Elementære funktioner

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Elementære funktioner"

Transkript

1 enote 14 1 enote 14 Elementære funktioner I enne enote vil vi els repetere nogle af e basale egenskaber for et uvalg af e (fra gymnasiet) velkente funktioner f (x) af én reel variabel x, og els introucere enkelte nye funktioner, som typisk optræer i mangfolige sammenhænge. De grunlæggene spørgsmål verørene enhver funktion rejer sig typisk om følgene: Hvoran og for hvilke x er funktionen efineret? Hvilke værier af f (x) får vi, når vi bruger funktionen på elementerne x i efinitionsmængen? Er funktionen kontinuert? Hva er ifferentialkvotienten f (x) af funktionen hvis en eksisterer? Som noget nyt vil vi inføre en meget stor klasse af funktioner, epsilon-funktionerne, som betegnes me fællesbetegnelsen ε(x), og som vi gennemgåene vil benytte til at beskrive kontinuitet og ifferentiabilitet også af funktioner af flere variable, som vil blive inført og analyseret i e efterfølgene enoter. Version Definitionsmænge og værimænge Ve beskrivelsen af en reel funktion f (x) anføres els e reelle tal x, hvor funktionen er efineret, og els e værier, som kan fås ve at benytte funktionen på efinitionsmængen. Definitionsmængen kaler vi Dm( f ) og værimængen kaler vi Vm( f ).

2 enote DEFINITIONSMÆNGDE OG VÆRDIMÆNGDE 2 Eksempel 14.1 Nogle efinitionsmænger og værimænger Her er efinitonsmænger og tilhørene værimænger for nogle velkente funktioner. f 1 (x) = exp(x), Dm( f 1 ) = R = ], [, Vm( f 1 ) = ]0, [ f 2 (x) = ln(x), Dm( f 2 ) =]0, [, Vm( f 2 ) = R = ], [ f 3 (x) = x, Dm( f 3 ) = [0, [, Vm( f 3 ) = [0, [ f 4 (x) = x 2, Dm( f 4 ) = R = ], [, Vm( f 4 ) = [0, [ f 5 (x) = x 7 + 8x 3 + x 1, Dm( f 5 ) = R = ], [, Vm( f 5 ) = R = ], [ f 6 (x) = exp(ln(x)), Dm( f 6 ) = ]0, [, Vm( f 6 ) = ]0, [ f 7 (x) = sin(1/x), Dm( f 7 ) = ], 0[ ]0, [, Vm( f 7 ) = [ 1, 1] f 8 (x) = x /x, Dm( f 8 ) = ], 0[ ]0, [, Vm( f 8 ) = { 1} {1} (14-1) Figur 14.1: Den velkente eksponentialfunktion e x = exp(x) og en naturlige logaritmefunktion ln(x). De røe cirkler på en negative x-akse og i 0 inikerer, at logaritmefunktionen ikke er efineret i ], 0].

3 enote DEFINITIONSMÆNGDE OG VÆRDIMÆNGDE 3 Funktionen f 8 (x) i eksempel 14.1 er efineret u fra x, som betegner en numeriske væri af x, vs. x > 0, for x > 0 x = 0, for x = 0 (14-2) x > 0, for x < 0. Heraf følger efinitionsmænge og værimænge for f 8 (x) irekte. Eksempel 14.2 Tangens Funktionen f (x) = tan(x) = sin(x) cos(x) (14-3) har efinitionsmængen Dm( f ) = R \ A, hvor A betegner e reelle tal x, hvor nævneren cos(x) er 0, vs. Dm( f ) = R \ {x cos(x) = 0} = R \ {(π/2) + p π, hvor p er et helt tal}. (14-4) Værimængen Vm( f ) er alle e reelle tal, se figur Figur 14.2: Graferne for funktionerne tan(x) og cot(x).

4 enote DEFINITIONSMÆNGDE OG VÆRDIMÆNGDE 4 Opgave 14.3 La g(x) betegne en reciprokke funktion til funktionen tan(x): g(x) = cot(x) = cos(x) sin(x) (14-5) Se figur Bestem efinitionsmængen for g(x), og skriv en på samme måe som for tan(x) ovenfor Uvielser af efinitionsmængen til hele R En funktion f (x), som ikke er efineret i alle reelle tal, kan kan let uvies til en funktion f (x), som har Dm( f ) = R. Det kan for eksempel gøres ve hjælp af en krøllet parentes som i følgene efinition. Definition uvielsen Givet en funktion f (x) me Dm( f ) = R. Så efinerer vi 0-uvielsen af f (x) ve f (x) = { f (x), for x Dm( f ) 0, for x R \ Dm( f ). (14-6) Det er klart, at afhængig af anvenelsen kan man plombere og uvie efinitionsmængen for f (x) på mange anre måer en ve at vælge konstanten 0 som væri for en uviee funktion i e punkter, hvor en oprinelige funktion ikke er efineret. Værimængen Vm( f ) for en 0-uviee funktion er naturligvis en oprinelige værimænge for f (x) forenet me værien 0, vs. Vm( f ) = Vm( f ) {0}. Vi vil herefter typisk meminre anet nævnes helt tyeligt antage, at e funktioner, vi betragter, er efineree i hele R (eventuelt ve hjælp af en uvielseskonstruktion) som ovenfor.

5 enote EPSILON-FUNKTIONER Epsilon-funktioner Vi infører en særlig klasse af funktioner, som vi vil benytte til at efinere et vigtige begreb kontinuitet for funktioner. Definition 14.5 Epsilon-funktioner Enhver funktion ε(x), som er efineret i et åbent interval, er ineholer 0, og som antager værien ε(0) = 0 i x = 0 og eruover går imo 0, når x går imo 0, kales en epsilon-funktion af x. Epsilon-funktioner er altså karakteriseree ve egenskaberne ε(0) = 0 og ε(x) 0 for x 0. (14-7) Den siste betingelse er ækvivalent me, at en numeriske væri af ε(x) kan gøres så lille som ønsket ve blot at vælge en numeriske væri af x tilstrækkelig lille. Helt præcis betyer betingelsen: For ethvert helt tal k > 0 fines er et helt tal K > 0 såan, at ε(x) < 1/k for alle x me x < 1/K. Mængen af epsilon-funktioner er meget stor, som næste eksempel viser. Eksempel 14.6 Epsilon-funktioner Her er nogle simple eksempler på epsilon-funktioner: ε 1 (x) = x ε 2 (x) = x ε 3 (x) = ln(1 + x) ε 4 (x) = sin(x). (14-8) Egenskaben at være en epsilon-funktion er ret stabil: Prouktet af en epsilonfunktion me en vilkårlig anen funktion, er blot er begrænset, er også en epsilon-funktion. Summen og prouktet af to epsilon-funktioner er igen epsilon-funktioner. Den numeriske væri af en epsilon-funktion er en epsilonfunktion. Funktioner, er er 0 anre steer en i x = 0, kan også give anlening til epsilonfunktioner: Hvis en funktion g(x) har egenskaberne g(x 0 ) = 0 og g(x) 0 for x x 0, så er g(x) en epsilon-funktion af x x 0, vs. vi kan skrive g(x) = ε g (x x 0 ).

