Energioptag i buede solfangere

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Energioptag i buede solfangere"

Transkript

1 1 [= *00.0 Chicago Spire 2012 Energioptag i buede solfangere karsten.schmidt@mat.dtu.dk Køreplan Matematik 1 - FORÅR Baggrund Før 1900 var glashuse mest kendt fra botaniske haver, palmehuse osv., men under den funktionalistiske periode i første halvdel 1900-tallet forsøgte førende arkitekter sig med beboelseshuse i glas og stål. Det sunde menneske blev dyrket og skulle bo i lyse og gennemsigtige huse. Stilen skulle være enkel og ren, alle vinkler rette, og husene blev oftest bygget efter kasse-modeller. Under dette koncept blev der bygget smukke eksempler på glashuse, som tilhører verdensarkitekturen, men i tiden efter kom der masser af kedelige efterligninger som først og fremmest udnyttede at byggemetoden var billig og egnede sig for masseproduktion. Ofte havde husene dårligt indeklima, og der blev brugt masser af energi til ventilation og afkøling om sommeren. Der har været to ledende trends i glashusarkitekturen i årtiet efter 2000, dristige former og ambitiøse miljøkrav. På figuren ovenfor ses en af de smukkeste visioner, det aktuelle projekt Chicago Spire, planlagt til at være færdigt ca. 2012, og som hvis det realiseres, bliver verdens højeste beboelsesejendom. Ofte er ideen at glashusene via solenergi skal være energineutrale, og i nogle tilfælde (som fx det aktuelle projekt på Westminster Place i London, se nedenfor) skal de endda levere overskydende energi til omgivelserne. Forskningen i glastyper og belægninger er omfattende, der ønskes multitasking glasfacader der er smukke og medvirker til et sundt indeklima, som ofte har changerende farver og samtidigt skal virke som solceller. Det aktualiserer selvsagt spørgmålet om hvordan man beregner solenergioptaget i et dristigt formet glashus eller i en buet solfanger/solcelle, fx over en hel dag. Hvilket er emnet for dette projekt.

2 2 Besvarelserne af projektopgaven forventes illustreret med fx Maple, og man bedes bemærke at det kan vise sig helt nødvendigt at prioritere mellem de stillede opgaver. 2. Matematisk model I dette projekt arbejder vi med den følgende meget simple model. 1. Solfangerens placering Vi forestiller os at solfangeren er placeret på ækvator en jævndøgnsdag, og at solen derfor står op kl. 6:00, står lodret over huset kl. 12:00 og går ned kl. 18: Solens bane Vi lægger scenariet ind i et sædvanligt (x, y, z)-koordinatsystem, således at solfangeren placeres på (x, y)-planen. Solen ses kl. 6:00 ved enden af y-aksens positive del, kl. 12:00 ved enden af z-aksens positive del og kl. 18:00 ved enden af y-aksens negative del. 3. Solstrålingen Bestrålingen fra solen repræsenteres af et vektorfelt, et system af parallelle enhedsvektorer, rettet fra solen mod solfangeren. Himlen er skyfri, og vi ser væk fra irradiation og bøjning af strålerne som følge af deres passage gennem atmosfæren etc. 4. Energioptaget Vi antager at energioptaget E(t) til tiden t er proportionalt med den indadgående flux, som betegnes B + (t). Hermed menes mere præcist fluxen til tiden t gennem den del af solfangerfladen hvorpå vinklen mellem solvektorfeltet og fladens indadgående normalenhedsvektor n er mindre end π 2. For nemhed skyld (og uden at det ændrer opgavens indhold) vil vi i det følgende forudsætte at proportionalitetsfaktoren er lig med tallet 1. Vi antager med andre ord at B + (t) = E(t). 5. Solfangerfladens repræsentation I langt de fleste tilfælde vil vi lade solfangeren repræsentere af en passende injektiv, næsten overalt differentiabel, parametriseret flade i rummet. Opgave 1 1. Begrund at man med rimelighed kan beskrive solvektorfeltet ved V(x, y, z) = (0, cos(t), sin(t) ) hvor t [0, π]. 2. Bestem de eksakte værdier af t for hvilke klokken er henholdvis 9:00, 10:00 og 17: Diskutér de øvrige modelantagelser.

3 3 3. Solfangere bygget af plane flader De mest almindelige solfangere består af bare én plan flade. De ses jo ofte i villakvarterne, hvor der er indsat en optimistisk rektangulær solfanger eller solcelle i husets tag. Andre eksempler på denne type er glashuse der er bygget efter kassemodel, i København har vi fx det aften-illuminerede Koncerthuset. I verdens første glas-hovedbanegård i Berlin ses der dristige vinkler mellem plane flader afvekslende med enkeltkrummede overdækninger. Københavns Koncerthuset 2008 Berlin Hauptbahnhof 2008 I den følgende opgave skal vi undersøge et simplet drivhus, formet som et spejdertelt: Opgave 2 Under de nævnte modelbetingelser består en solfanger af to skrå plane flader, hvoraf den første er udspændt mellem de fire punkter (1, 1, 0), (0, 1, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 0) og den anden mellem (0, 1, 1), ( 1, 1, 0), ( 1, 1, 0), (0, 1, 1). Solfangerens gavle anses som neutrale, og medtages ikke i beregningerne. 1. Bestem for et vilkårligt t den indadgående flux B + (t) for hver af fladerne. Bestem herefter det samlede energioptag E total for solfangeren for hele dagen. 2. Solfangeren drejes nu vinklen π 2 omkring z-aksen, således at solfangerens ryg er parallel med x-aksen. Bestem igen for et vilkårligt t den indadgående flux B + (t) for hver af fladerne. Bestem herefter det samlede energioptag E total for hele dagen. 3. Til sidst drejes solfangeren således at dens ryg danner en vinkel s med x-aksen. Find det kritiske tidspunkt t 0 for hver af fladerne hvor fladen veksler fra at ligge i skygge til at være solbelyst eller omvendt. Bestem herefter E total som funktion af s [ 0; π ] 2, og plot denne funktion.

