Vores logaritmiske sanser

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Vores logaritmiske sanser"

Transkript

1 1 Biomat I: Biologiske eksempler Vores logaritmiske sanser Magnus Wahlberg og Meike Linnenschmidt, Fjord&Bælt og SDU Mandag 6 december kl 14-16, U26 Hvad er logaritmer? Hvis y = a x så er x = log a y Nogle eksempler: log = 2 log = 1 log 10 1 = 0 log = -1 log = -2 ln 1 = e log 2 8 = 3 Logaritmeloverne: log (ab) = log a + log b log (a / b) = log a log b log (a b ) = b log a Bevis af den første logaritmlov: 10 HL = 10 log a + log b = 10 log a 10 log b = ab, 10 VL = 10 log ab = ab, altså er VL=HL. Hvorfor er logaritmer nogen gange smarte at bruge? Eks. Eksponentielle sammenhæng som skal illustreres i en figur: Lad os sige, at en population med dyr starter ud med 2 individer som lever kun et år, men som får 4 unger sammen Året efter er der 4 individer, som får 8 unger Året efter 8, derefter 16, 32, 64, 128, 256 Populationens størrelse er en eksponentialfunktion N = 2 Y, der Y er antallet år. Hvis vi plotter N mod Y for de første 10 generationer så ser det sådan ud (graf til vænster): Fig.1

2 2 Hvis vi i stedet plotter logaritmerne af individerne mod åren, så bliver det meget nemmere at studere grafen både i den lave og høje ende (graf oven til højre). Nedenunder ser vi den samme effekt ved at vælge en logaritmisk akse i stedet for. Fig. 2 Generelt kan man sige, at logaritmer er gode til at komprimere tal serier, så at de ikke fylder så mange størrelsesordner. Sammenligne f.eks. antallet individer i eksemplet oven: , med logaritmen af antallet individer: Den lineære serie spænder over næsten tre størrelsesordener, eller med andre ord så er det største tal er 500x større end det mindste tal. Den tilsvarende logaritmiske serie ligger indenfor én størrelsesorden, dvs. det største tal er 10 gange større end det mindste. Sagt på en anden måde så er den logaritmiske serie komprimeret sammenlignet med den lineære serie. Eksponentiel tilvækst er et fundamental fænomen indenfor populationsbiologi. I dette foredrag vil vi også tage fat på et andet biologisk emne, der vi (måske til nogens forbavselse) også ret tit møder logaritmer, navnlig hvordan vi og andre dyre sanser vores omgivelser. Mennesket har fem sanser: syn, hørelse, smag, lugt, følelse. Vi skal mest snakke lyde, men den samme diskussion kunde lige så godt handle om nogen af de andre sanser.

3 3 En lydbølge skabes gennem at mediets molekyler skubbes sammen eller trækkes især. Partiklerne prøver umiddelbart at udfylde tomrummet, men kommer så at vandre lidt for langt før de stoppes og igen vender tilbage på grund af de krafter, som findes mellem dem. Under sin bevægelse påvirker de også nabopartiklerne, og får disse til at også begynde at vibrere. Derigennem dannes der en bølge, som vandrer med lydes hastighed ud fra kilden gennem mediet. Figur 3. Animering af Dr. Dan Russell, Kettering University Lydbølgen består både af partikler som vibrerer, men samtidigt også af trykfluktuationer. Tryk måles i Pascal, eller N/m 2. Det svageste lydtryk, som mennesket kan opfatte, er mindre end 20 µpa. - Det er ikke ret meget! Det kraftigste lydtryk, som mennesket kan udsættes før inden han eller hun begynder føle smerte, er ca. 20 Pa. Dvs. det dynamiske omfang for den menneskelige hørelse strækker sig over mere end seks størrelsesordner, der ratioen mellem det største og mindste lydtryk som kan opfattes er en million. For at komprimere dette gigantiske omfang så bruger vi logaritmer til at repræsentere lydbølgers størrelse (amplitude). Den mest almindelige form for disse logaritmer heder decibel skalaen og ser sådan ud: db = 20 log 10 (p/p 0 ) Her er p det målte lydtryk, og p 0 er det så kaldte reference trykket, som normalt vælges til 20 µpa (menneskets hørelsestærskel ved 1 khz). Hvorfor der er en faktor 20 foran logaritmen er en længere diskussion som vi ikke når at gå ind på her. Dog kan det være sjovt at vide, at tingene passer nogenlunde således sammen, at den mindste forandring i lydniveau som mennesket (og faktisk også i stort set alle andre dyre) kan opfatte, er ca. 1 db, så faktisk giver denne skala rigtigt god biologisk mening. I lydeksemplet nedenunder spiller vi en tone på 1 khz som hver halve sekund bliver reduceret med intensiteten 1 db. Fig. 4. x: tid, y: amplitude Gennem at logaritmere hørelses dynamiske område så får vi tal mellem 0 db og 120 db, som er meget nemmer at håndtere end den faktor en million, som vi ville have på den lineær skala.

4 4 Figur 5. Menneskets audiogram sammenlignet med en undulat. Hvis man skal være helt korrekt når man bruger decibel, så bør man altid angive lydtrykket med en indikation af hvilket referencetryk man har brugt: f.eks. 20 db re 20 µpa. Decibellerne kommer jo at være afhængige af, hvad der er for reference, og den er ikke altid ens: under vand bruger man tit 1 µpa, og i den ældre litteratur kan man finde mange andre enheder og størrelser for referencetrykket. En anden god sideeffekt af decibel skalaen er, at praktisk taget alle regnstykker indenfor lydmålinger forvandles til subtraktion og addition, i stedet for multiplikation og division på den lineære skala. Dette illustreres i en regneøvelse nedenunder. Før vi går i gang med regneøvelser så er der godt at huske nogle gode huskeregler: 20 log log 10 = log 0.1 = log 3 = log (1/3) = log (1/2) - 6 Det er også vigtigt at huske de tre logaritme love: log (a) + log (b) = log (ab) log (a) - log (b) = log (a/b) log (a b ) = b log (a) Øvelser (brug ikke lommeregner!): 1) Bevis logaritme lovene oven! 2) Beregn hvor mange decibel der er i en lydbølge som har trykket

