Matematik og Fysik for Daves elever

Transkript

1 TEC FREDERIKSBERG Matematik og Fysik for Daves elever MATEMATIK Simple isoleringer (+ og -) Simple isoleringer ( og ) Isolering af ubekendt (alle former)... 6 Fysik... 8 Fysik 1 : Hvordan løser man en opgave?... 9 Simple opgaver med enheder Fysik 2 : Enhed og fysisk værdi Fysik 3: Kombination af formler Fysik 4 : Formler ud fra databehandling [Adresse] [By], [Stat] [Postnummer] Telefon: [Dit telefonnummer] Fax: [Dit faxnummer]

2 TEC FREDERIKSBERG LÆR MATEMATIK 2 MATEMATIK Mange elever er bange for matematik uden grund. De synes det er svært og forvirrende. Men i denne lille guide vil I lære hvad der kræves at kunne i matematik for at løse opgaver i fysik. Jeg vil starte ud med simple isolerings opgaver og dernæst hoppe videre over til opgaver hvori gange og dividere indgår for til sidst at ende i en hvor både + og samt division og multiplikation indgår. Isolering med + og - Isolering med * og / Isolering med begge dele Det er dog vigtigt at noterer hvad man gør, og lægge mærke til dette for hver opgave. Hvis du begynder at sjuske fra start, så vil det gå skidt fremover Så her får du nogle gode råd: God orden Struktur Tænk dig om

3 TEC FREDERIKSBERG LÆR MATEMATIK 3 1. Simple isoleringer (+ og -) Ved simple isolering menes der at man bruger + og da disse er relative nemme at bruge for os. Lad mig give dig et eksempel. 5 + x = 25 Step 1: Denne ligning har en ubekendt, x, og denne skal isoleres til en side. Jeg kan desuden bide mærke i at der ikke er noget noget eller. 5 + x 5 = 25 5 Step 2: Nu prøver jeg at isolere x ved at rykke tallet,5, på den anden side. Det er vigtigt at jeg husker reglen. Hvad man gør på den ene side af en ligning skal også gøres på den anden side. x = 20 Step 3: Jeg har nu fundet ud af at x = 20, og er glad. Hvis jeg vil se om mit resultat er rigtigt så kan dette indsættes i ligningen foroven. Prøv at løse følgende isolerings problemer, og se hvad du får i facit. 1. x+5=7 2. x-7= x= x= = x = 39 - x =x x = 21 Du får facit listen her for neden, og husk at hvis du regner en af opgaverne forkert, så undersøg hvad du har gjort forkert og Lær af dine fejl. Facit liste 1. x=2 2. x=12 3. x=12 4. x= x = x=19 7. x= x= -1

4 TEC FREDERIKSBERG LÆR MATEMATIK 4 2. Simple isoleringer ( og ) Ved simple isolering menes der at man kun bruger eller, da så længde vi kun arbejder med disse, så er det nemt. Lad mig give dig et eksempel. 5x = 25 Step 1: Denne ligning har en ubekendt, x, og denne skal isoleres til en side. Jeg kan desuden bide mærke i at der ikke er noget + eller -, men et eller. Step 2: Nu prøver jeg at isolere x ved at dividere tallet 5 med 5, da = 1. Jeg husker også at Hvad man gør på den ene side af en ligning skal også gøres på den anden side. 5x 5 = 25 5 Step 2: Nu prøver jeg at isolere x ved at dividere tallet 5 med 5, da = 1. Jeg husker også at Hvad man gør på den ene side af en ligning skal også gøres på den anden side. x = 5 Step 3: Jeg har nu fundet ud af at x = 5, og er glad. Hvis jeg vil se om mit resultat er rigtigt så kan dette indsættes i ligningen foroven. Sådanne nogle regnestykker er der mange elever, der har svært med når de kommer ind på gymnasiet og derfor vil jeg lige vise jer at man altid skal huske at der står et magisk tal foran alle tal, da 1 gange tallet giver jo tallet selv så det gør jo ingen forskel om vi skriver det eller ej J Vi tager lige et til eksempel for at få dette på det rene, men nu hvor vi dividere med x, også kaldet en brøk med en ubekendt (Åh nej..) Men nu vil jeg hjælpe dig med et eksempel, så tag det roligt. x 6 = 4 Step 1: Denne ligning har en ubekendt, x, og denne skal isoleres til en side. Jeg kan desuden bide mærke i at der ikke er noget + eller -, men et eller.

