Foredrag i Eulers Venner 30. nov. 2004

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Foredrag i Eulers Venner 30. nov. 2004"

Transkript

1 BSD-prosper.tex Birch og Swinnerton-Dyer formodningen Johan P. Hansen 26/11/ :34 p. 1/20 Birch og Swinnerton-Dyer formodningen Foredrag i Eulers Venner 30. nov Johan P. Hansen Institut for Matematiske Fag Aarhus Universitet

2 BSD-prosper.tex Birch og Swinnerton-Dyer formodningen Johan P. Hansen 26/11/ :34 p. 2/20 Diofantiske ligninger Et polynomium f(x, y) (med koefficienter fra de rationale tal Q) giver anledning til en diofantisk ligning (Diofantos, ca. 250 år e. kr.) f(x, y) = 0 Bestem de rationale løsninger, altså mængden {(x, y) Q Q f(x, y) = 0} x 2 + y 2 = 1, Pythagoræiske tripler, uendelig mange f. eks. ( 3 5, 4 5 ),( 5 13, ),... x n + y n = 1, n 3, Fermats sidste sætning: Kun (0, ±1),(±1,0) er løsninger (Andrew Wiles, 1995) y 2 = x 3 + ax + b, = 4a b 3 0

3 BSD-prosper.tex Birch og Swinnerton-Dyer formodningen Johan P. Hansen 26/11/ :34 p. 3/20 Diofantiske ligninger af grad 1 og 2 De simpleste diofantiske ligninger er lineære og kan umiddelbart løses over Q. Kvadratiske ligninger løses af en kraftfuld metode af Hasse og Minkowski: Løs den kvadratiske ligning modulo p (primtal) [ kvadratisk reciprocitet] Brug dette til at løse ligningen over komplette lokale legemer Qp [Hensels lemma] Informationerne bruges til at sammenstykke en eventuel løsning over Q [Hasse princippet] Har kurven en rational løsning kan den parametriseres med rationale funktioner, og der er uendelig mange rationale løsninger, som f. eks. i tilfældet x 2 + y 2 = 1

4 BSD-prosper.tex Birch og Swinnerton-Dyer formodningen Johan P. Hansen 26/11/ :34 p. 4/20 Diofantiske ligninger og diofantisk geometri. Genus En (diofantisk ligning) giver anledning til en kurve - et specialtilfælde af en algebraisk varietet. Dette synspunkt giver anledning til at anvende geometriske metoder. Til enhver kurve, kan der knyttes et helt tal g 0 - kurvens genus Kurver med lineære og kvadratiske ligninger har genus 0 Hilbert og Hurwitz (1890) viste, at enhver kurve af genus 0 kan reduceres til at have en lineær eller kvadratisk ligning Genus g = 0 tilfældet er altså løst i og med det blot er et spørgsmål om, at løse lineære eller kvadratiske diofantiske ligninger.

5 BSD-prosper.tex Birch og Swinnerton-Dyer formodningen Johan P. Hansen 26/11/ :34 p. 5/20 Diofantiske geometri. Genus g 2 En kurve med ligning x n + y n = 1, n 4 har g = (n 1)(n 2) 2 2 Mordell formodede og i 1983 viste Faltings: Hvis der om kurvens genus g gælder, at g 2, så er der kun endelig mange rationale punkter (punkter med koordinater i Q). Sætningen og metoden gav ingen øvre begrænsning på antallet af rationale punkter og viser dermed ikke Fermats sidste sætning.

6 BSD-prosper.tex Birch og Swinnerton-Dyer formodningen Johan P. Hansen 26/11/ :34 p. 6/20 Diofantiske geometri. Genus g = 1 Det efterlader g = 1 tilfældet til behandling og situationen er meget mere nuanceret: Der er ingen kendt metode til at afgøre, hvorvidt en given kurve har eller ikke har punkter med rationale koordinater Der er eksempler på: kurver med endelig mange punkter med rationale koordinater kurver med uendelig mange punkter med rationale koordinate Forudsætter vi, at kurven har mindst et punkt med rationale koordinater har den efter passende koordinatskift en ligning på formen y 2 = x 3 + ax + b, = 4a b 3 0

7 BSD-prosper.tex Birch og Swinnerton-Dyer formodningen Johan P. Hansen 26/11/ :34 p. 7/20 Birch og Swinnerton-Dyer formodningen Løsningerne (x, y) over de rationale tal Q til ligningen E : y 2 = x 3 + ax + b udgør en gruppe. Punkterne P = (x, y) af endelig orden udgør en endelig gruppe E tors (Q) og E(Q) E tors (Q) Z r, (Mordell 1922)

8 BSD-prosper.tex Birch og Swinnerton-Dyer formodningen Johan P. Hansen 26/11/ :34 p. 7/20 Birch og Swinnerton-Dyer formodningen Løsningerne (x, y) over de rationale tal Q til ligningen E : y 2 = x 3 + ax + b udgør en gruppe. Punkterne P = (x, y) af endelig orden udgør en endelig gruppe E tors (Q) og E(Q) E tors (Q) Z r, (Mordell 1922) Udfra løsningsantallet til E modulo hvert primtal konstrueres en funktion L(s). Birch og Swinnerton-Dyer formodningen: Taylor rækken for L(s) i s = 1 er L(s) = c(s 1) r + højere ordens led, c 0

9 BSD-prosper.tex Birch og Swinnerton-Dyer formodningen Johan P. Hansen 26/11/ :34 p. 7/20 Birch og Swinnerton-Dyer formodningen Løsningerne (x, y) over de rationale tal Q til ligningen E : y 2 = x 3 + ax + b udgør en gruppe. Punkterne P = (x, y) af endelig orden udgør en endelig gruppe E tors (Q) og E(Q) E tors (Q) Z r, (Mordell 1922) Udfra løsningsantallet til E modulo hvert primtal konstrueres en funktion L(s). Birch og Swinnerton-Dyer formodningen: Taylor rækken for L(s) i s = 1 er L(s) = c(s 1) r + højere ordens led, c 0

