OPGAVER 1.g. x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium

Transkript

1 OPGAVER 1.g Introduktion: Maple, funktioner og regression Grundlæggende matematiske begreber (del 1) Geometri og trigonometri Introduktion til vektorer Grundlæggende matematiske begreber (del &) Uendelighedsbegrebet Funktioner -klasserne Gammel Hellerup Gymnasium

2 Indholdsfortegnelse Introduktion... Grundlæggende matematiske begreber (del 1)... 4 Geometri og trigonometri... 6 Introduktion til vektorer... 9 Grundlæggende matematiske begreber (del &) Funktioner... 6 FACITLISTE... 49

3 Introduktion Opgave 0010: Et tændt stearinlys står på en vægt, der angiver massen af stearinlyset. Med et ur måles tiden i minutter. Man får følgende målinger: a) Bestem ved hjælp af regression den lineære funktion, der bedst beskriver situationen. b) Hvad er massen af stearinlyset ifølge modellen efter 7 minutter? c) Hvornår er lyset brændt ned? d) Hvor mange gram af lyset afbrændes i minuttet? Opgave 001: Et termometer er baseret på ledningsevne. Følgende data er oplyst, og modellen, der beskriver spændingsforskellen som funktion af temperaturen, er lineær: a) Bestem en funktionsforskrift, der angiver spændingsfaldet som funktion af temperaturen. b) Hvad er spændingsfaldet ifølge modellen, når temperaturen er 10 C? c) Ved hvilken temperatur måles et spændingsfald på,1 mv? d) Ved hvilken temperatur måles et spændingsfald på 0 mv? e) Hvor meget skal temperaturen øges, for at spændingsfaldet øges med 0,5 mv? Opgave 000: Indiens befolkningstal N (angivet i millioner) var til tiden t (angivet i antal år efter 1960) givet ved: Antal år efter Befolkningstal i Indien i millioner Det antages, at befolkningstallet i Indien kan beskrives ved en eksponentiel N t b a. udvikling t a) Bestem a og b. b) Hvor mange procent vokser Indiens befolkningstal med om året? c) Hvad er fordoblingstiden for Indiens befolkningstal ifølge modellen? d) Hvad var befolkningstallet i Indien ifølge modellen i 1977? e) Hvornår vil befolkningstallet i Indien ifølge modellen overstige 1 milliard? f) Hvad var befolkningstallet i Indien i år 0 ifølge modellen? Kommentér resultatet. Opgave 000: En oversigt over vægt og diameter af kirkeklokkerne i Saint Patrick s Cathedral i Dublin er givet i nedenstående tabel: Diameter (i tommer) 9,5 1,5 4,0 5,0 8,0 4,0 47,0 49,5 55,0 6,0 Vægt (i pund) a Det antages, at vægten V (angivet i pund) er givet ved en potensvækst V d b d, hvor d er diameteren (målt i tommer). a) Bestem konstanterne a og b. b) Hvor meget vejer ifølge modellen en kirkeklokke med diameteren 6,5 tommer? c) Hvor stor skal diameteren ifølge modellen være, for at vægten er 4000 pund? d) Med hvor mange procent øges vægten af en kirkeklokke, når diameteren øges med 0%? e) Hvor mange procent skal diameteren øges med, hvis vægten skal fordobles?

4 Grundlæggende matematiske begreber (del 1) Opgave 1000: Se på følgende mængder: A B C D blå,gul,grøn, E gul,grøn,rød, F gul,grøn,dør 1,,,,,1, 1,,,4, Afgør følgende spørgsmål med ja/nej : a) A B? b) A C? c) D E? d) E F? Opgave 1010: Se på følgende mængder: A 1,,5,7, B, C,5,7,1, D 1,, E 1,,5,7,9, F 5, G 1,7, a) Hvilke af mængderne B, C, D, E, F og G er delmængder af A. b) Hvilke af mængderne B, C, D, E, F og G er ægte delmængder af A. Opgave 100: Se på følgende mængder: A 1, 4,9,, B, C 1,,5,9,11 og D 1,,5 Bestem følgende udtryk og tjek resultatet med Maple (, og \ findes under Common Symbols ). a) AC b) AD c) AB d) AC e) A D f ) A B g) A \ C h) C \ A i) A \ B j) B \ A k) D \ C l) D \ A m) C D n) B D o) C D p) B D q) AC D r) A B C s) AC D t) A B C D Opgave 100: Lad grundmængden være G {1,,,4,5,6,7,8,9,10}, og lad,,4,7,, {1,,,4,5,6,7,8,9,10} og 1 A B D E a) Bestem komplementærmængderne til A, B, D og E. Lad nu grundmængden være G1 {1,,,...,11} b) Bestem komplementærmængderne til A, B, D og E. Opgave 1100: Omskriv følgende endelige decimalbrøker til brøker med hele tal i tæller og nævner. Tjek dine facit med Maple ved højreklik på tallet og Conversions og Eact Rational : a) 8, b) 10,9 c) 0,011 d),197 e) 0, f ) 0,018 Opgave 1110: Omskriv følgende periodiske uendelige decimalbrøker til brøker med hele tal i tæller og nævner. a) 5, b),7 c) 0,1675 d) 6,914 e )4, Opgave 1190: Løs følgende ligninger (anvend nulreglen og tjek med Maple): a) 5 0 ; G b) ; G c) 5 0 ; G 6 d) ; G Opgave 100: Reducér følgende udtryk: 6 a) a b a b a c b) y z y z c) a b a b a b d) z y z y Opgave 110: Reducér følgende udtryk: a) y y b) a b c) a b a b d) a b 4a b e) y 4z f ) y y g) ab 4a ab 5 b h) y 4y y y 4

5 Opgave 10: Reducér følgende udtryk til ét tal eller én brøk med hele tal i tæller og nævner: ) ) 1 ) 4 )7 ) 5 ) ) 5 ) a b c d e f g h i) j) Opgave 10: Reducér følgende udtryk til ét tal eller én brøk med hele tal i tæller og nævner: a) b) c) d) e) f ) g) h) i) j) Opgave 140: Reducér følgende udtryk: a a b a y a 4a a) b) c) d) e) f ) g) a 6 9 Opgave 100: Anvend potensregnereglerne til at bestemme følgende: a 1 11 c c 4 a) b) c) d)5 9 e) a f ) g) a 1 6 c 5 k 5 k 4 s s 1 f h) i)7 7 7 j) k) l)6 9 f f k t y y Opgave 110: Omregn (i hånden) følgende til uforkortelige brøker og tjek med Maple: a)6 b)5 c)7 d) e) f ) g) h) Opgave 10: Bestem (i hånden) følgende rødder og tjek med Maple: 1 1 a b c d e f g ) 7 ) 5 ) ) 14 ) ) ) h i j k l m ) 1 ) 1 ) 8 ) 9 ) 7 ) Opgave 10: Beregn følgende i hånden og tjek med Maple: a)9 b)16 c) 5 d) 7 e)15 f )16 g)81 h)9 i) j)81 16 Opgave 140: Beregn følgende i hånden og tjek med Maple: a)100 b)1000 c) 5 d) 1000 e) 7 f ) 8 g) 8 h) i) 8 7 Opgave 150: Forudse, hvordan Maple vil omskrive følgende udtryk, og tjek det: a) 0 b) 18 c) 6 d) 100 e ) 7 Opgave 160: Beregn i hånden følgende rødder: a) 8 b) c) 9 d) 7 e) f ) 5 g) 1 1 h) i) 8 4 Opgave 1900: Bestem den numeriske værdi af følgende tal og tjek med Maples og abs( ). 1 7 a)8 b) 1 c)5 d) 0 e) f ) 4,56 g) 0,18 h) i) j) k) Opgave 1910: Løs i hånden følgende ligninger og uligheder. Tjek med Maples solve. a) 4 b) c) 8 d) 9 e) 5 1 f ) 5 9 g) 4 h) 1 4 i) 8 j) 4 k) l) 5 1 m) 6 1 n) 7 o) 4 5 p) a 5

6 Geometri og trigonometri Opgave 00: Et ret højt træ kaster en ret lang skygge. En m høj pæl placeres lodret 9 m fra træet, så deres skygger ender i samme punkt. Pælens skygge er 5 m lang. Som angivet på figuren gælder altså: BC m, AB 5m og BF 9m Bestem højden af træet. Opgave 01: Trekanterne AHP og BFD er ensvinklede med A B, H F og P D. Nogle af sidelængderne er angivet på figuren. Bestem HP og BF (svarene kan med fordel angives som brøker). Opgave 0: På figuren er trekanterne ABC og CDE tegnet mellem de parallelle linjestykker AB og DE: Begrund, at trekanterne ABC og CDE er ensvinklede. Bestem de to manglende sidelængder i trekanterne. Opgave 040: Bestem de manglende sider og vinkler i følgende trekanter. a) ABC : C 90, a 8, B 9 b) RPS : P 90, p 1, s 10 c) QWA : A 90, q 15, w 17 Opgave 050: Bestem i hånden (på øjemål eller med matematiske ræsonnementer) følgende størrelser og tjek efterfølgende med Maples invsin, invcos, invtan (vinkler i grader) og arcsin, arccos, arctan (vinkler i radianer): 1 1 Vinkler i grader: a) tan 1 1 b)sin 1 c)cos 1 d) tan 1 1 Vinkler i radianer: e) tan 1 f )sin g)cos h)cos 6.

7 Opgave 060: Bestem arealet af nedenstående trekanter: Opgave 061: I FST er S 56, FS 17,4og ST 8,6. Bestem arealet af FST. Opgave 06: I ADE er A 1, E 67 og e 1,8. Bestem længden af siden a. Opgave 06: I ABC er B 1, a 1,7 og b 18,. Bestem A. Opgave 064. I BKL er B 6, b 1,7 og k 16,. Bestem K, når det oplyses, at den er Opgave 065: I stump. CGK er følgende stykker oplyst: C 68, c 9, og G 4. Bestem de manglende stykker i trekanten. Opgave 066: DEF har arealet 18, og d 9og f 5. Bestem E, når det oplyses, at den er stump. Opgave 067: I ALP er h 4, l 7 og p 6. Bestem A, når det oplyses, at den er stump. l Opgave 070: I ADE er a 14,7, d 11, og e 18,. Bestem vinklerne i trekanten. Opgave 07: I AJM er J 117, a,9 og m 17,. Bestem j. Opgave 07: I ABC er oplyst følgende stykker: a 14,, b 46,9 og c 9,8. Bestem vinklerne i trekanten samt arealet af trekanten. Opgave 074: I ABC er b,5 a og c 1,8 a. Bestem A. Opgave 078: Det hævdes, at en trekant har sider med længderne 4, 9 og 17. Bestem vinklerne. Opgave 080: En trekant har sidelængderne, 5, og 41. Bestem trekantens areal. Opgave 08: I BCN er b7,og n 9,1, og trekantens areal er 7,54. Bestem BN, når det oplyses, at BC er den længste side i trekanten. Opgave 084: Hvilket areal giver arealformlen, hvis den anvendes på følgende sidelængder: a) 1, og b) 1, 1 og c) 1, og 4 d), 4 og 5 Opgave 090 (Det dobbelttydige trekanttilfælde): Bestem i følgende tilfælde de mangler stykker i den eller de trekanter, der kan være tale om, eller afgør, at ingen trekanter opfylder betingelserne: a) A 48, a 11 og b 8 b) A 6, a 9 og b 1 c) A 10, a 1 og b 6 d) A 0, a 1 og b e) A 5, a 4 og b 7 f ) A 60, a 9 og b 9 g) A 10, a 1 og b 1 7