5 5 a) 2 µpa, b) 2 Pa, c) 1 Pa, d) 50 Pa, e) 25 Pa, f) 200 Pa. 3) Hvor mange Pascal er der i en lydbølge som er a) 100 db, b) 40 db, c) 26 db, d) 0 db, e) -26 db, f) 143 db), g) 15 db re 20 µpa? 4) Hvor meget kraftigere lydtryk får man, i db, hvis man blander en 1 Pa lydbølge med en anden bølge, som er i fase og som har lydtrykket a) 1 Pa, b) 10 µpa, c) 100 Pa og d) 0.1 Pa? 5) Hvor meget kraftigere lydtryk får man, i db, hvis man blander et lydsignal med lydtrykket 40 db re20 µpa med en anden signal i fase, som har lydtrykket a) 40 db, b) 20 db, c) 100 db, d) -20 db re 20µPa? 6) Forstærkning angives tit i det antal db, som signalet forstørres med. Hvor kraftigt er et signal efter forstærkning (både i db re 1 µpa og Pa) om forstærkningen er 20 db og det oprindeligt havde et lydtryk af a) 1 Pa, b) 20 db re 20µPa, c) -40 db re 1 µpa? Nu får vi nogle smagsprøver på lyde. I det første eksempel spiller vi en række toner, som hele tiden øger i lydstyrke med 6 db mellem hvert trappetrin: Fig. 6. x: tid, y: amplitude Du kan se i figuren, at trinnerne følger en eksponentiel serie, men hvis vi nu angive amplituden i logaritmer, ville den lige pludseligt se lineær ud (se populations eksemplet oven i figur 1). Når vi lytter til det kan i måske fornemme, at disse trin mellem intensiteterne lyder helt ens, det vil sige de lyder ikke eksponentielt stigende. Det lyder omtrent som om der er et lige så stort trin mellem den første og den anden tone, som det er mellem den næst sidste og den sidste. Fig. 7 x: tid, y: amplitude Hvis vi i stedet før lytter til en lineær stigning i intensitet som i figuren oven, så opfatter vi det som om intensitetsforskellen hele tiden bliver mindre.

6 6 Forklaringen på dette er, at vores hørelse analyserer lydstyrke som om det vore logaritmer. Som tidligere nævnt så er den mindste forskellen i intensitet vi kan opfatte omtrent 1 db, uanset om vi lytter til et lydtryk svarende til 10 eller 100 db re 20 µpa. Diskussion Hvorfor er det smart at øret opfatter lydernes instensitet logaritmisk? Prøv at fundere over dette selv, efter de øvelser vi har lavet oven. Et andet sjovt ting med vores måde at opfatte lyde er, at om vi nu kikker på lydets frekvensindhold, så er vores opfattelse atter logaritmisk. Prøv at lyt til følgende eksempel, som består af en række toner der frekvensen hele tiden bliver fordobblet. Sammenlign dette med eksemplet efterpå, der tonernes frekvens øges lineært. Det føles mere naturligt at sige, at det er den første (eksponentielle) serie som lyder til at der er faste trin mellem tonerne. Øret har komprimeret frekvenserne til en logaritmisk skala. For jer som er interesseret i musik, så ved i at en af de mest naturlige enheder for ton højde (frekvens) er en oktav. Uanset hvor man står hen på en hvid tast på pianoet, så er der altid 7 hvide taster op til at man er kommet en oktav højere. En oktav svarer til en fordobling af frekvensen. Dvs. uanset hvor du befinder dig på pianoet, så er der et konstant lineært afstand til en dobbelt så høj (eller halvdelen så mørk) tone. Pianoets lineære skala svarer til en eksponentiel frekvensakse, eller med andre ord, pianoets taster er en logaritmisk skala af tone højde. Fig. 8. Tid på x akslen og frekvens på y aklen. Diskussion Hvorfor er det smart at vi opfatter lydenes tonhøjde logaritmisk? Kan vi opfatte forskellen mellem to toner ved 500 og 600 Hz nemmere end mellem 5000 og 5100 Hz? Hvad med 5000 og 6000 Hz?

7 7 Fig. 9. x: tid, y: frekvens Som en parentes kan nævnes, at vores musik sans også bygger på en logaritmisk opfattelse af komplekse toner (en grundtone og en serie overtoner). Følgende eksempel er et akkord med grundtone a0 (220 Hz) og samme akkord med grundtone en oktav op, ved 440 Hz. Akkorden lyder ens i sin klangfarve, fordi de logaritmiske afstande mellem grund- og overtoner er de samme for de to akkord. Fig. 10. x: tid, y: frekvens For at beskrive et lyd matematisk så er det smartest at bruge de så kaldte harmoniske funktioner. Lydtrykket for en ren sinustone svinger som funktion af tiden med udtrykket: p = sin (ωt) = sin (2π f t), der ω = 2π f er den så kaldte vinkelfrekvens, og f er tonens frekvens (antal svingninger per sekund). De fleste pattedyr registrerer trykket i en lydbølge, men der findes eksempler på mange dyr, som i stedet for registrerer bevægelsen i mediets partikler. F.eks. så kan en fisk uden svømmeblære ikke detektere lydtryk, men kun partikelbevægelsen. Derfor er det nogle gange meget vigtigt at kunne regne sig frem og tilbage mellem lydtryk og partikelbevægelse for at forstå, hvad det er for stimulus som dyret egentlig reagerer på. Hvis man er langt væk fra lydkilden, så kan dette gøres meget simpelt gennem formelen v = p / ( ρc), der ρ er mediets densitet, ca. 1.3 kg/m 3, c er lydhastigheden, ca. 330 m/s i luft. En yderligere komplikation er, at for lave frekvenser så er det ikke partikelhastigheden, uden partikel accelerationen, som fisken reagerer på. Accelerationen gives som du sikkert ved af formeln: a = dv / dt.

