Lineær og kvadratisk programmering med TI NSpire CAS version 3.2

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Lineær og kvadratisk programmering med TI NSpire CAS version 3.2"

Transkript

1 Lineær og kvadratisk programmering med TI NSpire CAS version 3.2 Indhold 1. Lineær programmering i 2 variable: x og y... 1 Eksempel 1: Elementær grafisk løsning i 2d... 1 Eksempel 1: Grafisk løsning i 3d Kvadratisk programmering i 2 variable: x og y Eksempel 2: Elementær grafisk løsning i 2d Eksempel 2: Elementær grafisk løsning i 3d Eksempel 2: Simultan visning i 2d og 3d Eksempel 3: Centrum falder udenfor polygonområdet Øvelser til kvadratisk programmering Lineær programmering i 3 variable: x, y og z Eksempel 4: Elementær grafisk løsning i 3d Kvadratisk programmering i 3 variable: x, y og z Eksempel 5: Elementær grafisk løsning i 3d Eksempel 6: Centrum ligger uden for polyederområdet Bjørn Felsager: April 2012

2 1. Lineær programmering i 2 variable: x og y Eksempel 1: Elementær grafisk løsning i 2d Vi antager at vi producerer to forskellige varer og at antallet af type I er givet ved x enheder pr uge, mens antallet af type II er givet ved y enheder pr. uge. Den samlede fortjeneste z på produktionen antages at være lineær i x og y, heraf navnet lineær programmering, fx z = 90x + 150y. Vi ønsker at maksimere fortjenesten, men der er forskellige begrænsninger på produktionen som vi skal tage hensyn til. Disse begrænsninger kommer fra hvor mange maskiner og hvilke typer maskiner vi kan tage i brug og hvor mange arbejdere vi har til rådighed til at betjene maskinerne osv. I praksis giver disse betingelser anledning til en række lineære uligheder, fx 2x + y 160 2x+ 5y 400 x 70 x 0 y 0 Vi får da brug for at kunne tegne det polygonområde, der afsnøres af kriterie ulighederne. Vi bemærker først at randlinjerne skærer x aksen i 80, 200 og 70, samt at randlinjerne skærer y aksen i 160 og 80. Hvis vi vil se hele forløbet i første kvadrant skal vi derfor gå op til 200 på x aksen og 160 på y aksen, men hvis vi kun er interesseret i polygonområdet er det nok at gå op til 70 på x aksen og 80 på y aksen. Vi vælger nu et grafvindue der spænder over intervallerne 10 < x < 100 og tilsvarende 10 < y < 100. Dette grafrum udgør scenen for den lineære programmering i det følgende! Vi skal så have tegnet ulighederne. Selv om det kan lade sig gøre at indtaste uligheder i grafindtastningslinjen er det nemmere at bruge den anden metode, dvs. via ligninger og uligheder skrevet ind i tekstbokse, der efterfølgende trækkes ind på en af akserne. Det har ydermere den fordel, at vi kan selv om vi vil isolere 1

3 x eller y i tekstboksen, hvor vi i grafindtastningslinjen er tvunget til at isolere y. Der er altså frit valg af den uafhængige variabel i en tekstboks! Det ser således ud: Det er jo ikke nemt at se polygonområdet på denne måde, så derfor tegner man normalt de modsatte uligheder! 2

4 Det var straks bedre! Vi kan endda nemt tilføje skæringspunkterne mellem randlinjerne, dvs. hjørnepunktkerne i polygonområdet. Vælg bare punkt i punkt og linjemenuerne. Programmet finder selv ud af resten: Det gør opmærksom på når du nærmer dig et skæringspunkt og det afsætter selv koordinaterne. Der med har vi styr på kriterieområdet. Vi kunne også have frembragt polygonområdet direkte ved at tegne randlinjerne og finde skæringspunkterne og til sidst konstruere polygonen ud fra skæringspunkterne. Vi kan da enten indtaste ligningerne for randlinjerne i tekstbokse (med x eller y isoleret) som beskrevet ovenfor eller vi kan anvende den ny graftype Analytisk geometri/ligninger: Den giver netop mulighed for at indtaste ligningen på formen a x+ b y= c. Det dækker alle de nævnte randlinjer i kriteriebetingelserne. Det kommer til at se således ud: 3

5 Men uanset om man foretrækker den ene eller anden grafiske fremstilling af kriterieområdet skal vi nu finde den maksimal fortjeneste. Vi skal altså have tegnet grafen for fortjenestefunktionen z = 90x + 150y. VI indfører da en skyder k for fortjenesten (op til 20000) og indtaster ligningen 90x + 150y= kunder graftypen Analytisk geometri/ligninger: 4

6 Når man trækker i skyderen kan man se niveaukurven bevæge sig væk fra centrum og dermed kan man nemt finde en tilnærmet værdi for den maksimale fortjeneste inklusive det hjørnepunkt, hvor niveaukurven forlader polygonen: Vi ser altså at den optimale produktion består i 50 enheder af type I og 60 enheder af type II og den maksimale fortjeneste er givet ved ca aflæst fra figuren og mere præcist fundet ved beregning i Noter. Eksempel 1: Grafisk løsning i 3d Vi kan bakke analysen op med et tredimensionalt billede af grafen for omsætningsfunktionen med ligningen z = 90x + 150y sammen med niveaufladen z = k for en fast værdi af fortjenesten z. I først omgang indstilles det tre dimensionale grafvindue til grænserne 10 < x < 90, 10 < y < 90 og 100 < z < Vi får da en skalatro gengivelse af grafen, altså et tændstikdiagram, fordi z aksen spænder over et meget større interval end x og y akserne! Vi skal derfor regulere på bredde højdeforholdene (aspect ratio). x aksen spænder over intervallængden 100, y aksen spænder også over intervallængden 100 mens z aksen over intervallængden For at matche z aksen skal både x aksen og y aksen derfor strækkes med en faktor 21000/100=210. Det rejser dog det problem at den faktor man strækker med skal ligge mellem 0.1 og 100 i alt et spænd over en faktor Vi vælger derfor at strække både x aksen og y aksen med en faktor 21 men til gengæld trykke z aksen sammen med en faktor 0.1: 5

7 Men så ser det også helt fornuftigt ud! Tilbage tår bare at justere gitterinddelingerne, så de matcher inddelingerne på akserne. I dette tilfælde er der dog ingen grund til justeringer, idet x og y intervallerne begge spænder over 100, hvorfor 20 gitterinddelinger, svarende til 21 gitterpunkter, netop giver en tilvækst på 5 hen over en gitterinddeling. Da flader som standard netop har 21 gitterpunkter passer det altså fint sammen. Man kan med lidt øvelse godt aflæse x og y koordinaterne for et gitterpunkt. 6

