2008 Deformationsanalyse af kompositbjælke. P7 projekt

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "2008 Deformationsanalyse af kompositbjælke. P7 projekt"

Transkript

1 8 Deformationsanalyse af kompositbjælke P7 projekt Mustafa Gökce Søren Heide Lambertsen Kim Madsen Aalborg Universitet Esbjerg 8--8

2

3 Titelblad Titel: Analyse af bærende konstruktioner Projektperiode: -9-8 til 8--8 Tema: Vejleder: Oplag: 7 Gruppe nummer: Gruppemedlemmer: Deformationsanalyse af kompositbjælke Lars Damkilde og Ronni Pedersen BM7- Projektet tager udgangspunkt i en deformationsanalyse af en vindmøllevinger der belastes til store deformationer, hvor det ønskes at eftervise Poisson og Brazier effekterne. Dette leder frem til projekttemaet: Deformationsanalyse af kompositbjælke På grund af projektets rammer arbejdes der videre med en kompositbjælke fra Fiberline Composites A/S. Igennem rapporten beskrives Poisson og Brazier effekterne, hvorefter der foretages materialeundersøgelse for at finde Poissons forhold og E-modulet for bjælken. Resultaterne af disse undersøgelser viste en Poisson forhold på,89 og,7 på bjælkens hhv. tvær- og længderetning. E-modulerne blev fundet til 59 MPa for bøjning og 56 MPa for træk i y retningen. I x retningen blev denne fundet til 6986 MPa for bøjning. Værdierne fra disse forsøg er anvendt til, at modellere en skalmodel af profilet i ASYS, hvor analyserne fra denne er sammenlignet med en fuldskala forsøg der er foretaget på AAU og AAUE. Igennem sammenligningerne ses det, at der en tydelig forskel i tøjningerne og flytningerne fra analyserne og forsøgsopstillinger. Dette skyldes uens fordeling af fibrene i bjælken, hvilket gør at det ikke er muligt at modellere en nøjagtig model af bjælken i ASYS. Både ved analyserne og ved forsøgene ser man tydelige effekter af Brazier. Mustafa Gökce Søren Heide Lambertsen Kim Madsen I

4

5 Forord Dette projekt er udarbejdet af gruppe BM7- på 7. semester ved civilingeniøruddannelsen på maskinretningen på Aalborg Universitet Esbjerg. Temaet for projektet er: Analyse af bærende konstruktioner Projektet omhandler deformationsanalyse af kompositbjælker og i den sammenhæng behandles effekterne der forekommer i vindmøllevinger ved store deformationer. Grundet en vindmøllevinges størrelse og det tilgængelige materiel til udførelse af forsøg har man afgrænset analysen til et komposit bjælke fra Fiberline Composites A/S. Denne bjælke er betydelig mindre og der kan udføres forsøg på denne i AAUE s egne laboratorier. Igennem rapporten bliver der henvist til forskellige litteraturer hvor disse i rapporten vil være angivet på flg. måde: Kildehenvisninger i rapporten vil være angivet med [x] og vil være at finde bagest i rapporten. Appendiks vil blive henvist som: Appendiks [nr.]. Til rapporten medfølger en CD, hvorpå følgende er at finde: Diverse Matlab filer Element program (køres i Ubuntu) Excel filer ASYS fil Der er henvist til programmerne løbende igennem rapporten. II

6 Indholdsfortegnelse Indledning.... Formål med projektet.... Rapportens opbygning....3 Afgrænsning og forudsætning...5 Brazier effekt...6. Lineær beskrivelse...7. Ikke lineær beskrivelse Sammenfatning... 3 FEM Virtuelt Arbejdes Princip VAP Sammenfatning Formfunktioner Konvergensstudie Sammenfatning Tøjningsinterpolationsmatricen [B] umerisk integration Underintegration Konsistente knudebelastninger Boundary conditions Sammenfatning...3 Kompositmaterialet Eksperimentel bestemmelse af de mekaniske egenskaber Bøjningsforsøg i x retningen Bestemmelse af brudstyrke i x retningen Bestemmelse af Poisson forholdet i x retningen..... Bestemmelse af elasticitetsmodul for træk og bøjning i y retningen...5. Bestemmelse af brudstyrke i y retningen Bestemmelse af Poissons forhold i y retningen Placering af fiber og massefordeling Bestemmelse af G-modul Bjælke forsøg Forsøg AAU Forsøg AAUE...63 III

7 6 ASYS Skalmodel Opsætninger Resultater Sammenligning af data Afvigelser Konklusion...78 Litteraturhenvisning Appendiks: Appendiks : Formfunktioner Appendiks : FEM program Appendiks 3: Underintegration mm. Appendiks : Strain gauges IV

8

9 Indledning Dette projekt tager udgangspunkt i behovet for at kunne analysere spændings- og tøjningstilstanden i konstruktionselementer. Dette leder projekttitlen til: Analyse af bærende konstruktioner Så længe tøjningerne er tilpas små kan spændingerne for en given belastningssituation beskrives vha. bjælketeorien og ved hjælp af aviers og Grashofs formler. Men i de situationer hvor tøjningerne er tilpas store kan disse teorier ikke beskrive spændingssituationen tilstrækkeligt. Her vil den ikke lineære opførsel spille en større rolle og en række sekundære virkninger indtræder. Disse sekundære virkninger giver sig til udtryk ved Brazier effekt (ovalisering). Se Figur. Brazier effekten forklares senere i rapporten. Figur. Brazier effekt i et rektangulært profil [] I denne rapport vil der beskæftiges med den ulineære effekt i en bjælke der belastes til store deformationer. I vindmølleindustrien har man igennem mange års erfaringer og et utal af eksperimenter fundet et godt alternativ til beton og stål som konstruktionselement. Alternativet er kompositmaterialer. For med kompositmaterialer kan man, i modsætningen til f. eks. stål, selv konstruere i hvilke retninger man ønsker den største stivhed og styrke, vha. forskellige armeringer og vævningsmuligheder. Af denne grund har polymere armeret med forskellige fibre fundet anvendelse i mange industrier: Både Fly Vindmøller Broer Etc. Da vindenergien er en stor energisektor, bruges der specielt i denne branche rigtig mange ressourcer på at få beskrevet de ikke lineære effekter i en vindmøllevinge. Derfor er udgangspunktet for analyserne der foretages i denne rapport, box profilet der sidder inde i en vindmøllevinge, se Figur.

10 Figur. Vindmøllevinge med det indvendige box profil [] Både box profilet og skallen til vingen er fremstillet af kompositmaterialer, og størrelsen af disse vinger varierer meget, hvor nogle af de største kan være op til 8 meter i vingefang. Vindmøllevinger bliver påvirket med store laster fra: Vind Centripetalkraft Etc. Hvor specielt vindlasten påvirker vindmøllevingerne til store deformationer, hvor det i nogle meget sjældne tilfælde også har ført til brud. Det er disse effekter, der belyses i denne rapport: Analyse af en komposit bjælke der belastes til store deformationer. Analyserne der foretages i rapporten sker igennem elementmetodeberegninger, håndberegninger, numerik, etc. hvor disse sidst i rapporten sammenlignes med et fuldskalaforsøg af den valgte profil. Da et fuldskalaforsøg indenfor projektets rammer ikke er muligt med en vindmøllevinge, arbejdes der i stedet på et rektangulært polymer baseret kompositmateriale der er udleveret af Fiberline Composites A/S. Denne er et standard profil der blandt andet er anvendt i Fiberline broen ved Kolding. Broen og profilet fremgår af hhv. Figur 3 og Figur :

11 Figur 3. Fiberline broen ved Kolding [] Figur. Det rektangulære profil fra Fiberline broen [] Man ved at det ikke er hensigtsmæssigt at designe en bro så denne får store deformationer. Men da dette profil også er af kompositmateriale og indgår i en bærende konstruktion antages det, at det vil være en god erstatning for vindmøllevingen til det videre arbejde i projektet. Formålet med projektet kan herefter opstilles. 3

12 . Formål med projektet På baggrund af ovenstående kan formålet med projektet opstilles: Analyse af bærende konstruktioner. At analysere et kompleks konstruktionsdel med henblik på at kunne opstille udtryk for beskrivelse af de ikke lineære størrelse i konstruktionsdelen.. At udføre eksperimentelle metoder, herunder udfører håndberegninger samt udføre elementmetodeberegninger, hvor det herunder ønskes at udarbejde et elementmetodeprogram for redegørelse af den underliggende teori. 3. Vurderer og sammenligne resultaterne af de gennemførte beregninger med resultater fra en fuldskala forsøg.. Rapportens opbygning Først i rapporten beskrivelse de ikke lineære/sekundære virkninger der forekommer i en bjælke der belastes til stor deformation. Dernæst foretages der elementmetodeberegninger på det valgte profil, hvor dette ønskes udført i ASYS. Forinden dette vil teorien bag elementmetodeberegningerne beskrives. I den forbindelse konstrueres et elementmetodeprogram i Ubuntu for at belyse elementmetoden, hvor dette program ikke vil blive brugt nærmere i det konkrete tilfælde. Da det valgte profil er et kompositmateriale og er anisotropt, vil der forinden ASYS beregninger foretages en række laboratorieforsøg for, at belyse hvilke mekaniske egenskaber materialet besidder, og kompositmaterialer vil i dette sammenhæng beskrives nærmere. Resultaterne herfra bruges som input ved beregninger i ASYS. Efter elementmetodeberegningerne foretages der håndberegninger på samme profil. Til sammenligning med de ovennævnte udføres der et fuldskala forsøg hvor, teori, forsøgsopstilling, målinger og resultater gennemgås. Afslutningsvis vil resultaterne fra samtlige forsøg og beregninger sammenlignes hvor der redegøres for eventuelle afvigelser. I konklusion vil de vigtigste pointer fra rapporten ridses op.

13 .3 Afgrænsning og forudsætning Analyse af bærende konstruktioner Som beskrevet før, arbejdes der videre med profilet fra Fiberline broen som en box profil fra en vindmøllevinge. Denne er en meget grov tilnærmelse, som det fremgår af Figur 5. Figur 5. Box profil fra tippen af en vindmøllevinge hvor profilet fra Fiberline broen er placeret inden i Som det fremgår af Figur 5 er geometrien for de to profiler langt fra ens. Det ses, at flangerne for box profilet har en betydelig større godstykkelse end kroppen. Dette skyldes, at det er flangerne der modvirker de store deformationer der forekommer i en vindmøllevinge. Grunden til denne tilnærmelse er, at det indenfor projektets rammer ikke er muligt at udføre et fuldskala forsøg med en vindmøllevinges box profil, da hverken økonomien eller det tilgængelige maskinel er tilstrækkelig til opgaven. Denne grove tilnærmelse synes dog at være i orden da projektets formål er, at bestemme spændinger, tøjninger og Brazier effekten i en kompleks konstruktionsdel, og ikke at undersøge nye muligheder for deformationstest indenfor vindmølleindustrien. 5

14 Brazier effekt I dette afsnit beskrives de sekundære virkningerne i en momentpåvirket bjælke nærmere, jf. Figur. Først i afsnittet betragtes en lille deformation, så bjælkens opførsel kan beskrives ud fra bjælketeorien, og deformationerne over tværsnittet der kan beskrives som en følge af Poisson effekten. Dernæst betragtes samme bjælke med en stor deformation, hvor deformationen af bjælken ikke længere kan beskrives vha. bjælketeorien og Brazier effekten fremtræder. I begge tilfælde beskrives spændinger i relevante snit og der suppleres med ASYS beregninger. Teorien der gennemgås i dette afsnit danner grundlag for forståelsen af problemstillingen og dermed de efterfølgende beregninger og forsøgsopstillinger. Figur 6. Konstant moment påvirket bjælke Som beskrevet tidligere kan moment påvirkede bjælkers deformation beskrives lineært når deformationerne er tilpas små. Ved en forøgelse af deformationerne vil den ikke lineære opførsel spille en større og større rolle. 6

15 . Lineær beskrivelse Analyse af bærende konstruktioner I en lineær beskrivelse vil spændinger kun optræde i aksialretningen. Spændingerne vil for den på Figur 6 viste situation kun optræde i x retningen. Denne spændingsfordeling vil varierer lineært over tværsnittet og kan beskrives ud fra aviers formel: σ x M z I ormalspændingsfordelingen over tværsnittet hvor overdelen udsættes for tryk og underdelen for træk, som vist på Figur 7: Figur 7. ormalspænding fordelt over bjælkens tværsnit Denne lineære spændingsvariation ses også af en skalmodel fra ASYS, jf. Figur 8. Figur 8. Contour plot af en normalspændingsfordeling i en bjælke med konstante momenter i de frie ender Ses der på et udsnit af topflangen af bjælken vil spændingsfordelingen se ud som på Figur 9a. Trykket fra momentpåvirkningen vil resulterer i at udsnittet bliver kortere men samtidig bredere. Denne ændring i geometrien skyldes Poisson effekten. 7

16 Figur 9. a) Spændingsfordelingen på topflangen og b) Poisson effekten [] På tilsvarende måde kan man betragte et udsnit i bunden, hvor denne pga. træk vil blive længere og smallere, hvor Poisson effekten netop vil se ud som på Figur. Figur. Deformation pga. Poisson effekt [] Sideflangerne forbliver rette. På Figur ses Poisson effekten på en skalmodel i ASYS. Figur. Deformation pga. Poisson effekt i skalmodellen fra ASYS 8

17 . Ikke lineær beskrivelse Analyse af bærende konstruktioner I denne sektion betragtes en bjælke med store deformationer. Den mest betydningsfulde forskel mellem en lineær og en ikke lineær analyse, i moment påvirkede bjælker, er forekomsten af Brazier effekten, der vil prøve at ovalisere tværsnittet. En bjælke med store deformationer, jf. Figur, vil have normalspændinger i aksialretningen. Figur. Kraftig deformeret bjælke I det efterfølgende vil det blive belyst hvordan disse spændinger yderligere kan opfattes. Der tages udgangspunkt i et udsnit af topflangen på bjælken, jf. Figur 3 og Figur. Og udsnit af topflangen med relevante mål: Figur 3. Kraftig deformeret bjælke med snit i topflangen Figur. Udsnit af topflange af moment påvirket bjælke 9

18 Ses der nærmere på udsnittet med bredden dy, højden dz og længden R dθ kan man finde den resulterende kraft på sidefladerne ved at multiplicerer normalspændingerne op over arealet de virker på: F σ x σ x dy dz På grund af ligevægt vil de vandrette komposanter ophæve hinanden. De lodrette komposanter findes ved at projicerer den resulterende kraft: F F dθ sin σ x, lodret σ x Denne lodrette kraft kan samtidig betragtes som en jævnt fordelt belastning over arealet af tværsnittet. Princippet fremgår af Figur 5. Figur 5. Lodrette kraftkomposanter opfattes som jævnt fordelt Den jævnt fordelte belastning kaldes crushing pressure. Udtrykket for crushing pressure kan opstilles ved at opstille ligevægt for udsnittet: Fσ x, lodret p c dy R dθ σ x dθ dy dz sin p c dy R dθ Idet man antager at vinklerne er meget små får man: σ x dθ dy dz p c dy R dθ σ x dz p c R p c σ x R dz

19 Ud fra formlen ses at størrelsen af crushing pressure afhænger af normalspændingen, som kan findes/beregnes vha. aviers formel. Derudover afhænger crushing pressure samtidig af krumningsradius R. Ved både at indføre formlerne for avier og krumningsradius kan man omskrive udtrykket for til: p c avier: σ x M z I Krumningsradius: R M EI Indsættes: σ x M M M p c dz p c z dz p c R I EI E I z dz Det ses af udtrykket at p c afhænger af udsnittets tykkelse dz. Dette hænger sammen med at normalspændingen, der er udgangspunktet for denne udledning, virker ned gennem tværsnittet. Dvs. at p c ikke alene virker som en jævnt fordelt belastning over udsnittet men også som en jævnt fordelt belastning ned gennem udsnittet. Dette vil være det samme over hele profilet topflange og derfor vil siderne på profilet ligeledes opleve en nedadrettet kraft. Anvendes tilsvarende betragtning for undersiden af profilet vil man komme frem til samme resultat. Her vil kræfterne dog pege i den modsatte retning. Derfor kan belastningerne grundet de sekundære effekter se ud som på Figur 6. Figur 6. Laster fra Brazier effekt i flangerne Det ses tydeligt her at de sekundære effekter vil prøve at ovalisere tværsnittet, og resultatet af disse effekter ses på Figur 7.

20 Figur 7. Brazier effekt [] Den tilsvarende ikke lineære analyse er udført på en skalmodel i ASYS hvor resultatet af analysen fremgår af Figur 8. Figur 8. Brazier effekt på en skalmodel i ASYS.3 Sammenfatning Den beskrevne teori i afsnittet tager udgangspunkt i en bjælke belastet med et konstant moment. Det er vist hvordan bjælken kan beskrives lineært og ikke lineært ved hhv. små og store deformationer. I resten af projektet vil den betragtede situation i stedet være vist som på Figur 9. Grunden til denne antagelse er at de enkeltstående kræfter på modellen, vil give et konstant moment mellem kræfterne. Dette stykke af bjælken kan således betragtes i overensstemmelse med det beskrevne teori og kan samtidig genskabes i eget værksted til senere forsøgsopstillinger. Tværsnittet der er anvendt til skalmodellen i dette afsnit har dimensioner som angivet på Figur 9.

21 Figur 9. Anvendt bjælkemål til ASYS skalmodel Som beskrevet før kan spændingsvariationen over tværsnittet beskrives ved aviers formel. Spændingerne i bjælken top- og bundflange bliver: I y 3 3 ( / ) ( / 8 8 ),8x 6 mm σ x ( ) ± 5,8x 6 ± 9,5 / mm Spændinger i samme punkt i ASYS er listet i Tabel. Tabel. Resultater fra avier og ASYS skalmodel Max spænding [MPa] Min spænding [MPa] avier 9,5 9,5 ASYS,67,67 Forskel,566 %,566 % Den ca. halve procents forskel i beregningerne skyldes metoden ASYS anvender ved skalmodeller. I ASYS modelleres geometrien som en bjælkemodel og tildeler disse bjælker en tykkelse som ASYS anvender ved beregningerne. Af denne grund bliver geometrien som vist på Figur. 3

22 Figur. Geometrifejl ved skalmodellen Hvis inertimomentet regnes på ny med flytningsbidrag bliver spændingen: I y 3 3 ( / ) + ( / 8 9 ),685x 6 mm σ x ( ) ± 5,685x 6 ±,67 / mm Derved bliver spændingerne det samme. Men ASYS beregner ikke inertimomenter på denne måde og derfor vil fejlen altid være til stede. Men da fejlen er meget lille anses det ikke som et problem at fortsætte med skalmodeller fremover i rapporten.

