Det dobbelte bogholderi og centralperspektivet
|
|
- Nicklas Juhl
- 8 år siden
- Visninger:
Transkript
1 aristoteliske opfattelser fandtes stadig, endda helt frem til 1600-tallet, hvor der så til gengæld opstod radikalt andre ideer. Men indtil da udvikledes de aristoteliske og ny-platoniske opfattelser sig synkront og på mange måder kan man sige, at de i forhold til naturvidenskaben ikke adskilte sig synderligt fra hinanden. De baserede sig f.eks. begge på, at man kunne tænke eller føle sig frem til sandheden man behøvede ikke at basere sig systematisk på observation og eksperiment, når man skulle udvikle teorier. i løbet af 1500-tallet optræder en række forskere og tænkere, der går et skridt videre i retning af en naturvidenskab. De begyndte at opfatte mennesket som i stand til empirisk at erkende processer i naturen. For en forsker som Pietro Pomponazzi ( ) er naturen et lukket mekanisk system, der netop skal studeres empirisk. For lægen, teknikeren og matematikeren Geronimo Cardano ( ) er naturen stadig besjælet, dog på en sådan måde, at der ikke kræves magi for at omgås og forstå den, men sådan, at det er muligt at opnå lovmæssig erkendelse. Følger man Pomponazzis og Cardanos tænkemåder, er der således mulighed både for spekulativ naturfilosofi og for empirisk naturvidenskab. Det er en distinktion, der på dette tidspunkt ikke er etableret, og som først for alvor blev udfoldet i løbet af 1600-tallet. Det dobbelte bogholderi og centralperspektivet Et vigtigt fænomen i renæssancens blomstrende handel var regnskaber. Regnskabet baserede sig på optælling og på simple manipulationer med tal. Handlen forudsatte også måling og samfundsmæssigt fastsatte måle-normer, som vi kender det i form af f.eks. meter, kilogram og liter. Handelsregning var derfor noget meget afgørende, og det skabte behov for nye former for uddannelse. De etablerede universiteter underviste nemlig kun i geometri sådan som grækerne krævede det. Men måling og handel krævede arbejde med tal. Flere af renæssancens store kunstnere var både malere og undervisere i talregning de var interesseret i korrekt repræsentation af virkeligheden både plastisk og matematisk, hvilket ofte var to sider af samme sag. To fænomener er her interessante. På den ene side det pålidelige talbaserede bogholderi, det vi kalder det dobbelte bogholderi, og på den anden side det geometriske centralperspektiv, der muliggør en korrekt afbildning af en tredimensional virkelighed i form af et fladt billede. E R G O N AT U RV I D E N S K A B E N S F I L O S O F I S K E H I S T O R I E 83
2 Det dobbelte bogholderi beskrives første gang hos regnelæreren og matematikeren Luca Pacioli ( ) i en større lærebog fra 1494, Summa de Arithmetica, Geometrica, Proportioni et Proportionalita, hvori han opsummerer samtidens kunnen inden for matematik. Det var ikke noget originalt værk, men var karakteristisk for sin samtid ved, at det ikke var skrevet på latin, men på en toskansk dialekt, og at det blev udgivet som bogtryk og dermed blev meget udbredt. det dobbelte bogholderi baserer sig på den ide, at man ved at opgøre udgifter og indtægter på to forskellige måder kan opnå en højere grad af sikkerhed og korrekthed end ved blot at føre en enkelt liste over indtægter og udgifter. Enhver transaktion indføres i bøgerne to gange, som kredit og som debit. Derved kan man se, om der er balance, ud fra en ligning om at debitbevægelsernes sum skal være lig kreditbevægelsernes sum. Man kan sige, at det dobbelte bogholderi er en algoritme, der sikrer, at man til enhver tid kan få et billede af sin aktuelle økonomiske situation. Man kan både se, hvad man har til rådighed likvidt, og hvad man totalt set ejer, dvs. om de indtægter og udgifter man nu har, de fordringer man har, og den gæld man har, faktisk sikrer, at man som virksomhed kan overleve. alt dette hænger nøje sammen med fremkomsten af nye former for økonomisk samarbejde og nye former for risikotagning. Der opstod i renæssancen større firmaer ofte baseret på kortvarige former for samarbejde som f.eks. finansieringen af en handelsrejse med skib og man forsøgte at være flere om investeringerne, risikoen og udbyttet. Nogle har sagt, at det dobbelte bogholderi og den moderne kapitalisme er to sider af samme sag. Sikkert er det i hvert fald, at ideen om at drive virksomhed og forretning for vinding forudsætter, at man kan finde ud af, om man vinder eller taber. Senere opstår netop sandsynlighedsbegrebet og sandsynlighedsregningen ud fra tilsvarende spil-situationer, hvor man forsøger at finde ud af, om der er chance for gevinst eller ej. det dobbelte bogholderi er måske den første praktiske anvendelse af dels de nye arabertal dels ideen om en algoritme, som bliver skabt i Europa. Man havde lært at regne med tallene af araberne, og senere skulle europæerne i 1600-tallet skabe begreber om sandsynlighed og senere igen statistik udvidelser og anvendelser af matematikken, der slet ikke forelå hos de græske og arabiske matematikere. Det dobbelte bogholderi er også det første eksempel på, at man kan have tillid til noget, der kan udtrykkes i tal, og 84 V I D E N S K A B S M A N D E N S O G H U M A N I S T E N S F Ø D S E L
