Studieretningsprojekter i machine learning

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Studieretningsprojekter i machine learning"

Transkript

1 i machine learning 1 Introduktion Machine learning (ml) er et område indenfor kunstig intelligens, der beskæftiger sig med at konstruere programmer, der kan kan lære fra data. Tanken er at give en computer en mængde data, som computeren derefter selv finder mønstre i. Man kan derefter give computeren et nyt sæt ukendte datapunkter som den, på baggrund af sin erfaring om datasættet, kan forudsige ønskede værdier for. ml er efterhånden blevet et uundværligt værktøj indenfor dataanalyse, specielt når det kommer til big data, hvor man ofte har alt for mange data og data i alt for mange dimensioner til at mennesker kan arbejde med dem. I ml skelner man ofte mellem to typer af metoder, nemlig regression og klassifikation: Regression handler om at beregne en værdi, typisk et decimaltal, ud fra en række parametre. Et eksempel er at bestemme prisen på et hus givet f.eks. boligareal, grundareal, afstand til havet osv. Klassifikation handler om at tildele en bestemt klasse til et datapunkt på baggrund af en række parametre. Et eksempel er at afgøre om en given mail er spam eller ej, f.eks. baseret på ordene i mailen, afsenderen, tidspunktet for modtagelsen osv. I alle ml-metoder skal man bruge parametre, ofte kaldet features, som er relevante for den pågældende opgave. I eksemplet med husprisen må man formode at prisen afhænger af f.eks. grundarealet, så dette vil være en god parameter at tage med i beregningerne. Til gengæld har farven på den forrige ejers bil nok ikke den store indflydelse på husprisen, så det vil ikke gøre modellen bedre at tage denne parameter med. At vælge de rigtige parametre er altafgørende for hvor godt modellen kommer til at fungere, og ofte er det her at størstedelen af arbejdet og snilden ligger. Den følgende tekst giver en kort introduktion til tankegangen i ml og beskriver nogle få metoder, der relativt let kan implementeres selv. I afsnit 2 beskrives ideén om at se data som koordinatsæt, mens afsnit 3 og afsnit 4 beskriver nogle metoder til at analysere sådanne data. Afsnit 5 beskriver nogle metoder til at identificere de vigtigste parametre i et datasæt. Slutteligt giver afsnit 6 et bud på et muligt projekt indenfor ml og dataanalyse. 2 Data som koordinatsæt Når man skal analysere store mængder data, er det nødvendigt at tage matematiske redskaber i brug. For at kunne arbejde matematisk med data, bliver man nødt til at betragte dem på en måde, så de kan indgå i ligninger. Lad os sige, at vi ønsker at lave et program, der kan forudsige prisen på et hus. Nu kan man jo ikke bare tage et billede af et hus og ud fra det gætte prisen, så vi må finde nogle tal eller parametre der beskriver huset, og som vi mener bør have en indflydelse på husprisen. Dette kunne f.eks. være boligarealet, grundarealet, antal værelser, byggeår, afstand til havet osv. Vi kan nu undersøge, om der virkelig er en sammenhæng mellem vores parametre og husprisen. Har vi adgang til nogle huse med kendte salgspriser, kan vi jo f.eks. lave en graf med boligarealet ud ad x-aksen og husprisen op ad y-aksen og se, om boligerne ser ud til at ligge på en ret linje, en parabel eller lignende. 1

2 I ovenstående eksempel har vi faktisk allerede lavet vores data om til matematiske størrelser nemlig koordinatsæt i en graf! Ved at bruge boligarealet som x-koordinat og husprisen som y-koordinat, har vi nemlig lavet punkter, der svarer til (x, y) = (boligareal, huspris), i et koordinatsystem, og disse punkter kan vi bruge på præcis samme måde, som vi normalt bruger punkter. Der er overhovedet ingen forskel på disse punkter og de punkter, der bruges i matematikundervisningen. Vi kan f.eks. beregne afstande mellem vores hus -punkter, beregne arealet mellem dem, tilpasse (fitte) en ret linje til dem osv. Nogle af disse beregninger er måske ligegyldige for bestemmelsen af husprisen, men andre er måske nyttige. At fitte en ret linje til punkterne kunne f.eks. godt være en god idé. Nu skal vi nok ikke regne med, at der er en perfekt sammenhæng mellem boligarealet og husprisen. Nogle af de andre parametre, der blev nævnt ovenfor, har sandsynligvis også en indflydelse på husprisen og der er helt sikkert flere parametre, vi slet ikke har tænkt på. Spørgsmålet er nu, hvordan vi kan gøre brug af alle disse parametre på én gang. I eksemplet ovenfor, hvor der var to parametre, boligareal og huspris, fik vi et koordinatsæt på et punkt i to dimensioner, nemlig (x, y) = (boligareal, huspris). (1) Tilføjer vi en ekstra parameter, f.eks. grundarealet, kan vi stadig betragte det som et koordinatsæt til et punkt, nu bare i tre dimensioner: (x, y, z) = (grundareal, boligareal, huspris). (2) Disse punkter kan også indtegnes i et koordinatsystem, men det skal gøres i tre dimensioner, og så bliver det lidt sværere at visualisere på en god måde. Man kan blive ved med at tilføje parametre til koordinatsættet tilføjer vi også byggeåret, får vi et punkt i fire dimensioner: (x, y, z, æ) = (byggeår, grundareal, boligareal, huspris). (3) Nu begynder vi dog at løbe tør for bogstaver, der stadig ser matematiske ud, til parametrene, så i stedet kalder man ofte parametrene x 1, x 2, x 3 osv. Punktet vil da kunne skrives som (x 1, x 2, x 3, x 4 ) = (byggeår, grundareal, boligareal, huspris). (4) Vi kan selvfølgelig tilføje flere og flere parametre, men det er svært at visualisere punkter i mere end tre dimensioner, så herefter må vi stole på matematikken, når vi skal finde sammenhænge i vores data. 3 Lineær klassifikation og regression En simpel metode til både regression og klassifikation bygger på et førstegradspolynomium (også kaldet lineært polynomium): y = w 0 + D w i x i = w 0 + w 1 x 1 + w 2 x 2 + w 3 x 3 + (5) i=1 Her er D antallet af parametre, man bruger i sin model, w erne er konstanter, mens x erne er parametre. Har man kun én parameter, får man det velkendte y = ax+b. Variablen y i ligning (5) er værdien eller klassen, man ønsker at forudsige. Opgave 1 Hvorfor bliver ligning (5) til y = ax + b, når man kun har én parameter? Side 2 af 7

