UENDELIG, MERE UENDELIG, ENDNU MERE UENDELIG, Indledning
|
|
- Frederikke Carlsen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 UENDELIG, MERE UENDELIG, ENDNU MERE UENDELIG, ESBEN BISTRUP HALVORSEN 1 Indledning De fleste kan nok blive enige om, at mængden {a, b, c} er større end mængden {d} Den ene indeholder jo tre elementer, medens den anden kun indeholder et element, og tre er som bekendt større end en Betragter vi i stedet mængden Q af rationale tal og mængden R af reelle tal, er det ikke længere helt klart, om den ene er større end den anden På den ene side må R og Q være lige store, eftersom de begge indeholder uendeligt mange elementer, og på den anden side må R være større end Q, eftersom Q er en ægte delmængde af R Problemet med uendelige mængder er, at vi ikke kan være sikre på at kunne tælle elementerne i dem på nogen fornuftig måde Hvordan skulle man feks tælle elementerne i R? Før man overhovedet kan svare på dette spørgsmål, må man overveje, hvad det overhovedet betyder at tælle elementer i en mængde Når vi tæller elementerne i {a, b, c}, benævner vi hvert af elementerne a, b, c med et entydigt bestemt tal fra mængden {1, 2, 3} Feks kunne vi kalde a for 1, b for 2 og c for 3 Vi kunne også have kaldt a for 2, b for 1 og c for 3 uden at det havde ændret på vores konklusion om, at mængden indeholder tre elementer Det eneste vigtige er, at der findes en parring af elementerne i {a, b, c} med elementerne i {1, 2, 3}; de mængder, hvis elementer kan parres med elementerne fra {1, 2, 3}, er netop de mængder, der indeholder tre elementer Den matematiske betegnelse for sådan en parring er bijektion (se Definition 21 og Bemærkning 23) Når vi beskæftiger os med uendelige mængder som feks R, findes der ingen bijektion med mængder på formen {1, 2,, n}; det er netop det, der ligger i ordet uendelig Næste naturlige skridt er at forsøge at finde en bijektion med mængden N = {1, 2, }, men ikke engang her kan vi være sikre på at få succes: Faktisk kan man vise (se Sætning 312), at der slet ikke findes nogen bijektion mellem N og R! Til gengæld kan man godt finde en bijektion mellem N og Q (se Eksempel 37) Dette leder os til at konkludere, at R er større end N, medens N og Q er lige store, hvormed R også må være større end Q I eksemplerne med {a, b, c}, {d}, Q og R har vi kunne afgøre hvilke mængder, der var størst, ved at sammenligne med N eller mængder på formen {1, 2,, n} Givet vilkårlige mængder X og Y, hvis størrelser vi ønsker at sammenligne, kan vi dog ikke altid være sikre på at kunne benytte denne fremgangsmåde: Det kunne jo tænkes, at X og Y begge er større end N, og så er vi lige vidt Løsningen på dette problem er at Dette notesæt er udarbejdet til HCØ-dagene oktober 2004 og kan findes på hjemmesiden Notesættet bygger i overvejende grad på Henrik Holms Lidt om uendelighed, som ligeledes kan findes på førnævnte hjemmeside 1
2 2 ESBEN BISTRUP HALVORSEN gå helt uden om mængderne N og {1, 2,, n} og simpelthen sammenligne X og Y direkte: Hvis der findes en bijektion mellem X og Y, konkluderer vi, at X og Y er lige store; hvis der ikke findes nogen bijektion, må der enten findes en bijektion mellem X og en delmængde af Y eller mellem Y og en delmængde af X (se Sætning 33(c)), og i første tilfælde kan vi konkludere, at Y er større end X, medens vi i andet tilfælde konkluderer, at X er større end Y Idéen med at benytte bijektioner til at sammenligne mængder blev indført af Georg Cantor omkring 1870 Efter ovenstående diskussion forekommer bijektioner måske at være et naturligt og intuitivt fornuftigt redskab til sammenligning af mængder, men da Cantor præsenterede sin idé, var den nærmest revolutionerende En af grundene hertil er de mange anti-intuitive konsekvenser, feks at der findes ikke blot flere, men faktisk uendeligt mange slags uendelighed (se Bemærkning 311) Idéerne mødte da også stor modstand, da de kom frem, hvilket muligvis var medvirkende til Cantors svære depressioner og, i sidste ende, nervesammenbrud I vore dage er Cantors idéer en fuldstændig indgroet del af matematikken, og de uendeligt mange slags uendelighed accepteres blot som en af de mange spændende (og måske endda charmerende) konsekvenser af selve begrebet uendelig 2 Afbildninger Det forudsættes, at læseren er