vejer (med fortegn). Det vil vi illustrere visuelt og geometrisk for (2 2)-matricer og (3 3)-matricer i enote 6.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "vejer (med fortegn). Det vil vi illustrere visuelt og geometrisk for (2 2)-matricer og (3 3)-matricer i enote 6."

Transkript

1 enote 5 enote 5 Determiater I dee enote ser vi på kvadratiske matricer. Deres type er altså for 2, se enote 4. Det er e fordel, me ikke absolut ødvedigt, at kede determiatbegrebet for (2 2)-matricer på forhåd. Matrix-algebrae fra enote 3 forudsættes bekedt (sum, produkt, traspoerig og iverse af matricer) samt de geerelle løsigsmetode for lieære ligigssystemer fra enote 2. Versio Itro til determiater Determiate af e reel kvadratisk ( )-matrix A er et reelt tal, som vi beteger med det(a) eller ogle gage kort med A. Determiate af e matrix ka betragtes som et mål for, hvor meget matrice vejer (med forteg). Det vil vi illustrere visuelt og geometrisk for (2 2)-matricer og (3 3)-matricer i enote 6. Determiate er e gaske bestemt fuktio af de i alt 2 tal, der står som elemeter i e ( )-matrix. For at defiere og derefter berege determiat-værdie af ( )-matricer direkte ud fra deres 2 elemeter har vi brug for to tig: Dels de velkedte determiat-formel for (2 2)-matricer (defiitio 5. edefor) og dels e metode til at sitte e vilkårlig ( )-matrix op i (2 2)-matricer og derfra at berege determiate ud fra determiatere af disse (2 2)-matricer.

2 enote DETERMINANTER AF (2 2) MATRICER Determiater af (2 2) matricer Defiitio 5. Determiater af (2 2)-matricer Lad A være de vilkårlige (2 2)-matrix Så er determiate af A defieret ved [ ] a a A = 2. (5-) a 2 a 22 det(a) = a a 22 a 2 a 2. (5-2) Opgave 5.2 Ivers (2 2) matrix Husk, at de iverse matrix A til e regulær matrix A har de karakteristiske egeskab, at A A = A A = E. Vis direkte ud fra (5-) og (5-2), at de iverse matrix A til e (2 2)-matrix A ka udtrykkes på følgede måde (år altså det(a) = 0): A = [ det(a) a 22 a 2 a 2 a ]. (5-3) Opgave 5.3 Regeregler for (2 2) matricer For geerelle kvadratiske matricer gælder e række fudametale determiat-regeregler, som vil blive præseteret i sætig 5.20 edefor. Tjek allerede u de tre første ligiger i sætig 5.20 for (2 2)-matricere A og B. Brug direkte udregig af begge sider af ligigere ved hjælp af (5-2). 5.3 Sit-matricer Defiitio 5.4 Sitmatricer For e ( )-matrix A defieres (i, j)-sitmatrice  ij som de (( ) ( ))- udermatrix af A, der fremkommer ved, at hele række i og hele søjle j slettes fra matrice A.

3 enote INDUKTIV DEFINITION AF DETERMINANTER 3 Hver ekelt af de i alt 2 sit-matricer  ij (hvor i og j ) er midre ed A, da de er af type ( ) ( ) og derfor ku ideholder ( ) 2 elemeter. Eksempel 5.5 Sitmatricere for e (3 3) matrix E (3 3)-matrix A har i alt 9 stk. (2 2)-sitmatricer  ij. For eksempel, hvis 0 2 A = 3 2, (5-4) 0 5 så er de 9 sitmatricer hørede til A givet ved [ ] [ ] [ ]  =,  5 2 =,  0 3 =, 0 5 [ ] [ ] [ ]  2 =,  22 =,  23 =, [ ] [ ] [ ]  3 =,  32 =,  33 = (5-5) Disse 9 (2 2)-sitmatricers respektive determiater ka hver for sig direkte bereges ud fra defiitioe 5.: det(â ) = 7, det(â 2 ) =, det(â 3 ) = 5, det(â 2 ) = 3, det(â 22 ) = 0, det(â 23 ) = 0, det(â 3 ) =, det(â 32 ) =, det(â 33 ) = 2. (5-6) 5.4 Iduktiv defiitio af determiater Determiate af e (3 3)-matrix ka vi bestemme ud fra determiatere af tre af des i alt i sitmatricer. Geerelt gælder emlig, at determiate af e ( )-matrix defieres ved hjælp af determiatere af de sitmatricer, der hører til e frit valgt (me fast) række r. Metode kaldes også opløsig efter r te række.

4 enote INDUKTIV DEFINITION AF DETERMINANTER 4 Defiitio 5.6 Determiater defieres ved opløsig For e vilkårlig værdi af rækkeideks r defieres determiate af e give ( )- matrix A iduktivt på følgede måde: det(a) = j= hvor a rj er elemetet på plads (r, j) i A. ( ) r+j a rj det(â rj ), (5-7) Vi beytter her og seere følgede korte skrivemåder og otatioer for summer og produkter af mage led: c + c c + c = c c 2 c c = i= i= c i, c i. og (5-8) Eksempel 5.7 Opløsig af e determiat efter. række Vi vil beytte defiitio 5.6 direkte til at berege determiate af de (3 3)-matrix A, som er givet i eksempel 5.5. Vi vælger r = og skal derfor opløse efter første række. Da = 3, har vi således brug for de tre sitmatrix-determiater det(â rj ) for j =, 2, 3, som allerede er udreget i eksempel 5.5: det(â ) = 7 det(â 2 ) = det(â 3 ) = 5. Vi har desude brug for de tre elemeter i de række, vi opløfter efter, som blot aflæses af matrice: Determiate af A fides: det(a) = 3 j= ( ) +j a j det(â j ) a = 0 a 2 = 2 a 3 =. = ( ) + a det(â ) + ( ) +2 a 2 det(â 2 ) + ( ) +3 a 3 det(â 3 ) = ( ) 2 0 ( 7) + ( ) ( ) 4 5 = = 3. (5-9)

5 enote INDUKTIV DEFINITION AF DETERMINANTER 5 Læg mærke til, at sitmatriceres determiater skal gages med det elemet i A, som står på plads (r, j), og med fortegs-faktore ( ) r+j, før de lægges samme. Hvis A har flere rækker hhv. søjler ed tre, > 3, så bliver sitmatricere ikke (2 2)-matricer. For at fide sitmatriceres determiater til at bruge i formle er det selvfølgelig ikke oget problem at trævle dem op også efter samme formel og opå edu midre sitmatricer. Således eder vi altid med til sidst ku at skulle bestemme vægtede summer af determiater af (2 2)- matricer! Me vi ka dog ede med mage (2 2)-matricer. Opgave 5.8 Valg af opløsigsrække er ligegyldig Vis direkte ved beregig, at vi får samme værdi for determiate ved at bruge e af de adre to rækker til opløsige af determiate i eksempel 5.5. Defiitio 5.9 Alterativ: Opløsig efter søjle Determiate af e give ( )-matrix A ka alterativt defieres iduktivt ved opløsig efter e vilkårlig valgt søjle: det(a) = i= Her er opløsige udtrykt ved opløsig efter søjle s. ( ) i+s a i s det(â i s ). (5-0) Som det er atydet allerede med defiitioere og som vist i det kokrete tilfælde med matrice i eksempel 5.5, er det ligegyldigt, hvilke række (eller søjle) ma opløser efter. Sætig 5.0 Valg af opløsigs-række eller -søjle er ligegyldig De to defiitioer 5.6 og 5.9 af determiate af e kvadratisk matrix giver samme værdi og er uafhægige af valg af række hhv. søjle til de respektive opløsiger. Opgave 5. Valg af opløsigssøjle er ligegyldig Vis direkte ved beregig, at vi får samme værdi for determiate i eksempel 5.5 ved at bruge søjle-opløsig efter e vilkårlig valgt søjle i A.