4 4. 4. Enkeltkrummede solfangere Solfangeren i opgave 2 er et af de simpelste eksempler på enkeltkrummede flader. Denne type indeholder alle flader der populært sagt kun krummer på den ene led, og som kan tænkes bukket at et ark papir uden at man krøller papiret. Der findes overalt i verden eksempler på glashuse, som helt eller delvist består af enkeltkrummede flader, her er et nogle eksempler. Til venstre Kew Garden i London og til højre et parti fra lufthavnen i Bangkok. London 1846 Bangkok Airport 2006 En enkeltkrummet flade kan alternativt karakteriseres som en cylinderflade hvis ledekurve/profilkurve er givet i en plan, som indeholder z-aksen, og hvis frembringere står vinkelret på ledekurven. Opgave 3 Vi betragter en solfanger som er en cylinderflade, hvis ledekurve i (x, z)-planen har ligningen z = 1 x 2, og som opfylder x [ 1; 1 ] og y [ 1; 1 ]. 1. Angiv en parameterfremstilling for cylinderfladen, og bestem et udtryk for dens indadgående enhedsnormalvektor n. 2. Bestem for et vilkårligt t den indadgående flux B + (t) for solfangeren. Bestem herefter det samlede energioptag E total for solfangeren for hele dagen. 3. Solfangeren drejes nu vinklen π 2 omkring z-aksen, således at solfangerens ledekurve nu er parallel med y-aksen. Hvordan ser parameterfremstillingen nu ud? Bestem for ethvert t den indadgående flux B + (t) for solfangeren. Bestem herefter det samlede energioptag E total for hele dagen.

5 5 4. Til sidst drejes solfangeren således at ledekurven danner en vinkel s med x-aksen. Bestem herefter et eksakt udtryk for E total som funktion af s [ 0; π ] 2, og plot denne funktion. Vink: Man kan evt. vælge at fastholde parameterfremstillingen fra spørgsmål 1, og i stedet forestille sig at den lodrette plan som solen bevæger sig i, drejes vinklen s med uret omkring z-aksen, hvorved vektorfeltet V bliver afhængigt af både s og t. 5. Solfangere som er omdrejningsflader Runde glashuse er næppe så praktiske som dem der står på et rektangulært fundament, men de har været populære som have- og prydhuse, og nu ser man også skyskrabere som med geometerens blik kan karakteriseres som omdrejningsflader. Her er eksempler på glashuse med de nævnte funktioner og kvaliteter: Palmehuset Kbh 1874 Gherkin London 2003 I den følgende opgave vil vi overveje hvordan vi skal skære en solfanger ud af en glaskugle for at optimere dagens samlede energiudbytte.

6 6 Opgave 4 En solfanger A har form som enhedshalvkuglefladen, dvs. den del af enhedskuglefladen med ligningen x 2 + y 2 + z 2 = 1 som ligger over (x, y)-planen. En anden solfanger B er en kuglekalot, den består af den del af enhedskuglefladen med ligningen x 2 + y 2 + (z )2 = 1 som ligger over (x, y)-planen. Endelig er en tredje solfanger C den del af enhedskuglefladen med ligningen x 2 + y 2 + (z 1 2 )2 = 1 som ligger over (x, y)-planen. 1. Bestem for hver af de tre solfangere B + (t) på et vilkårligt tidspunkt af dagen, og bestem derefter E total for hver af de tre solfangere. 2. Hvilken af solfangerne A, B og C giver det største totale energioptag pr. dag pr. areal (dvs i forhold til solfangernes areal)? En af de store udfordringer i beregningerne indtil nu, er at afgøre hvordan man til bestemte tidspunkter finder grænsen mellem beskygget og beskinnet område på solfangeren, heraf afhænger jo de områder der skal integreres over. I visse tilfælde kan man med fordel indrette sin parametrisering (eller reparamterisere) således at det ene sæt koordinatkurver følger grænsen mellem lys og skygge på fladen. På figuren nedenfor er dette sæt koordinatkurver tegnet på en halvellipsoide. Parametriseret efter skyggegrænsen Hver af solfangerne vi har arbejdet med, kræver sin særlige inspektion eller beregning af skyggegrænsen på fladen - og vi har endda kun arbejdet med geometrisk meget simple former. Er der mulighed for ved beregning af E total at komme ud over disse besværligheder? Det er den røde tråd i resten af projektopgaven. Vi starter med igen at se på enkeltkrummede soltage. Derefter gå vi løs på omdrejningsfladerne. Og til sidst skal vi se på hvad vi gør når de geometriske former er endnu mere avancerede.

7 7 6. Nyt blik på enkeltkrummede solfangere Vi skal nu betragte solfangere i planen! Det betyder at vi for en stund ikke betragter glasflader, men glaslinjer eller rettere solfangere som består af plane kurver. Nedenfor undersøges en enkelt ret glaslinje med længden x som er en del af en trekant-solfanger. Vi betragter den i tre forskellige situationer. Til venstre har den ret vinkel ind mod solfangeren, i midten spids og til højre stump: ret spids stump Vektorfeltet kan nu beskrives ved vektorfeltet V = ( cos(t), sin(t)) for t [ 0; π ]. Solens stråler kommer altså ind fra højre om morgenen, står lodret over huset ved middag og går ned til venstre om aftenen. Lad os beregne E(t) for fladen på figuren til venstre. Den indadgående enhedsnormalvektor er her n = ( 1, 0). Fluxintegranden V n er for et givet t konstant langs hele linjen. Vi har dermed følgende enkle resultat: π 2 E(t) = x V n = x cos(t) E total = x 0 cos(t)dt = x. Opgave 5 Bestem E total for glaslinjen i figuren i midten udtrykt ved x og xp, længden af glaslinjens projektion på grundlinjen (jordoverfladen). Det samme for figuren til højre. Vi afprøver nu to solfangere som er opbygget af to glaslinjer. De er for nemheds skyld indført i den samme figur nedenfor, men afprøves uafhængigt af hinanden. Deres grundlinjer ligger på jordlinjen mellem de to brændpunkter i en ellipse og deres toppunkter ligger på ellipsen. Den ene solfanger (den blå) udgør sammen med grundlinjen en ligebenet trekant, den anden (den grønne) udgør sammen med grundlinjen en stumpvinklet trekant. På figuren ses en morgensolstråle.

8 8 Ligebenet og stumpvinklet solfanger Opgave 6 1. Hvilken af de to solfangerne på figuren ovenfor har det største E total? 2. Hvilken af solfangerne har det største energioptag pr. glaslinjelængde? 3. Hvilken af solfangerne har det største areal (mest plads til tomaterne!) i forhold til E total? Herefter er vi rede til at betragte plane solfangere som er polygoner, som ikke nødvendigvis står på jorden, men kan svæve i luften eller understøttes af et stillads. På figuren nedenfor betragtes til venstre en glastrekant (alle tre sider er en glaslinje). Glasfirkanten til højre fremkommer af trekanten ved at siden c fjernes, og at der derefter foretages en konveks udvidelse af solfangeren med siderne d og e. Opgave 7 1. Angiv E total for hver af de to solfangere. 2. Antag nu at en plan solfanger er bygget som en vilkårlig lukket konveks stykkevis differentiabel glaskurve, som hviler eller ikke hviler på jorden. Overvej ud fra de foregående overvejelser E total for solfangeren, vi er på udkig efter et vigtigt resultat til brug i det følgende!