3 som er resultat af en måling. Regnskabet er en abstrakt repræsentation, der skal vise en forretnings finansielle situation. Det er i overført betydning et billede, hvorfor man stadig i dag siger, at et regnskab skal give et retvisende billede af situationen. Regnskabet og dets tilhørende metoder og begreber forblev lidt ligesom bogtrykket uændret i meget lang tid. Og essentielt er de metoder, der anvendes i dag, de samme som i renæssancens handels- og bankhuse. Regnskabet baserer sig på tal og måling. Ud fra dets praksis kan man nemt slutte, at kun det, man kan aflægge regnskab for, er noget, man har. Dermed kan man gå videre og sige, at kun det, der er repræsenteret i regnskabet, er virkeligt. Repræsentationen skaber på en vis måde kriteriet for, hvad der er virkeligt. Kun det målelige er virkeligt. Det er en helt central ide for videnskab og teknologi i Europa. Perspektivet beskrives første gang udførligt i et værk af humanisten og arkitekten Leon Battista Alberti ( ) fra Det er en geometrisk konstruktion, der baserer sig på visse optiske anskuelser om synsfeltet og om lyset. Derudover forudsætter det en bestemt opfattelse af, hvad et billede grundlæggende er. Før perspektivet var billeder repræsentationer af og symboler på det, der blev opfattet som virkeligt. Men de skulle ikke nødvendigvis ligne virkeligheden, sådan som vi ser den, dvs. der var ikke noget krav om illusion. Afbildede personers størrelse afhang således ofte af deres status i det samfundsmæssige eller religiøse hierarki, og herskeren eller Kristus kunne fremstå som de rene kæmper i forhold til menigmand. ligesom det dobbelte bogholderi på det talmæssige og økonomiske område satte en standard for afbildning og nøjagtighed, satte perspektivet en standard for, hvad det vil sige for et billede at gengive virkeligheden korrekt. De første perspektiv-billeder fremkommer omkring Mange kunstnere havde før da forsøgt at skabe indtryk af rumlighed. Men en egentlig geometrisk teori om, hvordan man omsætter et tredimensionalt synsindtryk til et tilsvarende todimensionalt, fremkommer først med Alberti. Ingeniøren og arkitekten Filippo Brunelleschi ( ) udførte omkring 1430 et forsøg, der gik ud på at se på et motiv i et spejl og derefter male motivet sådan, at hvis man erstattede spejlet med maleriet, ville man ikke kunne se forskel. Et sådant billede ville for Brunelleschi være et korrekt billede. To ting er vigtige i et perspektivisk billede: at der er et fælles forsvindingspunkt, og at horisonten og forkortningen imod horisonten er korrekt. E R G O N AT U RV I D E N S K A B E N S F I L O S O F I S K E H I S T O R I E 85
4 Den første korrekte brug af centralperspektivet tilskrives i dag Masolino da Panicales ( ) La Resurrezione di Tabita fra Bemærk, at forsvindingspunktet er i øjenhøjde på muren af det bagvedliggende hus, hvilket giver illusionen af, at billedet ses af en betragter, som står på pladsen. Denne fuldstændige integration af alle billedets horisontale linjer kan kun opnås ved en eksplicit implementering af centralperspektivet Cappella Brancacci, Firenze. Ellers vil f.eks. vandrette ternede gulve ikke se vandrette ud på billedet. Perspektivet forudsætter en opfattelse af synet og lyset, der siger, at lyset kommer ind i øjet udefra, og at lyset bevæger sig i rette linjer. Derudover skal man have en forståelse af den forkortning, der sker med tingene, når de fjerner sig fra os. Ellers vil en række master af samme højde, der står langs en lige vej, komme til at se ud som om, de har forskellig højde. Mange har fremsat teorier om, hvordan og hvorfor perspektivet netop opstår i Firenze i første halvdel af 1400-tallet. Man ved bl.a., at der i 1428 kommer et geografisk værk af Ptolemaios om kort og kortproduktion til Firenze. Og da kortproduktion drejer sig om det samme som perspektivet at afsætte noget tredimensionalt på et plant stykke papir har Brunelleschi måske været inspireret af Ptolemaios studier. Muligvis var Brunelleschi også inspireret af den fascination af symmetri og rumlighed, som blev dyrket i renæssancens boliger, haver og byanlæg. Fyrsten eller storborgeren viste sin magt i sin evne til at ordne omgivelserne, og orden var baseret på symmetri. Det var omverdenens empiriske egenskaber, hvordan verden faktisk så ud, der interesserede. Der skulle skabes et billede, og billedet skulle ikke kun oplyse træk ved virkeligheden, men ligefrem kunne erstatte den. Man kunne således sidde i en højt placeret loggia 86 V I D E N S K A B S M A N D E N S O G H U M A N I S T E N S F Ø D S E L