bekendt med begrebet afbildning (også kaldet funktion) Hvis f er en afbildning fra en mængde X til en mængde Y, skrives dette f : X Y Mængden X kaldes definitionsmængden for f, medens mængden Y kaldes dispositionsmængden for f (21) Definition En afbildning f : X Y kaldes (a) injektiv, hvis der for alle elementer x 1, x 2 X gælder implikationen f(x 1 ) = f(x 2 ) = x 1 = x 2 ; (b) surjektiv, hvis der til ethvert y Y findes et x X med f(x) = y; og (c) bijektiv, hvis den både er injektiv og surjektiv (22) Bemærkning For en afbildning f : X Y noterer vi følgende egenskaber (a) At f er injektiv betyder, at der til hvert element y Y findes højst et element x X således at f(x) = y (b) At f er surjektiv betyder, at der til hvert element y Y findes mindst et element x X således at f(x) = y (c) Hvis f er bijektiv gælder altså, at der til hvert element y Y findes præcis et element x X opfyldende f(x) = y (23) Bemærkning Afbildningen f : X Y er bijektiv, hvis og kun hvis den har en invers afbildning, dvs en afbildning g : Y X med (g f)(x) = x og (f g)(y) = y
3 UENDELIG, MERE UENDELIG, ENDNU MERE UENDELIG, 3 for alle x X og y Y Når f er bijektiv, betegnes den inverse afbildning med f 1 Den er defineret ved for y Y at fastsætte f 1 (y) = x, hvor x er det entydigt bestemte element i X med egenskaben f(x) = y Bemærk, at f 1 : Y X også er bijektiv En bijektiv afbildning X Y kaldes også en bijektion mellem X og Y (24) Eksempel Injektivitet, surjektivitet og bijektivitet af en funktion afhænger ikke blot af funktionens forskrift, men også af funktionens definitions- og dispositionsmængde Dette understreges af følgende fire eksempler på funktioner med samme forskrift (a) Funktionen f : R R defineret ved f(x) = x er hverken injektiv eller surjektiv Injektiviteten fejler, idet feks f( 1) = f(1), og surjektiviteten fejler, idet feks f(x) 42 for alle x R (b) Funktionen g : [0, [ R defineret ved g(x) = x er injektiv, men ikke surjektiv Injektiviteten følger af, at hvis g(x 1 ) = g(x 2 ), så må x 1 = g(x 1 ) 1 = g(x 2 ) 1 = x 2, medens surjektiviteten fejler af samme grund som i (a) (c) Funktionen h: R [1, [ defineret ved h(x) = x er surjektiv, men ikke injektiv Injektiviteten fejler af samme grund som i (a), medens surjektiviten følger af, at der for alle y [1, [ gælder f( y 1) = y (d) Funktionen i: [0, [ [1, [ defineret ved i(x) = x 2 +1 er bijektiv Injektivitet følger på samme måde som i (b), medens surjektivitet følger på samme måde som i (c) Den inverse afbildning i 1 : [1, [ [0, [ (jvf Bemærkning 23) er defineret ved i 1 (y) = y 1 3 Kardinalitet (31) Definition For mængder X og Y defineres følgende (a) Vi siger, at X har mindre kardinalitet end Y, hvis der findes en injektiv afbildning f : X Y I denne situation skrives X Y (b) Vi siger, at X har samme kardinalitet som Y, hvis der findes en bijektiv afbildning f : X Y Vi udtrykker også dette ved at sige, at X og Y er ækvipotente I denne situation skrives X Y (c) Vi skriver X Y, hvis der gælder X Y og der ikke gælder X Y (32) Bemærkning Tegn som og, der beskriver en sammenhæng mellem objekter (i dette tilfælde mængder), kaldes relationer Når vi kun interesserer os for mængders størrelser (altså kardinalitet), kan vi betragte som et lighedstegn og som et ulighedstegn Fra et kardinalitetsmæssigt synspunkt er mængderne X og Y altså identiske, hvis bare X Y Tilsvarende er X mindre end eller lig Y, hvis bare X Y At og virkelig besidder de fundamentale egenskaber, som lighedstegn og ulighedstegn bør, ses af følgende sætning (33) Sætning Lad X, Y, Z og W betegne mængder Relationerne og har da følgende fundamentale egenskaber
4 4 ESBEN BISTRUP HALVORSEN (a) Der gælder altid X X (b) Hvis X Y, Z W og X Z, da vil Y W (c) Der gælder X Y eller Y X (d) Hvis X Y og Y Z, da vil X Z (e) Hvis X Y, da vil også Y X samt X Y og Y X (f) Hvis X Y og Y Z, da vil X Z (g) Hvis X Y og Y X, da vil X Y Bevis Se Opgave 42 (34) Bemærkning Med vores nye sprogbrug kan vi nu definere, hvad det vil sige, at en mængde er endelig: En mængde er endelig, hvis den er ækvipotent med eller {1,, n} for et n N En mængde siges selvfølgelig at være uendelig, hvis den ikke er endelig Man kan vise, at en mængde X er uendelig, hvis og kun hvis N X Hvis der rent faktisk gælder X N, siger vi, at X er tælleligt uendelig (35) Eksempel Mængderne Z og N er ækvipotente Dette ses ved at betragte den bijektive afbildning f : Z N, defineret ved { 2n hvis n > 0 f(n) = 2n + 1 hvis n 0 Afbildningen illustreres af følgende figur f Z = N = (36) Eksempel Mængderne N N = { (m, n) m, n N } og N er ækvipotente Dette ses ved at betragte den bijektive afbildning f : N N N, defineret ved Afbildningen illustreres af følgende figur f(m, n) = 1 (m + n 2)(m + n 1) + n n (1, 4) (2, 4) (3, 4) (4, 4) (1, 3) (2, 3) (3, 3) (4, 3) (1, 2) (2, 2) (3, 2) (4, 2) (1, 1) (2, 1) (3, 1) (4, 1) m
