GEOMETRI-TØ, UGE 8. X = U xi = {x i } = {x 1,..., x n }, U α, U α = α. (X \ U α )

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "GEOMETRI-TØ, UGE 8. X = U xi = {x i } = {x 1,..., x n }, U α, U α = α. (X \ U α )"

Transkript

1 GEOMETRI-TØ, UGE 8 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til Opvarmningsopgave 1. Lad X være en mængde og T familien af alle delmængder på X. Vis at T er en topologi den diskrete topologi på X. Vis at (X, T ) er kompakt, hvis og kun hvis X er endelig. Bevis. Alle delmængder af X ligger i T, så det er klart, at de tre betingelser for at være en topologi er opfyldt for T. Hvis X er endelig, er den også kompakt, som vi før har set. Antag at X er kompakt og betragt for hvert punkt x X den åbne mængde U x = {x}. Da er X = x X U x en åben overdækning, der pr. antagelsen om kompakthed kan udtyndes til en endelig; det vil sige, at n n X = U xi = {x i } = {x 1,..., x n }, så X er endelig. i=1 i=1 Lemma 1. En forening af et endeligt antal kompakte delmængder A 1,..., A n af et topologisk rum X er selv kompakt. Bevis. Vi benytter karakterisationen i Lemma Lad {U α α I} være en overdækning af A 1 A n. Da vil {U α } også være en overdækning af hvert A i, så for hvert i = 1,..., n findes en endelig mængde J i I, så A i α J i U α. Samlet set får vi, at J = J 1 J n I er endelig, og så A 1 A n er kompakt. A 1 A n α J U α, Opvarmningsopgave 2. Lad (X, T ) være et Hausdorffrum. Lad Vis at T er en topologi på X. T = {U X X \ U er kompakt i T }. Bevis. Lad U α være en familie af mængder i T, så X \ U α er kompakt i T for alle α. Da (X, T ) er Hausdorff er mængderne X \ U α ydermere lukkede i T, pr. Sætning 5.35 (ii). Da er X \ α U α = α (X \ U α ) også lukket i T. Mængden er desuden en delmængde af den kompakte mængde X \ U α, for et vilkårligt valg af α, og pr. Sætning 5.35 (i) er mængden kompakt i T, så α U α er i T. Lad U 1, U 2 ligge i T, så som før X \ U i er kompakte i T for i = 1, 2. Da er X \ (U 1 U 2 ) = (X \ U 1 ) (X \ U 2 ). Da en endelig forening af kompakte mængder if. lemmaet ovenfor selv er kompakt står her, at U 1 U 2 T. Endelig er det givet, at T, og da X \ X = er kompakt, er X T. Topologien T er lidt spøjs: Selvom T er antaget Hausdorff, vil T kun selv være Hausdorff, hvis X er kompakt i T. Opvarmningsopgave 3. Lad U R 2, S R 3 en flade og σ : U S en parametrisering af en åben delmængde σ(u) S. Vis at W σ(u) er åben i S, hvis og kun hvis σ 1 (W ) er åben i R 2. 1

2 2 GEOMETRI-TØ, UGE 8 Bevis. Bemærk først, at W er åben i σ(u), da mængden kan skrives W = W σ(u), og σ(u) er åben i S. Da σ : U σ(u) er en homøomorfi, og dermed specielt kontinuert, og W σ(u) er åben, er σ 1 (W ) åben i U, så vi kan skrive σ 1 (W ) = U V for en åben mængde V i R 2. Vi ved, at U er åben i R 2 (da det ellers slet ikke ville give mening at kalde σ en parametrisering), så σ 1 (W ) er åben i R 2. Omvendt får vi, at hvis σ 1 (W ) er åben i R 2 og dermed i U, så er W = σ(σ 1 (W )) åben i σ(u), da σ 1 : σ(u) U er kontinuert. Da kan vi skrive W = σ(u) V for en åben mængde V i S, og da σ(u) selv er åben, er W åben i S. Det følgende lemma er en umiddelbar generalisering af Opgave , som vi tidligere har set på. Lemma 2. Lad {U α } er en åben overdækning af et topologisk rum X, lad Y være et andet topologisk rum og lad f : X Y være en funktion. Hvis f Uα er kontinuerte mht. sportopologierne på U α for alle α, er f kontinuert. Bevis. Lad V Y være åben. Vælg åbne mængder V α i X, så (f Uα ) 1 (V ) = U α V α. Da U α er en overdækning, er f 1 (V ) = α (f Uα ) 1 (V ) = α U α V α, som er åben i X. Opvarmningsopgave 4. Lad {σ i : U i S} være et atlas på en flade S R 3. Lad f : S R være en funktion. Vis at f er kontinuert, hvis og kun hvis f σ i : U i R er kontinuert for alle i. Bevis. Antag at f : S R er kontinuert. Da hver σ i er kontinuert, er f σ i det også. Antag nu, at hver f σ i : U i R er kontinuert. Ved at sammensætte med den kontinuerte afbildning σ 1 i : σ i (U i ) U i, får vi, at f σi(u i) er kontinuert for alle i. Resultatet følger nu af lemmaet ovenfor. [S], Opgave Vis at den n-dimensionale kugleskal S n = {x R n+1 x = 1} er sammenhængende. Bevis #1. Lad D n = {x R n x 1}. Betragt afbildningerne f ± : D n S n givet ved ( ) f + (x 1,..., x n ) = x 1,..., x n, 1 x x2 n, ( ) f (x 1,..., x n ) = x 1,..., x n, 1 x x2 n. Bemærk nu, at S n = f + (D n ) f (D n ): Lad (x 1,..., x n, x n+1 ) S n. Det vil sige, at x 2 n+1 = 1 x x 2 n, så (x 1,..., x n, x n+1 ) er billedet af (x 1,..., x n ) under f + eller f, afhængigt af, om x n+1 er positiv eller negativ. Da D n er konveks, er den ifølge Eksempel 5.28 sammenhængende, så f ± (D n ) er sammenhængende. Da (1, 0,..., 0) f + (D n ) f (D n ), følger af Sætning 5.26 (iii), at f + (D n ) f (D n ) = S n er sammenhængende. Bevis #2. Hvis man vil tro på, at R n+1 \ {0} er kurvesammenhængende (de fleste punkter kan forbindes med rette linjer; man skal bare passe lidt på tilfældet, hvor punkterne ligger diametralt modsat i forhold til 0), følger af Eksempel 5.28, at R n+1 \ {0} er sammenhængende. Da S n er billedet af afbildningen R n+1 \ {0} R n+1 givet ved x x/ x, følger af Sætning 5.26 (iv), at S n er sammenhængende. [S], Opgave Vis at S 1 og S 2 ikke er homøomorfe.

