Lineær Algebra. Differentialligninger

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Lineær Algebra. Differentialligninger"

Transkript

1 Lineær Algebra og Differentialligninger til Calculus 1 og 2 Århus 2005 Anders Kock og Holger Andreas Nielsen

2

3 Indhold 1 Koordinatvektorer Matricer Lineære funktioner Inverse matricer Lineære ligningssystemer Løsningsteknik Rækkeoperations-matricer og inversion Determinanter Egenværdier og egenvektorer Diagonalisering Skalarprodukt i R n Ortogonal projektion Andre sætninger om skalarprodukt Lineær differentialligning Lineært system - 2 ligninger Lineært system - n ligninger Generel ligning Stabilitet Index

4

5 1. KOORDINATVEKTORER 1 Dette notesæt noter er beregnet til at bruges i Calculus kurset. Afsnit 1-13 handler om Lineær Algebra, og er skrevet af Anders Kock; Afsnit handler om Differentialligninger, og er skrevet af Holger Andreas Nielsen. I Lineær Algebra delen er hovedvægten: matrix-regning, lineære ligningsystemer, egenværdi/egenvektor begrebet for kvadratiske matricer, samt ortogonal projektion. Noterne er beregnet til at blive brugt i forbindelse med lærebogen Stewart: Calculus - Concepts and Contexts, 2nd ed., til hvilken der refereres med symbolet [S. Koordinat-vektorrummene R n står i centrum af fremstillingen. Men af hensyn til den geometriske forståelse og terminologi indgår geometriske vektorrum og geometrisk vektor-regning også i kurset. Det hentes fra lærebogen, [S Kapitel 9 (som delvis er gymnasiestof). Dog skal det understreges, at begrebet vektor-produkt (= kryds-produkt, [S 9.4) kun er til rådighed i dimension 3; derfor indgår det ikke i noterne her, hvor vægten er på de dele af teorien, der fungerer i alle dimensioner. 1 Koordinatvektorer Lad n være et positivt helt tal, n = 1, 2, 3,.... En n-dimensional koordinatvektor er en liste, eller et n-tupel, (a 1, a 2,..., a n ) bestående af n reelle tal a 1, a 2,...,a n. Disse n tal kaldes koordinatvektorens koordinater. Hvis n = 2, kaldes et n-tupel også et (tal-)par, og for n = 3 et (tal-)tripel; et 1-tupel er det samme som et tal. Talpar kan som bekendt ved hjælp af et koordinatsystem identificeres med punkter i planen; 3-tupler (tripler) kan tilsvarende ved hjælp af et koordinatsystem identificeres med punkter i rummet, jvf. Kapitel 9 i [S. Hovedvægten i det følgende ligger på ting, der ikke afhænger af denne geometriske tolkning, som jo også kun er mulig for n = 2 og n = 3. Koordinatvektorer af samme dimension n kan adderes, og de kan multipliceres med reelle tal, i henhold til følgende fastsættelse (sml. s. 656 i [S): (a 1, a 2,...,a n ) + (b 1, b 2,...,b n ) := (a 1 + b 1, a 2 + b 2,...,a n + b n ) α (a 1, a 2,...,a n ) := (α a 1, α a 2,..., α a n ) (1) De udgør det n-dimensionale (reelle) koordinatvektorrum, som også betegnes R n. Vi vil ofte kort betegne et n-tupel (a 1, a 2,..., a n ) med et understreget bogstav, a = (a 1, a 2,..., a n ). Koordinatvektoren (0, 0,..., 0) kaldes nulvektoren eller Origo og betegnes 0. En vektor kaldes en egentlig vektor hvis den er 0. I [S, s. 648 betragtes således R 3, der i modsætning til f.eks. R 4 kan gives en geometrisk tolkning. Men selv i dimension 3 er geometrisk tolkning ikke altid relevant:

6 2 Eksempel 1. På mange madvarer i handelen vil man finde anført en 3- dimensional koordinatvektor, der angiver procentindholdet (vægtprocent) i varen, af henholdsvis protein, fedt og kulhydrat. F.eks. anføres på Skovhuggerbrød fra Dagligvaregruppen, Vejle, den information, at 100 g af varen indeholder 6g protein, 2g fedt og 45g kulhydrat; altså 6% protein, 2% fedt og 45% kulhydrat (vægtprocenter); denne information kan stilles op i en vektor (6,2,45). Tilsvarende anføres på uhomogeniseret letmælk fra mejeriet Pilegaarden vektoren (3.6,1.5,4.5). Koordinatvektorer med denne betydning kunne man kalde (specifikke) ernæringsvektorer 1. Sammensætter man et måltid af en vis mængde brød og letmælk af de nævnte mærker, får man ialt en vis totalmængde protein, fedt og kulhydrat, som kan stilles op i en vektor, som man kunne kalde måltidets absolutte ernæringsvektor. Består måltidet f.eks af 150 gram brød og 200 gram letmælk, altså g og 2 100g, fås den absolutte ernæringsvektor for det pågældende måltid som kombinationen 1.5 (6, 2, 45) + 2 (3.6, 1.5, 4.5) = ( , 3 + 3, ) = (16.2, 6, 76.5). (Det er et eksempel på en linearkombination.) Måltidet indeholder altså 16.2 gram protein, 6 gram fedt og 76.5 gram kulhydrat. Eksempel 2. Man kunne også have brug for, til de samme varer, at stille 4-dimensionale koordinatvektorer op; den fjerde koordinat kunne referere til varens procentuelle vandindhold (vægtprocent). For skovhuggerbrød er der sandsynligvis 43 procent vand, så at den 4-dimensionale vektor bliver (6,2,45, 43). Se også margin-bemærkningen i [S s Linearkombinationer Lad u 1,...,u k være et sæt af k vektorer i vektorrummet R n, og lad λ 1,...,λ k være et sæt af k tal (skalarer). Så kaldes udtrykket λ 1 u λ k u k en linearkombination, mere præcis, en linearkombination af vektorerne u 1,..., u k med koefficienter λ 1,...,λ k. (Sommetider udelader man multiplikationstegnet, og skriver altså bare λ 1 u λ k u k.) 1 hjemmelavet betegnelse. Specifik refererer til at det er gram pr. 100 g.

7 1. KOORDINATVEKTORER 3 På grund af regnereglerne for tal kan udtrykkets værdi udregnes, uafhængig af hvordan man sætter parenteser o.l., og udtrykket har som værdi en ganske bestemt vektor i R n. Tit er det ikke nødvendigt at skelne mellem linearkombinationen som udtryk, på den ene side, og dens værdi, på den anden. (Lige som man heller ikke altid behøver at skelne mellem udtrykket 2+2 og dets værdi 4.) Eksempel 3. Udtrykket 2(1, 3) + 3(3, 0) + 5(1, 1) er et eksempel på en linearkombination af (sættet bestående af) de tre vektorer (1, 3), (3, 0) og (1, 1) i R 2. Koefficienterne er 2, 3, 5; linearkombinationens værdi er (16, 11), 2(1, 3) + 3(3, 0) + 5(1, 1) = (16, 11). Eksempel 4. Lad u, v og w være vektorer i et vektorrum, f.eks. R n. Vektorerne 2u+3v+5w, 3u w, u+v, u og 0 er alle eksempler på linearkombinationer af u, v og w: 2u + 3v + 5w = 2 u + 3 v + 5 w 3u w = 3 u + 0 v + ( 1) w u + v = 1 u + 1 v + 0 w 0 = 0 u + 0 v + 0 w. En linearkombination af linearkombinationer af et sæt af vektorer er selv en linearkombination af vektorerne fra dette sæt. F.eks. er 2 (2u + 3v + 5w) + 4 (3u w) = 16u + 6v + 6w. Man taler også om linearkombinationer i andre sammenhænge end i forbindelse med koordinatvektorer. F.eks. er den hyperbolske sinus funktion ([S s. 251) defineret som linearkombination af funktionerne e x og e x, med koefficienter 1/2 og 1/2, sinh x = 1 2 ex 1 2 e x. Linearkombinationer af funktioner betegnes også som superposition af funktioner. En anden sammenhæng, hvor man taler om linearkombinationer, er for geometriske vektorer, se [S 9.2. I fig. 10 s. 654 er således tegnet linearkombinationen af vektorerne a og b med koefficienter 1 og 2. Man kan også danne linearkombinationer af reelle talfølger a 1, a 2,.... Der forekommer nogle eksempler i [S s Reelle talfølger udgør hvad man kunne betegne R, i analogi med R n.

8 4 Når man har en sammenhæng, hvor det giver mening at tale om linearkombinationer, taler man om et lineært rum eller et vektorrum, forudsat at de samme regneregler, som gælder for linearkombinationer af koordinatvektorer, er opfyldt. Sådanne regneregler er sammenfattet i [S s. 656 under overskriften Properties of Vectors. 1.2 Span Givet et sæt af vektorer u 1,..., u k i vektorrummet R n. Så defineres deres span til at være mængden af alle vektorer v i R n, der kan skrives som linearkombination af u i erne v = t 1 u t k u k. Tilfældet k = 1: span(u 1 ) er mængden af vektorer af form t 1 u 1, span(u 1 ) = {t 1 u 1 R n t 1 R}. Det er linien gennem origo med u 1 som retningsvektor (forudsat at u 1 er en egentlig vektor, og at vi tillader os selv at tale geometrisk, dette giver i det mindste god mening hvis dimensionen n er 2 eller 3.) Tilfældet k = 2: span(u 1, u 2 ) er mængden af vektorer af form t 1 u 1 + t 2 u 2, span(u 1, u 2 ) = {t 1 u 1 + t 2 u 2 R n t 1 R, t 2 R}. Geometrisk er det planen udspændt af u 1 og u 2 : Mast og bom på et sejlskib udspænder en plan, nemlig sejlets plan hvis sejlet ellers er spændt stramt. Heraf ordet span. Man kan tænke på sættet u 1, u 2 som et sæt af retningsvektorer for den plan, de udspænder. Men der er en vigtig forskel: mens to retningsvektorer for en linie kun adskiller sig ved deres længde (og evt. orientering), er der en meget større vilkårlighed i angivelse af et sæt u 1, u 2, der udspænder en given plan. Derfor angiver man tit, i R 3, en plans retning ved at angive en normalvektor til planen, jvf. [S s. 679, men denne metode er ikke tilgængelig i andre dimensioner end 3. Eksempel 5. Betragt vektorerne u 1 = (1, 1, 0, 0) og u 2 = (0, 0, 1, 1) i R 4. Så er span(u 1, u 2 ) mængden af vektorer i R 4 af form hvor s R, t R er vilkårlige, altså su 1 + tu 2 = (s, s, 0, 0) + (0, 0, t, t),

