Finanskalkulationer Side 1/19 Steen Toft Jørgensen. Finanskalkulationer. avanceret rentesregning. matematiske modeller i økonomi

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Finanskalkulationer Side 1/19 Steen Toft Jørgensen. Finanskalkulationer. avanceret rentesregning. matematiske modeller i økonomi"

Transkript

1 Faskalkulatoe Sde /9 Stee Toft Jøgese Faskalkulatoe avaceet etesegg matematske modelle økoom Idholdsfotegelse: Kaptel : Rete Retebegebet Omkostge Retefomle Effektv ete Kotuet foetg Tdsdagam Flytg af kaptal td Kaptel 2: Låtype Faselle udtyk Autetslå Uamotsabelt lå Fast lå Seelå Mxlå Afdagsfe lå Kaptel 3: Effektv ete & kusvæd Retebegebet (mee dgåede Kusvæd Autetslå Fast lå

2 Faskalkulatoe Sde 2/9 Stee Toft Jøgese Kap. : RENTE Retebegebet: Udlåes pege af e lågve tl e låtage, skal de betales mee tlbage ed ma faktsk låe. Foskelle kaldes ete. De ete, e lågve folage, skal dække følgede: flato, dvs. vædfogelse af pegee tabssko, hvs låtagee gå fallt, og kke ka betale gælde tlbage. poft, dvs. fotjeeste skat, det etee jo beskattes hos lågvee Lågvee ka placee se pege passvt på e bakkoto, og demed opå e ete ude eel tabssko. Defo vl ete på et ydet lå altd væe støe ed bakees dlåsete. Omkostge: Et lå e altd behæftet med omkostge, som skal dække udgftee ved opettelse (td tl ekspedto, og statsafgft ved tglysg af gælde samt de løbede udgfte tl admstato (kotol af betalge, dbeetge osv.. Det e mulgt at få dækg hefo på flee måde: stftelsespovso elle opettelsesgeby, som e e egagsudgft løbede admstatosgeby, avedes ved kassekedt bak, elle ved kedtfoegslå højee ete lavee kus (NB: omalt e kusgevste skattefe Retefomle: Som bekedt ske foetge af e kaptal efte de såkaldte etefomel. De e tale om ét beløb, som dsættes bake, og kaptale foetes teme. RENTEFORMLEN: K = statkaptal K = slutkaptal = atal teme = etefod p. tem K = K ( + Effektv ete: Nå e bak opgve de omelle ete tl 2 % p.a. med kvatalsvs tlskvg, betyde det at bake tlskve 2% 3% 4 = ete 4 gage ålgt. He e e tem altså å. De ålge ektve 4 ete udtykke de ete, ma faktsk skal betale, hvs de ku e é ålg etetlskvg:

3 Faskalkulatoe Sde 3/9 Stee Toft Jøgese 4 4 ( + 3% =, 03 =, dvs. =, = 0,255088! 2,6% EFFEKTIV RENTE: = ektv etefod om = omel etefod = atal teme om = + Kotuet foetg: Hvad ske de egetlg, hvs ma kaftgt øge atallet af teme defo et fastsat tdsum? F.eks. kue ma foestlle sg at ophæve e bakbog hve dag, og staks opette e y - fo heved at femtvge e etebeegg! NB: bakee fohde dette ved bug af begebet valødato, som e de dato, hvofa de ske etebeegg. Nå ma dsætte pege på bakboge, e valødatoe som egel æste hvedag. V øske altså, at udesøge fomle fo ektv foetg, å blve meget sto. V skal altså fde gæsevæde af + fo. Tcket e at tage logatme føst: l + l + l + l( l + = l + = = = l ( = = Ved gæseovegage e avedt deftoe af dffeetalkvotete fo de atulge logatmefukto. Hemed fås: l + + e Dvs. de ektve ete ved kotuet foetg e: = e t t + = + = e Lgeledes gælde: ( e t Retefomle ved kotuet foetg lyde defo (det t e tde å, og e etefode p.a.: t Kt ( = K e Kaptale vokse således ekspoetelt. Fomle avedes hyppgt vdeegåede økoom, det det e lagt lettee at abejde med dee fomel. Summatoe ove td ka så estattes med tegale! t Eksempel.: Gvet: = 4% p.a. og = 365. om

4 Faskalkulatoe Sde 4/9 Stee Toft Jøgese + = = 0,04 0,04 + = + = 0, e = e = 365 0,04 0, Altså opås de ca. 4,08% p.a. ved kotuet foetg. Tdsdagam: Fo at llustee d- og udbetalg på lå vl v tege tdsdagamme, dvs. dagamme med temsummeet ud af. akse, og ogle "pde" opad (hvs dbetalg/dtægt elle edad (hvs udbetalg/udgft. Dagammee ka laves på 2 måde; ete ses de fa låtages elle fa lågves sde. Dagammee vl væe spejlbllede af hade. akse! Eksempel.2: Gvet et lå, de udbetales med.000 k. staks og.000 k. ydelgee om 2 måede. Det tlbagebetales med k. om 5 måede. He e e tem således é måed.

5 Faskalkulatoe Sde 5/9 Stee Toft Jøgese Flytg af kaptal td: Pga. foetge af e kaptal e kaptales væd afhægg af de tdslge placeg..000 k. dag svae (med 2 % ete tl.20 k. om é tem,.254,40 k. om to teme 2 (.000,2 osv. Tlsvaede e.000 k. dag ækvvalet med 892,86 k. fo é tem sde (.000,2. Populæt sagt e.000 k. dag mee væd ed.000 k. moge! Ifølge etefomle ka ma altså flytte e kaptal på tdsdagammet efte følgede egle: gage med ( + ved flytg teme femad dvdee med ( + ved flytg teme bagud, dvs. gage med ( + De flyttede kaptal beteges kaptalvæde ( KV tl teme. Hvs = 0 kaldes kaptalvæde også fo utdsvæde ( NV. E kaptal, som modtages om e vs td, e altså mde væd ed kaptales faktske pålydede (åsage e jo flatoe, som dgå foetge. Tlsvaede vl alle meeske udsætte e betalg tl sdste øjeblk ("gats kedt" elle "lkvdtetslettelse"; hvs ma betale fø tde mste ma jo ete af pegee, som kue stå på e bakkoto. Bakees Betalgssevce udmøte dee de pakss. Eksempel.3: Gvet: Kaptal = K = k. Tem = = 3 (å Retefod = = 9 % (p.a. Kaptalvæd å 0 = KV (5.000 = Nutdsvæd = 3 0 NV = 5.000,09 = 3.860,92 k. Kaptalvæd å 0 = KV 7 0 (5.000 = 5.000,09 = 9.40, 20 k. Det betyde, at hvs ma dsætte 3.860,92 k. bake u tl 9 % p.a., vl pegee vokse tl k. om 3 å.

6 Faskalkulatoe Sde 6/9 Stee Toft Jøgese Kap. 2: LÅNTYPER Faselle udtyk: Ved behadlg af et lå avede ma vsse faselle udtyk, som vl blve foklaet he: Hovedstol ( H betyde blot låets støelse (statgæld. Restgæld (G e de aktuelle gæld. Gælde e tl stat = hovedstole, og tl slut = 0. Ydelse (Y dække det samlede beløb, ma betale p. tem; det gå tl afdag og ete. Ydelse = Afdag + Retebeløb Afdag ( A betyde det beløb, ma betale af på gælde. Summe af alle afdagee e etop hovedstole. Retebeløb ( R udtykke betalge fo at have gælde. Beeges ud fa estgælde og etefode. Tem udtykke peode, hvo betalge ske. Løbetd ( e atal gage, de skal betales af på gælde. Retefod ( e de ete %, de skal buges ved beegg af etebeløbet. LÅN (geeelt: H = hovedstol = løbetd = etefod Y = ydelse tl tem. A = afdag tl tem. R = etebeløb tl tem. G = estgæld tl tem. (efte 'te afdag G0 = H og G = 0 Fo =, 2,..., gælde: G = G A R = G Y = A + R A + A + + A = H 2 Autetslå: Et autetslå e kaakteseet ved, at ydelse p. tem e kostat. Ydelse kaldes så blot Y, og fofalde med samme mellemum (e tem. Autetslåets tlbagebetalg state almdelgvs tem efte gældsstftelse. V betagte dette afst e såda type:

7 Faskalkulatoe Sde 7/9 Stee Toft Jøgese Fo at fde sammehæge mellem støelsee et autetslå opstlles e balacelgg. Da gælde stftes "å 0", må v have følgede: Hovedstole = Kaptalvæde å 0 (utdsvæd af samtlge ydelse dvs. H = KV0( Y+ Y2 + + Y = På TI-89 dtastes: ( (+^(-,,, KV0( Y + KV0( Y2 + + KV0( Y = Det gve: ( + KV0( Y + KV0( Y + + KV0( Y = 2 Y ( + + Y ( Y ( + = som let educees tl: ( + 2 Y ( + + ( ( + ( Paetese e e kvotetække med kvotete q= ( + og. led = Y ( +. Summe e: (( + ( + H = Y ( + = Y = Y a(, ( + NB: a (, udtykke kaptalvæde å 0 (utdsvæde af e autet på k. ANNUITETSLÅN (alm.: H = hovedstol = løbetd Y = ydelse (kostat = etefod H = Y a(, Y = H a(, ( + hvo a (, = og a (, = ( + Restgælde, etebeløbet og afdaget beeges med de geeelle fomle, som e agvet state af kaptel 2. Øske v tlsvaede kaptalvæde å (slutvæde af e autet på k. skal v avede etefomle: ( + ( + ( + ( + ( + s (, = a (, ( + = ( + = = Dette e fomle fo opspagsautet, hvo ma ka beege væde tl slut (jf. pesosopspag.

