Foldningsintegraler og Doobs martingale ulighed
|
|
- Anita Lindholm
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Foldningsintegraler og Doobs martingale ulighed N.J. Nielsen Indledning I dette notat vil vi vise en sætning om foldningsintegraler, som blev benyttet trin 2 i onstrutionen af Itointegralet, gennemgå esempel hos Øsendal og give er bevis for Doobs martingale ulighed. 1 Nogle foldningsintegraler Dette er un medtaget, hvis nogle af jer er interesserede i at se, hvordan man får integraludtryet i trin 2 af onstrutionen af Itointegralet til at onvergere mod h. Lad T > og lad (ψ n ) være en følge af ie negative ontinuerte funtioner på R, som opfylder: (i) ψ n (x) = for alle x n 1 og alle x. (ii) ψ(x)dx = 1 for alle n N. Bemær, at da ψ n er ontinuert og lig udenfor det ompate interval [ n 1, ], er ψ n en begrænset funtion. For ethvert f L 1 ([, T ]) har følgende integral derfor mening: (f ψ n )(t) = f(s)ψ n (s t)ds for alle t [, T ] og alle n N. (1.1) Integraler af formen (1.1) aldes foldningsintegraler og spiller en stor rolle i matematis analyse. I forelæsningerne lod vi onret grafen for ψ n være benene i en ligebenet treant med grundlinie [ n 1, ] og højde 2n. I det følgende får vi ofte brug for at substituere i integraler af formen (1.1), og det er derfor pratis at udvide en funtion f L 1 ([, T ]) til ], T ] ved at sætte f(s) = for alle s <. Med denne onvention an (1.1) srives: (f ψ n )(t) = f(s)ψ n (s t)ds for alle t [, T ] og alle n N (1.2) 1
2 Vi får brug for følgende to lemmaer: Lemma 1.1 Hvis 1 p <, f L p ([, T ]) og n N, vil f ψ n L p ([, T ]) med f ψ n p f p. Bevis: Vi sætter f(s) = for alle s < og fastholder et t [, T ]. Da ψ (s t)ds = 1, er n målet defineret ved dµ = ψ n (s t)ds et sandsynlighedsmål, og Jensens ulighed giver derfor: (f ψ n )(t) p f(s) p ψ n (s t)ds. Hvis vi integrerer (1.3) fra til T og bruger Fubinis sætning, får vi, at f(s) p ψ n (s t)ds (1.3) Dette viser påstanden. (f ψ n )(t) p dt f(s) p ψ n (s t)dtds s f(s) p ψ n (s t)dsdt = (1.4) f(s) p ds. Lemma 1.2 Lad g : [, T ] R være ontinuert med g() =. Da gælder (i) (g ψ n )(t) g(t) uniformt for t [, T ]. (ii) g ψ n g i L p ([, T ]) for alle 1 p <. Bevis: Som ovenfor udvider vi g til ], T ] ved at sætte g(t) = for alle t <. Da g() =, er også det udvidede g ontinuert. For at vise (i) lader vi ε >. Da g er uniformt ontinuert, findes der et δ >, således at t s δ g(t) g(s) ε for alle s, t ], T ]. Lad nu n være bestemt, så n 1 δ, og lad t [, T ] og n n være vilårlige. Da psi n (s t)ds = 1, vil (g ψ n )(t) g(t) = (g(s) g(t))ψ n (s t)ds, således at (g ψ n )(t) g(t) ε ψ(s t)ds = ε. g(t) g(s) ψ n (s t)ds 2
3 Dette viser den uniforme onvergens. Lad nu 1 p <. For at vise (ii) bemærer vi, at (i) giver, at (g ψ n )(t) g(t) p uniformt for t [, T ], hvilet giver, at g ψ n g p p = (g ψ n )(t) g(t) p dt, således at g ψ n g i L p ([, T ]). Man an naturligvis også bruge den puntvise onvergens fra (i) sammen med majoriseret onvergens. Vi an nu vise den sætning, som vi bruger i trin 2 i onstrutionen af Itointegralet hos Øsendal (tilfældet p = 2). Sætning 1.3 Lad 1 p <. Hvis f L p ([, T ]), så vil f ψ n f i L p ([, T ]) for n. Bevis: Lad f L p ([, T ]) og ε > være vilårlige. Da mængden af reelle ontinuerte funtioner med ompat støtte i ], T [ er tæt i L p ([, T ]), an vi finde en ontinurt funtion g : [, T ] R med g() =, så f g p ε. Ifølge Lemma 1.2 an vi finde et n N, således at g ψ n g p ε for alle n n. Hvis n n, giver Lemma 1.1 og treantsuligheden, at f ψ n p (f g) ψ n p + g ψ n g p + g f p 2 f g p + ε 3ε. Dette viser påstanden. 2 Øsendals Esempel Vi vil her vise følgende sætning: Sætning 2.1 Hvis t så vil B sdb s = 1 2 B2 t 1 2 t Bevis: Lad for ethvert n N (t n ) være den sædvanlige inddeling af intervallet fra [, t] og definer elementarfuntionen φ n ved φ n (s, ω) = B t (ω)1 [t n,t n +1 [ (s) for alle s og alle ω Ω. 3
