Matematik: Videnskaben om det uendelige. Anden forelæsning: Indivisibler

Transkript

1 Matematik: Videnskaben om det uendelige Anden forelæsning: Indivisibler Klaus Frovin Jørgensen 20. september, / 24

2 Den græske matematik Endelige geometriske objekter er matematikkens objekter Kun det potentielt uendelige accepteres Objekter Processer Det fysiske er abstraheret væk i matematikken Filosofien havde en indflydelse på matematikken 2 / 24

3 Keglesnit 3 / 24

4 Udtømningsmetoden: O(_*1&-C?iD(\51*,%5.&1,8&% En paradigmatisk metode H2 C 1 C 2 E1 G F1 F4 E F H1 E2 F2 O2 E4 F3 E3 d 1 d 2 Figur 4.2;--\51)(1*,%1*-^&[*5&1#,)b*)Z-&%5Z[(8)(1\)K 4\*%85Z)*[&5 C F*&%_,-aE,%/ Q n /8&)&)-*E&8(%%&1.&8 Pn K"#5]1%*%EW;;KF#f-E&) %\/(1 C 1 = d 1 2 A A Qn $ Pn $ df $ d A C 2 d 2. 2 CKU?--&)*#f-E&CKC Det antages, at der findes et areal B = C 2, sådan at 4 / 24

5 5 5 / 24

6 Archimedes og parablens kvadratur Skriftet om Parablens kvadratrur ender med følgende sætning: Proposition 24. Every segment bounded by a parabola and a chord Qq is equal to four-thirds of the triangle which has the same base as the segment and equal height. 6 / 24

7 Vigtigt lemma for beviset af parablens kvadratur Proposition 23. Given a series of areas A, B, C, D,..., Z of which A is the greatest, and each is equal to four times the next in order, then A + B + C Z + 1 /3Z = 4 /3A. 7 / 24

8 Bevis af Sætning 23 8 / 24

9 Dan ABC og del den i de rette ADC og BDC. Kald midten af AD for H og konstruér midtnormalen HE. Keglesnitslæren siger EG = 1 /2GH. Dette medfører AEG : AGH = 1 : 2 Bevis af Sætning 24 GEC : HGC = 1 : 2 Dette giver: 1 1 AEC = AHC = ABC / 24

10 Bevis af Sætning 24 Af symmetri-grunde får vi: 1 AEC + BFC = ABC. 4 Hvis vi følger den halvering af korden, får vi: 1 1 ABC, ABC, ABC, Lad Σ betegne de efterspurgte areal, og lad S n være den n-te sum. Vi har så: S n = ABC ABC n ABC < Σ. 10 / 24

11 Bevis af Sætning 24 Archimedes gætter : Sæt K til at være 4 3 ABC. Der gælder nu: K < Σ eller K = Σ eller K > Σ. At K er arealet vises ved et såkaldt dobbelt-modstrids-bevis. 11 / 24

12 Bevis af Sætning 24 Antag Σ < K. Vælg en følge S n, sådan at det sidste led X i følgen er mindre end forskellem mellem K og Σ, dvs: Fra lemmaet har vi, at K = 4 3 K Σ > X 1 1 ABC = ABC + ABC + + X X. Men herved bliver ABC ABC + + X større end Σ, hvilket er en umulighed, da afsnitssummen altid ligger indenfor parablen. Ligeledes giver antagelsen om K < Σ en modstrid. 12 / 24

13 Archimedes: Metoden Achimedes: Achimedes:Metoden Metoden Fundet af den danske filolog J.L. Heiberg i 1906 Fundet Fundetafafden dendanske danskefilolog filolog J.L. J.L.Heiberg Heibergi 1906 i / 24

14 Fra forordet Archimedes to Erastosthenes greeting. I sent you on a former occasion some of the theorems discovered by me, merely writing out the enunciations and inviting you to discover the proofs, which at the moment I did not give. The enunciations of the theorems which I sent were as follows 14 / 24

15 Metoden var karakteriseret ved: 1 Brug af et vægtstangsprincip, så arealer kan vejes 2 Arealet af en figur forstås som (samlingen) af alle parallelle linjestykker 15 / 24

