Kursus 02402/02323 Introducerende Statistik

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Kursus 02402/02323 Introducerende Statistik"

Transkript

1 Kursus 02402/02323 Introducerende Statistik Forelæsning 8: Simpel lineær regression Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark Efterår 2016 DTU Compute Introduktion til Statistik Efterår / 56

2 enote 5: Simpel lineær regressions analyse To variable: x og y Beregn mindstekvadraters estimat af ret linje Inferens med simpel lineær regressionsmodel Statistisk model: Y i = β 0 + β 1 x i + ε i Estimation, konfidensintervaller og tests for β 0 og β 1 Konfidensinterval for linjen (95% sikkerhed for den rigtige linje ligger indenfor) Prædiktionsinterval for punkter (95% sikkerhed for at nye punkter ligger indenfor) ρ, R og R 2 ρ er korrelationen (= sign β1 R) er graden af lineær sammenhæng mellem x og y R 2 er andelen af den totale variation som er forklaret af modellen Afvises H 0 : β 1 = 0 så afvises også H 0 : ρ = 0 DTU Compute Introduktion til Statistik Efterår / 56

3 enote 5: Simple linear Regression Analysis Two quantitative variables: x and y Calculating the least squares line Inferences for a simple linear regression model Statistical model: y i = β 0 + β 1 x i + ε i Estimation, confidence intervals and tests for β 0 and β 1. Confidence interval for the line (95% certainty that the real line will be inside) Prediction interval for punkter (95% certainty that new points will be inside) ρ, R and R 2 ρ is the correlation (= sign β1 R) is the strength of linear relation between x and y R 2 is the fraction of the total variation explained by the model If H 0 : β 1 = 0 is rejected, then H 0 : ρ = 0 is also rejected DTU Compute Introduktion til Statistik Efterår / 56

4 Oversigt 1 Motiverende eksempel: Højde-vægt 2 Lineær regressionsmodel 3 Mindste kvadraters metode (least squares) 4 Statistik og lineær regression 5 Hypotesetests og konfidensintervaller for ˆβ 0 og ˆβ 1 6 Konfidensinterval og prædiktionsinterval Konfidensinterval for linien Prædiktionsinterval 7 summary(lm()) wrap up 8 Korrelation 9 Residual Analysis: Model kontrol DTU Compute Introduktion til Statistik Efterår / 56

5 Motiverende eksempel: Højde-vægt Motiverende eksempel: Højde-vægt Heights (x i) Weights (y i) Weight Height DTU Compute Introduktion til Statistik Efterår / 56

6 Motiverende eksempel: Højde-vægt Motiverende eksempel: Højde-vægt Heights (x i) Weights (y i) Weight Height DTU Compute Introduktion til Statistik Efterår / 56

7 Motiverende eksempel: Højde-vægt Motiverende eksempel: Højde-vægt Heights (x i) Weights (y i) ## ## Call: ## lm(formula = y ~ x) ## ## Residuals: ## Min 1Q Median 3Q Max ## ## ## Coefficients: ## Estimate Std. Error t value Pr(> t ) ## (Intercept) *** ## x e-06 *** ## --- ## Signif. codes: 0 '***' '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1 ## ## Residual standard error: 3.9 on 8 degrees of freedom ## Multiple R-squared: 0.932,Adjusted R-squared: ## F-statistic: 110 on 1 and 8 DF, p-value: 5.87e-06 DTU Compute Introduktion til Statistik Efterår / 56

8 Motiverende eksempel: Højde-vægt Motiverende eksempel: Højde-vægt Heights (x i) Weights (y i) Weight Height DTU Compute Introduktion til Statistik Efterår / 56

9 Lineær regressionsmodel Et scatter plot af nogle punkter. Hvilken model? Datapunkter (x i,y i ) y x DTU Compute Introduktion til Statistik Efterår / 56

10 Lineær regressionsmodel Kommer de fra en almindelig lineær model? Opstil en lineær model: y i = β 0 + β 1 x i y Data punkter Linear model x men den der mangler noget til at beskrive den tilfældige variation! DTU Compute Introduktion til Statistik Efterår / 56

11 Lineær regressionsmodel De kommer fra en lineær regressionsmodel Opstil en lineær regressionsmodel: Y i = β 0 + β 1 x i + ε i hvor ε i N(0,σ 2 ) y σ Data punkter Lineaer model Normal fordeling Den tilfældige variation er beskrevet med en normalfordeling om linien x DTU Compute Introduktion til Statistik Efterår / 56

12 Lineær regressionsmodel Opstil en lineær regressionsmodel Opstil den lineære regressionsmodel Y i = β 0 + β 1 x i + ε i Y i er den afhængige variabel (dependent variable). En stokastisk variabel x i er en forklarende variabel (explanatory variable) ε i (epsilon) er afvigelsen (deviation). En stokastisk variabel og vi antager ε i er independent and identically distributed (i.i.d.) og N(0,σ 2 ) DTU Compute Introduktion til Statistik Efterår / 56

13 Mindste kvadraters metode (least squares) Mindste kvadraters metode Hvis vi kun har datapunkterne, hvordan kan vi estimere parametrene β 0 og β 1? God ide: Minimer variansen σ 2 på afvigelsen. Det er på næsten alle måder det bedste valg i dette setup. But how!? Minimer summen af de kvadrerede afvigelser (Residual Sum of Squares (RSS)) RSS(β 0,β 1 ) = n εi 2 i=1 Dvs. estimaterne ˆβ 0 og ˆβ 1 er dem som minimerer RSS DTU Compute Introduktion til Statistik Efterår / 56

14 Mindste kvadraters metode (least squares) Illustration af model, data og fit y ˆε i = e i σ β 0 + β 1 x ˆβ 0 + ˆβ 1 x Data punkter Lineaer model Estimeret linie ˆε i eller e i: Residual x DTU Compute Introduktion til Statistik Efterår / 56

15 Mindste kvadraters metode (least squares) Spørgsmål om beregning af residual (socrative.com-room:pbac) Udregning af residual for punkt i: y i = ˆβ 0 + ˆβ 1 x i + e i = ŷ i + e i e i = y i ŷ i y y1 ŷ e 2 1 = 0.57 data punkter linear fit -2-1 x x Hvad er e 1 her? A: ca B: ca C: ca. 1.3 D: Ved ikke Svar A: ca DTU Compute Introduktion til Statistik Efterår / 56

16 Mindste kvadraters metode (least squares) Spørgsmål om beregning af RSS (socrative.com-room:pbac) Beregn: Residual Sum of Squares (RSS) Fire punkter, så n=4 y e 2 3 = e 2 2 = 0.32 e 2 4 = 0.32 e 2 1 = Data punkter Estimeret linie x Hvad er RSS = n i=1 e2 i her? A: ca B: ca C: ca. 3.4 D: Ved ikke Svar A: RSS = = 0.67 DTU Compute Introduktion til Statistik Efterår / 56

17 Mindste kvadraters metode (least squares) Least squares estimator minimerer RSS Theorem 5.4 (her for estimatorer som i enoten) The least squares estimators of β 0 and β 1 are given by where S xx = n i=1 (x i x) 2. ˆβ 1 = n i=1 (Y i Ȳ)(x i x) S xx ˆβ 0 = Ȳ ˆβ 1 x DTU Compute Introduktion til Statistik Efterår / 56

18 Mindste kvadraters metode (least squares) Least squares estimater minimerer RSS Theorem 5.4 (her for estimater) The least squares estimatates of β 0 and β 1 are given by where S xx = n i=1 (x i x) 2. ˆβ 1 = n i=1 (y i ȳ)(x i x) S xx ˆβ 0 = ȳ ˆβ 1 x Vi går ikke dybere ind forskellen mellem estimatorer og estimater her i kurset DTU Compute Introduktion til Statistik Efterår / 56