3 GEOMETRI-TØ, UGE 8 3 Bevis. Idéen i opgaven er den helt centrale i matematik at finde en god invariant; en størrelse, der bliver bevaret under homøomorfi og dermed kan bruges til at adskille forskellige rum fra hinanden, hvis invarianterne ikke stemmer overens. I nærværende opgave er denne invariant kurvesammenhængenhed. Bemærk først, at hvis X og Y er topologiske rum, og f : X Y en homøomorfi, og X er kurvesammenhængende, så er Y det også. Hvis y 0, y 1 Y, så findes en kontinuert kurve γ : [0, 1] X, så γ(0) = f 1 (y 0 ), γ(1) = f 1 (y 1 ). Da er f γ : [0, 1] Y kontinuert, og f γ(0) = y 0 og f γ(1) = y 1. Antag for modstrid, at f : S 2 S 1 er en homøomorfi. Da vil der om vilkårlige punkter p 1, p 2 S 2 gælde, at f S2 \{p 1,p 2} : S 2 \ {p 1, p 2 } S 1 \ {f(p 1 ), f(p 2 )} ligeledes er en homøomorfi. Lad p 1 = (1, 0, 0), p 2 = (0, 0, 1) S 2. Da er S 2 \ {p 1, p 2 } kurvesammenhængende; dette ses nemmest ved at beskrive punkter og kurver i sfæriske koordinater. Omvendt påstår vi, at S 1 \ {f(p 1 ), f(p 2 )} ikke er kurvesammenhængende, hvilket giver den ønskede modstrid. Lad f(p 1 ) = (cos(θ 1 ), sin(θ 1 )), f(p 2 ) = (cos(θ 2 ), sin(θ 2 )) for θ 1, θ 2 (0, 2π] og antag UTAG, at θ 1 < θ 2. Sæt U = {(cos θ, sin θ) S 1 θ (θ 1, θ 2 )}, V = {(cos θ, sin θ) S 1 θ (θ 2, θ 1 + 2π)}. Disse mængder er disjunkte, ikke-tomme, åbne og forener til hele S 1, der derfor ikke er sammenhængende, og derfor heller ikke kan være kurvesammenhængende. Alternativt kunne man også have benyttet sammenhængenhedsbegrebet som sin invariant og vist, at S 2 \ {N, S} er sammenhængende. Enten som ovenfor eller ved at bruge et argument i stil med forrige opgave. [S], Opgave Lad X være et topologisk rum. Vis at der defineres en ækvivalensrelationen ved at lade x y på X, hvis og kun hvis, der findes en sammenhængende delmængde, som indeholder både x og y. Ækvivalensklasserne kaldes sammenhængskomponenter. Vis at en sammenhængskomponent er lukket. Vis at hvis X har endeligt mange sammenhængskomponenter, så er de åbne. Find sammenhængskomponenterne af Q R og afgør, om de er åbne. Bevis. Da {x} er sammenhængende for alle x X, er x x. Hvis der findes en sammenhængende mængde, der indeholder x og y, vil den også indeholde y og x, så hvis x y, er y x. Hvis endelig der for tre punkter x, y og z i X gælder, at der findes en sammenhængende mængde A, så x, y A og en sammenhængende mængde B, så y, z B, så vil A B være sammenhængende pr. Sætning 5.26 (iii), og x, z A B, så hvis x y og y z gælder x z. Lad A være en sammenhængskomponent. Vi påstår, at A er sammenhængende. Lad x A være vilkårlig og tænk på A som A = {y X y x}. For alle y A findes en sammenhængende mængde A y indeholdende x og y. Bemærk, at A y A, da vi ellers ville få en modstrid med definitionen på A. Som altid gælder nu, at A = y A A y, og da alle A y indeholder det samme x følger af Sætning 5.26 (iii), at A er sammenhængende. Ved at bruge Sætning 5.26 (ii) med B = A får vi ydermere, at A er sammenhængende. For hvert z A gælder så, at x z, hvilket betyder, at z A. Her står, at A = A, så A er lukket. Skriv X = A 1 A n, hvor A i erne er de disjunkte sammenhængskomponenter. Da er A i = X \ (A 1 Âi... A n ) = (X \ A 1 ) (X \ A i )... (X \ A n ) et endeligt snit af åbne mængder og dermed åbent. Her har vi brugt den almindelige notation, at et objekt med en hat ikke tælles med i rækken.

