Vighlt Cmputerspil 10-03-2010 Planlægning Først diskuterer vi hvilken målgruppe spillet skal henvende sig til. Derefter kikker vi på frskellige spil, fr at finde

Læs mere

VERSIONSBREV. LUDUS version 1.27.0. Den 10. december 2009. J.nr.: 4004 V1088 09. CSC Scandihealth A/S, P.O. Pedersens Vej 2, DK-8200 Århus N

VERSIONSBREV. LUDUS version 1.27.0. Den 10. december 2009. J.nr.: 4004 V1088 09. CSC Scandihealth A/S, P.O. Pedersens Vej 2, DK-8200 Århus N VERSIONSBREV LUDUS versin 1.27.0 Den 10. december 2009 J.nr.: 4004 V1088 09 CSC Scandihealth A/S, P.O. Pedersens Vej 2, DK-8200 Århus N Tlf. +45 3614 4000, fax +45 3614 7324, www.scandihealth.dk, scandihealth@csc.cm

Læs mere

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 12. april 2011

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 12. april 2011 Analytisk Geometri Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

Glæden ved at være til meditationsgruppe Level II udvidet program Et åbent hjerte

Glæden ved at være til meditationsgruppe Level II udvidet program Et åbent hjerte Glæden ved at være til meditatinsgruppe Level II udvidet prgram Et åbent hjerte I de kmmende måneder vil vi udfrske meditatin på kærlig-venlighed g medfølelse. Vi vil lære hvrdan vi kan åbne vre hjerter

Læs mere

(3 ;3 ) (2 ;0 ) f(x)=3 *x-6 -1 1 2 3 4 5 6. Serie 1 Serie 2

(3 ;3 ) (2 ;0 ) f(x)=3 *x-6 -1 1 2 3 4 5 6. Serie 1 Serie 2 MAT B GSK august 008 delprøven uden hjælpemidler Opg Grafen for en funktion f er en ret linje, med hældningskoefficienten 3 og skærer -aksen i punktet P(;0). a) Bestem en forskrift for funktionen f. Svar

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

Differentialregning. Ib Michelsen

Differentialregning. Ib Michelsen Differentialregning Ib Michelsen Ikast 2012 Forsidebilledet Tredjegradspolynomium i blåt med rød tangent Version: 0.02 (18-09-12) Denne side er (~ 2) Indholdsfortegnelse Introduktion...5 Definition af

Læs mere

Brugermanual til Folkeskoledatabasen

Brugermanual til Folkeskoledatabasen Brugermanual til Flkeskledatabasen SKRIV CLIENT NAME INDHOLD. 1. FOLKESKOLEDATABASEN 2 2. HJEM 2 3. RAPPORTER 3 3.1 EKSEMPEL - SÅDAN FINDER DU EN RAPPORT 3 4. BYG EGEN TABEL 5 4.1 Eksempel sådan laver

Læs mere

for gymnasiet og hf 2011 Karsten Juul

for gymnasiet og hf 2011 Karsten Juul for gymnasiet og hf 75 50 5 011 Karsten Juul I dette häfte er der lagt vägt på at det skal väre egnet til at slå op i når elever léser opgaver at tvivlstilfälde bliver afklaret at det er muligt på forskellige

Læs mere

Interview med Kristine. J: 00:00: Hvor gammel er du? K: 25. J: Studerer eller arbejder du? K: Jeg studerer. J: Hvor er du opvokset henne?

Interview med Kristine. J: 00:00: Hvor gammel er du? K: 25. J: Studerer eller arbejder du? K: Jeg studerer. J: Hvor er du opvokset henne? Interview med Kristine J: 00:00: Hvr gammel er du? K: 25 J: Studerer eller arbejder du? K: Jeg studerer J: Hvr er du pvkset henne? K: I slagelse J: Hvilket pstnummer br du i? K: 2000 J: Er du rgandner?

Læs mere

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge 2008 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for st og hf. Indhold 1. Hvordan viser en tabel sammenhængen mellem to variable?... 1 2.

