GEOMETRI-TØ, UGE 8. X = U xi = {x i } = {x 1,..., x n }, U α, U α = α. (X \ U α )
|
|
- Adam Olsen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 GEOMETRI-TØ, UGE 8 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imf.au.dk. Opvarmningsopgave 1. Lad X være en mængde og T familien af alle delmængder på X. Vis at T er en topologi den diskrete topologi på X. Vis at (X, T ) er kompakt, hvis og kun hvis X er endelig. Bevis. Alle delmængder af X ligger i T, så det er klart, at de tre betingelser for at være en topologi er opfyldt for T. Hvis X er endelig, er den også kompakt, som vi før har set. Antag at X er kompakt og betragt for hvert punkt x X den åbne mængde U x = {x}. Da er X = x X U x en åben overdækning, der pr. antagelsen om kompakthed kan udtyndes til en endelig; det vil sige, at n n X = U xi = {x i } = {x 1,..., x n }, så X er endelig. i=1 i=1 Lemma 1. En forening af et endeligt antal kompakte delmængder A 1,..., A n af et topologisk rum X er selv kompakt. Bevis. Vi benytter karakterisationen i Lemma Lad {U α α I} være en overdækning af A 1 A n. Da vil {U α } også være en overdækning af hvert A i, så for hvert i = 1,..., n findes en endelig mængde J i I, så A i α J i U α. Samlet set får vi, at J = J 1 J n I er endelig, og så A 1 A n er kompakt. A 1 A n α J U α, Opvarmningsopgave 2. Lad (X, T ) være et Hausdorffrum. Lad Vis at T er en topologi på X. T = {U X X \ U er kompakt i T }. Bevis. Lad U α være en familie af mængder i T, så X \ U α er kompakt i T for alle α. Da (X, T ) er Hausdorff er mængderne X \ U α ydermere lukkede i T, pr. Sætning 5.35 (ii). Da er X \ α U α = α (X \ U α ) også lukket i T. Mængden er desuden en delmængde af den kompakte mængde X \ U α, for et vilkårligt valg af α, og pr. Sætning 5.35 (i) er mængden kompakt i T, så α U α er i T. Lad U 1, U 2 ligge i T, så som før X \ U i er kompakte i T for i = 1, 2. Da er X \ (U 1 U 2 ) = (X \ U 1 ) (X \ U 2 ). Da en endelig forening af kompakte mængder if. lemmaet ovenfor selv er kompakt står her, at U 1 U 2 T. Endelig er det givet, at T, og da X \ X = er kompakt, er X T. Topologien T er lidt spøjs: Selvom T er antaget Hausdorff, vil T kun selv være Hausdorff, hvis X er kompakt i T. Opvarmningsopgave 3. Lad U R 2, S R 3 en flade og σ : U S en parametrisering af en åben delmængde σ(u) S. Vis at W σ(u) er åben i S, hvis og kun hvis σ 1 (W ) er åben i R 2. 1
2 2 GEOMETRI-TØ, UGE 8 Bevis. Bemærk først, at W er åben i σ(u), da mængden kan skrives W = W σ(u), og σ(u) er åben i S. Da σ : U σ(u) er en homøomorfi, og dermed specielt kontinuert, og W σ(u) er åben, er σ 1 (W ) åben i U, så vi kan skrive σ 1 (W ) = U V for en åben mængde V i R 2. Vi ved, at U er åben i R 2 (da det ellers slet ikke ville give mening at kalde σ en parametrisering), så σ 1 (W ) er åben i R 2. Omvendt får vi, at hvis σ 1 (W ) er åben i R 2 og dermed i U, så er W = σ(σ 1 (W )) åben i σ(u), da σ 1 : σ(u) U er kontinuert. Da kan vi skrive W = σ(u) V for en åben mængde V i S, og da σ(u) selv er åben, er W åben i S. Det følgende lemma er en umiddelbar generalisering af Opgave , som vi tidligere har set på. Lemma 2. Lad {U α } er en åben overdækning af et topologisk rum X, lad Y være et andet topologisk rum og lad f : X Y være en funktion. Hvis f Uα er kontinuerte mht. sportopologierne på U α for alle α, er f kontinuert. Bevis. Lad V Y være åben. Vælg åbne mængder V α i X, så (f Uα ) 1 (V ) = U α V α. Da U α er en overdækning, er f 1 (V ) = α (f Uα ) 1 (V ) = α U α V α, som er åben i X. Opvarmningsopgave 4. Lad {σ i : U i S} være et atlas på en flade S R 3. Lad f : S R være en funktion. Vis at f er kontinuert, hvis og kun hvis f σ i : U i R er kontinuert for alle i. Bevis. Antag at f : S R er kontinuert. Da hver σ i er kontinuert, er f σ i det også. Antag nu, at hver f σ i : U i R er kontinuert. Ved at sammensætte med den kontinuerte afbildning σ 1 i : σ i (U i ) U i, får vi, at f σi(u i) er kontinuert for alle i. Resultatet følger nu af lemmaet ovenfor. [S], Opgave Vis at den n-dimensionale kugleskal S n = {x R n+1 x = 1} er sammenhængende. Bevis #1. Lad D n = {x R n x 1}. Betragt afbildningerne f ± : D n S n givet ved ( ) f + (x 1,..., x n ) = x 1,..., x n, 1 x x2 n, ( ) f (x 1,..., x n ) = x 1,..., x n, 1 x x2 n. Bemærk nu, at S n = f + (D n ) f (D n ): Lad (x 1,..., x n, x n+1 ) S n. Det vil sige, at x 2 n+1 = 1 x x 2 n, så (x 1,..., x n, x n+1 ) er billedet af (x 1,..., x n ) under f + eller f, afhængigt af, om x n+1 er positiv eller negativ. Da D n er konveks, er den ifølge Eksempel 5.28 sammenhængende, så f ± (D n ) er sammenhængende. Da (1, 0,..., 0) f + (D n ) f (D n ), følger af Sætning 5.26 (iii), at f + (D n ) f (D n ) = S n er sammenhængende. Bevis #2. Hvis man vil tro på, at R n+1 \ {0} er kurvesammenhængende (de fleste punkter kan forbindes med rette linjer; man skal bare passe lidt på tilfældet, hvor punkterne ligger diametralt modsat i forhold til 0), følger af Eksempel 5.28, at R n+1 \ {0} er sammenhængende. Da S n er billedet af afbildningen R n+1 \ {0} R n+1 givet ved x x/ x, følger af Sætning 5.26 (iv), at S n er sammenhængende. [S], Opgave Vis at S 1 og S 2 ikke er homøomorfe.