4 4 GEOMETRI-TØ, UGE 8 Vi påstår, at sammenhængskomponenterne for Q er etpunktsmængder: Hvis x y for x, y Q, så findes A Q sammenhængende med x, y A. Der kan umuligt gælde, at x y, for hvis dette var tilfældet, ville der findes et z R \ Q mellem x og y, og vi ville kunne skrive A = (A (, z)) (A (z, )); en forening af to ikke-tomme disjunkte delmængder, der begge er åbne i A, hvilket strider mod, at A er sammenhængende. Etpunktsmængder er ikke åbne, da der for enhver åben kugle om et rationalt tal findes andre rationale tal. [S], Opgave Vis at en åben sammenhængende delmængde af R n er kurvesammenhængende og at en åben delmængde af R n er en foreningsmængde af disjunkte, sammenhængende og åbne delmængder. Bevis. Lad A være en åben sammenhængende delmængde af R n. For første del indføres begrebet kurvesammenhængskomponent: Vi siger, at x y for x, y A, hvis der findes en kontinuert kurve fra x til y. Det er let at indse, at dette definerer en ækvivalensrelation, og ækvivalensklasserne kalder vi kurvesammenhængskomponenterne. Som i sidste opgave finder vi, at kurvesammenhængskomponenter er kurvesammenhængende (og derfor sammenhængende). Lad B være en kurvesammenhængskomponent i A og lad os vise, at B = A. Dette viser vi ved anvendelse af Proposition 5.23 (iii) ved at vise, at B er både åben og lukket. Lad x B. Da A er åben, findes en åben kugle om x, der er helt indeholdt i A. Da alle punkter i denne kugle kan forbindes til x med en kurve (en ret linje i dette tilfælde), må hele kuglen være indeholdt i B, som dermed er åben. Af helt samme grund er komplementet til B åbent: Hvis x B c A findes en åben kugle om x, der er helt indeholdt i A. Hvis blot ét af elementerne i denne kugle kunne forbindes med en kurve til et punkt i B, ville det samme gælde punktet x, så kuglen er helt indeholdt i B c. Altså er B lukket og lig A. Lad for sidste del af opgaven U være en åben mængde i R n. Denne er en foreningsmængde af sine disjunkte kurvesammenhængskomponenter, og da U er åben følger som ovenfor, at kurvesammenhængskomponenterne også er det. Opgave A. Et topologisk rum X kaldes lokalkompakt, hvis der for ethvert p X findes en åben omegn U af p, så afslutningen U X er kompakt. Vis at R n er lokalkompakt. Antag at X, Y er lokalkompakte Hausdorffrum. Vis at X Y med produkttopologien er lokalkompakt. Bevis. For at vise at R n er lokalkompakt, er det nok at indse, at Heine-Borel giver, at afslutningen af åbne kugler er kompakte, da de er lukkede og begrænsede. Lad p = (p 1, p 2 ) X Y. Da findes en åben mængde U 1 om p 1 i X, og en åben mængde U 2 om p 2 i Y, så U 1 og U 2 er kompakte i hhv. X og Y. Pr. definition af produkttopologien er U 1 U 2 en åben omegn af (p 1, p 2 ). Pr. Sætning 5.41 er A = U 1 U 2 kompakt. Da X og Y er Hausdorff er X Y det også ifølge Korollar Det følger af Sætning 5.35 (ii), at A er lukket, og da U 1 U 2 A, gælder også U 1 U 2 A. Da følger af Sætning 5.35 (i), at U 1 U 2 er kompakt, som ønsket. Bevis uden Hausdorff-antagelsen. Faktisk kan vi droppe betingelsen om, at X og Y er Hausdorff: Lad U 1 og U 2 være som før. At U 1 U 2 er kompakt følger som før, så det er nok at vise, at U 1 U 2 = U 1 U 2. Dette følger af lemmaet nedenfor. Lemma 3. For A X, B Y gælder A B = A B. Bevis. Bemærk først, at A B er lukket i X Y, da X Y \ (A B) = (X \ A) Y X (Y \ B). Da A B A B, og A B er den mindste lukkede delmængde, der indeholder A B, står her, at A B A B. Lad os vise, at A B A B. Vi skal altså med andre ord vise, at X \ int(x \ A) Y \ int(y \ B) X Y \ int(x Y \ A B).

5 GEOMETRI-TØ, UGE 8 5 Ved at tage komplementer på begge sider, bliver dette ækvivalent til int(x Y \ A B) X Y \ (X \ (int(x \ A)) Y \ (int(y \ B))) = int(x \ A) Y X int(y \ B). Lad (x, y) int(x Y \ A B). Pr. definition af produkttopologien findes åbne mængder U og V i hhv. X og Y, så (x, y) U V, og U V (A B) c. Dette betyder at der enten gælder U A = eller V B = (for hvis begge snit var ikke-trivielle, kunne man finde et element i både U V og A B). Hvis U A =, er x int(x \ A) og ellers er y int(y \ B). Under alle omstændigheder er som ønsket. (x, y) int(x \ A) Y X int(y \ B)

8 Regulære flader i R 3

8 Regulære flader i R 3 8 Regulære flader i R 3 Vi skal betragte særligt pæne delmængder S R 3 kaldet flader. I det følgende opfattes S som et topologisk rum i sportopologien, se Definition 5.9. En åben omegn U af p S er således

Læs mere

Punktmængdetopologi. Mikkel Stouby Petersen. 1. marts 2013

Punktmængdetopologi. Mikkel Stouby Petersen. 1. marts 2013 Punktmængdetopologi Mikkel Stouby Petersen 1. marts 2013 I kurset Matematisk Analyse 1 er et metrisk rum et af de mest grundlæggende begreber. Et metrisk rum (X, d) er en mængde X sammen med en metrik

Læs mere

GEOMETRI-TØ, UGE 12. A σ (R) = A f σ (f(r))

GEOMETRI-TØ, UGE 12. A σ (R) = A f σ (f(r)) GEOMETRI-TØ, UGE 12 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imfaudk Opvarmningsopgave 1, [P] 632 Vis at Ennepers flade σ(u, v) = ( u u 3 /3

Læs mere

Gult Foredrag Om Net

Gult Foredrag Om Net Gult Foredrag Om Net University of Aarhus Århus 8 th March, 2010 Introduktion I: Fra Metriske til Topologiske Rum Et metrisk rum er en mængde udstyret med en afstandsfunktion. Afstandsfunktionen bruges

Læs mere

GEOMETRI-TØ, UGE 6. . x 1 x 1. = x 1 x 2. x 2. k f

GEOMETRI-TØ, UGE 6. . x 1 x 1. = x 1 x 2. x 2. k f GEOMETRI-TØ, UGE 6 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imfaudk Opvarmningsopgave 1 Lad f : R 2 R være tre gange kontinuert differentierbar

Læs mere

Skriftlig eksamen - med besvarelse Topologi I (MM508)

Skriftlig eksamen - med besvarelse Topologi I (MM508) INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI SYDDANSK UNIVERSITET, ODENSE Skriftlig eksamen - med besvarelse Topologi I (MM508) Mandag d. 14. januar 2007 2 timer med alle sædvanlige hjælpemidler tilladt. Opgavesættet

Læs mere

N o t e r t i l G e o m e t r i

N o t e r t i l G e o m e t r i N o t e r t i l G e o m e t r i I b M a d s e n o g J o h a n D u p o n t J a n u a r 2 0 0 5 I n s t i t u t f o r M a t e m a t i s k e Fa g D e t N a t u rv i d e n s k a b e l i g e Fa k u l t e t

Læs mere

= λ([ x, y)) + λ((y, x]) = ( y ( x)) + (x y) = 2(x y).