19 R eksempel Mindste kvadraters metode (least squares) ## Simuler en lineær model med normalfordelt afvigelse og estimer parametrene ## FØRST LAV DATA: ## Generer n værdier af input x som uniform fordelt x <- runif(n=20, min=-2, max=4) ## Simuler lineær regressionsmodel beta0=50; beta1=200; sigma=90 y <- beta0 + beta1 * x + rnorm(n=length(x), mean=0, sd=sigma) ## HERFRA ligesom virkeligheden, vi har dataen i x og y: ## Et scatter plot af x og y plot(x, y) ## Udregn least squares estimaterne, brug Theorem 5.4 (beta1hat <- sum( (y-mean(y))*(x-mean(x)) ) / sum( (x-mean(x))^2 )) (beta0hat <- mean(y) - beta1hat*mean(x)) ## Brug lm() til at udregne estimaterne lm(y ~ x) ## Plot den estimerede linie abline(lm(y ~ x), col="red") DTU Compute Introduktion til Statistik Efterår / 56

20 Statistik og lineær regression Parameter estimaterne er stokastiske variabler Hvis vi tog en ny stikprøve ville estimaterne ˆβ 0 og ˆβ 1 have samme udfald? Nej, de er stokastiske variabler. Tog vi en ny stikprøve så ville vi have en anden realisation af dem. Hvordan er parameter estimaterne i en lineær regressionsmodel fordelt (givet normalfordelte afvigelser)? Prøv lige at simulere for at se på det... DTU Compute Introduktion til Statistik Efterår / 56

21 Statistik og lineær regression Hvordan er parameter estimaterne i en lineær regressionsmodel fordelt (givet normalfordelte afvigelser)? De er normalfordelte og deres varians kan estimeres: Theorem 5.7 (første del) V[ ˆβ 0 ] = σ 2 n + x2 σ 2 S xx V[ ˆβ 1 ] = σ 2 S xx Cov[ ˆβ 0, ˆβ 1 ] = xσ 2 S xx Kovariansen Cov[ ˆβ 0, ˆβ 1 ] (covariance) gør vi ikke mere ud af her. DTU Compute Introduktion til Statistik Efterår / 56

22 Statistik og lineær regression Estimater af standardafvigelserne på ˆβ 0 og ˆβ 1 Theorem 5.7 (anden del) Where σ 2 is usually replaced by its estimate ( ˆσ 2 ). The central estimator for σ 2 is ˆσ 2 = RSS( ˆβ 0, ˆβ 1 ) n 2 = n i=1 e2 i n 2. When the estimate of σ 2 is used the variances also become estimates and we ll refer to them as ˆσ 2 β 0 and ˆσ 2 β 1. Estimat af standardafvigelserne for ˆβ 0 og ˆβ 1 (ligningerne (5-73)) ˆσ β0 = ˆσ 1 n + x2 S xx ; 1 ˆσ β1 = ˆσ n i=1 (x i x) 2 DTU Compute Introduktion til Statistik Efterår / 56

23 Statistik og lineær regression Spørgsmål: Om fejlenes spredning σ (socrative.com-room:pbac) A B y data punkter linear fit y data punkter linear fit x x For hvilken er residual variansen ˆσ 2 = RSS( ˆβ 0, ˆβ 1 ) n 2 = n i=1 e2 i n 2 størst? A: For fit i plot A B: For fit i plot B C: Lige stor for begge D: Ved ikke Svar A: For fit i plot A er ˆσ ca. 100 og for fit i plot B ca. 20 DTU Compute Introduktion til Statistik Efterår / 56

24 Statistik og lineær regression Spørgsmål: Om fejlenes spredning σ (socrative.com-room:pbac) y A data punkter linear fit y B data punkter linear fit x x For hvilken er residual variansen ˆσ 2 = RSS( ˆβ 0, ˆβ 1 ) n 2 = n i=1 e2 i n 2 størst? A: For fit i plot A B: For fit i plot B C: Lige stor for begge D: Ved ikke Svar C: Lige stor for begge, omkring 200 DTU Compute Introduktion til Statistik Efterår / 56

25 Hypotesetests og konfidensintervaller for ˆβ0 og ˆβ1 Hypotesetests for parameter parametrene Vi kan altså udføre hypotesetests for parameter estimater i en lineær regressionsmodel: H 0,i : β i = β 0,i H 1,i : β i β 1,i Vi bruger de t-fordelte statistikker: Theorem 5.11 Under the null-hypothesis (β 0 = β 0,0 and β 1 = β 0,1 ) the statistics T β0 = ˆβ 0 β 0,0 ˆσ β0 ; T β1 = ˆβ 1 β 0,1 ˆσ β1, are t-distributed with n 2 degrees of freedom, and inference should be based on this distribution. DTU Compute Introduktion til Statistik Efterår / 56

26 Hypotesetests og konfidensintervaller for ˆβ0 og ˆβ1 Eksempel: Hypotesetest for parametrene Se Eksempel 5.12 for eksempel på hypotesetest Test om parametrene er signifikant forskellige fra 0 Se resultatet med simulering i R ## Hypotesetests for signifikante parametre H 0,i : β i = 0 H 1,i : β i 0 ## Generer x x <- runif(n=20, min=-2, max=4) ## Simuler Y beta0=50; beta1=200; sigma=90 y <- beta0 + beta1 * x + rnorm(n=length(x), mean=0, sd=sigma) ## Brug lm() til at udregne estimaterne fit <- lm(y ~ x) ## Se summary, deri står hvad vi har brug for summary(fit) DTU Compute Introduktion til Statistik Efterår / 56

27 Hypotesetests og konfidensintervaller for ˆβ0 og ˆβ1 Konfidensintervaller for parametrene Method 5.14 (1 α) confidence intervals for β 0 and β 1 are given by ˆβ 0 ± t 1 α/2 ˆσ β0 ˆβ 1 ± t 1 α/2 ˆσ β1 where t 1 α/2 is the (1 α/2)-quantile of a t-distribution with n 2 degrees of freedom. husk at ˆσ β0 og ˆσ β1 findes ved ligningerne (5-74) i R kan ˆσ β0 og ˆσ β1 aflæses ved Std. Error ved summary(fit) DTU Compute Introduktion til Statistik Efterår / 56

28 Hypotesetests og konfidensintervaller for ˆβ0 og ˆβ1 Simuleringseksempel: Konfidensintervaller for parametrene ## Lav konfidensintervaller for parametrene ## Antal gentagelser nrepeat <- 100 ## Fangede vi den rigtige parameter TrueValInCI <- logical(nrepeat) ## Gentag simuleringen og estimeringen nrepeat gange for(i in 1:nRepeat){ ## Generer x x <- runif(n=20, min=-2, max=4) ## Simuler y beta0=50; beta1=200; sigma=90 y <- beta0 + beta1 * x + rnorm(n=length(x), mean=0, sd=sigma) ## Brug lm() til at udregne estimaterne fit <- lm(y ~ x) ## Heldigvis kan R beregne konfidensintervallet (level=1-alpha) (ci <- confint(fit, "(Intercept)", level=0.95)) ## Var den rigtige parameterværdi "fanget" af intervallet? (TrueValInCI[i] <- ci[1] < beta0 & beta0 < ci[2]) } ## Hvor ofte blev den rigtige værdi "fanget"? sum(truevalinci) / nrepeat DTU Compute Introduktion til Statistik Efterår / 56

29 Hypotesetests og konfidensintervaller for ˆβ0 og ˆβ1 Spørgsmål: Om fordelingen af ˆβ 1 (socrative.com-room:pbac) y Simuleret data med linear model n = x data punkter linear model pdf pdf pdf A B C Hvilket plot repræsenterer fordelingen af ˆβ 1? A: Plot A B: Plot B C: Plot C D: Ved ikke Svar A: β 1 er negativ (β 1 = 25) og fordelingen af ˆβ 1 er centreret i β 1 DTU Compute Introduktion til Statistik Efterår / 56

