Sandt/falsk-opgave: Diskuter opgave 23 side 12 i gruppen, men husk at begrunde jeres svar, som teksten før opgave 23 kræver!

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Sandt/falsk-opgave: Diskuter opgave 23 side 12 i gruppen, men husk at begrunde jeres svar, som teksten før opgave 23 kræver!"

Transkript

1 LINEÆR ALGEBRA 30. januar 2004 Oversigt nr. 1 I kurset i skal vi bruge D. C. Lay: Linear algebra and its applications, 3. udgave Addison Wesley 2003; i store træk bliver det kapitel 1 3 og Som regel vil hver seance omhandle circa et/to afsnit i bogen. 1.gang, tirsdag den 3. februar Vi er her i auditorium 4 kl :, hvor jeg efter en introduktion til kurset vil forelæse over lineære ligninger (afsnit 1.1) og temaet bliver hvad, hvorfor og hvordan. Det vil sige, hvad er lineære ligninger, hvorfor er det nyttigt at beskæftige sig med dem (eksempler vil blive givet), og hvordan løser man dem. Som I vil få at se er der en meget systematisk og overskuelig måde at løse lineære ligninger på. Selve løsningsmetoden vil vi bruge en del kræfter på både at indøve og forstå, for den bliver central for os i hele kurset. Om kort tid vil det derfor være en overkommelig opgave for jer at løse 7 ligninger med 7 ubekendte (tro det om I kan..). I kan læse om det i afsnit 1.1. Kl Her mødes vi i grupperrummene til en nærmere snak om bogen og kurset sammen med hjælpelærerne. For at få en blid start, og for at stifte nærmere bekendtskab med bogen (og især de store anstrengelser Lay gør sig for at I kan få et godt udbytte), laver vi følgende opgaver: Practice problems 1 4 side 10. Disse kan løses på grundlag af forelæsningen alene (men er ment som træningsopgaver efter man har læst afsnittet I opfordres hermed til at løse træningsopgaverne hver gang et afsnit er læst/gennemgået). Sandt/falsk-opgave: Diskuter opgave 23 side 12 i gruppen, men husk at begrunde jeres svar, som teksten før opgave 23 kræver! AHA-opgaven: Løs ligningssystemet i eksempel 1 side 5 på følgende måde: Først isoleres x 1 i 1. ligning og substitueres i 3. ligning. Dernæst isoleres x 2 i 2. ligning og indsættes i den nye 3. ligning (men ej i nr. 1). Derved er x 3 blevet bestemt; der bør jævnføres med midten af side 6 i bogen. Resultatet substitueres i ligning 1 og 2. Fortsæt indtil også x 1 og x 2 er bestemt. Ved at sammenligne med bogens gennemgang skulle to ting nu gerne stå klart: Dels optræder alle mellemfacitter i substitutionsmetoden også ved at bruge bogens metode (de to metoder er altså to sider af den samme sag), dels er bogens fremgangsmåde langt mere overskuelig. NB! 2. gang. bliver den 17. februar. 1

2 LINEÆR ALGEBRA 5. februar 2003 Oversigt nr gang, tirsdag den 17. februar : Her repeterer vi indholdet af afsnit 1.1 med vægt på de vigtigste konklusioner derfra : For at dygtiggøre os/jer ser vi på følgende: Sandt/falsk: Diskuter i gruppen opgave , så I er sikre på I alle er enige i konklusionerne. Rækkeoperationer: For at træne dette laves NB! Gå systematisk til værks! Konsistens: Regn Hvad vil Lay opnå med ordren do not completely solve the systems.?? Anvendelser: Lav : Her gennemgås afsnit 1.1.2, hvor vi skal på hvilke matricer rækkeoperationer i almindelighed kan føre os til (man kan ikke altid opnå et-taller i diagonalen); vi indfører i den forbindelse en standardform kaldet en echelonmatrix. Fra latinskolen: Det hedder en matrix, matricen og flere matricer. (Og selv når man så har bøjet dem, så kan det aldrig blive til en matrice i ental.) 2

3 LINEÆR ALGEBRA 20. februar 2004 Oversigt nr gang, den 24. februar. Som forberedelse til dagens seance bedes I læse kapitel 1.2 i Lays bog og dele af 1.3, nemlig det velkendte for R 2, R 3 og R n inklusive det nye begreb linearkombination, som også blev omtalt sidste gang. Desuden bør I regne øvelsesopgaverne ( practice problems side 24) samt sandt/falsk-opgaven : Repetition fra afsnit 1.2 og 1.3 i Lays bog : Opgaveregning i følgende (de er mange, men ej tekniske): Reversering: Diskuter i fællesskab , og se til at du selv, og alle andre i gruppen!, forstår svarene. Sandt/falsk: Samme fremgangsmåde som ovenfor men med Echelonform: Regn Konsistens: Frie variable: Lav Angiv gerne facit som en parameterfremstilling af vektorerne i løsningsmængden. Data: Vi har indført betegnelsen data for leddene på højre side af et ligningssystem; dette sigter til den situation hvor man har målt disse tal og dernæst vil bestemme de interessante tal som værende løsningen til ligningssystemet. Noget overraskende viser dette sig at være et særdeles kildent emne. At det kan gå galt allerede for 2 ligninger med 2 ubekendte ses ved at lave: opgave Hvor pålideligt tror I resultatet er når man sætter en regnemaskine eller computer til at løse 10 ligninger med 10 ubekendte? (Man skal vide mere om matricer før pålideligheden kan vurderes.) Interpolation: Dette er en almindeligt brugt videnskabelig metode, I givetvis vil møde senere; her giver den lidt træning i lineære ligninger via: opgave Har du en avanceret regnemaskine kan du lave også : Her gennemgås kapitel 1.3 og 1.4 i Lays bog. Vi skal nu til at se nærmere på geometrien bag løsningen af lineære ligningssystemer. Det vil involvere at vi kan tale om vektorer i R n også for n 4, og at vi lærer mere om hvad man kan med matricer, eksempelvis gange vektorer med dem. Det lyder måske altsammen mærkeligt, men det giver os ret hurtigt et bedre overblik, som I vil få at se. 3

4 LINEÆR ALGEBRA 27. februar 2004 Oversigt nr gang, tirsdag den 2. marts. Som forberedelse bedes I læse afsnit og regne de tilhørende praktikproblemer og : Perspektivering og repetition (med fokus på Theorem 4) : Opgaveregingens menukort af lettere anretninger (begrebstræning snarere end regnetræning): Vektorer i R n Diskuter i gruppen! Sandt/falsk? Diskuter i gruppen! Regneregler Linear komb Frembringelse (Tænkere kan regne ) Matrixprodukt Matrixligning , Sandt/falsk? diskuteres til afslutning! : Her gennemgås afsnit i bogen. Et hovedtema vil være at sammenligne løsningsmængderne for inhomogene ligningssystemer med løsningsmængderne for de tilsvarende homogene systemer. (Dette har I faktisk mødt før i en analog situation, nemlig for differentialligninger.) Vi vil nok også nå at introducere lineær uafhængighed i afsnit