23

24 3 FEM Afsnittet tager udgangspunkt i et Q9 element. For Q9 elementet skal der opstilles formfunktioner, så flytningsfeltet kan defineres uanset placeringen i det globale koordinatsystem. Dette er dog ikke muligt for et xy-koordinatsystem hvis elementerne ikke er parallelle med koordinatakserne eller har krumme sider. Dette problem kan illustreres og forklares ud fra Figur. Figur. Q9 element afbildet i xy-koordinater med forskellige udformninger På Figur A er elementet ligesidet og det ville være uproblematisk at opstille en funktion hvis der skulle interpoleres over dette element. På afbildning B og C bliver beskrivelsen af funktioner til interpolation et krævende arbejde. Derfor indføres isoparametriske elementer i reference koordinatsystemet udtryk i [ ξ, η ]. Ideen i formuleringer med isoparametriske elementer er, at de ikke tager højde for elementets størrelse og geometriske udformning. Da reference koordinatsystemet er udtrykt som ξ [ ;] og η [ ; ] er det muligt at beskrive funktioner til interpolation udtrykt ved reference koordinatsystemer. Dette illustreres på Figur hvor et plant firkantet element givet i xy-koordinater bliver overført til referencekoordinater. Figur. Transformation fra fysiske til isoparametriske koordinater 5

25 Valget af Q9 elementet og dennes formfunktioner forklares nærmere med konvergens studier vha. den udarbejdede elementmetodeprogram i Ubuntu. Beskrivelsen af programmet findes i Appendiks []. I det efterfølgende beskrives det virtuelle arbejdes princip, VAP, for at opstille et udtryk for stivhedsmatricen [k]. Herefter forklares hvordan man finder formfunktioner for et Q9 element vha. den geometriske metode udtrykt ved reference koordinater. Dernæst beskrives hvordan man transformere formfunktionerne og tøjningsinterpolationsmatricen [B], tilbage til et xykoordinatsystem ved anvendelse af Jacobi matricen [J] for til sidst at kunne finde stivhedsmatricen [k]. Herefter beskrives numerisk integration og konsistente knudebelastninger hvor der er udarbejdet et program i Matlab til bedre beskrivelse af dette. 3. Virtuelt Arbejdes Princip VAP Det Virtuelle Arbejdes Princip danner grundlag for elementmetoden. Da elementmetoden typisk formuleres som en deformationsmetode vil flytningskompatibiliteten være opfyldt. Ligevægtsligningerne på differentielform kan ikke være eksakt i alle punkter. I stedet betragtes en overordnet ligevægt, hvor energien i systemet betragtes på integral form. For at kunne opstille et generelt udtryk for stivhedsmatricen [k] anvendes VAP. Ved denne metode betragtes et legeme påvirket med ydre laster der skal være i ligevægt. Se Figur 3. Figur 3. Legeme i ligevægt [] Legemet kan være påvirket af statiske randbetingelser som overfladelast Φ og volumenlast F. Her ses der bort fra punktlaster. Derudover kan legemet være påvirket med geometriske randbetingelser, der i dette tilfælde er tilfældig placeret. For VAP gælder det, at det indre arbejde og det ydre arbejde skal være i ligevægt, derfor opstilles en ligevægtsbetingelse for en tænkt flytning. Fra den konstitutive lov kender man sammenhængen mellem spændinger og tøjninger {} [ ]{ ε} hvor { ε} []{} u Ved at interpolerer flytningerne {u} over elementet kan flytningstensoren opskrives ved at multiplicere formfunktionerne med frihedsgraderne: {} u [ ] {} d, hvor [] er formfunktionerne. σ E, 6

26 Ud fra dette kan tøjningerne opskrives som: {} []{} u {} ε [ B]{ d} hvor [ B] [ ][ ] ε. Analyse af bærende konstruktioner Tøjningsinterpolationsmatricen [B] forklares nærmere i et senere afsnit. I det efterfølgende opstilles ligningerne for et rummeligt system. Dette gøres for at give den generelle forståelse for ligningerne. På et senere tidspunkt anvendes disse dog kun i D. Ydre arbejde år det ydre arbejde skal defineres er det nødvendigt at se på flytninger over elementet, som hører til de ydre kræfter Φ og F. De virtuelle flytninger betegnes δ. Derfor: { δ u} [ δu δv δw] T Bidragene fra de ydre laster integreres hhv. over volumenet V og overfladen S: V T T { δu} { F} dv + { δ u} { Φ}dS S Her er de virtuelle flytninger transponeret for at få arbejdet udtrykt som et skalar. Indre arbejde Ud fra de virtuelle flytninger { u} kommer der også virtuelle tøjninger med spændingerne i elementet og integreres over volumenet: δ { δ ε} T { δε} {} σ dv hvor {} σ { σ } T x σy σz τxy τyz τxz V Her er tøjningerne også transponeret for at få en skalar. Ligevægt Det indre og det ydre arbejde danner ligevægtsligningen: T T T { δε} { σ} dv { δ u} { F} dv + { δ u} { } Φ V V S Hvor de virtuelle tøjninger og flytninger kan skrives som: { δ ε} T [ B] T { δd} T { δ u} T [ ] T { δd} T Ud fra dette kan det indre arbejde udtrykkes som: T T T { δε} { σ} dv [ B] { δd} [ E][ B]{ d} V V dv ds. Disse danner arbejde 7

27 Da ingen af flytningerne er funktioner af koordinaterne kan disse trækkes udenfor integralet: T T { δd } [ B] [ E][ B] dv{} d V På tilsvarende måde kan man gøre for det ydre arbejde: V T T T T [ ] { δd} { F} dv + [ ] { δd} { Φ}dS S Også her kan { δd} T trækkes udenfor integralet: T T T { δ d} [ ] {} F dv + [ ] { Φ} ds V S Ligevægtsligningen bliver da: T T T T T { δd} [ B] [ E][ B] dv{} d { δd} [ ] {} F dv + [ ] { Φ} ds V V S Ved at forkorte med { δd} T fås den endelige ligning: T T T [ B] [ E][ B] dv{} d [ ] {} F dv + [ ] { Φ}dS V V Hermed får man et udtryk der ligner den styrende ligning: [ k ]{} d {} r Derved har størrelserne fra VAP følgende sammenhæng: T T T [ B] [ E][ B] dv {} d [ ] {} F dv + [ ] { Φ} V 3 k ds V S 3 r Her indeholder [k] stivhederne, {d} knudeflytningerne og {r} de konsistente knudekræfter/reaktioner. S 3. Sammenfatning Hermed er teorien bag elementstivhedsmatricen gennemgået vha. VAP. Hvordan man finder de lokale stivheder, tøjningsinterpolationsmatricen [B] og assemblerer gennemgås senere. 8

28 3.3 Formfunktioner Analyse af bærende konstruktioner Et Q9 element er en firkant bestående af 3 knuder i hver rand samt en i midten. Se Figur. Figur. Q9 element Formfunktioner er defineret ved at flytte en given knude hvor resten forbliver. Da der er 3 knuder over hver rand for et Q9 element medfører det, at formfunktionen over randene varierer kvadratisk. På Figur 5 ses en illustration af formfunktioner hvor knude og 3 er flyttet. Figur 5. Illustration af formfunktioner for knude og 3 år man skal finde formfunktionen for en given knude, betragter man linjerne der ikke går igennem denne knude. Se Figur 6. Figur 6. Alle linjer der ikke går gennem knude er optrukket med rødt 9

29 Her defineres linjerne som: Analyse af bærende konstruktioner L L : L3 : L : : ξ ξ η η Ud fra ligningerne for linjerne ganget med en konstant kan man opstille et generelt udtryk for formfunktionerne: c L L... i L m Formfunktionen for punkt er som følger: c ( ξ ) ( ξ ) ( η ) ( η ) (, ) c ( ) ( ) ( ) ( ) c ξ ( ξ ) η ( η ) På samme måde kan man fortsætte og finde samtlige formfunktioner, der samtidig kan findes i Appendiks []. Som det fremgår af Appendiks [] er der flere forskellige metoder til at finde formfunktioner for et Q9 element. For at finde hvilken af disse metoder der er mest effektiv udføres et konvergensstudie. Det ses i Appendiks [] at geometrisk metode og A-metoden giver de samme resultater. Derfor vil konvergens studiet kun blive udført for den ene af disse. Geometrisk metode giver et andet resultat. Dermed udføres konvergensstudier for geometrisk metode og. 3. Konvergensstudie Der er udviklet et program med udgangspunkt i FEM afsnittet. Dette program anvendes til konvergensstudiet for Q9 elementet. Beskrivelse af programmet ses i Appendiks [] hvor programmet samtidig er på CD en i mappen FEMOctave I konvergensstudiet bliver effektiviteten af geometrisk metode og analyseret. Dette gøres ved at simulere udbøjningen på en bjælke og se på, hvor hurtig den teoretiske løsning tilnærmes.

30 E /mm ν,3 G 8769 /mm Figur 7. Indspændt bjælke til konvergensstudie For at have et resultat, som reference, benyttes bjælketeorien til beregning af udbøjningen på bjælken, der ses på Figur 7. 3 PL 6PL U 3,895mm, 97mm 3,839 3EI + 5AG + mm Det skal bemærkes, at det sidste led i ligningen er nedbøjningen fra forskydningskraften. I konvergensstudiet anvendes kvadratiske Q9 elementer. Der undersøges for følgende element inddelinger: række. med elementer (sorte firekanter i Figur 8) rækker med elementer pr rk. (blå firekanter i Figur 8).. 6 rækker med 6 elementer pr. rk. Figur 8. Elementinddeling af bjælke Programmet meshq9.m, der ligger på CD en, kan generere et Q9 mesh for de overstående størrelser. Den enkeltstående kraft fordeles parabolsk ud over knuderne på randen af bjælken som vist på den røde kurve på højre side i Figur 9. Det bemærkes, at værdien i centerknuden er mindre end i knuderne omkring den. Grunden hertil kan ses under afsnittet Konsistente knudebelastninger. Indspændingen og de påførte kræfter i indspændingen (modsatrettet den fordelte kraft), der er nødvendige for konvergensstudiet, ses på Figur 9..

31 Figur 9. Randbetingelser for bjælke bestående af Q9 elementer Programmet boundary_3_node.m, der ligger på CD en, genererer opspændingsknudekræfter og randknudekræfter. Der undersøges først for geometrisk metode, hvor formfunktionerne for knude findes ud fra Figur 3. Formfunktioner for denne metode er givet i Appendiks []. Figur 3. Geometrisk metode I Tabel ses udbøjningen i kolonne Uy. Det ses her, at udbøjningen hurtigt bliver større end ved bjælketeorien. Grunden hertil er, at plane tværsnit forbliver plane i bjælketeorien og dette er ikke tilfældet med FEM.. Tabel. Resultater for geometrisk metode Antal elementer (Antal element) -½ ( x akse ) Uy [mm] Den maksimale udbøjning [mm] Afvigelse ( y akse ) *, , , *, , , *3,5955 3, , *, , ,88, *5, , , *6,5768 3, , Hvis udbøjningen i det sidste element betragtes som det sande resultat, fås rød linje i Figur 3. Det ses her, at punkterne mod forventning ikke ligger pænt på linjen, men danner et krumt linjestykke. For at rette punkterne op, skal udbøjning være større. Denne frembringes ved at anvende det fineste

32 mesh programmet kan håndtere, og ses i kolonne Den maksimale udbøjning i Tabel. Resultatet fremgår af grøn linje i Figur 3. Det kan aflæses i Tabel, at ved få elementer, fås en for lille nedbøjning, men jo højere element antal desto tættere kommer man på den eksakte værdi. Konvergensrate geometrisk metode,e-,e-3 Relativ nedbøjning,e-,e-5,e-6 Uy3,8 Max Uy3.898 Tedenslinje (Uy3,8) y,x,e-7,,, Elementer_antal^-½ Figur 3. Konvergens rate for geometrisk metode Til det andet konvergens studie anvendes geometrisk metode, hvor formfunktionerne for knude findes ud fra Figur 3. Formfunktioner for denne metode er givet i Appendiks []. Figur 3. Geometrisk metode Det ses ved dette studie (Tabel 3), at i modsætning til geometrisk metode, hvor udbøjningen var for lille i forhold til den eksakte værdi, er den nu for stor, men når antallet af elementer forøges, nærmer den sig den eksakte værdi. Dette er en god egenskab i en konstruktionsfase, da man er sikker på at være på den rigtige side af sikkerhedsfaktoren, ved lav element inddeling. 3

33 Tabel 3. Resultater for geometrisk metode Antal elementer (Antal element) -½ ( x akse ) Uy [mm] Den forrige maksimale udbøjning [mm] Analyse af bærende konstruktioner Afvigelse (y akse) *,367766, , *3, , , *3,5955 3, , *, , ,88, *5, , , *6,5768 3,895777, Den øverste linje i Figur 33 viser konvergensraten for geometrisk metode. Det ses, at konvergensraten er betydeligt lavere end ved geometrisk metode. Konvergensraten er på niveau med et simpelt CST element, hvilket betyder, at man ikke får fordel af de mange punkter Q9 elementet indeholder, og derfor er geometrisk metode ikke anvendeligt. Konvergensrate geometrisk metode,e+ Relativ nedbøjning,e-,e-,e-3,e-,e-5,e-6 Geo. met. Geo. met. y,955x, y,x Tendens geo. met. Tendens geo. met.,e-7,, Elementer_antal^-½ Figur 33. Konvergensrate geometrisk metode og 3.5 Sammenfatning Det fremgår af analyserne at geometrisk metode er den mest effektive metode ved konvergens studier. Derfor vil formfunktioner for denne metode anvendes videre ved senere formuleringerne og beregninger samt i elementprogrammet.

34 3.6 Tøjningsinterpolationsmatricen [B] Da formfunktionerne er udtrykt i de isoparametriske koordinater kan man ved interpolation med knudekoordinaterne og knudeflytningerne finde både koordinaterne og flytningerne for punkter der ligger inden i elementet på følgende måde: [ ][ ] [ ][ ] d v u v u og c y x y x i i i i i i i i hvor: {} [ ] {} [ ] [ ] 9 9 T 9 9 T v u... v u v u d y x... y x y x c Disse formler skal anvendes for at definere tøjningsinterpolationsmatricen [B]. [B] udtrykkes eksplicit ved at betragte definitionerne for plane tøjninger. {} x v y u v, v, u, u, v u x y y x y v x u xy y x y x xy y x y x + γ ε γ ε ε ε ε For at finde [B] i udtrykket for tøjningerne skal man have defineret Jacobi matricen [J]. [J] er et udtryk, der bliver opstillet for at finde flytningerne, men da funktionerne er udtrykt i isoparametriske koordinater og ikke umiddelbart kan udtrykkes ved x og y benyttes kædereglen, hvor Jacobi matricen netop bliver anvendt. Kædereglen indføres med den generelle funktion [ ] φ : 5

35 η φ + η φ η φ φ φ φ φ ξ φ + ξ φ ξ φ η η ξ ξ η ξ y y x x,, y, x, y, x,,, matrix fom i organiseres kan og y y x x y x Her er Jacobi [J] udtrykt som: [] η η ξ ξ η η ξ ξ i i, i i, i i, i i, y x y x y, x, y, x, J Ved indsættelse af formfunktionerne findes: [] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) η ξ ξ ξ η η ξ η η ξ y x y x y x y x y x y x y x y x y x J De afledte funktioner skrives ikke fuldt ud på grund af størrelsen af matricen. Denne matrice bliver en x matrice: [] J J J J J Herefter vender vi tilbage til kædereglen hvor man skal anvende den inverse af Jacobi matricen: [] [] φ φ φ φ η ξ y x J J J J J hvor,, J,, J hvor den inverse af [J] udtrykkes som. Determinanten af Jacobi og det generelle udtryk kan derefter opskrives: [ ] Γ 6

36 [] Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ φ φ Γ Γ Γ Γ φ φ η ξ η ξ η ξ v, v, u, u, v, v, u, u,,,,, J J J J J det y x y x y x J Da Jacobi matricen nu er defineret kan vi se på definitionen for de plane tøjninger igen. {} {} Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ ε ε η ξ η ξ v, v, u, u, v, v, u, u, y x y x Her defineres sidste led i udtrykket ved: [ ][ ] η η η ξ ξ ξ η η η ξ ξ ξ η ξ η ξ 9 9 9,,, 9,,, 9,,, 9,,, i i i i v u.. v u v u v, v, u, u, d v u v u Hvor tøjningsinterpolationsmatricen [B] er udtryk som: [ ] Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ η η η ξ ξ ξ η η η ξ ξ ξ 9,,, 9,,, 9,,, 9,,, B Herefter kan det generelle udtryk for stivhedsmatricen stilles op: [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] η ξ T T d d t B E B dx dy t B E B k J 7

37 3.7 umerisk integration Analyse af bærende konstruktioner I dette afsnit beskrives Gauss integration. umerisk integration opererer ved at evaluere funktionerne ved specifikke punkter, multiplicerer disse med en vægtningsfaktor og adderer resultaterne. Denne integrationsmetode kan skrives på den generelle form: T [ k] [ B] [ E][ B] t J Wi Wj dξ dη Her er W og W vægtningsfaktorerne for hhv. i j ξ og η. Beregning af integrationspunkter og vægte beskrives ikke nærmere her, men på Figur 3 og Tabel ses integrationspunkterne og vægtningsfaktorerne. Figur 3. Gauss integrationspunkter Tabel. Punkter og vægte for Gauss integration Order n Punkt Vægtningsfaktor ± / 3 3 ±,6 5 / 9 8 / 9 Til bedre beskrivelse af denne integration er der udarbejdet et program i Matlab, som er at finde på CD en til denne rapport, og hedder Gauss. Hele programmet er opbygget efter princippet der er gennemgået i afsnittet om tøjningsinterpolationsmatricen [B]. Alle formfunktioner får et bidrag fra det pågældende Gauss punkt. Det vil sige at første gang der bliver loopet i for løkken i Matlab programmet er det ξ, 6 og η, 6 der bliver indsat i samtlige formfunktioner. år løkken er fuldendt første gang, har man en lokal stivhedsmatrice [ke]. På denne måde fortsætter løkken og samtlige lokale stivhedsmatricer [ke] summeres op i den globale stivhedsmatrice [k] for Q9 elementet. 8