30 Hypotesetests og konfidensintervaller for ˆβ0 og ˆβ1 Spørgsmål: Om fordelingen af ˆβ 1 β 0,1 ˆσ β1 (socrative.com-room:pbac) y Simuleret data med linear model n = x data punkter linear model pdf pdf pdf A B C Hvilket plot repræsenterer fordelingen af ˆβ 1 β 0,1 ˆσ β1 under H 0 : β 0,1 = 25? A: Plot A B: Plot B C: Plot C D: Ved ikke ˆβ Svar C: 1 β 0,1 ˆσ følger under H 0 en t-fordeling, dvs. centreret i 0 β1 DTU Compute Introduktion til Statistik Efterår / 56

31 Konfidensinterval og prædiktionsinterval Konfidensinterval for linien Method 5.17: Konfidensinterval for β 0 + β 1 x 0 Konfidensinterval for β 0 + β 1 x 0 svarer til et konfidensinterval for linien i punktet x 0 Beregnes med ( β ˆ 0 + β ˆ 1 1 x 0 ) ± t α/2 ˆσ n + (x 0 x) 2 S xx Der er 100(1 α)% sandsynlighed for at den rigtige linie, altså β 0 + β 1 x 0, er inde i konfidensintervallet DTU Compute Introduktion til Statistik Efterår / 56

32 Konfidensinterval og prædiktionsinterval Prædiktionsinterval Method 5.17: Prædiktionsinterval for β 0 + β 1 x 0 + ε 0 Prædiktionsintervallet (prediction interval) for Y 0 beregnes for en ny værdi af x i, her kaldt x 0 Dette gøres før Y 0 observeres ved ( β ˆ 0 + ˆβ 1 x 0 ) ± t α/2 ˆσ n + (x 0 x) 2 S xx Der er 100(1 α)% sandsynlighed for at den observerede y 0 vil falde inde i prædiktionsintervallet Et prædiktionsinterval bliver altid større end et konfidensinterval for fastholdt α DTU Compute Introduktion til Statistik Efterår / 56

33 Konfidensinterval og prædiktionsinterval Prædiktionsinterval Eksempel med konfidensinterval for linien ## Eksempel med konfidensinterval for linien ## Lav en sekvens af x værdier xval <- seq(from=-2, to=6, length.out=100) ## Brug predict funktionen CI <- predict(fit, newdata=data.frame(x=xval), interval="confidence", level=.95) ## Se lige hvad der kom head(ci) ## Plot data, model og intervaller plot(x, y, pch=20) abline(fit) lines(xval, CI[, "lwr"], lty=2, col="red", lwd=2) lines(xval, CI[, "upr"], lty=2, col="red", lwd=2) y x DTU Compute Introduktion til Statistik Efterår / 56

34 Konfidensinterval og prædiktionsinterval Prædiktionsinterval Eksempel med prædiktionsinterval ## Eksempel med prædiktionsinterval ## Lav en sekvens a x værdier xval <- seq(from=-2, to=6, length.out=100) ## Beregn interval for hvert x PI <- predict(fit, newdata=data.frame(x=xval), interval="prediction", level=.95) ## Se lige hvad der kom tilbage head(pi) ## Plot data, model og intervaller plot(x, y, pch=20) abline(fit) lines(xval, PI[, "lwr"], lty=2, col="blue", lwd=2) lines(xval, PI[, "upr"], lty=2, col="blue", lwd=2) y x DTU Compute Introduktion til Statistik Efterår / 56

35 summary(lm()) wrap up Hvad bliver mere skrevet ud af summary? ## ## Call: ## lm(formula = y ~ x) ## ## Residuals: ## Min 1Q Median 3Q Max ## ## ## Coefficients: ## Estimate Std. Error t value Pr(> t ) ## (Intercept) ## x e-11 *** ## --- ## Signif. codes: 0 '***' '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1 ## ## Residual standard error: 100 on 18 degrees of freedom ## Multiple R-squared: 0.923,Adjusted R-squared: ## F-statistic: 216 on 1 and 18 DF, p-value: 1.8e-11 DTU Compute Introduktion til Statistik Efterår / 56

36 summary(lm()) wrap up summary(lm(y x)) wrap up Residuals: Min 1Q Median 3Q Max: Residualernes: Minimum, 1. kvartil, Median, 3. kvartil, Maximum Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) "stjerner" Koefficienternes: Estimat ˆσ βi t obs p-værdi Testen er H 0,i : β i = 0 vs. H 1,i : β i 0 Stjernerne er sat efter p-værdien Residual standard error: XXX on XXX degrees of freedom ε i N(0,σ 2 ): Udskrevet er ˆσ og ν frihedsgrader (brug til hypotesetesten) Multiple R-squared: Forklaret varians r 2 XXX Resten bruger vi ikke i det her kursus DTU Compute Introduktion til Statistik Efterår / 56

37 Korrelation Forklaret varians og korrelation Forklaret varians af en model er r 2, i summary Multiple R-squared Beregnes med hvor ŷ i = ˆβ 0 + ˆβ 1 x i r 2 = 1 i(y i ŷ i ) 2 i (y i ȳ) 2 Andel af den totale varians i data (y i ) der er forklaret med modellen DTU Compute Introduktion til Statistik Efterår / 56

38 Korrelation Forklaret varians og korrelation Korrelationen ρ er et mål for lineær sammenhæng mellem to stokastiske variable Estimeret (i.e. empirisk) korrelation ˆρ = r = r 2 sgn( ˆβ 1 ) hvor sgn( ˆβ 1 ) er: 1 for ˆβ 1 0 og 1 for ˆβ 1 > 0 Altså: Positiv korrelation ved positiv hældning Negativ korrelation ved negativ hældning DTU Compute Introduktion til Statistik Efterår / 56

39 Korrelation Spørgsmål om korrelation (socrative.com-room:pbac) y r 2 = 1 i(y i ŷ i ) 2 i (y i ȳ) 2 = = = 0.89 r = x Hvad er korrelationen mellem x og y? A: ca B: ca. 0 C: ca Svar) C: ca DTU Compute Introduktion til Statistik Efterår / 56

40 Korrelation Spørgsmål om korrelation (socrative.com-room:pbac) y r 2 = 1 i(y i ŷ i ) 2 i (y i ȳ) 2 = = = 0.26 r = x Hvad er korrelationen mellem x og y? A: ca B: ca. 0 C: ca. 0.5 Svar) A: ca DTU Compute Introduktion til Statistik Efterår / 56

41 Korrelation Spørgsmål om korrelation (socrative.com-room:pbac) y r 2 = 1 i(y i ŷ i ) 2 i (y i ȳ) 2 = = 1 1 = 0 r = x Hvad er korrelationen mellem x og y? A: ca B: ca. 0 C: ca. 0.5 Svar) B: ca. 0 DTU Compute Introduktion til Statistik Efterår / 56

42 Korrelation Spørgsmål om korrelation (socrative.com-room:pbac) y r 2 = 1 i(y i ŷ i ) 2 i (y i ȳ) 2 = = 1 1 = r = x Hvad er korrelationen mellem x og y? A: ca B: ca. 0 C: ca. 0.5 Svar) B: ca. 0 DTU Compute Introduktion til Statistik Efterår / 56

43 Korrelation Test for signifikant korrelation Test for signifikant korrelation (lineær sammenhæng) mellem to variable H 0 : ρ = 0 H 1 : ρ 0 er ækvivalent med H 0 : β 1 = 0 H 1 : β 1 0 hvor ˆβ 1 er estimatet af hældningen i simpel lineær regressionsmodel DTU Compute Introduktion til Statistik Efterår / 56

44 Korrelation Simuleringseksempel om korrelation ## Korrelation ## Generer x x <- runif(n=20, min=-2, max=4) ## Simuler y beta0=50; beta1=200; sigma=90 y <- beta0 + beta1 * x + rnorm(n=length(x), mean=0, sd=sigma) ## Scatter plot plot(x,y) ## Brug lm() til at udregne estimaterne fit <- lm(y ~ x) ## Den rigtige linie abline(beta0, beta1) ## Plot fittet abline(fit, col="red") ## Se summary, deri står hvad vi har brug for summary(fit) ## Korrelation mellem x og y cor(x,y) ## Kvadreret er den "Multiple R-squared" fra summary(fit) cor(x,y)^2 DTU Compute Introduktion til Statistik Efterår / 56

