Matematikprojekt. Differentialregning. Lavet af Arendse Morsing Gunilla Olesen Julie Slavensky Michael Hansen. 4 Oktober 2010

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Matematikprojekt. Differentialregning. Lavet af Arendse Morsing Gunilla Olesen Julie Slavensky Michael Hansen. 4 Oktober 2010"

Transkript

1 Matematikprojekt om Differentialregning Lavet af Arendse Morsing Gunilla Olesen Julie Slavensky Michael Hansen 4 Oktober 2010

2 Indhold I Del I Differentialregningens centrale begreber II Differentiable funktioner og tre-trins reglen III Regneregler for differentiation IV Lingningen for tangenten V Graf kontra differenskvotient VI Hvilken betydning har differentialregning II Del I Bevis for d dx xn = n x n II Bevis for d dx ekx = ke kx III Bevis for d dx ax = ln(a) a x IV Bevis for d dx xa = a x a V Bevis for d dx x III Del I Indretning af en hønsegård II Vækst i en bakteriekoloni III Fortolkning af differentialkvotienten

3 Figurer 1 Funktionstilvækst Tangenten til en graf Tangenten for en funktion Epsilon-Delta beskrivelse af kontinuitet, for f(x) Grænseværdien for f(x) gående mod b Afstanden som funktion af tiden Grænseværdien for en differentialkvotient Skitse af hønsegården Arealet som funktion af bredden, af en hønsegård Bakteriers udvikling som funktion af tiden Øjebliksudviklingen af bakterier, som funktion af tiden Overfladen af en cylinder som funktion af radius

4 I Del 1 I Differentialregningens centrale begreber Funktionstilvækst Funktionstilvækst er et udtryk for med hvilken værdi en funktion aftager eller vokser fra et punkt x 0 til et andet punkt x 0 + h. Når man søger at bestemme funktionstilvæksten tages udgangspunkt i et punkt, x 0. Til dette punkt hører et såkaldt nabopunkt, som kan ligge både til højre eller venstre for x 0. Nabopunktet betegnes x 0 + h. Dette kan ses illustreret på figur 1. Figur 1: Funktionstilvækst Funktionstilvæksten kaldes y og er defineret ved y = f(x 0 + h) f(x 0 ) Tilvæksten kan altså både være positiv, negativ eller 0, afhængig af grafens udseende omkring punktet x 0. Desuden afhænger funktionstilvæksten af h. Differentialkvotient Differentialkvotienten er et udtryk for hældningen for en graf i et bestemt punkt. Denne hældning bestemmes ved at tegne en tangent til grafen i det punkt, hvor hældningen ønskes bestemt. Lige præcis i det punkt, hvor tangenten rører grafen, er grafen tilnærmelsesvis lineær. Differentation af en funktion forudsætter, at funktionen er kontinuerlig. Differentialkvotienten benævnes f (x) for funktionen f(x), g (x) for funktionen g(x) osv. 3

5 Differentialkvotienten er altså interessant, idet den beskriver væksthastigheden den være sig negativ eller positiv. Dette er meget nyttigt i forhold til eksempelvis markedsanalyser. Tangent og sekant En tangent er en ret linje der tangerer grafen i et punkt, men er vinkelret på stedvektoren i det pågældende punkt. Tangenten kan således bruges til at bestemme hældningen i et punkt, P 0 defineret ved x 0, dvs. differentialkvotienten for f(x 0 ), som det ses på figur 2. Figur 2: Tangenten til en graf. En sekant er en ret linje, der går igennem to punkter, P 0 (x, f(x)) (det punkt, hvor tagenten tangerer) og P 1 (x + h, f(x + h)), på grafen. Sekanten er ligesom tangenten et redskab til at bestemme hældningen i bestemt punkt på grafen. Ud fra de to punkter P 0 og P 1, bestemmes hældningen vha. følgende formel: a s = y 1 y 0 x 1 x 0 Og udtrykkes også a s = y h Hvor y er funktionstilvæksten på y-aksen og h er funktionstilvæksten på x-aksen. Jo mindre man vælger h, jo tættere vil man altså komme på tangentens hældning i punktet P 0. Dette betyder, at hvis h er tæt ved 0, er sekanthældningen a s tæt ved tangenthældningen a t. Denne sammenhæng skrives således: a s a t eller Dette ses illustreret på figur 3 lim h 0 a s = a t 4

6 Figur 3: Tangenten for en funktion. Differenskvotient Vi ser på følgende sammenhæng fra før 1 : a s = y 1 y 0 = f(x 0 + h) f(x 0 ) = f(x 0 + h) f(x 0 ) x 1 x 0 x 0 + h x 0 h = y h Disse brøker kaldes differenskvotienten, fordi de er kvotienter mellem to differenser, nemlig y 1 y 0 og x 1 x 0, dvs. mellem f(x 0 + h) f(x 0 ) og (x 0 + h) x 0. II Differentiable funktioner og tre-trins reglen Kontinuitet En funktion anses for at være differentiabel i et punkt, hvis den er kontinuert i definitionsmængden. Men hvornår er en funktion kontinuert? Overordnet siger man at en funktion er kontinuert, hvis der ikke findes brud eller hak på funktionsgrafen. Den skal således være glat. Men da dette ikke er et særligt præcist udtryk, benytter man ofte epsilon-delta definitioner, for at gøre det helt præcist. En funktion f er kontinuerlig i et punkt a D f, hvis det gælder, 1 Vi vil senere i afsnittet om tre-trinsreglen benytte et lignende udtryk, bare med i stedet for h. 5