3 GEOMETRI-TØ, UGE 8 3 Bevis. Idéen i opgaven er den helt centrale i matematik at finde en god invariant; en størrelse, der bliver bevaret under homøomorfi og dermed kan bruges til at adskille forskellige rum fra hinanden, hvis invarianterne ikke stemmer overens. I nærværende opgave er denne invariant kurvesammenhængenhed. Bemærk først, at hvis X og Y er topologiske rum, og f : X Y en homøomorfi, og X er kurvesammenhængende, så er Y det også. Hvis y 0, y 1 Y, så findes en kontinuert kurve γ : [0, 1] X, så γ(0) = f 1 (y 0 ), γ(1) = f 1 (y 1 ). Da er f γ : [0, 1] Y kontinuert, og f γ(0) = y 0 og f γ(1) = y 1. Antag for modstrid, at f : S 2 S 1 er en homøomorfi. Da vil der om vilkårlige punkter p 1, p 2 S 2 gælde, at f S2 \{p 1,p 2} : S 2 \ {p 1, p 2 } S 1 \ {f(p 1 ), f(p 2 )} ligeledes er en homøomorfi. Lad p 1 = (1, 0, 0), p 2 = (0, 0, 1) S 2. Da er S 2 \ {p 1, p 2 } kurvesammenhængende; dette ses nemmest ved at beskrive punkter og kurver i sfæriske koordinater. Omvendt påstår vi, at S 1 \ {f(p 1 ), f(p 2 )} ikke er kurvesammenhængende, hvilket giver den ønskede modstrid. Lad f(p 1 ) = (cos(θ 1 ), sin(θ 1 )), f(p 2 ) = (cos(θ 2 ), sin(θ 2 )) for θ 1, θ 2 (0, 2π] og antag UTAG, at θ 1 < θ 2. Sæt U = {(cos θ, sin θ) S 1 θ (θ 1, θ 2 )}, V = {(cos θ, sin θ) S 1 θ (θ 2, θ 1 + 2π)}. Disse mængder er disjunkte, ikke-tomme, åbne og forener til hele S 1, der derfor ikke er sammenhængende, og derfor heller ikke kan være kurvesammenhængende. Alternativt kunne man også have benyttet sammenhængenhedsbegrebet som sin invariant og vist, at S 2 \ {N, S} er sammenhængende. Enten som ovenfor eller ved at bruge et argument i stil med forrige opgave. [S], Opgave Lad X være et topologisk rum. Vis at der defineres en ækvivalensrelationen ved at lade x y på X, hvis og kun hvis, der findes en sammenhængende delmængde, som indeholder både x og y. Ækvivalensklasserne kaldes sammenhængskomponenter. Vis at en sammenhængskomponent er lukket. Vis at hvis X har endeligt mange sammenhængskomponenter, så er de åbne. Find sammenhængskomponenterne af Q R og afgør, om de er åbne. Bevis. Da {x} er sammenhængende for alle x X, er x x. Hvis der findes en sammenhængende mængde, der indeholder x og y, vil den også indeholde y og x, så hvis x y, er y x. Hvis endelig der for tre punkter x, y og z i X gælder, at der findes en sammenhængende mængde A, så x, y A og en sammenhængende mængde B, så y, z B, så vil A B være sammenhængende pr. Sætning 5.26 (iii), og x, z A B, så hvis x y og y z gælder x z. Lad A være en sammenhængskomponent. Vi påstår, at A er sammenhængende. Lad x A være vilkårlig og tænk på A som A = {y X y x}. For alle y A findes en sammenhængende mængde A y indeholdende x og y. Bemærk, at A y A, da vi ellers ville få en modstrid med definitionen på A. Som altid gælder nu, at A = y A A y, og da alle A y indeholder det samme x følger af Sætning 5.26 (iii), at A er sammenhængende. Ved at bruge Sætning 5.26 (ii) med B = A får vi ydermere, at A er sammenhængende. For hvert z A gælder så, at x z, hvilket betyder, at z A. Her står, at A = A, så A er lukket. Skriv X = A 1 A n, hvor A i erne er de disjunkte sammenhængskomponenter. Da er A i = X \ (A 1 Âi... A n ) = (X \ A 1 ) (X \ A i )... (X \ A n ) et endeligt snit af åbne mængder og dermed åbent. Her har vi brugt den almindelige notation, at et objekt med en hat ikke tælles med i rækken.