9 1. KOORDINATVEKTORER 5 span(u 1, u 2 ) = {(s, s, t, t) R 4 s R, t R}. F.eks. er vektoren (1, 1, 1, 1) en vektor i span(u 1, u 2 ). Lad os kalde den u 3. Vektoren u 4 givet ved u 4 = (1, 1, 1, 1) er også i span(u 1, u 2 ). Der gælder u 1 = (1, 1, 0, 0) = 1 2 (1, 1, 1, 1) + 1 (1, 1, 1, 1), 2 u 2 = (0, 0, 1, 1) = 1 2 (1, 1, 1, 1) 1 (1, 1, 1, 1), 2 så at u 1 span(u 3, u 4 ) og u 2 span(u 3, u 4 ). Da både u 1 og u 2 altså er linearkombinationer af u 3 og u 4, og linearkombinationer af linearkombinationer er linearkombinationer, gælder også at enhver linearkombination af u 1 og u 2 er en linearkombination af u 3, u 4. Eller: span(u 1, u 2 ) span(u 3, u 4 ). Tilsvarende argumenteres for at span(u 3, u 4 ) span(u 1, u 2 ). Altså span(u 1, u 2 ) = span(u 3, u 4 ). Eksempel 6. Undersøg om vektoren ( 2, 4, 10) tilhører span((1, 2, 3), (3, 2, 1)). Altså, kan vi finde tal s og t så at ( 2, 4, 10) = s(1, 2, 3) + t(3, 2, 1)? Det er let at se, at s = 4, t = 2 klarer opgaven, men hvordan finder man passende koefficienter s og t hvis man ikke, som her, får dem foræret? En systematisk metode er at stille problemet op som et såkaldt lineært ligningssystem; lineære ligningssystemer, og metode til løsning af dem vil blive behandlet i Afsnit 5 og 6. Eksempel 7. Undersøg om vektoren ( 2, 4, 10) tilhører span((1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)). Her er svaret også ja, og det er let at finde koefficienter, der godtgør dette: det er vektorens egne koordinater, der kan bruges som koefficienter, ( 2, 4, 10) = 2(1, 0, 0) + 4(0, 1, 0) + 10(0, 0, 1), det er en særlig egenskab ved sættet af de tre vektorer (1, 0, 0), (0, 1, 0) og (0, 0, 1). I [S s. 657 kaldes de i,j og k. Tilsvarende for en vilkårlig anden vektor a = (a 1, a 2, a 3 ) R 3, a = a 1 (1, 0, 0) + a 2 (0, 1, 0) + a 3 (0, 0, 1).

10 6 De tre vektorer (1, 0, 0), (0, 1, 0) og (0, 0, 1) udspænder altså hele R 3. Eksempel 8. Vis at span((1, 1, 0), (1, 0, 0)) = span((1, 0, 0), (0, 1, 0)). Vi viser først span((1, 1, 0), (1, 0, 0)) span((1, 0, 0), (0, 1, 0)). En vektor i span((1, 1, 0), (1, 0, 0)) er en vektor af form s(1, 1, 0) + t(1, 0, 0) = (s + t, s, 0) = (s + t)(1, 0, 0) + s(0, 1, 0), men dette er jo en linearkombination af (1, 0, 0) og (0, 1, 0) (med koefficienter s + t og t), og er altså en vektor i span((1, 0, 0), (0, 1, 0). Tilsvarende vises span((1, 1, 0), (1, 0, 0)) span((1, 0, 0), (0, 1, 0)); benyt omskrivningen (s, t, 0) = t(1, 1, 0) + (s t)(1, 0, 0). Opgaver Opgave 1. Skriv 3 (u + 5v 10w) + 6 (u v) 10 (u + v + w) som linearkombination af u,v og w. Opgave 2. Skriv vektoren (2, 4, 5) som linearkombination af vektorerne (1,1,1),( 2,0,1),( 1,3,5). (Svaret er ikke entydigt; det kan gøres på mange måder.) Opgave 3. Vis at vektoren (0, 0, 1) ikke kan skrives som linearkombination af de i forrige opgave nævnte vektorer. Opgave 4. Vis, at hvis vektorerne u og v udspænder et vist vektorrum V, så er V også udspændt af vektorerne u + v og v. 2 Matricer Matricer er rektangulære talskemaer. Mere præcist, lad m og n være positive hele tal. En (reel) m n-matrix er et rektangulært talskema med m rækker og n søjler (eller kolonner, eller spalter ); f.eks er en 3 2 matrix det, der fremkommer ved at udfylde skemaet

11 2. MATRICER 7 med reelle tal. Rækkerne nummereres (eller adresseres) fra oven, søjlerne fra venstre. F.eks. har nederste venstre hjørne i ovenstående matrix adressen (3,1). Man bruger også betegnelsen: matricens (i, j) te indgang om det tal, der står i i te række og j te søjle (hvor i = 1, 2,..., m og j = 1, 2,..., n). I en m n-matrix kan hver af de m rækker opfattes som en n-dimensional koordinatvektor, mens hver af de n søjler kan opfattes som en m-dimensional koordinatvektor. Omvendt kan en m-dimensional koordinatvektor skrives op som en m 1- matrix, også kaldet en søjlematrix eller søjlevektor, a 1 a 2. a m af dimension m; eller den kan skrives op som en 1 m-matrix, også kaldet en rækkematrix eller en rækkevektor [a 1, a 2,...,a m, af dimension m. Matricer bruges i vid udstrækning ude i samfundet, hvor de dog f.eks. går under navnet tabeller. Det aspekt ved matricer, som er særlig interessant matematisk, er matrix-multiplikation: Givet en m n-matrix A og en n p-matrix B, så er deres produkt A B den m p matrix, hvis (i, k) te indgang fremkommer som produktsum af i te række i A med k te søjle i B: m.a.o., den (i, k) te indgang i produktmatricen er a i,1 b 1,k + a i,2 b 2,k a i,n b n,k n = a i,j b j,k, j=1 hvor a i,j (eller blot a ij ) betegner den (i, j) te indgang i matricen A og b j,k (eller blot b jk ) betegner den (j, k) te indgang i matricen B; i er et helt tal mellem 1 og m, mens k er et helt tal mellem 1 og p; j er et summationsindex, der løber fra 1 til n. Læg mærke til, at rækkerne i A er lige så lange som søjlerne i B, nemlig af længde n, så at man i produktsummen ikke står tilbage med nogen indgange, der ikke er blevet brugt. Matrix-produkt af to matricer giver kun mening hvis formaterne passer. Matrix multiplikation vil blive motiveret, se f.eks. eksemplerne nedenfor i dette Afsnit.

12 8 Det anbefales, at man øver sig i matrix-multiplikation med sin krop (hænder): venstre hånd bevæger sig hen langs i te række i matricen A, samtidig med at højre hånd bevæger sig ned gennem k te søjle i matricen B, og den relevante produktsum dannes under dette forløb, evt. ved hovedregning. Eksempel 1. [ = [ F.eks. er 1-tallet i nederste højre hjørne fremkommet som Eksempel 2. [ ( 4) 1 2. = [ 4 11 [ 2 = 3 5 [ [ Sætning 1 Matrix multiplikation er associativ. Mere præcis, lad A, B, og C være henholdsvis en m n, n p og p q matrix. Så gælder (A B) C = A (B C).. Dette følger af elementære regneregler for plus og gange, men kræver omhu med bogholderiet over summations-indices. Selv hvis formaterne passer, gælder der ikke i almindelighed at A B = B A, sml. Opg. 1. Faktorernes orden er ikke ligegyldig. Særlig vigtige er matrixprodukter A B hvor B er en søjlematrix. Lad os antage, at A er en m n matrix og B er en n 1 matrix, altså en søjlematrix af dimension n. Så er produktet A B af format m 1, altså en søjlematrix af dimension m. (Dette synspunkt behandles mere udførligt i 3.) Der er en vigtig sammenhæng mellem begreberne linearkombination, og matrix-produkt: betragt et matrixprodukt af form af form A x, hvor x er en søjlematrix, (af den rette størrelse, for at produktet giver mening, dvs, x skal have lige så mange indgange som A har søjler, lad os sige at dette antal er n). Der gælder

13 2. MATRICER 9 Sætning 2 Givet en m n matrix A og en n 1 matrix x (en søjlematrix); så er A x linearkombination af de n søjler i A, med koefficienter de n indgange i x. Mere præcis: lad os antyde matricen A som et n-tupel af søjler s j (hver med m indgange). Så gælder x 1 s 1 s n x 2. = x 1 s x n s n. (2) x n Dette er umiddelbart ud fra definitionen. En tal-eksempel er givet i Eksempel 2. En kvadratisk matrix er en matrix med lige mange rækker og søjler, altså en n n-matrix. En kvadratisk matrix kan multipliceres med sig selv; man kan altså danne B B, eller f.eks (B B) B = B (B B). Lighedstegnet her følger af den associative lov for matrixmultiplikation. Vi kan derfor godt tillade os at skrive B 3 for dette produkt. Til en vilkårlig kvadratisk matrix kan man knytte en determinant (som er et tal) jvf. 8 nedenfor; for 2 2 og 3 3 matricer er dette også omtalt i [S 9.4 (s ). For hvert positivt helt tal n er der en særlig vigtig kvadratisk matrix, af format n n, som kaldes identitetsmatricen af dimension n. Den betegnes I n, eller blot I, hvis n er klar fra sammenhængen. Den har 1-taller i diagonalen, altså på alle pladser med adresse af form (i, i), og 0 er på alle pladser uden for diagonalen, altså på alle indgange med adresse af form (i, j), hvor i j. For n = 3 ser den altså således ud: I 3 = for overskueligheds skyld udelader man ofte 0 erne i matricer med mange 0 er, og så kan I 3 altså også opskrives 1 I 3 = 1. 1 Identitetsmatricerne er interessante p.gr. af følgende sætning: ;

14 10 Sætning 3 Lad A være en m n matrix. Så gælder I m A = A = A I n. Dette følger af elementære regneregler for plus og gange, men kræver omhu med bogholderiet over summations-indices. Opgave A. Udregn matrix-produktet a b c d e f. 2.1 Fibonacci-tal og matricer Den italienske matematiker Fibonacci stillede i sin bog Liber Abaci fra 1202 følgende spørgsmål. Hvor mange kaninpar vil der fremkomme på ét år, (begyndende med ét par), når hvert par hver måned avler et nyt par, som selv bliver formeringsdygtigt fra og med den næste måned? Lad populationen i en given måned, f.eks. september, bestå af p par unger og q par voksne, så vil den i næste måned, oktober, bestå af q par unger (nemlig ét par avlet af hver af de q par voksne, der fandtes i september), og p + q par voksne (nemlig de q par voksne, der var i forvejen, og de p par unger fra september, der jo er blevet voksne i oktober). Grafisk, med unger øverst og voksne nederst p q q p + q sept. okt.

