Regularitet og Automater. Tobias Brixen Q4-2012
|
|
- Camilla Lassen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Regularitet og Automater Tobias Brixen Q
2 Noterne er skrevet med inspiration fra illio/courses/dregaut/dregautnoter.pdf Contents 1 Regulære udtryk RegEx Automater Kleene part Endelige automater RegEx og FA er Produktkontruktion Determinisering Lukkethedsegenskaber Lukkethed generelt Regex Produktkontruktion ved CFG NFA er NFA er Determinisering NFA-Λ Λ-eliminering Minimering af automater RegEx og FA Skelnelighed Ækvivalens Eksempel på minimering Begrænsninger af regulære sprog RegEx og FA Pumping lemma Kontekstfri grammatikker CFG Derivationer Lukkethed Pumping lemma Page 2
3 1 Regulære udtryk Disposition RegEx Automater Kleene part RegEx formalismen Σ er et sæt af en endelig mængde af symboler. Σ er en sekvens af symboler. L Σ en finite/infite sæt af strenge ud fra Σ. Regulære udtryk er en formalisme til at beskrive regulære sprog - dvs er sprog er regulært hvis det findes et regulært udtryk for det. Definition på regulære udtryk: (Sproget for det regulære udtryk.. er..) = den tomme mænge strenge; som matcher intet. union er foreningen af de strenger der accepteres af enten L 1 eller L 2 : L 1 L 2 = {x Σ x L 1 x L 2 } Konkatineringen er sproget med strenge hvor præfixet er en streng fra L 1 og suffix fra L 2 : L 1 L 2 = {xy Σ x L 1 y L 2 } Kleene operatoren er sproget indeholdene den tomme streng samt sproget konkateneret med sig selv uendelig antal gange: L 0 = {Λ} L K = LL L }{{} K L = i=0 L i 1.2 Automater En automat er en abstrakt maskine der kan sige om en streng er en del af et sprog eller ej. Ud fra klenne ved vi at automater og regulære udtryk har samme udtrykskraft, da vi kan oversætte imellem dem. M = {Q, Σ, q 0, A, δ} Den udvidede transitionsfunktion { δ q hvis x = Λ = δ(δ (q, y), a) hvis x = ya og y Σ og a Σ Sproget for en FA er den mængde af strenge som FA en accepterer. L(M) = {x Σ δ (q 0, x) A} Page 3
4 Kleene sætning Kleenes sætning: Regulære udtryk og endelige automater har samme udtrykskraft. De må betyde at man kan oversætte fra FA til regex og tilbage igen. Med lidt omveje kan man også det, jeg vil her vise part 1 af klennes sætning som oversætter fra RegEx til NFA-Λ. 1.3 Kleene part 1 Jeg vil bevise det hva. strukturel induktion, hvor jeg tager udgangspunkt i strukturen af regulære sprog. Hvis vi for hver del af definitionen kan oversætte denne til en automat, kan ethvert regulært udtryk også oversættes til en automat. I.H.: M 1 og M 2 accepteres af en NFA-Λ. Union: Vi skal bare bruge de to automater på samme tid - laver en Λ- transition til initial states. δu(q, a) = M U = (Q u, Σ, q u, A u, δ u ) Q u = Q 1 Q 2 {q u } A u = A 1 A 2 δ 1 (q, a) hvis q Q 1 δ 2 (q, a) hvis q Q 2 {q 1, q 2 } hvis q = q 0 og a = Λ hvis q = q 0 og a Σ Konkatinering: Strengne fra et nye sprog, består af de accepterede strenge fra M 1 herefter de accepterede strenge fra M 2. M c = (Q c, Σ, q c, A c, δ c ) Q c = Q 1 Q 2 A c = A 2 δ 1 (q, a) hvis q Q 1 δk(q, a) = δ 2 (q, a) hvis q Q 2 δ 1 (q, a) {q 2 } hvis q A 1 og a = Λ Page 4
5 Kleene star Den gode idé her, er at den skal accepteres 0 eller mange gange. Vi laver derfor en initial state der accepteres, og alle accept states får en gratis Λ transition til denne initial state. M k = (Q k, Σ, q k, A k, δ k ) Q k = Q 1 {q k } A k = A 1 δ 1 (q, a) hvis q Q 1 δk(q, δ a) = 1 (q, a) {q k } hvis q A 1 og a = Λ {q 1 } hvis q = q k og a = Λ hvis q = q k og a Σ Page 5
6 2 Endelige automater Disposition RegEx og FA Produktkontruktion Determinisering + Bevis 2.1 RegEx og FA er Regulære udtryk er bruges som for formalisme til at beskrive regulære sprog. Et sprog består af et sæt af strenge Σ over et alfabet Σ, og sproget er regulært, hvis der findes et regulært udtryk r som beskriver alle strengene så, L(r) = L. En automat er er abstrakte maskiner, der tester om en streng er i et sprog. Et eksempel er en automat der genkender sproget med ulige antal 1 taller. M = (Q, Σ, q 0, A, δ) - Hvor A Q og Q Σ Q - ved strenge Q Σ Q. { δ q hvis x = Λ (q, x) = δ(δ (q, y), a) hvis x = ya og y Σ og a Σ Sproget for en FA er givet ved alle de strenge som lander i en accepttilstand 2.2 Produktkontruktion L(M) = {x Σ δ (q 0, x) A} Hvis vi vil lave en - eksempelvis - en union mellem to sprog, kan vi gøre det ved produktiontruktion på automaterne. L(M 1 ) L(M 2 ) = L(M) Vi laver produktkontruktion ved vi lader som om at vi kører igennem begge automater på samme tid, og for hver state par, laver vi den som en ny state i vores nye automat. Q skal derfor være alle kombinationer af states M = (Q, Σ, q 0, A, δ) Q = Q 1 Q 2 q 0 = (q 1, q 2 ) δ((p, q), a) = (δ 1 (p, a), δ 2 (q, a)) Page 6
7 Alt efter om vi vil have union, intersection eller differens, bliver definitionen af A forskellig: L 1 L 2 : A = {(p, q) p A 1 q A 2 } L 1 L 2 : A = {(p, q) p A 1 q A 2 } L 1 L 2 : A = {(p, q) p A 1 q / A 2 } Herefter vil vi fjerne alle de tilstande som ikke bliver brugt. 2.3 Determinisering Vi vil gerne oversætte fra en NFA til en FA. Forskellen er her at vi i en NFA kan gå til flere states fra samme state og symbol, den udvidede transitionfunktion er nemlig givet ved (uden lambdalukning - skriv op sammen med M = (Q, Σ, q 0, A, δ) bruges til bevis) δ (q, Λ) = {q} δ (q, xa) = {δ(p, a) p δ (q, x)} Når vi skal lave den til en FA, skal vi bruge en del flere states. Da vi i princippet kan fra én state komme til alle andre states, skal states i den nye være powersættet af den gamle. Vi bruger disse sæt som navne til states i vores FA. Hvis sættet i en states indeholder en acceptstate, skal denne være acceptstate; A 1 = {q Q 1 q A } Transitionsfunktionen skal så pege os hen til den state, som indeholder det sæt af states som vi ville have kommet hen til hvis vi stod i NFA en. Dette kan vi gøre, da vi nu arbejder på states, som sæt af states. δ 1 (q, a) = {δ(p, a) p q} Bevis M 1 er en FA, dog en stor en, men dog en FA. Vi vil gerne vise at sproget for NFA en (M) og FA en (M 1 ) er ens. Da states i M 1 er sæt af states kan vi vise at sprogene er ens ved at sætte de to transitionsfunktioenr lige med hinanden: x Σ : δ1(q 1, x) = δ (q 0, x) Det viser vi ved strukturen af x Basis Ved x = Λ δ 1(q 1, x) = δ 1(q 1, Λ) = q 1 = {q 0 } = δ (q 0, Λ) = δ (q 0, x) Page 7