4 4 GEOMETRI-TØ, UGE 8 Vi påstår, at sammenhængskomponenterne for Q er etpunktsmængder: Hvis x y for x, y Q, så findes A Q sammenhængende med x, y A. Der kan umuligt gælde, at x y, for hvis dette var tilfældet, ville der findes et z R \ Q mellem x og y, og vi ville kunne skrive A = (A (, z)) (A (z, )); en forening af to ikke-tomme disjunkte delmængder, der begge er åbne i A, hvilket strider mod, at A er sammenhængende. Etpunktsmængder er ikke åbne, da der for enhver åben kugle om et rationalt tal findes andre rationale tal. [S], Opgave Vis at en åben sammenhængende delmængde af R n er kurvesammenhængende og at en åben delmængde af R n er en foreningsmængde af disjunkte, sammenhængende og åbne delmængder. Bevis. Lad A være en åben sammenhængende delmængde af R n. For første del indføres begrebet kurvesammenhængskomponent: Vi siger, at x y for x, y A, hvis der findes en kontinuert kurve fra x til y. Det er let at indse, at dette definerer en ækvivalensrelation, og ækvivalensklasserne kalder vi kurvesammenhængskomponenterne. Som i sidste opgave finder vi, at kurvesammenhængskomponenter er kurvesammenhængende (og derfor sammenhængende). Lad B være en kurvesammenhængskomponent i A og lad os vise, at B = A. Dette viser vi ved anvendelse af Proposition 5.23 (iii) ved at vise, at B er både åben og lukket. Lad x B. Da A er åben, findes en åben kugle om x, der er helt indeholdt i A. Da alle punkter i denne kugle kan forbindes til x med en kurve (en ret linje i dette tilfælde), må hele kuglen være indeholdt i B, som dermed er åben. Af helt samme grund er komplementet til B åbent: Hvis x B c A findes en åben kugle om x, der er helt indeholdt i A. Hvis blot ét af elementerne i denne kugle kunne forbindes med en kurve til et punkt i B, ville det samme gælde punktet x, så kuglen er helt indeholdt i B c. Altså er B lukket og lig A. Lad for sidste del af opgaven U være en åben mængde i R n. Denne er en foreningsmængde af sine disjunkte kurvesammenhængskomponenter, og da U er åben følger som ovenfor, at kurvesammenhængskomponenterne også er det. Opgave A. Et topologisk rum X kaldes lokalkompakt, hvis der for ethvert p X findes en åben omegn U af p, så afslutningen U X er kompakt. Vis at R n er lokalkompakt. Antag at X, Y er lokalkompakte Hausdorffrum. Vis at X Y med produkttopologien er lokalkompakt. Bevis. For at vise at R n er lokalkompakt, er det nok at indse, at Heine-Borel giver, at afslutningen af åbne kugler er kompakte, da de er lukkede og begrænsede. Lad p = (p 1, p 2 ) X Y. Da findes en åben mængde U 1 om p 1 i X, og en åben mængde U 2 om p 2 i Y, så U 1 og U 2 er kompakte i hhv. X og Y. Pr. definition af produkttopologien er U 1 U 2 en åben omegn af (p 1, p 2 ). Pr. Sætning 5.41 er A = U 1 U 2 kompakt. Da X og Y er Hausdorff er X Y det også ifølge Korollar Det følger af Sætning 5.35 (ii), at A er lukket, og da U 1 U 2 A, gælder også U 1 U 2 A. Da følger af Sætning 5.35 (i), at U 1 U 2 er kompakt, som ønsket. Bevis uden Hausdorff-antagelsen. Faktisk kan vi droppe betingelsen om, at X og Y er Hausdorff: Lad U 1 og U 2 være som før. At U 1 U 2 er kompakt følger som før, så det er nok at vise, at U 1 U 2 = U 1 U 2. Dette følger af lemmaet nedenfor. Lemma 3. For A X, B Y gælder A B = A B. Bevis. Bemærk først, at A B er lukket i X Y, da X Y \ (A B) = (X \ A) Y X (Y \ B). Da A B A B, og A B er den mindste lukkede delmængde, der indeholder A B, står her, at A B A B. Lad os vise, at A B A B. Vi skal altså med andre ord vise, at X \ int(x \ A) Y \ int(y \ B) X Y \ int(x Y \ A B).
5 GEOMETRI-TØ, UGE 8 5 Ved at tage komplementer på begge sider, bliver dette ækvivalent til int(x Y \ A B) X Y \ (X \ (int(x \ A)) Y \ (int(y \ B))) = int(x \ A) Y X int(y \ B). Lad (x, y) int(x Y \ A B). Pr. definition af produkttopologien findes åbne mængder U og V i hhv. X og Y, så (x, y) U V, og U V (A B) c. Dette betyder at der enten gælder U A = eller V B = (for hvis begge snit var ikke-trivielle, kunne man finde et element i både U V og A B). Hvis U A =, er x int(x \ A) og ellers er y int(y \ B). Under alle omstændigheder er som ønsket. (x, y) int(x \ A) Y X int(y \ B)
8 Regulære flader i R 3
8 Regulære flader i R 3 Vi skal betragte særligt pæne delmængder S R 3 kaldet flader. I det følgende opfattes S som et topologisk rum i sportopologien, se Definition 5.9. En åben omegn U af p S er således
Læs merePunktmængdetopologi. Mikkel Stouby Petersen. 1. marts 2013
Punktmængdetopologi Mikkel Stouby Petersen 1. marts 2013 I kurset Matematisk Analyse 1 er et metrisk rum et af de mest grundlæggende begreber. Et metrisk rum (X, d) er en mængde X sammen med en metrik
Læs mereGEOMETRI-TØ, UGE 12. A σ (R) = A f σ (f(r))
GEOMETRI-TØ, UGE 12 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imfaudk Opvarmningsopgave 1, [P] 632 Vis at Ennepers flade σ(u, v) = ( u u 3 /3
Læs mereGEOMETRI-TØ, UGE 6. . x 1 x 1. = x 1 x 2. x 2. k f
GEOMETRI-TØ, UGE 6 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imfaudk Opvarmningsopgave 1 Lad f : R 2 R være tre gange kontinuert differentierbar
Læs mereGult Foredrag Om Net
Gult Foredrag Om Net University of Aarhus Århus 8 th March, 2010 Introduktion I: Fra Metriske til Topologiske Rum Et metrisk rum er en mængde udstyret med en afstandsfunktion. Afstandsfunktionen bruges
Læs mereSkriftlig eksamen - med besvarelse Topologi I (MM508)
INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI SYDDANSK UNIVERSITET, ODENSE Skriftlig eksamen - med besvarelse Topologi I (MM508) Mandag d. 14. januar 2007 2 timer med alle sædvanlige hjælpemidler tilladt. Opgavesættet
Læs mereN o t e r t i l G e o m e t r i
N o t e r t i l G e o m e t r i I b M a d s e n o g J o h a n D u p o n t J a n u a r 2 0 0 5 I n s t i t u t f o r M a t e m a t i s k e Fa g D e t N a t u rv i d e n s k a b e l i g e Fa k u l t e t
Læs mere= λ([ x, y)) + λ((y, x]) = ( y ( x)) + (x y) = 2(x y).
Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 17. og 20. september 2013 Supplerende opgave 1 Lad λ være Lebesgue-målet på R og lad A B(R). Definér en funktion f : [0, ) R ved f(x) = λ(a [ x, x]). Vis, at f(x)
Læs mereBanach-Tarski Paradokset
32 Artikeltype Banach-Tarski Paradokset Uden appelsiner Andreas Hallbäck Langt de fleste af os har nok hørt om Banach og Tarskis såkaldte paradoks fra 1924. Vi har hørt diverse poppede formuleringer af
Læs mereGeom2-dispositioner (reeksamen)
Geom2-dispositioner (reeksamen) Rasmus Sylvester Bryder 20. april 2012 1 Mangfoldigheder i R n 1. Introducér begreberne parametriseret mangfoldighed, regularitet, indlejret parametriseret mangfoldighed
Læs mereN o t e r t i l G e o m e t r i
N o t e r t i l G e o m e t r i J o h a n D u p o n t o g I b M a d s e n J a n u a r 2 0 0 6 I n s t i t u t fo r M at e m at i s k e Fa g D e t N at u rv i d e n s k a b e l i g e Fa k u lt e t A a r
Læs mereAnalyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X).
Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 3. og 6. september 2013 Gennemgå bevis for Sætning 2.10 Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Bevis. Der findes en injektion X P(X), fx givet ved x
Læs merez 1 = z 1z 1z 1 z 1 2 = z z2z 1 z 2 2
M å l e p u n k t R i e m a n n s k G e o m e t r i E 8 J a ko b L i n d b l a d B l a ava n d 2 5 3 6 7 5 27 oktober 28 I n s t i t u t fo r M at e m at i s k e Fag A a r h u s U n i v e r s i t e t indledning
Læs mereFørste konstruktion af Cantor mængden
DYNAMIK PÅ CANTOR MÆNGDEN KLAUS THOMSEN Første konstruktion af Cantor mængden For de fleste der har hørt on Cantor-mængden, er den blevet defineret på flg måde: I = 0 I = I = 0 0 OSV Cantor mængden C er
Læs mereN o t e r t i l G e o m e t r i
N o t e r t i l G e o m e t r i J o h a n D u p o n t o g I b M a d s e n J a n u a r 2 0 0 8 I n s t i t u t fo r M at e m at i s k e Fa g D e t N at u rv i d e n s k a b e l i g e Fa k u lt e t A a r
Læs mereMASO Uge 5. Topologi i euklidiske rum. Jesper Michael Møller. Uge 5. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 5 Topologi i euklidiske rum Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 5 Formålet med MASO Oversigt Åbne og afsluttede mængder Det indre, det ydre, afslutningen,
Læs mereMASO Uge 5. Topologi i euklidiske rum. Jesper Michael Møller. Uge 5. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 5 Topologi i euklidiske rum Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 5 Formålet med MASO Oversigt Åbne og afsluttede mængder Det indre, det ydre, afslutningen,
Læs mereSammenhængskomponenter i grafer
Sammenhængskomponenter i grafer Ækvivalensrelationer Repetition: En relation R på en mængde S er en delmængde af S S. Når (x, y) R siges x at stå i relation til y. Ofte skrives x y, og relationen selv
Læs mere1 Punktmængdetopologi. metriske rum, fuldstændighed
Punktmængdetopologi, metriske rum, fuldstændighed Morten Grud Rasmussen 23. november 2015 1 Punktmængdetopologi I algebra beskæftiger man sig bl.a. med abstrakte strukturer, hvori forskellige regneoperationer
Læs mereNogle grundlæggende begreber
BE2-kursus 2010 Jørgen Larsen 5. februar 2010 Nogle grundlæggende begreber Lidt simpel mængdelære Mængder består af elementer; mængden bestående af ingen elementer er, den tomme mængde. At x er element
Læs mereOm begrebet relation
Om begrebet relation Henrik Stetkær 11. oktober 2005 Vi vil i denne note diskutere det matematiske begreb en relation, herunder specielt ækvivalensrelationer. 1 Det abstrakte begreb en relation Som ordet
Læs mereGEOMETRI-TØ, UGE 3. og resultatet følger fra [P] Proposition 2.3.1, der siger, at
GEOMETRI-TØ, UGE 3 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imf.au.dk. Opvarmningsopgave 1. Lad γ : (α, β) R 2 være en regulær kurve i planen.