6 enote BEREGNINGSTEKNISKE EGENSKABER VED DETERMINANTER 6 Det er selvsagt smartest at opløse efter e række (eller søjle), som ideholder e masse 0 er, etop fordi leddee i formle gages med elemetere i de valgte række (eller søjle). Vælges e række (eller søjle) med mage 0 er, forsvider mage af leddee, så udregige forsimples voldsomt. Opgave 5.2 Determiater af ogle større matricer Beyt de ovefor give avisiger og resultater til at fide determiate af hver af følgede matricer: , ,. (5-) Hvis der er e række (eller søjle), hvori alle elemeter påær ét er 0, så er det klart smartest at vælge de at opløse efter. Og det er tilladt at skaffe sig e masse 0 er ved de velkedte rækkeoperatioer, hvis ma blot holder øje med, hvilke kostater der divideres med, og hvor mage gage der byttes om på rækkere. Dette behadles i sætig 5.6 og bruges i eksempel 5.7 edefor. 5.5 Beregigstekiske egeskaber ved determiater Vi samler her ogle af de vigtigste redskaber, som ofte beyttes til beregig og ispektio af determiater af matricer. Det er ikke svært at vise følgede sætig fx direkte ved først at opløse efter første søjle eller efter første række, hvorefter møsteret, som sætige udtrykker, viser sig. Sætig 5.3 Trekatsmatricer Hvis e ( )-matrix har lutter 0 er over diagoale (kaldet e edre trekatsmatrix) eller lutter 0 er uder diagoale (kaldet e øvre trekatsmatrix), så er determiate givet ved produktet af diagoalelemetere. Specielt har vi derfor:

7 enote BEREGNINGSTEKNISKE EGENSKABER VED DETERMINANTER 7 Hjælpesætig 5.4 Determiate af e diagoalmatrix Lad Λ betege e ( )-diagoalmatrix med diagoal-elemetere λ, λ 2,..., λ og ellers med 0 er ude for diagoale: λ λ 2 0 Λ = diag(λ, λ 2,, λ ) = (5-2) λ Så er determiate det(λ) = λ λ 2 λ = i= λ i. (5-3) Opgave 5.5 Determiate af e bidiagoal-matrix Bestem determiate af ( )-bidiagoal-matrice med vilkårligt give værdier µ,..., µ i bidiagoale (de omvedte diagoal) og ellers 0 er udefor: 0 0 µ 0 µ 2 0 M = bidiag(µ, µ 2,, µ ) =.... (5-4) µ For geerelle matricer og derfor også kvadratiske matricer gælder som bekedt fra enote 2, at de ka omformes til trappeform ved brug af rækkeoperatioer. Hvis ma holder godt øje med, hvad der sker ved hvert skridt i de omformig, så ka determiate af matrice direkte aflæses ud fra processe. Determiate af e matrix opfører sig emlig pæt, selvom der udføres rækkeoperatioer på matrice.

8 enote BEREGNINGSTEKNISKE EGENSKABER VED DETERMINANTER 8 Sætig 5.6 Rækkeoperatioers idflydelse på determiate Determiate har følgede egeskaber:. Hvis alle elemeter i e række i A er 0, så er det(a) = Hvis to rækker ombyttes i A dvs. R i R j så skifter determiate forteg. 3. Hvis alle elemetere i e række i A gages med e kostat k dvs. k R i så bliver determiate gaget med k. 4. Hvis to rækker i e matrix A er es, så er det(a) = E rækkeoperatio af type R j + k R i, hvor i = j, ædrer ikke determiate. Som atydet ovefor følger det af disse egeskaber ved determiatfuktioe, at de velkedte reduktio af e give matrix A til trappeform trap(a) via rækkeoperatioer som beskrevet i enote 2, faktisk ideholder e helt eksplicit beregig af determiate af A. Vi illustrerer med et simpelt eksempel. Eksempel 5.7 Ispektio af determiat ved reduktio til trappeform Vi betragter (3 3)-matrice A (matrice A i eksempel 5.5): 0 2 A = 3 2. (5-5) 0 5 Vi reducerer de til trappeform på sædvalig måde med Gauss Jorda rækkeoperatioer og holder hele tide øje med, hvad der sker med determiate ved at bruge reglere fra sætig 5.6 (og ved evetuelt derudover at checke dem med direkte udregiger). Operatio: R R 2, ombyt række et og række to. Determiate: Skifter forteg. 3 2 A 2 = 0 2 (5-6) 0 5 det(a 2 ) = det(a ). (5-7) Operatio: 2 R 2, række to gages med 2. Determiate: Gages med A 3 = 0 /2 (5-8) 0 5

9 enote BEREGNINGSTEKNISKE EGENSKABER VED DETERMINANTER 9 det(a 3 ) = 2 det(a 2) = 2 det(a ). (5-9) Operatio: R 3R 2, række to trukket fra række et 3 gage. Determiate: Uædret. 0 /2 A 4 = 0 /2 (5-20) 0 5 det(a 4 ) = det(a 3 ) = 2 det(a 2) = 2 det(a ). (5-2) Operatio: R 3 5R 2, række to trukket fra række tre 5 gage. Determiate: Uædret. 0 /2 A 5 = 0 /2 (5-22) 0 0 3/2 det(a 5 ) = det(a 4 ) = det(a 3 ) = 2 det(a 2) = 2 det(a ). (5-23) Determiate er u diagoal-produktet, fordi alle elemetere uder diagoale er 0, se sætig 5.3. Vi har derfor 3 2 = 3 2 = det(a 5) = det(a 4 ) = det(a 3 ) = 2 det(a 2) = 2 det(a ). (5-24) Heraf får vi direkte (ved at læse baglæs ) 2 det(a ) = 3 2 (5-25) således, at det(a ) = 3. (5-26) Derudover har vi følgede sammehæg mellem rag og determiat. Determiate afslører emlig, om matrice er sigulær eller regulær. Sætig 5.8 Rag versus determiat Rage af e kvadratisk ( )-matrix A er skarpt midre ed, hvis og ku hvis determiate af A er 0. Med adre ord, A er sigulær hvis og ku hvis det(a) = 0. Hvis e matrix ideholder e variabel (e parameter), så er determiate af matrice e fuktio af dee parameter. I avedelsere af matrix-algebra er det ofte ret afgørede at kue fide ulpuktere for e såda fuktio. Dette er klart, da de tilhørede matrix er sigulær for de parameterværdier, der giver determiate værdie