7 at for en vilkårlig valgt ε > 0, uanset hvor lille den end kan være, må der findes en δ > 0, sådan at når x D f og x a < δ, så er f(x) f(a) < ε.[4] Figur 4: Epsilon-Delta beskrivelse af kontinuitet, for f(x) Det betyder kort og godt, at for at en funktion f(x) skal være kontinuert, så skal der kunne findes en δ, uanset hvor lille ε er, således at hele funktionsgrafen over intervallet a δ, a + δ skal kunne findes imellem de vandrette linjer med højden f(a) ε, f(a) + ε. Man kan også vælge at definere en grænseværdi ud fra denne sætning Hvis funktionen f er defineret i en omegn om x 0 og f(x) f(x 0 ) for x x 0, siges f at være kontinuert i x 0. Hvis f er kontinuert i alle x Dm f, siges f at være kontinuert.[3] Hvilken sætning man foretrækker, er en smagssag. Epsilon-delta definitionen er efter vores mening, den mest præcise. Grænseværdi Et andet begreb vi må have i spil for at kunne definere differentiable funktioner, er grænseværdier. En grænseværdi kan overordnet beskrives som at man udvælger en punkt a og et hjælpepunkt a 1 på en funktionsgraf. For at finde en grænseværdien til a, lader man hjælpepunktet a 1 gå mod a og man har da fundet grænseværdien, når hjælpepunktet a 1 ligger uendeligt tæt på punktet a. Dette er igen en temmelig vag formulering og det kan gøres mere matematisk korrekt ved at sige at Vi antager at f er defineret i omegnen af a. Vi siger at f(x) nærmer sig b som grænseværdi, når x går mod a, når følgende gælder. For ethvert tal ε > 0 skal der kunne findes et δ > 0, sådan at f(x) b < ε for alle x, sådan at 0 < x a < δ. Dette opskriver vi med symboler til eller lim f(x) = b x a f(x) b når x a 6

8 Figur 5: Grænseværdien for f(x) gående mod b. Denne beskrivelse minder utroligt meget om beskrivelsen for kontinuitet og der er også en tæt sammenhæng imellem disse to. Læg især mærke til udtrykket 0 < x a < δ, som siger os at vi slet ikke er interesseret i værdien f(a). Vi er derimod interesseret i f(x), når x er uendelig nær, men forskellig fra a.[4] Fortolkningen af epsilon-delta definitionen er stort set den samme som for kontinuitet. Uanset hvor lille en ε vi vælger, skal det være muligt at finde en δ, således at hele funktionsgrafen over intervallet (a δ, a) og (a, a + δ) ligger inde imellem de to vandrette linjer med højden b ε og b + ε. Det kan her være godt at tænke på ε som en fejlmargin som fortæller os hvor lille afstand der er imellem f(x) og den ønskede grænseværdi b. 3-trins reglen Når vi ønsker at differentiere en funktion f(x), er det vi i virkeligheden ønsker, at finde hældningen til en tangent på grafen. Og igennem matematikkens historie har der i lang tid været store problemer med at finde denne hældning. Vi ved alle, at hvis man gerne vil finde den gennemsnitlige hastighed for et objekt, så vælger man 2 forskellige afstande og to forskellige tider og opstiller ligningen: v avg = afstand 2 afstand 1 tid 2 tid 1 På en graf kan man også anskue det ud fra at man udvælger to punkter på grafens x-aksen og trækker dem fra hinanden og udvælger 2 punkter på grafens y-akse og trækker dem fra hinanden. Og disse to tal sætter man ind i en brøk og får derved gennemsnittet, som det ses på figur 6. Problemet med denne fremgangsmåde er, at uanset hvor tætte værdier vi vælger, så vil det altid være et gennemsnit. Sagt på en anden måde. Uanset hvor tætte værdier vi vælger på x og y aksen, hvor x 1 x 2 og y 1 y 2, så 7

9 Figur 6: Afstanden som funktion af tiden. vil det altid være en sekant vi finder. Og vi ville jo gerne finde tangenten. Men det er uomtvisteligt, at jo nærmere x 2 kommer på x 1 så vil y 2 y 1. Og vi har jo lige haft en definition af grænseværdi i spil, som vi udemærket kan bruge. Vi vælger nu at omdefinere vores eksempel. Vi vælger nu at indføre punkterne (x, x + ) og (f(x), f(x + )), som det ses af figur 7. Her er er en vilkårlig stigning og 0. Vi er nu klar til at opstille et udtryk for gennemsnittet for denne funktion. Dette bliver: f = f(x + ) f(x) x + x Denne udtryk kan også skrives som f = f(x + ) f(x) y h = f(x 0 + h) f(x 0 ) h Tricket er nu at vi tager grænseværdien for x + gående mod x eller sagt på en anden måde, går mod 0. Dette skrives med symboler som: eller sagt på en anden måde f lim 0 = f (x) f f (x) når 0 8

10 Figur 7: Grænseværdien for en differentialkvotient. Vi har nu udledt den matematiske baggrund for 3-trins reglen og vi vil i næste afsnit give et eksempler på hvordan den benyttes, under udledning af regnereglerne for differentiation. Men man kan kort ridse arbejdsgangen op i tre trin. III 1. Beregning af funktionstilvæksten y 2. Beregning af differerenskvotienten y h 3. Undersøgelse af om y h f (x) når h 0. Regneregler for differentiation Vi vil i denne sektion bevise reglerne for differentiation af en differens, et produkt og en brøk. Differentiation af en differens Hvis funktionerne f og g er differentiable i x, så er differensen af f og g givet ved (f g) (x) = f (x) g (x) Bevis: Vi sætter forudsætningerne op at både f og g er differentiable og at de hver 9

11 især giver f (x) = og g (x) = Vi benytter 3-trins reglen og får f(x + ) f(x) g(x + ) f(x) h = (f g) = (f(x + ) g(x + )) f(x) g(x) h = 1 f(x + ) f(x) = (f(x + ) f(x)) (g(x + ) g(x)) g(x + ) g(x) Vi ser nu at de to led er differentialerne vi opstillede i starten af beviset og vi kan nu skrive h (f g) = = f (x) g (x) Udtrykket (f g) (x) = f (x) g (x) er sandt og sætningen er hermed bevist. Differentiation af et produkt Hvis funktionerne f og g er differentiable i x, så er produktet af f og g givet ved (f g) (x) = f (x) g(x) + f(x) g (x) Bevis: Vi starter kort med at redegøre for, at hvis f(x) er differentiabel gælder: f (x) = f(x + ) f(x) og hvis g(x) er differentiabel, så gælder der: Vi kan nu starte beviset. g (x) = h g(x + ) f(x) = f(x) g(x) 10