3 3.1 Metoden Metoden bygger som sagt på et førstegradspolynomium. Dette kan virke meget simpelt, men metoden er enormt effektiv hvis ens data faktisk opfører sig (nogenlunde) lineært. Metoden bruges forskelligt alt efter om man ønsker at bruge den til klassifikation eller regression. Klassifikation Metoden kan kun implementeres let, hvis man arbejder med to klasser, så dette vil vi tage udgangspunkt i. Variablen y i ligning (5) repræsenterer de to klasser, men det er ikke ligegyldigt, hvad vi kalder disse klasser. For at metoden virker, skal den ene klasse have klassen +1, men den anden skal have 1. Giv derfor hver kombination af parametre den y-værdi, som svarer til klassen. Når dette er gjort, kan datapunkterne konstrueres med +1 eller 1 på y s plads og førstegradspolynomiet fittes derefter til punkterne, f.eks. ved hjælp af Excel. Man kan slutteligt forudsige en klasse for et nyt datapunkt ved at beregne y for den nye kombination af paramtre. Klassen bestemmes da ved: { +1 hvis y > 0 Klasse = (6) 1 hvis y < 0 I tilfældet hvor y = 0, kan man ikke umiddelbart tildele punktet en klasse. Regression At forudsige værdier for datapunkter ved hjælp af et førstegradspolynomium er et kendt problem, som de fleste har løst mange gange i f.eks. Excel har man kun én parameter reducerer problemet nemlig til at fitte en ret linje til datapunkterne. Efterfølgende kan man forudsige y-værdier for ukendte værdier af parameteren x. Har man mere end én parameter, er løsningen stadig den samme, nemlig at fitte et førstegradspolynomium til dataene. Har man f.eks. to parametre, skal man fitte en funktion af formen y = ax 1 + bx 2 + c til dataene. Opgave 2 Hvilket geometrisk objekt svarer en funktion af formen y = ax 1 + bx 2 + c til? Desværre kan Excel ikke følge med, når man arbejder med mere end én parameter, men der findes mange gratis programmer på internettet, der kan. 4 k nearest neighbours k nearest neighbours (k-nn) er en metode til at forudsige en værdi eller klasse på baggrund af allerede kendte observationer (datapunkter). Basalt set bruger metoden de k nærmeste datapunkter ( naboer ) til at forudsige enten værdien eller klassen for et nyt datapunkt. Præcis hvor mange naboer man skal vælge (dvs. for stor k skal være) varierer fra situation til situation, og man må ofte bare prøve sig frem. 4.1 Metoden Givet et nyt datapunkt t skal afstanden d fra dette til alle andre datapunkter beregnes. Dette kan f.eks. gøres ved at beregne den Euklidiske afstand: d(t, x) = n (t i x i ) 2 = (t 1 x 1 ) 2 + (t 2 x 2 ) (t n x n ) 2, (7) i=1 Side 3 af 7

4 hvor t 1, t 2,..., t n er koordinaterne for det nye datapunkt (t), og x 1, x 2,..., x n er koordinaterne for et af de eksisterende datapunkter (x). De kendte datapunkter (dvs. ikke det nye) sorteres herefter afstand, og man kigger nu kun på de k datapunkter med den korteste afstand. Man kan nu bestemme enten en værdi eller en klasse som følger: Klassifikation Vælg den klasse, som de fleste af de k datapunkter tilhører. Hvis to eller flere klasser har lige mange datapunkter, vælges der tilfældigt. Hvis man kun har to klasser at vælge imellem, kan det være en fordel at vælge et ulige k, f.eks. 3, 5, 7 osv. Dette sikrer, at én af klasserne altid vil være i overtal. Regression Skal man bestemme en værdi t for datapunktet, er der mulighed for at gøre flere ting den simpleste er blot at tage gennemsnittet af de k nærmeste: t = 1 k k x i, (8) i=1 hvor x i indikerer værdien af det i te nærmeste datapunkt. En anden mulighed er at vægte de enkelte datapunkter, når man tager gennemsnittet. Ofte vægtes datapunkterne med d 1, dvs. jo større afstanden til datapunktet er, jo mindre betydning får det. Bruges denne vægtning kan værdien for det nye datapunkt beregnes som t = hvor d i er afstanden fra t til datapunktet x i. 5 Parameterudvælgelse k i=1 d 1 i x i k i=1 d 1 i, (9) Parameterudvælgelse (feature selection på engelsk) handler om at identificere de parametre, der indeholder mest information. Med andre ord prøver man at finde ud af hvilke parametre, der betyder mest for klassificeringen eller værdibestemmelsen af et datapunkt. Det kan nogle gange være nødvendigt at sortere de dårligste parametre fra, for at få en god klassifikation eller regression. Specielt k-nn kan give dårlige resultater, når man har relativt få datapunkter i forhold til antallet af parametre. Har man meget få parametre, kan man prøve at bruge alle tænkelige kombinationer af disse og se, hvilken giver det bedste resultat. Dette bliver dog hurtigt uoverkommeligt, når antallet af parametre stiger. Herunder præsenteres to simple teknikker, der kan hjælpe med at finde de mest informationsrige parametre. 5.1 Fremadrettet parameterudvælgelse Fremadrettet parameterudvælgelse (forward feature selection på engelsk) går ud på, at man træner sin model med én parameter ad gangen og finder den parameter, der indeholder mest information. Denne parameter beholder man og leder nu efter den af de resterende parametre, der sammen med den udvalgte giver det bedste fit. Dette fortsættes indtil man opnår den ønskede nøjagtighed. På punktform ser metoden således ud: 1. Træn modellen med én parameter ad gangen, indtil alle parametre har været afprøvet. 2. Udvælg den parameter (lad os kalde den x 0 ), der gav det bedste fit. 3. Lav nye parameterkombinationer af x 0 og hver af de resterende parametre, én ad gangen dvs. (x 0, x 1 ), (x 0, x 2 ), (x 0, x 3 ) osv. Side 4 af 7