6 enote KONTINUERTE FUNKTIONER 6 Opgave 14.7 Vis, at 0-uvielsen f 8 (x) af funktionen f 8 (x) = x /x ikke er en epsilon-funktion. Vink: Hvis vi vælger k = 10, så fines er helt klart ikke nogen væri af K såan, at f 8 (x) = x /x = 1 < 1 10, for alle x me x < 1 K. (14-9) Tegn grafen for f 8 (x). Den kan ikke tegnes uen at løfte blyanten fra papiret! Opgave 14.8 Vis, at 0-uvielsen af funktionen f (x) = sin(1/x) ikke er en epsilon-funktion Kontinuerte funktioner Vi kan nu formulere kontinuitetsbegrebet ve hjælp af epsilon-funktioner. Definition 14.9 Kontinuitet En funktion f (x) er kontinuert i x 0, hvis er eksisterer en epsilon-funktion ε f (x x 0 ) sålees, at følgene gæler i et åbent interval, er ineholer x 0 : f (x) = f (x 0 ) + ε f (x x 0 ). (14-10) Hvis f (x) er kontinuert i alle x 0 i et givet åbent interval i Dm( f ), så siger vi, at f (x) er kontinuert i intervallet. Læg mærke til, at selvom et er klart, hva epsilon-funktionen helt præcist er i efinition 14.9, nemlig f (x) f (x 0 ), så er en eneste egenskab, vi er interesseree i, følgene: ε f (x x 0 ) 0 for x x 0 såan, at f (x) f (x 0 ) for x x 0, altså præcis som vi kener kontinuitets-begrebet fra gymnasiet! Opgave Alle epsilon-funktioner er herefter per efinition kontinuerte i x 0 = 0 (me værien 0 i x 0 = 0). Konstruér en epsilon-funktion, som ikke er kontinuert i nogen som helst af punkterne x 0 = 1/n, hvor n = 1, 2, 3, 4,.

7 enote DIFFERENTIABLE FUNKTIONER 7 Selvom epsilonfunktionsbegrebet er helt funamentalt for efinitionen af kontinuitet (og, som vi skal se neenfor, for efinitionen af ifferentiabilitet), så behøver epsilonfunktionerne altså ikke selv at være kontinuerte anre steer en netop i x 0 = 0. Opgave Vis, at 0-uvielsen f (x) af funktionen f (x) = x 7 /(x 7) ikke er kontinuert i R Differentiable funktioner Definition Differentiabilitet En funktion f (x) er ifferentiabel i x 0 Dm( f ), hvis er fines en konstant a og en epsilon-funktion ε f (x x 0 ) såan, at f (x) = f (x 0 ) + a (x x 0 ) + (x x 0 ) ε f (x x 0 ). (14-11) Tallet a kales f (x 0 ), og et er velefineret i en forstan, at hvis f (x) i et hele taget kan fremstilles på ovenståene form (altså hvis f (x) er ifferentiabel i x 0 ), så er er én og kun én væri for a, som gør formlen rigtig. Me enne efinition af ifferentialkvotienten f (x 0 ) af f (x) i x 0 har vi altså f (x) = f (x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) + (x x 0 ) ε f (x x 0 ). (14-12) Hvis f (x) er ifferentiabel i alle x 0 i et givet åbent interval i Dm( f ), så siger vi naturligvis, at f (x) er ifferentiabel i intervallet. Vi skriver ofte ifferentialkvotienten af f (x) i x på følgene alternative måe: f (x) = f (x). (14-13) x Forklaring Differentialkvotienten er entyig Vi vil vise, at er kun fines én væri af a, som kan opfyle (14-11). Antag nemlig omvent, at er er to forskellige værier a 1 og a 2, som opfyler ligningen me

8 enote DIFFERENTIABLE FUNKTIONER 8 muligvis to forskellige epsilon-funktioner: f (x) = f (x 0 ) + a 1 (x x 0 ) + (x x 0 ) ε 1 (x x 0 ) f (x) = f (x 0 ) + a 2 (x x 0 ) + (x x 0 ) ε 2 (x x 0 ). (14-14) Ve at trække neerste ligning i (14-14) fra en øverste får vi så 0 = 0 + (a 1 a 2 ) (x x 0 ) + (x x 0 ) (ε 1 (x x 0 ) ε 2 (x x 0 )) (14-15) sålees, at a 1 a 2 = ε 1 (x x 0 ) ε 2 (x x 0 ) (14-16) for alle x = x 0. Det kan klart ikke være rigtigt; højresien går jo imo 0, når x går imo x 0! Antagelsen ovenfor, altså at a 1 = a 2, er erfor forkert. De to konstanter a 1 og a 2 må være ens, og et var et, vi skulle inse. Ovenståene efinition er helt ækvivalent me en, vi kener fra gymnasiet. Hvis vi nemlig først trækker f (x 0 ) fra begge sier af lighestegnet i (14-12) og ernæst ivierer igennem me (x x 0 ), får vi f (x) f (x 0 ) x x 0 = f (x 0 ) + ε f (x x 0 ) f (x 0 ) for x x 0, (14-17) altså en velkente grænseværi for kvotienten mellem funktionstilvæksten f (x) f (x 0 ) og x-tilvæksten x x 0. Grunen til, at vi ikke bruger enne kente efinition af f (x 0 ), er en simple, at for funktioner af flere variable giver kvotient-brøken ikke mening men mere om et i en senere enote. Sætning Differentiabel mefører kontinuert Hvis en funktion f (x) er ifferentiabel i x 0, så er f (x) også kontinuert i x 0. Bevis Vi har, at f (x) = f (x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) + (x x 0 )ε f (x x 0 ) = f (x 0 ) + [ f (x 0 ) (x x 0 ) + (x x 0 )ε f (x x 0 ) ], (14-18) og a hele en kantee parentes på højre sie er en epsilon-funktion af (x x 0 ), så er f (x) kontinuert i x 0.

9 enote DIFFERENTIABLE FUNKTIONER 9 Men et omvente gæler ikke nøvenigvis, som følgene eksempel viser. Eksempel Kontinuert men ikke ifferentiabel Funktionen f (x) = x er kontinuert men ikke ifferentiabel i x 0 = 0. Funktionen er selv en epsilon-funktion, og f (x) er erfor kontinuert i 0. Men antag nu, at er fines en konstant a og en epsilon-funktion ε f (x x 0 ) såan, at Så skulle er gæle, at f (x) = f (x 0 ) + a (x x 0 ) + (x x 0 )ε f (x x 0 ). (14-19) x = 0 + a x + x ε f (x) (14-20) og erme for alle x = 0 at x x = a + ε f (x). (14-21) Det kan ikke lae sig gøre, for så skulle a være båe 1 og 1 og et er umuligt! Derfor er ovenståene antagelse om, at er skulle fines en såan konstant a, altså forkert. f (x) er erfor ikke ifferentiabel. Definition Approksimerene førstegraspolynomium Det approksimerene førstegraspolynomium for f (x) me uviklingspunkt x 0 efineres ve P 1,x0 (x) = f (x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ). (14-22) Bemærk, at P 1,x0 (x) virkelig er et førstegraspolynomium i x. Grafen for funktionen P 1,x0 (x) er tangenten til grafen for f (x) igennem punktet (x 0, f (x 0 )), se figur Ligningen for tangenten er y = P 1,x0 (x), altså y = f (x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ). Hælningskoefficienten for tangenten er klart α = f (x 0 ), og tangenten skærer y-aksen i punktet (0, f (x 0 ) x 0 f (x 0 )). Vi skal senere fine u af, hvoran vi kan approksimere me polynomier af højere gra n, altså polynomier er så betegnes P n,x0 (x) Differentiation af et proukt