10 BSD-prosper.tex Birch og Swinnerton-Dyer formodningen Johan P. Hansen 26/11/ :34 p. 8/20 Punktantal på elliptiske kurver over Z/pZ For ethvert primtal p, der ikke er divisor i, sættes N p := #{(x, y) y 2 x 3 + ax + b mod p} Heuristisk er N p stort set lig med p. Afvigelsen benævner vi a p := p N p, a p 2 p (Hasse) (1) Eksempel y 2 = x 3 + 7x, = har: p N p a p

11 BSD-prosper.tex Birch og Swinnerton-Dyer formodningen Johan P. Hansen 26/11/ :34 p. 9/20 Euler-produktet og Dirichlet-rækken Udfra tallene a p,(p primtal) dannes (det ufuldstændige) Euler-produkt L(s) := Y p a p p s + p 1 2s L(s) kan udtrykkes som en Dirichlet-række L(s) = Σ n 1 a n n s På næste side vil vi bevise, at rækken konvergerer og dermed definerer en analytisk funktion på en kompleks halvplan, nemlig de s C med Re s > 3 2. Af beviset følger formler for a n Hasse formodede, at L(s) kunne udvides analytisk til hele den komplekse plan Det er nu (1995) vist som følge af Wiles arbejde med beviset for Fermats sidste sætning

12 BSD-prosper.tex Birch og Swinnerton-Dyer formodningen Johan P. Hansen 26/11/ :34 p. 10/20 Euler-produktet og Dirichlet-rækken. Konvergens Nævnerpolynomiet 1 a p X + px 2 har ifølge (1) negativ diskriminant a p 2 4p 0, hvorfor der kan faktoriseres 1 1 a p X + px 2 = 1 (1 r p X)(1 r p X) med r p = r p = p. (2) Da 1 (1 rx) = P i=0 ri X i, giver entydig faktorisering i primtalsprodukt, at Y p r p p s = X n=p 1 s 1 p k s k c n z } { (r p1 ) s1 (r pk ) s k n s = X n=p 1 s 1 p k s k c n n s. Da c n = n, er rækken konvergent for de s C, der har Re( 1 s) < 1. 2 Konvergensen for L(s) følger nu af (2): L(s) = Y p r p p s «Y p r p p s «

13 BSD-prosper.tex Birch og Swinnerton-Dyer formodningen Johan P. Hansen 26/11/ :34 p. 11/20 Gruppestruktur - geometrisk formulering Punkterne på E og et punkt O (i uendelig) udgør en Abelsk gruppe. Hvis linien PQ er lodret er P + Q = O ellers er P + Q = R. Endelig er P + O = P.

14 BSD-prosper.tex Birch og Swinnerton-Dyer formodningen Johan P. Hansen 26/11/ :34 p. 12/20 Gruppestruktur - E(Q) en Abelsk gruppe E : y 2 = x 3 + ax + b, = 4a b 3 0 Lad P = (x 1, y 2 ), Q = (x 2, y 2 ) og R = (x 3, y 3 ) være de tre skærningspunkter mellem E og linien PQ. Hvis linien har en ligning på formen x = x 1 sættes P + Q = O ellers har P + Q koordinaterne P + Q = «α 2 x 1 x 2, αx 3 (y 1 αx 1 ), hvor α = y 2 y 1 x 2 x 1, hvis (P Q) og α = 3x2 + a, hvis (P = Q, y 0) 2y Bemærk at det er rationale udtryk, altså kan beregnes over ethvert legeme. Specielt er E(Q) en Abelsk gruppe.

15 BSD-prosper.tex Birch og Swinnerton-Dyer formodningen Johan P. Hansen 26/11/ :34 p. 13/20 Gruppestruktur - algebraisk udredning Ligningen for P Q er under den givne betingelse på formen: α = y 2 y 1 x 2 x 1, hvis (P Q) og y = αx + (y 1 αx 1 ), α = 3x2 + a, hvis (P = Q, y 0). 2y Førstekoordinaterne x 1, x 2, x 3 er løsninger til trediegradsligningen: (αx + (y 1 αx 1 )) 2 = x 3 + ax + b, hvor koefficienten til x 2 er α 2. Derfor er x 1 + x 2 + x 3 = α 2 x 3 = α 2 x 1 x 2 y 3 = αx 3 + (y 1 αx 1 ).

16 BSD-prosper.tex Birch og Swinnerton-Dyer formodningen Johan P. Hansen 26/11/ :34 p. 14/20 Mordells sætning: E(Q) endelig frembragt Vi har set, at punkterne P = (x, y), hvor koordinaterne x, y Q er løsninger til ligningen E : y 2 = x 3 + ax + b sammen med O udgør en Abelsk gruppe. I 1922 viste Mordell, at der findes endelig mange punkter P 1,..., P k E(Q), der frembringer E(Q). Altså ethvert P E(Q) er på formen: P = n 1 P n k P k, n i Z. Nogle af disse frembringerpunkter har endelig orden og frembringer torsionsundergruppen E tors (Q), der er endelig, de øvrige frembringer en fri gruppe.

17 BSD-prosper.tex Birch og Swinnerton-Dyer formodningen Johan P. Hansen 26/11/ :34 p. 15/20 Mordells sætning: E(Q) endelig frembragt - rangen Det indebærer, at vi har en isomorfi af grupper E(Q) E tors (Q) Z r, (Mordell 1922) Tallet r kaldes rangen af E.

18 BSD-prosper.tex Birch og Swinnerton-Dyer formodningen Johan P. Hansen 26/11/ :34 p. 15/20 Mordells sætning: E(Q) endelig frembragt - rangen Det indebærer, at vi har en isomorfi af grupper E(Q) E tors (Q) Z r, (Mordell 1922) Tallet r kaldes rangen af E. Rangen er vanskelig, at bestemme. Det formodes, at der findes elliptiske kurver af vilkårlig høj rang.