45 Residual Analysis: Model kontrol Residual Analysis Method 5.26 Check normality assumption with qq-plot. Check (non)systematic behavior by plotting the residuals e i as a function of fitted values ŷ i DTU Compute Introduktion til Statistik Efterår / 56

46 Residual Analysis in R Residual Analysis: Model kontrol fit <- lm(y ~ x) par(mfrow = c(1, 2)) qqnorm(fit$residuals) qqline(fit$residuals) plot(fit$fitted, fit$residuals, xlab='fitted values', ylab='residuals') Normal Q-Q Plot Sample Quantiles Residuals Theoretical Quantiles Fitted values DTU Compute Introduktion til Statistik Efterår / 56

47 Outline Outline 1 Motiverende eksempel: Højde-vægt 2 Lineær regressionsmodel 3 Mindste kvadraters metode (least squares) 4 Statistik og lineær regression 5 Hypotesetests og konfidensintervaller for ˆβ 0 og ˆβ 1 6 Konfidensinterval og prædiktionsinterval Konfidensinterval for linien Prædiktionsinterval 7 summary(lm()) wrap up 8 Korrelation 9 Residual Analysis: Model kontrol DTU Compute Introduktion til Statistik Efterår / 56

Oversigt. 1 Motiverende eksempel: Højde-vægt. 2 Lineær regressionsmodel. 3 Mindste kvadraters metode (least squares)

Oversigt. 1 Motiverende eksempel: Højde-vægt. 2 Lineær regressionsmodel. 3 Mindste kvadraters metode (least squares) Kursus 02402/02323 Introducerende Statistik Forelæsning 8: Simpel lineær regression Oversigt Motiverende eksempel: Højde-vægt 2 Lineær regressionsmodel 3 Mindste kvadraters metode (least squares) Klaus

Læs mere

enote 5: Simpel lineær regressions analyse Kursus 02402/02323 Introducerende Statistik Oversigt

enote 5: Simpel lineær regressions analyse Kursus 02402/02323 Introducerende Statistik Oversigt enote 5: Simpel lineær regressions analse Kursus 02402/02323 Introducerende Statistik Forelæsning 8: Simpel lineær regression To variable: og Beregn mindstekvadraters estimat af ret linje Inferens med

Læs mere

Oversigt. 1 Gennemgående eksempel: Højde og vægt. 2 Korrelation. 3 Regressionsanalyse (kap 11) 4 Mindste kvadraters metode

Oversigt. 1 Gennemgående eksempel: Højde og vægt. 2 Korrelation. 3 Regressionsanalyse (kap 11) 4 Mindste kvadraters metode Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 11: Kapitel 11: Regressionsanalyse Oversigt 1 Gennemgående eksempel: Højde og vægt 2 Korrelation 3 Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse

Læs mere

Økonometri Lektion 1 Simpel Lineær Regression 1/31

Økonometri Lektion 1 Simpel Lineær Regression 1/31 Økonometri Lektion 1 Simpel Lineær Regression 1/31 Simpel Lineær Regression Mål: Forklare variablen y vha. variablen x. Fx forklare Salg (y) vha. Reklamebudget (x). Statistisk model: Vi antager at sammenhængen

Læs mere

Anvendt Statistik Lektion 7. Simpel Lineær Regression

Anvendt Statistik Lektion 7. Simpel Lineær Regression Anvendt Statistik Lektion 7 Simpel Lineær Regression 1 Er der en sammenhæng? Plot af mordraten () mod fattigdomsraten (): Scatterplot Afhænger mordraten af fattigdomsraten? 2 Scatterplot Et scatterplot

Læs mere

Kursus 02402/02323 Introduktion til statistik. Forelæsning 13: Et overblik over kursets indhold. Klaus K. Andersen og Per Bruun Brockhoff

Kursus 02402/02323 Introduktion til statistik. Forelæsning 13: Et overblik over kursets indhold. Klaus K. Andersen og Per Bruun Brockhoff Kursus 02402/02323 Introduktion til statistik Forelæsning 13: Et overblik over kursets indhold Klaus K. Andersen og Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Danmarks Tekniske Universitet

Læs mere

Anvendt Statistik Lektion 8. Multipel Lineær Regression

Anvendt Statistik Lektion 8. Multipel Lineær Regression Anvendt Statistik Lektion 8 Multipel Lineær Regression 1 Simpel Lineær Regression (SLR) y Sammenhængen mellem den afhængige variabel (y) og den forklarende variabel (x) beskrives vha. en SLR: ligger ikke

Læs mere

Forelæsning 11: Tovejs variansanalyse, ANOVA

Forelæsning 11: Tovejs variansanalyse, ANOVA Introduktion til Statistik Forelæsning 11: Tovejs variansanalyse, ANOVA Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail: pbac@dtu.dk

Læs mere

Analysestrategi. Lektion 7 slides kompileret 27. oktober 200315:24 p.1/17

Analysestrategi. Lektion 7 slides kompileret 27. oktober 200315:24 p.1/17 nalysestrategi Vælg statistisk model. Estimere parametre i model. fx. lineær regression Udføre modelkontrol beskriver modellen data tilstrækkelig godt og er modellens antagelser opfyldte fx. vha. residualanalyse

Læs mere

Statistik og Sandsynlighedsregning 2. Repetition og eksamen. Overheads til forelæsninger, mandag 7. uge

Statistik og Sandsynlighedsregning 2. Repetition og eksamen. Overheads til forelæsninger, mandag 7. uge Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Repetition og eksamen Overheads til forelæsninger, mandag 7. uge 1 Normalfordelingen Erfaringsmæssigt er normalfordelingen velegnet til at beskrive variationen i mange

Læs mere

1 enote 1: Simple plots og deskriptive statistik. 2 enote2: Diskrete fordelinger. 3 enote 2: Kontinuerte fordelinger

1 enote 1: Simple plots og deskriptive statistik. 2 enote2: Diskrete fordelinger. 3 enote 2: Kontinuerte fordelinger Kursus 02402/02323 Introduktion til statistik Forelæsning 13: Et overblik over kursets indhold Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Building 324, Room 220 Danish Technical University

Læs mere

Løsning til eksaminen d. 14. december 2009

Løsning til eksaminen d. 14. december 2009 DTU Informatik 02402 Introduktion til Statistik 200-2-0 LFF/lff Løsning til eksaminen d. 4. december 2009 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition,

Læs mere

MLR antagelserne. Antagelse MLR.1:(Lineære parametre) Den statistiske model for populationen kan skrives som

MLR antagelserne. Antagelse MLR.1:(Lineære parametre) Den statistiske model for populationen kan skrives som MLR antagelserne Antagelse MLR.1:(Lineære parametre) Den statistiske model for populationen kan skrives som y = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x 2 + + β k x k + u, hvor β 0, β 1, β 2,...,β k er ukendte parametere,

Læs mere

Normalfordelingen. Statistik og Sandsynlighedsregning 2

Normalfordelingen. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Normalfordelingen Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Repetition og eksamen Erfaringsmæssigt er normalfordelingen velegnet til at beskrive variationen i mange variable, blandt andet tilfældige fejl på

Læs mere

Modul 6: Regression og kalibrering

Modul 6: Regression og kalibrering Forskningsenheden for Statistik ST501: Science Statistik Bent Jørgensen Modul 6: Regression og kalibrering 6.1 Årsag og virkning................................... 1 6.2 Kovarians og korrelation...............................

Læs mere

Program: 1. Repetition: p-værdi 2. Simpel lineær regression. 1/19

Program: 1. Repetition: p-værdi 2. Simpel lineær regression. 1/19 Program: 1. Repetition: p-værdi 2. Simpel lineær regression. 1/19 For test med signifikansniveau α: p < α forkast H 0 2/19 p-værdi Betragt tilfældet med test for H 0 : µ = µ 0 (σ kendt). Idé: jo større

Læs mere

Tænk på a og b som to n 1 matricer. a 1 a 2 a n. For hvert i = 1,..., n har vi y i = x i β + u i.

