UENDELIG, MERE UENDELIG, ENDNU MERE UENDELIG, Indledning

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "UENDELIG, MERE UENDELIG, ENDNU MERE UENDELIG, Indledning"

Transkript

1 UENDELIG, MERE UENDELIG, ENDNU MERE UENDELIG, ESBEN BISTRUP HALVORSEN 1 Indledning De fleste kan nok blive enige om, at mængden {a, b, c} er større end mængden {d} Den ene indeholder jo tre elementer, medens den anden kun indeholder et element, og tre er som bekendt større end en Betragter vi i stedet mængden Q af rationale tal og mængden R af reelle tal, er det ikke længere helt klart, om den ene er større end den anden På den ene side må R og Q være lige store, eftersom de begge indeholder uendeligt mange elementer, og på den anden side må R være større end Q, eftersom Q er en ægte delmængde af R Problemet med uendelige mængder er, at vi ikke kan være sikre på at kunne tælle elementerne i dem på nogen fornuftig måde Hvordan skulle man feks tælle elementerne i R? Før man overhovedet kan svare på dette spørgsmål, må man overveje, hvad det overhovedet betyder at tælle elementer i en mængde Når vi tæller elementerne i {a, b, c}, benævner vi hvert af elementerne a, b, c med et entydigt bestemt tal fra mængden {1, 2, 3} Feks kunne vi kalde a for 1, b for 2 og c for 3 Vi kunne også have kaldt a for 2, b for 1 og c for 3 uden at det havde ændret på vores konklusion om, at mængden indeholder tre elementer Det eneste vigtige er, at der findes en parring af elementerne i {a, b, c} med elementerne i {1, 2, 3}; de mængder, hvis elementer kan parres med elementerne fra {1, 2, 3}, er netop de mængder, der indeholder tre elementer Den matematiske betegnelse for sådan en parring er bijektion (se Definition 21 og Bemærkning 23) Når vi beskæftiger os med uendelige mængder som feks R, findes der ingen bijektion med mængder på formen {1, 2,, n}; det er netop det, der ligger i ordet uendelig Næste naturlige skridt er at forsøge at finde en bijektion med mængden N = {1, 2, }, men ikke engang her kan vi være sikre på at få succes: Faktisk kan man vise (se Sætning 312), at der slet ikke findes nogen bijektion mellem N og R! Til gengæld kan man godt finde en bijektion mellem N og Q (se Eksempel 37) Dette leder os til at konkludere, at R er større end N, medens N og Q er lige store, hvormed R også må være større end Q I eksemplerne med {a, b, c}, {d}, Q og R har vi kunne afgøre hvilke mængder, der var størst, ved at sammenligne med N eller mængder på formen {1, 2,, n} Givet vilkårlige mængder X og Y, hvis størrelser vi ønsker at sammenligne, kan vi dog ikke altid være sikre på at kunne benytte denne fremgangsmåde: Det kunne jo tænkes, at X og Y begge er større end N, og så er vi lige vidt Løsningen på dette problem er at Dette notesæt er udarbejdet til HCØ-dagene oktober 2004 og kan findes på hjemmesiden Notesættet bygger i overvejende grad på Henrik Holms Lidt om uendelighed, som ligeledes kan findes på førnævnte hjemmeside 1

2 2 ESBEN BISTRUP HALVORSEN gå helt uden om mængderne N og {1, 2,, n} og simpelthen sammenligne X og Y direkte: Hvis der findes en bijektion mellem X og Y, konkluderer vi, at X og Y er lige store; hvis der ikke findes nogen bijektion, må der enten findes en bijektion mellem X og en delmængde af Y eller mellem Y og en delmængde af X (se Sætning 33(c)), og i første tilfælde kan vi konkludere, at Y er større end X, medens vi i andet tilfælde konkluderer, at X er større end Y Idéen med at benytte bijektioner til at sammenligne mængder blev indført af Georg Cantor omkring 1870 Efter ovenstående diskussion forekommer bijektioner måske at være et naturligt og intuitivt fornuftigt redskab til sammenligning af mængder, men da Cantor præsenterede sin idé, var den nærmest revolutionerende En af grundene hertil er de mange anti-intuitive konsekvenser, feks at der findes ikke blot flere, men faktisk uendeligt mange slags uendelighed (se Bemærkning 311) Idéerne mødte da også stor modstand, da de kom frem, hvilket muligvis var medvirkende til Cantors svære depressioner og, i sidste ende, nervesammenbrud I vore dage er Cantors idéer en fuldstændig indgroet del af matematikken, og de uendeligt mange slags uendelighed accepteres blot som en af de mange spændende (og måske endda charmerende) konsekvenser af selve begrebet uendelig 2 Afbildninger Det forudsættes, at læseren er bekendt med begrebet afbildning (også kaldet funktion) Hvis f er en afbildning fra en mængde X til en mængde Y, skrives dette f : X Y Mængden X kaldes definitionsmængden for f, medens mængden Y kaldes dispositionsmængden for f (21) Definition En afbildning f : X Y kaldes (a) injektiv, hvis der for alle elementer x 1, x 2 X gælder implikationen f(x 1 ) = f(x 2 ) = x 1 = x 2 ; (b) surjektiv, hvis der til ethvert y Y findes et x X med f(x) = y; og (c) bijektiv, hvis den både er injektiv og surjektiv (22) Bemærkning For en afbildning f : X Y noterer vi følgende egenskaber (a) At f er injektiv betyder, at der til hvert element y Y findes højst et element x X således at f(x) = y (b) At f er surjektiv betyder, at der til hvert element y Y findes mindst et element x X således at f(x) = y (c) Hvis f er bijektiv gælder altså, at der til hvert element y Y findes præcis et element x X opfyldende f(x) = y (23) Bemærkning Afbildningen f : X Y er bijektiv, hvis og kun hvis den har en invers afbildning, dvs en afbildning g : Y X med (g f)(x) = x og (f g)(y) = y