5 4. Udvælg den parameterkombination (f.eks. (x 0, x 1 )), der gav det bedste fit. 5. Lav nye parameterkombinationer af (x 0, x 1 ) og hver af de resterende parametre, én ad gangen dvs. (x 0, x 1, x 2 ), (x 0, x 1, x 3 ), (x 0, x 1, x 4 ) osv. 6. Udvælg den parameterkombination (f.eks. (x 0, x 1, x 2 )), der gav det bedste fit. 7. Fortsæt med dette indtil den ønskede nøjagtighed er nået. En fordel ved fremadrettet parameterudvælgelse er, at man relativt hurtigt finder en parameterkombination, der giver en god nøjagtighed. En ulempe er, at fremadrettet parameterudvælgelse i starten finder den parameter, der i sig selv indeholder mest information men det er ikke nødvendigvis den parameter, der kombineret med andre vil være bedst. Dette tager den næste metode højde for. 5.2 Baglæns parameterelimination Baglæns parameterelimination (backwards feature elimination på engelsk) er, så at sige, en baglæns version af fremadrettet parameterudvælgelse. I stedet for at starte med at træne med én parameter ad gangen, starter man nu med alle parametre, men fjerner én ad gangen. Man finder så den kombination, der giver det bedste fit, og proceduren fortsætter, til man opnår sin ønskede nøjagtighed. På punktform ser metoden således ud: 1. Træn modellen med alle på nær én parameter, indtil alle parametre har været fjernet på skift. 2. Udvælg den kombination af paramtre, der gav det bedste fit. 3. Træn modellen på den nye kombination, hvor der igen fjernes én parameter ad gangen. 4. Udvælg den kombination af paramtre, der gav det bedste fit. 5. Fortsæt med dette indtil den ønskede nøjagtighed er nået. En fordel ved baglæns parameterelimination er, at metoden hele tiden ser på, hvilken kombination af parametre, der giver det bedste fit, og ikke kun ser på hvor godt de enkelte parametre virker. Til gengæld er metoden meget langsommere end fremadrettet parameterudvælgelse, da de fleste modeltræninger ligger i starten, hvor man stadig har de fleste parametre med. 5.3 Kombineret parameterudvælgelse Begge ovennævnte metoder har styrker og svagheder, og hvilken der virker bedst kommer meget an på ens data og parametre. Som en sidste mulighed skal det nævnes, at man kan forsøge at tage det bedste fra de to metoder ved at kombinere dem. Man kan f.eks. lave baglæns parameterelimination 5 gange efterfulgt fremadrettet parameterudvælgelse 2 gange, indtil man opnår den ønskede nøjagtighed. Man kan selvfølgelig ændre antallet af gentagelser, eller vælge at starte med fremadrettet parameterudvælgelse man må simpelthen bare prøve sig frem, indtil man finder en god kombination. At kombinere de to metoder kan kun lade sig gøre, hvis man har få data og/eller få parametre, da metoden hurtigt kommer til at tage alt, alt for lang tid. Side 5 af 7

6 6 Projekt i astronomi Herunder følger et projekt, der vil være mulighed for at lave. Projektet er ment som forslag, så der er rig mulighed for at ændre både emne og indhold tag en snak med os om mulighederne! Programmeringserfaring er på ingen måde et krav, da færdige programmer vil blive udleveret. 6.1 Introduktion I de seneste par årtier er mængden af astronomiske data steget eksplosivt i takt med at større og større teleskoper bliver bygget og det er ikke slut endnu. Om mindre end 10 år tager Large Synoptic Survey Telescope (LSST) sit første billede, og det vil i de efterfølgende år producere intet mindre end 30 TB data per nat. Det giver os to store udfordringer: for det første skal billederne analyseres i real time, så man med det samme kan give andre teleskoper verden over besked om interessante begivenheder såsom supernovaer, der hurtigt skal følges op på; for det andet vil LSST kunne kigge meget længere ud i universet og se meget svagere objekter, end man kan i dag. Man vil kunne se milliarder af stjerner, galakser og andre astronomiske objekter hver nat, og det er alt, alt for mange til at man kan lave detaljerede studier af hvert eneste objekt. Der er derfor brug for ekstremt effektive machine learning-teknikker til at udvælge de mest interessante objekter til videre undersøgelser. Det er dog et endnu uløst problem for ml-teknikkerne at overføre erfaring fra et datasæt (f.eks. SDSS) til et andet (f.eks. LSST). Det fungerer meget dårligt i dag, men problemet skal løses, hvis vi skal maksimere det videnskabelige udbytte. 6.2 Projektbeskrivelse Projektet tager udgangspunkt i data fra Sloan Digital Sky Survey (SDSS), som siden 2000 har taget billeder af himlen. Der er taget billeder af næsten en milliard objekter, og der bliver stadig fundet nye, ukendte objekter i billederne. Astronomerne selv bruger dog ikke billederne til så meget, simpelthen fordi det er svært at bestemme parametre (f.eks. størrelse, afstand og masse) for objekterne alene ud fra billederne. I stedet bruger man spektre af lyset fra objekterne, da disse indeholder en masse information. Desværre er det enormt tidskrævende og meget dyrt at tage spektre, så kun særligt lovende objekter bliver observeret på denne måde. Det gør dels, at man ikke får set det store billede, dels at man kun sjældent opdager helt nye objekter. Også her kan ml hjælpe, og det er det, projektet her undersøger. Vi vil benytte data fra omkring objekter fra SDSS-databasen (http://www.sdss3. org/). Vi skal bl.a. se på stjernedannelsesraten i galakser, dvs. hvor mange stjerne, der bliver dannet per år i galakserne. Dette tal kan fortælle om galaksernes dannelse og udvikling, men man skal som regel bruge et spektrum for at bestemme det. Vi vil forsøge at gøre det alene ud fra billederne. Vi vil også forsøge at finde kvasarer i SDSS-dataene. En kvasar er et meget fjerntliggende objekt, der udsender enorme mængder energi en enkelt kvasar kan udsende tusind gange så meget energi som Mælkevejen, der indeholder 200 til 400 milliarder stjerner. Kvasarer menes at være aktive områder omkring supertunge sorte huller i centrene af meget fjerne galakser, og siden de ligger så langt væk, kan vi få et unikt indblik i, hvordan universet så ud, da det var meget ungt. Kvasarer er dog svære at finde, da de til forveksling ligner stjerner, men vil vi vha. ml-teknikker forsøge at komme med kvalificerede bud på, hvilke objekter, der kunne være kvasarer. 6.3 Læringsmål I løbet af projektet vil den studerende blive bekendt med: ml-metoder til både regression og klassifikation. Hvordan disse metoder virker og hvilke fordele og ulemper de hver især har. Side 6 af 7