15 2. MATRICER 11 hvor enkeltlinier betegner kaninpar i deres livsbane, og dobbeltlinien betegner fødsel af nye kaninpar. Det er algebraisk mere hensigtsmæssigt at stille det op på matrix-form. Populationen til et givet tidspunkt kan stilles op som [ en 2-dimensional vektor p (p, q), eller bedre, en 2-dimensional søjlematrix med unger øverst og q voksne nederst; oktober-populationen (q, p + q) fremkommer af septemberpopulationen (p, q) ved matrix-multiplikation: [ q p + q = [ tilsvarende for andre måneder. Med andre ord, den funktion f, der til populationsvektoren (p, q) for én måned tilordner populationsvektoren for næste måned, er den lineære funktion [ R 2 R 2, der, ifølge Sætning 5 (nedenfor) 0 1 er knyttet til matricen F =. 1 1 Tilsvarende vil den matrix, der beskriver populationens udvikling på 2, 3 eller 4 måneder, være henholdsvis F 2, F 3 F 4 : F 2 = [ [ = [ p q [ [ [ [ F 3 = = [ [ [ F 4 = = Opgave B. Vis, at F 5, F 6 og F 7 er henholdsvis [ [ 5 8, 8 13 og [ Hvis man starter med ét voksent par (og ingen unger), altså med populationsvektoren (0,1), vil populationen efter 7 måneder altså være [ [ [ = Regner man rigtigt, får man tilsvarende som populationsvektor efter 12 måneder (144,233). (De tal, der efterhånden dukker op som indgange i potenserne af Fibonaccis matrix, kaldes Fibonacci-tallene: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8,

16 12 13, 21,.... Disse tal spiller iøvrigt en rolle i phyllotaxi, læren om hvordan bladene stiller sig på en stængel, eller skællene på en kogle.) Stort set vil total-populationen øges eksponentielt, men hvordan vil den procentvise aldersprofil udvikle sig? Findes der en populationsvektor (p,q), hvis procentvise aldersprofil er uændret, altså så at populationsvektoren for næste måned er proportional med (p,q), [ [ p q [ p = λ q [ λp (= λq )? Betragt f.eks. populationsvektoren (55,89); populationsvektoren for næste måned vil være [ [ [ =, der næsten er proportional med (55,89), med proportionalitetsfaktor λ = 1.62: [ = eller (idet vi skriver = i stedet for ) [ [ [ [ [ 55 = Problemer af denne art vil blive studeret under betegnelsen egenværdier og egenvektorer i 9. ( populationsvektoren (55, 89) er (næsten) en egenvektor for Fibonacci-matricen, med egenværdi 1.62.) Udover matrix-multiplikation har mængden af matricer en anden nyttig, men knap så overraskende, struktur. Nemlig: man kan addere matricer af samme format, nemlig ved at addere plads for plads. Det er en generalisation af addition af koordinatvektorer. F.eks. for 3 2 matricer A og B: a 11 a 12 a 21 a 22 a 31 a 32 + b 11 b 12 b 21 b 22 b 31 b 32 =, a 11 + b 11 a 12 + b 12 a 21 + b 21 a 22 + b 22 a 31 + b 31 a 32 + b 32 Tilsvarende kan man multiplicere en matrix A med en skalar λ ved at multiplicere alle indgange i den med λ. Det skrives λa. Der gælder simple regneregler som A λb = λ(a B)..

17 2. MATRICER Kædereglen i matrix-formulering. En differentiabel afbildning g : R n R m kan beskrives ved et m-tupel af differentiable afbildninger g i : R n R, i = 1,...,m: g(u 1,...,u n ) = (g 1 (u 1,...,u n ),...,g m (u 1,...,u n )). Skriv kort u for n-tuplet (u 1,...,u n ). Ved Jacobi-matricen for g i et givet u R n forstås m n matricen g 1 / u 1 g 1 / u n g 2 / u 1 g 2 / u n.. g m / u 1 g m / u n hvor alle de partielle afledede skal evalueres i punktet u. Vi skriver kort d(g) for denne matrix; eller d u (g), hvis der er behov for at gøre det punkt u, som vi evaluerer de partielle afledede i, explicit. Kædereglen kan nu udtrykkes: Jacobi-matricen for en sammensat afbildning er lig med matrix-produktet af Jacobi-matricerne for hver af de to afbildninger. Dvs. hvis vi har afbildninger, så er R n g R m f R p, d(f g) = d(f) d(g), (3) hvor det er underforstået i hvilke punkter de tre Jacobi-matricer (dvs. de partielle afledede, der er deres indgange) skal evalueres. Hvis man f.eks. ønsker d(f g) evalueret i u, så skal d(g) evalueres i samme u, mens d(f) skal evalueres i g(u). Prikken til højre betegner matrix-produkt; læg mærke til, at de to matricer har format p m og m n, så at produktet giver mening, og er en p n matrix. I eksemplerne i [S er p = 1. Opgaver Opgave 1. Udregn matrix-produkterne [ [ og [ [

18 14 Opgave 2. Udregn matrixprodukterne [ [ a b 0 1 og c d 0 0 Opgave 3. Udregn matrixprodukterne og [ [ [ Opgave 4. Udregn matrixprodukterne [ [ og [ [ Opgave 5. Udregn matrixprodukterne [ for n = 3 og n = Opgave 6. Udregn matrix produktet 0 1 [ 0 0 a b c 2 1 d e f 2 0 Opgave 7. Udregn matrix produktet Opgave 8. Betragt matricerne A = [ 1 0, B = [ 0 1 n [ 2 3. [ [ 0 1, C = 2 3 Hvilke af matrix-produkterne A 2, AB, B 2, BC, CB og CBA kan udregnes? Opgave 9. Verificer matrix-produkterne i Eks. 1 i 4..

19 3. LINEÆRE FUNKTIONER 15 3 Lineære funktioner Det er almindeligt at kalde en funktion f(x) = αx +β for en lineær funktion. Dens graf er jo en ret linie (med hældningskoefficient α). I lineær algebra betragter man mest homogent lineære funktioner, dvs. med β = 0, eller f(0) = 0. Til gengæld betragter man ikke bare funktioner R R, men funktioner R n R m. Her er et eksempel på en (homogent) lineær funktion f : R 2 R 3 : f(x, y) = (4x y, 5x + y, 3y). Følgende er et eksempel på en homogent lineær funktion f : R 2 R 2, f(x, y) = (y, x + y). (Det er funktionen fra Fibonaccis kaninmodel!) Fra et formel-synspunkt er det karakteristiske, at der ikke optræder konstantled, og at de uafhængige variable (x, y og z i det første eksempel) optræder i første potens: f.eks. x 2, y 1 eller xz forekommer ikke. Der er en mere begrebsmæssig måde at beskrive (homogent) lineære funktioner f på: en homogent lineær funktion er en funktion f, der er ombyttelig med linearkombinationsdannelse, dvs. at de opfylder f(x 1 u x k u k ) = x 1 f(u 1 ) x k f(u k ), for vilkårlige vektorer u 1,...,u k og for vilkårlige skalarer x 1,...,x k. Specielt er lineære funktioner ombyttelig med sum-dannelse af to led og med multiplikation med skalarer, Af det sidste følger specielt f(0) = 0: f(u 1 + u 2 ) = f(u 1 ) + f(u 2 ), f(t u) = t f(u). f(0) = f(0 0) = 0 f(0) = 0, (fordi 0 u = 0 ligegyldigt hvad u er). Omvendt, hvis en funktion opfylder f(u 1 + u 2 ) = f(u 1 ) + f(u 2 ) og f(t u) = t f(u) for alle u 1, u 2, u og t, så er f ombyttelig med vilkårlige linearkombinationer for linearkombinationer kan jo opbygges ved hjælp af vektor-addition og multiplikation-af-vektorer-med-skalarer.

20 16 Lad A være en fast m n-matrix. Den definerer en afbildning (funktion) f fra R n til R m på følgende måde: givet et input u R n. Vi opfatter u som søjlematrix, altså som en n 1-matrix, og matrix-multiplikationen A u udføres. Den har som resultat en m 1-matrix, altså en søjlematrix (der kan opfattes som vektor i R m ), og denne vektor er da output. Mere kort, funktionen f defineret ved matricen A er givet ved forskriften f(u) = A u. Vi er allerede i Eksemplet i 1 stødt på en lineær funktion R 2 R 3 af den nævnte art: den absolutte ernæringsvektor (protein, fedt, kulhydrat) R 3 som funktion af frokost-vektoren (vægtmængde skovhuggerbrød, vægtmængde letmælk) R 2 ; denne funktion er givet ved en vis 3 2 matrix, nemlig ernæringstabellen for de nævnte madvarer (dvs. den 3 2-matrix, der har de to specifikke ernæringsvektorer, for henholdsvis brød og mælk, som sine søjler). Det gennemregnede eksempel fra 1 ser altså sådan ud: [ = (Det kan opfattes som en illustration til Sætning 2.) Også Fibonaccis kaninmodel falder ind under dette mønster: Populationsvektoren i én måned er en lineær funktion af populationsvektoren den foregående måned, nemlig givet ved matrix-multiplikation fra venstre med en vis 2 2 matrix. Sætning 4 Givet en m n-matrix A. Så gælder: Funktionen f : R n R m, defineret ved at f(u) = A u, er lineær, dvs. opfylder f(u + v) = f(u) + f(v) f(α u) = α f(u) for vilkårlige u, v R n og vilkårlige reelle tal α. Med andre ord: A (u + v) = A u + A v og A (αu) = α(a u). Dette følger af elementære regneregler for plus og gange. Omvendt: Sætning 5 Givet en lineær afbildning f : R n R m. Den fremkommer på denne måde fra en (og fra netop én) m n matrix A (som også betegnes Matr(f)). Denne Sætning vil vi bevise. Beviset giver samtidig recepten på hvordan man fabrikerer den ønskede matrix. I beviset får vi brug for nogle specielle vektorer i R n, som kaldes de n standard enhedsvektorer, e 1,...,e n. For j.