4 Vi ønser at vise, at φ n B i L 2 ([, t] Ω). Lad ε > og bestem n N, så 2 n ε. For alle n n finder vi: E( (B s φ n ) 2 ds = (B s ) 2 = t n (s t n )ds = 1 (t n +1 t n 2 ) 2 n +1 t n 1 2 ε (t n +1 t n ) = 1 2 εt, ge n +1 hvilet viser påstanden. Øsendals Korollar giver nu, at B s db s = lim hvor onvergensen er i L 2 (P ). Hvis u < v finder vi: hvilet giver: n φ n db = lim n B t n (B t n +1 ), B 2 v = (B u + (B v B u )) 2 = (B v B u ) 2 + B 2 u + 2B u (b v B u ), (2.1) B 2 t = (B 2 t n +1 B2 t n ) = (B t n +1 ) B t n (B t n +1 ), således at φ n db = 1 2 (B2 t (B t n +1 ) 2 ). For at vise påstanden, sal vi derfor vise, at (B t n +1 ) 2 t for n, (2.2) hvor onvergensen er i L 2 (P ). Idet vi et øjebli undlader at srive indeset n, finder vi E(( (B t+1 B t ) 2 t) 2 = E( (B t+1 B t ) 2 ) 2 + t 2 + 2t E(B t+1 B t ) 2 = E( t+1 B t ) (B 2 ) 2 t 2. (2.3) Vi sal altså vurdere første led efter sidste lighedstegn i (2.3). I første omgang får vi: E( (B t+1 B t ) 2 ) 2 =,j E(B tj+1 B tj ) 2 (B t+1 B t ) 2. (2.4) 4
5 Hvis j <, er (B tj+1 B tj ) 2 uafhængig af (B t+1 B t ) 2, så E(B tj+1 B tj ) 2 (B t+1 B t ) 2 = (t j+1 t j )(t +1 t ), og derfor er j E(B tj+1 B tj ) 2 (B t+1 B t ) 2 = j (t j+1 t j )(t +1 t ) < t 2. (2.5) For = j finder vi: E(B t+1 B t ) 4 = 3 (t +1 t ) 2, (2.6) hvor vi har benyttet, at hvis en stoastis variabel X er normaltfordelt N(, σ 2 ), så er EX 4 = 3σ 4 (se Opgave 8 i Opgavehæftet for Sandsynlighedsteori I). Sammenfatter vi nu (2.3) (2.6), finder vi, at E( (B t n +1 ) 2 t) 2 3 (t n +1 t n ) 2. (2.7) I første del af beviset viste vi, at højresiden af (2.7) går mod, når n, hvormed vi har vist det ønsede. Når vi har lært Itos formel, får vi en lettere måde at regne Itointegraler ud på. Det ovenstå ende svarer jo til, at vi regnede alle Riemannintegraler ud ved hjælp af middelsummer. 3 Doobs martingale ulighed Vi sal i dette afsnit vise Doobs martingale ulighed, som udsiger: Sætning 3.1 Lad (M t ) være en martingale relativ til filtreringen (M t ) af F, således at funtionen t M t (ω) er ontinuert for n.a. ω Ω. For ethvert 1 p <, ethvert T og ethvert λ > gælder der P ( sup M t λ) λ p E( M T p ) t [,T ] Bevis: Vi lader 1 p <, λ > og T være vilårlige. Vi forudsætter desuden, at M T L p (P ), thi ellers står der jo på højresiden af uligheden, så den bliver triviel. Af tenise grunde vil vi først vise P ( sup M t > λ) λ p E(M T p ) (3.1) t [,T ] 5
6 Beviset for (3.1) falder i tre trin, hvor trin 1 svarer til Williams Sætning Bemær, at alle sandsynlighedsteorestise argumenter ommer i trin 1, samt at ontinuiteten af M t først benyttes i trin 3. Trin 1: Lad F være en endelig delmængde af [, T ]. Vi vil vise, at P (max t F M t > λ) λ p E( M T p ) (3.2) Vi nummererer F, lad os sige F = {t 1, t 2,, t n }, hvor t 1 < t 2 < < t n T. Lad τ : Ω N { } være defineret ved: τ(ω) = inf{ M t (ω) > λ}, hvor vi sætter inf =. τ er en stoppetid, this hvis 1 n, så er: {w τ(ω) = } = {ω M t (ω) > λ} 1 j=1 {M t j (ω) λ} M t. Lad os for ortheds syld sætte A = {ω max t F M t (ω) > λ}. Vi påstår at: A = n =1(τ = ) (3.3) Hvis ω A, findes der t F, så M t (ω) > λ, og lader vi t være det mindste sådanne t, vil τ(ω) =, så ω er med på højresiden af (3.3). Hvis ω tilhører højresiden af (3.3), findes det et 1 n med τ(ω) =, men da vil max t F M t (ω) M t (ω) > λ, så ω A. Dermed er (3.3) verificeret. Da (M t ) er en martingale, giver Jensens ulighed for betingede middelværdier, at der for alle 1 n gælder E( M T p M t ) E(M T M t ) p = M t p. (3.4) Ved benyttelse af (3.3) og (3.4) finder vi: n =1 E( M T p ) (τ=) A M T p dp = E( M T p M t )dp λ p n =1 n =1 (τ=) (τ=) n P (τ = ) = λ p P (A), =1 M T p dp = (3.5) M t p dp hvilet er det samme som (3.2). Ved det andet lighedstegn af (3.5) har vi benyttet, at for alle 1 n vil (τ = ) M t. Vi har dermed vist trin 1. Trin 2: 6
