Opdatering af tilstande i afløbssystemer ved brug af on-line målinger.

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Opdatering af tilstande i afløbssystemer ved brug af on-line målinger."

Transkript

1 Opdaering af ilsande i afløbssysemer ved brug af on-line målinger. Juni 1999 Karsen Arnbjerg-Nielsen Insiu for Miljøeknologi Danmarks Tekniske Universie

2 Dee er en nepublikaion, der kan downloades fra hp:// Udgive af: Insiu for Miljøeknologi Danmarks Tekniske Universie Bygning Lyngby Tlf.: Fax: ii

3 Resume Der er e sigende behov for a kende belasningen i afløbssyseme on-line. Årsagen er såvel øge opmærksomhed på påvirkningen af recipienerne som e mere komplicere samspil med renseanlæggene. Til beregning af on-line ilsanden i afløbssyseme er der behov for såvel regnmålinger som målinger i afløbssyseme af vandføringer. I nogle ilfælde er de mulig a benye indireke målinger af vandføringer ved a benye niveau-målinger, pumpesaioner mv. De sørse problem ved a beregne belasningen i afløbssyseme on-line er kombinaionen mellem primær o fagområder, afløbseknik og saisik. Afløbsekniske modeller har en srukur og sørrelse, der er for sore og komplicerede il kende saisiske værkøjer. Formåle med nærværende noa er a diskuere hvordan beskrivelsen af såvel afløbssysem som vægning mellem model og målinger kan simplificeres mes mulig uden væsenlig ab af informaion. Der ages udgangspunk i en kend forsimple srukur for afløbssysemer, SAMBA i MOUSE-pakken. Dernæs diskueres, hvordan srukuren i de saisiske værkøj kan forenkles ved a udnye afløbseknisk viden. Der ages udgangspunk i Kalmanfilere. Ved a benye primær viden om de relaive usikkerheder og en anagelse om regnens fordeling simplificeres opdaeringsalgorimen i Kalman-filere il en simpel korrekionsfakor. Tabe af informaion er en dealjere viden om usikkerheden på beregningerne mens middelværdien af belasningen skulle have sor se samme nøjagighed som ved de fulde Kalman-filer. Den forenklede algorime eses på såvel simulerede som fakiske daa. Resulae sammenlignes med neurale neværk, en anden sabil saisisk meode il beregning af middelværdier. De o meoder giver begge gode og sabile opdaeringer på de begrænsede fakiske daamaeriale. På den baggrund konkluderes de, a begge meoder er i sand il a opfange den informaion, der er i de måle daa. iii

4 iv

5 Indholdsforegnelse 1 Inrodukion Meoder il opdaering Sokasisk modellering af on-line daa Lineære sysemer Ikke-lineære sysemer Forhold mellem anal målinger og anal ilsande Opdaeringsalgorimer i afløbssysemer Tilsandsmodel for afløbssyseme Idenifikaion af cenrale ilsande Idenifikaion af cenrale målinger Simplificering af opdaeringsalgorime Opdaering for é opland Videreudvikling il generel ilfælde Diskusion af egenskaber af forenkle algorime Tes af algorime Fikive daa Måle daa Konklusion Lieraur v

6 vi

7 Opdaering af ilsande Insiu for Miljøeknologi, DTU 1 Inrodukion Inveseringen i avancerede renseanlæg har øge opmærksomheden på de regnvandsbeingede aflasninger fra afløbssysemer. Dels fordi forureningen herfra relaiv er øge og ikke minds fordi de avancerede renseanlæg er mere følsomme overfor variaioner i belasninger. Der er derfor e øge behov for overvågning og syring af afløbssysemerne, så den samlede effek af afløbssysemer og renseanlæg bliver sørs mulig. De siller krav om øge viden om belasninger i afløbssyseme on-line, så der kan eableres syring af såvel afløbssysemer som renseanlæg. De flese meoder og modeller i urban afsrømning bygger på kende fysiske sammenhænge, primær massebalancer og ranspor af vand. Hvis modellerne udelukkende besår af ligninger, der fysisk kan forolkes benævnes de ofe whie-box modeller, fordi de er gennemsigige og man kan analysere præcis hvorfor en beregning med e give inpu fører il de pågældende resula. Disse modeller er ren deerminisiske, dvs. med de samme inpu kommer der ved genagne beregninger alid samme oupu. Ved beregning af afsrømningshændelser med f.eks. SAMBA ved man, a der beregningsmæssig alid kommer de samme overløb ved brug af samme regninpu for en given model af e afløbssysem. De er imidlerid lige så kend, a man (hvis man hypoeisk foresillede sig, a de var mulig) for præcis samme måling på regnmåleren kan regisrere forskelle i de afsrømmede vandmængder på op il 20% for sore regnhændelser. Forskellene ilskrives primær variaioner i regnens bevægelse og den arealmæssige udbredelse af regnen (Lei og Schilling, 1993, Arnbjerg-Nielsen og Harremoës, 1996). Ved beregning af aflasninger er der dermed sor usikkerhed på beregninger af enkelhændelser. Hvis denne usikkerhed skal mindskes er de nødvendig a supplere regnmålingen med målinger i afløbssyseme. Dermed er der flere målinger il besemmelse af samme aflasning. Disse målinger må sammensilles, således a alle målinger får en vis væg. Nærværende noa beskriver nogle af problemerne ved a sammensille flere målinger og søge a indpasse målingerne i en model for afsrømning. Formåle er a benye modellerne il såvel moniering og syring af afløbssyseme som il a beregne forecass il f.eks renseanlæg. De nødvendige afløbsmodeller findes, ligesom der er en bred vife af saisiske værkøjer il vægning af forskellige yper af informaion. Der er dog sore prakiske problemer forbunde med den fakiske kombinaion af værkøjer il løsningen af opgaven. Sluelig undersøges srukuren af en mere simpel opdaeringsalgorime. 1

8 Opdaering af ilsande Insiu for Miljøeknologi, DTU 2 Meoder il opdaering 2.1 Sokasisk modellering af on-line daa I noae omales hyppig begrebe ilsande. Derved forsås en fysisk ilsand i afløbssyseme såsom e flow, en vandsand, e volumen eller lignende. Tilsanden kan være mål eller beregne via en model eller ved inddragelse af såvel målinger og modeller (fysiske sammenhænge). Her diskueres kun den siuaion, hvor både målinger og modeller inddrages. Herved skal de o yper af informaion væges i forhold il hinanden Lineære sysemer Som ofes foreages sokasisk modellering med en fas model med ilknye usikkerhed. Der er ale om modeller af ypen y = a x + e (2.1) hvor y er den ilsand der skal beregnes basere på e anal observaioner, x, ved hjælp af paramerene ia. e er forskellen mellem den sande og den predikerede værdi. De ilsæbes, a e har middelværdien 0 og lav varians. Der predikeres alså en enkel ilsand basere på en eller flere paramere. Generel kan paramerene ia ikke gives en egenlig fysisk forolkning. Modellen ovenfor er den mes anvende meode il sokasisk modellering og beegnes normal som en regressionsbasere meode. Meoden er den enese mulighed for a foreage predikioner, hvor der ikke er on-line målinger. Hvis der foreages on-line målinger kan man i sede benye Kalman filere. E Kalman filer er opdel i en observaionsligning y = c x + du + e (2.2a) og en ilsandsligning. x = Ax 1 + bu + E (2.2b) hvor y beegner målinger, x en række ilsande i afløbssyseme (fyldningsgrad af bassiner, flow mellem bygværker mv.), uen syrefunkion (regninpu og syreanordninger såsom spjæld mm), e beegner målesøj og andre fejlbidrag og E beegner fejlbidrag fra sysembeskrivelsen (fejl i afsrømningsider, forkere rør og pumpekapacieer mv). Paramerene i c,d, A ogb beskriver relaionen mellem de enkele ilsande og kan som ofes gives en fysisk forolkning (såsom arealer, ransporider, omregning mellem volumen og fyldningsgrader mv.). Kalman-filere er beskreve indgående i f.eks Madsen (1998). 2

9 Opdaering af ilsande Insiu for Miljøeknologi, DTU Med Kalman filere kan man i princippe beskrive hele afløbssyseme med en vilkårlig grad af nøjagighed med angivelse af usikkerheder på de enkele bidrag i syseme. En af de sørre fordele er, a man kan kombinere forskellige målinger og give dem forskellig væg, afhængig af deres pålidelighed ved a skalere variansen på de enkele fejlbidrag. Pålideligheden af målingerne sammenlignes for hver idsskrid med de beregnede ilsande, hvorved der kan beregnes en ny opdaere værdi af ilsandene give målingerne il iden, opdaerede ilsande er x x. Princippe for beregningen af de = x + K ( y y ) (2.3) 1 1 hvor x 1 beegner den beregnede værdi af x il iden basere på målingerne il og med iden -1. K er en vægningsmarice, der beregnes på baggrund af forholde mellem varianserne på fejlledene og måden ilsandene er relaere il målingerne på i vekoren c. Predikionen af den kommende ilsand foreages ved a anage, a fejllede er 0, svarende il x +1 = A x + bu (2.4) Der er alså ikke forskel på predikion af ilsande i Kalman-filere og en almindelig off-line simulering med en deerminisisk model. De cenrale i on-line modellen er den vægning mellem målinger og den deerminisiske model der beregnes i opdaeringsligningen Ikke-lineære sysemer Den lineære modelformulering beskreve i sidse afsni er ikke velegne il beskrivelse af afløbssysemer, ide der i selv den simplese model er ikke-lineære led i form af f.eks. overløbsbygværker. Overløbsbygværker er komplicerede fordi der er ale om ærskelmodeller hvor de afledede af ilsandene ikke alid eksiserer. Generel må modellerne derfor udvides il ikke-lineære modeller som beskreve nedenfor. Regressionsbaserede meoder: Kalman filere: y = f ( x ) + e (2.5) y = f ( x,u ) + e (2.6a) x = g( x 1,u ) + E (2.6b) Udvidelsen il ikke-lineære modeller medfører for begge modelyper en krafig forøgelse af regneiden under idenifikaion af en passende model, både fordi beregningerne er væsenlig mere komplicerede og fordi de mulige modelrum udvides. Ved on-line implemenering vil der ikke være målbar forskel i regneid mellem lineære og ikke-lineære regressionsbaserede modeller. Derimod beyder overgangen il de ikke-lineære Kalman filer en krafig forøgelse af regneiden. I den simplese udvidelse udføres en Taylor-udvikling i hver idsskrid omkring forvenningsværdierne for observaioner og ilsande. Ved krafige ikke-linearieer 3