10 enote BEREGNINGSTEKNISKE EGENSKABER VED DETERMINANTER 0 ul ifølge oveståede sætig, hvilket svarer til, at der måske ikke fides e (etydig) løsig til det tilsvarede lieære ligigssystem. Opgave 5.9 Givet matrice Determiat af matrix med variabel a a 2 a 3 A = 0 a 2 a 3 a a a 3 hvor a R. (5-27) a a 2 a. Bestem determiate af A som et polyomium i a. 2. Bestem røddere i dette polyomium. 3. Fid rage af A for a { 4, 3, 2,, 0,, 2, 3, 4}. Hvad har rage at gøre med de fude rødder i determiate? 4. Fid rage af A for alle a. Sætig 5.20 Regeregler for determiater Lad A og B betege to ( )-matricer. Så gælder:. det(a) = det(a ). 2. det(ab) = det(a) det(b). 3. det(a ) = det(a), år blot A er regulær, altså det(a) = det(a k ) = det(a) k, for alle k. 5. det(b AB) = det(a), år blot B er regulær, hvilket vil sige, at det(b) = 0. Opgave 5.2 Bevis de 3 sidste ligiger i sætig 5.20 ved at bruge ligige det(ab) = det(a) det(b). Opgave 5.22 Determiate af e sum er ikke determiatsumme Vis med et simplest muligt eksempel, at determiat-fuktioe det() ikke er additiv. Altså fid to ( )-matricer A og B således, at det(a + B) = det(a) + det(b). (5-28)

11 enote CRAMERS LØSNINGSMETODE Opgave 5.23 Brug af regereglere for determiater Lad a betege et reelt tal. Der er givet følgede matricer:. Fid det(a) og det(b) A = a 2 og B = Fid det(a B) og det ( (A B ) 4 ) (5-29) 0 a 3. Agiv de værdier af a, for hvilke A er regulær, og fid for disse værdier af a udtrykket for det(a ). 5.6 Cramers løsigsmetode Hvis A er e regulær ( )-matrix, og b = (b,..., b ) er e vilkårlig vektor i R, så fides der (som det vides fra enote 2) præcis é løsig x = (x,..., x ) til det lieære ligigssystem Ax = b, og vi har i enote 2 fudet metoder til at fide dee løsig. Cramers metode til løsig af sådae ligigssystemer er e direkte metode. De består essetielt i at udrege passede determiater af matricer, der kostrueres ud fra A og b, og så skrive løsige ed direkte ud fra de beregede determiater. Sætig 5.24 Cramers løsigsformel Lad A være e regulær ( )-matrix, og lad b = (b,..., b ) betege e vilkårlig vektor i R. Så fides der præcis é løsig x = (x,..., x ) til det lieære ligigssystem Ax = b, (5-30) og elemetere i dee løsig er givet ved x j = det(a) det(a b j ) for j =,...,, (5-3) hvor A b j med b. beteger de ( )-matrix, der fremkommer ved at erstatte søjle j i A

12 enote CRAMERS LØSNINGSMETODE 2 Forklarig 5.25 Hvad betyder Hvis A er matrice (fra eksempel 5.5) og hvis b = (b, b 2, b 3 ), så er 0 2 A = 3 2, (5-32) 0 5 b 2 0 b 0 2 b A b = b 2 3 2, A b 2 = b 2 2, A b 3 = 3 b 2. (5-33) b b b 3 Opgave 5.26 Brug af Cramers løsigsformel Hvis vi specielt lader A være de samme matrix som ovefor i forklarig 5.25 og u helt kokret lader b = (, 3, 2), så får vi ved at idsætte b i (5-33) og deræst udrege de relevate determiater: 2 det(a b ) = det = det(a b 2 ) = det 3 2 = (5-34) det(a b 3 ) = det 3 3 = Da vi også keder det(a) = 3, ka vi u kostruere løsige til ligigssystemet Ax = b vha. (5-3): ( x = (x, x 2, x 3 ) = 3 4, 3, ) ( 4 3 = 3, 3, ). (5-35) 3. Tjek ved direkte idsættelse, at x er e løsig til Ax = b. 2. Bestem A, og brug de direkte til løsig af ligigssystemet. 3. Løs ligigssystemet ved reduktio af totalmatrice til trappeform som øvet i enote 2 og efterfølgede aflæsig af løsige.

13 enote CRAMERS LØSNINGSMETODE 3 For at vise, hvad der faktisk foregår i Cramers løsigsformel, defierer vi først de adjugerede matrix for e matrix A. Defiitio 5.27 De adjugerede matrix De adjugerede matrix adj(a) defieres ved de elemeter, som beyttes i defiitio 5.6 om determiate for A: ( ) + det(â ) ( ) + det(â ) adj(a) =..... ( ) + det(â ) ( ) + det(â ) (5-36) Med adre ord: elemetet på plads (i, j) i de adjugerede matrix adj(a) er de ( ) i+j -fortegs-modificerede determiat af (i, j)-sitmatrice, altså: ( ) i+j det(â ij ). Bemærk traspoerige i (5-36). Eksempel 5.28 E adjugeret matrix I eksempel 5.5 betragtede vi følgede matrix Matrice A har følgede adjugerede matrix 0 2 A = 3 2. (5-37) adj(a) = 0, (5-38) som fås direkte ud fra de tidligere beregig af sitmatrix-determiatere, som her getages det(â ) = 7, det(â 2 ) =, det(â 3 ) = 5, det(â 2 ) = 3, det(â 22 ) = 0, det(â 23 ) = 0, det(â 3 ) =, det(â 32 ) =, det(â 33 ) = 2, (5-39) idet vi husker, dels at de ekelte elemeter skal have et forteg, der afhæger af positioe, og dels at udtrykket (5-36) ivolverer e traspoerig.

14 enote CRAMERS LØSNINGSMETODE 4 Opgave 5.29 Adjugeret versus ivers matrix Vis, at alle kvadratiske matricer A opfylder, at A adj(a) = det(a)e (5-40) såda, at de iverse matrix til A (som jo fides, etop hvis det(a) = 0) ka fides på følgede måde: A = adj(a). (5-4) det(a) Vik: Opgave er ikke helt em. Det abefales, at ma først øver sig på e (2 2)-matrix. 0 ere i ehedsmatrice i (5-40) fås ved at bruge de egeskab, at determiate af e matrix med to es søjler er 0. Beviset for sætig 5.24 er u gaske kort: Bevis Ved at gage på begge sider af (5-30) med A fås x = A b = adj(a)b, (5-42) det(a) hvor resultatet fra opgave 5.29 beyttes. Vi beteger u elemetere i adj(a) med α ij : x. x = α α b. det(a)..... α α b. (5-43) Heraf aflæses direkte x j = = = det(a) det(a) i= i= α ji b i det(a) det(a b j ), ( ) i+j b i det(â ij ) hvor vi til etablerig af det sidste lighedsteg har beyttet, at (5-44) i= ( ) i+j b i det(â ij ) (5-45) lige præcis er opløsige af det(a b j ) efter søjle ummer j, altså opløsige efter b-søjle i det(a b j ) (se defiitio 5.9).

Den flerdimensionale normalfordeling

Den flerdimensionale normalfordeling De flerdimesioale ormalfordelig Stokastiske vektorer Ved e stokastisk vektor skal vi forstå e vektor, hvor de ekelte kompoeter er sædvalige stokastiske variable. For de stokastiske vektor Y = Y,..., Y

Læs mere

Elementær Matematik. Polynomier

Elementær Matematik. Polynomier Elemetær Matematik Polyomier Ole Witt-Hase 2008 Køge Gymasium Idhold 1. Geerelle polyomier...1 2. Divisio med hele tal....1 3. Polyomiers divisio...2 4. Polyomiers rødder....4 5. Bestemmelse af røddere

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet.