8 8 Forstatte øvelser (brug ikke lommeregner!): 7) Hvor stor er partikelhastigheden hos en lydbølge med en trykkomponent på 1) 20 µpa, 2) 1 Pa, 3) 20 Pa? 8) Hvor stor er partikelaccelerationen hos en harmonisk lydbølge som har en lydintensitet af 60 db re 1 µpa og som har en frekvens af a) 100 Hz, b) 1 khz, c) 10 khz? 9) Hvor stor er partikelforflytningen hos lydbølgerne i Øvelse 8? Figur 11. Marsvinet Eigil laver et hørelsestest ved SDUs marine forskningsstation i Kerteminde. Foto: Solvin Zankl, Fjord&Bælt Figur 12. Kan en lungefisk høre tryk? Dette blev undersøgt ved Biologisk Institut, SDU i Det viste sig, at lungefisken ikke kan opfatte tryk.

Biologiske eksempler indenfor matematik: Tilvækst, statistik og lydanalyse

Biologiske eksempler indenfor matematik: Tilvækst, statistik og lydanalyse Fjord og Bælt: Tilvækst Statistik Lydanalyse 1 Øvelsesvejledning Biologiske eksempler indenfor matematik: Tilvækst, statistik og lydanalyse Studieretningssamarbejde mellem Biologi A og Matematik B for

Læs mere

Grundlæggende lydtekniker kursus

Grundlæggende lydtekniker kursus Hvad er lyd? Grundlæggende Lyd kan vi opfatte med ørerne. Lyd opstår ved at noget bringes til at svinge. Hvis man f.eks. knipser en guitarstreng, vil den svinge frem og tilbage. Slår man med en hammer

Læs mere

Elevforsøg i 10. klasse Lyd

Elevforsøg i 10. klasse Lyd Fysik/kemi Viborg private Realskole Elevforsøg i 10. klasse Lyd Lydbølger og interferens SIDE 2 1062 At påvise fænomenet interferens At demonstrere interferens med to højttalere Teori Interferens: Det

Læs mere

Billund Bygger Musik: Lærervejledning

Billund Bygger Musik: Lærervejledning Billund Bygger Musik: Lærervejledning Science of Sound og Music Velkommen til Billund Builds Music! Vi er så glade og taknemmelige for, at så mange skoler og lærere i Billund er villige til at arbejde

Læs mere

9 Eksponential- og logaritmefunktioner

9 Eksponential- og logaritmefunktioner 9 Eksponential- og logaritmefunktioner Hayati Balo, AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen, Matematik for adgangskursus, B-niveau 2 2. Crone og Rosenquist, Matematiske elementer

Læs mere

wwwdk Digital lydredigering på computeren grundlæggende begreber

wwwdk Digital lydredigering på computeren grundlæggende begreber wwwdk Digital lydredigering på computeren grundlæggende begreber Indhold Digital lydredigering på computeren grundlæggende begreber... 1 Indhold... 2 Lyd er trykforandringer i luftens molekyler... 3 Frekvens,

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2015. Billeder: Forside: istock.com/demo10 (højre) Desuden egne illustrationer Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 1. Indledning I denne

Læs mere

En f- dag om matematik i toner og instrumenter

En f- dag om matematik i toner og instrumenter En f- dag om matematik i toner og instrumenter Læringsmål med relation til naturfagene og matematik Eleverne har viden om absolut- og relativ vækst, og kan bruge denne viden til at undersøge og producerer

Læs mere

Eksamensspørgsmål: Eksponentiel vækst

Eksamensspørgsmål: Eksponentiel vækst Eksamensspørgsmål: Eksponentiel vækst Indhold Definition:... Eksempel :... Begndelsesværdien b... Fremskrivningsfaktoren a... Eksempel :... Formlerne for a og b... 3 Eksempel 3:... 3 Bevis for formlen

Læs mere

Svingninger. Erik Vestergaard

Svingninger. Erik Vestergaard Svingninger Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2009. Billeder: Forside: Bearbejdet billede af istock.com/-m-i-s-h-a- Desuden egne illustrationer. Erik Vestergaard

Læs mere

Spektrumrepræsentation

Spektrumrepræsentation Spektrumrepræsentation (Kapitel 3) Jens D. Andersen Datalogisk Institut Københavns Universitet p.1/35 $ $ $ Spektrumrepræsentation Matematisk repræsentation af en sinusoide: hvor "! er en fasor. Mere komplicerede

Læs mere

Ren versus ligesvævende stemning

Ren versus ligesvævende stemning Ren versus ligesvævende 1. Toner, frekvenser, overtoner og intervaller En oktav består af 12 halvtoner. Til hver tone er knyttet en frekvens. Kammertonen A4 defineres f.eks. til at have frekvensen 440

Læs mere

Lyd og hørelse. En kort beskrivelse af lyd og hvordan øret fungerer

Lyd og hørelse. En kort beskrivelse af lyd og hvordan øret fungerer Lyd og hørelse 1 En kort beskrivelse af lyd og hvordan øret fungerer Denne brochure er nummer 1 i en serie fra Widex om hørelse og høreapparater. Hvad er lyd? Vores moderne dagligdag er fyldt med mange

Læs mere

Fysik A - B Aarhus Tech. Niels Junge. Bølgelærer

Fysik A - B Aarhus Tech. Niels Junge. Bølgelærer Fysik A - B Aarhus Tech Niels Junge Bølgelærer 1 Table of Contents Bølger...3 Overblik...3 Harmoniske bølger kendetegnes ved sinus form samt følgende sammenhæng...4 Udbredelseshastighed...5 Begrebet lydstyrke...6

Læs mere

Lidt om lyd - uden formler

Lidt om lyd - uden formler Search at vbn.aau.dk: > Search the AAU phone book: > Sections > Acoustics > Home Education Research Facilities/Equipment Staff & Job About Lidt om lyd - uden formler 1. Hvad er lyd? Lyd er ganske små svingninger

Læs mere

Fysikøvelse Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk. Musik og bølger

Fysikøvelse Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk. Musik og bølger Fysikøvelse Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Musik og bølger Formål Hovedformålet med denne øvelse er at studere det fysiske begreb stående bølger, som er vigtigt for at forstå forskellige musikinstrumenters

Læs mere

Resonans 'modes' på en streng

Resonans 'modes' på en streng Resonans 'modes' på en streng Indhold Elektrodynamik Lab 2 Rapport Fysik 6, EL Bo Frederiksen (bo@fys.ku.dk) Stanislav V. Landa (stas@fys.ku.dk) John Niclasen (niclasen@fys.ku.dk) 1. Formål 2. Teori 3.