21 3. LINEÆRE FUNKTIONER 17 et fast tal blandt tallene 1,..., n er e j defineret som det n tupel, der har et 1-tal på j te plads og 0 er ellers. F.eks. er for n = 3 de tre enhedsvektorer i R 3 givet som e 1 = (1, 0, 0); e 2 = (0, 1, 0) og e 3 = (0, 0, 1) (også kaldet henholdsvis i,j og k, jvf. [S s. 657; men den type notation er selvsagt ikke egnet for generelle n). Bemærk, at A e j er lig j te søjle i A. Bevis for Sætning 5. Vi tager den matrix A, der som sin j te søjle har f(e j ) R m (j = 1,..., n). Her betegner e j den j te enhedsvektor i R n skrevet op som søjlematrix. Vi skal nu vise, at for vilkårlig x gælder f(x) = A x, (4) (i udtrykket til højre er det underforstået, at x er skrevet op som søjlematrix). Hvis x er søjlematricen med indgange (x 1,..., x n ), så kan x skrives som linearkombination af e j erne på følgende måde 2 : x = x 1 e 1 + x 2 e x n e n, og fordi f var antaget at være lineær, altså ombyttelig med linearkombinationsdannelse, har vi f(x) = f(x 1 e 1 + x 2 e x n e n ) = x 1 f(e 1 ) + x 2 f(e 2 ) x n f(e n ). Men f(e j ) er j te søjle i A. Udtrykket her er altså linearkombination af A s søjler med koefficienter x 1, x 2,...,x n, altså netop, ifølge Sætning 2, x 1 A x x n To forskellige m n matricer giver anledning til forskellige lineære afbildninger. For hvis A B, så er der et par tilsvarende søjler i A og B, der er forskellige, f.eks. j te søjle. Hvis de lineære afbildninger, der hører til A og B kaldes henholdsvis f og g, så gælder f(e j ) g(e j ), de er jo henholdsvis j te søjle i A og j te søjle i B. Dermed er sætningen vist. Der er altså en bijektiv korrespondance mellem mængden af lineære afbildninger R n R m, på den ene side, og mængden af m n matricer på den anden. Den matrix A, der svarer til en lineær afbildning f : R n R m, vil vi betegne Matr(f). Ligningen (4) kan altså skrives 2 jvf. Eks. 7 i 1, for tilfældet n = 3 f(u) = Matr(f) u, (5)

22 18 hvor prikken til højre betegner matrix-multiplikation. Den recept, der følger af beviset for Sætning 5, er altså: Matr(f) har som sin j te søjle vektoren f(e j ). Eksempel 1. Eksemplet i begyndelsen af dette afsnit, f(x, y) = (4x y, 5x + y, 3y) er en lineær afbildning R 2 R 3. Den repræsenteres ved 3 2 matricen 4 1 Matr(f) = 5 1 ; 0 3 thi [ x y = 4x y 5x + y 3y Eksempel 2. Betragt talplanen R 2, og betragt drejningen D θ på θ radian mod uret. Det er en lineær afbildning. Første enhedsvektor e 1 (altså enhedsvektoren i på x-aksen) går ved drejningen D θ i vektoren [ cosθ sin θ mens anden enhedsvektor e 2 (altså enhedsvektoren j på y-aksen) går over i [ sin θ, cosθ så at, [ cosθ sin θ Matr(D θ ) = sin θ cos θ Sammensætning g f af lineære afbildninger f og g igen er lineær. Sætning 6 Lad f og g være lineære funktioner mellem koordinatvektorrum.. R n f R m g R p, så er den matrix, der svarer til den sammensatte funktion g f netop matrixproduktet af matricen svarende til g med matricen svarende til f.

23 3. LINEÆRE FUNKTIONER 19 Bevis. Lad f(u) = A u for alle u R n, og lad g(v) = B v for alle v R m. M.a.o. A = Matr(f) og B = Matr(g). Nu regner vi på (g f)(u), for vilkårlig u R n ; det giver g(f(u)) = g(a u) = B (A u) = (B A) u, så at altså g f består i multiplikation med matricen B A. Idet vi jo betegner matricen svarende til en lineær afbildning f : R n R m som Matr(f), kan Sætningen skrives kort Matr(g f) = Matr(g) Matr(f) Eksempel 3. (De trigonometriske additionsformler). I fortsættelse af Eksempel 2: det er klart, at hvis α og β er to vinkler, så er D α+β = D α D β. Af Matr(g f) = Matr(g) Matr(f) og Eksempel 2 (for θ henholdsvis α + β, α og β) fås derfor [ cos(α + β) sin(α + β) sin(α + β) cos(α + β) [ [ cosα sin α cosβ sin β = sin α cosα sin β cosβ Sammenligner man indgangene (1, 1) i de to sider af denne ligning, har man additionsformlen for cos ganske gratis : cos(α + β) = cosαcosβ sin α sin β. Tilsvarende giver sammenligning af indgangene (2, 1) additionsformlen for sin. Opgaver Opgave 1. Lad f og g være lineære afbildninger R n R m. Antag at f(e 1 ) = g(e 1 ),...,f(e n ) = g(e n ). Vis, at f = g. Opgave 2. Betragt funktionen f : R 2 R givet ved f(x,y) = 3x 2y. Vis at f er lineær, og angiv Matr(f). Angiv vektoren f(p) hvor P = (4,5). Opgave 3. Betragt afbildningen R 2 R 2, der består i spejling i y-aksen, altså (x,y) ( x,y). Vis at den er lineær, og angiv dens matrix. Opgave 4. Betragt den lineære afbildning f : R 2 R 2 givet ved (x,y) (x+y,x y) (sml. [S s. 907, formel 10). Angiv dens matrix. Angiv også matricen for f f..

24 20 Opgave 5. Betragt den lineære afbildning f : R 3 R 2 givet ved (x,y,z) (x,y) ( projektion ned på gulvets plan ). Angiv dens matrix. Opgave 6. Betragt funktionen F : R 2 R 2 givet ved F(u,v) = (ucos v,usin v). Angiv Jacobi-matricen d x F for vilkårlig x = (u,v) R 2. Opgave 7. Betragt funktionen F : R 2 R 3 givet ved F(x,y) = (6x + 3y,2x + y,45x + 4y). Angiv Jacobi-matricen d u F for vilkårlig u = (x,y) R 2 (den viser sig at være uafhængig af u). Opgave 8. Betragt den parametriske kurve g : R R 2 givet ved x(t) = t 2, y(t) = t 3 (jvf. [S 1.7 Opg. 8). Angiv Jacobi-matricen d u (g) for u = 2 R. Opgave 9. 1) Betragt den parametriske kurve g : R R 2 givet ved x(t) = sin 2t, y(t) = cos t. Angiv Jacobi-matricen d 0 (g). 2) Betragt funktionen f : R 2 R givet ved f(x,y) = x 2 y + 3xy 4. Angiv Jacobi-matricen d v (f) for f i punktet v = (0,1). 3) Angiv matrixproduktet d v (f) d 0 (g) (det er en 1 1-matrix, altså et tal.) 4) Angiv (f g) (0) (læg mærke til, at f g er en funktion R R). 5) Sammenlign med [S, 11.5 Ex. 1. Opgave 10. Opstil Chain Rule Case II ([S s. 792) som matrix-ligning A B = C, med A og C 1 2 matricer og B en 2 2 matrix. Opgave 11. Lad f : R n R være en lineær afbildning. Vis at gradientvektoren f(p) er den samme for alle punkter P R n. Sammenlign f(p) med Matr(f). (Vink: skriv et regneudtryk op for f.) Opgave 12. Lad f : R n R m være en lineær afbildning. Vis at d u (f) (=Jacobimatricen for f i u) er den samme for alle punkter u R n. Vis at d u (f) = Matr(f). 4 Inverse matricer For en given matrix A kan man spørge efter om den har en højre-invers, og om den har en venstre-invers. Lad A være en m n matrix. En højre-invers til A er en n m matrix B så at A B = I m ; en venstre-invers til A er en n m matrix C så at C A = I n.

25 4. INVERSE MATRICER 21 Hvis B er både højre- og venstre invers til A, kaldes B en to-sidet invers til A. Når man bare siger B er en invers til A, mener man at den er en to-sidet invers. Hvis A har en to-sidet invers, kaldes A invertibel. Eksempel 1. Matricen A = [ har en højre-invers, nemlig matricen B givet ved 5 0 B = At A B = I 2 er en simpel øvelse i matrix-multiplikation [ 5 0 [ = Derimod er B ikke venstre-invers til A, idet der gælder som jo ikke er = I [ = Her skal nævnes to ikke-trivielle fakta: Faktum 1: hvis A har en to-sidet invers, så er A en kvadratisk matrix. Faktum 2: hvis A er kvadratisk, og har en højre- eller har en venstre invers, så er A invertibel (med den pågældende højre- hhv. venstre- inverse som tosidet invers). Det vil blive vist i 7. Eksempel 2. Betragt matricen A = [ Den har en højre invers, nemlig matricen B givet ved B =. [ 1/3 2/3 1/3 1/3 hvad man nemt kontrollerer ved udregning: A B = I 2. Man kan også let ved udregning kontrollere B A = I 2, men denne sidste udregning kan man,,

26 22 spare, på grund af ovennævnte Faktum 2. Matricen B er altså en 2-sidet invers til A (og A en 2-sidet invers til B). Vi nævnte ovenfor to ikke-trivielle fakta om inverse matricer. Der er også nogle trivielle, eller rent formelle, fakta: hvis B 1 og B 2 begge er to-sidet inverse til A, så er B 1 = B 2 ; thi B 1 = B 1 I m = B 1 A B 2 = I n B 2 = B 2. Der findes altså højst én matrix B, der er to-sidet invers til A; hvis den findes, betegnes den A 1, og man siger så, at A er en invertibel matrix (med A 1 som sin inverse matrix). (Ordet invers bruges her synonymt med to-sidet invers.) Nogle lommeregnere kan beregne A 1 for ikke for store invertible (kvadratiske) matricer A. I 7 udledes en recept til udregningen. Følgende fakta er også rent formelle: hvis A og B er invertible matricer, og matrix-produktet A B giver mening, så er A B en invertibel matrix med B 1 A 1 som sin invers. Thi (A B) (B 1 A 1 ) = A (B B 1 ) A 1 = A I A 1 = A A 1 = I, og det viser, at B 1 A 1 er en højre-invers til A B; og at den også er en venstre-invers ses ved en helt tilsvarende regning. Kort, (A B) 1 = B 1 A 1 (6) Endvidere: hvis A er invertibel, med B som invers, så er B invertibel med A som invers. Kort, (A 1 ) 1 = A. Matricen F fra 2.1 (Fibonacci) er invertibel; F 1 = [ (Kontroller selv.) Da x F x fremskriver populationen x med én måned, vil F 1 tilbageskrive populationen med én måned. Og F k, defineret som (F 1 ) k, vil tilbageskrive populationen k måneder.. 5 Lineære ligningssystemer Mange opgaver i og udenfor matematik leder til opstilling af ligningssystemer med flere ubekendte, f.eks. m ligninger med n ubekendte; at løse