8 Faskalkulatoe Sde 8/9 Stee Toft Jøgese Opspae ma Y k. hve tem, ha ma staks efte teme alt: ( + Y s(, = Y Eksempel 2.: Gvet e autet Ydelse = Y =.000 k. Løbetd = = 20 å Retefod = = 9% p.a. 20 ( +,09 Hovedstole beeges: H = Y a(, = Y =.000 = 9.28,55 k. 0,09 Fo at få et oveblk ove temsbetalgees opdelg etebeløb og afdag vl v femstlle e såkaldt amotsatostabel ('amotsee' vl sge at tlbagebetale gælde. Tabelle vl fo hve tem umme: ydelse, etebeløb, afdag og estgæld. Beegge ske mod høje og edad, som sædvalgt. Retebeløbet ka jo fatækkes skat, defo e dets pæcse støelse vgtg. Alle støelse e he fø skat (også kaldet buttostøelse. Eksempel 2.2: Gvet e autet Hovedstol = H = k. Løbetd = = 5 Retefod = = 0% Autetes ydelse = Y H a 0,0 (, = = = , 75. 5,0 k Restgæld = G 0 = H = k. Retebeløb = R = G0 = 0, = k. Afdag = A = Y R = Y R = , = 6.379, 75 k. Restgæld = G = G0 A = , 75 = , 25 k. osv. ANNUITETSLÅN AMORTISATIONSTABEL Tem. ( Ydelse ( Y Retebeløb ( R Afdag ( A Restgæld ( G [efte afdag] , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,59-0,0

9 Faskalkulatoe Sde 9/9 Stee Toft Jøgese At estgælde tl slut ( G 5 kke blve pæcst 0 skyldes afudge. Uamotsabelt lå: At amotsee et lå betyde "at afbetale på gælde". Defo e et uamotsabelt lå et lå, som kke afdages - de betales alee ete, kke afdag. Retebetalge fotsætte så tl evg td. Låtype avedes sjældet - me buges pakts tl vsse lå tl ulade, hvo ma kke 'fovete' oge tlbagebetalg. Y Y Ydelse Y = H H = KV0 = KV0 = Y Dee fomel ka også udledes fa autetslå-fomle. Idet v lade fås: ( + ( + 0 H = Y a(, = Y = Y Y = Y fod ( + da ( + >. UAMORTISABELT LÅN: H = hovedstol Y = ydelse (kostat G = estgæld (kostat R = etebeløb (kostat A = afdag (tet = etefod A = 0 R = H Y = H G = H Eksempel 2.3: Hvad e egetlg købekafte dag af at modtage.000 k. hvet å tl evg td, å flatoe fovetes at væe på 4% p.a.? Svaet e utdsvæde af et uamotsabelt lå, hvo etebetalge e 000 k. hvet å, og etefode e 4% p.a.!

10 Faskalkulatoe Sde 0/9 Stee Toft Jøgese Y.000 Væde e så: H = = = k. 0,04 Ma ka altså lge så godt modtage k. é gag fo alle! Eksempel 2.4: Gvet et uamotsabelt lå Hovedstol = H = k. Retefod = = 0% Retebeløbet = R = Ydelse = Y = H = 0, = k. Restgælde G = H = k. UAMORTISABELT LÅN Tem. ( Retebeløb ( R Afdag ( A AMORTISATIONSTABEL Ydelse ( Y Restgæld ( G [efte afdag] , , , , , , , , , , , , , Bemæk, at estgælde tl evg td e = H = hovedstole. Fast lå: Et fast lå e e låtype, hvo de alee betales ete hve tem, og tet afdag. Ydelse = etebeløb hele låets løbetd. Gælde (hovedstole betales så på é gag tl sdst - ma sge at "est-gælde fofalde tl betalg".

11 Faskalkulatoe Sde /9 Stee Toft Jøgese I hve tem betales etebeløbet H (gælde e jo kostat, dvs. Y = H. Me de sdste tem betales også afdaget H (hele gælde, dvs. Y = H + H. FAST LÅN: H = hovedstol = løbetd = etefod R = etebeløb (kostat A = afdag tl tem. Y = ydelse tl tem. G = estgæld tl tem. R = H A = = A = 0 og A = H Y = = Y = H og Y = H + H G = = G = H og G = 0 0 Eksempel 2.5: Gvet et fast lå Hovedstol = H = k. Løbetd = 5 Retefod = = 0 % Retebeløbet = R = H = 0, = k. Sdste tem e ydelse Y5 = H + H = = k. FAST LÅN AMORTISATIONSTABEL Tem. ( Retebeløb ( R Afdag ( A Ydelse ( Y Restgæld ( G [efte afdag] , , , , , , , , , , , , , , , ,00 0,00 Seelå: Et seelå e kaakteseet ved, at afdaget p. tem e kostat. Demod vl etebeløbet og ydelse aftage - lået e 'hådt' state, og blve lettee med tde.

12 Faskalkulatoe Sde 2/9 Stee Toft Jøgese Da gælde skal betales tlbage ove teme (løbetde, og afdaget e kostat, ka ma fde afdaget således: Hovedstol H Afdag = A = = Løbetd Retebeløbet, ydelse og estgælde fdes med de geeelle fomle (kaptel 2, state: Retebeløb = R = G Ydelse = Y = A+ R Restgæld = G0 = H og G = G A SERIELÅN: H = hovedstol = løbetd = etefod A = afdag (kostat R = etebeløb tl tem. Y = ydelse tl tem. G = estgæld tl tem. H A = R = G Y = A+ R G = H og G = G A 0 Eksempel 2.6: Gvet et seelå: Hovedstol = H = k. Løbetd = 5 Retefod = = 0 % H Afdaget = A = = = k. 5 Retebeløbet = R = G0 = 0, = k. Ydelse = Y = A+ R = = k. SERIELÅN AMORTISATIONSTABEL Tem. ( Afdag (A Retebeløb ( R Ydelse ( Y Restgæld ( G [efte afdag]

13 Faskalkulatoe Sde 3/9 Stee Toft Jøgese , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,00 0,00 Mxlå: Et mxlå e kaakteseet ved, at bestå at é del autetslå og é del seelå. E typsk fodelg e 60/40; dvs. 60 % af hovedstole amotsees som et autetslå, og 40 % af hovedstole amotsees som et seelå. Mxlå blev dføt slutge af 980 ee ('katoffel-kue'. Fomålet va at søge fo, at ettoydelse på huslået foblev kostat med tde. Mxlå va ftaget fo staf-eteafgft, mes de omalt bugte autetslå va belagt med staf-eteafgft. Dsse elemete af det poltske folg kaldet 'katoffel-kue' e u ophævet. Afdagsft lå: I begydelse af det ye åtusde ha ma dføt såkaldte afdagsfe lå. Det e pcppet et uamotsabelt lå e vs peode, eftefulgt af et alm. autetslå. Eksempel 2.7: Gvet: Hovedstol = H = k. Afdagsf peode = 0 å Løbetd ( alt = 30 å Retefod = = 6 % p.a. He betales e ydelse = etebeløb = H = 0, = k. hvet å de føste 0 å. Deefte betales e ydelse på: 0,06 Y = H a(, = H = = 87.84,56 k. hvet å de sdste 20 å. 20 ( +,06 I alt betale ma 2,344 mo. k. Hvs ma havde valgt et alm. autetslå ove 30 å, skulle de betales ,9 k. hvet å 30 å. På de måde vlle ma alt betale 2,79 mo. k. Ved buttoydelse fostås de faktske ydelse koe - det beløb, ma skal betale tl lågvee hve tem. Nettoydelse e de ydelse, ma eelt selv skal elægge - det etebeløbet gve fadag skatte. Skattevæseet betale således ca. halvdele af etebeløbet. buttoydelse = ydelse = afdag + etebeløb ettoydelse! afdag + 50 % af etebeløb