= λ([ x, y)) + λ((y, x]) = ( y ( x)) + (x y) = 2(x y). Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 17. og 20. september 2013 Supplerende opgave 1 Lad λ være Lebesgue-målet på R og lad A B(R). Definér en funktion f : [0, ) R ved f(x) = λ(a [ x, x]). Vis, at f(x)

Læs mere

Banach-Tarski Paradokset

Banach-Tarski Paradokset 32 Artikeltype Banach-Tarski Paradokset Uden appelsiner Andreas Hallbäck Langt de fleste af os har nok hørt om Banach og Tarskis såkaldte paradoks fra 1924. Vi har hørt diverse poppede formuleringer af

Læs mere

Geom2-dispositioner (reeksamen)

Geom2-dispositioner (reeksamen) Geom2-dispositioner (reeksamen) Rasmus Sylvester Bryder 20. april 2012 1 Mangfoldigheder i R n 1. Introducér begreberne parametriseret mangfoldighed, regularitet, indlejret parametriseret mangfoldighed

Læs mere

N o t e r t i l G e o m e t r i

N o t e r t i l G e o m e t r i N o t e r t i l G e o m e t r i J o h a n D u p o n t o g I b M a d s e n J a n u a r 2 0 0 6 I n s t i t u t fo r M at e m at i s k e Fa g D e t N at u rv i d e n s k a b e l i g e Fa k u lt e t A a r

Læs mere

z 1 = z 1z 1z 1 z 1 2 = z z2z 1 z 2 2

z 1 = z 1z 1z 1 z 1 2 = z z2z 1 z 2 2 M å l e p u n k t R i e m a n n s k G e o m e t r i E 8 J a ko b L i n d b l a d B l a ava n d 2 5 3 6 7 5 27 oktober 28 I n s t i t u t fo r M at e m at i s k e Fag A a r h u s U n i v e r s i t e t indledning

Læs mere

Analyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X).

Analyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 3. og 6. september 2013 Gennemgå bevis for Sætning 2.10 Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Bevis. Der findes en injektion X P(X), fx givet ved x

Læs mere

Første konstruktion af Cantor mængden

Første konstruktion af Cantor mængden DYNAMIK PÅ CANTOR MÆNGDEN KLAUS THOMSEN Første konstruktion af Cantor mængden For de fleste der har hørt on Cantor-mængden, er den blevet defineret på flg måde: I = 0 I = I = 0 0 OSV Cantor mængden C er

Læs mere

Sammenhængskomponenter i grafer

Sammenhængskomponenter i grafer Sammenhængskomponenter i grafer Ækvivalensrelationer Repetition: En relation R på en mængde S er en delmængde af S S. Når (x, y) R siges x at stå i relation til y. Ofte skrives x y, og relationen selv

Læs mere

N o t e r t i l G e o m e t r i

N o t e r t i l G e o m e t r i N o t e r t i l G e o m e t r i J o h a n D u p o n t o g I b M a d s e n J a n u a r 2 0 0 8 I n s t i t u t fo r M at e m at i s k e Fa g D e t N at u rv i d e n s k a b e l i g e Fa k u lt e t A a r

Læs mere

MASO Uge 5. Topologi i euklidiske rum. Jesper Michael Møller. Uge 5. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen

MASO Uge 5. Topologi i euklidiske rum. Jesper Michael Møller. Uge 5. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen MASO Uge 5 Topologi i euklidiske rum Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 5 Formålet med MASO Oversigt Åbne og afsluttede mængder Det indre, det ydre, afslutningen,

Læs mere

Om begrebet relation

Om begrebet relation Om begrebet relation Henrik Stetkær 11. oktober 2005 Vi vil i denne note diskutere det matematiske begreb en relation, herunder specielt ækvivalensrelationer. 1 Det abstrakte begreb en relation Som ordet

Læs mere

GEOMETRI-TØ, UGE 3. og resultatet følger fra [P] Proposition 2.3.1, der siger, at

GEOMETRI-TØ, UGE 3. og resultatet følger fra [P] Proposition 2.3.1, der siger, at GEOMETRI-TØ, UGE 3 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imf.au.dk. Opvarmningsopgave 1. Lad γ : (α, β) R 2 være en regulær kurve i planen.

Læs mere

Nogle grundlæggende begreber

Nogle grundlæggende begreber BE2-kursus 2010 Jørgen Larsen 5. februar 2010 Nogle grundlæggende begreber Lidt simpel mængdelære Mængder består af elementer; mængden bestående af ingen elementer er, den tomme mængde. At x er element

Læs mere

Supplerende opgaver. S1.3.1 Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at

Supplerende opgaver. S1.3.1 Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at Supplerende opgaver Analyse Jørgen Vesterstrøm Forår 2004 S.3. Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at (A B C) (A B C) (A B) C og find en nødvendig og tilstrækkelig betingelse for at der gælder lighedstegn

Læs mere

1 Punktmængdetopologi. metriske rum, fuldstændighed

1 Punktmængdetopologi. metriske rum, fuldstændighed Punktmængdetopologi, metriske rum, fuldstændighed Morten Grud Rasmussen 23. november 2015 1 Punktmængdetopologi I algebra beskæftiger man sig bl.a. med abstrakte strukturer, hvori forskellige regneoperationer

Læs mere

GEOMETRI-TØ, UGE 11. Opvarmningsopgave 2, [P] 6.1.1 (i,ii,iv). Udregn første fundamentalform af følgende flader

GEOMETRI-TØ, UGE 11. Opvarmningsopgave 2, [P] 6.1.1 (i,ii,iv). Udregn første fundamentalform af følgende flader GEOMETRI-TØ, UGE Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imf.au.dk. Opvarmningsopgave, [P] 5... Find parametriseringer af de kvadratiske flader

Læs mere

6.1 Reelle Indre Produkter

6.1 Reelle Indre Produkter SEKTION 6.1 REELLE INDRE PRODUKTER 6.1 Reelle Indre Produkter Definition 6.1.1 Et indre produkt på et reelt vektorrum V er en funktion, : V V R således at, for alle x, y V, I x, x 0 med lighed x = 0, II

Læs mere

Kalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger

Kalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Kalkulus - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Mads Friis 8. januar 05 Indhold Grundlæggende uligheder Grænseovergange 3 3 Kontinuitet 9 4 Følger 0 5 Perspektivering 4 Grundlæggende uligheder Sætning

Læs mere

1: Fundamentale begreber.