38 3.8 Underintegration Analyse af bærende konstruktioner I visse situationer kan elementmodellen blive urealistisk stiv. Det skyldes at forskydningen ikke beskrives korrekt- den såkaldte shear locking. Ved at benytte underintegration kan dette forhindres, idet de fejlagtige modes fjernes og dermed gøres elementet mindre stift. Ulempen er at elementerne i visse tilfælde bliver for fleksible og der kan optræde såkaldte spurious modes. En nærmere beskrivelse kan findes i Appendiks [3]. 3.9 Konsistente knudebelastninger I FEM sammenhæng beskrives elementer ved knudepunkterne. I den sammenhæng konverterer man også fordelte laster over knudepunkterne på elementranden. I afsnittet om VAP udledte man et udtryk for de ydre kræfter: r T T [ ] {} F dv + [ ] { Φ}dS V S I dette tilfælde har man en kraft {F} der integreres over et volumen. Dette kunne være egenvægten på et volumen. I det tilfælde hvor man har et koncentreret kraft kan den ovenfor stående ligning opdeles i komposanter: T T [ ] {} F og r [ ] { Φ}dS r S Som et eksempel kan man betragte Figur 35. Figur 35. Q9 element med fordelt last ( ) Her har man en fordelt last q q x, som er kraft per længde enhed, så trykket på siderne bliver q / t, hvor t er elementets tykkelse. Formfunktionerne for den belastede side er opskrevet tidligere i afsnittet. Dvs. formfunktionerne på den øverste rand hvor η bliver: 9

39 [ ] ( ) ( ) { } [ ] Φ ξ + ξ ξ ξ ξ 3 7 q q q t og Her læses knudekræfterne fra venstre mod højre, hvor ξ d t ds Hvis man derudover har en enkeltstående kraft i / ξ, vil denne blive fordelt på følgende måde: [ ] [ ] T / 8 3/ 3/ / 8 ξ Disse summeres op og man finder knudekræfterne: [ ] [ ] [ ] F q q q d F F F T / 5 7 T ξ ξ Ved at gange matricerne sammen og integrere over grænserne: + 3/ 8 3/ / 8 F q q q F F F Herved finder man kræfterne der skal fordeles over de respektive knuder. Hvis lasten var jævnt fordelt,, og der ingen enkeltstående kraft var, ville fordelingen over knuder være som følger: 3 7 q q q q / 3 / 3 / 3 F F F 3 7 Det samme princip anvendes hvis man havde en lodret kraft. 3

40 3. Boundary conditions Analyse af bærende konstruktioner I dette afsnit gives der et konkret eksempel på hvordan man finder flytninger og reaktioner for et Q element under en given belastningssituation. Se Figur 36. Figur 36. Q element med rand- og statisk betingelse Stivhedsmatricen for dette element kan findes i Matlab programmet som er på CD en under navnet StivhedQ. Ud fra den gennemgåede teori om konsistente knudebelastninger findes, at den jævnt fordelte belastning fordeles som.5q til hvert af knudenumrene 3 og. Det ses af figuren at flytningerne i understøtningerne vil være hvor de resterende flytninger er ubekendte. Derved kan {D} vektoren opstilles som følger: { D }???? Udover dette kan lastvektoren opstilles på samme måde. Her vides det at der vil komme reaktioner ved understøtningerne og de konsistente knudebelastninger er: { R} R V R L R V R L.5q.5q 3

41 Derved kan hele matricen opstilles på følgende måde:.5q.5q R R R R???? L V L V 8x8 stivhedsmatrice Stivhedsmatricen kan findes i Matlab programmet. Ved at anvende regneregler for matriceregning og betragte randbetingelserne kan man omarrangerer rækkerne, hvor man dermed kan beregne flytningerne ved hjælp af lasten og derefter vende tilbage og beregne reaktioner efterfølgende. Denne beregning er beskrevet og opstillet i Matlab og kan findes på CD en under navnet Qberegning, hvor denne samtidig fremgår af Figur 37. 3

42 Figur 37. Matlab program til beregning af flytningerne og reaktioner år man kører programmet kan man aflæse flytningerne og reaktionerne, hvor disse bliver:,,5,,5 { D } og { R},,5,,5,5,5 Dette resultat er forventet, da Poisson effekten giver et bidrag i x aksens retning. Det samme princip kan bruges hvis man i stedet for laster havde flytninger. Her kan man dog finde reaktionerne ved direkte multiplikation med stivhedsmatricen. 33

43 3. Sammenfatning Analyse af bærende konstruktioner Igennem FEM afsnittet har man opstillet et generelt udtryk for elementstivhedsmatricen [k] ved at anvende virtuelt arbejdes princip. Senere i afsnittet opstilledes formfunktioner for forskellige elementer hvor der samtidig er udarbejdet en konvergens studie for disse. Her fandt man, at geometrisk metode var den hurtigst konvergerende elementet og denne metode er derfor den der er anvendt igennem afsnittet. Da formfunktioner til Q9 elementet er udtrykt i isoparametriske koordinater har man ved at anvende tøjningsinterpolationsmatricen [B] samt Jacobi matricen [J] opstillet et generelt udtryk for [k]. Dette udtryk er anvendt videre i Gauss integrationspunkter, hvor der samtidig er opbygget et program i Matlab til netop denne numeriske integration. Til sidst har man beskrevet højresiden af den styrende ligning, hvor der er givet et eksempel på konsistente knudebelastninger og afslutningsvis er der givet et konkret eksempel på hvordan man finder stivhedsmatricen, flytningerne og reaktionerne for et Q element. Der er endvidere opbygget programmer i Matlab til disse beregninger, og disse er at finde på CD en. De tilhørende steder er der også henvist til programmerne igennem afsnittet. 3

44 Kompositmaterialet I dette afsnit beskrives kompositmaterialet med hensyn til de forskellige materialer dette er opbygget af, samt de mekaniske egenskaber og fremstillingsmetode som anvendes. Indledningsvis navngives de komponenter som det færdige komposit materiale er opbygget af. Herefter beskrives de enkle materialers mekaniske egenskaber, samt deres formål i komposit materialet. Ved hjælp af data fra producenten opstilles de mekaniske egenskaber. Herefter beskrives produktionsmetoden. Til sidst i afsnittet er de mekaniske egenskaber undersøgt eksperimentelt, samt en nærmere analyse af fibrenes placering. Opbygning af et komposit materiale ses på Figur 38. Opbygningen sker ved at kombinere et antal lag af glasfiber og polyester. Figur 38. Fibermateriale Et eksempel på de to materialer som anvendes, ses på Figur 39. Figur 39. Materiale typer [3] Glasfibrene som anvendes, er af typen E-glas. Disse har middel mekaniske egenskaber med hensyn til styrke og sejhed i forhold til andre typer glas, se Tabel 5. Værdierne er angivet i fibrenes længde retning. Tabel 5. E-glas mekaniske egenskaber Materiale Elasticitetsmodul [MPa] Trækstyrke [MPa] E-glas 73 Disse fibers placering og retning har afgørende betydning for det færdige materiales egenskaber. Producenten, Fiberline, oplyser at fibrene i det rektangulære profil er placeret jævnt over hele 35

45 tværsnittet og der anvendes forskellige typer væv og rovning over hele tværsnittet. De forskellige mønstre af fiber som anvendes ses på Figur og Figur henholdsvis væv og rovning. Figur. Rovingtyper[3] Figur. Måttetyper[3] Som matrixmateriale anvendes polyester. De mekaniske egenskaber fremgår af Tabel 6. Polyesters formål er at lime glasfibrene sammen. Tabel 6. Polyesters mekaniske egenskaber Materiale Elasticitetsmodul [MPa] Trækstyrke [MPa] Polyester Profilet fra Fiberline har følgende mekaniske egenskaber Tabel 7. Da dette materiale er anisotropt er egenskaberne angivet i x og y retning. Det antages at y og z retningen har samme mekaniske egenskaber. Materiale Tabel 7: Producentens oplysninger om materiale data. Elasticitetsmodul Brudstyrke G-modul [MPa] [MPa] [MPa] Poissons forhold X retning 3/8 3,3 Y retning ,9 Det rektangulære profil fremstilles ved pultrudering og har den fordel at denne proces er kontinuerlig. Dette giver mulighed for, at producere lange profiler med ensartet profilkvalitet. Denne produktionsmetode ses på Figur. Fremstillingen forgår ved at føre forstærkningsfiber gennem et imprægneringsbad med flydende polymer, i dette tilfælde anvendes polyester som matrix. Efter imprægneringen føres emnet igennem et opvarmet formgivningsværktøj. Dette 36

46 bestemmer profilets geometri. Herefter trækkes profilet igennem hærdezonen, hvorefter bjælken kan saves i de ønskede længder. Figur. Produktions metode for det rektangulære profil [3]. Eksperimentel bestemmelse af de mekaniske egenskaber I dette afsnit bestemmes de mekaniske egenskaber i kompositmaterialet eksperimentelt. Egenskaberne bliver bestemt i to retninger, langs bjælken og på tværs af bjælken. For at give et overblik over forsøgene er de listet herunder. Bøjningsforsøg i x retningen Bestemmelse af brudstyrke i x retningen Bestemmelse af Poisson forholdet i x retningen Bøjningsforsøg i y retningen Bestemmelse af brudstyrke i y retningen Bestemmelse af Poissons forhold i y retningen Placering af fiber og massefordeling. Dataene fra samtlige forsøg findes på CD en. Resultaterne ses af Tabel 8 og bjælkens koordinatsystem ses på Figur 3. 37

47 Materiale Figur 3. Illustration af bjælkeudsnit anvendt til forsøg Tabel 8. Eksperimentelle resultater af materialet Elasticitetsmodul Brudstyrke G-modul [MPa] [MPa] [MPa] Poissons forhold X retning ,7 Y retning 56/ ,89 Herefter er de udførte forsøg beskrevet... Bøjningsforsøg i x retningen I dette forsøg ønskes bøjningsstivheden bestemt i bjælkens længderetning. Forsøget udføres ved at tage et udsnit af bjælken, og påvirke denne med to enkelt kræfter som varieres med forskellige laster. Den teoretiske opstilling ses på Figur og den i praksis anvendte ses på Figur 5. På den teoretiske opstilling er den grønne linje moment kurven, hvor det skal bemærkes at der er konstant moment mellem de to kræfter. Der anvendes strain gauges til måling af tøjningerne. Disse er placeret midt på bjælken i top og bund. På Figur ses strain gauges markeret med gul. I Appendiks [] er der givet en beskrivelse af strain gauges. Figur. Den teoretiske opstilling af bøjningsforsøg i x retning 38

48 Figur 5. Bøjningsforsøg udførelse i praksis Tøjningerne måles hvorefter spændingerne beregnes, og til sidste er det mulig at finde elasticitetsmodulet. Beregningerne er som følgende: σ E ε E σ ε Momentet midt på bjælken: Afstanden fra understøtningen til den ene kraft er 9 mm. M 9 mm F Inertimoment: Bjælken er. mm bred og har en højde på 8 mm. 3 3 Iy b h mm Ud fra dette kan spændingerne beregnes: σ M Iy M z 9.6 Resultaterne fra forsøgende er på Excel arket på CD en med navnet: Bøjningsforsøg x retning. Disse ses også i Tabel 9. Hvor henholdsvis E er beregnet med tøjning fra oversiden og E er det for undersiden. Tabel 9. Resultater fra bøjningsforsøg Kraft [] M [mm] σ [Ν/mm] ε - ε - E [/mm] E [/mm] 9,89 99,88, -,65, ,9 885,5 8,37-3,8, ,, 8, -6,799 6, , 866,73 38,8 -,6 3, Gennemsnit af de 8 forskellige elasticitetsmodul 6986 Ud fra forsøgende fås det gennemsnitlig elasticitetsmodul til 6986 MPa. 39

49 .. Bestemmelse af brudstyrke i x retningen Trækforsøg med et udsnit i x retningen af profilet. Emnerne bliver belastet til brud. Trækhastigheden er mm/min. Dette giver følgende resultater: Tabel. Brudstyrke forsøgs resultater Forsøgsnummer Spænding [MPa] Gennemsnittet 6 Analyse af bærende konstruktioner Ved udførelse af forsøget blev det bemærket at emnerne ikke bryder i 5 grader i forhold til trækretningen. I stedet splittes emnerne langs fibrene. Dette tolkes som at matrix materialet bryder, for hvilket gør at glasfibrene ikke har noget at binde sig til. Forsøgsemnerne ses på Figur 6 og Figur 7, bemærk den specielle måde disse bryder på hvor fibrene er splittet på langs. Figur 6. Forsøgsemner efter brud se for fra

50 Figur 7. Forsøgsemner efter brud se fra siden..3 Bestemmelse af Poisson forholdet i x retningen Til at bestemme Poisson forholdet i x retningen, anvendes et trækforsøg hvor der er monteret strain gauges i træk retningen og vinkelret på denne. Herved bestemmes Poisson forholdet. Forsøgsopstillingen ses på Figur 8. Figur 8. Trækforsøgs opstilling til måling af Poissons forhold i x retningen Der udføres 5 forsøg, hvor der ud fra disse opstilles en graf til hvert forsøg med Poisson i y aksen og tiden ud af x aksen, hvor kraften stiger med tiden. Dette gøres for at få et overblik over resultaterne og et overblik over om der er målestøj på dataene, for hvilket dette ikke skal indgå i beregningen af Poisson forholdet. De værdier som ikke ønskes anvendt kommer fra støj, som fx kommer ved opsætning af forsøget osv.

51 Beregning udføres som følgende: Analyse af bærende konstruktioner ε ν ε Tvær Længde ε Tvær er tøjningen vinkelret på kraftretningen ε er tøjningen langs kraftretningen Længde Forsøg,5, Poisson x,3,, 6 8 Tid [sek.] Figur 9. Graf af forsøg med Poissons i x retningen Ud fra kurven ses et stabil måleresultat, derfor anvendes alle dataene til beregningen af Poisson forholdet. Gennemsnittet af Poissons forhold for forsøg er,76. Forsøg,5, Poisson x,3,, 5 5 Tid [sek.] Figur 5. Graf af forsøg med Poissons i x retningen Kurven for forsøg er ustabil i intervallet fra til 3 sek. Denne del anvendes ikke til beregningen af Poisson forholdet. Gennemsnittet af Poissons forhold for forsøg er,69.

52 Forsøg 3,5, Poisson x,3,, 3 Tid [sek.] Figur 5. Graf af forsøg 3 med Poissons i x retningen Forsøg 3 er ustabil fra til 5 sek. Denne del anvendes ikke til beregningen af Poisson forholdet. Gennemsnit for Poissons forhold for forsøg 3 er,68. Forsøg,8 Poisson x,6,, 3 Tid [sek.] Figur 5. Graf af forsøg med Poissons i x retningen Forsøg er ustabil fra til 6 sek. Denne del anvendes ikke til beregningen af Poisson forholdet. Gennemsnit for Poissons forhold for forsøg er,73. 3

53 Forsøg 5,5, Poission x,3,, 3 Tid [sek.] Figur 53. Graf af forsøg 5 med Poissons i x retningen Forsøg 5 er ustabil fra til 36 sek. Denne del anvendes ikke til beregningen af Poisson forholdet. Gennemsnit for Poissons forhold for forsøg 5 er,7. Der tages gennemsnit af de 5 forsøg, hvilket giver et Poissons forhold på,7

54 .. Bestemmelse af elasticitetsmodul for træk og bøjning i y retningen Til bestemmelse af elasticitetsmodulet i y retningen, anvendes et snit af profilet. Denne påvirkes med en enkelt kraft. Opstillingen ses på Figur 5 og Figur 55. Bemærk placeringen af strain gauges på siden af forsøgsemnet. Figur 5. Teoretisk forsøgsopstilling af bøjningsforsøg i y retningen Figur 55. Praktisk forsøgsopstilling af bøjningsforsøg i y retningen Beregningen udføres som følgende: Til at beregne momenterne på siden af emnet anvendes Matlab programmet Trusslab (Bjælketeorien). Midterlinjen anvendes til bjælke dimensionerne, så størrelsen af profilet bliver 9x9mm. Det statiske system ses på Figur 56. 5

55 Figur 56. Statiske system af bøjningsforsøg i y retningen Det statiske system påsættes en kraft på 5 hvor momentet i sideflangerne findes til 9 mm i Trusslab. Ved omskrivning kan momentet bestemmes ved en vilkårlig last: 5 X 9mm X 5.8mm Herved kan den påsatte kraft ganges med 5.8mm og herved beregnes momentet der fremkommer i siderne af emnet. Beregning af normalspændingen udføres på følgende måde: σ ormal F / A F kraftpåvirkning A Areal af tværsnittet Tøjningerne der kommer i siderne, ses på Figur 57. Her ses det at der kommer et tøjningsbidrag fra bøjning og fra normalkraften. Ved at lægge disse to tøjninger sammen fås den samlede tøjning, her skal det bemærkes at tøjningerne på yderside og indersiden ikke er identisk. 6

56 Tøjningen fra normalkraften: Figur 57. Illustration af tøjninger fra bøjning og normalkraft ε ormal ε I + ε y ε I relativ forlængelse af indersiden af profilet. ε relativ forlængelse af ydersiden af profilet. y Elasticitetsmodulet fra rent træk: E træk σ ε ormal ormal Tøjning fra bøjning: ε bøjning ε Ydre ε ormal Spænding fra bøjning: σ bøjning F 5,8 Z I y Elasticitetsmodulet fra ren bøjning: E bøjning σ ε bøjning bøjning 7

57 Disse beregninger indsættes i Excel sammen med forsøgsresultaterne og kurven som fremkommer ses på Figur 58. De første 3 kurver på Figur 58 viser E-modul for hhv. inderside (I), yderside (Y) og normalkraften for venstre side af bøjningsforsøget. De 3 sidste angiver højresiden. Figur 58. Graf af forsøgsresultater På grafen ses en forskel i elasticitetsmodul mellem højre og venstre side. Disse resultater er ikke tilfredsstillende i forhold til det forventede. Det var også forventet, at elasticitetsmodulet fra bøjning er mindre end det fra træk, men dette er ikke tilfældet. Der observeres også en forskel i elasticitetsmodul for ren træk, hvilket heller ikke er forventet. Årsagen til denne fejl skyldes, at det var forventet at de lodrette sider ville deformere med en bueform, for hvilket vil svare til at siderne har ens stivhed. Dette er ikke tilfældet i det aktuelle forsøg. Det ses at deformationerne af de lodrette sider har et knæk, altså et lille område, hvor næsten hele vinkeldrejningen sker. Dette område virker som et charniere/flydeled på den statiske model. Dette bevirker, at der ved beregningsmodellen skal tages højde for dette. Virkningen af dette led er, at der kommer mindre moment i de lodrette sider. De to forskellige statiske modeller fremgår af Figur 59. Figur 59. Sammenligning af to statiske modeller Årsagen til flydeledene er, inhomogen fordeling af glasfibre og matrixmateriale. Dette behandles i afsnittet med analyse af fiber placeringen. 8