5 UENDELIG, MERE UENDELIG, ENDNU MERE UENDELIG, 5 (37) Eksempel Mængderne Q og N er ækvipotente Den kønneste måde at vise dette på er nok ved at benytte Sætning 33(f) (også kendt som Bernsteins ækvivalenssætning), dvs ved at vise både N Q og Q N Idet N er en delmængde af Q, gælder selvfølgelig N Q For at vise det omvendte, altså at Q N, bemærkes at ethvert rationalt tal x Q på entydig måde kan fremstilles som brøk ( ) x = p q, hvor p Z og q N er primiske At p og q er primiske betyder, at den største fælles divisor for p og q er lig 1 Vi kan derfor definere en afbildning f : Q Z N ved f(x) = (p, q), når x = p q Q er givet ved ( ) Det er klart, at f er injektiv, og derfor vil Q Z N Af Eksempel 35 følger, at Z N, og af Eksempel 36 følger, at N N N Dermed fås 1 dvs Q N ifølge Sætning 33 som ønsket Q Z N N N N, (38) Bemærkning I eksemplerne ovenfor har vi set, at mængderne N, Z og Q er ækvipotente, dvs er lige store, selvom mængderne er ægte delmængder af hinanden På baggrund af dette kunne man måske fristes til at tro, at alle uendelige mængder er ækvipotente, og at der dermed kun findes en slags uendelighed At dette er langt fra tilfældet følger af Sætning 310 nedenfor (39) Definition Lad X være en mængde Da defineres potensmængden P(X) som mængden af alle delmængder af X, altså P(X) = { A A X } (310) Sætning For enhver mængde X gælder X P(X) Bevis Afbildningen f : X P(X) defineret ved f(x) = {x} er oplagt injektiv, hvilket viser X P(X) Antag nu, i håb om at opnå en modstrid, at der findes en bijektion g : X P(X), og definer A = { x X x / g(x) } P(X) Da g specielt er surjektiv, findes a X så g(a) = A, og pr definition gælder så, at a A a / g(a) = A, hvilket er en modstrid 1 Dette kræver faktisk et lille argument Generelt gælder der for mængder X, Y og Z med X Y, at X Z Y Z Dette vises ganske let (prøv selv!), men husk nu på, at X Y fra et kardinalitetesmæssigt synspunkt betyder, at X og Y er identiske, hvormed påstanden (intuitivt set) er triviel
6 6 ESBEN BISTRUP HALVORSEN (311) Bemærkning Af ovenstående sætning følger, at der faktisk må være uendeligt mange slags uendelighed! Sætningen giver nemlig, at der feks må gælde N P(N) P(P(N)), dvs N er uendelig, men P(N) er mere uendelig, og P(P(N)) er endnu mere uendelig osv I 1874 viste Cantor som den første nogensinde, at der er flere reelle tal end naturlige tal Vi præsenterer her beviset, der nu kendes som Cantors diagonalargument (312) Sætning Der gælder N R Bevis Idet N R gælder selvfølgelig N R Betragt nu mængden D R bestående af alle reelle tal x, hvis heltalsdel er nul, og hvis decimalbrøksfremstilling udelukkende består af 0 er og 1 er, dvs x har formen x = 0, d 1 d 2 d 3, hvor d 1, d 2, d 3, {0, 1} Naturligvis er D R, så det er tilstrækkeligt at vise N D Afbildningen h: N D defineret ved h(n) = 0, 11 }{{ 1} 000 n 1 er er oplagt injektiv, og derfor vil N D Antag nu, i håb om at opnå en modstrid, at N D, dvs at der findes en bijektiv afbildning f : N D Da f specielt er surjektiv, må samtlige elementer i D optræde i listen nedenfor f(1) = 0, d (1) 1 d(1) 2 d(1) 3 d (1) n d (1) n+1 f(2) = 0, d (2) 1 d (2) 2 d (2) 3 d (n) n d (n) n+1 f(n) = 0, d (n) 1 d(n) 2 d(n) 3 d (n) n d (n) n+1 Betragt herefter elementet y = 0, q 1 q 2 q 3 D, hvor q n = 1 d (n) n = { 0, hvis d (n) n = 1, 1, hvis d (n) n = 0 Pr konstruktion er y f(n) for ethvert n N (thi y og f(n) afviger på n te decimal), hvilket strider mod at y D (313) Bemærkning Man kan faktisk vise, at P(N) R, så derfor er Sætning 312 et specialtilfælde af Sætning 310 Beviset for sidstnævnte sætning er da også en variation af Cantors diagonalargument