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet. Matematik A Studetereksame Forsøg med digitale eksamesopgaver med adgag til iterettet Forberedelsesmateriale Vejledede opgave Forår 0 til stx-a-net MATEMATIK Der skal afsættes 6 timer af holdets sædvalige

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 7. Ligninger, polynomier og asymptoter

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 7. Ligninger, polynomier og asymptoter Matematikkes mysterier - på et obligatorisk iveau af Keeth Hase 7. Ligiger, polyomier og asymptoter Hvad er e asymotote? Og hvorda fides de? 7. Ligiger, polyomier og asymptoter Idhold 7.0 Idledig 7.1 Udsag

Læs mere

Kvadratisk 0-1 programmering. David Pisinger

Kvadratisk 0-1 programmering. David Pisinger Kvadratisk - programmerig David Pisiger 27-8 MAX-CUT problemet Givet e ikke-orieteret graf G = (V, E) er MAX-CUT problemet defieret som MAX-CUT = {< G > : fid et sit S, T i grafe G som maksimerer atal

Læs mere

hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i

hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i Normalfordeliger For at e stokastisk variabel X ka være ormalfordelt, skal X agive værdie af e eller ade målig, f.eks. tid, lægde, vægt, beløb osv. Notatioe er: Xi ~ N( μ, σ hvor i er observatiosummeret,

Læs mere

og Fermats lille sætning

og Fermats lille sætning Projekter: Kaitel 0. Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruer og Fermats lille sætig Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruere ( { 0 }, ) og Fermats lille sætig Vi aveder moduloregig og restklasser mage

Læs mere

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar 2008 1. Kombinatorik

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar 2008 1. Kombinatorik Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 Kombiatori Disse oter er e itrodutio til ombiatori og starter helt fra bude, så e del af det idledede er siert edt for dig allerede, me der ommer også hurtigt

Læs mere

9. Binomialfordelingen

9. Binomialfordelingen 9. Biomialfordelige 9.. Gekedelse Hvert forsøg ka ku resultere i to mulige udfald; succes og fiasko. I modsætig til poissofordelige er atallet af forsøg edeligt. 9.. Model X : Stokastisk variabel, der

Læs mere

Lys og gitterligningen

Lys og gitterligningen Fysik rapport: Lys og gitterligige Forfatter: Bastia Emil Jørgese.z Øvelse blev udført osdag de 25. jauar 202 samme med Lise Kjærgaard Paulse 2 - Bastia Emil Jørgese Fysik rapport (4 elevtimer), februar

Læs mere

Sandsynlighedsteori 1.2 og 2 Uge 5.

Sandsynlighedsteori 1.2 og 2 Uge 5. Istitut for Matematiske Fag Aarhus Uiversitet De 27. jauar 25. Sadsylighedsteori.2 og 2 Uge 5. Forelæsiger: Geemgage af emere karakteristiske fuktioer og Mometproblemet afsluttes, og vi starter på afsittet

Læs mere

Introduktion til uligheder

Introduktion til uligheder Itroduktio til uligheder, marts 0, Kirste Rosekilde Itroduktio til uligheder Dette er e itroduktio til ogle basale uligheder om det aritmetiske geemsit, det geometriske geemsit, det harmoiske geemsit og

Læs mere

Asymptotisk optimalitet af MLE

Asymptotisk optimalitet af MLE Kapitel 4 Asymptotisk optimalitet af MLE Lad Y 1, Y 2,... være uafhægige, idetisk fordelte variable med værdier i et rum (Y,K). Vi har givet e model (ν θ ) θ Θ for fordelige af Y 1 (og dermed også for

Læs mere

Motivation. En tegning

Motivation. En tegning Motivatio Scatter-plot at det mådelige salg mod det måedlige reklamebudget. R: plot(salg ~ budget, data = salg) Økoometri Lektio Simpel Lieær Regressio salg 400 450 500 550 20 25 30 35 40 45 50 budget

Læs mere

Tankegangskompetence. Kapitel 9 Algebraiske strukturer i skolen 353

Tankegangskompetence. Kapitel 9 Algebraiske strukturer i skolen 353 Takegagskompetece Hesigte med de følgede afsit er først og fremmest at skabe klarhed over de mere avacerede regeregler i skole og give resultatet i de almee form, der er karakteristisk for algebra. Vi

Læs mere

Georg Mohr Konkurrencen Noter om uligheder. Søren Galatius Smith

Georg Mohr Konkurrencen Noter om uligheder. Søren Galatius Smith Georg Mohr Kokurrece Noter om uligheder Søre Galatius Smith. juli 2000 Resumé Kapitel geemgår visse metoder fra gymasiepesum, som ka bruges til at løse ulighedsopgaver, og ideholder ikke egetligt yt stof.

Læs mere

Projekt 1.3 Brydningsloven

Projekt 1.3 Brydningsloven Projekt 1.3 Brydigslove Når e bølge, fx e lysbølge, rammer e græseflade mellem to stoffer, vil bølge ormalt blive spaltet i to: Noget af bølge kastes tilbage (spejlig), hvor udfaldsvikle u er de samme

Læs mere

Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner

Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner Projekter: Kapitel 4 Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Kotiuitet og kotiuerte fuktioer Ord som kotiuert og kotiuerlig

Læs mere

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Bin Packing Problemet

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Bin Packing Problemet DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Bi Packig Problemet David Pisiger, Projektopgave 2 Dette er de ade obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse.

Læs mere

Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier

Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier Noter om polyomier, Kirste Rosekilde, Marts 2006 1 Polyomier Disse oter giver e kort itroduktio til polyomier, og de fleste sætiger æves ude bevis. Udervejs er der forholdsvis emme opgaver, mes der til

Læs mere

- et værktøj til fejlrettende QR-koder. Projekt 0.3 Galois-legemerne. Indhold. Hvad er matematik? A, i-bog

- et værktøj til fejlrettende QR-koder. Projekt 0.3 Galois-legemerne. Indhold. Hvad er matematik? A, i-bog Projekt 0.3 Galois-legemere GF é ëp û - et værktøj til fejlrettede QR-koder Idhold De karakteristiske egeskaber ved de tre mest almidelige talsystemer, og... De kommutative, associative og distributive

Læs mere

Baggrundsnote til sandsynlighedsregning

Baggrundsnote til sandsynlighedsregning Baggrudsote til sadsylighedsregig Kombiatorik. Multiplikatiospricippet E mægde beståede af forskellige elemeter kaldes her e -mægde. Elemetere i e m-mægde og elemetere i e -mægde ka parres på i alt m forskellige

Læs mere

Sprednings problemer. David Pisinger

Sprednings problemer. David Pisinger Spredigs problemer David Pisiger 2001 Idledig Jukfood A/S er e amerikask kæde af familierestaurater der etop er ved at etablere sig i Damark. E massiv reklamekampage med de to slogas vores fritter er de

Læs mere

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Følsomhed af Knapsack Problemet

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Følsomhed af Knapsack Problemet DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Følsomhed af Kapsack Problemet David Pisiger, Projektopgave 1 Dette er de første obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig

Læs mere

Kvantitative metoder 2

Kvantitative metoder 2 Dages program Kvatitative metoder De multiple regressiosmodel 6. februar 007 Emet for dee forelæsig er de multiple regressiosmodel (Wooldridge kap 3.- 3.+appedix E.) Defiitio og motivatio Fortolkig af

Læs mere

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 1-3. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 1-3. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Claus Muk kap. - 3 Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Effektive reter 2 Obligatioer Grudlæggede Itro Obligatioer Grudlæggede Itro

Læs mere

Claus Munk. kap. 1-3

Claus Munk. kap. 1-3 Claus Muk kap. 1-3 1 Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Pris og kurs Effektive reter 2 1 Obligatioer Grudlæggede Itro Debitor

Læs mere

Simpel Lineær Regression. Opsplitning af variationen Determinations koefficient Variansanalyse F-test Model-kontrol