5 og se ud på byen eller landskabet, men man kunne også sidde i sin spisestue og betragte billeder af byen eller landskabet på væggene. Oplevelsen skulle være den samme. Renæssancens billeder lavet med centralperspektiv forsøgte ofte at efterligne, hvad en person ville se, hvis vedkommende stod på det sted, hvorfra billedet er set. Denne ide forudsætter, at billedet forstås som bevidsthedsindholdet hos en person. Perspektivbilledet indeholder altså indirekte en person, nemlig den, der observerer motivet et bestemt sted fra. Denne tilstedeværelse af et subjekt er noget helt afgørende. Et kalkmaleri fra middelalderen er f.eks. ikke et billede i samme forstand: det afbilder en scene fra Bibelen, men scenen er ikke set et bestemt sted fra eller forsøgt gengivet, sådan som en betragter ville have oplevet den. I renæssancen ser maleren ud i verden, og verden påvirker ham via lyset, og igennem denne påvirkning opstår indholdet i malerens bevidsthed. Maleren forsøger så igennem perspektivets regler at gengive det, han oplever. Maleren er subjektet, der er til stede i billedet. i renæssancen får netop subjektet og det individuelle en ny status. Ikke kun i malerkunsten, men også i filosofien, i naturen, i forståelsen af historien, i litteraturen og i livsformerne i almindelighed træder det enkelte menneske frem som et fokuspunkt, hvorfra alting kan ses. E R G O N AT U RV I D E N S K A B E N S F I L O S O F I S K E H I S T O R I E 87
6 Den videnskabelige revolution opgøret med Aristoteles Fra midten af 1500-tallet og i hvert fald to hundrede år frem foregår konstante ændringer i opfattelsen af verden og ikke mindst af, Det var ikke nemt at tegne et korrekt perspektivisk billede, og derfor blev der udviklet en række hjælpemidler, bl.a. en pind foran øjet og et gitter, der skulle placeres foran objektet. Her er teknikken gengivet i et træsnit af Aalbrecht Dürer ( ) fra hvad det overhovedet vil sige at vide noget om den. Det kaldes ofte den videnskabelige revolution, selvom der ikke er tale om ændringer fra det ene år til det næste, men om langstrakte forandringer. Termen er dog ikke helt ved siden af, da der rent faktisk sker en række voldsomme ændringer, som selvom de er gradvise og længerevarende er knyttet til få markante fænomener og centrale personer. Perioden er starten på moderniteten, og det er en periode, hvor fornuft, videnskab og rationalitet erstatter tradition, åbenbaring, religion og overtro. Processen starter i 1543, hvor Nikolaus Kopernikus fremlægger sit verdensbillede med Solen i centrum af universet, og den kulminerer i 1684 med fremlæggelsen af Isaac Newtons ( ) mekaniske fysik i værket Philosophiae Naturalis Principia Mathematica ( Naturfilosofiens matematiske principper ). Den ebber ud i løbet af 1700-tallet, hvor universiteter og de dannede kredse rimelig bredt har accepteret hovedindholdet af naturvidenskabens resultater. Dermed er revolutionen så at sige forbi, og erstattet af en art permanent forandringstilstand, hvor videnskabens udvikling ses som noget normalt. Alligevel er det først i vort århundrede, at man for alvor har accepteret, at der ikke bare én gang kan ske en videnskabelig revolution, men at der principielt kan være revolution på revolution i en uendelighed dvs. at det videnskabelige verdensbillede aldrig én gang for alle vil være etableret. Langsomt sker der også ændringer i samfundets teknologi, hvilket 88 V I D E N S K A B S M A N D E N S O G H U M A N I S T E N S F Ø D S E L
Det skabende menneske
dominerer diskussionerne inden for videnskab og filosofi i meget lang tid. Det er faktisk først omkring begyndelsen af 1600-tallet, der sker et radikalt opgør med aristotelismen, og man kan på mange måder
Læs mereVidenskabsmandens og 3humanistens fødsel
Videnskabsmandens og 3humanistens fødsel I 1492 opdager Christoffer Columbus Amerika. I 1519 dør Leonardo da Vinci. Få år senere starter reformationen. I 1543 udsender Nikolaus Kopernikus et værk, der
Læs mereMekanicisme og rationalisme
Ved ANDERS FOGH JENSEN Mekanicisme og rationalisme Om dualisme, rationalisme og empirisme under og efter det naturvidenskabelige gennembrud v.anders Fogh Jensen www.filosoffen.dk 1. Det naturvidenskabelige
Læs mereMånedens astronom februar 2006 side 1. 1: kosmologiens fødsel og problemer
Månedens astronom februar 2006 side 1 Verdensbilleder * Det geocentriske * Det geo-heliocentriske * Det heliocentriske 1: kosmologiens fødsel og problemer Astronomien er den ældste af alle videnskaber
Læs mereVerdensbilleder i oldtiden
Verdensbilleder Teksten består af to dele. Den første del er uddrag fra Stenomuseets skoletjeneste(http://www.stenomuseet.dk/skoletj/), dog er spørgsmål og billeder udeladt. Teksten fortæller om hvordan
Læs mereKom ikke her med dit hændelser, der følges ad, er ikke altid kausalt forbundne! Det er dit!