8 Induktions Step I.H. : δ1(q 1, x) = δ (q 0, x) δ1(q 1, xa) = δ 1 (δ1(q 1, x), a) (I.H.) = δ 1 (δ (q 0, x), a) (Def. af δ 1 ) = {δ(p, a) p δ (q, x)} (Def. af δ) = δ (q 0, xa) Page 8
9 3 Lukkethedsegenskaber Disposition Lukkethed RegEx Produktkontruktion ved CFG 3.1 Lukkethed generelt Lukkethed er en måde for at være sikker på at man bliver inde i sproget efter de forskellige operationer,,,,, homomorfi, og invers homomorfi. For regulære sprog gælder alle disse, men for CFL er er og kompliment ikke lukket 3.2 Regex Regulære udtryk er bruges som for formalisme til at beskrive regulære sprog. Et sprog består af et sæt af strenge Σ over et alfabet Σ, og sproget er regulært, hvis der findes et regulært udtryk r som beskriver alle strengene så, L(r) = L. En automat er er abstrakte maskiner, der tester om en streng er i et sprog. Et eksempel er en automat der genkender sproget med ulige antal 1 taller. Page 9
10 Sproget for en automat er 3.3 Produktkontruktion L(M) = {x Σ δ (q 0, x) A} Sproget for en automat er regulært. Jeg vil gerne vise at union for to regulære sprog er også er regulært. Disse to sprog er udtrykt ved automater. (Tegn evt. to automater, så kan man vise at man kører i begge automater på samme tid) For at lave en union på automaters sprog kan vi udføre produktkontruktionen. L(M 1 ) L(M 2 ) = L(M) Vi laver produktkontruktion ved vi lader som om at vi kører igennem begge automater på samme tid, og for hver state par, laver vi den som en ny state i vores nye automat. Q skal derfor være alle kombinationer af states. M = (Q, Σ, q 0, A, δ) Q = Q 1 Q 2 q 0 = (q 1, q 2 ) δ((p, q), a) = (δ 1 (p, a), δ 2 (q, a)) δ ((p, q), a) = (δ 1(p, a), δ 2(q, a)) Vi ved at alle strenge i de to sprog er regulære, hvis vi kan vise at enhver streng i sproget for M, er enten i M 1 eller M 2, kan vi konkludere at alle strenge i M er regulære. Alt efter om vi vil have union, intersection eller differens, bliver definitionen af A forskellig (men vi starter med union): L 1 L 2 : A = {(p, q) p A 1 q A 2 } L 1 L 2 : A = {(p, q) p A 1 q A 2 } L 1 L 2 : A = {(p, q) p A 1 q / A 2 } For at en streng er i sproget kan den komme til en acceptstate; dét tager vi udgangspunkt i. x L(M) : x (L(M 1 ) L(M 2 )) 3.4 ved CFG x L(M) δ (q 0, x) A = δ ((q 1, q 2 ), x) A (Def af δ ((p, q), a)) = δ ((δ 1(q 1, x), δ 2(q 2, x))) A (Def af A) = δ 1(q 1, x) A 1 δ 2(q 2, x) A 2 = x L(M 1 ) x L(M 2 ) = x L(M 1 ) L(M 2 ). CFG Generelt Kontekstfri grammatik giver os mulighed for at beskriver flere sprog end vha regulære udtryk, fx palimdromer. Idéen er at vi går ind og erstatter variabler i strenge med flere variabler eller terminaler. Et sprog er kontekstfrit hvis der findes en grammatik der beskriver sproget: L(G) = {x Σ S x} Page 10
11 Intersection ikke lukket Jeg påstår at CFG er ikke er lukket under intersection. For at bevise det, kan vi antage at CFG er er lukket under intersection, så skal vi bare finde et modstridende eksempel. L 1 = {a i b j c k i < j} L 2 = {a i b j c k i < k} Dem kan vi se at de er kontekstfrie da vi hurtigt kan lave nogle transitioner hvor vi er sikre på at i < j holder og i < k holder. Hvis vi tager intersectionen mellem disse to, er det strengene der overholder i < j i < k. L = L 1 L 2 L = {a i b j c k i < k i < j} Som giver et ikke kontekstfrit sprog, da det er et vi kan pumpe os ud af. (med kontraponering om kompliment) Men det i hovedet kan vi nemt vise at CFG er heller ikke er lukket under kontraponering da, (L 1 L 2) = L 1 L 2 Foreningen mellem de to komplimenters kompliment er lige intersection, som vi lige har vist ikke er lukket. Page 11
12 4 NFA er Disposition NFA er Determinisering NFA-Λ Λ-eliminering 4.1 NFA er Vi vi skal lave et regulræt udtryk om til en FA, kan vi gå en omvej til NFA-Λ til NFA og så til FA. I forhold til FA er kan NFA er have flere udgange for samme alfabetsymbol, dvs. vi kommer til at arbejde med en transitionsfunktion som på set, så alle vores states er nu sæt. Da vi teoretisk set, kan komme fra én state, til alle andre på én gang, mapper vi transitionsfunktionen til powersættet af states. M = (Q, Λ, q 0, A, δ) δ : Q Σ 2 Q δ (q, Λ) = {q} δ (q, xa) = {δ(p, a) p δ (q, x)} Sproget for en NFA er givet hvis det er muligt at komme til et state, set indeholdende en acceptstate, 4.2 Determinisering L(M) = {x Σ δ (q 0, x) A / }}. Vi vil gerne oversætte fra en NFA til en FA. Forskellen er her at vi i en NFA kan gå til flere states fra samme state og symbol. Når vi skal lave den til en FA, skal vi bruge en del flere states. Da vi i princippet kan fra én state komme til alle andre states, skal states i den nye være powersættet af den gamle. Vi bruger Page 12