Simpel Lineær Regression. Opsplitning af variationen Determinations koefficient Variansanalyse F-test Model-kontrol Simpel Lieær Regressio Opsplitig af variatioe Determiatios koefficiet Variasaalse F-test Model-kotrol Opbgig af statistisk model Specificer model Ligiger og atagelser Estimer parametre Modelkotrol Er modelle

Læs mere

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar Kombinatorik

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar Kombinatorik Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 Kombiatori Disse oter er e itrodutio til ombiatori og starter helt fra bude, så e del af det idledede er siert edt for dig allerede, me der ommer også hurtigt

Læs mere

Estimation og test i normalfordelingen

Estimation og test i normalfordelingen af Birger Stjerholm Made Samfudlitteratur 07 Etimatio og tet i ormalfordelige Dee tekt ideholder et overblik over ogle grudlæggede pricipper for etimatio og tet i ormalfordelige i hyppigt forekommede ituatioer:

Læs mere

Termodynamik. Indhold. Termodynamik. Første og anden hovedsætning 1/18

Termodynamik. Indhold. Termodynamik. Første og anden hovedsætning 1/18 ermodyamik. Første og ade hovedsætig /8 ermodyamik Idhold. Isoterme og adiabatiske tilstadsædriger for gasser...3 3. ermodyamikkes. hovedsætig....5 4. Reversibilitet...6 5. Reversibel maskie og maksimalt

Læs mere

De reelle tal. Morten Grud Rasmussen 5. november Se Sætning 3.6 og 3.7 for forskellige formuleringer af egenskaben og dens negation.

De reelle tal. Morten Grud Rasmussen 5. november Se Sætning 3.6 og 3.7 for forskellige formuleringer af egenskaben og dens negation. De reelle tal Morte Grud Rasmusse 5. ovember 2015 Ordede mægder Defiitio 3.1 (Ordet mægde). pm, ăq kaldes e ordet mægde såfremt: For alle x, y P M gælder etop ét af følgede: x ă y, x y, y ă x @x, y, z

Læs mere

Definition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0.

Definition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0. Repetitio: Normalfordelige Ladmåliges fejlteori Lektio Trasformatio af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/udervisig/lf13 Istitut for Matematiske Fag Aalborg Uiversitet

Læs mere

Branchevejledning. ulykker indenfor. godschauffør. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros

Branchevejledning. ulykker indenfor. godschauffør. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros Brachevejledig ulykker idefor godschauffør området Brachearbejdsmiljørådet for trasport og egros Baggrud Udersøgelser på lager- og trasportområdet har vist, at beskrivelse af hædelsesforløbet ved udfyldelse

Læs mere

Branchevejledning. ulykker indenfor. lager. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros

Branchevejledning. ulykker indenfor. lager. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros Brachevejledig ulykker idefor lager området Brachearbejdsmiljørådet for trasport og egros Baggrud Udersøgelser på lager- og trasportområdet har vist, at beskrivelse af hædelsesforløbet ved udfyldelse

Læs mere

Økonometri 1. Definition og motivation. Definition og motivation. Dagens program. Den multiple regressionsmodel 15. februar 2006

Økonometri 1. Definition og motivation. Definition og motivation. Dagens program. Den multiple regressionsmodel 15. februar 2006 Dages program Økoometri De multiple regressiosmodel 5. februar 006 Emet for dee forelæsig er de multiple regressiosmodel (Wooldridge kap 3.-3.3+appedix E.-E.) Defiitio og motivatio Fortolkig af parametree

Læs mere

Sandsynlighedsregning i biologi

Sandsynlighedsregning i biologi Om begrebet sadsylighed Sadsylighedsregig i biologi Hvis vi kaster e almidelig, symmetrisk terig, er det klart for de fleste af os, hvad vi meer, år vi siger, at sadsylighede for at få e femmer er 1/6.

Læs mere

Renteformlen. Erik Vestergaard

Renteformlen. Erik Vestergaard Reteformle Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2010. Billeder: Forside: istock.com/ilbusca Side 4: istock.com/adresrimagig Desude ege illustratioer. Erik Vestergaard

Læs mere

Formelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6

Formelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6 Dee udgave er til geemkig på ettet. Boge ka købes for kr. 5 hos EH-Mat. E y og udvidet udgave med title»symbol- og formelskrivig«er udkommet september 00. Se mere om de her. Idholdsfortegelse Formelskrivig

Læs mere

Bjørn Grøn. Analysens grundlag

Bjørn Grøn. Analysens grundlag Bjør Grø Aalyses grudlag Aalyses grudlag Side af 4 Idholdsfortegelse Kotiuerte og differetiable fuktioer 3 Differetial- og itegralregiges udviklig 5 3 Hovedsætiger om differetiable fuktioer 8 Opgaver til

Læs mere

Talfølger og -rækker

Talfølger og -rækker Da Beltoft og Klaus Thomse Aarhus Uiversitet 2009 Talfølger og -rækker Itroduktio til Matematisk Aalyse Zeos paradoks om Achilleus og skildpadde Achilleus løber om kap med e skildpadde. Achilleus løber

Læs mere

De Platoniske legemer De fem regulære polyeder

De Platoniske legemer De fem regulære polyeder De Platoiske legemer De fem regulære polyeder Ole Witt-Hase jauar 7 Idhold. Polygoer.... Nogle topologiske betragtiger.... Eulers polyedersætig.... Typer af et på e kugleflade.... Toplasvikle i e regulær

Læs mere

Vejledende opgavebesvarelser

Vejledende opgavebesvarelser Vejledede opgavebesvarelser 1. Atal hæder er lig med K(52,5), altså 2598960. Ved brug af multiplikatiospricippet ka atal hæder med 3 ruder og 2 spar udreges som K(13, 3) K(13, 2), hvilket giver 22308.

Læs mere

Analyse 1, Prøve maj 2009

Analyse 1, Prøve maj 2009 Aalyse, Prøve 5. maj 009 Alle hevisiger til TL er hevisiger til Kalkulus (006, Tom Lidstrøm). Direkte opgavehevisiger til Kalkulus er agivet med TLO, ellers er alle hevisiger til steder i de overordede

Læs mere

Den grådige metode 2

Den grådige metode 2 Algoritmedesig 1 De grådige metode De grådige metode Et problem løses ved at foretage e række beslutiger Beslutigere træffes e ad gage i e eller ade rækkefølge Hver beslutig er baseret på et grådighedskriterium

Læs mere

Analyse af algoritmer. Algoritmedesign med internetanvendelser ved Keld Helsgaun. Køretid. Algoritmebegrebet D. E. Knuth (1968)

Analyse af algoritmer. Algoritmedesign med internetanvendelser ved Keld Helsgaun. Køretid. Algoritmebegrebet D. E. Knuth (1968) Algoritmedesig med iteretavedelser ved Keld Helsgau Aalyse af algoritmer Iput Algoritme Output E algoritme er e trivis metode til løsig af et problem i edelig tid 1 2 Algoritmebegrebet D. E. Kuth (1968)

Læs mere

Spørgsmål 3 (5 %) Bestem sandsynligheden for at et tilfældigt valgt vindue har en fejl ved listerne, når man ved at der er fejl i glasset.

Spørgsmål 3 (5 %) Bestem sandsynligheden for at et tilfældigt valgt vindue har en fejl ved listerne, når man ved at der er fejl i glasset. STATISTIK Skriftlig evaluerig, 3. semester, madag de 30. auar 006 kl. 9.00-3.00. Alle hælpemidler er tilladt. Opgaveløsige forsyes med av og CPR-r. OPGAVE Ved e produktio af viduer er der mulighed for,

Læs mere

Længde [cm] Der er frit vandspejle i sandkassen. Herudover er sandkassen åben i højden cm i venstresiden og 0-20 cm i højresiden.