Tænk på a og b som to n 1 matricer. a 1 a 2 a n. For hvert i = 1,..., n har vi y i = x i β + u i. Repetition af vektor-regning Økonometri: Lektion 3 Matrix-formulering Fordelingsantagelse Hypotesetest Antag vi har to n-dimensionelle (søjle)vektorer a 1 b 1 a 2 a =. og b = b 2. a n b n Tænk på a og

Læs mere

Lineær regression. Simpel regression. Model. ofte bruges følgende notation:

Lineær regression. Simpel regression. Model. ofte bruges følgende notation: Lineær regression Simpel regression Model Y i X i i ofte bruges følgende notation: Y i 0 1 X 1i i n i 1 i 0 Findes der en linie, der passer bedst? Metode - Generel! least squares (mindste kvadrater) til

Læs mere

Simpel Lineær Regression

Simpel Lineær Regression Simpel Lineær Regression Mål: Forklare variablen y vha. variablen x. Fx forklare Salg (y) vha. Reklamebudget (x). Vi antager at sammenhængen mellem y og x er beskrevet ved y = β 0 + β 1 x + u. y: Afhængige

Læs mere

Normalfordelingen. Statistik og Sandsynlighedsregning 2

Normalfordelingen. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Repetition og eksamen T-test Normalfordelingen Erfaringsmæssigt er normalfordelingen velegnet til at beskrive variationen i mange variable, blandt andet tilfældige

Læs mere

Økonometri: Lektion 5. Multipel Lineær Regression: Interaktion, log-transformerede data, kategoriske forklarende variable, modelkontrol

Økonometri: Lektion 5. Multipel Lineær Regression: Interaktion, log-transformerede data, kategoriske forklarende variable, modelkontrol Økonometri: Lektion 5 Multipel Lineær Regression: Interaktion, log-transformerede data, kategoriske forklarende variable, modelkontrol 1 / 35 Veksekvirkning: Motivation Vi har set på modeller som Price

Læs mere

Reminder: Hypotesetest for én parameter. Økonometri: Lektion 4. F -test Justeret R 2 Aymptotiske resultater. En god model

Reminder: Hypotesetest for én parameter. Økonometri: Lektion 4. F -test Justeret R 2 Aymptotiske resultater. En god model Reminder: Hypotesetest for én parameter Antag vi har model Økonometri: Lektion 4 F -test Justeret R 2 Aymptotiske resultater y = β 0 + β 1 x 2 + β 2 x 2 + + β k x k + u. Vi ønsker at teste hypotesen H

Læs mere

k UAFHÆNGIGE grupper F-test Oversigt 1 Intro eksempel 2 Model og hypotese 3 Beregning - variationsopspaltning og ANOVA tabellen

k UAFHÆNGIGE grupper F-test Oversigt 1 Intro eksempel 2 Model og hypotese 3 Beregning - variationsopspaltning og ANOVA tabellen Introduktion til Statistik Forelæsning 10: Envejs variansanalyse, ANOVA Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 017 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail: pbac@dtu.dk

Læs mere

Økonometri: Lektion 4. Multipel Lineær Regression: F -test, justeret R 2 og aymptotiske resultater

Økonometri: Lektion 4. Multipel Lineær Regression: F -test, justeret R 2 og aymptotiske resultater Økonometri: Lektion 4 Multipel Lineær Regression: F -test, justeret R 2 og aymptotiske resultater 1 / 35 Hypotesetest for én parameter Antag vi har model y = β 0 + β 1 x 2 + β 2 x 2 + + β k x k + u. Vi

Læs mere

1 enote 1: Simple plots og deskriptive statistik. 2 enote 2: Diskrete fordelinger. 3 enote 2: Kontinuerte fordelinger

1 enote 1: Simple plots og deskriptive statistik. 2 enote 2: Diskrete fordelinger. 3 enote 2: Kontinuerte fordelinger Kursus 02402/02323 Introduktion til statistik Forelæsning 13: Et overblik over kursets indhold Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Building 303B, Room 017 Danish Technical University 2800 Lyngby

Læs mere

To samhørende variable

To samhørende variable To samhørende variable Statistik er tal brugt som argumenter. - Leonard Louis Levinsen Antagatviharn observationspar x 1, y 1,, x n,y n. Betragt de to tilsvarende variable x og y. Hvordan måles sammenhængen

Læs mere

(tæt på N(0,1) hvis n ikke alt for lille). t i god til at checke for outliers som kan have stor indflydelse på estimaterne s 2 og ˆσ 2 e i

(tæt på N(0,1) hvis n ikke alt for lille). t i god til at checke for outliers som kan have stor indflydelse på estimaterne s 2 og ˆσ 2 e i Da er r i = e i ˆσ ei t(n 3) (tæt på N(0,1) hvis n ikke alt for lille). Program 1. lineær regression: opgave 3 og 13 (sukker-temperatur). 2. studentiserede residualer, multipel regression. Tommelfinger-regel:

Læs mere

Kursus 02402/02323 Introducerende Statistik. Forelæsning 9: Multipel lineær regression. Klaus K. Andersen og Per Bruun Brockhoff

Kursus 02402/02323 Introducerende Statistik. Forelæsning 9: Multipel lineær regression. Klaus K. Andersen og Per Bruun Brockhoff Kursus 02402/02323 Introducerende Statistik Forelæsning 9: Multipel lineær regression Klaus K. Andersen og Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby

Læs mere

En Introduktion til SAS. Kapitel 5.

En Introduktion til SAS. Kapitel 5. En Introduktion til SAS. Kapitel 5. Inge Henningsen Afdeling for Statistik og Operationsanalyse Københavns Universitet Marts 2005 6. udgave Kapitel 5 T-test og PROC UNIVARIATE 5.1 Indledning Dette kapitel

Læs mere

Forelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup)

Forelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup) Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske

Læs mere

1. Lav en passende arbejdstegning, der illustrerer samtlige enkeltobservationer.

1. Lav en passende arbejdstegning, der illustrerer samtlige enkeltobservationer. Vejledende besvarelse af hjemmeopgave Basal statistik, efterår 2008 En gruppe bestående af 45 patienter med reumatoid arthrit randomiseres til en af 6 mulige behandlinger, nemlig placebo, aspirin eller

Læs mere

Statistik Lektion 16 Multipel Lineær Regression

Statistik Lektion 16 Multipel Lineær Regression Statistik Lektion 6 Multipel Lineær Regression Trin i opbygningen af en statistisk model Repetition af MLR fra sidst Modelkontrol Prædiktion Kategoriske forklarende variable og MLR Opbygning af statistisk

Læs mere

Ensidet eller tosidet alternativ. Hypoteser. tosidet alternativ. nul hypotese testes mod en alternativ hypotese

Ensidet eller tosidet alternativ. Hypoteser. tosidet alternativ. nul hypotese testes mod en alternativ hypotese Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 6: Kapitel 7: Hypotesetest for gennemsnit (one-sample setup). 7.4-7.6 Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik Bygning 305/324 Danmarks Tekniske Universitet

Læs mere

Model. k = 3 grupper: hvor ǫ ij uafhængige og normalfordelte med middelværdi nul og varians σi 2, i = 1,2,3.

Model. k = 3 grupper: hvor ǫ ij uafhængige og normalfordelte med middelværdi nul og varians σi 2, i = 1,2,3. Model Program (8.15-10): 1. ensidet variansanalyse. 2. forsøgsplanlægning: blocking. Bruger nu to indices: i = 1,...,k for gruppenr. og j = 1,...,n i for observation indenfor gruppe. k = 3 grupper: µ 1

Læs mere

Modul 11: Simpel lineær regression

Modul 11: Simpel lineær regression Forskningsenheden for Statistik ST01: Elementær Statistik Bent Jørgensen Modul 11: Simpel lineær regression 11.1 Regression uden gentagelser............................. 1 11.1.1 Oversigt....................................