Læs mere

for gymnasiet og hf 2016 Karsten Juul

for gymnasiet og hf 2016 Karsten Juul for gymnasiet og hf 75 50 5 016 Karsten Juul Statistik for gymnasiet og hf Ä 016 Karsten Juul 4/1-016 Nyeste version af dette håfte kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm HÅftet mç benyttes i undervisningen

Læs mere

Nyhedsbrev. Folkeafstemning samt lokalvalg. Hospitalsenheden Vest Staben. Læs mere på næste side

Nyhedsbrev. Folkeafstemning samt lokalvalg. Hospitalsenheden Vest Staben. Læs mere på næste side Nyhedsbrev Nr. 26 den 20. nvember 2015: Nyhedsbrev fra Stabens ledelse Flkeafstemning samt lkalvalg Læs mere på næste side Valg Cpydan Tekst & Nde Indgang i Herning Fernisering frtsat Pstkrt Side 2 Side

Læs mere

Nyhedsbrev. Det nye år har nu trådt sine første skridt. Hospitalsenheden Vest Staben. Se, hvad der er på tapetet hos Staben på de næste sider

Nyhedsbrev. Det nye år har nu trådt sine første skridt. Hospitalsenheden Vest Staben. Se, hvad der er på tapetet hos Staben på de næste sider Nyhedsbrev Nr. 1 9. januar 2015: Nyhedsbrev fra Stabens ledelse Det nye år har nu trådt sine første skridt Se, hvad der er på tapetet hs Staben på de næste sider Skema i kpirum Kørsel g arbejdstider Opdateret

Læs mere

Pladetektonik. Informi GIS Instruktion til øvelse

Pladetektonik. Informi GIS Instruktion til øvelse Pladetektnik Infrmi GIS Instruktin til øvelse Pladetektnik instruktin til øvelse Øvelse: Pladetektnik Estimeret tidsfrbrug: 30 minutter Overblik ver pgaven Denne vejledning guider dig igennem, hvrdan du

Læs mere

Differentialregning. Supplerende opgaver til HTX Matematik 1 Nyt Teknisk Forlag. Opgaverne må frit benyttes i undervisningen.

Differentialregning. Supplerende opgaver til HTX Matematik 1 Nyt Teknisk Forlag. Opgaverne må frit benyttes i undervisningen. Differentialregning Side 1 0401 Figuren viser grafen for en funktion f. a) Find ud fra aflæsning på figuren f (3) og f (5) b) Find ud fra aflæsning på figuren fortegnet for hvert af tallene f (1,5), f

Læs mere

Differentialregning 2

Differentialregning 2 Differentialregning Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Opgave 1 Udregn monotoniintervallerne for funktionerne f 1 () = + 4, f () = 4 3 f 3 () = 3 6 + 9 +, f 4 ()

Læs mere

FRANSK BEGYNDERSPROG HØJT NIVEAU FORTSÆTTERSPROG TILVALGSFAG HØJERE FORBEREDELSESEKSAMEN AUGUST 2009 HØJERE FORBEREDELSESEKSAMEN AUGUST 2009

FRANSK BEGYNDERSPROG HØJT NIVEAU FORTSÆTTERSPROG TILVALGSFAG HØJERE FORBEREDELSESEKSAMEN AUGUST 2009 HØJERE FORBEREDELSESEKSAMEN AUGUST 2009 STUDENTEREKSAMEN MAJ 2005 2005-11-2 SPROGLIG OG MATEMATISK LINJE HØJERE FORBEREDELSESEKSAMEN MAJ 2005 HØJERE FORBEREDELSESEKSAMEN AUGUST 2009 HØJERE FORBEREDELSESEKSAMEN AUGUST 2009 FRANSK BEGYNDERSPROG

Læs mere

Indledning. Side 2 af 13

Indledning. Side 2 af 13 Frside Indledning e-addin er et Excel tilføjelses prgram der nemt kan hente data fra e-cnmic ver i Excel. Fr at bruge det skal du have dit regnskab hs e-cnmic. Hvis du ikke har det kan du prette en gratis

Læs mere

Når ledelse gør forskellen - evaluering af tilgang og ledelse i Børneinstitution Hunderup

Når ledelse gør forskellen - evaluering af tilgang og ledelse i Børneinstitution Hunderup Når ledelse gør frskellen - evaluering af tilgang g ledelse i Børneinstitutin Hunderup I Børneinstitutin Hunderup har man længe plevet, at der sker nget usædvanligt g særligt i de tilknyttede institutiner.

