Sandsynlighedsregning 7. forelæsning Bo Friis Nielsen

Transkript

1 Sandsynlighedsregning 7. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 28 Kgs. Lyngby Danmark Dagens emner afsnit 4.5 og 4.6 (Kumulerede) fordelingsfunktion P(X x) = F(x) Fraktiler F(x p ) = p - specielt median F(x m ) =.5 Fordeling for maksimum og minimum F max (x) = n i= F i(x) og F min (x) = n i= ( F i(x)) Fordelinger af ordnede variable f (k) (x) = nf(x) n (F(x)) k ( F(x)) n k k Betafordelingen f(x) = B(r,s) xr ( x) s med B(r,s) = xr ( x) s dx = ( ) Γ(r)Γ(s) = (r )!(s )!, for (r, s) heltallige Γ(r+s) (r+s ) Fordelingsfunktionen (c.d.f.) F(x) For levetidsfordelinger indførte vi overlevelsesfunktionen G(t) = P(T > t) = t f(s) ds For alle stokastiske variable X indfører vi nu fordelingsfunktionen F(x) = P(X x) f(x) f(x) G(.6) F(.6) F for kontinuerte og diskrete variable For kontinuerte variable er F( ) kontinuert (!) og F(x) = x f(ξ) dξ For diskrete fordelinger på Z har vi F(x) = x n= P(X = n) f(x) f(n) F(.6) F( 6) forelæsning forelæsning 7 4

2 Vi betragter en eksponential(λ) fordelt variabel X. Spørgsmål Fordelingsfunktionen for X er F(x) = λe λx 2 F(x) = λe λx 3 F(x) = e λx Eksempler på fordelingsfunktioner Binomialf. x t= n t p t ( p) n t N=2, p= F(x) = e λx 5 F(x) = x e λx dx 6 Ved ikke 245 forelæsning 7 5 Poissonf. x n= λ n n! e λ λ= flere fordelingsfunktioner... og endnu flere p=.2 µ=, σ= Geometrisk f. på N ( p) x Normalf. x σ 2( t µ 2π e σ ) 2 dt λ=.2 r=3, λ= Exponentialf. exp( λx) Gammaf. r (λx) n n= e λx n!

3 Fraktiler (percentiles) Median m: P(X m) =.5 Nedre/øvre kvartil P(X nk) =.25 P(X øk) =.75 Generelt: p-fraktilen f p er givet ved P(X f p ) = p (Lidt besværligt for diskrete fordelinger) p=.5 p=.25 p=.9 p=.75 nk m øk f.9 Simulering af stokastiske variable Givet en kontinuert voksende fordelingsfunktion F. Spm: Hvordan kan vi sample en stokastisk variable X med fordelingsfunktion F? Svar: Simulér først U fra en uniform fordeling på [,]. Bestem dernæst d.v.s. x er u-fraktilen i F. Hvorfor virker det? Fordi: X = F (U) P(X x) = P(F(X) F(x)) = P(U F(x)) = F(x) 245 forelæsning 7 Brug af dette Matlab genererer tilfældige tal mellem og med rand Transformation med λ ln(u) Lav histogram over disse Tilsvarende histogram over variable genereret med exprnd Fordeling af maximum og minimum Hvor høj er den højeste i en gruppe? Hvornår punkterer det første dæk? Hvad er den største bølgehøjde en bro vil blive udsat for? Største fil på hjemmeside Hvornår kommer den sidste, der skal med på skituren? 245 forelæsning forelæsning 7 2

4 Fordelingsfunktionen for maximum Start med n variable X i, i =,...,n.... med tilhørende fordelingsfunktioner F i (x). Lad X max være maksimum: X max = maxx i i X max er da en stokastisk variabel med fordelingsfunktion F max (x) = P(X max x) = P( i : X i x) Hvis {X i, i =,...,n} er uafhængige får vi F max (x) = n F i (x) ( for F i (x) = F(x): F max (x) = F(x) n ) i= 245 forelæsning 7 3 Maksimum af to terningekast Lad X og Y være antal øjne på to uafhængige terningekast. Lad Z = max{x,y}. z P(Z = z) Dermed får vi forelæsning z P(Z z) Bemærk! Dette er lige netop (F X (z)) 2 med F X (x) = x/6 25 Fordelingsfunktionen for minimum Samme n variable X i, samme fordelingsfunktioner F i (x). Lad X min være minimum: X min har fordelingsfunktionen X min = min i X i F min (x) = P(X min x) = P(X min > x) = P( i : X i > x) Hvis {X i, i =,...,n} er uafhængige får vi nu F min (x) = n ( F i (x)) F min (x) = i= n ( F i (x)) i= Minimum af to uniformt fordelte variable Lad X,Y være uafhængige og uniformt fordelt på [,]. Lad Z = min{x,y}. Da har vi P(Z z) = ( z) 2. Mere generelt, for X i, i =,...,n, er uafhængige og U([,]), får vi: P(min(X,Y)>.4) P(minX i x) = ( x) n i For F i (x) = F(x): F min (x) = ( F(x)) n 245 forelæsning forelæsning 7 5