27 5. LINEÆRE LIGNINGSSYSTEMER 23 et sådant ligningssystem kan enten betyde, at man angiver et n-tupel af tal, der opfylder samtlige ligninger i ligningssystemet, eller at man beskriver løsningsmængden, dvs. mængden af samtlige n-tupler, der opfylder ligningssystemet. Man taler om henholdsvis en partikulær og den fuldstændige løsning. Helt generelt kan man sige, at jo færre ligninger, der er, jo større er løsningsmængden, (der er færre krav, der skal være opfyldt), og jo lettere er det at finde en partikulær løsning. Derudover er der ikke meget, der kan siges eller gøres rent generelt, udover den gamle metode: at eliminere de ubekendte en efter en. I [S s. 814 ledes man således til at skulle løse et ligningssystem (2 ligninger med 2 ubekendte) som er ikke-lineært: 2x(10y 5 2x 2 ) = 0 5x 2 4y 4y 3 = 0. Linearitet af et ligningssystem betyder, at de ubekendte x, y o.s.v. kun indgår i første potens x 1 (= x), y 1,..., og ikke multipliceres på hinanden. Sådanne ligningssystemer kan opstilles som matrix-ligninger, se nedenfor. Mere præcist: Ved et lineært ligningssystem (m ligninger med n ubekendte) forstås et ligningssystem af form a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2. a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m (7) Her betegner a ij erne og b i erne kendte tal, mens x 1,...x n er de n ubekendte (eller tilsammen den ubekendte vektor x R n ). Eksempel 1. 2x 1 2x 2 4x 3 = 28 x 2 +2x 3 = 16. (8) En partikulær løsning er f.eks. (x 1, x 2, x 3 ) = (2, 16, 0), hvad man kan se ved indsættelse. Den fuldstændige løsning viser sig at kunne beskrives med én parameter t R; f.eks som (2, 16, 0) + t (0, 2, 1), hvor parameteren t løber over alle reelle tal. Man siger, at løsningsmængden er 1-dimensional, fordi der skal bruges 1 parameter.

28 24 Eksempel 1. x 1 + x 2 + x 3 = 1. En partikulær løsning er f.eks. (1, 0, 0). Løsningsmængden kan f.eks. beskrives (1, 0, 0) + s ( 1, 1, 0) + t ( 1, 0, 1), hvor parametrene s og t løber over alle reelle tal. Man siger, at løsningen er 2-dimensional, fordi der skal bruges to parametre. Det stemmer også med geometrien, idet løsningsmængden geometrisk er en plan i R 3. En anden formulering af samme løsningsbeskrivelse er: mængden af taltripler af form (1 s t, s, t). Løsningsmængden kan beskrives på mange andre måder, f.eks. som ( 1 3, 1 3, 1 ) + s(0, 1, 1) + t( 2, 1, 1), 3 igen med to parametre. En anden formulering af samme løsningsbeskrivelse er: mængden af taltripler af form (1/3 2t, 1/3 s + t, 1/3 + s + t). Det er let at indse, at et taltripel af denne form er en løsning; at enhver løsning kan skrives på denne form er ikke helt så klart, men følger af den teori, der udvikles i videregående lineær algebra. Man kan betragte et lineært ligningssystem som (7) eller (8) ud fra et matrix synspunkt. Lad A være den m n matrix, hvis indgange a ij er koefficienterne a ij fra ligningssystemet (7). Denne matrix A kaldes ligningssystemets koefficient-matrix. I ligningssystemet (8) er koefficientmatricen således 2 3 matricen [ Lad x betegne den (ubekendte) n-dimensionale koordinatvektor (x 1,..., x n ), og lad b betegne den m-dimensionale koordinatvektor af b erne fra ligningssystemets højre side. Begge disse koordinatvektorer tænkes skrevet op som søjlematricer. Betragt matrixligningen A x = b,. altså a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n... a m1 a m2 a mn x 1 x 2. x n = b 1 b 2. b m. (9)

29 5. LINEÆRE LIGNINGSSYSTEMER 25 Den udtrykker lighed mellem to m-dimensionale koordinatvektorer. To sådanne koordinatvektorer er ens, hvis deres i te koordinater stemmer overens, for hvert i = 1, 2,..., m. Dette giver m ligninger. Ved at udføre matrixmultiplikationen ser man, at disse m ligninger netop er de m ligninger fra systemet (7), som altså er ensbetydende med matrixligningen (9), altså med A x = b. (Sml. også Sætning 2.) Eksempel 2. Ligningssystemet (8) er ensbetydende med matrix-ligningen [ x [ x =. 16 x 3 (Ligningssystemet (8) er iøvrigt betragtet og løst i (20) nedenfor.) Lad os betragte den lineære funktion f : R n R m, som matricen A giver anledning til, altså funktionen f givet ved u A u. At finde en løsning til ligningen er ensbetydende med at finde et x R n med f(x) = b (en partikulær løsning), eller at finde mængden af samtlige sådanne x er (den fuldstændige løsning). I mængdeteoretisk notation skrives denne mængde således: {x R n f(x) = b}. (10) Vi betragter det ligningssystem, der fremkommer af ligningssystemet (7) ved at erstatte alle b erne på højre side med 0 er. Det kaldes også det tilhørende homogene lineære ligningssystem. I matrix-sprog er dette homogene lineære ligningssystem altså blot A x = 0, hvor 0 betegner 0-vektoren i R m, 0 = (0, 0,..., 0). Pr. definition er et lineært underrum af et vektorrum en delmængde, der er stabil under dannelse af linearkombinationer, og som indeholder nulvektoren. Vi har Sætning 7 Løsningsmængden til et homogent lineært ligningssystem A x = 0 i n ubekendte x = (x 1,...,x n ) er et lineært underrum af R n. (Det kaldes løsningsrummet til ligningssystemet.) Med andre ord, løsningsmængden til et homogent lineært ligningssystem er stabilt under dannelse af linearkombinationer; og nulvektoren er altid en løsning. Udtrykt på en anden måde: for et homogent lineært ligningssystem gælder, at en linearkombination af løsninger er igen en løsning; og nulvektoren er en løsning. F. eks. er summen af to løsninger igen en løsning: hvis x

30 26 og y er løsninger, dvs. hvis A x = 0 og A y = 0, så er x+y også en løsning. For A (x + y) = A x + A y = = 0. Hvad kan man sige om løsningsmængden til et inhomogent lineært ligningssystem A x = b (altså mængden (10), hvor f er den lineære afbildning givet ved matricen A)? Sætning 8 Givet en partikulær løsning til det lineære ligningssystem A x = b. Så fås systemets fuldstændige løsning ved til denne partikulære løsning at addere samtlige løsninger til det tilhørende homogene lineære ligningssystem A x = 0. Bevis. Lad c være en partikulær løsning til ligningssystemet f(x) = b. Hvis u er en vilkårlig løsning til det homogene ligningssystem f(x) = 0, så er c+u en løsning til f(x) = b: f(c + u) = f(c) + f(u) = b + 0 = b, det første lighedstegn fordi f er lineær. Omvendt, hvis d er en løsning til det inhomogene system f(x) = b, så er d af form d = c + u for en vis løsning u til det homogene system; tag nemlig u = d c, så er f(u) = f(d c) = f(d) f(c) = b b = 0 (det andet lighedstegn igen fordi f er lineær). Eksempel 3. Betragt ligningssystemet fra Eksempel 1. Den beskrevne fuldstændige løsning (2, 16, 0) + t(0, 2, 1), ses at være fremkommet således: til den partikulære løsning (2, 16, 0) har vi adderet samtlige t(0, 2, 1), og de udgør netop løsningsmængden til det homogene lineære ligningssystem, der hører til ligningssystemet. Man kunne lige så godt have brugt en anden partikulær løsning, f.eks. (2, 14, 1) i stedet for (2, 16, 0). Geometrisk udtrykker sætningen, at løsningsmængden til et inhomogent lineært ligningssystem fremkommer af løsningsrummet for det tilhørende homogene lineære ligningssystem ved parallel-forskydning; nemlig ved parallelforskydning langs en vilkårlig partikulær løsning u 1 til det inhomogene system. (I Eksempel 3 har vi således parallelforskudt linien gennem O med retningsvektor (0, 2, 1); forskydningen er sket langs med, eller ud til, (2, 16, 0).) Løsningsmængden til et inhomogent lineært ligningssystem er altså et inhomogent lineært underrum (også kaldet et affint underrum, eller, på engelsk, en flat ). Det kan også være tomt: med andre ord, der findes inhomogene lineære ligningssystemer der ikke har nogen løsninger. Man kalder et sådant

31 5. LINEÆRE LIGNINGSSYSTEMER 27 ligningssystem inkonsistent. (Et ligningssystem, der har mindst én løsning, kaldes konsistent.) Betragt f.eks. ligningssystemet (skrevet som matrix-ligning) [ x 1 x 2 x 3 = Hvis (x 1, x 2, x 3 ) er en løsning til første ligning, vil (x 1, x 2, x 3 ) indsat i anden ligning give 10 (multiplicer første ligning med 2), ikke 9. Den anden ligning kan altså ikke være opfyldt samtidig med den første; det er altså et inkonsistent ligningssystem. Homogene lineære ligningssystemer er altid konsistente, dvs. de har altid en løsning, nemlig den trivielle løsning, eller nulløsningen x = (0,..., 0), nulvektoren i R n. Terminologi og tommelfinger-regler 3 : Et ligningssystem, hvor der er flere ubekendte end der er ligninger, kaldes underbestemt. Som regel (men ikke altid) har et underbestemt ligningssystem uendelig mange løsninger. Et ligningssystem, hvor der er flere ligninger end der er ubekendte, kaldes overbestemt. Som regel (men ikke altid) har et overbestemt ligningssystem ingen løsninger (medmindre det er homogent lineært, så har det jo i hvert fald nulløsningen). Et ligningssystem, hvor der er lige så mange ligninger som ubekendte, kaldes kvadratisk. Som regel (men ikke altid) har et kvadratisk ligningssystem af lineære ligninger præcis én løsning. Lineær algebra giver en teori, der erstatter disse tommelfinger-regler med præcise udsagn. F.eks. giver determinant-teorien det udsagn, at et kvadratisk lineært ligningssystem har præcis én løsning, hvis systemets koefficientmatrix har determinant forskellig fra 0, se 8. Vi skal især betragte underbestemte lineære ligningssystemer, der typisk har uendelig mange løsninger. Hvordan beskrive en uendelig løsningsmængde? Det kræver noget teori. For hvordan får man ellers overblik over en uendelig mængde? Hvis det drejer sig om ligningssystemer med to eller tre ubekendte, er en geometrisk beskrivelse af løsningsmængden velegnet. Løsningsmængden til et ligningssystem i to ubekendte kan beskrives geometrisk som en delmængde af planen R 2 ; løsningsmængden til et ligningssystem i tre ubekendte kan tilsvarende beskrives som en delmængde af rummet R 3. (Se også [S 9.5.) [ En tommelfinger-regel adskiller sig fra en Sætning ved at den ikke altid gælder..