12 h f(x + ) g(x + ) f(x) g(x) = Vi indfører leddet [ f(x) g(x + ) + f(x) g(x + )] og får = 1 f(x + ) g(x + ) f(x) g(x + ) + f(x) g(x + ) f(x) g(x) = 1 (f(x + ) f(x)) g(x + ) + f(x) (g(x + ) g(x)) f(x + ) f(x) = = f g g(x + ) + f(x) g(x + ) + f(x) g(x + ) g(x) Da f = f (x) og g = g (x) og g(x + ) = g(x) når 0, får vi Sætningen er bevist. Differentiation af en kvotient (f g) (x) = f (x) g(x) + f(x) g (x) Hvis funktionerne f og g er differentiable i x, så er kvotienten af f og g givet ved ( ) f (x) = f(x) g(x) g = f (x) g(x) f(x) g (x) (g(x)) 2 Bevis: Vi tillader os her at substituere f(x) med u og g(x) med v. f(x) g(x) v+ v u v = u u+ u v = Vi kan nu finde fællesnævner for denne brøk u v = 1 uv + ( u)v uv u v (v + v)v u v = 1 ( u)v u v (v + v)v u u v = v u v (v + v)v 11

13 Vi lader nu gå mod nul og står tilbage med u v du = v u dv dx dx v 2 u v = u v uv v 2 Vi sætter nu f(x) og g(x) tilbage igen og får u v = og sætningen er hermed bevist. IV ( ) f (x) = f (x)g(x) f(x)g (x) g (g (x)) 2 Lingningen for tangenten Hvis funktionen f er differentiabel i x 0, så er en ligningen for tangenten for f i røringspunktet (x 0, f(x 0 )) givet ved: y = fx 0 + f x 0 (x x 0 ) Bevis: Tangenten er en ret linje på formen y = ax + b Som tidligere nævnt er f (x) et udtryk for grafens hældning. Altså kan vi skrive y = f x 0 x + b Og da tangenten går gennem punktet (x 0, f(x 0 )), så opfylder ligningen fx 0 = f x 0 x 0 + b b = fx 0 f x 0 x 0 Det fundne udtryk for b indsættes i ligningen: y = f x 0 x + fx 0 f x 0 x 0 y = fx 0 + f x 0 (x x 0 ) Sætningen er hermed bevist. 12

14 V Graf kontra differenskvotient Som tidligere beskrevet fortæller f (x), hvordan funktionen udvikler sig. Fordelen ved at kende f (x) er således, at man kan danne bestemme funktionens eksakte bevægemønstre, herunder ekstremumsværdier. Dette kalder vi monotoniforhold. Ved blot at betragte grafen for f(x) vil man kunne danne sig et overblik, men med f (x) bliver værdierne eksakte. VI Hvilken betydning har differentialregning Differentialregning anvendes til at beskrive en funktions udvikling. Lad os sige, at funktionen viser sammenhængen mellem temperatur og et bestemt enzyms aktivitet. Ud fra grafen vil man kunne se, at enzymets aktivitet svinger i forhold til temperaturen. Hvis man som producent af vaskemidler ønsker at vide, hvornår aktiviteten er på sit højeste, således at man kan skrive på sit produkt, at man anbefaler brugerne at vaske ved en bestemt temperatur, benytter man f (x). Ved at differentiere funktionen kan man nemlig bestemme den eksakte temperatur, hvor enzymerne arbejder mest effektivt. Generelt set har det, som også tidligere nævnt, været et stort problem at finde hældningen for en tangent til en kurve. Med andre ord, det har været et stort problem at finde den eksakte værdi af ændringen for en funktion, i et punkt. Det var først for alvor da Newton og Leibniz fremsatte deres matematiske beviser for differentialregningen, at man blev fuldt ud i stand til at beregne på disse tangenter. Dette har haft stor betydning, da man nu med forholdsvis enkle matematiske regneregler, har kunne finde ændringerne for bestemte punkter, for alle funktioner. Hvem af dem der iøvrigt kom først var der en del debat om. Newton var den første til at opdage beviserne, men Leibniz var den første til at publicere en artikel med metoden. Dette satte englænderne af i forhold til matematikkens udvikling, da de nægtede at anerkende Leibniz ophav til metoden. I dag anerkendes begge mænd for at have opdaget differentialregningen. II Del 2 I Bevis for d dx xn = n x n 1 Funktionerne x n for n N, er differentiable i alle x R, og der gælder: ((x n ) = n x n 1 13

15 Bevis: n < 0 n > 0 n = 0 Disse er de tre tilfælde for n. som vi nu vil redegøre for, når vi antager at x er forskellig fra 0. Hvis vi kigger på hvad brøkreglen siger, kan vi antage at f og g er differentiable i x 0, og g(x 0 ) er forskellig fra 0, så er kvotient differentiablen i f g differentiabel i x 0 og dens differentialkvotient er: ( ) f (x 0 ) = f (x 0 ) g(x 0 ) f(x 0 ) g (x 0 ) g g(x 0 ) 2 Da (x n ) = (xn ) (x n) = n xn 1 = n x n 1 x 2n = n x n 1 2n = nx n 1 2 x 2 n Vi er hermed tilbage ved vores oprindelige udtryk, og har bevist at formlen kan bruges når n < 0 n > 0 N skal altså være forskellig fra 0, fordi noget løftet i n giver 0 hvis x = 0. Man kan også bevise denne sætning af anden vej. Hvis vi antager at der for et vilkårligt n N gælder at (x n ) = n x n 1, da kan vi benytte produktreglen på funktionen x n+1 : (x n+1 ) = (x x n ) = (x) x n + x (x n ) = 1 x n + x n x n 1 = x n + n x n = (n + 1) x n Da dette er reglen for potensen n + 1, kan vi via induktion slutte, at hvis reglen gælder for ét tal n i talrækken N, så gælder det også for det næste tal, n + 1, i rækken. Men vi ved allerede at den gælder for n = 1. Deraf kan vi slutte at den må gælde for alle tal i N II Bevis for d dx ekx = ke kx Sætning: Hvis e kx er en differentiabel funktion, gælder der at d dx ekx = ke kx Bevis: Vi benytter reglerne for den sammensatte funktion, og ganger den ydre med den indre funktion, således: h(x) = f(g(x)) Vi finder først den ydre og den indre funktion, som her er: f(t) = e t 14