14 Faskalkulatoe Sde 4/9 Stee Toft Jøgese Kap. 3: EFFEKTIV RENTE & KURSVÆRDI Retebegebet (mee dgåede: Eksempel 3.: Gvet et lå på 000 k. u, og e tlbagebetalg af det dobbelte om 4 å! V øske at fde etefode. Hetl ka ma atulgvs avede etefomle, me v vl mdletd opstlle følgede balacelgg (som udtykke kaptalvæde å 0: KV0( dtægte = KV0( udgfte KV0(.000 = KV0( = ( + Lgge løses umesk med Solve-fuktoe på TI-89 (husk: > 0. Det gve: = dvs.! 8,9% Eksempel 3.2 Lå 000 k. u og om ét å, og betal 3000 k. om 4 å. Balacelgg opstlles (f.eks. kaptalvæd å 4:

15 Faskalkulatoe Sde 5/9 Stee Toft Jøgese KV ( dtægte = KV ( udgfte KV ( KV (.000 = KV ( ( ( + = Lgge løses umesk med Solve-fuktoe på TI-89 (husk: > 0. Det gve: = 0,2229 dvs.! 2, 2% Eksempel 3.3: Lad os se på et mee utadtoelt låeaagemet: Betal 00 k. u, få 230 k. om ét å, og betal 32 k. om to å! F.eks. gve Søe 00 k. tl Pete staks, og Pete gve Søe 230 k. om ét å, og tl sdst om 2 å gve Søe Pete 32 k.! Hvs v se bot fa ete, så vl Søe tabe på aagemetet: Søe ha udgfte på = 232 k. og dtægte på 230 k. Det spædede e, hvo sto e etefod de egetlg e tale om, hvs begge pate skal væe tlfedse? V opstlle balacelgge (kaptalvæde å 0: KV0( dtægte = KV0( udgfte KV0(00 + KV0(32 = KV0( ( + = 230 ( + Lgge løses umesk med Solve-fuktoe på TI-89 (husk: > 0. Det gve: = 0,0 = 0, 20 dvs. etefode e ete 0 % elle 20 %! De e således kke e etydg løsg! NB: Ma ka bevse, at de eksstee e etydg etefod, hvs de e tale om et almdelgt lå: ét beløb udbetales å 0, og de betales (et støe beløb tlbage åee heefte. Kusvæd: Et lå tlbydes ofte ved udstedelse af oblgatoe; f.eks. udstede kedtfoege oblgatoe, å et hus belåes. Oblgatoee sælges på bøse tl højestbydede. Hvs e oblgato med e pålydede væd af 00 k. sælges tl 93 k., sge v at kuse e 93 - mee pæcs at kusvæde e 0,93. Låtagee modtage altså ku 93 k., me skal betale ete og afdag af de 00 k.! E kusvæd ude,00 svae således tl e slags opettelsesgeby. Kus 00 beæves også pa.

16 Faskalkulatoe Sde 6/9 Stee Toft Jøgese Dee kusvæd vl v omege tl e ektv etefod, som jo blve støe ed de gve etefod, å kuse e ude pa. Væ opmæksom på, at de støe ektve etefod kke gve støe skattefadag. Kustabet e således sædeles dyt fo låtagee. Kusgevste hos oblgatoskøbee e omalt skattef, og defo eftetagtet. Modelle fo bestemmelse af de ektve etefod e: Alle beløb (afdag, etebeløb, geby, udbetalge osv. dgå flytge på tdsakse (kaptalvæd tl samme å. Resultatet af beeggee udtykkes de ektve etefod. Autetslå: Atag at v ege på et alm. autetslå med e gve kusvæd k. Ydelsee e kostate, og utdsvæde af ydelsee skal væe det faktsk udbetalte lå (kusvæd gage hovedstol. V opstlle e balace-lgg (kaptalvæd å 0: k H = Y a(, det k H e det faktske udbetalte beløb ( k H = H a(, a(, følge de alm. autetsfomel = (, (, det H ka fokotes væk k a a NB: De ektve etefod blve altså uafhægg af hovedstole! ANNUITETSLÅN (alm.: k = kusvæd = løbetd = etefod = ektve etefod a (, = k a (, Eksempel 3.4: Gvet et alm. autetslå: Kusvæd = k = 0,90 (populæt: "kus 90" Løbetd = = 30 å Retefod = = 0 % p.a. V øske at fde, og avede oveståede fomel: ( ,0 a (, = k a (, = 0,90 0,0 Ved bug af Gaftegg + Skægspukt på TI-89 få v e ektv etefod på: = 0,335!,3% p.a. NB: Solve-fuktoe svgte he. TI-89 blve aldg fædg! Eksempel 3.5: Gvet et alm. autetslå med helålg etetlskvg.

17 Faskalkulatoe Sde 7/9 Stee Toft Jøgese Hvlke kus skal e vesto gve fo e 9 % oblgato med e løbetd på 20 å, å ma øske % foetg af pegee? Svaet fdes ved bug af oveståede fomel: a (, k a (, k a (, a (, = = ,, 09 ( +, 0,09 k = = k = 0, ( Altså skal vestoe byde max. kus 87,2 fo 9 % oblgatoe. Fastlå: Tl bestemmelse af de ektve etefod opstlles balacelgge (kaptalvæd å 0: udbetalt lå = KV 0 (autete beståede af ydelse H + KV 0 (de fofalde gæld H å # k H = ( H a(, + H ( + k = a(, + ( + det H ka fokotes væk. FAST LÅN: k = kusvæd = løbetd = etefod = ektve etefod k = a(, + ( + Eksempel 3.6: Gvet et fast lå: Kusvæd = k = 0,93 (populæt: "kus 93" Løbetd = = 0 å Retefod = = 2 % p.a. Svaet fdes ved bug af oveståede fomel: 0 ( + 0 k = a(, + ( + 0,93 = 0,2 + ( + Ved bug af Gaftegg + Skægspukt på TI-89 få v e ektv etefod på: = 0,33058! 3,3% p.a. NB: Solve-fuktoe svgte he. TI-89 blve aldg fædg!

18 Faskalkulatoe Sde 8/9 Stee Toft Jøgese OPGAVER Opgave : (ektv ete Bestem de ektve etefod fo et bllå på 4 % p.a. omelt, hvo etetlskvge e kvatalsvs. Opgave 2: (tdsdagam Teg et tdsdagam med følgede beløb: dbetalg af k.. og 4. tem, udbetalg af.500 k. 2. og 6. tem. Opgave 3: (kaptalvæd Beeg kaptalvæde å 0 fo e kaptal på k. placeet å 2, det ete sættes tl 8 % p.a. Tlsvaede fo KV å 3, å 7 og å 5. Opgave 4: (autetslå Gvet et autetslå med e løbetd på 20 å og helålg etetlskvg. Hovedstole e k., og de ålge ydelse e k. Beeg etefode. Opgave 5: (ektv ete Fd de ektve etefod ved følgede låeaagemet: k. låes, og de tlbagebetales k. om 2 å. Opgave 6: (ektv ete Fd de ektve etefod ved følgede låeaagemet: k. låes, og de tlbagebetales k. om 2 å og k. om 3 å. Opgave 7: (ektv ete Beeg de ektve etefod ved følgede låeaagemet: k. låes ålgt (å 0,, 2, 3 og de tlbagebetales k. ålgt (å 4, 5, 6. Et lå af dee type llustee et SU-lå.

19 Faskalkulatoe Sde 9/9 Stee Toft Jøgese Opgave 8: (kus Bestem kuse på et oblgatoslå (autetstype ove 30 å, å etefode e 0 % p.a. med e ektv etefod på 2 % p.a. Opgave 9: (udskudt tlbagebetalg Et % autetslå lyde på k. ove 20 å. Låtagee få de k. staks, me e føst stad tl at tlbagebetale fa å 2, det hu lge skal fædggøe s uddaelse. a (samme sluttdspukt, mde atal teme Atag at tlbagebetalge ske som et autetslå å 2, 3, 4,..., 9, 20. Beeg de ålge ydelse. b (udskudt sluttdspukt, fastholdt atal teme Atag at tlbagebetalge ske som et autetslå å 2, 3, 4,..., 9, 20, 2. Beeg de ålge ydelse. Opgave 0: (huslå Gvet et alm. autetslå på k. tl % p.a.. Beeg. ås buttoydelse, å belåge ske ove 20 hhv. 30 å. Opgave : (afdagsft lå Beeg de ektve ete fo det afdagsfe lå, som e beskevet eksempel 2.7 sde 3. Altså hvo de e 0 å ude afdag på lået, og deefte e tlbagebetalg som e autet ove 20 å.