10 Opdaering af ilsande Insiu for Miljøeknologi, DTU og/eller ikke-normalfordele søjled benyes en numerisk inegraion over hele de mulige ilsandsrum for hver ilsand og hver idsskrid. Dee siller selvsag sore krav dels il regnekraf, men endnu mere il den numeriske implemenering af ligningssyseme. 2.2 Forhold mellem anal målinger og anal ilsande I princippe kan Kalman filere benyes på en hvilken som hels problemsilling og med e vilkårlig forhold mellem analle af målinger og analle af ilsande i den underliggende srukur. I mange anvendelser af saisikere ses dog en srukur besående af 1-3 on-line målinger og 2-7 ilsande (Madsen e al, 1990; Jacobsen og Madsen, 1996; Bechman e al., 1998). Disse anvendelser fokuserer på idenificerbarheden og den simples mulige modelsrukur. Usikkerheden på ilsandene i x er afhængig af pålideligheden og mængden af målere, der befinder sig i nærheden af de enkele ilsande. Selv om man specificerer, a alle ilsande mellem en god besem ilsand og en anden ilsand har e fejlbidrag på 0 i ilsandsligningen vil usikkerheden på den anden ilsand være sor hvis der ikke en nær fysisk forbindelse mellem de o ilsande. Dee skyldes fejlophobningsloven, der indebærer, a den idsmæssige forskydning bliver akkumulere og udryk som en usikkerhed. I praksis er der fejlbidrag, der er sørre end 0, fordi den fysiske beskrivelse ikke er perfek. Dermed er der i praksis en øvre grænse for, hvor lang en enkel måling har indflydelse, selv om der formuleres en samle model for alle ilsande og alle målinger. Denne fejlophobning giver sig bl.a. udryk ved, a e fi mellem målinger og beregnede ilsande kan opnås f.eks. ved a ændre mege på den beregnede værdi i nogle af de dårlig beseme ilsande. Denne risiko øges naurligvis hvis ligningssyseme er særk ikke-lineær, ide man da beregningsmæssig kan producere en bølge i afløbssyseme, der lokal ilpasser sig en on-line niveaumåling, men uden a idenificere, a der reel er ale om e forøge eller formindske flow, der passerer målepunke. Probleme opsår da i de følgende idsskrid, hvor konsekvenserne af en imaginær bølge nu skal imødegås. I værse fald kan ilsandene fjern fra målingerne da gå i selvsving. Dermed siller en sor dealjeringsgrad i den underliggende srukur også sore krav il såvel anal som kvalieen af observaioner. Ved de radiionelle afløbsekniske modeller er der e mege sor anal ilsande i forhold il analle af målere. Som eksempel kan nævnes, a i e fælleskloakere afløbssysem i Søllerød på ca. 250 reducerede hekar har ilsandsvekoren x en dimension på ca. 350 i SAMBA module (ved e idsskrid på 2 minuer), mens de ilsvarende dynamisk bølge modul har en ilsandsvekor med en dimension på ca Sørrelsen af ilsandsvekoren er mege sor i forhold il de ial 6 on-line målere i oplande. De bemærkes, a 6 målere i e så lille opland er usædvanlig høj. De er således give, a man ved direke implemenering af de o modeller må være forbered på problemer i opdaeringsruinen. 4

11 Opdaering af ilsande Insiu for Miljøeknologi, DTU 3 Opdaeringsalgorimer i afløbssysemer Som påvis i sidse afsni kan de konkluderes, a de vil være forbunde med beydelige vanskeligheder a implemenere dynamisk bølgeeori i e on-line sysem med Kalman filrering. Opdaeringen vil med sae-of-he-ar regnekraf ikke kunne foreages med ilsrækkelig hyppighed, ligesom syseme er numerisk mege usabil hvis ikke de ulineære led dæmpes. Der skal derfor skæres mes mulig i såvel analle af ilsande som i opdaeringsalgorimen. 3.1 Tilsandsmodel for afløbssyseme Idenifikaion af cenrale ilsande Den hel cenrale ilsand er den øjeblikkelige regnbelasning over oplande, ide spildevandssrømmen under krafig regn kun udgør nogle få procen af den samlede afsrømning. Regnbelasningen er dog primær e syreinpu, i den forsand a den er e eksern inpu, som ikke kan konrolleres og førs verificeres senere. Derfor vil man i e Kalman-filer formulere regninpue som e syreinpu i vekoren u og ikke som en måling i y. Man vil kunne inkludere e esima på regnbelasningen i ilsandsvekoren, x -1, for a få e esima på fladeregnen og dens usikkerhed. Dernæs er de cenrale ilsande dem, der skal bruges i forbindelse med overvågning eller syring af afløbssyseme. Der vil være o primære applikaioner, oversvømmelse og forurening. De cenrale punker i afløbssyseme af hensyn il oversvømmelse er de områder, hvor der er risiko for uønske oversvømmelse i kældre og erræn, mens de for forureningen er de bygværker, hvor der aflases il recipiener. Ved oversvømmelse er den primære ilsand niveauer, mens forureningen primær baserer sig på flow og massebalancer. Borse fra korvarige dynamiske effeker er der i afløbssyseme ofe en sor se enydig sammenhæng mellem niveau og vandføring, ide en given konsan vandføring medfører e konsan niveau i afløbssyseme (når der undages krafige oversvømmelser). Derfor behøver ilsandsvekoren kun a indeholde ilsande for enen niveauer eller vandføringer, ide der vil være en sor se enydig ransformaion fra den ene il den anden ilsand for e give punk, borse fra lokalieer med risiko for uensformig srømning. Modelopbygningen bliver nemmes a overskue, hvis der fokuseres på vandføringer, ide maricerne il beskrivelsen af ransformaionen fra x -1 il x da er en simpel massebalance (generering af regn- og spildevand, ranspor og opmagasinering) for srækningen mellem de o ilsande. En oversvømmelse beskrives som e bygværk, hvor der i ilfælde af overskridelse af kapacieen af de nedsrøms sysem sker e opmagasinering af e volumen (vande i kælderen og på erræn). 5

12 Opdaering af ilsande Insiu for Miljøeknologi, DTU De er vis, a man med en beskrivelse af oplande som id-areal kurver og bygværker som elemener der modager vand og fordeler de il videreføring, opmagasinering og aflasning, kan opnå resulaer, der afviger mindre end 5 % fra mere avancerede hydrodynamiske modeller (Johansen, 1985). Dee modelkompleks er implemenere i SAMBA. Dee er som udgangspunk de nødvendige ilsande il deerminisisk beregning; som idligere nævn er analle af ilsande i modellen høj i forhold il analle af målinger ved vægning mellem model og målinger. Den simples mulige siuaion er skisere i Figur 3.1. De er en siuaion med én regnmåler, én nedsrøms måler og é bygværk. De anages nu, a oplandes karakerisika er kende svarende il den simple deerminisiske modelsrukur (SAMBA). Der er endvidere foreage en række målinger i oplande der godgør, a modellen er rimelig. Figur 3.1. Skise af simpel koncepuel opland il idenifikaion af simpel opdaeringsalgorime. A1-A4 beegner de arealer, der efer hhv. 1 4 idsskrid er nåe ned il målepunke. 6

13 Opdaering af ilsande Insiu for Miljøeknologi, DTU SAMBA-modellen på ilsandsform med regnen som e syreinpu vil have følgende form: Q Q1 1 A1 Q Q A = U REGN, (3.1) Q Q3 A 1 3 Q Q4 1 A4 hvor Q1 Q4 er de respekive vandføringer ned il bygværke og U REGN, er regninensieen mål i de pågældende idsskrid Idenifikaion af cenrale målinger Regnmålingen er en cenral måling, ide den udgør de inpu, der driver modellen. Brug af regnmålingen giver dog ikke nogen opdaere måling; der mangler en måling, der giver e feed-back il modellen om effeken af den måle regn er som beregne af modellen. Målinger i afløbssyseme viser e foldningsinegrale af afsrømningen fra den nuværende regnbelasning og fra idligere regnbelasninger svarende il afsrømningsiden for hele oplande opsrøms for målingen. Dermed giver en nedsrøms måling en mulighed for a opdaere ilsandene i afløbssyseme opsrøms for målingen. Vandføringsmålere er enen dyre a insallere eller har en relaiv sor måleusikkerhed. Der er derfor i de senese år udvikle meoder il a udregne den øjeblikkelige vandføring på baggrund af andre målinger, primær i forbindelse med pumpesaioner sam niveaumålinger i rør og bassiner. Ved a syre koerne for pumpesar og sop og udnye geomerien i og omkring pumpesaioner er de mulig a udregne vandføringen med god nøjagighed sam kalibrere den reelle ydelse for pumperne. Niveaumålingerne omregnes il flow ved a berage de hydrauliske forhold på srækningen opsrøms og nedsrøms for målingen. De skal dog bemærkes, a ikke alle placeringer giver en pålidelig omregning fra niveau il vandføring. 3.2 Simplificering af opdaeringsalgorime Som beskreve ovenfor er der foreage en analyse af, hvilke ilsande der er essenielle for afløbssyseme. Formåle med nærværende undersøgelse er a ese, hvorvid de er mulig a lave en ilsvarende simplificering af opdaeringsalgorimen Opdaering for é opland Der er bidrag il on-line usikkerheden fra re kilder: modelfejl, måleusikkerhed på nedsrøms måler og måleusikkerheden på regnmåleren. Måleusikkerheden på regnmåleren repræsenerer såvel usikkerheden på målingen af regn som punkmåling og usikkerheden på eksrapolaion il e fladeesima gældende for hele oplande. Der vil i almindelighed gælde følgende relaioner mellem usikkerhederne, se abel 3.1: 7