Læs mere

Spammærkning. 2. Udgave september 2007. UNI C SkoleKom Vermundsgade 5 2100 København Ø Tlf. 35878889

Spammærkning. 2. Udgave september 2007. UNI C SkoleKom Vermundsgade 5 2100 København Ø Tlf. 35878889 Spammærkning 2. Udgave september 2007 UNI C SkleKm Vermundsgade 5 2100 København Ø Tlf. 35878889 SkleKm - Spammærkning Spammærkningen af internetpst på SkleKm Af Ole Nmann Thmsen UNI-C, ansvarlig fr internetmail

Læs mere

Evaluering af Cykel-Sidevejskampagne 2010. Hold øje ved sidevejene. Du ved aldrig hvad der kommer

Evaluering af Cykel-Sidevejskampagne 2010. Hold øje ved sidevejene. Du ved aldrig hvad der kommer Evaluering af Cykel-Sidevejskampagne 2010 Hld øje ved sidevejene. Du ved aldrig hvad der kmmer 1 Indhld Frmål g metde Resultater Oplevede farer g cykeladfærd Kendskab til kampagnen Frståelse af kampagnens

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

T0150 - Brugervejledning - Lugtberegning

T0150 - Brugervejledning - Lugtberegning Miljøministeriet Miljøstyrelsen husdyrgdkendelse.dk T0150 - Brugervejledning - Lugtberegning Versin: 1.0 Status: 05 - Gdkendt Gdkender: Pul Lundsby Frfatter: Mrten Lange Kirkegaard Cpyright 2015 Netcmpany.

Læs mere

Matematik B. Anders Jørgensen

Matematik B. Anders Jørgensen Matematik B Anders Jørgensen Løste opgaver: Juni 2015 Dette opgavesæt er givet til FriViden Dette opgavesæt blev lavet til en terminsprøve d. 7. april af Anders Jørgensen, VUC Vestsjælland Syd Karakteren

Læs mere

Grønland. Matematik A. Højere teknisk eksamen

Grønland. Matematik A. Højere teknisk eksamen Grønland Matematik A Højere teknisk eksamen Onsdag den 12. maj 2010 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Ved valgopgaver må kun det anførte antal afleveres

Læs mere

Fibonacciprojekt (Undersøgelsesbaseret matematik) 8.a på Ankermedets Skole i Skagen. Matematikken i bolde? December 2011

Fibonacciprojekt (Undersøgelsesbaseret matematik) 8.a på Ankermedets Skole i Skagen. Matematikken i bolde? December 2011 Fibnacciprjekt (Undersøgelsesbaseret matematik) 8.a på Ankermedets Skle i Skagen Matematikken i blde? December 2011 Klassen deltg fr første gang i Fibnacci Prjektet, g der var afsat ca. 10 timer i en enkelt

Læs mere

Christian Hjortshøj. HTX Roskilde 1.4 06-05-2011. Lære: Bartlomiej Warszawski. Fag: KomIT 1 S ide

Christian Hjortshøj. HTX Roskilde 1.4 06-05-2011. Lære: Bartlomiej Warszawski. Fag: KomIT 1 S ide Christian Hjrtshøj HTX Rskilde 1.4 06-05-2011 Lære: Bartlmiej Warszawski Fag: KmIT 1 S ide Indhld 1. Indledning... 3 2. Målgruppeanalyse... 4 3. Valg af medie... 5 4. Skitsering... 6 4.1 Skitse 1.... 6

Læs mere

Betydningen af ordet differentialkvotient...2. Sekant...2

Betydningen af ordet differentialkvotient...2. Sekant...2 PeterSørensen.dk Differentiation Indold Betydningen af ordet differentialkvotient... Sekant... Differentiable funktioner...3 f (x) er grafens ældning i punktet med første-koordinaten x....3 Ikke alle grafpunkter

Læs mere

Biogasproduktion i Tyskland

Biogasproduktion i Tyskland Bigasprduktin i Tyskland Af Prjektleder Henning Lyngsø Fged, Center fr Bienergi g Miljøteknlgisk Innvatin, hlf@cbmi.dk Tyskland har ca. 4.000 bigas gårdanlæg, g ca. halvdelen af den bimasse de prducerer

Læs mere

Verdensborger. Hjem. Målgruppe: Spirer og grønsmutter. Varighed: 3 trin + et engagement

Verdensborger. Hjem. Målgruppe: Spirer og grønsmutter. Varighed: 3 trin + et engagement Verdensbrger Hjem Målgruppe: Spirer g grønsmutter Årstid: Hele året. Evt. i frbindelse med Spejderhjælpsugen Varighed: 3 trin + et engagement Hjem - niveau 1 g 2 - trin fr trin Danske pigespejdere skal