Januar2003/ AM Rentesregning - LÅN & OPSPARING 1/8. Aftager med...% Gange med (1...%) r:=...% Før aftager med...% og bliver til Efter, dvs.

Januar2003/ AM Rentesregning - LÅN & OPSPARING 1/8. Aftager med...% Gange med (1...%) r:=...% Før aftager med...% og bliver til Efter, dvs. Jaua2003/ AM Retesegig - LÅN & OPSPARING 1/8 PROCENT Po cet betyde p. 100" altså hudededele p% = p 100 Decimaltal Ved omskivig fa pocet til decimaltal flyttes kommaet to pladse mod veste 5%=0,05 0,1%=0,001

Læs mere

Med disse betegnelser gælder følgende formel for en annuitetsopsparing:

Med disse betegnelser gælder følgende formel for en annuitetsopsparing: Matema10k C-iveau, Fydelud Side 1 af 10 Auitetsopspaig De fides mage måde at spae op på. Vi vil he se på de såkaldte auitetsopspaig. Emet ka buges som e del af det suppleede stof, og det ka avedes som

Læs mere

Hvis man vil lægge 15% til 600, så kan det gøres ved at udregne, hvor meget 15% af 600 er lig med og lægge det til det oprindelige beløb:

Hvis man vil lægge 15% til 600, så kan det gøres ved at udregne, hvor meget 15% af 600 er lig med og lægge det til det oprindelige beløb: 0BRetesegig BTæk i femskivigsfaktoe! I dette tillæg skal vi se, at begebet femskivigsfaktoe e yttigt til at fostå og løse foskellige poblemstillige idefo pocet- og etesegig. 3B. Lægge pocet til elle tække

Læs mere

Opsparing og afvikling af gæld

Opsparing og afvikling af gæld Opspaig og afviklig af gæld Opspaig Eksempel 1 Lad os state med at se på et eksempel. 100 Euo idbetales å i tæk på e koto, de foetes med 3 % p.a. Vi ha tidligee beeget e såda kotos udviklig skidt fo skidt:

Læs mere

Procent og eksponentiel vækst - supplerende eksempler

Procent og eksponentiel vækst - supplerende eksempler Eksemple til iveau F, E og D Pocet og ekspoetiel vækst - suppleede eksemple Pocete og decimaltal... b Vækst-fomle... d Fa side f og femefte vises eksemple på bug af vækstfomle. Fomle skives omalt på dee

Læs mere

Projekt 4. Anlægsøkonomien i Storebæltsforbindelsen hvordan afdrages

Projekt 4. Anlægsøkonomien i Storebæltsforbindelsen hvordan afdrages Pojekt 4. Alægsøkoomie i Stoebæltsfobidelse hvoda afdages lå? Dette pojekt hadle om, hvoda økoomie va skuet samme, da ma byggede Stoebæltsfobidelse. Stoe alægspojekte e æste altid helt elle delvist låefiasieet.

Læs mere

Indhold (med link til dokumentet her) Introduktion til låntyper. Begreber. Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen

Indhold (med link til dokumentet her) Introduktion til låntyper. Begreber. Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Thomas Jensen og Moten Ovegåd Nielsen Annuitetslån I bogens del 2 kan du læse om Pocent og ente (s. 41-66). Vi vil i mateialet he gå lidt videe til mee kompliceede entebeegninge i fobindelse med annuitetslån.

Læs mere

Annuiteter og indekstal

Annuiteter og indekstal Annuitete og indekstal 1 Opspaing og lån Mike Auebach Odense 2010 Hvis man betale til en opspaingskonto i en bank, kan man ikke buge entefomlen til at beegne, hvo mange penge, de vil stå på kontoen. På

Læs mere

Kvalitet af indsendte måledata

Kvalitet af indsendte måledata Notat ELT2004-112 Aktørafregg Dato: 23. aprl 2004 Sagsr.: 5584 Dok.r.: 185972 v1 Referece: NIF/AFJ Kvaltet af dsedte måledata I Damark er det etvrksomhederes opgave at måle slutforbrug, produkto og udvekslg

Læs mere

Forløb om annuitetslån

Forløb om annuitetslån Matema10k C-niveau, Fdenlund Side 1 af 7 Foløb om annuitetslån Dette mateiale fokusee på den tpe lån de betegnes annuitetslån. Emnet kan buges som en del af det suppleende stof, og mateialet kan anvendes

Læs mere

Cykelfysik. Om udveksling og kraftoverførsel

Cykelfysik. Om udveksling og kraftoverførsel Cykelfysik 1/7 Cykelfysik Om udvekslig og kaftoveføsel Idhold 2. Kaftoveføsel og abejde...2 3. Abejde ved cykelkøsel...4 4. Regeeksemple fo e acecykel...5 5. Det e hådt at køe op ad bakke...6 6. Simple

Læs mere

Annuiteter og indekstal

Annuiteter og indekstal Annuitete og indekstal Mike Auebach Odense, 2010 1 OPSPARING OG LÅN Hvis man betale til en opspaingskonto i en bank, kan man ikke buge entefomlen til at beegne, hvo mange penge, de vil stå på kontoen.

Læs mere

Induktionsbevis og sum af række side 1/7

Induktionsbevis og sum af række side 1/7 Iduktosbevs og sum af række sde /7 Skrver ma,,,...,,..., =, 2, 3,... 2 3 taler ma om e talfølge, eller blot e følge. Adre eksempler på følger er, -,, -,, -,..., (-) +,..., =, 2, 3,..., 2, 3, 4,...,,...,

Læs mere

Claus Munk. kap. 1-3

Claus Munk. kap. 1-3 Claus Muk kap. 1-3 1 Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Pris og kurs Effektive reter 2 1 Obligatioer Grudlæggede Itro Debitor

Læs mere

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 1-3. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 1-3. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Claus Muk kap. - 3 Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Effektive reter 2 Obligatioer Grudlæggede Itro Obligatioer Grudlæggede Itro

Læs mere

Men tilbage til regression og Chi-i-anden. test. Begge begreber refererer til normalfordelingen med middelværdi μ og spredning σ.

Men tilbage til regression og Chi-i-anden. test. Begge begreber refererer til normalfordelingen med middelværdi μ og spredning σ. χ test matematkudervsge χ - test gymasets matematkudervsg I jauar ummeret 8 af LMFK bladet havde jeg e artkel, hvor jeg harcelerede ldt over, at regresso og sær χ fordelg havde fudet dpas matematkudervsge

Læs mere

BEVISER TIL KAPITEL 7

BEVISER TIL KAPITEL 7 BEVISER TIL KAPITEL 7 A. Komplemetærhædelse Det er klart, at e hædelse A og de komplemetære hædelse A udgør hele udfaldsrummet U, dvs. A A = Da fås P(U = U P(A A = P (A + P(A = da de to hædelser er dsjukte

Læs mere

1. Indledning... 1 2. Lineær iteration... 2

1. Indledning... 1 2. Lineær iteration... 2 Hvad e matematik? B, i og ISBN 978 87 766 494 3 Pojekte: Kapitel Pojekt.3 Lieæe Iteatiospocesse Idhold 1. Idledig... 1 2. Lieæ iteatio... 2 2.1 Lieæ vækst... 2 2.2 Ekspoetiel vækst... 2 2.3 Foskudt ekspoetiel

Læs mere

Rentesregning: Lektion A1. Forrentningsfaktor, Diskonteringsfaktor, og Betalingsrækker. Overordnede spørgsmål i Rentesregning. Peter Ove Christensen

Rentesregning: Lektion A1. Forrentningsfaktor, Diskonteringsfaktor, og Betalingsrækker. Overordnede spørgsmål i Rentesregning. Peter Ove Christensen Rentesegning: Lektion A1 Foentningsfakto, Diskonteingsfakto, og Pete Ove Chistensen Foå 2012 1 / 49 Oveodnede spøgsmål i Rentesegning Hvoledes kan betalinge sammenlignes, nå betalingene e tidsmæssigt adskilte?