Måling tvang altså kemikerne til at overveje situationen, og da ideen om stof med negativ masse var yderst uplausibel, måtte man revidere phlogistonteorien. Lavoisier var den første, der fremførte den
Læs mereJorden placeres i centrum
Arkimedes vægtstangsprincip. undgik konsekvent at anvende begreber om det uendeligt lille eller uendeligt store, og han udviklede en teori om proportioner, som overvandt forskellige problemer med de irrationale
Læs mereFagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne
Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Matematiske færdigheder Grundlæggende færdigheder - plus, minus, gange, division (hele tal, decimaltal og brøker) Identificer
Læs mereSkolens formål med faget matematik følger beskrivelsen af formål i folkeskolens Fælles Mål:
Formål: Skolens formål med faget matematik følger beskrivelsen af formål i folkeskolens Fælles Mål: Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i forstå og anvende matematik i sammenhænge,
Læs mereSelam Friskole Fagplan for Matematik
Selam Friskole Fagplan for Matematik Formål Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt
Læs mereNår vi forbereder et nyt emne eller område vælger vi de metoder, materialer og evalueringsformer, der egner sig bedst til forløbet.
MATEMATIK Delmål for fagene generelt. Al vores undervisning hviler på de i Principper for skole & undervisning beskrevne områder (- metoder, materialevalg, evaluering og elevens personlige alsidige udvikling),
Læs mereLÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15
LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 Mål for undervisningen i Matematik på NIF Følgende er baseret på de grønlandske læringsmål, tilføjelser fra de danske læringsmål står med rød skrift. Læringsmål Yngstetrin
Læs mere10.klasse. Naturfaglige fag: Matematik, Fysik/kemi. Matematik. Formål for faget matematik
10.klasse Naturfaglige fag: Matematik, Fysik/kemi Matematik Formål for faget matematik Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at
Læs mereMatematik samlet evaluering for Ahi Internationale Skole
efter 3.klasse. e efter 6.klasse. e Skole efter 9.klasse. e indgå i dialog om spørgsmål og svar, som er karakteristiske i arbejdet med matematik (tankegangskompetence formulere sig skriftligt og mundtligt
Læs mereAnalytisk Geometri. Frank Nasser. 12. april 2011
Analytisk Geometri Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er
Læs mere3. klasse 6. klasse 9. klasse
Børne- og Undervisningsudvalget 2012-13 BUU Alm.del Bilag 326 Offentligt Elevplan 3. klasse 6. klasse 9. klasse Matematiske kompetencer Status tal og algebra sikker i, er usikker i de naturlige tals opbygning
Læs mereMatematik på Humlebæk lille Skole
Matematik på Humlebæk lille Skole Matematikundervisningen på HLS er i overensstemmelse med Undervisningsministeriets Fælles Mål, dog med få justeringer som passer til vores skoles struktur. Det betyder
Læs mereSansernes og forstandens tvivlsomme brugbarhed
Sansernes og forstandens tvivlsomme brugbarhed I de syditalienske byer Kroton og Elea opstod omkring 500 f.v.t. to filosofiske retninger, som fik stor betydning for senere tænkning og forskning. Den ene
Læs mereTYCHO BRAHE OG SOLSYSTEMET
TYCHO BRAHE OG SOLSYSTEMET TIL UNDERVISEREN Dette undervisningsmateriale tager udgangspunkt i programserien Store Danske Videnskabsfolk og specifikt udsendelsen om Tycho Brahe. Skiftet fra det geocentriske
Læs mereAlmen Studieforberedelse
Studentereksamen Forside Opgaven Ressourcerum Almen Studieforberedelse Trailer Vejledning Gammel ordning Print Mandag den 29. januar 2018 gl-stx181-at-29012018 Alternativer ideer til forandring og fornyelse
Læs mereDen sproglige vending i filosofien
ge til forståelsen af de begreber, med hvilke man udtrykte og talte om denne viden. Det blev kimen til en afgørende ændring af forståelsen af forholdet mellem empirisk videnskab og filosofisk refleksion,
Læs mereÅrsplan for 1.klasse 2018/19 Matematik
Fagformål Stk. 1. Eleverne skal i faget matematik udvikle matematiske kompetencer og opnå færdigheder og viden, således at de kan begå sig hensigtsmæssigt i matematikrelaterede situationer i deres aktuelle
Læs mereMatematik. Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål
Matematik Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der
Læs mereÅrsplan for matematik i 1. klasse 2010-11
Årsplan for matematik i 1. klasse 2010-11 Vanløse den 6. juli 2010 af Musa Kronholt Formål for faget matematik Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden
Læs mereATeksamensopgaven januar 2018 / MG
ATeksamensopgaven 2018 januar 2018 / MG Tidsplan Uge Mandag Tirsdag Onsdag Torsdag Fredag 5 Offentliggørelse Introduktion Vejledning i valg af sag og fag 6 Arbejd selv Vejledning i valg af sag og fag 7
Læs mereLæseplan for faget matematik. 1. 9. klassetrin
Læseplan for faget matematik 1. 9. klassetrin Matematikundervisningen bygger på elevernes mange forudsætninger, som de har med når de starter i skolen. Der bygges videre på elevernes forskellige faglige
Læs mereMatematik Matematik efter Lillegruppen (0-1 kl.)