9 9 Opgave 8 Gå nu tilbage til parabelsolfangeren i opgave 3, spørgsmål 3. Hvordan kan vi verificere det resultat vi nåede frem til vha. de metoder, vi nu har udviklet for solfangere i planen? Opgave 9 Betragt igen situationen vedr. parabelsolfangeren i opgave 3, spørgsmål 4. Kan vi for enhver enkeltkrummet solfanger med rektangulær bund afgøre hvordan solfangeren skal drejes omkring z-aksen for at give maksimalt E total? 7. Nyt blik på solfangere som er omdrejningsflader Det totale energioptag i løbet af en dag for omdrejningsflader er generelt langt vanskeligere at beregne end for de enkeltkrummede. Vores undersøgelser nedenfor bygger på de såkaldt elliptiske funktioner, som historisk stammer fra den vanskelige opgave at bestemme kurvelængden af ellipser. At ellipser på en eller anden måde indgår i e- nergioptaget for omdrejningsflader, er måske ikke så overraskende, fra en skæv vinkel rammer solvektorfeltet de omdrejningscirkler, fladen populært sagt er opbygget af, som ellipser. Alligevel er de matematiske sammenhænge ikke nemme at gennemskue! Først ser vi på den integralformel, vi skal bruge til de numeriske beregninger. Bagefter skal vi se på hvordan formlen kan vises bl.a. med hjælp fra Maple. En solfanger O har form af en omdrejningsflade hvis meridiankurve i en (u, z)- plan er grafen for en (stykvis) differentiabel funktion z(u) for u [ 0 ; r ], som overalt i definitionsmængden opfylder z (u) 0. Der gælder da for E total af O: E total = r z 2u (π + 2 (u) 2 τ 2 dτ) du. 0 1 τ 2 Opgave 10 Afprøv integralformlen på fladen A og fladen B i Opgave 4. (Vink: Den funktion I bruger til meridiankurven for A er nok ikke differentiabel i u = 1, find resultatet ved at integrere næsten helt hen til u = 1). Et energiforbrugende silo-anlæg af et givet rumfang ønskes omsluttet af en parabolsk klimaskærm/solfanger således at der opnås maksimalt energioptag pr. arealenhed af klimaskærmen, dette er enmet for den følgende opgave.

10 10 Silo inddækket af parabolsk klimaskærm/solfanger Opgave 11 En nedadvendt omdrejningsparabloide har toppunkt i (x, y, z) = (0, 0, h), og dens bundcirkel er punktmængden {( x, y, z) x 2 + y 2 = 1 og z = 0 }. 1. Plot forholdet mellem solfangerens E total og dens overfladeareal som funktion højden h. 2. En cylinder med rumfang π 2 ønskes drejet om z-aksen, således at den har sin bundcirkel på (x, y)-planen, mens dens topcirkel rører parabloiden hele vejen rundt. Bestem parabloidens højde, samt cylinderens radius og højde, således at parabloiden opnår maksimalt E total pr. arealenhed. Angiv denne maksimal-værdi. Herefter følger nogle hints til hvordan integralformlen kan udledes. Først skal vi undersøge den enkleste af de elliptiske funktioner, den hedder i Maple s katalog EllipticE. Bemærk at EllipticE i Maple opskrives både som en funktion af én variabel og af to variable. Vi har i denne sammenhæng kun brug for den førstnævnte, men skal også se på konsekvenser af at vælge denne som en kompleks variabel. Opgave Undersøg ved hjælp af Maple funtionen EllipticE(x) for x R, kan den plottes, er den differentiabel, har den en stamkfuntion osv. Det samme med funktionen EllipticE(i x) for x R. 2. Bestem med hjælp fra Maple den eksakte værdi af E total for en opretstående omdrejningskegle K som har højden h og bundradius r. Vink: Dette grundlæggende resultat

11 11 for omdrejningsflader er vi nødt til at finde ved elementær inspektion af de områder der skal integreres over på forskellige tidspunkter af dagen, med metoder svarende til de første opgaver. 3. Vi snitter nu omdrejningskeglen K i spørgsmål 2, to forskellige steder med en vandret plan og betragter den åbne keglesnitsring K der udgøres af den midterste, afsnittede del af omdrejningskeglen. Forskellen mellem K s bundradius og topradius kalder vi u. Bestem E total for K. Vejen frem mod integralformlen går via appproximation af omdrejningsflader med keglesnitsringe. På den følgende figur er der plottet en enkelt keglesnitsring, som fremkommer ved drejning af et tangentstykke til omdrejningsfladens meridiankurve. Opgave 13 Eftervis den benyttede integralformel. Vink: Find evt. først E total udtrykt ved EllipticE og anvend derefter definitionen i Maples online help på EllipticE(k) til én enkelt variabel, her kaldet k. 8. Lukkede konvekse solfangere Vi skal nu introducere vores generelle metode til numerisk bestemmelse af E(t) og E total for parametriserede lukkede konvekse solfangere. Her er nogle aktuelle glasfacader som hverken er opbygget efter enkeltkrummet model eller omdrejningsmodel:

12 12 Beijing Opera 2007 Westminster Place 2012 Metoden vi skal bruge, bygger på Gauss s divergensteorem. Det viser sig at solfangerens skygge fortæller en masse om solfangerens aktuelle energioptag. Hvis vi kender skyggens areal, kender vi energioptaget! Lad os tage udgangspunkt i en solfanger som har form af en keglesnitsflade, metoden vi introducerer kan derefter umiddelbart overføres til andre opgaver af denne type. Opgave 14 Et massivt område A i rummet er afgrænset af planen med ligningen z = 4 og af en keglesnitsflade som har ligningen x y2 + z = 5. En solfanger dannes af overfladen af A. Der er altså tale om en lukket flade. Den er af praktiske grunde og uden at ændre på den principielle situation hævet over jorden, dvs. over(x, y)- planen, med afstanden Bestem en parameterfremstilling for solfangeren (dvs. for hver af de to flader som den består af). 2. Lad OP være stedvektoren for et vilkårligt punkt P(x, y, z) i rummet og lad α t være en plan som går gennem Origo, og som til ethvert tidspunkt t har solvektorfeltet som normalvektor. Bestem koordinaterne for projektionen af OP på α t udtrykt ved x, y, z og t. 3. Plot solfangeren sammen med den vinkelrette projektion af solfangeren ned på α t, idet der vælges en testværdi af t. 4. Bestem arealet af solfangerens skygge på α t som funktion af t.