Læs mere

Kombinatorik. 1 Kombinationer. Indhold

Kombinatorik. 1 Kombinationer. Indhold Kombator, marts 04, Krste Roselde Georg Mohr-Kourrece Kombator Kombator går ud på at tælle atallet af ombatoer af et eller adet, og for at ue tælle atallet af ombatoer smart har ma brug for forsellge tællestrateger

Læs mere

Økonometri 1. Funktionel form. Funktionel form (fortsat) Dagens program. Den simple regressionsmodel 14. september 2005

Økonometri 1. Funktionel form. Funktionel form (fortsat) Dagens program. Den simple regressionsmodel 14. september 2005 Dages program Økoometr De smple regressosmodel 4. september 5 Dee forelæsg drejer sg stadg om de smple regressosmodel (Wooldrdge kap.4-.6) Fuktoel form Hvorår er OLS mddelret? Varase på OLS estmatore Regressosmodelle

Læs mere

Renteformlen. Erik Vestergaard

Renteformlen. Erik Vestergaard Reteformle Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2010. Billeder: Forside: istock.com/ilbusca Side 4: istock.com/adresrimagig Desude ege illustratioer. Erik Vestergaard

Læs mere

Variansanalyse (ANOVA) Repetition, ANOVA Tjek af model antagelser Konfidensintervaller for middelværdierne Tukey s test for parvise sammenligninger

Variansanalyse (ANOVA) Repetition, ANOVA Tjek af model antagelser Konfidensintervaller for middelværdierne Tukey s test for parvise sammenligninger Vaansanalyse (ANOVA) Repetton, ANOVA Tjek af model antagelse Konfdensntevalle fo mddelvædene Tukey s test fo pavse sammenlgnnge ANOVA - defnton ANOVA (ANalyss Of VAance), også kaldet vaansanalyse e en

Læs mere

Elementær Matematik. Sandsynlighedsregning

Elementær Matematik. Sandsynlighedsregning lemetær Matematk Sadsylghedsregg Ole Wtt-Hase Køge Gymasum 008 INDHOLD KAP. KOMBINATORIK.... MULTIPLIKATIONS- OG ADDTIONSPRINCIPPT.... PRMUTATIONR... 3. KOMBINATIONR...3 KAP. NDLIGT SANDSYNLIGHDSFLT...7.

Læs mere

Scorer FCK "for mange" mål i det sidste kvarter?

Scorer FCK for mange mål i det sidste kvarter? Uge 7 I Teoretsk Statstk, 9. aprl 2004. Hvor er v? Hvor var v: opstllg af statstske modeller Hvor skal v he: tro om estmato og test 2. Eksempel: FCK Estmato (tutvt) Test Maksmum lkelhood estmato Scorer

Læs mere

x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium

x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium SANDSYNLIGHEDSREGNING OG KOMBINATORIK x-klassere Gammel Hellerup Gymasum Idholdsfortegelse SANDSYNLIGHEDSREGNING... 3 Sadsylghedsfelt... 3 Edelge sadsylghedsfelter (sadsylghedsfordelger):... 3 Uedelge

Læs mere

Trigonometri. teori mundtlig fremlæggelse C 2. C v. B v. A v

Trigonometri. teori mundtlig fremlæggelse C 2. C v. B v. A v Tigonometi teoi mundtlig femlæggelse 2 v v B v B Indhold 1. Sætning om ensvinklede teknte og målestoksfohold (uden bevis)... 2 2. Vinkelsummen i en teknt... 2 3. Pythgos sætning om ETVINKLEDE TEKNTE...

Læs mere

Variansanalyse (ANOVA) Repetition, sammenligning af to grupper Variansanalyse: Sammenligning af flere end to middelværdier.

Variansanalyse (ANOVA) Repetition, sammenligning af to grupper Variansanalyse: Sammenligning af flere end to middelværdier. Vaaaalye (ANOVA) Reetto, ammelgg af to gue Vaaaalye Sammelgg af flee ed to mddelvæde. Sammelgg af to mddelvæde kedte vaae og toe tkøve elle oulatoe omalfodelte Hyotee H H µ µ ( µ µ ) µ µ ( µ µ ) Tettøele

Læs mere

Økonometri 1. Instrumentvariabelestimation 26. november Plan for IV gennemgang. Exogenitetsantagelsen. Exogenitetsantagelsen for OLS

Økonometri 1. Instrumentvariabelestimation 26. november Plan for IV gennemgang. Exogenitetsantagelsen. Exogenitetsantagelsen for OLS y = cy ( c 0 ) Pla for IV geemgag Økoometr Istrumetvarabelestmato 6. ovember 004 F9: Hvad er IV estmato: Bvarat model, et strumet: Kap.5. + afst -4 ote. F0: IV estmato det multple tlfælde (eksakt detfceret):

Læs mere

Statistisk analyse. Vurdering af usikkerhed i forbindelse med statistiske opgørelser forudsætter:

Statistisk analyse. Vurdering af usikkerhed i forbindelse med statistiske opgørelser forudsætter: Statstsk aalyse Vurderg af uskkerhed forbdelse med statstske opgørelser forudsætter: Kvattatve mål for varato og spredg forbdelse med statstske opgørelser varas og stadardafvgelse Kvattatve mål for tlfældgheder

Læs mere

Beslutning. Gothersgade karréen. Nansensgade 94-96, Gothersgade 155-159, Nørre Farimagsgade 65-71.

Beslutning. Gothersgade karréen. Nansensgade 94-96, Gothersgade 155-159, Nørre Farimagsgade 65-71. Beslutig FÆLLES GÅRDHAVE Gothesgade kaée Nasesgade 94-96, Gothesgade 155-159, Nøe Faimagsgade 65-71. Bogeepæsetatioe ha XX. XX 20XX tuffet byfoyelsesbeslutig om idetig af e fælles gådhave. De fælles gådhave

Læs mere

Vi ønsker også at teste hypoteser om parametrene. F.eks: Kan µ tænkes at være 0 (eller anden fast, kendt værdi)? Eksempel: dollarkurser

Vi ønsker også at teste hypoteser om parametrene. F.eks: Kan µ tænkes at være 0 (eller anden fast, kendt værdi)? Eksempel: dollarkurser Uge 37 I Teoretsk Statstk, 9.sept. 003. Fordelger kyttet tl N-ford. Gvet: uafhægge observatoer af samme N(µ,σ )-fordelte stokastske varabel. Formelt: X,X,,X uafhægge, alle N(µ,σ )-fordelt. Mddelværd µ

Læs mere

Projekt 0.5 Euklids algoritme, primtal og primiske tal

Projekt 0.5 Euklids algoritme, primtal og primiske tal Pojekt 0.5 Euklids algoitme, pimtal og pimiske tal Betegnelse. Mængden af hele tal (positive, negative og nul) betegnes. At et tal a e et helt tal angives med: aî, de læses a tilhøe. Nå vi ha to vilkålige

Læs mere

Atomare egentilstande

Atomare egentilstande Kvantemekank 4 Sde af 7 Atomae egentlstande Unde antagelsen om, at en atomkene e hvle fohold tl atomets massemdtpunkt, e Hamltonopeatoen fo et helumatom gvet ved ˆ e e e H = + + +, = + +, (4.) me me 0

Læs mere

Kap. 1: Logaritme-, eksponential- og potensfunktioner. Grundlæggende egenskaber.

Kap. 1: Logaritme-, eksponential- og potensfunktioner. Grundlæggende egenskaber. - 4 - Kap. : Logaitme-, eksponential- og potensfunktione. Gundlæggende egenskabe... Logaitmefunktione. Definition... Ved en logaitmefunktion fostå vi en funktion f, som opfylde følgende te kav: ) Dm(f)

Læs mere

Gravitationsfeltet. r i

Gravitationsfeltet. r i Gavitationsfeltet Den stoe bitiske fysike Isaac Newton opdagede i 600-tallet massetiltækningsloven, som sige, at to masse m og i den indbydes afstand påvike hinanden med en kaft af følgende støelse, hvo

Læs mere

Projekt 5.2. Anvendelse af Cavalieris princip i areal- og rumfangsberegninger

Projekt 5.2. Anvendelse af Cavalieris princip i areal- og rumfangsberegninger Hvad e matematik? B, i-bog Pojekte: Kapitel 5. Pojekt 5.. Anvendelse af Cavalieis pincip i aeal- og umfangsbeegninge Pojekt 5.. Anvendelse af Cavalieis pincip i aeal- og umfangsbeegninge Den gundlæggende

Læs mere

Den stigende popularitet af de afdragsfrie lån har ad flere omgange fået skylden for de kraftigt stigende boligpriser de senere år.

