MASO Uge 5. Topologi i euklidiske rum. Jesper Michael Møller. Uge 5. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen

Transkript

1 MASO Uge 5 Topologi i euklidiske rum Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 5 Formålet med MASO

2 Oversigt Åbne og afsluttede mængder Det indre, det ydre, afslutningen, og randen Regneregler for int(a) og cl(a) Definition Regneregler for kontinuerte funktioner Eksempler på kontinuerte funktioner

3 Det indre, det ydre, afslutningen, og randen Regneregler for int(a) og cl(a) Åben kugle Den åbne kugle med centrum a R n og radius r > 0 er B(a; r) = {x R n x a < r} Åben mængde A R n er åben hvis A er en forening af åbne kugler afsluttet hvis komplementet R n A er åben U er åben x U r > 0: B(x; r) U F er afsluttet x R n F r > 0: B(x; r) R n F

4 Det indre, det ydre, afslutningen, og randen Regneregler for int(a) og cl(a) Åben kasse En åben kasse i R m er en delmængde af formen U 1 U m hvor U 1,..., U m er åbne delmængder af R. Eksempel Enhver åben kasse er en forening af åbne kugler og enhver åben kugle er en forening af åbne kasser. Korollar Følgende betingelser er ækvivalente for A R n : A er åben A er en forening af åbne kugler A er en forening af åbne kasser

5 Det indre, det ydre, afslutningen, og randen Regneregler for int(a) og cl(a) Det indre, ydre, afslutningen og randen af A int(a) = {U U åben, U A} (det indre af A) int(r n A) = {U U åben, U R n A} (det ydre af A) (A) = R n (int(a) int(r n A)) (randen af A) cl(a) = {F F afsluttet, F A} (afslutningen af A) 1 R n = int(a) (A) int(r n A) (disjunkt forening) 2 int(r n A) = R n cl(a) (det indre af komplementet) 3 cl(r n A) = R n int(a) (afslutningen af komplementet) 4 (R n A) = (A) (randen af komplementet) 5 int(a) A cl(a) 6 int(a) er åben (en forening af åbne kugler) 7 cl(a) og (A) er afsluttede (komplementerne er åbne) 8 (A) = cl(a) int(a) = cl(a) cl(r n A) 9 cl(a) = int(a) (A) beviser

6 Det indre, det ydre, afslutningen, og randen Regneregler for int(a) og cl(a) afslutningen af A cl(a) cl(r n A) afslutningen af R n A R n = int(a) (A) int(r n A) det indre af A randen af A det ydre af A x int(a) r > 0: B(x, r) A x int(r n A) r > 0: B(x, r) A = x (A) x (int(a) int(r n A)) r > 0: B(x, r) A, B(x, r) A x cl(a) x int(r n A) r > 0: B(x, r) A

7 Det indre, det ydre, afslutningen, og randen Regneregler for int(a) og cl(a) Regneregler for åbne og afsluttede mængder 1 A B = int(a) int(b), cl(a) cl(b) 2 A afsluttet A = cl(a) A cl(a) A (A) 3 A åben A = int(a) R n A afsluttet R n A (A) A (A) = 4 Foreningsmængder af åbne mængder er åbne 5 Endelige fællesmængder af åbne mængder er åbne 6 Fællesmængder af afsluttede mængder er afsluttede 7 Endelige foreningsmængder af afsluttede mængder er afsluttede

8 Begrænset mængde A R n er begrænset hvis A er indeholdt i en kugle Kompakt mængde K R n er kompakt hvis K er afsluttet og begrænset. Regneregler for kompakte mængder Fællesmængden af kompakte mængder er kompakt Foreningsmængden af endeligt mange kompakte mængder er kompakt Enhver afsluttet delmængde af en kompakt mængde er kompakt

9 Definition Regneregler for kontinuerte funktioner Eksempler på kontinuerte funktioner Kontinuert funktion En funktion f : R n R m er kontinuert hvis løsningsmængden f 1 (U) R n er åben for enhver åben delmængde U R m. Ækvivalente betingelser for kontinuitet af f : R n R m 1 f er kontinuert 2 f 1 (U) R n er åben når U R m er åben 3 f 1 (F) R n er afsluttet når F R m er afsluttet 4 f 1 B(y; r) er åben for enhver åben kugle B(y; r) i R m 5 f 1 (U 1 U m ) er åben for enhver åben kasse U 1 U m i R m. 6 For alle x 0 R n og for alle ε > 0 findes et δ > 0 så f (x) f (x 0 ) < ε når x x 0 < δ for alle x R n 7 x 0 R n ε > 0 δ > 0: f (B(x 0 ; δ)) B(f (x 0 ); ε)