13 13 5. Gør ved hjælp af Gauss s divergenssætning rede for at B + (t) for solfangerhuset er lig med arealet af solfangerens skygge på α t. 6. Plot B + (t) som funktion af t, og bestem E total. Opgave 15 Vi udvider det solfangertag vi arbejdede med i opgave 3 til et solfangerhus, idet vi forsyner det med to lodrette gavle og en bund, således at hele det lukkede solfangerhus er potentielt energioptagende. Antag som i Opgave 3, spøgsmål 4, at huset er drejet omkring z-aksen med vinklen s (eller antag i det følgende alternativt og nemmere at solfeltet er drejet tilsvarende). Af praktiske grunde, og uden at ændre på den principielle situation, parallelforskyder vi solfangeren opad med 4 i z-aksens retning. 1. Bestem en parameterfremstilling for solfangerhuset (dvs. for hver af de fire flader som huset består af). 2. Lad OP være stedvektoren for et vilkårligt punkt P(x, y, z) i rummet og lad α t være en plan som går gennem Origo, og som til ethvert tidspunkt t har solvektorfeltet som normalvektor. Bestem koordinaterne for projektionen af OP på α t udtrykt ved x, y, z, t og s. 3. Plot for en valgt værdi af t og s solfangerhuset sammen med projektionen af dets fire dele ned på α t. Vink: Bestem først en parameterfremstilling for hver af de fire projektioner. 4. Plot E total for solfangerhuset som funktion af s og aflæs den værdi af s som giver maximalt energioptag. 5. Gør rede for at resultatet i Opgave 3, spørgsmål 4 kan reproduceres ved i udregningerne at se bort fra husets to gavle (således at solfangeren kun består af parabeltaget og bunden)! Opgave 16 En konveks lukket solfanger består af to flader givet ved parameterfremstillingerne 3 cos(v) 1 2 cos(u) og r 1 (u, v) = r 2 (u, v) = cos(v) cos(u) 3 sin(u) sin(v) 3 cos(v) 1 2 cos(u) cos(v) cos(u) 0 for u [ 0; π ] og v [ 0; π ], for u [ 0; π ] og v [ 0; π ].

14 14 1. Vi ønsker et plot af E(t). Vink: Disse beregninger begynder at bliver krævende selv for Maple. Derfor kan man her - og også i kommende opgaver - evt. gå frem ved at bestemme E(t) for en række værdier af t [ 0; π ] 2, og plotte grafen ved hjælp af de tilsvarende punkter. Hvornår på dagen er energioptaget størst? 2. Bestem E total for solfangeren. De sidste to opgaver handler om en omdrejningsflade der fremkommer ved drejning af en helt specielt plan figur, en såkaldt Reuleaux trekant. Reuleaux trekanten på figuren nedenfor til venstre er tegnet i (u, z)-planen vha. af tre cirkelbuestykker som har centre i ( 1, 0) henholdvis (1, 0) og (0, 3). Opgave Gør rede for at trekantens skygge på en ret linje som er vinkelret på det plane solvektorfelt, er konstant. 2. Gør rede for at den højre halvdel af Reuleaux trekanten er en kurve K som kan parametriseres ved: z 1 (u) = 4 (u + 1) 2 for u [ 0; 1 ] og z 2 (u) = 3 4 u 2 for u [ 0; 1 ].

15 15 3. Lad R betegne det omdrejningslegeme der opstår ved drejning af K omkring z-aksen. Overvej om R har konstant bredde, dvs: Hvis R placeres mellem to parallelle tangentplaner, er afstanden mellem tangentplanerne da den samme uanset hvilket sæt af parallelle tangentplaner der er valgt? 4. Er E(t) for R konstant i løbet af dagen? 5. Antag at vi ændrer R s position ved at dreje den en vilkårlig vinkel omkring en akse parallel med x-aksen. Vil E total for R da være uændret? Samme spørgsmål hvis vi drejer omkring en akse parallel med y-aksen. Opgave 18 Der skal i København rejses en solfanger af formen R (omdrejningsfladen fra forrige opgave med Reuleaux-trekanten som meridiankurve). Som udgangspunkt ønskes der maksimalt E total af R ved jævndøgn. 1. Først overvejes opstilling af R med lodret symmetriakse. Plot solfangerens energioptag ved jævndøgn som funktion af tiden, og illustrér evt. med en animation af R s skygge på Gauss-projektionsskærmen hen over dagen. Bestem E total. 2. Beskriv hvordan R positioneres optimalt, således at der opnås maksimalt E total ved jævndøgn i København. SLUT

Gradienter og tangentplaner

Gradienter og tangentplaner enote 16 1 enote 16 Gradienter og tangentplaner I denne enote vil vi fokusere lidt nærmere på den geometriske analyse og inspektion af funktioner af to variable. Vi vil især studere sammenhængen mellem

Læs mere

D = 0. Hvis rører parablen x- aksen i et enkelt punkt, dvs. den tilhørende andengradsligning

D = 0. Hvis rører parablen x- aksen i et enkelt punkt, dvs. den tilhørende andengradsligning Projekt 55 Andengradspolynomier af to variable Kvadratiske funktioner i to variable - de tre typer paraboloider f() = A + B + C, hvor A 0 Et andengradspolynomium i en variabel har en forskrift på formen

Læs mere

Andengradsligninger i to og tre variable

Andengradsligninger i to og tre variable enote 0 enote 0 Andengradsligninger i to og tre variable I denne enote vil vi igen beskæftige os med andengradspolynomierne i to og tre variable som også er behandlet og undersøgt med forskellige teknikker

Læs mere

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT.

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projektet kan bl.a. anvendes til et forløb, hvor en af målsætningerne er at lære om samspillet mellem værktøjsprogrammernes geometriske

Læs mere

Vektorfelter langs kurver

Vektorfelter langs kurver enote 25 1 enote 25 Vektorfelter langs kurver I enote 24 dyrkes de indledende overvejelser om vektorfelter. I denne enote vil vi se på vektorfelternes værdier langs kurver og benytte metoder fra enote

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. 1, og et punkt er givet ved: (2, 1)

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. 1, og et punkt er givet ved: (2, 1) Plangeometri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. Opgave 1 To linjer er givet ved ligningerne: x y 0 og x b y 4 0, hvor b er en konstant. a) Beregn konstanten b således,

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1).