Læs mere

STRUCTURAL DYNAMICS, VOL. 10. Bygnings- og rumakustik

STRUCTURAL DYNAMICS, VOL. 10. Bygnings- og rumakustik STRUCTURAL DYNAMICS, VOL. 10 Bygnings- og rumakustik P.H. Kirkegaard 4 4 2 2 1 1 S 3 5 M 5 3 husk symbol og index Aalborg tekniske Universitetsforlag April 2003 Indhold 1 Introduktion 13 2 Definitioner

Læs mere

Den harmoniske svingning

Den harmoniske svingning Den harmoniske svingning Teori og en anvendelse Preben Møller Henriksen Version. Noterne forudsætter kendskab til sinus og cosinus som funktioner af alle reelle tal, dvs. radiantal. I figuren nedenunder

Læs mere

Arbejdsopgaver i emnet bølger

Arbejdsopgaver i emnet bølger Arbejdsopgaver i emnet bølger I nedenstående opgaver kan det oplyses, at lydens hastighed er 340 m/s og lysets hastighed er 3,0 10 m/s 8. Opgave 1 a) Beskriv med ord, hvad bølgelængde og frekvens fortæller

Læs mere

Bygningsfysik Lyd og bygninger

Bygningsfysik Lyd og bygninger Bygningsfysik Lyd og bygninger Ministeriet for Børn og Undervisning, marts 2013. Materialet er udviklet af Efteruddannelsesudvalget for bygge/anlæg og industri i samarbejde med Niels Erik Hvam, Hansenberg.

Læs mere

Nervefysiologi - Excitable membraner

Nervefysiologi - Excitable membraner Nervefysiologi - Excitable membraner Formålet med øvelsen er at give de studerende mulighed for at aflede aktionspotentialer fra regnormens kæmpeaxoner, og derved iagttage nogle af egenskaberne ved aktionspotentialer.

Læs mere

Dæmpet harmonisk oscillator

Dæmpet harmonisk oscillator FY01 Obligatorisk laboratorieøvelse Dæmpet harmonisk oscillator Hold E: Hold: D1 Jacob Christiansen Afleveringsdato: 4. april 003 Morten Olesen Andreas Lyder Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse 1 Formål...3

Læs mere

Indhold. Musik Lyd Natur/teknik Lyd og Musik. Fra»Musik på Tværs 1998«v/ Lisbeth Bergstedt

Indhold. Musik Lyd Natur/teknik Lyd og Musik. Fra»Musik på Tværs 1998«v/ Lisbeth Bergstedt Musik Lyd Natur/teknik Lyd og Musik Fra»Musik på Tværs 1998«v/ Lisbeth Bergstedt Indhold Musik Lyd Natur/teknik... 2 Lyd... 2 Toner... 3 Musikinstrumenter... 3 Idiofoner...4 Membranofoner... 4 Kordofoner...

Læs mere

Lyd, Lydtryk og lydeffekt

Lyd, Lydtryk og lydeffekt februar 015 Lyd, Lydtryk og lydeffekt Kompendium om lyd. d. 15/10 01 Valle. Materialet er ikke færdig. Jeg modtager gerne ideer til ændringer eller tilføjelser. / Valle Thorø Side 1 af 33 Lyd, Lydtryk

Læs mere

Der er lyd overalt. Hvad er lyd. Sanser og lyd

Der er lyd overalt. Hvad er lyd. Sanser og lyd Der er lyd overalt De er overalt lydene. Lige meget hvor du vender dit hoved hen ligegyldigt om det er dag eller nat, så vil du altid høre lyde. De kommer bølgende gennem luften og rammer dig overalt på

Læs mere

Øvelser 10. KlasseCenter Vesthimmerland Kaj Mikkelsen

Øvelser 10. KlasseCenter Vesthimmerland Kaj Mikkelsen Indhold Længdebølger og tværbølger... 2 Forsøg med frembringelse af lyd... 3 Resonans... 4 Ørets følsomhed over for lydfrekvenser.... 5 Stående tværbølger på en snor.... 6 Stående lydbølger i resonansrør.

Læs mere

Gyptone lofter 4.1 Akustik og lyd

Gyptone lofter 4.1 Akustik og lyd Gyptone lofter 4.1 Akustik og lyd Reflecting everyday life Akustik og lyd Akustik er, og har altid været, en integreret del af byggemiljøet. Basis for lyd Akustik er en nødvendig design-faktor ligesom

Læs mere

TEORETISKE MÅL FOR EMNET:

TEORETISKE MÅL FOR EMNET: TEORETISKE MÅL FOR EMNET: Redegøre for forskellen på tværbølger og længdebølger samt vide, hvilken type bølger, lyd er Redegøre for amplitude, frekvens og bølgelængde og hvilken betydning disse begreber

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

Ekkolodder. af: Jens Sahl Why Worry

Ekkolodder. af: Jens Sahl Why Worry Ekkolodder af: Jens Sahl Why Worry Jens Sahl Why Worry Fisket fra båd siden 1990 Ingeniør (Svagstrøm / software) Oticon høreapparater Optisk / magnetisk Måleudstyr Agenda Hvordan virker ekkoloddet Bølgeteori

Læs mere

VEJLEDNING TIL RØRKLOKKESPIL

VEJLEDNING TIL RØRKLOKKESPIL inn Stubsgaard 8585 lesborg VJLNIN TIL RØRKLOKKSPIL Tidligere trykt som artikel i Tidsskriftet ysik Kemi, udgivet af anmarks ysik- og Kemilærerforening, Julen 1996, 22 årgang nr 5. Revideret i forbindelse

Læs mere

Lyd oplevelse. Lydopfattelse. Perception : Oversigt. Lydstyrke Tonehøjde Kritisk Bånd Rumopfattelse... MMT, 2003 Kristoffer Jensen