Læs merePunktmængdetopologi, metriske rum, fuldstændighed. Morten Grud Rasmussen 17. november 2017
Punktmængdetopologi, metriske rum, fuldstændighed Morten Grud Rasmussen 17. november 2017 Indhold 1 Punktmængdetopologi 2 1.1 Topologiske rum................................. 2 1.2 Kontinuitet...................................
Læs mereGEOMETRI-TØ, UGE 11. Opvarmningsopgave 2, [P] 6.1.1 (i,ii,iv). Udregn første fundamentalform af følgende flader
GEOMETRI-TØ, UGE Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imf.au.dk. Opvarmningsopgave, [P] 5... Find parametriseringer af de kvadratiske flader
Læs mereSupplerende opgaver. S1.3.1 Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at
Supplerende opgaver Analyse Jørgen Vesterstrøm Forår 2004 S.3. Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at (A B C) (A B C) (A B) C og find en nødvendig og tilstrækkelig betingelse for at der gælder lighedstegn
Læs mereIntegration m.h.t. mål med tæthed
Integration m.h.t. mål med tæthed Sætning (EH 11.7) Lad ν = f µ på (X, E). For alle g M + (X, E) gælder at gdν = g f dµ. Bevis: Standardbeviset: 1) indikatorfunktioner 2) simple funktioner 3) M + -funktioner.
Læs mereTaylors formel. Kapitel Klassiske sætninger i en dimension
Kapitel 3 Taylors formel 3.1 Klassiske sætninger i en dimension Sætning 3.1 (Rolles sætning) Lad f : [a, b] R være kontinuert, og antag at f er differentiabel i det åbne interval (a, b). Hvis f (a) = f
Læs mere6.1 Reelle Indre Produkter
SEKTION 6.1 REELLE INDRE PRODUKTER 6.1 Reelle Indre Produkter Definition 6.1.1 Et indre produkt på et reelt vektorrum V er en funktion, : V V R således at, for alle x, y V, I x, x 0 med lighed x = 0, II
Læs mere1: Fundamentale begreber.
Topologi 1 1: Fundamentale begreber. Hvis vi lader henholdsvis O og C betegne de åbne og afsluttede delmængder i et metrisk rum med X som underliggende mængde, mens vi benytter betegnelserne I henholdsvis
Læs mereKalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger
Kalkulus - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Mads Friis 8. januar 05 Indhold Grundlæggende uligheder Grænseovergange 3 3 Kontinuitet 9 4 Følger 0 5 Perspektivering 4 Grundlæggende uligheder Sætning
Læs mere83 - Karakterisation af intervaller
83 - Karakterisation af intervaller I denne opgave skal du bevise, at hvis A er en delmængde af R med følgende egenskab: x, y, z R : x, y A og x < z < y z A (1) så er A enten et interval eller en mængde
Læs mereOm hypoteseprøvning (1)
E6 efterår 1999 Notat 16 Jørgen Larsen 11. november 1999 Om hypoteseprøvning 1) Det grundlæggende problem kan generelt formuleres sådan: Man har en statistisk model parametriseret med en parameter θ Ω;
Læs mereGAUSS-BONNET HANS PLESNER JAKOBSEN
GAUSS-BONNET HANS PLESNER JAKOBSEN.. Indledning. En af de mest fundamentale sætninger i geometri er Thales Sætning, der siger, at vinkelsummen i en trekant er lig med π. Generalisationen af denne sætning
Læs mereMordell s Sætning. Henrik Christensen og Michael Pedersen. 17. december 2003
Mordell s Sætning Henrik Christensen og Michael Pedersen 17. december 2003 Mordells sætning siger at gruppen C(Q) af rationale punkter over en ellipse C er en endeligt frembragt abelsk gruppe. Elliptiske
Læs mereOm første og anden fundamentalform
Geometri, foråret 2005 Jørgen Larsen 9. marts 2005 Om første og anden fundamentalform 1 Tangentrummet; første fundamentalform Vi betragter en flade S parametriseret med σ. Lad P = σu 0, v 0 være et punkt
Læs mereGruppeteori. Michael Knudsen. 8. marts For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel.