Den stigende popularitet af de afdragsfrie lån har ad flere omgange fået skylden for de kraftigt stigende boligpriser de senere år. 16. septembe 8 Afdagsfie lån og pisstigninge på boligmakedet Den stigende populaitet af de afdagsfie lån ha ad flee omgange fået skylden fo de kaftigt stigende boligpise de senee å. Set ove en længee peiode

Læs mere

Pearsons formel for χ 2 test. Den teoretiske forklaring

Pearsons formel for χ 2 test. Den teoretiske forklaring Pearsos formel for χ test De teoretse forlarg Ole Wtt-Hase 04 Idhold. Normalfordelge og χ.... Pearsos formel for χ test... 3. Forlarg på Pearsos formel....4 Pearsos formel for χ test. Normalfordelge og

Læs mere

FY01 Obligatorisk laboratorieøvelse. O p t i k. Jacob Christiansen Afleveringsdato: 3. april 2003 Morten Olesen Andreas Lyder

FY01 Obligatorisk laboratorieøvelse. O p t i k. Jacob Christiansen Afleveringsdato: 3. april 2003 Morten Olesen Andreas Lyder FY0 Oblgatorsk laboratoreøvelse O p t k Hold E: Hold: D Jacob Chrstase Alevergsdato: 3. aprl 003 Morte Olese Adreas Lyder Idholdsortegelse Idholdsortegelse Forål...3 Måleresultater...4. Salelser...4. Spredelse...5.3

Læs mere

Definition Ved et kompleks tal forstås et udtryk. Eksempel

Definition Ved et kompleks tal forstås et udtryk. Eksempel Ovesgt [S] App. I, App. H. Komplekse tal Nøgleod og begebe Komplekse tal Test komplekse tal Polæe koodate Kompleks polafom De Moves sætg Test komplekse tal Komplekse ødde Kompleks ekspoetalfukto Ved et

Læs mere

Repetition. Forårets højdepunkter

Repetition. Forårets højdepunkter Repetto Forårets højdepukter Forårets højdepukter Smpel Leær Regresso Smpel leær regresso: Mdste kvadraters metode Kovaras og Korrelato Scatterplot Scatterplot kf Advertsg Epedtures (X ad Sales (Y Et scatterplot

Læs mere

Økonometri 1. For mange variable i modellen. For få variable. Dagens program. Den multiple regressionsmodel 21. september 2004

Økonometri 1. For mange variable i modellen. For få variable. Dagens program. Den multiple regressionsmodel 21. september 2004 Dages program Økoometr De multple regressosmodel. september 004 Emet for dee forelæsg er stadg de multple regressosmodel (Wooldrdge kap. 3.4-3.5) Praktske bemærkg Opsamlg fra sdst Irrelevate varable og

Læs mere

FACITLISTE TIL KOMPLEKSE TAL

FACITLISTE TIL KOMPLEKSE TAL FACITLISTE TIL KOMPLEKSE TAL Kaptel Opgave Opgave Opgave Det emmeste check af lgge er at opløfte begge sder tl. potes. Bombells metode gver følgede lgger: a a b = 5 ( ) b a b = 09 = 7. Løs dem med et CAS

Læs mere

HTX Holstebro Jacob Østergaard 20. oktober 2008 3. A Fysik A Accelererede Roterende Legemer 19:03:00

HTX Holstebro Jacob Østergaard 20. oktober 2008 3. A Fysik A Accelererede Roterende Legemer 19:03:00 1 Fomål 1. At bestemme acceleationen fo et legeme med et kendt inetimoment, nå det ulle ned ad et skåplan - i teoi og paksis.. I teoi og paksis at bestemme acceleationen fo et legeme med kendt inetimoment,

Læs mere

Eksempel: PEFR. Epidemiologi og biostatistik. Uge 1, tirsdag. Erik Parner, Institut for Biostatistik.

Eksempel: PEFR. Epidemiologi og biostatistik. Uge 1, tirsdag. Erik Parner, Institut for Biostatistik. Epdemolog og bostatstk. Uge, trsdag. Erk Parer, Isttut for Bostatstk. Geerelt om statstk Dataaalyse - Deskrptv statstk - Statstsk feres Sammelgg af to grupper med kotuerte data - Geemst og spredg - Parametre

Læs mere

Alt hvad du nogensinde har ønsket at vide om... Del 2. Frank Nasser 2006-2007

Alt hvad du nogensinde har ønsket at vide om... Del 2. Frank Nasser 2006-2007 Alt hvad du nogensinde ha ønsket at vide om... VEKTORER Del 2 Fank Nasse 2006-2007 - 1 - Indledning Vi skal i denne lille note gennemgå det basale teoi om vektoe i planen og i ummet. Stoffet e pæcis det

Læs mere

Statistik Lektion 14 Simpel Lineær Regression. Simpel lineær regression Mindste kvadraters metode Kovarians og Korrelation

Statistik Lektion 14 Simpel Lineær Regression. Simpel lineær regression Mindste kvadraters metode Kovarians og Korrelation Statstk Lekto 4 Smpel Leær Regresso Smpel leær regresso Mdste kvadraters metode Kovaras og Korrelato Scatterplot Scatterplot kf Advertsg Epedtures ( ad Sales ( Et scatterplot vser par (, af observatoer.

Læs mere

IKKE-KONTINUERTE (DISKRETE) STOKASTISKE VARIABLE MIDDELVÆRDI, VARIANS, SPREDNING FORDELINGER: HYPERGEOMETRISK, BINOMIAL, POISSON

IKKE-KONTINUERTE (DISKRETE) STOKASTISKE VARIABLE MIDDELVÆRDI, VARIANS, SPREDNING FORDELINGER: HYPERGEOMETRISK, BINOMIAL, POISSON IE-ONTINUERTE (DISRETE) STOASTISE VARIABLE MIDDELVÆRDI, VARIANS, SPREDNING FORDELINGER: HYPERGEOMETRIS, BINOMIAL, POISSON Edelgt sadsylghedsfelt V reeterer: Et sadsylghedsfelt ( P ) U, kaldes edelgt, hvs

Læs mere

Wor King Papers. Management Working Papers. Højere kapitalkrav løfter krav til indtjening i den finansielle sektor en replik 2013-02

Wor King Papers. Management Working Papers. Højere kapitalkrav løfter krav til indtjening i den finansielle sektor en replik 2013-02 Wo Kng Papes Management Wokng Papes 2013-02 Højee kaptalkav løfte kav tl ndtjenng den fnanselle sekto en eplk Ken L. Bechmann, Andes Gosen and Johannes Raaballe Højee kaptalkav løfte kav tl ndtjenng den

Læs mere

9. Binomialfordelingen

9. Binomialfordelingen 9. Biomialfordelige 9.. Gekedelse Hvert forsøg ka ku resultere i to mulige udfald; succes og fiasko. I modsætig til poissofordelige er atallet af forsøg edeligt. 9.. Model X : Stokastisk variabel, der

Læs mere

hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i

hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i Normalfordeliger For at e stokastisk variabel X ka være ormalfordelt, skal X agive værdie af e eller ade målig, f.eks. tid, lægde, vægt, beløb osv. Notatioe er: Xi ~ N( μ, σ hvor i er observatiosummeret,

Læs mere

Betænkning om kommunernes udgiftsbehov. Bilag (med metodediskussion af professor Anders Milhøj)

Betænkning om kommunernes udgiftsbehov. Bilag (med metodediskussion af professor Anders Milhøj) Betækg om kommueres udgftsbehov Blag (med metodedskusso af professor Aders Mlhøj) Betækg r. 36 Oktober 998 Kommueres Udgftsbehov Betækg om kommueres udgftsbehov - Redegørelse fra arbejdsgruppe uder Idergsmsterets

Læs mere

Note til Spilteori Mikro 2. år 2. semester Erik Bennike. Note til Spilteori

Note til Spilteori Mikro 2. år 2. semester Erik Bennike. Note til Spilteori Note tl Splteor Mkro. år. semester Erk Beke Note tl Splteor Gos s. - Splteor eskæftger sg med sttoer hvor der er strtegsk fhægghed geter mellem. Nytte for de ekelte get fhæger således kke lee f ege hdlger

Læs mere

Projekt 1.8 Design en optimal flaske

Projekt 1.8 Design en optimal flaske ISBN 978-87-7066-9- Pojekte: Kapitel Vaiabelsammenænge. Pojekt.8 Design en optimal flaske Pojekt.8 Design en optimal flaske Fimaet PatyKids ønske at elancee dees enegidik Enegize. Den skal ave et nyt navn

Læs mere

Beregningsprocedure for de energimæssige forhold for forsatsvinduer

Beregningsprocedure for de energimæssige forhold for forsatsvinduer Beeninspocedue fo de eneimæssie fohold fo fosatsvindue Nævæende dokument beskive en pocedue til bestemmelse, af de eneimæssie fohold fo fosatsvindue. Det skal notees, at beeninen e baseet på en foeløbi

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Dks Tekske Uvestet Sde f Skftlg pøve, e dg de??. decebe,, kl. 9:-3: Kusus v: ysk Kusus. Tlle hjælpedle: Ige hjælpedle. "Vægtg": esvelse bedøes so e helhed. Alle sv skl begudes ed de det e gvet. Sættet

Læs mere

FORDELINGER: HYPERGEOMETRISK FORDELING, BINOMIALFORDELING MIDDELVÆRDI DEFINITION. X er en stokastisk variabel på et endeligt sandsynlighedsfelt ( )

FORDELINGER: HYPERGEOMETRISK FORDELING, BINOMIALFORDELING MIDDELVÆRDI DEFINITION. X er en stokastisk variabel på et endeligt sandsynlighedsfelt ( ) FORDELINGER: HYERGEOMETRIS FORDELING, BINOMIALFORDELING MIDDELVÆRDI Mddelværd MIDDELVÆRDI (TYS: ERWARTUNGSWERT ) DEFINITION X er e stokastsk varabel på et edelgt sadsylghedsfelt U, ( ) Mddelværde af X

Læs mere

TEORETISK OPGAVE 3. Hvorfor er stjerner så store?