5 TEC FREDERIKSBERG LÆR MATEMATIK 5 Step 2: Nu vil jeg gøre det samme som i eksemplet før i dette afsnit. Få x til at stå alene, eller få et 1-tal foran x. Jeg prøver derfor at skrive om til x. Nu er det nemmere at se hvordan man smider brøken foran over på den anden side. 1 6 x 6 = 4 6 Step 3: Jeg kan jo se at 6 = 1, så derfor må jeg gange med 6 på begge sider, fordi hvad man gør på den ene side af en ligning skal også gøres på den anden side. x = 4 6 = 24 Step 4: Jeg har nu fundet ud af at x = 24, og er super-glad. Hvis jeg vil se om mit resultat er rigtigt så kan dette indsættes i ligningen foroven. Og lad os prøve det i denne omgang, da division er ret svært. x = = 4 Step 5: Dette er sandt Så alt passer indtil videre Prøv at løse følgende isolerings problemer, og se hvad du får i facit. 1. 5x = x = = 4 = x 6 = = = x = x + 3x = " = Du får facit listen på næste side, men lad være med at kigge i den før du har løst opgaverne for oven Du snyder ingen andre end dig selv, og så bliver du aldrig bedre. Husk at det handler om at lære af sine fejl.

6 TEC FREDERIKSBERG LÆR MATEMATIK 6 Facit liste 1. x = 3 2. x = x = 4 4. x = x = 6 6. x = x = 2 8. x = x = x = 4 3. Isolering af ubekendt (alle former) De to sidste afsnit handlede om at isolere den ubekendte, x, ved simple ligninger. Men man kan også komme ud for at man både skal bruge + og samt og.i dette afsnit vil jeg vise jer to eksempler hvori der indgår både den addition og subtraktion sammen med division og multiplikation. Det vigtige er at man husker at først laver man subtraktion og addition, og dernæst rykker man til multiplikation og division, medmindre der er parentes. Prøv at isolere den ubekendte i følgende ligninger. 1. 2x + 7 = x 4 = = 2 4. = 2 5. x = x 4 = (1 x) 3 Facit liste 1. x = 2. x = 4 3. x = 3 4. x = 5 5. x = 6. x = Nu vil jeg give jer et tilfælde på en svær opgave, hvor der indgår flere faktorer. Så vil jeg forklare hvordan man gør, som før. Dette er et eksempel på en svære opgave.

7 TEC FREDERIKSBERG LÆR MATEMATIK 7 2+𝑥 4 = 3𝑥 5 Step 1: Denne ligning har en ubekendt, x, på hver side, så derfor vælger vi først at smide alle ubekendte på en side. 4 = 3𝑥 2+𝑥 5 Step 2: Nu skal vi finde ud af hvordan vi får x erne til at stå alene, og da vi har en brøk, så må vi tage os af den først. Den kan nemlig fjernes ved at gange alle led med nævneren (5-tallet) 4 5 = 3𝑥 5 2+𝑥 = 15𝑥 (2 + 𝑥) Step 3: Nu er jeg brøk fri og kan derfor løse opgaven nemmere, og det ligner en ligning vi har lavet før. Vi ender med dette. 20 = 15𝑥 2 𝑥 = 14𝑥 Step 4: Kan I langsomt se at vi faktisk bare gentager de samme skridt som før? Nu har vi jo samme tilfælde som førhen. 18 = 14𝑥 𝑥= Nu har vi løst en ligning, som så næsten umuligt ud i starten. Men bare ved de små skridt vi har lært førhen, så lykkes det os at isolere den. Prøv nu at bruge eksemplet til at løse følgende opgaver. De er udfordrende, men hvis du kan løse dem, så har du styr på dette 𝑥 = 𝑥 + 2 = 5𝑥 + 2 = = Facit liste 1. 𝑥 = =1 2. 𝑥 = 4 +1 =6