10 enote DIFFERENTIABLE FUNKTIONER 10 Figur 14.3: Konstruktion af tangenten y = P 1,x0 (x) = f (x 0 ) + α (x x 0 ) me hælningskoefficienten α = f (x 0 ) for funktionen f (x). Til højre ses forskellen mellem funktionsværien f (x) og tangentværien P 1,x0 (x). Sætning Differentiation af f (x) g(x) Et proukt h(x) = f (x) g(x) af to ifferentiable funktioner f (x) og g(x) er ifferentiabel og ifferentieres på følgene velkente måe: x ( f (x) g(x)) = f (x) g(x) + f (x) g (x). (14-23) Selv om enne formel formentlig er ganske velkent fra gymnasiet, vil vi kort skitsere et bevis for en igen for at illustrere brugen af epsilon-funktioner. Bevis Da f (x) og g(x) er ifferentiable i x 0, har vi f (x) = f (x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) + (x x 0 )ε f (x x 0 ) g(x) = g(x 0 ) + g (x 0 ) (x x 0 ) + (x x 0 )ε g (x x 0 ) (14-24) såan, at prouktet af e to højresier bliver h(x) = f (x) g(x) = f (x 0 ) g(x 0 ) + ( f (x 0 ) g(x 0 ) + f (x 0 ) g (x 0 )) (x x 0 ) + (x x 0 )ε h (x x 0 ), (14-25)

11 enote DIFFERENTIABLE FUNKTIONER 11 hvor vi har benyttet (x x 0 )ε h (x x 0 ) som kort skrivemåe for en resterene el af prouktsummen. Enhver af aenerne i enne resterene el inholer faktoren (x x 0 ) 2 eller et proukt af (x x 0 ) me en epsilon-funktion og kan erfor netop skrives på en angivne form. Men så følger prouktformlen ve irekte at aflæse faktoren foran (x x 0 ) i (14-25): h (x 0 ) = f (x 0 ) g(x 0 ) + f (x 0 ) g (x 0 ). (14-26) Differentiation af en brøk Følgene ifferentiationsregel er ligelees velkent fra gymnasiet: Sætning Differentiation af f (x)/g(x) En brøk h(x) = f (x)/g(x) mellem to ifferentiable funktioner f (x) og g(x) er ifferentiabel overalt, hvor g(x) = 0, og ifferentieres på følgene velkente måe: x ( ) f (x) = f (x) g(x) g(x) f (x) g (x) g 2 (x) = f (x) g(x) f (x) g (x) g 2 (x). (14-27) Opgave Benyt et epsilonfunktions-argument på samme måe som i ifferentiationsreglen for et proukt til at vise sætning Differentiation af sammensatte funktioner Sætning Kæereglen for sammensatte funktioner En funktion h(x) = f (g(x)), er er sammensat af e to ifferentiable funktioner f (x) og g(x), er selv ifferentiabel i ethvert x 0 me iffererentialkvotienten h (x 0 ) = f (g(x 0 )) g (x 0 ) (14-28)

12 enote DIFFERENTIABLE FUNKTIONER 12 Bevis Vi benytter, at e to funktioner f (x) og g(x) er ifferentiable. Specielt er g(x) ifferentiabel i x 0, g(x) = g(x 0 ) + g (x 0 )(x x 0 ) + (x x 0 ) ε g (x x 0 ), (14-29) og funktionen f (u) er ifferentiabel i u 0 = g(x 0 ), f (u) = f (u 0 ) + f (u 0 )(u u 0 ) + (u u 0 ) ε f (u u 0 ). (14-30) Heraf fås så, når vi sætter u = g(x) og u 0 = g(x 0 ): h(x) = f (g(x)) = f (g(x 0 )) + f (g(x 0 ))(g(x) g(x 0 )) + (g(x) g(x 0 )) ε f (g(x) g(x 0 )) = h(x 0 ) + f (g(x 0 ))(g (x 0 )(x x 0 ) + (x x 0 ) ε g (x x 0 )) + (g (x 0 )(x x 0 ) + (x x 0 ) ε g (x x 0 )) ε f (g(x) g(x 0 )) = h(x 0 ) + f (g(x 0 ))g (x 0 ) (x x 0 ) + (x x 0 ) ε h (x x 0 ), (14-31) hvoraf et irekte aflæses, at h (x 0 ) = f (g(x 0 ))g (x 0 ) fori ette netop er en entyige koefficient på (x x 0 ) i ovenståene utryk. Opgave Vi har i ovenståene sist i (14-31) benyttet, at f (g(x 0 )) ε g (x x 0 ) + (g (x 0 ) + ε g (x x 0 )) ε f (g(x) g(x 0 )) (14-32) er en epsilon-funktion, som vi erfor kalte ε h (x x 0 ). Overvej, hvorfor ette er helt OK. Opgave Fin ifferentialkvotienterne af følgene funktioner for enhver x-væri i e respektive efinitionsmænger: f 1 (x) = (x 2 + 1) sin(x) f 2 (x) = sin(x)/(x 2 + 1) f 3 (x) = sin(x 2 + 1). (14-33)

13 enote OMVENDTE FUNKTIONER Omvente funktioner Exponentialfunktionen exp(x) og logaritmefunktionen ln(x) er hinanens omvente funktioner er gæler som bekent: exp(ln(x)) = x for x Dm(ln) = ]0, [ = Vm(exp) ln(exp(x)) = x for x Dm(exp) = ], [ = Vm(ln). (14-34) Læg mærke til, at selv om exp(x) er efineret for alle x, så er en omvente funktion ln(x) kun efineret for x > 0 og omvent (!) Funktionen f (x) = x 2 har en omvent funktion i sine respektive monotoni-intervaller, vs. er hvor f (x) er voksene henholsvis aftagene: Den omvente funktion i et interval, [0, [, hvor f (x) er voksene er en velkente funktion g(x) = x. Funktionen f (x) afbiler altså intervallet A = [0, [ en-entyigt på intervallet B = [0, [, og en omvente funktion g(x) afbiler intervallet B en-entyigt på intervallet A sålees at: f (g(x)) = ( x) 2 = x for x B = [0, [ g( f (x)) = x 2 = x for x A = [0, [. (14-35) Den omvente funktion til f (x) i et interval, ], 0], hvor f (x) er aftagene er funktionen h(x) = x, som ikke er efineret på et samme interval som f (x). Funktionen f (x) afbiler intervallet C =], 0] en-entyigt på intervallet D = [0, [, og en omvente funktion h(x) afbiler intervallet D en-entyigt på intervallet C sålees at: f (h(x)) = ( x) 2 = x for x D = [0, [ h( f (x)) = x 2 = x for x C = ], 0]. (14-36) Hvis f (x) ikke er monoton på et interval, så betyer et essentielt, at vi kan opnå samme funktions-væri f (x) for flere forskellige x-værier på samme måe som x 2 = 1 båe for x = 1 og for x = 1, og så er funktionen ikke en-entyig på intervallet. Funktionerne cos(x) og sin(x) er kun monotone på bestemte el-intervaller på x-aksen, se figur Hvis vi ønsker at efinere en omvent funktion til e funktioner må vi altså vælge et såant interval me omhu, se afsnit 14.8 og figur 14.8.

