Løsningsforslag 27. januar 2011

Transkript

1 Løsningsforslag 27. januar 2011 Opgave 1 (5%) Isolér t i udtrykket: 3x + 4 = 2x + t t 3x + 4 = 2x + t t og t 0 t(3x + 4) = 2x + t 3tx + 4t t = 2x t(3x + 4 1) = 2x t = 2x 3x + 3 og G = R\{-1} Opgave 2 (5%) En linje er givet ved: l : y = 2x 3 Linjen m,går gennem punkterne A(2, k) og B(6, 11). Bestem k så m står vinkeltret på l. Produktet af hældningerne skal give 1, dvs. der må gælde: α β = 1 for at to linjer er vinkelrette på hinanden. Vi kender α = 2 α β = 1 1

2 2 β = 1 β = 1 2 Men de to punkter også bruges til at beregne hældningen for linje m : Isoleres k : y 2 y 1 = 11 k x 2 x = = 2(11 k) 4 = 22 2k k = 9 Opgave 3 (5%) Løs ligningen ln(x 2) ln(4 x) = 0 Grundmængden findes: ln(x 2) ln(4 x) = 0 x 2 > 0 4 x > 0 x > 2 4 > x Løsningsmængden bliver; G =]2; 4[ ln( x 2 4 x ) = 0 2

3 e ln( x 2 4 x ) = e 0 x 2 4 x = 1 x 2 = 4 x 2x = 6 x = 3 L = {3} Opgave 4 (5 %) Løs uligheden x 2 + 3x 4 0 x 2 + 3x 4 0 Solve giver rødderne: x = { 4 1 Ax 2 + Bx + C = A(x α)(x β) x 2 + 3x 4 = (x + 4)(x 1) Nu har vi altså faktoriseret andengradsligningen og vi kan bruge følgende regel a b > 0 a > (0 b > 0) (a < 0 b < 0) (x x 1 0) (x x 1 0) Løsningsmængden bliver: (x 4 x 1) (x 4 x 1) (x 1) (x 4) L = [ ; 4] [1; [ 3

4 Opgave 5 (5%) Funktionen f er givet ved: f(x) = x 1 2x Bestem x koordinaterne til de punkter på grafen for f, hvor tangenten har en hældning på 3. Vi skal løse ligningen: f (x) = 3 f(x) = x 2x 1 f (x) = 1 + 2x 2 = x x 2 = 3 1 2x 2 = 2 4x 2 = 1 x 2 = 1 4 x = ± 1 2 L = { 1 2, 1 2 } 4

5 Opgave 6 (15%) a) En funktion f er givet ved: f(x) = e 3x+3 + x Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet hvor x = 1 b) Bestem skæringspunktet mellem linjen l og linjen m, når linjerne er givet ved l : 3x + 2y = 4 og m : x 4y = 6. c) Funktionerne f og (g f)(x) = g(f(x)) = 2x 2 + x 1, Bestem regneforskriften for funktionen g. a) f( 1) = e 3( 1)+3 + ( 1) = e = 5 Dvs tangentens koordinater er: ( 1, 5) Den første afledede eller differentialkvotienten bliver: f(x) = e 3x+3 + x y = e u dy du = eu u = 3x + 3 du dx = 3 dy dx = dy du du dx = 3 e3x+3 f (x) = 3 e 3x+3 + 2x Tangenthældningen i x = 1 findes: 5

6 f ( 1) = 3 e 3( 1) ( 1) = 1 Tangentens ligningen findes, da vi kender et punkt ( 1, 5) og hældning, α = 1 y = αx + q Tangentlignigen bliver: 5 = 1 + q q = 6 y = x + 6 b) Skæringspunktet mellem l og m findes ved at omskrive linjernes ligninger 3x + 2y = 4 2y = 3x 4 y = 3 2 x 2 x 4y = 6 4y = 6 x y = 1 4 x Vi sætter nu ovenstående lig med hinanden for at finde skæringen 1 4 x = 3 2 x x x = x + 6x 4 = 7 2 x = 2 y = 1 4 ( 2) = 1 Skæringspunktets koordinat er: 6

7 S( 2, 1) c) Bestem regneforskriften for g når f(x) = x+5 og (g f)(x) = g(f(x)) = 2x 2 + x 1 Ax 2 + Bx + C = 2x 2 + x 1 A(x + 5) 2 + 5(x + 5) + C = 2x 2 + x 1 A(x x) + Bx + 5B + C = 2x 2 + x 1 Ax A + 10Ax + Bx + 5B + C = 2x 2 + x 1 Ax 2 + (10A + B)x + (25A + 5B + C) = 2x 2 + x 1 Ax 2 = 2x 2 A = 2 (10A + B)x = 1 B = 19 25A + 5B + C = 1 C = 44 Indsættes disse fås g(x) g(x) = Ax 2 + Bx + C = 2x 2 19x