19 BSD-prosper.tex Birch og Swinnerton-Dyer formodningen Johan P. Hansen 26/11/ :34 p. 15/20 Mordells sætning: E(Q) endelig frembragt - rangen Det indebærer, at vi har en isomorfi af grupper E(Q) E tors (Q) Z r, (Mordell 1922) Tallet r kaldes rangen af E. Rangen er vanskelig, at bestemme. Det formodes, at der findes elliptiske kurver af vilkårlig høj rang.

20 BSD-prosper.tex Birch og Swinnerton-Dyer formodningen Johan P. Hansen 26/11/ :34 p. 16/20 Elliptiske kurver med rang 0, 1 og 2 Kurven med ligningen har rang 0. Kurven med ligningen y 2 = x 3 + 7x y 2 = x 3 + 5x har rang 1. Punktet ( 1 4, 9 ) er en frembringer. 8 Kurven med ligningen y 2 = x x har rang 2. Punkterne ( 9 16, 411 ),(36,222) er uafhængige frembringere. 64

21 BSD-prosper.tex Birch og Swinnerton-Dyer formodningen Johan P. Hansen 26/11/ :34 p. 17/20 Birch og Swinnerton-Dyer formodningen Lad E være en elliptisk kurve med ligningen y 2 = x 3 + ax + b, = 4a b 3 0 Så er E(Q) E tors (Q) Z r

22 BSD-prosper.tex Birch og Swinnerton-Dyer formodningen Johan P. Hansen 26/11/ :34 p. 17/20 Birch og Swinnerton-Dyer formodningen Lad E være en elliptisk kurve med ligningen y 2 = x 3 + ax + b, = 4a b 3 0 Så er E(Q) E tors (Q) Z r Lad L(s) := Y p a p p s + p 1 2s, a p := p N p, N p := #{(x, y) y 2 x 3 +ax+b mod p} Birch og Swinnerton-Dyer formodningen er nu, at Taylor rækken for L(s) i s = 1 er L(s) = c(s 1) r + højere ordens led, c 0

23 BSD-prosper.tex Birch og Swinnerton-Dyer formodningen Johan P. Hansen 26/11/ :34 p. 17/20 Birch og Swinnerton-Dyer formodningen Lad E være en elliptisk kurve med ligningen y 2 = x 3 + ax + b, = 4a b 3 0 Så er E(Q) E tors (Q) Z r Lad L(s) := Y p a p p s + p 1 2s, a p := p N p, N p := #{(x, y) y 2 x 3 +ax+b mod p} Birch og Swinnerton-Dyer formodningen er nu, at Taylor rækken for L(s) i s = 1 er L(s) = c(s 1) r + højere ordens led, c 0

24 BSD-prosper.tex Birch og Swinnerton-Dyer formodningen Johan P. Hansen 26/11/ :34 p. 18/20 Status Birch og Swinnerton-Dyer formodningen er kun vist i specialtilfælde: I 1976 viste J. Coates and A. Wiles, at en elliptisk kurve med kompleks multiplikation og med L(1) 0 kun har endelig mange rationale punkter, altså er rangen lig med 0. I 1983 viste B. Gross and D. Zagier, at en modulær elliptisk kurve, hvor L(s) har et simpelt nulpunkt for s = 1, faktisk har et rationalt punkt af uendelig orden, altså er rangen > 0. I 1990 viste V. Kolyvagin, at en modulær elliptisk kurve med L(1) 0 har rang 0 og en modulær elliptisk kurve, hvor L(s) har et simpelt nulpunkt for s = 1, har rang 1. I 1999 viste A. Wiles og R. Taylor, at alle elliptiske kurver er modulære (Taniyama-Shimura), hvorved de to ovenstående resultater gælder for alle elliptiske kurver.

25 BSD-prosper.tex Birch og Swinnerton-Dyer formodningen Johan P. Hansen 26/11/ :34 p. 19/20 Tilblivelsen af Birch og Swinnerton-Dyer formodningen I begyndelsen af 60 erne beregnede Birch og Swinnerton-Dyer (Cambridge University) N p for elliptiske kurver med kendt rang r for rigtig mange primtal p. Fra dette talmateriale fremsatte de formodningen om en asymptotisk lov: Y p<x N p p log(x)r for x. Det førte dem til (1965) at fremsætte Birch og Swinnerton-Dyer formodningen. Det var dristigt - på daværende tidspunkt viste man ikke, at L(s) kunne fortsættes analytisk til s = 1, dengang var det var blot vist for kurver med kompleks multiplikation (Deuring).

26 BSD-prosper.tex Birch og Swinnerton-Dyer formodningen Johan P. Hansen 26/11/ :34 p. 20/20 Birch og Swinnerton-Dyer formodningen - stærk form Formodningen udvidede de yderligere (1982) til at omfatte en formel for konstanten c i Taylorrækken for L(s) i s = 1 udtrykt ved invarianter knytter til E: #X(E/Q) R(E/Q) Q p c p c = lim s 1 L(s) (s 1) r = 2r Ω (#E tors (Q)) 2 Her er X(E/Q), den såkaldte Shafarevich-Tate gruppe. J. Tate: This remarkable conjecture relates the behavior of a function L(s) at a point where it is not at present known to be defined to the order of a group X(E/Q) which is not known to be finite!

Store Uløste Problemer i Matematikken. Lisbeth Fajstrup Aalborg Universitet

Store Uløste Problemer i Matematikken. Lisbeth Fajstrup Aalborg Universitet Store Uløste Problemer i Matematikken. Lisbeth Fajstrup Aalborg Universitet Oversigt Hvad er et stort problem i matematik Eksempler fra 1900 og fra 2000 Problemer om tal perfekte tal, primtal. Meget store

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

Primtal - hvor mange, hvordan og hvorfor?