14 enote OMVENDTE FUNKTIONER 14 Definition Notation for omvente funktioner Den omvente funktion til en given funktion f (x) vil vi betegne me f 1 (x). Den omvente funktion er generelt efineret ve følgene egenskaber på passene valgte intervaller A og B som er ineholt i henholsvis Dm( f ) og Dm( f 1 ) f 1 ( f (x)) = x for x A Dm( f ) f ( f 1 (x)) = x for x B Dm( f 1 ). (14-37) Vi bruger betegnelsen f 1 (x) for ikke at forveksle me ( f (x)) 1 = 1/ f (x). Grafen for en omvente funktion g(x) = f 1 (x) til en funktion f (x) kan fås ve at spejle grafen for f (x) i iagonal-linjen i (x, y)-koorinatsystemet vs. linjen me ligningen y = x se figur Differentiation af omvente funktioner Sætning Differentiation af omvent funktion Hvis en ifferentiabel funktion f (x) har en omvente funktion f 1 (x) og hvis f ( f 1 (x 0 )) = 0, så er en omvente funktion f 1 (x) selv ifferentiabel i x 0 : ( f 1 ) (x 0 ) = 1 f ( f 1 (x 0 )) (14-38) Bevis Pr. efinition af omvent funktion gæler, at h(x) = f ( f 1 (x)) = x, (14-39) så h (x 0 ) = 1, men vi har så også fra kæereglen i (14-28): h (x 0 ) = f ( f 1 (x 0 )) ( f 1 ) (x 0 ) = 1, (14-40) hvoraf vi får resultatet ve at iviere me f ( f 1 (x 0 )).

15 enote HYPERBOLSKE FUNKTIONER 15 Figur 14.4: Grafen for en funktion f (x) og grafen for ens omvente funktion g(x). Der gæler g(x) = f 1 (x) og f (x) = g 1 (x), men e har hver eres egne efinitionsintervaller Hyperbolske funktioner

16 enote HYPERBOLSKE FUNKTIONER 16 Definition Hyperbolsk cosinus og hyperbolsk sinus Vi vil efinere to nye funktioner cosh(x) og sinh(x) som e entyigt bestemte løsninger til følgene ifferentialligningssystem me begynelsesbetingelser. De to funktioner benævnes henholsvis hyperbolsk cosinus og hyperbolsk sinus: cosh (x) = sinh(x), cosh(0) = 1 sinh (x) = cosh(x), sinh(0) = 0. (14-41) Betegnelserne cosh(x) og sinh(x) ligner cos(x) og sin(x), men funktionerne er meget forskellige, som vi skal se neenfor. Der er og også funamentale strukturelle ligheer mellem e to par af funktioner og et er em er motiverer betegnelserne. I ifferentialligningssystemet for cos(x) og sin(x) optræer kun et enkelt minus-tegn som eneste forskel i forhol til (14-41): cos (x) = sin(x), cos(0) = 1 sin (x) = cos(x), sin(0) = 0. (14-42) Desuen gæler (igen me et helt afgørene minustegn som eneste forskel) følgene simple analogi til en velkente og ofte brugte relation cos 2 (x) + sin 2 (x) = 1: Sætning Funamentale relation for cosh(x) og sinh(x) cosh 2 (x) sinh 2 (x) = 1. (14-43) Bevis Differentier me hensyn til x på begge sier af ligningen (14-43) og konkluér, at cosh 2 (x) sinh 2 (x) er en konstant. Brug til sist begynelsesbetingelserne.

17 enote HYPERBOLSKE FUNKTIONER 17 Figur 14.5: Hyperbolsk cosinus, cosh(x), og hyperbolsk sinus, sinh(x). Opgave Vis irekte u fra ifferentialligningssystemet (14-41) at e to nye funktioner faktisk ikke er så nye ena: cosh(x) = ex + e x 2 sinh(x) = ex e x 2, Dm(cosh) = R, Vm(cosh) = [1, [, Dm(sinh) = R, Vm(sinh) = ], [ (14-44) Opgave Vis irekte u fra e funne utryk i opgave 14.27, at cosh 2 (x) sinh 2 (x) = 1. (14-45) Opgave Grafen for funktionen f (x) = cosh(x) ligner meget en parabel, nemlig grafen for funktionen g(x) = 1 + (x 2 /2) når vi plotter begge funktionerne i et passene lille interval omkring x 0 = 0. Prøv et! Hvis vi erimo plotter begge graferne over et meget stort x-interval, vil

18 enote HYPERBOLSKE FUNKTIONER 18 vi opage, at e to funktioner har meget forskellige grafiske opførsler. Prøv et, vs. prøv at plotte begge funktioner over intervallet [ 50, 50]. Kommentér og forklar e kvalitative forskelle. Prøv tilsvarene at sammenligne e to funktioner sinh(x) og x + (x 3 /6) på samme måe. Det er naturligt og nyttigt at efinere e hyperbolske analogier til tan(x) og cot(x). Det gør vi sålees: Definition Hyperbolsk tangens og hyperbolsk cotangens tanh(x) = sinh(x) cosh(x) = e2x 1 e 2x + 1, Dm(tanh) = R, Vm(tanh) = ] 1, 1[ coth(x) = cosh(x) sinh(x) = e2x + 1 e 2x 1, Dm(coth) = R {0}, Vm(coth) = ], 1[ ]1, [. (14-46) Figur 14.6: Hyperbolsk tangens, tanh(x), og hyperbolsk cotangens, coth(x). Differentialkvotienterne af cosh(x) og sinh(x) er alleree givet ve et efinerene sy-

19 enote AREAFUNKTIONERNE 19 stem i (14-41). cosh(x) = sinh(x) x sinh(x) = cosh(x) x x tanh(x) = 1 cosh 2 (x) = 1 tanh2 (x) x coth(x) = 1 sinh 2 (x) = 1 coth2 (x). (14-47) Opgave Vis e to siste utryk for ifferentialkvotienterne for tanh(x) og coth(x) i (14-47) ve at benytte ifferentiationsreglen i sætning Areafunktionerne De omvente funktioner til e hyperbolske funktioner kales areafunktioner og betegnes me henholsvis cosh 1 (x) = arcosh(x), sinh 1 (x) = arsinh(x), tanh 1 (x) = artanh(x), og coth 1 (x) = arcoth(x). Da funktionerne cosh(x), sinh(x), tanh(x), og coth(x) alle kan utrykkes ve eksponentialfunktioner er et ikke overraskene, at e omvente funktioner og eres ifferentialkvotienter kan utrykkes ve logaritmefunktioner. Vi samler informationerne her: arcosh(x) = ln(x + x 2 1) for x [1, [ arsinh(x) = ln(x + x 2 + 1) for x R artanh(x) = 1 ( ) 1 + x 2 ln for x ] 1, 1[ 1 x arcoth(x) = 1 ( ) x 1 2 ln for x ], 1[ ]1, [. x + 1 (14-48)