Læs mere

Oversigt. 1 Intro: Regneeksempel og TV-data fra B&O. 2 Model og hypotese. 3 Beregning - variationsopspaltning og ANOVA tabellen

Oversigt. 1 Intro: Regneeksempel og TV-data fra B&O. 2 Model og hypotese. 3 Beregning - variationsopspaltning og ANOVA tabellen Kursus 02402/02323 Introducerende Statistik Forelæsning 10: Envejs variansanalyse, ANOVA Oversigt 1 Intro: Regneeksempel og TV-data fra B&O 2 Model og hypotese Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik

Læs mere

Epidemiologi og biostatistik. Uge 3, torsdag. Erik Parner, Institut for Biostatistik. Regressionsanalyse

Epidemiologi og biostatistik. Uge 3, torsdag. Erik Parner, Institut for Biostatistik. Regressionsanalyse Epidemiologi og biostatistik. Uge, torsdag. Erik Parner, Institut for Biostatistik. Lineær regressionsanalyse - Simpel lineær regression - Multipel lineær regression Regressionsanalyse Regressionsanalyser

Læs mere

12. september Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 4 Uge 3, torsdag. Niels Trolle Andersen, Afdelingen for Biostatistik. Regressionsanalyse

12. september Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 4 Uge 3, torsdag. Niels Trolle Andersen, Afdelingen for Biostatistik. Regressionsanalyse . september 5 Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning Uge, torsdag. Niels Trolle Andersen, Afdelingen for Biostatistik. Lineær regressionsanalyse - Simpel lineær regression - Multipel lineær regression

Læs mere

Epidemiologi og biostatistik. Uge 3, torsdag. Erik Parner, Afdeling for Biostatistik. Eksempel: Systolisk blodtryk

Epidemiologi og biostatistik. Uge 3, torsdag. Erik Parner, Afdeling for Biostatistik. Eksempel: Systolisk blodtryk Eksempel: Systolisk blodtryk Udgangspunkt: Vi ønsker at prædiktere det systoliske blodtryk hos en gruppe af personer. Epidemiologi og biostatistik. Uge, torsdag. Erik Parner, Afdeling for Biostatistik.

Læs mere

Økonometri: Lektion 2 Multipel Lineær Regression 1/27

Økonometri: Lektion 2 Multipel Lineær Regression 1/27 Økonometri: Lektion 2 Multipel Lineær Regression 1/27 Multipel Lineær Regression Sidst så vi på simpel lineær regression, hvor y er forklaret af én variabel. Der er intet, der forhindre os i at have mere

Læs mere

Kursus 02402/02323 Introducerende Statistik. Forelæsning 6: Sammenligning af to grupper

Kursus 02402/02323 Introducerende Statistik. Forelæsning 6: Sammenligning af to grupper Kursus 02402/02323 Introducerende Statistik Forelæsning 6: Sammenligning af to grupper Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark

Læs mere

(studienummer) (underskrift) (bord nr)

(studienummer) (underskrift) (bord nr) Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 22 sider. Skriftlig prøve: 13. december 2010 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, 02402 Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af (studienummer)

Læs mere

Side 1 af 19 sider. Danmarks Tekniske Universitet. Skriftlig prøve: 15. december 2007 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, 02402

Side 1 af 19 sider. Danmarks Tekniske Universitet. Skriftlig prøve: 15. december 2007 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, 02402 Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 19 sider. Skriftlig prøve: 15. december 2007 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, 02402 Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af (studienummer)

Læs mere

enote 2: Kontinuerte fordelinger Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher enote 2: Continuous Distributions

enote 2: Kontinuerte fordelinger Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher enote 2: Continuous Distributions Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 33B, Rum 9 Danmarks Tekniske Universitet 28 Lyngby Danmark e-mail: pbac@dtu.dk Efterår

Læs mere

Module 3: Statistiske modeller

Module 3: Statistiske modeller Department of Statistics ST502: Statistisk modellering Pia Veldt Larsen Module 3: Statistiske modeller 31 ANOVA 1 32 Variabelselektion 4 321 Multipel determinationskoefficient 5 322 Variabelselektion med

Læs mere

Statistik Lektion 17 Multipel Lineær Regression

Statistik Lektion 17 Multipel Lineær Regression Statistik Lektion 7 Multipel Lineær Regression Polynomiel regression Ikke-lineære modeller og transformation Multi-kolinearitet Auto-korrelation og Durbin-Watson test Multipel lineær regression x,x,,x

Læs mere

Opgavebesvarelse, brain weight

Opgavebesvarelse, brain weight Opgavebesvarelse, brain weight (Matthews & Farewell: Using and Understanding Medical Statistics, 2nd. ed.) Spørgsmål 1 Data er indlagt på T:/Basalstatistik/brain.txt og kan indlæses direkte i Analyst med

Læs mere

Forelæsning 6: Kapitel 7: Hypotesetest for gennemsnit (one-sample setup). 7.4-7.6

Forelæsning 6: Kapitel 7: Hypotesetest for gennemsnit (one-sample setup). 7.4-7.6 Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 6: Kapitel 7: Hypotesetest for gennemsnit (one-sample setup). 7.4-7.6 Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220

Læs mere

Appendiks Økonometrisk teori... II

Appendiks Økonometrisk teori... II Appendiks Økonometrisk teori... II De klassiske SLR-antagelser... II Hypotesetest... VII Regressioner... VIII Inflation:... VIII Test for SLR antagelser... IX Reset-test... IX Plots... X Breusch-Pagan

Læs mere

Perspektiver i Matematik-Økonomi: Linær regression

Perspektiver i Matematik-Økonomi: Linær regression Perspektiver i Matematik-Økonomi: Linær regression Jens Ledet Jensen H2.21, email: jlj@imf.au.dk Perspektiver i Matematik-Økonomi: Linær regression p. 1/34 Program for i dag 1. Indledning: sammenhæng mellem

Læs mere

Oversigt. Introduktion til Statistik. Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger

Oversigt. Introduktion til Statistik. Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger Introduktion til Statistik Forelæsning 2: og diskrete fordelinger Oversigt 1 2 3 Fordelingsfunktion 4 Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 017 Danmarks Tekniske Universitet 2800

Læs mere

Faculty of Health Sciences. Regressionsanalyse. Simpel lineær regression, Lene Theil Skovgaard. Biostatistisk Afdeling

Faculty of Health Sciences. Regressionsanalyse. Simpel lineær regression, Lene Theil Skovgaard. Biostatistisk Afdeling Faculty of Health Sciences Regressionsanalyse Simpel lineær regression, 28-2-2013 Lene Theil Skovgaard Biostatistisk Afdeling 1 / 67 Simpel lineær regression Regression og korrelation Simpel lineær regression

Læs mere

Kursus 02402 Introduktion til Statistik. Forelæsning 7: Kapitel 7 og 8: Statistik for to gennemsnit, (7.7-7.8,8.1-8.5) Per Bruun Brockhoff

Kursus 02402 Introduktion til Statistik. Forelæsning 7: Kapitel 7 og 8: Statistik for to gennemsnit, (7.7-7.8,8.1-8.5) Per Bruun Brockhoff Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 7: Kapitel 7 og 8: Statistik for to gennemsnit, (7.7-7.8,8.1-8.5) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks

Læs mere

Konfidensintervaller og Hypotesetest

Konfidensintervaller og Hypotesetest Konfidensintervaller og Hypotesetest Konfidensinterval for andele χ -fordelingen og konfidensinterval for variansen Hypoteseteori Hypotesetest af middelværdi, varians og andele Repetition fra sidst: Konfidensintervaller

Læs mere

Kvantitative metoder 2

Kvantitative metoder 2 Kvantitative metoder 2 Den multiple regressionsmodel 5. marts 2007 regressionsmodel 1 Dagens program Emnet for denne forelæsning er stadig den multiple regressionsmodel (Wooldridge kap. 3.4-3.5, E.2) Variansen

Læs mere

(studienummer) (underskrift) (bord nr)

(studienummer) (underskrift) (bord nr) Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 18 sider. Skriftlig prøve: 14. december 2009 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, 02402 Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af (studienummer)