8 Nu skal vi bare have inddraget kriterierne. 2x + y 160 2x+ 5y 400 x 70 x 0 y 0 Det er sværere at få kriterieområdet med, fordi kriterieligningerne giver anledning til lodrette planer, dvs. vi kan ikke isolere z, fordi z slet ikke optræder i planens ligning! Vi må derfor indskrive dem på parameterform (og sætte parameterintervallerne fornuftigt!): Planen med ligningen 2x + y = 160, dvs. y= 160 2x tegnes altså med parameterfremstillingen { x = t, y = tz, = u } 10 < t < 90, 1000 < u < ( x 200) Planen med ligningen 2x + 5y = 400, dvs. y = tegnes altså med parameterfremstillingen 5 2 ( t 200) x = t, y =, z = u 10 < t < 90, 1000 < u < Planen med ligningen x = 70, tegnes med parameterfremstillingen { = 70, =, = } x y tz u 10 < t < 90, 1000 < u < Planen med ligningen x = 0, tegnes altså med parameterfremstillingen { = 0, =, = } x y tz u 10 < t < 90, 1000 < u < Planen med ligningen y = 0, tegnes endeligt med parameterfremstillingen Det ser således ud: { =, = 0, = } x t y z u 10 < t < 90, 1000 < u <

9 Her har vi slået gitteret fra, men sat gitterpunkterne op til 51 af hensyn til tegningen af skæringerne mellem planerne og endelig har vi sat gennemsigtigheden af koordinatplanerne x = 0 og y = 0 op til 70, så man som vist kan se lige gennem dem! Alternativt kan man undlade at vise koordinatplanerne x = 0 og y = 0, men til gengæld indskrænke koordinatvisningen til intervallerne 0 < x < 100 og 0 < y < 100, så man ser direkte ind i første kvadrant! Det ser således ud: Det er tydeligvis det bagerste hjørnepunkt (se pilen), der ligger højest. Tæller vi gitterinddelinger ligger det 10 inddelinger oppe af x aksen svarende til x = 50 og 12 inddelinger oppe af y aksen svarende til y =60. Her ligger altså den optimale produktion! Her har jeg tilføjet tal på akserne ved at overføre et skærmbillede til et geometriværksted: 8

10 For at vurdere z værdien udfører vi en sporing af fortjenestefunktionens graf: Med brug af 105 sporingstrin svarende til spring af 200 og en sporingsopløsning på 51 ser vi at omkring rammer vi hjørnepunktet og forlader polygonområdet. Det giver god mening! 9

11 2. Kvadratisk programmering i 2 variable: x og y Eksempel 2: Elementær grafisk løsning i 2d Netop fordi symbolske programmer arbejder med vilkårlige udtryk kan man lige så nemt lave kvadratisk programmering, som lineær programmering (eller en hvilken som helst anden form for programmering!). Det er jo alligevel de samme faciliteter, man trækker på! Her vil vi se på nogle eksempler på kvadratisk programmering hentet fra en standardlærebog for handelsgymnasiet (Søren Antonius et al.): En produktion af to varer A og B er underlagt betingelser, som kan udtrykkes ved følgende uligheder, hvor x er antal enheder for A og y er antal enheder for B: 2x + 3y 240 2x + 2y 180 4x + y 240 x 0 y 0 Af de tre første betingelser følger, at de kritiske x værdier (dvs. skæringen med x aksen) er 120, 90 og 60, ligesom de kritiske y værdier er 80, 90 og 240. Altså skærer polygonområdet x aksen i 60 og y aksen i 80 (de mindste kritiske værdier). Vi starter derfor med at vælge grafrummet 10 x 70 og 10 y 90. Vi indskriver derefter kriterie ulighederne i tekstbokse (højreklik i grafrummet), idet vi først isolerer x eller y med en solve kommando i Noter. Hvis vi har en valgmulighed er det traditionelt at isolere y. Læg mærke til at vi vender ulighederne modsat, så produktionsområdet fremstår blankt. Tekstboksene hives ind på en af akserne for at få tegnet uligheden: 10

12 Det er nemt at konstruere skæringspunkterne langs randen af polygonområdet og få afsat koordinaterne. De kan naturligvis også findes med passende Solve kommandoer. Vi har nu styr på kriterieområdet! Under passende antagelser bliver den samlede omsætning nu givet ved det følgende kvadratiske udtryk i x og y: f (x, y) = 20x 1 3 x2 + 25y 1 4 y2. Det er altså denne funktion vi skal maksimere i polygonområdet, så vi ser på nogle niveaukurver, fx niveaukurven gennem (25,25), dvs. kurven med ligningen f (x, y) = f (25, 25). Den tastes ind under graftypen ligning: Ved at højreklikke på den kan vi undersøge den for fx dens centrum, symmetriakser og excentricitet. VI ser da at der er tale om en ellipse. Ved at anvende kommandoen CompleteSquare finder vi ligningen på standardform, dvs. vi kan aflæse halvakserne a = 3 og b = 2. Faktisk kan vi lige så godt tegne en dynamisk niveaukurve f (x, y) = k, så på basis af værdien af f (25,25) gætter vi på et passende interval af familieparameteren k, og opretter den som en skyder, der kan løbe fra 500 til 1000 i trin af 25. Vi ser da at alle niveaukurverne er ellipser med centrum i (30,50) og excentricitet ½. Vi ser også at centrum for ellipserne ligger inde i kriterieområdet. 11

13 Vi kan endda som vist få tegnet en familie af niveaukurver ved at overlejre det analytiske keglesnit med et geometrisk keglesnit og derefter højreklikke og vælge geometrisk spor. Mellem 900 og 925 forsvinder sporet, så den maksimale omsætning ligger i dette interval! 12

14 Eksempel 2: Elementær grafisk løsning i 3d Vi kan bakke analysen op med et tredimensionalt billede af grafen for omsætningsfunktionen sammen med niveaufladen for (x, y) = (25,25), dvs. z = 9125/12 = 760,41666 I først omgang indstilles det tre dimensionale grafvindue til grænserne 10 < x < 70, 10 < y < 90 og 100 < z < Vi får da en skalatro gengivelse af grafen, altså et tændstikdiagram, fordi z aksen spænder over et meget større interval end x og y akserne! Vi skal derfor regulere på bredde højdeforholdene (aspect ratio). x aksen spænder over intervallængden 80, y aksen over intervallængden 100 og z aksen over intervallængden For at matche z aksen skal x aksen derfor strækkes med en faktor 1100/80=13.75 og y aksen skal strækkes med en faktor

15 Vi kan endda indstille gitteret, så det matcher akseinddelingerne. Vi kan da fx vælge antal inddelinger langs x aksen til 16 (dvs. gitterstregernes antal skal være 17) og antal inddelinger langs y aksen til 20 (dvs. gitterstregernes antal skal være 21), så gitterinddelingerne svarer til spring på 5. Det gør det med lidt behændighed muligt at aflæser x og y koordinaterne for toppunktet Midterstregen svarer til x = 30, og toppunktet ligger derfor i x = 30. Midterstregen svarer til y = 40. Toppunktet ligger to inddelinger til højre, dvs. i y =

16 Vi kan nu illustrere niveaukurverne ved at spore fladen. Vi sætter sporingsparametrene til 44 sporingstrin svarere til spring af 25, idet z aksen spænder over intervallet Vi sætter sporingsopløsningen til 100 for at få en rimelig pæn skæring med fladen: Husk at trykke SHIFT PIL OP, når du sporer, da en PIL OP blot fører til at scenen vipper Sporingsplanen slipper falden i højden 925, dvs. noget tyder på at den maksimale omsætning netop er givet ved z = 925. Det er selvfølgelig ikke svært at bekræfte ved en symbolsk udregning: 15