5 LINEÆR ALGEBRA 3. marts 2004 Oversigt nr. 5 Sidste gang brugte vi tid til at gennemgå lidt om almene begreber som surjektive og injektive afbildninger. Se bogens side 87 for et sammendrag (men bemærk at jeg faktisk gennemgik begreberne for vilkårlige mængder). 5. gang, tirsdag den 9. marts. Som forberedelse til denne seance bør I læse afsnit 1.4 (fra side 43) og 1.5 og regne opgaverne side 54 og Med fordel kan I også læse i afsnit 1.7, som bliver en del af emnet denne gang : Her foretages lidt repetition og perspektivering med fokus på sætning 6 i afsnit : Til opgaveregningen: Konsistens uden rækkeoperationer: Homogene systemer Sandt/falsk Inhomogene sys Prøveopgave nr. 1 Skriv den ud fra min hjemmeside og regn den! Vedr. teorispørgsmålet: Regn ! Bemærk hvordan vi i mange tilfælde nu kan afgøre vigtige spørgsmål om eksistens og entydighed af løsninger ved bare at inspicere antallet af rækker og søjler i koefficientmatricerne : Her gennemgår vi afsnit 1.7 og 1.8. Blandt andet skal vi møde en ny ven, lineær uafhængighed, og gense vores gamle bekendte lineære transformationer, som på mat1a blev omtalt som lineære operatorer; essentielt er der ingen forskel, men her ser vi på det der vedrører R n. 5

6 LINEÆR ALGEBRA 15. marts 2003 Oversigt nr. 6 Sidste gang gennemgik vi kapitel 1.7 om lineær uafhængighed og noget af 1.8 om introduktion til lineære transformationer. Som forberedelse til næste seance bedes man læse det ovennævnte og afprøve sin forståelse af det ved at regne øvelsesopgaverne side 70 og opgave (NB! Opgaverne illustrerer mange mulige fejlslutninger i forbindelse med lineær uafhængighed.) 6. gang, tirsdag den 16. marts : Repetition og perspektivering : Opgaverne er mestendels stillet i lineær uafhængighed (som I nok har bemærket er dette begreb yderst centralt). Sandt/falsk diskuter opgave i gruppen! Lineær (u)afhængighed som simpel træning; de kan diskuteres i gruppen. Dernæst Regn så 1.7.9, og overvej hvorfor (a) og (b) ikke kommer ud på det samme! God forståelse (som ofte kan spare mange regninger!) kan fås af opgave Endelig er der (De er små og sjove...) Den samfundsvidenskabelige (som også er sjov..) : Vi gennemgår her resten af afsnit 1.8 og hele 1.9. Hovedtemaet er at studere de lineære transformationer T : R n R m, og som vi skal se i de kommende uger, så vil det åbne for en langt dybere forståelse af hvad der sker når man løser m ligninger med n ubekendte. En ting (som vi har set) er at sådanne ligninger kan skrives som en matrixligning A x = b begrebsmæssigt er det lige så vigtigt at dette kan tolkes som anvendelse af en lineær transformation (her givet ved A), for dette synspunkt giver et bedre overblik over matematikken og dens anvendelser (samt videnskab i det hele taget... ). 6

7 LINEÆR ALGEBRA 19. marts 2004 Oversigt nr gang, tirsdag den 23. marts. Som forberedelse til dagens seance bedes man læse afsnittene 1.8 og 1.9 om lineære transformationer. Dernæst regnes som sædvanlig øvelserne, her side 79+90, og sandt/falsk opgaverne og : Vi begynder med at repetere lidt om lineære transformationer i kapitel 1.9. Som forberedelse til opgaverne omtales sætning 12 i : Som opgaver i det nye stof ses på: Sandt/falsk diskuteres i gruppen. Forbindelsen til pivotsøjler Regn opgaverne Standardmatricer Lav opgave Linearitet Regn Regn dernæst prøveopgave nr. 2. Og endelig gamle opgaver, hvis der er tid til overs : Vi vil her beskæftige os lidt med eksemplerne i afsnit Her vil fokus være hvorledes lineære transformationer kan bruges til at løse nye typer af opgaver (eller lave matematiske modeller for nye problemsstillinger). Desuden gennemgås afsnit 2.1 om regneregler for matricer. 7

8 LINEÆR ALGEBRA 26. marts 2004 Oversigt nr gang, tirsdag den 30. marts : Perspektivering: Da vi sidste gang lærte at multiplicere matricer, så kan vi nu i princippet formulere ligninger AX = B, (1) hvor både A, X og B er matricer. Vi skal se at man af ret oplagte grunde, endda kan udføre rækkeoperationer også på den salgs ligninger. Vi skal også se hvordan dette kan give en bekvem metode til at finde standardmatricer for lineære transformationer T. (Jævnfør prøveopgave 2, hvor standardmatricen jo netop optrådte som en ubekendt.) : I grupperne kan I regne: Matrixregning Opgave Anvendelser Opgaverne (søg evt. inspiration side 95). Linearitet Lav Injektivitet(en-entydighed) Lad A = ( 2 7 ) og betragt den lineære transformation givet ved x A x; er denne afbildning injektiv? Bestem { x R 2 A x = 0 }. Er afbildningen surjektiv? Derudover kan I regne gamle opgaver (se eksempelvis på prøveopgave 2 igen), hvis der er tid til overs : Vi gennemgår afsnit 2.2 og 2.3 om inversen A 1 til en matrix A: Dels skal vi se på hvad dette begreb overhovedet er; dels skal vi se hvordan man finder A 1 i praksis, når A 1 eksisterer. 8

9 LINEÆR ALGEBRA 2. april 2004 Oversigt nr. 9 Sidste gang så vi hvordan man kan behandle en matrixligning A m,n X n,p = B m,p (2) ved hjælp af rækkeoperationer på den udvidede koefficientmatrix (A B). Vi så også at dette kan anvendes til finde inversen til en kvadratisk matrix A, fordi A 1 løser begge ligninger AX = I n, XA = I n. (3) I [L] findes der i Sætning 8 side 129 en lang række kriterier, for at inversen A 1 eksisterer. Vi vil i kursets løb nøjes med at fukusere på ca. tre af disse (dels er det næppe muligt at huske dem alle, dels vil vi se senere at mange af dem følger nemt af noget, vi alligevel skal lære...). 9. gang, tirsdag den 6. april. Regn som forberedelse øvelsesopgaverne side 116 og : Repetition og perspektivering: Vi har tidligere set at der er en korrespondence mellem matricer og lineære transformationer, og det er derfor naturligt at spørge hvad eksistensen af A 1 har af konsekvenser for den lineære transformation, der har A som standardmatrix. Dette belyses ved gennemgang af sætning 9 side 131, og bliver der fokuseret på de mange paralleller til definitionen af A : De følgende opgaver er mange, men de fleste er helt ligetil, så de skulle kunne nås. Matrixprodukt: Abnormiteter: Injektiv: Invers matrix: Matrixligninger: Mange af disse ting belyses også i prøveopgave 3, som I kan regne : Her gennemgås først resten af kapitel 2.2 om elementarmatricer og invers matrix, side Bemærk at vi vil få en meget dybere indsigt i, hvad der foregår under rækkeoperationer! Siden fortsættes med kapitel 2.8 og 2.9, hvor vi skal se på underrum af R n : Dette er en slags generalisering af linier og planer i R 3. Som vi skal se kan underrum have forskellige dimensioner, og generelt kan dimensionen bestemmes ved at tælle antallet af vektorer i en basis for underrummet (en 9