14 Opdaering af ilsande Insiu for Miljøeknologi, DTU E << E << E (3.2) mod el nedsrøms måler regnmåler hvor E beegner usikkerhederne på de enkele komponener. Fejlen på modellen er så lille, a der kan ses bor fra den i on-line applikaioner. Fejlen på modellens forecas kan ilskrives fejlen på regnmåleren. Tabel 3.1 Usikkerhedens sørrelse i volumen pr. afsrømningshændelse. Tallene er basere på bl.a. Johansen (1985), Lei og Schilling (1993) og Arnbjerg-Nielsen (1996). Gennemsni (%) Maximal (%) Model Nedsrøms måler Regnmåler Ved vægningen mellem den nedsrøms måler og modelforecase vil den nedsrøms måler få sor væg fordi modelforecase er basere på informaionen fra regnmåleren, der har en sor usikkerhed, se formel (3.2). Modelforecase for de længere opsrøms delarealer, Q2,.. Q4 påvirker hverken målingen eller modelforecase for Q1. Ved opdaeringen af Q1 vil disse ilsande således ikke indgå med nogen væg. Ved indsæelse i formel (2.3) ses, a opdaeringen af ilsanden for illøbe il måleren i høj grad vil blive basere på målingen og ikke på den prædikerede værdi før målingen forelå, svarende il, a elemene k Q1 i K i formel (2.3) er æ på 1 for Q1: y Qˆ 1 = Qˆ 1 Qˆ ( k + k Q1 Q1,, + kq2, + kq ( y Qˆ 1 ) 1 3, + k Q4, )( y Qˆ 1 1 ) (3.3) Beydningen af formel (3.3) er, a modellen i praksis har mege lav beydning i målepunke. Modellen har dog beydning ved prædikioner og syring. Der er idligere argumenere for, a den væsenligse fejlkilde er regnmålerens inpu. En cenral hypoese i de følgende er, a man kan udbrede denne fejlkilde relaiv op i oplande og il øvrige oplande. Dermed kan de øvrige ilsande beregnes som: hvor Qˆ i δ Qˆ i (3.4a) = 1 y δ Qˆ 1 1 (3.4b) δ er kun approksimaiv lig med den relaive fejl, da de i nogle ilfælde er en fordel a "sabilisere" udsvingene i δ ved mege små og mege sore vandføringer, ligesom variaioner mellem idsskrid ikke må være for sore. 8

15 Opdaering af ilsande Insiu for Miljøeknologi, DTU Predikioner kan umiddelbar foreages ved a kombinere formel (3.1) og (3.4), ev. supplere med en regnprognose. Konsekvenser af syring kan også umiddelbar implemeneres ved ilføjelse af flere syreinpu, der ændrer de naurlige rouningsforløb Videreudvikling il generel ilfælde Ovennævne meode forudsæer, a der er minds en måler pr. overløbsbygværk. De vil ofe ikke være ilfælde. Der er derfor brug for e værkøj som kan håndere en siuaion som skisere i figur 3.2, hvor der er e opsrøms bygværk, hvor der ikke forefindes en on-line måler. Figur 3.2 Koncepuel skise af opland med generel srukur. Der er ikke måler på de opsrøms opland. 9

16 Opdaering af ilsande Insiu for Miljøeknologi, DTU Hypoesen er, a beregning af illøbe il overløbsbygværke fra opland B kan beregnes ved formel (3.4). De er ensbeydende med en forudsæning om, a regnmåleren er lige repræsenaiv for begge oplande, og a regnen falder homogen over de o oplande og a id-areal-kurverne ikke er mege forskellige. Der skal dog ske en korrekion for den videreførende vandføring fra opland B il opland A. Flere forsøg har sandsynliggjor, a de er mulig a beregne ilsandene i såvel opland A og B ved a lave en mindre udvidelse il formel (3.4b): y Q( AB ) r δ Qˆ 1 (3.5) 1 hvor Q( AB ) r angiver de beregnede og opdaerede flow ved bygværk B il ransporiden før de nuværende idspunk. Med modificeringen i formel (3.5) er de enkel a udvide il alle yper af oplande, også oplande, hvor flere on-line målere indgår. De oale opland opdeles i en række del-oplande, hvor hver del-opland har en nedsrøms on-line måler. De er umiddelbar mulig a udvide denne opdaeringsalgorime il mange opsrøms oplande; man skal dog være opmærksom på, a hvis der ikke er sigende kapacieer ned gennem rørsyseme vil den øverse del af syseme være dårlig besem Diskusion af egenskaber af forenkle algorime Ved brug af formel (3.4) og (3.5) er de mulig a beregne opdaerede middelværdier for hele afløbssyseme, hvis der blo er en nedsrøms måler med e opland ilknye. Med fysisk begrundede hypoeser er meoden uden ab af informaion il beregning af middelværdien. Der er dog ab af informaion på o områder. De ene er, a de saisiske egenskaber ved esimaorerne i formel (3.4) og (3.5) ikke er undersøg. De ande er en indireke følge heraf, ide man med Kalman-filere alid har såvel en middelværdi og en usikkerhed på middelværdien for alle ilsande. Ide de saisiske egenskaber ved esimaorerne ikke er undersøg er usikkerheden på de beregnede værdier ikke faslag. Med den benyede forsimpling må de anages, a usikkerheden er snæver knye il måleusikkerheden i de nedsrøms målepunk. I de opsrøms bygværker må der også være en afhængighed af kapacieen nedsrøms bygværke, ide en sor kapacie vil medføre sor indflydelse på den nedsrøms måling, mens en mege lille kapacie vil medføre, a de opsrøms opland ikke kan erkendes på målingen nedsrøms. 10

17 Opdaering af ilsande Insiu for Miljøeknologi, DTU 4 Tes af algorime Den opsillede algorime er opsille og ese på en række fikive oplande for a ese forskellige konfiguraioner og sammenligne med andre yper af opdaeringsalgorimer. Den her skiserede algorime har vis sig a være mes sabil i fles konfiguraioner. Nedenfor er kor vis e enkel eksempel på algorimens performance i en essiuaion. Derefer er vis e eksempel på rigige daa. For a ese, hvorvid modelsrukuren er korrek er opdaeringsalgorimen sammenligne med en anden meode il on-line beregninger, neurale neværk. 4.1 Fikive daa Der er konsruere en oplandssrukur som vis på figur 4.1, som er ese med flere regnhændelser (og med flere opdaeringsalgorimer). Simuleringerne har vis, a den siuaion, der er sværes for algorimerne a håndere, er, hvis de i begyndelsen af en regnhændelse regner mindre på oplande end mål på regnmåleren og senere skifer il a være omvend. Figur 4.1 Fikiv opland il es af opdaeringsalgorimen. Af hensyn il overskueligheden er oplandene ikke vis. 11

18 Opdaering af ilsande Insiu for Miljøeknologi, DTU På figur 4.2 og 4.3 er vis simulerede resulaer basere på oplandssrukuren vis på figur 4.1. Såvel regn- som måledaa er konsruerede. Regnmåleren simulerer en kasseregn i 18 idsskrid. Som inpu il en deerminisisk model er give en regn, der sarer med a være halv så krafig som kasseregnen og sluer med a være dobbel så krafig. De konsruerede inpu benyes il a beregne overløbsmængderne ved de o opsrøms bygværker. Overløbene vil variere mere end de oale illøb og er derfor mere sårbare overfor uheldige egenskaber ved opdaeringsalgorimen. 10 Nedsrøms flow sand beregne i fikiv målepunk ukorrigere beregne Figur 4.2 Nedsrøms måling sammenhold med beregne værdi vha. regnmåler og nedsrøms måler. Såvel regn- som måledaa er konsruerede. Regnmålerens konsruerede inpu er en kasseregn, mens inensieen i de konsruerede måledaa er sigende Overløb bygværk Overløb bygværk "mål" 0 sand beregne i fikiv målepunk beregne i fikiv målepunk ukorrigere beregne ukorrigere beregne Figur 4.3 Måle, beregnede og opdaerede værdier for de opsrøms bygværker konsruere på baggrund af målingerne vis i figur 4.2. Syseme er skisere i figur

19 Opdaering af ilsande Insiu for Miljøeknologi, DTU Figur 4.2 viser, a den beregnede opdaerede værdi ikke er idenisk med den sande værdi. De skyldes, a δ i simuleringen er dæmpe i forhold il formel (3.4b), således a modellen (og dermed regnmåleren) får en vis væg. Elemene k Q1, i formel (3.3) er dermed mindre end 1. De ses på figur 4.3, a de har en negaiv indflydelse på de beregnede overløbsmængder, der ville være mere præcise, hvis ikke a δ havde være dæmpe. Samle indikerer simuleringen, a opdaeringsalgorimen fungerer ilfredssillende. Usikkerheden på opdaeringen er med simulerede daa klar mindre end den usikkerhed, der hidrører fra regnens fordeling i oplande mellem de nedsrøms on-line målere. 4.2 Måle daa Den udviklede algorime er ese på en fakisk måleserie fra e opland i Søllerød kommune. Oplande har samme srukur som vis på figur 3.2. På figur 4.4 er vis de nedsrøms målinger, der er udfør med en niveaumåler, sam de beregnede flow på baggrund af niveaumålingerne. Der ses a være en vis hyserese, som er indlag i beregningerne. Hyseresen er forårsage af ilbagesuvning fra den afskærende ledning indil overløbskanen, der er placere i koe Omregningen fra niveau il flow sker på baggrund af daa, der er fra en anden idsperiode end den, der benyes il es af opdaeringsalgorimen. Ved omregningen er de forsøg a benye såvel en regressionsbasere meode svarende il formel (2.1) som neurale neværk. De er valg a benye neurale neværk fordi de neop er en sabil middelværdi-esimaor; neop de som den forsimplede opdaeringsalgorime gerne skulle være. De neurale neværk klarer sig bedre end den regressionsbaserede meode, ide korrelaionskoefficienen for de neurale neværk var 0.93 mod 0.90 for den regressionsbaserede meode. De neurale neværk opsamler dermed viden om hyseresen lid bedre end den regressionsbaserede meode. Til opsilling af opdaeringsalgorimen er benye bygværksegninger af de nedsrøms bygværk, id-areal kurver for de o oplande sam en MOUSE HD-model af oplande. HD-modellen benyes il a esimere kapacieen af den afskærende ledning fra de opsrøms opland. Tilsvarende er opsille e neural neværk, der ligeledes esimerer de opsrøms flow på baggrund af de samme informaioner som er brug il a ese opdaeringsalgorimen med sam en række simuleringer udfør med MOUSE HDmodellen. De neurale neværk eablerer sammenhængen mellem de måle vandføringer op- og nedsrøms. Som vis i figur 4.5 er der sor overenssemmelse mellem målingerne og såvel opdaeringsalgorimen og de neurale neværk. Begge yper af simuleringsværkøjer undervurderer krafig vandføringen i de opsrøms målepunk omkring idsskrid 50. Den maksimale vandføring blev mål il over 450 l/s. De er sandsynliggjor, a der er ale om en målefejl på den opsrøms måler, hvorfor såvel målinger som simulerede værdier er fjerne på figur