Primtal - hvor mange, hvordan og hvorfor? Johan P. Hansen 1 1 Institut for Matematiske Fag, Aarhus Universitet Gult foredrag, EULERs Venner, oktober 2009 Disposition 1 EUKLIDs sætning. Der er uendelig mange primtal! EUKLIDs bevis Bevis baseret

Læs mere

1 Sætninger om hovedidealområder (PID) og faktorielle

1 Sætninger om hovedidealområder (PID) og faktorielle 1 Sætninger om hovedidealområder (PID) og faktorielle ringe (UFD) 1. Introducér ideal, hovedideal 2. I kommutativt integritetsområde R introduceres primelement, irreducibelt element, association 3. Begrebet

Læs mere

DIOFANTISKE LIGNINGER FERMATS SIDSTE SÆTNING

DIOFANTISKE LIGNINGER FERMATS SIDSTE SÆTNING DIOFANTISKE LIGNINGER FERMATS SIDSTE SÆTNING JOHAN P. HANSEN Resumé. Under den historiske indføring forklares, hvad der menes med en Diofantisk ligning. Der gøres rede for formulering af Fermats Store

Læs mere

Noter om primtal. Erik Olsen

Noter om primtal. Erik Olsen Noter om primtal Erik Olsen 1 Notation og indledende bemærkninger Vi lader betegne de hele tal, og Z = {... 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3...} N = {0, 1, 2, 3...} Z være de positive hele tal. Vi minder her om et

Læs mere

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, oktober 2008, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan

Læs mere

Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder

Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder Olav Geil Skal man sende en fødselsdagsgave til fætter Børge, så pakker man den godt ind i håb om, at kun indpakningen er beskadiget ved modtagelsen. Noget

Læs mere

Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning

Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning Chapter 3 Modulpakke 3: Egenværdier 3.1 Indledning En vektor v har som bekendt både størrelse og retning. Hvis man ganger vektoren fra højre på en kvadratisk matrix A bliver resultatet en ny vektor. Hvis

Læs mere

Opgave 1 Regning med rest

Opgave 1 Regning med rest Den digitale signatur - anvendt talteori og kryptologi Opgave 1 Regning med rest Den positive rest, man får, når et helt tal a divideres med et naturligt tal n, betegnes rest(a,n ) Hvis r = rest(a,n) kan

Læs mere

Fermat, ABC og alt det jazz...

Fermat, ABC og alt det jazz... Fermat, ABC og alt det jazz... Matematiklærerdag 2013 Simon Kristensen Institut for Matematik Aarhus Universitet 22. marts 2013 Oversigt 1 Hvad er ABC-formodningen? Oversigt 1 Hvad er ABC-formodningen?

Læs mere

Matematiklærerdag 11. marts 2005

Matematiklærerdag 11. marts 2005 Global Position System - Galileo Matematiklærerdag 11. marts 2005 Johan P. Hansen matjph@imf.au.dk Institut for Matematiske Fag Aarhus Universitet matematikdag.tex Global Position System - Galileo Johan

Læs mere

sætning: Hvis a og b er heltal da findes heltal s og t så gcd(a, b) = sa + tb.

sætning: Hvis a og b er heltal da findes heltal s og t så gcd(a, b) = sa + tb. sætning: Hvis a og b er heltal da findes heltal s og t så gcd(a, b) = sa + tb. lemma: Hvis a, b og c er heltal så gcd(a, b) = 1 og a bc da vil a c. lemma: Hvis p er et primtal og p a 1 a 2 a n hvor hvert

Læs mere

10. Nogle diofantiske ligninger.

10. Nogle diofantiske ligninger. Diofantiske ligninger 10.1 10. Nogle diofantiske ligninger. (10.1). I dette kapitel betragtes nogle diofantiske ligninger, specielt nogle af de ligninger, der kan behandles via kvadratiske talringe. Ligningerne

Læs mere

Komplekse tal og polynomier

Komplekse tal og polynomier Komplekse tal og polynomier John Olsen 1 Indledning Dette sæt noter er forelæsningsnoter til foredraget Komplekse tal, polynomier og legemsudvidelser. Noterne er beregnet til at blive brugt sammen med

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Polynomier Kort gennemgang af polynomier og deres asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

Euklids algoritme og kædebrøker

Euklids algoritme og kædebrøker Euklids algoritme og kædebrøker Michael Knudsen I denne note vil vi med Z, Q og R betegne mængden af henholdsvis de hele, de rationale og de reelle tal. Altså er { m } Z = {..., 2,, 0,, 2,...} og Q = n

Læs mere

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2 Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket

Læs mere

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 5 Morten Grud Rasmussen 19. september, 2013 1 Euler-Cauchy-ligninger [Bogens afsnit 2.5, side 71] 1.1 De tre typer af Euler-Cauchy-ligninger Efter at

Læs mere

Polynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6

Polynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 Indhold 1 Polynomier 2 Polynomier 2 Polynomiumsdivision 4 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 4 Koefficienter 8 5 Polynomier med heltallige koefficienter 9 6 Mere om polynomier med heltallige koefficienter

Læs mere

Divisorer. Introduktion. Divisorer og delelighed. Divisionsalgoritmen. Definition (Divisor) Lad d og n være hele tal. Hvis der findes et helt tal q så

Divisorer. Introduktion. Divisorer og delelighed. Divisionsalgoritmen. Definition (Divisor) Lad d og n være hele tal. Hvis der findes et helt tal q så Introduktion 1) Hvad er Taleteori? Læren om de hele tal Primtal 2) Formalistisk struktur Definition Lemma Divisorer Definition (Divisor) Lad d og n være hele tal Hvis der findes et helt tal q så d q =

Læs mere

Polynomium Et polynomium. Nulpolynomiet Nulpolynomiet er funktionen der er konstant nul, dvs. P(x) = 0, og dets grad sættes per definition til.

Polynomium Et polynomium. Nulpolynomiet Nulpolynomiet er funktionen der er konstant nul, dvs. P(x) = 0, og dets grad sættes per definition til. Polynomier Polynomier Polynomium Et polynomium P(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 Disse noter giver en introduktion til polynomier, centrale sætninger om polynomiumsdivision, rødder og koefficienter

Læs mere

Analytisk plangeometri 1

Analytisk plangeometri 1 1 Analytisk plangeometri 1 Kære 1. x, Vi begynder dag vores forløb om analytisk plangeometri. Dette bliver en udvidelse af ting i allerede kender til, så noget ved I i forvejen, mens andet bliver helt

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning.