58 Videre bliver den korrekte statiske model bestemt. Dette gøres ved at analysere forsøgsemnets deformation i forhold til kraften. Ved forsøgets start er der, en materiale defekt i den ene side af profilet. Momenterne på top- og bundflangerne vises ikke. På Figur 6 ses den røde linje som geometri og den grønne linje er momentkurven. Figur 6. Statisk model samt momentkurve med et flydeled Deformationsfiguren fra systemet på Figur 6 ses på Figur 6. Figur 6. Deformations figur af statisk model med et flydeled Som det fremgår af Figur 6 giver materialedefekten et stort moment i modsatte side, hvilket vil bevirke et brud i denne side selv ved en lille belastning. Dette brud vil komme meget hurtigt, da der også er materiale defekter i denne side. Dette vil også give et chaniere led i denne side. Fra denne analyse fås momentkurverne på Figur 6 og deformation på Figur 63. 9

59 Deformation ses på Figur 63. Figur 6. Statisk model med dobbelt flydeled samt momentkurve Figur 63. Deformations figur af statisk model med dobbelt flydeled Som det ses på Figur 6 giver disse to defekter et mindre moment i begge sider af profilet. For at bestemme dette moment anvendes et lavt elasticitetsmodul i de to områder. Opstillingen af modellen til beregning af momentet ses på Figur 6. 5

60 Figur 6. Statisk model med forskellig elasticitetsmodul Ved at anvende denne model beregnes moment faktoren til 3. Ved at anvende samme dataserie som før, fremkommer kurven som ses på Figur 65. Som det fremgår af Figur 65 fås fordeling af elasticitetsmodulet, som forventet. Det ses, at værdierne fra rent træk er større sammenlignet med resultaterne ved bøjning. Det stemmer overens med hvad man kan forvente. Derfor vurderes det at anvendelse af denne momentfaktor, er en god tilnærmelse af det virkelige system. Der udføres 5 forsøg: Figur 65. Kurver fra forsøg Gennemsnitsværdi fra -3 giver et E-modul på 93 MPa for bøjning og 553 MPa for træk. 5

61 Figur 66. Kurver fra forsøg Gennemsnitsværdi fra -3 giver et E-modul på 959 MPa for bøjning og 563 MPa for træk. Figur 67. Kurver fra forsøg 3 Gennemsnitsværdi fra -3 giver et E-modul på 53 MPa for bøjning og 557 MPa for træk. 5

62 Figur 68. Kurver fra forsøg Gennemsnitsværdi fra -3 giver et E-modul på 57 MPa for bøjning og 569 MPa for træk. Figur 69. Kurver fra forsøg 5 Gennemsnitsværdi fra -3 giver et E-modul på 566 MPa for bøjning og 563 MPa for træk. Gennemsnitværdien fra alle forsøgende giver en bøjningsstivhed på 59 MPa og 56 MPa fra træk. 53

63 . Bestemmelse af brudstyrke i y retningen Analyse af bærende konstruktioner Dette forsøg udføres som et trækforsøg med et emne fra bjælkens y retning. Resultatet ses i Tabel. Tabel. Resultater fra brudstyrke i Y retningen Forsøg nummer Spænding [MPa] Gennemsnittet 9 På Figur 7 og Figur 7 ses billeder fra emnerne efter brud. Figur 7. Billede af brud, emnerne er udsnittet i y retningen set for fra Figur 7. Billede af brud, emnerne er udsnittet i y retningen set fra siden Af billederne ses det, at de brud som fremkommer i materialet, er ca. 5 grader på trækretningen, hvilket også er forventet. Ses der på selve bruddet kan det konstateres, at der er begrænset med fiber i trækretningen. Dette er også årsag til den lave brudstyrke. Denne har næsten samme værdi som matrix materialet. Det skal også bemærkes at fiberfordeling ikke er jævnt over tværsnittet, se afsnittet: Placering af fiber og massefordeling. 5

64 .. Bestemmelse af Poissons forhold i y retningen Analyse af bærende konstruktioner Dette forsøg udføres på samme måde som bestemmelse af Poissons forhold i x retningen. På figurerne er tiden plottet ud af x aksen og Poisson forholdet op af y aksen. Kraften emnet påvirkes med forløber som funktion af tiden. Forsøg,5, Poisson y,3,, 3 5 Tid [sek.] Figur 7. Resultat af forsøg med Poissons forhold i x retningen Kurven er ustabil fra til 5 sek. derfor anvendes denne del ikke. Poissons forhold for forsøg er,98. Forsøg,5, poisson y,3,, Tid [sek.] Figur 73. Resultat af forsøg med Poissons forhold i x retningen Kurven er ustabil fra til 75 sek. derfor anvendes denne del ikke. Poissons forhold for forsøg er,87. 55

65 Forsøg 3,5, Poisson y,3,, Tid [sek.] Figur 7. Resultat af forsøg 3 med Poissons forhold i x retningen Kurven er ustabil fra til sek. derfor anvendes denne del ikke. Poissons forhold for forsøg 3 er,88. Forsøg,5, Poisson y,3,, Tid [sek.] Figur 75. Resultat af forsøg med Poissons forhold i x retningen Kurven er ustabil fra til 75 sek. derfor anvendes denne del ikke. Poissons forhold for forsøg er,85. 56

66 Forsøg 5,5, Poisson y,3,, Tid [sek.] Figur 76. Resultat af forsøg 5 med Poissons forhold i x retningen Kurven er ustabil fra til 75 sek. samt fra 5 sek. og opefter, derfor anvendes denne del ikke. Poissons forhold for forsøg 5 er,88. Der tages et gennemsnit af de 5 forsøg hvilket giver,89. Det skal dog nævnes at der er en vis usikkerhed angående dette resultat. De usikkerheder der henvises til, ses ved at sammenligne kurverne fra hvert forsøg. Selve kurven er meget ustabil hvilket vil give en vis usikkerhed med hensyn til resultatets rigtighed... Placering af fiber og massefordeling For at finde placeringen af fiber ønskes matrix materialet fjernet. Udførelsen af dette sker ved, at opvarme emnerne til 6 grader i 3 timer, derved brændes alt matrix materialet væk. Prøverne er udsnittet som følgende: Figur 77. Udsnit af bjælken som anvendes til afbrændingsforsøg 57

67 Resultatet af forsøget: Analyse af bærende konstruktioner Tabel. Resultat af afbrændings forsøg Udsnit Vægt emne [g] Vægt efter afbrænding [g] Procent E-glas Y 3,53 7,977 59,3 % Y 3,63 7,698 58, % Y3 5,98 9,68 58,5 % Y 5,97 9,53 59,5 % Gennemsnit Y snit 58,8 % X 9,9,98 7, % X,66 8,35 7,3 % Gennemsnit X snit 7, % Forskel i procent 5, % Det er et overraskende resultat at der er 5. % masse forskel fra en x til en y prøve. Denne forskel har stor indflydelse på de mekaniske egenskaber. Derfor kan det ikke kan forventes at emnet har ens egenskaber på alle sider. Der forekommer en del uregelmæssigheder i placeringen af glasfibrene. Der kan ses et eksempel på Figur 78. De røde afmærkninger viser de steder hvor der ligger en glasfibermåtte, og de blå viser områder med stor koncentration af fiber i samme retning. I dette tilfælde går fibrene langs af bjælken. Figur 78. Y udsnit efter afbrænding På Figur 78 ses et udsnit direkte fra bjælken. Dette udsnit er identisk med det som ses på Figur 79. Her skal det bemærkes i øverste venstre hjørne af billedet ses der et område hvor måtterne har fået en fold, hvilket bevirker at denne skubber de langsgående fibre væk. Figur 79. Y udsnit før afbrænding Ud fra disse observationer kan det konkluderes at der vil være en vis usikkerhed med hensyn til mekanisk styrke på grund af disse uregelmæssigheder. 58

68 På Figur 8 og Figur 8 ses fiber fordelingen for et emne i x udsnittet. Her skal det bemærkes at der er en højere koncentration af fiber lagt i længderetningen af bjælken, disse ses markeres med blå. Figur 8. X udsnit efter afbrænding..3 Bestemmelse af G-modul Figur 8. X udsnit før afbrænding Til bestemmelse af G-modul anvendes værdier fundet fra forsøgene. Det ikke er muligt, at finde et eksakt G-modul på grund af fibrenes ujævne placering. Der estimeres et resultat ud fra fibermåtterne og matrixmaterialet. Bestemmelse af de to bidrag til G-modulet: Til massefordelingen anvendes siden hvor der er det mindste antal langsgående fiber. Materialet består af 58.8 masse procent fiber. Hvor massefylden for E-glas er 6 kg/m 3 og for polyester kg/m 3. Ved at omregne til volumen procent fås glas volumenet til 39 procent. Det vurderes at halvdelen af disse fiber bidrager til G-modulet. Så det effektive volumen er 9,5 procent. Ematrix Ematriale G +,95 ( + ν) ( + ν) G +, ( +.89) ( +.7) G-modulet fås til 3663 og vurderes til at være korrekt. 59

69

70 5 Bjælke forsøg I forbindelse med dette projekt er der foretaget forsøg. Det første forgik på AAU. Hovedformålet med dette forsøg er at fremvise Poisson/Brazier effekter. Det andet forsøg forgik på AAUE. Hovedformålet med dette forsøg er, at se om stivheden på bjælken er afhængig af, hvordan bjælken vender. Resultaterne fra forsøgene sammenlignes med ASYS i et senere afsnit. 5. Forsøg AAU Højre side af forsøgsopstillingen på AAU ses i Figur 8. Figur 8. Forsøgsopstilling Hovedformålet med dette forsøg er at fremvise Poisson/Brazier effekter. Til dette benyttes strain gauge -5 (røde cirkler på Figur 8 og Figur 83). Disse kan påvise ændringer i bjælke tværsnittet. En beskrivelse af strain gauge kan ses på Appendiks [], og data fra forsøgsopstilling fra AAU og graferne fra disse er på Excel arkene på CD en med navnene: Forsøg AAU og Tøjning AAU. Figur 83. Placering af strain gauge og flytningsmålere 6

71 Tøjningskurve Kraft [k] Top: Straingauge 5 Bund: Straingauge 3 Side : Straingauge Side : Straingauge [k] 78 [k] Tøjning [ ] Figur 8. Strain gauge -5 Hvis man ser på situationen ved en kraftpåvirkning der angives af den nederste røde streg på Figur 8, kan bjælke tværsnittet betragtes som i Figur 85A, hvor væggene er rette og top og bund er krumme (Poisson delen). Herefter begynder Brazier effekten, at få indflydelse. år kraftpåvirkningen når niveauet angivet ved den øverste røde linje på Figur 8, har Brazier effekten, fået en størrelse hvor den er i stand til at rette den øverste flade op (se Figur 85B). Efterfølgende begynder tværsnittet at antage form som vist i Figur 85C. Umiddelbar efter belastning med 8 k kollapser bjælken. Figur 85. Viser fremvise Poisson/Brazier Poisson og Brazier effekten forsøges eftervist ved at benytte flytningsmåler.5. (Grønne cirkler på Figur 8 og Figur 83). Data og grafer for denne er også på CD en og hedder Flytning AAU. 6

72 Flytning Kraft [k] 5 3 Flytningsmåler.5 Teoretisk ret Poly. (Flytningsmåler.5) y -,x -,33x -, Flytning [mm] Figur 86. Graf fra flytningsmåler.5 Den sorte linje på Figur 86 viser flytningen der fremkommer når kraften bliver påført. Den røde linje, der ses på Figur 86 er en best fit kurve for flytningerne. Det ses, at den ulineære del af udbøjningen er, x. Den grønne linje viser, hvordan flytningen ville være i en fuldstændig elastisk bjælke, uden deformationer fra Poisson og Brazier. Forskellen mellem de målte flytninger og den lineær elastiske er et bidrag fra Poisson og Brazier. 6

73 5. Forsøg AAUE Analyse af bærende konstruktioner Den primære formål med dette forsøg er, at bestemme forskellen på den stærke og svage side af bjælken, forsøgsopstillingen ses på Figur 87 og Figur 88. Figur 87 Forsøgsopstilling Figur 88. Placering af flytningsmåler Først blev bjælken placeret på den svage led. Her blev foretaget forsøg, hvor lasten kom op på ca. k, hvorefter bjælken blev aflastet. Denne procedure blev gentaget på den stærke led. Resultatet ses på grafen i Figur 89 og Figur 9. Dataene findes på CD en og hedder Bøjning AAUE. 63

74 Bøjningsforsøg stærk akse 5 Kraft [k] 5 Stærk akse Stærk akse Stærk akse 3 Stærk akse Flytninger [mm] Figur 89. Stivheden på bjælken stærk akse Bøjningsforsøg svag akse 5 Kraft [k] 5 Svag akse Svag akse Svag akse 3 Svag akse Flytning [mm] Figur 9. Stivheden på bjælken svag akse Det ses, at to af værdierne, stærk akse og svag akse, er atypiske. Disse bliver derfor ikke anvendt. Hældningen på linjerne repræsenterer stivheden for bjælken. Gennemsnitshældningen for den svage og stærke retning er henholdsvis,8 og,39, det vil sige, at den stærke side er 7,7% stivere end den svage side. 6

75

76 6 ASYS I dette afsnit analyseres samme forsøgsopstilling der blev beskrevet i det foregående afsnit. Her anvendes resultater fra afsnittet Kompositmaterialet hvor elasticitetsmodulet og Poisson forholdet igennem en række forsøg blev bestemt. Først i afsnittet beskrives hvilket elementtype der er anvendt, hvilke egenskaber denne har og hvordan denne er modelleret i ASYS. Herefter beskrives hvilke opsætningerne der er anvendt til, at kører en ikke lineær analyse hvor der afslutningsvis kommenteres på resultaterne fra analysen. Forventningerne til analyserne er, at kunne fremvise Poisson og Brazier effekterne for derefter at sammenligne disse med data fra de udførte forsøg på AAU og AAUE. 6. Skalmodel Elementtypen der er anvendt i ASYS er Shell9: 8-node nonlinear layered structural shell. Denne elementtype bliver brugt da denne har ikke lineær og store tøjningskapabiliteter. Her er der også mulighed for at definere op til layers. I det rektangulære profil fra Fiberline er der 3 layer de yderste er ens og består af vævede måtter, se afsnit Kompositmateriale, og i midten har man fibrene i bjælkens længderetning. Se Figur 9. Figur 9. Layered model i ASYS med 3 layer Ved anvendelsen af skalelementer skal man være opmærksom på, at de lokale koordinatsystemer for elementerne ikke er de samme som det globale koordinatsystem. I det lokale koordinatsystem gælder højrehåndsreglen, hvor x og y akserne er plane med elementet og z aksen er normalen til planet. I lgw-filen der er at finde på CD en med navnet: Layered skalmodel kan man læse hvordan de lokale og globale akser er defineret i forhold til hinanden. En illustration af dette fra ASYS fremgår af Figur 9. 65

77 Figur 9. Orientering af lokale akser Det ses her at den lokale y akse er den globale z akse. Den lokale og globale x akse er ens. Dette gælder for top- og bundflangerne. Koordinaterne bliver anderledes på sideflangerne. Derfor skal man være opmærksom på akserne når man senere skal måle tøjningerne i ASYS. I analyserne fra de forrige afsnit så man at fibrene i det rektangulære profil ikke var jævnt fordelt over tværsnittet. Se Figur 93. Figur 93. Illustration af fibrenes fordeling over tværsnittet Dette bevirker at stivheden i de forskellige retninger ikke er ens. I ASYS har man givet de yderste layer en tykkelse på mm hver og den midterste layer en tykkelse på mm. Dette vil i de efterfølgende analyser ikke give et korrekt resultat, men da tværsnittet ikke kan modelleres helt nøjagtigt angives en middelværdi af de målte tykkelser på tværsnittet. 66

78 6. Opsætninger Analyse af bærende konstruktioner For at kunne se hele opsætningen i ASYS modellen henvises til lgw filen. Her beskrives hvilke overvejelser og opsætningerne der er gjort og anvendt for at kører en ikke lineær analyse. Som beskrevet før har man anvendt Shell9. De første forberedelser er at få modelleret profilet, sætte understøtninger og laster på og meshe det. Herefter skal ASYS opsættes til, at køre en ikke lineær analyse og samtidig angive hvilke parameter den skal analysere efter. Herunder følger nogle punkter hvorigennem man kommer frem til menuen hvori man opsætter ASYS:. Menuen Solution vælges a. Analysis type vælges b. Sol n Controls vælges Herefter kommer vinduet frem som ses på Figur 9. Figur 9. Vindue til ikke lineær opsætning 67

79 På Figur 9 ses det at Large Displacement Static er valgt som analyse type. Det er i denne opsætning man vælger at analysen skal være ikke lineær. Antallet af substeps er sat til. I ASYS vælger man et x antal substeps som lasten deles op i. Det er ikke altid alle substeps bliver anvendt. Det kan godt ske at analysen konvergere allerede efter. Hvis eller når dette er tilfældet korrigerer ASYS lasten så lasten ikke bliver delt i men blot substeps. Derudover kan man vælger imellem hvilke eller hvor mange substeps man vil have plottet ud. I dette tilfælde vælges denne til at udskrive samtlige substeps. I det næste vindue, Sol n Controls, vælges menuen onlinear, hvor man heri vælger at inkluderer tøjningseffekterne. I det sidste vindue, Advanced L, vælger man aktivere Arc-lengh metoden. Denne metode er den foretrukne metode i ikke lineære analyse. For at kunne forklare denne metode bedre beskrives i første omgang ewton-raphson metoden, der samtidig er standard opsætningen i ASYS. Med udgangs punkt i formlen for det lineære system, ses der nu på et ikke lineær problem. Ved det lineære teori er stivheden konstant, dette er ikke gældende for et ikke lineær system. Ved at indsætte en variable stivhed af flytningerne fås følgende formel: [ x] { ΔD} { ΔR} k T Hvor k T er den tangentielle stivhedsmatrice. I formlen ses at stivheden, k, er afhængig af flytningerne, x, efter flydegrænsen passeres. Dette ses også af Figur 95 som viser den anvendte kraft til givet flytning. Bemærk hvordan en kraft ændring ikke give samme flytning igennem kurveforløbet. Figur 95. Kurve for et ikke lineær system Som det ses af Figur 95 vil stivheden ændres sig. For at ASYS skal kunne løse stivhedsændringen, skal den udføre iterationer. Ved denne metode opdeles kurven i flere lineære stykker. Til dette anvendes ewton-raphson metoden som fremgår af Figur

80 Figur 96. ewton-raphson metoden ved ikke lineær analyse På Figur 96 ses anvendelsen ewton-raphson metoden, fremgangsmetoden for beregningsmetoden er som følgende: Der trækkes en tangent fra origo op til F a, som er den påførte kraft Fra skæringen mellem tangenten og F a føres en lodret linie ned til den røde kurve. Fra skæring mellem den lodrette linie og den røde kurve trækkes en ny tangent på samme måde som beskrevet før. Iterationerne fortsættes til forskellen mellem F a og F x er tilpas lille. Denne metode er dog ikke tilstrækkelig hvis kurveforløbet ikke er som vist på Figur 95. I de tilfælde hvor kurveforløbet er som illustreret på Figur 97 kan ewton-raphson metoden ikke altid konvergere. 69