17 Bemærkning: Det er sværere at få kriterieområdet med, fordi kriterieligningerne giver anledning til lodrette planer, dvs. vi kan ikke isolere z. Vi må derfor indskrive dem på parameterform (og sætte parameterintervallerne fornuftigt!): 2 ( x 120) Planen med ligningen 2x + 3y = 240, dvs. y = tegnes altså med parameterfremstillingen 3 2 ( t 120) x = t, y =, z = u 10 < t < 70, 100 < u < Planen med ligningen 2x + 2y = 180, dvs. y= 90 x tegnes altså med parameterfremstillingen { =, = 90, = } x t y tz u 10 < t < 70, 100 < u <1000 Planen med ligningen 4x + y = 240, dvs. y= 240 4x tegnes altså med parameterfremstillingen { =, = 240 4, = } x t y tz u 10 < t < 70, 100 < u <1000 Planen med ligningen y = 0, tegnes altså med parameterfremstillingen { =, = 0, = } x t y z u 10 < t < 70, 100 < u <1000 Planen med ligningen x = 0, tegnes endeligt med parameterfremstillingen Det ser således ud: { = 0, =, = } x y tz u 10 < t < 90, 100 < u <1000 Eksempel 2: Simultan visning i 2d og 3d Endelig har vi mulighed for at illustrere højdekurver i 2d og 3d samtidigt ved hjælp af skydere. Vi vender tilbage til skyderen for højden k, men inddrager den nu også i den tre dimensionale grafopsætning, hvor vi tilføjer planen z = k: 16

18 Når vi trækker i skyderen ser vi nu samtidigt højdekurven ændre sig i 2d grafen og 3d grafen. Det er fristende at tilføje kriterieplanerne i 3d, men vi har undladt det, da figuren nemt bliver svær at tolke, hvis der er for mange elementer på spil. Bemærkning: Da funktionen f(x,y) er så simpel, idet den spalter ud i en sum af to funktioner, hvor den ene er et andengradspolynomium i x ogn den anden et andegradspolynomium i y, kan vi godt anvende fmax til at finde toppunktet: I den sidste linje tjekker vi at det fundne toppunkt rent faktisk opfylder kriterierne, dvs. ligger indenfor kriterieområdet. Dette afslutter det første eksempel, som var simpelt, netop fordi toppunktet lå inde i kriterieområdet. Vi følger op med et nyt eksempel, hvor toppunktet ligger udenfor kriterieområdet! 17

19 Eksempel 3: Centrum falder udenfor polygonområdet Vi prøver så at se på, hvad der sker, hvis vi ændrer omsætningsfunktionen en anelse til f (x, y) = 20x 1 5 x2 + 25y 1 4 y2 Det ændrer niveaukurverne, så de nu har centrum i (50,50) udenfor polygonområdet: I stedet skal vi derfor bestemme maksimumspunktet, som det punkt på randen af polygonområdet, hvor niveaukurven netop tangerer polygonområdet, dvs. hvor niveaukurven slipper kriterieområdet. Først må vi da finde ud af hvilke af begrænsningsfunktionerne der er tale om. En omhyggelig sporing viser, at det er den anden af kriteriefunktionerne y = 90 : 18

20 dy Randkurven har altså ligningen y = 90 x, og dermed hældningen = 1. For at finde hældningen af niveaukurven differentierer vi ligningen for niveaukurven, idet vi opfatter y som en funktion af x. Hældningen dx for kurven er altså givet ved implicit differentiation. Vi finder da: Dermed har vi fundet en oplagt kandidat til den produktion, der giver den maksimale omsætning, som altså viser sig at være: x = 400/9 og y = 410/9, med den maksimale omsætning givet ved f (400/9, 410/9) = Vi kan kontrollere løsningen grafisk ved dels at tegne det optimale punkt, dels tegne den tilhørende niveaukurve: Alt ser ud som forventet! 19

21 Øvelser til kvadratisk programmering Bemærkning: En klassisk introduktion til kvadratisk programmering kan man fx finde i Mogens Ditlev Hansen: Matematik Økonomi Optimering (Abacus 1987) Der er gode diskussioner/eksempler i kapitel 4 samt en del supplerende opgaver, fx Øvelse 1: Omsætningsfunktionen (kriteriefunktionen) for en virksomhed er givet ved hvor produktionen er underlagt betingelserne: 2 2 f ( xy, ) = 3x + 18x 2y + 28y 2x + 5y 45 5x + 2y 60 x 0, y 0 a) Tegn produktionsområdet samt en familie af niveaukurver for kriteriefunktionen. b) Bestem maksimum for kriteriefunktionen. Øvelse 2: Omsætningsfunktionen (kriteriefunktionen) for en virksomhed er givet ved hvor produktionen er underlagt betingelserne: 2 2 f ( xy, ) = x + 18x 3y + 36y x + 3y 21 5x + y 35 x 0, y 0 a) Tegn produktionsområdet samt en familie af niveaukurver for kriteriefunktionen. b) Bestem maksimum for kriteriefunktionen. Øvelse 3: Omsætningsfunktionen (kriteriefunktionen) for en virksomhed er givet ved hvor produktionen er underlagt betingelserne: 2 2 f ( xy, ) = 10x + 120x 10y + 220y x + 2y 18 2x + y 18 x 0, y 0 a) Tegn produktionsområdet samt en familie af niveaukurver for kriteriefunktionen. b) Bestem maksimum for kriteriefunktionen. 20

22 3. Lineær programmering i 3 variable: x, y og z Eksempel 4: Elementær grafisk løsning i 3d Lineær programmering i 3 variable er en visuel udfordring, fordi polygonområdet nu bliver et polyederområde i tre dimensioner! Vi ser på følgende abstrakte udgave af en lineær programmeringsopgave i tre variable: Maksimér kriteriefunktionen med begrænsningerne og bibetingelserne f( xyz,, ) = 16x+ 11y+ 5z x + 2y+ z 40 6x + 3y+ z 150 x 0, y 0, z 0 Som før indbygger vi bibetingelserne ved kun at vise første oktant! Vi ser også at randplanerne skærer x aksen i 40 og 25, y aksen i 20 og 50 samt z aksen i 40 og 150. Vi skal altså som minimum dække intervallerne 0 x 25, 0 y 20 og 0 z 40. Vi vælger da at vise grafrummet 0 x 30, 0 y 25 og 0 z 45. Den ser lidt bokset ud, men kan vi ikke leve med det kan vi jo bare ændre aspektforholdene og strække z med faktoren 45/30 og y med faktoren 45/25, så scenen fremstår som en terning: 21

23 Så skal vi have tilføjet randplanerne med 31 gitterpunkter langs x aksen og 26 gitterpunkter langs y aksen! 22

24 Drejer vi nu scenen, så vi kigger ind i første oktant med z aksen tættest muligt på os, og farvelægger vi gulvet z = 0, så ser vi netop ind i polyederområdet hørende til kriterierne: Vi gentager figuren men trækker nu polyederområdet op i 2d-geometri, idet vi overfører et skærmbillede som baggrundsbillede til et geometriværksted, så strukturen bliver tydeligere: 23