5 Eksempel/opgave En kæde består af n led. Trækstyrken for hvert led har fordelingsfunktionen F(x) = 25 x2 < x < 5 Vi antager nu, at trækstyrken for hele kæden skal være mindst kg med en sandsynlighed på mindst.95. Hvor mange led må den da højst bestå af? En kæde er ikke stærkere end det svageste led... Vi definerer X i til at være trækstyrken af det i te led. Trækstyrken af kæden er da X min = min i X i med fordelingsfunktion: Vi forlanger P(X min x) = ( F(x)) n P(X min.) = ( F(.)) n,5 Løs m.h.t. n: n log,95 log( F(.)) n forelæsning 7 7 hvor F(.) = 25.2 En approksimation for fordelingen af minimum Fordelingsfunktionen for X min = min i X i i kædeeksemplet var P(X min x) = ( F(x)) n Hvis n er stor og F(x) er lille kan vi approksimere Fordeling af k te mindste side 326 Lad X i, være i.i.d. (i =,...,n) med fordelingsfunktion F(x). Lad X (k) benævne den k te mindste. (X max = X (n) X min = X () ) ( F(x)) n = exp(nlog( F(x))) exp( nx 2 /25) Der er X min ca. Weibull-fordelt, opg For en generel F kan vi approksimere F(x) med det dominerende led i dens Taylor-række, og dermed stadig få en Weibull-fordeling. Spm: Bestem P(x < X (k) x+dx) = f k (x) dx! 245 forelæsning forelæsning 7 2

6 Svar: Under denne hændelse må der gælde at: èn af X i erne ligger i [x,x+dx] præcis k af dem er mindre end eller lig x og resten (n k) er større eller lig x. f k (x)dx = nf(x)dx n F(x) k ( (F(x)) n k k således at f k (x) = n n k 245 forelæsning 7 2 f(x)f(x) k ( F(x)) n k Fire studerende har aftalt, at mødes på Cafe Mig og Annie kl... Antag at hver persons ankomsttidspunkt kan beskrives med en normalfordeling med middelværdi kl.. og med en standardafvigelse på 5 minutter, uafhængigt af de andres ankomsttidspunkt. Spørgsmål 2 Sandsynligheden for, at den anden person kommer indenfor de første sekunder efter kl.., er (approksimativt): 5 2π ( 5 2 2π 6 2 2) ( ) 6 3 Φ 5 2 ( ) 6 4 (Φ 5 2 )2 5 4 ( 5 2 2π 6 2) 6 Ved ikke hvor Φ betegner fordelingsfunktionen for en standardiseret normalfordelt variabel. Ordning af uniforme variable Et hjælperesultat Hvis X i er U(,) (d.v.s. uniformt fordelt på [,]) er F(x) = x. Vi fandt det generelle resultat: f k (x) = n n f(x)f(x) k ( F(x)) n k k Fordi f k er en tæthedsfunktion har vi og dermed f k (x) dx = Dermed bliver tæthedsfunktionen for X (k) : f k (x) = n n x k ( x) n k k x k ( x) n k dx = n n k (idet Γ(n) = (n )! for n heltallig) = Γ(k)Γ(n k +) Γ(n+) (Tætheder side 328) 245 forelæsning forelæsning 7 24

7 Betafordelingen Lidt mere generelt siges en stokastisk variabel med tæthed f(x) = B(r,s) xr ( x) s, < x < for vilkårlige r >,s > at være beta(r,s) fordelt. Her er B(r,s) = x r ( x) s dx = Γ(r) Γ(s) Γ(r +s) Opgave Lad X være beta(r, s)-fordelt. Spm: Find E(X m ) for m. Svar: E(X m ) = og dermed x m f(x)dx = E(X m ) = B(r+m,s) B(r, s) B(r, s) = x m x r ( x) s dx Γ(r+m) Γ(r +s) Γ(r+m+s) Γ(r) Dermed er X (k) fra før beta(k,n k +) -fordelt. 245 forelæsning forelæsning 7 26 Opg (f): Første momenter i en beta-fordeling E(X 2 ) = E(X) = Γ(r +) Γ(r+s) Γ(r +s+) Γ(r) = r r +s Γ(r +2) Γ(r +s) Γ(r +s+2) Γ(r) = r(r+) (r+s)(r +s+) Vi har to æsker, en ulige æske med sort og 3 hvide marmorkugler, og en lige æske med 2 sorte og 2 hvide marmorkugler. Man vælger en æske tilfældigt og dernæst vælges en marmorkugle tilfældigt fra denne æske. Spørgsmål 3 Givet vi trækker en hvid marmorkugle, hvad er da sandsynligheden for at den kommer fra den lige æske Var(X) = E(X 2 ) (E(X)) 2 = rs (r+s) 2 (r +s+) 245 forelæsning Ingen af de ovenstående 6 Ved ikke

8 Nye begreber i dag Fordelingfunktionen F(x) = P(X x) Fraktiler: f p er givet ved P(X f p ) = p... specielt median, øvre og nedre kvartil (p=.5,.75,.25) Simulation udfra fraktilerne Ekstremværdier Ordnede stokastiske variable Betafordelingen. 245 forelæsning 7 29 Afsnit 4.5 og 4.6 (Kumulerede) fordelingsfunktion P(X x) = F(x) Fraktiler F(x p ) = p - (specielt median F(x m ) =.5) Fordeling for maksimum og minimum F max (x) = n i= F i(x) og F min (x) = n i= ( F i(x)) Fordelinger af ordnede variable f (k) (x) = nf(x) n (F(x)) k ( F(x)) n k k Betafordelingen f(x) = B(r,s) xr ( x) s med B(r,s) = xr ( x) s dx = ( ) Γ(r)Γ(s) = (r )!(s )!, for (r, s) heltallige Γ(r+s) r+s )