Længde [cm] Der er frit vandspejle i sandkassen. Herudover er sandkassen åben i højden cm i venstresiden og 0-20 cm i højresiden. Vadtrasportmodel Formål For beregig af vadtrasporte i sadkasse er der lavet e boksmodel. Formålet med boksmodelle er at beskrive vadtrasporte i sadkasse. Herover er formålet at bestemme de hydrauliske

Læs mere

Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-bogen, Matematik for lærerstuderende

Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-bogen, Matematik for lærerstuderende Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-boge, Matematik for lærerstuderede Dette er førsteudgave af opgavebesvarelser udarbejdet i sommere 008. Dokumetet ideholder forslag til besvarelser af de fleste

Læs mere

RESEARCH PAPER. Nr. 2, En model for lagerstørrelsen som determinant for købs- og brugsadfærden for et kortvarigt forbrugsgode.

RESEARCH PAPER. Nr. 2, En model for lagerstørrelsen som determinant for købs- og brugsadfærden for et kortvarigt forbrugsgode. RESEARCH PAPER Nr., 005 E model for lagerstørrelse som determiat for købs- og brugsadfærde for et kortvarigt forbrugsgode af Jørge Kai Olse INSTITUT FOR AFSÆTNINGSØKONOMI COPENHAGEN BUSINESS SCHOOL SOLBJERG

Læs mere

Projekt 2.3 Det gyldne snit og Fibonaccitallene

Projekt 2.3 Det gyldne snit og Fibonaccitallene Projekter: Kapitel Projekt.3 Det glde sit og Fiboaccitallee Forslag til hvorda klasses arbejde med projektet ka tilrettelægges: Forløbet:. Præsetatio af emet med vægt på det glde sit.. Grppere arbejder

Læs mere

A14 4 Optiske egenskaber

A14 4 Optiske egenskaber A4 4 Optiske egeskaber Brydigsideks Når lys træffer e græseflade mellem to materialer, kastes oget af lyset tilbage (refleksio), mes oget går igeem græseflade med foradret retig (brydig eller refraktio).

Læs mere

Supplerende noter II til MM04

Supplerende noter II til MM04 Supplerede oter II til MM4 N.J. Nielse 1 Uiform koverges af følger af fuktioer Vi starter med følgede defiitio: Defiitio 1.1 Lad S være e vilkårlig mægde og (X, d et metrisk rum. E følge (f af fuktioer

Læs mere

24. januar Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 1 Uge 1, tirsdag. Niels Trolle Andersen, Afdelingen for Biostatistik.

24. januar Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 1 Uge 1, tirsdag. Niels Trolle Andersen, Afdelingen for Biostatistik. Epidemiologi og biostatistik. Forelæsig Uge, tirsdag. Niels Trolle Aderse, Afdelige for Biostatistik. Geerelt om kurset: - Formål - Forelæsiger - Øvelser - Forelæsigsoter - Bøger - EpiBasic: http://www.biostat.au.dk/teachig/software

Læs mere

Vejledende besvarelser til opgaver i kapitel 15

Vejledende besvarelser til opgaver i kapitel 15 Vejledede besvarelser til opgaver i apitel 5 Opgave a) De teststatistier, ma aveder til at teste om to middelværdier er es, består af et estimat på forselle mellem middelværdiere,, divideret med et udtry

Læs mere

KOMPLEKSE TAL x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium

KOMPLEKSE TAL x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium KOMPLEKSE TAL x-klassere Gammel Hellerup Gymasium Idholdsfortegelse E kort historie om imagiært og virkeligt... Tallegemet De Komplekse Tal... Idførelse af realdel og imagiærdel samt i... 8 Subtraktio,

Læs mere

antal gange krone sker i første n kast = n

antal gange krone sker i første n kast = n 1 Uge 15 Teoretisk Statistik, 5. april 004 1. Store tals lov Eksempel: møtkast Koverges i sadsylighed Tchebychevs ulighed Sætig: Store tals lov. De cetrale græseværdisætig 3. Approksimatio af sadsyligheder

Læs mere

Gamle eksamensopgaver. Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504)

Gamle eksamensopgaver. Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504) Gamle eksamesopgaver Diskret Matematik med Avedelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504) Istitut for Matematik& Datalogi Syddask Uiversitet, Odese Alle sædvalige hjælpemidler(lærebøger, otater etc.), samt

Læs mere

Sætning: Middelværdi og varians for linearkombinationer. Lad X 1,X 2,...,X n være stokastiske variable. Da gælder. Var ( a 0 + a 1 X a n X n

Sætning: Middelværdi og varians for linearkombinationer. Lad X 1,X 2,...,X n være stokastiske variable. Da gælder. Var ( a 0 + a 1 X a n X n Ladmåliges fejlteori Lektio 3 Estimatio af σ Dobbeltmåliger Geometrisk ivellemet Lieariserig - rw@math.aau.dk Istitut for Matematiske Fag Aalborg Uiversitet Repetitio: Middelværdi og Varias Sætig: Middelværdi

Læs mere

Økonometri 1. Inferens i den lineære regressionsmodel 29. september Økonometri 1: F7 1

Økonometri 1. Inferens i den lineære regressionsmodel 29. september Økonometri 1: F7 1 Økoometri 1 Iferes i de lieære regressiosmodel 9. september 006 Økoometri 1: F7 1 Dages program Opsamlig af hemmeopgave om Mote Carlo eksperimeter Mere om hypotesetest: Ekelt lieær restriktio på koefficieter

Læs mere

Test i to populationer. Hypotesetest for parrede observationer Test for ens varians Gensyn med flyskræk!

Test i to populationer. Hypotesetest for parrede observationer Test for ens varians Gensyn med flyskræk! Test i to populatioer Hypotesetest for parrede observatioer Test for es varias Gesy med flyskræk! Afhægige og uafhægige stikprøver Ved e uafhægig stikprøve udtages e stikprøve fra hver gruppe.. Mæd og

Læs mere

GENEREL INTRODUKTION.

GENEREL INTRODUKTION. Study Guide til Matematik C. OVERSIGT. Dee study guide ideholder følgede afsit - Geerel itroduktio. - Emeliste. - Eksame. - Bilag. Udervisigsmiisteriets bekedtgørelse for matematik C. GENEREL INTRODUKTION.

Læs mere

StudyGuide til Matematik B.