32 28 Vi betragter først lineære ligningssystemer i to ubekendte. I det underbestemte tilfælde er der altså < 2 ligninger, altså kun én ligning (så det er lidt flot at kalde det et lignings system, men det gør man altså i matematik). Eksempel: Det underbestemte lignings system 3x + 4y = 8. Løsningsmængden er en linie med hældningskoefficient 3/4, der skærer y-aksen i punktet (0,2). Generelt: Hvis der er uendelig mange løsninger til et (ikke-trivielt) lineært ligningssystem i to variable, så udgør løsningsmængden en linie i planen. Heraf kommer ordet lineært ligningssystem og lineær algebra. Vi betragter dernæst lineære ligningssystemer i tre ubekendte. Hvis lignings systemet kun består af én ligning, er løsningsmængden en plan. Hvis ligningssystemet består af to ligninger, vil løsningsmængden som regel være en linie, nemlig skæringslinien mellem de to planer givet ved hver af de to ligninger. Se figurer i [S s En linie i planen eller rummet kan altid beskrives på parameterform {x + tu t R}, hvor x er (stedvektor for) et punkt på linien og u er en egentlig vektor, en retningsvektor for linien. (Sml. [S s. 676.) Punktet på linien kan vælges vilkårligt. Hvis u 1 og u 2 begge er retningsvektorer for linien, er de parallelle eller proportionale, u 1 = λu 2. En plan i rummet kan også beskrives på parameterform, men der skal to parametre til (en plan er 2-dimensional ), {x + su + tv}, hvor x er (stedvektor for) et punkt i planen, og u og v tilsammen udspænder planens retning. Der er stor vilkårlighed i valget af sådanne to vektorer; man kan ikke umiddelbart se om u 1,v 1 udspænder det samme som u 2,v 2. Derfor beskriver man tit planen ved hjælp af en normalvektor til den (jvf. [S s. 679) (En sådan normalvektor kan tages som kryds-produktet af to vektorer, der udspænder planens retning). Men denne beskrivelsesmåde fungerer kun for planer i det 3-dimensionale rum, ikke for planer i 4- eller højere dimensionale rum. I dette kursus lægges vægt på de metoder, der også gælder i højere dimensioner; og derfor undgår vi brugen af kryds-produkt, der kun fungerer i dimension 3. Linier og planer i det 3-dimensionale rum R 3 kaldes også affine underrum af dimension hhv. 1 og 2, eller sommetider inhomogene lineære underrum; ordet lineære underrum er reserveret til sådanne affine underrum, der indeholder 0 (origo) (sådan er sprogbrugen i det mindste i Lineær Algebra. ) F. eks.: et 1-dimensionalt affint underrum er af form U = {x + tu t R}; linien V = {tu t R} er et lineært underrum. Linien U er fremkommet ved parallel-forskydning af linien V, ved forskydning langs vektoren x. Dette gælder også i højere dimensioner: Ethvert ikke-tomt affint underrum af et vektorrum fremkommer ved parallelforskydning af et lineært underrum. Løsningsmængden til et lineært ligningssystem i n ubekendte er altid et affint underrum af R n. Løsningsmængden til et homogent lineært ligningssystem er

33 5. LINEÆRE LIGNINGSSYSTEMER 29 endda et lineært underrum. Mere præcise udsagn blev formuleret i Sætning 7 og 8. At sige, at et ligningssystem A x = b er konsistent, er det samme som at sige, at b kan skrives som linearkombination af søjlerne i A. Det fremgår af Sætning 2. Man taler ofte om at opløse en vektor b efter et givet sæt s 1,...,s n af vektorer. Det betyder, at skrive b som linearkombination af s i erne. Det er et spørgsmål, der giver mening i vilkårlige vektorrum. I geometriske vektorrum er det en rent geometrisk konstruktions-opgave. Hvis b og s i erne er m- dimensionale koordinatvektorer, er spørgsmålet om at opløse b efter s 1,...,s n ensbetydende med at løse det lineære ligningssystem A x = b, hvor A er m n-matricen hvis søjler er s i erne. Eksempel 4. Skriv vektoren ( 28, 16) som linearkombination af vektorerne (2, 0), ( 2, 1), og ( 4, 2). Det leder til matrixligningen fra Eksempel 2, som igen er ensbetydende med det inhomogene lineære ligningssystem fra Eksempel 1 (som er et underbestemt ligningssystem). Brugbare koefficienter, der giver ( 28, 16) som linearkombination af (2, 0), ( 2, 1), og ( 4, 2), er f.eks. 2, 16 og 0, vi fandt jo dette talsæt som en løsning til ligningssystemet i Eksempel 1; derfor er ( 28, 16) = 2 (2, 0) + 16 ( 2, 1) + 0 ( 4, 2) en linearkombination af den ønskede art. Eksempel 5. Kan funktionen x 3 skrives som linearkombination af funktionerne (x 2) 3, (x 2) 2, (x 2), og (x 2) 0 (sidstnævnte er den konstante funktion med værdi 1)? Opgaven går ud på, om muligt, at finde tal λ 3, λ 2, λ 1 og λ 0 så at der gælder x 3 = λ 3 (x 2) 3 + λ 2 (x 2) 2 + λ 1 (x 2) + λ 0 (11) for alle x. På dette problem giver Taylor-udvikling af funktionen x 3 ud fra a = 2 et elegant svar, ([S 8.9); en mere fodgænger-agtig fremgangsmåde er at opstille et lineært ligningssystem med de fire ubekendte λ 3, λ 2, λ 1 og λ 0. Vi får et sådant ligningssystem ved at sammenligne koefficienterne til x 3, x 2, x og 1 på begge sider af (11). Lad os f.eks. sammenligne koefficienterne til x 2 på begge sider af lighedstegnet. På venstre side har vi 0, på højre side har vi, idet vi multiplicerer (x 2) 3 og (x 2) 2 ud, λ 3 3 ( 2) x 2 +λ 2 x 2 ; ligningen der sammenligner koefficienterne til x 2 er altså 0 = λ 3 3 ( 2) + λ 2. Det er ligning nummer to i det samlede ligningssystem, der kommer til at se sådan

Oversigt [LA] 3, 4, 5

Oversigt [LA] 3, 4, 5 Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers

Læs mere

Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.

Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix. Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers

Læs mere

Nøgleord og begreber. Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.

Nøgleord og begreber. Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix. Oversigt [LA] 3, 4, 5 Matrix multiplikation Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse

Læs mere

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Oversigt [LA], 2, 3, [S] 9.-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis

Læs mere

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Nøgleord og begreber Talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination og span Test linearkombination Hvad er en matrix Matrix multiplikation Test matrix multiplikation

Læs mere

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis

Læs mere

Figur. To ligninger i to ubekendte. Definition Ved m lineære ligninger med n ubekendte forstås. Definition 6.4 Givet ligningssystemet

Figur. To ligninger i to ubekendte. Definition Ved m lineære ligninger med n ubekendte forstås. Definition 6.4 Givet ligningssystemet Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer smængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen Enten-eller

Læs mere

Nøgleord og begreber

Nøgleord og begreber Oversigt [LA] 9 Nøgleord og begreber Helt simple determinanter Determinant defineret Effektive regneregler Genkend determinant nul Test determinant nul Produktreglen Inversreglen Test inversregel og produktregel

Læs mere

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P

Læs mere

Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning

Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning Chapter 3 Modulpakke 3: Egenværdier 3.1 Indledning En vektor v har som bekendt både størrelse og retning. Hvis man ganger vektoren fra højre på en kvadratisk matrix A bliver resultatet en ny vektor. Hvis

Læs mere

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition Kursusgang 3 Repetition - froberg@mathaaudk http://peoplemathaaudk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12 september 2008 1/12 Lineære ligningssystemer Et lineært ligningssystem

Læs mere

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2 Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket

Læs mere

Oversigt [LA] 6, 7, 8

Oversigt [LA] 6, 7, 8 Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer Løsningsmængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen

Læs mere

LINEÆR ALGEBRA DIFFERENTIALLIGNINGER

LINEÆR ALGEBRA DIFFERENTIALLIGNINGER LINEÆR ALGEBRA DIFFERENTIALLIGNINGER NOTER TIL CALCULUS 006 NIELSEN - SALOMONSEN INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG AARHUS UNIVERSITET 006 Indhold Forord 5. Vektorer og linearkombinationer 7. Basis og dimension

Læs mere

Forelæsningsnoter til. Lineær Algebra. Niels Vigand Pedersen. Udgivet af. Asmus L. Schmidt. Københavns Universitet Matematisk Afdeling

Forelæsningsnoter til. Lineær Algebra. Niels Vigand Pedersen. Udgivet af. Asmus L. Schmidt. Københavns Universitet Matematisk Afdeling Forelæsningsnoter til Lineær Algebra Niels Vigand Pedersen Udgivet af Asmus L Schmidt Københavns Universitet Matematisk Afdeling August Revideret 9 ii udgave, oktober 9 Forord Gennem en særlig aftale varetages

Læs mere

Eksempler Determinanten af en kvadratisk matrix. Calculus Uge

Eksempler Determinanten af en kvadratisk matrix. Calculus Uge Oversigt [LA] 8 Her skal du lære om 1. Helt simple determinanter 2. En udvidelse der vil noget 3. Effektive regneregler 4. Genkend determinant nul 5. Produktreglen 6. Inversreglen 7. Potensreglen 8. Entydig

Læs mere

Lineær Algebra F08, MØ

Lineær Algebra F08, MØ Lineær Algebra F08, MØ Vejledende besvarelser af udvalgte opgaver fra Ugeseddel 3 og 4 Ansvarsfraskrivelse: Den følgende vejledning er kun vejledende. Opgaverne kommer i vilkårlig rækkefølge. Visse steder

Læs mere

Lineær algebra 1. kursusgang

Lineær algebra 1. kursusgang Lineær algebra 1. kursusgang Eksempel, anvendelse To kendte punkter A og B på en linie, to ukendte punkter x 1 og x 2. A x 1 x 2 B Observationer af afstande: fra A til x 1 : b 1 fra x 1 til x 2 : b 2 fra

Læs mere

Oversigt [LA] 3, 4, 5

Oversigt [LA] 3, 4, 5 Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers matrix Matrix potens Lineære ligningssystemer Løsningsmængdens

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære

Læs mere

Lineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl

Lineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl Lineær Algebra Lars Hesselholt og Nathalie Wahl Oktober 2016 Forord Denne bog er beregnet til et første kursus i lineær algebra, men vi har lagt vægt på at fremstille dette materiale på en sådan måde,