8 Opgave 100: En person står på en strand i punktet A (se figuren nedenfor). 50 m henne ad stranden i punktet B står en parasol, og ud fra denne vinkelret på vandlinjen befinder svømmerne C og D sig. Fra person A danner sigtelinjerne til parasollen og svømmer C vinklen 14. Fra person A danner sigtelinjerne til svømmer C og D vinklen 7. a) Bestem afstanden mellem svømmerne C og D. b) Bestem ACD. Opgave 10: I trekant GHP kaldes medianen fra G s fodpunkt på linjestykket HP for D. Det oplyses, at GH 7, HP 15 og GHP 40 a) Bestem arealet af trekant GHP. b) Bestem GP. c) Bestem GDP. Opgave 104: Et område med fiskeforbud for sej (Pollachius virens) i Østersøen øst for Bornholm har form som en firkant ABCD, se figuren. Der gælder at A = 98, AB = 75 km, AD = 84 km, BC = 99 km og CD = 11 km. a) Bestem afstanden fra B til D. b) Bestem arealet af firkant ABCD. Opgave 106: Bestem vinklen mellem to C-H-bindinger i et methanmolekyle (H-atomerne sidder som hjørnerne i et regulært tetraeder. Hint: Tegn hjælpetrekanter i forskellige planer og udnyt vores viden om medianer. 8

9 Introduktion til vektorer Opgave 010: Bestem i hvert af nedenstående spørgsmål hvilken eller hvilke vektorer, der : a) Er lig med a. b) Er ensrettet med a. c) Er modsatrettet a. d) Er en modsat vektor til a. e) Er nulvektoren. f) Har samme længde som a. g) Er parallelle med a. h) Er en enhedsvektor. i) Har længden 6,5. j) Er ortogonal med q. k) Ikke er egentlige vektorer. l) Er lig med AB. m) Er lig med BA. n) Er ortogonal med AC. o) Er ortogonal med CA. Svar desuden på følgende spørgsmål: p) Er s r? q) Er AC CB? r) Hvad er g? s) Er AA c? t) Er f g? u) Er a r? v) Erb d? w) På hvor mange af ovenstående spørgsmål ændres svaret, hvis samtlige vektorer ovenfor parallelforskydes vilkårligt på hver sin måde? 9

10 Opgave 00: Bestem for nedenstående vektorer og punkter følgende : a) a b b) r p c) b m d) AB BC e) s m d f ) BC CA g) v r d u h) AB BD DC i) BC CD DA AB j) s c k) AE EB BC CD DA Opgave 0: Det oplyses, at a b c, at a 7 og c 9 samt at vinklen mellem vektorerne aog cer 7. Bestem b. Opgave 00: Indtegn i følgende skema de angivne vektorer med udgangspunkt i de sorte punkter, der er angivet som hørende til de enkelte spørgsmål. a) b b) 1 a c) b d) a b e)0 a f ) b 1 a g) 4b a Opgave 040: Indtegn i følgende skema de angivne vektorer med udgangspunkt i de sorte punkter, der er angivet som hørende til de enkelte spørgsmål. a) a c b) c b c) b a d) a b c e) a a f ) a b g) c b a h) c b a 10

11 Opgave 04: Det oplyses, at a 1og b 8, samt at vinklen mellem aog ber 114. Bestem a b. Opgave 050: Bestem længden (størrelsen) af normalkraften F n og den resulterende kraft F res i nedenstående situation, hvor en klods trækkes hen over et bord, og bestem den vinkel v, som trækkraften danner med vandret Opgave 05: Skiløberen nedenfor er som vist på figuren udelukkende påvirket af tyngdekraften og normalkraften (dvs. der ses bort fra alle former for gnidning). Vinkel med vandret er v 4, og F 659 N. t Opgave 060: To biler støder sammen. De kører som vist på figuren langs retninger vinkelret på kg m kg m hinanden. Lige inden sammenstødet er p1 400 og p 700. s s a) Bestem størrelsen af den samlede bevægelsesmængde p samlet. b) Bestem vinklen mellem p og p samlet. a) Bestem størrelserne af normalkraften og den resulterende kraft F og F. b) Hvor stor skal vinklen v være, før den resulterende kraft får længden 00 N? c) Hvad ville psamlet have været, hvis vinklen mellem p1og p var 40? n res 11

12 Opgave 06: To kugler støder sammen som vist på figuren. Alle bevægelsesmængder p er angivet i enheden kg m. Det oplyses, at p1, før 1,6, p, før 1,7 og p, efter 1,. s Desuden oplyses det, at vinklen v mellem p, før og p1, før er 6, samt at vinklen w mellem p, før og p, efter er 4. Beregn længden af p 1,efter. Opgave 070: Angiv følgende udtryk som én vektor: a) ST TP b) OA AB c) AB BC CD d) VF FF FA e) AD DW WL LS SR f ) AB BC CA g) AB CD BC h) PS LE DP EK SL i) ED FK CE WF DC Opgave 080: Opløs nedenstående vektorer efter retninger givet ved sættet v1, v. Eksempel: a v1 1 v Opgave 08: For hvilke af følgende talpar er det ikke muligt at finde en heltals-linearkombination, der giver 1:,1, 7,1, 4,18, 1,15, 8,5, 15,1 og 8,6? Opgave 084: For vektorer i planen angivet ved koordinater gælder følgende regneregler: a1 b1 a1 b1 t a1 a og b a b t a a b a b t a 1 Opløs de angivne vektorer efter retninger givet ved sættet v1, v,hvor v1 og v c, d, f, g og h

13 1

14 Opgave 090: Indtegn - og y-komposanterne og angiv vektorerne på koordinatform: Opgave 09: Hvilken sammenhæng skal gælde mellem koordinaterne i de to vektorer skal være ortogonale (dvs. a b)? a1 b1 a og b, hvis a b Opgave 100: En person sidder i Tivolis forlystelse Himmelskibet. Han sidder i sædet og bevæger sig derfor i en cirkel rundt om den lilla søjle på figuren. Der ses bort fra alle andre kræfter end tyngdekraften på person-og-sæde og trækkraften fra kæderne. Som vist på figuren er trækkraften fra kæden 1780 N, og kæder danner vinklen 57 med lodret. a) Bestem størrelsen af tyngdekraften på person-og-sæde. b) Bestem størrelsen af den resulterende kraft (centripetalkraften). c) Bestem afstanden fra sædet til den lilla søjle. 14

15 Opgave 10: To biler støder sammen i et T-kryds. Den samlede bevægelsesmængde lige efter 6 kg m sammenstødet er 9, 10. De stiplede linjer angiver bilernes bevægelser op til s sammenstødet. Bestem bevægelsesmængderne af de to biler lige inden sammenstødet. Opgave 104: Et spyd kastes med en vinkel på med vandret og begyndelseshastigheden m 0 s. Bestem størrelserne af hastighedens -og y-komposanter fra start. Opgave 106: En klods står stille på et skråplan med en hældning på 5. Gnidningskraften er 78 N. Bestem størrelserne af normalkraften og tyngdekraften på klodsen. Opgave 110: Vi lader A F s. Bestem A i følgende situationer. a) F 50N og s 0m, og vinklen mellem de to vektorer er 0. b) F 80N og s 50m, og vinklen mellem de to vektorer er 90. c) F 5N og s 16m, og vinklen mellem de to vektorer er 180. d) F 170N og s 6m, og vinklen mellem de to vektorer er 0. 15

16 Grundlæggende matematiske begreber (del &) Opgave 4000: Afgør i hvert af nedenstående tilfælde, om der er tale om et algebraisk udtryk (ja/nej). Hvis det er et algebraisk udtryk, skal du om muligt udregne eller reducere det. a) 8 5 b) 6 5 c) 5a 7b a 1b d) 5 7 e) y y 1 f ) 50 8 g) 98 h) i) 7 a a 6 j) a a Opgave 4005: Udregn følgende algebraiske udtryk i hånden. Tjek resultatet ved at indtaste udtrykket i Maple: 4 a) 7 b) 9 4 c)5 4 d) e) 4 f ) g)5 4 h) 5 i) j) 5 k) l)7 4 m) n) Opgave 4010: Angiv de skjulte parenteser i disse algebraiske udtryk: a b 4 a) 7 b) c) 4 d) 59 e) f ) 9 a 4b ) 5 ) ) 4 ) g h i j 1 k) Opgave 4011: Sæt de skjulte parenteser og udregn eller reducér de algebraiske udtryk: a) 1 4 b) c) d)10 e) Opgave 401: Sæt først de skjulte parenteser og udregn eller reducér efterfølgende de algebraiske udtryk. Tjek, at antallet af skjulte parenteser er det samme som værdien af udtrykket. a) b) Opgave 400: Angiv antallet af led i nedenstående algebraiske udtryk. a) b) c) a y y y 6 4 5y 1 y d) 1 e) c) d)

17 Opgave 405: Reducér følgende algebraiske udtryk og tjek med Maple (anvend epand ). 5 7 a 8b 6 4a y c a) b) c) 4 a a d) a b b e) a b a 4b f ) a b ca b c 4 h) a g) y Opgave 400: Anvend kvadratsætningerne til at udregne nedenstående algebraiske udtryk. Tjek resultatet ved at anvende epand i Maple. a) y b) a b a b a b c) d) y e) 5a b 5a b f ) 5 g) 4 5y h) 4y i) 6a b Opgave 40: Anvend om muligt kvadratsætningerne til at udregne følgende algebraiske udtryk. Hvis det ikke er muligt, skal du anvende parentesregneregler. Tjek resultatet med epand i Maple. a) b) 4a b 4a b c) y y d) e) 5a b 5 a b f ) 4 b b 4 1 g) a b h) i) 5a b b 5a j) y k) 1 y 4 1 y 4 Opgave 404: Reducér nedenstående udtryk. Tjek resultatet med Maples simplify (højreklik på udtrykket og vælg simplify simplify ) a) a 4b a 6a b a b) 4a a b 8a c) 4 y 4y y d) y y 4 1 e) a b 6a b a f ) y 6 y 4 g) a b 5a b a b h) a a a 4a Opgave 4040: Anvend kvadratsætningerne fra højre mod venstre og omskriv nedenstående. Tjek resultatet ved at anvende Maples factor. a) a 6 1a b) 1 c) e) 9a 4b d) 9 1y 4y 9c 16 f ) 4a 16ay 16y 4 g) 9a b 4c 1ab c h) 4 y 64y Opgave 404: Anvend om muligt kvadratsætningerne fra højre mod venstre og omskriv nedenstående. Tjek resultatet ved at anvende Maples factor. a) 9 4y 1 y b) 16a 5b c y y d ) 4 8 ) e) y 6y 6 f ) 16s t g) 6 5y 60 y h) 4y y 17