16 og t = g(x) = k x Vi kan nu gange den ydre med den indre ved, h(x) = e t k = e kx k = k e kx det er hermed bevist at d dx ekx = ke kx. III Bevis for d dx ax = ln(a) a x Sætning: Hvis a x er en differentiabel funktion, gælder der at d dx ax = ln(a) a x Bevis: Vi viser først at a = e ln(a) for a > 0. Vi kan se at a = e ln(a), da vi også ved at f 1 e x = ln(x). Derved bliver det tydeligt at e ln(a) = a. Hvis man sætter a 0, vil man komme til at dividere med nul eller finde et komplekst tal. Derfor skal a > 0. For at komme videre har vi brugt den potensregel som siger at (a m ) n = a mn og får a x = e ln(a)x Nu skal vi vise at (a x ) = ln(a) a x. Vi deler funktionen op i en indre og ydre funktion og får f(t) = e t som den ydre funktion og t = g(x) = ln(a)x som den indre funktion og benytter vi reglerne for den sammensatte funktion, får vi: h (x) = e t ln(a) = e ln(a)x ln(a) Men vi definerede jo starten af beviset at e ln(a)x = a x og derfor bliver vores endelige udtryk og sætningen er bevist. h (x) = d dx ax = a x ln(a) = ln(a) a x 15

17 IV Bevis for d dx xa = a x a 1 Sætning: Hvis x a er differentiabel, så gælder der at d dx xa = a x a 1 Bevis: Regnereglerne for eksponentielle funktioner siger at a x = (e ln(a) ) x = e ln(a) x. Vi kan af denne vej udlede at x a = e ln(x) a. Dette skyldes at x a = e ln(x) a = ( e ln(x)) a = (x) a = x a. Vi har nu en sammensat funktion af f(t) = e t og t = g(x) = ln(x) a. Vi differentierer med reglen for en sammensat funktion og får Da e ln(x) a = x a, får vi d eln(x) a = e ln(x) a a eln(x) a dx x = a x x a x a = 1 x xa a = x 1 x a a = x a+( 1) a Dette giver os udtrykket d dx xa = a x a 1 og sætningen er hermed bevist. Man kan også bevise sætningen ud fra potensreglen, som vi beviste tidligere. Den siger blot at når x n = nx n 1 så må V Bevis for d dx ln(x) = 1 x x a = ax a 1 Sætning: Hvis ln(x) er differentiabel, så gælder der at d dx ln(x) = 1 x Bevis: Da f 1 e x = ln(x) ved jeg at e ln(x) = x. Jeg sætter nu at g(x) = ln(x) og får derfor e g(x) = x 16

18 Jeg differentierer på begge sider og får d dx eg(x) = d dx x Den ene side differentieres som en sammensat funktion, hvor f(t) = e t og t = g(x). d dx eg(x) = d dx x e t g (x) = d dx x e g(x) g (x) = 1 g (x) = 1 g(x) Jeg indsætter nu g(x) = ln(x) og får d dx ln(x) = 1 e d ln(x) dx ln(x) = 1 x og sætningen er hermed bevist. III Del 3 I Indretning af en hønsegård En bonde vil gerne bygge et hønsebur og vil derfor gerne regne ud, hvordan han får mest hønsebur ud af det hegn han har til rådighed. Man kan se en skitse af buret, på figur 8. For at bygge et hønseburet, ved at vi at vi skal bruge hønsenet til 3 af burets fire sider, da der ikke skal være net over buret, under buret eller på den side, som står op af muren. Vi benytter os af udtrykket for et rektangels omkreds O = 2(b + h) og af et rektangels areal A = b h. Men da vi kun skal bruge hønsetråd til 3 af siderne, bliver vores udtryk i stedet O = 2h + b. Da vi har 20 meter hønsetråd til rådighed, vil disse udgøre vores maksimale omkreds og vores udtryk bliver da O = 2h + b 20 = 2h + b h = b

19 Figur 8: Skitse af hønsegården Vi indsætter nu udtrykket for h, som vi lige fandt, ind i udtrykket for rektanglets areal og får ( ) b 20 A(b) = b = b2 20b = b2 10b For at finde toppunktet for dette andengrads polynomiun, finder vi først differentialkvotienten. da 1 db 2 b2 10b = b 10 Vi ved at toppunktet for en graf findes der hvor hældningen for grafen er 0, da dette indikerer at grafen ikke længere stiger. Da differentialkvotienten også kan ses som grafens hældning i et givent punkt eller, det er det punkt hvor grafen for differentialkvotienten skærer b-aksen, altså der hvor b 10 = 0. 0 = b 10 b = b = 10 Dette er forholdsvist simpelt at se at b må være 10. Arealet af hønseburet vil da være størst, når bredden b er 10. II Vækst i en bakteriekoloni En af de felter hvor man har stor gavn af differentialregningen, er ved forudsigelsen af bakteriers udvikling. Vi får her oplyst at en bakteriekolonis 18

20 Figur 9: Arealet som funktion af bredden, af en hønsegård udvikling er givet ved udtrykket f(t) = , 6 e 0,09 t hvor f(t) er antallet af bakterier til tiden t, som er udtrykt i timer. For at finde bakteriernes øjebliksvækst, må vi først finde differentialkvotienten. For at finde denne, benytter vi os af reglen for differentiation af en brøk og et produkt. Vi starter med at differentiere nævneren i brøken, som er 1 + 4, 6 e 0,09 t. g(x) = 1 + 4, 6 e 0,09 t g (x) = 0 e 0,09 t + 4, 6 0, 09e 0,09 t g (x) = 0, 41 e 0,09 t 19