Læs mere

x 2 + y 2 dx dy. f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) + 2 1) Angiv en ligning for tangentplanen til fladen z = f(x, y) i punktet

x 2 + y 2 dx dy. f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) + 2 1) Angiv en ligning for tangentplanen til fladen z = f(x, y) i punktet Eksamensopgaver fra Matematik Alfa 1 Naturvidenskabelig Kandidateksamen August 1999. Matematik Alfa 1 Opgave 1. Udregn integralet 1 1 y 2 (Vink: skift til polære koordinater.) Opgave 2. Betragt funktionen

Læs mere

To ligninger i to ubekendte

To ligninger i to ubekendte Oversigt [LA] 6, 7 Nøgleord og begreber Løs ligninger Eliminer ubekendte Rækkereduktion Reduceret matrix Enten-eller princippet Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Beregn invers matrix Calculus

Læs mere

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra

Læs mere

Nøgleord og begreber. Definition 15.1 Den lineære 1. ordens differentialligning er

Nøgleord og begreber. Definition 15.1 Den lineære 1. ordens differentialligning er Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave

Læs mere

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer Chapter 4 Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer 4. Homogene systemer I teknikken møder man meget ofte modeller der leder til systemer af koblede differentialligninger. Et eksempel på et sådant system

Læs mere

Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17

Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave

Læs mere

Indhold. 5. Vektorrum og matricer Koordinattransformationer

Indhold. 5. Vektorrum og matricer Koordinattransformationer Indhold Lineære afbildninger og matricer Talrummene R n, C n Matricer 8 3 Lineære afbildninger 4 Matrix algebra 8 5 Invers matrix 6 6 Transponeret og adjungeret matrix 9 Række- og søjleoperationer Lineære

Læs mere

EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET.. Beregn den retningsafledede D u f(0, 0).

EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET.. Beregn den retningsafledede D u f(0, 0). EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x, y) = x cos(y) + y sin(x). ) Angiv gradienten f. 2) Lad u betegne

Læs mere

Tidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra

Tidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet Tidligere Eksamensopgaver MM55 Lineær Algebra Indhold Typisk forside.................. 2 Juni 27.................... 3 Oktober 27..................

Læs mere

Eksempel 9.1. Areal = (a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 2a 2 b 1 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 = b 1 b 2

Eksempel 9.1. Areal = (a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 2a 2 b 1 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 = b 1 b 2 Oversigt [LA] 9 Nøgleord og begreber Helt simple determinanter Determinant defineret Effektive regneregler Genkend determinant nul Test determinant nul Produktreglen Inversreglen Test inversregel og produktregel

Læs mere

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære

Læs mere

Matematik H1. Lineær Algebra

Matematik H1. Lineær Algebra Matematik H Forelæsningsnoter til Lineær lgebra Niels Vigand Pedersen Udgivet af smus L Schmidt Københavns Universitet Matematisk fdeling ugust ii oplag, juli 4 Forord Gennem en særlig aftale varetages

Læs mere

Vektorrum. enote Generalisering af begrebet vektor

Vektorrum. enote Generalisering af begrebet vektor enote 7 1 enote 7 Vektorrum I denne enote opstilles en generel teori for mængder, for hvilke der er defineret addition og multiplikation med skalar, og som opfylder de samme regneregler som geometriske

Læs mere

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition Kursusgang 3 Repetition - froberg@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 16. september 2008 1/19 Betingelser for nonsingularitet af en Matrix

Læs mere

3.1 Baser og dimension

3.1 Baser og dimension SEKTION 3 BASER OG DIMENSION 3 Baser og dimension Definition 3 Lad V være et F-vektorrum Hvis V = {0}, så har V dimension 0 2 Hvis V har en basis bestående af n vektorer, så har V dimension n 3 Hvis V

Læs mere

Matematik for økonomer 3. semester

Matematik for økonomer 3. semester Matematik for økonomer 3. semester cand.oecon. studiet, 3. semester Planchesæt 2 - Forelæsning 3 Esben Høg Aalborg Universitet 10. september 2009 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Esben

Læs mere

Matrx-vektor produkt Mikkel H. Brynildsen Lineær Algebra

Matrx-vektor produkt Mikkel H. Brynildsen Lineær Algebra Matrx-vektor produkt [ ] 1 2 3 1 0 2 1 10 4 Rotationsmatrix Sæt A θ = [ ] cosθ sinθ sinθ cosθ At gange vektor v R 2 med A θ svarer til at rotere vektor v med vinkelen θ til vektor w: [ ][ ] [ ] [ ] cosθ

Læs mere

Besvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7

Besvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7 Besvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7 De anførte besvarelser er til dels mere summariske end en god eksamensbesvarelse bør være. Der kan godt være fejl i - jeg vil meget gerne informeres,

Læs mere

Lineære Afbildninger. enote 8. 8.1 Om afbildninger

Lineære Afbildninger. enote 8. 8.1 Om afbildninger enote 8 enote 8 Lineære Afbildninger Denne enote undersøger afbildninger mellem vektorrum af en bestemt type, nemlig lineære afbildninger Det vises, at kernen og billedrummet for lineære afbildninger er

Læs mere

Matematik og Form: Matrixmultiplikation. Regulære og singu

Matematik og Form: Matrixmultiplikation. Regulære og singu Matematik og Form: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2012 Matrixmultiplikation Definition Definition A = [a ij ], B = [b ij ]: AB = C

Læs mere

DesignMat Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination

DesignMat Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination DesignMat Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination Preben Alsholm Uge Forår 010 1 Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination 11 Om talrummet R n Om talsæt bestående af n tal R n er blot mængden

Læs mere

Lineære ligningssystemer

Lineære ligningssystemer enote 2 1 enote 2 Lineære ligningssystemer Denne enote handler om lineære ligningssystemer, om metoder til at beskrive dem og løse dem, og om hvordan man kan få overblik over løsningsmængdernes struktur.

Læs mere

Lineær Algebra - Beviser

Lineær Algebra - Beviser Lineær Algebra - Beviser Mads Friis 8 oktober 213 1 Lineære afbildninger Jeg vil i denne note forsøge at give et indblik i, hvor kraftfuldt et værktøj matrix-algebra kan være i analyse af lineære funktioner

Læs mere

8 Regulære flader i R 3

8 Regulære flader i R 3 8 Regulære flader i R 3 Vi skal betragte særligt pæne delmængder S R 3 kaldet flader. I det følgende opfattes S som et topologisk rum i sportopologien, se Definition 5.9. En åben omegn U af p S er således

Læs mere

Egenværdier og egenvektorer

Egenværdier og egenvektorer enote 9 enote 9 Egenværdier og egenvektorer Denne note indfører begreberne egenværdier og egenvektorer for lineære afbildninger i vilkårlige generelle vektorrum og går derefter i dybden med egenværdier

Læs mere

Vejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009

Vejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009 Vejledende besvarelse på august 29-sættet 2. december 29 Det følgende er en vejledende besvarelse på eksamenssættet i kurset Calculus, som det så ud i august 29. Den tjener primært til illustration af,

Læs mere

DesignMat. Preben Alsholm. September Egenværdier og Egenvektorer. Preben Alsholm. Egenværdier og Egenvektorer

DesignMat. Preben Alsholm. September Egenværdier og Egenvektorer. Preben Alsholm. Egenværdier og Egenvektorer DesignMat September 2008 fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden I Lad V være et vektorrum over L (enten R eller C). fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden I Lad V være et vektorrum

Læs mere

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer Chapter 1 Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer 1.1 Indledning - typer af ligningesystemer og løsninger Den lineære ligning 2x=3 kan løses umiddelbart ved at dividere med 2 på begge sider, så vi får:

Læs mere

Kursusgang 3 Matrixalgebra fortsat

Kursusgang 3 Matrixalgebra fortsat Kursusgang 3 fortsat - froberg@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12. september 2008 1/31 Nødvendige betingelser En nødvendig betingelse

Læs mere

Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM02)

Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM02) SYDDANSK UNIVERSITET ODENSE UNIVERSITET INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM2) Fredag d. 2. januar 22 kl. 9. 3. 4 timer med alle sædvanlige skriftlige

Læs mere

Om første og anden fundamentalform

Om første og anden fundamentalform Geometri, foråret 2005 Jørgen Larsen 9. marts 2005 Om første og anden fundamentalform 1 Tangentrummet; første fundamentalform Vi betragter en flade S parametriseret med σ. Lad P = σu 0, v 0 være et punkt

Læs mere

Lineær Algebra eksamen, noter

Lineær Algebra eksamen, noter Lineær Algebra eksamen, noter Stig Døssing, 20094584 June 6, 2011 1 Emne 1: Løsninger og least squares - Løsning, ligningssystem RREF (ERO) løsninger Bevis at RREF matrix findes Løsninger til system (0,

Læs mere

Lineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl

Lineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl Lineær Algebra Lars Hesselholt og Nathalie Wahl 2. udgave, oktober 207 Forord Denne bog er beregnet til et første kursus i lineær algebra, men vi har lagt vægt på at fremstille dette materiale på en sådan

Læs mere

Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination

Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination Preben Alsholm 18 februar 008 1 Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination 11 Et eksempel Et eksempel 100g mælk Komælk Fåremælk Gedemælk Protein g 6g 8g

Læs mere

Calculus Uge

Calculus Uge Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums

Læs mere

Sætning (Kædereglen) For f(u), u = g(x) differentiable er den sammensatte funktion F = f g differentiabel med

Sætning (Kædereglen) For f(u), u = g(x) differentiable er den sammensatte funktion F = f g differentiabel med Oversigt [S] 3.5, 11.5 Nøgleord og begreber Kædereglen i en variabel Kædereglen to variable Test kædereglen Kædereglen i tre eller flere variable Jacobimatricen Kædereglen på matrixform Test matrixform

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Digital eksamensopgave med adgang til internettet

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Digital eksamensopgave med adgang til internettet Matematik A Studentereksamen Digital eksamensopgave med adgang til internettet Forberedelsesmateriale frs-matn/a-270420 Onsdag den 27. april 20 Forberedelsesmateriale til stx-a-net MATEMATIK Der skal afsættes

Læs mere

Oversigt [LA] 6, 7, 8

Oversigt [LA] 6, 7, 8 Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer Løsningsmængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen

Læs mere

Spor Matematiske eksperimenter. Komplekse tal af Michael Agermose Jensen og Uwe Timm.

