FINANSPOLITISKE MULTIPLIKATORER MARCUS HENGLEIN

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "FINANSPOLITISKE MULTIPLIKATORER MARCUS HENGLEIN"

Transkript

1 MARCUS HENGLEIN

2 Abstract. Fiscal multipliers describe the numerical relationship between an intitial investment and the aggregate effect on the domestic product of that investment. Thus they enable us to determine the soundness of an economic intervention. Moreover, multipliers facilitate the ability to predict the consequences of a possible intervention. The reliability of the prediction, however, heavily depends upon the reliability of the model. This paper develops a model of the economy based on the Keynesian theory and comprehensively analyzes the commodity market. In particular, our paper examines the effects of tax reductions and government spendings using mathematical analysis to calculate the partial derivatives of the equilibrium for the domestic income. The analysis provides the basis for questioning the model s fairness. The model assumes that supply is absolutely elastic, which seems highly unrealistic in the light of the inflexibility of many corporations. Further, the model neglects inflationary tendencies, hence failing to take crowding out-effects into consideration. We also find that many behavioral relationships are too artificial to be realistic. In conclusion, the model is only useful for depicting short-term effects of Keynesian multipliers. 2 af 42

3 Indholdsfortegnelse Abstract 2 1. Problemformulering 5 2. Metode 6 3. Indledning 7 4. Finanspolitiske instrumenter og multiplikatorer Finanspolitiske instrumenter Multiplikatorer Hovedtyper af finanspolitiske instrumenter 9 5. Varemarkedet Efterspørgsel Forsyningsbalancen Adfærdsrelationer Den samlede efterspørgsel Ligevægtsnationalindkomsten Differentiation af funktioner af flere variable Funktioner af flere variable Generelt om differentialregning Retningsafledte Partiel differentiation Geometrisk tolkning af partielt afledte C 1 -funktioner Totaldifferentiation Skatteletteleser og offentlige investeringer Offentlige investeringer Skattelettelser 24 3 af 42

4 8. Differentialkvotienternes betydning Offentlige investeringer Skattelettelser Evaluering af modellen Forudsætninger Begrænsninger Mulig udvidelse af modellen Konklusion EU, Finanskrisen og Keynes 35 Litteratur 37 Bilag A. SMEC 38 Bilag B. ADAM 1 39 Bilag C. ADAM 2 40 Stikordsregister 41 4 af 42

5 1. Problemformulering Gør rede for finanspolitiske instrumenter og multiplikatorer. Gør rede for teorien om funktioner af flere variable med særlig henblik på partiel differentation. Analyser hvorledes henholdsvis en offentlig investering og en skattelettelse indvirker på de finanspolitiske multiplikatorer. Diskuter forudsætninger og begrænsninger ved modellen og vurder om andre variable kan få betydning for multiplikatoreffekten. 5 af 42

6 2. Metode Opgaven er baseret på gennemgået kernestof fra fagene International Økonomi B og Matematik A, hvis område er beskrevet i HHX-bekendtgørelsen. Der inddrages derudover supplerende stof, der ikke er inkluderet i pensum. Opgaven vil følge den samfundsvidenskabelige metode i form af den kvantitative metodes tilgang til problemstillingen. Dette indebærer, at vi udelukkende forholder os til hårde tal, eksempelvis statistikker, matematiske ligninger, diagrammer, modeller mv. Den kvalitative metode vil ikke blive inddraget. Det indebærer også en anvendelse af den dekuktive metode, da der arbejdes med et felt, hvor der i forvejen eksisterer teorier, som man kender forudsætningerne for. Ud fra dette, vil vi udlede nye sammenhænge, der - hvis præmisserne og argumentationen holder vand - per definition må siges at være sande. Opgaven har derfor en strengt teoretisk tilgang til stoffet, og der vil derfor ikke være brug af empiri, men kun alleredeeksisterende modeller. Opgaven vil undersøge den keynesianske model og vurdere forudsætninger, begrænsninger og svagheder. Med matematikken som hjælpefag, vil der blive anvendt sætninger fra den teoretiske matematik til praktisk anvendelse. Til at udlede konsekvenser og forudsigelser vil matematisk ræsonnering være imperativ. Opgaven vil forsøge at vægte fagene lige højt, hvilket indebærer en gennemgang af matematisk stof, der efterfølgende vil blive anvendt gennem hele opgaven på de økonomiske ligninger og sammenhænge. For at opgaven får en gennemgående rød tråd, vil den være afgrænset til udelukkende at fokusere på den Keynesianske model, hvorfor andre modeller, herunder den monetaristiske, ikke vil blive inddraget direkte i analysen. Derudover begrænses modellen til udelukkende at modellere varemarkedet og derfor hverken pengemarkedet eller arbejdsmarkedet. Da der udelukkende kigges på den Keynesianske skole, må vi være kildekritiske over for det materiale, der anvendes, da der kan være tendenser til selvforherligelse og subjektivitet. Dette bør fremgå at opgaven som helhed. Opgaven er skrevet i L A TEX. 6 af 42