7 Galaksers opbygning og udvikling. Hvordan man kan bruge regression til at estimere stjernedannelsesraten i galakser og hvor præcist, dette kan gøres. Hvordan kvasarer fungerer og observeres. Hvordan man kan bruge klassificering til at finde kvasarer hvor fjerne kvasarer kan vi finde? Hvilken effekt det har, at antallet af kendte kvasarer falder med afstanden om det gør vores klassifikation dårligere, og om vi i så fald kan gøre noget for at afhjælpe problemet. Hvad ml-metoder kan (og ikke kan) hjælpe astronomien med. Side 7 af 7

Data-analyse og datalogi

Data-analyse og datalogi Det Naturvidenskabelige Fakultet Data-analyse og datalogi Studiepraktik 2014 Kristoffer Stensbo-Smidt Datalogisk Institut 23. oktober 2014 Dias 1/15 Hvorfor bruge tid på dataanalyse?! Alle virksomheder

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Mørk energi Anja C. Andersen, Dark Cosmology Centre, Niels Bohr Institutet, Københavns Universitet

Mørk energi Anja C. Andersen, Dark Cosmology Centre, Niels Bohr Institutet, Københavns Universitet Mørk energi Anja C. Andersen, Dark Cosmology Centre, Niels Bohr Institutet, Københavns Universitet En af de mest opsigtsvækkende opdagelser inden for astronomien er, at Universet udvider sig. Det var den

Læs mere

Om at finde bedste rette linie med Excel

Om at finde bedste rette linie med Excel Om at finde bedste rette linie med Excel Det er en vigtig og interessant opgave at beskrive fænomener i naturen eller i samfundet matematisk. Dels for at få en forståelse af sammenhængende indenfor det

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere

Eksperimentel matematikundervisning. Den eksperimentelle matematik som didaktisk princip for tilrettelæggelse af undervisningen

Eksperimentel matematikundervisning. Den eksperimentelle matematik som didaktisk princip for tilrettelæggelse af undervisningen Eksperimentel matematikundervisning Den eksperimentelle matematik som didaktisk princip for tilrettelæggelse af undervisningen Matematikkens ansigter Ligesom den græske gud Morpheus, der i kunstneren Lionel

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Graph brugermanual til matematik C

Graph brugermanual til matematik C Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes

Læs mere

Af Lektor, PhD, Kristian Pedersen, Niels Bohr Instituttet, Københavns Universitet

Af Lektor, PhD, Kristian Pedersen, Niels Bohr Instituttet, Københavns Universitet RØNTGENSTRÅLING FRA KOSMOS: GALAKSEDANNELSE SET I ET NYT LYS Af Lektor, PhD, Kristian Pedersen, Niels Bohr Instituttet, Københavns Universitet KOSMISK RØNTGENSTRÅLING Med det blotte øje kan vi på en klar

Læs mere

Lærervejledning Modellering (3): Funktioner (1):

Lærervejledning Modellering (3): Funktioner (1): Lærervejledning Formål Gennem undersøgelsesbaseret undervisning anvendes lineære sammenhænge, som middel til at eleverne arbejder med repræsentationsskift og aktiverer algebraiske teknikker. Hvilke overgangsproblemer

Læs mere

Kvadratisk regression

Kvadratisk regression Kvadratisk regression Helle Sørensen Institut for Matematiske Fag Københavns Universitet Juli 2011 I kapitlet om lineær regression blev det vist hvordan man kan modellere en lineær sammenhæng mellem to

Læs mere

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul Lineære sammenhænge Udgave 2 y = 0,5x 2,5 2009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Variabelsammenhænge, 2. udgave 2009". Indhold 1. Lineære sammenhænge, ligning og graf... 1 2. Lineær

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

Fraktaler Mandelbrots Mængde

Fraktaler Mandelbrots Mængde Fraktaler Mandelbrots Mængde Foredragsnoter Af Jonas Lindstrøm Jensen Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Indhold Indhold 1 1 Indledning 3 2 Komplekse tal 5 2.1 Definition.......................................

Læs mere

Mellem stjerner og planeter

Mellem stjerner og planeter Mellem stjerner og planeter Et undervisningsmateriale for folkeskolens 4. til 7. klassetrin om Tycho Brahes målinger af stjernepositioner Titelbladet fra Tycho Brahes bog De Nova Stella, udgivet i 1573.

Læs mere

Årsplan matematik 7.klasse 2014/2015

Årsplan matematik 7.klasse 2014/2015 Årsplan matematik 7.klasse 2014/2015 Emne Indhold Mål Tal og størrelser Arbejde med brøktal som repræsentationsform på omverdenssituationer. Fx i undersøgelser. Arbejde med forskellige typer af diagrammer.

