Opgave 1: Regressionsanalyse

Transkript

1 Opgave : Regressiosaalyse La u, x,..., u, x være par af reelle al. Vi skal u besemme e ree liie, er passer bes me isse alpar i e forsa a summe x s α βu s miimeres. Ma fier alså e liie, x ˆα + ˆβu, for hvilke summe af kvaraere på pukeres loree afsa il liie er mis mulig. Dee kales mise kvaraers meoe. a Vi aager a ikke alle u ere er es, og a u s 0. Vi skal vise, a liie, er besemmes ve mise kvaraers meoe, er give ve ˆα x s α βu s i x i ˆβ x su s u s x s αx s + α βu s x s + αβu s + β u s x s α + βu s x s + β u s + αβ u s, hvor e bemærkes, a e sise le er ul. Vi skal prøve a miimere e o summer. De bemærkes, a begge er glae parabler, alså har miimum, hvor e aflee er ul. Vi iffereierer alså mh. hhv. α og β. α β x s α βu s x s + β u s De vil sige: 0 ˆβ α x s α α x s α u s x s + βu s β 0 ˆα u s u s x s ˆα x s u s x s ˆβ u sx s u s x s u s x s La X,..., X være uafhægige, ormalforele sokasiske variable, hvor X s Nα + β s, σ me α, β R og σ > 0. Aag, a alle ere ikke er es, og efier X X s, og ˆβ X s s,

2 hvor s, og s. b Vis, a X Nα, σ / og ˆβ Nβ, σ / sam a X og ˆβ er ukorreleree: De ses, a er gæler s s + s + i i s + i 0 Da X,..., X er uafhægige, ormalforele sokasiske variable, følger e af sæig 6.3., a X X s er ormalforel me mielværi E X E X s E X s EX s α + β s α + β s α, hvor e almielige regeregler for mielværi blev beye, og sæig 6.3. blev brug ve e reje ligheseg. Ve brug af regeregler for varias og 6.3. ige fås ligeså: Var X Var Alså haves X Nα, σ /. X s Var X s VarX s σ σ. Som ovefor følger liglees af sæig 6.3. a ˆβ er ormalforel me mielværi: i

3 E ˆβ E X s s EX s s α + β s s α s + β s α s + β β + α s β, og varias: Var ˆβ Var s s s VarX s σ s σ Alså haves ˆβ Nβ, σ /. Fra efiiio har vi, a VarX s s s σ σ. corr X, ˆβ Cov X, ˆβ Var XVar ˆβ så for a vise a X og ˆβ er ukorreleree, skal vi blo vise, a Cov X, ˆβ 0. Ve brug af 3.8.3, 3.8.4, og sæig ses e a Cov X, ˆβ Cov X s, X s s Cov X i, X s s i Cov X s s, X i i s Cov X s, X i i s VarX s σ s 0. 3

4 Opgave : -es for o sikprøver c I følge sæig er X ormalforel me mielværi µ og varias σ, og s er σ χ -forel me frihesgraer, og erme er s σ χ -forel me frihesgraer. Eviere er X og s uafhægige ifølge sæig 8.3.3, og erme er X og s uafhægige. Tilsvaree ses e, a X er ormalforel me mielværi µ og varias σ, s σ er χ -forel me frihesgraer, og X og s er uafhægige. Ve a sæe k, +, og X X, X X,..., X k X k, X X k+, X X k+,..., X X og ve a lae ϕ være fukioe fra R k i i R er seer x,..., x k i i k k i x i og lae ψ være fukioe fra R k i i R, er seer x,..., x k i i k k x s k k x s ses e ve brug af sæig [3 sår førs æv efer bevise for sæige] a X og s er uafhægige. Tilsvaree ses e a X og X, s og X sam s og s er uafhægige. Vi skal fie forelige af s s + s, +. Vi så i c, a Me så er s σ χ og s σ χ σ S s σ χ og σ S s σ χ Vi ka u række kosae σ ue for pareese og omskrive e o sokasiske variable S, S il Γ-foreliger, jævfør MS s.m, og vi får, a s σ S + S, hvor S i er Γ-forel me formparameer α i i, i, og skalaparameer β i. Ve hjælp af MS Sæig 8..3 ka vi sammeskrive S + S il e y Γ-forelig, S, me formparameer α + og skalaparameer β. Me så er S χ me f frihesgraer, ige jævfør MS s.m. Alså er Z s σ χ σ χ f f ifølge MS s.5m. s er alså e Γ-forelig me formparameer k/ og skalaparameer σ /f, eller s σ χ. 4

5 e Ifølge c er X og X uafhægige ormalforeliger me h.h.v. mielværi µ og µ og varias σ og σ. Derme er X ormalforel me mielværi µ ifølge sæig 5..5 og varias σ, a VarbXb VarX, og ifølge sæig 6.3. er X X så ormalforel me mielværi µ µ 0 a e aages a µ µ og varias σ + σ σ +. Ve a sæe k, 4, X X, X X, s X 3 og s X 4 og ve a lae ϕ være fukioe fra R i i R er seer x, y i i x y, og lae ψ være fukioe fra R i i R er seer x, y i i x + y ses e ve brug af sæig [3 sår førs æv efer bevise for sæige] a X X og s er uafhægige. f Da X X er ormalforel me mielværi 0 og varias σ + σ, ka e skrives som σ + X, hvor X er e saar ormalforelig, og a Y s χ, gæler er ie vi aager s > 0, a σ T X X s + σ + X σ χ + X Y/ så T er -forel me frihesgraer, a X X og s er uafhægige ifølge e, og X og Y erme er uafhægige. g T ka avees for a sammelige o sæ observaioer, som ma aager kommer fra hver si ormalforelig X og X me samme varias. Vi har ie opgave e aage, a e også har samme mielværi µ µ. T ka så bruges som essørrelse il a afgøre, om aagelse om ormalforeligeres samme mielværi ka verificeres. 5