25 Der er altså tale om et pentaeder (der er fem kriterieuligheder) med 2 trekantsider (en blank i y z planen og en rød) samt 3 firkantsider (en blank i x z planen og en blå og en gul). Vi kan også nemt finde hjørnepunkterne og indsætte dem på figuren: For at finde maksimumspunktet skal vi nu udføre en sporing af kriteriefunktionen, men da det er en funktion af tre variable er vi nødt til at gøre det med en skyder k. 24

26 Vi ser da at niveauplanen forlader polyederområdet i skæringspunktet mellem x-z-planen y = 0 samt den blå plan og z = -x -2y -40 og den røde plan z = -6x -3y + 150, dvs. i punktet F(22,0,18). Den tilhørende fortjeneste er da givet ved Så vi var tæt på ved den grafiske aflæsning! Vipper vi niveauplanen kan vi selvfølgelig lige så godt få den til at forlade polyederområdet i et af den andre hjørnepunkter. Så nu har vi en grafisk metode til at løse lineære programmeringsopgaver i 3 variable. Men det er klart at vi må finde på noget nyt, hvis der er endnu flere variable på spil. Og dermed er scenen kridtet op til simpleks-metoden, der er en rent algebraisk metode i højere dimensioner. Men det er en helt anden historie 25

27 4. Kvadratisk programmering i 3 variable: x, y og z Eksempel 5: Elementær grafisk løsning i 3d Vi udvider nu problemstillingen med den kvadratiske programmering til at inkludere endnu en variabel: En produktion af tre varer A, B og C er underlagt betingelser, som kan udtrykkes ved følgende uligheder, hvor x er antal enheder for A, y er antal enheder for B og z er antal enheder for C: 2x + 3y + 4z 480 2x + 2y + z 240 4x + y + 2z 320 x 0 y 0 z 0 Fortjenestefunktionen er givet ved f (x, y, z) = 20x 1 3 x2 + 25y 1 4 y2 + 40z ½ z 2. Vi skal finde den optimale produktion, der giver den maksimale fortjeneste. Som ved den lineære programmering i 3 variable starter vi med at sætte scenen! Vi ser da at skæringspunkterne med x aksen ligger i 240, 120 og 80, skæringspunkterne med y aksen ligger i 160, 120 og 320 samt at skæringspunkterne med z aksen ligger i 120, 240 og 160. Vi vælger derfor grafvinduet, så det omfatter de mindste værdier, fx 0 < x < 100, 0 < y < 150 samt 0 < z < 150 i alle tre tilfælde med trin på 5 for skalamærkerne. Vi ser da også at x aksen skal strækkes med faktoren 1.5 for at blive lige så stor som y og z aksen. Gitterpunkterne sættes til 21 for x aksen, 31 for y aksen og 31 for z aksen. Det svarer netop til en tilvækst på 5 for koordinaterne. Resultatet er et passende polyederområde hvor vi kigger ind i første oktant med z aksen tættest på os: 26

28 Vi overfører et skærmbillede til et geometriværksted og trækker polyederområdet op og tilføjer koordinater til hjørnepunkterne: Der er tale om et heksaeder (seks sideflader svarende til de 6 kriterieuligheder), hvor alle seks sideflader er firkanter. Det havde nu været tilstrækkeligt til at løse et lineært programmeringsproblem, fordi vi nu ville vide at fortjenestefunktionen er maksimal i et af hjørnepunkterne og vi kan jo så bare regne alle fortjenesterne ud i hjørnepunkterne! Men denne gang er der tale om en kvadratisk fortjenestefunktion. Udfører vi en kvadratkomplettering, ser vi at der er tale om en ellipsoide med fast centrum i (30, 50, 40) og variable halvakser a= 3 (1725 k), b= k og c= 2 (1725 k). Vi ser også at den største fortjeneste er givet ved 1725, der antages i centrum for ellipsoiden, men for at være sikker på at den løser problemet skal vi lige have styr på at centrum rent faktisk ligger indenfor polyederområdet! Det gør den heldigvis: 27

29 Vi kan illustrere niveaufladerne ved at tegne ellipsoiden som en parameterflade med regnbuefarver (efter stejlheden, jo rødere den er, jo mere lodret står fladen (parameterintervallerne er født til at tegne kugler og dermed også ellipsoider korrekt!): For små værdier af fortjeneste, fx k = 1000, sprænger den som vist rammerne for polyederområdet. Men for store værdier af fortjenesten trækker den sig sammen til en ellipsoide, der ligger helt indenfor polyederområdet og forsvinder helt når k passerer 1725: 28

30 Eksempel 6: Centrum ligger uden for polyederområdet Bemærkning: Hvis centrum for ellipsoiden lå uden for polyederområdet ville det hele selvfølgelig blive meget mere indviklet! For at illustrere det beholder vi betingelserne men ændrer lidt på fortjenestefunktionen, så centrum ryger udenfor: Denne gang har ellipsoiden centrum i (50,75,40), som klart bryder med alle tre uligheder, så centrum ligger udenfor polyederområdet. Halvakserne for ellipsoiden er denne gang givet ved: a= 5 (4475 / 2 k), b= 6 (4475 / 2 k) og c= 2 (4475 / 2 k) Den maksimale fortjeneste på 4475/2 = er desværre ikke mulig at opnå, så spørgsmålet er nu i hvilket punkt vi slipper polyederområdet. Vi tegner da ellipsoiden som før med en skyder og ser på billederne for k = 2100 og k = 2175, hvor det er tydeligt at se at ellipsoiden slipper polyederområdet langs den røde sideflade: z= 240 2x 2y! 29

31 For at finde røringspunktet må vi gå frem som i to variable: Planen z = 240 2x 2y har hældningen 2 langs x z z aksen og hældningen 2 langs y aksen. Der gælder altså = 2 og = 2. Vi finder da x y 30

32 Altså er røringspunktet givet ved ( xyz,, ) =,, = ( 39.13,61.96,37.83) og den maksimale fortjeneste er givet ved = Vi kan godt med tilnærmelse lokalisere røringspunktet på den røde plan, ud fra koordinaterne (heer afrundet til x = ca. 40 og y = ca. 62.5): Det passer rimeligt med placeringen af de to klatter i området, hvor ellipsoiden skærer den røde plan. 31

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT.

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projektet kan bl.a. anvendes til et forløb, hvor en af målsætningerne er at lære om samspillet mellem værktøjsprogrammernes geometriske

Læs mere

Graph brugermanual til matematik C

Graph brugermanual til matematik C Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes

Læs mere

Projekt 3.1 Fjerdegradspolynomiets symmetri

Projekt 3.1 Fjerdegradspolynomiets symmetri Projekt 3.1 Fjerdegradspolynomiets symmetri I kapitel 3 har vi set at grafen for et andengradspolynomiet p x a x x c () altid er symmetrisk omkring den lodrette akse x. a Tilsvarende er grafen for tredjegradspolynomiet

Læs mere

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning Projekter: Kapitel Projekt.1: Parabolantenner og parabelsyning En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen for en parabolantenne,

Læs mere

Når eleverne skal opdage betydningen af koefficienterne i udtrykket:

Når eleverne skal opdage betydningen af koefficienterne i udtrykket: Den rette linje og parablen GeoGebra er tænkt som et dynamisk geometriprogram, som både kan anvendes til euklidisk og analytisk geometri Eksempel Tegn linjen med ligningen: Indtast ligningen i Input-feltet.