1: Fundamentale begreber. Topologi 1 1: Fundamentale begreber. Hvis vi lader henholdsvis O og C betegne de åbne og afsluttede delmængder i et metrisk rum med X som underliggende mængde, mens vi benytter betegnelserne I henholdsvis

Læs mere

Wigner s semi-cirkel lov

Wigner s semi-cirkel lov Wigner s semi-cirkel lov 12. december 2009 Eulers Venner Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Diagonalisering af selvadjungeret matrix Lad H være en n n matrix med komplekse

Læs mere

Matrx-vektor produkt Mikkel H. Brynildsen Lineær Algebra

Matrx-vektor produkt Mikkel H. Brynildsen Lineær Algebra Matrx-vektor produkt [ ] 1 2 3 1 0 2 1 10 4 Rotationsmatrix Sæt A θ = [ ] cosθ sinθ sinθ cosθ At gange vektor v R 2 med A θ svarer til at rotere vektor v med vinkelen θ til vektor w: [ ][ ] [ ] [ ] cosθ

Læs mere

Om første og anden fundamentalform

Om første og anden fundamentalform Geometri, foråret 2005 Jørgen Larsen 9. marts 2005 Om første og anden fundamentalform 1 Tangentrummet; første fundamentalform Vi betragter en flade S parametriseret med σ. Lad P = σu 0, v 0 være et punkt

Læs mere

Kompleks Funktionsteori

Kompleks Funktionsteori Kompleks Funktionsteori Formelræs Holomorfe funktioner Sætning. (Caucy-Riemans ligninger). Funktionen f : G C, f = u+iv er holomorf i z 0 = x 0 + iy 0 hvis og kun hvis i punktet (x 0, y 0 ). du dx = dv

Læs mere

GAUSS-BONNET HANS PLESNER JAKOBSEN

GAUSS-BONNET HANS PLESNER JAKOBSEN GAUSS-BONNET HANS PLESNER JAKOBSEN.. Indledning. En af de mest fundamentale sætninger i geometri er Thales Sætning, der siger, at vinkelsummen i en trekant er lig med π. Generalisationen af denne sætning

Læs mere

Oversigt [S] 9.6, 11.1, 11.2, App. H.1

Oversigt [S] 9.6, 11.1, 11.2, App. H.1 Oversigt [S] 9.6, 11.1, 11.2, App. H.1 Her skal du lære om 1. Funktioner i flere variable 2. Grafen og niveaukurver 3. Grænseovergange og grænseværdier 4. Kontinuitet i flere variable 5. Polære koordinater

Læs mere

Analyse 2. Bevis af Fatous lemma (Theorem 9.11) Supplerende opgave 1. Øvelser

Analyse 2. Bevis af Fatous lemma (Theorem 9.11) Supplerende opgave 1. Øvelser Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 24. og 27. september 203 Bevis af Fatous lemma (Theorem 9.) Hvis (u j ) j er en følge af positive, målelige, numeriske funktioner (dvs. med værdier i [, ]) over

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42 Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder

Læs mere

Gruppeteori. Michael Knudsen. 8. marts For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel.

Gruppeteori. Michael Knudsen. 8. marts For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel. Gruppeteori Michael Knudsen 8. marts 2005 1 Motivation For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel. Eksempel 1.1. Lad Z betegne mængden af de hele tal, Z = {..., 2, 1, 0,

Læs mere

Projekt 1.4 De reelle tal og 2. hovedsætning om kontinuitet

Projekt 1.4 De reelle tal og 2. hovedsætning om kontinuitet Projekt 1.4 De reelle tal og 2. hovedsætning om kontinuitet Mens den 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner kom forholdsvis smertefrit ud af intervalrusebetragtninger, så er 2. hovedsætning betydeligt

Læs mere

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning.

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Michael Knudsen 10. oktober 2005 1 Ligningsløsning Lad N = {0,1,2,...} betegne mængden af de naturlige tal og betragt ligningen ax + b = 0, a,b N,a 0. Findes

Læs mere

Flader. Søren Fuglede Jørgensen 11. november 2014

Flader. Søren Fuglede Jørgensen 11. november 2014 Flader Søren Fuglede Jørgensen 11. november 2014 Resumé I noterne her vil vi betragte begrebet flade fra et par forskellige synspunkter samt beskrive forskellige eksempler på flader. Vi vil desuden se

Læs mere

Statistisk hypotese. Lad P være en statistisk model på (X, E). (P er altså en familie af sandsynlighedsmål på (X, E).)

Statistisk hypotese. Lad P være en statistisk model på (X, E). (P er altså en familie af sandsynlighedsmål på (X, E).) Statistisk hypotese Lad P være en statistisk model på (X, E). (P er altså en familie af sandsynlighedsmål på (X, E).) En statistisk hypotese er en delmængde P 0 P.. p.1/23 Statistisk hypotese PSfrag replacements

Læs mere

Statistisk hypotese. Lad P være en statistisk model på (X, E). (P er altså en familie af sandsynlighedsmål på (X, E).)

Statistisk hypotese. Lad P være en statistisk model på (X, E). (P er altså en familie af sandsynlighedsmål på (X, E).) Statistisk hypotese Lad P være en statistisk model på (X, E). (P er altså en familie af sandsynlighedsmål på (X, E).) En statistisk hypotese er en delmængde P 0 P.. p.1/26 PSfrag replacements Statistisk

Læs mere

Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528)

Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528) Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Tirsdag den 20 Januar 2009, kl. 9 13 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater etc.) samt brug

Læs mere

Eksamen i Calculus Mandag den 4. juni 2012

Eksamen i Calculus Mandag den 4. juni 2012 Eksamen i Calculus Mandag den 4. juni 212 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider med ialt

Læs mere

MASO Uge 6. Følger i euklidiske rum Ekstremværdisætningen. Jesper Michael Møller. Department of Mathematics University of Copenhagen.