13 disse sæt som navne til states i vores FA. Hvis sættet i en states indeholder en acceptstate, skal denne være acceptstate; A 1 = {q Q 1 q A } Transitionsfunktionen skal så pege os hen til den state, som indeholder det sæt af states som vi ville have kommet hen til hvis vi stod i NFA en. Dette kan vi gøre, da vi nu arbejder på states, som sæt af states. δ 1 (q, a) = {δ(p, a) p q} Bevis M 1 er en FA, dog en stor en, men dog en FA. Vi vil gerne vise at sproget for NFA en (M) og FA en (M 1 ) er ens. Da states i M 1 er sæt af states kan vi vise at sprogene er ens ved at sætte de to transitionsfunktioenr lige med hinanden: x Σ : δ1(q 1, x) = δ (q 0, x) Det viser vi ved strukturen af x Basis Ved x = Λ δ 1(q 1, x) = δ 1(q 1, Λ) = q 1 = {q 0 } = δ (q 0, Λ) = δ (q 0, x) Induktions Step I.H. : δ 1(q 1, x) = δ (q 0, x) 4.3 NFA-Λ δ 1(q 1, xa) = δ 1 (δ 1(q 1, x), a) (I.H.) = δ 1 (δ (q 0, x), a) (Def. af δ 1 ) = {δ(p, a) p δ (q, x)} (Def. af δ) = δ (q 0, xa) Forskellen på NFA og NFA-Λ er at der også er Λ transitioner med. Σ = Σ {Λ} så og vi har et begreb vi kalder Λ-lukningen, som er de states man kan komme til, fra en state; formelt rekursivt beskrevet som 1)S Λ(S) 2)For every q Λ(S), δ(q, Λ) Λ(S) Page 13
14 4.4 Λ-eliminering Påstand: At der for et givet sprog L Σ accepteret af en NFA-Λ, findes der en NFA M 1 uden Λ-transitioner der accepterer L. M 1 = (Q, Σ, q 0, A 1, δ 1 ) Bevis: Hvis q 0 / A men Λ L skal vi også lave q 0 til accepttilstand: q Q : δ 1 (q, Λ) = q Q σ Σ : δ 1 (q, σ) = δ(q, σ) { A {q0 } hvis Λ L A 1 = A hvis Λ / L Page 14
15 5 Minimering af automater Disposition RegEx og FA Skelnelighed Ækvivalens + MyHill-Nerode (Eksempel) 5.1 RegEx og FA Regulære udtryk er en formalisme til at udtrykke regulære sprog. Et sprog er regulært hvis der findes et regulært udtryk der beskriver sproget. Automater er en abstrakt maskine der kan sige om en streng er en del af et sprog eller ej. Ud fra klenne ved vi at automater og regulære udtryk har samme udtrykskraft, da vi kan oversætte imellem dem. M = (Q, Σ, q 0, A, δ) - Hvor A Q og Q Σ Q - ved strenge Q Σ Q. { δ q hvis x = Λ (q, x) = δ(δ (q, y), a) hvis x = ya og y Σ og a Σ Sproget for en automat er givet ved alle de strenge som lander i en accepttilstand L(M) = {x Σ δ (q 0, x) A} 5.2 Skelnelighed To strenge er skelnelige hvis man konkatinere den samme streng på dem, og de ender i hver sin tilstand (accept vs ikke-accept) Formelt beskrevet for x, y Σ z Σ :( (xz L) (yz / L) ) ( (xz / L) (yz L) ) Uskelnelighedesrelationen I L er defineret som: xi L y x og y er uskelnelige mht. L Page 15
16 Eksempel: for: L = {1, 0} {10} x = 00 y = 01 Så er x og y skelnelige mht. L hvis z = 0 bliver xz accepteret, men yz gør ikke. 5.3 Ækvivalens Hvis, der for vores uskelnelighedsrelation I L gælder at den er: Refleksiv ( x : xi L x) Symmetrisk ( x, y : xi L y yi L x) Transitiv ( x, y, z : xi L y yi L z xi L z) er I L en ækvivalensrelation. En ævivalensrelation over noget partitionerer dette. På denne måde partitionerer uskelnelighedsrelationen alle strenge Σ i ækvavilensklasser. For disse klasser gælder det at alle de strenge deri er uskelnelige. Formelt skrives det som [x] = {y yi L x} Eksempel For sproget fra før, kan vi argumentere for at der er tre skelnelige strenge. 1) De som ender på 00 (denne er også uskelnelig med Λ) 2) De som ender på 1 3) De som slutter på 10. X : {Λ, 0} {0, 1, } {00} Y : {0, 1} {1} Z : {0, 1} {10} Disse partisioneringer opdeler alle strenge Σ i tre ækvivalensklasser: MyHill-Nerode sætningen siger to ting: 1) Hvis I L har uendelig mange ækvivalensklasser, så er L ikke regulært 2) Hvis n skelnelige strenge mht. et sprog L, må en FA der accepterer L have mindst n tilstande. Ud fra hans 2. sætning, må vi kunne konstruere en FA, der accepterer sproget med mindst 3 tilstande. Page 16
17 Formel definition: M L = (Q, Σ, q 0, A, δ) Q = Q L q 0 = [Λ] A = {q Q q L } δ = (q, a) = p hvis q = [x] og p = [xa] for en streng x 5.4 Eksempel på minimering Fremgangsmåden er som følger 1) Fjern uopnåelige tilstande (slet 5) 2) Marker alle par som indeholder en accepttilstand (marker alle med 2) 3) Hvis, fra et state-par (r, s) efter transition for begge states, kommer over i et statepar der er markeret, skal (r, s) markeres. Fx fra (3,1) kommer man, ved et a, over i parret (3,2) som er markeret - derfor skal (3,1) markeres. 4) Læg ting i samme ækvavilensklasser sammen - Læg 3 og 4 sammen. Grunden til det, er at 3 og 4 er ækvavilente; uanset hvilket symbol de får, kommer de hen til samme state (accept vs ikke-accept). Det er egenligt bare en snedig måde at finde ævkvilensklasser på. For hver kolonne er de i samme klasse som der ikke er markeret mht. rækken. Fx 3 er i samme klasse som 4, da 3,4 ikke er mærket. Det vi har er er 3 og 4 er i uskelnelige, og derfor i samme ækvavilensklasse. Page 17
18 Page 18
19 6 Begrænsninger af regulære sprog Disposition RegEx og FA Pumping lemma MyHill-Nerode 6.1 RegEx og FA Regulære udtryk er en formalisme til at udtrykke regulære sprog. Et sprog er regulært hvis der findes et regulært udtryk der beskriver sproget. Automater er en abstrakt maskine der kan sige om en streng er en del af et sprog eller ej. Ud fra klenne ved vi at automater og regulære udtryk har samme udtrykskraft, da vi kan oversætte imellem dem. M = (Q, Σ, q 0, A, δ) - Hvor A Q og Q Σ Q - ved strenge Q Σ Q. { δ q hvis x = Λ (q, x) = δ(δ (q, y), a) hvis x = ya og y Σ og a Σ Sproget for en automat er givet ved alle de strenge som lander i en accepttilstand L(M) = {x Σ δ (q 0, x) A} 6.2 Pumping lemma Hvis vi har en automat med Q = n og vi har en streng x = n 1, og x har forskellige prefixes, så vil det være muligt at automaten er i forskellige states efter processering af hver del. Hvis x n så vil automaten, på et tidpunkt, ramme den samme state to gange. Strengen kan derfor deles i u og v så at δ (q 0, u) = δ (q 0, uv) hvis x L og w er i strengen x = uvw har vi hvad der er på billedet herunder Page 19