10 basis består af et system af vektorer, som både er lineært uafhængigt og som frembringer hele underrummet repeter gerne disse to begreber fra det tidligere). Sjovt er der til hver matrix knyttet to særlige underrum kaldet nulrummet og søjlerummet, som man kan opskrive direkte ud fra matricens reducerede echelonform mere om det senere. NB! Hængepartier om determinantformlen og matrixregneregler bør der rettes op på i opgaverne (især aht. teori nr.3) 10

11 LINEÆR ALGEBRA 13. april 2004 Oversigt nr gang, tirsdag den 13. april : Lidt repetition fra sidste gang om matrixligninger og underrum : Vi regner følgende: Invertibilitet: Prøv efter at sætning 4 side 119 er korrekt. Dette skal gøres på to måder: Dels ved at se efter at den foreslåede inverse matrix gør hvad den skal i følge definitionen af invertibilitet. Dels ved at bruge sætning 7 side 123. Elementarmatricer: Find inverserne til E 1, E 2 og E 3 på side 122. Gør prøve ved at gange de fundne matricer E 1 j på de oprindelige E j. Underrum: Diskuter først opgave i gruppen fortsæt med Regn så Regneregler for matrixprodukter: Opgave (som kunne indgå i teorispørgsmålet til prøveopgave 3!). Matrixprodukter og -ligninger: Regn prøveopgave nr. 3, hvis du ikke nåede den sidst : Her gennemgås afsnit om basis og koordinater. Desuden går vi igang med afsnit om determinanter. 11

12 LINEÆR ALGEBRA 16. april 2004 Oversigt nr gang, tirsdag den 20. april. Regn øvelsesopgaverne til afsnit som forberedelse, og rund af med sandt/falskopgaverne : Her repeterer vi lidt om underrum af R n og begrebet basis for sådanne, især ifm. lineære transformationers nulrum og søjlerum : Til træning i nulrum/søjlerum: Lav (nemme) og baser: Koordinater: Begynd med og fortsæt så med Overvej om du/i derefter er blevet klogere på hvad I egentlig gjorde i Basis+dimension: Regn opgave (i den rækkefølge). Endelig illustreres de samme begreber gennem prøveopgave 4 (som ikke er svær når man først kender begreberne regn derfor ovenstående først!) : Vi gennemgår kapitel om determinanter, som er et tal man kan regne ud for hver konkret n n-matrix (ofte kan man også her bruge rækkeoperationer..); tallet afgør om matricen er inverterbar eller ej. 12

13 LINEÆR ALGEBRA 21. april 2004 Oversigt nr. 12 Bemærk at vi sidste gang fik defineret rangen af en matrix A m,n som rang A = antallet af pivotpositioner i A. (4) Vi indså også at rangen af A kan bestemmes som rang A = dimensionen af A s søjlerum = dim Col A. (5) Ligningssystemet A x = b, hvor b R m er en given vektor, er derfor konsistent hvis og kun hvis rang A = rang(a b), (6) altså hvis og kun hvis koefficientmatricen A og den udvidede koefficientmatrix (A b) har samme rang. (Argumentet for dette er at A og (A b) har samme rang hvis og kun hvis den sidste søjle i (A b) ikke er en pivotsøjle, og det var jo det kriterium for konsistens, som vi fandt tilbage i kursets begyndelse.) 12. gang, fredag den 23. april. Som forberedelse kan I regne sandt/falsk udfordringen i og øvelsesopgaven til kapitel : Forelæsning over resten af kapitel : Til træning i de nye begreber: Rang: Lav (brug rangformlen i sætning 14). Definitionen af determinant: Regn Udvikling: reglen: (denne regel er ikke gennemgået, men den kan være bekvem for jer at lære nu). En faldgrube: Undgå den ved at regne !! Rækkeoperationer: Lav først som repetition (nemme!). Regn så Inverterbarhed: Produktreglen: Determinanter er også temaet i prøveopgave nr. 5. Endelig ser vi også på prøveopgave nr. 6, som er relevant at inddage nu fordi dens teorispørgsmål vedrører inverterbare matricer (de er jo et hovedtema for determinanterne). 13

14 LINEÆR ALGEBRA 26. april 2004 Oversigt nr gang, tirsdag den 27. april. Som forberedelse bedes I læse afsnit og regne de tilhørende øvelsesopgaver. Desuden sandt/falsk Desuden bør I repetere om elementarmatricer fra afsnit 2.2 (side 122), og at rækkeoperationer kan udføres ved at gange med elementarmatricer : Vi repeterer først noget om determinanter og sætter især fokus på formlen det(ab) = det A det B (den har en sjov konsekvens for inverterbarheden af A) : Temaet her er jeres fortrolighed med at regne med determinanter: Lineær afhængighed Regn og (foruden vinket kan man også tænke over at ens rækker/søjler giver lineær afhængighed). Linearitet Regn og mind jer selv og hinanden om at determinanten er lineær i hver række og søjle for sig; jævnfør bogens side 197. Desuden regner vi de resterende opgaver fra sidste gang : Her gør vi kapitel 3 om determinanter færdigt, hovedsigtet er beviserne for sætningerne 4 og 6. Dernæst tager vi hul på emnerne egenværdier og egenvektorer. Disse begreber spiller en fundamental rolle i næsten al matematik og næsten alle anvendelser deraf (i samme størrelsesorden som integral- og differentiallregning). Som eksempler kan nævnes analyse af computerberegningers pålidelighed (f.eks. GPS-systemet) eller dimensionering af bygninger og broer (det ville være mere end almindeligt ærgerligt om Storebæltsbroen skulle bygges om... ). Vi når antageligt kapitel 3.1 og 3.2 frem til side

15 LINEÆR ALGEBRA 3. maj 2004 Oversigt nr. 14 Vi fik sidste gang indført egenværdierne for en given n n-matrix som de reelle tal λ for hvilke ligningen Ax = λx (7) har løsninger x 0 i R n ; disse x udgør egenvektorerne hørende til egenværdien λ, mens egenrummet E λ udgøres af alle ligningens løsninger (dvs. x = 0 er tilføjet). Der er her to hovedresultater: λ er en egenværdi for A = det(a λi) = 0, (8) så egenværdierne skal søges blandt rødderne i det karakteristiske polynomium for A, som er p A (z) = det(a zi). Når først egenværdierne er bestemt, har man x er en egenvektor for A hørende til λ x 0 og x Nul(A λi). (9) Sidste betingelse betyder, at x løser det homogene ligningssystem (A λi)x = gang, tirsdag den 4. maj : Perspektivering om determinanter: Dels skal vi se hvorfor determinanter indgår i (8) ovenfor, dels skal vi se hvordan Ax = b kan løses vha. determinanter (Cramérs regel, kap. 3.3). Begge dele bunder i kriterierne for inverterbare matricer, med en bestemt tankegang, I bør præsenteres for : Der er mange opgaver, men nogle er ret nemme! Ligninger (især den sidste viser at determinantformlen kan være nyttig (en sådan parameter s optræder tit i elektronik)). Egenværdier Træn begreberne ved at regne Egenrum Lav Find samtlige egenværdier og -vektorer for matricen A i bogens eksempel 4 i kapitel 5.1. Karakteristisk polynomium Regn Lav også (nem). Diskuter i gruppen, hvordan man kan lave et andet argument for sætning 1 side 306. (Vink: Hvad er determinanten af en øvre trekantsmatrix?) Endelig kan I lave gamle opgaver, hvis der er tid til overs : Her vil jeg gennemgå mere om egenværdier og egenvektorer, med hovedvægten på anvendelser og eksempler fra kapitel