Læs mere

Differentialligninger med TI Nspire CAS version 3.1

Differentialligninger med TI Nspire CAS version 3.1 Differentialligninger med TI Nspire CAS version 3.1 Der er tilføjet en ny graftype til Graf værkstedet kaldet Diff lign. Denne nye graftype er en implementering af differentialligningerne som vi kender

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Projekt 2.5 Brændpunkt og ledelinje

Projekt 2.5 Brændpunkt og ledelinje Projekter. Kapitel. Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen

Læs mere

Tilsvarende har vbi i kapitel 3 set, at grafen for tredjegradspolynomiet

Tilsvarende har vbi i kapitel 3 set, at grafen for tredjegradspolynomiet Projekt 3 Fjerdegradspolynomiets symmetri Indledning: Symmetri for polynomier I kapitel har vi set at grafen for et andengradspolynomiet altid er symmetrisk omkring den lodrette akse x a p x a x x c ()

Læs mere

Andengradsligninger i to og tre variable

Andengradsligninger i to og tre variable enote 0 enote 0 Andengradsligninger i to og tre variable I denne enote vil vi igen beskæftige os med andengradspolynomierne i to og tre variable som også er behandlet og undersøgt med forskellige teknikker

Læs mere

7. Rumgeometri med Derive

7. Rumgeometri med Derive 7. Rumgeometri med Derive Kapitel 7: Rumgeometri med Derive Det er afgjort tricket at frembringe gode 3-dimensionalle illustrationer på en PCskærm, men med Derive V er der gjort et rigtigt hæderligt forsøg

Læs mere

Tilfældige rektangler: Et matematikeksperiment Variable og sammenhænge

Tilfældige rektangler: Et matematikeksperiment Variable og sammenhænge Tilfældige rektangler: Et matematikeksperiment Variable og sammenhænge Baggrund: I de senere år har en del gymnasieskoler eksperimenteret med HOT-programmet i matematik og fysik, hvor HOT står for Higher

Læs mere

Mere om differentiabilitet

Mere om differentiabilitet Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget

Læs mere

Første del: Eksempel på en eksamensopgave løst med GeoMeter

Første del: Eksempel på en eksamensopgave løst med GeoMeter Optimeringsproblemer med GeoMeter Bjørn Felsager, Haslev Gymnasium & HF, 2003 Den følgende artikel er skrevet for at illustrere hvor langt man egentlig kan komme med GeoMeter som værktøj i undervisningen,

Læs mere

Lineær Programmering i GeoGebra Side 1 af 8

Lineær Programmering i GeoGebra Side 1 af 8 Lineær Programmering i GeoGebra Side 1 af 8 Grundlæggende find selv flere funktioner, fx i GG s indbyggede hjælpefunktion. Vær opmærksom på at grænsefladen i GeoGebra ændrer sig med tiden, da værktøjet

Læs mere

Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6.

Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. 1. Figuren viser grafen for en funktion f. Aflæs definitionsmængde og værdimængde for f. # Aflæs f

Læs mere

1. Graftegning i Derive

1. Graftegning i Derive 1. Graftegning i Derive Kapitel 1: Graftegning i Derive Det er meget simpelt at tegne grafer i Derive: Man åbner et 2-dimensionalt grafvindue, skifter tilbage til algebravinduet (home) og indskriver et

Læs mere

Kapitel 3 Lineære sammenhænge

Kapitel 3 Lineære sammenhænge Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk

Læs mere

Løsningsforslag Mat B 10. februar 2012

Løsningsforslag Mat B 10. februar 2012 Løsningsforslag Mat B 10. februar 2012 Opgave 1 (5 %) En linje er givet ved: y = 3 4 x + 3 En trekant er afgrænset af linjen og koordinatakserne i første kvadrant. a) Beregn trekantens sider og areal.

Læs mere

Matematik A. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. kl. 9.00-14.00

Matematik A. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. kl. 9.00-14.00 Matematik A Højere handelseksamen 1. Delprøve, uden hjælpemidler kl. 9.00-10.00 hh101-mat/a-27052010 Torsdag den 27. maj 2010 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøven uden hjælpemidler Prøvens varighed er 1 time.

Læs mere

Lineær programmering. med Derive. Børge Jørgensen

Lineær programmering. med Derive. Børge Jørgensen Lineær programmering med Derive Børge Jørgensen 1 Indholdsfortegnelse. Forord ---------------------------------------------------------------------------------- 2 Introduktion til lineær programmering

Læs mere

Opgave 1 - Lineær Funktioner. Opgave 2 - Funktioner. Opgave 3 - Tredjegradsligning

Opgave 1 - Lineær Funktioner. Opgave 2 - Funktioner. Opgave 3 - Tredjegradsligning Sh*maa03 1508 Matematik B->A, STX Anders Jørgensen, delprøve 1 - Uden hjælpemidler Følgende opgaver er regnet i hånden, hvorefter de er skrevet ind på PC. Opgave 1 - Lineær Funktioner Vi ved, at år 2001

Læs mere

Animationer med TI-Nspire CAS

Animationer med TI-Nspire CAS Animationer med TI-Nspire CAS Geometrinoter til TI-Nspire CAS version 2.0 Brian Olesen & Bjørn Felsager Midtsjællands Gymnasieskoler Marts 2010 Indholdsfortegnelse: Indledning side 1 Eksempel 1: Pythagoras

Læs mere

Grafværktøjer til GeoMeter Grafværktøjer Hjælp Grafværktøjer.gsp Grafværktøjer

Grafværktøjer til GeoMeter Grafværktøjer Hjælp Grafværktøjer.gsp Grafværktøjer Grafværktøjer til GeoMeter Bjørn Felsager, Haslev Gymnasium & HF, 2003 Når man installerer GeoMeter på sin maskine følger der en lang række specialværktøjer med. Men det er også muligt at skræddersy sine

Læs mere

Gratisprogrammet 27. september 2011

Gratisprogrammet 27. september 2011 Gratisprogrammet 27. september 2011 1 Brugerfladen: Små indledende øvelser: OBS: Hvis et eller andet ikke fungerer, som du forventer, skal du nok vælge en anden tilstand. Dette ses til højre for ikonerne

Læs mere

2. Funktioner af to variable

2. Funktioner af to variable . Funktioner af to variable Opgave 1 Grafisk udformning af de to funktioner,, Opgave f (, y) = z = 5 y N(0) = z = 0 0 = 5 y + y = 5 C = ( ; y) = (0;0) r = 5 Dette medfører som vist en cirkel, med centrum

Læs mere

Matematik A-niveau 22. maj 2015 Delprøve 2. Løst af Anders Jørgensen og Saeid Jafari