Matematik Matematik efter Lillegruppen (0-1 kl.) Undervisningsministeriets forenklede fælles mål: Matematiske kompetencer Eleven kan handle hensigtsmæssigt i situationer med matematik Problembehandling
Læs mereM A T E M A T I K FAGBESKRIVELSE FOR UNDERVISNING I MATEMATIK PÅ HARESKOVENS LILLESKOLE:
M A T E M A T I K FAGBESKRIVELSE FOR UNDERVISNING I MATEMATIK PÅ HARESKOVENS LILLESKOLE: Udgangspunktet for Hareskovens Lilleskoles matematikundervisning er vores menneskesyn: det hele menneske. Der lægges
Læs mereNaturvidenskab. En fællesbetegnelse for videnskaberne om naturen, dvs. astronomi, fysik, kemi, biologi, naturgeografi, biofysik, meteorologi, osv
Naturvidenskab En fællesbetegnelse for videnskaberne om naturen, dvs. astronomi, fysik, kemi, biologi, naturgeografi, biofysik, meteorologi, osv Naturvidenskab defineres som menneskelige aktiviteter, hvor
Læs mereUndervisningsplan for matematik
Undervisningsplan for matematik Formål for faget Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne udvikler kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt
Læs mereIntroduktion til mat i 4 klasse Vejle Privatskole 2013/14:
Introduktion til mat i 4 klasse Vejle Privatskole 2013/14: Udgangspunktet bliver en blød screening, der skal synliggøre summen af elevernes standpunkt. Det betyder i realiteten, at der uddeles 4 klasses
Læs mereMATEMATIK. Formål for faget
MATEMATIK Formål for faget Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt i matematikrelaterede
Læs mereNaturlove som norm. n 1 n 2. Normalen
Normalen u n 1 n 2 v Descartes lov, også kaldet Snels lov (efter den hollandske matematiker Willebrord Snel (1580-1636), som fandt den uafhængigt af Descartes), bruges til at beregne refraktionsindekset
Læs mereTROMPE L OEIL 27183 1/6
TROMPE L OEIL 27183 1/6 N 1:1000 Situationsplan Pavillonen TROMPE L OEIL indskriver sig som en del af Gl. Holtegaards karakteristiske barokhave, samtidig med at den markerer sig som en selvstændig figur,
Læs mereÅrsplan for Matematik 8. klasse 2011/2012
Årsplan for Matematik 8. klasse 2011/2012 Formål for faget matematik Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand
Læs mereÅRSPLAN MATEMATIK 2. KLASSE 2016/17 I
ÅRSPLAN MATEMATIK 2. KLASSE 2016/17 I de enkelte undervisningsforløb indgår der mål fra både de matematiske kompetencer og fra de 3 stofområder: Matematiske kompetencer Eleven kan handle hensigtsmæssigt
Læs mereMATEMATIK. GIDEONSKOLENS UNDERVISNINGSPLAN Oversigt over undervisning i forhold til trinmål og slutmål
MATEMATIK GIDEONSKOLENS UNDERVISNINGSPLAN Oversigt over undervisning i forhold til trinmål og slutmål KOMMENTAR Vi har i det følgende foretaget en analyse og en sammenstilling af vore materialer til skriftlig
Læs mereEvaluering af matematik undervisning
Evaluering af matematik undervisning Udarbejdet af Khaled Zaher, matematiklærer 6-9 klasse og Boushra Chami, matematiklærer 2-5 klasse Matematiske kompetencer. Fællesmål efter 3.klasse indgå i dialog om
Læs mereTue Tjur: Hvad er tilfældighed?
Tue Tjur: Hvad er tilfældighed? 16. 19. september 1999 afholdtes i netværkets regi en konference på RUC om sandsynlighedsregningens filosofi og historie. Som ikke specielt historisk interesseret, men nok
Læs mereMatematik. Matematiske kompetencer
Matematiske kompetencer skelne mellem definitioner og sætninger, mellem enkelttilfælde og generaliseringer og anvende denne indsigt til at udforske og indgå i dialog om forskellige matematiske begrebers
Læs mereVerdensbilleder Side 1 af 7
Verdensbilleder ide 1 af 7 Verdensbilleder A. elvstændigt arbejde som forberedelse: 1. Følgende tekster læses grundigt forud, og der tages notater om personer, årstal, betydningsfulde opdagelser, samt
Læs mereMatematik - undervisningsplan
I 4. klasse starter man på andet forløb i matematik, der skal lede frem mod at eleverne kan opfylde fagets trinmål efter 6. klasse. Det er dermed det som undervisningen tilrettelægges ud fra og målsættes
Læs mereRenæssancen i Norditalien
Kulturspillets weekendkurser 2014 Renæssancen i Norditalien Tid: Lørdag den 1. feb. 2014 Sted: Århus, nærmere adresse følger Norditalien blev arnested for den historiske epoke, der trak Europa ud af Middelalderens
Læs mereTrinmål Matematik. Børnehaveklasse Efter 3. klasse Fagligt bånd. Matematiske kompetencer. Problemløsning. Regnesymboler. Talforståelse Mængder
Trinmål Matematik Børnehaveklasse Efter 3. klasse Fagligt bånd Evaluering Matematiske kompetencer Talforståelse Mængder Regnesymboler Problemløsning have kendskab til tal og tælleremser opbygge talforståelse
Læs mereÅrsplan for matematik 2012-13
Årsplan for matematik 2012-13 Uge Tema/emne Metode/mål 32 Matematiske arbejdsmåder(metode) 33 Intro 34 Tal + talforståelse 35 Brøker-procent 36 Potens+kvadrat-og kubikrod 37 Emneuge 38 Ligninger-uligheder
Læs mereAnalytisk Geometri. Frank Nasser. 11. juli 2011
Analytisk Geometri Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereÅrsplan for 7. klasse, matematik
Årsplan for 7. klasse, matematik I matematik bruger vi bogsystemet Sigma som grundmateriale. I systemet er der, ud over grundbogen, også kopiark og tests tilknyttet de enkelte kapitler. Systemet er udarbejdet
Læs mereMATEMATIK. Formål for faget
Fælles Mål II MATEMATIK Formål for faget Fælles Mål Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der vedrører dagligliv, samfundsliv
Læs mereHvad er socialkonstruktivisme?