TEORETISK OPGAVE 3. Hvorfor er stjerner så store? TEORETISK OPGAVE 3 Hvofo e stjene så stoe? En stjene e en kuglefomet samling vam gas De fleste stjene skinne pga fusion af hydogen til helium i dees entale omåde I denne opgave skal vi anvende klassisk

Læs mere

Matematik på Åbent VUC

Matematik på Åbent VUC Matematik på Åent VUC Lektion 8 Geometi Indoldsfotegnelse Indoldsfotegnelse... Længdemål og omegning mellem længdemål... Omkeds og aeal af ektangle og kvadate... Omkeds og aeal af ande figue... Omegning

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Dmk ekke Uetet Sde f 6 de Skftlg pøe, de 4. deceme, Kuu yk Kuu. //4 Vghed: 4 tme lle hjælpemdle: Ige hjælpemdle "Vægtg": eele edømme om e helhed. Alle kl egude med mde det e get. Alle mellemegge kl mege.

Læs mere

Appendiks B: Korrosion og restlevetid for trådbindere

Appendiks B: Korrosion og restlevetid for trådbindere Appendiks B: Koosion og esleveid fo ådbindee I de følgende omales koosionspocessene fo ådbindee og hvodan man beegne esleveiden fo en koodee ådbinde. Tådbindee ha i idens løb væe udfø af: messing (en legeing

Læs mere

vejer (med fortegn). Det vil vi illustrere visuelt og geometrisk for (2 2)-matricer og (3 3)-matricer i enote 6.

vejer (med fortegn). Det vil vi illustrere visuelt og geometrisk for (2 2)-matricer og (3 3)-matricer i enote 6. enote 5 enote 5 Determiater I dee enote ser vi på kvadratiske matricer. Deres type er altså for 2, se enote 4. Det er e fordel, me ikke absolut ødvedigt, at kede determiatbegrebet for (2 2)-matricer på

Læs mere

Magnetisk dipolmoment

Magnetisk dipolmoment Kvantemekanik 9 Side 1 af 9 Magnetisk dipolmoment Klassisk Ifølge EM udtyk (8.16) e det magnetiske dipolmoment af en ladning q i en cikulæ bane med adius givet ved μ = IA (9.1) v q > 0 μ L hvo A = π I

Læs mere

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar 2008 1. Kombinatorik

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar 2008 1. Kombinatorik Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 Kombiatori Disse oter er e itrodutio til ombiatori og starter helt fra bude, så e del af det idledede er siert edt for dig allerede, me der ommer også hurtigt

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATEMATIK

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATEMATIK MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATEMATIK fa C- til A- niveau. udgave FORORD Denne bog e beegnet fo studeende, som ha behov fo at epetee elle opgadee dees matematiske viden fa C elle B- niveau til A-niveau Bogen

Læs mere

SPIL. Sandsynligheder og Strategier

SPIL. Sandsynligheder og Strategier SPIL Sadsylighede og Stategie Ole Witt-Hase Køge Gymasium 2006 INDHOLD Kap. Sadsylighede ved spil.... Lotto... øvelse...3 2. Poke...3 3. Ruisadsylighede ved Roulette mv....5 Kap 2. Stategie ved spil...9.

Læs mere

Introduktion til uligheder

Introduktion til uligheder Itroduktio til uligheder, marts 0, Kirste Rosekilde Itroduktio til uligheder Dette er e itroduktio til ogle basale uligheder om det aritmetiske geemsit, det geometriske geemsit, det harmoiske geemsit og

Læs mere

Formelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6

Formelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6 Dee udgave er til geemkig på ettet. Boge ka købes for kr. 5 hos EH-Mat. E y og udvidet udgave med title»symbol- og formelskrivig«er udkommet september 00. Se mere om de her. Idholdsfortegelse Formelskrivig

Læs mere

Økonometri 1. Definition og motivation. Definition og motivation. Dagens program. Den multiple regressionsmodel 21. september 2005

Økonometri 1. Definition og motivation. Definition og motivation. Dagens program. Den multiple regressionsmodel 21. september 2005 Dages program Økoometr De multple regressosmodel. september 005 Emet for dee forelæsg er de multple regressosmodel (Wooldrdge kap 3.-3.3+appedx E.-E.) Defto og motvato Fortolkg af parametree de multple

Læs mere

Kontakt: - en anden tid et andet tempo! A13 Hobro. Løgstør. Skive. Bjerregrav Hjarbæk Fjord. Skals A13. Hobro/Randers Viborg. Kulturarvsforbindelsen

Kontakt: - en anden tid et andet tempo! A13 Hobro. Løgstør. Skive. Bjerregrav Hjarbæk Fjord. Skals A13. Hobro/Randers Viborg. Kulturarvsforbindelsen Hvolis Jenaldelandsby og Kultuavsfobindelsen, Skive Heedsvejen 135 Veste Bjeegav 9632 Møldup www.jenaldelandsby.dk hvolis@vibog.dk A13 Hobo Løgstø Bjeegav Hjabæk Fjod Skals OL Kontakt: - en anden tid et

Læs mere

Vejledende besvarelser til opgaver i kapitel 15

Vejledende besvarelser til opgaver i kapitel 15 Vejledede besvarelser til opgaver i apitel 5 Opgave a) De teststatistier, ma aveder til at teste om to middelværdier er es, består af et estimat på forselle mellem middelværdiere,, divideret med et udtry

Læs mere

Lys og gitterligningen

Lys og gitterligningen Fysik rapport: Lys og gitterligige Forfatter: Bastia Emil Jørgese.z Øvelse blev udført osdag de 25. jauar 202 samme med Lise Kjærgaard Paulse 2 - Bastia Emil Jørgese Fysik rapport (4 elevtimer), februar

Læs mere

Regional Udvikling, Miljø og Råstoffer. Jordforurening - Offentlig høring Forslag til nye forureningsundersøgelser og oprensninger 2016

Regional Udvikling, Miljø og Råstoffer. Jordforurening - Offentlig høring Forslag til nye forureningsundersøgelser og oprensninger 2016 Regional Udvikling, Miljø og Råstoffe Jodfouening - Offentlig høing Foslag til nye foueningsundesøgelse og opensninge 2016 Decembe 2015 Food En jodfouening kan skade voes fælles gundvand, voes sundhed

Læs mere

BEVISER TIL SÆTNINGER I BOGEN

BEVISER TIL SÆTNINGER I BOGEN MTEMK Mtemtik o hh C-iveu BEVISER TIL SÆTNINGER I BOGEN Dette e e smlig ove lle e sætige og evise e e i oge. Det e met som suppleee mteile isæ til e eleve, e skl hve mtemtik på B- elle -iveu. ee i ku metget

Læs mere

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar Kombinatorik

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar Kombinatorik Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 Kombiatori Disse oter er e itrodutio til ombiatori og starter helt fra bude, så e del af det idledede er siert edt for dig allerede, me der ommer også hurtigt

Læs mere

Beregning af prisindeks for ejendomssalg

Beregning af prisindeks for ejendomssalg Damarks Saisik, Priser og Forbrug 2. april 203 Ejedomssalg JHO/- Beregig af prisideks for ejedomssalg Baggrud: e radiioel prisideks, fx forbrugerprisidekse, ka ma ofe følge e ideisk produk over id og sammelige

Læs mere

Samarbejdet mellem jobcentre og a-kasser inden for FTFområdet

Samarbejdet mellem jobcentre og a-kasser inden for FTFområdet BEU - 14.9.2009 - Dagsordenspunkt: 3 09-0855 - JEFR - Blag: 3 Samarbejdet mellem jobcentre og a-kasser nden for FTFområdet Det ndstlles: At BEU tlslutter sg, at KL/FTF-aftalen søges poltsk forankret gennem

Læs mere

Dagens program. Estimation: Kapitel Eksempler på middelrette og/eller konsistente estimator (de sidste fra sidste forelæsning)

Dagens program. Estimation: Kapitel Eksempler på middelrette og/eller konsistente estimator (de sidste fra sidste forelæsning) Dages program Estimatio: Kapitel 9.4-9.7 Eksempler på middelrette og/eller kosistete estimator (de sidste fra sidste forelæsig) Ko desiterval for store datasæt kap. 9.4 Ko desiterval for små datasæt kap.