10 Definition Regneregler for kontinuerte funktioner Eksempler på kontinuerte funktioner Kontinuitet ε > 0 δ > 0: f (B(x 0, δ)) B(f (x 0 ), ε)) x 0 δ f f (x 0 ) ε B(x 0, δ) B(f (x 0 ), ε)

11 Definition Regneregler for kontinuerte funktioner Eksempler på kontinuerte funktioner Regneregler for kontinuerte funktioner Sammensætningen af kontinuerte funktioner er kontinuert cf, f + g, f g er kontinuerte hvis f, g : R n R m er det f g, f /g er kontinuerte hvis f, g : R n R er det Eksempel Projektionerne π 1,..., π n : R n R er kontinuerte. Proposition f = (f 1,..., f m ): R n R m er kontinuert hvis og kun hvis alle koordinatfunktionerne f 1,..., f m : R n R er kontinuerte. Brug f j = π j f og f 1 (U 1 U m ) = m j=1 f 1 j (U j ).

12 Definition Regneregler for kontinuerte funktioner Eksempler på kontinuerte funktioner Eksempel på en kontinuert funktion Funktionen f (x 1,..., x n ) = n i=1 x 2 i er kontinuert. Løsningsmængden til et punkt, f 1 (1) = {(x 1,..., x n ) R n x x 2 n = 1} = B(0; 1), er afsluttet. Løsningsmængden til en åben mængde, f 1 (], 1[) = {(x 1,..., x n ) R n x x2 n < 1} = B(0; 1), er åben.

13 Definition Regneregler for kontinuerte funktioner Eksempler på kontinuerte funktioner Eksempler på åbne og afsluttede mængder i R n Hvis f 1,..., f m er kontinuerte funktioner R n R og b 1,..., b m er reelle tal, så er {x R n f 1 (x) < b 1,..., f m (x) < b m } = en åben delmængde af R n og {x R n f 1 (x) b 1,..., f m (x) b m } = en afsluttet delmængde af R n. m i=1 m i=1 f 1 i (], b i [) f 1 i (], b i ])

14 Supremum og infimum af en funktion Indre, rand, afslutning Løsningsmængde Supremum og infimum af en funktion f : A R sup f (x) = sup f (A) = sup{f (x) x A} x A f (x) = inf f (A) = inf{f (x) x A} inf x A Regneregler. Se F1 A B = sup f (A) sup f (B) sup(f + g)(a) sup f (A) + sup g(a) inf(f + g)(a) inf f (A) + inf g(a) { λ sup f (A) λ > 0 sup(λf )(A) = λ inf f (A) λ < 0 sup f (A) = sup i I sup f (A i ) hvis A = i I A i sup f (A) = sup{sup f (A (x R n )) x R m }, A R m R n.

15 Supremum og infimum af en funktion Indre, rand, afslutning Løsningsmængde 1 Klart 2 R n cl(a) = {R n F R n F åben, R n F R n A} = int(r n A) 3 R n int(a) = {R n U R n U afsluttet, R n U R n A} = cl(r n A) 4 Både (R n A) og (A) er R n (int(a) int(r n A)) 5 int(a) A cl(a) er klart 6 int(a) er en foreningsmængde af åbne mængder 7 cl(a) er en fællesmængde af afsluttede mængder 8 (A) def = R n (int(a) int(r n A)) (3) = R n (int(a) (R n cl(a))) = cl(a) int(a)) 9 cl(a) = int(a) (cl(a) int(a)) (8) = int(a) (A) tilbage til definition

16 Supremum og infimum af en funktion Indre, rand, afslutning Løsningsmængde Løsningsmængder af B Y under funktion f : X Y f 1 (B) = {x X f (x) B} Regneregler: f 1( ) U j = f 1 (U j ) f 1( ) U j = f 1 (U j ) f 1 (Y B) = X f 1 (B) Hvis f : R n R m kontinuert: f 1 (int(a)) int(f 1 (A)) cl(f 1 (A)) f 1 (cl(a)) (f 1 (A)) f 1 ( (A)) Regneregler for billedmængder f ( ) U j = f (Uj ) f ( ) U j f (Uj ) f (X A) f (X) f (A) tilbage til kont fkt