21 Vi opsætter nu mit udtryk for differentiantion af brøken og finder at f ( 0, 41)e 0,09 t (t) = (1 + 4, 6e 0,09 t ) 2 f 9560 ( 0, 41)e 0,09 t (t) = (1 + 4, 6e 0,09 t ) 2 f 3919, 6 e 0,09 t (t) = (1 + 4, 6e 0,09 t ) 2 Vi har nu findet et udtryk for differentialkvotienten for bakteriernes antal og kan nu finde ud af, hvilken vækst de havde, til tiden t = 10 f (10) = e 0,09 10 = 193, 44 (1 + 4, 6e 0,09 t ) 2 Bakteriernes antal er øges med 193, 44 bakterier til tiden t = 10. Differentialkvotienten af funktionen for bakteriernes udvikling fortæller os altså noget om, hvilken udvikling bakteriekulturen har i ét særligt punkt, i dette tilfælde tiden i timer. For at finde den maksimale antal vækst for bakterierne, benytter vi os af programmet Maples optimiseringsfunktioner. Vi beder Maple om at finde det lokale maksimum for funktionen og finder at dette er ved tiden t = 16, 95 17, hvor væksten er 213, 02 bakterier i timen. Dette kan ses på figurerne fig.10 og fig.11. Opgaven En kugle har en overflade som er givet ved udtrykket O(x) = 13 3 πx x hvor O(x) er et udtryk for overfladen som funktion af cylinderens radius. Vi differentierer først udtrykket for cylinderen og får O (x) = πx 3 x 2 Vi kan nu indsætte værdien 2 og finde ud af at O (2) = π2 3 2 = 44.45dm 2 Hvis vi skal finde den radius, hvor cylinderen har den mindste overflade, vil vi finde funktionens lokale maksimum, hvor resultatet ikke må givet et tal O (x) < 0. Vi har arbejdet lidt i Maple og fundet frem til at ved radius x = bliver omkredsen O (x) = Så det må være deromkring at tallet skal være, men vi har haft en del problemer med at finde det eksakte tal. 20

22 Figur 10: Bakteriers udvikling som funktion af tiden Figur 11: Øjebliksudviklingen af bakterier, som funktion af tiden 21

23 III Figur 12: Overfladen af en cylinder som funktion af radius Fortolkning af differentialkvotienten I opgaven bliver man bedt om at finde det tidspunkt hvor partiklens hastighed er 2 m. Ved at finde hældningen til kurven i et bestemt punkt, finder man lige præcis det tidspunkt hvor partiklen har en bestemt hastighed, s eller det bestemte tidspunkt hvor bevægelsen har én bestemt udvikling. Ville man differentiere endnu engang, ville man finde hældningen til partiklens instantane hastighed, som også er accelerationen. I dette tifælde bliver man dog bedt om at finde ud af tidspunktet hvor partiklen har en bestemt hastighed. I den anden opgave (6.007) bliver man bedt om at finde trykket til højden 15km. Man kan sige at en differentiation af denne funktion vil sige noget om hvordan trykket udvikler sig i én bestemt højde. Differentialkvotienten kan altså sige os noget om, hvilken udvikling en funktion har til i ét særligt punkt. Endnu en differentiation vil sige noget om hvilken udvikling den første differentiation har til i et særligt punkt. 22

24 Litteratur [1] Jens Carstensen, Jesper Frandsen, and Jens Studsgaard. Mat B (hf). Systime, 1st edition, [2] Jens Carstensen, Jesper Frandsen, and Jens Studsgaard. Mat B til A. Systime, 2nd edition, [3] Claus Jessen, Peter Møller, and Flemming Mørk. Vektorer, geometri og differentialregning. Gyldendal, 1st edition, [4] Tom Lindstrøm. Kalkulus. Universitetsforlaget, 3rd edition,

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

PeterSørensen.dk : Differentiation

PeterSørensen.dk : Differentiation PeterSørensen.dk : Differentiation Betydningen af ordet differentialkvotient...2 Sekant...2 Differentiable funktioner...3 Bestemmelse af differentialkvotient i praksis ved opgaveløsning...3 Regneregler:...3

Læs mere

Differentialregning. Ib Michelsen

Differentialregning. Ib Michelsen Differentialregning Ib Michelsen Ikast 2012 Forsidebilledet Tredjegradspolynomium i blåt med rød tangent Version: 0.02 (18-09-12) Denne side er (~ 2) Indholdsfortegnelse Introduktion...5 Definition af

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

Differentialregning Infinitesimalregning

Differentialregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Differentialregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne differentialregning, og anskuer dette som et derligere redskab til vækst og funktioner. Noterne er supplement til kapitel

Læs mere

Integralregning Infinitesimalregning

Integralregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement

Læs mere

1 Differentialkvotient

1 Differentialkvotient gudmandsen.net Ophavsret Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er tilladt i ikke-kommercielle sammenhænge, sålænge dette foregår med tydelig kildeangivelse. Al anden

Læs mere

M A T E M A T I K B 2

M A T E M A T I K B 2 M A T E M A T I K B 2 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK (2) f a x b () Matematik B2 2. udgave, 206 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle

Læs mere

Matematik B2. Mike Auerbach. (2) f (1)

Matematik B2. Mike Auerbach. (2) f (1) Matematik B2 Mike Auerbach (2) f a b () Matematik B2. udgave, 205 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne er skrevet vha. tekstformateringsprogrammet

Læs mere

BEVISER TIL KAPITEL 3

BEVISER TIL KAPITEL 3 BEVISER TIL KAPITEL 3 Alle beviserne i dette afsnit bruger følgende algoritme fra side 88 i bogen. Algoritme: Fremgangsmåde til udledning af forskellige regneregler for differentiation af forskellige funktionstyper

Læs mere

10. Differentialregning

10. Differentialregning 10. Differentialregning Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen, Matematik for adgangskursus, B-niveau 2, 2. udg. 10.1 Grænseværdibegrebet I afsnit 7. Funktioner på side

Læs mere

Kapitel 2. Differentialregning A

Kapitel 2. Differentialregning A Kapitel 2. Differentialregning A Indhold 2.2 Differentiabilitet og tangenter til grafer... 2 2.3 Sammensat funktion, eksponential-, logaritme- og potensfunktioner... 7 2.4 Regneregler for differentiation

Læs mere

MM501 forelæsningsslides

MM501 forelæsningsslides MM50 forelæsningsslides uge 36, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm Nogle talmængder s. 3 N = {, 2, 3, } omtales som de naturlige tal eller de positive heltal. Z = {0, ±, ±2, ±3, } omtales som de hele