3 UENDELIG, MERE UENDELIG, ENDNU MERE UENDELIG, 3 for alle x X og y Y Når f er bijektiv, betegnes den inverse afbildning med f 1 Den er defineret ved for y Y at fastsætte f 1 (y) = x, hvor x er det entydigt bestemte element i X med egenskaben f(x) = y Bemærk, at f 1 : Y X også er bijektiv En bijektiv afbildning X Y kaldes også en bijektion mellem X og Y (24) Eksempel Injektivitet, surjektivitet og bijektivitet af en funktion afhænger ikke blot af funktionens forskrift, men også af funktionens definitions- og dispositionsmængde Dette understreges af følgende fire eksempler på funktioner med samme forskrift (a) Funktionen f : R R defineret ved f(x) = x er hverken injektiv eller surjektiv Injektiviteten fejler, idet feks f( 1) = f(1), og surjektiviteten fejler, idet feks f(x) 42 for alle x R (b) Funktionen g : [0, [ R defineret ved g(x) = x er injektiv, men ikke surjektiv Injektiviteten følger af, at hvis g(x 1 ) = g(x 2 ), så må x 1 = g(x 1 ) 1 = g(x 2 ) 1 = x 2, medens surjektiviteten fejler af samme grund som i (a) (c) Funktionen h: R [1, [ defineret ved h(x) = x er surjektiv, men ikke injektiv Injektiviteten fejler af samme grund som i (a), medens surjektiviten følger af, at der for alle y [1, [ gælder f( y 1) = y (d) Funktionen i: [0, [ [1, [ defineret ved i(x) = x 2 +1 er bijektiv Injektivitet følger på samme måde som i (b), medens surjektivitet følger på samme måde som i (c) Den inverse afbildning i 1 : [1, [ [0, [ (jvf Bemærkning 23) er defineret ved i 1 (y) = y 1 3 Kardinalitet (31) Definition For mængder X og Y defineres følgende (a) Vi siger, at X har mindre kardinalitet end Y, hvis der findes en injektiv afbildning f : X Y I denne situation skrives X Y (b) Vi siger, at X har samme kardinalitet som Y, hvis der findes en bijektiv afbildning f : X Y Vi udtrykker også dette ved at sige, at X og Y er ækvipotente I denne situation skrives X Y (c) Vi skriver X Y, hvis der gælder X Y og der ikke gælder X Y (32) Bemærkning Tegn som og, der beskriver en sammenhæng mellem objekter (i dette tilfælde mængder), kaldes relationer Når vi kun interesserer os for mængders størrelser (altså kardinalitet), kan vi betragte som et lighedstegn og som et ulighedstegn Fra et kardinalitetsmæssigt synspunkt er mængderne X og Y altså identiske, hvis bare X Y Tilsvarende er X mindre end eller lig Y, hvis bare X Y At og virkelig besidder de fundamentale egenskaber, som lighedstegn og ulighedstegn bør, ses af følgende sætning (33) Sætning Lad X, Y, Z og W betegne mængder Relationerne og har da følgende fundamentale egenskaber

4 4 ESBEN BISTRUP HALVORSEN (a) Der gælder altid X X (b) Hvis X Y, Z W og X Z, da vil Y W (c) Der gælder X Y eller Y X (d) Hvis X Y og Y Z, da vil X Z (e) Hvis X Y, da vil også Y X samt X Y og Y X (f) Hvis X Y og Y Z, da vil X Z (g) Hvis X Y og Y X, da vil X Y Bevis Se Opgave 42 (34) Bemærkning Med vores nye sprogbrug kan vi nu definere, hvad det vil sige, at en mængde er endelig: En mængde er endelig, hvis den er ækvipotent med eller {1,, n} for et n N En mængde siges selvfølgelig at være uendelig, hvis den ikke er endelig Man kan vise, at en mængde X er uendelig, hvis og kun hvis N X Hvis der rent faktisk gælder X N, siger vi, at X er tælleligt uendelig (35) Eksempel Mængderne Z og N er ækvipotente Dette ses ved at betragte den bijektive afbildning f : Z N, defineret ved { 2n hvis n > 0 f(n) = 2n + 1 hvis n 0 Afbildningen illustreres af følgende figur f Z = N = (36) Eksempel Mængderne N N = { (m, n) m, n N } og N er ækvipotente Dette ses ved at betragte den bijektive afbildning f : N N N, defineret ved Afbildningen illustreres af følgende figur f(m, n) = 1 (m + n 2)(m + n 1) + n n (1, 4) (2, 4) (3, 4) (4, 4) (1, 3) (2, 3) (3, 3) (4, 3) (1, 2) (2, 2) (3, 2) (4, 2) (1, 1) (2, 1) (3, 1) (4, 1) m