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1). Plangeometri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over Opgave 1 To linjer er givet ved ligningerne: x y 0 og x b y 4 0, hvor b er en konstant a) Beregn konstanten b således,

Læs mere

Opgave 1 - Lineær Funktioner. Opgave 2 - Funktioner. Opgave 3 - Tredjegradsligning

Opgave 1 - Lineær Funktioner. Opgave 2 - Funktioner. Opgave 3 - Tredjegradsligning Sh*maa03 1508 Matematik B->A, STX Anders Jørgensen, delprøve 1 - Uden hjælpemidler Følgende opgaver er regnet i hånden, hvorefter de er skrevet ind på PC. Opgave 1 - Lineær Funktioner Vi ved, at år 2001

Læs mere

Matematik A-niveau 22. maj 2015 Delprøve 2. Løst af Anders Jørgensen og Saeid Jafari

Matematik A-niveau 22. maj 2015 Delprøve 2. Løst af Anders Jørgensen og Saeid Jafari Matematik A-niveau 22. maj 2015 Delprøve 2 Løst af Anders Jørgensen og Saeid Jafari Opgave 7 - Analytisk Plangeometri Delopgave a) Vi starter ud med at undersøge afstanden fra punktet P(5,4) til linjen

Læs mere

Analytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen

Analytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen Analtisk geometri Mike Auerbach Odense 2015 Den klassiske geometri beskæftiger sig med alle mulige former for figurer: Linjer, trekanter, cirkler, parabler, ellipser osv. I den analtiske geometri lægger

Læs mere

Aalborg Universitet - Adgangskursus. Eksamensopgaver. Matematik B til A

Aalborg Universitet - Adgangskursus. Eksamensopgaver. Matematik B til A Aalborg Universitet - Adgangskursus Eksamensopgaver Matematik B til A Undervisningsministeriet Universitetsafdelingen ADGANGSEKSAMEN Til ingeniøruddannelserne Matematik A xxdag den y.juni 00z kl. 9.00

Læs mere

Vektorer og lineær regression

Vektorer og lineær regression Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 03 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden

Læs mere

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.

Læs mere

Matematik A STX december 2016 vejl. løsning Gratis anvendelse - læs betingelser!

Matematik A STX december 2016 vejl. løsning  Gratis anvendelse - læs betingelser! Matematik A STX december 2016 vejl. løsning www.matematikhfsvar.page.tl Gratis anvendelse - læs betingelser! Opgave 1 Lineær funktion. Oplysningerne findes i opgaven. Delprøve 1: Forskrift Opgave 2 Da

Læs mere

Maj 2015 (alle opgaver og alle spørgsmål)

Maj 2015 (alle opgaver og alle spørgsmål) Maj 2015 (alle opgaver og alle spørgsmål) Alternativ besvarelse (med brug af Maple til beregninger, incl. pakker til VektorAnalyse2 og Integrator8). Ved eksamen er der ikke tid til f.eks. at lave illustrationer,

Læs mere

OPGAVE 1 Det nedenstående klip er fra et Maple-ark hvor en reel funktion f (x, y) med definitionsmængden (x,y) x 2 + y 2 < 1 } bliver undersøgt:

OPGAVE 1 Det nedenstående klip er fra et Maple-ark hvor en reel funktion f (x, y) med definitionsmængden (x,y) x 2 + y 2 < 1 } bliver undersøgt: DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Skriftlig prøve den 7. maj 00. Kursus Navn: Matematik (-timers prøve for forårssemesteret). Kursus nr. 0005 Tilladte hjælpemidler: Alle af DTU tilladte hjælpemidler må medbringes

Læs mere

HTX. Matematik A. Onsdag den 11. maj Kl GL111 - MAA - HTX

HTX. Matematik A. Onsdag den 11. maj Kl GL111 - MAA - HTX HTX Matematik A Onsdag den 11. maj 2011 Kl. 09.00-14.00 GL111 - MAA - HTX 1 2 Side 1 af 7 sider Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Ved valgopgaver må kun det anførte

Læs mere

Optimale konstruktioner - når naturen former. Opgaver. Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om topologioptimering

Optimale konstruktioner - når naturen former. Opgaver. Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om topologioptimering Opgaver Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om solsikke Opgave 1 Opgave 2 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om bobler Opgave 3 Opgave 4 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen

Læs mere

Matematik A 5 timers skriftlig prøve

Matematik A 5 timers skriftlig prøve Højere Teknisk Eksamen august 2009 HTX092-MAA Matematik A 5 timers skriftlig prøve Undervisningsministeriet Fredag den 28. august 2009 kl. 9.00-14.00 Side 1 af 9 sider Matematik A 2009 Prøvens varighed

Læs mere

Mere om differentiabilitet

Mere om differentiabilitet Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget

Læs mere

Maj 2013 (alle opgaver og alle spørgsmål)

Maj 2013 (alle opgaver og alle spørgsmål) Maj 2013 (alle opgaver og alle spørgsmål) Alternativ besvarelse (med brug af Maple til beregninger, incl. pakker til VektorAnalyse2 og Integrator8). Jeg gider ikke håndregne i de simple spørgsmål! Her

Læs mere

Matematiske hjælpemidler. Koordinater. 2.1 De mange bredder.

Matematiske hjælpemidler. Koordinater. 2.1 De mange bredder. 2. Matematiske hjælpemidler. Koordinater. 2.1 De mange bredder. 2.1 I Figur 1.1 i kapitel 1 er der vist et ideelt Kartesiske eller Euklidiske koordinatsystem, med koordinater ( X, Y, Z) = ( X 1, X 2, X

Læs mere

VEKTORGEOMETRI del 2 Skæringer Projektioner Vinkler Afstande

VEKTORGEOMETRI del 2 Skæringer Projektioner Vinkler Afstande VEKTORGEOMETRI del Skæringer Projektioner Vinkler Afstande x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Februar 019 ; Michael Szymanski ; mz@ghg.dk 1 Indhold OVERSIGT... 3 SKÆRINGSPUNKTER OG RØRINGSPUNKTER...

Læs mere

Eksamen maj 2018, Matematik 1, DTU

Eksamen maj 2018, Matematik 1, DTU Eksamen maj 2018, Matematik 1, DTU NB: Nedenstående udregninger viser flere steder mere end én metode. Det er der IKKE tid til eksamen! Ligeledes er der ikke krav om eller tid til at illustrere med plots!

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

INERTIMOMENT for stive legemer

INERTIMOMENT for stive legemer Projekt: INERTIMOMENT for stive legemer Formålet med projektet er at træne integralregning og samtidig se en ikke-triviel anvendelse i fysik. 0. Definition af inertimoment Inertimomentet angives med bogstavet

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Nasser 9. april 20 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.

Læs mere

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1 gudmandsen.net Ophavsret Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er fuldt ud

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj 2013 HTX Vibenhus

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni, 2013 HTX Vibenhus

Læs mere

GUX. Matematik. A-Niveau. Fredag den 29. maj 2015. Kl. 9.00-14.00. Prøveform b GUX151 - MAA

GUX. Matematik. A-Niveau. Fredag den 29. maj 2015. Kl. 9.00-14.00. Prøveform b GUX151 - MAA GUX Matematik A-Niveau Fredag den 9. maj 015 Kl. 9.00-14.00 Prøveform b GUX151 - MAA 1 Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Delprøven uden hjælpemidler består af opgaverne 1 til 6 med i alt 6 spørgsmål.