7 Her vil vi vise, at P ( sup t [,T ] Q M t > λ) λ p E( M T p ) (3.6) Da mængden [, T ] Q er tællelig, an vi srive den som en følge; lad os sætte [, T ] Q = {q N} Vi sætter endvidere F n = {q j 1 j n}. Da F n er en endelig mængde, giver Trin 1, at P (max M t > λ) λ p E( M T p ) for alle n N. (3.7) t F n Vi påstår, at ( sup M t > λ) = n=1(max M t > λ). (3.8) t Q [,T ] t F n Hvis nemlig ω tilhører venstresiden af (3.8), vil sup t Q [,T ] M t (ω) > λ, og der findes derfor et t Q [, T ] med M t (ω) > λ (bemær, at det er væsentligt her, at der gælder sarpt ulighedstegn ved supremaet). Vælges n nu, så t = q n, vil t F n, og derfor vil max v Fn M v (ω) > λ, hvilet viser, at ω tilhører højresiden af (3.8). Hvis omvendt ω tilhører højresiden af (3.8), findes et n, så λ < max t F n M t (ω) sup M t (ω), t Q [,T ] hvilet viser, at ω tilhører venstresiden af (3.8); hermed er lighedstegnet i denne formel etableret. Vi bemærer, at mængderne på højresiden af (3.8) udgør en vosende følge af mængder, så (3.7) giver P ( sup M t > λ) = lim P (max M t > λ) λ p E( M T p ), n t F n t Q [,T ] således, at (3.6) er vist. Trin 3: Vi vil vise: ( sup M t > λ) = n.s sup M t > λ), (3.9) t [,T ] t Q [,T ] hvor = n.s betyder, at de to mænder er ens, når der fjernes en nulmængde. Lad ω tilhøre venstresiden af (3.9), således at funtionen t M t (ω) er ontinuert (herved har vi fjernet en nulmængde). Der findes derfor et t [, T ] med M t (ω) > λ, og da Q [, T ] er tæt i [, T ], findes en følge (q n ) Q [, T ], så q n t, og ontinuiteten sirer, at M qn (ω) M t (ω). Derfor vil også M qn (ω) M t (ω) > λ, hvilet medfører, at M qn (ω) > λ for n tilstræelig stor, hvilet viser, at ω tilhører højresiden af (3.9). Da den anden inlusion er lar, har vi vist (3.9). Sammenholder vi nu Trin 2 og 3 får vi (3.1), som sulle vises. Vi mangler nu blot at fjerne det sarpe ulighedstegn i (3.1). For ethvert n N giver (3.1), at P ( sup M t > (λ n 1 )) (λ n 1 ) p E( M T p ). (3.1) t [,T ] 7
8 Da lart ( sup M t λ) = n=1( sup M t > (λ n 1 )), (3.11) t [,T ] t [,T ] og mængderne på højresiden af (3.11) udgør en aftagende følge af mængder, giver (3.1), at P (sup t [, T ] M t λ) = lim P ( sup M t > (λ n 1 )) n t [,T ] lim n (λ n 1 ) p E( M T p ) = λ p E( M T p ), hvilet fuldfører beviset for sætningen. Det er let at se, at den ovenstående bevis også an gennemføres for ontinuerte submartingales,; det vigtigste er fatis at indse, at uligheden (3.4) gælder for submartingales. Doobs ulighed gælder derfor for ontinuerte submartingales. 8
Indledning. 1 Martingalerepræsentationssætningen
Indledning I disse noter vil uddybe nogle af Øksendals resultater i afsnittene 4 og 7 samt give andre beviser for dem. Disse resultater er gennemgået til forelæsningerne. 1 Martingalerepræsentationssætningen
Læs mereProjekt 5.3 De reelle tal og 2. hovedsætning om kontinuitet
Projet 53 De reelle tal og 2 hovedsætning om ontinuitet Mens den 1 hovedsætning om ontinuerte funtioner om forholdsvis smertefrit ud af intervalrusebetragtninger, så er 2 hovedsætning betydeligt vanseligere
Læs mereUGESEDDEL 7 LØSNINGER. Opgave 7.2.1
UGESEDDEL 7 LØSNINGER Opgave 7.2.1 Definition 1. En følge {x } in R n onvergerer mod puntet x, dersom der, for ethvert ɛ > 0, findes et N N sådan at x x < ɛ for alle N. Her definerer vi 1) x x 2 = x 1)
Læs mereA. Appendix: Løse ender.
Løse ender A.1 A. Appendix: Løse ender. (A.1). I dette appendix giver vi et bevis for Bertrand s Postulat, nævnt i Kapitel 1. Som nævnt følger Postulatet af en tilstræelig nøjagtig vurdering af primtalsfuntionen
Læs mereUGESEDDEL 7 LØSNINGER. ) og ɛ > 0 N N : (1 + konvergerer ikke, thi følgen x 1 + = ( 1)k
UGESEDDEL 7 LØSNINGER Opgave 7.2. Definition. En følge {x } in R n onvergerer mod puntet x, dersom der, for ethvert ɛ > 0, findes et N N sådan at x x < ɛ for alle N. Her definerer vi ) x x 2 = x ) x )
Læs mereEksamen 2014/2015 Mål- og integralteori
Eksamen 4/5 Mål- og integralteori Københavns Universitet Institut for Matematiske Fag Formalia Eksamensopgaven består af 4 opgaver med ialt spørgsmål Ved bedømmelsen indgår de spørgsmål med samme vægt
Læs mereJ n (λ) = dvs. n n-jordan blokken med λ i diagonalen. Proposition 1.2. For k 0 gælder. nullity (J n (λ) λi) k 1) 1 for 1 k n. n for k n.