20 enote ARCUSFUNKTIONERNE 20 x arcosh(x) = 1 for x2 1 x ]1, [ x arsinh(x) = 1 x2 + 1 for x R x artanh(x) = 1 for 1 x2 x ] 1, 1[ x arcoth(x) = 1 for 1 x2 x ] 1[ ]1, [. (14-49) 14.8 Arcusfunktionerne Figur 14.7: Cosinus og sinus funktionerne. De omvente funktioner som hører til e trigonometriske funktioner er lit mere kompliceree. Som nævnt bliver vi her nøt til for hver trigonometrisk funktion at vælge et interval, hvor en pågælene funktion er monoton. Til gengæl, når vi har valgt et såant interval, så er et klart, hvoran en omvente funktion skal efineres og erefter hvoran en skal ifferentieres. De omvente funktioner til cos(x), sin(x), tan(x), cot(x) betegnes henholsvis arccos(x), arcsin(x), arctan(x), og arccot(x); e benævnes arcus-cosinus, arcus-sinus, arcus-tangens, og arcuscotangens. Ligesom ovenfor samler vi resultaterne her: cos 1 (x) = arccos(x) [0, π] for x [ 1, 1] sin 1 (x) = arcsin(x) [ π/2, π/2] for x [ 1, 1] tan 1 (x) = arctan(x) [ π/2, π/2] for x R cot 1 (x) = arccot(x) ]0, π[ for x R. (14-50)

21 enote ARCUSFUNKTIONERNE 21 x arccos(x) = 1 for 1 x 2 x ] 1, 1[ x arcsin(x) = 1 for 1 x 2 x ] 1, 1[ x arctan(x) = x 2 for x R x arccot(x) = x 2 for x R. (14-51) Figur 14.8: Arcus-cosinus funktionen efineres her. Læg mærke til, at iffererentialkvotienterne for arccos(x) og arcsin(x) ikke er efineret i x 0 = 1 og i x 0 = 1. Det skyles els, at hvis en funktion vi betragter kun er efineret i et begrænset interval, så kan vi ikke sige at funktionen er ifferentiabel i enepunkterne af intervallet. Desuen viser formlerne for arccos (x) og arcsin (x) at e ikke er efineree i x 0 = 1 eller x 0 = 1; e værier giver jo 0 i nævnerne.

22 enote ARCUSFUNKTIONERNE 22 Figur 14.9: Arcus-cosinus og arcus-sinus. De røe cirkler inikerer igen, at arcusfunktionerne ikke er efineret uenfor intervallet [ 1, 1]. De grønne cirkelskiver inikerer tilsvarene, at arcus-funktionerne er efineret i enepunkterne x = 1 og x = 1. Opgave Benyt en passene moifikation af arctan( x ) til at konstruere en ny ifferentiabel (og erfor kontinuert) funktion f ( x ), som ligner 0-uvielsen af x /x (er hverken er kontinuert eller ifferentiabel), vs. vi ønsker en funktion f ( x ) me følgene egenskaber: 1 > f ( x ) > for x > og > f ( x ) > 1 for x < Se figur Vink: Prøv at plotte arctan(1000x ). Figur 14.10: Arcus-tangens funktionen.

23 enote OPSUMMERING Opsummering Vi har behanlet nogle af e funamentale egenskaber ve nogle kente og knap så kente funktioner. Hvoran er e efineret, hva er eres efinitions-intervaller, er e kontinuerte, er e ifferentiable, hva er i så fal eres ifferentialkvotienter? En funktion f (x) er kontinuert i x 0 hvis f (x) f (x 0 ) er en epsilon-funktion af (x x 0 ), vs. f (x) = f (x 0 ) + ε f (x x 0 ). (14-52) En funktion f (x) er ifferentiabel i x 0 me ifferentialkvotienten f (x 0 ) hvis f (x) = f (x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + (x x 0 )ε f (x x 0 ). Hvis en funktion er ifferentiabel i x 0, så er en også kontinuert i x 0. Det omvente gæler ikke. Differentialkvotienten af et proukt af to funktioner er x ( f (x) g(x)) = f (x) g(x) + f (x) g (x). (14-53) Differentialkvotienten af en brøk mellem to funktioner er ( ) f (x) = f (x) x g(x) g(x) f (x) g (x) g 2 = f (x) g(x) f (x) g (x) (x) g 2 (x). (14-54) Differentialkvotienten af en sammensat funktion er x f (g(x)) = f (g(x)) g (x). (14-55) Differentialkvotienten af en omvente funktion f 1 (x) er ( f 1) (x) = 1 f ( f 1 (x)). (14-56)

DesignMat Uge 8 Integration og elementære funktioner

DesignMat Uge 8 Integration og elementære funktioner DesignMat Uge 8 Integration og elementære funktioner Preben Alsholm Forår 008 Hyperbolske funktioner. sinh og cosh sinh og cosh Sinus hyperbolsk efineres sålees for alle x R sinh x = ex e x Cosinus hyperbolsk

Læs mere

Grafregner-projekt om differentiation.

Grafregner-projekt om differentiation. Grafregner-projekt om ifferentiation. Motivation: Når nu ifferentieret giver, og e ifferentieret giver e, hvorfor får man så ikke e når man ifferentiere e? Formål: ) At opnå kenskab til, og forståelse

Læs mere

Projekt 2.2 Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion

Projekt 2.2 Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion ISBN 978877664974 Projekter: Kapitel. Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Vi har i Bbogens kapitel 4 afsnit

Læs mere

Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel

Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel enote 17 1 enote 17 Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel I enote 14 og enote 16 er det vist hvordan funktioner af én og to variable kan approksimeres med førstegradspolynomier

Læs mere

Kursusgang 5 Afledte funktioner og differentialer Repetition

Kursusgang 5 Afledte funktioner og differentialer Repetition Kursusgang 5 Repetition - froberg@math.aau.k http://people.math.aau.k/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 30. september 2008 1/15 Differenskvotient og Differentialkvotient

Læs mere

Funktioner af to variable

Funktioner af to variable enote 15 1 enote 15 Funktioner af to variable I denne og i de efterfølgende enoter vil vi udvide funktionsbegrebet til at omfatte reelle funktioner af flere variable; vi starter udvidelsen med 2 variable,

Læs mere

Differentiation af Trigonometriske Funktioner

Differentiation af Trigonometriske Funktioner Differentiation af Trigonometriske Funktioner Frank Villa 15. oktober 01 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-01. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her.

Læs mere

Differentiation. Frank Nasser. 11. juli 2011

Differentiation. Frank Nasser. 11. juli 2011 Differentiation Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Preben Alsholm. 13. marts 2008

Preben Alsholm. 13. marts 2008 Arcus, I 13. marts 2008 I Funktionen f kaldes enentydig (1-1), hvis for alle x 1, x 2 : x 1 6= x 2 =) f (x 1 ) 6= f (x 2 ) Arcus, I I Funktionen f kaldes enentydig (1-1), hvis for alle x 1, x 2 : Arcus,

Læs mere

1 Differentialkvotient

1 Differentialkvotient gudmandsen.net Ophavsret Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er tilladt i ikke-kommercielle sammenhænge, sålænge dette foregår med tydelig kildeangivelse. Al anden

Læs mere

Lektion 1. Tal. Ligninger og uligheder. Funktioner. Trigonometriske funktioner. Grænseværdi for en funktion. Kontinuerte funktioner.

Lektion 1. Tal. Ligninger og uligheder. Funktioner. Trigonometriske funktioner. Grænseværdi for en funktion. Kontinuerte funktioner. Lektion Tal Ligninger og uligheder Funktioner Trigonometriske funktioner Grænseværdi for en funktion Kontinuerte funktioner Opgaver Tal Man tænker ofte på de reelle tal, R, som en tallinje (uden huller).