16 15. gang, tirsdag den 11. maj. [Dette opdateres senere, efter 14. seance.] Her vil jeg først gennemgå kapitel 5.3 om diagonalisering af matricer. Løst sagt forklarer denne teknik, hvilken nytte man (i bedste fald) kan have af at kende en matrix egenværdier mm. Dette vil være højdepunktet på mat2a! Her vil vi lave opgaver i det gennemgåede. Desuden vil vi se på prøveopgave nr. 7, som omhandler diagonalisering, og på prøveopgave nr. A, som dels er relevant for begge jeres studieretninger, dels ligger tæt op ad de gennemgåede eksempler. Bemærk, at pensum til mat2a foreligger på nettet. 16

17 LINEÆR ALGEBRA 10. maj 2004 Oversigt nr. 15 Vi sluttede af sidste gang med at gennemgå eksempel 5 i kapitel 5.2, om et dynamisk system modelleret ved en differensligning af formen x k+1 = Ax k. Vi fik faktisk analyseret opførslen for k, og fik fastlagt systemets kvalitative opførsel. For denne analyse var det i ekseplet helt afgørende, at vi kunne bestemme en basis for R 2 bestående af egenvektorer for A. Motiveret af dette eksempel, runder vi derfor kurset af med at studere, hvornår man til en matrix A n,n kan finde en basis for R n af egenvektorer for A. 15. gang, tirsdag den 11. maj Her vil jeg gennemgå kapitel 5.3 om diagonalisering af matricer. Denne teknik forklarer, hvilken nytte man kan have af at kende en matrix egenværdier og -vektorer. Mere præcist kaldes matricen A n,n diagonaliserbar, dersom R n har en basis bestående af egenvektorer for A. Herom er der to vigtige resultater: Hvis A er diagonaliserbar, så gælder at A = P DP 1, hvor D er ( en diagonalmatrix med A s egenværdier i diagonalen, dvs. λ1 0 ) D = λ n P er en inverterbar matrix med A s egenvektorer som søjler, dvs. P = [v 1 v 2... v n ], hvor Av j = λ j v j. NB! Hverken D eller P kommer ud af den blå luft her! A ER diagonaliserbar, dersom enten A har n forskellige egenværdier, eller A T = A (kaldet spektralsætningen for reelle matricer ). At ligningen A = P DP 1 gælder, omtales som at A og D er similære Her vil vi lave opgaver i det gennemgåede: Potenser af matricer: Regn Similaritet med diagonalmatrix: Lav (Nemme, men viser hvad sagen drejer sig om.) Simple diagonaliseringer: Regn (overkommelige!). Desuden vil vi se på prøveopgave nr. 7, som direkte omhandler diagonalisering, og på prøveopgave nr. A, som ligger tæt op ad de gennemgåede eksempler om nytten af diagonalisering. 0

18 MR2 1. juni 2004 Oversigt nr. 1 I Matematisk regne- og fremlæggelsesteknik 2 (MR2) tages udgangspunkt i studieordningens ord om: Indhold: Ræsonnering og problemløsning med lineær algebra. Formål: At udvikle de studerendes problemløsningsfærdigheder gennem eksempler hentet fra den lineære algebra samt at formidle løsninger skriftligt og mundtligt. Som eksempler vil jeg foreslå, at vi bruger prøveopgaverne 1 6 og A B! Til den skriftlige formidling kan vi nøjes med at lade jer aflevere en besvarelse af en af disse opgaver (dette vil så også tjene til godkendelse af MR2). Ellers udnytter vi tiden til at træne jer i problemløsning, ræsonnering og mundtlig fremstilling efter følgende program: Fredag 4. juni Prøveopg. 7+A om formiddagen, nr. 5+6 efter middag. Mandag 7. juni Prøveopg. 3+4 om formiddagen, nr. 1+2 efter middag. Tirsdag 8. juni Afklaring af de sidste spørgsmål i alle opgaverne og udarbejdelse af en skriftlig besvarelse pér gruppe af en udvalgt opgave (som meddeles senere). Dagsprogrammerne for fredag og mandag bliver nogenlunde således: : Oplæg fra mig i auditorium 2 om teoridelen af prøveopgaverne : I grupperummene arbejder I med de eksempler/prøveopgaver, der er på dagsordnen. I må dels afklare de restende spørgsmål om regning af opgaven, dels diskutere teorispørgsmålet i fællesskab. Fuldt udbytte af tiden får I kun, hvis I når både at diskutere hvorvidt og hvordan teori- og regnedelen kan sammenkædes, og at fremlægge, ved tavlen, om teoridelen for hinanden : I fortsætter med de næste to eksempler iht. skemaet ovenfor. (Samme fremgangsmåde som om formiddagen... ) : Afrunding i auditorium 2 af fælles problemer med emnerne (kan aflyses hvis der ej er behov). Onsdag 8. juni mødes vi i auditorium 2 klokken NB! NB!! Det er vigtigt for jeres præsentationer at kæde teorien og praktikken sammen. Dels for at spare tid, dels for at vise et godt overblik over sagerne. Diskuter i grupperne om det er tiden eller overblikket, der er vigtigst for at fremlæggelsen gør sig godt! 1

2. gang. Det bliver den 18. februar, idet jeg er på ferie den 11/2. Med venlig hilsen Jon Johnsen

2. gang. Det bliver den 18. februar, idet jeg er på ferie den 11/2. Med venlig hilsen Jon Johnsen LINEÆR ALGEBRA 31. januar 2003 Oversigt nr. 1 I kurset i skal vi bruge D. C. Lay: Linear algebra and its applications, 3. udgave Addison Wesley 2003. Udtrykt meget groft gennemgås kapitel 1 3. Som regel

Læs mere

D. C. Lay: Linear algebra and its applications, Third Edition Update, Addison Wesley;

D. C. Lay: Linear algebra and its applications, Third Edition Update, Addison Wesley; LINEÆR ALGEBRA 2. februar 2007 Oversigt nr. 1 I kurset i skal vi bruge D. C. Lay: Linear algebra and its applications, Third Edition Update, Addison Wesley; man kan også anvende Third Edition (men ej anden

Læs mere

D. C. Lay: Linear algebra and its applications, Third Edition Update, Addison Wesley;

D. C. Lay: Linear algebra and its applications, Third Edition Update, Addison Wesley; LINEÆR ALGEBRA 1. februar 2008 Oversigt nr. 1 I kurset Lineær Algebra skal vi bruge D. C. Lay: Linear algebra and its applications, Third Edition Update, Addison Wesley; man kan også anvende Third Edition

Læs mere

Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning

Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning Chapter 3 Modulpakke 3: Egenværdier 3.1 Indledning En vektor v har som bekendt både størrelse og retning. Hvis man ganger vektoren fra højre på en kvadratisk matrix A bliver resultatet en ny vektor. Hvis

Læs mere

Besvarelser til Lineær Algebra med Anvendelser Ordinær Eksamen 2016

Besvarelser til Lineær Algebra med Anvendelser Ordinær Eksamen 2016 Besvarelser til Lineær Algebra med Anvendelser Ordinær Eksamen 206 Mikkel Findinge http://findinge.com/ Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan.