Læs mere

Automatiske etiket-applikatorer

Automatiske etiket-applikatorer Autmatiske etiket-applikatrer Dynamisk g fleksibel mærkning Trådløs datafangst Highlights Pallemærkning Kllimærkning Stregkdekntrl Prduktmærkning Vægtkntrl Rbust design autmatisk etiket-påsætning høj applikeringshastighed

Læs mere

Kap 5 - beviser - matematikb2011

Kap 5 - beviser - matematikb2011 Kap 5 - beviser - matematikb0 Indhold Dierentiation a ln Bevis nr.... Dierentiation a ln Bevis nr.... 4 Dierentiation a e Bevis nr.... 5 Dierentiation a e Bevis nr.... 6 Dierentiation a! Bevis nr.... 8

Læs mere

Konkret om AT-opgaver med innovation 1

Konkret om AT-opgaver med innovation 1 Knkret m AT-pgaver med innvatin 1 I de følgende afsnit er der plukket ud fra bl.a. vejledningen g kmmenteret på afsnit. Det er derfr stadigvæk den enkelte lærers ansvar at læse teksten i læreplan g vejledning

Læs mere

Evaluering af udviklingsprojekter om en længere og mere varieret skoledag

Evaluering af udviklingsprojekter om en længere og mere varieret skoledag Evaluering af udviklingsprjekter m en længere g mere varieret skledag Kmmune: Vesthimmerland Invlverede skler i prjektet: Løgstør skle Evalueringsrapprten er udarbejdet af: Malene Wennerlin Kntaktplysninger:

Læs mere

Kap. 1: Trigonometriske funktioner og grader.

Kap. 1: Trigonometriske funktioner og grader. - - Kap. : Trignmetriske funktiner g grader. Grader sm vinkelmål. Inden vi går i gang med at mtale de trignmetriske funktiner: sinus, csinus g tangens, vil vi først minde m, hvrdan en given vinkel kan

Læs mere

Anvendelsesområde. Programmet Træmodul er integreret i statiksystemet Problemløseren, hvorfra dimensionerende snitkræfter automatisk overføres.

Anvendelsesområde. Programmet Træmodul er integreret i statiksystemet Problemløseren, hvorfra dimensionerende snitkræfter automatisk overføres. Træmdul DS/EN EC 5 Anvendelsesmråde Prgrammet beregner bæreevnen fr bjælker, søjler, gitterspær g rammer med belastning i et eller t plan iht. DS/EN 1995-1- 1. Desuden tilbyder prgrammet rutiner fr branddimensinering

Læs mere

Kravspecifikation for den pædagogiske læreplan

Kravspecifikation for den pædagogiske læreplan Kravspecifikatin fr den pædaggiske læreplan Den pædaggiske læreplan Indhld Indledning... 3 Del 1. Lvgrundlag... 4 Del 2. Generelle plysninger... 5 Del 3. Dkumentatin via hverdagslivstemaer... 8 3.1 Vkseninitieret

Læs mere

Mig og min ADHD -profil:

Mig og min ADHD -profil: Mig g min ADHD -prfil: - et hjælperedskab til dig, sm kan have svært ved at beskrive dine vanskeligheder g hvad ADHD gør ved lige netp dit liv. Denne skabeln kan du bruge, hvis du ligesm mange andre med

Læs mere

GUX. Matematik. B-Niveau. Fredag den 29. maj 2015. Kl. 9.00-13.00. Prøveform b GUX151 - MAB

GUX. Matematik. B-Niveau. Fredag den 29. maj 2015. Kl. 9.00-13.00. Prøveform b GUX151 - MAB GUX Matematik B-Niveau Fredag den 29. maj 2015 Kl. 9.00-13.00 Prøveform b GUX151 - MAB 1 Matematik B Prøvens varighed er 4 timer. Delprøven uden hjælpemidler består af opgaverne 1 til 6 med i alt 6 spørgsmål.

Læs mere

Tal, funktioner og grænseværdi

Tal, funktioner og grænseværdi Tal, funktioner og grænseværdi Skriv færdig-eksempler der kan udgøre en væsentlig del af et forløb der skal give indsigt vedrørende begrebet grænseværdi og nogle nødvendige forudsætninger om tal og funktioner

Læs mere