5 UENDELIG, MERE UENDELIG, ENDNU MERE UENDELIG, 5 (37) Eksempel Mængderne Q og N er ækvipotente Den kønneste måde at vise dette på er nok ved at benytte Sætning 33(f) (også kendt som Bernsteins ækvivalenssætning), dvs ved at vise både N Q og Q N Idet N er en delmængde af Q, gælder selvfølgelig N Q For at vise det omvendte, altså at Q N, bemærkes at ethvert rationalt tal x Q på entydig måde kan fremstilles som brøk ( ) x = p q, hvor p Z og q N er primiske At p og q er primiske betyder, at den største fælles divisor for p og q er lig 1 Vi kan derfor definere en afbildning f : Q Z N ved f(x) = (p, q), når x = p q Q er givet ved ( ) Det er klart, at f er injektiv, og derfor vil Q Z N Af Eksempel 35 følger, at Z N, og af Eksempel 36 følger, at N N N Dermed fås 1 dvs Q N ifølge Sætning 33 som ønsket Q Z N N N N, (38) Bemærkning I eksemplerne ovenfor har vi set, at mængderne N, Z og Q er ækvipotente, dvs er lige store, selvom mængderne er ægte delmængder af hinanden På baggrund af dette kunne man måske fristes til at tro, at alle uendelige mængder er ækvipotente, og at der dermed kun findes en slags uendelighed At dette er langt fra tilfældet følger af Sætning 310 nedenfor (39) Definition Lad X være en mængde Da defineres potensmængden P(X) som mængden af alle delmængder af X, altså P(X) = { A A X } (310) Sætning For enhver mængde X gælder X P(X) Bevis Afbildningen f : X P(X) defineret ved f(x) = {x} er oplagt injektiv, hvilket viser X P(X) Antag nu, i håb om at opnå en modstrid, at der findes en bijektion g : X P(X), og definer A = { x X x / g(x) } P(X) Da g specielt er surjektiv, findes a X så g(a) = A, og pr definition gælder så, at a A a / g(a) = A, hvilket er en modstrid 1 Dette kræver faktisk et lille argument Generelt gælder der for mængder X, Y og Z med X Y, at X Z Y Z Dette vises ganske let (prøv selv!), men husk nu på, at X Y fra et kardinalitetesmæssigt synspunkt betyder, at X og Y er identiske, hvormed påstanden (intuitivt set) er triviel

6 6 ESBEN BISTRUP HALVORSEN (311) Bemærkning Af ovenstående sætning følger, at der faktisk må være uendeligt mange slags uendelighed! Sætningen giver nemlig, at der feks må gælde N P(N) P(P(N)), dvs N er uendelig, men P(N) er mere uendelig, og P(P(N)) er endnu mere uendelig osv I 1874 viste Cantor som den første nogensinde, at der er flere reelle tal end naturlige tal Vi præsenterer her beviset, der nu kendes som Cantors diagonalargument (312) Sætning Der gælder N R Bevis Idet N R gælder selvfølgelig N R Betragt nu mængden D R bestående af alle reelle tal x, hvis heltalsdel er nul, og hvis decimalbrøksfremstilling udelukkende består af 0 er og 1 er, dvs x har formen x = 0, d 1 d 2 d 3, hvor d 1, d 2, d 3, {0, 1} Naturligvis er D R, så det er tilstrækkeligt at vise N D Afbildningen h: N D defineret ved h(n) = 0, 11 }{{ 1} 000 n 1 er er oplagt injektiv, og derfor vil N D Antag nu, i håb om at opnå en modstrid, at N D, dvs at der findes en bijektiv afbildning f : N D Da f specielt er surjektiv, må samtlige elementer i D optræde i listen nedenfor f(1) = 0, d (1) 1 d(1) 2 d(1) 3 d (1) n d (1) n+1 f(2) = 0, d (2) 1 d (2) 2 d (2) 3 d (n) n d (n) n+1 f(n) = 0, d (n) 1 d(n) 2 d(n) 3 d (n) n d (n) n+1 Betragt herefter elementet y = 0, q 1 q 2 q 3 D, hvor q n = 1 d (n) n = { 0, hvis d (n) n = 1, 1, hvis d (n) n = 0 Pr konstruktion er y f(n) for ethvert n N (thi y og f(n) afviger på n te decimal), hvilket strider mod at y D (313) Bemærkning Man kan faktisk vise, at P(N) R, så derfor er Sætning 312 et specialtilfælde af Sætning 310 Beviset for sidstnævnte sætning er da også en variation af Cantors diagonalargument

7 UENDELIG, MERE UENDELIG, ENDNU MERE UENDELIG, 7 4 opgaver (41) Opgave Afgør hvilke af følgende funktioner, der er injektive hhv surjektive hhv bijektive (a) f : R\{0} R defineret ved f(x) = 1/x; (b) g : R R defineret ved g(x) = x 3 + 1; (c) h: [0, π] [ 2, 2] defineret ved h(x) = sin(x) + cos(x) (42) Opgave De fleste af egenskaberne i Sætning 33 er lette at vise, men to af dem er svære Hvilke? Vis et par af de lette (43) Opgave Vis, at der gælder (a) ]0, 1[ ]a, b[ for alle a, b R med a < b; (b) ]0, 1[ ]0, [ (vink: Betragt en funktion med forskriften 1/x 1); (c) ]0, 1[ R (vink: Betragt eksponentialfunktionen og benyt (b)) (44) Opgave (Hilberts Hotel) Følgende tre opgaver omhandler alle det berømte Hilberts Hotel, der er opkaldt efter matematikeren David Hilbert Hotellets værelser er nummererede: Værelse 1, værelse 2, værelse 3 osv Der er altså uendeligt mange værelser! 2 (a) (For begyndere) En mørk og stormfuld aften ankommer en træt rejsende til Hilberts Hotel Alle værelser er optaget Hvordan kan hotellets receptionist skaffe plads, så også den rejsende får et værelse? (b) (Mellemniveau) En forskrækkelig uvejrsnat nedbrænder det konkurrerende hotel, Klamhuggernes Hotel, som er en tro kopi af Hilberts Hotel og som denne er aften er fuldt belagt Alle gæster undslipper branden og beder om husly på Hilberts Hotel, hvor alle værelser som sædvanlig er optaget Hvordan kan den kløgtige receptionist klare situationen, således at alle får et værelse? (c) (Galakseversionen) Det fuldt udbyggede univers består af uendeligt mange galakser, der hver indeholder uendeligt mange stjerner Omkring hver stjerne kredser uendeligt mange planeter, og på hver planet er der uendeligt mange byer, hver med uendeligt mange gader Naturligvis er der uendeligt mange huse i hver gade, og hvert hus har uendeligt mange etager, der alle har uendeligt mange værelser I hvert eneste værelse bor et menneske Opbygningen af universet er sket i rasende fart efter supermoderne, men måske ikke så holdbare, principper Udviklingen er dog gået let henover Hilberts Hotel, som stadig ligger der, uændret, for enden af en af gaderne i en af byerne på en af planeterne, hørende til en af stjernene i en af galakserne Og som altid er alle værelser optaget på det populære hotel 2 Formuleringen af denne opgave er hentet direkte fra Flemming Topsøes Introduktion til abstrakt matematik, som kan findes på