81 Figur 97. Illustration af ikke lineær flytninger I disse tilfælde anvendes arc-lengh metoden da denne er mindre følsom over for de krumninger der forekommer i kurveforløbene. Arc-lengh metoden anvender også tangentielle stivhedsmatricer ligesom ved ewton-raphson metoden. Arc-lengh gør dog det, at den søger i en lille cirkel omkring det substep den er nået til og udfører ligevægtsiterationer indtil det indre og ydre arbejde er lig hinanden. år den finder en ligevægtssituation fortsætter den på samme måde indtil den er konvergeret. Da krumningerne på det rektangulære profil, pga. Poisson og Brazier effekterne, også vil forløbe som vist på Figur 97 anvendes arc-lengh metoden til ASYS modellen. Efter disse opsætninger køres analysen. 7

82 6.3 Resultater Analyse af bærende konstruktioner Det ses af resultaterne at ASYS konvergere allerede efter substeps selvom denne sættes til og med et globalt mesh på. Poisson og Brazier effekterne og skalering af disse fremgår af Figur 98. Figur 98. Poisson og Brazier effekter fra ASYS med forskellige substep og scale Som det fremgår af Figur 98 er Poisson effekten meget lille. Skalaen her er meget høj. Efter første substep ses det at Poisson effekter aftager meget hurtig og Brazier effekten bliver mere og mere dominerende. På topflangen mellem substep og 7 fremgår det, at der er en blanding af både Poisson og Brazier. Som deformationer bliver større og større fremtræder Brazier effekten tydeligere og ved substep har man kun en skaleringsfaktor på 5 for at se tydelige effekter fra Brazier. Poisson og Brazier effekterne ses også ved et plot af flytninger i top- og bundflangerne samt sideflangen i midten af profilet. På Figur 99 er det illustreret i hvilke punkter der måles på i ASYS. 7

83 Figur 99. Illustration af punkter hvor flytninger måles På Figur til Figur ses de lokale flytninger. år man plotter grafer i ASYS skal man være opmærksom på at ASYS plotter en tid på i stedet for kræfterne der er anvendt i de pågældende substeps. Dette er en standard opsætning i ASYS. Det er ikke lykkedes at plotte værdien af kræfterne. Men det er muligt at liste hvilken tid der tilhører den enkelte substep og den dertilhørende flytning. De pågældende tider fra ASYS multiplicerer man med 8 k og finder de respektive kræfter. Disse værdier er taget fra ASYS og plottet i et Excel regneark som fremgår af Figur til Figur og er samtidig på CD en med navnet Flytningsgrafer og tøjninger med kraft. Topflange Kraft [] 5 3 Lokal flytning -,8 -,6 -, -,, Flytning Uy [mm] Figur. Flytninger lokalt i topflange 7

84 Bundflange Kraft [] ,5 Flytning Uy [mm] Lokal flytning Figur. Flytninger lokalt i bundflange Sideflange Kraft [] Lokal lytning,,,3,,5,6 Flytning Ux [mm] Figur. Flytninger lokalt i sideflange Ved flytningsgrafen for topflangen ser man et ganske svagt Poisson effekt. Dette stemmer overens med deformationer og skaleringerne der er vist i de første substeps på Figur 98. På sideflangen ses det at flytningerne kun sker i den positive x retning og flytningerne på bundflangen sker kun i den positive y retning. Disse stemmer overens med de forventede resultater både fra teorien og fra deformationsfigurerne. 73

85 6. Sammenligning af data Analyse af bærende konstruktioner I dette afsnit sammenlignes flytninger og tøjninger fra forsøg på AAU med værdierne fra ASYS hvorefter eventuelle afvigelser kommenteres. Samtlige værdier fra både forsøg og ASYS er på Excel regnearket der er på CD en under navnet Flytningsgrafer og tøjninger med kraft. På Figur 3 er de globale nedbøjninger fra forsøg og ASYS vist. Global flytning Uy top Kraft [] 5 ASYS Forsøg Flytning Uy [mm] Figur 3. Global flytning på midten af profilet Den maksimale nedbøjning fra forsøget er målt til -69,53 mm hvor dette i ASYS er fundet til -9,6 mm. Dette giver en afvigelse på: ( 9,6 69,53) mm,93% 9,6mm Ud fra Figur 3 og afvigelsen ses det at ASYS modellen er mindre stiv end profilet. Dette kan skyldes at der er en stor koncentration af fibre i top- og bundflangerne ved forsøget hvilket bevirker at bjælken får en mindre nedbøjning. På Figur til Figur 6 ses tøjningerne på midten af flangerne. Det bør bemærkes at tøjningerne er valgt i de lokale koordinatsystemer for elementerne. 7

86 Topflange Kraft [] ASYS Forsøg ASYS E -,5 -, -,5,5, Tøjning [µ] Figur. Tøjninger i topflangen Bundflange Kraft [] ASYS Forsøg ASYS E -,8 -,6 -, -, Tøjning [µ] Figur 5. Tøjninger i bundflangen 75

87 Sideflange Kraft [] ASYS Forsøg ASYS E,5,,5, Tøjning [µ] Figur 6. Tøjninger i sideflangen Det ses af Figur til Figur 6 at formen af tøjningerne sker i overensstemmelse med Poisson og Brazier effekterne. På samtlige figurer ses det at modellen i ASYS er mindre stiv end profilet og derved fås både større tøjninger og flytninger. De gule kurver er en procentvis tilnærmelse ud fra afvigelsen af nedbøjningerne. Forholdet mellem nedbøjningerne fra ASYS og forsøget er,33. Dette forhold ganges på stivheden i lgw filen. Da profilet ikke er lineær elastisk vil denne beregning kun give en tilnærmet resultat. Den nye E-modul kaldes E på graferne. Den nye udbøjning i ASYS bliver da 7,39mm, hvilket også var forventet. De nye grafer med ændrede stivheder giver tøjninger der stemmer bedre overens med graferne fra forsøget. Der er dog stadig nogle afvigelser. 6.5 Afvigelser Afvigelserne kan skyldes flere faktorer: Måleusikkerheder ved bestemmelse af materialedata Måleusikkerheder ved udstyret fra forsøgene Inhomogen profil I afsnittet Kompositmaterialet så man hvordan inhomogeniteten i profilet influerede på resultaterne. Forsøgsemnerne til materialebestemmelse er taget over hele profilets længde. Og netop pga. inhomogeniteten kan stivhederne være anderledes i forskellige punkter/udsnit på profilet. Disse forhold har gjort det vanskeligt at bestemme nøjagtige værdier for elasticitetsmodulet. 76

88 Bjælkens forskellige stivheder er også vist i afsnittet Bjælke forsøg hvor man ved en bøjningsforsøg observerede at der var ca. 7 % afvigelse på flangerne. Det fremgår også af forsøgsdataene at tøjningerne ikke er ens i sideflangerne, hvilket ikke er tilfældet på ASYS modellen. ASYS modellen er homogen og stivheden varierer ikke i forskellige udsnit. I afsnittet Bjælke forsøg er det vist hvor mange forskellige måleudstyr der blev anvendt ved forsøget på AAU. På måleudstyret er der altid en lille måleusikkerhed. Derudover kan der have været noget elektronisk støj, løse ledningerne, defekte strain gauges, osv. Alle disse faktorer kan have haft indflydelse på dataene. Derved kan det ligeledes være at graferne fra forsøget har nogle afvigelser. 77

89

90 7 Konklusion For at bestemme de mekaniske egenskaber udføres der forsøg med udsnit fra bjælken. Ud fra disse bliver de mekaniske egenskaber fundet. Der er en vis usikkerhed om rigtigheden af visse forsøg da der forekommer stor spredning i dataene fra nogle af forsøgende. Her kan der stilles spørgsmål til rigtigheden af resultaterne. Der er flere årsager til usikkerhederne i resultaterne. Årsager kunne være udstyr der er defekt, mangel på udstyr, forældet udstyr osv. En af de væsentlige mangler er, at trækprøvemaskinen har en defekt, som gør at det ikke er mulig at måle tøjningerne af et prøveemne. Det bevirker endvidere at elasticitetsmodulet ikke kan findes ved et trækforsøg. En fejlkilde i forbindelse med prøveemnet er, at emnerne er så bløde at kæberne vil mase sig ind i overfladen. Dette er grunden til, at der ikke bliver set nærmere på brudmåden i de emner som bliver udsat for rent træk. Dette understøttes også af de uens brud der kommer, samt tendensen til, at der sker brud omkring kæberne som holder emnet. Det havde været en fordel at snitte prøveemnerne ud som traditionelle kødben formet emner, men dette har ikke været mulig da der ikke er udstyr til rådighed til bearbejdning i kompositmaterialer. Et andet forsøg med visse usikkerheder er forsøget hvor elasticitetsmodul på tværs af bjælken ønskes bestemt. Årsagen er en uensartet fordeling af fibrene som bevirker, at den statiske model er svær at bestemme korrekt. Derfor stilles der spørgsmålstegn ved rigtigheden af disse resultater. Man kunne med fordel have understøttet denne undersøgelse med en anden forsøgsopstilling, dog ikke gjort i dette projekt. Elasticitetsmodulet i bjælkens længderetning menes at være bestemt rimelig korrekt, dog ville det være ønskelig også at kunne finde værdierne for rent træk, på grund af de komplikationer der tidligere er nævnt. Bestemmelse af Poissons forholdende giver et godt resultat. De usikkerheder som fremkommer under forsøgende er ikke større end det kan skyldes den normale støj som kommer under sådanne forsøg. G-modulet bliver bestemt ved at beregne denne som det bidrag for den procentvise fordeling af fiber typerne og matrixmateriale. Beliggenheden af fibrene bliver fundet ved at fjerne matrixmaterialet. Dette gøres ved at brænde matrixen væk. Resultater af dette viser tydelig en uensartet fordeling af fibrene samt en masse forskel på 5. % mellem flangesiderne. Det må konkluderes at materialeegenskaberne er vanskelige at bestemme korrekt. En af de helt store forhindringer, er kombination af høj styrke og en blød overflade som vanskeliggør opspænding af emnet. Følgende materiale egenskaber er fundet: Tabel 3. Materiale data Elasticitetsmodul Brudstyrke [MPa] [MPa] Materiale G-modul Poissons [MPa] forhold X retning ,7 Y retning 56/ ,89 Der bliver udført forsøg med bjælken på AAU og AAUE. Disse forsøg anvendes til at finde nedbøjningen ved en aktuel kraft, som senere anvendes til sammenligning med de i ASYS fundne. I forsøgende vil de effekter som følge af store deformationer blive opsamlet ved hjælp af strain gauge. I forsøgende ses Poisson og Brazier effekterne. Dette ses ved at følge den grønne linje på Figur 7, hvor denne viser tøjningen på oversiden af bjælken. Kurven starter med at vokse til højre, hvilket skylles Poisson. Efter en tilpas stor kraftpåvirkning begynder kurven at gå mod venstre, hvilket skyldes Brazier effekten, som bliver dominerende. Dette ændrer fortegnet på tilvæksten af tøjninger i oversiden. 78

91 Tøjningskurve Kraft [k] Top: Straingauge 5 Bund: Straingauge 3 Side : Straingauge Side : Straingauge [k] 78 [k] Tøjning [ ] Figur 7. Tøjninger i bjælken Ved materialeundersøgelse bliver det bemærket at fibrene ikke er jævnt fordelt over tværsnittet, hvor det vurderes at bjælken har en stærk og svag akse. Ved nedbøjningsforsøg findes denne fordelings betydning. Resultaterne for bøjning om de to akser ses på Figur 8 og Figur 9. 79

92 Bøjningsforsøg stærk akse 5 Kraft [k] 5 Stærk akse Stærk akse Stærk akse 3 Stærk akse Flytninger [mm] Figur 8. edbøjningerne fra bjælkeforsøg stærk akse Bøjningsforsøg svag akse 5 Kraft [k] 5 Svag akse Svag akse Svag akse 3 Svag akse Flytning [mm] Figur 9. edbøjningerne fra bjælkeforsøg svag akse Ved at sammenligne resultaterne ses det at hældningskoefficienten ikke er ens for den svage og den stærke akse, hvilket betyder at disse to akser ikke har samme koncentration af fiber, må være 8

93 korrekt, hvilket også er understøttet af resultaterne fra fiber massefordelingen fundet ved afbrændingsforsøget. Under forsøgende kan det også konkluders at bjælkens styrke er tidsafhængig, hvilket giver bjælken anisotrope egenskaber. Resultaterne for den globale nedbøjning ved beregning i ASYS og et gennemsnit for forsøgende ses på Figur. Det ses at bjælken har mindre nedbøjning i forsøgende end ved beregning, hvilket kan skydes de usikkerheder som kommer fra bestemmelse af materiale egenskaberne samt at disse nedbøjningsforsøg er fortaget om den stærke akse. Hvis nedbøjningsforsøget var fortaget om den svage akse ville kurverne have ligget tættere på hinanden. Global flytning Uy top Kraft [] 5 ASYS Forsøg Flytning Uy [mm] Figur. Global flytning Såfremt man anvender de mekaniske egenskaber, der er fundet ved forsøg i denne rapport, kan man forvente at få en beregnet nedbøjning der er større end den virkelige. Dette må være acceptabelt til fx brobygning. Hvis man til gengæld vil anvende de mekaniske egenskaber til beregning af vindmøllevinger vil der være risiko for overdimensionering af vingerne. Derfor vil det være en fordel at fortage en nærmere undersøgelse af de mekaniske egenskaber. Hovedformålet med projektet var at fremvise Brazier effekten. I forsøgene på AAU og AAUE var der ikke synlige effekter af hverken Poisson eller Brazier effekterne. Ved nærmere undersøgelse med data fra strain gauges og analyser i ASYS så man tydelige effekter. Det ses af analyserne at Poisson effekten aftager meget hurtig og Brazier effekten bliver dominerende. Dette fremgår samtidig af flytninger og tøjninger på topflangen af profilet, jf. Figur og Figur. 8

94 Topflange Kraft [] Lokal flytning -,8 -,6 -, -,, Flytning Uy [mm] Figur. Flytninger målt på ASYS modellen Topflange Kraft [] ASYS Forsøg ASYS E -,5 -, -,5,5, Tøjning [µ] Figur. Tøjninger målt fra forsøg Et andet formål med rapporten er, at opstille en analytisk beregning af bjælkenedbøjningen og Brazier effekten. Dette er dog ikke med i rapporten, da tiden til dette ikke var til rådighed. 8

95 Litteraturhenvisning Igennem projekter er følgende kilder anvendt: Analyse af bærende konstruktioner [] [] Ikke-lineær analyse på bjælkeprofil, tidligere 7. semester rapport fra AAUE 7 af: Stefan Marx, Stefan Kristensen, Daniel Virgilsen og Søren Leth [3] Plast teknologi af Erhvervsskolernes forlag. udgave. oplæg, ISB:

96 Appendiks []: Formfunktioner I dette appendiks beskrives først formfunktioner for både et Q8 og et Q9 element, både ved den geometriske metode og A-metoden, hvor Q9 elementets formfunktioner ved den geometriske metode beskrives på forskellige måder. Herefter udføres konvergens studier for Q9 elementet på alle 3 metoder og sammenlignes. Der udføres ikke konvergensstudie for Q8 elementet men denne bruges blot som en indledning til beskrivelse af Q9 elementet. Formfunktioner Q8 geometrisk metode På Figur ses et Q8 element hvor alle linjer der ikke går igennem knude er optrukket med røde linjer. Knudenummerering er på samme måde som angivet i rapporten. Figur. Q8 med geometrisk metode Man opstiller forskrifter for alle linjer og starter her med formfunktionen for knude ( ). Linjestykket (5-8) findes ved den rette linjes ligning: L : η + ξ + De to øvrige linjestykker (-6-3) og (-7-) er: L : ξ L 3 : η I

97 Det generelle udtryk opstilles ved: Analyse af bærende konstruktioner i c L L... L m Herefter bliver formfunktionen: c ( η + ξ + ) ( ξ )( η ) (, ) c ( + ) ( ) ( ) c ( η + ξ + ) ( ξ )( η ) På samme måde fortsætter man for samtlige knuder, og i det efterfølgende opskrives blot formfunktionerne og de afledede af disse til senere brug i konvergens studier. ( η ξ + ) ( ξ + )( η ) 3 ( η + ξ ) ( ξ + )( η + ) ( η ξ ) ( ξ )( η + ) 5 ( ξ ) ( ξ + )( η ) 6 ( ξ + ) ( η + )( η ) 7 ( η + ) ( ξ + )( ξ ) 8 ( ξ ) ( η + )( η ) II

98 Og de afledede af formfunktionerne mht. ξ og η bliver: Analyse af bærende konstruktioner, ξ, ξ 3, ξ, ξ ( ξ + η) ( η ) og ( η + ξ) ( ξ ) ( ξ η) ( η ) og ( η ξ) ( ξ + ), η ( ξ + η) ( η + ) og ( η + ξ) ( ξ + ), η 3, η ( ξ η) ( η + ) og ( η ξ) (, η ) ξ 5, ξ ξ ( η ) og 5, η ( ξ ) 6, ξ 7, ξ 8, ξ ξ ( η ) og η ( ξ + ) 6, η ( η + ) og ( ξ ) 7, η ( η ) og η ( ξ ) 8, η III

99 Formfunktioner Q8 A-metode Ved anvendelse af A-metoden til at finde formfunktionerne anvendes Pascals trekant, se Figur. ξ ξ 3 ξ 3 ξ η ξ ξ ξ η ξη η 3 ξ η η 3 3 ξ η Figur. Pascals trekant ξη ξ ξη η η 3 3 η 3 η Ud fra hvilken variation man har på element randen vælges udtrykkene fra Pascals trekant. Da variationen over randen for en Q8 element varierer kvadratisk vælges værdier fra trekanten der også varierer kvadratisk. Da det er et firkantet element undlades dog det sidste udtryk hvor både ξ og η er i anden. Dette kaldes at elementet er inkomplet. Formfunktionerne ved A-metoden findes ved: i T [ A ] [ x ] X-matricen udtrykkes med værdierne fra Pascals trekant: x [ ξ η ξη ξ η ξ η ξη ] A-matricen bliver defineret ved at indsættes alle koordinaterne ind for knuderne. På grund af matricens omfang er sandsynligheden for fejl også stor derfor er der lavet et program i Matlab til denne løsning. Se programkoden på Figur 3. IV