18 Opgave 4050: Foretag kvadratkomplettering på følgende algebraiske udtryk og tjek med Maplepakken Student[Precalculus] og kommandoen CompleteSquare( ): a) 8 b) y 6 y c) z 16 z d) 10 e) y 4y f ) 6 y 4 y g) 4 y 1y z 8 z h) 14 y 10y z i j k ) 1 8 ) 6 4 ) 4 10 l m n ) ) ) Opgave 4051: Foretag kvadratkomplettering på følgende algebraiske udtryk og tjek med Maplepakken Student[Precalculus] og kommandoen CompleteSquare( ): a) 0 b) y 1 y c) z z d) 4 e) y 6 y f ) 10 y 8y g y y h y y z z i ) 6 ) ) 14 5 j k l ) 10 9 ) ) m y y n y y z z ) ) Opgave 4060: Faktorisér følgende algebraiske udtryk og tjek med Maples factor (Husk, at du skal skrive alle de skjulte gangetegn i Maple). a) 5a 8 a b) 4 1 c) y y d a b c abc e y z yz y z f y ) 6 9 ) ) g) 5 a b c 0 a b a b c Opgave 406: Faktorisér følgende algebraiske udtryk og tjek med Maples factor (Husk, at du skal skrive alle de skjulte gangetegn i Maple). a) 5a bc 15abc 0a b c b) y z 9 yz 6y c) 4 y 1 y 8 y d a b a b a b c c 4 c ) e e e Opgave 4070: Faktorisér først tæller og nævner i brøkerne. Forkort derefter om muligt brøkerne. Tjek resultaterne med Maples factor y y 10 5 a 4b a) b) c) d) 9 18z 9yz 4 0 6a b 1ab Opgave 407: Faktorisér først tæller og nævner i brøkerne (enten ved almindelig faktorisering eller ved at genkende et udtryk som højresiden i en kvadratsætning). Forkort derefter om muligt brøkerne. Tjek resultaterne med Maples factor. 4 y 1y a) b) c) d) e) y y Opgave 4100: Løs følgende ligninger: a) 9 b) 7 c) 0 0 d) 1 1 e) 9 f ) 9 g) h) 4 9 i) 9 j) a b a b a b 18

19 Opgave 410: Løs følgende ligninger: a) 7 b) 7 c) 7 d) y z 0 e) f ) a b a b 4 ab g) 1 y 0 h) y 1 z 0 Opgave 4110: Afgør, om følgende ligninger er identiteter (I), absurditeter (A) eller bestemmelsesligninger (B): a) 5 19 b) c)7 1 d) 5 5 e)4 4 Opgave 411: Afgør, om følgende ligninger er identiteter (I), absurditeter (A) eller bestemmelsesligninger (B): a) 6 19 b) y y y c) y 7 5 d) y 9 e) 1 1 f ) y 7 16 g) a b c h)5 9 Opgave 4114: Afgør, om følgende ligninger er identiteter (I), absurditeter (A) eller bestemmelsesligninger (B): 4 a) 9 b) 0 c) a b a b d) 4a a b 4 a b e) 1 ) 9 ) 4 ) 1 0 ) 1 0 ) 1 1 f g y y h i j Opgave 410: Løs følgende ligninger. Anvend biimplikationer undervejs (Tjek med Maples solve): a) ; G b) ; G 1 1 c) 1 ; G d) 1 5 ; G Opgave 41: Løs følgende ligninger. Overvej, om du skal anvende faktorisering og vær i den forbindelse opmærksom på ikke at komme til at dividere med 0. Anvend om nødvendigt logisk eller i facit (tjek med Maples solve): a) 4 6 ; G b) ; G c) ; G d) ; G e) ; G Opgave 4140: Løs følgende ligninger. Tjek resultatet med Maple. a) ; G b) ; G 1 c) 5 y 4 y ; G d) 5 9 ; G e) 8 4 ; G f ) 4 4 ; G g) 5 ; G \ h) ; G \, 8 5 Opgave 4141: Løs følgende ligninger (Tjek resultaterne med Maple): a) ; G b) 5 9 ; G 1 c) ; G d) 4 1 ; G 7 Opgave 4145: Løs følgende ligninger. Tjek resultatet med Maple. a) ; G b) 5 ; G 1 c) 5 ; G \ d) ; G \

20 Opgave 4150: Løs følgende uligheder. Tjek med Maple (husk at lægge godt mærke til, om ulighedstegnene vender rigtigt). a) 7 ; G b) ; G c) ; G d) 5 ; G 7 4 e) 8 ; G \ 0 f ) 5 ; G \ 6 5 g) ; G \,4 9 8 Opgave 4151: Løs følgende uligheder. Tjek med Maple (Bemærk specielt, om ulighedstegnene vender rigtigt): a) ; G b) 4 1 ; G 1 c) ; G d) 8 ; G 7 e) 4 ; G \ 0 f ) ; G \ g) ; G \ 1, Opgave 415: Løs følgende uligheder. Tjek med Maple (Bemærk specielt, om ulighedstegnene vender rigtigt). Grundmængden er i alle tilfælde G : 1 a) b) c) 4 1 Opgave 4170: Løs følgende ligninger. Tjek resultatet med Maple (abs eller ).G i alle opgaver: a) 4 11 b) 5 9 c) 7 d) e) f ) 7 4 g) 7 1 h) Opgave 400: Løs følgende andengradsligninger i hånden og tjek facit med Maple (G ): a) b) 9 0 c) d e f ) 15 0 ) ) 7 0 g) 8 0 h) i) j k l ) 1 0 ) 1 ) 1 0 Opgave 40: Løs følgende andengradsligninger i hånden og tjek facit med Maple: a) 4 0 ; G f ) ; G b) ; G c) 0 0 ; G d) ; G e) 4 0 ; G 0 g) 15 0 ; G h) 5 0 ; G i) ; G j) ; G Opgave 410: Løs følgende andengradsligninger ved at gætte faktoriseringen og anvende nulreglen. Tjek for hver opgave resultatet med Maple. I alle opgaver er G : a) b) 5 0 c) d) 18 0 e f g h ) ) ) 40 0 ) i j ) )

21 Opgave 41: Foretag følgende for nedenstående andengradsligninger: 1) Omskriv dem ved (lovlige) ligningsoperationer til formen b c 0. ) Kom frem til én af følgende konklusioner: I. Ligningen har ingen løsninger (diskriminanten negativ). II. Ligningen har løsninger, men de er ikke heltallige. III. Ligningen har heltallige løsninger, og de er (bestem disse) Tjek din konklusion med Maple. a) ; G f ) 9 18 ; G b) ; G g) ; G 80 c) 4 ; G h) ; G d) ; G i) ; G 1 15 e) 4 0 ; G 1 j) 7 ; G Opgave 40: Løs følgende trigonometriske ligninger ved at anvende arcsin, arccos og arctan og betragtninger på enhedscirklen. Tjek efterfølgende facit med intervalsolve. a) sin 0,45 ; G 0, b) cos 0,17 ; G, c) tan,45 ; G 0, d) sin 1,7,8 ; G 0,4 e) sin 0,87 ; G 0, f ) 4cos 1,5 ; G 0, g) 1, 4 tan, 7,9 ; G 0, Opgave 440: Isolér i nedenstående formler den angivne variabel eller konstant. Tjek resultatet ved at opskrive formlen i Maple, højreklikke på den og vælge solve Isolate Epression for Opgave 400: Afgør i hvert af nedenstående tilfælde, om punktet P er en del af det geometriske sted, der er givet ved den pågældende ligning ( G ): Prøv i hvert tilfælde at indtaste punkt og ligning i Geogebra og se, om du har svaret rigtigt. a) P, y 5 7 y b) P 4,9 7 y 11 1 c) P,8 y 11 d) P 5, 4 0 e) P 0,10 5 y 700 f P y y y ) 1,

22 Opgave 410: Parallelforskyd kurverne angivet med nedenstående ligninger som angivet. Tjek dit svar med Geogebra, hvor du indtaster både ligningen for den oprindelige kurve og for den parallelforskudte kurve og ser, om sidstnævnte er forskudt som ønsket. a) y 7 Forskydes med 4 langs -aksen og -5 langs y-aksen. b y ) Forskydes med - langs -aksen og 7 langs y-aksen. c ) y 9 Forskydes med 6 langs -aksen og 1 langs y-aksen. d y ) 5 16 Forskydes m e y ed -8 langs -aksen og 11 langs y-aksen. ) 5 11 Forskydes med 9 langs -aksen og - langs y-aksen. f y y ) 5 8 Forskydes med 1 langs -aksen og 17 langs y-aksen. G Opgave 41: Spejl nedenstående kurver i både -aksen og y-aksen. Tjek dit svar med Geogebra, hvor du indtaster både ligningen for den oprindelige kurve og for de spejlede kurver og ser, om sidstnævnte er spejlet som ønsket. a) y 7 ; G b) y ; G c) y 9 ; G d) 5 y 16 ; G e) 5y 11 ; G f ) y 5 y 8 ; G Opgave 414: Rotér følgende kurver med den angivne vinkel omkring origo. Tjek dit svar med Geogebra, hvor du indtaster både ligningen for den oprindelige kurve og for den roterede kurve og ser, om sidstnævnte er roteret som ønsket. a) y 7 ; G Roteres 0grader. b y G ) ; Roteres -0grader. c y G ) 5 16 ; Roteres 45grader. d y G ) 5 11 ; Roteres -45grader. e y y G ) 5 8 ; Roteres 10grader. Opgave 416: Angiv i nedenstående eksempler ligningen for det pågældende geometriske sted. Tjek dit resultat med Geogebra ved at indtaste den oprindelige ligning og din fundne ligning og se, om du har fået anvendt den ønskede isometri. a) Cirklen med ligningen y 49 ; G parallelforskudt med 7 langs - aksen og -4 langs y-aksen. Kald denne cirkel A. b) Cirkel A spejlet i -aksen. Kald denne cirkel B. c) Cirkel B spejlet i y-aksen. d) Parablen med ligningen y G 7 ; parallelforskudt med - langs -aksen og -6 langs y-aksen. Kald denne parabel for P. e) Parabel P spejlet i -aksen. Kald denne parabel for Q. f) Parabel Q spejlet i y-aksen. y g) Ellipsen med ligningen 5 9 aksen og -8 langs y-aksen. Kald denne ellipse for E. h) Ellipsen E spejlet i -aksen. Kald denne ellipse for F. i) Ellipsen F spejlet i y-aksen. 1; G parallelforskudt med 4 langs - Opgave 417: Det geometriske sted for de punkter, der er bestemt ved ligningen y 16 ; G er en cirkel med centrum i origo. Angiv ligningen for den cirkel, der er en parallelforskydning af ovenstående cirkel med 6 langs -aksen og - langs y-aksen.