Matematik A-niveau 22. maj 2015 Delprøve 2. Løst af Anders Jørgensen og Saeid Jafari Matematik A-niveau 22. maj 2015 Delprøve 2 Løst af Anders Jørgensen og Saeid Jafari Opgave 7 - Analytisk Plangeometri Delopgave a) Vi starter ud med at undersøge afstanden fra punktet P(5,4) til linjen

Læs mere

Opgave 6. Opgave 7. Peter Harremoës Matematik A med hjælpemidler 26 maj 2015. a) Se Bilag 2! b) Variablen n isoleres. L = 2 z 1 α. L = 2 z 1 α L = n =

Opgave 6. Opgave 7. Peter Harremoës Matematik A med hjælpemidler 26 maj 2015. a) Se Bilag 2! b) Variablen n isoleres. L = 2 z 1 α. L = 2 z 1 α L = n = Opgave 6 a) Se Bilag 2! b) Variablen n isoleres ( L = 2 z 1 α 2 ) 2 L = 2 z 1 α 2 L = 2 z 1 α 2 n = ( ˆp (1 ˆp) n ˆp (1 ˆp) n ˆp (1 ˆp) ( n ( ˆp (1 ˆp) ) 1/2 ) 2 L 2 z 1 α 2 n ) 1/2 Opgave 7 n = 4ˆp (1

Læs mere

Differentialregning. Et oplæg Karsten Juul L P

Differentialregning. Et oplæg Karsten Juul L P Differentialregning Et oplæg L P A 2009 Karsten Juul Til eleven Dette hæfte kan I bruge inden I starter på differentialregningen i lærebogen Det meste af hæftet er små spørgsmål med korte svar Spørgsmålene

Læs mere

Projekt 1.5: Tagrendeproblemet en modelleringsøvelse!

Projekt 1.5: Tagrendeproblemet en modelleringsøvelse! Projekt 1.5: Tagrendeproblemet en modelleringsøvelse! Det er velkendt at det største rektangel med en fast omkreds er et kvadrat. Man kan nemt illustrere dette i et værktøjsprogram ved at tegne et vilkårligt

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni, 2013 HTX Vibenhus

Læs mere

Differentialligninger med TI-Interactive!

Differentialligninger med TI-Interactive! Differentialligninger med TI-Interactive! Jan Leffers (2008) Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...3 1. ordens differentialligninger... 4 Den fuldstændige løsning... 4 Løsning med bibetingelse...4

Læs mere

Løsning til opgave 7, 9, 10 og 11C Matematik B Sommer 2014

Løsning til opgave 7, 9, 10 og 11C Matematik B Sommer 2014 Vejledning til udvalgte opgave fra Matematik B, sommer 2014 Opgave 7 Størrelsen og udbudsprisen på 100 fritidshuse på Rømø er indsamlet via boligsiden.dk. a) Grafisk præsentation, der beskriver fordelingen

Læs mere

Projekt 3.7. Pythagoras sætning

Projekt 3.7. Pythagoras sætning Projekt 3.7. Pythagoras sætning Flere beviser for Pythagoras sætning... Bevis for Pythagoras sætning ved anvendelse af ensvinklede trekanter... Opgave 1: Et kinesisk og et indisk bevis for Pythagoras sætning...

Læs mere

Projekt 7.4 Kvadratisk programmering anvendt til optimering af elektriske kredsløb

Projekt 7.4 Kvadratisk programmering anvendt til optimering af elektriske kredsløb Projekt 7.4 Kvadratisk programmering anvendt til optimering af elektriske kredsløb Indledning: I B-bogen har vi i studieretningskapitlet i B-bogen om matematik-fsik set på parallelkoblinger af resistanser

Læs mere

Projekt 1.3 Brydningsloven

Projekt 1.3 Brydningsloven Projekt 1.3 Brydningsloven Når en bølge, fx en lysbølge, rammer en grænseflade mellem to stoffer, vil bølgen normalt blive spaltet i to: Noget af bølgen kastes tilbage (spejling), hvor udfaldsvinklen u

Læs mere

Logaritmiske koordinatsystemer med TI-Nspire CAS version 3.6

Logaritmiske koordinatsystemer med TI-Nspire CAS version 3.6 Logaritmiske koordinatsystemer med TI-Nspire CAS version 3.6 Indholdsfortegnelse: Enkelt logaritmisk koordinatsystem side 1 Eksempel på brug af enkelt logaritmisk koordinatsystem ud fra tabel side 2 Dobbelt

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01

Læs mere

Peter Harremoës Mat A eksamen med hjælpemidler 21. april 2014

Peter Harremoës Mat A eksamen med hjælpemidler 21. april 2014 Opgave 6 Ved hjælp af GeoGebra CAS ses at udtrykkes reduceres til noget som er forskelligt fra b 3 ab 2. Dette kan også ses ved f.eks. at indsætte a = 0 og b = 1. Se bilag 2! Opgave 7 Data er indlæst i

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj juni 2012 Institution Campus Vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik B Ejner Husum

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

Hvad er nyt i version 3.6?

Hvad er nyt i version 3.6? Hvad er nyt i version 3.6? 1. Dokumentformater Den afgørende nyhed og også den mest problematiske er indførelsen af nye dokumentformater: Vi har hidtil arbejdet med et flydende dokumentformat. Når man

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj juni 2011 Institution Campus Vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik B Ejner Husum

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2014 Institution Campus Vejle Uddannelse HHX Fag og niveau Matematik B ( Valghold ) Lærer(e) LSP (

Læs mere

Løsningsforslag MatB December 2013

Løsningsforslag MatB December 2013 Løsningsforslag MatB December 2013 Opgave 1 (5 %) a) En linje l går gennem punkterne: P( 2,3) og Q(2,1) a) Bestem en ligning for linjen l. Vi ved at linjen for en linje kan udtrykkes ved: y = αx + q hvor

Læs mere

1 monotoni & funktionsanalyse

1 monotoni & funktionsanalyse 1 monotoni & funktionsanalyse I dag har vi grafregnere (TI89+) og programmer på computer (ex.vis Derive og Graph), hvorfor det ikke er så svært at se hvordan grafen for en matematisk funktion opfører sig

Læs mere

Opgaver til Kapitel 6 MatB

Opgaver til Kapitel 6 MatB Opgave 1 En funktion i to variable er givet ved f (, ) = + 5 + 0 Indtegn niveauliner svarende til N(0), N(200) og N(400) og illustrér ved hjælp af en pil på niveaulinjerne den retning, hvori niveauet bliver

Læs mere

Matema10k. Matematik for hhx C-niveau. Arbejdsark til kapitlerne i bogen

Matema10k. Matematik for hhx C-niveau. Arbejdsark til kapitlerne i bogen Matema10k Matematik for hhx C-niveau Arbejdsark til kapitlerne i bogen De følgende sider er arbejdsark og opgaver som kan bruges som introduktion til mange af bogens kapitler og underemner. De kan bruges

Læs mere

lineær regression er en metode man bruger for at finde den mindste afstand mellem bestemte punkter ved at bruge denne formel: a= n i=1 i=1

lineær regression er en metode man bruger for at finde den mindste afstand mellem bestemte punkter ved at bruge denne formel: a= n i=1 i=1 Linær regression lineær regression er en metode man bruger for at finde den mindste afstand mellem bestemte punkter ved at bruge denne formel: a= (Xi Yi) n * Xi 2 n * x 2 x * y Figur 1. Nu vil vi løse