7 UENDELIG, MERE UENDELIG, ENDNU MERE UENDELIG, 7 4 opgaver (41) Opgave Afgør hvilke af følgende funktioner, der er injektive hhv surjektive hhv bijektive (a) f : R\{0} R defineret ved f(x) = 1/x; (b) g : R R defineret ved g(x) = x 3 + 1; (c) h: [0, π] [ 2, 2] defineret ved h(x) = sin(x) + cos(x) (42) Opgave De fleste af egenskaberne i Sætning 33 er lette at vise, men to af dem er svære Hvilke? Vis et par af de lette (43) Opgave Vis, at der gælder (a) ]0, 1[ ]a, b[ for alle a, b R med a < b; (b) ]0, 1[ ]0, [ (vink: Betragt en funktion med forskriften 1/x 1); (c) ]0, 1[ R (vink: Betragt eksponentialfunktionen og benyt (b)) (44) Opgave (Hilberts Hotel) Følgende tre opgaver omhandler alle det berømte Hilberts Hotel, der er opkaldt efter matematikeren David Hilbert Hotellets værelser er nummererede: Værelse 1, værelse 2, værelse 3 osv Der er altså uendeligt mange værelser! 2 (a) (For begyndere) En mørk og stormfuld aften ankommer en træt rejsende til Hilberts Hotel Alle værelser er optaget Hvordan kan hotellets receptionist skaffe plads, så også den rejsende får et værelse? (b) (Mellemniveau) En forskrækkelig uvejrsnat nedbrænder det konkurrerende hotel, Klamhuggernes Hotel, som er en tro kopi af Hilberts Hotel og som denne er aften er fuldt belagt Alle gæster undslipper branden og beder om husly på Hilberts Hotel, hvor alle værelser som sædvanlig er optaget Hvordan kan den kløgtige receptionist klare situationen, således at alle får et værelse? (c) (Galakseversionen) Det fuldt udbyggede univers består af uendeligt mange galakser, der hver indeholder uendeligt mange stjerner Omkring hver stjerne kredser uendeligt mange planeter, og på hver planet er der uendeligt mange byer, hver med uendeligt mange gader Naturligvis er der uendeligt mange huse i hver gade, og hvert hus har uendeligt mange etager, der alle har uendeligt mange værelser I hvert eneste værelse bor et menneske Opbygningen af universet er sket i rasende fart efter supermoderne, men måske ikke så holdbare, principper Udviklingen er dog gået let henover Hilberts Hotel, som stadig ligger der, uændret, for enden af en af gaderne i en af byerne på en af planeterne, hørende til en af stjernene i en af galakserne Og som altid er alle værelser optaget på det populære hotel 2 Formuleringen af denne opgave er hentet direkte fra Flemming Topsøes Introduktion til abstrakt matematik, som kan findes på
8 8 ESBEN BISTRUP HALVORSEN Så indtræffer katastrofen Ragnarok! Alt, hvad der er bygget op i hast, braser sammen Det eneste, der modstår ødelæggelsen er gode gamle Hilberts Hotel På forunderlig vis slipper alle ud af de nedstyrtede huse De ved, at der kun er een mulighed for redning: Hilberts Hotel! Alle begiver sig dertil, nogle til fods og andre i (uendeligt) hurtige rumskibe Problemet er nu, om den snarrådige receptionist på Hilberts Hotel også kan klare denne situation, således at alle får husly og dermed undslipper Ragnarok Hvis uendelig overalt i ovenstående betyder tælleligt uendelig, så kan han! Men hvordan? Esben Bistrup Halvorsen, Matematisk Afdeling, Københavns Universitet, Universitetsparken 5, 2100 København Ø, Tlf , E mail: esben@mathkudk
Analyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X).
Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 3. og 6. september 2013 Gennemgå bevis for Sætning 2.10 Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Bevis. Der findes en injektion X P(X), fx givet ved x
Læs mereLIDT OM UENDELIGHED HENRIK HOLM
LIDT OM UENDELIGHED HENRIK HOLM Denne note omhandler uendelighedsbegrebet, som det er indført af Georg Cantor omkring 1870 Vi henviser til [4] for Cantors arbejder For datiden var Cantors idéer revolutionerende,
Læs mere1 Om funktioner. 1.1 Hvad er en funktion?
1 Om funktioner 1.1 Hvad er en funktion? Man lærer allerede om funktioner i folkeskolen, hvor funktioner typisk bliver introduceret som maskiner, der tager et tal ind, og spytter et tal ud. Dette er også
Læs mereUendelighed og kardinalitet
Steen Bentzen Uendelighed og kardinalitet - mængder og de reelle tal. Forlaget Bentz - - Indholdsfortegnelse Forord.. s. 2 Kapitel : Ækvipotens og kardinalitet generelt... s. 3 Kapitel 2: Ækvipotens og
Læs mereArchimedes Princip. Frank Nasser. 12. april 2011
Archimedes Princip Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er
Læs mereMatematik YY Foråret Kapitel 1. Grupper og restklasseringe.