Lyd oplevelse. Lydopfattelse. Perception : Oversigt. Lydstyrke Tonehøjde Kritisk Bånd Rumopfattelse... MMT, 2003 Kristoffer Jensen Lydopfattelse MMT, 3 Kristoffer Jensen Lydstyrke Tonehøjde Kritisk Bånd Rumopfattelse... Lyd oplevelse Klangfarve Kommunikation Konsonans Rytme Lokalisering Perception : Oversigt [Hearing takes place]

Læs mere

Analog Øvelser. Version. A.1 Afladning af kondensator. Opbyg følgende kredsløb: U TL = 70 % L TL = 50 %

Analog Øvelser. Version. A.1 Afladning af kondensator. Opbyg følgende kredsløb: U TL = 70 % L TL = 50 % A.1 Afladning af kondensator Opbyg følgende kredsløb: U TL = 70 % L TL = 50 % Når knappen har været aktiveret, ønskes lys i D1 i 30 sekunder. Brug formlen U C U start e t RC Beskriv kredsløbet Find komponenter.

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge Udgave 009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Lineære sammenhænge, udgave 009" Indhold 1 Eksponentielle sammenhænge, ligning og graf 1 Procent 7 3 Hvad fortæller

Læs mere

Om at finde bedste rette linie med Excel

Om at finde bedste rette linie med Excel Om at finde bedste rette linie med Excel Det er en vigtig og interessant opgave at beskrive fænomener i naturen eller i samfundet matematisk. Dels for at få en forståelse af sammenhængende indenfor det

Læs mere

Differentialregning. Et oplæg Karsten Juul L P

Differentialregning. Et oplæg Karsten Juul L P Differentialregning Et oplæg L P A 2009 Karsten Juul Til eleven Dette hæfte kan I bruge inden I starter på differentialregningen i lærebogen Det meste af hæftet er små spørgsmål med korte svar Spørgsmålene

Læs mere

Glamsdalens Idrætsefterskole 1

Glamsdalens Idrætsefterskole 1 1. Fra svingninger til lyd (Grundlæggende)... 2 2. Gammelt legetøj (rejse)... 3 3. Lyd med din smartphone (Grundlæggende)... 4 4. Lydens refleksion (Grundlæggende)... 5 5. Lydens fart i atmosfærisk luft

Læs mere

ADGANGSKURSUS AALBORG UNIVERSITET. Formelsamling. Brush-up Flex

ADGANGSKURSUS AALBORG UNIVERSITET. Formelsamling. Brush-up Flex ADGANGSKURSUS AALBORG UNIVERSITET Formelsamling Brush-up Flex 2016 Indholdsfortegnelse 1. Brøkregning... 2 2. Parenteser... 3 3. Kvadratsætningerne:... 3 4. Potensregneregler... 4 5. Andengradsligninger...

Læs mere

MODUL 1-2: ELEKTROMAGNETISK STRÅLING

MODUL 1-2: ELEKTROMAGNETISK STRÅLING MODUL 1-2: ELEKTROMAGNETISK STRÅLING MODUL 1 - ELEKTROMAGNETISKE BØLGER I 1. modul skal I lære noget omkring elektromagnetisk stråling (EM- stråling). I skal lære noget om synligt lys, IR- stråling, UV-

Læs mere

Harmoniske Svingninger

Harmoniske Svingninger Harmoniske Svingninger Frank Villa 16. marts 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Svingninger og bølger

Svingninger og bølger Fysik/kemi Viborg private Realskole Elevforsøg i 10. klasse Svingninger og bølger Pendulet svinger SIDE 2 1051 Formål At bestemme sammenhængen mellem pendulets længde og dets svingningstid. Materialer

Læs mere

Den menneskelige cochlea

Den menneskelige cochlea Den menneskelige cochlea Af Leise Borg Leise Borg er netop blevet cand.scient. Artiklen bygger på hendes speciale i biofysik Introduktion Hørelsen er en vigtig sans for mennesket, både for at sikre overlevelse,

Læs mere

Øvelsesvejledning. Frekvenskarakteristikker Simulering og realisering af passive filtre.

Øvelsesvejledning. Frekvenskarakteristikker Simulering og realisering af passive filtre. ELT2, Passive filter, frekvenskarakteristikker Øvelsesvejledning Frekvenskarakteristikker Simulering og realisering af passive filtre. Øvelsen består af 3 dele: 1. En beregningsdel som du forventes at

Læs mere

Lyd og lyddannelse. Baggrund lærer-elev

Lyd og lyddannelse. Baggrund lærer-elev NATUR & TEKNO- LOGI Baggrund lærer-elev Hvad er lyd? Lyd er længdebølger i luften. Længdebølger vil sige, at vibrationen sker på langs ad bevægelsesretningen. Hvis vi hænger en trappefjeder op i nogle

Læs mere

En virtuel monokord Beskrivelse af og forsøg med programmet SUPERMONOKORDEN

En virtuel monokord Beskrivelse af og forsøg med programmet SUPERMONOKORDEN Jørgen Erichsen En virtuel monokord Beskrivelse af og forsøg med programmet SUPERMONOKORDEN Ifølge overleveringen, som dog nok mere er en legende end en historisk kendsgerning, var det Pytagoras, som opdagede,

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

Matematik B. Højere forberedelseseksamen

Matematik B. Højere forberedelseseksamen Matematik B Højere forberedelseseksamen hfe32-mat/b-2908203 Torsdag den 29. august 203 kl. 9.00-3.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave -6 med i alt 6 spørgsmål.