8 8 ESBEN BISTRUP HALVORSEN Så indtræffer katastrofen Ragnarok! Alt, hvad der er bygget op i hast, braser sammen Det eneste, der modstår ødelæggelsen er gode gamle Hilberts Hotel På forunderlig vis slipper alle ud af de nedstyrtede huse De ved, at der kun er een mulighed for redning: Hilberts Hotel! Alle begiver sig dertil, nogle til fods og andre i (uendeligt) hurtige rumskibe Problemet er nu, om den snarrådige receptionist på Hilberts Hotel også kan klare denne situation, således at alle får husly og dermed undslipper Ragnarok Hvis uendelig overalt i ovenstående betyder tælleligt uendelig, så kan han! Men hvordan? Esben Bistrup Halvorsen, Matematisk Afdeling, Københavns Universitet, Universitetsparken 5, 2100 København Ø, Tlf , E mail:

Analyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X).

Analyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 3. og 6. september 2013 Gennemgå bevis for Sætning 2.10 Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Bevis. Der findes en injektion X P(X), fx givet ved x

Læs mere

LIDT OM UENDELIGHED HENRIK HOLM

LIDT OM UENDELIGHED HENRIK HOLM LIDT OM UENDELIGHED HENRIK HOLM Denne note omhandler uendelighedsbegrebet, som det er indført af Georg Cantor omkring 1870 Vi henviser til [4] for Cantors arbejder For datiden var Cantors idéer revolutionerende,

Læs mere

1 Om funktioner. 1.1 Hvad er en funktion?

1 Om funktioner. 1.1 Hvad er en funktion? 1 Om funktioner 1.1 Hvad er en funktion? Man lærer allerede om funktioner i folkeskolen, hvor funktioner typisk bliver introduceret som maskiner, der tager et tal ind, og spytter et tal ud. Dette er også

Læs mere

Uendelighed og kardinalitet

Uendelighed og kardinalitet Steen Bentzen Uendelighed og kardinalitet - mængder og de reelle tal. Forlaget Bentz - - Indholdsfortegnelse Forord.. s. 2 Kapitel : Ækvipotens og kardinalitet generelt... s. 3 Kapitel 2: Ækvipotens og

Læs mere

Nogle grundlæggende begreber

Nogle grundlæggende begreber BE2-kursus 2010 Jørgen Larsen 5. februar 2010 Nogle grundlæggende begreber Lidt simpel mængdelære Mængder består af elementer; mængden bestående af ingen elementer er, den tomme mængde. At x er element

Læs mere

Funktionsterminologi

Funktionsterminologi Funktionsterminologi Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette

Læs mere

Om begrebet relation

Om begrebet relation Om begrebet relation Henrik Stetkær 11. oktober 2005 Vi vil i denne note diskutere det matematiske begreb en relation, herunder specielt ækvivalensrelationer. 1 Det abstrakte begreb en relation Som ordet

Læs mere

Euklids algoritme og kædebrøker

Euklids algoritme og kædebrøker Euklids algoritme og kædebrøker Michael Knudsen I denne note vil vi med Z, Q og R betegne mængden af henholdsvis de hele, de rationale og de reelle tal. Altså er { m } Z = {..., 2,, 0,, 2,...} og Q = n

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Kalkulus 1 Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund Signe Baggesen 10. januar 2015 Slide 1/54

t a l e n t c a m p d k Kalkulus 1 Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund Signe Baggesen 10. januar 2015 Slide 1/54 Slide 1/54 Indhold 1 2 3 4 5 Slide 2/54 Indhold 1 2 3 4 5 Slide 3/54 1) Hvad er et aksiom? Slide 4/54 1) Hvad er et aksiom? 2) Hvorfor har vi brug for aksiomer? The Monty Hall Problem Slide 4/54 1) Hvad

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

Funktionalligninger. Anders Schack-Nielsen. 25. februar 2007

Funktionalligninger. Anders Schack-Nielsen. 25. februar 2007 Funktionalligninger Anders Schack-Nielsen 5. februar 007 Disse noter er en introduktion til funktionalligninger. En funktionalligning er en ligning (eller et ligningssystem) hvor den ubekendte er en funktion.

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

Om uendelighedsbegrebet

Om uendelighedsbegrebet Om uendelighedsbegrebet Henrik Stetkær 27. oktober 2004 I disse noter vil vi diskutere uendelighedsbegrebet, specielt egenskaber ved tællelige mængder. Vi går ud fra, at læseren har et elementært kendskab

Læs mere

Gruppeteori. Michael Knudsen. 8. marts For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel.

Gruppeteori. Michael Knudsen. 8. marts For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel. Gruppeteori Michael Knudsen 8. marts 2005 1 Motivation For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel. Eksempel 1.1. Lad Z betegne mængden af de hele tal, Z = {..., 2, 1, 0,

Læs mere

Noter til Perspektiver i Matematikken

Noter til Perspektiver i Matematikken Noter til Perspektiver i Matematikken Henrik Stetkær 25. august 2003 1 Indledning I dette kursus (Perspektiver i Matematikken) skal vi studere de hele tal og deres egenskaber. Vi lader Z betegne mængden

Læs mere

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0 MaB Sct. Knud Gymnasium, Henrik S. Hansen % [FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers..0 Indhold Funktioner... Entydighed... Injektiv...