7 3. Indledning I det 17. og 18. århundrede var merkantilismen den udbredte økonomiske teori, og der herskede ingen tvivl om, at ophobning af guld og sølv var nøglen til et lands velstand. Med Adam Smith s The Wealth of Nations (1776) blev de merkantilistiske teorier imidlertid aflivet, og to nye retninger opstod: de klassiske og neoklassiske økonomiske teorier, der, trods indbyrdes slagsmål, begge værnede om liberalismens idealer. Allerstørst var troen på en usynlig hånd, en selveregulerende markedskraft, som Smith havde navngivet i sin bog, The Theory of Moral Sentiments. Med den Store Depression i 1929, det 20. århundredes største økonomiske krise, blev det dog tydeligt, at markedet ikke altid var i stand til at varetage sig selv og grundlaget for en ny økonomisk teori blev lagt: Keynesianismen, navngivet efter John Maynard Keynes, der i 1936 udgav bogen The General Theory of Employment, Interest, and Money (Keynes 1936). Han argumenterede for, at statslige indgreb var de nødvendige redskaber til at føre en anti-konjunkturcyklisk politik, der ville forhindre fremtidige økonomiske kriser. Indgreb inkluderede indkomstpolitik, strukturpolitik, arbejdsmarkedspolitik, pengepolitik, men allervigtigst: finanspolitik. Med finanspolitik kan en stat køre med underskud på de offentlige budgetter i en periode for at give økonomien stimulus i form af øget efterspørgsel, der vender konjunkturerne og på sigt betaler sig ind igen. Men er det overhovedet en realistisk ræsonnering? Markedet er skrøbeligt og kunstig indblanding kan gøre ondt værre. Opgaven diskuterer derfor rimeligheden af de forudsætninger og antagelser, der ligger til grund for modellen. Gennem størstedelen af opgaven vil projektet kredse om spørgsmålet: I hvilket omfang er keynesianske multiplikatorer realistiske at anvende? For at svare på dette, vil vi allerførst præcisere definitionen af finanspolitik og grundigt redegøre for, hvilke instrumenter man kan anvende. Herunder følger en analyse af varemarkedet, hvor vi ud fra en ligevægtsbetingelse og en række adfærdsrelationer vil udlede et udtryk for ligevægtsnationalindkomsten. For at give os nogle redskaber til at bearbejde dette udtryk, introduceres alt den nødvendige matematiske teori, der er nødvendig for at kunne differentiere funktioner af flere variable. Disse redskaber anvendes så til at undersøge ændringen i ligevægtsnationalindkomsten, og vi vil så bruge offentlige investeringer og skattelettelser, to finanspolitiske instrumenter, som eksempel for dette, indtil vi til sidst vil evaluere modellen. Call it what you will, incentives are what gets people to work harder. - Nikita Khrushchev 7 af 42