Læs mere

Diskriminantformlen. Frank Nasser. 12. april 2011

Diskriminantformlen. Frank Nasser. 12. april 2011 Diskriminantformlen Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette okument må kun anvenes til unervisning i klasser som aonnerer på MatBog.k. Se yerligere etingelser for rug her. Bemærk: Dette er en arkiveret

Læs mere

Matematik - September 2001 Afleveret d. 27/4-2006

Matematik - September 2001 Afleveret d. 27/4-2006 Matematik - September Afleveret. 7/ - 6 Opgave For at lave en paremeterfremstilling for en ret linje, så skal jeg bruge et punkt på linjen, og en retningsvektor. Punktet kener jeg a jeg får opgivet to

Læs mere

Koblede svingninger. Thomas Dan Nielsen Troels Færgen-Bakmar Mads Sørensen juni 2005

Koblede svingninger. Thomas Dan Nielsen Troels Færgen-Bakmar Mads Sørensen juni 2005 Koblee svingninger Thomas Dan Nielsen 20041151 Troels Færgen-Bakmar 20041116 Mas Sørensen 20040795 1. juni 2005 Institut for Fysik og Astronomi Det Naturvienskabelige Fakultet Aarhus Universitet Inhol

Læs mere

Formelsamling Matematik på højniveau version 2.0 af Daniel Thaagaard Andreasen & Kristian Jerlsev Aarhus Universitet Institut for Fysik og Astronomi

Formelsamling Matematik på højniveau version 2.0 af Daniel Thaagaard Andreasen & Kristian Jerlsev Aarhus Universitet Institut for Fysik og Astronomi Formelsamling Matematik på højniveau version 2.0 af Daniel Thaagaar Anreasen & Kristian Jerlsev Aarhus Universitet Institut for Fysik og Astronomi Inhol 1 Foror 2 2 Potensregneregler 3 3 Kvaratsætninger

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 8 Morten Grud Rasmussen 18. oktober 216 1 Fourierrækker 1.1 Periodiske funktioner Definition 1.1 (Periodiske funktioner). En periodisk funktion f er

Læs mere

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

Gradienter og tangentplaner

Gradienter og tangentplaner enote 16 1 enote 16 Gradienter og tangentplaner I denne enote vil vi fokusere lidt nærmere på den geometriske analyse og inspektion af funktioner af to variable. Vi vil især studere sammenhængen mellem

Læs mere

Taylorudvikling I. 1 Taylorpolynomier. Preben Alsholm 3. november Definition af Taylorpolynomium

Taylorudvikling I. 1 Taylorpolynomier. Preben Alsholm 3. november Definition af Taylorpolynomium Taylorudvikling I Preben Alsholm 3. november 008 Taylorpolynomier. Definition af Taylorpolynomium Definition af Taylorpolynomium Givet en funktion f : I R! R og et udviklingspunkt x 0 I. Find et polynomium

Læs mere

2x MA skr. årsprøve

2x MA skr. årsprøve MA skr. årsprøve 8.0.08 Prøven uen hjælpemiler Opg. + = 0 ( ) + = 0 I parentesen står et anengraspolynomium. Det har = = 9 + og erme røerne = = og = = Af nulregelen ses at også 0 er en løsning, så

Læs mere

PeterSørensen.dk : Differentiation

PeterSørensen.dk : Differentiation PeterSørensen.dk : Differentiation Betydningen af ordet differentialkvotient...2 Sekant...2 Differentiable funktioner...3 Bestemmelse af differentialkvotient i praksis ved opgaveløsning...3 Regneregler:...3

Læs mere

Mere om differentiabilitet

Mere om differentiabilitet Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget

Læs mere

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner

Læs mere

Test grafisk afledede Højere partielle afledede Differentiationsordenen er ligegyldig Partielle differentialligninger Test Laplaces ligning

Test grafisk afledede Højere partielle afledede Differentiationsordenen er ligegyldig Partielle differentialligninger Test Laplaces ligning Oversigt [S] 2.7, 3.1, 3.4, 11.3 Nøgleor og begreber Differentiabel funktion i en variabel Partielle afleee i flere variable Notation og regneregler for partielle afleee Test partielle afleee Grafisk afleee

Læs mere

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011 Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation

Læs mere

Differentialregning. Supplerende opgaver til HTX Matematik 1 Nyt Teknisk Forlag. Opgaverne må frit benyttes i undervisningen.

Differentialregning. Supplerende opgaver til HTX Matematik 1 Nyt Teknisk Forlag. Opgaverne må frit benyttes i undervisningen. Differentialregning Side 1 0401 Figuren viser grafen for en funktion f. a) Find ud fra aflæsning på figuren f (3) og f (5) b) Find ud fra aflæsning på figuren fortegnet for hvert af tallene f (1,5), f

Læs mere

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0 MaB Sct. Knud Gymnasium, Henrik S. Hansen % [FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers..0 Indhold Funktioner... Entydighed... Injektiv...

Læs mere

M A T E M A T I K A 2

M A T E M A T I K A 2 M A T E M A T I K A 2 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK (2) f 4 () Matematik A2 2. udgave, 206 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle

Læs mere

Differentialregning ( 16-22)

Differentialregning ( 16-22) Differentialregning ( 16-22) 16-22. Side 1 Opgaver med rødt nummer er opgaver der går ud over B-niveauet. 0401 Figuren viser grafen for en funktion f. a) Find ud fra aflæsning på figuren f (3) og f (5)

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

Fordybelsesprojekt Matematik 2, forår 2005 Potensrækker

Fordybelsesprojekt Matematik 2, forår 2005 Potensrækker Fordybelsesprojekt Matematik 2, forår 2005 Potensrækker Arne Jensen 7. 11. marts 2005 1 Indledning I forbindelse med kurset i Reelle og Komplekse Funktioner afholdes et fordybelsesprojekt med et omfang

Læs mere

Matematikprojekt. Differentialregning. Lavet af Arendse Morsing Gunilla Olesen Julie Slavensky Michael Hansen. 4 Oktober 2010

Matematikprojekt. Differentialregning. Lavet af Arendse Morsing Gunilla Olesen Julie Slavensky Michael Hansen. 4 Oktober 2010 Matematikprojekt om Differentialregning Lavet af Arendse Morsing Gunilla Olesen Julie Slavensky Michael Hansen 4 Oktober 2010 Indhold I Del 1................................ 3 I Differentialregningens

Læs mere

10. Differentialregning

10. Differentialregning 10. Differentialregning Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen, Matematik for adgangskursus, B-niveau 2, 2. udg. 10.1 Grænseværdibegrebet I afsnit 7. Funktioner på side

Læs mere

Mat. B (Sådan huskes fomlerne) Formler, som skal kunnes til prøven uden hjælpemidler

Mat. B (Sådan huskes fomlerne) Formler, som skal kunnes til prøven uden hjælpemidler Mt. B (Sån huskes fomlerne) Formler, som skl kunnes til prøven uen hjælpemiler Inhol Her er tilføjet emærkninger til nogle f formlerne BRØKER... PARENTESER... EKSPONENTER... LOGARITMER... GEOMETRI... Arel

Læs mere

Noter til Computerstøttet Beregning Taylors formel

Noter til Computerstøttet Beregning Taylors formel Noter til Computerstøttet Beregning Taylors formel Arne Jensen c 23 1 Introduktion I disse noter formulerer og beviser vi Taylors formel. Den spiller en vigtig rolle ved teoretiske overvejelser, og også