20 Opdaering af ilsande Insiu for Miljøeknologi, DTU Koe (m) Tidsskrid (2 min) Beregne Flow (l/s) Niveau-målinger Beregnede Flow Figur 4.4 Måle niveauer og beregnede vandføringer i de nedsrøms punk. Flowe er esimere med en sokasisk model som skisere i formel (2.1). Forløbe er sammensa af 3 regnhændelser Vandføring opsrøms (l/s) Tidsskrid (2 min) Målinger Opdaeringsalgorime ANN Figur 4.5 Måle daa i de opsrøms bygværk. Til sammenligning er angive en simulering med neurale neværk (ANN), der er eablere på de samme daamaeriale som opdaeringsalgorimen. 14

21 Opdaering af ilsande Insiu for Miljøeknologi, DTU På figur 4.5 er vis simuleringsresulaerne, hvor der er benye hhv. udelukkende neurale neværk og udelukkende sokasiske modeller. Forklaringsgraden er beregne il 0.86, hvilke er udmærke. I denne siuaion er de neurale neværk lid bedre il a forudsige forløbe. Dee skyldes dog, a de neurale neværk er beds il omregningen fra niveau il flow. Opdaeringsalgorimen har en lige så god performance som de neurale neværk ved eksrapolaionen af vandføring il vandføring mellem bygværker. I dee eksempel er de svage punk i omregningen den omregning, der foreages ved de regressionsbaserede model for omregning mellem niveau og flow snarere end opdaeringsalgorimen. 15

22 Opdaering af ilsande Insiu for Miljøeknologi, DTU 5 Konklusion Ved syring og overvågning af afløbssysemer er de vigig a have algorimer, der kan væge informaion fra flere kilder, primær modelforecas beregne på baggrund af regnmålere og målinger i afløbsssyseme. Den mes almindelige meode il saisisk vægning er Kalman-filere, som kor gennemgås. Derefer diskueres en mulig implemenering af Kalman-filere il moniering og syring af afløbssysemer. De konkluderes, a der er behov for forsimpling af såvel model af afløbssysem og vægningen mellem model og målinger. En forsimpling af afløbsmodellen kan le foreages ned il e niveau svarende il SAMBA i MOUSE-pakken. Derefer er yderligere forsimpling besværlig, hvis afløbssysemes ikke-lineære srukur skal bevares i modellen. Srukuren i opdaeringsalgorimen gennemgås sammen med ypiske usikkerheder på model, regnmåling og målinger i afløbssyseme. De sandsynliggøres, a opdaeringen kan forsimples ned il en simpel muliplikaiv korrekionsfakor, der kan benyes såvel inden for enkele oplande som mellem oplande. Fordelen ved meoden er hurige og sabile opdaeringer. Ulemperne er, a saisisk er meoden mere ulden, ligesom man ikke får fuld udbye af o målere i afløbssyseme, der er placere mege æ på hinanden. Den forsimplede meode er ese på simulerede og reelle daa. På de reelle daa opnås en korrelaionskoefficien mellem en predikere måling og den fakiske måling på 0.86, hvilke er fuld ilfredssillende. Der er udvikle en ilsvarende algorime basere på neurale neværk, der har en ilsvarende korrelaion. De olkes således, a såvel den forsimplede algorime og de neurale neværk har udnye al den informaion, der er i daamaeriale. 16

23 Opdaering af ilsande Insiu for Miljøeknologi, DTU 6 Lieraur Arnbjerg-Nielsen, K. (1996): Saisical analysis of urban hydrology wih special emphasis on rainfall modelling. PhD-afhandling. Insiu for Miljøeknologi, Danmarks Tekniske Universie, København. Arnbjerg-Nielsen, K. og Harremoës, P. (1996): The imporance of inheren uncerainies in sae-of-he-ar urban sorm drainage modelling for ungauged small cachmens. Journal of Hydrology, 179, 1-4, Bechmann, H., Nielsen, M.K., Madsen, H. og Poulsen, N.K. (1998): Conrol of sewer sysems and wasewaer reamen plans using polluan concenraion profiles. Waer, Science and Technology, 37 (12), Jacobsen, J.L. og Madsen, M (1996): Grey Box Modelling of Oxygen Levels in a Small Sream. Environmerics, 7, (1), Johansen, N.B. (1985): Discharge o receiving waers from sewer sysems during rain. Liceniaafhandling, Laboraorie for Teknisk Hygiejne, Danmarks Tekniske Universie. Lei, Jianhua og Schilling, W. (1993): Requiremens of spaial raindaa resoluion in urban rainfall runoff simulaion. In: Marsalek, J. og Torno, H.C. (ed.): Proceedings of he sixh inernaional conference on urban sorm drainage. Seapoin Publishing, Vicoria, BC, Canada. Loke, E., Arnbjerg-Nielsen, K. og Harremoës, P. (1999): Neural neworks and greybox modelling: A comparison. Paper acceped for o 8h Inernaional Conference on Urban Sorm Drainage, Sydney, Ausralia, Sepember. Madsen, H. (1998): Tidsrækkeanalyse. 3. udgave. Insiu for Maemaisk Modellering, Danmarks Tekniske Universie, København. Madsen, H., Melgaard, H. og Hols, J. (1990): Idenificaion of building performance parameers. In: Bloem, J. (ed.): Workshop on advanced idenificaion ools in solar engergy research, non nuclear energy, pp Commision of he European Communiies, DG XII. 17

Bankernes renter forklares af andet end Nationalbankens udlånsrente

Bankernes renter forklares af andet end Nationalbankens udlånsrente N O T A T Bankernes rener forklares af ande end Naionalbankens udlånsrene 20. maj 2009 Kor resumé I forbindelse med de senese renesænkninger fra Naionalbanken er bankerne bleve beskyld for ikke a sænke

Læs mere

EPIDEMIERS DYNAMIK. Kasper Larsen, Bjarke Vilster Hansen. Henriette Elgaard Nissen, Louise Legaard og

EPIDEMIERS DYNAMIK. Kasper Larsen, Bjarke Vilster Hansen. Henriette Elgaard Nissen, Louise Legaard og EPDEMER DYAMK AF Kasper Larsen, Bjarke Vilser Hansen Henriee Elgaard issen, Louise Legaard og Charloe Plesher-Frankild 1. Miniprojek idefagssupplering, RUC Deember 2007 DLEDG Maemaisk modellering kan anvendes

Læs mere

Sammenhæng mellem prisindeks for månedstal, kvartalstal og årstal i ejendomssalgsstatistikken

Sammenhæng mellem prisindeks for månedstal, kvartalstal og årstal i ejendomssalgsstatistikken 6. sepember 2013 JHO Priser og Forbrug Sammenhæng mellem prisindeks for månedsal, kvaralsal og årsal i ejendomssalgssaisikken Dee noa gennemgår sammenhængen mellem prisindeks for månedsal, kvaralsal og

Læs mere

Institut for Matematiske Fag Matematisk Modellering 1 UGESEDDEL 4

Institut for Matematiske Fag Matematisk Modellering 1 UGESEDDEL 4 Insiu for Maemaiske Fag Maemaisk Modellering 1 Aarhus Universie Eva B. Vedel Jensen 12. februar 2008 UGESEDDEL 4 OBS! Øvelseslokale for hold MM4 (Jonas Bæklunds hold) er ændre il Koll. G3 på IMF. Ændringen

Læs mere

2 Separation af de variable. 4 Eksistens- og entydighed af løsninger. 5 Ligevægt og stabilitet. 6 En model for forrentning af kapital med udtræk

2 Separation af de variable. 4 Eksistens- og entydighed af løsninger. 5 Ligevægt og stabilitet. 6 En model for forrentning af kapital med udtræk Oversig Mes repeiion med fokus på de sværese emner Modul 3: Differenialligninger af. orden Maemaik og modeller 29 Thomas Vils Pedersen Insiu for Grundvidenskab og Miljø vils@life.ku.dk 3 simple yper differenialligninger

Læs mere

i(t) = 1 L v( τ)dτ + i(0)

i(t) = 1 L v( τ)dτ + i(0) EE Basis - 2010 2/22/10/JHM PE-Kursus: Kredsløbseori (KRT): ECTS: 5 TID: Mandag d. 22/2 LØSNINGSFORSLAG: Opgave 1: Vi ser sraks, a der er ale om en enkel spole, hvor vi direke pårykker en kend spænding.