8 TEC FREDERIKSBERG LÆR MATEMATIK 8 3. x = 3 4. x = 5 5. x = 6. x = Fysik For mange elever er det svært at se hvordan fysikken og matematikken hænger sammen. Men i virkeligheden handler fysikken bare om at få isoleret ligningerne således at man kan løse problemet. Det vil sige at hvis man skal finde en hastighed, så skal man finde formlen for hastigheden. Hvis nu man skal finde ud af hvor langt en person har løbet, hvor der kendes hastighed og tid, så kan længden findes ved at isolere denne i formlen for hastighed. Så det handler om at huske formler. Herunder kommer mine gode råd til fysik. Husk formlerne God struktur og orden Husk enheder Tænk dig om...

9 TEC FREDERIKSBERG LÆR MATEMATIK 9 Fysik 1 : Hvordan løser man en opgave? Eksempel på en fysik Opgave I 2012 løb Usain Bolt en 100 m distance på 9.63 s, og slog dermed den olympiske rekord (kilde: 1. Beregn hans gennemsnitshastighed I denne opgave får jeg af vide at der bliver løbet 100 m på 9,63 sekunder, og der spørges om en hastighed. Nu ved jeg at mine bekendte (det jeg ved) er længde og tid, og min ubekendte (Det jeg ikke kender men vil kende) er hastigheden. Så tænker jeg i fysik på hvad formlen kan være og da det omhandler hastighed, så finder jeg frem til formlen for gennemsnits hastighed, som er beskrevet på følgende måde, v = distance tid hvor v er gennemsnits hastigheden. Nu har jeg faktisk en opgave, hvor den direkte kan løses, da den minder meget om det vi lavede for oven. Den ubekendt, x, i dette tilfælde er v, er lig med to tal som er bekendte. x = 100m 9,63s = 10,38 m s Så den ubekendte, hastigheden, er altså 10,4 meter pr. Sekund. Det vi kan konkludere ud fra fysikken er altså at man skal tage forbehold for diverse formler samt have styr på enheder (det der står til højre for tal værdien). Da enheden fortæller os om vi har regnet rigtigt; en hastighed måles i meter pr. sekund, og det er også det svar vi for, dermed må vi have regnet rigtigt, hvis vi har sat de rigtige talværdier ind. Formlen for gennemsnits hastighed foroven minder om det vi lavede i simple isoleringer opgave 9: 7x + 3x = 10x Her lærte vi nemlig at man kun kan plus tal sammen så længe de begge har det samme vedhæng (i dette tilfælde x). Hvis man addere et tal med ubekendt bagpå med en talværdi, så fås ikke det samme resultat, men et andet. 7x x, men 7x + 3 = 7x + 3 For at relatere det med fysikken, så betyder det bare at vi ikke kan gange to tal med forskellige enheder uden at ændre enheden 100m 9,83s = 983 m s Og så kan man tænke over hvad denne enhed betyder som selv ikke giver mening for mig.

10 TEC FREDERIKSBERG LÆR MATEMATIK 10 Simple opgaver med enheder Lad os starte med et eksempel fra starten, hvor vi forsætter med opgaven fra før og lad os forestille os at opgaven blev stillet på følgende måde; Eksempel på Opgave I 2012 løb Usain Bolt 10,4 meter i sekundet i et tidsrum af 9.63 s, og slog dermed den olympiske rekord (kilde: 1. Hvor langt løb han under den olympiske rekord? Step 1 Jeg starter ud med at tænke over i hvilken boldgade af fysik denne opgave er i. Der er ingen grund til at tænke over Ellære hvis opgaven giver dig værdien, hastighed (meter pr. Sekund) og tidsrum (sekunder). Så jeg finder frem til formlen for gennemsnits hastighed. Step 2 Step 3 Step 4 v = d distance t tid Jeg undersøger nu hvad jeg ved i opgaven, altså hvad er min ubekendt og kendte værdier. Jeg når frem til følgende resultat Det jeg kender Det jeg ikke kender Tid à t distance à d Hastighed à v Nu bruger jeg mine awesome skills i matematik til at løse ligningen. 10,83 m s = x 9,63s 9,63s 10,4 m s = x 9,63s 9,63s 9,63s 10,4 m s = x Så nu bør vi bare lige huske at x er den ubekendte (det jeg ikke kender), som er distancen. Jeg regner følgende ud og lægger mærke til at sekunderne går ud. 9,63s 10,4 m s = x 9,63 10,4m = x 100m = x Og nu står der meter tilbage, hvilket også er enheden for min ubekendte, da jeg ved at det er en distance. Det vil sige at distancen som Usain Bolt løb var 100 m. Lad os nu prøve at arbejde med enhederne, ved at omregne hastigheden om til en anden enhed : km/t. Hertil skal vi vide 2 ting. 1km = 1000 m og 1t = 3600s