20 Vi kan altså se at vi kommer igennem mindst ét loop, ved uv n. Siden v er vores start/stop i loop et, kan vi pumpe på det / køre den flere gange (eller helt lade være) vi har nu formen uv i w. Th. 2.29: Definitionen her er for regulære udtryk som er regulære n >0 : x L x n : u, v, w Σ : x = uvw uv n v > m 0 : uv m w L Hvis vi vil teste om et regulært udtryk ikke en del af et sprog, kan vi (Bare reverse kvantorne, og den sidste ) n >0 : x L x n : u, v, w Σ : Lav eksempel ved L = {a i b i i 0}. Det skal gælder for alle n > 0 x = uvw uv n v > m 0 : uv m w / L Vi vælger x = 0 n 1 n, opfylder sproget, samt x n Der er en opdeling af x = uvw Da uv n består uv kun af 0 er Vi når vi pumper, pumper vi altså på mindst en 0 er (da v > 0) og vi kan bare vælge m 2 og derved vise at der er flere 0 er end 1 er. Page 20
21 7 Kontekstfri grammatikker Disposition CFG Derivationer Lukkethed Pumping lemma 7.1 CFG Som regulære udtryk udtrykker, regulære sprog, har vi også kontekstfri grammatiker (CFG) som beskriver kontekstfri sprog (CFL). De regulære sprog er indeholdt i kontekstfri grammatikker, ligesom endelige sprog er indehold i regulræe sprog. Vi kan derfor også oversætte regulære udtryk til kontekstfri grammatikker, men mere om det senere. En kontekstfri grammatik er givet ved G = {V, Σ, S, P } Hvor V er non-terminaler/variabler, Σ er terminaler, S er start-variablen, og P er produktioner på formen A α hvor A V, og α (V Σ). 7.2 Derivationer Hvordan bruger vi så de kontekstfri grammatikker? Det gøres ved derivationer, givet ved symbolet. Den bruges som: Hvis a 1, a 2 (V Σ) og (A γ) P, så gælder det at a 1 Aa 2 a 1 γa 2 Den udvidede derivationstrin er givet som α β hvis og kun hvis α β Kontekstfri betyder bare at når man laver udskiftningerne (A α) er det ligemeget hvad der står udenom. (Modsat kontekst sensitive grammatikker, som et det næste trin i chomsky hirakiet) Sproget for en CFG er alle de strenge som hvor vi kan bruge produktionerne til at komme frem til strengen: L(G) = {x Σ S x} Derivationstræer er en grafisk måde at skrive mulige derivationer op på. Eksempelvis ved x y + z. Vi har et par produktioner fx {S S + S, S S S}, som giver os starten på træerne hernede. Page 21
22 For dette udtryk er der altså flere derivationertræer, dvs at CFG en er tvetydig. Sagt mere formelt: En CFG er tvetydig hvos der eksisterer en streng x L(G) med mere end ét derivationstræ. Eksempel på CFG ved en CFG: Sproget pal = {x Σ x = reverse(x)} kan vi beskrive G = {V, Σ, S, P } V = {S} Σ = {0, 1} P = {S λ S 0 1 S1 } Sproget for palindromer er ikke regulært, men det er kontekstfri. Regulære CFG er. Hvis en CFG er regulært, er sproget L(G) også regulært. Det gælder dog ikke nødvendigvis den anden vej. En regulær CFG har produktioner på formen B σc og A λ. At den er regulær, betyder at vi kan oversætte fra RegEx til CFG er Bevis - Basis r = vælg V = {S}, P = r = Λ vælg V = {S}, P = {S Λ} r = σ Σ vælg V = {S}, P = {S σ} 7.3 Lukkethed Lukkethed er en måde for at være sikker på at man bliver inde i sproget efter de forskellige operationer,,,,, homomorfi, og invers homomorfi. For regulære sprog gælder alle disse, men for CFL er er og kompliment ikke lukket Intersection ikke lukket Jeg påstår at CFG er ikke er lukket under intersection. For at bevise det, kan vi antage at CFG er er lukket under intersection, så skal vi bare finde et modstridende eksempel. L 1 = {a i b j c k i < j} L 2 = {a i b j c k i < k} Page 22
23 Dem kan vi se at de er kontekstfrie da vi hurtigt kan lave nogle transitioner hvor vi er sikre på at i < j holder og i < k holder. Hvis vi tager intersectionen mellem disse to, er det strengene der overholder i < j i < k. L = L 1 L 2 L = {a i b j c k i < k i < j} Som giver et ikke kontekstfrit sprog, da det er et vi kan pumpe os ud af. (med kontraponering om kompliment) Men det i hovedet kan vi nemt vise at CFG er heller ikke er lukket under kontraponering da, (L 1 L 2) = L 1 L 2 Foreningen mellem de to komplimenters kompliment er lige intersection, som vi lige har vist ikke er lukket. 7.4 Pumping lemma Chomsky Normal Form 1 (CNF) betyder at grammatikken enten højresiden af en produktion er enten 1) enkel terminal eller 2) to non-terminaler. Hvis vi har en grammatik på CNF en streng u hvor u > 2 p (hvor p er distinke produktioner i CGF en) så er vi sikre på at den samme produktion er blevet brugt mere end én gang. De må altså gælde at hvis vi bruger dette loop flere gange er vi stadig inde i sproget. Formelt skrives det som: n >0 : u L hvor u n : x, u, v, w, z Σ : u = vwxyz wxy n wy > m 0 : vw m x m z L Hvis vi vil bevise at en grammatik ikke er en CFG, kan vi vise det ved at lave en kontraponering af dette. n >0 : u L hvor u n : x, u, v, w, z Σ : u = vwxyz wxy n wy > m 0 : vw m x m z / L Eksempel Lad L = {a i b j c k i < j i < k} der vælges et n > 0 Vi vælger strengen u = a n b n+1 c c+2 så u L samt u > 0 1 Den er på CNF form hvis produktionerne er på formen A BC (non-terminal til to non-terminal) eller A σ (Non-terminal til terminal) Page 23
24 Der bliver valgt en opdeling med u = vwxyz, wxy og wy > 0 Vi kan se at strengen ikke kan indeholde a er og c er da wxy n Hvis u indeholder mindst ét a så vælges m = 2, da antallet af a er vil blive flere end c er. Hvis u ikke indeholder a er vælges m = 0 da enten vil : 1) wxy indeholde kun b er: Så vil antal b er være mindre end a er 2) wxy indeholde b er og c er: Så pumper vi på mindst ét b og mindst ét c: Så vil antal b er være lige antal a er. 3) wxy indeholde kun c er: Så vil antal c er være lige a er. Page 24
Regularitet & Automater Eksamensnotater
Regularitet & Automater Eksamensnotater Michael Lind Mortensen, 20071202, DAT4 10. juni 2008 Indhold 1 Regulære udtryk (1.5 & 3.1) 4 1.1 Disposition............................ 4 1.2 Noter...............................