8 4. Finanspolitiske instrumenter og multiplikatorer Med The General Theory of Employment, Interest, and Money (Keynes 1936) har den keynesianske skole langsomt vundet indpas i moderne økonomi. Budskabet er, at statslige indgreb er i samfundets bedste interesse og den vigtigeste type indgreb er finanspolitikken: Definition 1 (Brink (2001), p.40). Finanspolitik er ændringer af størrelsen og sammensætningen i de offentlige indtægter og udgifter, samt en styring af den samlede efterspørgsel i samfundet Finanspolitiske instrumenter. Ved at regulere på statens indtægter og udgifter er det altså muligt at styre efterspørgslen i samfundet. Et indtægtsinstrument regulerer efterspørgslen ved at ændre på den pengemængde, som staten opsuger fra samfundet. De finanspolitiske indtægtsinstrumenter, som staten kan anvende, er ifølge Kureer og Lundgren (2006, p.180): Indkomstskat, arbejdsmarkedsbidrag og andre skatteprocenter Moms Giftskatter Energi- og miljøafgifter Ved at ændre den aktuelle skatteprocent eller andre af indtægtsinstrumenterne, øges forbrugernes disponible indkomst, mens statens indtægter reduceres. Den øgede efterspørgsel er så afledt af et øget forbrug. I den modsatte ende finder man udgiftsinstrumenterne, der påvirker efterspørgslen ved at regulere den pengemængde, som staten poster ud i samfundet. Eksempler på finanspolitiske udgiftsinstrumenter er (Kureer og Lundgren 2006, p.180): Indkomstoverførsler Offentlige investeringer Offentligt varekøb Offentligt ansatte Udgiftsinstrumenter, som eksempelvis offentlige investeringer, skaber efterspørgsel efter arbejdskraft, der får flere penge til forbrug, og efterspørgslen er afledt af dette øgede forbrug. Når en regering skal vælge, hvilket finanspolitisk instrument, man bør anvende, kigges der på multiplikatoren, som er et centralt element i den keynesianske model Multiplikatorer. En multiplikator er et tal, der beskriver ratioen mellem den første og den samlede indkomststigning, som et finanspolitisk tiltag medfører. Med Keynes egne ord: Definition 2 (Keynes (1936), p.108). Let us call k the investment multiplier. It tell us that, when there is an increment of aggregate investment, income will increase by an amount which is k times the increment of investment. 8 af 42

9 Multiplikatoren er altså kvotienten mellem den første indkomststigning ( Y ) og den samlede indkomststigning ( Y n ). Multiplikatoren (k) udregnes (Brink 2001, p.244): k = Y n Y Forklaringen af effekten er, at den samlede efterspørgsel i samfundet påvirker produktion, indkomst, beskæftigeles og import (Kureer og Lundgren 2006, p.53). Med andre ord påvirker den samlede efterspørgsel (SE) produktionen (Q), og idet produktion er lig med indkomst (Y ), stiger indkomsten tilsvarende. En stigende indkomst får folk til at forbruge mere (C). Forbruget fordeler sig på indenlandske og udenlandsk varer (Z). Forklaringen af multiplikatoren, multiplikatorvirkningen, beskrives: SE Q Y C SE 1... hvor der gælder: SE > SE 1 Eftersom noget af forbruget går til import (Z > 0), og derfor skaber en mindre indkomststigning i indlandet samt at C < Y, idet man anvender sin indkomst til både forbrug og opsparing. Vi gennemgår dette nærmere i afsnit 5, side 11, om varemarkedet. Begrebet multiplikator kan også bruges til at beskrive ændringen i beskæftigelsen som følge af et finanspolitik tiltag. Dette var den oprindelige definition af en multiplikator, da den første gang blev defineret i artiklen, The Relation of Home Investment to Employment (Kahn 1931). Vi vil dog udelukkende undersøge Keynes definition af en multiplikator og kigge på, hvordan denne påvirker efterspørgslen. Man må dog bemærke, at finanspolitiske instrumenter anvendes til både at øge og sænke efterspørgslen, som næste afsnit redegører for Hovedtyper af finanspolitiske instrumenter. Når man regulerer efterspørgslen vha. statslige indgreb, gøres det via en ud af to metoder: Ekspansiv finanspolitik eller kontraktiv finanspolitik. Benyttes ingen kaldes det neutral finanspolitik. Definition 3 (Biede (2008), p.208). Ekspansiv finanspolitik øger efterspørgslen ved at sænke statens indtægter og/eller øge statens udgifter. Definition 4 (Biede (2008), p.208). Kontraktiv finanspolitik sænker efterspørgslen ved at øge statens indtægter og/eller sænke statens udgifter. Formålet med den kontraktive finanspolitik er at forhindre en overophedning af økonomien. En anti-konjunkturcyklisk politik virker trods alt begge veje. Ved overophedning forstås, at der 9 af 42