11 TEC FREDERIKSBERG LÆR MATEMATIK 11 Dette er vigtigt, da vi har enheden i meter pr. sekund, så vi skal finde ud af hvad en meter svarer til i km og tilsvarende for sekunder. 10,4 m 1m = 10,4 s 1s Lad os prøve at se på hvad en meter og en sekund svarer til. 1km = 1000m 1km 1000 = m 1 km = 1m t = 3600 s 1t 3600 = s 1 t = 1s 3600 Så hvis vi indsætter de to værdier ind på hastigheden for oven, så omregner vi faktisk enheden til km pr. time. 10,4 1m 1 1s = 10, km 3600km = 10, t 1000s = 10,4 3,6 km t = 37,4 km t Nu har vi lige vist hvordan man bruger formler, og hvordan man kan omregne enhederne på diverse fysiske værdier, så som hastigheden. Lad os først arbejde med to simple formler; den ene for hastighed og den anden for effekt. Hastighed: v = = "#$%&'( "# Effekt: P = = "#$%& "# Nu får i til opgave at løse følgende opgaver: 1. Hvis tiden og hastigheden er kendt, hvordan findes distancen (længden)? 3. Hvis hastigheden og distancen er kendt, hvordan findes den ubekendte, tiden, så? 2. Hvis tiden og effekten er kendte, hvordan findes den ubekendte, Energi så? 4. Hvis energien og effekten er kendt, hvordan findes tiden så? Jeg håber at I lagde mærke til at disse spørgsmål løses præcist på samme måde, som dem før i matematik. Men lad os prøve at sætte tal på disse formler og løse opgaverne med tal. De følgende opgaver er taget direkte ud fra prøver, som jeg har afholdt med andre klasser.

12 TEC FREDERIKSBERG LÆR MATEMATIK 12 Opgaver i Fysik Opgave 1 Et gram krudt i en patron frigør cirka 3,3 kj, men det sker på cirka 0,0005 sekunder. (kilde: ) 1. Hvad er effekten, hvormed der frigives energi i en patron? Opgave 2 I 2012 løb Usain Bolt en 100 m distance på 9.63 s, og slog dermed den olympiske rekord (kilde: 1. Beregn hans gennemsnitshastighed Opgave 3 : En elkoger bruger omtrent 450 kj på at koge vand i 5 min. 1. Hvad er elkogerens effekt? Opgave 4 : Læreren vil demonstrere lysets og lydens hastighed for eleverne og vælger derfor at introducere konceptet lys før lyd når et lyn rammer jorden. Han spørger en række spørgsmål ud til klassen. 1. Hvis man ser et lyn og dernæst hører en lyd 8 sekunder senere hvor langt væk befinder man sig så fra lynet? (Lydens hastighed er 343 m/s) 2. Hvor langt tid tog det dig at se lynet da det ramte Jorden? Opgave 5 : Ved opgave 1 kendes Usain bolts hastighed, og denne kan beregnes til en kinetiske energi ved denne formel : E = m v. 1. Hvilken effekt generede han under sit løb under de olympiske lege?