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

Opvarmningsopgaver. Gang parentesen ud: Forkort brøken: Gang parentesen ud: (1.5 + x) 2 (1 + x) 3. Forkort brøken. Gang parentesen ud: (x 0 + x) 3

Opvarmningsopgaver. Gang parentesen ud: Forkort brøken: Gang parentesen ud: (1.5 + x) 2 (1 + x) 3. Forkort brøken. Gang parentesen ud: (x 0 + x) 3 eks. Intro til differentialregning side 1 Opvarmningsopgaver 10. november 2012 12:58 Gang parentesen ud: Forkort brøken: Gang parentesen ud: (1.5 + x) 2 (1 + x) 3 Gang parentesen ud: Forkort brøken (x

Læs mere

Ang. skriftlig matematik B på hf

Ang. skriftlig matematik B på hf Peter Sørensen: 02-04-2012 Ang. skriftlig matematik B på hf Til skriftlig eksamen i matematik B på hf skal man ikke kunne hele pensum. Pensum til skriftlig eksamen kan defineres ved, at opgaverne i opgavehæftet

Læs mere

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01

Læs mere

matx.dk Mikroøkonomi

matx.dk Mikroøkonomi matx.dk Mikroøkonomi Dennis Pipenbring 31. august 2011 Indold 1 Udbuds- og efterspørgselskurver 3 1.1 Lineær.............................. 4 1.2 Eksponentiel........................... 5 1.3 Potens..............................

Læs mere

Differentialregning ( 16-22)

Differentialregning ( 16-22) Differentialregning ( 16-22) 16-22. Side 1 Opgaver med rødt nummer er opgaver der går ud over B-niveauet. 0401 Figuren viser grafen for en funktion f. a) Find ud fra aflæsning på figuren f (3) og f (5)

Læs mere

Contents. Introduktion 2

Contents. Introduktion 2 Contents Introduktion 2 Differentialregning 2 Grænseværdi................................ 2 Tid/distance................................ 2 Regler og eksempler............................ 3 Differentiering

Læs mere

M A T E M A T I K A 2

M A T E M A T I K A 2 M A T E M A T I K A 2 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK (2) f 4 () Matematik A2 2. udgave, 206 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2015 Institution VUC Fredericia Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe Matematik B Susanne Holmelund

Læs mere

Differentialregning. Supplerende opgaver til HTX Matematik 1 Nyt Teknisk Forlag. Opgaverne må frit benyttes i undervisningen.

Differentialregning. Supplerende opgaver til HTX Matematik 1 Nyt Teknisk Forlag. Opgaverne må frit benyttes i undervisningen. Differentialregning Side 1 0401 Figuren viser grafen for en funktion f. a) Find ud fra aflæsning på figuren f (3) og f (5) b) Find ud fra aflæsning på figuren fortegnet for hvert af tallene f (1,5), f

Læs mere

Differentiation. Frank Nasser. 11. juli 2011

Differentiation. Frank Nasser. 11. juli 2011 Differentiation Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Taylorudvikling I. 1 Taylorpolynomier. Preben Alsholm 3. november Definition af Taylorpolynomium

Taylorudvikling I. 1 Taylorpolynomier. Preben Alsholm 3. november Definition af Taylorpolynomium Taylorudvikling I Preben Alsholm 3. november 008 Taylorpolynomier. Definition af Taylorpolynomium Definition af Taylorpolynomium Givet en funktion f : I R! R og et udviklingspunkt x 0 I. Find et polynomium

Læs mere

Kalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger

Kalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Kalkulus - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Mads Friis 8. januar 05 Indhold Grundlæggende uligheder Grænseovergange 3 3 Kontinuitet 9 4 Følger 0 5 Perspektivering 4 Grundlæggende uligheder Sætning

Læs mere

Løsningsforslag Mat B 10. februar 2012

Løsningsforslag Mat B 10. februar 2012 Løsningsforslag Mat B 10. februar 2012 Opgave 1 (5 %) En linje er givet ved: y = 3 4 x + 3 En trekant er afgrænset af linjen og koordinatakserne i første kvadrant. a) Beregn trekantens sider og areal.

Læs mere

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011 Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Som 2015 Institution VUC Vest Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf/hfe Mat B Niels Johansson 14MACB11E14

Læs mere

Differential- ligninger

Differential- ligninger Differential- ligninger Et oplæg 2007 Karsten Juul Dette hæfte er tænkt brugt som et oplæg der kan gennemgås før man går i gang med en lærebogs fremstilling af emnet differentialligninger Læreren skal

Læs mere

Differentiation af Trigonometriske Funktioner

Differentiation af Trigonometriske Funktioner Differentiation af Trigonometriske Funktioner Frank Villa 15. oktober 01 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-01. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her.

Læs mere

Oversigt over undervisningen i matematik 2y 07/08

Oversigt over undervisningen i matematik 2y 07/08 Oversigt over undervisningen i matematik 2y 07/08 side Der undervises efter: AB Nielsen & Fogh: Vejen til Matematik AB ( Forlaget HAX) B2 Nielsen & Fogh: Vejen til Matematik B2 ( Forlaget HAX) EKS Knud

Læs mere

Betydningen af ordet differentialkvotient...2. Sekant...2

Betydningen af ordet differentialkvotient...2. Sekant...2 PeterSørensen.dk Differentiation Indold Betydningen af ordet differentialkvotient... Sekant... Differentiable funktioner...3 f (x) er grafens ældning i punktet med første-koordinaten x....3 Ikke alle grafpunkter

Læs mere

Eksamensspørgsmål. Spørgsmål 1: Funktioner

Eksamensspørgsmål. Spørgsmål 1: Funktioner . Spørgsmål 1: Funktioner Gør rede for sætninger vedrørende andengradsfunktioner. Du skal herunder redegøre for differentiation af en andengradsfunktion, samt formlen til at beregne nulpunkterne for en

Læs mere

Eksamensspørgsmål. Spørgsmål 1: Funktioner

Eksamensspørgsmål. Spørgsmål 1: Funktioner . Spørgsmål 1: Funktioner Gør rede for udvalgte sætninger vedrørende andengradsfunktioner. Du skal herunder redegøre for differentiation af en andengradsfunktion, samt formlen til at beregne nulpunkterne