23 Opgave 418: Det geometriske sted for punkterne bestemt ved ligningen y5 1; G er en ellipse. 9 4 Angiv ligningen for den ellipse, der er en spejling af ovenstående ellipse i -aksen. Opgave 40: Hvis der er opgivet tal, så størrelser kan beregnes, må man aldrig aflæse dem på en graf. Men her er ingen tal (ud over skalaanvisningerne på akserne), så du skal for nedenstående fire rette linjer aflæse hældningen a og skæringen b med y-aksen og derefter angive ligningen for den pågældende rette linje: Opgave 40: Bestem ligningerne for de rette linjer, der går gennem de angivne punkter: a) (,9) og (7,5) b) (-4,17) og (1,) c) (6,11) og (-10,) d) (5,1) og (-1,-) e) (,6) og (-7,6) Opgave 4: Bestem ligningerne for de rette linjer, der går gennem de angivne punkter: a) P 5, Q 9,14 d) P,11 Q 9,11 Q Q b) P 4,1 5, 17 c) P, 7,1 Q e) P 5, 9,16 f ) P 9, 5 Q, 1 Opgave 44: Bestem ligningerne for de rette linjer, der går gennem de angivne punkter: a), 7 og 4,14 b) 4, 1 og 5,17 d c),5 og 6,1 ) 5, og, 6 Opgave 440: Bestem ligningerne for de rette linjer, der går gennem de angivne punkter og har den angivne hældningskoefficient: a) P 5, 9 a b) P,1 a c) P 0, 4 a 9 d) P 8, a 0 e) P 1, 8 a 1 Opgave 44: Bestem ligningerne for de rette linjer, der går gennem de angivne punkter og har den angivne hældningskoefficient. Tjek resultatet ved at indtaste ligningen i Geogebra og se, om det angivne punkt ligger på linjen. a) P, 7 a b) P 5, 4 a c) P 1, a 5 d) P 8,5 a 4

24 Opgave 450: Angiv de to punkter, hvor de rette linjer angivet ved nedenstående ligninger skærer koordinatakserne. a) y 6 ; G b) y 7 1 ; G c) y 10 5 ; G d) y 8 ; G e) y 9 ; G f ) 4 y ; G 1 g) y 8 ; G 6 Opgave 460: De to rette linjer l og m er givet ved ligningerne l : y og m : y. 5 4 a) Bestem den spidse vinkel, som linjen l danner med -aksen. b) Bestem den spidse vinkel, som linjen m danner med -aksen. c) Bestem den spidse vinkel, som linjerne danner med hinanden, hvor de skærer. Opgave 46: De to rette linjer l og m er givet ved ligningerne l : y 6 og m : y 5 9. a) Bestem den spidse vinkel, som linjen l danner med -aksen. b) Bestem den spidse vinkel, som linjen m danner med -aksen. c) Bestem den spidse vinkel, som linjerne danner med hinanden, hvor de skærer. Opgave 464: De to rette linjer l og m er givet ved ligningerne l : y 6 og m : y 5. a) Bestem den spidse vinkel, som linjen l danner med -aksen. b) Bestem den spidse vinkel, som linjen l danner med y-aksen. c) Bestem den spidse vinkel, som linjen m danner med -aksen. d) Bestem den spidse vinkel, som linjen m danner med y-aksen. e) Bestem den spidse vinkel, som linjerne danner med hinanden, hvor de skærer. f) Bestem den stumpe vinkel, som linjerne danner med hinanden, hvor de skærer. 4 7 Opgave 466: De to rette linjer l og m er givet ved ligningerne l : y og m : y. 7 4 a) Bestem den spidse vinkel, som linjen l danner med -aksen. b) Bestem den spidse vinkel, som linjen m danner med -aksen. c) Bestem den vinkel, som linjerne danner med hinanden, hvor de skærer. 5 Opgave 468: En ret linje l er givet ved ligningen l : y 1 ; G. 8 a) Bestem den spidse vinkel, som linjen l danner med -aksen. En anden linje m er ortogonal med linjen l. b) Bestem den spidse vinkel, som linjen m danner med -aksen. c) Bestem hældningskoefficienten for linjen m. Opgave 470: De to rette linjer l og k er ortogonale. De er givet ved ligningerne y 4 og y c 7 ; G. Bestem c. 5 1 Opgave 47: Den rette linje l er givet ved ligningen l : y 1 ; G. 4 Bestem ligningen for den rette linje m, der står vinkelret på l og går gennem punktet P,. 4

25 Opgave 47: Den rette linje l er givet ved ligningen l : y 18 ; G. 7 Bestem ligningen for den rette linje m, der står vinkelret på l og går gennem punktet P 6, 1. 1 Opgave 474: Den rette linje l er givet ved ligningen l : y 18 ; G. Bestem ligningen for den rette linje m, der står vinkelret på l og går gennem punktet 7, 5 Opgave 476: Den rette linje l er givet ved ligningen l : y 11 ; G. 5 P. Bestem ligningen for den rette linje m, der står vinkelret på l og går gennem punktet 8, 5 Opgave 480: En cirkel har centrum i C 7,, og punktet, 1 P ligger på cirklen. Bestem en ligning for den tangent til cirklen, der går gennem punktet P. Opgave 48: En cirkel har centrum i C 1,6, og punktet, P ligger på cirklen. Bestem en ligning for den tangent til cirklen, der går gennem punktet P. Opgave 484: En cirkel har centrum i C,7, og punktet P7, ligger på cirklen. Bestem en ligning for den tangent til cirklen, der går gennem punktet P. Opgave 490: En ret linje er givet ved ligningen 6y 7 0 ; G. a) Bestem hældningen for den rette linje. b) Bestem linjens to skæringspunkter med koordinatakserne. Opgave 491: En ret linje er givet ved ligningen 5y 8 0 ; G. a) Bestem hældningen for den rette linje. b) Bestem linjens skæringspunkter med koordinatakserne. c) Bestem den spidse vinkel, som linjen danner med -aksen. Opgave 49: En ret linje er givet ved ligningen 6 15y 4 0 ; G. a) Bestem hældningen for den rette linje. b) Bestem linjens skæringspunkter med koordinatakserne. c) Bestem den spidse vinkel, som linjen danner med -aksen. Opgave 49: En ret linje er givet ved ligningen 8 0y 0 ; G. a) Bestem hældningen for den rette linje. b) Bestem linjens skæringspunkter med koordinatakserne. c) Bestem den spidse vinkel, som linjen danner med -aksen. Opgave 494: De rette linjer l og m givet ved ligningerne l : 7y 5 0 og m : k 4y 19 0 er ortogonale. Bestem k. Opgave 495: De rette linjer l og m givet ved ligningerne l : 9 y 6 og m : y a 6er ortogonale. Bestem a. Opgave 496: En ret linje l er givet ved ligningen 1 y G 5 7;. a) Bestem en ligning for den rette linje m, der går gennem punktet P4,7 parallel med l. b) Bestem en ligning for den rette linje k, der går gennem punktet Q,6 ortogonal med l. P. og er og er

26 Opgave 497: En ret linje l er givet ved ligningen y 4 ; G. a) Bestem en ligning for den rette linje m, der går gennem punktet P1,9 og er parallel med l. b) Bestem en ligning for den rette linje k, der går gennem punktet, 5 ortogonal med l. Q og er Opgave 498: Nedenfor er angivet centrum C for en cirkel og et punkt P på cirklen. Bestem ligningen for den tangent til cirklen, der rører i punktet P: a) C 5, P 1,6 b) C, 4 P 6, 1 c) C 1,7 P 1, Opgave 4400: Størrelsen y er proportional med. Grafen for sammenhængen går gennem punktet P 5,0. a) Hvilken værdi har proportionalitetskonstanten? b) Angiv en ligning, der beskriver sammenhængen. Opgave 4401: Størrelsen y er proportional med. Grafen for sammenhængen går gennem punktet P 14,9. a) Hvilken værdi har proportionalitetskonstanten? b) Angiv en ligning, der beskriver sammenhængen. Opgave 440: Størrelserne og y er proportionale. Udfyld tabellen. 1 y 0 48 Opgave 440: Størrelserne og y er proportionale. Udfyld tabellen y 19 1 Opgave 4404: Størrelserne og y er proportionale. Udfyld tabellen. 5 7 y 18 4 Opgave 4405: Størrelserne og y er proportionale. Udfyld tabellen y 9 91 Opgave 4410: Energien E af en foton er proportional dens frekvens f. Proportionalitetskonstanten kaldes h. Angiv en formel for sammenhængen. Opgave 4411: Den varme Q, der tilføres et legeme, er proportional med forskellen mellem legemets temperatur T og dets starttemperatur T0. Proportionalitetsfaktoren kaldes C. Angiv en formel, der beskriver sammenhængen. Opgave 441: Faldlængden s af en genstand, der tabes, er proportional med kvadratet på faldtiden t. Proportionalitetskonstanten kaldes k. Angiv en formel, der beskriver sammenhængen. Opgave 441: Farten v i en jævn cirkelbevægelse er proportional med kvotienten mellem radius r og perioden T. Proportionalitetskonstanten er. Angiv en formel, der beskriver sammenhængen. Opgave 4414: Opdriften F på et legeme, der nedsænkes i en væske, er proportional med produktet af legemets rumfang V og væskens densitet. Proportionalitetsfaktoren kaldes g. Angiv en formel, der beskriver sammenhængen. 6

27 Opgave 440: og y er omvendt proportionale. Udfyld tabellen. 1 - y 1-1 Opgave 441: og y er omvendt proportionale. Udfyld tabellen y Opgave 44: og y er omvendt proportionale. Grafen for sammenhængen mellem og y går P 7,9. Angiv en ligning for sammenhængen. gennem punktet Opgave 44: og y er omvendt proportionale. Grafen for sammenhængen mellem og y går P, 17. Angiv en ligning for sammenhængen. gennem punktet Opgave 444: og y er omvendt proportionale. Grafen for sammenhængen mellem og y går P 5, 1. Angiv en ligning for sammenhængen. gennem punktet Opgave 445: og y er omvendt proportionale. Grafen for sammenhængen mellem og y går A 6,6, B,0, C 4,1, D 5, 8 og E 10,4. gennem netop tre af punkterne Angiv en ligning for sammenhængen. Opgave 446: Angiv ligninger for sammenhængene angivet ved nedenstående informationer. 4,4. a) y er proportional med. Grafen går gennem b) og y er omvendt proportionale. Grafen går gennem 7,6. c) y er proportional med. Grafen går gennem,17. d) og y er omvendt proportionale. Grafen går gennem,9. Opgave 447: og y er omvendt proportionale. Udfyld tabellen. 4 8 y 8 7 Opgave 448: og y er omvendt proportionale. Udfyld tabellen y Opgave 440: Punktet A,7 ligger på hyperblen 1 h med ligningen y 1. -aksen er vandret asymptote til denne hyperbel, og y-aksen er lodret asymptote. Hvis hyperblen parallelforskydes med 5 i -aksens retning og -6 i y-aksens retning,,7 B 8,1, og desuden vil linjen med ligningen vil punktet A forskydes over i 5være lodret asymptote og ligningen med ligningen 6 y være vandret asymptote for den nye hyperbel h. a) Indtegn i Geogebra hyperblen med ligningen y 1og punktet A. Tjek, at punktet ligger på hyperblen. b) Indtegn punktet B samt linjerne med ligningerne 5og y 6. c) Bestem ligningen for den nye hyperbel h. Indtegn den i Geogebra og tjek, at punktet B ligger på hyperblen, og at ovenstående linjer er asymptoter. 7

28 Opgave 441: Hyperblen h 1 har ligningen y 4. a) Find selv et punkt A, der ligger på hyperblen. Tjek ved hjælp af Geogebra, om det passer. b) Bestem det punkt B, som A forskydes over i, når man parallelforskyder hyperblen h 1 med - langs -aksen og 4 langs y-aksen over i en ny hyperbel h. c) Indtegn hyperblen h i Geogebra. Tjek, at B ligger på hyperblen. Opgave 44: Punktet A8,4 ligger på hyperblen 1 h med ligningen y. a) Bestem de to punkter B og C, som punktet A flyttes over i, når hyperblen spejles i henholdsvis -aksen og y-aksen. b) Indtegn i Geogebra de to spejlede hyperbler. Tjek, om punkterne B og C ligger på disse. Opgave 44: Hyperblen h 1 har ligningen y 7. a) Foretag en spejling i -aksen samt en parallelforskydning med 5 langs -aksen og -9 langs y-aksen. Tjek med Geogebra, om du har fundet den rigtige ligning. Opgave 444: Hyperblen h 1 har ligningen y 1. a) Foretag en rotation af hyperblen med 45 omkring origo mod uret. Tjek med Geogebra, om du har fundet den rigtige ligning (husk, at Geogebra regner i radianer). b) Rotér h1 med 60 omkring origo med uret. Tjek med Geogebra, om du har fundet den rigtige ligning. Opgave 445: Hyperblen h 1 har ligningen y 15. Foretag følgende operationer i den angivne rækkefølge og tjek med Geogebra: a) Spejl i y-aksen, rotér med 0 omkring origo mod uret og parallelforskyd med 4 langs -aksen og - langs y-aksen. b) Spejl i y-aksen, parallelforskyd med 4 langs -aksen og - langs y-aksen og rotér med 0 omkring origo mod uret. Opgave 4440: Bestem toppunkternes koordinatsæt samt a-værdien for parablerne givet ved nedenstående ligninger: a) y 8 5 ; G b) y 4 7 ; G c) y 1 6 ; G d) y ; G e) y 9 11 ; G f ) y 6 4 ; G Opgave 4450: Bestem ved hjælp af toppunktsformlen toppunkterne for parablerne angivet ved nedenstående ligninger. a) y 6 14 ; G d) y 4 6 ; G b) y 6 6 ; G c) y 9 6 ; G 8 e) y ; G f ) y ; G Opgave 445: Bestem toppunktet for parablerne givet ved nedenstående ligninger (Tjek resultaterne ved at anvende Maples maimize, minimize og location): a) y 4 ; G b) y 5 4 ; G c) y 6 9 ; G d) y 5 6 ; G.