. Jordan normalform Målet med dette notat er at vise hvorledes man ud fra en given matrix beregner dens Jordan normalform. Definition.. For n og λ C sættes λ 0... 0. 0 λ... J n λ).......... 0....... λ
Læs mereAnalyse 2. Bevis af Fatous lemma (Theorem 9.11) Supplerende opgave 1. Øvelser
Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 24. og 27. september 203 Bevis af Fatous lemma (Theorem 9.) Hvis (u j ) j er en følge af positive, målelige, numeriske funktioner (dvs. med værdier i [, ]) over
Læs mereEn martingalversion af CLT
Kapitel 11 En martingalversion af CLT Når man har vænnet sig til den centrale grænseværdisætning for uafhængige, identisk fordelte summander, plejer næste skridt at være at se på summer af stokastiske
Læs mereDen Brownske Bevægelse
Den Brownske Bevægelse N.J. Nielsen 1 Notation I dette notesæt vil vi generelt benytte samme notation som i det øvrige undervisningsmateriale i MM23. For ethvert n N betegner B n Borelalgebraen på R, og
Læs mereSupplerende opgaver. S1.3.1 Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at
Supplerende opgaver Analyse Jørgen Vesterstrøm Forår 2004 S.3. Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at (A B C) (A B C) (A B) C og find en nødvendig og tilstrækkelig betingelse for at der gælder lighedstegn
Læs mereMomenter som deskriptive størrelser. Hvad vi mangler fra onsdag. Momenter for sandsynlighedsmål
Hvad vi mangler fra onsdag Momenter som deskriptive størrelser Sandsynlighedsmål er komplicerede objekter de tildeler numeriske værdier til alle hændelser i en σ-algebra. Vi har behov for simplere, deskriptive
Læs mereHvad vi mangler fra onsdag. Vi starter med at gennemgå slides fra onsdag.
Hvad vi mangler fra onsdag Vi starter med at gennemgå slides 34-38 fra onsdag. Slide 1/17 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 6. December, 2013 Momenter som deskriptive størrelser Sandsynlighedsmål er
Læs mereBernoullis differentialligning v/ Bjørn Grøn Side 1 af 10
Bernoullis differentialligning v/ Bjørn Grøn Side af 0 Bernoullis differentialligning Den logistise differentialligning er et esempel på en ie-lineær differentialligning Den logistise differentialligning
Læs mereBilag 5: DEA-modellen Bilaget indeholder en teknisk beskrivelse af DEA-modellen
Bilag 5: DEA-modellen Bilaget indeholder en tenis besrivelse af DEA-modellen FRSYNINGSSERETARIATET INDLEDNING... 3 INPUTSTYRET DEA-MDEL... 3 UTPUTSTYRET DEA-MDEL... 7 SALAAFAST... 12 2 Indledning Data
Læs mereEn martingalversion af CLT
Kapitel 9 En martingalversion af CLT Når man har vænnet sig til den centrale grænseværdisætning for uafhængige, identisk fordelte summander, plejer næste skridt at være at se på summer af stokastiske variable,
Læs mereWigner s semi-cirkel lov
Wigner s semi-cirkel lov 12. december 2009 Eulers Venner Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Diagonalisering af selvadjungeret matrix Lad H være en n n matrix med komplekse
Læs mere= λ([ x, y)) + λ((y, x]) = ( y ( x)) + (x y) = 2(x y).
Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 17. og 20. september 2013 Supplerende opgave 1 Lad λ være Lebesgue-målet på R og lad A B(R). Definér en funktion f : [0, ) R ved f(x) = λ(a [ x, x]). Vis, at f(x)
Læs mereGult Foredrag Om Net
Gult Foredrag Om Net University of Aarhus Århus 8 th March, 2010 Introduktion I: Fra Metriske til Topologiske Rum Et metrisk rum er en mængde udstyret med en afstandsfunktion. Afstandsfunktionen bruges
Læs mereNumerisk løsning af differentialligninger
KU-LIFE; Matemati og modeller 009 Numeris løsning af differentialligninger Thomas Vils Pedersen 1 Numerise metoder Ved numeris analyse forstås tilnærmet, talmæssig løsning af problemer, som ie, eller un
Læs mereTaylors formel. Kapitel Klassiske sætninger i en dimension
Kapitel 3 Taylors formel 3.1 Klassiske sætninger i en dimension Sætning 3.1 (Rolles sætning) Lad f : [a, b] R være kontinuert, og antag at f er differentiabel i det åbne interval (a, b). Hvis f (a) = f
Læs mereFortolkning. Foldning af sandsynlighedsmål. Foldning af tætheder. Foldning af Γ-fordelinger Eksempel: Hvis X og Y er uafhængige og. Sætning (EH 20.
Foldning af sandsnlighedsmål Lad µ og ν være to sandsnlighedsmål på (R, B). Fortolkning Lad φ : R R være φ(, ) = + for (, ) R. Lad X og Y være to reelle stokastiske variable defineret på (Ω, F, P). Definition
Læs mereBesvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 03
IMFUFA Carsten Lunde Petersen Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 0 Hvor ikke andet er angivet er henvisninger til W.R.Wade An Introduction to analysis. Opgave a) Idet udtrykket e x2 cos
Læs mereStokastisk Kalkyle F06
Forelæsningsnoter til Stokastisk Kalkyle F6 Svend Erik Graversen Januar 26 Institut for Matematiske Fag Det Naturvidenskabelige Fakultet Aarhus Universitet. 1 Indledning. Alle i det følgende nævnte processer
Læs mereMat H /05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb
Mat H 1 2004/05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb Nødvendige og tilstrækkelige betingelser for ekstremum, konkave og konvekse funktioner. Fremstillingen i Kapitel 13.1 2 af Sydsæters bog [MA1] suppleres her med
Læs mereTØ-opgaver til uge 45
TØ-opgaver til uge 45 Først laver vi en liste over de ligninger med mere i [IPT], der skal bruges: [1]: Ligning (2.5) på side 4. [2]: Ligning (2.6) på side 5. [3]: Sætning 3.1, ligning (3.3) på side 7.