Gruppeteori Michael Knudsen 8. marts 2005 1 Motivation For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel. Eksempel 1.1. Lad Z betegne mængden af de hele tal, Z = {..., 2, 1, 0,
Læs mereKompleks Funktionsteori
Kompleks Funktionsteori Formelræs Holomorfe funktioner Sætning. (Caucy-Riemans ligninger). Funktionen f : G C, f = u+iv er holomorf i z 0 = x 0 + iy 0 hvis og kun hvis i punktet (x 0, y 0 ). du dx = dv
Læs mereKlassisk Taylors formel
p. 1/17 Klassisk Taylors formel Sætning Lad f : (a, b) R være n gange differentiabel. For x 0, x (a, b) findes et ξ mellem x 0 og x der opfylder at f(x) = f(x 0 )+ f (x 0 ) 1! (x x 0 )+...+ f(n 1) (x 0
Læs mereIdenne note giver vi et eksempel på, hvorledes det er vigtigt at holde sig
Analyse : Eulers formel Sebastian rsted 9. maj 015 Idenne note giver vi et eksempel på, hvorledes det er vigtigt at holde sig for øje, hvor de matematiske resultater kommer fra, og hvad de baseres på;
Læs mereMatrx-vektor produkt Mikkel H. Brynildsen Lineær Algebra
Matrx-vektor produkt [ ] 1 2 3 1 0 2 1 10 4 Rotationsmatrix Sæt A θ = [ ] cosθ sinθ sinθ cosθ At gange vektor v R 2 med A θ svarer til at rotere vektor v med vinkelen θ til vektor w: [ ][ ] [ ] [ ] cosθ
Læs mereProjekt 1.4 De reelle tal og 2. hovedsætning om kontinuitet
Projekt 1.4 De reelle tal og 2. hovedsætning om kontinuitet Mens den 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner kom forholdsvis smertefrit ud af intervalrusebetragtninger, så er 2. hovedsætning betydeligt
Læs mereOversigt [S] 9.6, 11.1, 11.2, App. H.1
Oversigt [S] 9.6, 11.1, 11.2, App. H.1 Her skal du lære om 1. Funktioner i flere variable 2. Grafen og niveaukurver 3. Grænseovergange og grænseværdier 4. Kontinuitet i flere variable 5. Polære koordinater
Læs mereEksamen 2014/2015 Mål- og integralteori
Eksamen 4/5 Mål- og integralteori Københavns Universitet Institut for Matematiske Fag Formalia Eksamensopgaven består af 4 opgaver med ialt spørgsmål Ved bedømmelsen indgår de spørgsmål med samme vægt
Læs mereWigner s semi-cirkel lov
Wigner s semi-cirkel lov 12. december 2009 Eulers Venner Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Diagonalisering af selvadjungeret matrix Lad H være en n n matrix med komplekse
Læs mereFlader. Søren Fuglede Jørgensen 11. november 2014
Flader Søren Fuglede Jørgensen 11. november 2014 Resumé I noterne her vil vi betragte begrebet flade fra et par forskellige synspunkter samt beskrive forskellige eksempler på flader. Vi vil desuden se
Læs meret a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42
Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder
Læs mereVinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014
Vinkelrette linjer Frank Villa 4. november 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mere13 Markovprocesser med transitionssemigruppe
13 Markovprocesser med transitionssemigruppe I nærværende kapitel vil vi antage at tilstandsrummet er polsk, hvilket sikrer, at der findes regulære betingede fordelinger. Vi skal se på eksistensen af Markovprocesser.
Læs mereAsymptotisk testteori
Kapitel 8 Asymptotisk testteori Vi vil nu beskæftige os med den asymptotiske teori for estimation under pæne hypoteser og for test af disse hypoteser. Vi skal især undersøge det forhold at hvis den fulde
Læs mereMASO Uge 6. Følger i euklidiske rum Ekstremværdisætningen. Jesper Michael Møller. Department of Mathematics University of Copenhagen.
MASO Uge 6 Følger i euklidiske rum Ekstremværdisætningen Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 6 Formålet med MASO Oversigt Følger i R n Konvergens, delfølger Det
Læs mereDifferentialregning i R k
Differentialregning i R k Lad U R k være åben, og lad h : U R m være differentiabel. Den afledte i et punkt x U er Dh(x) = h 1 (x) x 1 h 2 (x) x 1. h m (x) x 1 h 1 (x) x 2... h 2 (x) x 2.... h m (x) x
Læs mereKomplekse tal og algebraens fundamentalsætning.
Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Michael Knudsen 10. oktober 2005 1 Ligningsløsning Lad N = {0,1,2,...} betegne mængden af de naturlige tal og betragt ligningen ax + b = 0, a,b N,a 0. Findes
Læs mereAnalyse 2. Bevis af Fatous lemma (Theorem 9.11) Supplerende opgave 1. Øvelser
Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 24. og 27. september 203 Bevis af Fatous lemma (Theorem 9.) Hvis (u j ) j er en følge af positive, målelige, numeriske funktioner (dvs. med værdier i [, ]) over
Læs mereKirchberger s sætning om separation af to mængder Maria Larissa Ziino
12 Formidlingsaktivitet Kirchberger s sætning om separation af to mængder Maria Larissa Ziino I denne artikel fremføres to sætninger af henholdsvis den østrigske matematiker Eduard Helly og den tyske matematiker
Læs mereAntag at. 1) f : R k R m er differentiabel i x, 2) g : R m R p er differentiabel i y = f(x), . p.1/18
Differentialregning i R k Kæderegel Lad U R k være åben, og lad h : U R m være differentiabel Antag at Den afledte i et punkt x U er Dh(x) = 1) f : R k R m er differentiabel i x, 2) g : R m R p er differentiabel
Læs mere01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides
01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides Thomas Bolander 1 Udsagnslogik 1.1 Formler og sandhedstildelinger symbol står for ikke eller og ( A And) hvis... så... hvis og kun hvis...
Læs mereLineære normale modeller (1) udkast. 1 Flerdimensionale stokastiske variable
E6 efterår 999 Notat 8 Jørgen Larsen 22. november 999 Lineære normale modeller ) udkast Ved hjælp af lineær algebra kan man formulere og analysere de såkaldte lineære normale modeller meget overskueligt
Læs mereMatematik 3GT. Topologi. Christian Berg
Matematik 3GT Topologi Christian Berg 2001 Universitetsparken 5 2100 København Ø c Matematisk Afdeling 2001 FORORD Kurset 3GT er et nyt kursus i 5. semester omhandlende mængdelære, generel topologi og
Læs mere2. Fourierrækker i en variabel
.1. Fourierrækker i en variabel I Kapitel II 7 blev der indført, dels funktionsrummene L p (X, µ) (mere udførligt skrevet L p (X, E, µ)), dels rummene L p (X, µ), der fås af L p (X, µ) ved at funktioner
Læs mereLøsning af præmie- og ekstraopgave
52 Læserbidrag Løsning af præmie- og ekstraopgave 23. årgang, nr. 1 Martin Wedel Jacobsen Både præmieopgaven og ekstraopgaven er specialtilfælde af en mere generel opgave: Hvor mange stykker kan en n-dimensionel
Læs mereElementær Matematik. Mængder og udsagn
Elementær Matematik Mængder og udsagn Ole Witt-Hansen 2011 Indhold 1. Mængder...1 1.1 Intervaller...4 2. Matematisk Logik. Udsagnslogik...5 3. Åbne udsagn...9 Mængder og Udsagn 1 1. Mængder En mængde er
Læs mereEksamen i Calculus Mandag den 4. juni 2012
Eksamen i Calculus Mandag den 4. juni 212 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider med ialt
Læs merePolynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6
Indhold 1 Polynomier 2 Polynomier 2 Polynomiumsdivision 4 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 4 Koefficienter 8 5 Polynomier med heltallige koefficienter 9 6 Mere om polynomier med heltallige koefficienter
Læs merestandard normalfordelingen på R 2.