Læs mere

Estimation af markup i det danske erhvervsliv

Estimation af markup i det danske erhvervsliv d. 16.11.2005 JH Esimaion af markup i de danske erhvervsliv Baggrundsnoa vedrørende Dansk Økonomi, eferår 2005, kapiel II Noae præsenerer esimaioner af markup i forskellige danske erhverv. I esimaionerne

Læs mere

Kovarians forecasting med GARCH(1,1) -et overblik

Kovarians forecasting med GARCH(1,1) -et overblik Kovarians forecasing med GARCH(1,1) -e overblik Hvorfor volailies-forecase? Risikosyring Dela-normal Value-a-Risk Mone Carlo Value-a-Risk Prisfassæelse Opionsproduker Realkrediobligaioner Mone Carlo simulaion

Læs mere

Eksponentielle sammenhänge

Eksponentielle sammenhänge Eksponenielle sammenhänge y 800,95 1 0 1 y 80 76 7, 5 5% % 1 009 Karsen Juul Dee häfe er en forsäelse af häfe "LineÄre sammenhänge, 008" Indhold 14 Hvad er en eksponeniel sammenhäng? 53 15 Signing og fald

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet. stx141-matn/a-05052014

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet. stx141-matn/a-05052014 Maemaik A Sudenereksamen Forberedelsesmaeriale il de digiale eksamensopgaver med adgang il inernee sx141-matn/a-0505014 Mandag den 5. maj 014 Forberedelsesmaeriale il sx A ne MATEMATIK Der skal afsæes

Læs mere

Skriftlig Eksamen. Datastrukturer og Algoritmer (DM02) Institut for Matematik og Datalogi. Odense Universitet. Fredag den 5. januar 1996, kl.

Skriftlig Eksamen. Datastrukturer og Algoritmer (DM02) Institut for Matematik og Datalogi. Odense Universitet. Fredag den 5. januar 1996, kl. Skriflig Eksamen aasrukurer og Algorimer (M0) Insiu for Maemaik og aalogi Odense Universie Fredag den 5. januar 1996, kl. 9{1 Alle sdvanlige hjlpemidler (lrebger, noaer, ec.) sam brug af lommeregner er

Læs mere

Baggrundsnotat: Estimation af elasticitet af skattepligtig arbejdsindkomst

Baggrundsnotat: Estimation af elasticitet af skattepligtig arbejdsindkomst d. 02.11.2011 Esben Anon Schulz Baggrundsnoa: Esimaion af elasicie af skaepligig arbejdsindkoms Dee baggrundsnoa beskriver kor meode og resulaer vedrørende esimaionen af elasicieen af skaepligig arbejdsindkoms.

Læs mere

Efterspørgslen efter læger 2012-2035

Efterspørgslen efter læger 2012-2035 2013 5746 PS/HM Eferspørgslen efer læger 2012-2035 50000 45000 40000 35000 30000 25000 20000 15000 10000 5000 Anal eferspurge læger i sundhedsudgifalernaive Anal eferspurge læger i finanskrisealernaive

Læs mere

Bilag 1E: Totalvægte og akseltryk

Bilag 1E: Totalvægte og akseltryk Vejdirekorae Side 1 Forsøg med modulvognog Slurappor Bilag 1E: Toalvæge og ryk Bilag 1E: Toalvæge og ryk Dee bilag er opdel i følgende dele: 1. En inrodukion il bilage 2. Resulaer fra de forskellige målesaioner,

Læs mere

Pensionsformodel - DMP

Pensionsformodel - DMP Danmarks Saisik MODELGRUPPEN Arbejdspapir Marin Junge og Tony Krisensen 19. sepember 2003 Pensionsformodel - DMP Resumé: Vi konsruerer ind- og udbealings profiler for pensionsformuerne. I dee ilfælde kigger

Læs mere

KAPACITET AF RUF SYSTEMET KAN DET LADE SIG GØRE?

KAPACITET AF RUF SYSTEMET KAN DET LADE SIG GØRE? KAPACITET AF RUF SYSTEMET KAN DET LADE SIG GØRE? Af Torben A. Knudsen, Sud. Poly. & Claus Rehfeld, Forskningsadjunk Cener for Trafik og Transporforskning (CTT) Danmarks Tekniske Uniersie Bygning 115, 800

Læs mere

Funktionel form for effektivitetsindeks i det nye forbrugssystem

Funktionel form for effektivitetsindeks i det nye forbrugssystem Danmarks Saisik MODELGRUPPEN Arbejdspapir* Grane Høegh. augus 007 Funkionel form for effekiviesindeks i de nye forbrugssysem Resumé: Der findes o måder a opskrive effekiviesudvidede CES-funkioner med o

Læs mere

Udlånsvækst drives af efterspørgslen

Udlånsvækst drives af efterspørgslen N O T A T Udlånsvæks drives af eferspørgslen 12. januar 211 Kor resumé Der har den senese id være megen fokus på bankers og realkrediinsiuers udlån il virksomheder og husholdninger. Især er bankerne fra

Læs mere

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 4. Arbitrage. Obligationsprisfastsættelse. Ingen-Arbitrage princippet. Nulkuponobligationer

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 4. Arbitrage. Obligationsprisfastsættelse. Ingen-Arbitrage princippet. Nulkuponobligationer Dagens forelæsning Ingen-Arbirage princippe Claus Munk kap. 4 Nulkuponobligaioner Simpel og generel boosrapping Nulkuponrenesrukuren Forwardrener 2 Obligaionsprisfassæelse Arbirage Værdien af en obligaion

Læs mere

Skriftlig prøve Kredsløbsteori Onsdag 3. Juni 2009 kl (2 timer) Løsningsforslag

Skriftlig prøve Kredsløbsteori Onsdag 3. Juni 2009 kl (2 timer) Løsningsforslag Skriflig prøve Kredsløbseori Onsdag 3. Juni 29 kl. 2.3 4.3 (2 imer) øsningsforslag Opgave : (35 poin) En overføringsfunkion, H(s), har formen: Besem hvilke poler og nulpunker der er indehold i H(s) Tegn

Læs mere

RETTEVEJLEDNING TIL Tag-Med-Hjem-Eksamen Makroøkonomi, 2. Årsprøve Efterårssemestret 2003

RETTEVEJLEDNING TIL Tag-Med-Hjem-Eksamen Makroøkonomi, 2. Årsprøve Efterårssemestret 2003 RETTEVEJLEDNING TIL Tag-Med-Hjem-Eksamen Makroøkonomi, 2. Årsprøve Eferårssemesre 2003 Generelle bemærkninger Opgaven er den redje i en ny ordning, hvorefer eksamen efer førse semeser af makro på 2.år

Læs mere

Undervisningsmaterialie

Undervisningsmaterialie The ScienceMah-projec: Idea: Claus Michelsen & Jan Alexis ielsen, Syddansk Universie Odense, Denmark Undervisningsmaerialie Ark il suderende og opgaver The ScienceMah-projec: Idea: Claus Michelsen & Jan

Læs mere

Dynamik i effektivitetsudvidede CES-nyttefunktioner

Dynamik i effektivitetsudvidede CES-nyttefunktioner Danmarks Saisik MODELGRUPPEN Arbejdspapir Grane Høegh. augus 006 Dynamik i effekiviesudvidede CES-nyefunkioner Resumé: I dee papir benyes effekiviesudvidede CES-nyefunkioner il a finde de relaive forbrug

Læs mere

Udkast pr. 27/11-2003 til: Equity Premium Puzzle - den danske brik

Udkast pr. 27/11-2003 til: Equity Premium Puzzle - den danske brik Danmarks Saisik MODELGRUPPEN Arbejdspapir Jakob Nielsen 27. november 2003 Claus Færch-Jensen Udkas pr. 27/11-2003 il: Equiy Premium Puzzle - den danske brik Resumé: Papire beskriver udviklingen på de danske

Læs mere

Produktionspotentialet i dansk økonomi

Produktionspotentialet i dansk økonomi 51 Produkionspoeniale i dansk økonomi Af Asger Lau Andersen og Moren Hedegaard Rasmussen, Økonomisk Afdeling 1 1. INDLEDNING OG SAMMENFATNING Den økonomiske udvikling er i Danmark såvel som i alle andre

Læs mere

Projekt 6.3 Løsning af differentialligningen y

Projekt 6.3 Løsning af differentialligningen y Projek 6.3 Løsning af differenialligningen + c y 0 Ved a ygge videre på de løsningsmeoder, vi havde succes med ved løsning af ligningerne uden ledde y med den enkelafledede, er vi nu i sand il a løse den

Læs mere

Estimering af CES-efterspørgselssystemer - En Kalman Tilgang

Estimering af CES-efterspørgselssystemer - En Kalman Tilgang Esimering af CES-eferspørgselssysemer - En Kalman Tilgang Anders F. Kronborg, Chrisian S. Kasrup og Peer P. Sephensen, DREAM May 18, 2018 1 Indledning Dee papir beskriver hvordan Kalman-filere - muligvis

Læs mere

FitzHugh Nagumo modellen

FitzHugh Nagumo modellen FizHugh Nagumo modellen maemaisk modellering af signaler i nerve- og muskelceller Torsen Tranum Rømer, Frederikserg Gymnasium Fagene maemaik og idræ supplerer hinanden god inden for en lang række emner.

Læs mere

1 Stofskifte og kropsvægt hos pattedyr. 2 Vægtforhold mellem kerne og strå. 3 Priselasticitet. 4 Nedbrydning af organisk materiale. 5 Populationsvækst

1 Stofskifte og kropsvægt hos pattedyr. 2 Vægtforhold mellem kerne og strå. 3 Priselasticitet. 4 Nedbrydning af organisk materiale. 5 Populationsvækst Oversig Eksempler på hvordan maemaik indgår i undervisningen på LIFE Gymnasielærerdag Thomas Vils Pedersen Insiu for Grundvidenskab og Miljø vils@life.ku.dk Sofskife og kropsvæg hos paedyr Vægforhold mellem

Læs mere

Logaritme-, eksponential- og potensfunktioner

Logaritme-, eksponential- og potensfunktioner Logarime-, eksponenial- og poensfunkioner John Napier (550-67. Peer Haremoës Niels Brock April 7, 200 Indledning Eksponenial- og logarimefunkioner blev indfør på Ma C niveau, men dengang havde vi ikke

Læs mere

FARVEAVL myter og facts Eller: Sådan får man en blomstret collie!

FARVEAVL myter og facts Eller: Sådan får man en blomstret collie! FARVEAVL myer og facs Eller: Sådan får man en blomsre collie! Da en opdræer for nylig parrede en blue merle æve med en zobel han, blev der en del snak bland colliefolk. De gør man bare ikke man ved aldrig

Læs mere

Lindab Comdif. Fleksibilitet ved fortrængning. fortrængningsarmaturer. Comdif er en serie af luftfordelingsarmaturer til fortrængningsventilation.