100 Figur 3. Programkode for Q8 m. A-metoden A-matricen og den inverterede A-matrice bliver da: Programmet findes også på CD en og hedder A_metode_Q8_iso.m. Kolonne udtrykker formfunktionen for knude. Værdierne fra hver kolonne skal ganges sammen med de respektive værdier fra x-matricen og formfunktionerne bliver da: ξη η + ξ η + ξ ξη + ξη η ξ η + ξ ξη + + V

101 3 + ξη + ξ + η + ξ η + ξη Analyse af bærende konstruktioner ξη + ξ + η + ξ η ξη 5 η ξ + ξ η 6 + ξ η + ξη 7 + η ξ ξ η 8 ξ η + ξη Og de afledede af disse bliver:, ξ, ξ 3, ξ, ξ ( ξ + η) ( η ) og ( η + ξ) ( ξ ) ( ξ η) ( η ) og ( η ξ) ( ξ + ), η ( ξ + η) ( η + ) og ( η + ξ) ( ξ + ), η 3, η ( ξ η) ( η + ) og ( η ξ) (, η ) ξ 5, ξ ξ ( η ) og 5, η ( ξ ) 6, ξ ( η ) og η ( ξ + ) 6, η VI

102 7, ξ ξ ( η + ) og ( ξ ) 7, η Analyse af bærende konstruktioner 8, ξ ( η ) og η ( ξ ) 8, η Sammenfatning Som det ses af værdierne er formfunktionerne og de afledede ens for den geometriske og A- metoden. Formfunktioner Q9 geometrisk metode Forskellen på et Q8 og et Q9 element er en ekstra knude i midten, knude 9. Formfunktionerne udledes ud fra Figur. Figur. Q9 med geometrisk metode Her gennemgås udledningerne ikke og kun det endelige resultat for formfunktionerne og de afledede af disse vil skrives op. Formfunktionerne bliver: ξ ξ ( ξ ) η ( η ) ( ξ + ) η ( η ) VII

103 3 ξ ( ξ + ) η ( η + ) Analyse af bærende konstruktioner ξ ( ξ ) η ( η + ) ( ξ ) η ( η ) ξ ( ξ + ) ( η ) ( ξ ) η ( η + ) ξ ( ξ ) ( η ) ( ξ ) ( η ) De afledede bliver:, ξ, ξ 3, ξ, ξ ( ξ ) η ( η ) og ( η ) ξ ( ξ ) ( ξ + ) η ( η ) og ( η ) ξ ( ξ + ) ( ξ + ) η ( η + ) og ( η + ) ξ ( ξ + ), η, η 3, η ( ξ ) η ( η + ) og ( η + ) ξ (, η ) ξ 5, ξ ξ η ( η ) og 5, η ( η ) ( ξ ) VIII

104 6, ξ ( ξ + ) ( η ) og η ξ ( ξ + ) 6, η Analyse af bærende konstruktioner 7, ξ ξ η ( η + ) og ( η + ) ( ξ ) 7, η 8, ξ 9, ξ ξ ( ξ ) ( η ) og η ξ ( ξ ) 8, η ( η ) og η ( ξ ) 9, η Formfunktioner Q9 geometrisk metode Formfunktionerne for dette Q9 elementet laves på samme måde som ved Q8 elementet, Her kommer der en ekstra linje (-9-), se Figur 5. Figur 5. Q9 med geometrisk metode Udover den ekstra linje er alle udledninger det samme som for Q ( η + ξ + ) ( η + ξ) ( ξ ) ( η ) ( η ξ + ) ( η ξ) ( ξ + ) ( η ) IX

105 ( η + ξ ) ( η + ξ) ( ξ + ) ( η + ) ( η ξ ) ( η ξ) ( ξ ) ( η + ) ( ξ ) ( ξ + ) ( η ) ( η) ( η ) ( η + ) ( ξ + ) ( ξ) ( ξ ) ( ξ + ) ( η + ) ( η) ( η ) ( η + ) ( ξ ) ( ξ) ( η ) ( η + ) ( ξ + ) ( ξ ) De af ledede bliver:, ξ, ξ 3, ξ, ξ 5, ξ ( 3 ξ + ξη + η η ) ( η ) og ( 3 η + ηξ + ξ ξ ) ( ξ ) ξ η ( 3 ξ ξη + η η ) ( η ) og ( 3 η ηξ + ξ + ξ ) ( ξ + ) ( 3 ξ + ξη + η + η ) ( η + ) og ( 3 η + ηξ + ξ + ξ ) ( ξ + ) ( 3 ξ ξη + η + η ) ( η + ) og ( 3 η ηξ + ξ ξ ) ( ξ ) ( η ) og ( η ) ( ξ ) ( ξ + ), η, η 3, η, η 5, η X

106 6, ξ ( ξ + ) ( η ) ( η + ) og η ξ ( ξ + ) 6, η Analyse af bærende konstruktioner 7, ξ ξ η ( η + ) og ( η + ) ( ξ ) ( ξ + ) 7, η 8, ξ 9, ξ ξ ( ξ ) ( η ) ( η + ) og η ξ ( ξ ) ( η ) ( η + ) og η ( ξ ) ( η + ) 8, η 9, η Formfunktioner Q9 A-metode Formfunktionerne findes på samme måde for A-metoden som det blev gjort ved Q8 elementet. Denne gang bliver x-matricen forlænget da der er 9 knuder: x [ ξ η ξη ξ η ξ η ξη ξ η ] Programkoden for Q9 er mage til Q8 blot med et ekstra led, se Figur 6: Figur 6. Programkode for Q9 m. A-metoden Programmet findes også på CD en og hedder A_metode_Q9_iso.m. XI

107 A-matricerne bliver: Analyse af bærende konstruktioner Og den inverterede A-matrice: Man kan se ud fra den inverterede A-matrice at formfunktioner er de samme som i geometrisk metode. Derfor vil disse ikke skrives her, men der henvises til geometrisk metode. Sammenfatning Det ses for Q9 elementet at geometrisk metode og A-metoden giver de samme resultater. Derfor vil konvergens studiet kun blive udført for den ene af disse. Geometrisk metode giver forskellige resultater. Dermed er der af metoderne for Q9 der udføres konvergens studier på. XII

108

109 Appendiks []: FEM programmet Programmet FECode, blev anvendt til konvergensstudie, og i det følgende beskrives programmet kort. Hele programkoden findes i en mappe på CD en med navnet: FEMOctave. FECode program er opdelt i 3 hoved dele.. Preprocessering Input. Solve: Løs opgaven 3. Postprocessering: Visualisering af resultat Hver hoveddel, består af flere underprogrammer. edenfor til venstre ses de underprogrammer FECode anvender, til højre ses deres betydning. Preprocessering FE_type ModelDataInput meshq9 Boundary_condition IDmatrix Definer Materiale type Frihedsgrader pr. Knude Knuder pr. Element avnet på elementtypen Elasticitetsmodulet Poissionsforholdet Materiale tykkelse Knude position i x matricen Sammenhæng mellem knuderne i Connect matricen randbetingelserne i BC_data matricen Assemblematrix: IntegrationScheme Assemblematrix: Shapefunktion Assemblematrix: Elasticity ApplyBC ConsT Beregn Solve Gausspunkterne Vægtning af gausspunkterne Formfunktioner Afledte formfunktion Jacobian Determinanten af Jacobian B matricen E matricen r vektor (Kraftvektoren) [d][k] - [r] Spænding VTKPostProcess ParaView Postprocessering Skriver resultat til fil. Vis resultat I

110 Appendiks [3]: Underintegration mm. Underintegration anvendes i bøjningsrelaterede problemstillinger. I disse situationer giver elementer ikke tilfredsstillende forskydningsspændinger. Se Figur. Figur. Deformation af et rektangulært profil til venstre og for et Q element til højre under ren bøjning På figuren ses deformation af en rektangulær profil under ren bøjning til venstre og ren bøjning for et Q element til højre. I det rektangulære profil ses det fra tøjnings-flytnings relationen at der ingen forskydninger er til stede. Dette er dog ikke tilfældet for Q elementet. Denne fejl kan undgås ved underintegration men dette kan resultere i det der kaldes spurious modes. Se mode 7 og 8 på Figur. Figur. Uafhængige flytningsmodes af et knudet plan element Ved stift legeme bevægelse er der kun 3 modes elementet kan antage, en vandret flytning, en lodret flytning og en drejning. De 3 første modes på figuren er stift legeme bevægelse. Her er ingen tøjningsenergi. De 3 næste, til 6, er konstante tøjningsmodes og de sidste, 7 og 8, er bøjningsmodes. Det er netop de sidst nævnte der giver anledning til shear locking. Man kan undgå dette ved at underintegrere med et Gauss punkt i midten for et Q element. I

111 I dette tilfælde kan flytningerne i midten af elementet være urealistisk store men de generelle flytninger og spændinger kan godt anvendes da spurious modes og de relaterede forskydningerne ikke mærkes i center af elementet. Derfor skal man overveje sit valg af underintegration nøje i FEM sammenhænge. Underintegration kan som beskrevet resulterer i spurious modes, med konsekvenser der kan være seriøse, afhængig af det fysiske problem der bliver undersøgt. Spurious modes kan undersøges ved at finde egenværdierne for element stivhedsmatricen. Her skal 3 af værdierne give. Dette svare til de 3 første modes på Figur. Ill-conditioning Man siger at et givet system er ill-conditioned når elementstivhedsmatricen [k] er følsom for små ændringer. Hvis systemet er ill-conditioned kan stivhedsmatricen også være singulær. Ill-conditioning kan forklares ved at betragte et d.o.f. fjedersystem, jf. Figur 3: Figur 3. d.o.f fjeder system som er well-conditioned til venstre og ill-conditioned til højre hvor ligevægtsligningerne for systemet er givet ved: k k k k + k u u P eller k k u u + k u P ( k + k ) u På Figur 3 ses flytningerne hvor hhv. k pp k og k pp. k Hver af ligningerne plotter en ret linie i et u u koordinatsystem. Disse er de fuldt optrukne linier på figurerne. Disse skyggede bånd omkring linierne er unøjagtigheder forbundet med et endeligt nummer af betydende cifre i de numeriske beregninger. Den eksakte løsnings til systemet er der hvor de linier overlapper hinanden. Den beregnede værdi ligger et sted inde i de skyggede bånd. Det ses at denne region er mindre for k pp k end k pp k. Derfor vil en lille ændring i k eller P i systemet hvor k pp k give en betydelig ændring i u og u. II

112 For at løse ligningerne indsætter man den nederste ligevægtsligning i den øverste og man får derved: [( + k ) k ] u P k For en ill-conditioned system er software nøjagtigheden en yderst vigtig information. Hvis man antager at k, og k, og software nøjagtigheden er på 7 betydende cifre kunne ligningen løses. Hvis software nøjagtigheden er på 6 betydende cifre, vil ligningen give. Fysisk betyder dette at den stive fjeder k ikke er understøttet og kan bevæge som et stift legeme. Softwaren vil i givent fald meddele at stivhedsmatricen er singulær. Det farlige ved ill-conditioning er ikke at ligningsløseren i softwaren meddeler en fejl, men at den ikke gør det, da noget software godt kan komme udenom problemet, uden advarselsmeddelelser. Condition number Condition number af en stivhedsmatrice [k] giver et estimeret nummer af cifre som kan gå tabt i løsningen af [k]{d}{r}. Condition number er defineret som: ( ) C k λ λ max min hvor λ max og λ min er hhv. den højeste og laveste egenfrekvens. Egenfrekvenserne findes ved at indtaste eig(k) i programmet Gauss, hvorved egenværdierne for [k] findes. Hvis condition number er relativt stort kan en del information gå tabt i beregninger, hvor det endelige resultat kan være misvisende, som beskrevet for oven. III

113

114 Appendiks []: Strain gauges I dette afsnit gennemgås virkemåden for strain gauges samt data opsamling af disse. I beskrivelsen anvendes de typer tilslutning der anvendes i forsøgende i rapporten. Statiske og dynamiske forsøg Ved dataopsamling under forsøg anvendes strain gauges. En strain gauge er opbygget af variable modstande hvorigennem det gør det muligt at måle spændingsfaldet over denne. Dette fald fortæller således om forlængelsen af testemnet. For at måle lasten anvendes en loadcell. Dette giver slutteligt mulighed for at se data opstillet systematisk. For at kunne visualisere målte data er det nødvendigt at få oversat signalerne fra strain gauge og loadcell. Hertil vil en datalogger blive anvendt og samtidig en PC, hvori der findes et stykke software der oversætter signalet. Strain gauge En strain gauge er et stykke instrument der anvendes til at måle tøjningen i et materiale. Strain gaugen limes på det gældende emne. Under belastning vil emnet deformeres, det samme vil strain gaugen. Dette medfører en modstandsændring, hvilken måles ved at anvende en Wheatstone bro. Der anvendes en datalogger samt noget software til at oversætte signalet fra strain gaugen. Wheatstone Bro En Wheatstone Bro er en elektronisk opsætning der gør det mulig at måle på en ukendt modstand. Dette gøres ved at opstille to ben i en brokobling, hvoraf det ene indeholder den modstand der ønskes klarlagt. En Wheatstone bro indeholder grundlæggende modstande der kobles, hvorefter en spænding, Vs, påføres systemet. Figur. Wheatstones bro De modstande er parvist seriekoblede. En af disse modstande er den ukendte modstand dvs. den modstand, som strain gaugen yder. Modstandene placeres som vist på figuren og I

115 spændingsforskellen V mellem punkt B og punkt C måles. Samtidig sættes der en konstant spænding V S på systemet. Forholdet mellem disse spændingsforskelle er givet ved følgende formel: V V S ΔR R ΔR R ΔR + R 3 3 ΔR R hvor: ΔR ΔR er modstandsændringerne for modstandene R R R R er modstandene i ubelastet tilstand Da der gælder proportionalitet mellem modstandsændringerne og længdetøjningen kan modstandsændringerne udtrykkes som en konstant ganget med længdetøjningen. Denne konstant k kaldes gauge faktoren: ΔR R Δl k l ΔR / R k Δl / l ΔR / R ε Gauge faktoren siger også noget om hvor følsom strain gaugen er og er som regel et tal der er lidt større end. I forsøgene blev der anvendt strain gauges med en gauge faktor på k,3. Datalogger Signalet fra strain gauge skal som tidligere nævnt opsamles på en computer. Til at opsamle data tænkes anvendt en datalogger af typen Spider8. For at kunne måle tøjningerne korrekt er det vigtigt at strain gauge tilsluttes korrekt. På Figur ses hvorledes tilslutningen af halv- og fuldbro sker. Figur. Tilslutning af strain gauge til Spider8 Til at konfigurere dataloggeren medfølger et stykke software, Spider8-setup, der fortæller dataloggeren hvordan den skal forstå det signal der kommer ind på en af indgangene. Af Figur 3 ses indstillingsmulighederne i Spider8-setup. Som det ses er der forskellige muligheder, hvor det første der skal indstilles er hvilken type bro der anvendes. Der skal for de strain gauges som anvendes vælges en halvbro. Herefter vælges måleområdet, hvor man normalvis anvender den laveste værdi. Dette er dog ensbetydende med at systemet bliver mere følsomt overfor udefrakommende støj, interferens. En løsning på dette problem er at sætte måleområdet op eller at anvende et lavpasfilter. Med Spider8 er der indlagt to typer filtre, Bessel og Butterworth. Butterworth har den hurtigste reaktion hvis Bessel II

116 giver den bedste kurve over tiden. Her er det vigtigt at overveje om man ønsker en hurtig reaktionstid, hvor et Butterworth filter anvendes. Butterworth filteret har dog et oversving på ca. % hvor Bessel har et oversving mindre end % med en langsommere reaktion. Figur 3. Indstillingsmuligheder for Spider8 Herefter skal grænsefrekvens vælges. Her er vigtigt ikke at vælge en grænse der ligger lavere end frekvensen hvormed de ønskede signaler udsendes, da filteret vil fjerne alle frekvenser der ligger over grænseværdien. En anden faktor der spiller ind ved valg af filter er den samplingsfrekvens der ønskes anvendt. Spider8 leverer værdier med en dataoverførselsrate mellem Hz og 96 Hz. Hertil bemærkes det at der ved de forskellige overførselsrater er bestemte grænsefrekvenser for filteret der anvendes. Grunden til at køre med filter er de mange ydre belastninger der forekommer under kørsel, samtidig med at forsøgene kører over længere tid. Ydre støj der forstyrrer signalerne fra strain gauge skyldes flere ting, eksempelvis lysstofrør, Edb-udstyr eller andre apparater tilsluttet lysnettet. III

Program lektion Indre kræfter i plane konstruktioner Snitkræfter

Program lektion Indre kræfter i plane konstruktioner Snitkræfter Tektonik Program lektion 4 12.30-13.15 Indre kræfter i plane konstruktioner 13.15 13.30 Pause 13.30 14.15 Tøjninger og spændinger Spændinger i plan bjælke Deformationer i plan bjælke Kursusholder Poul

Læs mere

Eftervisning af bygningens stabilitet

Eftervisning af bygningens stabilitet Bilag A Eftervisning af bygningens stabilitet I det følgende afsnit eftervises, hvorvidt bygningens bærende konstruktioner har tilstrækkelig stabilitet til at optage de laster, der påvirker bygningen.

Læs mere

Aalborg Universitet Esbjerg 18. december 2009 Spændings og deformationsanalyse af perforeret RHS stålprofil Appendiks B Finite Element Metode BM7 1

Aalborg Universitet Esbjerg 18. december 2009 Spændings og deformationsanalyse af perforeret RHS stålprofil Appendiks B Finite Element Metode BM7 1 8. december 29 Spændings og deformationsanalyse af perforeret RHS stålprofil Appendiks B Finite Element Metode BM7 E9 Spændings og deformationsanalyse af perforeret RHS stålprofil BM7 E9 Appendiks B Finite

Læs mere

Det Teknisk Naturvidenskabelige Fakultet

Det Teknisk Naturvidenskabelige Fakultet Det Teknisk Naturvidenskabelige Fakultet Aalborg Universitet Titel: Virkelighedens teori eller teoriens virkelighed? Tema: Analyse og design af bærende konstruktioner Synopsis: Projektperiode: B7 2. september

Læs mere

Aalborg Universitet Esbjerg 18. december 2009 Spændings og deformationsanalyse af perforeret RHS stålprofil Appendiks E Trækforsøg BM7 1 E09

Aalborg Universitet Esbjerg 18. december 2009 Spændings og deformationsanalyse af perforeret RHS stålprofil Appendiks E Trækforsøg BM7 1 E09 18. december 2009 Spændings og deformationsanalyse af perforeret RHS stålprofil Appendiks E Trækforsøg Spændings og deformationsanalyse af perforeret RHS stålprofil Appendiks E Trækforsøg... 3 E 1. Teori...

Læs mere

Program lektion Indre kræfter i plane konstruktioner Snitkræfter Indre kræfter i plane konstruktioner Snitkræfter.

