Sandsynlighedsregning

Transkript

1 Sandsynlighedsregning Udfaldsrum og hændelser Udfald e:resultatetafetforsøg. Udfaldsrum S: Mængden af de mulige udfald af forsøget. Hændelse A: En delmængde af udfaldsrummet.

2 Tilfældigt fænomen S e (eks.) A (eks.) Møntkast {P,K} K {K} Terningkast {1,2,3,4,5,6} 6 {6}, {lige udfald} Call-center opkald {0,1,2,3, } 3 {3,4,5} Højde af person i cm R ,185

3 Lad udfaldet af forsøget være e S. Vi siger at hændelsen A er hændt hvis e A. S kaldes den sikre hændelse. (den tomme mængde) kaldes den umulige hændelse. Komplementærhændelsen til en hændelse A er A S A Bemærk: Enten sker A, eller også sker A. A skrives ofte som A c Lad H være mængden af alle hændelser A S. Lad A og B være givne hændelser. Foreningsmængden A B og fællesmængden A B er også hændelser. Hændelserne A og B kaldes disjunkte hvis A B

4 Sandsynlighedsfelt Givet: et udfaldsrum S og en mængde af hændelser H i S. Et sandsynlighedsmål: er en funktion P :H 0,1 som opfylder 1. P S Additionsreglen: Hvis A og B er disjunkte hændelser gælder P A B P A P B. P A kaldes for sandsynligheden for hændelsen A. (S,H,P) kaldes et sandsynlighedsfelt, dvs.enmatematiskmodel for sandsynligheder. Hvis S ikke er endelig antager vi også tællelig additivitet: P i 1 A i i 1 P A i

5 såfremt A 1, A 2, er indbyrdes disjunkte hændelser.

6 Det uniforme sandsynlighedsmål Antag at S er en endelig mængde, og lad S være antal elementer i S. Det uniforme sandsynlighedsmål defineres ved: P A A S for alle A S. Svarer til tilfældig udvælgelse, altså at alle udfald e S har samme sandsynlighed. Eksempel: tilfældig udtrækning fra en population S. Lad A vælgere for partiet D.Såer P A antal vælgere for partiet D samlet antal vælgere

7 Gallupundersøgelse: Vælg en tilfældig stikprøve af størrelse n, og spørg om personen stemmer på D. Se på den relative frekvens for A, antal som vil stemme på D P n A n De store tals lov siger P n A P A for n. Vises senere. Dvs. P A er grænseværdien for P n A ved uendeligt mange forsøg. Gælder uanset hvor stor populationen er (e.g. USA versus DK).

8 Regneregler for sandsynligheder P A 1 P A fås fra 1 P S P A A P A P A P 0 fås fra P S P S P S P Hvis A B gælder der P A P B (monotonicitet), kan ses ud fra P B P A B A P A P B A P A

9 Additionsregler For A 1,, A k indbyrdes disjunkte hændelser gælder: P A 1 A k P A 1 P A k For A og B vilkårlige hændelser gælder: P A B P A P B P A B For A 1, A 2 og A 3 vilkårlige hændelser gælder: P A 1 A 2 A 3 P A 1 P A 2 P A 3 P A 1 A 2 P A 1 A 3 P A 2 A 3 P A 1 A 2 A 3 Kan generaliseres til flere end tre hændelser.

10 Subjektive sandsynligheder Subjektiv sandsynlighed P A : dit mål for sandsynligheden for A. Væddemål svarende til subjektiv sandsynlighed: Du er villig til at satse 100 P A kr. i et spil som betaler 100 kr. tilbage hvis A sker. Hvis P A ikke er korrekt, taber enten du eller spiludbyderen penge.

11 Betingede sandsynligheder Idé: at tage delvis information om en hændelse i betragtning. Betinget sandsynlighed af A givet B defineres ved: P A B P A B, P B hvis P B 0. Hvis P B 0 definerer vi P A B 0. Bemærk multiplikationsreglen: P A B P A B P B. Holder også for P B 0, da også P A B 0 (ved monotonicitet). Bemærk at P B B 1.

12 Hvis P B 0erP B også et sandsynlighedsmål på S. 1. P S B 1, da P S B P S B P B P B P B 1 2. P A 1 A 2 B P A 1 B P A 2 B hvis A 1 A 2, da P A 1 A 2 B P A 1 A 2 B P B P A 1 B A 2 B P B P A 1 B P A 2 B P B P A 1 B P A 2 B

13 Eksempel: Kast med terning, S 1, 2, 3,4,5,6 A 1, 2, 3, P A 1/2; B 2, 4, P B 1/3; A B 2 P A B P A B P B 1/6 1/3 1/2 dvs. P A B uændret i forhold til P A. C 2, 4, 6, P C 1/2; A C 2 P A C P A C 1/6 P C 1/2 1/3 dvs. P A C ændret i forhold til P A. Den betingede sandsynlighed afhænger af hvad der betinges med.

14 Bemærk den generelle multiplikationsregel: P A 1 A 2 A 3 P A 1 P A 2 A 1 P A 3 A 1 A 2. Bevis: P A 1 A 2 A 3 P A 1 A 2 P A 3 A 1 A 2 P A 1 P A 2 A 1 P A 3 A 1 A 2. Kan generaliseres til flere end tre hændelser (hændelsestræ).

15 Bayes formel Opdel hele udfaldsrummet S i disjunkte hændelser B 1,B 2,,B k. Specielt er S B 1 B 2 B k Lad A være en hændelse. Loven om total sandsynlighed: k P A P A B i P B i. i 1 Bayes formel: P B j A P A B j P B j P A i 1 P A B j P B j k P A B i P B i.

16 Eksempel: Test for defekt i computer chip. Test kan være positiv eller negativ (dvs. testen er ikke perfekt). Chip kan være defekt eller ikke defekt. Lad A test er positiv, A test er negativ. Lad B chip er defekt, B chip er ikke defekt. Ud fra tidligere undersøgelse kendes prevalensen af defekten, P B antal defekte samlet antal 0.2 dvs. 20% defekte. P B 1 P B 0.8

17 Testens kvalitet er bestemt ved: Sensitivitet: P A B 0.95 dvs. P A B 1 P A B Specificitet: P A B 0.9, dvs. P A B 1 P A B Nu bruges Bayes formel P A B P B P B A P A B P B P A B P B P B A 1 P B A

18 Halvdårlig test. Kan forbedres ved at forøge både sensitiviteten P A B 0.95 og specificiteten P A B Tilsvarende fås P A B P B P B A P A B P B P A B P B P B A 1 P B A Rimelig godt. Kan forbedres lidt ved at forøge specificiteten P A B.