Rettevejledning til Georg Mohr-Konkurrencen runde

Transkript

1 Rettevejledning til Georg Mohr-Konkurrencen runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en opgave, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne oplysninger til et svar på det stillede spørgsmål og argumentere overbevisende og udtømmende for svaret. Derimod er det ikke i sig selv væsentligt i hvilken grad deltageren viser beherskelse af matematikkens formelle apparat eller færdigheder inden for skolernes pensum. Der kan gives indtil 4 point for hver af de 5 opgaver. En helt korrekt og fuldstændig besvarelse giver 4 point, og der gives ikke fuldt pointtal medmindre besvarelsen er i alt væsentligt korrekt og fuldstændigt. For en delvis korrekt besvarelse eller blot skridt eller ideer som leder i retning af en løsning, kan der gives et eller flere point. Derimod giver regninger eller argumenter som ikke bringer deltageren nærmere en løsning, ikke point uanset om de er rigtige i sig selv. Tilfældige indfald uden funktion i sammenhængen, eventuelt midt i en rodebunke af skriblerier, behøver vi ikke belønne. Bedømmelsen har til formål at fastslå hvem der har løst opgaverne bedst. Derfor skal kun konkrete skridt i retning af en løsning honoreres, og det skal ikke tages i betragtning om deltageren i øvrigt synes at have ydet en anerkendelsesværdig indsats. Opgave 1 Vise at trekant OA 1 A 2 er ligesidet (Her angiver O stjernens centrum): 1 point. Bestemme arealet af trekant OA 1 A 2 : yderligere 1 point. Vise at A 1 B 1 2/2 : 1 point. Fuldstændig løsning: samlet 4 point. Bestemme størrelserne af vinklerne i trekant OA 1 B 1 eller firkant OB 1 A 1 B 2 (Her angiver O stjernens centrum): 1 point. Vise at A 1 B 1 2/2 : 1 point. Bestemme arealet af trekant OA 1 B 1 eller firkant OB 1 A 1 B 2 eller længden af OB 1 : samlet 3 point. Fuldstændig løsning: samlet 4 point. 1

2 Opgave 2 At gætte løsningen giver i sig selv ingen point. (Substitution og omskrivning af ligninger) Substituere og få z 2 x 2 + 2x 1 eller lignende: 1 point. Omskrive til f.eks. z 2 (x 1) 2 eller lignende: samlet 2 point. Ved substitution samt omskrivning at bestemme x 1 eller y 1: samlet 3 point. (Substitution og andengradsligning) Substituere og få x 2 2x z 2 0 eller lignende: 1 point. Udregne diskriminanten d 4 4(1 + z 2 ) 4z 2 : yderligere 1 point. Vise at d 0 giver z 0 og x 1: samlet 3 point. Mulighed c (Vha. AG-uligheden) Vise at x og y er positive, og dermed at xy ((x + y)/2) 2 1 vha. AG-uligheden: 2 point. Vise at dette medfører z 0 suppleret med skridt i retning af at udnytte dette til at bestemme x eller y (f.eks. substitution): samlet 3 point. Få x y pga. lighed i AG: samlet 3 point. Mulighed d (Via ulighed) Smide z væk, og arbejde med uligheden xy 1: 1 point. Vise at x 1 ved f.eks. 0 x(x + y 2) x 2 + xy 2x x x (x 1) 2, eller at y 1: samlet 3 point. Mulighed e (Geometrisk løsning) Plotte linjen x + y 2 og hyperblen y 1/x i et koordinatsystem: 1 point. Vise at xy 1 + z 2 giver at løsningspunkterne ligger over eller på hyperblen: yderligere 1 point. Vise at linjen og hyperblen kun skærer hinanden, hvis x y 1: samlet 3 point. 2

3 Opgave 3 Vise at n har 5 divisorer i mængden: 1 point. Skridt mod en løsning som bygger på betragtning af n s primfaktorer, eller opskrivning af generel primfaktoropløsning p a pa k: yderligere 1 point. k Opskrivning af formlen for antal divisorer (a 1 + 1)... (a k + 1), eller bevise at hvis p a er den højeste potens af primtallet p som går op i n, da vil a + 1 gå op i antallet af divisorer i n: yderligere 2 point (disse 2 point udelukker det foregående ene point). Udnytte at 5 er et primtal, til at få n p 4, og slutte at n er det størst mulige: yderligere 1 point. Vise at n har 5 divisorer i mængden: 1 point. Vise at n ikke kan have tre primtal som divisorer, eller vise at den tredjestørste af de fem divisorer er lig med n: yderligere 1 point. Vise at der netop findes et primtal som går op i n: samlet 3 point. Indse at n p 4, og slutte at n er det størst mulige: yderligere 1 point. Opgave 4 Det er uvæsentligt for bedømmelsen om deltageren opfatter udtagningen som ordnet eller uordnet, eller det ikke kan ses af besvarelsen om der foreligger den ene eller den anden af disse to forståelser. Symmetriargumenter som er et skridt på vej mod løsningen: 1 point. Lave den rigtige bijektion/parring/afbildning: samlet 2 point. Vise at der højst er lige så mange muligheder for at udtage 10 tal med sum mindre end som med sum større end 10040: samlet 3 point. Vise at der findes mindst en delmængde på 10 tal med sum samt konklusion: yderligere 1 point. Opgave 5 Overordnet giver en korrekt besvarelse af hver del 2 point. 3

4 Delopgave a (Sinus i retvinklede trekanter) Vinkelbetragtninger samt at AE sin B AD og AF sin C AD : 1 point. Udnytte ovenstående til at vise at trekant ABC og trekant AF E er ensvinklede: y- derligere 1 point. (Ensvinklede trekanter) Vise at trekant AED og trekant ADB er ensvinklede, og opstille AE / AD AD / AB samt tilsvarende for trekanterne AF D og ADC: 1 point. Udnytte ovenstående til at vise at trekant ABC og trekant AF E er ensvinklede: y- derligere 1 point. Mulighed c (Indskrivelig firkant) Vise at firkant AEDF er indskrivelig: 1 point. Vise at periferivinkler giver at EDA EF A samt konklusion: yderligere 1 point. Delopgave b Vise at EF a sin B sin C: 1 point. Vise at EF (a/ sin A) sin A sin B sin C samt udnytte symmetriargument til at vise at de to tilsvarende sider har samme længde: samlet 2 point. Vise at trekant AEF og trekant ABC er ensvinklede med forholdet EF AD 2 BC : 1 point. AD 2 således at Vise at EF AD 2 BC 4(Areal af trekant ABC)2 BC BC, samt udnytte symmetriargument til at vise at de to tilsvarende sider har samme længde: samlet 2 point. AD 2 BC 2 4

5 Mulighed c Udnytte at firkant AEDF er indskrivelig, Ptolemæus sætning, samt ensvinklede retvinklede trekanter til at få AD EF AE DF + AF DE AD 2 AD 3 BC, således at EF AD 2 BC : 1 point. AB AD CD AC + AD 2 AC AD BD AB Vise at EF AD 2 BC 4(Areal af trekant ABC)2 BC BC, samt udnytte symmetriargument til at vise at de to tilsvarende sider har samme længde: samlet 2 point. AD 2 BC 2 5