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42 Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder

Læs mere

8 Regulære flader i R 3

8 Regulære flader i R 3 8 Regulære flader i R 3 Vi skal betragte særligt pæne delmængder S R 3 kaldet flader. I det følgende opfattes S som et topologisk rum i sportopologien, se Definition 5.9. En åben omegn U af p S er således

Læs mere

Lineær Algebra - Beviser

Lineær Algebra - Beviser Lineær Algebra - Beviser Mads Friis 8 oktober 213 1 Lineære afbildninger Jeg vil i denne note forsøge at give et indblik i, hvor kraftfuldt et værktøj matrix-algebra kan være i analyse af lineære funktioner

Læs mere

Banach-Tarski Paradokset

Banach-Tarski Paradokset 32 Artikeltype Banach-Tarski Paradokset Uden appelsiner Andreas Hallbäck Langt de fleste af os har nok hørt om Banach og Tarskis såkaldte paradoks fra 1924. Vi har hørt diverse poppede formuleringer af

Læs mere

Om uendelighedsbegrebet

Om uendelighedsbegrebet Om uendelighedsbegrebet Henrik Stetkær 19. september 2006 I disse noter vil vi diskutere uendelighedsbegrebet, specielt egenskaber ved tællelige mængder. Vi går ud fra, at læseren har et elementært kendskab

Læs mere

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra

Læs mere

Lineær Algebra, TØ, hold MA3

Lineær Algebra, TØ, hold MA3 Lineær Algebra, TØ, hold MA3 Lad mig allerførst (igen) bemærke at et vi siger: En matrix, matricen, matricer, matricerne. Og i sammensætninger: matrix- fx matrixmultiplikation. Injektivitet og surjektivitet

Læs mere

Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer

Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer Frank Villa 23. februar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser

Læs mere

UENDELIGHEDER OG VERDENSBILLEDER MATEMATIK

UENDELIGHEDER OG VERDENSBILLEDER MATEMATIK UENDELIGHEDER OG VERDENSBILLEDER MATEMATIK x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium INDHOLDSFORTEGNELSE UENDELIGHEDSBEGREBET... 3 1. POTENTIEL OG AKTUEL UENDELIGHED -... 4 2. RÆKKER... 6 3. TÆLLELIGHED...

Læs mere

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011 Omskrivningsregler Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, oktober 2008, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan

Læs mere

De rigtige reelle tal

De rigtige reelle tal De rigtige reelle tal Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2 Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket

Læs mere

Idenne note giver vi et eksempel på, hvorledes det er vigtigt at holde sig

Idenne note giver vi et eksempel på, hvorledes det er vigtigt at holde sig Analyse : Eulers formel Sebastian rsted 9. maj 015 Idenne note giver vi et eksempel på, hvorledes det er vigtigt at holde sig for øje, hvor de matematiske resultater kommer fra, og hvad de baseres på;

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 8 Morten Grud Rasmussen 18. oktober 216 1 Fourierrækker 1.1 Periodiske funktioner Definition 1.1 (Periodiske funktioner). En periodisk funktion f er

Læs mere

= λ([ x, y)) + λ((y, x]) = ( y ( x)) + (x y) = 2(x y).

= λ([ x, y)) + λ((y, x]) = ( y ( x)) + (x y) = 2(x y). Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 17. og 20. september 2013 Supplerende opgave 1 Lad λ være Lebesgue-målet på R og lad A B(R). Definér en funktion f : [0, ) R ved f(x) = λ(a [ x, x]). Vis, at f(x)

Læs mere

Logaritmiske Transformationer

Logaritmiske Transformationer Logaritmiske Transformationer Frank Nasser 23. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Algebra - Teori og problemløsning

Algebra - Teori og problemløsning Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.

Læs mere

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning.

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Michael Knudsen 10. oktober 2005 1 Ligningsløsning Lad N = {0,1,2,...} betegne mængden af de naturlige tal og betragt ligningen ax + b = 0, a,b N,a 0. Findes

Læs mere

Første konstruktion af Cantor mængden

Første konstruktion af Cantor mængden DYNAMIK PÅ CANTOR MÆNGDEN KLAUS THOMSEN Første konstruktion af Cantor mængden For de fleste der har hørt on Cantor-mængden, er den blevet defineret på flg måde: I = 0 I = I = 0 0 OSV Cantor mængden C er

Læs mere

Projekt 1.4 De reelle tal og 2. hovedsætning om kontinuitet

Projekt 1.4 De reelle tal og 2. hovedsætning om kontinuitet Projekt 1.4 De reelle tal og 2. hovedsætning om kontinuitet Mens den 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner kom forholdsvis smertefrit ud af intervalrusebetragtninger, så er 2. hovedsætning betydeligt

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 16 Morten Grud Rasmussen 6. november, 2013 1 Interpolation [Bogens afsnit 19.3 side 805] 1.1 Interpolationspolynomier Enhver kontinuert funktion f på

Læs mere

Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer

Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer Frank Villa 25. februar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser

Læs mere

Ufuldstændighed, mængdelære og beregnelighed

Ufuldstændighed, mængdelære og beregnelighed Ufuldstændighed, mængdelære og beregnelighed Thomas Bolander, DTU Informatik Matematik: Videnskaben om det uendelige Folkeuniversitetet i København, efteråret 2009 Thomas Bolander, FUKBH 09 s. 1/27 Sidste

Læs mere

Lineær algebra: Lineære afbildninger. Standardmatricer

Lineær algebra: Lineære afbildninger. Standardmatricer Lineær algebra: Lineære afbildninger. Standardmatricer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2011 Lineære afbildninger En afbildning T : R n R m fra definitionsmængden R n ind i dispositionsmængden