13 TEC FREDERIKSBERG LÆR MATEMATIK 13 Fysik 2 : Enhed og fysisk værdi Nu rykker vi os lidt nærmere fysikken, og det vigtige er nemlig at fysik er som matematik bare med et vedhæng, der hedder enheder. I fysik er et vigtigt at vide at enheden beskriver den fysiske værdi. Lad os holde fast i hastighed; man går altså ikke 2 sek eller 2 meter, men man går med 2 meter på et tidsrum (pr. Sekund, eksempelvis). Når en person spørger dig om tiden, svarer du heller ikke ; Den er 15 meter. Så konklusionen er at enheder beskriver en fysisk størrelse. Fysisk værdi Enhed Eksempel Længde eller distance m (meter) Min bærbar er ca. 30 cm bred Der er 1 km over til baren. Tid s (sekund) Der er gået 10 sek siden vi startede forsøget Jeg har været i gang i 2 timer. Hastighed m/s (meter pr. Sekund) Personen løber 10 meter pr. Sekund Elektronen bevæger sig 30 cm/t. Det vigtige er nemlig at få styr på enhederne, da så ved man hvilken fysisk værdi man arbejder med. Snakker vi om Watt, så er det en effekt, derfor energi over tid. Lad os indføre en formel til, denne er nemlig for varme energi. E = m c ΔT Her er der nemlig flere fysiske værdier; Fysisk værdi Enhed Forklaring E J Joule Dette er den varme energi et materiale indeholder m Kg Kilogram Den masse et materiale indeholder eller også det den vejer på Jorden. c J/kg/ C Joule pr kilogram Den specifikke varmekapacitet beskriver hvor meget energi et 1 kg materiale skal bruge for at varme 1 grad op. pr. grad ΔT C Celsius Tilførslen af temperatur måles i Celsius, men kaldes også grader. Den fortæller os hvordan molekylerne bevæger sig i materialet; jo hurtigere jo varmere. ΔT = T "#$ T "#$"

14 TEC FREDERIKSBERG LÆR MATEMATIK 14 Lad os prøve at lege med den i nogle opgaver. Og sørg for at løse opgaverne, som i eksemplerne før, med steps og opskriv: hvad kender jeg og kender ikke Opgave 1 Opgave 2 Opgaver til varme energi Hvor meget varme energi bliver der tilført 1 kg vand i en elkedel, der medfører en temperatur stigning på 80 C. Vandet i en elkedel er lige kommet op og koge fra en stuetemperatur ( ca. 20 C) og indeholder lige nu 668 kj 1. Hvad er vandets masse? 2. Hvad er elkedlens effekt, hvis det tog 6 min? Opgave 3 Hvad er vandets varme energi i et glas, hvis der ikke påføres nogen temperatur ændring? Opgave 4 3 venner kommer forbi og vil gerne have en kop té. Du ved at en kop te kræver ca. 200 ml vand, og at vandets start temperatur er ca. 20 C. 1. Beregn den varme mængde vandet modtager når det er kogt.

15 TEC FREDERIKSBERG LÆR MATEMATIK 15 Fysik 3: Kombination af formler I dette afsnit vil vi lære at kombinere formler sammen for at finde løsningen på problemet. Dette kræver et stort overblik og det er et krav i fysik at huske formlerne. Specielt når man arbejder med energi, så ved man at energi altid omsættes til en anden form. Eksempelvis som når man bruger en elkedel, så omsætter man elektrisk energi til varme energi. Lad os starte med et eksempel på en udregning. Eksempel på Opgave Opgave: En elkedel på 2000 W opvarmer en væske op i 5 min, der vides kun at elkedlen indeholder 5,5 kg af væsken og at denne er blevet opvarmet 45 C 1. Hvilket materiale er der tale om? Sådan type opgave er typisk betragtet som den middel-svære kategori, da man skal tænke sig godt om. Nu prøver vi at løse problemet som førhen. Step 1 Først tænker vi os grundigt over hvor i fysikken vi befinder os. Da der står opvarmer i teksten, så ved vi at det har noget med energi at gøre. Enheden W (Watt) fortæller os at vi har noget med en effekt at gøre. Så lad os opskrive formlen. Step 2 P = E t Dernæst ved vi at der står opvarmer en væske, dvs. At væsken får en varme energi, derfor kan vi skrive formlen op for varme energi. E = m c T Når jeg har sat alle mine formler op, så tænker jeg over at den eneste værdi der ikke er givet er, specifik varmekapacitet, som afhænger af materialet. Alle materialer har hver deres værdi, så hvis jeg finder denne værdi, så kan jeg slå op i en tabel (bogen) og se hvilket materiale det tilhører. Step 3 Det jeg kender Effekt à P [W] Det jeg ikke kender: Specifik varmekapacitet masse à m [kg] à c [J/kg/ C] Temperatur stigning à T [ C] Tid à t [min] De kantede parenteser indikere enheden for den fysiske værdi I fysik kan man altid antage noget indenfor rimelig grænser, så i dette tilfælde vil jeg sige at alt den elektrisk energi (gennem effekten af elkedlen) omsættes til en varme energi til den mystiske stof. Dette kan jeg gøre, da der ikke er beskrevet nogle nyttevirkning, derfor kan jeg bare antage denne til at være 1. Derfor vil jeg nu isolere E i ligningen for effekt først.