Lindab Comdif. Fleksibilitet ved fortrængning. fortrængningsarmaturer. Comdif er en serie af luftfordelingsarmaturer til fortrængningsventilation. comfor forrængningsarmaurer Lindab Comdif 0 Lindab Comdif Ved forrængningsvenilaion ilføres lufen direke i opholds-zonen ved gulvniveau - med lav hasighed og underemperaur. Lufen udbreder sig over hele

Læs mere

Fysikrapport: Vejr og klima. Maila Walmod, 1.3 HTX, Rosklide. I gruppe med Ann-Sofie N. Schou og Camilla Jensen

Fysikrapport: Vejr og klima. Maila Walmod, 1.3 HTX, Rosklide. I gruppe med Ann-Sofie N. Schou og Camilla Jensen Fysikrappor: Vejr og klima Maila Walmod, 13 HTX, Rosklide I gruppe med Ann-Sofie N Schou og Camilla Jensen Afleveringsdao: 30 november 2007 1 I dagens deba høres orde global opvarmning ofe Men hvad vil

Læs mere

Vækst på kort og langt sigt

Vækst på kort og langt sigt 12 SAMFUNDSØKONOMEN NR. 1 MARTS 2014 VÆKST PÅ KORT OG LANG SIGT Væks på kor og lang sig Efer re års silsand i dansk økonomi er de naurlig, a ineressen for a skabe økonomisk væks er beydelig. Ariklen gennemgår

Læs mere

Finansministeriets beregning af gab og strukturelle niveauer

Finansministeriets beregning af gab og strukturelle niveauer Noa. november (revidere. maj ) Finansminiseries beregning af gab og srukurelle niveauer Vurdering af oupugabe (forskellen mellem fakisk og poeniel produkion) og de srukurelle niveauer for ledighed og arbejdssyrke

Læs mere

Badevandet 2010 Teknik & Miljø - -Maj 2011

Badevandet 2010 Teknik & Miljø - -Maj 2011 Badevande 2010 Teknik & Miljø - Maj 2011 Udgiver: Bornholms Regionskommune, Teknik & Miljø, Naur Skovløkken 4, Tejn 3770 Allinge Udgivelsesår: 2011 Tiel: Badevande, 2010 Teks og layou: Forside: Journalnummer:

Læs mere

Danmarks Nationalbank

Danmarks Nationalbank Danmarks Naionalbank Kvar al so ver sig 3. kvaral Del 2 202 D A N M A R K S N A T I O N A L B A N K 2 0 2 3 KVARTALSOVERSIGT, 3. KVARTAL 202, Del 2 De lille billede på forsiden viser Arne Jacobsens ur,

Læs mere

8.14 Teknisk grundlag for PFA Plus: Bilag 9-15 Indholdsforegnelse 9 Bilag: Indbealingssikring... 3 1 Bilag: Udbealingssikring... 4 1.1 Gradvis ilknyning af udbealingssikring... 4 11 Bilag: Omkosninger...

Læs mere

ARBEJDSDOKUMENT FRA KOMMISSIONEN

ARBEJDSDOKUMENT FRA KOMMISSIONEN RÅDET FOR DEN ROPÆISKE UNION Bruxelles, den 23. maj 2007 (25.05) (OR. en) Inerinsiuionel sag: 2006/0039 (CNS) 9851/07 ADD 2 FIN 239 RESPR 5 CADREFIN 32 ADDENDUM 2 TIL I/A-PUNKTS-NOTE fra: Generalsekreariae

Læs mere

g(n) = g R (n) + jg I (n). (6.2) Analogt med begreberne, som benyttes ved det komplekse spektrum, kan man også notere komplekse signaler på formerne

g(n) = g R (n) + jg I (n). (6.2) Analogt med begreberne, som benyttes ved det komplekse spektrum, kan man også notere komplekse signaler på formerne KAPITEL SEKS Komplekse signaler I forbindelse med en række signalbehandlingsopgaver er de hensigsmæssig a benye komplekse signaler, f.eks. ved karakerisering af den diskree fourier ransformaion (se kapiel

Læs mere

MAKRO 2 ENDOGEN VÆKST

MAKRO 2 ENDOGEN VÆKST ENDOGEN VÆKST MAKRO 2 2. årsprøve Forelæsning 7 Kapiel 8 Hans Jørgen Whia-Jacobsen econ.ku.dk/okojacob/makro-2-f09/makro I modeller med endogen væks er den langsigede væksrae i oupu pr. mand endogen besem.

Læs mere

I dette appendiks uddybes kemien bag enzymkinetikken i Bioteknologi 2, side 60-72.

I dette appendiks uddybes kemien bag enzymkinetikken i Bioteknologi 2, side 60-72. Bioeknologi 2, Tema 4 5 Kineik Kineik er sudier af reakionshasigheden hvor man eksperimenel undersøger de fakorer, der påvirker reakionshasigheden, og hvor resulaerne afslører reakionens mekanisme og ransiion

Læs mere

DiploMat Løsninger til 4-timersprøven 4/6 2004

DiploMat Løsninger til 4-timersprøven 4/6 2004 DiploMa Løsninger il -imersprøven / Preben Alsholm / Opgave Polynomie p er give ved p (z) = z 8 z + z + z 8z + De oplyses, a polynomie også kan skrives således p (z) = z + z z + Vi skal nde polynomies

Læs mere

Skriftlig Eksamen. Datastrukturer og Algoritmer (DM02) Institut for Matematik og Datalogi. Odense Universitet. Torsdag den 2. januar 1997, kl.

Skriftlig Eksamen. Datastrukturer og Algoritmer (DM02) Institut for Matematik og Datalogi. Odense Universitet. Torsdag den 2. januar 1997, kl. Skriflig Eksamen Daasrukurer og lgorimer (DM0) Insiu for Maemaik og Daalogi Odense Universie Torsdag den. januar 199, kl. 9{1 lle sdvanlige hjlpemidler (lrebger, noaer, ec.) sam brug af lommeregner er

Læs mere

Modellering af benzin- og bilforbruget med bilstocken bestemt på baggrund af samlet forbrug

Modellering af benzin- og bilforbruget med bilstocken bestemt på baggrund af samlet forbrug Danmarks Saisik MODELGRUPPEN Arbejdspapir* 13. maj 2005 Modellering af benzin- og bilforbruge med bilsocken besem på baggrund af samle forbrug Resumé: Dee redje papir om en ny model for biler og benzin

Læs mere

Danmarks fremtidige befolkning Befolkningsfremskrivning 2009. Marianne Frank Hansen og Mathilde Louise Barington

Danmarks fremtidige befolkning Befolkningsfremskrivning 2009. Marianne Frank Hansen og Mathilde Louise Barington Danmarks fremidige befolkning Befolkningsfremskrivning 29 Marianne Frank Hansen og Mahilde Louise Baringon Augus 29 Indholdsforegnelse Danmarks fremidige befolkning... 1 Befolkningsfremskrivning 29...

Læs mere

Beregning af prisindeks for ejendomssalg

Beregning af prisindeks for ejendomssalg Damarks Saisik, Priser og Forbrug 2. april 203 Ejedomssalg JHO/- Beregig af prisideks for ejedomssalg Baggrud: e radiioel prisideks, fx forbrugerprisidekse, ka ma ofe følge e ideisk produk over id og sammelige

Læs mere

Softstartere, motorstyringer og elektroniske kontaktorer CI-tronic

Softstartere, motorstyringer og elektroniske kontaktorer CI-tronic Sofsarere, moorsyringer og elekroniske konakorer CI-ronic INDUSTRIAL CONTROLS Elekroniske konakorer CI-ronic konakorer er skræddersyede il kræende indusrielle applikaioner. Takke ære indbygge LTE-eknik

Læs mere

Dommedag nu? T. Døssing, A. D. Jackson og B. Lautrup Niels Bohr Institutet. 23. oktober 1998

Dommedag nu? T. Døssing, A. D. Jackson og B. Lautrup Niels Bohr Institutet. 23. oktober 1998 Dommedag nu? T. Døssing, A. D. Jackson og B. Laurup Niels Bohr Insiue 3. okober 1998 Der har alid være fanaikere, som har men, a dommedag var nær, og for en del år siden kom nogle naurvidenskabelige forskere

Læs mere

Prisfastsættelse af fastforrentede konverterbare realkreditobligationer

Prisfastsættelse af fastforrentede konverterbare realkreditobligationer Copenhagen Business School 2010 Kandidaspeciale Cand.merc.ma Prisfassæelse af fasforrenede konvererbare realkrediobligaioner Vejleder: Niels Rom Aflevering: 28. juli 2010 Forfaere: Mille Lykke Helverskov

Læs mere

Dynamiske identiteter med kædeindeks

Dynamiske identiteter med kædeindeks Danmarks Saisik MODELGRUPPEN Arbejdspapir* Grane Høegh 2. mars 2007 Dynamiske idenieer med kædeindeks Resumé: den nye modelversion er vi gåe fra fasbase over il kædeprissørrelser. De beyder a de gamle

Læs mere

Projekt 7.5 Ellipser brændpunkter, brændstråler og praktisk anvendelse i en nyrestensknuser

Projekt 7.5 Ellipser brændpunkter, brændstråler og praktisk anvendelse i en nyrestensknuser Hvad er maemaik? Projeker: fra kapiel 7 Projek 75 Ellipser brændpunker, brændsråler og prakisk anvendelse i en nyresensknuser Projek 75 Ellipser brændpunker, brændsråler og prakisk anvendelse i en nyresensknuser

Læs mere

Øger Transparens Konkurrencen? - Teoretisk modellering og anvendelse på markedet for mobiltelefoni

Øger Transparens Konkurrencen? - Teoretisk modellering og anvendelse på markedet for mobiltelefoni DET SAMFUNDSVIDENSKABELIGE FAKULTET KØBENHAVNS UNIVERSITET Øger Transarens Konkurrencen? - Teoreisk modellering og anvendelse å markede for mobilelefoni Bjørn Kyed Olsen Nr. 97/004 Projek- & Karrierevejledningen