Læs mere

Projekt 6.1 Rygtespredning - modellering af logistisk vækst

Projekt 6.1 Rygtespredning - modellering af logistisk vækst Projekt 6.1 Rygtespredning - modellering af logistisk vækst (Projektet anvender værktøjsprogrammet TI Nspire) Alle de tilstedeværende i klassen tildeles et nummer, så med 28 elever i klassen uddeles numrene

Læs mere

Periodiske kædebrøker eller talspektre en introduktion til programmet periodisktalspektrum

Periodiske kædebrøker eller talspektre en introduktion til programmet periodisktalspektrum Jørgen Erichsen Periodiske kædebrøker eller talspektre en introduktion til programmet periodisktalspektrum I artikelserien Studier på grundlag af programmet SKALAGENERATOREN kommer jeg bl.a. ind på begrebet

Læs mere

Potensfunktioner og dobbeltlogaritmisk papir

Potensfunktioner og dobbeltlogaritmisk papir 1 Potensfunktioner og dobbeltlogaritmisk papir OBS: til skriftlig eksamen skal du kun kunne aflæse på en graf, der allerede er indtegnet på dobbeltlogaritmisk papir. Du kan ikke komme ud for at skulle

Læs mere

Projektopgave Observationer af stjerneskælv

Projektopgave Observationer af stjerneskælv Projektopgave Observationer af stjerneskælv Af: Mathias Brønd Christensen (20073504), Kristian Jerslev (20072494), Kristian Mads Egeris Nielsen (20072868) Indhold Formål...3 Teori...3 Hvorfor opstår der

Læs mere

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.

Læs mere

Brugervejledning til Graph

Brugervejledning til Graph Graph (brugervejledning) side 1/17 Steen Toft Jørgensen Brugervejledning til Graph Graph er et gratis program, som ikke fylder meget. Downloades på: www.padowan.dk/graph/. Programmet er lavet af Ivan Johansen,

Læs mere

FUNKTIONER. Eks. hvis man sætter 3 ind på x s plads bliver værdien 2*3 + 5 = 11. Sætter man 4 ind på x s plads vil værdien blive 2*4 + 5 = 13

FUNKTIONER. Eks. hvis man sætter 3 ind på x s plads bliver værdien 2*3 + 5 = 11. Sætter man 4 ind på x s plads vil værdien blive 2*4 + 5 = 13 En funktion beskriver, hvordan en afhængig variabel afhænger af en uafhængig variabel. Læringsmål Forstå koordinatsystemet Vide hvad 1. og 2. aksen er Vide at x er 1. akse og y er 2. akse Forståelsen for

Læs mere

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT.

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projektet kan bl.a. anvendes til et forløb, hvor en af målsætningerne er at lære om samspillet mellem værktøjsprogrammernes geometriske

Læs mere

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 12. april 2011

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 12. april 2011 Analytisk Geometri Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

sammenhänge for C-niveau i stx 2013 Karsten Juul

sammenhänge for C-niveau i stx 2013 Karsten Juul LineÄre sammenhänge for C-niveau i stx y 0,5x 2,5 203 Karsten Juul : OplÄg om lineäre sammenhänge 2 Ligning for lineär sammenhäng 2 3 Graf for lineär sammenhäng 2 4 Bestem y når vi kender x 3 5 Bestem

Læs mere

Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer

Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer Brug af grafer og koordinatsystemer Lineære funktioner Andre funktioner lignnger med ubekendte Lektion 7 Side 1 Pris i kr Matematik på Åbent VUC Brug af grafer

Læs mere

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 11. juli 2011

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 11. juli 2011 Analytisk Geometri Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1 gudmandsen.net Ophavsret Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er fuldt ud

Læs mere

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011 Andengradsligninger Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Computerundervisning

Computerundervisning Frederiksberg Seminarium Computerundervisning Koordinatsystemer og Funktioner Lærervejledning 12-02-2009 Udarbejdet af: Pernille Suhr Poulsen Christina Klitlyng Julie Nielsen Indhold Introduktion... 3

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.

Læs mere

Matematikprojekt Belysning

Matematikprojekt Belysning Matematikprojekt Belysning 2z HTX Vibenhus Vejledning til eleven Du skal nu i gang med matematikprojektet Belysning. Dokumentationen Din dokumentation skal indeholde forklaringer mm, således at din tankegang

Læs mere

Kapitel 3 Lineære sammenhænge

Kapitel 3 Lineære sammenhænge Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk

Læs mere

Sammenhæng mellem variable

Sammenhæng mellem variable Sammenhæng mellem variable Indhold Variable... 1 Funktion... 2 Definitionsmængde... 2 Værdimængde... 2 Grafen for en funktion... 2 Koordinatsystem... 3 Koordinatsæt... 4 Intervaller... 5 Løsningsmængde...

Læs mere

Gratisprogrammet 27. september 2011

Gratisprogrammet 27. september 2011 Gratisprogrammet 27. september 2011 1 Brugerfladen: Små indledende øvelser: OBS: Hvis et eller andet ikke fungerer, som du forventer, skal du nok vælge en anden tilstand. Dette ses til højre for ikonerne

Læs mere

Teknologi Projekt. Trafik - Optimal Vej

Teknologi Projekt. Trafik - Optimal Vej Roskilde Tekniske Gymnasium Teknologi Projekt Trafik - Optimal Vej Af Nikolaj Seistrup, Henrik Breddam, Rasmus Vad og Dennis Glindhart Roskilde Tekniske Gynasium Klasse 1.3 7. december 2006 Indhold 1 Forord

Læs mere

M A T E M A T I K FAGBESKRIVELSE FOR UNDERVISNING I MATEMATIK PÅ HARESKOVENS LILLESKOLE:

M A T E M A T I K FAGBESKRIVELSE FOR UNDERVISNING I MATEMATIK PÅ HARESKOVENS LILLESKOLE: M A T E M A T I K FAGBESKRIVELSE FOR UNDERVISNING I MATEMATIK PÅ HARESKOVENS LILLESKOLE: Udgangspunktet for Hareskovens Lilleskoles matematikundervisning er vores menneskesyn: det hele menneske. Der lægges

Læs mere

7 QNL 2PYHQGWSURSRUWLRQDOLWHW +27I\VLN. 1 Intro I hvilket af de to glas er der mest plads til vand?: Hvorfor?:

7 QNL 2PYHQGWSURSRUWLRQDOLWHW +27I\VLN. 1 Intro I hvilket af de to glas er der mest plads til vand?: Hvorfor?: 1 Intro I hvilket af de to glas er der mest plads til vand?: Hvorfor?: Angiv de variable: Check din forventning ved at hælde lige store mængder vand i to glas med henholdsvis store og små kugler. Hvor