16 TEC FREDERIKSBERG LÆR MATEMATIK 16 P = E t E = P t Step 4 Dernæst bruger jeg min antagelse om at den tilførte energi (E, foroven) er lig med varme energien. E = m c T P t = m c T Og nu isolerer jeg så den specifikke varmekapacitet. P t P t = m c T c = m T Nu har jeg isoleret den ubekendte og kan derfor indsætte mine kendte værdier, som beskrevet i step 2. c = 2000 J 5min 60 s/min s J = ,5 kg 45 C kg C Jeg slår følgende værdi op i en tabel (som i bogen) og ser at den tilhører Ethanol (sprit) Dette var som sagt en middel svær opgave, hvor man skal kunne huske formlen for effekt samt varme energi, hvilket man simpelthen lærer ved at lave masser af opgaver. Det vigtigste er at få metoden på plads, dvs. disse steps. Prøv at løse følgende opgaver i de bøger i nu normalt bruger, og sørg for at lave disse skridt indtil du føler dig sikker i hvordan det gøres. Opgaver Orbit B HTX: Ø2.6, Ø2.7, Ø2.8,

17 TEC FREDERIKSBERG LÆR MATEMATIK 17 Fysik 4 : Formler ud fra databehandling Her skal du skrive lidt om databehandling. Ved data og brug af «formler»»

18 TEC FREDERIKSBERG LÆR MATEMATIK 18 Svære opgaver I dette afsnit finder du nogle sværere opgaver, og hvis du kan løse disse, så burde du ikke have problemer med fysik fremover. Så husk hvad du har lært, og så vil du regne bedre end katten til højre Hel dog lykke Opgave 1 Nøgleord: Effekt, samfundsudvikling, teknologi, priser Et køleskab omsætter 150 J pr. sekund Hvor mange sekunder går der på et år? Hvor stor er køleskabets årlige energi omsætning? Ifølge Dong Energy er prisen 2,2 kr for hver kwh der bruges i en husstand. (kilde: Hvad koster det om året at have køleskabet tændt? Hvis man undersøger et apparats forbrug på et år, så indser man at dette køleskab er nærmest, defekt, da et nyt køleskab tager omtrent 71 kwh pr. år. (kilde: ges/alleapparaterselforbrug.aspx) Hvor meget sparer man ved et års forbrug med det nye Hvad kunne ligge til grund for denne store besparelse? Med andre ord, hvad kan få et køleskab til at bruge så høj en effekt? Opgave 2 Nøgleord: Effekt, samfundsudvikling, teknologi, priser Vi opvarmer et halv kilo-aluminiumslod fra stuetemperatur på 293 K til 364 K. Denne temperaturstigning fås ved at tilføre omtrent 32 kj. Omregn start og sluts temperaturen til Celcius Udregn varmekapaciteten for aluminiumsloddet. Nu tages et plastik lod ud og aluminiumsloddet, og begge har stuetemperatur på omtrent 20 C. Begge lod vejer 100 gram, og opvarmes til 50 C. Nu sættes begge lod i hver deres glas vand. Det bør nævnes at plastikkens specifikke varmekapacitet er omtrent 1950 " ". Hvilket glas vil være varmest? Hvad vil temperaturstigningen på vandet blive hvis ingen energi går til omgivelserne, og vi antager at der er 250 ml vand i glasset.