Læs mere

Grænseværdier og Kontinuitet

Grænseværdier og Kontinuitet Grænseværdier og Kontinuitet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Stamfunktionsproblemet

Stamfunktionsproblemet Stamfunktionsproblemet Frank Villa 19. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

M A T E M A T I K B 2

M A T E M A T I K B 2 M A T E M A T I K B 2 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK (2) f a x b () Matematik B2 2. udgave, 206 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle

Læs mere

Interferens og gitterformlen

Interferens og gitterformlen Interferens og gitterformlen Vi skal stuere fænomenet interferens og senere bruge enne vien til at sige noget om hva er sker, når man sener monokromatisk lys, altså lys me én bestemt bølgelænge, igennem

Læs mere

11. Funktionsundersøgelse

11. Funktionsundersøgelse 11. Funktionsundersøgelse Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen,Matematik for adgangskursus, B-niveau 2, 2. udg. 11.1 Generelt om funktionsundersøgelse Formålet med

Læs mere

Differentialkvotient af cosinus og sinus

Differentialkvotient af cosinus og sinus Differentialkvotient af cosinus og sinus Overgangsformler cos( + p ) = cos sin( + p ) = sin cos( -) = cos sin( -) = -sin cos( p - ) = - cos sin( p - ) = sin cos( p + ) = -cos sin( p + ) = -sin (bevises

Læs mere

Løsningsforslag MatB Juni 2012

Løsningsforslag MatB Juni 2012 Løsningsforslag MatB Juni 2012 Opgave 1 (5 %) a) Isolér t i følgende udtryk: I = I 0 e k t t = I = I 0 e k t I I 0 = e k t ln( I I 0 ) = k t ln(e) ln( I I 0 ) k = ln(i) ln(i 0) k Opgave 2 (5 %) En funktion

Læs mere

Hjemmeopgavesæt 01.02.10

Hjemmeopgavesæt 01.02.10 Rami Kaoura Matematik A Dato 01.0.010 Hjemmeopgavesæt 01.0.10 Navn: Rami Kaoura Klasse: 1.4 Fag: Matematik A Vejleer: Jørn Christian Bentsen Skole: Roskile tekniske gymnasium, Htx Dato: 01.0.010 1 Rami

Læs mere

MATEMATIK B. Videooversigt

MATEMATIK B. Videooversigt MATEMATIK B Videooversigt 2. grads ligninger.... 2 CAS værktøj... 3 Differentialregning... 3 Eksamen... 5 Funktionsbegrebet... 5 Integralregning... 5 Statistik... 6 Vilkårlige trekanter... 7 71 videoer.

Læs mere

Projektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik

Projektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Projektopgave 1 Navn: Jonas Pedersen Klasse:.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/9-011 Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Indledning Jeg har i denne opgave fået følgende opstilling.

Læs mere

Matematik B2. Mike Auerbach. (2) f (1)

Matematik B2. Mike Auerbach. (2) f (1) Matematik B2 Mike Auerbach (2) f a b () Matematik B2. udgave, 205 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne er skrevet vha. tekstformateringsprogrammet

Læs mere

Kort om. Andengradspolynomier. 2011 (2012) Karsten Juul

Kort om. Andengradspolynomier. 2011 (2012) Karsten Juul Kort om Anengraspolynomier 11 (1) Karsten Juul Dette häfte ineholer pensum i anengraspolynomier for gymnasiet og hf Inhol 1. Definition Anengraspolynomium... 1. Eksempel Hvilke tal er a, b og c lig?...

Læs mere

1 Worksheet et LinAlg1.mw (åbnes ved at trykke på trekanten ude til venstre)

1 Worksheet et LinAlg1.mw (åbnes ved at trykke på trekanten ude til venstre) 1 Worksheet et LinAlg1.mw (åbnes ve at trykke på trekanten ue til venstre) 1.1 Introuktion: Symbolske og Numeriske Beregninger i Maple (åbnes ve at...) Velkommen til ette første Maple-worksheet i LinAlg-kurset!

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Uddannelsescenter

Læs mere

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Kapitel 2. Differentialregning A

Kapitel 2. Differentialregning A Kapitel 2. Differentialregning A Indhold 2.2 Differentiabilitet og tangenter til grafer... 2 2.3 Sammensat funktion, eksponential-, logaritme- og potensfunktioner... 7 2.4 Regneregler for differentiation

Læs mere

3. Differentialregning

3. Differentialregning 3. Differentialregning 3.1. Differentiabilitet Lad os for en lille stund se lidt på det velkendte, klassiske tangentbegreb, som allerede var kendt i antikkens græske geometri. Tangenter var kun knyttet

Læs mere

Differentiation i praksis

Differentiation i praksis Differentiation i praksis Frank Villa 7. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere

Læs mere

Side 1 af 10. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2009/10

Side 1 af 10. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2009/10 Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2009/10 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Handelsskolen Sjælland Syd, Vordingborg

Læs mere

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul Asymptoter for standardforsøgene i matematik i gymnasiet 2003 Karsten Juul Indledning om lodrette asymptoter Lad f være funktionen bestemt ved =, 2. 2 Vi udregner funktionsværdierne i nogle -værdier der

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2016 Institution

Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2016 Institution Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2016 Institution Marie Kruses Skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Stx Matematik A Angela

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Københavns Tekniske Skole, HTX Vibenhus Uddannelse

Læs mere

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby 24 En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby Det er velkendt for de fleste, at differentiabilitet af en reel funktion f medfører kontinuitet af f, mens det modsatte ikke gælder

Læs mere

Studieplan. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Studieplan. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Oversigt over gennemførte undervisningsforløb Studieplan Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 10-juni 11 Institution Grenaa Tekniske Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HTX Matematik B2 Klavs Skjold

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Vinter 2014-2015 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HF-E Matematik B Kenneth

Læs mere

Energitæthed i et elektrostatisk felt

Energitæthed i et elektrostatisk felt Elektromagnetisme 6 ie af 5 Elektrostatisk energi Energitæthe i et ektrostatisk ft I utryk (5.0) er en ektrostatiske energi E af en laningsforing utrykt ve ennes laningstæthe ρ, σ og tilhørene ektrostatiske

Læs mere

Funktionsterminologi

Funktionsterminologi Funktionsterminologi Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette

Læs mere

Differentialregning. Ib Michelsen

Differentialregning. Ib Michelsen Differentialregning Ib Michelsen Ikast 2012 Forsidebilledet Tredjegradspolynomium i blåt med rød tangent Version: 0.02 (18-09-12) Denne side er (~ 2) Indholdsfortegnelse Introduktion...5 Definition af

Læs mere

OPGAVER 1. Approksimerende polynomier. Håndregning

OPGAVER 1. Approksimerende polynomier. Håndregning OPGAVER 1 Opgaver til Uge 4 Store Dag Opgave 1 Approksimerende polynomier. Håndregning a) Find for hver af de følgende funktioner deres approksimerende polynomiumer af første og anden grad med udviklingspunkt

Læs mere

Grafmanipulation. Frank Nasser. 14. april 2011

Grafmanipulation. Frank Nasser. 14. april 2011 Grafmanipulation Frank Nasser 14. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Som 2014 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf/hfe Mat B Niels Johansson 7Bma1S14