Læs mereSandsynlighedsteori 1.1 Uge 44.
Institut for Matematiske Fag Aarhus Universitet Den 18. oktober 2004. Sandsynlighedsteori 1.1 Uge 44. Forelæsninger: Vi afslutter foreløbigt den rene mål- og integralteori med at gennemgå afsnittet Produktmål,
Læs mere1 Beviser for fornyelsessætningen
Hvordan beviser man fornyelsessætningen? 1 1 Beviser for fornyelsessætningen I dette notat skal vi diskutere, hvorman man kan bevise fornyelsessætningen. Vi vil starte med at se på tilfældet, hvor ventetidsfordelingen
Læs mereAnalyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X).
Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 3. og 6. september 2013 Gennemgå bevis for Sætning 2.10 Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Bevis. Der findes en injektion X P(X), fx givet ved x
Læs merestandard normalfordelingen på R 2.
Standard normalfordelingen på R 2 Lad f (x, y) = 1 x 2 +y 2 2π e 2. Vi har så f (x, y) = 1 2π e x2 2 1 2π e y2 2, og ved Tonelli f dm 2 = 1. Ved µ(a) = A f dm 2 defineres et sandsynlighedsmål på R 2 målet
Læs mereStokastisk Kalkyle II E05
Forelæsningsnoter til Stokastisk Kalkyle II E5 Svend Erik Graversen August 25 1 Indledning. En del af det, jeg vil fortælle jer her i starten, vil være vel kendt, men da det indeholder en lidt anden vinkel
Læs mereReeksamen 2014/2015 Mål- og integralteori
Reeksamen 4/5 Mål- og integralteori Københavns Universitet Institut for Matematiske Fag Formalia Eksamensopgaven består af 4 opgaver med ialt spørgsmål. Ved bedømmelsen indgår de spørgsmål med samme vægt.
Læs mereDiskrete fordelinger. Fire vigtige diskrete fordelinger: 1. Uniform fordeling (diskret) 2. Binomial fordeling. 3. Hyper-geometrisk fordeling
Disrete fordelinger Fire vigtige disrete fordelinger: 1. Uniform fordeling (disret) 2. Binomial fordeling 3. Hyper-geometris fordeling 4. Poisson fordeling 1 Uniform fordeling Definition Esperiment med
Læs mereOm hypoteseprøvning (1)
E6 efterår 1999 Notat 16 Jørgen Larsen 11. november 1999 Om hypoteseprøvning 1) Det grundlæggende problem kan generelt formuleres sådan: Man har en statistisk model parametriseret med en parameter θ Ω;
Læs mereEn differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby
24 En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby Det er velkendt for de fleste, at differentiabilitet af en reel funktion f medfører kontinuitet af f, mens det modsatte ikke gælder
Læs mereOm Følger og Rækker. Nyttige Grænseværdier. Nyttige Rækker. Carsten Lunde Petersen. lim. lim = 0. lim (1 + x n n )n = e x. n n n.
IMFUFA Carste Lude Peterse Om Følger og Ræer Nyttige Græseværdier lim = 1 lim! = x = 0! lim lim (1 + x ) = e x! lim = e 1 Nyttige Ræer 1 p < p > 1 1 log p ( + 1) < p > 1 x = = x 1 x for x < 1 og Z, diverget
Læs mereKlassisk Taylors formel
p. 1/17 Klassisk Taylors formel Sætning Lad f : (a, b) R være n gange differentiabel. For x 0, x (a, b) findes et ξ mellem x 0 og x der opfylder at f(x) = f(x 0 )+ f (x 0 ) 1! (x x 0 )+...+ f(n 1) (x 0
Læs mereAfgør for hver af følgende rækker om den er divergent, betinget konvergent eller absolut konvergent. 2 n. n=1 2n (n + 1)2 1 = 2(n + n+1
Analyse Reeksamen 00 Rasmus Sylvester Bryder 5. august 0 Opgave Afgør for hver af følgende rækker om den er divergent, betinget konvergent eller absolut konvergent. ( ) n n +3n+7 n= n + For alle n N vil
Læs mereStokastisk integration med anvendelser
tokastisk integration med anvendelser Frank Hansen 23. januar 24 Indhold 1 Mål og integralteori 3 1.1 Målrum........................................ 3 1.2 Mål og udvidelse af mål..............................
Læs mereBetingning med en uafhængig variabel
Betingning med en uafhængig variabel Sætning Hvis X er en reel stokastisk variabel med første moment og Y er en stokastisk variabel uafhængig af X, så er E(X Y ) = EX. Bevis: Observer at D σ(y ) har formen
Læs mereKalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger
Kalkulus - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Mads Friis 8. januar 05 Indhold Grundlæggende uligheder Grænseovergange 3 3 Kontinuitet 9 4 Følger 0 5 Perspektivering 4 Grundlæggende uligheder Sætning
Læs mereEksamensnoter til Analyse 1
ksamensnoter til Analyse 1 Martin Geisler gimpster@daimi.au.dk Sommer 23 Indledning Disse noter gennemgår de 26 spørgsmål stillet til den mundtlige eksamen i Analyse 1 ved Aarhus Universitet sommeren 23.