StudyGuide til Matematik B. StudyGuide til Matematik B. OVERSIGT. Dee study guide ideholder følgede afsit Geerel itroduktio. Emeliste. Eksame. Bilag 1: Udervisigsmiisteriets bekedtgørelse for matematik B. Bilag 2: Bilag 3: Uddrag

Læs mere

Statistik 8. gang 1 KONFIDENSINTERVALLER. Konfidensintervaller: kapitel 11. Valg og test af fordelingsfunktion

Statistik 8. gang 1 KONFIDENSINTERVALLER. Konfidensintervaller: kapitel 11. Valg og test af fordelingsfunktion Statistik 8. gag 1 KONIDENSINTERVALLER Kofidesitervaller: kapitel 11 Valg og test af fordeligsfuktio Statistik 8. gag 11. KONIDENS INTERVALLER Et kofides iterval udtrykker itervallet hvori de rigtige værdi

Læs mere

Bilag 5: DEA-modellen Bilaget indeholder en teknisk beskrivelse af DEA-modellen

Bilag 5: DEA-modellen Bilaget indeholder en teknisk beskrivelse af DEA-modellen Bilag 5: DEA-odelle Bilaget ideholder e teis besrivelse af DEA-odelle FRSYNINGSSERETARIATET FEBRUAR 2013 INDLEDNING... 3 INPUTSTYRET DEA-MDEL... 3 UTPUTSTYRET DEA-MDEL... 7 SALAAFAST... 12 2 Idledig Data

Læs mere

Kvantemekanik 4 Side 1 af 11 Energi og tid. Hamiltonoperatoren

Kvantemekanik 4 Side 1 af 11 Energi og tid. Hamiltonoperatoren Kvateekaik 4 Side 1 af 11 ergi og tid Hailtooperatore Af KM3 fregik det, at ehver observabel er repræseteret ved e operator, f.eks. jf. udtryk (3.1) og (3.). Ispireret af det klassiske udtryk for kietisk

Læs mere

Velkommen. Program. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Sandsynlighedstætheder og kontinuerte fordelinger på R. Praktiske ting og sager

Velkommen. Program. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Sandsynlighedstætheder og kontinuerte fordelinger på R. Praktiske ting og sager Program Statistik og Sadsylighedsregig 2 Sadsylighedstætheder og kotiuerte fordeliger på R Helle Sørese Uge 6, madag Velkomme I dag: Praktiske bemærkiger Hvad skal vi lave på SaSt2? Sadsylighedstætheder

Læs mere

Statistik Lektion 7. Hypotesetest og kritiske værdier Type I og Type II fejl Styrken af en test Sammenligning af to populationer

Statistik Lektion 7. Hypotesetest og kritiske værdier Type I og Type II fejl Styrken af en test Sammenligning af to populationer Statistik Lektio 7 Hpotesetest og kritiske værdier Tpe I og Tpe II fejl Strke af e test Sammeligig af to populatioer 1 Tri I e Hpotesetest E hpotesetest består af 5 elemeter: I. Atagelser Primært hvilke

Læs mere

Supplement til Kreyszig

Supplement til Kreyszig Supplemet til Kreyszig Forelæsigsoter til Matematik F Idholdsfortegelse side 1. Numerisk itegratio. Fejlvurderig af trapez og Simpso algoritmere 1. Dekompoerig af brøker (Laplace trasformatio) 3. Permutatioer

Læs mere

x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium

x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium SANDSYNLIGHEDSREGNING OG KOMBINATORIK x-klassere Gammel Hellerup Gymasium Idholdsfortegelse SANDSYNLIGHEDSREGNING... 3 SANDSYNLIGHEDSFELT... 3 DE STORE TALS LOV... 4 Sadsyligheder og frekveser:... 4 STOKASTISK

Læs mere

Mikroøkonomi, matematik og statistik Eksamenshjemmeopgave 14. 20. december 2007

Mikroøkonomi, matematik og statistik Eksamenshjemmeopgave 14. 20. december 2007 Mikroøkoomi, matematik og statistik Eksameshjemmeopgave 14. 20. december 2007 Helle Buzel, Tom Egsted og Michael H.J. Stæhr 14. december 2007 R E T N I N G S L I N I E R F O R E K S A M E N S H J E M M

Læs mere

29. januar Epidemiologi og biostatistik Forelæsning 2 Uge 1, torsdag 2. februar 2006 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik.

29. januar Epidemiologi og biostatistik Forelæsning 2 Uge 1, torsdag 2. februar 2006 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik. Epidemiologi og biostatistik Forelæsig Uge 1, torsdag. februar 006 ichael Væth, Afdelig for Biostatistik. Sammeligig af to middelværdier sikkerhedsitervaller statistisk test Sammeligig af to proportioer

Læs mere

Grundlæggende matematiske begreber del 1 Mængdelære Talmængder Tal og regneregler Potensregneregler Numerisk værdi Gennemsnit

Grundlæggende matematiske begreber del 1 Mængdelære Talmængder Tal og regneregler Potensregneregler Numerisk værdi Gennemsnit Grudlæggede mtemtiske begreber del 1 Mægdelære Tlmægder Tl og regeregler Potesregeregler Numerisk værdi Geemsit x-klssere Gmmel Hellerup Gymsium 1 Idholdsfortegelse MÆNGDELÆRE... 3 TAL... 9 De turlige

Læs mere

Generelle lineære modeller

Generelle lineære modeller Geerelle lieære modeller Regressiosmodeller med é uafhægig itervalskala variabel: Y e eller flere uafhægige variable: X,..,X k De betigede fordelig af Y givet X,..,X k atages at være ormal med e middelværdi,

Læs mere

Undersøgelse af numeriske modeller

Undersøgelse af numeriske modeller Udersøgelse af umeriske modeller Formål E del af målsætige med dette delprojekt er at give kedskab til de begræsiger, fejl og usikkerheder, som optræder ved modellerig. I de forbidelse er følgede udersøgelse

Læs mere

Løsninger til kapitel 7

Løsninger til kapitel 7 Løsiger til kapitel 7 Opgave 7.1 a) HpoStat giver resultatet: Pop. varias er ukedt, me 30, så Normalf. bruges approksimativt = 54,400 s 1.069,90 = 00,000 0,95 49,868 58,93 Dette betder, at med 95% sikkerhed

Læs mere

Facilitering ITU 15. maj 2012

Facilitering ITU 15. maj 2012 Faciliterig ITU 15. maj 2012 Facilitatio is like movig with the elemets ad sailig the sea Vejvisere Velkomst de gode idflyvig Hvad er faciliterig? Kedeteg ved rolle som facilitator Facilitatores drejebog

Læs mere

Sandsynlighedsteori 1.2

Sandsynlighedsteori 1.2 Forelæsigsoter til Sadsylighedsteori.2 Sved Erik Graverse Jauar 2006 Istitut for Matematiske Fag Det Naturvideskabelige Fakultet Aarhus Uiversitet. Mometproblemet. I dette afsit beteger X e stokastisk

Læs mere

Statistik Lektion 8. Parrede test Test for forskel i andele Test for ens varians Gensyn med flyskræk!

Statistik Lektion 8. Parrede test Test for forskel i andele Test for ens varians Gensyn med flyskræk! Statistik Lektio 8 Parrede test Test for forskel i adele Test for es varias Gesy med flyskræk! Afhægige og uafhægige stikprøver Ved e uafhægig stikprøve udtages e stikprøve fra hver gruppe.. Mæd og kviders

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

Kapitel 10 KALIBRERING AF STRØMNINGSMODEL

Kapitel 10 KALIBRERING AF STRØMNINGSMODEL Kapitel 0 KALIBRERING AF STRØMNINGSMODEL Torbe Obel Soeborg Hydrologisk afdelig, GEUS Nøglebegreber: Kalibrerigsprotokol, observatiosdata, kalibrerigskriterier, idetificerbarhed, etydighed, parameterestimatio,

Læs mere

Men tilbage til regression og Chi-i-anden. test. Begge begreber refererer til normalfordelingen med middelværdi μ og spredning σ.

Men tilbage til regression og Chi-i-anden. test. Begge begreber refererer til normalfordelingen med middelværdi μ og spredning σ. χ test matematkudervsge χ - test gymasets matematkudervsg I jauar ummeret 8 af LMFK bladet havde jeg e artkel, hvor jeg harcelerede ldt over, at regresso og sær χ fordelg havde fudet dpas matematkudervsge

Læs mere

Dagens program. Estimation: Kapitel Eksempler på middelrette og/eller konsistente estimator (de sidste fra sidste forelæsning)

Dagens program. Estimation: Kapitel Eksempler på middelrette og/eller konsistente estimator (de sidste fra sidste forelæsning) Dages program Estimatio: Kapitel 9.4-9.7 Eksempler på middelrette og/eller kosistete estimator (de sidste fra sidste forelæsig) Ko desiterval for store datasæt kap. 9.4 Ko desiterval for små datasæt kap.