Læs mereJa! det beviste vi uge 16+17
Ugens emner Lukketheds- og afgørlighedsegenskaber [5.3-5.5] lukkethed under,,,, * lukkethed under homomorfi og invers homomorfi pumping -lemmaet beslutningsproblemer: membership, emptiness, finiteness
Læs mereRegulære udtryk og endelige automater. Ugens emner
Ugens emner Endelige automater [Martin, kap. 3.2-3.5] endelige automater og deres sprog skelnelighed produktkonstruktionen Java: dregaut.fa klassen automater til modellering og verifikation Regulære udtryk
Læs mereEn karakteristik af de regulære sprog. Ugens emner. FA minimering [5.1-5.2] MyHill-Nerode-sætningen en algoritme til minimering af FA er
Ugens emner FA minimering [.-.] MyHill-Nerode-sætningen en algoritme til minimering af FA er En karakteristik af de regulære sprog Et sprog L er regulært hvis og kun hvis L beskrives af et regulært udtryk
Læs mereNoter til DM517 Beregnelighed
Noter til DM517 Beregnelighed Jonas Nyrup 23. oktober 2011 Indhold 1 Et par noter 2 2 Regulære sprog 2 2.1 DFA................................. 2 2.1.1 Eksempler.......................... 3 2.2 NFA.................................
Læs mereRegulære udtryk og endelige automater
Regulære udtryk og endelige automater Regulære udtryk: deklarative dvs. ofte velegnede til at specificere regulære sprog Endelige automater: operationelle dvs. bedre egnet til at afgøre om en given streng
Læs mereSkriftlig Eksamen Beregnelighed (DM517)
Skriftlig Eksamen Beregnelighed (DM517) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Torsdag den 1 November 212, kl. 1 14 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater etc.) samt brug af computer
Læs mere1. Seminar EVU RegAut
1. Seminar EVU RegAut Sigurd Meldgaard Datalogisk Institut Århus Universitet stm@cs.au.dk 27/08 2010 S. Meldgaard (AU) 1. Seminar EVU RegAut 27/08 2010 1 / 105 Plan Introduktion Hvad er Regularitet og
Læs mereRegularitet og Automater
Plan dregaut 2007 Regularitet og Automater Hvad er Regularitet og Automater? Praktiske oplysninger om kurset Ugens emner Introduktion til ugens opgaver 2 Regularitet og Automater Formål med kurset: at
Læs mereEksamensopgaver i DM17, Januar 2003
Eksamensopgaver i DM17, Januar 2003 Skriftlig Eksamen Automatteori og Beregnelighed (DM17) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Odense Universitet Lørdag, den 18. Januar 2003 Alle sædvanlige
Læs mereUgens emner. Regulære sprog og digitale billeder. Adressering af områder. Et alfabet. Dette billede: kan repræsenteres af en FA med 832 tilstande
Ugens emner Regulære sprog og digitale billeder Digitale billeder og regulære sprog Regulære udtryk i Java og Unix Dette billede: Turing-maskiner [uddrag af Martin kap. 9-0] Church-Turing tesen, beregnelighed
Læs mere1 Beregnelighed. 1.1 Disposition. 1.2 Præsentation. Def. TM. Def. RE/R. Def. 5 egenskaber for RE/R. Def. NSA. Bevis. NSA!RE. Def. SA. Bevis. SA!
1 Beregnelighed 1.1 Disposition Def. TM Def. RE/R Def. 5 egenskaber for RE/R Def. NSA Bevis. NSA!RE Def. SA Bevis. SA!R Bevis. SA RE Def. Beslutningsproblem Arg. Self-Accepting er uløselig 1.2 Præsentation
Læs mereIt og informationssøgning Forelæsning november 2006 Nils Andersen. Regulære udtryk og formelle sprog
It og informationssøgning Forelæsning 11 22. november 2006 Nils Andersen Regulære udtryk og formelle sprog Regulært udtryk Forening, sammenstilling og Kleene-gentagelse Andre notationer og operatorer Modulet
Læs mere1. Seminar EVU RegAut
1. Seminar EVU RegAut Sigurd Meldgaard Datalogisk Institut Århus Universitet stm@cs.au.dk 27/08 2010 S. Meldgaard (AU) 1. Seminar EVU RegAut 27/08 2010 1 / 105 Plan Introduktion Hvad er Regularitet og
Læs mereSeminar 1 Regularitet og Automater 28/1-2012
Seminar 1 Regularitet og Automater 28/1-2012 Jesper Gulmann Henriksen jgh@wincubate.net Agenda Introduktion Hvad er Regularitet og Automater? Praktiske Oplysninger om Kurset Regulære Udtryk + Øvelser Induktion
Læs mereDat 2/F6S: Syntaks og semantik 2005 Centrale emner og eksamenspensum
Dat 2/F6S: Syntaks og semantik 2005 Centrale emner og eksamenspensum Hans Hüttel 14. juni 2005 Indhold 1 Centrale emner 1 2 Fuldt pensum 2 3 Reduceret pensum 3 3.1 Hvad er fjernet her?........................
Læs mereNogle grundlæggende begreber
BE2-kursus 2010 Jørgen Larsen 5. februar 2010 Nogle grundlæggende begreber Lidt simpel mængdelære Mængder består af elementer; mængden bestående af ingen elementer er, den tomme mængde. At x er element
Læs mereSkriftlig Eksamen Automatteori og Beregnelighed (DM17)
Skriftlig Eksamen Automatteori og Beregnelighed (DM17) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Odense Campus Lørdag, den 15. Januar 2005 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater
Læs mereDM517:Supplerende noter om uafgørlighedsbeviser:
DM517:Supplerende noter om uafgørlighedsbeviser: Jørgen Bang-Jensen October 9, 2013 Abstract Formålet med denne note er at give en form for kogebogsopskrift på, hvorledes man bygger et uafgørlighedsbevis
Læs mere1 Opsumering fra tidligere. 2 Dagsorden 3 BIMS. 4 Programtilstande. Statements/kommandoer (Stm) i bims. 3.1 Abstrakt syntaks for bims
1 Opsumering fra tidligere Hvis A er kontekstfrit, S er der et p > 0 s Alle s A hvor s p kan splittes op som s = uvxyz så argument 1-3 holder A er ikke kontekstfrit, hvis for ethvert bud på p kan findes
Læs mereSkriftlig Eksamen Beregnelighed (DM517)
Skriftlig Eksamen Beregnelighed (DM517) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Mandag den 31 Oktober 2011, kl. 9 13 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater etc.) samt brug af lommeregner
Læs mereGEOMETRI-TØ, UGE 8. X = U xi = {x i } = {x 1,..., x n }, U α, U α = α. (X \ U α )
GEOMETRI-TØ, UGE 8 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imf.au.dk. Opvarmningsopgave 1. Lad X være en mængde og T familien af alle delmængder
Læs mereOversættere Skriftlig eksamen onsdag d. 24. januar 2007
Københavns Universitet Naturvidenskabelig Embedseksamen Oversættere Skriftlig eksamen onsdag d. 24. januar 2007 Eksamenstiden er to timer. Opgavernes vægt i procent er angivet ved hver opgave. Den skriftlige
Læs mereMomenter som deskriptive størrelser. Hvad vi mangler fra onsdag. Momenter for sandsynlighedsmål
Hvad vi mangler fra onsdag Momenter som deskriptive størrelser Sandsynlighedsmål er komplicerede objekter de tildeler numeriske værdier til alle hændelser i en σ-algebra. Vi har behov for simplere, deskriptive
Læs mereHvad vi mangler fra onsdag. Vi starter med at gennemgå slides fra onsdag.