Læs mere

Dansk pengeefterspørgsel

Dansk pengeefterspørgsel 45 Dansk pengeeferspørgsel 98 Allan Bødskov Andersen, Økonomisk Afdeling INDLEDNING OG SAMMENFATNING I den økonomiske lieraur har pengeeferspørgselsfunkioner ilrukke sig beydelig opmærksomhed. De skyldes

Læs mere

En model til fremskrivning af det danske uddannelsessystem

En model til fremskrivning af det danske uddannelsessystem En model il fremskrivning af de danske uddannelsessysem Peer Sephensen og Jonas Zangenberg Hansen December 27 Side 2 af 22 1. Indledning De er regeringens mål a øge befolkningens uddannelsesniveau. Befolkningens

Læs mere

ktion MTC 4 Varenr MTC4/1101-1

ktion MTC 4 Varenr MTC4/1101-1 Brugervejledning kion & insrukion MTC 4 Varenr. 572185 MTC4/1101-1 INDHOLD Indeks. 1: Beskrivelse 2: Insallaion 3: Programmering 4: Hvordan fungerer syringen 4.1 Toggle ermosa 4.2 1 rins ermosa 4.3 Neuralzone

Læs mere

Øresund en region på vej

Øresund en region på vej OKTOBER 2008 BAG OM NYHEDERNE Øresund en region på vej af chefkonsulen Ole Schmid Sore forvenninger il Øresundsregionen Der var ingen ende på, hvor god de hele ville blive når broen blev åbne, og Øresundsregionen

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Sædvanlige Differentialligninger

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Sædvanlige Differentialligninger MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Sædvanlige Differenialligninger a b. udgave 004 FORORD Dee noa giver en indføring i eorien for sædvanlige differenialligninger. Der lægges især væg på løsningen af lineære differenialligninger

Læs mere

Computer- og El-teknik Formelsamling

Computer- og El-teknik Formelsamling ompuer- og El-eknik ormelsamling E E E + + E + Holsebro HTX ompuer- og El-eknik 5. og 6. semeser HJA/BA Version. ndholdsforegnelse.. orkorelser inden for srøm..... Modsande ved D..... Ohms ov..... Effek

Læs mere

Logaritme-, eksponential- og potensfunktioner

Logaritme-, eksponential- og potensfunktioner Logarime-, eksponenial- og poensfunkioner John Napier (550-67. Peer Haremoës Niels Brock July 27, 200 Indledning Eksponenial- og logarimefunkioner blev indfør på Ma C nivea uden en præcis definiion. Funkionerne

Læs mere

NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET MATEMATISK FINANSIERINGSTEORI

NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET MATEMATISK FINANSIERINGSTEORI NAURVIDENSKABELIG KANDIDAEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSIE MAEMAISK FINANSIERINGSEORI 4 imers skriflig eksamen, 9-3 orsdag 3/ 2. Alle sædvanlige hjælpemidler illad. Anal sider i sæe: 5. Opgave Spg..a [

Læs mere

Bilbeholdningen i ADAM på NR-tal

Bilbeholdningen i ADAM på NR-tal Danmarks Saisik MODELGRUPPEN Arbejdspapir* Grane Høegh 4. april 2008 Bilbeholdningen i ADAM på NR-al Resumé: Dee papir foreslår a lade bilbeholdningen i ADAM være lig den officielle bilbeholdning fra Naionalregnskabe.

Læs mere

Data og metode til bytteforholdsberegninger

Data og metode til bytteforholdsberegninger d. 3. maj 203 Daa og meode il byeforholdsberegninger Dee noa redegør for daagrundlage og beregningsmeoden bag byeforholdsberegningerne i Dansk Økonomi, forår 203.. Daagrundlag Daagrundlage for analysen

Læs mere

Afrapportering om danske undertekster på nabolandskanalerne

Afrapportering om danske undertekster på nabolandskanalerne 1 Noa Afrapporering om danske underekser på nabolandskanalerne Sepember 2011 2 Dee noa indeholder: 1. Indledning 2. Baggrund 3. Rammer 4. Berening 2010 5. Økonomi Bilag 1. Saisik over anal eksede programmer

Læs mere

Multivariate kointegrationsanalyser - En analyse af risikopræmien på det danske aktiemarked

Multivariate kointegrationsanalyser - En analyse af risikopræmien på det danske aktiemarked Cand.merc.(ma)-sudie Økonomisk nsiu Kandidaafhandling Mulivariae koinegraionsanalyser - En analyse af risikopræmien på de danske akiemarked Suderende: Louise Wellner Bech flevere: 9. april 9 Vejleder:

Læs mere

Modellering af den Nordiske spotpris på elektricitet

Modellering af den Nordiske spotpris på elektricitet Modellering af den Nordiske spopris på elekricie Speciale Udarbejde af: Randi Krisiansen Oecon. 10. semeser Samfundsøkonomi, Aalborg Universie 2 RANDI KRISTIANSEN STUDIENUMMER 20062862 Tielblad Uddannelse:

Læs mere

Hvor bliver pick-up et af på realkreditobligationer?

Hvor bliver pick-up et af på realkreditobligationer? Hvor bliver pick-up e af på realkrediobligaioner? Kvanmøde 2, Finansanalyikerforeningen 20. April 2004 Jesper Lund Quaniaive Research Plan for dee indlæg Realkredi OAS som mål for relaiv værdi Herunder:

Læs mere

Beregning af prisindeks for ejendomssalg

Beregning af prisindeks for ejendomssalg Damarks Saisik, Priser og Forbrug 0. okober 204 Ejedomssalg JHO/- Beregig af prisideks for ejedomssalg Baggrud: I e radiioel prisideks, fx forbrugerprisidekse, ka ma ofe følge e ideisk produk over id og

Læs mere

Dokumentation for regelgrundskyldspromillen

Dokumentation for regelgrundskyldspromillen Danmarks Saisik MODELGRUPPEN Arbejdspapir Marcus Mølbak Inghol 17. okober 2012 Dokumenaion for regelgrundskyldspromillen Resumé: I dee modelgruppepapir dokumeneres konsrukionen af en idsrække for regelgrundskyldspromillen

Læs mere

Prisdannelsen i det danske boligmarked diagnosticering af bobleelement

Prisdannelsen i det danske boligmarked diagnosticering af bobleelement Hovedopgave i finansiering, Insiu for Regnskab, Finansiering og Logisik Forfaer: Troels Lorenzen Vejleder: Tom Engsed Prisdannelsen i de danske boligmarked diagnosicering af bobleelemen Esimering af dynamisk

Læs mere

Newtons afkølingslov løst ved hjælp af linjeelementer og integralkurver

Newtons afkølingslov løst ved hjælp af linjeelementer og integralkurver Newons afkølingslov løs ved hjælp af linjeelemener og inegralkurver Vi så idligere på e eksempel, hvor en kop kakao med emperauren sar afkøles i e lokale med emperauren slu. Vi fik, a emperaurfalde var

Læs mere

Den erhvervspolitiske værdi af støtten til den danske vindmølleindustri

Den erhvervspolitiske værdi af støtten til den danske vindmølleindustri N N N '(7.2120,6.( 5c' 6 (. 5 ( 7 $ 5, $ 7 ( 7 Den erhvervspoliiske værdi af søen il den danske vindmølleindusri Svend Jespersen Arbejdspapir 2002:3 Sekreariae udgiver arbejdspapirer, hvori der redegøres

Læs mere

Kan den danske forbrugsudvikling benyttes til at bestemme inflationsforventninger?

Kan den danske forbrugsudvikling benyttes til at bestemme inflationsforventninger? 59 Kan den danske forbrugsudvikling benyes il a besemme inflaionsforvenninger? Michael Pedersen, Økonomisk Afdeling INFLATIONSFORVENTNINGER Realrenen angiver låneomkosningerne (eller afkase af en placering

Læs mere

En-dimensionel model af Spruce Budworm udbrud

En-dimensionel model af Spruce Budworm udbrud En-dimensionel model af Sprce dworm dbrd Kenneh Hagde Mandr p Niel sen o g K asper j er ing Søby Jensen, ph.d-sderende ved oskilde Universie i hhv. maemaisk modellering og maemaikkens didakik. Maemaisk

Læs mere

Finanspolitik i makroøkonomiske modeller

Finanspolitik i makroøkonomiske modeller 33 Finanspoliik i makroøkonomiske modeller Jesper Pedersen, Økonomisk Afdeling 1 1. INDLEDNING OG SAMMENFATNING Finanspoliik og pengepoliik er radiionel se de o vigigse økonomiske insrumener il sabilisering

Læs mere

Danmarks fremtidige befolkning Befolkningsfremskrivning 2006. Marianne Frank Hansen, Lars Haagen Pedersen og Peter Stephensen

Danmarks fremtidige befolkning Befolkningsfremskrivning 2006. Marianne Frank Hansen, Lars Haagen Pedersen og Peter Stephensen Danmarks fremidige befolkning Befolkningsfremskrivning 26 Marianne Frank Hansen, Lars Haagen Pedersen og Peer Sephensen Juni 26 Indholdsforegnelse Forord...4 1. Indledning...6 2. Befolkningsfremskrivningsmodellen...8

Læs mere

FJERNVARME 2011. Muffer og fittings af plast

FJERNVARME 2011. Muffer og fittings af plast FJERNVARME 2 Muffer og fiings af plas INDHOLDSFORTEGNELSE Muffer Lige muffer Side 4 Krympemuffer Side 5 Svejsemuffer Side 6 Skydemuffer Side 7 Redukionsmuffer Side 9 Ballonmuffer Side 4 Slumuffer Side

Læs mere

Retfærdig fordeling af nytte mellem nulevende og fremtidige personer

Retfærdig fordeling af nytte mellem nulevende og fremtidige personer Refærdig fordeling af nye mellem nulevende og fremidige personer Flemming Møller, Aarhus Universie, Danmarks Miljøundersøgelser (e-mail: syfm@dmu.dk) 1. De generelle fordelingsproblem De fundamenale grundlag