Læs mere

Løsning af simple Ligninger

Løsning af simple Ligninger Løsning af simple Ligninger Frank Nasser 19. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Hilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum

Hilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum Chapter 3 Hilbert rum 3.1 Indre produkt rum I det følgende skal vi gøre brug af komplekse såvel som reelle vektorrum. Idet L betegner enten R eller C minder vi om, at et vektorrum over L er en mængde E

Læs mere

GEOMETRI-TØ, UGE 12. A σ (R) = A f σ (f(r))

GEOMETRI-TØ, UGE 12. A σ (R) = A f σ (f(r)) GEOMETRI-TØ, UGE 12 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imfaudk Opvarmningsopgave 1, [P] 632 Vis at Ennepers flade σ(u, v) = ( u u 3 /3

Læs mere

Skriftlig eksamen - med besvarelse Topologi I (MM508)

Skriftlig eksamen - med besvarelse Topologi I (MM508) INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI SYDDANSK UNIVERSITET, ODENSE Skriftlig eksamen - med besvarelse Topologi I (MM508) Mandag d. 14. januar 2007 2 timer med alle sædvanlige hjælpemidler tilladt. Opgavesættet

Læs mere

GEOMETRI-TØ, UGE 8. X = U xi = {x i } = {x 1,..., x n }, U α, U α = α. (X \ U α )

GEOMETRI-TØ, UGE 8. X = U xi = {x i } = {x 1,..., x n }, U α, U α = α. (X \ U α ) GEOMETRI-TØ, UGE 8 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imf.au.dk. Opvarmningsopgave 1. Lad X være en mængde og T familien af alle delmængder

Læs mere

Tallet π er irrationalt Jens Siegstad

Tallet π er irrationalt Jens Siegstad 32 Tallet π er irrationalt Jens Siegstad At tallet π er irrationalt har været kendt i pænt lang tid Aristoteles postulerede det da han påstod at diameteren og radius i en cirkel er inkommensurable størrelser

Læs mere

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Punktmængdetopologi. Mikkel Stouby Petersen. 1. marts 2013

Punktmængdetopologi. Mikkel Stouby Petersen. 1. marts 2013 Punktmængdetopologi Mikkel Stouby Petersen 1. marts 2013 I kurset Matematisk Analyse 1 er et metrisk rum et af de mest grundlæggende begreber. Et metrisk rum (X, d) er en mængde X sammen med en metrik

Læs mere

Analyse 2. Bevis af Fatous lemma (Theorem 9.11) Supplerende opgave 1. Øvelser

Analyse 2. Bevis af Fatous lemma (Theorem 9.11) Supplerende opgave 1. Øvelser Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 24. og 27. september 203 Bevis af Fatous lemma (Theorem 9.) Hvis (u j ) j er en følge af positive, målelige, numeriske funktioner (dvs. med værdier i [, ]) over

Læs mere

Brug og Misbrug af logiske tegn

Brug og Misbrug af logiske tegn Brug og Misbrug af logiske tegn Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

TALTEORI Følger og den kinesiske restklassesætning.

TALTEORI Følger og den kinesiske restklassesætning. Følger og den kinesiske restklassesætning, december 2006, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Følger og den kinesiske restklassesætning Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man

Læs mere

Supplerende opgaver. S1.3.1 Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at

Supplerende opgaver. S1.3.1 Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at Supplerende opgaver Analyse Jørgen Vesterstrøm Forår 2004 S.3. Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at (A B C) (A B C) (A B) C og find en nødvendig og tilstrækkelig betingelse for at der gælder lighedstegn

Læs mere

Polynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6

Polynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 Indhold 1 Polynomier 2 Polynomier 2 Polynomiumsdivision 4 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 4 Koefficienter 8 5 Polynomier med heltallige koefficienter 9 6 Mere om polynomier med heltallige koefficienter

Læs mere

Teoretiske Øvelsesopgaver:

Teoretiske Øvelsesopgaver: Teoretiske Øvelsesopgaver: TØ-Opgave 1 Subtraktion division i legemer: Er subtraktion division med elementer 0 i legemer veldefinerede, eller kan et element b have mere end ét modsat element -b eller mere

Læs mere

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

Stamfunktionsproblemet

Stamfunktionsproblemet Stamfunktionsproblemet Frank Villa 19. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Grænseværdier og Kontinuitet

Grænseværdier og Kontinuitet Grænseværdier og Kontinuitet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Primtal - hvor mange, hvordan og hvorfor?

Primtal - hvor mange, hvordan og hvorfor? Johan P. Hansen 1 1 Institut for Matematiske Fag, Aarhus Universitet Gult foredrag, EULERs Venner, oktober 2009 Disposition 1 EUKLIDs sætning. Der er uendelig mange primtal! EUKLIDs bevis Bevis baseret

Læs mere

Læs selv om UENDELIGHED. Erik Bjerre og Pernille Pind Forlaget Mañana

Læs selv om UENDELIGHED. Erik Bjerre og Pernille Pind Forlaget Mañana Læs selv om UENDELIGHED Erik Bjerre og Pernille Pind Forlaget Mañana Læs selv om UENDELIGHED Erik Bjerre og Pernille Pind Forlaget Mañana 2 Uendelighed - et matematisk symbol Der kan være uendeligt lang

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25 Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Slide 3/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion

Læs mere

Grafmanipulation. Frank Nasser. 14. april 2011

Grafmanipulation. Frank Nasser. 14. april 2011 Grafmanipulation Frank Nasser 14. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

Implikationer og Negationer

Implikationer og Negationer Implikationer og Negationer Frank Villa 5. april 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Mere om differentiabilitet

Mere om differentiabilitet Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget

Læs mere

MM502+4 forelæsningsslides

MM502+4 forelæsningsslides MM502+4 forelæsningsslides uge 11+12 1, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm, delvis på baggrund af lignende materiale udarbejdet af Mikael Rørdam 1 I nærværende forbindelse er 11 + 12 23 1 Egenskaber for

Læs mere

Gödels ufuldstændighedssætninger

Gödels ufuldstændighedssætninger Gödels ufuldstændighedssætninger Thomas Bolander, DTU Informatik Matematik: Videnskaben om det uendelige 2 Folkeuniversitetet i København, efteråret 2011 Thomas Bolander, FUKBH 11 s. 1/21 Gödels ufuldstændighedssætning

Læs mere

Logik. Helge Elbrønd Jensen og Tom Høholdt Fortolket af Michael Elmegård og Øistein Wind-Willassen.