Læs mere

1. Vibrationer og bølger

1. Vibrationer og bølger V 1. Vibrationer og bølger Vi ser overalt bevægelser, der gentager sig: Sætter vi en gynge i gang, vil den fortsætte med at svinge på (næsten) samme måde, sætter vi en karrusel i gang vil den fortsætte

Læs mere

Oscillator. Af: Alexander Rosenkilde Alexander Bork Christian Jensen

Oscillator. Af: Alexander Rosenkilde Alexander Bork Christian Jensen Oscillator Af: Alexander Rosenkilde Alexander Bork Christian Jensen Oscillator øvelse Formål Øvelse med oscillator, hvor frekvensen bestemmes, for den frie og dæmpede svingning. Vi vil tilnærme data fra

Læs mere

Tilstandskontrol. ved hjælp af vibrationsanalyse

Tilstandskontrol. ved hjælp af vibrationsanalyse VIBRO CONSULT Palle Aggerholm Tilstandskontrol ved hjælp af vibrationsanalyse Et minikursus med særlig henvendelse til vindmølleejere Adresse: Balagervej 69 Telefon: 86 14 95 84 Mobil: 40 14 95 84 E-mail:

Læs mere

PeterSørensen.dk : Differentiation

PeterSørensen.dk : Differentiation PeterSørensen.dk : Differentiation Betydningen af ordet differentialkvotient...2 Sekant...2 Differentiable funktioner...3 Bestemmelse af differentialkvotient i praksis ved opgaveløsning...3 Regneregler:...3

Læs mere

Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 0B1. Potenser og potensregler Hvis a R og n er et helt, positivt tal, så er potensen a som bekendt defineret ved: n (1) n

Læs mere

6 Plasmadiagnostik 6.1 Tætheds- og temperaturmålinger ved Thomsonspredning

6 Plasmadiagnostik 6.1 Tætheds- og temperaturmålinger ved Thomsonspredning 49 6 Plasmadiagnostik Plasmadiagnostik er en fællesbetegnelse for de forskellige typer måleudstyr, der benyttes til måling af plasmaers parametre og egenskaber. I fusionseksperimenter er der behov for

Læs mere

Fononiske Båndgab. Køreplan Matematik 1 - FORÅR 2004

Fononiske Båndgab. Køreplan Matematik 1 - FORÅR 2004 Fononiske Båndgab Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2004 1 Baggrund Bølgeudbredelse i materialer og medier (som f.eks. luft) er et fænomen, der kendes af alle og som observeres i forskellige former i

Læs mere

Hvad er det for nogle tal?

Hvad er det for nogle tal? Hvad er det for nogle tal? Ak ja tal er mærkelige og svære at arbejde med. I det følgende er en god portion matematik gemt, men jeg forsøger at formulere det sprogligt uden dog at love, at det bliver lysende

Læs mere

Svingningsrapport. Projektopgave 2, 41035 Dynamik og Svingninger Danmarks Tekniske Universitet Jakob Wulff Andersen, s112985

Svingningsrapport. Projektopgave 2, 41035 Dynamik og Svingninger Danmarks Tekniske Universitet Jakob Wulff Andersen, s112985 Projektopgave 2, 41035 Dynamik og Svingninger Danmarks Tekniske Universitet Jakob Wulff Andersen, s112985 Opgaverne er udregnet i samarbejde med Thomas Salling, s110579 og Mikkel Seibæk, s112987. 11/12-2012

Læs mere

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011 Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation

Læs mere

En harmonisk bølge tilbagekastes i modfase fra en fast afslutning.

En harmonisk bølge tilbagekastes i modfase fra en fast afslutning. Page 1 of 5 Kapitel 3: Resonans Øvelse: En spiralfjeder holdes udspændt. Sendes en bugt på fjeder hen langs spiral-fjederen (blå linie på figur 3.1), så vil den når den rammer hånden som holder fjederen,

Læs mere

Fasedrejning. Fasedrejning i en kondensator og betragtninger vedrørende RC-led.

Fasedrejning. Fasedrejning i en kondensator og betragtninger vedrørende RC-led. Fasedrejning Fasedrejning i en kondensator og betragtninger vedrørende RC-led. Følgende er nogle betragtninger, der gerne skulle føre frem til en forståelse af forholdene omkring kondensatorers og spolers

Læs mere

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller Komplekse tal En tilegnelse af stoffet i dette appendix kræver at man løser opgaverne Komplekse tal viser sig uhyre nyttige i fysikken, f.eks til løsning af lineære differentialligninger eller beskrivelse

Læs mere

Matematik projekt 4. Eksponentiel udvikling. Casper Wandrup Andresen 2.F 16-01-2009. Underskrift:

Matematik projekt 4. Eksponentiel udvikling. Casper Wandrup Andresen 2.F 16-01-2009. Underskrift: Matematik projekt 4 Eksponentiel udvikling Casper Wandrup Andresen 2.F 16-01-2009 Underskrift: Teorien bag eksponentiel udvikling er som sådan meget enkel. Den har forskriften: B er vores begndelsesværdi

Læs mere

Proffernes Hjørne. Introduktion. Ekkolods principper

Proffernes Hjørne. Introduktion. Ekkolods principper Proffernes Hjørne Tolkning af ekkolods billeder. Af Luke Morris (Lowrance Electronics) Oversat til dansk af Jens Sahl. E-mail: j-sahl@get2net.dk Billeder og tekst er venligst udlånt af Lowrance Electronics,

Læs mere

Logaritmiske Transformationer

Logaritmiske Transformationer Logaritmiske Transformationer Frank Nasser 23. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Oversigt: Så meget larmer bilerne i kabinen

Oversigt: Så meget larmer bilerne i kabinen Oversigt: Så meget larmer bilerne i kabinen Støj er noget møg. Også i bilen. Alle hader støj. Undtagen når den kaldes musik. F.eks tonerne fra en muskelsvulmende motor. Af Hans Uffe Christensen, 26. januar

Læs mere

Lyd, højtalerprincip og harmoniske. Højtaler princip

Lyd, højtalerprincip og harmoniske. Højtaler princip Lyd, højtalerprincip og harmoniske. Højtaler princip Oscilloscopet Kilde: http://www.doctronics.co.uk/scope.htm Følgende billede viser forsiden på et typisk oscilloskop. Nogle af knapperne og deres indstillinger

Læs mere

Øvelser 10. KlasseCenter Vesthimmerland Kaj Mikkelsen

Øvelser 10. KlasseCenter Vesthimmerland Kaj Mikkelsen Indhold Længdebølger og tværbølger... 2 Forsøg med frembringelse af lyd... 3 Måling af lydens hastighed... 4 Resonans... 5 Ørets følsomhed over for lydfrekvenser.... 6 Stående tværbølger på en snor....