Læs mere

Lineær algebra: Egenværdier, egenvektorer, diagonalisering

Lineær algebra: Egenværdier, egenvektorer, diagonalisering Lineær algebra: Egenværdier, egenvektorer, diagonalisering Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2011 Egenvektorer og egenværdier Mål: Forståelse af afbildningen x Ax fra R n R n for en n n-matrix

Læs mere

(Prøve)eksamen i Lineær Algebra

(Prøve)eksamen i Lineær Algebra (Prøve)eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt bestaår af 9 nummererede sider med ialt 15 opgaver.

Læs mere

Prøveeksamen A i Lineær Algebra

Prøveeksamen A i Lineær Algebra Prøveeksamen A i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Der må gøres brug af bøger, noter mv Der må ikke benyttes lommeregner,

Læs mere

2010 Matematik 2A hold 4 : Prøveeksamen juni 2010

2010 Matematik 2A hold 4 : Prøveeksamen juni 2010 1 of 7 31-05-2010 13:18 2010 Matematik 2A hold 4 : Prøveeksamen juni 2010 Welcome Jens Mohr Mortensen [ My Profile ] View Details View Grade Help Quit & Save Feedback: Details Report [PRINT] 2010 Matematik

Læs mere

Figur. To ligninger i to ubekendte. Definition Ved m lineære ligninger med n ubekendte forstås. Definition 6.4 Givet ligningssystemet

Figur. To ligninger i to ubekendte. Definition Ved m lineære ligninger med n ubekendte forstås. Definition 6.4 Givet ligningssystemet Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer smængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen Enten-eller

Læs mere

Eksamen i Lineær Algebra

Eksamen i Lineær Algebra Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Tirsdag den 4 januar, 2 Kl 9-3 Nærværende eksamenssæt består af 8 nummererede

Læs mere

Lineær Algebra, kursusgang

Lineær Algebra, kursusgang Lineær Algebra, 2014 12. kursusgang Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet LinAlg November 2014 Om miniprojekt 2 Kirchoffs love. Opstil lineære ligningssystemer og løs dem. 0-1-matricer.

Læs mere

Matematik og FormLineære ligningssystemer

Matematik og FormLineære ligningssystemer Matematik og Form Lineære ligningssystemer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2014 Ligningssystemer og matricer Til et ligningssystem svarer der en totalmatrix [A b] bestående af koefficientmatrix

Læs mere

Nøgleord og begreber. Definition 15.1 Den lineære 1. ordens differentialligning er

Nøgleord og begreber. Definition 15.1 Den lineære 1. ordens differentialligning er Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave

Læs mere

Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17

Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave

Læs mere

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P

Læs mere

Lineær Algebra eksamen, noter

Lineær Algebra eksamen, noter Lineær Algebra eksamen, noter Stig Døssing, 20094584 June 6, 2011 1 Emne 1: Løsninger og least squares - Løsning, ligningssystem RREF (ERO) løsninger Bevis at RREF matrix findes Løsninger til system (0,

Læs mere

Lineær algebra 1. kursusgang

Lineær algebra 1. kursusgang Lineær algebra 1. kursusgang Eksempel, anvendelse To kendte punkter A og B på en linie, to ukendte punkter x 1 og x 2. A x 1 x 2 B Observationer af afstande: fra A til x 1 : b 1 fra x 1 til x 2 : b 2 fra

Læs mere

Matematik og Form 3. Rækkereduktion til reduceret echelonfo. Rang og nullitet

Matematik og Form 3. Rækkereduktion til reduceret echelonfo. Rang og nullitet Matematik og Form 3. Rækkereduktion til reduceret echelonform Rang og nullitet Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 11.2.2013 Reduktion til (reduceret) echelonmatrix Et eksempel Et ligningssystem

Læs mere

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition Kursusgang 3 Repetition - froberg@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 16. september 2008 1/19 Betingelser for nonsingularitet af en Matrix

Læs mere

(Prøve)eksamen i Lineær Algebra

(Prøve)eksamen i Lineær Algebra (Prøve)eksamen i Lineær Algebra Maj 016 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 10 nummererede sider med ialt

Læs mere

Lineær Algebra - Beviser

Lineær Algebra - Beviser Lineær Algebra - Beviser Mads Friis 8 oktober 213 1 Lineære afbildninger Jeg vil i denne note forsøge at give et indblik i, hvor kraftfuldt et værktøj matrix-algebra kan være i analyse af lineære funktioner

Læs mere

Tidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra

Tidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet Tidligere Eksamensopgaver MM55 Lineær Algebra Indhold Typisk forside.................. 2 Juni 27.................... 3 Oktober 27..................

Læs mere

Lineær algebra: Spænd. Lineær (u)afhængighed

Lineær algebra: Spænd. Lineær (u)afhængighed Lineær algebra: Spænd. Lineær (u)afhængighed Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2011 Linearkombinationer. Spænd Definition Givet et antal vektorer a 1,..., a p R n. En vektor v = c 1 a 1

Læs mere

Matematik for økonomer 3. semester

Matematik for økonomer 3. semester Matematik for økonomer 3. semester cand.oecon. studiet, 3. semester Planchesæt 2 - Forelæsning 3 Esben Høg Aalborg Universitet 10. september 2009 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Esben

Læs mere

Eksamen i Lineær Algebra

Eksamen i Lineær Algebra To find the English version of the exam, please read from the other end Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Fredag

Læs mere

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer enote enote Kvadratiske matricer I denne enote undersøges grundlæggende egenskaber ved mængden af kvadratiske matricer herunder indførelse af en invers matrix for visse kvadratiske matricer. Det forudsættes,

Læs mere

Eksamen i Lineær Algebra

Eksamen i Lineær Algebra To find the English version of the exam, please read from the other end Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Onsdag

Læs mere

Det Ingeniør-, Natur- og Sundhedsvidenskabelige basisår Matematik 2A, Forår 2007, Hold 4 Opgave A Kommenteret version

Det Ingeniør-, Natur- og Sundhedsvidenskabelige basisår Matematik 2A, Forår 2007, Hold 4 Opgave A Kommenteret version Det Ingeniør-, Natur- og Sundhedsvidenskabelige basisår Matematik 2A, Forår 2007, Hold 4 Opgave A Kommenteret version Opgaven består af et antal delopgaver Disse er af varierende omfang Der er også en