Læs mere

Lidt Om Fibonacci tal

Lidt Om Fibonacci tal Lidt om Fioi tl Lidt Om Fioi tl Idhold. Defiitio f Fioi tllee.... Kivl... 3. Telefokæder....3 4. E formel for Fioi tllee...4 Ole Witt-Hse 008 Lidt om Fioi tl. Defiitio f Fioi tllee Fioi tllee er opkldt

Læs mere

cos(t), v(t) = , w(t) = e t, z(t) = e t.

cos(t), v(t) = , w(t) = e t, z(t) = e t. Aalyse Øvelser Rasmus Sylvester Bryder. og. oktober 3 Bevis for Cotiuity lemma Theorem. Geemgås af Michael Staal-Olse. Bevis for Lemma.8 Dee har vi faktisk allerede vist; se Opgave 9.5 fra Uge. Det er

Læs mere

Bachelorprojekt for BSc-graden i matematik

Bachelorprojekt for BSc-graden i matematik D E T N A T U R V I D E N S K A B E L I G E F A K U L T E T K Ø B E N H A V N S U N I V E R S I T E T Bachelorprojekt for BSc-grade i matematik Mikkel Abrahamse & Sue Precht Reeh Ekstremal grafteori Vejleder:

Læs mere

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, Følsomhed af Knapsack Problemet

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, Følsomhed af Knapsack Problemet DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Følsomhed af Kapsack Problemet David Pisiger, Projektopgave 1 Dette er de første obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig

Læs mere

Situationen er illustreret på figuren nedenfor. Her er også afsat nogle eksempler: Punktet på α giver anledning til punktet Q

Situationen er illustreret på figuren nedenfor. Her er også afsat nogle eksempler: Punktet på α giver anledning til punktet Q 3, 45926535 8979323846 2643383279 50288497 693993750 5820974944 592307864 0628620899 8628034825 34270679 82480865 3282306647 0938446095 505822372 535940828 4874502 84027093 85205559 6446229489 549303896

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Fourieranalyse

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Fourieranalyse MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Fourieraalyse. udgave 7 FORORD Dette otat giver e kort idførig i teorie for fourierrækker og fouriertrasformatio. Det forudsættes i dette otat, at ma har rådighed over matematiklommeregere

Læs mere

Projekt 0.4 Modulo-regning, restklassegrupperne ( lille sætning. {} 0, ) og Fermats { } ...,-44,-20,4,28,52,...

Projekt 0.4 Modulo-regning, restklassegrupperne ( lille sætning. {} 0, ) og Fermats { } ...,-44,-20,4,28,52,... Projekter: Kaitel 0. Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruer og Fermats lille sætig Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruere ( {} 0, ) og Fermats lille sætig Vi aveder moduloregig og restklasser mage

Læs mere

Projekt 4.1 Potensbegrebet og geometriske rækker

Projekt 4.1 Potensbegrebet og geometriske rækker Hvd er mtemtik? C, i-bog ISBN 978 87 766 499 8 Projekter: pitel 4 Projekt 4. Potesbegrebet og geometriske rækker Vi hr defieret e ekspoetiel vækst, som e vækstmodel, hvor de fhægige vribel, - værdie, fremskrives

Læs mere

Rettevejledning til HJEMMEOPGAVE 1 Makro 1, 2. årsprøve, foråret 2007 Peter Birch Sørensen

Rettevejledning til HJEMMEOPGAVE 1 Makro 1, 2. årsprøve, foråret 2007 Peter Birch Sørensen Rettevejledig til HJEMMEOPGAVE Makro, 2. årsprøve, foråret 2007 Peter Birch Sørese Opgave... Udsaget er forkert. De omtalte skatteomlægig må atages at øge beskæftigelse p.gr.a. e positiv substitutioseffekt

Læs mere

Yngre Lægers medlemsundersøgelse om det lægelige arbejdsmarked, 2016

Yngre Lægers medlemsundersøgelse om det lægelige arbejdsmarked, 2016 Ygre Læger, 23. maj 216 Ygre Lægers medlemsudersøgelse om det lægelige arbejdsmarked, 216 - svarfordeliger på ladspla Idholdsfortegelse 1. Idledig... 2 2. Baggrudsvariable... 2 3. Vide om arbejdspladse

Læs mere

STATISTISKE GRUNDBEGREBER

STATISTISKE GRUNDBEGREBER MOGENS ODDERSHEDE LARSEN STATISTISKE GRUNDBEGREBER med avedelse af TI 89 og Excel 8 5 9 6 3 0 Histogram for ph 6,9 7, 7,3 7,5 7,7 7,9 ph. udgave 0 FORORD Der er i dee bog søgt at give letlæst og askuelig

Læs mere

Kompendie Komplekse tal

Kompendie Komplekse tal Kompedie Komplekse tal Prebe Holm 08-06-003 "!#!%$'&($)+*-,. cos(s + t) )0/ si(s + t) Trigoometri er måske ikke så relevat, år ma såda umiddelbart sakker om komplekse tal. Me faktisk avedes de trigoometriske

Læs mere

Statistiske test. Efteråret 2010 Jens Friis, AAU. Hjemmeside :

Statistiske test. Efteråret 2010 Jens Friis, AAU. Hjemmeside : Statistiske test Efteråret 00 Jes Friis, AAU Hjemmeside : http://akaaudk/jfj Kotiuerte fordeliger Defiitio: Tæthedsfuktio E sadsylighedstæthedsfuktio på R er e itegrabel fuktio f : R [0; [ hvor f d = Defiitio:

Læs mere

Kap 1. Procent og Rentesregning

Kap 1. Procent og Rentesregning Idhold Kp. Procet og Retesregig.... Regig med proceter.... Reteformle.... Geemsitlig retefod (vækstrte)... Kp Opsprigs- og gældsuiteter...5. Auiteter...5. Sumformel for e kvotietrække...5. Opsprigsuitet...6.

Læs mere

Induktionsbevis og sum af række side 1/7

Induktionsbevis og sum af række side 1/7 Iduktosbevs og sum af række sde /7 Skrver ma,,,...,,..., =, 2, 3,... 2 3 taler ma om e talfølge, eller blot e følge. Adre eksempler på følger er, -,, -,, -,..., (-) +,..., =, 2, 3,..., 2, 3, 4,...,,...,

Læs mere

HASTIGHEDSKORT FOR DANMARK VHA. GPS

HASTIGHEDSKORT FOR DANMARK VHA. GPS HASTIGHEDSKORT FOR DANMARK VHA. GPS Ove Aderse xcalibur@cs.aau.dk Istitut for Datalogi Aalborg Uiversitet Harry Lahrma lahrma@pla.aau.dk Trafikforskigsgruppe Aalborg Uiversitet Kristia Torp torp@cs.aau.dk

Læs mere

BEVISER TIL KAPITEL 7

BEVISER TIL KAPITEL 7 BEVISER TIL KAPITEL 7 A. Komplemetærhædelse Det er klart, at e hædelse A og de komplemetære hædelse A udgør hele udfaldsrummet U, dvs. A A = Da fås P(U = U P(A A = P (A + P(A = da de to hædelser er dsjukte

Læs mere