Logik. Helge Elbrønd Jensen og Tom Høholdt Fortolket af Michael Elmegård og Øistein Wind-Willassen. Logik Helge Elbrønd Jensen og Tom Høholdt Fortolket af Michael Elmegård og Øistein Wind-Willassen. 25. juni 2014 2 Indhold 1 Matematisk Logik 5 1.1 Udsagnslogik.................................... 5 1.2

Læs mere

Talteoriopgaver Træningsophold ved Sorø Akademi 2007

Talteoriopgaver Træningsophold ved Sorø Akademi 2007 Talteoriopgaver Træningsophold ved Sorø Akademi 2007 18. juli 2007 Opgave 1. Vis at når a, b og c er positive heltal, er et sammensat tal. Løsningsforslag: a 4 + b 4 + 4c 4 + 4a 3 b + 4ab 3 + 6a 2 b 2

Læs mere

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul Asymptoter for standardforsøgene i matematik i gymnasiet 2003 Karsten Juul Indledning om lodrette asymptoter Lad f være funktionen bestemt ved =, 2. 2 Vi udregner funktionsværdierne i nogle -værdier der

Læs mere

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013) Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer

Læs mere

Projekt 5.9. Geometriske fraktaler og fraktale dimensioner

Projekt 5.9. Geometriske fraktaler og fraktale dimensioner Projekt 5.9. Geometriske fraktaler og fraktale dimensioner Indhold 1. Fraktaler og vækstmodeller... 2 2. Kløverøen... 2 3. Fraktal dimension... 4 3.1 Skridtlængdemetoden... 4 3.2 Netmaskemetoden... 7 3.3

Læs mere

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby 24 En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby Det er velkendt for de fleste, at differentiabilitet af en reel funktion f medfører kontinuitet af f, mens det modsatte ikke gælder

Læs mere

Matroider Majbritt Felleki

Matroider Majbritt Felleki 18 Rejselegatsformidlingsaktivitet Matroider Majbritt Felleki Den amerikanske matematiker Hassler Whitney fandt i 1935 sammenhænge mellem sætninger i grafteori og sætninger i lineær algebra. Dette førte

Læs mere

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker.

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker. Hvad er en brøk? Når vi taler om brøker i dette projekt, mener vi tal på formen a, hvor a og b er hele tal (og b b 0 ), fx 2,, 3 og 3 7 13 1. Øvelse 1 Hvordan vil du forklare, hvad 7 er? Brøker har været

Læs mere

Appendix 1. Nogle egenskaber ved reelle tal.

Appendix 1. Nogle egenskaber ved reelle tal. - 0 - Appendi. Nogle egenskaber ved reelle tal. Som bekendt består de reelle tal R (dvs. alle tal på tallinien) af de rationale tal Q og de irrationale tal I, dvs. R = Q I. De rationale tal Q er mængden

Læs mere

Et udtryk på formena n kaldes en potens med grundtal a og eksponent n. Vi vil kun betragte potenser hvor grundtallet er positivt, altså a>0.

Et udtryk på formena n kaldes en potens med grundtal a og eksponent n. Vi vil kun betragte potenser hvor grundtallet er positivt, altså a>0. Konkrete funktioner Potenser Som udgangspunkt er brugen af potenser blot en forkortelse for at gange et tal med sig selv et antal gange. Hvis a Rskriver vi a 2 for a a a 3 for a a a a 4 for a a a a (1).

Læs mere

Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen

Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen 12 Det filosofiske hjørne Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen Det virker måske som et spøjst spørgsmål, men ved nærmere eftertanke virker det som om, at alle vores definitioner af tal refererer til andre

Læs mere

Spor Matematiske eksperimenter. Komplekse tal af Michael Agermose Jensen og Uwe Timm.

Spor Matematiske eksperimenter. Komplekse tal af Michael Agermose Jensen og Uwe Timm. Homografier Möbius transformationer Følgende tema, handler om homografier, inspireret af professor Børge Jessens noter, udgivet på Københavns Universitet 965-66. Noterne er herefter blevet bearbejdet og

Læs mere

Lad os som eksempel se på samtidigt kast med en terning og en mønt:

Lad os som eksempel se på samtidigt kast med en terning og en mønt: SANDSYNLIGHEDSREGNING Stokastisk eksperiment Et stokastisk eksperiment er et eksperiment, hvor vi fornuftigvis ikke på forhånd kan have en formodning om resultatet af eksperimentet Til gengæld kan vi prøve

Læs mere

FUNKTIONER del 1 Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner

FUNKTIONER del 1 Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner FUNKTIONER del Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner -klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Indholdsfortegnelse FUNKTIONSBEGREBET... 3 Funktioner beskrevet ved mængder...