Læs mere

Undersøgelser af trekanter

Undersøgelser af trekanter En rød tråd igennem kapitlet er en søgen efter svar på spørgsmålet: Hvordan kan vi beregne os frem til længder, vi ikke kan komme til at måle?. Hvordan kan vi fx beregne højden på et træ eller et hus,

Læs mere

Matematik A. 5 timers skriftlig prøve. Højere Teknisk Eksamen i Grønland maj 2009 GLT091-MAA. Undervisningsministeriet

Matematik A. 5 timers skriftlig prøve. Højere Teknisk Eksamen i Grønland maj 2009 GLT091-MAA. Undervisningsministeriet Højere Teknisk Eksamen i Grønland maj 2009 GLT091-MAA Matematik A 5 timers skriftlig prøve Undervisningsministeriet Fredag den 29. maj 2009 kl. 9.00-14.00 Matematik A 2009 Prøvens varighed er 5 timer.

Læs mere

Matematik A-niveau STX 1. juni 2010 Øvelse DELPRØVE 1 & DELPRØVE 2

Matematik A-niveau STX 1. juni 2010 Øvelse DELPRØVE 1 & DELPRØVE 2 Matematik A-niveau STX 1. juni 2010 Øvelse DELPRØVE 1 & DELPRØVE 2 -----------------------------------------------------DELPRØVE 1------------------------------------------------------- Opgave 1 - Reduktion

Læs mere

Løsninger til øvelser i kapitel 1

Løsninger til øvelser i kapitel 1 Øvelse 1.1 Øvelse 1. Øvelse 1.3 Afspil animationerne og forklar med dine egne ord, hvad du ser. a) Afspil lydfilerne og forklar med dine egne ord, hvad du hører. Frekvenserne fordobles for hver oktav.

Læs mere

Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave B

Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave B Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Opgaven består af fire dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2015 til juni 2018 Institution VID gymnasier Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Uddannelsestid

Læs mere

Cirkulær hyperboloide (snoet trætårn i Camp Adventure ved Gisselfeld Kloster v/ Haslev)

Cirkulær hyperboloide (snoet trætårn i Camp Adventure ved Gisselfeld Kloster v/ Haslev) Cirkulær hyperboloide (snoet trætårn i Camp Adventure ved Gisselfeld Kloster v/ Haslev) https://en.wikipedia.org/wiki/quadric#euclidean_space Ligning og parametrisering https://en.wikipedia.org/wiki/hyperboloid

Læs mere

Kapitel 3 Lineære sammenhænge

Kapitel 3 Lineære sammenhænge Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk

Læs mere

Projekt 1.5: Tagrendeproblemet en modelleringsøvelse!

Projekt 1.5: Tagrendeproblemet en modelleringsøvelse! Projekt 1.5: Tagrendeproblemet en modelleringsøvelse! Det er velkendt at det største rektangel med en fast omkreds er et kvadrat. Man kan nemt illustrere dette i et værktøjsprogram ved at tegne et vilkårligt

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over.

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over. Opsamling Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over.. Brøkregning, parentesregneregler, kvadratsætningerne, potensregneregler og reduktion Udregn nedenstående

Læs mere

VEKTORGEOMETRI del 2 Skæringer Projektioner Vinkler Afstande

VEKTORGEOMETRI del 2 Skæringer Projektioner Vinkler Afstande VEKTORGEOMETRI del Skæringer Projektioner Vinkler Afstande x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indhold OVERSIGT... 3 SKÆRINGSPUNKTER OG RØRINGSPUNKTER... 4 Skæring med koordinatakser- og planer...

Læs mere

Matematik 1 Projekt. Energioptag i buede solfangere

Matematik 1 Projekt. Energioptag i buede solfangere Matematik 1 Projekt Energiotag i buede solfangere Solfanger 13 Andreas Feldt Poulsen (s1343) Lasse Blaabjerg (s13314) Thorbjørn Skovhus (s13464) Jakob Drachmann Havtorn (s13315) Karl Krøjer Toudahl (s1559)

Læs mere

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x)

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x) Integralregning 3 Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Opgave Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x) x i [,] drejes 36 om x-aksen. Vis,

Læs mere

Matematik A, STX. Vejledende eksamensopgaver

Matematik A, STX. Vejledende eksamensopgaver Matematik A, STX EKSAMENSOPGAVER Vejledende eksamensopgaver 2015 Løsninger HF A-NIVEAU AF SAEID Af JAFARI Anders J., Mark Af K. & Saeid J. Anders J., Mark K. & Saeid J. Kun delprøver 2 Kun delprøve 2,

Læs mere

Teorien. solkompasset

Teorien. solkompasset Teorien bag solkompasset Preben M. Henriksen 31. juli 2007 Indhold 1 Indledning 2 2 Koordinatsystemer 2 3 Solens deklination 4 4 Horisontalsystemet 5 5 Solkompasset 9 6 Appendiks 11 6.1 Diverse formler..............................

Læs mere

7. Rumgeometri med Derive

7. Rumgeometri med Derive 7. Rumgeometri med Derive Kapitel 7: Rumgeometri med Derive Det er afgjort tricket at frembringe gode 3-dimensionalle illustrationer på en PCskærm, men med Derive V er der gjort et rigtigt hæderligt forsøg

Læs mere

GUX. Matematik. A-Niveau. August 2015. Kl. 9.00-14.00. Prøveform a GUX152 - MAA

GUX. Matematik. A-Niveau. August 2015. Kl. 9.00-14.00. Prøveform a GUX152 - MAA GUX Matematik A-Niveau August 05 Kl. 9.00-4.00 Prøveform a GUX5 - MAA Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Prøven består af opgaverne til 0 med i alt 5 spørgsmål. De 5 spørgsmål indgår med lige vægt

Læs mere

1 Geometri & trigonometri

1 Geometri & trigonometri 1 Geometri & trigonometri 1.0.1 Generelle forhold Trigonometri tager sit udgangspunkt i trekanter, hvor der er visse generelle regler: vinkelsum areal A trekant = 1 2 h G A B C = 180 o retvinklet trekant

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2016til juni 2019 Institution VID gymnasier Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Uddannelsestid i

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet Matematik A Studentereksamen Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet st131-matn/a-6513 Mandag den 6 maj 13 Forberedelsesmateriale til st A Net MATEMATIK Der skal

Læs mere

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fra onsdag den 28. maj til torsdag den 29. maj 2008 Forord

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Projekt 2.5 Brændpunkt og ledelinje

Projekt 2.5 Brændpunkt og ledelinje Projekter. Kapitel. Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen

Læs mere

Eksamen maj 2019, Matematik 1, DTU

Eksamen maj 2019, Matematik 1, DTU Eksamen maj 2019, Matematik 1, DTU NB: Nedenstående udregninger viser flere steder mere end én metode. Det er der IKKE tid til eksamen! Ligeledes er der ikke krav om eller tid til at illustrere med plots.