Læs mere

NOTAT: Benchmarking: Roskilde Kommunes serviceudgifter i regnskab 2013

NOTAT: Benchmarking: Roskilde Kommunes serviceudgifter i regnskab 2013 Beskæftgelse, Socal og Økonom Økonom og Ejendomme Sagsnr. 260912 Brevd. 1957603 Ref. LAOL Dr. tlf. 4631 3152 lasseo@rosklde.dk NOTAT: Benchmarkng: Rosklde Kommunes servceudgfter regnskab 2013 19. august

Læs mere

Tredimensional grafik

Tredimensional grafik Teimensionl gfi 6 Ksten Juul Inhol I Homogene oointsæt og gngning f mtie sie Vi vil fose og eje figue i ummet og æne ees støelse Defo inføe vi homogene oointsæt og gngning f mtie II th sie Et olsninge

Læs mere

MATEMATIK på Søværnets officerskole

MATEMATIK på Søværnets officerskole MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATEMATIK på Søvænets officeskole (opeativ linie). udgave 9 FORORD Bogen gennemgå det pensum, som e beskevet i fagplanen af 9. Det e en foudsætning, at de studeende ha et solidt

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet.

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet. Matematik A Studetereksame Forsøg med digitale eksamesopgaver med adgag til iterettet Forberedelsesmateriale Vejledede opgave Forår 0 til stx-a-net MATEMATIK Der skal afsættes 6 timer af holdets sædvalige

Læs mere

DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier

DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier DesignMat Den komlekse eksonentialfunktion og olynomie Peben Alsholm Uge 8 Foå 009 Den komlekse eksonentialfunktion. Definitionen Definitionen Den velkendte eksonentialfunktion x! e x vil vi ofte ligesom

Læs mere

KENDETEGN FOTKEEVENTYRETS. i faøíii"n. riwalisøring. Içannibalismz. a9ergãrg ffe barn til volçsøn. for ryllølsø. åøt bernløse ægtepãx.

KENDETEGN FOTKEEVENTYRETS. i faøíiin. riwalisøring. Içannibalismz. a9ergãrg ffe barn til volçsøn. for ryllølsø. åøt bernløse ægtepãx. FOTKEEVENTYRETS KENDETEGN Når du læser et folkeeventyr, er der nogle kendetegn sonì dubør være ekstra opmærksom på. Der er nogle helt faste mønstre og handlnger, som gør, at du kan genkende et folkeeventyr.

Læs mere

NOTAT:Benchmarking: Roskilde Kommunes serviceudgifter i regnskab 2014

NOTAT:Benchmarking: Roskilde Kommunes serviceudgifter i regnskab 2014 Beskæftgelse, Socal og Økonom Økonom og Ejendomme Sagsnr. 271218 Brevd. 2118731 Ref. KASH Dr. tlf. 4631 3066 katrnesh@rosklde.dk NOTAT:Benchmarkng: Rosklde Kommunes servceudgfter regnskab 2014 17. august

Læs mere

Motivation. En tegning

Motivation. En tegning Motivatio Scatter-plot at det mådelige salg mod det måedlige reklamebudget. R: plot(salg ~ budget, data = salg) Økoometri Lektio Simpel Lieær Regressio salg 400 450 500 550 20 25 30 35 40 45 50 budget

Læs mere

Kædning og sæsonkorrektion af det kvartalsvise nationalregnskab

Kædning og sæsonkorrektion af det kvartalsvise nationalregnskab Danmarks Sask Naonalregnskab 9. november 00 ædnng og sæsonkorrekon af de kvaralsvse naonalregnskab Med den revderede opgørelse af de kvaralsvse naonalregnskab 3. kvaral 007 6. januar 008 blev meoden l

Læs mere

HD i Afsætningsøkonomi Efteruddannelse HDA. social sciences. Det Samfundsvidenskabelige Fakultet Syddansk Universitet

HD i Afsætningsøkonomi Efteruddannelse HDA. social sciences. Det Samfundsvidenskabelige Fakultet Syddansk Universitet HD i Afsætigsøkoomi Efteruddaelse HDA I social scieces Det Samfudsvideskabelige Fakultet Syddask Uiversitet HD i Afsætigsøkoomi ÂÂ K læsss ii: Koldig HD specialet i Afsætigsøkoomi giver dig et solidt grudlag

Læs mere

Forberedelse til den obligatoriske selvvalgte opgave

Forberedelse til den obligatoriske selvvalgte opgave MnFremtd tl OSO 10. klasse Forberedelse tl den oblgatorske selvvalgte opgave Emnet for dn oblgatorske selvvalgte opgave (OSO) skal tage udgangspunkt dn uddannelsesplan og dt valg af ungdomsuddannelse.

Læs mere

Lineær regressionsanalyse8

Lineær regressionsanalyse8 Lneær regressonsanalyse8 336 8. Lneær regressonsanalyse Lneær regressonsanalyse Fra kaptel 4 Mat C-bogen ved v, at man kan ndtegne en række punkter et koordnatsystem, for at afgøre, hvor tæt på en ret

Læs mere

CO 2. -regnskab For virksomheden Jammerbugt Kommune

CO 2. -regnskab For virksomheden Jammerbugt Kommune -egnskab Fo viksomheden Jammebugt Kommune Fosidebilledet vise Ryå, de gå ove sine bedde -egnskab fo Jammebugt Kommune Jammebugt Kommune indgik d. 9. oktobe 2009 en klimakommuneaftale med Danmaks Natufedningsfoening.

Læs mere

Praksis om miljøvurdering

Praksis om miljøvurdering Paksis om miljøvudeing Miljøvudeingsdage 2015 Nyee paksis på miljøvudeingsomådet Flemming Elbæk Flemming Elbæk, advokat, HD(Ø) Ansættelse: Advokatfuldmægtig, 2006-2008 Juist, Miljøministeiet, 2008-2012

Læs mere

Indeks over udviklingen i biltrafikken i Danmark

Indeks over udviklingen i biltrafikken i Danmark Ideks over udvklge bltrafkke Damark Afdelgsgeør Alla Crstese, Vejdrektoratet, og cvlgeør, p.d. Crsta Overgård ase, TetraPla A/S. Baggrud og formål. Baggrud Vejdrektoratet ar sde 978 regelmæssgt udgvet

Læs mere

Wear&Care Brugervejledning. A change for the better

Wear&Care Brugervejledning. A change for the better A change fo the bette Intoduktion Wea&Cae e en smat løsning, de give mulighed fo at følge fugtniveauet i bleen, så den kan skiftes efte behov. Infomationen gå fa en sende på bleen til modtageens smatphone

Læs mere

rekommandation overspændingsafledere til højspændingsnet. Member of DEHN group Udarbejdet af: Ernst Boye Nielsen & Peter Mathiasen,

rekommandation overspændingsafledere til højspændingsnet. Member of DEHN group Udarbejdet af: Ernst Boye Nielsen & Peter Mathiasen, ekommandation ovespændingsafledee til højspændingsnet Udabejdet af: Enst Boye Nielsen & Pete Mathiasen, DESITEK A/S Denne publikation e en ekommandation fo valg af ovespændingsafledee til højspændingsnet

Læs mere

BILAG 1 Tilsyn med virksomheder eksklusive landbrug og pelsdyrfarme i 2007, side 1/2

BILAG 1 Tilsyn med virksomheder eksklusive landbrug og pelsdyrfarme i 2007, side 1/2 BILAG 1 Tisyn med viksomhede ekskusive andbug og pesdyfame i 2007, side 1/2 Indedning (max 1500 2007 va det føste å med fopigtende samabejde med Æø og Langeand. Dette sammen med den øvige sammenægning

Læs mere

Definition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0.

Definition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0. Repetitio: Normalfordelige Ladmåliges fejlteori Lektio Trasformatio af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/udervisig/lf13 Istitut for Matematiske Fag Aalborg Uiversitet

Læs mere

Etiske dilemmaer i fysioterapeutisk praksis

Etiske dilemmaer i fysioterapeutisk praksis side 06 fysioteapeuten n. 06 apil 2008 AF: FYSIOTERAPEUT, PH.D.-STUDERENDE JEANETTE PRÆSTEGAARD j.paestegaad@oncable.dk Foto: GITTE SKOV fafo.fysio.dk Etiske dilemmae i fysioteapeutisk paksis Hvis vi ikke

Læs mere

Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier

Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier Noter om polyomier, Kirste Rosekilde, Marts 2006 1 Polyomier Disse oter giver e kort itroduktio til polyomier, og de fleste sætiger æves ude bevis. Udervejs er der forholdsvis emme opgaver, mes der til

Læs mere