29 Opgave 4460: Bestem følgende for parablerne angivet ved nedenstående ligninger: Toppunkt, skæringspunkt med y-aksen og evt. nulpunkter. a) y 6 4 ; G b) y 1 ; G c) y 5 ; G d) y 1 1 ; G e) y ; G f ) y 5 1 ; G Opgave 4470: Bestem fortegnene for a, b, cog på formen y a b c : d for nedenstående parabler (angivet ved ligninger Opgave 4471: Bestem fortegnene for a, b, c og d for nedenstående parabler, der er angivet ved ligninger på formen y a b c ; a 0 ; G, og hvor d er diskriminanten: Opgave 447: Bestem fortegnene for a, b, c og d for nedenstående parabler, der er angivet ved ligninger på formen y a b c ; a 0 ; G, og hvor d er diskriminanten: 9

30 Opgave 4500: Angiv radius og koordinatsæt til centrum for nedenstående cirkler: a) 5 y 5 ; G b) 4 y 16 ; G c) 1 y ; G d) 1 y 4 ; G ) 5 49 ; e y G 1 f ) y 7 ; G g) y 1 ; G Opgave 450: Angiv ligningerne for cirklerne med følgende centre og radier: a) C 4,9 r b) C,8 r 8 c) C 9, 1 r d) C,1 r 5 e) C 6,0 r 1 f ) C 0, r 1 g) C 0, 0 r 87 Opgave 4504: Angiv radius og koordinatsæt til centrum for nedenstående cirkler: 1 1 a) 8 y y b) ; G ; G c) y 64 0 ; G d) 5 y 6 ; G e) 8 1 y ; G Opgave 4510: Angiv centrum og radius for nedenstående cirkler: a) 8 y 6y 16 ; G b) y 10y 10 ; G c) 1 y 16y 0 ; G d) 4 y 14y 8 0 ; G e) y 8y 7 0 ; G Opgave 451: Angiv centrum og radius for nedenstående cirkler: a) 4 y ; G b) 8 y 1y 16 ; G y c) 5 7y 5 0 ; G d) 6 y 10y 9 ; G e) 1 y 18y 9 0 ; G 0

31 Opgave 451: Angiv centrum og radius for nedenstående cirkler: a) 4 y 6y 1 0 ; G b) 1 y y 1 0 ; G c) 4 y 14y 8 0 ; G Opgave 450: Angiv ligninger for nedenstående cirkler, hvor C er centrum for cirklen, og P er et punkt på cirklen. a) C 4, P 1,5 P P b) C 1,5 7, c) C, 6 4, 5 Opgave 450: Angiv ligningerne for ellipserne A, B og C på figuren til venstre nedenfor: Opgave 451: Angiv ligningerne for ellipserne A, B og C på figuren til højre ovenfor: Opgave 455: Indtast svarene på følgende opgaver i Geogebra og tjek på den måde, om du har fundet de rigtige ligninger. a) Angiv ligningen for ellipsen A med centrum i (4,-7) og den halve storakse 5 og den halve lilleakse. b) Angiv ligningen for den ellipse B, der er en spejling af ellipsen A i -aksen. c) Angiv ligningen for den ellipse C, der er en parallelforskydning af ellipsen A med -6 langs -aksen og langs y-aksen. d) Angiv ligningen for den ellipse D, der er en rotation af ellipsen A med 45 omkring origo. Opgave 457: Tjek dine svar ved at indtaste ligningerne i Geogebra. a) Angiv ligningen for ellipsen A med den halve storakse 7, den halve lilleakse 4 og centrum i (-5,). b) Angiv ligningen for den ellipse B, der er en spejling af ellipsen A i y-aksen. c) Angiv ligningen for ellipsen C, der er en rotation af ellipsen A med -60 omkring origo. d) Angiv ligningen for ellipsen D, der er en parallelforskydning af ellipsen A med 4 langs -aksen og -1 langs y-aksen og en efterfølgende rotation med 60 omkring origo. e) Angiv ligningen for ellipsen E, der er en rotation af ellipsen A med 60 omkring origo og efterfølgende en parallelforskydning med 4 langs -aksen og -1 langs y- aksen. 1

32 Opgave 4540: I hvilken eller hvilke af planerne y-planen, z-planen og yz-planen ligger nedenstående punkter? Hvis et punkt ikke ligger i nogen af disse tre planer, angives dette. a) A, 0, 6 b) B 0, 7, c) C, 1,1 d) D,, 0 e) E 0,8, 0 f ) F 1,1,1 g) G 0, 0, 0 h) H 4, 0, 0 i) I 0, 7,1 j) J 0, 0,1 Opgave 4550: Hvilke af punkterne A,7,, B1,6, 4, C 5,5,5, D1,, og E 0,0,0 ligger i planen bestemt ved ligningen Opgave 455: Bestem de tre punkter i planen med ligningen y 4z 5 0 ; G? 5 y z 0 0 ; G, der ligger på en af koordinatakserne. Eller med andre ord: Bestemt skæringspunkterne mellem planen og koordinatakserne. Opgave 4554: Bestem skæringspunkterne mellem koordinatakserne og planerne med ligningerne a) y 4z 1 ; G b) 5 4y z 0 0 ; G c) y z 7 0 ; G Opgave 4556: Bestem skæringspunkterne mellem koordinatakserne og planen med ligningen Opgave 4558: Planen 5 z 0 0 ; G.. : 4 5y z 0 ; G indeholder origo O 0,0,0. Angiv en ligning for planen der er en parallelforskydning af langs z-aksen og indeholder punktet A 0,0,8. Opgave 4560: Aflæs centrum og radius for kuglerne bestemt ved følgende ligninger: a) 5 y z 10 5 ; G b) 1 y z 4 9 ; G c) 8 y z 6 1 ; G d) y 1 z 17 ; G Opgave 456: Angiv ligningerne for kuglerne med følgende centre og radier: a) C 6, 1, 7 r b) C 8,,5 r 7 c) C 0,, 1 r 9 d) C 4,0,0 r 1 Opgave 4564: Aflæs centrum og radius for kuglerne bestemt ved følgende ligninger: y 1 z a) 8 ; G b) 7 y 1 z ; G c) z 1 19 y ; G d) 1 y z ; G

33 Opgave 4566: Angiv ligningerne for kuglerne med følgende centre og radier: a) C 11, 17,16 r b) C,, r c) C 0,, r 4 6 d) C,e, r Opgave 4580: Bestem centrum og radius for kuglerne bestemt ved følgende ligninger: a) 6 y 4y z 8z 7 0 ; G b) y 10y z 1z ; G c) 14 y z 6z 0 ; G d) 0 y 0y z 0z 4 0 ; G Opgave 458: Bestem centrum og radius for kuglerne bestemt ved følgende ligninger: a) 4 y 6y z 8z 4 0 ; G b) 16 y y z 10z 10 0 ; G c) 1 y 6y z 4 0 ; G d) 6 y 10y z 4z 11 0 ; G Opgave 4584: Bestem centrum og radius for kuglerne bestemt ved følgende ligninger: a) 8 y 4y z 6z 4 0 ; G b) 1 y 8y z 16z 6 ; G y z c) 4z 7 ; G Opgave 4600: Løs følgende ligningssystemer ( G med Maple. ) med substitutionsmetoden. Tjek resultatet Opgave 4610: Anvend lige store koefficienters metode til at løse nedenstående ligningssystemer ( G ) og tjek med Maple.

34 Opgave 460: Anvend efter eget valg substitutionsmetoden eller lige store koefficienters metode og løs følgende ligningssystemer. Tjek resultatet med Maple. y 1 y 4 y 6 a) ; G b) ; G c) ; G y 4 5y 7 7 5y y 10 0 y 8 6 y 5 18 d) ; G e) ; G f ) ; G 5y y y 15 7 Opgave 46: Løs ligningssystemerne (tjek med Maples solve ): 7 y 5 y 5 6 5y 5 a) ; G b) ; G c) ; G 6 9y 1 y y 1 Opgave 460: Anvend lige store koefficienters metode til at få fjernet -værdierne og dannet to ligninger med variablerne y og z. Anvend derefter lige store koefficienters metode eller substitutionsmetoden og find værdien af z eller y. Tjek til sidst dit resultat med Maple. 9 5y z 6 4y z 16 a) 4y z 1 ; G b) 5y z 1 ; G y 5z 1 6 y 7z 0 Opgave 4640: Bestem determinanterne d, d og d for følgende ligningssystemer: y Opgave 4650: Bestem ved hjælp af determinantmetoden løsningerne til følgende ligningssystemer. Tjek resultatet med Maple. 4 y y y 6 a) ; G b) ; G c) ; G 5y 16 5y 5 y 9 6 y 4 4y 1 y 1 d) ; G e) ; G f ) ; G y y 4 y 1 Opgave 465: Se på ligningssystemet 5y 1 t y 7 ; G a) Bestem den værdi for t, hvor ligningssystemet ikke har nogen løsning. Tjek resultatet med Maple. b) Bestem den værdi for t, hvor ligningssystemet har løsningen,. Tjek resultatet med Maple. 4

35 Opgave 465: Bestem skæringspunktet mellem linjerne l og m angivet ved nedenstående ligninger (Tjek facit med Maple): l : y 7 ; G l : y 5 ; G l : y 8 ; G a) b) c) m : y ; G m : y 7 11 ; G m : y 5 4 ; G Opgave 4660: Bestem eventuelle skærings- eller røringspunkter mellem følgende geometriske steder. Tjek resultaterne med Maple. a) Parablen givet ved ligningen ved ligningen y 1; G. b) Parablen givet ved ligningen ligningen y G 1 5 ;. c) Den rette linje givet ved ligningen ligningen y G 5 ; og den rette linje givet y G 6 10 ; og parablen givet ved y 8; G 4 y 7 9 ; G. og cirklen givet ved Opgave 466: Bestem eventuelle skærings- eller røringspunkter mellem følgende geometriske steder. Tjek resultaterne med Maple. a) Den rette linje givet ved ligningen y 1 ; G. y ; G og hyperblen givet ved ligningen b) Den rette linje givet ved ligningen y 1; G y ; G og ellipsen givet ved ligningen 4 c) Hyperblen givet ved ligningen y ; G og cirklen givet ved ligningen y 4 80 ; G. d) Hyperblen givet ved ligningen y G 4 5 ;. y ; G og parablen givet ved ligningen Opgave 4664: Bestem eventuelle skærings- eller røringspunkter mellem følgende geometriske steder. Tjek resultaterne med Maple. a) Cirklen givet ved ligningen 1 7 ved ligningen y ; G 4 4 fjerdegradsligningen, der fremkommer. y 6 6 ; G og parablen givet. Du må gerne bruge Maple til at løse b) Cirklen givet ved ligningen ligningen y 1 65 ; G og cirklen givet ved 8 y 4 40 ; G. c) Cirklen givet ved ligningen ved ligningen 8 y 1 10 ; G og cirklen givet 4 y 50 ; G. 5