MASO Uge 6. Følger i euklidiske rum Ekstremværdisætningen. Jesper Michael Møller. Department of Mathematics University of Copenhagen. MASO Uge 6 Følger i euklidiske rum Ekstremværdisætningen Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 6 Formålet med MASO Oversigt Følger i R n Konvergens, delfølger Det

Læs mere

3.1 Baser og dimension

3.1 Baser og dimension SEKTION 3 BASER OG DIMENSION 3 Baser og dimension Definition 3 Lad V være et F-vektorrum Hvis V = {0}, så har V dimension 0 2 Hvis V har en basis bestående af n vektorer, så har V dimension n 3 Hvis V

Læs mere

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014 Vinkelrette linjer Frank Villa 4. november 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Idenne note giver vi et eksempel på, hvorledes det er vigtigt at holde sig

Idenne note giver vi et eksempel på, hvorledes det er vigtigt at holde sig Analyse : Eulers formel Sebastian rsted 9. maj 015 Idenne note giver vi et eksempel på, hvorledes det er vigtigt at holde sig for øje, hvor de matematiske resultater kommer fra, og hvad de baseres på;

Læs mere

Kommutativ harmonisk analyse

Kommutativ harmonisk analyse Kommutativ harmonisk analyse F 999 Henrik Stetkær Indhold I Topologiske grupper........................ II Sideklasserum.......................... III Haar integralet.......................... 7 IV Banach-algebraen

Læs mere

2. Fourierrækker i en variabel

2. Fourierrækker i en variabel .1. Fourierrækker i en variabel I Kapitel II 7 blev der indført, dels funktionsrummene L p (X, µ) (mere udførligt skrevet L p (X, E, µ)), dels rummene L p (X, µ), der fås af L p (X, µ) ved at funktioner

Læs mere

Polynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6

Polynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 Indhold 1 Polynomier 2 Polynomier 2 Polynomiumsdivision 4 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 4 Koefficienter 8 5 Polynomier med heltallige koefficienter 9 6 Mere om polynomier med heltallige koefficienter

Læs mere

01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides

01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides 01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides Thomas Bolander 1 Udsagnslogik 1.1 Formler og sandhedstildelinger symbol står for ikke eller og ( A And) hvis... så... hvis og kun hvis...

Læs mere

Kirchberger s sætning om separation af to mængder Maria Larissa Ziino

Kirchberger s sætning om separation af to mængder Maria Larissa Ziino 12 Formidlingsaktivitet Kirchberger s sætning om separation af to mængder Maria Larissa Ziino I denne artikel fremføres to sætninger af henholdsvis den østrigske matematiker Eduard Helly og den tyske matematiker

Læs mere

Optimeringsteori. Tenna Andersen, Tina Sørensen, Majbritt Lundborg, Søren Foged, Jeppe Gravers, Kenneth Andersen & Oskar Aver

Optimeringsteori. Tenna Andersen, Tina Sørensen, Majbritt Lundborg, Søren Foged, Jeppe Gravers, Kenneth Andersen & Oskar Aver Optimeringsteori Tenna Andersen, Tina Sørensen, Majbritt Lundborg, Søren Foged, Jeppe Gravers, Kenneth Andersen & Oskar Aver 20/12/2012 Institut for Matematiske Fag Matematik-Økonomi Fredrik Bajers Vej

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

Side 9 sætningen: Kolmogorov s konsistensætning Tue Tjur, Institut for Matematisk Statistik

Side 9 sætningen: Kolmogorov s konsistensætning Tue Tjur, Institut for Matematisk Statistik Side 9 sætningen: Kolmogorov s konsistensætning Tue Tjur, Institut for Matematisk Statistik Advarsel: I denne artikel gives udtryk for holdninger til sandsynlighedsregningens grundlag. Disse er forfatterens

Læs mere

MASO Uge 1. Relle tal Følger. Jesper Michael Møller. 7. september Department of Mathematics University of Copenhagen

MASO Uge 1. Relle tal Følger. Jesper Michael Møller. 7. september Department of Mathematics University of Copenhagen MASO Uge 1 Relle tal Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen 7. september 2016 Formålet med MASO Integer sequences Oversigt Relle tal Notation Tal Overtal og undertal Største

Læs mere

Hilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum

Hilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum Chapter 3 Hilbert rum 3.1 Indre produkt rum I det følgende skal vi gøre brug af komplekse såvel som reelle vektorrum. Idet L betegner enten R eller C minder vi om, at et vektorrum over L er en mængde E

Læs mere

Fundamentalgruppen af plane mængder

Fundamentalgruppen af plane mængder Fundamentalgruppen af plane mængder Jesper Just Højgaard 1. juli 2004 Speciale for cand. scient. graden i matematik ved Københavns Universitet. Vejleder: Jesper Michael Møller. Indhold 1 Indledning 3 2

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Matematik 3GT. Topologi. Christian Berg

Matematik 3GT. Topologi. Christian Berg Matematik 3GT Topologi Christian Berg 2001 Universitetsparken 5 2100 København Ø c Matematisk Afdeling 2001 FORORD Kurset 3GT er et nyt kursus i 5. semester omhandlende mængdelære, generel topologi og

Læs mere

Vektoranalyse INDLEDNING. Indhold. 1 Integraltricks. Jens Kusk Block Jacobsen 21. januar 2008

Vektoranalyse INDLEDNING. Indhold. 1 Integraltricks. Jens Kusk Block Jacobsen 21. januar 2008 Vektoranalyse Jens Kusk Block Jacobsen 21. januar 2008 INLENING ette er en opsamling af ting, jeg synes er gode at have ifbm vektoranalyse som præsenteret i kurset VEKANAE07 ved IMF på AU. Noten er dels

Læs mere

Delmængder af Rummet

Delmængder af Rummet Delmængder af Rummet Frank Villa 15. maj 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

TØ-opgaver til uge 45

TØ-opgaver til uge 45 TØ-opgaver til uge 45 Først laver vi en liste over de ligninger med mere i [IPT], der skal bruges: [1]: Ligning (2.5) på side 4. [2]: Ligning (2.6) på side 5. [3]: Sætning 3.1, ligning (3.3) på side 7.

Læs mere

Spor Matematiske eksperimenter. Komplekse tal af Michael Agermose Jensen og Uwe Timm.