10 skabes flaskehalsproblemer på arbejdsmarkedet, som fører til inflationære tendenser. Effekterne af de enkelte instrumenter er imidlertid forskellige. Nogle virker direkte (offentlige investeringer, forbrug mv.) og øger efterspørgslen med det samme, mens andre virker indirekte (indkomstskat, indkomstoverførsler mv.) og øger efterspørgslen langsomt over tid. Dette viser vi i afsnit 5.5, side 15, vedrørende ligevægtsnationalindkomsten. 10 af 42

11 5. Varemarkedet I dette afsnit vil vi analysere os frem til nogle matematiske udtryk for varemarkedet Efterspørgsel. Den samlede efterspørgsel (SE) i samfundet består af en række efterspørgselskomponenter, herunder privatforbrug, offentligt forbrug, investeringer, nettoeksport mv. I en markedsøkonomi vil udbud være lig med efterspørgsel, hvor udbuddet svarer til produktionen (Q) i landet, så hvis indkomst er lig produktion (Y = Q), gælder det i denne model at (Biede 2008, p.192): Y = Q = SE 5.2. Forsyningsbalancen. Fremover benævnes produktion Q som Y. I en åben model gælder følgende sammenhæng: Y + Z X = C + I + G hvor venstresiden af den højre ligning viser udbuddet af varer, mens højresiden viser efterspørgslen, hvorfor den også kaldes for forsyningsbalancen. Her er Y = nationalindkomst, C = Forbrug, I = Investeringer, G = Offentlige investeringer, X = Eksport og Z = Import. I en markedsøkonomi, hvor udbud er lig med efterspørgslen, kan udtrykket omskrives til: Y = SE = C + I + G + (X Z) Dette kaldes ligevægtsbetingelsen, hvor navnet refererer til, at der er ligevægt mellem indkomsten, efterspørgslen og efterspørgselskomponenterne Adfærdsrelationer. For at nærme os en endelig model for Y, må vi først undersøge en række adfærdsrelationer og analysere os frem til et samlet udtryk, som kan bruges i vores ligevægtsbetingelse. En adfærdsrelation beskriver, som navnet delvist antyder, hvordan menneskers adfærd ændrer sig, når der justeres på enkelte variable. De adfærdsrelationer, der anvendes i denne opgave, er stykket sammen af følgende kilder: Christensen et al. (2008, pp ), Biede (2008, pp ) og Brink (2001, pp.39-53). Formålet er at skabe en model, som bedst muligt modellerer sammenhængene i den keynesianske model. 11 af 42

12 Disponibel indkomst. Den disponible indkomst (Y D ) for en familie svarer til den del af deres indkomst, de har til rådighed, efter det offentlige har været inde over det. Det vil sige, at der er tale om indkomsten fratrukket skattebetalinger (T ) og inklusiv overførselsindkomster (R), altså: Y D = Y T + R Forbrug. I modsætningen til den disponible indkomst, der er defineret, som den del af indkomsten, man har til rådighed, er forbruget (C) derimod en korrelation. Forbruget hos en familie menes at afhænge af en række faktorer: den disponible indkomst i en periode, indkomsten i tidligere perioder, andres indkomst og forventet indkomst. Derudover kan formueændringer (pga. fluktuerende ejendomspriser og aktiekurser) også indvirke i en husstands forbrug. Antagelsen i denne model er, at forbrug udelukkende er korreleret med den disponible indkomst i en periode. Det ses i den såkaldte forbrugsfunktion: C = C 0 + c Y D 0 c 1 C 0 er den del af forbruget, som er uafhængigt at indkomsten. Argumentationen er, at uanset hvor meget man tjener, må man trods alt forbruge en smule på at opretholde et eksistensminimum. Nogle empiriske undersøgelser har dog vist at C 0 = 0, mens andre har vist, at C 0 > 0 (Brink 2001, p.28). Det gør dog ingen forskel for denne model, for hvis C 0 = 0, forsvinder den blot. Den disponible indkomst ganges med c, der er den marginale forbrugskvote, som vi kort vil beskrive i det næste underafsnit. I den keynesianske model er hovedvægten derfor på den løbende indkomst, men der har gennem tiden været mange andre bud, eksempelvis den relative indkomsthypoteste (Duesenberry), den permanente indkomsthypoteste (Friedman) samt livscyklushypotesen (Modigliani & Brumberg), men vi holder os dog udelukkende til Keynes betragtninger i denne opgave Forbrugs- og opsparingskvoter. Den marginale forbrugskvote, c, er udtryk for en marginal ændring af Y, der fører til en marginal ændring af C (Brink 2001, p.28). Omvendt er den marginale opsparingskvote, s = 1 c, da indkomst går til forbrug eller opsparing. Derfor er s + c = 1. Man kan også anvende den gennemsnitlige forbrugskvote, der er det samlede forbrug delt med indkomsten ( Y C ), men den fortæller ingenting om marginale ændringer i forbruget ift. indkomst. TiI forbrugsfunktionen er det nødvendigt at se, hvad en ændring i indkomsten betyder for forbruget. Man kan altså sige, at den marginale er mere dynamisk ift. den gennemsnitlige, som er meget statisk. 12 af 42