Læs mere

Værktøjskasse til analytisk Geometri

Værktøjskasse til analytisk Geometri Værktøjskasse til analytisk Geometri Frank Villa. september 04 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-0. IT Teaching Tools. ISBN-3: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Fraktaler. Mandelbrots Mængde. Foredragsnoter. Af Jonas Lindstrøm Jensen. Institut For Matematiske Fag Århus Universitet

Fraktaler. Mandelbrots Mængde. Foredragsnoter. Af Jonas Lindstrøm Jensen. Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Fraktaler Mandelbrots Mængde Foredragsnoter Af Jonas Lindstrøm Jensen Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Indhold Indhold 1 1 Komplekse tal 3 1.1 Definition.......................................

Læs mere

Oversigt. funktioner og koordinatsystemer

Oversigt. funktioner og koordinatsystemer Et koordinatsystem er et diagramsystem, der har to akser, en vandret akse og en lodret akse - den vandrette kaldes x-aksen, og den lodrette kaldes y-aksen. (2,4) (5,6) (8,6) Et punkt skrives altid som

Læs mere

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

Funktioner og ligninger

Funktioner og ligninger Eleverne har både i Kolorit på mellemtrinnet og i Kolorit 7 matematik grundbog arbejdet med funktioner. I 7. klasse blev funktionsbegrebet defineret, og eleverne arbejdede med forskellige måder at beskrive

Læs mere

Trekanter. Frank Villa. 8. november 2012

Trekanter. Frank Villa. 8. november 2012 Trekanter Frank Villa 8. november 2012 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 1 1.1

Læs mere

i tredje sum overslag rationale tal tiendedele primtal kvotient

i tredje sum overslag rationale tal tiendedele primtal kvotient ægte 1 i tredje 3 i anden rumfang år 12 måle kalender hældnings a hældningskoefficient lineær funktion lagt n resultat streg adskille led adskilt udtrk minus (-) overslag afrunde præcis skøn formel andengradsligning

Læs mere

Aktivitetshjulet en model for aktivitetsinddragelse i matematikundervisningen

Aktivitetshjulet en model for aktivitetsinddragelse i matematikundervisningen Aktivitetshjulet en model for aktivitetsinddragelse i matematikundervisningen Aktivitet er et ord, som optræder 62 gange i Fælles Mål 2009 Matematik. Der er megen fokus på at elever skal være aktive og

Læs mere

Tilfældige rektangler: Et matematikeksperiment Variable og sammenhænge

Tilfældige rektangler: Et matematikeksperiment Variable og sammenhænge Tilfældige rektangler: Et matematikeksperiment Variable og sammenhænge Baggrund: I de senere år har en del gymnasieskoler eksperimenteret med HOT-programmet i matematik og fysik, hvor HOT står for Higher

Læs mere

Logaritmiske koordinatsystemer med TI-Nspire CAS version 3.6

Logaritmiske koordinatsystemer med TI-Nspire CAS version 3.6 Logaritmiske koordinatsystemer med TI-Nspire CAS version 3.6 Indholdsfortegnelse: Enkelt logaritmisk koordinatsystem side 1 Eksempel på brug af enkelt logaritmisk koordinatsystem ud fra tabel side 2 Dobbelt

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

Analytisk plangeometri 1

Analytisk plangeometri 1 1 Analytisk plangeometri 1 Kære 1. x, Vi begynder dag vores forløb om analytisk plangeometri. Dette bliver en udvidelse af ting i allerede kender til, så noget ved I i forvejen, mens andet bliver helt

Læs mere

Tak for kaffe! 17-10-2004 Tak for kaffe! Side 1 af 16

Tak for kaffe! 17-10-2004 Tak for kaffe! Side 1 af 16 Tak for kaffe! Jette Rygaard Poulsen, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Hans Vestergaard, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Søren Lundbye-Christensen, AAU 17-10-2004 Tak for kaffe! Side 1 af 16 Tak

Læs mere

Matematik Delmål og slutmål

Matematik Delmål og slutmål Matematik Delmål og slutmål Ferritslev friskole 2006 SLUTMÅL efter 9. Klasse: Regning med de rationale tal, såvel som de reelle tal skal beherskes. Der skal kunne benyttes og beherskes formler i forbindelse

Læs mere

Grafmanipulation. Frank Nasser. 14. april 2011

Grafmanipulation. Frank Nasser. 14. april 2011 Grafmanipulation Frank Nasser 14. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

Hubble relationen Øvelsesvejledning

Hubble relationen Øvelsesvejledning Hubble relationen Øvelsesvejledning Matematik/fysik samarbejde Henning Fisker Langkjer Til øvelsen benyttes en computer med CLEA-programmet Hubble Redshift Distance Relation. Galakserne i Universet bevæger

Læs mere

Selam Friskole Fagplan for Matematik

Selam Friskole Fagplan for Matematik Selam Friskole Fagplan for Matematik Formål Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt

Læs mere

Faglige delmål og slutmål i faget Matematik. Trin 1

Faglige delmål og slutmål i faget Matematik. Trin 1 Faglige delmål og slutmål i faget Matematik. Trin 1 Faglige delmål for matematik i 1. og 2. klasse. Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne efter 2. klasse har tilegnet sig kundskaber og færdigheder,

Læs mere

VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra

VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra Artikel i Matematik nr. 2 marts 2001 VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra Inge B. Larsen Siden midten af 80 erne har vi i INFA-projektet arbejdet med at udvikle regne(arks)programmer til skolens

Læs mere

Anvendt litteratur : Mat C v. Bregendal, Nitschky Schmidt og Vestergård, Systime 2005

Anvendt litteratur : Mat C v. Bregendal, Nitschky Schmidt og Vestergård, Systime 2005 Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin juni 2011 Institution Campus Bornholm Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold Hhx Matematik C Peter Seide 1AB

Læs mere

Matematik A Terminsprøve Digital prøve med adgang til internettet Torsdag den 21. marts 2013 kl. 09.00-14.00 112362.indd 1 20/03/12 07.