Spor Matematiske eksperimenter. Komplekse tal af Michael Agermose Jensen og Uwe Timm. Homografier Möbius transformationer Følgende tema, handler om homografier, inspireret af professor Børge Jessens noter, udgivet på Københavns Universitet 965-66. Noterne er herefter blevet bearbejdet og

Læs mere

Løsning af præmie- og ekstraopgave

Løsning af præmie- og ekstraopgave 52 Læserbidrag Løsning af præmie- og ekstraopgave 23. årgang, nr. 1 Martin Wedel Jacobsen Både præmieopgaven og ekstraopgaven er specialtilfælde af en mere generel opgave: Hvor mange stykker kan en n-dimensionel

Læs mere

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Juni 2000 MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Opgave 1. (a) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen y 8y + 16y = 0. (b) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen

Læs mere

Integration m.h.t. mål med tæthed

Integration m.h.t. mål med tæthed Integration m.h.t. mål med tæthed Sætning (EH 11.7) Lad ν = f µ på (X, E). For alle g M + (X, E) gælder at gdν = g f dµ. Bevis: Standardbeviset: 1) indikatorfunktioner 2) simple funktioner 3) M + -funktioner.

Læs mere

Om uendelighedsbegrebet

Om uendelighedsbegrebet Om uendelighedsbegrebet Henrik Stetkær 19. september 2006 I disse noter vil vi diskutere uendelighedsbegrebet, specielt egenskaber ved tællelige mængder. Vi går ud fra, at læseren har et elementært kendskab

Læs mere

Bevægelsens Geometri

Bevægelsens Geometri Bevægelsens Geometri Vi vil betragte bevægelsen af et punkt. Dette punkt kan f.eks. være tyngdepunktet af en flue, et menneske, et molekyle, en galakse eller hvad man nu ellers har lyst til at beskrive.

Læs mere

Indledning. 1 Martingalerepræsentationssætningen

Indledning. 1 Martingalerepræsentationssætningen Indledning I disse noter vil uddybe nogle af Øksendals resultater i afsnittene 4 og 7 samt give andre beviser for dem. Disse resultater er gennemgået til forelæsningerne. 1 Martingalerepræsentationssætningen

Læs mere

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2 Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Talteori Anne Ryelund Anders Friis 16. juli 2014 Slide 1/36

t a l e n t c a m p d k Talteori Anne Ryelund Anders Friis 16. juli 2014 Slide 1/36 Slide 1/36 sfaktorisering Indhold 1 2 sfaktorisering 3 4 5 Slide 2/36 sfaktorisering Indhold 1 2 sfaktorisering 3 4 5 Slide 3/36 1) Hvad er Taleteori? sfaktorisering Slide 4/36 sfaktorisering 1) Hvad er

Læs mere

Dimensionsbegreber i Topologi. Mads Kjærulf Caspersen Henning Røigaard-Petersen 17. juni 2004

Dimensionsbegreber i Topologi. Mads Kjærulf Caspersen Henning Røigaard-Petersen 17. juni 2004 Dimensionsbegreber i Topologi Mads Kjærulf Caspersen Henning Røigaard-Petersen 17. juni 2004 1 Indhold 1 Indledning 3 2 Topologisk Dimension 4 3 Hausdorff mål 10 4 Hausdorff dimension 15 4.1 Tæthederne

Læs mere

(Prøve)Eksamen i Calculus

(Prøve)Eksamen i Calculus (Prøve)Eksamen i Calculus Sæt 1, april 2011 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende (prøve)eksamenssæt består af 7 nummererede sider

Læs mere

Regularitet og Automater. Tobias Brixen Q4-2012

Regularitet og Automater. Tobias Brixen Q4-2012 Regularitet og Automater Tobias Brixen Q4-2012 1 Noterne er skrevet med inspiration fra http://cs.au.dk/ illio/courses/dregaut/dregautnoter.pdf Contents 1 Regulære udtryk 3 1.1 RegEx.................................

Læs mere

Punktgrupper. Klaus Thomsen

Punktgrupper. Klaus Thomsen Punktgrupper Klaus Thomsen 1. Forord Disse noter er skrevet med henblik på et efteruddannelses-kursus for gymnasielærere i matematik og/eller kemi. Formålet er at give en introduktion til matematikken

Læs mere

Implikationer og Negationer

Implikationer og Negationer Implikationer og Negationer Frank Villa 5. april 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Lineær Algebra, TØ, hold MA3

Lineær Algebra, TØ, hold MA3 Lineær Algebra, TØ, hold MA3 Lad mig allerførst (igen) bemærke at et vi siger: En matrix, matricen, matricer, matricerne. Og i sammensætninger: matrix- fx matrixmultiplikation. Injektivitet og surjektivitet

Læs mere

Homotopiteori for pomængden af p-undergrupper i en endelig gruppe

Homotopiteori for pomængden af p-undergrupper i en endelig gruppe D E T N A T U R V I D E N S K A B E L I G E F A K U L T E T K Ø B E N H A V N S U N I V E R S I T E T Kandidatprojekt i matematik Sune Precht Reeh Homotopiteori for pomængden af p-undergrupper i en endelig

Læs mere

Eksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet. 6.

Eksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet. 6. Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet 6. juni 16 Dette eksamenssæt består af 1 nummererede sider med 14 afkrydsningsopgaver.

Læs mere

LINEÆR OPTIMERING JESPER MICHAEL MØLLER. Resumé. Disse noter handler om dualitet i lineære optimeringsprogrammer.

LINEÆR OPTIMERING JESPER MICHAEL MØLLER. Resumé. Disse noter handler om dualitet i lineære optimeringsprogrammer. LINEÆR OPTIMERING JESPER MICHAEL MØLLER Indhold 1 Introduktion 1 2 Kanoniske programmer 2 3 Standard programmer 2 4 Svag dualitet for standard programmer 3 5 Svag dualitet for generelle lineære programmer

Læs mere

Matematik 2 AN. Matematisk Analyse. Metriske rum. Christian Berg

Matematik 2 AN. Matematisk Analyse. Metriske rum. Christian Berg Matematik 2 AN Matematisk Analyse Metriske rum Christian Berg 1997 Matematisk Afdeling Universitetsparken 5 2100 København Ø c Matematisk Afdeling 1997 Forord Nærværende notehæfte er oprindelig skrevet

Læs mere

Lineær Algebra F08, MØ

Lineær Algebra F08, MØ Lineær Algebra F08, MØ Vejledende besvarelser af udvalgte opgaver fra Ugeseddel 3 og 4 Ansvarsfraskrivelse: Den følgende vejledning er kun vejledende. Opgaverne kommer i vilkårlig rækkefølge. Visse steder