13 Skat. Antager man, at en del af indkomstskatten er indkomstuafhængig (T 0 ) (eksempelvis ejendomsværdiskat), og at en anden del er proportional med indkomsten, kan skatterne opskrives: T = T 0 + t Y 0 t 1 Her er t den marginale skatteprocent, der fortæller, hvor stor en andel af indkomsten, der går til skat. Tjener man mere, betaler man derved også mere i skat. Skattesatsen er en eksogen variabel (fremkaldt af ydre årsager), da den er politisk bestemt Transfereringer. Dagpenge og andre offentlige overførsler kaldes for transfereringer (R), eller blot overførselsindkomster. Disse er også eksogene. R = R Samlet udtryk for privatforbrug. vi kan nu sætte sammenhængene fra afsnit 5.3.1, afsnit og afsnit ind i udtrykket for C i afsnit (1) (2) (3) (4) C = C 0 + c Y D = C 0 + c (Y T + R) = C 0 + c (Y (T 0 + t Y ) + R) = C 0 + c (1 t) Y c T 0 + c R Det endelige udtryk (8) findes ved at indse, at Y D = Y (T 0 + t Y ) = (1 t) Y T 0. Det ses, at udtrykket har samme form som en ret linje: y = ax + b, hvor a = c (1 t) og b = C 0 c T 0 + c R. Hældningen på grafen, a, er altså afhængig af marginalforbrugskvoten og marginalskatteprocenten Offentligt forbrug og offentlige investeringer. Da offentligt forbrug og offentlige investeringer er politisk bestemte, er her tale om en eksogen variabel: G = Ḡ Virsomhedernes investeringer. I princippet bør I, investeringer, opdeles i planlagte investeringer og utilsigtede lagerændringer, men idet vi antager, at der er ligevægt i økonomien, antager vi også, at investeringerne kun er planlagte, og at det derfor ikke er nødvendigt for virksomheder at opbygge lagre. Private investeringer er i denne model eksogene: I = Ī 13 af 42

14 Nettoeksporten. Under antagelsen af, at den reale valutakurs (ɛ) er konstant, samt at nationalindkomsten (Y U ) er eksogen, kan man betragte eksporten (X) som eksogen, samt se importen som endogen, idet den afhænger af den marginale importkvote (z) og nationalindkomsten. Ræsonneringen er, at jo mere vi tjener, jo mere importerer vi. Den reale valutakurs defineres som: ɛ t = e t P u P (Biede 2008, p.89), hvor e t er valutakursen, P u er prisindekset i udlandet og P er prisindekset i indlandet. Der tages højde for inflation i den reale valutakurs, og man antager, at der ikke er forskelle i valuta- og inflationsniveauerne mellem ind- og udland. Der antages endvidere, at der finder en indkomstuafhængig import sted, Z 0, idet virksomheder o.a. har brug for råvarer og halvfabrikata, som ikke kan fås i hjemlandet. Nettoeksporten (X Z) defineres: X Z = X (Z 0 + z Y ) 0 z Den samlede efterspørgsel. Det er nu muligt at opskrive den samlede efterspørgsel i samfundet ved at koble de forrige adfærdsrelationer sammen: (5) (6) (7) SE = C + I + G + (X Z) = C 0 + c Y D + I + G + (X Z) = C 0 + c (Y T + R) + I + G + (X Z) (8) = C 0 + c (Y T 0 t Y + R) + Ī + Ḡ + (X Z) (9) = C0 + c (Y T0 t Y + R) + Ī + Ḡ + (X Z0 z Y ) Ovenstående udtryk for den samlede efterspørgsel, kan nu omskrives til: (10) (11) (12) (13) SE = C 0 + Y (c c t) c T 0 + c R + Ī + Ḡ + (X Z 0 z Y ) = C 0 + Y c(1 t) c T 0 + c R + Ī + Ḡ + (X Z 0 z Y ) = c (1 t) Y z Y c T 0 + c R + Ī + Ḡ + X Z 0 + C 0 = (c (1 t) z) Y + [Ī + Ḡ + X Z 0 + C 0 c T 0 + c R] Y sættes ud for en parentes (14), og derefter sættes c ligeledes ud for parentesen (15). Herefter byttes der blot om på faktorernes orden (16), hvorefter de samles i to led: et multiplikatorled (runde parenteser) og et led med eksogene variable (kantede parenteser). 14 af 42