Læs mere

fortsætte høj retning mellem mindre over større

fortsætte høj retning mellem mindre over større cirka (ca) omtrent overslag fortsætte stoppe gentage gentage det samme igen mønster glat ru kantet høj lav bakke lav høj regel formel lov retning højre nedad finde rundt rod orden nøjagtig præcis cirka

Læs mere

NOTAT. 1. Musikstøj fra Ungdomshuset, Dortheavej 61, 2400 København NV.

NOTAT. 1. Musikstøj fra Ungdomshuset, Dortheavej 61, 2400 København NV. NOTAT Projekt Ungdomshuset - Lydmålinger af støj og undersøgelse af forbedringer Kunde Københavns Kommune Notat nr. 1100023528-Notat-0-Musikstøj fra Ungdomshuset Dato 2016-07-01 Til Bjarke Nielsen, Københavns

Læs mere

Indhold. Svingninger & lyd Side_1

Indhold. Svingninger & lyd Side_1 Indhold Svingninger... 3 Egensvingninger og egenfrekvens... 3 Tacoma broen Ingeniørernes mareridt... 4 Bølgers egenskaber... 5 Bølger reflekteres... 5 Bølger interfererer... 5 Vandrende bølger... 6 Stående

Læs mere

Matematik A. Højere teknisk eksamen

Matematik A. Højere teknisk eksamen Matematik A Højere teknisk eksamen Matematik A 215 Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladte. Opgavebesvarelsen skal afleveres renskrevet, det er tilladt at skrive med blyant. Notatpapir

Læs mere

En funktion kaldes eksponentiel, hvis den har en regneforskrift, der kan skrives således: f(x) = b a x eller y = b a x, idet a og b er positive tal.

En funktion kaldes eksponentiel, hvis den har en regneforskrift, der kan skrives således: f(x) = b a x eller y = b a x, idet a og b er positive tal. Eksponentielle funktioner Indhold Definition:... 1 Om a og b... 2 Tegning af graf for en eksponentiel funktion... 3 Enkeltlogaritmisk koordinatsstem... 4 Logaritmisk skala... 5 Fordoblings- og halveringskonstant...

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

Theory Danish (Denmark)

Theory Danish (Denmark) Q1-1 To mekanikopgaver (10 points) Læs venligst den generelle vejledning i en anden konvolut inden du går i gang. Del A. Den skjulte metalskive (3.5 points) Vi betragter et sammensat legeme bestående af

Læs mere

Et udtryk på formena n kaldes en potens med grundtal a og eksponent n. Vi vil kun betragte potenser hvor grundtallet er positivt, altså a>0.

Et udtryk på formena n kaldes en potens med grundtal a og eksponent n. Vi vil kun betragte potenser hvor grundtallet er positivt, altså a>0. Konkrete funktioner Potenser Som udgangspunkt er brugen af potenser blot en forkortelse for at gange et tal med sig selv et antal gange. Hvis a Rskriver vi a 2 for a a a 3 for a a a a 4 for a a a a (1).

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG INDHOLDSFORTEGNELSE 1 Formelsamling... side 2 1 Introduktion... side 3 2 Grundlæggende færdigheder... side 4 2a Finde konstanterne a og b i en formel... side

Læs mere

introduktion TIL LÆREREN

introduktion TIL LÆREREN Lyd, larm & løjer 1 lyd, larm & løjer Indhold s introduktion TIL LÆREREN Dette er en vejledning til Lyd, larm og løjer, som er en formidlingsaktivitet om lyd. Den er målrettet 7. klassetrin. I vejledningen

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen

Matematik A. Studentereksamen Matematik A Studentereksamen stx103-mat/a-101010 Fredag den 10. december 010 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

Den frie og dæmpede oscillator

Den frie og dæmpede oscillator Ida Nissen - 80385 Maria Wulff - 140384 Jacob Bjerregaard - 7098 Morten Badensø - 40584 Fysik Lab.øvelser Uge Den frie og dæmpede oscillator Formål Formålet med denne øvelse er at studere den harmoniske

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU 2g

MATEMATIK A-NIVEAU 2g NETADGANGSFORSØGET I MATEMATIK APRIL 2009 MATEMATIK A-NIVEAU 2g Prøve April 2009 1. delprøve: 2 timer med formelsamling samt 2. delprøve: 3 timer med alle hjælpemidler Hver delprøve består af 14 spørgsmål,

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 11 sider Skriftlig prøve, lørdag den 12. december, 2015 Kursus navn Fysik 1 Kursus nr. 10916 Varighed: 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler tilladt "Vægtning":

Læs mere

Indhold En statistisk beskrivelse... 3 Bølgefunktionen... 4 Eksempel... 4 Opgave 1... 5 Tidsafhængig og tidsuafhængig... 5 Opgave 2...

Indhold En statistisk beskrivelse... 3 Bølgefunktionen... 4 Eksempel... 4 Opgave 1... 5 Tidsafhængig og tidsuafhængig... 5 Opgave 2... Introduktion til kvantemekanik Indhold En statistisk beskrivelse... 3 Bølgefunktionen... 4 Eksempel... 4 Opgave 1... 5 Tidsafhængig og tidsuafhængig... 5 Opgave 2... 6 Hvordan må bølgefunktionen se ud...

Læs mere

Potensfunktioner og dobbeltlogaritmisk papir

Potensfunktioner og dobbeltlogaritmisk papir 1 Potensfunktioner og dobbeltlogaritmisk papir OBS: til skriftlig eksamen skal du kun kunne aflæse på en graf, der allerede er indtegnet på dobbeltlogaritmisk papir. Du kan ikke komme ud for at skulle

Læs mere

Sampling og aliasing. Datalogisk Institut Københavns Universitet. Kapitel 4 c Jens D. Andersen

Sampling og aliasing. Datalogisk Institut Københavns Universitet. Kapitel 4 c Jens D. Andersen Sampling og aliasing (Kapitel 4) Jens D. Andersen Datalogisk Institut Københavns Universitet p.1/32 Sampling og aliasing Konvertering af signaler mellem analog (kontinuerttids-) og digital (diskrettids-)

Læs mere

Dynamik. 1. Kræfter i ligevægt. Overvejelser over kræfter i ligevægt er meget vigtige i den moderne fysik.