Læs mereEt eksperiment beskrives af et udfaldsrum udstyret med et. alle mulige resultater af eksperimentet
Sandsynlighedsteori Et eksperiment beskrives af et udfaldsrum udstyret med et sandsynlighedsmål, (X, E, ν). Udfaldsrummet X indeholder alle mulige resultater af eksperimentet men ofte også yderligere elementer
Læs mereBorel-σ-algebraen. Definition (EH 1.23)
Borel-σ-algebraen Definition (EH 1.23) Borel-σ-algebraen B k på R k er σ-algebraen frembragt af de åbne mængder O k. Andre frembringersystemer for B k : De afsluttede mængder. De åbne kasser I k (k = 1,
Læs mereSkriftlig Eksamen Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM528)
Skriftlig Eksamen Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM528) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Mandag den 3 Januar 2011, kl. 9 13 Alle sædvanlige hjælpemidler
Læs mereHvorfor er normalfordelingen så normal?
Hvorfor er normalfordelingen så normal? Søren Højsgaard Institut for Matematiske Fag, Aalborg Universitet October 24, 2018 normalfordelingen så normal? October 24, 2018 1 / 13 Højde af kvinder Histogram
Læs mereSandsynlighedsteori. Sandsynlighedsteori. Sandsynlighedsteori Et eksperiment beskrives af et udfaldsrum udstyret med et. Et Bayesiansk argument
Sandsynlighedsteori Sandsynlighedsteori Et eksperiment beskrives af et udfaldsrum udstyret med et sandsynlighedsmål, (, E, ν). Et eksperiment beskrives af et udfaldsrum udstyret med et sandsynlighedsmål,
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Uafhængighed og reelle transformationer Helle Sørensen Uge 8, mandag SaSt2 (Uge 8, mandag) Uafh. og relle transf. 1 / 16 Program I dag: Uafhængighed af kontinuerte
Læs mereProjekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable
Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Differentialligninger af tpen d hx () hvor hx ()er en kontinuert funktion, er som nævnt blot et stamfunktionsproblem. De løses
Læs mere2. Fourierrækker i en variabel
.1. Fourierrækker i en variabel I Kapitel II 7 blev der indført, dels funktionsrummene L p (X, µ) (mere udførligt skrevet L p (X, E, µ)), dels rummene L p (X, µ), der fås af L p (X, µ) ved at funktioner
Læs merea ortogonal med b <=> ( ) 4p q
STX Mat A.maj 9 KP NB: i opg -5, som er uden hjælpemidler, benytter jeg her un Mathcad som srivemasine og bruger derfor onsevent det logise (fede) lighedstegn, da det ie har regnemæssige følger. Opg. a
Læs mereIntroduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)
Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer
Læs mereMASO Uge 1. Relle tal Følger. Jesper Michael Møller. 10. september Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 1 Relle tal Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen 10. september 2018 Oversigt Relle tal Notation Tal Største og mindste element, mindste overtal og største undertal
Læs mereMASO Uge 5. Topologi i euklidiske rum. Jesper Michael Møller. Uge 5. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 5 Topologi i euklidiske rum Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 5 Formålet med MASO Oversigt Åbne og afsluttede mængder Det indre, det ydre, afslutningen,
Læs mereLineære 1. ordens differentialligningssystemer
enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære
Læs mereHistogrammetoden For (x i, y i ) R 2, i = 1,..., n, ser vi på den gennemsnitlige. Histogrammetoden. Histogrammetoden.
For ( i, y i ) R 2, i =,, n, ser vi på den gennemsnitlige længde: z = n hvor z i = i 2 + yi 2 Indfør tabellen samt vægtene Da er z i = n 2 i + y 2 i a k = #{i 00z i = k}, k N 0 z ned := ν k = a k n 00kν
Læs meren=1 er veldefineret for alle følger for hvilke højresiden er endelig. F.eks. tilhører følgen
2 Hilbert rum 2. Eksempler på Hilbert rum Vi skal nu først forsøge at begrunde, at de indre produkt rum af funktioner eller følger, som blev indført i Kapitel, ikke er omfattende nok til vores formål.
Læs mereMASO Uge 1. Relle tal Følger. Jesper Michael Møller. 7. september Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 1 Relle tal Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen 7. september 2016 Formålet med MASO Integer sequences Oversigt Relle tal Notation Tal Overtal og undertal Største
Læs mereApproximations-algoritmer. Løsningsmetoder for NP -hårde opt.problemer
Motivation Definitioner Approximations-algoritme for nudeoverdæning Approximations-algoritme for TSP med treantsulighed Negativt resultat om generel TSP Approximations-algoritme for SET-OVERING Fuldt polynomiel-tids
Læs mereLineære 1. ordens differentialligningssystemer
enote 7 enote 7 Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses Der bruges egenværdier og egenvektorer i løsningsproceduren,
Læs mereIntegration m.h.t. mål med tæthed
Integration m.h.t. mål med tæthed Sætning (EH 11.7) Lad ν = f µ på (X, E). For alle g M + (X, E) gælder at gdν = g f dµ. Bevis: Standardbeviset: 1) indikatorfunktioner 2) simple funktioner 3) M + -funktioner.
Læs merefordi de to sider ligger over for vinkler af samme størrelse (vist på tegningen med dobbeltbue.)