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Michael Knudsen 10. oktober 2005 1 Ligningsløsning Lad N = {0,1,2,...} betegne mængden af de naturlige tal og betragt ligningen ax + b = 0, a,b N,a 0. Findes

Læs mere

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition Kursusgang 3 Repetition - froberg@mathaaudk http://peoplemathaaudk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12 september 2008 1/12 Lineære ligningssystemer Et lineært ligningssystem

Læs mere

Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM02)

Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM02) SYDDANSK UNIVERSITET ODENSE UNIVERSITET INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM2) Fredag d. 2. januar 22 kl. 9. 3. 4 timer med alle sædvanlige skriftlige

Læs mere

Komplekse tal og rækker

Komplekse tal og rækker Komplekse tal og rækker John Olsen 1 Indledning Dette sæt noter er forelæsningsnoter til foredraget Komplekse tal og rækker. Noterne er beregnet til at blive brugt sammen med foredraget. I afsnit 2 bliver

Læs mere

MM502+4 forelæsningsslides

MM502+4 forelæsningsslides MM502+4 forelæsningsslides uge 11+12 1, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm, delvis på baggrund af lignende materiale udarbejdet af Mikael Rørdam 1 I nærværende forbindelse er 11 + 12 23 1 Egenskaber for

Læs mere

Projekt 3.5 faktorisering af polynomier

Projekt 3.5 faktorisering af polynomier Projekt 3.5 faktorisering af polynomier Hvilke hele tal går op i tallet 60? Det kan vi få svar på ved at skrive 60 som et produkt af sine primtal: 60 3 5 Divisorerne i 60 er lige præcis de tal, der kan

Læs mere

Indhold. 1 Indledning 2 1.1 Baggrund... 2

Indhold. 1 Indledning 2 1.1 Baggrund... 2 Indhold 1 Indledning 2 1.1 Baggrund.................................. 2 2 Elliptisk kurve 3 2.1 Gruppeoperationen på E.......................... 4 2.1.1 sjove punkter på E........................ 8 2.2

Læs mere

Om første og anden fundamentalform

Om første og anden fundamentalform Geometri, foråret 2005 Jørgen Larsen 9. marts 2005 Om første og anden fundamentalform 1 Tangentrummet; første fundamentalform Vi betragter en flade S parametriseret med σ. Lad P = σu 0, v 0 være et punkt

Læs mere

MM05 - Kogt ned. kokken. Jacob Aae Mikkelsen. 23. januar 2007

MM05 - Kogt ned. kokken. Jacob Aae Mikkelsen. 23. januar 2007 MM05 - Kogt ned Jacob Aae Mikkelsen kokken 23. januar 2007 1 INDHOLD 1 ARITMETIK I Z Indhold 1 Aritmetik i Z 2 2 Kongruens i Z 4 3 Ringe 6 4 Aritmetik i F[x] 9 5 Kongruens i F[x] og kongruensklasse aritmetik

Læs mere

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul Asymptoter for standardforsøgene i matematik i gymnasiet 2003 Karsten Juul Indledning om lodrette asymptoter Lad f være funktionen bestemt ved =, 2. 2 Vi udregner funktionsværdierne i nogle -værdier der

Læs mere

Eulers sætning Matematikken bag kryptering og signering v.hj.a. RSA Et offentlig nøgle krypteringssytem

Eulers sætning Matematikken bag kryptering og signering v.hj.a. RSA Et offentlig nøgle krypteringssytem Eulers sætning Matematikken bag kryptering og signering v.hj.a. RSA Et offentlig nøgle krypteringssytem Johan P. Hansen 18. april 2013 Indhold 1 Indbyrdes primiske hele tal 1 2 Regning med rester 3 3 Kryptering

Læs mere

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, marts 2014, Kirsten Rosenkilde.

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, marts 2014, Kirsten Rosenkilde. Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske

Læs mere

Potensrækker. Morten Grud Rasmussen 1 10. november 2015. Definition 1 (Potensrække). En potensrække er en uendelig række på formen

Potensrækker. Morten Grud Rasmussen 1 10. november 2015. Definition 1 (Potensrække). En potensrække er en uendelig række på formen Potensrækker Morten Grud Rasmussen 1 10 november 2015 Definition og konvergens af potensrækker Definition 1 Potensrække) En potensrække er en uendelig række på formen a n pz aq n, 1) hvor afsnittene er

Læs mere

Vi indleder med at minde om at ( a) = a gælder i enhver gruppe.

Vi indleder med at minde om at ( a) = a gælder i enhver gruppe. 0.1: Ringe 1. Definition: Ring En algebraisk struktur (R, +,, 0,, 1) kaldes en ring hvis (R, +,, 0) er en kommutativ gruppe og (R,, 1) er en monoide og hvis er såvel venstre som højredistributiv mht +.

Læs mere

Hans J. Munkholm: En besvarelse af

Hans J. Munkholm: En besvarelse af Hans J. Munkholm: En besvarelse af Projekt for MM501, Lineære differentialligninger November-december 2009 Nummererede formler fra opgaveformuleringen Her samles alle opgavens differentialligninger og

Læs mere

Fejlkorrigerende koder Toriske varieteter, specielt Hirzebruch flader

Fejlkorrigerende koder Toriske varieteter, specielt Hirzebruch flader Fejlkorrigerende koder Toriske varieteter, specielt Hirzebruch flader Johan P. Hansen, matjph@imf.au.dk Matematisk Institut, Aarhus Universitet Trondheim, den 18. Oktober 2002 0-0 Informationsoverførsel.

Læs mere

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde.