Hvad er socialkonstruktivisme? Af: Niels Ebdrup, Journalist 26. oktober 2011 kl. 15:42 Det multikulturelle samfund, køn og naturvidenskaben. Konstruktivisme er en videnskabsteori, som har enorm indflydelse
Læs mereBrug og Misbrug af logiske tegn
Brug og Misbrug af logiske tegn Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereforstå, arbejde med og analysere problemstillinger af matematisk art i sammenhænge, der vedrører dagligliv, samfundsliv og naturforhold
Årsplan for undervisningen i matematik på 4. klassetrin 2006/2007 Retningslinjer for undervisningen i matematik: Da Billesborgskolen ikke har egne læseplaner for faget matematik, udgør folkeskolens formål
Læs mereTal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.
1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber
Læs mereOm at erkende verden den moderne filosofi
af samme art som fysiske processer. Et væsentligt eksempel herpå var f.eks. den engelske læge William Harveys (1578-1657) nye teorier om hjertet og blodets cirkulation fra 1628. tidligere anatomer havde
Læs mereFaglige delmål og slutmål i faget Matematik. Trin 1
Faglige delmål og slutmål i faget Matematik. Trin 1 Faglige delmål for matematik i 1. og 2. klasse. Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne efter 2. klasse har tilegnet sig kundskaber og færdigheder,
Læs mereMatematik. Læseplan og formål:
Matematik Læseplan og formål: Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der vedrører dagligliv, samfundsliv og naturforhold.
Læs mereEleverne skal lære at:
PK: Årsplan 8.Ga. M, matematik Tid og fagligt område Aktivitet Læringsmål Uge 32 uge 50 Tal og algebra Eleverne skal arbejde med at: kende de reelle tal og anvende dem i praktiske og teoretiske sammenhænge
Læs mereMetoder og erkendelsesteori
Metoder og erkendelsesteori Af Ole Bjerg Inden for folkesundhedsvidenskabelig forskning finder vi to forskellige metodiske tilgange: det kvantitative og det kvalitative. Ser vi på disse, kan vi konstatere
Læs mereFagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 8.A Lærer: Henrik Stillits Fagområde/ emne Færdighedsregning - Typer af opgaver - Systematik
Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 8.A Lærer: Henrik Stillits Fagområde/ emne Færdighedsregning - Typer af opgaver - Systematik Periode Mål Eleverne skal: 32/33 Få kendskab til opgavetypen og få rutine.
Læs mereTrekanter. Frank Villa. 8. november 2012
Trekanter Frank Villa 8. november 2012 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 1 1.1
Læs mere. Verdensbilledets udvikling
. Verdensbilledets udvikling Vores viden om Solsystemets indretning er resultatet af mange hundrede års arbejde med at observere himlen og opstille teorier. Stjernerne flytter sig ligesom Solen 15' på
Læs mereHjerner i et kar - Hilary Putnam. noter af Mogens Lilleør, 1996
Hjerner i et kar - Hilary Putnam noter af Mogens Lilleør, 1996 Historien om 'hjerner i et kar' tjener til: 1) at rejse det klassiske, skepticistiske problem om den ydre verden og 2) at diskutere forholdet
Læs mereUniverset. Opgavehæfte. Navn: Klasse
Universet Opgavehæfte Navn: Klasse Mål for emnet: Rummet Hvor meget ved jeg før jeg går i gang Skriv et tal fra 0-5 Så meget ved jeg, når jeg er færdig Skriv et tal fra 0-5 Jeg kan beskrive, hvad Big Bang
Læs mereAristoteles og de athenske akademier
lige geometriske genstande, som var evige og foranderlige størrelser i en abstrakt verden. Erkendelse var således ikke erkendelse af sansernes verden, men af en anden verden, kun tilgængelig for ånden.
Læs mereAlle vandrette linjer, der er vinkelrette med synslinjen, er parallelle med horisonten.
Perspektiv tegning Hjælp til perspektivtegning. Illustrationerne er købt fra Perspektivtegning - Matematik i Billedkunst, billedkunst i matematik. - en kopimappe som er lavet af Jørgen Skourup og Ole Stærkjær.