Matematik YY Foråret 2004 Elementær talteori Søren Jøndrup og Jørn Olsson Kapitel 1. Grupper og restklasseringe. Vi vil i første omgang betragte forskellige typer ligninger og søge efter heltalsløsninger
Læs mereNogle grundlæggende begreber
BE2-kursus 2010 Jørgen Larsen 5. februar 2010 Nogle grundlæggende begreber Lidt simpel mængdelære Mængder består af elementer; mængden bestående af ingen elementer er, den tomme mængde. At x er element
Læs mereKalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger
Kalkulus - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Mads Friis 8. januar 05 Indhold Grundlæggende uligheder Grænseovergange 3 3 Kontinuitet 9 4 Følger 0 5 Perspektivering 4 Grundlæggende uligheder Sætning
Læs mereFunktionsterminologi
Funktionsterminologi Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette
Læs mereFunktionsterminologi
Funktionsterminologi Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereAnalyse 1. Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund. 25. maj 2018
Analyse 1 Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund 25. maj 2018 Indhold Introduktion Aksiomer og den matematiske metode Formalistisk struktur Mængder Introduktion Definitioner Delmængder Fællesmængde og foreningsmængde
Læs mereOm begrebet relation
Om begrebet relation Henrik Stetkær 11. oktober 2005 Vi vil i denne note diskutere det matematiske begreb en relation, herunder specielt ækvivalensrelationer. 1 Det abstrakte begreb en relation Som ordet
Læs meret a l e n t c a m p d k Kalkulus 1 Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund Signe Baggesen 10. januar 2015 Slide 1/54
Slide 1/54 Indhold 1 2 3 4 5 Slide 2/54 Indhold 1 2 3 4 5 Slide 3/54 1) Hvad er et aksiom? Slide 4/54 1) Hvad er et aksiom? 2) Hvorfor har vi brug for aksiomer? The Monty Hall Problem Slide 4/54 1) Hvad
Læs mereEuklids algoritme og kædebrøker
Euklids algoritme og kædebrøker Michael Knudsen I denne note vil vi med Z, Q og R betegne mængden af henholdsvis de hele, de rationale og de reelle tal. Altså er { m } Z = {..., 2,, 0,, 2,...} og Q = n
Læs mereProjekt 7.10 Uendelighed Hilberts hotel
Hvad er matematik? ISBN 909 Projekter: Kapitel Projekt 0 Uendelighed Hilberts hotel Projekt 0 Uendelighed Hilberts hotel (Materialet i dette projekt er hentet fra Hvad er matematik? A, indledningen til
Læs mereOm uendelighedsbegrebet
Om uendelighedsbegrebet Henrik Stetkær 27. oktober 2004 I disse noter vil vi diskutere uendelighedsbegrebet, specielt egenskaber ved tællelige mængder. Vi går ud fra, at læseren har et elementært kendskab
Læs mereTal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.
1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber
Læs mereNoter til Perspektiver i Matematikken
Noter til Perspektiver i Matematikken Henrik Stetkær 25. august 2003 1 Indledning I dette kursus (Perspektiver i Matematikken) skal vi studere de hele tal og deres egenskaber. Vi lader Z betegne mængden
Læs mereElementær Matematik. Mængder og udsagn
Elementær Matematik Mængder og udsagn Ole Witt-Hansen 2011 Indhold 1. Mængder...1 1.1 Intervaller...4 2. Matematisk Logik. Udsagnslogik...5 3. Åbne udsagn...9 Mængder og Udsagn 1 1. Mængder En mængde er
Læs merePointen med Differentiation
Pointen med Differentiation Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereKalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015
Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1
Læs mere[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0
MaB Sct. Knud Gymnasium, Henrik S. Hansen % [FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers..0 Indhold Funktioner... Entydighed... Injektiv...
Læs mereFunktionalligninger. Anders Schack-Nielsen. 25. februar 2007
Funktionalligninger Anders Schack-Nielsen 5. februar 007 Disse noter er en introduktion til funktionalligninger. En funktionalligning er en ligning (eller et ligningssystem) hvor den ubekendte er en funktion.
Læs merePointen med Funktioner
Pointen med Funktioner Frank Nasser 0. april 0 c 0080. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er en
Læs mereGruppeteori. Michael Knudsen. 8. marts For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel.
Gruppeteori Michael Knudsen 8. marts 2005 1 Motivation For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel. Eksempel 1.1. Lad Z betegne mængden af de hele tal, Z = {..., 2, 1, 0,
Læs meret a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42
Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder
Læs mereBanach-Tarski Paradokset
32 Artikeltype Banach-Tarski Paradokset Uden appelsiner Andreas Hallbäck Langt de fleste af os har nok hørt om Banach og Tarskis såkaldte paradoks fra 1924. Vi har hørt diverse poppede formuleringer af
Læs mereOm uendelighedsbegrebet
Om uendelighedsbegrebet Henrik Stetkær 19. september 2006 I disse noter vil vi diskutere uendelighedsbegrebet, specielt egenskaber ved tællelige mængder. Vi går ud fra, at læseren har et elementært kendskab
Læs mereLineær Algebra - Beviser
Lineær Algebra - Beviser Mads Friis 8 oktober 213 1 Lineære afbildninger Jeg vil i denne note forsøge at give et indblik i, hvor kraftfuldt et værktøj matrix-algebra kan være i analyse af lineære funktioner
Læs mere8 Regulære flader i R 3
8 Regulære flader i R 3 Vi skal betragte særligt pæne delmængder S R 3 kaldet flader. I det følgende opfattes S som et topologisk rum i sportopologien, se Definition 5.9. En åben omegn U af p S er således
Læs mereMatematik Camp Noter og Opgaver
Matematik Camp 2018 Noter og Opgaver Freja Elbro Simon Skjernaa Erfurth Jonas Rysgaard Jensen Benjamin Muntz Anders Jess Pedersen Eigil Fjeldgren Rischel Nikolaj Jensen Ulrik Indhold Indhold i 1 Introduktion
Læs mereElementær Matematik. Funktioner og deres grafer
Elementær Matematik Funktioner og deres grafer Ole Witt-Hansen 0 Indhold. Funktioner.... Grafen for en funktion...3. grafers skæring med koordinat akser...4. To grafers skæringspunkter...4 3. Egenskaber
Læs merePotensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer
Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer Frank Villa 23. februar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser
Læs mereNoter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.
Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra
Læs mereOmskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011
Omskrivningsregler Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereLineær Algebra, TØ, hold MA3
Lineær Algebra, TØ, hold MA3 Lad mig allerførst (igen) bemærke at et vi siger: En matrix, matricen, matricer, matricerne. Og i sammensætninger: matrix- fx matrixmultiplikation. Injektivitet og surjektivitet
Læs mereTue Tjur: Hvad er tilfældighed?
Tue Tjur: Hvad er tilfældighed? 16. 19. september 1999 afholdtes i netværkets regi en konference på RUC om sandsynlighedsregningens filosofi og historie. Som ikke specielt historisk interesseret, men nok
Læs mereGrafmanipulation. Frank Nasser. 14. april 2011
Grafmanipulation Frank Nasser 14. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er
Læs mereUENDELIGHEDER OG VERDENSBILLEDER MATEMATIK
UENDELIGHEDER OG VERDENSBILLEDER MATEMATIK x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium INDHOLDSFORTEGNELSE UENDELIGHEDSBEGREBET... 3 1. POTENTIEL OG AKTUEL UENDELIGHED -... 4. RÆKKER... 6 3. TÆLLELIGHED... 14
Læs mereANALYSE 1, 2014, Uge 5
ANALYSE, 204, Uge 5 Afleveringsfrist for Prøve 2 er Tirsdag den 20/5 kl 0:5. Forelæsninger Tirsdag Vi går videre med Afsnit 4 om uniform konvergens af Fourierrækker, hvor hovedsætningen er Sætning 4.3.
Læs mereMatematiske metoder - Opgavesæt
Matematiske metoder - Opgavesæt Anders Friis, Anne Ryelund, Mads Friis, Signe Baggesen 24. maj 208 Beskrivelse af opgavesættet I dette opgavesæt vil du støde på opgaver, der er markeret med enten 0, eller
Læs mereUENDELIGHEDER OG VERDENSBILLEDER MATEMATIK
UENDELIGHEDER OG VERDENSBILLEDER MATEMATIK x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium INDHOLDSFORTEGNELSE UENDELIGHEDSBEGREBET... 3 1. POTENTIEL OG AKTUEL UENDELIGHED -... 4 2. RÆKKER... 6 3. TÆLLELIGHED...
Læs mereUENDELIGHEDER OG VERDENSBILLEDER MATEMATIK
UENDELIGHEDER OG VERDENSBILLEDER MATEMATIK x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium INDHOLDSFORTEGNELSE UENDELIGHEDSBEGREBET... 3. POTENTIEL OG AKTUEL UENDELIGHED -... 4. RÆKKER... 6 3. TÆLLELIGHED... 4 4.
Læs mereπ er irrationel Frank Nasser 10. december 2011
π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereIdenne note giver vi et eksempel på, hvorledes det er vigtigt at holde sig
Analyse : Eulers formel Sebastian rsted 9. maj 015 Idenne note giver vi et eksempel på, hvorledes det er vigtigt at holde sig for øje, hvor de matematiske resultater kommer fra, og hvad de baseres på;
Læs mereDifferentiation af Potensfunktioner
Differentiation af Potensfunktioner Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.