Læs mere

Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A

Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A Opgaven består af tre dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene

Læs mere

Projekt 1.3 Brydningsloven

Projekt 1.3 Brydningsloven Projekt 1.3 Brydningsloven Når en bølge, fx en lysbølge, rammer en grænseflade mellem to stoffer, vil bølgen normalt blive spaltet i to: Noget af bølgen kastes tilbage (spejling), hvor udfaldsvinklen u

Læs mere

Matematik F2 Opgavesæt 2

Matematik F2 Opgavesæt 2 Opgaver uge 2 I denne uge kigger vi nærmere på Cauchy-Riemann betingelserne, potensrækker, konvergenskriterier og flertydige funktioner. Vi skal også se på integration langs en ve i den komplekse plan.

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale

MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale STUDENTEREKSAMEN SOMMERTERMIN 13 MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale 6 timer med vejledning Forberedelsesmateriale til de skriftlige prøver sommertermin 13 st131-matn/a-6513 Forberedelsesmateriale

Læs mere

Projektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik

Projektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Projektopgave 1 Navn: Jonas Pedersen Klasse:.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/9-011 Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Indledning Jeg har i denne opgave fået følgende opstilling.

Læs mere

Delmængder af Rummet

Delmængder af Rummet Delmængder af Rummet Frank Villa 15. maj 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

MATEMATIK ( 5 h ) DATO: 5. juni 2008 (formiddag) Lommeregner hverken grafisk eller programmerbar

MATEMATIK ( 5 h ) DATO: 5. juni 2008 (formiddag) Lommeregner hverken grafisk eller programmerbar EUROPÆISK STUDENTEREKSAMEN 2008 MATEMATIK ( 5 h ) DATO: 5. juni 2008 (formiddag) PRØVENS VARIGHED: 4 timer (240 minutter) TILLADTE HJÆLPEMIDLER: Europaskolernes formelsamling Lommeregner hverken grafisk

Læs mere

Eksamensspørgsmål: Trekantberegning

Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Indhold Definition af Sinus og Cosinus... 1 Bevis for Sinus- og Cosinusformlerne... 3 Tangens... 4 Pythagoras s sætning... 4 Arealet af en trekant... 7 Vinkler... 8

Læs mere

Trekants- beregning for hf

Trekants- beregning for hf Trekants- beregning for hf C C 5 l 5 A 34 8 B 018 Karsten Juul Indhold 1. Vinkler... 1 1.1 Regler for vinkler.... 1. Omkreds, areal, højde....1 Omkreds..... Rektangel....3 Kvadrat....4 Højde....5 Højde-grundlinje-formel

Læs mere

Projekt 2.5 Brændpunkt og ledelinje for parabler

Projekt 2.5 Brændpunkt og ledelinje for parabler Hvad er matematik? Projekter: Kapitel. Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje for parabler Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje for parabler En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er, at den har et såkaldt

Læs mere

Mandatfordelinger ved valg

Mandatfordelinger ved valg Mandatfordelinger ved valg I denne note vil vi prøve at beskrive et nyttigt diagram når man skal analysere problemstillinger vedrørende mandatfordelinger. For at holde diagrammet enkelt ser man på den

Læs mere

MATEMATIK ( 5 h ) DATO: 8. juni 2009

MATEMATIK ( 5 h ) DATO: 8. juni 2009 EUROPÆISK STUDENTEREKSAMEN 2009 MATEMATIK ( 5 h ) DATO: 8. juni 2009 PRØVENS VARIGHED: 4 timer (240 minutter) TILLADTE HJÆLPEMIDLER Europaskolernes formelsamling Ikke-grafisk, ikke-programmerbar lommeregner

Læs mere

GeoGebra. Tegn følgende i Geogebra. Indsæt tegningen fra geogebra. 1. Indsæt punkterne: (2,3) (-2, 4) (-3, -4,5)

GeoGebra. Tegn følgende i Geogebra. Indsæt tegningen fra geogebra. 1. Indsæt punkterne: (2,3) (-2, 4) (-3, -4,5) Tegn følgende i Geogebra 1. Indsæt punkterne: (2,3) (-2, 4) (-3, -4,5) Forbind disse tre punker (brug polygon ) 2. Find omkreds, vinkler, areal og sidelængder 3. Tegn en vinkelret linje fra A og ned på

Læs mere

2.9. Dette er en god simpel projektion for områder nær Ækvator. Hvad er den inverse afbildning, f -1?

2.9. Dette er en god simpel projektion for områder nær Ækvator. Hvad er den inverse afbildning, f -1? 2.9 2.4 Kortprojektioner og kort. Den matematiske baggrund for kortprojektioner er differentialgeometri. Det basale begreb her er mangfoldighed, dvs. om ethvert punkt ligger en omegn, der ligner en del

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x)

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x) Integralregning 3 Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Opgave 1 1 Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x) x 1 i [ 1,] drejes 360 om x-aksen.

Læs mere

Matematikken bag Parallel- og centralprojektion

Matematikken bag Parallel- og centralprojektion Matematikken bag parallel- og centralojektion 1 Matematikken bag Parallel- og centralojektion Dette er et redigeret uddrag af lærebogen: Programmering med Delphi fra 2003 (570 sider). Delphi ophørte med

Læs mere

Sammenhæng mellem variable

Sammenhæng mellem variable Sammenhæng mellem variable Indhold Variable... 1 Funktion... 2 Definitionsmængde... 2 Værdimængde... 2 Grafen for en funktion... 2 Koordinatsystem... 3 Koordinatsæt... 4 Intervaller... 5 Løsningsmængde...