Læs mere

Logistisk Regression - fortsat

Logistisk Regression - fortsat Logistisk Regression - fortsat Likelihood Ratio test Generel hypotese test Modelanalyse Indtil nu har vi set på to slags modeller: 1) Generelle Lineære Modeller Kvantitav afhængig variabel. Kvantitative

Læs mere

Program. t-test Hypoteser, teststørrelser og p-værdier. Hormonkonc.: statistisk model og konfidensinterval. Hormonkoncentration: data

Program. t-test Hypoteser, teststørrelser og p-værdier. Hormonkonc.: statistisk model og konfidensinterval. Hormonkoncentration: data Faculty of Life Sciences Program t-test Hypoteser, teststørrelser og p-værdier Claus Ekstrøm E-mail: ekstrom@life.ku.dk Resumé og hængepartier fra sidst. Eksempel: effekt af foder på hormonkoncentration

Læs mere

Program. Modelkontrol og prædiktion. Multiple sammenligninger. Opgave 5.2: fosforkoncentration

Program. Modelkontrol og prædiktion. Multiple sammenligninger. Opgave 5.2: fosforkoncentration Faculty of Life Sciences Program Modelkontrol og prædiktion Claus Ekstrøm E-mail: ekstrom@life.ku.dk Test af hypotese i ensidet variansanalyse F -tests og F -fordelingen. Multiple sammenligninger. Bonferroni-korrektion

Læs mere

Skriftlig eksamen Science statistik- ST501

Skriftlig eksamen Science statistik- ST501 SYDDANSK UNIVERSITET INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI Skriftlig eksamen Science statistik- ST501 Torsdag den 21. januar Opgavesættet består af 5 opgaver, med i alt 13 delspørgsmål, som vægtes ligeligt.

Læs mere

Simpel Lineær Regression: Model

Simpel Lineær Regression: Model Simpel Lineær Regression: Model Sidst så vi på simpel lineære regression. Det er en statisisk model på formen y = β 0 + β 1 x + u, hvor fejlledet u, har egenskaben E[u x] = 0. Dette betyder bl.a. E[y x]

Læs mere

Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik (02323, og 02593) (studienummer) (underskrift) (bord nr)

Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik (02323, og 02593) (studienummer) (underskrift) (bord nr) Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 26 sider. Skriftlig prøve: 16. august 2015 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik (02323, 02402 og 02593) Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret

Læs mere

Ikke-parametriske tests

Ikke-parametriske tests Ikke-parametriske tests 2 Dagens menu t testen Hvordan var det nu lige det var? Wilcoxson Mann Whitney U Kruskall Wallis Friedman Kendalls og Spearmans correlation 3 t-testen Patient Drug Placebo difference

Læs mere

Oversigt. 1 Intro: Regneeksempel og TV-data fra B&O. 2 Model. 3 Beregning - variationsopspaltning og ANOVA tabellen. 4 Hypotesetest (F-test)

Oversigt. 1 Intro: Regneeksempel og TV-data fra B&O. 2 Model. 3 Beregning - variationsopspaltning og ANOVA tabellen. 4 Hypotesetest (F-test) Kursus 02402/02323 Introducerende Statistik Forelæsning 11: Tovejs variansanalyse, ANOVA Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800

Læs mere

(studienummer) (underskrift) (bord nr)

(studienummer) (underskrift) (bord nr) Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 20 sider. Skriftlig prøve: 15. december 2012 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, 02402 Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af (studienummer)

Læs mere

Anvendt Statistik Lektion 9. Variansanalyse (ANOVA)

Anvendt Statistik Lektion 9. Variansanalyse (ANOVA) Anvendt Statistik Lektion 9 Variansanalyse (ANOVA) 1 Undersøge sammenhæng Undersøge sammenhænge mellem kategoriske variable: χ 2 -test i kontingenstabeller Undersøge sammenhæng mellem kontinuerte variable:

Læs mere

Introduktion til Statistik. Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger. Peder Bacher

Introduktion til Statistik. Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger. Peder Bacher Introduktion til Statistik Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark

Læs mere

Tema. Model og modelkontrol ( Fx. en normalfordelt obs. række m. kendt varians) Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse.

Tema. Model og modelkontrol ( Fx. en normalfordelt obs. række m. kendt varians) Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse. Tema Model og modelkontrol ( Fx. en normalfordelt obs. række m. kendt varians) Estimation af parametre. Fordeling. (Fx. x. µ) Hypotese og test. Teststørrelse. (Fx. H 0 : µ = µ 0 ) konfidensintervaller

Læs mere

Anvendt Statistik Lektion 9. Variansanalyse (ANOVA)

Anvendt Statistik Lektion 9. Variansanalyse (ANOVA) Anvendt Statistik Lektion 9 Variansanalyse (ANOVA) 1 Undersøge sammenhæng Undersøge sammenhænge mellem kategoriske variable: χ 2 -test i kontingenstabeller Undersøge sammenhæng mellem kontinuerte variable:

Læs mere

Side 1 af 17 sider. Danmarks Tekniske Universitet. Skriftlig prøve: 25. maj 2007 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, 02402

Side 1 af 17 sider. Danmarks Tekniske Universitet. Skriftlig prøve: 25. maj 2007 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, 02402 Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 17 sider. Skriftlig prøve: 25. maj 2007 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, 02402 Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af (navn) (underskrift)

Læs mere

Oversigt. Course 02402/02323 Introducerende Statistik. Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger

Oversigt. Course 02402/02323 Introducerende Statistik. Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger Course 02402/02323 Introducerende Statistik Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger Klaus K. Andersen og Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Danmarks Tekniske Universitet

Læs mere

Oversigt. Course 02402/02323 Introducerende Statistik. Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger. Per Bruun Brockhoff

Oversigt. Course 02402/02323 Introducerende Statistik. Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger. Per Bruun Brockhoff Course 242/2323 Introducerende Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 22 Danmarks Tekniske Universitet 28 Lyngby Danmark

Læs mere

Økonometri 1. Inferens i den lineære regressionsmodel 2. oktober Økonometri 1: F8 1

Økonometri 1. Inferens i den lineære regressionsmodel 2. oktober Økonometri 1: F8 1 Økonometri 1 Inferens i den lineære regressionsmodel 2. oktober 2006 Økonometri 1: F8 1 Dagens program Opsamling om asymptotiske egenskaber: Asymptotisk normalitet Asymptotisk efficiens Test af flere lineære

Læs mere

Økonometri 1. Inferens i den lineære regressionsmodel 25. september Økonometri 1: F6 1

Økonometri 1. Inferens i den lineære regressionsmodel 25. september Økonometri 1: F6 1 Økonometri 1 Inferens i den lineære regressionsmodel 25. september 2006 Økonometri 1: F6 1 Oversigt: De næste forelæsninger Statistisk inferens: hvorledes man med udgangspunkt i en statistisk model kan

Læs mere

Statistik Lektion 4. Variansanalyse Modelkontrol

Statistik Lektion 4. Variansanalyse Modelkontrol Statistik Lektion 4 Variansanalyse Modelkontrol Eksempel Spørgsmål: Er der sammenhæng mellem udetemperaturen og forbruget af gas? Y : Forbrug af gas (gas) X : Udetemperatur (temp) Scatterplot SPSS: Estimerede

Læs mere

(studienummer) (underskrift) (bord nr)

(studienummer) (underskrift) (bord nr) Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 20 sider. Skriftlig prøve: 1. december 2011 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, 02402 Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af (studienummer)

Læs mere

Økonometri: Lektion 2 Multipel Lineær Regression 1/33

Økonometri: Lektion 2 Multipel Lineær Regression 1/33 Økonometri: Lektion 2 Multipel Lineær Regression 1/33 Simpel Lineær Regression: Model Sidst så vi på simpel lineære regression. Det er en statisisk model på formen y = β 0 +β 1 x +u, hvor fejlledet u,

Læs mere

Module 1: Introduktion til R, simpel regression

Module 1: Introduktion til R, simpel regression Department of Statistics ST502: Statistisk modellering Pia Veldt Larsen Module 1: Introduktion til R, simpel regression 1.1 Lineære modeller................................... 1 1.2 Simpel lineær regression..............................