Program lektion Indre kræfter i plane konstruktioner Snitkræfter Indre kræfter i plane konstruktioner Snitkræfter. Tektonik Program lektion 4 8.15-9.00 Indre kræfter i plane konstruktioner 9.00 9.15 Pause 9.15 10.00 Indre kræfter i plane konstruktioner. Opgaver 10.00 10.15 Pause 10.15 12.00 Tøjninger og spændinger

Læs mere

Aalborg Universitet Esbjerg 18. december 2009 Spændings- og deformationsanalyse af perforeret RHS stålprofil Appendiks K Analytiske

Aalborg Universitet Esbjerg 18. december 2009 Spændings- og deformationsanalyse af perforeret RHS stålprofil Appendiks K Analytiske 18. december 2009 Spændings- og deformationsanalyse af perforeret RHS stålprofil Appendiks K Analytiske overslagsberegninger Appendiks K Analytiske overslagsberegninger... 3 K-1. Airy s spændingsfunktion

Læs mere

Introduktion til programmet CoRotate

Introduktion til programmet CoRotate Side 1 Introduktion til programmet CoRotate Programmet CoRotate.exe bestemmer ikke-lineære, tredimensionelle flytninger af en bjælkekonstruktion. Dermed kan store flytninger bestemmes, og fænomener som

Læs mere

STÅLSØJLER Mads Bech Olesen

STÅLSØJLER Mads Bech Olesen STÅLSØJLER Mads Bech Olesen 30.03.5 Centralt belastede søjler Ved aksial trykbelastning af et slankt konstruktionselement er der en tendens til at elementet slår ud til siden. Denne form for instabilitet

Læs mere

Deformation af stålbjælker

Deformation af stålbjælker Deformation af stålbjælker Af Jimmy Lauridsen Indhold 1 Nedbøjning af bjælker... 1 1.1 Elasticitetsmodulet... 2 1.2 Inertimomentet... 4 2 Formelsamling for typiske systemer... 8 1 Nedbøjning af bjælker

Læs mere

Stabilitet af rammer - Deformationsmetoden

Stabilitet af rammer - Deformationsmetoden Stabilitet af rammer - Deformationsmetoden Lars Damkilde Institut for Bærende Konstruktioner og Materialer Danmarks Tekniske Universitet DK-2800 Lyngby September 1998 Resumé Rapporten omhandler beregning

Læs mere

TUNGE SKILLEVÆGGE PÅ FLERE LAG TRYKFAST ISOLERING. Input Betondæk Her angives tykkelsen på dækket samt den aktuelle karakteristiske trykstyrke.

TUNGE SKILLEVÆGGE PÅ FLERE LAG TRYKFAST ISOLERING. Input Betondæk Her angives tykkelsen på dækket samt den aktuelle karakteristiske trykstyrke. pdc/jnk/sol TUNGE SKILLEVÆGGE PÅ FLERE LAG TRYKFAST ISOLERING Indledning Teknologisk Institut, byggeri har for Plastindustrien i Danmark udført dette projekt vedrørende bestemmelse af bæreevne for tunge

Læs mere

For en grundlæggende teoretisk beskrivelse af metoden henvises bl.a. til M.P. Nielsen [69.1] og [99.3].

For en grundlæggende teoretisk beskrivelse af metoden henvises bl.a. til M.P. Nielsen [69.1] og [99.3]. A Stringermetoden A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A2 Indholdsfortegnelse Generelt Beregningsmodel Statisk ubestemthed Beregningsprocedure Bestemmelse af kræfter, spændinger og reaktioner Specialtilfælde Armeringsregler

Læs mere

Centralt belastede søjler med konstant tværsnit

Centralt belastede søjler med konstant tværsnit Centralt belastede søjler med konstant tværsnit Af Jimmy Lauridsen Indhold 1 Den kritiske bærevene... 1 1.1 Elasticitetsmodulet... 2 1.2 Inertimomentet... 4 1.3 Søjlelængde... 8 1 Den kritiske bæreevne

Læs mere

11/3/2002. Statik og bygningskonstruktion Program lektion Tøjninger og spændinger. Introduktion. Tøjninger og spændinger

11/3/2002. Statik og bygningskonstruktion Program lektion Tøjninger og spændinger. Introduktion. Tøjninger og spændinger Statik og bygningskonstruktion rogram lektion 9 8.30-9.15 Tøjninger og spændinger 9.15 9.30 ause 9.30 10.15 Spændinger i plan bjælke Deformationer i plan bjælke 10.15 10.45 ause 10.45 1.00 Opgaveregning

Læs mere

Statik og styrkelære

Statik og styrkelære Bukserobot Statik og styrkelære Refleksioner over hvilke styrkemæssige udfordringer en given last har på den valgte konstruktion. Hvilke ydre kræfter påvirker konstruktionen og hvor er de placeret Materialer

Læs mere

Lodret belastet muret væg efter EC6

Lodret belastet muret væg efter EC6 Notat Lodret belastet muret væg efter EC6 EC6 er den europæiske murværksnorm også benævnt DS/EN 1996-1-1:006 Programmodulet "Lodret belastet muret væg efter EC6" kan beregne en bærende væg som enten kan

Læs mere

TUNGE SKILLEVÆGGE PÅ TRYKFAST ISOLERING BEREGNINGSMODELLER

TUNGE SKILLEVÆGGE PÅ TRYKFAST ISOLERING BEREGNINGSMODELLER pdc/sol TUNGE SKILLEVÆGGE PÅ TRYKFAST ISOLERING BEREGNINGSMODELLER Indledning Teknologisk Institut, byggeri har for EPS sektionen under Plastindustrien udført dette projekt vedrørende anvendelse af trykfast

Læs mere

11/3/2002. Statik og bygningskonstruktion Program lektion Understøtninger og reaktioner. Kræfter og ligevægt.

11/3/2002. Statik og bygningskonstruktion Program lektion Understøtninger og reaktioner. Kræfter og ligevægt. Statik og bygningskonstruktion Program lektion 6 8.30-9.15 Understøtninger og reaktioner. Kræfter og ligevægt 9.15 9.30 Pause 9.30 10.15. 10.15 10.45 Pause 10.45 12.00 Opgaveregning Kursusholder Poul Henning

Læs mere

NOTAT BEREGNING AF JORDTRYK VHA EC6DESIGN.COM. ÆKVIVALENT ENSFORDELT LAST

NOTAT BEREGNING AF JORDTRYK VHA EC6DESIGN.COM. ÆKVIVALENT ENSFORDELT LAST pdc/sol NOTAT BEREGNING AF JORDTRYK VHA EC6DESIGN.COM. ÆKVIVALENT ENSFORDELT LAST Teknologiparken Kongsvang Allé 29 8000 Aarhus C 72 20 20 00 info@teknologisk.dk www.teknologisk.dk Indledning I dette notat

Læs mere

Bøjning i brudgrænsetilstanden. Per Goltermann

Bøjning i brudgrænsetilstanden. Per Goltermann Bøjning i brudgrænsetilstanden Per Goltermann Lektionens indhold 1. De grundlæggende antagelser/regler 2. Materialernes arbejdskurver 3. Bøjning: De forskellige stadier 4. Ren bøjning i simpelt tværsnit

Læs mere

Løsning, Bygningskonstruktion og Arkitektur, opgave 6

Løsning, Bygningskonstruktion og Arkitektur, opgave 6 Løsning, Bygningskonstruktion og Arkitektur, opgave 6 For en excentrisk og tværbelastet søjle skal det vises, at normalkraften i søjlen er under den kritiske værdi mht. søjlevirkning og at momentet i søjlen

Læs mere

A Tillægstøjninger grundet inhomogenitet 3 A.1 Bestemmelseafflytninger... 6

A Tillægstøjninger grundet inhomogenitet 3 A.1 Bestemmelseafflytninger... 6 Indhold A Tillægstøjninger grundet inhomogenitet 3 A.1 Bestemmelseafflytninger... 6 B Lineær elementmetode for skiveproblemer 7 B.1 Styrende differentialligning... 8 B.2 Svagformulering... 10 B.3 Form-ogvægtfunktion...

Læs mere

Styring af revner i beton. Bent Feddersen, Rambøll

Styring af revner i beton. Bent Feddersen, Rambøll Styring af revner i beton Bent Feddersen, Rambøll 1 Årsag Statisk betingede revner dannes pga. ydre last og/eller tvangsdeformationer. Eksempler : Trækkræfter fra ydre last (fx bøjning, forskydning, vridning

Læs mere

Deformationsmetoden. for rammekonstruktioner

Deformationsmetoden. for rammekonstruktioner Deformationsmetoden for rammekonstruktioner Lars Damkilde og Peter Noe Poulsen BYG DTU Januar 2002 Resumé Rapporten omhandler anvendelse af deformationsmetoden til beregning af statisk ubestemte rammer.

Læs mere

Betonkonstruktioner, 4 (Deformationsberegninger og søjler)

Betonkonstruktioner, 4 (Deformationsberegninger og søjler) Christian Frier Aalborg Universitet 006 Betonkonstruktioner, 4 (Deformationsberegninger og søjler) Deformationsberegning af bjælker - Urevnet tværsnit - Revnet tværsnit - Deformationsberegninger i praksis

Læs mere

Dobbeltspændte plader Øvreværdiløsning Brudlinieteori

Dobbeltspændte plader Øvreværdiløsning Brudlinieteori Dobbeltspændte plader Øvreværdiløsning Brudlinieteori Per Goltermann 1 Lektionens indhold 1. Hvad er en øvreværdiløsning? 2. Bjælker og enkeltspændte dæk eller plader 3. Bjælkers bæreevne beregnet med

Læs mere

Kipning, momentpåvirket søjle og rammehjørne

Kipning, momentpåvirket søjle og rammehjørne Kipning, momentpåvirket søjle og rammehjørne april 05, LC Den viste halbygning er opbygget af en række stålrammer med en koorogeret stålplade som tegdækning. Stålpladen fungerer som stiv skive i tagkonstruktionen.

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 13

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 13 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 3 Morten Grud Rasmussen 3. november 206 Numerisk metode til Laplace- og Poisson-ligningerne. Finite difference-formulering af problemet I det følgende

Læs mere

Aalborg Universitet Esbjerg 18. december 2009 Spændings og deformationsanalyse af perforeret RHS stålprofil Appendiks F Strain gauges BM7 1 E09

Aalborg Universitet Esbjerg 18. december 2009 Spændings og deformationsanalyse af perforeret RHS stålprofil Appendiks F Strain gauges BM7 1 E09 18. december 2009 Spændings og deformationsanalyse af perforeret RHS stålprofil Appendiks F Strain gauges Spændings og deformationsanalyse af perforeret RHS stålprofil Appendiks F Strain gauges... 3 F

Læs mere

Kursusgang 10: Introduktion til elementmetodeprogrammet Abaqus anden del

Kursusgang 10: Introduktion til elementmetodeprogrammet Abaqus anden del 1 elementmetodeprogrammet Abaqus anden del Kursus: Statik IV Uddannelse: 5. semester, bachelor/diplomingeniøruddannelsen i konstruktion Forelæser: Johan Clausen Institut for Byggeri og Anlæg Efterår, 2010

Læs mere

MURVÆRKSPROJEKTERING VER. 4.0 SBI - MUC DOKUMENTATION Side 1

MURVÆRKSPROJEKTERING VER. 4.0 SBI - MUC DOKUMENTATION Side 1 DOKUMENTATION Side 1 Modulet Kombinationsvægge Indledning Modulet arbejder på et vægfelt uden åbninger, og modulets opgave er At fordele vandret last samt topmomenter mellem bagvæg og formur At bestemme

Læs mere

3/4/2003. Tektonik Program lektion Understøtninger og reaktioner. Kræfter og ligevægt Ligevægtsbetingelser.

3/4/2003. Tektonik Program lektion Understøtninger og reaktioner. Kræfter og ligevægt Ligevægtsbetingelser. Tektonik Program lektion 3 8.15-9.00 Understøtninger og reaktioner. Kræfter og ligevægt. 9.00 9.15 Pause 9.15 10.00 Bestemmelse af stangkræfter Løsskæring af knuder. Rittersnit 10.00 10.30 Pause 10.30

Læs mere

MURVÆRKSPROJEKTERING VER. 4.0 SBI - MUC 01.10.06 DOKUMENTATION Side 1

MURVÆRKSPROJEKTERING VER. 4.0 SBI - MUC 01.10.06 DOKUMENTATION Side 1 DOKUMENTATION Side 1 Beregning af murbuer Indledning. Dette notat beskriver den numeriske model til beregning af stik og skjulte buer. Indhold Forkortelser Definitioner Forudsætninger Beregningsforløb

Læs mere

Arkitektonik og husbygning

Arkitektonik og husbygning Arkitektonik og husbygning Program lektion 1 8.30-9.15 Rep. af statikkens grundbegreber 9.15 9.30 Pause 9.30 10.15 Rep. af gitterkonstruktioner 10.15 10.45 Pause 10.45 12.00 Opgaveregning Kursusholder

Læs mere

Betonkonstruktioner Lektion 11

Betonkonstruktioner Lektion 11 Betonkonstruktioner Lektion 11 Hans Ole Lund Christiansen olk@iti.sdu.dk Facult of Engineering 1 Plader Plade = Plant element belastet vinkelret på pladens plan. m m Bøjende momenter pr. længdeenhed m

Læs mere

Statik og jernbeton. Lars Pedersen Institut for Byggeri & Anlæg Aalborg Universitet. Okt. 2016

Statik og jernbeton. Lars Pedersen Institut for Byggeri & Anlæg Aalborg Universitet. Okt. 2016 Statik og jernbeton Lars Pedersen Institut for Byggeri & Anlæg Aalborg Universitet Okt. 2016 Hvad kan gå galt? Hvordan undgår vi, at det går galt? Brud Betontværsnit Armeringsbehov? Antal jern og diameter

Læs mere

Statik og jernbeton. Lars Pedersen Institut for Byggeri & Anlæg Aalborg Universitet. Hvad kan gå galt? Hvordan undgår vi, at det går galt? Okt.

Statik og jernbeton. Lars Pedersen Institut for Byggeri & Anlæg Aalborg Universitet. Hvad kan gå galt? Hvordan undgår vi, at det går galt? Okt. Statik og jernbeton Lars Pedersen Institut for Byggeri & Anlæg Aalborg Universitet Okt. 2017 Hvad kan gå galt? Hvordan undgår vi, at det går galt? Brud 1 Betontværsnit Armeringsbehov? Antal jern og diameter

Læs mere

En sædvanlig hulmur som angivet i figur 1 betragtes. Kun bagmuren gennemregnes.

En sædvanlig hulmur som angivet i figur 1 betragtes. Kun bagmuren gennemregnes. Tværbelastet rektangulær væg En sædvanlig hulmur som angivet i figur 1 betragtes. Kun bagmuren gennemregnes. Den samlede vindlast er 1,20 kn/m 2. Formuren regnes udnyttet 100 % og optager 0,3 kn/m 2. Bagmuren

Læs mere

Bedste rette linje ved mindste kvadraters metode

Bedste rette linje ved mindste kvadraters metode 1/9 Bedste rette linje ved mindste kvadraters metode - fra www.borgeleo.dk Figur 1: Tre datapunkter og den bedste rette linje bestemt af A, B og C Målepunkter og bedste rette linje I ovenstående koordinatsystem

Læs mere

INDHOLDSFORTEGNELSE DEL I FORSØG... 3 DEL II ANALYTISKE MODELLER...31 DEL III NUMERISKE MODELLER...43

INDHOLDSFORTEGNELSE DEL I FORSØG... 3 DEL II ANALYTISKE MODELLER...31 DEL III NUMERISKE MODELLER...43 Indholdsfortegnelse INDHOLDSFOREGNELSE DEL I FORSØG... 3 A Elastiske konstanter...5 A. Dataopsamling...5 A. Brudstyrkemåling på massivt aluminiumsemne...5 A.3 Elasticitetsmodul og Poissons forhold for

Læs mere

Analyse af en glasfiberbjælke

Analyse af en glasfiberbjælke Analyse af en glasfiberbjælke Civilingeniør i Bygge og Anlægskonstruktion Aalborg Universitet 1. semester 19. december 2008 Gruppe B205 De Ingeniør-, Natur- og Sundhedsvidenskabelige Fakulteter Byggeri

Læs mere

Beregningsopgave om bærende konstruktioner

Beregningsopgave om bærende konstruktioner OPGAVEEKSEMPEL Indledning: Beregningsopgave om bærende konstruktioner Et mindre advokatfirma, Juhl & Partner, ønsker at gennemføre ændringer i de bærende konstruktioner i forbindelse med indretningen af

Læs mere

Betonkonstruktioner, 1 (Formgivning af trykpåvirkede betonkonstruktioner) Hvad er beton?, kemiske og mekaniske egenskaber

Betonkonstruktioner, 1 (Formgivning af trykpåvirkede betonkonstruktioner) Hvad er beton?, kemiske og mekaniske egenskaber Betonkonstruktioner, 1 (Formgivning af trykpåvirkede betonkonstruktioner) Hvad er beton?, kemiske og mekaniske egenskaber Materialeparametre ved dimensionering Lidt historie Jernbeton (kort introduktion)

Læs mere

Opgave 1. Spørgsmål 4. Bestem reaktionerne i A og B. Bestem bøjningsmomentet i B og C. Bestem hvor forskydningskraften i bjælken er 0.

Opgave 1. Spørgsmål 4. Bestem reaktionerne i A og B. Bestem bøjningsmomentet i B og C. Bestem hvor forskydningskraften i bjælken er 0. alborg Universitet Esbjerg Side 1 af 4 sider Skriftlig røve den 6. juni 2011 Kursus navn: Grundlæggende Statik og Styrkelære, 2. semester Tilladte hjælemidler: lle Vægtning : lle ogaver vægter som udgangsunkt

Læs mere

9/25/2003. Arkitektonik og husbygning. Kraftbegrebet. Momentbegrebet. Momentets størrelse. Momentets retning højrehåndsregel. Moment regnes i Nm

9/25/2003. Arkitektonik og husbygning. Kraftbegrebet. Momentbegrebet. Momentets størrelse. Momentets retning højrehåndsregel. Moment regnes i Nm Arkitektonik og husbygning Program lektion 1 8.30-9.15 Rep. af statikkens grundbegreber 9.15 9.30 Pause 9.30 10.15 Rep. af gitterkonstruktioner 10.15 10.45 Pause 10.45 12.00 Opgaveregning Kursusholder

Læs mere

Undervisningsnotat. Matricer

Undervisningsnotat. Matricer Undervisningsnotat. Matricer januar, C Definition En matrix er en ordnet mængde tal opstillet i m rækker og n søjler. Matricen A kunne være defineret som vist nedenfor. Hvert element i matricen er forsynet

Læs mere

Graph brugermanual til matematik C

Graph brugermanual til matematik C Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes

Læs mere

Murskive. En stabiliserende muret væg har dimensionerne: H: 2,8 m. L: 3,5 m. t: 108 mm. og er påvirket af en vandret og lodret last på.