Læs mere

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1 gudmandsen.net Ophavsret Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er fuldt ud

Læs mere

Matematik A. Højere handelseksamen. Mandag den 18. august 2014 kl hhx142-mat/a

Matematik A. Højere handelseksamen. Mandag den 18. august 2014 kl hhx142-mat/a Matematik A Højere handelseksamen hhx14-mat/a-1808014 Mandag den 18. august 014 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøven består af to delprøver. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1 til 5 med i alt

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Juni, 10/11 Institution Grenaa Handelsskole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hhx Matematik B Hasse Rasmussen

Læs mere

Mathcad Survival Guide

Mathcad Survival Guide Mathcad Survival Guide Mathcad er en blanding mellem et tekstbehandlingsprogram (Word), et regneark (Ecel) og en grafisk CAS-lommeregner. Programmet er velegnet til matematikopgaver, fysikrapporter og

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

Studieplan. Stamoplysninger. Oversigt over planlagte undervisningsforløb. Periode August 2015 Maj 2016 Institution Vejen Business College.

Studieplan. Stamoplysninger. Oversigt over planlagte undervisningsforløb. Periode August 2015 Maj 2016 Institution Vejen Business College. Studieplan Stamoplysninger Periode August 2015 Maj 2016 Institution Vejen Business College Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hhx Matematik-A Ole Gentz Nørager MatematikAhh1313-VØ Oversigt over planlagte

Læs mere

Brugervejledning til Graph

Brugervejledning til Graph Graph (brugervejledning) side 1/17 Steen Toft Jørgensen Brugervejledning til Graph Graph er et gratis program, som ikke fylder meget. Downloades på: www.padowan.dk/graph/. Programmet er lavet af Ivan Johansen,

Læs mere

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig som også findes i en trigonometrisk variant, den såkaldte 'appelsin'-formel: Men da en trekants form

Læs mere

Mandatfordelinger ved valg

Mandatfordelinger ved valg Mandatfordelinger ved valg I denne note vil vi prøve at beskrive et nyttigt diagram når man skal analysere problemstillinger vedrørende mandatfordelinger. For at holde diagrammet enkelt ser man på den

Læs mere

Computerundervisning

Computerundervisning Frederiksberg Seminarium Computerundervisning Koordinatsystemer og funktioner Elevmateriale 30-01-2009 Udarbejdet af: Pernille Suhr Poulsen Christina Klitlyng Julie Nielsen Opgaver GeoGebra Om at genkende

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj 2011 Institution Herningsholm Gymnasium, hhx i Herning Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) hhx Matematik

Læs mere

Lommeregnerkursus 2008

Lommeregnerkursus 2008 Mikkel Stouby Petersen Lommeregnerkursus 008 Med gennemregnede eksempler og øvelser Materialet er udarbejdet til et kursus i brug af TI-89 Titanium afholdt på Odder Gymnasium. april 008 1. Ligningsløsning

Læs mere

Ugeseddel 12(10.12 14.12)

Ugeseddel 12(10.12 14.12) Ugeseddel (..) Matematisk Programmering Niels Lauritzen..7 FORELÆSNINGER I ugen. 7. gennemgik vi algoritmer til løsning af heltalsprogrammer ved hjælp af simplex algoritmen. Dette er heltalsprogrammeringsugesedlen

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/juni 2010. Denne beskrivelse dækker efteråret 2011 og foråret 2012. Institution Roskilde Handelsskole

Læs mere

Eksempel på logistisk vækst med TI-Nspire CAS

Eksempel på logistisk vækst med TI-Nspire CAS Eksempel på logistisk vækst med TI-Nspire CAS Tabellen herunder viser udviklingen af USA's befolkning fra 1850-1910 hvor befolkningstallet er angivet i millioner: Vi har tidligere redegjort for at antallet

Læs mere

Computerundervisning

Computerundervisning Frederiksberg Seminarium Computerundervisning Koordinatsystemer og Funktioner Lærervejledning 12-02-2009 Udarbejdet af: Pernille Suhr Poulsen Christina Klitlyng Julie Nielsen Indhold Introduktion... 3

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Juni 2012 Roskilde

Læs mere

GeoGebra 3.0.0.0 Quickstart. det grundlæggende

GeoGebra 3.0.0.0 Quickstart. det grundlæggende GeoGebra 3.0.0.0 Quickstart det grundlæggende Grete Ridder Ebbesen frit efter GeoGebra Quickstart af Markus Hohenwarter Virum, 28. februar 2009 Introduktion GeoGebra er et gratis og meget brugervenligt

Læs mere

11. Funktionsundersøgelse

11. Funktionsundersøgelse 11. Funktionsundersøgelse Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen,Matematik for adgangskursus, B-niveau 2, 2. udg. 11.1 Generelt om funktionsundersøgelse Formålet med

Læs mere

Peter Harremoës Matematik A med hjælpemidler 16. december 2013. M = S 1 + a = a + b a b a = b 1. b 1 a = b 1. a = b 1. b 1 a = b

Peter Harremoës Matematik A med hjælpemidler 16. december 2013. M = S 1 + a = a + b a b a = b 1. b 1 a = b 1. a = b 1. b 1 a = b stk. Peter Harremoës Matematik A med hjælpemidler 16. december 2013 Opagve 6 Variables a isoleres: M = S 1 + a = a + b b a b a = b 1 ( ) 1 b 1 a = b 1 a = b 1 1 b 1 a = b Hvis b = 1, så gælder ligningen

Læs mere

Om opbygningen af en geometrisk model for mandatfordelinger

Om opbygningen af en geometrisk model for mandatfordelinger Om opbygningen af en geometrisk model for mandatfordelinger I denne note vil vi prøve at beskrive et nyttigt diagram når man skal analysere problemstillinger vedrørende mandatfordelinger. For at holde

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution Campus vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik B (Valghold) PEJE

Læs mere

Matematik A. Højere teknisk eksamen. Forberedelsesmateriale til prøverne i Matematik A

Matematik A. Højere teknisk eksamen. Forberedelsesmateriale til prøverne i Matematik A Matematik A Højere teknisk eksamen Forberedelsesmateriale til prøverne i Matematik A htx102-mat/a-26082010 Fra torsdag den 26. august til fredag den 27. august 2010 Side 1 af 15 sider Forord Forberedelsesmateriale

Læs mere

Parameterkurver. Et eksempel på en rapport

Parameterkurver. Et eksempel på en rapport x Parameterkurver Et eksempel på en rapport Parameterkurver 0x MA side af 7 Hypocykloiden A B Idet vi anvender startværdierne for A og B som angivet, er en generel parameterfremstilling for hypocykloiden

Læs mere

Projekt 8.3 Hvordan undersøges om et talmateriale normalfordelt?

Projekt 8.3 Hvordan undersøges om et talmateriale normalfordelt? Projekt 8.3 Hvordan undersøges om et talmateriale normalfordelt? Projektet drejer sig om at udvikle en metode, til at undersøge om et givet talmateriale med rimelighed kan siges at være normalfordelt.