Standard normalfordelingen på R 2 Lad f (x, y) = 1 x 2 +y 2 2π e 2. Vi har så f (x, y) = 1 2π e x2 2 1 2π e y2 2, og ved Tonelli f dm 2 = 1. Ved µ(a) = A f dm 2 defineres et sandsynlighedsmål på R 2 målet
Læs mereKommutativ harmonisk analyse
Kommutativ harmonisk analyse F 999 Henrik Stetkær Indhold I Topologiske grupper........................ II Sideklasserum.......................... III Haar integralet.......................... 7 IV Banach-algebraen
Læs mereTal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.
1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber
Læs mereDM517:Supplerende noter om uafgørlighedsbeviser:
DM517:Supplerende noter om uafgørlighedsbeviser: Jørgen Bang-Jensen October 9, 2013 Abstract Formålet med denne note er at give en form for kogebogsopskrift på, hvorledes man bygger et uafgørlighedsbevis
Læs mereAfgør for hver af følgende rækker om den er divergent, betinget konvergent eller absolut konvergent. 2 n. n=1 2n (n + 1)2 1 = 2(n + n+1
Analyse Reeksamen 00 Rasmus Sylvester Bryder 5. august 0 Opgave Afgør for hver af følgende rækker om den er divergent, betinget konvergent eller absolut konvergent. ( ) n n +3n+7 n= n + For alle n N vil
Læs mere3.1 Baser og dimension
SEKTION 3 BASER OG DIMENSION 3 Baser og dimension Definition 3 Lad V være et F-vektorrum Hvis V = {0}, så har V dimension 0 2 Hvis V har en basis bestående af n vektorer, så har V dimension n 3 Hvis V
Læs mereFundamentalgruppen af plane mængder
Fundamentalgruppen af plane mængder Jesper Just Højgaard 1. juli 2004 Speciale for cand. scient. graden i matematik ved Københavns Universitet. Vejleder: Jesper Michael Møller. Indhold 1 Indledning 3 2
Læs mereStatistisk hypotese. Lad P være en statistisk model på (X, E). (P er altså en familie af sandsynlighedsmål på (X, E).)
Statistisk hypotese Lad P være en statistisk model på (X, E). (P er altså en familie af sandsynlighedsmål på (X, E).) En statistisk hypotese er en delmængde P 0 P.. p.1/23 Statistisk hypotese PSfrag replacements
Læs mereStatistisk hypotese. Lad P være en statistisk model på (X, E). (P er altså en familie af sandsynlighedsmål på (X, E).)
Statistisk hypotese Lad P være en statistisk model på (X, E). (P er altså en familie af sandsynlighedsmål på (X, E).) En statistisk hypotese er en delmængde P 0 P.. p.1/26 PSfrag replacements Statistisk
Læs mereKomplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013
Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil
Læs mereVektoranalyse INDLEDNING. Indhold. 1 Integraltricks. Jens Kusk Block Jacobsen 21. januar 2008
Vektoranalyse Jens Kusk Block Jacobsen 21. januar 2008 INLENING ette er en opsamling af ting, jeg synes er gode at have ifbm vektoranalyse som præsenteret i kurset VEKANAE07 ved IMF på AU. Noten er dels
Læs mereDelmængder af Rummet
Delmængder af Rummet Frank Villa 15. maj 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereIntegration m.h.t. mål med tæthed
Integration m.h.t. mål med tæthed Sætning (EH 11.7) Lad ν = f µ på (X, E). For alle g M + (X, E) gælder at gdν = g f dµ. Bevis: Standardbeviset: 1) indikatorfunktioner 2) simple funktioner 3) M + -funktioner.