Læs mere

Hvad er en diskret tidsmodel? Diskrete Tidsmodeller. Den generelle formel for eksponentiel vækst. Populationsfordobling

Hvad er en diskret tidsmodel? Diskrete Tidsmodeller. Den generelle formel for eksponentiel vækst. Populationsfordobling Hvad er en diskre idsmodel? Diskree Tidsmodeller Jeppe Revall Frisvad En funkion fra mængden af naurlige al il mængden af reelle al: f : R f (n) = 1 n + 1 n Okober 29 1 8 f(n) = 1/(n + 1) f(n) 6 4 2 1

Læs mere

Danmarks fremtidige befolkning Befolkningsfremskrivning 2013. Marianne Frank Hansen & Peter Stephensen

Danmarks fremtidige befolkning Befolkningsfremskrivning 2013. Marianne Frank Hansen & Peter Stephensen Danmarks fremidige beflkning Beflkningsfremskrivning 213 Marianne Frank Hansen & Peer Sephensen Juli 213 Side 2 af 132 Indhldsfregnelse 1 Indledning... 6 1.1 Opbygningen af beflkningsmdellen... 8 1.2 Viale

Læs mere

Fulde navn: NAVIGATION II

Fulde navn: NAVIGATION II SØFARTSSTYRELSEN Eks.nr. Eksaminaionssed (by) Fulde navn: * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * Yachskippereksamen af 1. grad. Y1NAV2-1/02

Læs mere

Ny ligning for usercost

Ny ligning for usercost Danmarks Saisik MODELGRUPPEN Arbejdspapir* Grane Høegh 8. okober 2008 Ny ligning for usercos Resumé: Usercos er bleve ændre frem og ilbage i srukur og vil i den nye modelversion have noge der minder om

Læs mere

Brugervejledning & instruktion MHC 12/2. Varenr MHC 12/4. Varenr MHC12/1101-1

Brugervejledning & instruktion MHC 12/2. Varenr MHC 12/4. Varenr MHC12/1101-1 Brugervejledning & insrukion MHC / Varenr. 57405 MHC /4 Varenr. 57407 MHC/0- INDHOLD.0 Beskrivelse.0 Insallaion 3.0 Programmering 4.0 Forskellige funkioner 4. Toggle hygrosa (MHC /) 4. -rins hygrosa (MHC

Læs mere

Signal processering i digitalt vejesystem

Signal processering i digitalt vejesystem Thomas Emil Juul Eilersen Signal processering i digial vejesysem Eksamensprojek, Kgs. Lyngby, november 27 Danmarks Tekniske Universie Vejledere: Ole Ravn Niels Kjølsad Poulsen Absrac Dynamic weighing

Læs mere

BLIV KLOG PÅ NATURSTEN

BLIV KLOG PÅ NATURSTEN BLIV KLOG PÅ NATURSTEN - OG UNDGÅ MISFARVNINGER ARDEX NATURSTENS- SYSTEM E hurig og komple sysem, der sikrer farveæge naursensbelægninger www.ardex.dk Produkoversig Fugfølsomme naursen Fugbesandige naursen

Læs mere

Volumenstrømsregulator

Volumenstrømsregulator Volumensrømsregulaor Dimensioner (MF, MP, ON, MOD, KNX) Ød nom (MF-D, MP-D, ON-D, MOD-D, KNX-D) Beskrielse er en cirkulær olumensrømsregulaor for VAV regulering i kanalsysemer og besår af en måleenhed

Læs mere

f r a i d é t i l p r o j e k t i n n o v a t i o n i n n o v a i o n i o n i n n o v a t n o v a t i n n o v a t i

f r a i d é t i l p r o j e k t i n n o v a t i o n i n n o v a i o n i o n i n n o v a t n o v a t i n n o v a t i f r a i d é i l p r o j e k e n m e o d e i l n y æ n k n i n g o g p r o b l e m l ø s n i n g n o v a i s p r o c e s s e n i n d e h o l d e r... n n o v a p r e j e k Toolki & Mindhouse er o konsulenvirksomheder,

Læs mere

JUMO itron 04 B Kompakt mikroprocessorregulator

JUMO itron 04 B Kompakt mikroprocessorregulator Side 1/6 Kompak mikroprocessorregulaor Indbygningshus ih. DIN 43 700 Kor beskrivelse er en kompak mikroprocessorsyre opunksregulaor med fronrammemåle 96mm x 96mm. Alle re udførelser af regulaoren har e

Læs mere

ktion MTC 12 Varenr. 572178 MTC12/1101-1

ktion MTC 12 Varenr. 572178 MTC12/1101-1 Brugervejledning kion & insrukion MTC 12 Varenr. 572178 MTC12/1101-1 INDHOLD Indeks. 1: Beskrivelse 2: Insallaion 3: Programmering 4: Hvordan fungerer syringen 4.1 Toggle ermosa 4.2 1 rins ermosa 4.3 Neuralzone

Læs mere

GRAFISK INTRODUKTION TIL FOURIER-RÆKKE TRANSFORMATIONEN

GRAFISK INTRODUKTION TIL FOURIER-RÆKKE TRANSFORMATIONEN GRAFISK INTRODUKTION TIL FOURIER-RÆKKE TRANSFORMATIONEN UNDERVISNINGSELEMENT # E3 UNDERVISNING I MÅLETEKNIK UNDERVISNINGSELEMENT # E3 GRAFISK INTRODUKTION TIL FOURIER-RÆKKE TRANSFORMATIONEN Knud A. Balsen

Læs mere

5 Lønindeks for den private sektor

5 Lønindeks for den private sektor 57 5 Lønindeks for den privae sekor 5.1 Grundlæggende informaion om indekse 5.2 Navn Lønindeks for den privae sekor. Der offenliggøres e ilsvarende lønindeks for den offenlige sekor, der i princippe beregnes

Læs mere

Allan Bødskov Andersen og Lars Mayland Nielsen, Økonomisk Afdeling

Allan Bødskov Andersen og Lars Mayland Nielsen, Økonomisk Afdeling 7 Tillidsindikaorer Allan Bødskov Andersen og Lars Mayland Nielsen, Økonomisk Afdeling INDLEDNING Officielle daa for den økonomiske akiviesmæssige udvikling, herunder BNP og des underkomponener, bliver

Læs mere

Hvad ved vi om kultur og akutte belastninger?

Hvad ved vi om kultur og akutte belastninger? P r æ s e n a i Hvad ved vi om kulur og akue belasninger? Faglig ræf 25. sepember 2019 Seniorforsker: Markus Due Jakobsen (mdj@nfa.dk) Videnskabelig assisen: Ninna Maria Wilsrup (nmw@nfa.dk) P r æ s e

Læs mere

1. Aftalen... 2. 1.A. Elektronisk kommunikation meddelelser mellem parterne... 2 1.B. Fortrydelsesret for forbrugere... 2 2. Aftalens parter...

1. Aftalen... 2. 1.A. Elektronisk kommunikation meddelelser mellem parterne... 2 1.B. Fortrydelsesret for forbrugere... 2 2. Aftalens parter... Gener el l ebe i ngel s erf orl ever i ngogdr i f af L ok al Tel ef onens j enes er Ver s i on1. 0-Febr uar2013 L ok al Tel ef onena/ S-Pos bok s201-8310tr anbj er gj-k on ak @l ok al el ef onen. dk www.

Læs mere

Newton, Einstein og Universets ekspansion

Newton, Einstein og Universets ekspansion Newon, Einsein og Universes ekspansion Bernhard Lind Shisad, Viborg Tekniske ymnasium Friedmann ligningerne beskriver sammenhængen mellem idsudviklingen af Universes udvidelse og densieen af sof og energi.

Læs mere

Arbejdspapir nr. 17/2005. Titel: Beregning af den strukturelle offentlige saldo 1. Forfatter: Michael Skaarup (msk@fm.dk)

Arbejdspapir nr. 17/2005. Titel: Beregning af den strukturelle offentlige saldo 1. Forfatter: Michael Skaarup (msk@fm.dk) Arbejdspapir nr. 17/5 Tiel: Beregning af den srukurelle offenlige saldo 1 Forfaer: Michael Skaarup (msk@fm.dk) Henvendelse: Michael Lund Nielsen (mln@fm.dk) Resumé: I arbejdspapire redegøres for den meode

Læs mere

PROSPEKT FOR. Hedgeforeningen Jyske Invest

PROSPEKT FOR. Hedgeforeningen Jyske Invest Prospek PROSPEKT FOR Hedgeforeningen Jyske Inves Ansvar for prospek Hedgeforeningen Jyske Inves er ansvarlig for prospekes indhold. Vi erklærer herved, a oplysningerne i prospeke os bekend er rigige og

Læs mere

Rustfrit stål i husholdningen

Rustfrit stål i husholdningen Rus f r i s åli hus hol dni ngen Hv i l k es ål y perbr ugerv iikøkk ene oghv or f or?oghv ader f l y v er us? Rusfri sål i husholdningen Hvilke sålyper bruger vi i køkkene og hvorfor? Og hvad er flyverus?

Læs mere

Lavkulstof, titanstabiliseret og normalt, rustfrit stål

Lavkulstof, titanstabiliseret og normalt, rustfrit stål Lavk ul s of, i ans abi l i s er e og nor mal, r us f r i s ål My erogs andheder oghv aderegen l i gf or s k el l en? Lavkulsof, iansabilisere og normal, rusfri sål Myer og sandheder og hvad er egenlig

Læs mere

Tjekkiet Štěpán Vimr, lærerstuderende Rapport om undervisningsbesøg Sucy-en-Brie, Frankrig 15.12.-19.12.2008

Tjekkiet Štěpán Vimr, lærerstuderende Rapport om undervisningsbesøg Sucy-en-Brie, Frankrig 15.12.-19.12.2008 Tjekkie Šěpán Vimr lærersuderende Rappor om undervisningsbesøg Sucy-en-Brie Frankrig 15.12.-19.12.2008 Konak med besøgslæreren De indledende konaker (e-mail) blev foreage med de samme undervisere hvilke

Læs mere