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde. Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske

Læs mere

Talteoriopgaver Træningsophold ved Sorø Akademi 2007

Talteoriopgaver Træningsophold ved Sorø Akademi 2007 Talteoriopgaver Træningsophold ved Sorø Akademi 2007 18. juli 2007 Opgave 1. Vis at når a, b og c er positive heltal, er et sammensat tal. Løsningsforslag: a 4 + b 4 + 4c 4 + 4a 3 b + 4ab 3 + 6a 2 b 2

Læs mere

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. I. De komplekse tals historie. Historien om 3. grads ligningerne

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. I. De komplekse tals historie. Historien om 3. grads ligningerne De komplekse tals historie side 1 Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave I. De komplekse tals historie Historien om 3. grads ligningerne x 3 + a x = b, x 3 + a x 2 = b, - Abraham bar Hiyya Ha-Nasi,

Læs mere

Analytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen

Analytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen Analtisk geometri Mike Auerbach Odense 2015 Den klassiske geometri beskæftiger sig med alle mulige former for figurer: Linjer, trekanter, cirkler, parabler, ellipser osv. I den analtiske geometri lægger

Læs mere

Matematikken bag kryptering og signering NemID RSA Foredrag i UNF

Matematikken bag kryptering og signering NemID RSA Foredrag i UNF Matematikken bag kryptering og signering NemID RSA Foredrag i UNF Disposition 1 PKI - Public Key Infrastructure Symmetrisk kryptografi Asymmetrisk kryptografi 2 Regning med rester Indbyrdes primiske tal

Læs mere

Heisenbergs usikkerhedsrelationer. Abstrakt. Hvorfor? Funktionsrum. Nils Byrial Andersen Institut for Matematik. Matematiklærerdag 2013

Heisenbergs usikkerhedsrelationer. Abstrakt. Hvorfor? Funktionsrum. Nils Byrial Andersen Institut for Matematik. Matematiklærerdag 2013 Heisenbergs usikkerhedsrelationer Nils Byrial Andersen Institut for Matematik Matematiklærerdag 013 1 / 17 Abstrakt Heisenbergs usikkerhedsrelationer udtrykker at man ikke på samme tid både kan bestemme

Læs mere

Matematikken bag satellitnavigation GPS - GLONASS - GALILEO

Matematikken bag satellitnavigation GPS - GLONASS - GALILEO GPS - GLONASS - GALILEO Johan P. Hansen 1 1 Institut for Matematik, Aarhus Universitet Disposition 1 Retningsbestemt navigation 2 Hyperbel navigation - DECCA og LORAN 3 Militær og kommerciel baggrund GALILEO

Læs mere

MASO Uge 1. Relle tal Følger. Jesper Michael Møller. 7. september Department of Mathematics University of Copenhagen

MASO Uge 1. Relle tal Følger. Jesper Michael Møller. 7. september Department of Mathematics University of Copenhagen MASO Uge 1 Relle tal Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen 7. september 2016 Formålet med MASO Integer sequences Oversigt Relle tal Notation Tal Overtal og undertal Største

Læs mere

De Komplekse Tal. Johan Martens og Jens-Jakob Kratmann Nissen 27/8-2011. God made the natural numbers; all else is the work of man.

De Komplekse Tal. Johan Martens og Jens-Jakob Kratmann Nissen 27/8-2011. God made the natural numbers; all else is the work of man. De Komplekse Tal Johan Martens og Jens-Jakob Kratmann Nissen 27/8-2011 1 Tal God made the natural numbers; all else is the work of man. Kronecker Det er ikke meningen, at vi skal dykke ned i teologien

Læs mere

Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet

Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Komplekse Tal 20. november 2009 UNF Odense Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Fra de naturlige tal til de komplekse Optælling af størrelser i naturen De naturlige tal N (N

Læs mere

9.1 Egenværdier og egenvektorer

9.1 Egenværdier og egenvektorer SEKTION 9.1 EGENVÆRDIER OG EGENVEKTORER 9.1 Egenværdier og egenvektorer Definition 9.1.1 1. Lad V være et F-vektorrum; og lad T : V V være en lineær transformation. λ F er en egenværdi for T, hvis der

Læs mere

Mundtlige spørgsmål til 2v + 2b. mat B, sommer Nakskov Gymnasium & Hf.

Mundtlige spørgsmål til 2v + 2b. mat B, sommer Nakskov Gymnasium & Hf. Mundtlige spørgsmål til 2v + 2b. mat B, sommer 2010. Nakskov Gymnasium & Hf. Eksaminator: Ulla Juul Franck Der er 20 spørgsmål i alt, og bilag til spørgsmål 14 og 15. 1. Andengradspolynomier og parabler.

Læs mere

1 Vektorrum. MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA 6. oktober 2016 Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier

1 Vektorrum. MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA 6. oktober 2016 Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA 6. oktober 2016 Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier Grupperne forventes at regne en mængde af opgaver, som tilsammen dækker 100 point. De små opgaver giver hver 5 point,

Læs mere

Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C

Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C Opgaven består af tre dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene

Læs mere

Noter til Perspektiver i Matematikken

Noter til Perspektiver i Matematikken Noter til Perspektiver i Matematikken Henrik Stetkær 25. august 2003 1 Indledning I dette kursus (Perspektiver i Matematikken) skal vi studere de hele tal og deres egenskaber. Vi lader Z betegne mængden

Læs mere

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer Chapter 4 Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer 4. Homogene systemer I teknikken møder man meget ofte modeller der leder til systemer af koblede differentialligninger. Et eksempel på et sådant system

Læs mere

Kompleks Funktionsteori

Kompleks Funktionsteori Kompleks Funktionsteori Formelræs Holomorfe funktioner Sætning. (Caucy-Riemans ligninger). Funktionen f : G C, f = u+iv er holomorf i z 0 = x 0 + iy 0 hvis og kun hvis i punktet (x 0, y 0 ). du dx = dv

Læs mere

Første konstruktion af Cantor mængden

Første konstruktion af Cantor mængden DYNAMIK PÅ CANTOR MÆNGDEN KLAUS THOMSEN Første konstruktion af Cantor mængden For de fleste der har hørt on Cantor-mængden, er den blevet defineret på flg måde: I = 0 I = I = 0 0 OSV Cantor mængden C er