16 A&+( &+( #"+"8'&70( 34"/+"%5+6( 0B%7$7;( 2( $( CMetodenC6( ;&77&. =$D30%&+-5$0>(E=$D30%&+-5$06(2F)GH(.&+&(.:/&+7&(8&03+$4&'0&6(:;( 0:.(/&7(&+(:4&+0"%(%$'(&7;&'03("?(A&"%-(EA&"%-6(2F2IH<( Beviset fra Metoden Konstruér tangenten ( til B og forlæng til K, sådan at O bliver midtpunkt til BK (OK = OB). Konstruér DE parrallel til AO. Fra keglesnitslæren har vi: CD : ED = AD : AB CD : ED = OE : OB ( Figur 5.2<(ATB &+(&%(#"+"8&'0%J33&(.&/(%:##573%&%(T.(OB %"7;&+&+(#"+"8'&7($ Dette medfører: 4B;%0%"7;(.&/(57/&+0%@%7$7;0#573%($(O<(M"+"8&'0%J33&%(:#-B7;%($(K(&+($('$;&4B CD : ED = OE : OK 0:.(4$0%(#9(?$;5+&7(E=$D30%&+-5$06(2F)G6(0<I2H<( Hæng nu( CD ud på K. Ved vægtstangsprincippet er CD nu i ligevægt med N"/( ED ATB( (ophængt 4B+&( /&%( i E). #"+"8&'0%J33&6( /&+( &+( "?039+&%(.&/( '$7D&0%J %:##573%($(T<(=&%%&(&+(4$0%($(?$;5+()<I<(O5(3:70%+5&+&0(/&7(%"7;&7% 16 / 24

17 Gør nu det samme for alle ordinaterne, hvorved parablens stykker (ophængt i K) balancerer med BOA. S er ligvægtspunktet for BOA (medianernes skæringspunkt). =$D30%&+-5$0>(E=$D30%&+-5$06(2F)GH(.&+&(.:/&+7&(8&03+$4&'0&6(:;( 0:.(/&7(&+(:4&+0"%(%$'(&7;&'03("?(A&"%-(EA&"%-6(2F2IH<( Beviset fra Metoden ( ( Figur 5.2<(ATB &+(&%(#"+"8&'0%J33&(.&/(%:##573%&%(T.(OB %"7;&+&+(#"+"8'&7($ Derved kan vi forstå BOA som ophængt i F. Vi konstaterer nu, 4B;%0%"7;(.&/(57/&+0%@%7$7;0#573%($(O<(M"+"8&'0%J33&%(:#-B7;%($(K(&+($('$;&4B at OK = 3OF, hvorved vi får: 0:.(4$0%(#9(?$;5+&7(E=$D30%&+-5$06(2F)G6(0<I2H<( ( Σ = 1 4 BOA = ATB. N"/( ATB( 4B+&( 3 /&%( #"+"8&'0%J33&6( 3 /&+( &+( "?039+&%(.&/( '$7D&0%J %:##573%($(T<(=&%%&(&+(4$0%($(?$;5+()<I<(O5(3:70%+5&+&0(/&7(%"7;&7% #"+"8'&7( $( #573%&%( B6( :;( %"7;&7%&7(?:+'B7;&0( %$'( #573%&%( 17 / K<( 24

18 Metoden passer ikke til det græske paradigme Archimedes metode er i konflikt med både Platon og Aristoteles: Vægtstangsprincippet er mekanisk (ikke-geometrisk) Der findes uendeligt mange linjer kan vi manipulere med en sådan samling? 18 / 24

19 Indivisiblerne er ikke egentligt begrebsliggjort Archimedes skriver i beviset: Similarly, for all other straight lines parallel to DE and meeting the arc of the parabola 19 / 24

20 Bonaventura Cavalieri ( ) Cavalieris princip: If between the same parallels any two plane figures are constructed, and if in them, any straight lines being drawn equidistant from the parallels, the included portions of any one of these lines are equal, the plane figures are also equal to one another 20 / 24

21 21 / 24

22 Brug af princippet Evangelista Torricelli ( ) 22 / 24

23 Toricellis trompet En uendelig figur med et endeligt volume men uendelig overflade 23 / 24

24 Et brud med det græske paradigme Der findes uendelige figurer; det endelige og det uendelige kan sammenlignes Uendelige processer kan tænkes færdiggjorte Geometri er imidlertid stadig det centrale Men endnu ikke nogen generel teori til at finde arealer af figurer 24 / 24