36 Funktioner Opgave 6000: Svar på følgende for funktionerne f og g: Opgave 600: Svar på følgende spørgsmål omhandlende nedenstående 6 relationer: Opgave 6004: Angiv definitions- og værdimængder for følgende funktioner: 6

37 Opgave 6010: Bestem definitionsmængder og værdimængder for følgende funktioner: 1 a) f1 : b) f : c) f : 1 1 d) f4 : e) f5 : f ) f6 : 9 Opgave 600: Bestem ved hjælp af grafen og kommandoerne minimize og maimize monotoniforholdene for følgende funktioner: a) f : b) g : c) h : Opgave 600: Angiv for hver af nedenstående funktioner, om de er lige, ulige eller ingen af delene. 4 a) f : b) f c) f : 9 d) f 1 4 e) f : sin f ) f cos g) f : tan h) f i) f 9 j) f : k) f e l) f : m) f1 : n) f14 o) f 15 : 5 7 n) f16 f : 1, g og h 4. Opgave 6040: Lad Bestem forskrifter for følgende funktioner og angiv definitionsmængden for dem. f a) f h b) f h c) f g d) f h e) g g i) j) f h k) h f l) f g m) g h h f 5, g :, h og a. Opgave 6050: Følgende funktioner er givet: Bestem følgende sammensatte funktioner og tjek med Maple (dvs. definér dine funktioner i Maple, og når du skal tjekke dit bud på f g, skriver du Maple): b) f g c) g f d) f h e) h f i) f a j) a f f g i k) h a l) a h m) h h n) f f o) a h g p) a a f Opgave 605: Lad : 5, : 5, 7 4og 1 4 f g h a. 7 7 Bestem følgende sammensatte funktioner og tjek med Maple (dvs. definér dine funktioner i Maple, og når du skal tjekke dit bud på f g, skriver du Maple): b) f g c) g f d) h a e) a h f g i Opgave 6054: Lad f, g, h 5 7, i og j Bestem følgende sammensatte funktioner og tjek med Maple ( f g : 1) g j ) j g ) g f 4) f g 5) h i 6) i h 7) h h 8) j j 7

38 Opgave 6060: Afkod følgende sammensatte funktioner i en indre funktion og en ydre funktion (svaret er ikke entydigt). sin 1 a) f1 : 7 b) f e c) f 7 7 d) f : 5 4 e) f cos f ) f tan tan Opgave 6070: Bestem de omvendte funktioner til følgende funktioner og tjek med Maple ved at definere funktionerne og undersøge, om sammensætningen af funktionerne giver en identitetsfunktion og/eller om graferne for funktionerne er hinandens spejlinger i linjen med ligningen y : a 1 ; a : 1 b 8 ; b : 4 c c 7 ; : 4 ; :, 0, cos 9 ; : 0, 10, 8 d d e e f f 1 sin ; : 1,1 0, g 4 ; g : Opgave 6100: Grafen for en lineær funktion f går gennem punkterne, 5og 7,16. a) Bestem for forskrift for f. b) Er f voksende, aftagende eller konstant? c) Hvad sker der med funktionsværdien, hver gang man lægger 1 til argumentet? d) Hvad sker der med funktionsværdien, hver gang man lægger 6 til argumentet? 1 e) Bestem en forskrift for f. Opgave 610: Grafen for den lineære funktion g har hældningen og går gennem punktet 4,9. a) Bestem en forskrift for g. b) Er g voksende, aftagende eller konstant? c) Hvad sker der med funktionsværdien, hver gang man lægger 5 til argumentet? 1 d) Bestem en forskrift for g. e) Bestem koordinatsættene til grafen for g s skæringer med -aksen og y-aksen. 1 f) Bestem koordinatsættene til grafen for g s skæringer med -aksen og y-aksen. Opgave 6110: Danske pigers gennemsnitshøjde h (målt i cm) som funktion af alderen t (målt i antal år efter piger er fyldt 4 år) kan inden for en vis periode med god tilnærmelse beskrives ved funktionsforskriften: h t 6, 5t 104 ; Dm h 0,8 a) Hvad fortæller konstanterne om danske pigers gennemsnitshøjde? b) Hvad fortæller definitionsmængden om modellen? Opgave 611: Det antal nyfødte danske drenge N, der det pågældende år fik tildelt navnet Casper, kan med god tilnærmelse beskrives ved en (diskret) funktion af tiden t (målt i antal år efter 1996): ; 0 18 N t t t a) Hvad fortæller konstanterne om tildelingen af navnet Casper til danske drenge? b) Hvad fortæller definitionsmængden om modellen? 8

39 Opgave 6114: Den samlede masse m (målt i kg) af en lastvogn, der læsses med grus, er givet ved følgende funktionsforskrift, hvor er rumfanget af gruset (målt i m ): m ; a) Hvad fortæller konstanter om lastbilen og gruset? b) Hvad fortæller definitionsmængden om pålæsningen? Opgave 610: Placeringen i en telefonkø kan antages at kunne beskrives ved en lineær funktion. Man befinder sig fra start som nummer 50 i køen, og man kommer igennem efter 10 minutter. Indfør passende variable og angiv en funktionsforskrift, der kan beskrive situationen. Opgave 6140: Tænk dig frem til værdien af følgende udtryk og tjek værdien med Maple (en konklusion kan godt være, at udtrykket er ulovligt, hvilket så tjekkes med Maple): a) log 100 b) log 10 c) log 0, 0001 d) log 0 e) log f )log6 6 g)log4 64 h)log i)log 0,5 j)log k)log5 1 l)loge e m)loge e n)loge 1 o)log 4 1 p)log 1 q)log r)log 49 s)log 0,0001 t)log 1 0,01 0, Opgave 614: Tænk dig frem til værdien af følgende udtryk og tjek værdien med Maple: log7 1 log4 71 loge 10 log 7 log4 7 a)7 b)4 c)e d)4 e ) Opgave 6150: Tænk dig frem til værdien af følgende udtryk og tjek værdien med Maple: a) log b) ln e c) log 0,1 d) ln e 1 1 e)log1 f )ln 1 g)log h)ln e Opgave 615: Tænk dig frem til værdien af følgende udtryk og tjek værdien med Maple: log9 ln1 log714 ln log0, ln5 a)10 b)e c)10 d)e e)10 f )e Opgave 6154: Tænk dig frem til værdien af følgende udtryk og tjek værdien med Maple (en konklusion kan godt være, at udtrykket er ulovligt, hvilket så tjekkes med Maple): 5,1 log 5,1,4 log,4 a)log 10 b)10 c)log 10 d)10 Opgave 6160: Nedenfor ses grafer for funktioner, der enten er lineære funktioner, eksponentialfunktioner eller logaritmefunktioner. Angiv for hver af dem, hvilke type funktion der er tale om. 1 9

40 Opgave 6170: Løs følgende ligninger ved at isolere og anvende Maple til at udregne udtrykket, som er lig med. Tjek dit facit ved at anvende solve på den oprindelige ligning. a) 6 9 b)log 1 c) 10 d)log 146 e)e 5 7 f )ln 17 g)65 7 h)5log 9 i) 1log 14, j)70,61 11,9 0,7 Opgave 6180: Dan par af de udtryk, der har samme værdi (UDEN brug af Maple): a) log 500 log 5 b) log 5 log c) ln 9 d) log 6 log e) log 1 log 10 f ) ln g) log 9 log 1 h) log 64 log i) log 10 log 1000 j) ln e k) log4 log 4 l) log m)ln e ln e n)ln e o)log 56 log 8 p)log 81 Opgave 6190: Løs følgende ligninger ved at isolere og udregn udtrykket med Maple. Tjek svaret ved at anvende solve på den oprindelige ligning. a) 4 19 b) c)log 4 d)5ln e) 4e 11 f )log 5log 1 g) 4ln h) log log i) log 8 log 4 log Opgave 600: Det oplyses, at der med 4 decimalers nøjagtighed gælderln 10,06. Bestem værdien af følgende udtryk og tjek efterfølgende dit facit ved hjælp af Maple: a) ln 100 b)ln c)ln 1 d)ln 0,01 e)ln 0,00001 f )ln 10 Opgave 60: Følgende størrelser er angivet med 4 decimalers nøjagtighed: ln 7 1,9459 log e 0,519 log e 0, ln 10,06 log 8 1,898 log 0,58 8 Bestem værdien af følgende udtryk og tjek efterfølgende dit facit ved hjælp af Maple: 1 a) ln 49 b)log7 e c) log d)log8 7 8 Opgave 610: Følgende brøker er angivet med 4 decimalers nøjagtighed: ln 9 log 1 log711 log5 1, 619 1, 415 0, 659 0,5000 ln 8 log 6 log 8 log 44, Bestem værdien af følgende udtryk og tjek efterfølgende dit facit ved hjælp af Maple: log1 9 log0,4 11 ln 1 log19,7 44, 6 a) b) c) d ) log 8 log 8 ln 6 log 5 1 0,4 19,7 40

41 Opgave 60: a) Hvordan ændres funktionsværdien for f : ln 1 b) Hvordan ændres funktionsværdien for f : log c) Hvordan ændres funktionsværdien for f: log6 d) Hvordan ændres funktionsværdien for f4: log e) Hvordan ændres funktionsværdien for f : log 5 f) Hvordan ændres funktionsværdien for f Opgave 6: a) Hvordan ændres funktionsværdien for f : log b) Hvordan ændres funktionsværdien for g : 5 ln c) Hvordan ændres funktionsværdien for h d) Hvordan ændres funktionsværdien for i Opgave 64: 41, når argumentet gøres gange større?, når argumentet gøres 7 gange større?, når argumentet fordobles?, når argumentet halveres?, når argumentet øges med 0%? : ln 6, når argumentet mindskes med 0%?, når argumentet fordobles?, når argumentet halveres? : 7log 5, når argumentet øges med 4%? : 4ln 9, når argumentet øges med 1%? a) Hvor man gange skal argumentet gøres større, hvis der i f : 10 log funktionsværdien? b) Hvor man gange skal argumentet gøres større, hvis der i g til funktionsværdien? Opgave 600: Udfyld nedenstående tabel: Procenttal Vækstrate Fremskrivningsfaktor 0,7 8 1,6 0, Opgave 60: a) Hvis vækstraten er 6%, hvad er så fremskrivningsfaktoren? b) Hvis fremskrivningsfaktoren er 0,9, hvad er så vækstraten? c) Hvis vækstraten er 8%, hvad er så fremskrivningsfaktoren? d) Hvis fremskrivningsfaktoren er 1,84, hvad er så vækstraten? e) Hvis vækstraten er 159%, hvad er så fremskrivningsfaktoren? f) Hvis fremskrivningsfaktoren er 4,17, hvad er så vækstraten? 1,8 1 skal lægges til : 5ln 7, skal lægges 1 Opgave 604: a) Hvad er vækstraten, hvis man fordobler en størrelse? b) Hvad er fremskrivningsfaktoren, hvis man fordobler en størrelse? c) Hvad er vækstraten, hvis man halverer en størrelse? d) Hvad er fremskrivningsfaktoren, hvis man halverer en størrelse? 0,9,09 0,5 5