Læs mere

Analytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen

Analytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen Analtisk geometri Mike Auerbach Odense 2015 Den klassiske geometri beskæftiger sig med alle mulige former for figurer: Linjer, trekanter, cirkler, parabler, ellipser osv. I den analtiske geometri lægger

Læs mere

Brugervejledning til Graph (1g, del 1)

Brugervejledning til Graph (1g, del 1) Graph (brugervejledning 1g, del 1) side 1/8 Steen Toft Jørgensen Brugervejledning til Graph (1g, del 1) Graph er et gratis program, som ikke fylder meget. Downloades på: www.padowan.dk/graph/. Programmet

Læs mere

DENNE LILLE MANUAL TIL GEOGEBRA DÆKKER NOGENLUNDE DE EMNER, DER VEDRØRER FOLKESKOLEN TIL OG MED 10. KLASSE.

DENNE LILLE MANUAL TIL GEOGEBRA DÆKKER NOGENLUNDE DE EMNER, DER VEDRØRER FOLKESKOLEN TIL OG MED 10. KLASSE. Geogebra. DENNE LILLE MANUAL TIL GEOGEBRA DÆKKER NOGENLUNDE DE EMNER, DER VEDRØRER FOLKESKOLEN TIL OG MED 10. KLASSE. (dvs. det er ikke alle emner i SYMBOLLINIEN, der beskrives). Navnet GEOGEBRA er en

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1).

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1). Plangeometri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over Opgave 1 To linjer er givet ved ligningerne: x y 0 og x b y 4 0, hvor b er en konstant a) Beregn konstanten b således,

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere

Matematik A, STX. Vejledende eksamensopgaver

Matematik A, STX. Vejledende eksamensopgaver Matematik A, STX EKSAMENSOPGAVER Vejledende eksamensopgaver 2015 Løsninger HF A-NIVEAU AF SAEID Af JAFARI Anders J., Mark Af K. & Saeid J. Anders J., Mark K. & Saeid J. Kun delprøver 2 Kun delprøve 2,

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x)

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x) Integralregning 3 Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Opgave Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x) x i [,] drejes 36 om x-aksen. Vis,

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj 2013 HTX Vibenhus

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2016 Institution Campus vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik B (Valghold) SIPE

Læs mere

Brug af TI-83. Løsning af uligheder: Andre ikke simple uligheder løses ved følgende metode - skitseret ved et eksempel : Løs uligheden

Brug af TI-83. Løsning af uligheder: Andre ikke simple uligheder løses ved følgende metode - skitseret ved et eksempel : Løs uligheden Brug af TI-83 Løsning af andengradsligninger med TI-83 Indtast formlerne for d, og rødderne og gem dem i formellagrene u,v eller w. Gem værdierne for a, b og c i lagrene A, B og C Nedenstående display

Læs mere

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 11. juli 2011

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 11. juli 2011 Analytisk Geometri Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Projekt 6.1 Rygtespredning - modellering af logistisk vækst

Projekt 6.1 Rygtespredning - modellering af logistisk vækst Projekt 6.1 Rygtespredning - modellering af logistisk vækst (Projektet anvender værktøjsprogrammet TI Nspire) Alle de tilstedeværende i klassen tildeles et nummer, så med 28 elever i klassen uddeles numrene

Læs mere

TI-Nspire Technology Version 3.2 Versionsnoter

TI-Nspire Technology Version 3.2 Versionsnoter TI-Nspire Technology Version 3.2 Versionsnoter Versionsnoter 1 Sammenfatning Tak, fordi du opdaterer dine TI-Nspire -produkter til Version 3.2. Denne version af versionsnoterne indeholder opdateringer

Læs mere

Matematik A. Højere handelseksamen

Matematik A. Højere handelseksamen Matematik A Højere handelseksamen hhx131-mat/a-705013 Mandag den 7. maj 013 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøven består af to delprøver. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1 til 5 med i alt 5 spørgsmål.

Læs mere

MATEMATIK A. Xxxxdag den xx. måned åååå. Kl GL083-MAA. GU HHX DECEMBER 2008 Vejledende opgavesæt. Undervisningsministeriet

MATEMATIK A. Xxxxdag den xx. måned åååå. Kl GL083-MAA. GU HHX DECEMBER 2008 Vejledende opgavesæt. Undervisningsministeriet GU HHX DECEMBER 2008 Vejledende opgavesæt MATEMATIK A Xxxxdag den xx. måned åååå Kl. 10.00 15.00 Undervisningsministeriet GL083-MAA 574604_GL083-MAA_12s.indd 1 16/01/09 15:46:23 Matematik A Prøvens varighed

Læs mere

Some like it HOT: Højere Ordens Tænkning med CAS

Some like it HOT: Højere Ordens Tænkning med CAS Some like it HOT: Højere Ordens Tænkning med CAS Bjørn Felsager, Haslev Gymnasium & HF, 2001 I år er det første år, hvor CAS-forsøget er et standardforsøg og alle studentereksamensopgaverne derfor foreligger

Læs mere

Delprøve 1 UDEN hjælpemidler Opgave 1 Der er givet to trekanter, da begge er ensvinklet, da er forstørrelsesfaktoren

Delprøve 1 UDEN hjælpemidler Opgave 1 Der er givet to trekanter, da begge er ensvinklet, da er forstørrelsesfaktoren Matematik B, 5 december 2014 Løses af www.matematikhfsvar.page.tl NB: Når du læser løsningerne, så satser vi på du selv sidder med sættet. Figurer mv. bliver ikke indsat. Delprøve 1 UDEN hjælpemidler Opgave

Læs mere

Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer

Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer Brug af grafer og koordinatsystemer Lineære funktioner Andre funktioner lignnger med ubekendte Lektion 7 Side 1 Pris i kr Matematik på Åbent VUC Brug af grafer

Læs mere

Integralregning med TI-Interactive! Stamfunktioner Integraler Arealer Jan Leffers (2005)

Integralregning med TI-Interactive! Stamfunktioner Integraler Arealer Jan Leffers (2005) Integralregning med TI-Interactive! Stamfunktioner Integraler Arealer Jan Leffers (005) Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse... Stamfunktion og integralregning...3 Numerisk integration...3 Areal under

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Maj 2011 Institution Handelsskolen Tradium, Hobro afd. Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hhx Matematik A Kenneth Berg k708hhxa3 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Læs mere

Vektorregning. Vektorer som lister

Vektorregning. Vektorer som lister 10 Vektorregning Vektorer som lister En vektor laves nemmest som en liste på TI-89 Titanium / Voyage 200. I nedenstående skærmbillede ser du, hvordan man definerer vektorer og laver en simpel udregning

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/juni 2015 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Campus Vejle HHX Matematik A Ejner Husum

Læs mere

Undersøgelse af funktioner i GeoGebra

Undersøgelse af funktioner i GeoGebra Undersøgelse af funktioner i GeoGebra GeoGebra er tænkt som et dynamisk geometriprogram, men det kan også anvendes til undersøgelser og opdagelser omkring funktioner. Eksempel Tegn linjen med ligningen:

Læs mere