Læs mere

02402 Vejledende løsninger til hjemmeopgaver og øvelser i uge 5

02402 Vejledende løsninger til hjemmeopgaver og øvelser i uge 5 02402 Vejledende løsninger til hjemmeopgaver og øvelser i uge 5 Opgave 5.117, side 171 (7ed: 5.116 side 201 og 6ed: 5.116 side 197) I denne opgave skal vi benytte relationen mellem den log-normale fordeling

Læs mere

R syntaks. Installation af R

R syntaks. Installation af R R syntaks Denne note er en introduktion 1 til syntaksen i R. Den kode, vi skal bruge til modellerne, står i bogen eller kommer til at være på hjemmesiden i den takt, vi gennemgår teorien. Så det, vi skal

Læs mere

Kvant Eksamen December 2010 3 timer med hjælpemidler. 1 Hvad er en continuous variable? Giv 2 illustrationer.

Kvant Eksamen December 2010 3 timer med hjælpemidler. 1 Hvad er en continuous variable? Giv 2 illustrationer. Kvant Eksamen December 2010 3 timer med hjælpemidler 1 Hvad er en continuous variable? Giv 2 illustrationer. What is a continuous variable? Give two illustrations. 2 Hvorfor kan man bedre drage konklusioner

Læs mere

Oversigt. 1 Eksempel. 2 Fordelingen for gennemsnittet t-fordelingen. 3 Konfidensintervallet for µ Eksempel

Oversigt. 1 Eksempel. 2 Fordelingen for gennemsnittet t-fordelingen. 3 Konfidensintervallet for µ Eksempel Kursus 02402/02323 Introducerende Statistik Forelæsning 4: Konfidensinterval for middelværdi (og spredning) Klaus K. Andersen og Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Danmarks Tekniske

Læs mere

(studienummer) (underskrift) (bord nr)

(studienummer) (underskrift) (bord nr) Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 20 sider. Skriftlig prøve: 15. december 2008 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, 02402 Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af (studienummer)

Læs mere

Kommentarer til opg. 1 og 3 ved øvelser i basalkursus, 3. uge

Kommentarer til opg. 1 og 3 ved øvelser i basalkursus, 3. uge Kommentarer til opg. 1 og 3 ved øvelser i basalkursus, 3. uge Opgave 1. Data indlæses i 3 kolonner, som f.eks. kaldessalt,pre ogpost. Der er således i alt tale om 26 observationer, idet de to grupper lægges

Læs mere

Multipel Lineær Regression. Polynomiel regression Ikke-lineære modeller og transformation Multi-kolinearitet Auto-korrelation og Durbin-Watson test

Multipel Lineær Regression. Polynomiel regression Ikke-lineære modeller og transformation Multi-kolinearitet Auto-korrelation og Durbin-Watson test Multipel Lineær Regression Polynomiel regression Ikke-lineære modeller og transformation Multi-kolinearitet Auto-korrelation og Durbin-Watson test Multipel lineær regression x,x,,x k uafhængige variable

Læs mere

Module 4: Ensidig variansanalyse

Module 4: Ensidig variansanalyse Module 4: Ensidig variansanalyse 4.1 Analyse af én stikprøve................. 1 4.1.1 Estimation.................... 3 4.1.2 Modelkontrol................... 4 4.1.3 Hypotesetest................... 6 4.2

Læs mere

Modul 12: Regression og korrelation

Modul 12: Regression og korrelation Forskningsenheden for Statistik ST01: Elementær Statistik Bent Jørgensen Modul 12: Regression og korrelation 12.1 Sammenligning af to regressionslinier........................ 1 12.1.1 Test for ens hældning............................

Læs mere

Økonometri 1. Dagens program. Den simple regressionsmodel 15. september 2006

Økonometri 1. Dagens program. Den simple regressionsmodel 15. september 2006 Dagens program Økonometri Den simple regressionsmodel 5. september 006 Den simple lineære regressionsmodel (Wooldridge kap.4-.6) Eksemplet fortsat: Løn og uddannelse på danske data Funktionel form Statistiske

Læs mere

! Variansen på OLS estimatoren. ! Multikollinaritet. ! Variansen i misspecificerede modeller. ! Estimat af variansen på fejlleddet

! Variansen på OLS estimatoren. ! Multikollinaritet. ! Variansen i misspecificerede modeller. ! Estimat af variansen på fejlleddet Dagens program Økonometri Den multiple regressionsmodel 4. februar 003 regressionsmodel Emnet for denne forelæsning er stadig den multiple regressionsmodel (Wooldridge kap. 3.4-3.5)! Opsamling fra sidst

Læs mere

Oversigt. 1 Motiverende eksempel - energiforbrug. 2 Hypotesetest (Repetition) 3 Two-sample t-test og p-værdi. 4 Konfidensinterval for forskellen

Oversigt. 1 Motiverende eksempel - energiforbrug. 2 Hypotesetest (Repetition) 3 Two-sample t-test og p-værdi. 4 Konfidensinterval for forskellen Kursus 02402/02323 Introducerende Statistik Forelæsning 6: Sammenligning af to grupper Oversigt 1 Motiverende eksempel - energiforbrug 2 Hypotesetest (Repetition) 3 Klaus K. Andersen og Per Bruun Brockhoff

Læs mere

Basal statistik. 30. januar 2007

Basal statistik. 30. januar 2007 Basal statistik 30. januar 2007 Deskriptiv statistik Typer af data Tabeller Grafik Summary statistics Lene Theil Skovgaard, Biostatistisk Afdeling Institut for Folkesundhedsvidenskab, Københavns Universitet

Læs mere

Introduktion til Statistik. Forelæsning 12: Inferens for andele. Peder Bacher

Introduktion til Statistik. Forelæsning 12: Inferens for andele. Peder Bacher Introduktion til Statistik Forelæsning 12: Inferens for andele Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail: pbac@dtu.dk Efterår

Læs mere

Oversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger. Per Bruun Brockhoff.

Oversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger. Per Bruun Brockhoff. Kursus 242 Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik Bygning 35/324 Danmarks Tekniske Universitet 28 Lyngby Danmark e-mail:

Læs mere

(studienummer) (underskrift) (bord nr)

(studienummer) (underskrift) (bord nr) Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 21 sider. Skriftlig prøve: 27. maj 2010 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, 02402 Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af (studienummer)

Læs mere

Multipel regression. M variable En afhængig (Y) M-1 m uafhængige / forklarende / prædikterende (X 1 til X m ) Model

Multipel regression. M variable En afhængig (Y) M-1 m uafhængige / forklarende / prædikterende (X 1 til X m ) Model Multipel regression M variable En afhængig (Y) M-1 m uafhængige / forklarende / prædikterende (X 1 til X m ) Model Y j 1 X 1j 2 X 2j... m X mj j eller m Y j 0 i 1 i X ij j BEMÆRK! j svarer til individ

Læs mere

Forelæsning 8: Inferens for varianser (kap 9)

Forelæsning 8: Inferens for varianser (kap 9) Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 8: Inferens for varianser (kap 9) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby

Læs mere

Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 12: Variansanalyse. Per Bruun Brockhoff

Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 12: Variansanalyse. Per Bruun Brockhoff Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 12: Variansanalyse Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail:

Læs mere

Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger

Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger Normalfordelingen Standard Normal Fordelingen Sandsynligheder for Normalfordelingen Transformation af Normalfordelte Stok.Var. Stikprøver og Stikprøvefordelinger

Læs mere

Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger

Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800

Læs mere

n r x rs x r = 1 n r s=1 (x rs x r ) 2, s=1

n r x rs x r = 1 n r s=1 (x rs x r ) 2, s=1 (a) Denne opgave bygger på resultaterne fra 2 forsøg med epo-behandling af for tidligt fødte børn, idet gruppe 1 og 3 stammer fra første forsøg, mens gruppe 2 og 4 stammer fra det andet. Det må antages,

Læs mere