Spor Matematiske eksperimenter. Komplekse tal af Michael Agermose Jensen og Uwe Timm. Homografier Möbius transformationer Følgende tema, handler om homografier, inspireret af professor Børge Jessens noter, udgivet på Københavns Universitet 965-66. Noterne er herefter blevet bearbejdet og

Læs mere

Matricer og Matrixalgebra

Matricer og Matrixalgebra enote 3 1 enote 3 Matricer og Matrixalgebra Denne enote introducerer matricer og regneoperationer for matricer og udvikler hertil hørende regneregler Noten kan læses uden andet grundlag end gymnasiet,

Læs mere

Lineær Algebra, TØ, hold MA3

Lineær Algebra, TØ, hold MA3 Lineær Algebra, TØ, hold MA3 Lad mig allerførst (igen) bemærke at et vi siger: En matrix, matricen, matricer, matricerne. Og i sammensætninger: matrix- fx matrixmultiplikation. Injektivitet og surjektivitet

Læs mere

1 Om funktioner. 1.1 Hvad er en funktion?

1 Om funktioner. 1.1 Hvad er en funktion? 1 Om funktioner 1.1 Hvad er en funktion? Man lærer allerede om funktioner i folkeskolen, hvor funktioner typisk bliver introduceret som maskiner, der tager et tal ind, og spytter et tal ud. Dette er også

Læs mere

Oversigt Matematik Alfa 1, August 2002

Oversigt Matematik Alfa 1, August 2002 Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums

Læs mere

Nøgleord og begreber Separable ligninger 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens lineært system Opgave

Nøgleord og begreber Separable ligninger 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens lineært system Opgave Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 14, 15 Nøgleord og begreber Separable ligninger 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens lineært system Opgave Calculus 2-2005

Læs mere

Module 1: Lineære modeller og lineær algebra

Module 1: Lineære modeller og lineær algebra Module : Lineære modeller og lineær algebra. Lineære normale modeller og lineær algebra......2 Lineær algebra...................... 6.2. Vektorer i R n................... 6.2.2 Regneregler for vektorrum...........

Læs mere

Noter til Lineær Algebra

Noter til Lineær Algebra Noter til Lineær Algebra Eksamensnoter til LinAlg Martin Sparre, www.logx.dk, August 2007, Version π8 9450. INDHOLD 2 Indhold 0. Om disse noter.......................... 3 Abstrakte vektorrum 4. Definition

Læs mere

Lineær Algebra, kursusgang

Lineær Algebra, kursusgang Lineær Algebra, 2014 12. kursusgang Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet LinAlg November 2014 Om miniprojekt 2 Kirchoffs love. Opstil lineære ligningssystemer og løs dem. 0-1-matricer.

Læs mere

Forslag til hjemmeopgaver, som forbereder arbejdet med de nye emner den pågældende kursusgang, men primært er baseret på gymnasiepensum:

Forslag til hjemmeopgaver, som forbereder arbejdet med de nye emner den pågældende kursusgang, men primært er baseret på gymnasiepensum: Forslag til hjemmeopgaver, som forbereder arbejdet med de ne emner den pågældende kursusgang, men primært er baseret på gmnasiepensum: Ordinær kursusgang : Introduktion til vektorer og matricer. Regning

Læs mere

2010 Matematik 2A hold 4 : Prøveeksamen juni 2010

2010 Matematik 2A hold 4 : Prøveeksamen juni 2010 1 of 7 31-05-2010 13:18 2010 Matematik 2A hold 4 : Prøveeksamen juni 2010 Welcome Jens Mohr Mortensen [ My Profile ] View Details View Grade Help Quit & Save Feedback: Details Report [PRINT] 2010 Matematik

Læs mere

Matematik og FormLineære ligningssystemer

Matematik og FormLineære ligningssystemer Matematik og Form Lineære ligningssystemer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2014 Ligningssystemer og matricer Til et ligningssystem svarer der en totalmatrix [A b] bestående af koefficientmatrix

Læs mere

Det Ingeniør-, Natur- og Sundhedsvidenskabelige basisår Matematik 2A, Forår 2007, Hold 4 Opgave A Kommenteret version

Det Ingeniør-, Natur- og Sundhedsvidenskabelige basisår Matematik 2A, Forår 2007, Hold 4 Opgave A Kommenteret version Det Ingeniør-, Natur- og Sundhedsvidenskabelige basisår Matematik 2A, Forår 2007, Hold 4 Opgave A Kommenteret version Opgaven består af et antal delopgaver Disse er af varierende omfang Der er også en

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Oversigt [LA] 11, 12, 13

Oversigt [LA] 11, 12, 13 Oversigt [LA] 11, 12, 13 Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Projektion på 1 vektor Projektion på basis Kortest afstand August 2002, opgave 6 Tømrermester Januar

Læs mere

DIFFERENTIALLIGNINGER NOTER TIL CALCULUS 2003 AARHUS UNIVERSITET

DIFFERENTIALLIGNINGER NOTER TIL CALCULUS 2003 AARHUS UNIVERSITET DIFFERENTIALLIGNINGER NOTER TIL CALCULUS 2003 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN INDHOLD. Lineær ligning 2 2. Lineært system 8 3. Generel ligning 6 4. Stabilitet 8 Litteratur 2 Noterne er til 4 timers forelæsninger

Læs mere

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer enote enote Kvadratiske matricer I denne enote undersøges grundlæggende egenskaber ved mængden af kvadratiske matricer herunder indførelse af en invers matrix for visse kvadratiske matricer. Det forudsættes,

Læs mere

Lineær algebra: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære

Lineær algebra: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære Lineær algebra: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2011 Matrixmultiplikation Definition Definition A = [a ij ], B = [b ij ]: AB = C =

Læs mere

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.

Læs mere

Aflevering 4: Mindste kvadraters metode

Aflevering 4: Mindste kvadraters metode Aflevering 4: Mindste kvadraters metode Daniel Østergaard Andreasen December 2, 2011 Abstract Da meget få havde løst afleveringsopgave 4, giver jeg har en mulig (men meget udførlig) løsning af opgaven.

Læs mere

DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II

DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II Preben Alsholm Efterår 21 1 Lineære differentialligningssystemer 11 Lineært differentialligningssystem af første orden Lineært differentialligningssystem

Læs mere

Matematik og Form 3. Rækkereduktion til reduceret echelonfo. Rang og nullitet

Matematik og Form 3. Rækkereduktion til reduceret echelonfo. Rang og nullitet Matematik og Form 3. Rækkereduktion til reduceret echelonform Rang og nullitet Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 11.2.2013 Reduktion til (reduceret) echelonmatrix Et eksempel Et ligningssystem

Læs mere

Symmetriske og ortogonale matricer Uge 6

Symmetriske og ortogonale matricer Uge 6 Symmetriske og ortogonale matricer Uge 6 Preben Alsholm Efterår 2010 1 Symmetriske og ortogonale matricer 1.1 Skalarprodukt og Cauchy-Schwarz ulighed Skalarprodukt og Cauchy-Schwarz ulighed Det sædvanlige

Læs mere

MASO Uge 7. Differentiable funktioner. Jesper Michael Møller. Uge 7. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen

MASO Uge 7. Differentiable funktioner. Jesper Michael Møller. Uge 7. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen MASO Uge 7 Differentiable funktioner Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 7 Formålet med MASO Oversigt Differentiable funktioner R n R m Differentiable funktioner

Læs mere

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.

Læs mere

Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Afleveringsopgave 4

Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Afleveringsopgave 4 Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet Lineær Algebra LinAlg Afleveringsopgave 4 Eventuelle besvarelser laves i grupper af 2-3 personer og afleveres i to eksemplarer med 3 udfyldte forsider

Læs mere

Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet. [LA] 13 Ortogonal projektion

Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet. [LA] 13 Ortogonal projektion Oversigt [LA] 11, 12, 13 Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Projektion på 1 vektor Projektion på basis Kortest afstand August 2002, opgave 6 Tømrermester Januar

Læs mere

GEOMETRI-TØ, UGE 12. A σ (R) = A f σ (f(r))

GEOMETRI-TØ, UGE 12. A σ (R) = A f σ (f(r)) GEOMETRI-TØ, UGE 12 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imfaudk Opvarmningsopgave 1, [P] 632 Vis at Ennepers flade σ(u, v) = ( u u 3 /3

Læs mere

Hilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum

Hilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum Chapter 3 Hilbert rum 3.1 Indre produkt rum I det følgende skal vi gøre brug af komplekse såvel som reelle vektorrum. Idet L betegner enten R eller C minder vi om, at et vektorrum over L er en mængde E

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 5 Morten Grud Rasmussen 19. september, 2013 1 Euler-Cauchy-ligninger [Bogens afsnit 2.5, side 71] 1.1 De tre typer af Euler-Cauchy-ligninger Efter at

Læs mere

Lineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter

Lineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter enote 13 1 enote 13 Lineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter I forlængelse af enote 11 og enote 12 om differentialligninger, kommer nu denne enote omkring 2. ordens differentialligninger.

Læs mere

Opgave 1 - løsning 1) De partielle afledede beregnes. Opgave 1 Betragt funktionen. x + y for x > 0, y > 0. f x = y 1 (x + y) 2.

Opgave 1 - løsning 1) De partielle afledede beregnes. Opgave 1 Betragt funktionen. x + y for x > 0, y > 0. f x = y 1 (x + y) 2. Oversigt Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums

Læs mere

Lineær algebra: Egenværdier, egenvektorer, diagonalisering

Lineær algebra: Egenværdier, egenvektorer, diagonalisering Lineær algebra: Egenværdier, egenvektorer, diagonalisering Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2011 Egenvektorer og egenværdier Mål: Forståelse af afbildningen x Ax fra R n R n for en n n-matrix

Læs mere

Oversigt Matematik Alfa 1, Januar 2003

Oversigt Matematik Alfa 1, Januar 2003 Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

1.1 Legemer. Legemer er talsystemer udstyret med addition og multiplikation, hvor vi kan regner som vi plejer at gøre med de reelle tal.

1.1 Legemer. Legemer er talsystemer udstyret med addition og multiplikation, hvor vi kan regner som vi plejer at gøre med de reelle tal. SEKTION 11 LEGEMER 11 Legemer Legemer er talsystemer udstyret med addition og multiplikation, hvor vi kan regner som vi plejer at gøre med de reelle tal Definition 111 Et legeme F er en mængde udstyret

Læs mere

LINALG JULENØD 2013 SUNE PRECHT REEH

LINALG JULENØD 2013 SUNE PRECHT REEH LINALG JULENØD 203 SUNE PRECHT REEH Resumé I denne julenød skal vi se på lineær algebra for heltallene Z Hvad går stadig godt? og hvad går galt? I de reelle tal R kan vi for ethvert a 0 altid finde R som

Læs mere

1 Vektorrum. MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 4. oktober Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier

1 Vektorrum. MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 4. oktober Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 4. oktober 2017 Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier Grupperne forventes at regne de små opgaver i afsnittene 1 5 i løbet af de første 4 halve dage. Dernæst tilføjes

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2015 Københavns

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Nasser 9. april 20 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.

Læs mere