Hvad vi mangler fra onsdag Vi starter med at gennemgå slides 34-38 fra onsdag. Slide 1/17 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 6. December, 2013 Momenter som deskriptive størrelser Sandsynlighedsmål er
Læs mere83 - Karakterisation af intervaller
83 - Karakterisation af intervaller I denne opgave skal du bevise, at hvis A er en delmængde af R med følgende egenskab: x, y, z R : x, y A og x < z < y z A (1) så er A enten et interval eller en mængde
Læs mereTaylors formel. Kapitel Klassiske sætninger i en dimension
Kapitel 3 Taylors formel 3.1 Klassiske sætninger i en dimension Sætning 3.1 (Rolles sætning) Lad f : [a, b] R være kontinuert, og antag at f er differentiabel i det åbne interval (a, b). Hvis f (a) = f
Læs mereMatematisk induktion
Induktionsbeviser MT01.0.07 1 1 Induktionsbeviser Matematisk induktion Sætninger der udtaler sig om hvad der gælder for alle naturlige tal n N, kan undertiden bevises ved matematisk induktion. Idéen bag
Læs mereOm at løse problemer En opgave-workshop Beregnelighed og kompleksitet
Om at løse problemer En opgave-workshop Beregnelighed og kompleksitet Hans Hüttel 27. oktober 2004 Mathematics, you see, is not a spectator sport. To understand mathematics means to be able to do mathematics.
Læs mereSammenhængskomponenter i grafer
Sammenhængskomponenter i grafer Ækvivalensrelationer Repetition: En relation R på en mængde S er en delmængde af S S. Når (x, y) R siges x at stå i relation til y. Ofte skrives x y, og relationen selv
Læs mereDATALOGI 1E. Skriftlig eksamen fredag den 7. juni 2002
Københavns Universitet Naturvidenskabelig Embedseksamen DATALOGI 1E Skriftlig eksamen fredag den 7. juni 2002 Opgaverne vægtes i forhold til tidsangivelsen, og hver opgaves besvarelse bedømmes som en helhed.
Læs mereProjekt 1.4 De reelle tal og 2. hovedsætning om kontinuitet
Projekt 1.4 De reelle tal og 2. hovedsætning om kontinuitet Mens den 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner kom forholdsvis smertefrit ud af intervalrusebetragtninger, så er 2. hovedsætning betydeligt
Læs mereOversættere Vejledende løsninger til Skriftlig eksamen onsdag d. 24. januar 2007
Københavns Universitet Naturvidenskabelig Embedseksamen Oversættere Vejledende løsninger til Skriftlig eksamen onsdag d. 24. januar 2007 Eksamenstiden er to timer. Opgavernes vægt i procent er angivet
Læs mereSpilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde
Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er primært spil af følgende type: Spil der spilles af to spillere A og B som skiftes til at trække, A starter, og hvis man ikke kan trække har man tabt. Der
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Normalfordelingens venner og bekendte Helle Sørensen Uge 9, onsdag SaSt2 (Uge 9, onsdag) Normalfordelingens venner 1 / 20 Program Resultaterne fra denne uge skal bruges
Læs mereKvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer
enote enote Kvadratiske matricer I denne enote undersøges grundlæggende egenskaber ved mængden af kvadratiske matricer herunder indførelse af en invers matrix for visse kvadratiske matricer. Det forudsættes,
Læs mereKalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger
Kalkulus - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Mads Friis 8. januar 05 Indhold Grundlæggende uligheder Grænseovergange 3 3 Kontinuitet 9 4 Følger 0 5 Perspektivering 4 Grundlæggende uligheder Sætning
Læs mere= λ([ x, y)) + λ((y, x]) = ( y ( x)) + (x y) = 2(x y).
Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 17. og 20. september 2013 Supplerende opgave 1 Lad λ være Lebesgue-målet på R og lad A B(R). Definér en funktion f : [0, ) R ved f(x) = λ(a [ x, x]). Vis, at f(x)
Læs mereMatematik: Videnskaben om det uendelige 1
Matematik: Videnskaben om det uendelige 1 Ottende forelæsning: Den aksiomatiske metode II Klaus Frovin Jørgensen 15. november, 2010 1 / 30 Fra sidste gang (1/2) Generelt har vi set, at: Et basalt element
Læs mereOversættere, ugeopgave 3
Oversættere, ugeopgave 3 Anders jerg Pedersen (andersbp@me.com) 29. november 2009 Opgave 1 Vi konsrer først NFA er for grammatikken fra opgave 3.22 med produktionen tilføjet: Produktion NFA 0 A 1 C D 2
Læs merePrimtal - hvor mange, hvordan og hvorfor?
Johan P. Hansen 1 1 Institut for Matematiske Fag, Aarhus Universitet Gult foredrag, EULERs Venner, oktober 2009 Disposition 1 EUKLIDs sætning. Der er uendelig mange primtal! EUKLIDs bevis Bevis baseret
Læs mere01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides
01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides Thomas Bolander 1 Udsagnslogik 1.1 Formler og sandhedstildelinger symbol står for ikke eller og ( A And) hvis... så... hvis og kun hvis...
Læs mereOversættere. Vejledende løsninger til Skriftlig eksamen onsdag d. 20. april 2005
Københavns Universitet Naturvidenskabelig Embedseksamen Oversættere Vejledende løsninger til Skriftlig eksamen onsdag d. 20. april 2005 Eksamenstiden er to timer. Opgavernes vægt i procent er angivet ved
Læs mere1 Program for forelæsningen
1 Program for forelæsningen Udvidelser af Bims (Kontrolstrukturer) Repeat-løkker For-løkker Non-determinisme God Ond parallelitet Alle emner hører under semantisk ækvivalens. 1.0.1 Fra tidligere.. Bims
Læs mereHeisenbergs usikkerhedsrelationer. Abstrakt. Hvorfor? Funktionsrum. Nils Byrial Andersen Institut for Matematik. Matematiklærerdag 2013
Heisenbergs usikkerhedsrelationer Nils Byrial Andersen Institut for Matematik Matematiklærerdag 013 1 / 17 Abstrakt Heisenbergs usikkerhedsrelationer udtrykker at man ikke på samme tid både kan bestemme
Læs mereMatematisk Metode Notesamling
Matematisk Metode Notesamling Anders Bongo Bjerg Pedersen Stud.Scient, Matematisk Institut, KU 21. november 2005 Bemærkninger til noterne: Hosliggende noter er fra faget Matematisk Metode, afholdt i blok
Læs mereTypes, tokens og rationalisme i matematikkens filosofi
Types, tokens og rationalisme i matematikkens filosofi Klaus Frovin Jørgensen Afdelingen Filosofi og Videnskabsteori, RUC 6. marts, 2010 1 / 29 Hilbert og den aksiomatiske metode David Hilbert (1862-1943)
Læs mereOversættere Skriftlig eksamen onsdag d. 19. april 2006
Københavns Universitet Naturvidenskabelig Embedseksamen Oversættere Skriftlig eksamen onsdag d. 19. april 2006 Eksamenstiden er to timer. Opgavernes vægt i procent er angivet ved hver opgave. Den skriftlige
Læs mereAnalyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X).
Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 3. og 6. september 2013 Gennemgå bevis for Sætning 2.10 Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Bevis. Der findes en injektion X P(X), fx givet ved x
Læs mereVinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014
Vinkelrette linjer Frank Villa 4. november 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereChomsky hierarkiet af sprogklasser
Chomsky hierarkiet af sprogklasser Torben Mogensen Juli 2001 I oversætterbogen [Mog01] beskrives to klasser af sprog: De regulære sprog, beskrevet med regulære udtryk og endelige automater samt de kontekstfri
Læs mere6.1 Reelle Indre Produkter
SEKTION 6.1 REELLE INDRE PRODUKTER 6.1 Reelle Indre Produkter Definition 6.1.1 Et indre produkt på et reelt vektorrum V er en funktion, : V V R således at, for alle x, y V, I x, x 0 med lighed x = 0, II
Læs mereBaggrundsnote om logiske operatorer
Baggrundsnote om logiske operatorer Man kan regne på udsagn ligesom man kan regne på tal. Regneoperationerne kaldes da logiske operatorer. De tre vigtigste logiske operatorer er NOT, AND og. Den første
Læs mereSkriftlig Eksamen Beregnelighed (DM517)
Skriftlig Eksamen Beregnelighed (DM517) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Mandag den 7 Januar 2008, kl. 9 13 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater etc.) samt brug af lommeregner
Læs mereGEOMETRI-TØ, UGE 12. A σ (R) = A f σ (f(r))
GEOMETRI-TØ, UGE 12 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imfaudk Opvarmningsopgave 1, [P] 632 Vis at Ennepers flade σ(u, v) = ( u u 3 /3
Læs mereImplikationer og Negationer
Implikationer og Negationer Frank Villa 5. april 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereStatistisk hypotese. Lad P være en statistisk model på (X, E). (P er altså en familie af sandsynlighedsmål på (X, E).)
Statistisk hypotese Lad P være en statistisk model på (X, E). (P er altså en familie af sandsynlighedsmål på (X, E).) En statistisk hypotese er en delmængde P 0 P.. p.1/23 Statistisk hypotese PSfrag replacements
Læs mereLokalt ekstremum DiploMat 01905
Lokalt ekstremum DiploMat 0905 Preben Alsholm Institut for Matematik, DTU 6. oktober 00 De nition Et stationært punkt for en funktion af ere variable f vil i disse noter blive kaldt et egentligt saddelpunkt,
Læs mereOrienterede grafer. Orienterede grafer. Orienterede grafer. Orienterede grafer
Philip Bille Orienteret graf. Mængde af knuder forbundet parvis med orienterede kanter. deg + (7) =, deg - (7) = Lemma. v V deg - (v) = v V deg + (v) = m. Bevis. Hver kant har netop en startknude og slutknude.
Læs mereBanach-Tarski Paradokset
32 Artikeltype Banach-Tarski Paradokset Uden appelsiner Andreas Hallbäck Langt de fleste af os har nok hørt om Banach og Tarskis såkaldte paradoks fra 1924. Vi har hørt diverse poppede formuleringer af
Læs mere8 Regulære flader i R 3
8 Regulære flader i R 3 Vi skal betragte særligt pæne delmængder S R 3 kaldet flader. I det følgende opfattes S som et topologisk rum i sportopologien, se Definition 5.9. En åben omegn U af p S er således
Læs mereSpilstrategier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Vindermængde og tabermængde 2. 2 Kopier modpartens træk 4
Indhold 1 Vindermængde og tabermængde 2 2 Kopier modpartens træk 4 3 Udnyt modpartens træk 5 4 Strategityveri 6 5 Løsningsskitser 7 Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er primært spil af følgende
Læs mereLandmålingens fejlteori - Repetition - Fordeling af slutfejl - Lektion 8
Landmålingens fejlteori Repetition - Fordeling af slutfejl Lektion 8 - tvede@math.aau.dk http://www.math.aau.dk/ tvede/teaching/l4 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 15. maj 2008 1/13 Fordeling
Læs mereOm første og anden fundamentalform
Geometri, foråret 2005 Jørgen Larsen 9. marts 2005 Om første og anden fundamentalform 1 Tangentrummet; første fundamentalform Vi betragter en flade S parametriseret med σ. Lad P = σu 0, v 0 være et punkt
Læs mereStatistik II 1. Lektion. Analyse af kontingenstabeller
Statistik II 1. Lektion Analyse af kontingenstabeller Kursusbeskrivelse Omfang 5 kursusgange (forelæsning + opgaveregning) 5 kursusgange (mini-projekt) Emner Analyse af kontingenstabeller Logistisk regression
Læs mereModule 1: Lineære modeller og lineær algebra
Module : Lineære modeller og lineær algebra. Lineære normale modeller og lineær algebra......2 Lineær algebra...................... 6.2. Vektorer i R n................... 6.2.2 Regneregler for vektorrum...........
Læs mereAfstande, skæringer og vinkler i rummet
Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereSkriftlig Eksamen Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM528)
Skriftlig Eksamen Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM528) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Mandag den 3 Januar 2011, kl. 9 13 Alle sædvanlige hjælpemidler
Læs mereStatistisk hypotese. Lad P være en statistisk model på (X, E). (P er altså en familie af sandsynlighedsmål på (X, E).)
Statistisk hypotese Lad P være en statistisk model på (X, E). (P er altså en familie af sandsynlighedsmål på (X, E).) En statistisk hypotese er en delmængde P 0 P.. p.1/26 PSfrag replacements Statistisk
Læs mereAfstande, skæringer og vinkler i rummet
Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Nasser 9. april 20 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.
Læs mereTALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.
Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, oktober 2008, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan
Læs mereKursusgang Rekursive definitioner. 14. april Mystiske eksempler. Hvad er en rekursiv definition egentlig? Partielle ordninger
Kursusgang 15 14. april 2011 1 Rekursive definitioner Hvad er en rekursiv definition egentlig? Partielle ordninger cpo er (fuldstændige partielle) ordninger Monotone og kontinente funktioner Sætning om
Læs mereSymmetriske matricer
Symmetriske matricer Preben Alsholm 17. november 008 1 Symmetriske matricer 1.1 Definitioner Definitioner En kvadratisk matrix A = a ij kaldes symmetrisk, hvis aij = a ji for alle i og j. Altså hvis A
Læs mereSyntaks og syntaksgenkendelse, særligt regulære udtryk og tilstandsmaskiner og lidt om anvendelser i bioinformatik
Datalogi C, RUC Forelæsning 22. november 2004 Henning Christiansen Syntaks og syntaksgenkendelse, særligt regulære udtryk og tilstandsmaskiner og lidt om anvendelser i bioinformatik Dagens program Hvad
Læs mereBedste rette linje ved mindste kvadraters metode
1/9 Bedste rette linje ved mindste kvadraters metode - fra www.borgeleo.dk Figur 1: Tre datapunkter og den bedste rette linje bestemt af A, B og C Målepunkter og bedste rette linje I ovenstående koordinatsystem
Læs mereFortolkning. Foldning af sandsynlighedsmål. Foldning af tætheder. Foldning af Γ-fordelinger Eksempel: Hvis X og Y er uafhængige og. Sætning (EH 20.