Murskive. En stabiliserende muret væg har dimensionerne: H: 2,8 m. L: 3,5 m. t: 108 mm. og er påvirket af en vandret og lodret last på. Murskive En stabiliserende muret væg har dimensionerne: H: 2,8 m L: 3,5 m t: 108 mm og er påvirket af en vandret og lodret last på P v: 22 kn P L: 0 kn Figur 1. Illustration af stabiliserende skive 1 Bemærk,

Læs mere

Dimensionering af samling

Dimensionering af samling Bilag A Dimensionering af samling I det efterfølgende afsnit redegøres for dimensioneringen af en lodret støbeskelssamling mellem to betonelementer i tværvæggen. På nedenstående gur ses, hvorledes tværvæggene

Læs mere

Affine transformationer/afbildninger

Affine transformationer/afbildninger Affine transformationer. Jens-Søren Kjær Andersen, marts 2011 1 Affine transformationer/afbildninger Følgende afbildninger (+ sammensætninger af disse) af planen ind i sig selv kaldes affine: 1) parallelforskydning

Læs mere

Aalborg Universitet Esbjerg Det Teknisk Naturvidenskabelige Fakultet Kandidatuddannelsen 1. semester BM-sektoren

Aalborg Universitet Esbjerg Det Teknisk Naturvidenskabelige Fakultet Kandidatuddannelsen 1. semester BM-sektoren BM7-1-E09 Det Teknisk Naturvidenskabelige Fakultet Kandidatuddannelsen 1. semester BM-sektoren Tema: Titel: Projektgruppe: Gruppemedlemmer: Vejleder: Analyse af bærende konstruktioner BM7-1-E09 Christian

Læs mere

A2.05/A2.06 Stabiliserende vægge

A2.05/A2.06 Stabiliserende vægge A2.05/A2.06 Stabiliserende vægge Anvendelsesområde Denne håndbog gælder både for A2.05win og A2.06win. Med A2.05win beregner man kun system af enkelte separate vægge. Man får som resultat horisontalkraftsfordelingen

Læs mere

Murprojekteringsrapport

Murprojekteringsrapport Side 1 af 6 Dato: Specifikke forudsætninger Væggen er udført af: Murværk Væggens (regningsmæssige) dimensioner: Længde = 6,000 m Højde = 2,800 m Tykkelse = 108 mm Understøtningsforhold og evt. randmomenter

Læs mere

Betonkonstruktioner, 5 (Jernbetonplader)

Betonkonstruktioner, 5 (Jernbetonplader) Christian Frier Aalborg Universitet 006 Betonkonstrktioner, 5 (Jernbetonplader) Virkemåde / dformninger / nderstøtninger Enkeltspændte plader Dobbeltspændte plader Deformationsberegninger 1 Christian Frier

Læs mere

Betonkonstruktioner Lektion 7

Betonkonstruktioner Lektion 7 Betonkonstruktioner Lektion 7 Hans Ole Lund Christiansen olk@iti.sdu.dk Faculty of Engineering 1 Bøjning i anvendelsestilstanden - Beregning af deformationer og revnevidder Faculty of Engineering 2 Last

Læs mere

Betonkonstruktioner, 3 (Dimensionering af bjælker)

Betonkonstruktioner, 3 (Dimensionering af bjælker) Betonkonstruktioner, 3 (Dimensionering af bjælker) Bøjningsdimensionering af bjælker - Statisk bestemte bjælker - Forankrings og stødlængder - Forankring af endearmering - Statisk ubestemte bjælker Forskydningsdimensionering

Læs mere

I den gældende udgave af EN (6.17) angives det, at søjlevirkning kan optræde

I den gældende udgave af EN (6.17) angives det, at søjlevirkning kan optræde Lodret belastet muret væg Indledning Modulet anvender beregningsmodellen angivet i EN 1996-1-1, anneks G. Modulet anvendes, når der i et vægfelt er mulighed for (risiko for) 2. ordens effekter (dvs. søjlevirkning).

Læs mere

Fysik 2 - Den Harmoniske Oscillator

Fysik 2 - Den Harmoniske Oscillator Fysik 2 - Den Harmoniske Oscillator Esben Bork Hansen, Amanda Larssen, Martin Qvistgaard Christensen, Maria Cavallius 5. januar 2009 Indhold 1 Formål 1 2 Forsøget 2 3 Resultater 3 4 Teori 4 4.1 simpel

Læs mere

Konstruktionsmæssige forhold med 3D betonprint

Konstruktionsmæssige forhold med 3D betonprint Konstruktionsmæssige forhold med 3D betonprint Eksisterende printprincipper og deres statiske muligheder og begrænsninger v. Kåre Flindt Jørgensen, NCC Danmark A/S 1 Vægprincipper Kantvægge V-gitret væg

Læs mere

GSY KOMPOSITBJÆLKE PRODUKTBLAD KONSTRUKTIONSFRIHED TIL KOMPLEKST BYGGERI

GSY KOMPOSITBJÆLKE PRODUKTBLAD KONSTRUKTIONSFRIHED TIL KOMPLEKST BYGGERI GSY KOMPOSITBJÆLKE PRODUKTBLAD KONSTRUKTIONSFRIHED TIL KOMPLEKST BYGGERI GIVE STÅLSPÆR A/S GSY BJÆLKEN 1 GSY BJÆLKEN 3 2 TEKNISK DATA 4 2.1 BÆREEVNE 4 2.2 KOMFORTFORHOLD 9 2.3 BRAND......................................

Læs mere

Projekt 2.9 Sumkurver som funktionsudtryk anvendt til Lorenzkurver og Ginikoefficienter (især for B- og A-niveau)

Projekt 2.9 Sumkurver som funktionsudtryk anvendt til Lorenzkurver og Ginikoefficienter (især for B- og A-niveau) Projekt 2.9 Sumkurver som funktionsudtryk anvendt til Lorenzkurver og Ginikoefficienter En sumkurve fremkommer ifølge definitionen, ved at vi forbinder en række punkter afsat i et koordinatsystem med rette

Læs mere

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2 Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket

Læs mere

Beregning af termiske spændinger i vindmølle transformer. Middelgrundens Vindmøllelaug I/S Blegdamsvej 4B 2200 København Ø. Att.

Beregning af termiske spændinger i vindmølle transformer. Middelgrundens Vindmøllelaug I/S Blegdamsvej 4B 2200 København Ø. Att. TEKNISK RAPPORT Beregning af termiske spændinger i vindmølle transformer Kunde: Middelgrundens Vindmøllelaug I/S Blegdamsvej 4B 2200 København Ø Att. Jens Larsen Dato: 16. august 2004 Sagsnummer: 2004-11-1

Læs mere

Matematik B. Højere Teknisk Eksamen. Projektoplæg

Matematik B. Højere Teknisk Eksamen. Projektoplæg Matematik B Højere Teknisk Eksamen Projektoplæg htx113-mat/b-11011 Udleveres mandag den 1. december 011 Side 1 af 10 sider Vejledning til eleven Du skal nu i gang med matematikprojektet Gokartkørsel. Projektbeskrivelsen

Læs mere

Konstruktion IIIb, gang 13 (Jernbetonplader)

Konstruktion IIIb, gang 13 (Jernbetonplader) Christian Frier Aalborg Universitet 003 Konstrktion IIIb, gang 13 (Jernbetonplader) Virkemåde / dformninger / nderstøtninger Overslagsregler fra Teknisk Ståbi Enkeltspændte plader Dobbeltspændte plader

Læs mere

Beregningsopgave 2 om bærende konstruktioner

Beregningsopgave 2 om bærende konstruktioner OPGAVEEKSEMPEL Beregningsopgave 2 om bærende konstruktioner Indledning: Familien Jensen har netop købt nyt hus. Huset skal moderniseres, og familien ønsker i den forbindelse at ændre på nogle af de bærende

Læs mere

10.3 E-modul. Af Jens Ole Frederiksen og Gitte Normann Munch-Petersen. Betonhåndbogen, 10 Hærdnende og hærdnet beton

10.3 E-modul. Af Jens Ole Frederiksen og Gitte Normann Munch-Petersen. Betonhåndbogen, 10 Hærdnende og hærdnet beton 10.3 E-modul Af Jens Ole Frederiksen og Gitte Normann Munch-Petersen Forskellige materialer har forskellige E-moduler. Hvis man fx placerer 15 ton (svarende til 10 typiske mellemklassebiler) oven på en

Læs mere

Bjælker på elastisk underlag

Bjælker på elastisk underlag Bjælker på elastisk underlag Lars Damkilde Institut for Bærende Konstruktioner og Materialer Danmarks Tekniske Universitet DK-2800 Lyngby Februar 1998 Resumé Rapporten omhandler beregning af bjælker på

Læs mere

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Arealmomenter

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Arealmomenter Arealmomenter af. og. orden side Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave Arealmomenter Teori: Se lærebøgerne i faget Statiske konstruktionsmodeller og EDB. Se også H&OL bind,., samt bind appendix.3,

Læs mere

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition Kursusgang 3 Repetition - froberg@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 16. september 2008 1/19 Betingelser for nonsingularitet af en Matrix

Læs mere

F inite E lement M ethod

F inite E lement M ethod INGENIØRHØJSKOLEN I ÅRHUS 27. november 2007, LC F inite E lement M ethod 1) Geometri 2) Elementvalg 3) Elementopdeling 4) Materialekonstanter 5) Randbetingelser 6) Belastninger 7) Beregning 8) Vurdering

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

Betonkonstruktioner Lektion 1

Betonkonstruktioner Lektion 1 Betonkonstruktioner Lektion 1 Hans Ole Lund Christiansen olk@iti.sdu.dk Det Tekniske Fakultet 1 Materialeegenskaber Det Tekniske Fakultet 2 Beton Beton Består af: - Vand - Cement - Sand/grus -Sten Det

Læs mere

Projekt 6.7. Beviser for Pythagoras sætning - og konstruktion af animationer

Projekt 6.7. Beviser for Pythagoras sætning - og konstruktion af animationer Projekt 6.7. Beviser for Pythagoras sætning - og konstruktion af animationer Flere beviser for Pythagoras sætning 1 Bevis for Pythagoras sætning ved anvendelse af ensvinklede trekanter... 1 Opgave 1 Et

Læs mere

Impuls og kinetisk energi

Impuls og kinetisk energi Impuls og kinetisk energi Peter Hoberg, Anton Bundgård, and Peter Kongstad Hold Mix 1 (Dated: 7. oktober 2015) 201405192@post.au.dk 201407987@post.au.dk 201407911@post.au.dk 2 I. INDLEDNING I denne øvelse

Læs mere

Vektorer og lineær regression

Vektorer og lineær regression Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 03 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden

Læs mere

Notesæt - Eksempler på polær integration

Notesæt - Eksempler på polær integration Notesæt - Eksempler på polær integration Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument forsøger blot at forklare,

Læs mere

Modulet beregner en trådbinders tryk- og trækbæreevne under hensyntagen til:

Modulet beregner en trådbinders tryk- og trækbæreevne under hensyntagen til: Binder Modulet beregner en trådbinders tryk- og trækbæreevne under hensyntagen til: Differensbevægelse (0,21 mm/m målt fra estimeret tyngdepunkt ved sokkel til fjerneste binder) Forhåndskrumning (Sættes

Læs mere

Stabilitet - Programdokumentation

Stabilitet - Programdokumentation Make IT simple 1 Stabilitet - Programdokumentation Anvendte betegnelser Vægskive Et rektangulært vægstykke/vægelement i den enkelte etage, som indgår i det lodret bærende og stabiliserende system af vægge

Læs mere

Betonkonstruktioner Lektion 4

Betonkonstruktioner Lektion 4 Betonkonstruktioner Lektion 4 Hans Ole Lund Christiansen olk@iti.sdu.dk Fault of Engineering 1 Bøjning med forskdning -Brudtilstand Fault of Engineering 2 Introduktion til Diagonaltrkmetoden I forbindelse

Læs mere

Eksempel på inddatering i Dæk.

Eksempel på inddatering i Dæk. Brugervejledning til programmerne Dæk&Bjælker samt Stabilitet Nærværende brugervejledning er udarbejdet i forbindelse med et konkret projekt, og gennemgår således ikke alle muligheder i programmerne; men

Læs mere

Modulet kan både beregne skjulte buer og stik (illustreret på efterfølgende figur).

Modulet kan både beregne skjulte buer og stik (illustreret på efterfølgende figur). Murbue En murbue beregnes generelt ved, at der indlægges en statisk tilladelig tryklinje/trykzone i den geometriske afgrænsning af buen. Spændingerne i trykzonen betragtes i liggefugen, hvor forskydnings-

Læs mere

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.

Læs mere

Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 8. Juni 2015

Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 8. Juni 2015 Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 8. Juni 05 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en

Læs mere

Forspændt bjælke. A.1 Anvendelsesgrænsetilstanden. Bilag A. 14. april 2004 Gr.A-104 A. Forspændt bjælke

Forspændt bjælke. A.1 Anvendelsesgrænsetilstanden. Bilag A. 14. april 2004 Gr.A-104 A. Forspændt bjælke Bilag A Forspændt bjælke I dette afsnit vil bjælken placeret under facadevæggen (modullinie D) blive dimensioneret, se gur A.1. Figur A.1 Placering af bjælkei kælder. Bjælken dimensioneres ud fra, at den

Læs mere

Deskriptiv statistik. Version 2.1. Noterne er et supplement til Vejen til matematik AB1. Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium

Deskriptiv statistik. Version 2.1. Noterne er et supplement til Vejen til matematik AB1. Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium Deskriptiv (beskrivende) statistik er den disciplin, der trækker de væsentligste oplysninger ud af et ofte uoverskueligt materiale. Det sker f.eks. ved at konstruere forskellige deskriptorer, d.v.s. regnestørrelser,

Læs mere

FORSØG MED 37 BETONELEMENTER

FORSØG MED 37 BETONELEMENTER FORSØG MED 37 BETONELEMENTER - CENTRALT, EXCENTRISK OG TVÆRBELASTEDE ELEMENTER SAMT TILHØRENDE TRYKCYLINDRE, BØJETRÆKEMNER OG ARMERINGSSTÆNGER Peter Ellegaard November Laboratoriet for Bærende Konstruktioner

Læs mere

Matematik A. Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Ved valgopgaver må kun det anførte antal afleveres til bedømmelse.

Matematik A. Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Ved valgopgaver må kun det anførte antal afleveres til bedømmelse. HTX Matematik A Fredag den 18. maj 2012 Kl. 09.00-14.00 GL121 - MAA - HTX 1 Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Ved valgopgaver må kun det anførte antal afleveres til

Læs mere

Matematik A STX december 2016 vejl. løsning Gratis anvendelse - læs betingelser!

Matematik A STX december 2016 vejl. løsning  Gratis anvendelse - læs betingelser! Matematik A STX december 2016 vejl. løsning www.matematikhfsvar.page.tl Gratis anvendelse - læs betingelser! Opgave 1 Lineær funktion. Oplysningerne findes i opgaven. Delprøve 1: Forskrift Opgave 2 Da

Læs mere

El-Teknik A. Rasmus Kibsgaard Riehn-Kristensen & Jonas Pedersen. Klasse 3.4

El-Teknik A. Rasmus Kibsgaard Riehn-Kristensen & Jonas Pedersen. Klasse 3.4 El-Teknik A Rasmus Kibsgaard Riehn-Kristensen & Jonas Pedersen Klasse 3.4 12-08-2011 Strømstyrke i kredsløbet. Til at måle strømstyrken vil jeg bruge Ohms lov. I kredsløbet kender vi resistansen og spændingen.

Læs mere

NemStatik. Stabilitet - Programdokumentation. Anvendte betegnelser. Beregningsmodel. Make IT simple

NemStatik. Stabilitet - Programdokumentation. Anvendte betegnelser. Beregningsmodel. Make IT simple Stabilitet - Programdokumentation Anvendte betegnelser Vægskive Et rektangulært vægstykke/vægelement i den enkelte etage, som indgår i det lodret bærende og stabiliserende system af vægge N Ed M Ed e l

Læs mere

Theory Danish (Denmark)

Theory Danish (Denmark) Q1-1 To mekanikopgaver (10 points) Læs venligst den generelle vejledning i en anden konvolut inden du går i gang. Del A. Den skjulte metalskive (3.5 points) Vi betragter et sammensat legeme bestående af

Læs mere

Projektopgave Observationer af stjerneskælv

Projektopgave Observationer af stjerneskælv Projektopgave Observationer af stjerneskælv Af: Mathias Brønd Christensen (20073504), Kristian Jerslev (20072494), Kristian Mads Egeris Nielsen (20072868) Indhold Formål...3 Teori...3 Hvorfor opstår der

Læs mere

Betonkonstruktioner, 6 (Spændbetonkonstruktioner)

Betonkonstruktioner, 6 (Spændbetonkonstruktioner) Betonkonstruktioner, 6 (Spændbetonkonstruktioner) Førspændt/efterspændt beton Statisk virkning af spændarmeringen Beregning i anvendelsesgrænsetilstanden Beregning i brudgrænsetilstanden Kabelkrafttab

Læs mere

Dynamik. 1. Kræfter i ligevægt. Overvejelser over kræfter i ligevægt er meget vigtige i den moderne fysik.

Dynamik. 1. Kræfter i ligevægt. Overvejelser over kræfter i ligevægt er meget vigtige i den moderne fysik. M4 Dynamik 1. Kræfter i ligevægt Overvejelser over kræfter i ligevægt er meget vigtige i den moderne fysik. Fx har nøglen til forståelsen af hvad der foregår i det indre af en stjerne været betragtninger

Læs mere

Sag nr.: 12-0600. Matrikel nr.: Udført af: Renovering 2013-02-15

Sag nr.: 12-0600. Matrikel nr.: Udført af: Renovering 2013-02-15 STATISKE BEREGNINGER R RENOVERING AF SVALEGANG Maglegårds Allé 65 - Buddinge Sag nr.: Matrikel nr.: Udført af: 12-0600 2d Buddinge Jesper Sørensen : JSO Kontrolleret af: Finn Nielsen : FNI Renovering 2013-02-15

Læs mere

Konstruktion IIIb, gang 9 (Formgivning af trykpåvirkede betonkonstruktioner)

Konstruktion IIIb, gang 9 (Formgivning af trykpåvirkede betonkonstruktioner) Konstruktion IIIb, gang 9 (Formgivning af trykpåvirkede betonkonstruktioner) Hvad er beton?, kemiske og mekaniske egenskaber Materialeparametre ved dimensionering Lidt historie Jernbeton (kort introduktion)

Læs mere