Læs mereÅrsplan for 2. årgang. Kapitel 1: Jubii. Kapitel 2: Mere om positionssystemet
Årsplan for. årgang Trix A Kapitel : Jubii Det første kapitel i. klasse samler op på det matematiske stof, som eleverne har lært i. klasse. Jubii giver dermed læreren mulighed for at screene, hvor klassen
Læs mereAppendiks 6: Universet som en matematisk struktur
Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur En matematisk struktur er et meget abstrakt dyr, der kan defineres på følgende måde: En mængde, S, af elementer {s 1, s 2,,s n }, mellem hvilke der findes
Læs mereMatematik. Matematiske kompetencer
Matematiske kompetencer formulere sig skriftligt og mundtligt om matematiske påstande og spørgsmål og have blik for hvilke typer af svar, der kan forventes (tankegangskompetence) løse matematiske problemer
Læs mereKortlægningen af den ydre og indre verden
en start på. Derefter sker det ved udviklingen af et vidensproducerende system, hvor forskningsinstitutioner, læreanstalter, eksperter, industrilaboratorier osv. indgår som helt centrale elementer. den
Læs mereSpace Challenge og Undervisningsminsteriets Fælles Mål for folkeskolen
Space Challenge og Undervisningsminsteriets Fælles Mål for folkeskolen I dette kapitel beskrives det, hvilke Fælles Mål man kan nå inden for udvalgte fag, når man i skolen laver aktiviteter med Space Challenge.
Læs mereGennem de sidste par årtier er en digital revolution fejet ind over vores tidligere så analoge samfund.
Den digitale verden et barn af oplysningstiden Af redaktionen Gennem de sidste par årtier er en digital revolution fejet ind over vores tidligere så analoge samfund. Den elektroniske computer er blevet
Læs mereÅrsplan for matematik i 4. klasse 2014-15
Årsplan for matematik i 4. klasse 2014-15 Klasse: 4. Fag: Matematik Lærer: Ali Uzer Lektioner pr. uge: 4(mandag, tirsdag, torsdag, fredag) Formål for faget matematik Formålet med undervisningen er, at
Læs mereGuide til lektielæsning
Guide til lektielæsning Gefions lærere har udarbejdet denne guide om lektielæsning. Den henvender sig til alle Gefions elever og er relevant for alle fag. Faglig læsning (=lektielæsning) 5- trinsmodellen
Læs mereÅrsplan for 2. årgang Kapitel 1: Jubii. Kapitel 2: Mere om positionssystemet
Årsplan for. årgang 08-9 Materialer: Trix A, Trix B samt tilhørende kopiark. Trix træningshæfte. Øvehæfte og 4. Andet relevant materiale. Trix A Kapitel : Jubii Det første kapitel i. klasse samler op på
Læs mereAristoteles om uendelighed
Aristoteles om uendelighed Af Charlotte Stefansen En af de stridigheder man møder inden for matematik vedrører, om man kan tillade brugen af uendeligheder. Groft sagt kan man dele opfattelser af matematik
Læs mereGentofte Skole elevers alsidige udvikling
Et udviklingsprojekt på Gentofte Skole ser på, hvordan man på forskellige måder kan fremme elevers alsidige udvikling, blandt andet gennem styrkelse af elevers samarbejde i projektarbejde og gennem undervisning,
Læs mereFagplan for matematik
Fagplan for matematik Formål Undervisningen i matematik skal give eleverne lyst til, forståelse for og teoretisk baggrund for at analysere, vurdere, kontrollere og argumentere, når de i deres dagligdag
Læs mereHvad er formel logik?
Kapitel 1 Hvad er formel logik? Hvad er logik? I daglig tale betyder logisk tænkning den rationelt overbevisende tænkning. Og logik kan tilsvarende defineres som den rationelle tænknings videnskab. Betragt
Læs mereSANDELIG! INDHOLD. Dette materiale er ophavsretsligt beskyttet og må ikke videregives
SANDELIG! STAKKELS PLUTO I 1930 opdagede en astronom fra den amerikanske delstat New Mexico et ganske lille objekt. Ved nærmere efterforskning viste det sig at bevæge sig i en bane omkring solen, der lå
Læs mereINDVIELSE. i Egypten. Erik Ansvang. www.visdomsnettet.dk
1 INDVIELSE i Egypten Erik Ansvang www.visdomsnettet.dk 2 INDVIELSE i Egypten Af Erik Ansvang Indviet i Egypten Den traditionelle egyptologi afviser kategorisk, at pyramider og templer fungerede som en
Læs mereMatematik B - hf-enkeltfag, april 2011
Matematik B - hf-enkeltfag, april 2011 1. Identitet og formål 1.1. Identitet Matematik bygger på abstraktion og logisk tænkning og omfatter en lang række metoder til modellering og problembehandling. Matematik
Læs mereFormål & Mål. Ingeniør- og naturvidenskabelig. Metodelære. Kursusgang 1 Målsætning. Kursusindhold. Introduktion til Metodelære. Indhold Kursusgang 1
Ingeniør- og naturvidenskabelig metodelære Dette kursusmateriale er udviklet af: Jesper H. Larsen Institut for Produktion Aalborg Universitet Kursusholder: Lars Peter Jensen Formål & Mål Formål: At støtte
Læs merePascals trekant. Hvad er matematik? B, i-bog ISBN: 978 87 7066 494 3
Pascals trekant Det mest bemærkelsesværdige ved Pascals trekant er formentlig, at den for en gangs skyld ikke går tilbage til grækerne. I stedet har den gamle indiske, muslimske og kinesiske rødder, der
Læs mereEmne Tema Materiale r - - - - - aktiviteter
Fag: Matematik Hold: 24 Lærer: TON Undervisningsmål Læringsmål 9 klasse 32-34 Introforløb: række tests, som viser eleverne faglighed og læringsstil. Faglige aktiviteter Emne Tema Materiale r IT-inddragelse
Læs mereKlassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt.