Læs mere

z + w z + w z w = z 2 w z w = z w z 2 = z z = a 2 + b 2 z w

z + w z + w z w = z 2 w z w = z w z 2 = z z = a 2 + b 2 z w Komplekse tal Hvis z = a + ib og w = c + id gælder z + w = (a + c) + i(b + d) z w = (a c) + i(b d) z w = (ac bd) + i(ad bc) z w = a+ib c+id = ac+bd + i bc ad, w 0 c +d c +d z a b = i a +b a +b Konjugation

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Uddannelsescenter

Læs mere

Funktionsundersøgelse. Rasmus Sylvester Bryder

Funktionsundersøgelse. Rasmus Sylvester Bryder Funktionsundersøgelse Rasmus Sylvester Bryder 7. november 2008 Dette projekt aeveres i forbindelse med LA T EX 2ε-kurset vejledningsuge 2, 2008-09 på KU; til projektet benyttes noter givet til opgaveløsning.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj juni 2011 Institution Campus Vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik B Ejner Husum

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December/januar 14/15 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Karin Hansen

Læs mere

Løsningsforslag Mat B 10. februar 2012

Løsningsforslag Mat B 10. februar 2012 Løsningsforslag Mat B 10. februar 2012 Opgave 1 (5 %) En linje er givet ved: y = 3 4 x + 3 En trekant er afgrænset af linjen og koordinatakserne i første kvadrant. a) Beregn trekantens sider og areal.

Læs mere

Supplerende opgaver. S1.3.1 Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at

Supplerende opgaver. S1.3.1 Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at Supplerende opgaver Analyse Jørgen Vesterstrøm Forår 2004 S.3. Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at (A B C) (A B C) (A B) C og find en nødvendig og tilstrækkelig betingelse for at der gælder lighedstegn

Læs mere

Aftale om overførsel af ferie i henhold til ferieaftalen af 21. juni 2012

Aftale om overførsel af ferie i henhold til ferieaftalen af 21. juni 2012 Aftale om overførsel af ferie i henhol til ferieaftalen af 21. juni 2012 Arbejsgiver CVR-nummer 54 P-nummer 4 Navn 54 Vejnavn 54 Husnummer Etage 4 Sie/Dør Postnummer By Mearbejer Uenlansk aresse Fornavn(e)

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Københavns

Læs mere

Oversigt over undervisningen i matematik 2y 07/08

Oversigt over undervisningen i matematik 2y 07/08 Oversigt over undervisningen i matematik 2y 07/08 side Der undervises efter: AB Nielsen & Fogh: Vejen til Matematik AB ( Forlaget HAX) B2 Nielsen & Fogh: Vejen til Matematik B2 ( Forlaget HAX) EKS Knud

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Københavns

Læs mere

Oversigt [S] 9.6, 11.1, 11.2, App. H.1

Oversigt [S] 9.6, 11.1, 11.2, App. H.1 Oversigt [S] 9.6, 11.1, 11.2, App. H.1 Her skal du lære om 1. Funktioner i flere variable 2. Grafen og niveaukurver 3. Grænseovergange og grænseværdier 4. Kontinuitet i flere variable 5. Polære koordinater

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2015 Københavns

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni, 2015/16 Institution Vid Gymnasier Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hhx Matematik B Hasse Rasmussen

Læs mere

MatematikB 2011 Supplerende stof Trigonometri og trekanter

MatematikB 2011 Supplerende stof Trigonometri og trekanter Trigonometriske funktioner Dette kapitel handler om de såkaldte trigonometriske funktioner, hvilket vil sige funktionsudtryk med sin, cos og tan Ikke kernestof på B Funktionerne vil kun forekomme i forbindelse

Læs mere

Regning med funktioner - TAVLENOTER

Regning med funktioner - TAVLENOTER Sammensat funktion [Elevsamtaler] Jens Thostrup, GUX Nuuk 1 FACIT b) 1 og 3 er de eneste løsninger, der optræder i tabellen Jens Thostrup, GUX Nuuk 2 Regningsarter for funktioner Sumfunktion: (f+g)(x)

Læs mere

Matematik B 2F Mundtlig eksamen Juni - 2011

Matematik B 2F Mundtlig eksamen Juni - 2011 1. Lineære funktioner Du skal vælge dele af dine emneopgave med ovenstående titel og redegøre nærmere herfor Redegør for a og b s betydning for udseendet af grafen for den lineære funktion og bestemmelse

Læs mere

Oversigt [S] 4.5, 5.10

Oversigt [S] 4.5, 5.10 Oversigt [S] 4.5, 5.0 Nøgleord og begreber Ubestemte udtryk l Hospitals regel l Hospitals regel 2 Test l Hospitals regel Uegentlige integraler Test uegentlige integraler Uegentlige integraler 2 Test uegentlige

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2013 Institution

Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2013 Institution Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2013 Institution Marie Kruses Skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Stx Matematik A Angela

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Som 2015 Institution VUC Vest Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf/hfe Mat B Niels Johansson 14MACB11E14

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni, 2009 Institution Silkeborg Handelsskole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hhx Matematik, niveau

Læs mere

Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet

Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Komplekse Tal 20. november 2009 UNF Odense Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Fra de naturlige tal til de komplekse Optælling af størrelser i naturen De naturlige tal N (N

Læs mere

Øvelse 1 (mennesker) fælles

Øvelse 1 (mennesker) fælles Øvelse 1 (mennesker) fælles LAV INDDELING AF DISSE ORD Mænd Kvinder Gymnasieelever Teenagere Øvelse 2 (dyr) par LAV INDDELING AF DISSE ORD Hund Pattedyr Krybdyr Menneske Chow chow Kæledyr Øvelse 3 (funktioner)

Læs mere

Løsning MatB - januar 2013

Løsning MatB - januar 2013 Løsning MatB - januar 2013 Opgave 1 (5%) a) Løs uligheden: 2 x > 5x 6. a) 2 x > 5x 6 2 + 6 > 5x + x 8 > 4x Divideres begge sider med 4 og uligheden vendes. Dvs. 8 4 < x x > 2 Løsningsmængden bliver L =]

Læs mere

Løsningsforslag Mat B August 2012

Løsningsforslag Mat B August 2012 Løsningsforslag Mat B August 2012 Opgave 1 (5 %) a) Løs uligheden: 2x + 11 x 1 Løsning: 2x + 11 x 1 2x x + 1 0 3x + 12 0 3x 12 Divideres begge sider med -3 (og husk at vende ulighedstegnet!) x 4 Opgave

Læs mere

Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable

Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Differentialligninger af tpen d hx () hvor hx ()er en kontinuert funktion, er som nævnt blot et stamfunktionsproblem. De løses

Læs mere

Monotoniforhold Der gælder følgende sætninger om en differentiabel funktions monotoniforhold:

Monotoniforhold Der gælder følgende sætninger om en differentiabel funktions monotoniforhold: Side 21 Oversigt over undervisningen i matematik - 2x 05/06 Der undervises efter: Claus Jessen, Peter Møller og Flemming Mørk : Tal, Geometri og funktioner. Gyldendal 1997 Claus Jessen, Peter Møller og

Læs mere

Integralregning Infinitesimalregning

Integralregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement

Læs mere

Differentiation af Logaritmer

Differentiation af Logaritmer Differentiation af Logaritmer Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Vinter 2013/14 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Karin Hansen 7Ama1V13

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj juni 2011 Institution Campus Vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik C Jarl Mølgaard

Læs mere