Læs mere

Løsningsforslag MatB December 2013

Løsningsforslag MatB December 2013 Løsningsforslag MatB December 2013 Opgave 1 (5 %) a) En linje l går gennem punkterne: P( 2,3) og Q(2,1) a) Bestem en ligning for linjen l. Vi ved at linjen for en linje kan udtrykkes ved: y = αx + q hvor

Læs mere

Differentialregning. Et oplæg Karsten Juul L P

Differentialregning. Et oplæg Karsten Juul L P Differentialregning Et oplæg L P A 2009 Karsten Juul Til eleven Dette hæfte kan I bruge inden I starter på differentialregningen i lærebogen Det meste af hæftet er små spørgsmål med korte svar Spørgsmålene

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010

Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010 Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010 Termin Maj 2010 Institution HTX-Sukkertoppen Uddannelse HTX Fag og Niveau Matematik A Lærer Reza Farzin Hold HTX 3.L / science Titel 1 Titel 2 Titel 4 Titel 5 Titel

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2015 Institution Marie Kruses Skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold STX Matematik A Jesper

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau maj 2016: Delprøven UDEN hjælpemidler 4 4

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau maj 2016: Delprøven UDEN hjælpemidler 4 4 Opgave 1: Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 016 4. maj 016: Delprøven UDEN hjælpemidler 4 3x 6 x 3x x 6 4x 4 x 1 4 Opgave : f x x 3x P,10 Punktet ligger på grafen for f, hvis dets koordinater indsat

Læs mere

z + w z + w z w = z 2 w z w = z w z 2 = z z = a 2 + b 2 z w

z + w z + w z w = z 2 w z w = z w z 2 = z z = a 2 + b 2 z w Komplekse tal Hvis z = a + ib og w = c + id gælder z + w = (a + c) + i(b + d) z w = (a c) + i(b d) z w = (ac bd) + i(ad bc) z w = a+ib c+id = ac+bd + i bc ad, w 0 c +d c +d z a b = i a +b a +b Konjugation

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 Differentialligninger

MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 Differentialligninger MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 Differentialligninger 2016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj 2013/2014 Institution Frederiksberg hf-kursus Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf Matematik B (hf-enkeltfag)

Læs mere

MATEMATIK A. Indhold. 92 videoer.

MATEMATIK A. Indhold. 92 videoer. MATEMATIK A Indhold Differentialligninger... 2 Differentialregning... 3 Eksamen... 3 Hvorfor Matematik?... 3 Integralregning... 3 Regression... 4 Statistik... 5 Trigonometriske funktioner... 5 Vektorer

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2016 Institution

Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2016 Institution Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2016 Institution Marie Kruses Skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Stx Matematik A Angela

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 Kapitel 5 Funktioner og grafer, modellering af variabelsammenhænge 2016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler

Læs mere

Matematik A, STX. Vejledende eksamensopgaver

Matematik A, STX. Vejledende eksamensopgaver Matematik A, STX EKSAMENSOPGAVER Vejledende eksamensopgaver 2015 Løsninger HF A-NIVEAU AF SAEID Af JAFARI Anders J., Mark Af K. & Saeid J. Anders J., Mark K. & Saeid J. Kun delprøver 2 Kun delprøve 2,

Læs mere

Kapitel 3 Lineære sammenhænge

Kapitel 3 Lineære sammenhænge Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Skoleår 2016/2017, eksamen maj-juni 2017 Institution Kolding HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Som 2014 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf/hfe Mat B Niels Johansson 7Bma1S14

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del f(5) () f f () f ( ) I 5 () 006 Karsten Juul Indhold 6 Kontinuert funktion 7 Monotoniforhold7 8 Lokale ekstrema44 9 Grænseværdi5 Differentialregning del udgave 006 006 Karsten

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 2014, skoleår 13/14 Institution Frederiksberg HF Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HF Matematik

Læs mere

Funktion af flere variable

Funktion af flere variable Funktion af flere variable Preben Alsholm 6. oktober 2008 1 Funktion af flere variable 1.1 Punktmængder i R k : Definitioner Punktmængder i flerdimensionale rum: Definitioner q Normen af x 2 R k er kxk

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2016 Institution Marie Kruses Skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Stx Matematik B Angela

Læs mere

Mere om differentiabilitet

Mere om differentiabilitet Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December/januar 14/15 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Karin Hansen

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2016 Institution Marie Kruses Skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Stx Matematik B Angela

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2013 Institution

Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2013 Institution Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2013 Institution Marie Kruses Skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Stx Matematik A Angela

Læs mere

11. Funktionsundersøgelse

11. Funktionsundersøgelse 11. Funktionsundersøgelse Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen,Matematik for adgangskursus, B-niveau 2, 2. udg. 11.1 Generelt om funktionsundersøgelse Formålet med

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Juni 2017 Institution HANSENBERG Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold htx Matematik A Irina Kristensen

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December 2015 Institution Kolding HF og VUC, Kolding Åpark 16, 6000 Kolding Uddannelse Flexhold Matematik

Læs mere

Teknisk. Matematik FACITLISTE. Preben Madsen. 4. udgave

Teknisk. Matematik FACITLISTE. Preben Madsen. 4. udgave Teknisk Preben Madsen Matematik 4. udgave FACITLISTE Indhold TAL OG ALGEBRA... LIGNINGER OG ULIGHEDER... GEOMETRI... 4 TRIGONOMETRI... 5 CIRKLEN... 5 6 OVERFLADER UDFOLDNINGER... 5 7 RUMFANG... 8 8 ANALYTISK

Læs mere

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Opgave 1 - Lineær Funktioner. Opgave 2 - Funktioner. Opgave 3 - Tredjegradsligning

Opgave 1 - Lineær Funktioner. Opgave 2 - Funktioner. Opgave 3 - Tredjegradsligning Sh*maa03 1508 Matematik B->A, STX Anders Jørgensen, delprøve 1 - Uden hjælpemidler Følgende opgaver er regnet i hånden, hvorefter de er skrevet ind på PC. Opgave 1 - Lineær Funktioner Vi ved, at år 2001