Opgave Da treanterne ABC og DEF er ensvinlede, er de også ligedannede. Forstørrelsesfatoren findes med formlen DE = AB fordi de to sider ligger over for vinler af samme størrelse (vist på tegningen med
Læs mere5.3 Konvergens i sandsynlighed Konvergens i sandsynlighed 55. Hvis vi regner den karakteristiske funktion for X, v ud i argumentet 1, fås
5.3. Konvergens i sandsynlighed 55 BEVIS: Lad φ 1, φ 2,... og φ være de karakteristiske funktioner for X 1, X 2,... og X. Hvis vi regner den karakteristiske funktion for X, v ud i argumentet 1, fås φ X,v
Læs mereKarakteristiske funktioner og Den Centrale Grænseværdisætning
E6 efterår 1999 Notat 10 Jørgen Larsen 20. oktober 1999 Karakteristiske funktioner og Den Centrale Grænseværdisætning Karakteristiske funktioner som er nære slægtninge til Fourier-transformationen) er
Læs mereGEOMETRI-TØ, UGE 6. . x 1 x 1. = x 1 x 2. x 2. k f
GEOMETRI-TØ, UGE 6 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imfaudk Opvarmningsopgave 1 Lad f : R 2 R være tre gange kontinuert differentierbar
Læs mereTaylorudvikling I. 1 Taylorpolynomier. Preben Alsholm 3. november Definition af Taylorpolynomium
Taylorudvikling I Preben Alsholm 3. november 008 Taylorpolynomier. Definition af Taylorpolynomium Definition af Taylorpolynomium Givet en funktion f : I R! R og et udviklingspunkt x 0 I. Find et polynomium
Læs mereEuklids algoritme og kædebrøker
Euklids algoritme og kædebrøker Michael Knudsen I denne note vil vi med Z, Q og R betegne mængden af henholdsvis de hele, de rationale og de reelle tal. Altså er { m } Z = {..., 2,, 0,, 2,...} og Q = n
Læs mereEstimation. Lad (ν θ ) θ Θ være en statistisk model på (X, E). En estimator af θ er en afbildning t : X Θ. En konkret værdi t(x) kaldes et estimat.
Estimation Lad (ν θ ) θ Θ være en statistisk model på (X, E). En estimator af θ er en afbildning t : X Θ. En konkret værdi t(x) kaldes et estimat. En estimator er en gætteregel.. p.1/22 Estimation X acements
Læs mereHilbert rum. Chapter Indre produkt rum
Chapter 4 Hilbert rum 4.1 Indre produkt rum I det følgende skal vi gøre brug af komplekse såvel som reelle vektorrum. Idet L betegner enten R eller C minder vi om, at et vektorrum over L er en mængde E
Læs mereNormale tal. Outline. Hvad er tilfældighed? Uafhængighed. Matematiklærerdag Simon Kristensen. Aarhus Universitet, 24/03/2017
Matematiklærerdag 2017 Institut for Matematik Aarhus Universitet Aarhus Universitet, 24/03/2017 Outline 1 2 3 Hvad er tilfældighed? I statistik, sandsynlighedsteori og ikke mindst i programmering er det
Læs mereInvesterings- og finansieringsteori, F04, ugeseddel 5
25. februar 2004 Rolf Poulsen AMS Investerings- og finansieringsteori, F04, ugeseddel 5 Husk at eksamenstilmelding foregår i uge 9 & 0 (23/2-7/3). Hvis man møder op i auditorium 8 onsdag 3/3 kl. 3.5, kan
Læs mereHeisenbergs usikkerhedsrelationer. Abstrakt. Hvorfor? Funktionsrum. Nils Byrial Andersen Institut for Matematik. Matematiklærerdag 2013
Heisenbergs usikkerhedsrelationer Nils Byrial Andersen Institut for Matematik Matematiklærerdag 013 1 / 17 Abstrakt Heisenbergs usikkerhedsrelationer udtrykker at man ikke på samme tid både kan bestemme
Læs mereHilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum
Chapter 3 Hilbert rum 3.1 Indre produkt rum I det følgende skal vi gøre brug af komplekse såvel som reelle vektorrum. Idet L betegner enten R eller C minder vi om, at et vektorrum over L er en mængde E
Læs mereSandsynlighedsregning 7. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 7. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 28 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfn@dtu.dk Dagens emner afsnit 4.5 og 4.6 (Kumulerede) fordelingsfunktion
Læs mereProgram. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Middelværdi og varians. Eksempler fra sidst. Sandsynlighedstæthed og sandsynlighedsmål
Program Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Middelværdi og varians Helle Sørensen Uge 6, onsdag I formiddag: Tætheder og fordelingsfunktioner kort resume fra i mandags og et par eksempler mere om sammenhængen
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Middelværdi og varians Helle Sørensen Uge 6, onsdag SaSt2 (Uge 6, onsdag) Middelværdi og varians 1 / 18 Program I formiddag: Tætheder og fordelingsfunktioner kort resume
Læs mereSandsynlighedsregning 7. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 7. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner afsnit 4.5 og 4.6 (Kumulerede)
Læs mereSandsynlighedsregning 7. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 7. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner afsnit 4.5 og 4.6 (Kumulerede)
Læs mereNanostatistik: Stokastisk variabel
Nanostatistik: Stokastisk variabel JLJ Nanostatistik: Stokastisk variabel p. 1/29 Repetition Ω: udfaldsrummet: alle de mulige udfald af et experiment P(A): ss for hændelsen A = frekvens i uafhængige gentagelser
Læs mereLineære 1. ordens differentialligningssystemer
enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære
Læs mereLigninger med reelle løsninger
Ligninger med reelle løsninger Når man løser ligninger, er der nogle standardmetoder som er vigtige at kende. Her er der en kort introduktion til forskellige teknikker efterfulgt af opgaver hvor man kan
Læs mere6.1 Reelle Indre Produkter
SEKTION 6.1 REELLE INDRE PRODUKTER 6.1 Reelle Indre Produkter Definition 6.1.1 Et indre produkt på et reelt vektorrum V er en funktion, : V V R således at, for alle x, y V, I x, x 0 med lighed x = 0, II
Læs mereaf om en given kombination af binomialkoefficienter svarer til en stor eller en lille sandsynlighed.