Foldning af sandsnlighedsmål Lad µ og ν være to sandsnlighedsmål på (R, B). Fortolkning Lad φ : R R være φ(, ) = + for (, ) R. Lad X og Y være to reelle stokastiske variable defineret på (Ω, F, P). Definition
Læs mere3. klasse 6. klasse 9. klasse
Børne- og Undervisningsudvalget 2012-13 BUU Alm.del Bilag 326 Offentligt Elevplan 3. klasse 6. klasse 9. klasse Matematiske kompetencer Status tal og algebra sikker i, er usikker i de naturlige tals opbygning
Læs mereOm hypoteseprøvning (1)
E6 efterår 1999 Notat 16 Jørgen Larsen 11. november 1999 Om hypoteseprøvning 1) Det grundlæggende problem kan generelt formuleres sådan: Man har en statistisk model parametriseret med en parameter θ Ω;
Læs mereEvaluering af matematik undervisning
Evaluering af matematik undervisning Udarbejdet af Khaled Zaher, matematiklærer 6-9 klasse og Boushra Chami, matematiklærer 2-5 klasse Matematiske kompetencer. Fællesmål efter 3.klasse indgå i dialog om
Læs mereMatematik samlet evaluering for Ahi Internationale Skole
efter 3.klasse. e efter 6.klasse. e Skole efter 9.klasse. e indgå i dialog om spørgsmål og svar, som er karakteristiske i arbejdet med matematik (tankegangskompetence formulere sig skriftligt og mundtligt
Læs mereElementær Matematik. Mængder og udsagn
Elementær Matematik Mængder og udsagn Ole Witt-Hansen 2011 Indhold 1. Mængder...1 1.1 Intervaller...4 2. Matematisk Logik. Udsagnslogik...5 3. Åbne udsagn...9 Mængder og Udsagn 1 1. Mængder En mængde er
Læs mereEn differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby
24 En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby Det er velkendt for de fleste, at differentiabilitet af en reel funktion f medfører kontinuitet af f, mens det modsatte ikke gælder
Læs mereStrings and Sets: set complement, union, intersection, etc. set concatenation AB, power of set A n, A, A +
Strings and Sets: A string over Σ is any nite-length sequence of elements of Σ The set of all strings over alphabet Σ is denoted as Σ Operators over set: set complement, union, intersection, etc. set concatenation
Læs mereEleverne skal lære at:
PK: Årsplan 8.Ga. M, matematik Tid og fagligt område Aktivitet Læringsmål Uge 32 uge 50 Tal og algebra Eleverne skal arbejde med at: kende de reelle tal og anvende dem i praktiske og teoretiske sammenhænge
Læs mereTrykfejlsliste - alle fejl Asymptotisk teori
9. januar 2005 Stat 2A / EH Trykfejlsliste - alle fejl Asymptotisk teori Denne liste indeholder alle de regulære fejl, slåfejl og stavefejl der er fundet i 2A-noterne indtil nu. 9 1 Forkert: x C x ro alle
Læs mereTalteoriopgaver Træningsophold ved Sorø Akademi 2007
Talteoriopgaver Træningsophold ved Sorø Akademi 2007 18. juli 2007 Opgave 1. Vis at når a, b og c er positive heltal, er et sammensat tal. Løsningsforslag: a 4 + b 4 + 4c 4 + 4a 3 b + 4ab 3 + 6a 2 b 2
Læs mereOrienterede grafer. Orienterede grafer. Orienterede grafer. Vejnetværk
Philip Bille Orienteret graf (directed graph). Mængde af knuder forbundet parvis med orienterede kanter. Vejnetværk Knude = vejkryds, kant = ensrettet vej. deg + (6) =, deg - (6) = sti fra til 6 8 7 9
Læs mereTALTEORI Følger og den kinesiske restklassesætning.
Følger og den kinesiske restklassesætning, december 2006, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Følger og den kinesiske restklassesætning Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man
Læs mereVi indleder med at minde om at ( a) = a gælder i enhver gruppe.
0.1: Ringe 1. Definition: Ring En algebraisk struktur (R, +,, 0,, 1) kaldes en ring hvis (R, +,, 0) er en kommutativ gruppe og (R,, 1) er en monoide og hvis er såvel venstre som højredistributiv mht +.
Læs mereGrådige algoritmer. Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer.
Grådige algoritmer Grådige algoritmer Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Grådige algoritmer Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for
Læs mereAdditionsformlerne. Frank Villa. 19. august 2012
Additionsformlerne Frank Villa 19. august 2012 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereK 7 - og K 4,4 -minors i grafer
Aalborg Universitet Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet Institut for Matematiske Fag K 7 - og K 4,4 -minors i grafer Aalborg Universitet Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet Institut for Matematiske
Læs mereMat H /05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb
Mat H 1 2004/05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb Nødvendige og tilstrækkelige betingelser for ekstremum, konkave og konvekse funktioner. Fremstillingen i Kapitel 13.1 2 af Sydsæters bog [MA1] suppleres her med
Læs mereOversættere Skriftlig eksamen onsdag d. 20. april 2005
Københavns Universitet Naturvidenskabelig Embedseksamen Oversættere Skriftlig eksamen onsdag d. 20. april 2005 Eksamenstiden er to timer. Opgavernes vægt i procent er angivet ved hver opgave. Den skriftlige
Læs mereFoldningsintegraler og Doobs martingale ulighed
Foldningsintegraler og Doobs martingale ulighed N.J. Nielsen Indledning I dette notat vil vi vise en sætning om foldningsintegraler, som blev benyttet trin 2 i onstrutionen af Itointegralet, gennemgå esempel
Læs mereTALTEORI Ligninger og det der ligner.
Ligninger og det der ligner, december 006, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Ligninger og det der ligner. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan få i Marianne Terps og Peter
Læs mereBevisteknikker. Bevisteknikker (relevant både ved design og verifikation) Matematisk induktion. Matematisk induktion uformel beskrivelse
Bevisteknikker Bevisteknikker (relevant både ved design og verifikation) Bevisførelse ved modstrid (indirekte bevis) Antag, at det givne teorem er falsk Konkluder, at dette vil føre til en modstrid Teorem:
Læs mereOversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3
Oversigt [LA], 2, 3, [S] 9.-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis
Læs mereOm begrebet relation
Om begrebet relation Henrik Stetkær 11. oktober 2005 Vi vil i denne note diskutere det matematiske begreb en relation, herunder specielt ækvivalensrelationer. 1 Det abstrakte begreb en relation Som ordet
Læs mere