Læs mere

Supplerende opgaver. S1.3.1 Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at

Supplerende opgaver. S1.3.1 Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at Supplerende opgaver Analyse Jørgen Vesterstrøm Forår 2004 S.3. Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at (A B C) (A B C) (A B) C og find en nødvendig og tilstrækkelig betingelse for at der gælder lighedstegn

Læs mere

MM501 forelæsningsslides

MM501 forelæsningsslides MM501 forelæsningsslides uge 37, 2010 Produceret af Hans J. Munkholm 2009 bearbejdet af Jessica Carter 2010 1 Hvad er et komplekst tal? Hvordan regner man med komplekse tal? Man kan betragte udvidelsen

Læs mere

Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder

Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder Olav Geil Skal man sende en fødselsdagsgave til fætter Børge, så pakker man den godt ind i håb om, at kun indpakningen er beskadiget ved modtagelsen. Noget

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Talteori Anne Ryelund Anders Friis 16. juli 2014 Slide 1/36

t a l e n t c a m p d k Talteori Anne Ryelund Anders Friis 16. juli 2014 Slide 1/36 Slide 1/36 sfaktorisering Indhold 1 2 sfaktorisering 3 4 5 Slide 2/36 sfaktorisering Indhold 1 2 sfaktorisering 3 4 5 Slide 3/36 1) Hvad er Taleteori? sfaktorisering Slide 4/36 sfaktorisering 1) Hvad er

Læs mere

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære

Læs mere

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014 Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.

Læs mere

8 Regulære flader i R 3

8 Regulære flader i R 3 8 Regulære flader i R 3 Vi skal betragte særligt pæne delmængder S R 3 kaldet flader. I det følgende opfattes S som et topologisk rum i sportopologien, se Definition 5.9. En åben omegn U af p S er således

Læs mere

Af Marc Skov Madsen PhD-studerende Aarhus Universitet email: marc@imf.au.dk

Af Marc Skov Madsen PhD-studerende Aarhus Universitet email: marc@imf.au.dk Af Marc Skov Madsen PhD-studerende Aarhus Universitet email: marc@imf.au.dk 1 Besøgstjenesten Jeg vil gerne bruge lidt spalteplads til at reklamere for besøgstjenesten ved Institut for Matematiske Fag

Læs mere

Fermat s sidste sætning: En oversigt. Ian Kiming 14 Oktober,

Fermat s sidste sætning: En oversigt. Ian Kiming 14 Oktober, Fermat s sidste sætning: En oversigt. Ian Kiming 14 Oktober, 1999 http://www.math.ku.dk/~kiming/ kiming@math.ku.dk Contents 1. Optakt: Et klassisk problem. 2 1.1. Algebraisk-talteoretisk fortolkning. 3

Læs mere

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære

Læs mere

3.1 Baser og dimension

3.1 Baser og dimension SEKTION 3 BASER OG DIMENSION 3 Baser og dimension Definition 3 Lad V være et F-vektorrum Hvis V = {0}, så har V dimension 0 2 Hvis V har en basis bestående af n vektorer, så har V dimension n 3 Hvis V

Læs mere

Wigner s semi-cirkel lov

Wigner s semi-cirkel lov Wigner s semi-cirkel lov 12. december 2009 Eulers Venner Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Diagonalisering af selvadjungeret matrix Lad H være en n n matrix med komplekse

Læs mere

Note omkring RSA kryptering. Gert Læssøe Mikkelsen Datalogisk institut Aarhus Universitet

Note omkring RSA kryptering. Gert Læssøe Mikkelsen Datalogisk institut Aarhus Universitet Note omkring RSA kryptering. Gert Læssøe Mikkelsen Datalogisk institut Aarhus Universitet 3. april 2009 1 Kryptering med offentlige nøgler Indtil midt i 1970 erne troede næsten alle, der beskæftigede sig

Læs mere

Matematik F2 Opgavesæt 2

Matematik F2 Opgavesæt 2 Opgaver uge 2 I denne uge kigger vi nærmere på Cauchy-Riemann betingelserne, potensrækker, konvergenskriterier og flertydige funktioner. Vi skal også se på integration langs en ve i den komplekse plan.

Læs mere

Hilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum

Hilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum Chapter 3 Hilbert rum 3.1 Indre produkt rum I det følgende skal vi gøre brug af komplekse såvel som reelle vektorrum. Idet L betegner enten R eller C minder vi om, at et vektorrum over L er en mængde E

Læs mere

Matematik. Alt hvad du bør vide om naturvidenskab - eller næsten. Johan P. Hansen. 10. april 2012. Aarhus Universitet

Matematik. Alt hvad du bør vide om naturvidenskab - eller næsten. Johan P. Hansen. 10. april 2012. Aarhus Universitet Alt hvad du bør vide om naturvidenskab - eller næsten 1 1 Institut for Aarhus Universitet 10. april 2012 Disposition 1 Tallenes oprindelse og matematisk metode Oprindelse indledning Sumererne Grækerne

Læs mere

Ringe og Primfaktorisering

Ringe og Primfaktorisering Ringe og Primfaktorisering Michael Knudsen 16. marts 2005 1 Ringe Lad Z betegne mængden af de hele tal, Z = {..., 2, 1,0,1,2,...}. På Z har to regneoperationer, + (plus) og (gange), der til to hele tal

Læs mere

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1 gudmandsen.net Ophavsret Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er fuldt ud

Læs mere

Generering af Frey-Rück Resistente Elliptiske kurver med Primtalsorden over p 2 c

Generering af Frey-Rück Resistente Elliptiske kurver med Primtalsorden over p 2 c Institut for Matematiske Fag 30. Januar 2005 Afdeling for Matematik Aarhus Universitet Generering af Frey-Rück Resistente Elliptiske kurver med Primtalsorden over p 2 c Speciale af: Allan Bohnstedt Hansen

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Kalkulus 1 Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund Signe Baggesen 10. januar 2015 Slide 1/54

t a l e n t c a m p d k Kalkulus 1 Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund Signe Baggesen 10. januar 2015 Slide 1/54 Slide 1/54 Indhold 1 2 3 4 5 Slide 2/54 Indhold 1 2 3 4 5 Slide 3/54 1) Hvad er et aksiom? Slide 4/54 1) Hvad er et aksiom? 2) Hvorfor har vi brug for aksiomer? The Monty Hall Problem Slide 4/54 1) Hvad

Læs mere

Matematik YY Foråret 2004 Anden notepakke Forfatter: Søren Jøndrup

Matematik YY Foråret 2004 Anden notepakke Forfatter: Søren Jøndrup Matematik YY Foråret 2004 Anden notepakke Forfatter: Søren Jøndrup Bemærkning: Dette er en del af de forrige års første notepakke. De første 8 sider af den gamle version er i år erstattet med den nye 1.