Kapitel 22 Svag konvergens I første halvdel af 1700-tallet var stort set al sandsynlighedsregning af kombinatorisk natur. Hovedværker fra perioden er Abraham de Moivres The octrine of Chances; or, a Method
Læs mereStatistisk mekanik 1 Side 1 af 11 Introduktion. Indledning
Statistis meani Side af Indledning Statisti er et uundværligt matematis redsab til besrivelsen af et system med uoversueligt mange bestanddele. F.es. er der så mange luftmoleyler i blot mm 3 luft, at det
Læs mere1.1. n u i v i, (u, v) = i=1
1.1 1. Hilbert rum 1.1. Hilbert rum og deres geometri. Definition 1.1. Et komplekst vektor rum V kaldes et indre produkt rum (eller præ-hilbert rum), når det er forsynet med en funktion (, ): V V C, som
Læs mereOpgave Firkantet E F. Opgave Trekantet
1 Opgave Firantet E F Lad være et vilårligt punt på liniestyet mellem og, og tegn halvcirler til samme side over diametrene, og. Lad være det punt på halvcirlen, der har vinelret på, og lad EF være fællestangenten
Læs mereHistogrammetoden For (x i, y i ) R 2, i = 1,..., n, ser vi på den gennemsnitlige
Histogrammetoden For (x i, y i ) R 2, i = 1,..., n, ser vi på den gennemsnitlige længde: z = 1 n hvor z i = xi 2 + yi 2. n z i = 1 n i=1 n i=1 x 2 i + y 2 i Indfør tabellen samt vægtene Da er a k = #{i
Læs merePunktmængdetopologi. Mikkel Stouby Petersen. 1. marts 2013
Punktmængdetopologi Mikkel Stouby Petersen 1. marts 2013 I kurset Matematisk Analyse 1 er et metrisk rum et af de mest grundlæggende begreber. Et metrisk rum (X, d) er en mængde X sammen med en metrik
Læs mereIntegration m.h.t. mål med tæthed
Integration m.h.t. mål med tæthed Sætning (EH 11.7) Lad ν = f µ på (X, E). For alle g M + (X, E) gælder at gdν = g f dµ. Bevis: Standardbeviset: 1) indikatorfunktioner 2) simple funktioner 3) M + -funktioner.
Læs mereMASO Uge 5. Topologi i euklidiske rum. Jesper Michael Møller. Uge 5. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 5 Topologi i euklidiske rum Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 5 Formålet med MASO Oversigt Åbne og afsluttede mængder Det indre, det ydre, afslutningen,
Læs mere8 Regulære flader i R 3
8 Regulære flader i R 3 Vi skal betragte særligt pæne delmængder S R 3 kaldet flader. I det følgende opfattes S som et topologisk rum i sportopologien, se Definition 5.9. En åben omegn U af p S er således
Læs mere[SS] Optimal control theory with economic applications, af Atle Seierstad og Knut Sydsæter; North Holland 1987.
OPTIMERING 6. september 2007 Oversigt nr. 1 Emnet for kurset i optimering vil her i efteråret 2007 blive variationsregning og optimal kontrolteori. Hensigten er at I skal stifte bekendtskab med disse metoder
Læs mereIndhold. Litteratur 11
Indhold Forord ii 00-sættet 1 Opgave 1....................................... 1 Spørgsmål (a).................................. 1 Spørgsmål (b).................................. 1 Spørgsmål (c)..................................
Læs mereFundamentale begreber fra Analysen. Introduktion. De reelle tal. Carsten Lunde Petersen
IMFUFA Carsten Lunde Petersen Fundamentale begreber fra Analysen Introduktion Disse noter udgør et meget ltreret udkik over de grundlæggende begreber i reel analyse. Noten indeholder meget lidt om det
Læs mereMatematik F2 Opgavesæt 6
Opgave 4: Udtryk funktionen f(θ) = sin θ ved hjælp af Legendre-polynomierne på formen P l (cos θ). Dvs. find koefficienterne a l i ekspansionen f(θ) = a l P l (cos θ) l= Svar: Bemærk, at funktionen er
Læs mereProgram. Statistik og Sandsynlighedsregning. Eksempler. Sandsynlighedstæthed og sandsynlighedsmål
Program Statistik og Sandsynlighedsregning Sandsynlighedstætheder og kontinuerte fordelinger på R Varians og middelværdi Normalfordelingen Susanne Ditlevsen Uge 48, tirsdag Tætheder og fordelingsfunktioner
Læs mereDeskriptiv teori i flere dimensioner
Kapitel 17 Deskriptiv teori i flere dimensioner I kapitel 13 og 14 udviklede vi en række deskriptive værktøjer til at beskrive sandsynlighedsmål på (R, B). Vi vil i dette kapitel forsøge at udvikle varianter
Læs mereMASO Uge 6. Følger i euklidiske rum Ekstremværdisætningen. Jesper Michael Møller. Department of Mathematics University of Copenhagen.
MASO Uge 6 Følger i euklidiske rum Ekstremværdisætningen Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 6 Formålet med MASO Oversigt Følger i R n Konvergens, delfølger Det
Læs mere13 Markovprocesser med transitionssemigruppe
13 Markovprocesser med transitionssemigruppe I nærværende kapitel vil vi antage at tilstandsrummet er polsk, hvilket sikrer, at der findes regulære betingede fordelinger. Vi skal se på eksistensen af Markovprocesser.
Læs mereMM501 forelæsningsslides
MM501 forelæsningsslides uge 40, 2010 Produceret af Hans J. Munkholm bearbejdet af JC 1 Separabel 1. ordens differentialligning En generel 1. ordens differentialligning har formen s.445-8 dx Eksempler
Læs mere