Matematik A Terminsprøve Digital prøve med adgang til internettet Torsdag den 21. marts 2013 kl. 09.00-14.00 112362.indd 1 20/03/12 07. Matematik A Terminsprøve Digital prøve med adgang til internettet Torsdag den 21. marts 2013 kl. 09.00-14.00 112362.indd 1 20/03/12 07.54 Side 1 af 7 sider Opgavesættet er delt i to dele: Delprøve 1: 2

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

Årsplan for matematik i 4. klasse 2014-15

Årsplan for matematik i 4. klasse 2014-15 Årsplan for matematik i 4. klasse 2014-15 Klasse: 4. Fag: Matematik Lærer: Ali Uzer Lektioner pr. uge: 4(mandag, tirsdag, torsdag, fredag) Formål for faget matematik Formålet med undervisningen er, at

Læs mere

Newton-Raphsons metode

Newton-Raphsons metode Newton-Raphsons metode af John V. Petersen Indhold Indledning: Numerisk analyse og Newton-Raphsons metode... 2 Udlede Newtons iterations formel... 2 Sætning 1 Newtons metode... 4 Eksempel 1 konvergens...

Læs mere

Afstandsformlen og Cirklens Ligning

Afstandsformlen og Cirklens Ligning Afstandsformlen og Cirklens Ligning Frank Villa 19. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk.

Læs mere

Årsplan for matematik i 8.kl. på Herborg Friskole

Årsplan for matematik i 8.kl. på Herborg Friskole Uge Emne 32 Opstartsuge 33 - Brøker 36 37-40 Kompetenceområder/mål Koordinatsystemet 41 Emneuge 42 Efterårsferie 43-50 Geometri og rumfang Geometri og måling Eleven kan forklare geometriske sammenhænge

Læs mere

Eksempler på problemløsning med differentialregning

Eksempler på problemløsning med differentialregning Eksempler på problemløsning med differentialregning 004 Karsten Juul Opgave 1: Monotoniforhold = 1+, x 3 3 x Bestem monotoniforholdene for f Besvarelse af opgave 1 Først differentierer vi f : (3 x) (3

Læs mere

Løsning af simple Ligninger

Løsning af simple Ligninger Løsning af simple Ligninger Frank Nasser 19. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Grafregnerkravet på hf matematik tilvalg

Grafregnerkravet på hf matematik tilvalg Grafregnerkravet på hf matematik tilvalg Dette dokument er en sammenskrivning af uddrag af følgende skrifter: Undervisningsvejledning nr. 21 for matematik i HF (september 1995); findes på adressen: http://us.uvm.dk/gymnasie/almen/vejledninger/undervishf/hfvej21.htm;

Læs mere

Brugervejledning til Graph (1g, del 1)

Brugervejledning til Graph (1g, del 1) Graph (brugervejledning 1g, del 1) side 1/8 Steen Toft Jørgensen Brugervejledning til Graph (1g, del 1) Graph er et gratis program, som ikke fylder meget. Downloades på: www.padowan.dk/graph/. Programmet

Læs mere

Oversigt over Forenklede Fælles Mål i forbindelse med kapitlerne i MULTI. Modellering

Oversigt over Forenklede Fælles Mål i forbindelse med kapitlerne i MULTI. Modellering MULTI 7 Forenklede Fælles Mål Oversigt over Forenklede Fælles Mål i forbindelse med kapitlerne i MULTI Kapitel 1 Læs og skriv matematik Eleven kan kommunikere mundtligt og skriftligt med og om matematik

Læs mere

Matematika rsplan for 8. kl

Matematika rsplan for 8. kl Matematika rsplan for 8. kl 2015-2016 Årsplanen tager udgangspunkt i fællesmål (færdigheds- og vidensmål) efter 9. klassetrin. Desuden tilrettelægges undervisningen efter læseplanen for matematik. Formålet

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 16 Morten Grud Rasmussen 6. november, 2013 1 Interpolation [Bogens afsnit 19.3 side 805] 1.1 Interpolationspolynomier Enhver kontinuert funktion f på

Læs mere

Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Afleveringsopgave 3

Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Afleveringsopgave 3 Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet 1 Lineær Algebra (LinAlg) Afleveringsopgave 3 Eventuelle besvarelser laves i grupper af 2-3 personer og afleveres i to eksemplarer med 3 udfyldte

Læs mere

Computerundervisning

Computerundervisning Frederiksberg Seminarium Computerundervisning Koordinatsystemer og funktioner Elevmateriale 30-01-2009 Udarbejdet af: Pernille Suhr Poulsen Christina Klitlyng Julie Nielsen Opgaver GeoGebra Om at genkende

Læs mere

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 Mål for undervisningen i Matematik på NIF Følgende er baseret på de grønlandske læringsmål, tilføjelser fra de danske læringsmål står med rød skrift. Læringsmål Yngstetrin

Læs mere

Projektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik

Projektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Projektopgave 1 Navn: Jonas Pedersen Klasse:.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/9-011 Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Indledning Jeg har i denne opgave fået følgende opstilling.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2014 Institution Marie Kruses Skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold STX Matematik A Jesper

Læs mere

Bilag 7. SFA-modellen

Bilag 7. SFA-modellen Bilag 7 SFA-modellen November 2016 Bilag 7 Konkurrence- og Forbrugerstyrelsen Forsyningssekretariatet Carl Jacobsens Vej 35 2500 Valby Tlf.: +45 41 71 50 00 E-mail: kfst@kfst.dk Online ISBN 978-87-7029-650-2

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1).

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1). Plangeometri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over Opgave 1 To linjer er givet ved ligningerne: x y 0 og x b y 4 0, hvor b er en konstant a) Beregn konstanten b således,

Læs mere

Flere ligninger med flere ukendte

Flere ligninger med flere ukendte Flere ligninger med flere ukendte Frank Villa 14. februar 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.