Dynamik. 1. Kræfter i ligevægt. Overvejelser over kræfter i ligevægt er meget vigtige i den moderne fysik. M4 Dynamik 1. Kræfter i ligevægt Overvejelser over kræfter i ligevægt er meget vigtige i den moderne fysik. Fx har nøglen til forståelsen af hvad der foregår i det indre af en stjerne været betragtninger

Læs mere

HIFI4ALL.DK Udskriv Lyd & Højttalerbyg - 1. del

HIFI4ALL.DK Udskriv Lyd & Højttalerbyg - 1. del Side 1 af 8 HIFI4ALL.DK Lyd & Højttalerbyg - 1. del Arne Rodahl [10.09.2007] Lydlære, akustik og psykoakustik - 1. del af Arne Rodahls artikelserie omhandlende den forunderlige verden omkring lyd og højttalerbyg.

Læs mere

Hvor hurtigt kan du køre?

Hvor hurtigt kan du køre? Fart Hvor hurtigt kan du køre? I skal nu lave beregninger over jeres testresultater. I skal bruge jeres testark og ternet papir. Mine resultater Du skal beregne gennemsnittet af dine egne tider. Hvilket

Læs mere

Hvad er en funktion? Funktioner og graftegning. Funktioners egenskaber. Funktioners egenskaber. f(b) y = f(x) f(a) f(a)

Hvad er en funktion? Funktioner og graftegning. Funktioners egenskaber. Funktioners egenskaber. f(b) y = f(x) f(a) f(a) Funktioner og graftegning Jeppe Revall Frisvad September 29 Hvad er en funktion? En funktion f er en regel som til hvert element i en mængde A ( A) knytter præcis ét element y i en mængde B Udtrykket f

Læs mere

Projektopgave Observationer af stjerneskælv

Projektopgave Observationer af stjerneskælv Projektopgave Observationer af stjerneskælv Af: Mathias Brønd Christensen (20073504), Kristian Jerslev (20072494), Kristian Mads Egeris Nielsen (20072868) Indhold Formål...3 Teori...3 Hvorfor opstår der

Læs mere

Kapital- og rentesregning

Kapital- og rentesregning Rentesregning Rettet den 28-12-11 Kapital- og rentesregning Kapital- og rentesregning Navngivning ved rentesregning I eksempler som Niels Oles, hvor man indskyder en kapital i en bank (én gang), og banken

Læs mere

Repetition til eksamen. fra Thisted Gymnasium

Repetition til eksamen. fra Thisted Gymnasium Repetition til eksamen fra Thisted Gymnasium 20. oktober 2015 Kapitel 1 Introduktion til matematikken 1. Fortegn Husk fortegnsregnereglerne for multiplikation og division 2. Hierarki Lær sætningen om regnearternes

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj juni 2014 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold VUF - Voksenuddannelsescenter Frederiksberg

Læs mere

DIFFERENTIALREGNING Hvorfor er himlen blå?

DIFFERENTIALREGNING Hvorfor er himlen blå? DIFFERENTIALREGNING Hvorfor er himlen blå? Differentialregning - Rayleigh spredning - oki.wpd INDLEDNING Hvem har ikke betragtet den flotte blå himmel på en klar dag og beundret den? Men hvorfor er himlen

Læs mere

Apparatur: 1 EV3 startkasse, målebånd, sort bred lærredstape, oplader, kan benyttes som passer, kridt, plader til at lave bakker med, niveauborde.

Apparatur: 1 EV3 startkasse, målebånd, sort bred lærredstape, oplader, kan benyttes som passer, kridt, plader til at lave bakker med, niveauborde. Lego Mindstorms Education EV3 Projektarbejde med Lego Mindstorms version EV3. til Windows 7og 8 og Mac Apparatur: 1 EV3 startkasse, målebånd, sort bred lærredstape, oplader, kan benyttes som passer, kridt,

Læs mere

KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE

KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE Fysik 2, Klassisk Mekanik 2 Skriftlig eksamen 16. april 2009 Tilladte hjælpemidler: Medbragt litteratur, noter og lommeregner Besvarelsen må

Læs mere

Noter til Computerstøttet Beregning Taylors formel

Noter til Computerstøttet Beregning Taylors formel Noter til Computerstøttet Beregning Taylors formel Arne Jensen c 23 1 Introduktion I disse noter formulerer og beviser vi Taylors formel. Den spiller en vigtig rolle ved teoretiske overvejelser, og også

Læs mere

Elektronikkens grundbegreber 1

Elektronikkens grundbegreber 1 Elektronikkens grundbegreber 1 B/D certifikatkursus 2016 Efterår 2016 OZ7SKB EDR Skanderborg afdeling Lektions overblik 1. Det mest basale stof 2. Både B- og D-stof 3. VTS side 21-28 4. Det meste B-stof

Læs mere

Fysiknoter 1. Bølgebevægelser. Contents. Udbredelse af forstyrrelser

Fysiknoter 1. Bølgebevægelser. Contents. Udbredelse af forstyrrelser Fysiknoter I denne første forelæsning vil vi indledningsvis se på generelt på bølgefænomener (6,,4), fortsætte med noget om lydbølger (7-4), og slutte med ultralyd, hvor vi skal se på kapitel og i denne

Læs mere

Svingninger & analogier

Svingninger & analogier Fysik B, 2.år, TGK, forår 2006 Svingninger & analogier Dette forsøg løber som tre sammenhængende forløb, der afvikles som teoretisk modellering og praktiske forsøg i fysiklaboratorium: Lokale 43. Der er

Læs mere

Wavelet Analyse. Arne Jensen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet

Wavelet Analyse. Arne Jensen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Wavelet Analyse Arne Jensen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1 Introduktion Numb3rs episoden on pengeforfalskning brugte wavelet analyse. Wavelet analyse er en relativt ny opdagelse, som

Læs mere