Læs mereOptimeringsteori. Tenna Andersen, Tina Sørensen, Majbritt Lundborg, Søren Foged, Jeppe Gravers, Kenneth Andersen & Oskar Aver
Optimeringsteori Tenna Andersen, Tina Sørensen, Majbritt Lundborg, Søren Foged, Jeppe Gravers, Kenneth Andersen & Oskar Aver 20/12/2012 Institut for Matematiske Fag Matematik-Økonomi Fredrik Bajers Vej
Læs mereMASO Uge 1. Relle tal Følger. Jesper Michael Møller. 10. september Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 1 Relle tal Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen 10. september 2018 Oversigt Relle tal Notation Tal Største og mindste element, mindste overtal og største undertal
Læs mereMASO Uge 1. Relle tal Følger. Jesper Michael Møller. 7. september Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 1 Relle tal Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen 7. september 2016 Formålet med MASO Integer sequences Oversigt Relle tal Notation Tal Overtal og undertal Største
Læs mereGamle eksamensopgaver (MASO)
EO 1 Gamle eksamensopgaver (MASO) Opgave 1. (Vinteren 1990 91, opgave 1) a) Vis, at rækken er divergent. b) Vis, at rækken er konvergent. Opgave 2. (Vinteren 1990 91, opgave 2) Gør rede for at ligningssystemet
Læs mereSkriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528)
Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Tirsdag den 20 Januar 2009, kl. 9 13 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater etc.) samt brug
Læs mereSide 9 sætningen: Kolmogorov s konsistensætning Tue Tjur, Institut for Matematisk Statistik
Side 9 sætningen: Kolmogorov s konsistensætning Tue Tjur, Institut for Matematisk Statistik Advarsel: I denne artikel gives udtryk for holdninger til sandsynlighedsregningens grundlag. Disse er forfatterens
Læs mereIndledning. 1 Martingalerepræsentationssætningen
Indledning I disse noter vil uddybe nogle af Øksendals resultater i afsnittene 4 og 7 samt give andre beviser for dem. Disse resultater er gennemgået til forelæsningerne. 1 Martingalerepræsentationssætningen
Læs mereHilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum
Chapter 3 Hilbert rum 3.1 Indre produkt rum I det følgende skal vi gøre brug af komplekse såvel som reelle vektorrum. Idet L betegner enten R eller C minder vi om, at et vektorrum over L er en mængde E
Læs mereEksamen i Calculus Mandag den 8. juni 2015
Eksamen i Calculus Mandag den 8. juni 2015 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider med 12
Læs meret a l e n t c a m p d k Talteori Anne Ryelund Anders Friis 16. juli 2014 Slide 1/36
Slide 1/36 sfaktorisering Indhold 1 2 sfaktorisering 3 4 5 Slide 2/36 sfaktorisering Indhold 1 2 sfaktorisering 3 4 5 Slide 3/36 1) Hvad er Taleteori? sfaktorisering Slide 4/36 sfaktorisering 1) Hvad er
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 5 Morten Grud Rasmussen 19. september, 2013 1 Euler-Cauchy-ligninger [Bogens afsnit 2.5, side 71] 1.1 De tre typer af Euler-Cauchy-ligninger Efter at
Læs mereMatematisk Metode Notesamling
Matematisk Metode Notesamling Anders Bongo Bjerg Pedersen Stud.Scient, Matematisk Institut, KU 21. november 2005 Bemærkninger til noterne: Hosliggende noter er fra faget Matematisk Metode, afholdt i blok
Læs mereNATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET. MI 2007 Obligatorisk opgave 4
NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET. MI 2007 Obligatorisk opgave 4 Sættet består af 3 opgaver med ialt 15 delopgaver. Besvarelsen vil blive forkastet, medmindre der er gjort et
Læs mereDimensionsbegreber i Topologi. Mads Kjærulf Caspersen Henning Røigaard-Petersen 17. juni 2004
Dimensionsbegreber i Topologi Mads Kjærulf Caspersen Henning Røigaard-Petersen 17. juni 2004 1 Indhold 1 Indledning 3 2 Topologisk Dimension 4 3 Hausdorff mål 10 4 Hausdorff dimension 15 4.1 Tæthederne
Læs mereBevægelsens Geometri
Bevægelsens Geometri Vi vil betragte bevægelsen af et punkt. Dette punkt kan f.eks. være tyngdepunktet af en flue, et menneske, et molekyle, en galakse eller hvad man nu ellers har lyst til at beskrive.
Læs mereRegularitet og Automater. Tobias Brixen Q4-2012
Regularitet og Automater Tobias Brixen Q4-2012 1 Noterne er skrevet med inspiration fra http://cs.au.dk/ illio/courses/dregaut/dregautnoter.pdf Contents 1 Regulære udtryk 3 1.1 RegEx.................................
Læs mereSpor Matematiske eksperimenter. Komplekse tal af Michael Agermose Jensen og Uwe Timm.
Homografier Möbius transformationer Følgende tema, handler om homografier, inspireret af professor Børge Jessens noter, udgivet på Københavns Universitet 965-66. Noterne er herefter blevet bearbejdet og
Læs mereANALYSE 1. Uge 7, 4. juni juni, 2007
ANALYSE 1 Uge 7, 4. juni - 10. juni, 2007 Forelæsninger Mandag 4. juni Formålet med denne dags forelæsninger er at etablere en overgang til emnet metriske rum, hvis hovedformål er at udvide begreber som
Læs mereHomotopiteori for pomængden af p-undergrupper i en endelig gruppe
D E T N A T U R V I D E N S K A B E L I G E F A K U L T E T K Ø B E N H A V N S U N I V E R S I T E T Kandidatprojekt i matematik Sune Precht Reeh Homotopiteori for pomængden af p-undergrupper i en endelig
Læs mereMATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel
Juni 2000 MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Opgave 1. (a) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen y 8y + 16y = 0. (b) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen
Læs merePunktgrupper. Klaus Thomsen
Punktgrupper Klaus Thomsen 1. Forord Disse noter er skrevet med henblik på et efteruddannelses-kursus for gymnasielærere i matematik og/eller kemi. Formålet er at give en introduktion til matematikken
Læs mereImplikationer og Negationer
Implikationer og Negationer Frank Villa 5. april 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereMatematik YY Foråret Kapitel 1. Grupper og restklasseringe.
Matematik YY Foråret 2004 Elementær talteori Søren Jøndrup og Jørn Olsson Kapitel 1. Grupper og restklasseringe. Vi vil i første omgang betragte forskellige typer ligninger og søge efter heltalsløsninger
Læs mereMatematik 2 AN. Matematisk Analyse. Metriske rum. Christian Berg
Matematik 2 AN Matematisk Analyse Metriske rum Christian Berg 1997 Matematisk Afdeling Universitetsparken 5 2100 København Ø c Matematisk Afdeling 1997 Forord Nærværende notehæfte er oprindelig skrevet
Læs mere