Læs mere

AT-forløb Jordskælv i Chile 1.u

AT-forløb Jordskælv i Chile 1.u Kapitel 1 AT-forløb Jordskælv i Chile 1.u 1.1 Indgående fag I forløbet indgår fagene naturgeografi v. Mikkel Røjle Bruun (BR), samfundsfag v. Ann Britt Wolsing (AW) og matematik v. Flemming Pedersen (FP).

Læs mere

Matematik A. Højere handelseksamen. Mandag den 15. december 2014 kl. 9.00-14.00. hhx143-mat/a-15122014

Matematik A. Højere handelseksamen. Mandag den 15. december 2014 kl. 9.00-14.00. hhx143-mat/a-15122014 Matematik A Højere handelseksamen hh143-mat/a-151014 Mandag den 15. december 014 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøven består af to delprøver. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1 til 5 med i alt

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Digital eksamensopgave med adgang til internettet

Matematik A. Studentereksamen. Digital eksamensopgave med adgang til internettet Matematik A Studentereksamen Digital eksamensopgave med adgang til internettet 2stx121-MATn/A-31052012 Torsdag den 31. maj 2012 kl. 09.00-14.00 Side 1 af 7 sider Opgavesættet er delt i to dele: Delprøve

Læs mere

For at få tegnet en graf trykkes på knappen for graftegning. Knap for graftegning

For at få tegnet en graf trykkes på knappen for graftegning. Knap for graftegning Graftegning på regneark. Ved hjælp af Excel regneark kan man nemt tegne grafer. Man åbner for regnearket ligger under Microsoft Office. Så indtaster man tallene fra tabellen i regnearkets celler i en vandret

Læs mere

FFM Matematik pop-up eftermiddag. CFU, UCC 11. Maj 2015

FFM Matematik pop-up eftermiddag. CFU, UCC 11. Maj 2015 FFM Matematik pop-up eftermiddag CFU, UCC 11. Maj 2015 Formål Deltagerne har: Kendskab til Forenklede Fælles Måls opbygning Kendskab til tankegangen bag den målstyrede undervisning i FFM Kendskab til læringsmål

Læs mere

Matematik i 5. klasse

Matematik i 5. klasse Matematik i 5. klasse Igen i år benytter vi os af Faktor i femte. Systemet indeholder en grundbog, hvortil der er supplerende materiale i form af kopiark, som er tilpasset de gennemgåede emner. Grundbogen

Læs mere

Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt.

Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt. Introduktion til mat i 5/6 klasse Vejle Privatskole 13/14: Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt. Udgangspunktet bliver en blød screening,

Læs mere

Grupperede observationssæt Deskriptiv statistik: Middelværdi, frekvensfordeling, sumkurve, kvartilsæt, boxplot

Grupperede observationssæt Deskriptiv statistik: Middelværdi, frekvensfordeling, sumkurve, kvartilsæt, boxplot Grupperede datasæt: Middelværdi, intervalfrekvens og kumuleret frekvens. Bilbestandens alder i 2005 fremgår af følgende tabel. Alder i år ]0;4] ]4;8] ]8;12] ]12;16] ]16;20] ]20;24] Antal i tusinde 401

Læs mere

Løsningsforslag Mat B 10. februar 2012

Løsningsforslag Mat B 10. februar 2012 Løsningsforslag Mat B 10. februar 2012 Opgave 1 (5 %) En linje er givet ved: y = 3 4 x + 3 En trekant er afgrænset af linjen og koordinatakserne i første kvadrant. a) Beregn trekantens sider og areal.

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Projekt 2.5 Brændpunkt og ledelinje

Projekt 2.5 Brændpunkt og ledelinje Projekter. Kapitel. Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen

Læs mere

Supermassive sorte huller og aktive galaksekerner

Supermassive sorte huller og aktive galaksekerner Supermassive sorte huller og aktive galaksekerner V.Beckmann / ESA Daniel Lawther, Dark Cosmology Centre, Københavns Universitet Supermassive sorte huller og aktive galaksekerner Vi skal snakke om: - Hvad

Læs mere

I dagligdagen kender I alle røntgenstråler fra skadestuen eller tandlægen.

I dagligdagen kender I alle røntgenstråler fra skadestuen eller tandlægen. GAMMA Gammastråling minder om røntgenstråling men har kortere bølgelængde, der ligger i intervallet 10-11 m til 10-16 m. Gammastråling kender vi fra jorden, når der sker henfald af radioaktive stoffer

Læs mere

SKRIFTLIGHED I DE N TURVIDENSKABELIG FAG

SKRIFTLIGHED I DE N TURVIDENSKABELIG FAG SKRIFTLIGHED I DE N TURVIDENSKABELIG FAG Indholdsfortegnelse INDLEDNING... 3 1. FORMLER... 4 2. FIGURFORKLARING... 5 3. FIGURFREMSTILLING... 7 4. ORDFORKLARING... 8 5. REGRESSION... 9 6. SAMMENHÆNGE I

Læs mere

Modellering af elektroniske komponenter

Modellering af elektroniske komponenter Modellering af elektroniske komponenter Formålet er at give studerende indblik i hvordan matematik som fag kan bruges i forbindelse med at modellere fysiske fænomener. Herunder anvendelse af Grafregner(TI-89)

Læs mere

Oversigt over Forenklede Fælles Mål i forbindelse med kapitlerne i MULTI. Problembehandling. Modellering

Oversigt over Forenklede Fælles Mål i forbindelse med kapitlerne i MULTI. Problembehandling. Modellering MULTI 4 Forenklede Fælles Mål Oversigt over Forenklede Fælles Mål i forbindelse med kapitlerne i MULTI Kapitel 1 Faglig læsning undersøgende arbejde Eleven kan læse og skrive enkle tekster med og om matematik

Læs mere

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011 Omskrivningsregler Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Første del: Eksempel på en eksamensopgave løst med GeoMeter

Første del: Eksempel på en eksamensopgave løst med GeoMeter Optimeringsproblemer med GeoMeter Bjørn Felsager, Haslev Gymnasium & HF, 2003 Den følgende artikel er skrevet for at illustrere hvor langt man egentlig kan komme med GeoMeter som værktøj i undervisningen,

Læs mere