15 5.5. Ligevægtsnationalindkomsten. Vi antog tidligere, at markedet var i ligevægt, hvorfor SE = Y og derfor: (14) (15) (16) (17) Y = (c (1 t) z) Y + [Ī + Ḡ + X Z 0 + C 0 c T 0 + c R] Y (c (1 t) z) Y = [Ī + Ḡ + X Z 0 + C 0 c T 0 + c R] (1 c (1 t) z) Y = [Ī + Ḡ + X Z 0 + C 0 c T 0 + c R] Y = 1 (1 c (1 t) + z) (Ī + Ḡ + X Z 0 + C 0 c T 0 + c R ) (c (1 t) z) Y trækkes fra på begge sider (19), Y sættes ud for en parentes (20), hvorefter Y isoleres (21). Det ses nu, at en skatteændring ville medføre en ændring i multiplikatorleddet og derigennem ændre nationalindkomsten. En offentlig investering ville dermed ændre de eksogene variable, der udelukkende består af eksogene variable og derigennem nationalindkomsten. Dette er også forklaringen på, at skattelettelser virker indirekte og over tid, da de styrker effekten af de eksogene variable i modsætning til offentlige investeringer, som øger efterspørgslen og kickstarter økonomien med det samme ved at øge de eksogene variable - til gengæld påvirker de ikke selve multiplikatorleddet Multiplikator - eksempel. For at illustrere, hvordan multiplikatorer fungerer, foretages der et eksempel med c = 0, 8, t = 0, 3 og z = 0, 2 1 (1 c(1 t) + z) 1 = 1, 5625 (1 0, 8(1 0, 3) + 0, 2) Der er ikke nogen grænse på, hvor stor multiplikatoren kan blive. Antager man, at z = 0 og t = 0, ses det, at: lim c c = Multiplikatoren er dog atemporal og tager ikke højde for tiden. Det ville i mange sammenhænge være mere relevant at se på multiplikatorvirkningen for hvert år. Forbliver vi imidlertid med den atemporale model, ønsker vi at se, hvordan små ændringer i enkelte variable, som f.eks. de offentlige investeringer, G, har indflydelse på nationalindkomsten. Til dette må vi anvende partiel differentiation, der dog kræver, at vi først opbygger den nødvendige teori om differentiation og funktioner af flere variable. 15 af 42

16 6. Differentiation af funktioner af flere variable 6.1. Funktioner af flere variable. Funktioner af én variabel består af en afhængig variabel, y = f(x), og en uafhængig variabel, x. Funktioner af to variable er dog anderledes og defineres: Definition 5 (Sydsætter og Hammond (2002), p.377). A function f of two variables x and y with domain D is a rule that assigns a specified number f(x, y) to each point (x, y) in D Funktioner af flere variable består altså af en afhængig variabel, z = f(x, y) og to uafhængige variable, x og y. Funktioner af flere variable kan have et vilkårligt antal variable, men det er dog uintuitivt at tegne funktioner af tre eller flere variable i et koordinatsystem. Et eksempel på en funktion af to variable: Eksempel 1. Lad f(x, y) = x 2 + y Hvis z = f(x, y) og x = 2, y = 3 så gælder z = = 16 Et grafisk eksempel på en funktion af flere variable: Figur 1. Et eksempel på en funktion af flere variable, z = sin(x 2 ) + cos(y). Vi vil udlede nogle redskaber, der gør det muligt at betragte ændringen i den uafhængige variabel ved meget små ændringer i de afhængige variabler. Det kræver først, at vi introducerer begrebet differentiation Generelt om differentialregning. Hvor intet andet er angivet, følger dette afsnits sætninger, definitioner og begreber forklaringer fra Bregendahl et al. (2007b, Kapitel 4, pp ) 16 af 42