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Talteori Anne Ryelund Anders Friis 16. juli 2014 Slide 1/36

t a l e n t c a m p d k Talteori Anne Ryelund Anders Friis 16. juli 2014 Slide 1/36 Slide 1/36 sfaktorisering Indhold 1 2 sfaktorisering 3 4 5 Slide 2/36 sfaktorisering Indhold 1 2 sfaktorisering 3 4 5 Slide 3/36 1) Hvad er Taleteori? sfaktorisering Slide 4/36 sfaktorisering 1) Hvad er

Læs mere

Diskrete Matematiske Metoder. Jesper Lützen

Diskrete Matematiske Metoder. Jesper Lützen Diskrete Matematiske Metoder Jesper Lützen Juni 2013 ii Indhold Introduktion. ix 0.1 Den aksiomatisk-deduktive metode................. ix 0.2 Diskret matematik; hvad er det?.................. x 1 Tal,

Læs mere

Noter om opgaver i diskret matematik, Kirsten Rosenkilde, Maj Diskret matematik

Noter om opgaver i diskret matematik, Kirsten Rosenkilde, Maj Diskret matematik Noter om opgaver i diskret matematik, Kirsten Rosenkilde, Maj 2007 1 Diskret matematik Disse noter er en introduktion til skuffeprincippet, grafteori, spilstrategier samt opgaver der kan løses ved farvelægning.

Læs mere

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er primært spil af følgende type: Spil der spilles af to spillere A og B som skiftes til at trække, A starter, og hvis man ikke kan trække har man tabt. Der

Læs mere

Vi indleder med at minde om at ( a) = a gælder i enhver gruppe.

Vi indleder med at minde om at ( a) = a gælder i enhver gruppe. 0.1: Ringe 1. Definition: Ring En algebraisk struktur (R, +,, 0,, 1) kaldes en ring hvis (R, +,, 0) er en kommutativ gruppe og (R,, 1) er en monoide og hvis er såvel venstre som højredistributiv mht +.

Læs mere

Udvalgsaksiomet. Onsdag den 18. november 2009

Udvalgsaksiomet. Onsdag den 18. november 2009 Udvalgsaksiomet Onsdag den 18. november 2009 Eksempler Fourier udvikling af f(x)=x 4 3 5 10 2 1 1 2 0 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61 63 1 2 3 4

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

LINALG JULENØD 2013 SUNE PRECHT REEH

LINALG JULENØD 2013 SUNE PRECHT REEH LINALG JULENØD 203 SUNE PRECHT REEH Resumé I denne julenød skal vi se på lineær algebra for heltallene Z Hvad går stadig godt? og hvad går galt? I de reelle tal R kan vi for ethvert a 0 altid finde R som

Læs mere

Udviklingen af det moderne uendelighedsbegreb

Udviklingen af det moderne uendelighedsbegreb Udviklingen af det moderne uendelighedsbegreb The development of the modern concept of infinity Af Ida Marie Friisberg og Christina Glentvor Skou Larsen Vejleder: Mogens Niss Ro Roskilde Universitet, IMFUFA,

Læs mere

Funktionalligninger - løsningsstrategier og opgaver

Funktionalligninger - løsningsstrategier og opgaver Funktionalligninger - løsningsstrategier og opgaver Altså er f (f (1)) = 1. På den måde fortsætter vi med at samle oplysninger om f og kombinerer dem også med tidligere oplysninger. Hvis vi indsætter =

Læs mere

Noter om primtal. Erik Olsen

Noter om primtal. Erik Olsen Noter om primtal Erik Olsen 1 Notation og indledende bemærkninger Vi lader betegne de hele tal, og Z = {... 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3...} N = {0, 1, 2, 3...} Z være de positive hele tal. Vi minder her om et

Læs mere

z 1 = z 1z 1z 1 z 1 2 = z z2z 1 z 2 2

z 1 = z 1z 1z 1 z 1 2 = z z2z 1 z 2 2 M å l e p u n k t R i e m a n n s k G e o m e t r i E 8 J a ko b L i n d b l a d B l a ava n d 2 5 3 6 7 5 27 oktober 28 I n s t i t u t fo r M at e m at i s k e Fag A a r h u s U n i v e r s i t e t indledning

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Nasser 9. april 20 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.

Læs mere

K 7 - og K 4,4 -minors i grafer

K 7 - og K 4,4 -minors i grafer Aalborg Universitet Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet Institut for Matematiske Fag K 7 - og K 4,4 -minors i grafer Aalborg Universitet Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet Institut for Matematiske

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde.

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde. Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske

Læs mere

Algebra. Anders Thorup. Matematisk Afdeling Københavns Universitet

Algebra. Anders Thorup. Matematisk Afdeling Københavns Universitet Algebra Anders Thorup Matematisk Afdeling Københavns Universitet Anders Thorup, e-mail: thorup@math.ku.dk Algebra, 3. udgave Matematisk Afdeling Universitetsparken 5 2100 København Ø ISBN 87-91180-28-7

Læs mere

Pythagoras Sætning. Frank Nasser. 20. april 2011

Pythagoras Sætning. Frank Nasser. 20. april 2011 Pythagoras Sætning Frank Nasser 20. april 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

Ringe og Primfaktorisering

Ringe og Primfaktorisering Ringe og Primfaktorisering Michael Knudsen 16. marts 2005 1 Ringe Lad Z betegne mængden af de hele tal, Z = {..., 2, 1,0,1,2,...}. På Z har to regneoperationer, + (plus) og (gange), der til to hele tal

Læs mere

Polynomium Et polynomium. Nulpolynomiet Nulpolynomiet er funktionen der er konstant nul, dvs. P(x) = 0, og dets grad sættes per definition til.

Polynomium Et polynomium. Nulpolynomiet Nulpolynomiet er funktionen der er konstant nul, dvs. P(x) = 0, og dets grad sættes per definition til. Polynomier Polynomier Polynomium Et polynomium P(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 Disse noter giver en introduktion til polynomier, centrale sætninger om polynomiumsdivision, rødder og koefficienter

Læs mere