Læs mere

Differentialligninger. Ib Michelsen

Differentialligninger. Ib Michelsen Differentialligninger Ib Michelsen Ikast 203 2 Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...2 Ligninger og løsninger...3 Indledning...3 Lineære differentialligninger af første orden...3

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Københavns

Læs mere

Matematik A-niveau - bestemmelse af monotoniforhold (EKSEMPEL 1): Side 94 opgave 11:

Matematik A-niveau - bestemmelse af monotoniforhold (EKSEMPEL 1): Side 94 opgave 11: Matematik A-niveau - bestemmelse af monotoniforhold (EKSEMPEL 1): Side 94 opgave 11: Opgave a) Ligningen for tangenten bestemmes. Dog defineres funktionen. Tangent-formlen er pr. definition. (1) Altså

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/juni, 2016 Institution HF &VUC Nordsjælland, Hillerød afdeling Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2017 Institution

Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2017 Institution Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2017 Institution Marie Kruses Skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Stx Matematik A Angela

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 5. 6. semester efterår 2013-forår 2014 Institution Grenaa Tekniske Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 HTX

Læs mere

MASO Uge 7. Differentiable funktioner. Jesper Michael Møller. Uge 7. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen

MASO Uge 7. Differentiable funktioner. Jesper Michael Møller. Uge 7. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen MASO Uge 7 Differentiable funktioner Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 7 Formålet med MASO Oversigt Differentiable funktioner R n R m Differentiable funktioner

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 3 Ligninger & formler 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver

Læs mere

MATEMATIK B. Videooversigt

MATEMATIK B. Videooversigt MATEMATIK B Videooversigt 2. grads ligninger.... 2 CAS værktøj... 3 Differentialregning... 3 Eksamen... 5 Funktionsbegrebet... 5 Integralregning... 5 Statistik... 6 Vilkårlige trekanter... 7 71 videoer.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Vinter 2013/14 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Karin Hansen 7Ama1V13

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Københavns Tekniske Skole, HTX Vibenhus Uddannelse

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012.

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012. MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 Kapitel 6 Differentialregning og modellering med f 2016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold December 2015 vinter VUC Vestegnen stx Mat A Gert Friis

Læs mere

Ugesedler til sommerkursus

Ugesedler til sommerkursus Aalborg Universitet - Adgangskursus Ugesedler til sommerkursus Matematik B til A Jens Friis 12 Adgangskursus Strandvejen 12 14 9000 Aalborg tlf. 99 40 97 70 ak.aau.dk sommer Matematik A 1. Lektion : Mandag

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale

MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale STUDENTEREKSAMEN SOMMERTERMIN 13 MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale 6 timer med vejledning Forberedelsesmateriale til de skriftlige prøver sommertermin 13 st131-matn/a-6513 Forberedelsesmateriale

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen

Matematik A. Studentereksamen Matematik A Studentereksamen 2stx101-MAT/A-01062010 Tirsdag den 1. juni 2010 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

Projektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik

Projektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Projektopgave 1 Navn: Jonas Pedersen Klasse:.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/9-011 Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Indledning Jeg har i denne opgave fået følgende opstilling.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HFe Mat C-B Henrik Jessen

Læs mere

Side 1 af 10. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2009/10

Side 1 af 10. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2009/10 Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2009/10 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Handelsskolen Sjælland Syd, Vordingborg

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni, 2009 Institution Silkeborg Handelsskole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hhx Matematik, niveau

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/juni 2016 Institution VUC- Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HF Enkeltfag Matematik B Jens

Læs mere

Indhold Carstensen, Frandsen, Studsgaard, MAT B HF, Systime 2006, s , 92.

Indhold Carstensen, Frandsen, Studsgaard, MAT B HF, Systime 2006, s , 92. Undervisningsbeskrivelse Termin Sommer 2015 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe Matematik B Vivi Carstensen VICA@kvuc.dk Christine Gråkilde CHGR@kvuc.dk (eksaminator)

Læs mere

Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel

Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel enote 17 1 enote 17 Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel I enote 14 og enote 16 er det vist hvordan funktioner af én og to variable kan approksimeres med førstegradspolynomier

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet Matematik A Studentereksamen Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet st131-matn/a-6513 Mandag den 6 maj 13 Forberedelsesmateriale til st A Net MATEMATIK Der skal

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Årstid/årstal Institution Uddannelse Hf/hfe/hhx/htx/stx /gsk/gif/fagpakke/hf+ Fag og niveau Fagbetegnelsen

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj - juni 2015 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold 414 Københavns VUC Hfe Matematik B Tom Juul

Læs mere

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0 MaB Sct. Knud Gymnasium, Henrik S. Hansen % [FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers..0 Indhold Funktioner... Entydighed... Injektiv...

Læs mere

af koblede differentialligninger (se Apostol Bind II, s 229ff) 3. En n te ordens differentialligning

af koblede differentialligninger (se Apostol Bind II, s 229ff) 3. En n te ordens differentialligning EKSISTENS- OG ENTYDIGHEDSSÆTNINGEN Vi vil nu bevise eksistens- og entydighedssætningen for ordinære differentialligninger. For overskuelighedens skyld vil vi indskrænke os til at undersøge een 1. ordens

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2013 Københavns Tekniske Skole, HTX Vibenhus Uddannelse

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Københavns

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2009-juni 2012 Institution Sukkertoppen/Københavns tekniske skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2011-juni 2014 Institution Sukkertoppen/Københavns tekniske skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)

Læs mere

Differentialkvotient af cosinus og sinus

Differentialkvotient af cosinus og sinus Differentialkvotient af cosinus og sinus Overgangsformler cos( + p ) = cos sin( + p ) = sin cos( -) = cos sin( -) = -sin cos( p - ) = - cos sin( p - ) = sin cos( p + ) = -cos sin( p + ) = -sin (bevises

Læs mere

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1 En funktion beskriver en sammenhæng mellem elementer fra to mængder - en definitionsmængde = Dm(f) består af -værdier og en værdimængde = Vm(f) består af -værdier. Til hvert element i Dm(f) knttes netop

Læs mere