Læs mereAlgebra - Teori og problemløsning
Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 8 Morten Grud Rasmussen 18. oktober 216 1 Fourierrækker 1.1 Periodiske funktioner Definition 1.1 (Periodiske funktioner). En periodisk funktion f er
Læs mereSkriftlig eksamen - med besvarelse Topologi I (MM508)
INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI SYDDANSK UNIVERSITET, ODENSE Skriftlig eksamen - med besvarelse Topologi I (MM508) Mandag d. 14. januar 2007 2 timer med alle sædvanlige hjælpemidler tilladt. Opgavesættet
Læs mereUfuldstændighed, mængdelære og beregnelighed
Ufuldstændighed, mængdelære og beregnelighed Thomas Bolander, DTU Informatik Matematik: Videnskaben om det uendelige Folkeuniversitetet i København, efteråret 2009 Thomas Bolander, FUKBH 09 s. 1/27 Sidste
Læs merePotensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer
Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer Frank Villa 25. februar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser
Læs mereAffine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2
Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket
Læs mereDifferentiation af sammensatte funktioner
1/7 Differentiation af sammensatte funktioner - Fra www.borgeleo.dk En sammensat funktion af den variable x er en funktion, vor x først indsættes i den såkaldte indre funktion. Resultatet fra den indre
Læs mereLogaritmiske Transformationer
Logaritmiske Transformationer Frank Nasser 23. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereGEOMETRI-TØ, UGE 8. X = U xi = {x i } = {x 1,..., x n }, U α, U α = α. (X \ U α )
GEOMETRI-TØ, UGE 8 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imf.au.dk. Opvarmningsopgave 1. Lad X være en mængde og T familien af alle delmængder
Læs mereProjekt 1.4 De reelle tal og 2. hovedsætning om kontinuitet
Projekt 1.4 De reelle tal og 2. hovedsætning om kontinuitet Mens den 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner kom forholdsvis smertefrit ud af intervalrusebetragtninger, så er 2. hovedsætning betydeligt
Læs mereGrænseværdier og Kontinuitet
Grænseværdier og Kontinuitet Frank Villa 11. august 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereGrænseværdier og Kontinuitet
Grænseværdier og Kontinuitet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 16 Morten Grud Rasmussen 6. november, 2013 1 Interpolation [Bogens afsnit 19.3 side 805] 1.1 Interpolationspolynomier Enhver kontinuert funktion f på
Læs mereProjekt 7.9 Euklids algoritme, primtal og primiske tal
Projekter: Kapitel 7 Projekt 79 Euklids algoritme, primtal og primiske tal Projekt 79 Euklids algoritme, primtal og primiske tal Projektet giver et kig ind i metodee i modee talteori Det kan udbygges med
Læs mereAsymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul
Asymptoter for standardforsøgene i matematik i gymnasiet 2003 Karsten Juul Indledning om lodrette asymptoter Lad f være funktionen bestemt ved =, 2. 2 Vi udregner funktionsværdierne i nogle -værdier der
Læs mereTALTEORI Følger og den kinesiske restklassesætning.
Følger og den kinesiske restklassesætning, december 2006, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Følger og den kinesiske restklassesætning Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man
Læs mereLineære normale modeller (1) udkast. 1 Flerdimensionale stokastiske variable
E6 efterår 999 Notat 8 Jørgen Larsen 22. november 999 Lineære normale modeller ) udkast Ved hjælp af lineær algebra kan man formulere og analysere de såkaldte lineære normale modeller meget overskueligt
Læs mereGult Foredrag Om Net
Gult Foredrag Om Net University of Aarhus Århus 8 th March, 2010 Introduktion I: Fra Metriske til Topologiske Rum Et metrisk rum er en mængde udstyret med en afstandsfunktion. Afstandsfunktionen bruges
Læs mereDe rigtige reelle tal
De rigtige reelle tal Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereLineær algebra: Lineære afbildninger. Standardmatricer
Lineær algebra: Lineære afbildninger. Standardmatricer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2011 Lineære afbildninger En afbildning T : R n R m fra definitionsmængden R n ind i dispositionsmængden
Læs mereMere om differentiabilitet
Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget
Læs merePolynomiumsbrøker og asymptoter
Polynomiumsbrøker og asymptoter Frank Villa 9. marts 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereDM517:Supplerende noter om uafgørlighedsbeviser:
DM517:Supplerende noter om uafgørlighedsbeviser: Jørgen Bang-Jensen October 9, 2013 Abstract Formålet med denne note er at give en form for kogebogsopskrift på, hvorledes man bygger et uafgørlighedsbevis
Læs mereReeksamen 2014/2015 Mål- og integralteori
Reeksamen 4/5 Mål- og integralteori Københavns Universitet Institut for Matematiske Fag Formalia Eksamensopgaven består af 4 opgaver med ialt spørgsmål. Ved bedømmelsen indgår de spørgsmål med samme vægt.
Læs mereHilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum
Chapter 3 Hilbert rum 3.1 Indre produkt rum I det følgende skal vi gøre brug af komplekse såvel som reelle vektorrum. Idet L betegner enten R eller C minder vi om, at et vektorrum over L er en mængde E
Læs mereBrug og Misbrug af logiske tegn
Brug og Misbrug af logiske tegn Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereTALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.
Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, oktober 2008, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan
Læs mereKomplekse tal og algebraens fundamentalsætning.
Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Michael Knudsen 10. oktober 2005 1 Ligningsløsning Lad N = {0,1,2,...} betegne mængden af de naturlige tal og betragt ligningen ax + b = 0, a,b N,a 0. Findes
Læs mereFørste konstruktion af Cantor mængden
DYNAMIK PÅ CANTOR MÆNGDEN KLAUS THOMSEN Første konstruktion af Cantor mængden For de fleste der har hørt on Cantor-mængden, er den blevet defineret på flg måde: I = 0 I = I = 0 0 OSV Cantor mængden C er
Læs mereProjekt 7.4. Rationale tal brøker og decimaltal
ISBN 98806689 Projekter: Kapitel. Projekt.4. Rationale tal brøker decimaltal Projekt.4. Rationale tal brøker decimaltal Hvad er en brøk? Når vi taler om brøker i dette projekt, mener vi tal på formen,,
Læs mere83 - Karakterisation af intervaller
83 - Karakterisation af intervaller I denne opgave skal du bevise, at hvis A er en delmængde af R med følgende egenskab: x, y, z R : x, y A og x < z < y z A (1) så er A enten et interval eller en mængde
Læs mereMat H /05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb
Mat H 1 2004/05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb Nødvendige og tilstrækkelige betingelser for ekstremum, konkave og konvekse funktioner. Fremstillingen i Kapitel 13.1 2 af Sydsæters bog [MA1] suppleres her med
Læs merePolynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6
Indhold 1 Polynomier 2 Polynomier 2 Polynomiumsdivision 4 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 4 Koefficienter 8 5 Polynomier med heltallige koefficienter 9 6 Mere om polynomier med heltallige koefficienter
Læs mere= λ([ x, y)) + λ((y, x]) = ( y ( x)) + (x y) = 2(x y).
Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 17. og 20. september 2013 Supplerende opgave 1 Lad λ være Lebesgue-målet på R og lad A B(R). Definér en funktion f : [0, ) R ved f(x) = λ(a [ x, x]). Vis, at f(x)
Læs mereTallet π er irrationalt Jens Siegstad
32 Tallet π er irrationalt Jens Siegstad At tallet π er irrationalt har været kendt i pænt lang tid Aristoteles postulerede det da han påstod at diameteren og radius i en cirkel er inkommensurable størrelser
Læs merePrimtal - hvor mange, hvordan og hvorfor?
Johan P. Hansen 1 1 Institut for Matematiske Fag, Aarhus Universitet Gult foredrag, EULERs Venner, oktober 2009 Disposition 1 EUKLIDs sætning. Der er uendelig mange primtal! EUKLIDs bevis Bevis baseret
Læs merePunktmængdetopologi. Mikkel Stouby Petersen. 1. marts 2013
Punktmængdetopologi Mikkel Stouby Petersen 1. marts 2013 I kurset Matematisk Analyse 1 er et metrisk rum et af de mest grundlæggende begreber. Et metrisk rum (X, d) er en mængde X sammen med en metrik
Læs mereNoter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier
Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts 2006 1 Polynomier Disse noter giver en kort introduktion til polynomier, og de fleste sætninger nævnes uden bevis. Undervejs er der forholdsvis nemme opgaver,
Læs mereIntroduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)
Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer
Læs mereSupplerende opgaver. S1.3.1 Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at
Supplerende opgaver Analyse Jørgen Vesterstrøm Forår 2004 S.3. Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at (A B C) (A B C) (A B) C og find en nødvendig og tilstrækkelig betingelse for at der gælder lighedstegn
Læs mereTalteoriopgaver Træningsophold ved Sorø Akademi 2007
Talteoriopgaver Træningsophold ved Sorø Akademi 2007 18. juli 2007 Opgave 1. Vis at når a, b og c er positive heltal, er et sammensat tal. Løsningsforslag: a 4 + b 4 + 4c 4 + 4a 3 b + 4ab 3 + 6a 2 b 2
Læs mereog til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker.
Hvad er en brøk? Når vi taler om brøker i dette projekt, mener vi tal på formen a, hvor a og b er hele tal (og b b 0 ), fx 2,, 3 og 3 7 13 1. Øvelse 1 Hvordan vil du forklare, hvad 7 er? Brøker har været
Læs mereGödels ufuldstændighedssætninger
Gödels ufuldstændighedssætninger Thomas Bolander, DTU Informatik Matematik: Videnskaben om det uendelige 2 Folkeuniversitetet i København, efteråret 2011 Thomas Bolander, FUKBH 11 s. 1/21 Gödels ufuldstændighedssætning
Læs mereImplikationer og Negationer
Implikationer og Negationer Frank Villa 5. april 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereAfstande, skæringer og vinkler i rummet
Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Nasser 9. april 20 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.
Læs mereTaylors formel. Kapitel Klassiske sætninger i en dimension
Kapitel 3 Taylors formel 3.1 Klassiske sætninger i en dimension Sætning 3.1 (Rolles sætning) Lad f : [a, b] R være kontinuert, og antag at f er differentiabel i det åbne interval (a, b). Hvis f (a) = f
Læs mereAnalyse 2. Bevis af Fatous lemma (Theorem 9.11) Supplerende opgave 1. Øvelser
Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 24. og 27. september 203 Bevis af Fatous lemma (Theorem 9.) Hvis (u j ) j er en følge af positive, målelige, numeriske funktioner (dvs. med værdier i [, ]) over
Læs mereStamfunktionsproblemet
Stamfunktionsproblemet Frank Nasser 19. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette
Læs mereGEOMETRI-TØ, UGE 12. A σ (R) = A f σ (f(r))
GEOMETRI-TØ, UGE 12 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imfaudk Opvarmningsopgave 1, [P] 632 Vis at Ennepers flade σ(u, v) = ( u u 3 /3
Læs mereLøsning af simple Ligninger
Løsning af simple Ligninger Frank Nasser 19. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereKomplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013
Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil
Læs mereGrænseværdier og Kontinuitet
Grænseværdier og Kontinuitet Frank Villa 17. marts 2015 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1
Læs merePythagoras Sætning. Frank Nasser. 20. april 2011
Pythagoras Sætning Frank Nasser 20. april 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er
Læs mere