42 Opgave 610: a) Hvad er 7% af 460? b) Hvad er resultatet, hvis man lægger 19% til 54? c) Hvad er resultatet, hvis man trækker 8% fra 690? Opgave 61: a) Hvad er resultatet, hvis man øger 17 med 45%? b) Hvad er resultatet, hvis man gør 17 fire gange større? c) Hvad er det dobbelte af 50? d) Hvad får man, hvis man fordobler 740? e) Hvad får man, hvis man mindsker 81 med en tredjedel? f ) Hvad får man, hvis man halverer 80? Opgave 60: a) 100 kr. indsættes på en bankkonto med rentefoden % p.a. Hvor meget er saldoen efter 1 år? b) En lommeregner købes for 650 kr. og sælges igen med en fortjeneste på 7%. Hvad er salgsprisen? c) En lommeregner til en værdi af 19 kr. mister på et år 15% af værdien. Hvad er værdien efter et år? d) Et beløb indsat til 4% p.a. er efter et år steget til 6840 kr. Hvad var det oprindelige beløb? e) Efter en slankekur med et vægttab på 9% vejer en nisse 7 kg. Hvad vejede nissen inden slankekuren? f ) 1 kg tomater sælges i Føte for 0 kr. De har købt dem for 7 kr. kiloet. Hvad er den %-vise fortjeneste? g) En bil er faldet fra kr. til kr. Hvad har vækstraten været? Opgave 6: a) Der indsættes 1000 kr. på en konto til,5% p.a. Hvad er saldoen efter 7 år? b) Et Rembrandt-maleri har forøget sin værdi med 6% om året siden Da kostede det 4,5 millioner kr. Hvad koster det nu? c) En bil taber 7% i værdi om året. Hvad er en bil til kr. værd efter 8 år? d) Efter 7 år i banken til 1,5% p.a. er et beløb steget til 765 kr. Hvad var det oprindelige beløb? e) En bil, der har tabt 5% i værdi om året i de 9 år efter købet, er nu 1000 kr. værd. Hvad kostede den? f ) En person har tabt sig 1, % om måneden i år og vejer nu 87 kg. Hvad vejede personen tidligere? Opgave 64: a) På 8 år er et beløb indsat til fast rentefod p.a. steget fra 1000 kr. til kr. Hvad er den årlige rentefod? b) En bil er faldet med en fast procentdel gennem de sidste 18 år fra kr. til 5000 kr. Hvad har den årlige vækstrate været? c) En statue mister pga. syreregn en fast procentdel af sin højde om året. Den er gennem de seneste 10 år gået fra en højde på 15, m til 14,6 m. Hvor stor har den faste vækstrate været? d) En aktie ændrer sig over 6 måneder med følgende vækstrater: 6%, -%, -8%, 4%, -1%, 14%. Hvor stor har den samlede vækstrate været? e) En tomat til 0, kr. oplever gennem 5 handelsled følgende vækstrater på prisen: 4%, 18%, %, 74%, 49%. Hvad koster den efter sidste led? f ) En person på 89 kg. har gennem de sidste 8 måneder ændret sin vægt med følgende vækstrater: -4%, 5%, 6%, 4%, -8%, -5%, -%, 9%. Hvad vejede personen oprindeligt? Opgave 66: a) En 4 år gammel bil til en værdi af kr. kostede oprindeligt kr. Hvad har den gennemsnitlige årlige vækstrate været? b) En aktie ændrer sig med de månedlige vækstrater: 4%, -1%, 9%, %, %, %, -4%, 6%. Hvad er den gennemsnitlige månedlige vækstrate? c) En ufaglært arbejder tjener 90 kroner i timen. Hver dags morgen i en måned ( arbejdsdage) sænker chefen lønnen med 10%, men hæver den igen om aftenen med 10% efter protester fra arbejderne. Hvor meget tjener den ufaglærte arbejder i timen efter den pågældende måned? d) Hvilken gennemsnitlig vækstrate svarer til følgende vækstrater: 5%, -4%, 7%, 4%, -1%, 19%? Opgave 68: a) Et beløb til 4% p.a. er steget fra 4000 kr. til 8000 kr. Hvor mange år har det stået i banken? b) Et maleri, hvis værdi er steget med 6% om året, har øget sin værdi fra kr. til kr. Hvor mange år har det taget? c) En bil har nu værdien kr. Den kostede oprindeligt kr., og er faldet i værdi med 1% om året. Hvor gammel er bilen? d) En haj har grundet dårlige tider tabt sig 1% om året fra 478 kg til 46 kg. Hvor mange år har det taget? 4

43 Opgave 60: a) En udefineret genstands værdi ændres over 5 år med følgende vækstrater: 8%, -%, -5%, 7%, 9%. Hvad skal vækstraten være det 6. år, hvis genstandens værdi over de 6 år skal være øget med 50%? b) Hvor stor skal vækstraten været det andet år, hvis man over en års periode ønsker en vækst på 0%, og den det første år har været 18%? c) En hunds vægt ændres over 4 år med følgende vækstrater: 6%, -4%, 9%, -1%. Hvad skal vækstraten det 5. år være, hvis den gennemsnitlige vækstrate skal være %? Opgave 640: Hvor meget er 700 kr. vokset til efter ét år i nedenstående tilfælde, når den nominelle rentefod er 5% p.a.: a) Der er én årlig rentetilskrivning. b) Der er 4 årlige rentetilskrivninger. c) Der er 1 årlige rentetilskrivninger. d) Der er 65 årlige rentetilskrivninger. e) Der er kontinuert rentetilskrivning. Opgave 64: Hvor meget er 100 kr. faldet til efter 4 år i nedenstående tilfælde, når den nominelle rentefod er -17% p.a. a) Der er én årlig rentetilskrivning. b) Der er 4 årlige rentetilskrivninger. c) Der er 1 årlige rentetilskrivninger. d) Der er 65 årlige rentetilskrivninger. e) Der er kontinuert rentetilskrivning. Opgave 644: Forklar, hvorfor man både i opgaverne 640 og 64 oplever, at slutresultatet bliver højere, jo tættere man kommer på kontinuert rentetilskrivning. Opgave 650: Nedenfor er angivet graferne a, b, c og d, der alle er grafer for eksponentielle udviklinger på formen b a : a) Angiv graferne i rækkefølge, således at grafernes funktioner har faldende b-værdier. b) Angiv graferne i rækkefølge, således at grafernes funktioner har faldende a-værdier. 4

44 Opgave 65: Nedenfor er angivet graferne a, b, c og d for fire eksponentielle udviklinger f, g, h og i på formen b a f har fremskrivningsfaktoren 1,15, g har vækstraten -0,7, h s funktionsværdi vokser med 6%, hver gang -værdien øges med 1, og for i er grundtallet 0,46. Alle b-værdierne er pæne tal (de ligger i 50-tabellen). Bestem forskrifter for de fire funktioner f, g, h og i. Opgave 654: Forklar, hvad der sker med funktionsværdierne i nedenstående funktioner, hver gang -værdien øges med 1: a) f : 71,4 b) g : 1180,8 c) h : 0,91,17 d) i : 8 0,5 Opgave 656: Bestem en forskrift for den omvendte funktion til den eksponentielle udvikling angivet på formen f b a. Opgave 660: Antallet N af kerner af en bestemt radioaktiv isotop kan som funktion af tiden t (målt i minutter) beskrives ved forskriften Nt ,9 t. Forklar, hvad konstanterne i forskriften fortæller om antallet af kerner. Opgave 66: Koncentrationen af stoffet R (målt i mg pr. liter) i blodet på en person er som funktion af tiden t (målt i minutter efter indsprøjtningen af stoffet) givet ved funktionsforskriften Rt 17 0,84 t. Forklar, hvad konstanterne fortæller om koncentrationen af stoffet R i blodet på personen. Opgave 670: Anvend metoden (ikke formlerne) til at bestemme en forskrift for de eksponentielle udviklinger, hvis graf går gennem følgende punkter. Tjek resultatet ved at anvende regression i Maple, og tjek efterfølgende ved at kigge i facitlisten: a) 1,6 og 4, 48 b) 4,1 og,9 c),80 og,0 d) 1, 4 og, Opgave 67: Anvend formlerne til at bestemme forskrifter for de eksponentielle udviklinger, hvis graf går gennem nedenstående punkter. Tjek resultatet ved bede Maple løse to ligninger med to ubekendte, og tjek efterfølgende ved at kigge i facitlisten: a) 1, og 4, 50 b),160 og,5 c),7 og 5,6 d) 1, og,5 44

45 Opgave 674: Bestem en forskrift for den eksponentielle udvikling f, hvor f f 17 og 8. Opgave 675: Bestem en forskrift for den eksponentielle udvikling f : b a, der har b-værdien 1, og hvis graf går gennem punktet,75. Opgave 676: Bestem en forskrift for den eksponentielle udvikling g : b a, hvor g 54, og hvis funktionsværdi vokser med 50%, hver gang der lægges 1 til argumentet. Opgave 680: Nedenfor er angivet 4 funktioner: f : 451,7 g : 0,710,84 h :,5,7 i : 4 0,017 a) Hvor meget skal der lægges til -værdien, hvis funktionsværdien for f skal øges med 80%? b) Hvor meget skal der lægges til argumentet, for at funktionsværdien for g skal falde med 60%? c) Hvor meget skal der lægges til -værdien, for at funktionsværdien for h skal blive 1 gange større? d) Hvor meget skal lægges til argumentet, hvis funktionsværdien for i skal halveres? Opgave 68: Anvend samme funktioner som i opgave 680. a) Hvor mange procent øges f s funktionsværdi, hver gang man lægger 8 til argumentet? b) Hvor mange procent falder g s funktionsværdi, hver gang man lægger 5 til - værdien? c) Hvor mange gange større bliver h s funktionsværdi, hver gang man lægger til argumentet? d) Hvor mange procent falder i s funktionsværdi, hver gang man lægger 0,1 til - værdien? Opgave 684: En eksponentiel udvikling f har den egenskab, at hver gang, man lægger 4 til argumentet, øges funktionsværdien med 4%, og grafen for funktionen går gennem punktet,7. Bestem en forskrift for f. Opgave 690: Bestem halverings- eller fordoblingskonstanter for nedenstående eksponentielle udviklinger (afhængig af hvilken af dem der giver mening for den pågældende funktion): a) 61,6 b) 4,0,8 c) 10,6 0,96 d) 0,71,57 Opgave 69: Om den eksponentielle udvikling f oplyses det, at f T1 Bestem f og 7. 9 og T 4. Opgave 694: Om den eksponentielle udvikling g oplyses det, at Bestem g 14. Opgave 696: Om den eksponentielle udvikling f oplyses det, at f T1 Bestem f 1. g 5 8 og. Opgave 6400: Bestem halverings- eller fordoblingskonstanter for nedenstående eksponentielle udviklinger (afhængig af hvilken af dem der giver mening for den pågældende funktion): 45