Læs mere

UENDELIG, MERE UENDELIG, ENDNU MERE UENDELIG, Indledning

UENDELIG, MERE UENDELIG, ENDNU MERE UENDELIG, Indledning UENDELIG, MERE UENDELIG, ENDNU MERE UENDELIG, ESBEN BISTRUP HALVORSEN 1 Indledning De fleste kan nok blive enige om, at mængden {a, b, c} er større end mængden {d} Den ene indeholder jo tre elementer,

Læs mere

Vejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009

Vejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009 Vejledende besvarelse på august 29-sættet 2. december 29 Det følgende er en vejledende besvarelse på eksamenssættet i kurset Calculus, som det så ud i august 29. Den tjener primært til illustration af,

Læs mere

Besvarelse, Eksamen Analyse 1, 2013

Besvarelse, Eksamen Analyse 1, 2013 Københavns Universitet Prøve ved Det naturvidenskabelige Fakultet juni 23 Besvarelse, Eksamen Analyse, 23 Opgave Lad, for n N, funktionen f n : [, ) R være givet ved NB. Trykfejl. Burde være x. f n (x)

Læs mere

Gradienter og tangentplaner

Gradienter og tangentplaner enote 16 1 enote 16 Gradienter og tangentplaner I denne enote vil vi fokusere lidt nærmere på den geometriske analyse og inspektion af funktioner af to variable. Vi vil især studere sammenhængen mellem

Læs mere

Implicit givne og inverse funktioner

Implicit givne og inverse funktioner Implicit givne og inverse funktioner Morten Grud Rasmussen 1 11. april 2016 1 Implicit givne funktioner I lineær algebra har vi lært meget om at løse lineære ligningsystemer og om strukturen af løsningsmængden.

Læs mere

Brug og Misbrug af logiske tegn

Brug og Misbrug af logiske tegn Brug og Misbrug af logiske tegn Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 5 Morten Grud Rasmussen 19. september, 2013 1 Euler-Cauchy-ligninger [Bogens afsnit 2.5, side 71] 1.1 De tre typer af Euler-Cauchy-ligninger Efter at

Læs mere

Funktioner af to variable

Funktioner af to variable enote 15 1 enote 15 Funktioner af to variable I denne og i de efterfølgende enoter vil vi udvide funktionsbegrebet til at omfatte reelle funktioner af flere variable; vi starter udvidelsen med 2 variable,

Læs mere

Matematisk Metode Notesamling

Matematisk Metode Notesamling Matematisk Metode Notesamling Anders Bongo Bjerg Pedersen Stud.Scient, Matematisk Institut, KU 21. november 2005 Bemærkninger til noterne: Hosliggende noter er fra faget Matematisk Metode, afholdt i blok

Læs mere

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby 24 En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby Det er velkendt for de fleste, at differentiabilitet af en reel funktion f medfører kontinuitet af f, mens det modsatte ikke gælder

Læs mere

Er A åben? Er A afsluttet? Er A en Borel-mængde? [Vink: Prøv at skriv A som en tællelig forening af afsluttede mængder.

Er A åben? Er A afsluttet? Er A en Borel-mængde? [Vink: Prøv at skriv A som en tællelig forening af afsluttede mængder. Analyse Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 10. og 13. september 013 Supplerende opgave 4 Betragt mængden A = {(x, y) R x + y 1, x < y}. Er A åben? Er A afsluttet? Er A en Borel-mængde? [Vink: Prøv at skriv

Læs mere

Polynomium Et polynomium. Nulpolynomiet Nulpolynomiet er funktionen der er konstant nul, dvs. P(x) = 0, og dets grad sættes per definition til.

Polynomium Et polynomium. Nulpolynomiet Nulpolynomiet er funktionen der er konstant nul, dvs. P(x) = 0, og dets grad sættes per definition til. Polynomier Polynomier Polynomium Et polynomium P(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 Disse noter giver en introduktion til polynomier, centrale sætninger om polynomiumsdivision, rødder og koefficienter

Læs mere

5.3 Konvergens i sandsynlighed Konvergens i sandsynlighed 55. Hvis vi regner den karakteristiske funktion for X, v ud i argumentet 1, fås

5.3 Konvergens i sandsynlighed Konvergens i sandsynlighed 55. Hvis vi regner den karakteristiske funktion for X, v ud i argumentet 1, fås 5.3. Konvergens i sandsynlighed 55 BEVIS: Lad φ 1, φ 2,... og φ være de karakteristiske funktioner for X 1, X 2,... og X. Hvis vi regner den karakteristiske funktion for X, v ud i argumentet 1, fås φ X,v

Læs mere

Types, tokens og rationalisme i matematikkens filosofi

Types, tokens og rationalisme i matematikkens filosofi Types, tokens og rationalisme i matematikkens filosofi Klaus Frovin Jørgensen Afdelingen Filosofi og Videnskabsteori, RUC 6. marts, 2010 1 / 29 Hilbert og den aksiomatiske metode David Hilbert (1862-1943)

Læs mere

Om uendelighedsbegrebet

Om uendelighedsbegrebet Om uendelighedsbegrebet Henrik Stetkær 27. oktober 2004 I disse noter vil vi diskutere uendelighedsbegrebet, specielt egenskaber ved tællelige mængder. Vi går ud fra, at læseren har et elementært kendskab

Læs mere

Funktionsrum. Kapitel 1. 1.1 Funktionsrummet L = L(X, E, µ)

Funktionsrum. Kapitel 1. 1.1 Funktionsrummet L = L(X, E, µ) Kapitel Funktionsrum. Funktionsrummet L = L(X, E, µ) For et vilkårligt målrum (X,E,µ) er mængdenl=l(x,e,µ) afµ-integrable funktioner f :X R et reelt vektorrum ifølge Theorem 7.3 i [EH]. Hvis vi indfører

Læs mere

Knuder, lænker og fletninger.

Knuder, lænker og fletninger. Regionalmøde Esbjerg 2012 Aalborg Universitet Hvorfor dette emne? Der er god matematik i knuder. Der er flotte billeder. Der er splinternye anvendelser i biologi/kemi. Gymnasieelever kan arbejde med knuder.

Læs mere

Partielle afledede og retningsafledede

Partielle afledede og retningsafledede Partielle afledede og retningsafledede 1 Partielle afledede, definitioner og notationer Bertragt en funktion af to reelle variable f : D R, hvor D R 2 er et åbent område Med benyttelse af tilvækstfunktionen

Læs mere