Læs mere

Talteori: Euklids algoritmer, modulær aritmetik

Talteori: Euklids algoritmer, modulær aritmetik Talteori: r, modulær aritmetik Videregående algoritmik Cormen et al. 31.1 31.4 Tirsdag den 6. januar 2009 1 1 2 Restklasseringene modulo n Grupper og undergrupper Modulær division Divisorer De hele tal

Læs mere

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013) Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer

Læs mere

Banach-Tarski Paradokset

Banach-Tarski Paradokset 32 Artikeltype Banach-Tarski Paradokset Uden appelsiner Andreas Hallbäck Langt de fleste af os har nok hørt om Banach og Tarskis såkaldte paradoks fra 1924. Vi har hørt diverse poppede formuleringer af

Læs mere

Tidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra

Tidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet Tidligere Eksamensopgaver MM55 Lineær Algebra Indhold Typisk forside.................. 2 Juni 27.................... 3 Oktober 27..................

Læs mere

Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som

Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som Polynomier, rødder og division Sebastian Ørsted 20. november 2016 Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som de komplekse tal, hvor fokus er på at opbygge værktøjer til

Læs mere

1 Vektorrum. MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 4. oktober Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier

1 Vektorrum. MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 4. oktober Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 4. oktober 2017 Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier Grupperne forventes at regne de små opgaver i afsnittene 1 5 i løbet af de første 4 halve dage. Dernæst tilføjes

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

GEOMETRI-TØ, UGE 12. A σ (R) = A f σ (f(r))

GEOMETRI-TØ, UGE 12. A σ (R) = A f σ (f(r)) GEOMETRI-TØ, UGE 12 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imfaudk Opvarmningsopgave 1, [P] 632 Vis at Ennepers flade σ(u, v) = ( u u 3 /3

Læs mere

RSA-kryptosystemet. RSA-kryptosystemet Erik Vestergaard

RSA-kryptosystemet. RSA-kryptosystemet Erik Vestergaard RSA-kryptosystemet RSA-kryptosystemet Erik Vestergaard Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 007. Billeder: Forside: istock.com/demo10 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 1. Indledning

Læs mere

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition Kursusgang 3 Repetition - froberg@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 16. september 2008 1/19 Betingelser for nonsingularitet af en Matrix

Læs mere

A L G E B R A I S K T A L T E O R I Forår 1998 Forelæsninger ved Asmus L. Schmidt

A L G E B R A I S K T A L T E O R I Forår 1998 Forelæsninger ved Asmus L. Schmidt A L G E B R A I S K T A L T E O R I Forår 1998 Forelæsninger ved Asmus L. Schmidt KØBENHAVNS UNIVERSITET MATEMATISK AFDELING Januar 1998 Asmus Schmidt, Algebraisk talteori, 2. oplag, marts 2004. Indhold

Læs mere

Fejlkorrigerende koder, secret sharing (og kryptografi)

Fejlkorrigerende koder, secret sharing (og kryptografi) Fejlkorrigerende koder, secret sharing (og kryptografi) Olav Geil Afdeling for Matematiske Fag Aalborg Universitet Møde for Matematiklærere i Viborg og Ringkøbing amter 7. november, 2006 Oversigt Fejlkorrigerende

Læs mere

Algebra - Teori og problemløsning

Algebra - Teori og problemløsning Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.

Læs mere

10. Differentialregning

10. Differentialregning 10. Differentialregning Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen, Matematik for adgangskursus, B-niveau 2, 2. udg. 10.1 Grænseværdibegrebet I afsnit 7. Funktioner på side

Læs mere

Anvendelse af matematik til konkrete beregninger

Anvendelse af matematik til konkrete beregninger Anvendelse af matematik til konkrete beregninger ved J.B. Sand, Datalogisk Institut, KU Praktisk/teoretisk PROBLEM BEREGNINGSPROBLEM og INDDATA LØSNINGSMETODE EVT. LØSNING REGNEMASKINE Når man vil regne

Læs mere

DesignMat Lineære differentialligninger I

DesignMat Lineære differentialligninger I DesignMat Lineære differentialligninger I Preben Alsholm Uge 9 Forår 2010 1 Lineære differentialligninger af første orden 1.1 Normeret lineær differentialligning Normeret lineær differentialligning En

Læs mere

Lineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl

Lineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl Lineær Algebra Lars Hesselholt og Nathalie Wahl Oktober 2016 Forord Denne bog er beregnet til et første kursus i lineær algebra, men vi har lagt vægt på at fremstille dette materiale på en sådan måde,

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

Lineær Algebra eksamen, noter

Lineær Algebra eksamen, noter Lineær Algebra eksamen, noter Stig Døssing, 20094584 June 6, 2011 1 Emne 1: Løsninger og least squares - Løsning, ligningssystem RREF (ERO) løsninger Bevis at RREF matrix findes Løsninger til system (0,

Læs mere

Polynomier af én variabel

Polynomier af én variabel enote 30 1 enote 30 Polynomier af én variabel I denne enote introduceres komplekse polynomier af én variabel. Der forudsættes elementært kendskab til komplekse tal og kendskab til reelle polynomier af

Læs mere