8 Opgave 7 (20%) I en firkant ABCD, er siden BC = 5, siden AD = 11, vinkel A = 30 0,siden BC er parallel med siden AD og højden fra B på siden AD er 4.(ABCD er et såkaldt trapez). a) Bestem arealet af firkanten. b) Bestem længden af siden AB. c) Bestem vinkel D i trekant ABD. d) Bestem længden af siden BD. a) Vi starter med at skitsere firkantet vha. GeoGebra. Arealet bestemees af: Areal = 1 h (AD + BC) 2 Areal = 1 4 (11 + 5) =

9 b) Bestemmelse af længden af siden AB sin(a) = h B AB AB = h B sin(a) = 4 sin(30) = 8 c) Bestemmelse af vinklen D i trekanten ABD Vi bruger cosinusrelationerne a 2 = b 2 + c 2 2bc cos(a) BD 2 = AD 2 + AB 2 2 AD AB cos(30) BD = cos(30) = 5.71 cos(d) = a2 + b 2 d 2 2ab d) Længden af siden BD Er allerede bestem som D = cos 1 ( ) = BD = cos(30) = 5.71 Opgave 8 (25%) En funktion f er givet ved: f(x) = 2x + 1 x 1 a) Bestem f (x). b) Bestem funktionens monotoniintervaller. c) Bestem koordinaterne til det punkter på funktionens graf, hvor tangenten i punktet er paralllel med den rette linje y = 3x + 2. d) Bestem løsningen til ligningen f(x) = 5 9

10 a) Definitionsmængden er alle reelle tal undtagen x=1, dvs Dm(f) = {x R x 1} = R\{1} f(x) = 2x + 1 x 1 = g(x) h(x) g(x) = 2x + 1 g (x) = 2 Vi bruger reglen h(x) = x 1 h (x) = 1 f (x) = g (x) h(x) g(x) h (x) (h(x)) 2 f (x) = 2(x 1) 1(2x + 1) 3 = (x 1) 2 (x 1) 2 b) Funktionens monotoniintervaller findes ved at sættef (x) = 0. 3 (x 1) = = 0 er jo falsk! Dvs. ingen løsning Vi kan altså konkludere alene ud fra fortegnet på den afledede ved at sige at den afledede er altid negativ uanset hvad man indsættet på x ens plads. Funktionen f er aftagende i hele sin definitionsmængde Dm(f) = {x R x 1} = R\{1} Punktet x = 1 deler fortegnsaksen i to dele som vist nedenunder. 10

11 Indsættes 0 og 2 i den differentierede udtryk fås f (0) = Neg. f (2) = Neg. Det ses af ovenstående at f er aftagende i hele sin definitionsmængde undtagen ved x = 1 hvor funktionen ikke er defineret. Dvs. funktionen er aftagende i ] ; 1[ ]1; [ c) Bestem koordinaterne til det punkter på funktionens graf, hvor tangenten i punktet er paralllel med den rette linje y = 3x + 2. Vi kender hældningen af den parallelle linje nemlig 3. f (x) = 3 11 Vi vil løse

12 3 (x 1) = 3 2 (x 1) 2 = 1 x 1 = ±1 x = { 0 2 f(0) = = 1 og f(2) = = 5 Koordinaterne bliver; (0, 1)og (2, 5) GeoGebra skitsering ses nedenunder: d) Bestem løsningen til ligningen f(x) = 5 12

13 2x + 1 x 1 = 5 2x + 1 = 5(x 1) 2x + 1 = 5x = 5x 2x 6 = 3x x = 2 Opgave 9a (15%) Givet de to funktioner f(x) = x og g(x) = ln(x 2 + 1) a) Bestem en regneforskrift for sammensætningen (g f)(x) = g(f(x)) samt definitionsmængden for denne. b) Beregn x værdien til det punkt på grafen for g f hvoe tangenten har hældningen 1 3 a) Sammensæt funktion beregnes: (g f)(x) = g(f(x)) = ln(( x) 2 + 1) = ln(x + 1) GeoGebra løsning ses nedenunder: Dm(g f) = [0; [ b) Beregnning af x værdi til det punkt på grafen for g(f(x)) hvor tangenten har høldningen 1 3 Vi finder først den første afledede af den sammensat funktion: 13

14 g(f(x)) = ln(x + 1) y = ln(u) dy du = 1 u u = x + 1 du dx = 1 dy dx = dy du du dx = 1 x g (f(x)) = 1 x + 1 = 1 3 x = 2 Opgave 9b (15%) Ved måling af vægten af affaldscontainere, der skal tømmes, har man fået nedenstående resultater: a) Bestem middelværdien Vægt i kg Hyppighed b) Indtegn sumkurven og aflæs medianen a) Middelværdien bestemms. Vi laver følgende tabel: 14

15 Vægt i kg intervalmidtpunkter(m) Hyppighed Frekvens(%) Kum. Frekvens(%) ]85-95] ,6 1,6 ]95-105] ,2 22,8 ] ] ,8 ] ] , Middelværdien bestemmes ved at gange intervalmidter med hyppighed og dividere med antal observationer, dvs. µ = E(X) = b) Sumkurven tegnes ( ) , 69 Vægt i kg Kumuleret Frekvens(%) , , , Indtastes ovenstående i GeoGebra og vælges Create og PolyLine between Points 15

16 Medianen aflæses til 113, 56 16