Introduktion til mat i 5/6 klasse Vejle Privatskole 13/14: Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt. Udgangspunktet bliver en blød screening,
Læs mereÅrsplan 2015/2016. Uge 33-43. Tal - Eleven har viden om regningsarternes hierarki. Mundtlig evaluering Skriftlige prøver Kan kan næsten cirkel
Kompetencemål: - Eleven kan handle med dømmekraft i komplekse situationer med matematik - Eleven kan anvende reelle tal og algebraiske udtryk i matematiske undersøgelser - Eleven kan forklare geometriske
Læs mereÅrsplan 9. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 Årsprøven i matematik
Årsplan 9. klasse matematik 2013-2014 33 Årsprøven i matematik Årsprøve og rettevejledledning 34-35 36 og løbe nde Talmængder og regnemetoder Mundtlig matematik 37 Fordybelses uge 38-39 Procent - Gennemgå
Læs merePrincipperne om hvordan man opdager nye sandheder
Principperne om hvordan man opdager nye sandheder Principper del 1: Det første skridt mod sandheden Hvilke principper bør vi følge, eller hvilke skridt skal vi tage for at genkende sandheden i en eller
Læs mereÅrsplan 9. klasse matematik 2014-2015 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33-34
Årsplan 9. klasse matematik 2014-2015 33-34 Årsprøve og rettevejledledning 34-36 Årsprøven i matematik Talmængder og regnemetoder 37 Fordybelses uge 38-39 40 Termins-prøve 41 Studieturen 42 Efterårsferie
Læs mereAndengradsligninger. Frank Nasser. 12. april 2011
Andengradsligninger Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette
Læs mereUndervisningsplan for faget matematik. Ørestad Friskole
Undervisningsplan for faget matematik Ørestad Friskole 1. af 11 sider Undervisningsplan for faget matematik. Ørestad Friskole Undervisningsplanens indhold Undervisningens organisering og omfang side 2
Læs mereÅrsplan for 5. klasse, matematik
Ringsted Lilleskole, Uffe Skak Årsplan for 5. klasse, matematik Som det fremgår af nedenstående uddrag af undervisningsministeriets publikation om fælles trinmål til matematik efter 6. klasse, bliver faget
Læs mereDe fire elementers kostbare spejl
Projekt.6 Lineær algebra moderne og klassisk kinesisk De fire elementers kostbare spejl "Som bekendt anses matematikken for at være en meget vigtig videnskab. Denne bog om matematik vil derfor være af
Læs mereFælles Mål 2009. Matematik. Faghæfte 12
Fælles Mål 2009 Matematik Faghæfte 12 Undervisningsministeriets håndbogsserie nr. 14 2009 Fælles Mål 2009 Matematik Faghæfte 12 Undervisningsministeriets håndbogsserie nr. 14 2009 Indhold Formål for faget
Læs mereFælles Mål 2009. Matematik. Faghæfte 12
Fælles Mål 2009 Matematik Faghæfte 12 Undervisningsministeriets håndbogsserie nr. 14 2009 Fælles Mål 2009 Matematik Faghæfte 12 Undervisningsministeriets håndbogsserie nr. 14 2009 Indhold Formål for faget
Læs mereFælles Mål dækker over de to vigtigste sæt af faglige tekster til skolens fag og emner
Hvad er Fælles Mål? Fælles Mål dækker over de to vigtigste sæt af faglige tekster til skolens fag og emner De bindende fælles nationale mål i form af fagformål, centrale kundskabs- og færdighedsområder
Læs mereVerdensbilleder. Oldtidskundskab C og Fysik B Jens Jensen 3x Rungsted Gymnasium
Verdensbilleder Oldtidskundskab C og Fysik B Jens Jensen 3x Rungsted Gymnasium 1 Indholdsfortegnelse Indhold Problemformulering... 3 Underspørgsmål... 3 Materialer, metoder og teorier... 3 Delkonklusioner...
Læs mereSpilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde
Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er primært spil af følgende type: Spil der spilles af to spillere A og B som skiftes til at trække, A starter, og hvis man ikke kan trække har man tabt. Der
Læs mereEn national vision for folkeoplysningen i Danmark. Af kulturminister Marianne Jelved
En national vision for folkeoplysningen i Danmark Af kulturminister Marianne Jelved En national vision for folkeoplysningen i Danmark Udgivet november 2014 Kulturministeriet Nybrogade 2 1203 København
Læs mereUddannelse under naturlig forandring
Uddannelse under naturlig forandring Uddannelse under naturlig forandring 2. udgave Finn Wiedemann Syddansk Universitetsforlag 2017 Forfatteren og Syddansk Universitetsforlag 2017 Sats og tryk: Specialtrykkeriet
Læs merereaktioner i Gutting (1989), som i øvrigt er en god og pædagogisk fremstilling af Foucaults filosofi.
39 Undtagelser er Gary Gutting og Friedel Weinert. Jeg vil ikke i denne artikel tematisere denne sammenligning, men blot antyde, at Foucault og Kuhn kan kaste lys over hinandens projekter, styrker og svagheder.
Læs mere