Læs mere

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning Projekter: Kapitel Projekt.1: Parabolantenner og parabelsyning En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen for en parabolantenne,

Læs mere

Matematikprojekt Belysning

Matematikprojekt Belysning Matematikprojekt Belysning 2z HTX Vibenhus Vejledning til eleven Du skal nu i gang med matematikprojektet Belysning. Dokumentationen Din dokumentation skal indeholde forklaringer mm, således at din tankegang

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold December 2015 vinter VUC Vestegnen stx Mat A Gert Friis

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Aug.-dec. 2009 Institution Grenaa Tekniske Skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HTX Matematik A Michael

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December/januar 14/15 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Karin Hansen

Læs mere

A U E R B A C H M I K E # e z. a z. # a. # e x. # e y. a x

A U E R B A C H M I K E   # e z. a z. # a. # e x. # e y. a x M A T E M A T I K B A M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK z a z # e z # a a x # e x ay # e y y x Matematik B A 2. udgave, 207 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen

Matematik A. Studentereksamen Matematik A Studentereksamen 2stx101-MAT/A-01062010 Tirsdag den 1. juni 2010 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

Grønland. Matematik A. Højere teknisk eksamen

Grønland. Matematik A. Højere teknisk eksamen Grønland Matematik A Højere teknisk eksamen Onsdag den 12. maj 2010 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Ved valgopgaver må kun det anførte antal afleveres

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

Kurve- og plan-integraler

Kurve- og plan-integraler enote 22 1 enote 22 Kurve- og plan-integraler Vi vil her med udgangspunkt i de metoder og resultater der er opstillet i enote 21 vise, hvordan Riemann-integralerne derfra kan benyttes til blandt andet

Læs mere

Funktioner af to variable

Funktioner af to variable enote 15 1 enote 15 Funktioner af to variable I denne og i de efterfølgende enoter vil vi udvide funktionsbegrebet til at omfatte reelle funktioner af flere variable; vi starter udvidelsen med 2 variable,

Læs mere

Geometri i plan og rum

Geometri i plan og rum INTRO I kapitlet arbejder eleverne med plane og rumlige figurers egenskaber og med deres anvendelse som geometriske modeller. I den forbindelse kommer de bl.a. til at beskæftige sig med beregninger af

Læs mere

Matematik. Meteriske system

Matematik. Meteriske system Matematik Geometriske figurer 1 Meteriske system Enheder: Når vi arbejder i længder, arealer og rummål er udgangspunktet metersystemet: 2 www.ucholstebro.dk. Døesvej 70 76. 7500 Holstebro. Telefon 99 122

Læs mere

STUDENTEREKSAMEN GUX MAJ 2007 2014 MATEMATIK A-NIVEAU. Prøveform b. Kl. 9.00 14.00 GUX-MAA

STUDENTEREKSAMEN GUX MAJ 2007 2014 MATEMATIK A-NIVEAU. Prøveform b. Kl. 9.00 14.00 GUX-MAA STUDENTEREKSAMEN GUX MAJ 007 014 MATEMATIK A-NIVEAU Prøveform b 014 Kl. 9.00 14.00 GUX-MAA Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Delprøven uden hjælpemidler består af opgaverne 1 til 6 med i alt 6 spørgsmål.

Læs mere

GUX. Matematik. A-Niveau. Torsdag den 31. maj Kl Prøveform a GUX181 - MAA

GUX. Matematik. A-Niveau. Torsdag den 31. maj Kl Prøveform a GUX181 - MAA GUX Matematik A-Niveau Torsdag den 31. maj 018 Kl. 09.00-14.00 Prøveform a GUX181 - MAA 1 Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Prøven består af opgaverne 1 til 11 med i alt 5 spørgsmål. De 5 spørgsmål

Læs mere

3D-grafik Karsten Juul

3D-grafik Karsten Juul 3D-grafik 2005 Karsten Juul Når der i disse noter står at du skal få tegnet en figur, så er det meningen at du skal få tegnet den ved at taste tildelinger i Mathcad-dokumentet RumFig2 Det er selvfølgelig

Læs mere

UVB. Skoleår: 2013-2014. Claus Vestergaard og Franka Gallas

UVB. Skoleår: 2013-2014. Claus Vestergaard og Franka Gallas UVB Skoleår: 2013-2014 Institution: Fag og niveau: Lærer(e): Hold: Teknisk Gymnasium Skive Matematik A Claus Vestergaard og Franka Gallas 3. A Titel 1: Rep af 1. og 2. år + Gocart Titel 2: Vektorer i rummet

Læs mere

STUDENTEREKSAMEN GUX MAJ MATEMATIK A-NIVEAU. Prøveform a. Kl GUX-MAA

STUDENTEREKSAMEN GUX MAJ MATEMATIK A-NIVEAU. Prøveform a. Kl GUX-MAA STUDENTEREKSAMEN GUX MAJ 007 014 MATEMATIK A-NIVEAU Prøveform a 014 Kl. 9.00 14.00 GUX-MAA Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Prøven består af opgaverne 1 til 10 med i alt 5 spørgsmål. De 5 spørgsmål

Læs mere

Matematik A studentereksamen

Matematik A studentereksamen Xxxx Side 1 af 11 Opgave 7 Jeg aflæser af boksplottet for personbeskatningen i 2007 medianen til. Første og anden kvartil aflæser jeg til hhv. og. Den mindst observerede personbeskatning i år 2007 var

Læs mere

Parameterkurver. Et eksempel på en rapport

Parameterkurver. Et eksempel på en rapport x Parameterkurver Et eksempel på en rapport Parameterkurver 0x MA side af 7 Hypocykloiden A B Idet vi anvender startværdierne for A og B som angivet, er en generel parameterfremstilling for hypocykloiden

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Torsdag den 22. maj 2014 kl. 09.00-14.00. Digital eksamensopgave med adgang til internettet. 1stx141-MATn/A-22052014

Matematik A. Studentereksamen. Torsdag den 22. maj 2014 kl. 09.00-14.00. Digital eksamensopgave med adgang til internettet. 1stx141-MATn/A-22052014 Matematik A Studentereksamen Digital eksamensopgave med adgang til internettet 1stx141-MATn/A-22052014 Torsdag den 22. maj 2014 kl. 09.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler

Læs mere

Anvendelse af matematik til konkrete beregninger

Anvendelse af matematik til konkrete beregninger Anvendelse af matematik til konkrete beregninger ved J.B. Sand, Datalogisk Institut, KU Praktisk/teoretisk PROBLEM BEREGNINGSPROBLEM og INDDATA LØSNINGSMETODE EVT. LØSNING REGNEMASKINE Når man vil regne

Læs mere

Eksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. Hele rummet uden z aksen

Eksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. Hele rummet uden z aksen Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 019 Opgave 1 (6 point) En

Læs mere

Eksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. x 2 + y 2 1 Hele rummet uden z aksen

Eksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. x 2 + y 2 1 Hele rummet uden z aksen Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 19 Opgave 1 (6 point) En funktion

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 2014-2017 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Rybners HTX Esbjerg HTX Matematik A Henrik Lambæk

Læs mere

gl. Matematik A Studentereksamen Torsdag den 14. august 2014 kl gl-stx142-mat/a

gl. Matematik A Studentereksamen Torsdag den 14. august 2014 kl gl-stx142-mat/a gl. Matematik A Studentereksamen gl-stx142-mat/a-14082014 Torsdag den 14. august 2014 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål.

Læs mere