46 a) 595e b) 54e c) 0,015e 0,14 0,5 0,0059 d e f,9 ) 0,19e ) 5e ) e Opgave 640: Omskriv følgende eksponentielle udviklinger til formen a) 595e b) 54e 0,14 0,5 c) 0,015e d) 0,19e 0,0059,9 b a : Opgave 6450: Hvor meget skal -værdien over, før den afviger med mere end % fra Opgave 6460: Se på den harmoniske svingning angivet ved f : sin 1. a) Bestem den største og den mindste værdi, som funktionen antager. b) Angiv faseforskydningen. Opgave 646: Bestem ved aflæsninger på graferne nedenfor A, k, og c for f og g: sin? Opgave 6500: Bestem en forskrift for den potensvækst, hvis graf går gennem nedenstående punkter. Anvend skiftevis metode og formel. a),1 og 4,16 b) 8,10 og 15,5 c) 9,4 og 6, d) 4,56 og 9,189 e),5 og 5,4 f ) 4, og 16,44 Opgave 6510: Brudstyrken B (målt i kg) af et kokosreb kan som funktion af rebets diameter d (målt i cm) med god tilnærmelse beskrives ved forskriften 1,98 46 B d 150 d. a) Med hvor mange procent øges brudstyrken, når rebets diameter øges med 0%? b) Hvor mange procent skal rebets diameter øges med, hvis brudstyrken skal øges med 10%? c) Hvor mange procent øges brudstyrken, når rebets diameter fordobles? d) Hvor mange procent skal diameteren øges med, hvis brudstyrken skal fordobles? Opgave 651: Svingningstiden T (målt i sekunder) for et matematisk pendul er som funktion af snorlængden l (målt i meter) givet ved forskriften T l 1 l. a) Hvor mange procent skal snorlængden øges, hvis svingningstiden skal fordobles? b) Hvor mange procent øges svingningstiden, når snorlængden øges med 60%? Opgave 6514: Den kinetiske energi E (målt i J ) af en bold kan som funktion af boldens tempo p E p,7 p. (målt i sekunder pr. meter) beskrives ved forskriften

47 a) Hvor mange procent falder den kinetiske energi, når tempoet øges med 40%. b) Hvor mange procent skal tempoet øges, hvis den kinetiske energi skal halveres? Opgave 6516: Arealet A (målt i m ) af et olieudslip kan som funktion af tiden t (målt i minutter A t 6 t ; t 0. efter udslippet) beskrives ved funktionsforskriften 1,5 a) Hvor mange procent øges olieudslippet, når tiden efter udslippet fordobles? b) Hvor mange procent skal tiden efter udslippet øges med, hvis arealet af udslippet skal øges med 00%? Opgave 650: Faktorisér om muligt følgende polynomier ved at regne i hånden (dvs. angiv det faktoriserede polynomium eller skriv, at det ikke kan faktoriseres). Tjek resultatet med Maples factor: a b c d ) 6 )5 0 0 ) ) 4 1 e f g h ) 6 9 )7 7 ) 1 ) Opgave 65: Bestem uden hjælp af Maple rødderne til følgende polynomier: a)1 7 5 b) c) Opgave 654: Bestem ved udregninger i hånden førstekoordinaten til toppunktet for parablerne, der er grafer for følgende polynomier. Tjek resultatet ved at anvende Maples maimize og minimize tilføjet location. a) 17 4 b) c)11 5 d)4 7 7 Opgave 650: Bestem de andengradspolynomier, hvis grafer går gennem de angivne tre punkter: a), 46, 1, 6 og,11 b) 4, 90,, 8 og, 48 d f c),,, 8 og 5, 8 ) 5, 0, 1, 4 og 0,5 e),0, 1,11 og,75 ) 1,1, 0,0 og 1,1 Opgave 6540: Nedenfor ses udklip fra graferne for nedenstående funktioner. Man kan ikke se alle nulpunkter og vendinger på graferne, men kun området omkring 0. Bestem ud fra dette (UDEN hjælpemidler) hvilken graf, der hører til hvilken funktion. 4 4 f : f : f : f : f : 5 4 f : f : f :

48 Opgave 6600 Lydtryksniveauet L (målt i enheden db) er givet ved formlen p L p p 0log p0, 6 hvor p er lydtrykket (målt i Pa), og p er referencelydtrykket (målt i Pa). a) Hvilket lydtryk svarer til lydtryksniveauet 70 db? b) Hvad sker der med lydtryksniveauet, når lydtrykket øges med 0%? Opgave 6601: Stjerner kan opdeles i størrelsesklasser, hvor de klareste stjerner svarer til de mindste størrelsesklasser. Sammenhængen mellem en stjernes absolutte størrelsesklasse M og dens tilsyneladende størrelsesklasse m er givet ved formlen M m 5log r 5, hvor r er afstanden til stjernen målt i enheden parsec. Stjernen Sirius er med sin tilsyneladende størrelsesklasse 1,46 den klareste stjerne på nattehimlen. Afstanden til Sirius er,64 parsec. a) Bestem stjernen Sirius absolutte størrelsesklasse. b) Isolér r i formlen og bestem afstanden til stjernen Canopus, der har den tilsyneladende størrelsesklasse 0,7 og den absolutte størrelsesklasse 5,65. c) Hvad sker der med en stjernes tilsyneladende størrelsesklasse, hvis afstanden til den fordobles? Opgave 660: For gedder (Eso lucius) kan længden L og vægten W beskrives ved Bertalanffys model: L(t) = a(1 e k t ) W(t) = b(1 e k t ), hvor a, b og k er konstanter. L og W måles i henholdsvis cm og kg, og t er geddens alder i dage. For gedder i Esrum sø har man bestemt følgende værdier for a, b og k: a = 158; b = 6,4; k = 0,0016. a) Bestem længden af en 00 dage gammel gedde i Esrum sø. b) Bestem vægten af en 10 cm lang gedde i Esrum sø. Kilde: Journal of European Freshwater Ecology, 00 (4), 107. Opgave 660: For at vurdere forureningen fra et dambrug med plettede skægbrosmer (Urophycis regia), der udleder spildevand i en nærliggende å, har man i en bestem periode målt, hvor meget ammoniak der er i vandet i forskellige afstande fra dambruget. Afstand fra dambruget (m) Mængde ammoniak (mg/l) ,0 4,5,0,4 1,4 a Funktionen f ( ) b, 5, beskriver mængden af ammoniak (målt i milligram pr. liter) som funktion af afstanden (målt i meter) fra dambruget. a) Bestem tallene a og b. b) Beregn hvor stor en mængde ammoniak, er der i 150 meters afstand fra dambruget. c) Bestem afstanden hvor mængden er mindre end 1 mg/l. 48

49 FACITLISTE 0010: a) V ( t) 0,107 t 1, 74 b) V 0,5g c) t 11,8min d) 0,108g 001: a) S T 0,04 T 1,07 b)6,05 mv c)49,4c d) 4,8C e)1,0 C 000: a) a 1,0 b 45,6 b),% c) T 0,6år d)640mio. e) 1997 f ) 0, personer. Det giver ikke mening. Modellen holder ikke så langt tilbage. 000: a) a, 41 b 0, 11 b)141pund c)59,tommer d)88% e)% 1000: a) Ja b) Nej c) Nej d) Nej 1010: a) B, C, F og G b) B, F og G 100: a) A C {1,5, 6,8,9,10}, B C {1,,, 4,5, 6, 7,8,9,10}, D C og E C {,, 4,5, 6, 7,8,9,10} A C {1,5, 6,8,9,10,11}, B C {1,,, 4,5, 6, 7,8,9,10,11}, D C {11} og E C {,, 4,5, 6, 7,8,9,10,11} : a) b) c) d) e ) : a) a b c b) y z c) a b d) y z 110: a) y y b)a 6 9 b c) a d)8a 6b 16 ab e) 6 y 1z f ) y y g) 1a b a b 15 ab h) y : a)1 b) c) d) e) f ) g) h) i) j ) : a) b) c) d) e) f ) g) h) i)6 j ) a : a) a b 1 b) y c) d) e)5 f ) g) a s y 100: a) b)1 c) d) 45 e) a f ) c g) h) f i)7 j) k k) l) t : a) 4 b)8 c) 7 d) 49 e) f ) g) 4 h) i) : 8,4 m : HP BF 4 5 0: Topvinklerne ved C er kongruente. B og D er vekselvinkler dannet ved parallelle linjer, dvs. 8 de er kongruente (og det er A og E også). CE 6 AB 040: a) A 61, c 9,15, b 4, 4 060: T 81, b) R 9,7, S 50, 8, r 8,1 c) Q 41, 4, W 48,58, a,67 T 940,5cm 061: T 6,0 06: a 7,7 06: A 1,1 064: K 15,97 065: K 69, g 6,8 og k 9, 4 066: E 16,87 067: A 18,19 070: A 5,8, D 8,og E 87,8 07: j 5, 49

50 07: A 16,4, B 111,5 og C 5, T ABC 6,95 074: A 19, 4 078: En sådan trekant eksisterer ikke (vinklerne er komplekse tal). Den opfylder ikke trekantuligheden. 080: T : BN 7,86 084: a) T 0 b) T 0 c)imaginært tal (komplekst tal) d) T 6 090: a) B,7, C 99, 8 og c 14,61 b) mulige trekanter: B 51, 60, C 9, 40og c 15, 0 B 18, 40, C 15, 60og c 4, c) B,56, C 6, 44 og c 8,9 d) B 90, C 60 og c e ) Ingen trekant f ) B 60, C 60 og c 9 g )Ingen trekant 100: a) 1,0 m b) : a) T,75 b) GP 10,64 c) GDP 115,41 104: a) BD 10 km b) A 899 km 106: v 109, : a) s b) d, pog s c) bog u d) b e) cog h f ) b, n, q, r og s g) b, d, p, s og u h) f og t i) m j) n, r og v k) cog h l) d m) u n) g og t o) g og t p) Nej q)ja r) s)ja t) Nej u)ja v)ja w )0 00: a) s b) c c) v d) h e) n f ) b g) c h) h i) c j) s k) c 0: b 5, 4 00: 040: 04: ab 17,8 050: F 50 N og F 75N og v 6,6 n res 05: a) F 657,1N F 49, 4 N b) v 7,1 n res kg m kg m 060: a) psamlet 806 b) v 9, 7 c) psamlet 109 s s 06: p1, efter 1,

51 070: a) SP b) OB c) AD d) VA e) AR f )0 g) AD h) DK i) WK 080: b 4v1 v, c v1 v, d 1v1 1 v, f 4v1 0 v, g 4v1 v 08: 4,18, 1,15, 15,1 og 8,6 c v 1 v, d 4v v, f 1v v, g 5v 0 v, h 11v 9 v 084: : a, b, c, d, f, g, h, i, j a1 b 09: eller a b a b a b : a) F 969,5 N b) F 149,8 N c)1, 7 m t res 6 kg m 6 kg m 10: pbil,1 7,910 pbil, 4,9 10 s s m m 104: v 16,8 vy 10,9 s s 106: Ft 894,9N Fn 891,5 N 110: a) A 866 J b) A 0 J c) A 400 J d) A 610J 4000: a) Nej b) 1 c) a 19b d) Nej e) f ) 5 g) 7 h) 1 i) Nej j) : a b 7 a) 7 b) c) 4 d) 59 e) f ) a b g h i j k a) 1 4 b) c) ) 5 ) ) 4 ) 1 )6 4011: d) e) : a) 4 b) 4 c) d) 8 400: a) b) c) d) 1 e) 4100: a) 6 b) Falsk c) Sandt d) Falsk e) f ) Falsk g) Sandt h) Falsk i) 0 j) Sandt 410: g), y 1,0 h), y, z, 1,0 a) Falsk b) 0 c) 0 d), y, z 0,0,0 e) Sandt f ) Sandt 64 4