Læs mere

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer Chapter 4 Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer 4. Homogene systemer I teknikken møder man meget ofte modeller der leder til systemer af koblede differentialligninger. Et eksempel på et sådant system

Læs mere

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition Kursusgang 3 Repetition - froberg@mathaaudk http://peoplemathaaudk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12 september 2008 1/12 Lineære ligningssystemer Et lineært ligningssystem

Læs mere

Lineær Algebra F08, MØ

Lineær Algebra F08, MØ Lineær Algebra F08, MØ Vejledende besvarelser af udvalgte opgaver fra Ugeseddel 3 og 4 Ansvarsfraskrivelse: Den følgende vejledning er kun vejledende. Opgaverne kommer i vilkårlig rækkefølge. Visse steder

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM02)

Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM02) SYDDANSK UNIVERSITET ODENSE UNIVERSITET INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM2) Fredag d. 2. januar 22 kl. 9. 3. 4 timer med alle sædvanlige skriftlige

Læs mere

Eksamen i Lineær Algebra

Eksamen i Lineær Algebra Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Onsdag den. januar,. Kl. 9-3. Nærværende eksamenssæt består af 8 nummererede

Læs mere

Kursusgang 3 Matrixalgebra fortsat

Kursusgang 3 Matrixalgebra fortsat Kursusgang 3 fortsat - froberg@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12. september 2008 1/31 Nødvendige betingelser En nødvendig betingelse

Læs mere

Eksamen i Lineær Algebra

Eksamen i Lineær Algebra Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Tirsdag den 8 januar, Kl 9- Nærværende eksamenssæt består af 8 nummererede sider

Læs mere

DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II

DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II Preben Alsholm Efterår 21 1 Lineære differentialligningssystemer 11 Lineært differentialligningssystem af første orden Lineært differentialligningssystem

Læs mere

Nøgleord og begreber

Nøgleord og begreber Oversigt [LA] 9 Nøgleord og begreber Helt simple determinanter Determinant defineret Effektive regneregler Genkend determinant nul Test determinant nul Produktreglen Inversreglen Test inversregel og produktregel

Læs mere

MATEMATIK 1A MATEMATISK ANALYSE 12. november 2009 Oversigt nr. 1

MATEMATIK 1A MATEMATISK ANALYSE 12. november 2009 Oversigt nr. 1 MATEMATISK ANALYSE 12. november 2009 Oversigt nr. 1 På hold 3 fortsætter vi med integration i flere variable i uge 47. Man kan med fordel repetere kapitel 13.4 og 13.5 og deri regne sandt/falsk opgaverne

Læs mere

I kurset Samhørende og partielle differentialligninger vil vi i foråret 2006 benytte bogen

I kurset Samhørende og partielle differentialligninger vil vi i foråret 2006 benytte bogen S.&P. DIFFERENTIALLIGNINGER 2. februar 2006 Oversigt nr. 1 I kurset Samhørende og partielle differentialligninger vil vi i foråret 2006 benytte bogen [EP] Elementary differential equations with boundary

Læs mere

Lineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl

Lineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl Lineær Algebra Lars Hesselholt og Nathalie Wahl Oktober 2016 Forord Denne bog er beregnet til et første kursus i lineær algebra, men vi har lagt vægt på at fremstille dette materiale på en sådan måde,

Læs mere

Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Forelæsningsnote 8. (NB: Noten er ikke en del af pensum)

Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Forelæsningsnote 8. (NB: Noten er ikke en del af pensum) Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet Lineær Algebra LinAlg Forelæsningsnote 8 NB: Noten er ikke en del af pensum Eksempel på brug af egenværdier og egenvektorer Måske er det stadig

Læs mere

Matematik: Struktur og Form Spænd. Lineær (u)afhængighed

Matematik: Struktur og Form Spænd. Lineær (u)afhængighed Matematik: Struktur og Form Spænd. Lineær (u)afhængighed Martin Raussen Department of Mathematical Sciences Aalborg University 2017 1 / 8 Linearkombinationer. Spænd Definition Givet et antal vektorer a1,...,

Læs mere

Lineær algebra: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære

Lineær algebra: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære Lineær algebra: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2011 Matrixmultiplikation Definition Definition A = [a ij ], B = [b ij ]: AB = C =

Læs mere

Matematik og Form: Matrixmultiplikation. Regulære og singu

Matematik og Form: Matrixmultiplikation. Regulære og singu Matematik og Form: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2012 Matrixmultiplikation Definition Definition A = [a ij ], B = [b ij ]: AB = C

Læs mere

Sylvesters kriterium. Nej, ikke mit kriterium. Sætning 9. Rasmus Sylvester Bryder

Sylvesters kriterium. Nej, ikke mit kriterium. Sætning 9. Rasmus Sylvester Bryder Sætning 9 Sylvesters kriterium Nej, ikke mit kriterium Rasmus Sylvester Bryder Inspireret af en statistikers manglende råd om hvornår en kvadratisk matrix er positivt definit uden at skulle ud i at bestemme

Læs mere

Oversigt [LA] 6, 7, 8

Oversigt [LA] 6, 7, 8 Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer Løsningsmængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen

Læs mere

Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination

Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination Preben Alsholm 18 februar 008 1 Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination 11 Et eksempel Et eksempel 100g mælk Komælk Fåremælk Gedemælk Protein g 6g 8g

Læs mere

9.1 Egenværdier og egenvektorer

9.1 Egenværdier og egenvektorer SEKTION 9.1 EGENVÆRDIER OG EGENVEKTORER 9.1 Egenværdier og egenvektorer Definition 9.1.1 1. Lad V være et F-vektorrum; og lad T : V V være en lineær transformation. λ F er en egenværdi for T, hvis der

Læs mere

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære

Læs mere

Eksempler Determinanten af en kvadratisk matrix. Calculus Uge

Eksempler Determinanten af en kvadratisk matrix. Calculus Uge Oversigt [LA] 8 Her skal du lære om 1. Helt simple determinanter 2. En udvidelse der vil noget 3. Effektive regneregler 4. Genkend determinant nul 5. Produktreglen 6. Inversreglen 7. Potensreglen 8. Entydig

Læs mere

DesignMat. Preben Alsholm. September Egenværdier og Egenvektorer. Preben Alsholm. Egenværdier og Egenvektorer

DesignMat. Preben Alsholm. September Egenværdier og Egenvektorer. Preben Alsholm. Egenværdier og Egenvektorer DesignMat September 2008 fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden I Lad V være et vektorrum over L (enten R eller C). fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden I Lad V være et vektorrum

Læs mere

Ølopgaver i lineær algebra

Ølopgaver i lineær algebra Ølopgaver i lineær algebra 30. maj, 2010 En stor del af de fænomener, vi observerer, er af lineær natur. De naturlige matematiske objekter i beskrivelsen heraf bliver vektorrum rum hvor man kan lægge elementer

Læs mere

Egenværdier og egenvektorer

Egenværdier og egenvektorer enote 9 enote 9 Egenværdier og egenvektorer Denne note indfører begreberne egenværdier og egenvektorer for lineære afbildninger i vilkårlige generelle vektorrum og går derefter i dybden med egenværdier

Læs mere

Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.

Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix. Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers

Læs mere

Nøgleord og begreber. Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.

Nøgleord og begreber. Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix. Oversigt [LA] 3, 4, 5 Matrix multiplikation Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse

Læs mere

Forslag til hjemmeopgaver, som forbereder arbejdet med de nye emner den pågældende kursusgang, men primært er baseret på gymnasiepensum:

Forslag til hjemmeopgaver, som forbereder arbejdet med de nye emner den pågældende kursusgang, men primært er baseret på gymnasiepensum: Forslag til hjemmeopgaver, som forbereder arbejdet med de ne emner den pågældende kursusgang, men primært er baseret på gmnasiepensum: Ordinær kursusgang : Introduktion til vektorer og matricer. Regning

Læs mere

Oversigt [LA] 3, 4, 5

Oversigt [LA] 3, 4, 5 Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers

Læs mere

DesignMat Uge 2. Preben Alsholm. Efterår Lineære afbildninger. Preben Alsholm. Lineære afbildninger. Eksempel 2 på lineær.

DesignMat Uge 2. Preben Alsholm. Efterår Lineære afbildninger. Preben Alsholm. Lineære afbildninger. Eksempel 2 på lineær. er DesignMat Uge 2 er er lineær lineær lineær lineære er I smatrix lineære er II smatrix I smatrix II Efterår 2010 Lad V og W være vektorrum over samme skalarlegeme L (altså enten R eller C for begge).

Læs mere

Forelæsningsnoter til. Lineær Algebra. Niels Vigand Pedersen. Udgivet af. Asmus L. Schmidt. Københavns Universitet Matematisk Afdeling

Forelæsningsnoter til. Lineær Algebra. Niels Vigand Pedersen. Udgivet af. Asmus L. Schmidt. Københavns Universitet Matematisk Afdeling Forelæsningsnoter til Lineær Algebra Niels Vigand Pedersen Udgivet af Asmus L Schmidt Københavns Universitet Matematisk Afdeling August Revideret 9 ii udgave, oktober 9 Forord Gennem en særlig aftale varetages

Læs mere

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra

Læs mere

Teoretiske Øvelsesopgaver:

Teoretiske Øvelsesopgaver: Teoretiske Øvelsesopgaver: TØ-Opgave 1 Subtraktion division i legemer: Er subtraktion division med elementer 0 i legemer veldefinerede, eller kan et element b have mere end ét modsat element -b eller mere

Læs mere

MATEMATIK 1 LINEÆR ALGEBRA OG DYNAMISKE SYSTEMER 2. september 2008 Oversigt nr. 1

MATEMATIK 1 LINEÆR ALGEBRA OG DYNAMISKE SYSTEMER 2. september 2008 Oversigt nr. 1 LINEÆR ALGEBRA OG DYNAMISKE SYSTEMER 2. september 2008 Oversigt nr. 1 I PE-kurset i skal vi bruge [A] Sheldon Axler: Linear algebra done right, 2nd ed., Springer. [AB] K. G. Andersson og L.-C. Böiers:

Læs mere

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.

Læs mere

3.1 Baser og dimension

3.1 Baser og dimension SEKTION 3 BASER OG DIMENSION 3 Baser og dimension Definition 3 Lad V være et F-vektorrum Hvis V = {0}, så har V dimension 0 2 Hvis V har en basis bestående af n vektorer, så har V dimension n 3 Hvis V

Læs mere

Løsninger til udvalgte Eksamensopgaver i Lineær Algebra Juni 2000 og Juni 2001.

Løsninger til udvalgte Eksamensopgaver i Lineær Algebra Juni 2000 og Juni 2001. Løsninger til udvalgte Eksamensopgaver i Lineær Algebra Juni og Juni. Preben Alsholm 9. november 9 Juni Opgave 3 f : P (R) R 3 er givet ved f (P (x)) P () a + P () b, hvor a (,, ) og b (, 3, ). Vi viser,

Læs mere

Nøgleord og begreber Separable ligninger 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens lineært system Opgave

Nøgleord og begreber Separable ligninger 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens lineært system Opgave Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 14, 15 Nøgleord og begreber Separable ligninger 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens lineært system Opgave Calculus 2-2005

Læs mere

Lineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl

Lineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl Lineær Algebra Lars Hesselholt og Nathalie Wahl 2. udgave, oktober 207 Forord Denne bog er beregnet til et første kursus i lineær algebra, men vi har lagt vægt på at fremstille dette materiale på en sådan

Læs mere

Matrx-vektor produkt Mikkel H. Brynildsen Lineær Algebra

Matrx-vektor produkt Mikkel H. Brynildsen Lineær Algebra Matrx-vektor produkt [ ] 1 2 3 1 0 2 1 10 4 Rotationsmatrix Sæt A θ = [ ] cosθ sinθ sinθ cosθ At gange vektor v R 2 med A θ svarer til at rotere vektor v med vinkelen θ til vektor w: [ ][ ] [ ] [ ] cosθ

Læs mere

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære

Læs mere

1 Vektorrum. MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 4. oktober Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier

1 Vektorrum. MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 4. oktober Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 4. oktober 2017 Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier Grupperne forventes at regne de små opgaver i afsnittene 1 5 i løbet af de første 4 halve dage. Dernæst tilføjes

Læs mere

DesignMat Uge 11 Lineære afbildninger

DesignMat Uge 11 Lineære afbildninger DesignMat Uge Lineære afbildninger Preben Alsholm Forår 008 Lineære afbildninger. Definition Definition Lad V og W være vektorrum over samme skalarlegeme L (altså enten R eller C for begge). Afbildningen

Læs mere

x 2 + y 2 dx dy. f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) + 2 1) Angiv en ligning for tangentplanen til fladen z = f(x, y) i punktet

x 2 + y 2 dx dy. f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) + 2 1) Angiv en ligning for tangentplanen til fladen z = f(x, y) i punktet Eksamensopgaver fra Matematik Alfa 1 Naturvidenskabelig Kandidateksamen August 1999. Matematik Alfa 1 Opgave 1. Udregn integralet 1 1 y 2 (Vink: skift til polære koordinater.) Opgave 2. Betragt funktionen

Læs mere

Indhold. 5. Vektorrum og matricer Koordinattransformationer

Indhold. 5. Vektorrum og matricer Koordinattransformationer Indhold Lineære afbildninger og matricer Talrummene R n, C n Matricer 8 3 Lineære afbildninger 4 Matrix algebra 8 5 Invers matrix 6 6 Transponeret og adjungeret matrix 9 Række- og søjleoperationer Lineære

Læs mere

To ligninger i to ubekendte

To ligninger i to ubekendte Oversigt [LA] 6, 7 Nøgleord og begreber Løs ligninger Eliminer ubekendte Rækkereduktion Reduceret matrix Enten-eller princippet Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Beregn invers matrix Calculus

Læs mere

Oversigt [LA] 6, 7, 8

Oversigt [LA] 6, 7, 8 Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer Løsningsmængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen

Læs mere

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2 Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket

Læs mere

Oversigt [LA] 11, 12, 13

Oversigt [LA] 11, 12, 13 Oversigt [LA] 11, 12, 13 Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Projektion på 1 vektor Projektion på basis Kortest afstand August 2002, opgave 6 Tømrermester Januar

Læs mere

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer Chapter 1 Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer 1.1 Indledning - typer af ligningesystemer og løsninger Den lineære ligning 2x=3 kan løses umiddelbart ved at dividere med 2 på begge sider, så vi får:

Læs mere

Besvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7

Besvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7 Besvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7 De anførte besvarelser er til dels mere summariske end en god eksamensbesvarelse bør være. Der kan godt være fejl i - jeg vil meget gerne informeres,

Læs mere

LinAlg 2013 Q3. Tobias Brixen Mark Gottenborg Peder Detlefsen Troels Thorsen Mads Buch 2013

LinAlg 2013 Q3. Tobias Brixen Mark Gottenborg Peder Detlefsen Troels Thorsen Mads Buch 2013 LinAlg 2013 Q3 Tobias Brixen Mark Gottenborg Peder Detlefsen Troels Thorsen Mads Buch 2013 1 Lineær algebra Dispositioner - Dispo 0 2013 Contents 1 Løsninger, og MKL, af lineære ligningssystemer 3 2 Vektorrum

Læs mere

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Oversigt [LA], 2, 3, [S] 9.-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis

Læs mere

MATEMATIK 1 LINEÆR ALGEBRA OG DYNAMISKE SYSTEMER 1. september 2009 Oversigt nr. 1

MATEMATIK 1 LINEÆR ALGEBRA OG DYNAMISKE SYSTEMER 1. september 2009 Oversigt nr. 1 LINEÆR ALGEBRA OG DYNAMISKE SYSTEMER 1. september 2009 Oversigt nr. 1 I PE-kurset i skal vi bruge [A] Sheldon Axler: Linear algebra done right, 2nd ed., Springer. [P] Lawrence Perko: Differential equations

Læs mere

LINALG JULENØD 2013 SUNE PRECHT REEH

LINALG JULENØD 2013 SUNE PRECHT REEH LINALG JULENØD 203 SUNE PRECHT REEH Resumé I denne julenød skal vi se på lineær algebra for heltallene Z Hvad går stadig godt? og hvad går galt? I de reelle tal R kan vi for ethvert a 0 altid finde R som

Læs mere

Matematik H1. Lineær Algebra

Matematik H1. Lineær Algebra Matematik H Forelæsningsnoter til Lineær lgebra Niels Vigand Pedersen Udgivet af smus L Schmidt Københavns Universitet Matematisk fdeling ugust ii oplag, juli 4 Forord Gennem en særlig aftale varetages

Læs mere

MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA 2. september 2016 Oversigt nr. 1

MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA 2. september 2016 Oversigt nr. 1 LINEÆR ALGEBRA 2. september 2016 Oversigt nr. 1 Lærebøgerne for kurset er [LNS]Linear algebra as an introduction to abstract mathematics, af I. Lankham, B. Nachtergaele og A. Schilling, Lecture notes for

Læs mere

DesignMat Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination

DesignMat Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination DesignMat Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination Preben Alsholm Uge Forår 010 1 Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination 11 Om talrummet R n Om talsæt bestående af n tal R n er blot mængden

Læs mere

Vektorrum. enote Generalisering af begrebet vektor

Vektorrum. enote Generalisering af begrebet vektor enote 7 1 enote 7 Vektorrum I denne enote opstilles en generel teori for mængder, for hvilke der er defineret addition og multiplikation med skalar, og som opfylder de samme regneregler som geometriske

Læs mere

Lineær algebra: Lineære afbildninger. Standardmatricer

Lineær algebra: Lineære afbildninger. Standardmatricer Lineær algebra: Lineære afbildninger. Standardmatricer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2011 Lineære afbildninger En afbildning T : R n R m fra definitionsmængden R n ind i dispositionsmængden

Læs mere

1 Vektorrum. MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA 6. oktober 2016 Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier

1 Vektorrum. MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA 6. oktober 2016 Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA 6. oktober 2016 Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier Grupperne forventes at regne en mængde af opgaver, som tilsammen dækker 100 point. De små opgaver giver hver 5 point,

Læs mere

EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET.. Beregn den retningsafledede D u f(0, 0).

EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET.. Beregn den retningsafledede D u f(0, 0). EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x, y) = x cos(y) + y sin(x). ) Angiv gradienten f. 2) Lad u betegne

Læs mere

Vejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009

Vejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009 Vejledende besvarelse på august 29-sættet 2. december 29 Det følgende er en vejledende besvarelse på eksamenssættet i kurset Calculus, som det så ud i august 29. Den tjener primært til illustration af,

Læs mere

Eksempel 9.1. Areal = (a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 2a 2 b 1 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 = b 1 b 2

Eksempel 9.1. Areal = (a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 2a 2 b 1 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 = b 1 b 2 Oversigt [LA] 9 Nøgleord og begreber Helt simple determinanter Determinant defineret Effektive regneregler Genkend determinant nul Test determinant nul Produktreglen Inversreglen Test inversregel og produktregel

Læs mere

Biologisk model: Epidemi

Biologisk model: Epidemi C1.2 C.7 Se forklaring i Appendiks A 1, si. 9 Biologisk model: Epidemi af John V. Petersen 1. Biologisk model: Epidemi... si. 1 A. Appendiks A 1. Ligninger si. 1, forklaring... si. 9 A 2. Egenvektorer

Læs mere

Symmetriske og ortogonale matricer Uge 6

Symmetriske og ortogonale matricer Uge 6 Symmetriske og ortogonale matricer Uge 6 Preben Alsholm Efterår 2010 1 Symmetriske og ortogonale matricer 1.1 Skalarprodukt og Cauchy-Schwarz ulighed Skalarprodukt og Cauchy-Schwarz ulighed Det sædvanlige

Læs mere

Om første og anden fundamentalform

Om første og anden fundamentalform Geometri, foråret 2005 Jørgen Larsen 9. marts 2005 Om første og anden fundamentalform 1 Tangentrummet; første fundamentalform Vi betragter en flade S parametriseret med σ. Lad P = σu 0, v 0 være et punkt

Læs mere

MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 29. august 2017 Oversigt nr. 1

MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 29. august 2017 Oversigt nr. 1 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 9. august 017 Oversigt nr. 1 Lærebøgerne for kurset er [SA] Sheldon Axler, Linear algebra done right, 3. udgave, Springer 015. [AJ] Matrix factorizations, af Arne Jensen, Aalborg

Læs mere

Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Afleveringsopgave 4

Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Afleveringsopgave 4 Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet Lineær Algebra LinAlg Afleveringsopgave 4 Eventuelle besvarelser laves i grupper af 2-3 personer og afleveres i to eksemplarer med 3 udfyldte forsider

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 5 Morten Grud Rasmussen 19. september, 2013 1 Euler-Cauchy-ligninger [Bogens afsnit 2.5, side 71] 1.1 De tre typer af Euler-Cauchy-ligninger Efter at

Læs mere