17 Differentialregning beskæftiger sig med at finde den øjeblikkelige hældning i et givet punkt. En lineær funktions hældning (a) udledes således: (Bregendahl et al. 2007c, Kapitel 4, p.119): Sætning 1. a = y x Hældningen er i hele definitionsmængden den samme. Det er imidlertid ikke så ligetil med andre funktioner, som vi skal se nærmere på Grænseværdier. En grænseværdi er defineret ved den værdi, a, som f(x) nærmer sig, når x bevæger sig mod en værdi, b. Hvis a er et tal, er der tale om en grænseværdi. Man bruger udtrykket limes som notation, forkortet lim, der betyder grænse på græsk. For at en grænseværdi kan eksistere, skal den være Figur 2. En ret linjes hældning er ens i hele definitionsmængnden ens, uanset om man nærmer sig fra højre eller venstre. Grænseværdier bruges ikke kun til differentiation, men også blot at undersøge, hvordan en funktion opfører sig, når en variabel nærmer sig en bestemt værdi Kontinuitet. For at kunne finde en grænseværdi, er det er krav at funktionen er kontinuerlig. Kontinuitet er afledt af det latinske ord, continuum, der betyder at holde sammen. Hvert enkelt punkt på en graf og de omkringliggende x-værdier skal nærme sig x 0 fra begge sider, og tilsvarende skal funktionsværdierne nærme sig f(x 0 ) for at en funktion er kontinuert. En funktion kan derfor defineres som værende kontinuerlig, hvis f(x) f(x 0 ) når x x 0 (hvor x 0 er en vilkårlig x-værdi), og kun hvis dette kan lade sig gøre i hele definitionsmængden Differenskvotienten. En sekant er en hvilken som helst linje, der går gennem to punkter på grafen. Disse to punkter kalder vi (x, f(x)) og (x + x, f(x + x)). Formålet er nu at finde hældningen, hvilket tager udgangspunkt i formlen for hældning af en ret linje (se sætning 1, side 17), eftersom en sekant er en ret linje: 17 af 42

18 (18) (19) (20) (21) a = y x = y 2 y 1 x 2 x 1 f(x + x) f(x) = x + x x f(x + x) f(x) = x Hældningen på en lineær graf (2) findes ved at dividere forskellen i funktionsværdierne med x-værdierne. Derfor indsættes det, at y 2 = f(x + x) og x 2 = x + x (3). Slutresultatet (4) benævnes differenskvotienten, da der er tale om en brøk med differenser i tæller og nævner. Den anvendes til at finde en funktions differentialkvotient Differentialkvotient. Lader vi de to punkter nærme sig hinanden ved at lade x 0, finder man hældningen af grafen i et uendeligt småt punkt, altså differentialkvotienten: Definition 6. lim x 0 ( ) f(x + x) f(x) = f (x) x f (x) er notationen for differentialkvotienten. Det er tydeligt, at funktionen skal være kontinuert, for at dette kan lade sig gøre, men den skal derudover også være differentiabel Differentiablitet. Differentiable funktioner er altid kontinuerte, hvorfor de også altid er sammenhængende. Kontinuerte funktioner er dog ikke per definition differentiable. Der gælder altså følgende sætning: Sætning 2. En funktion f, der er differentiabel i x, er også kontinuert i x Hvis det er muligt at indtegne en sekant, opstille differenskvotienten og tage grænseværdien af denne, sådan at det er muligt at finde differentialkvotienten, og hvis det er muligt at gøre dette i alle punkter, hvor x Dm(f), så er funktionen differentiabel. Man kan også sige, at funktionen skal kunne differentieres i alle punkter i sin definitionsmængde. Vi vil i de næste afsnit antage, at man kender til de vigtigeste regneregler, primært dem som Bregendahl et al. (2007b) beskriver fra side 176 til Retningsafledte. Med funktioner af flere variable er differentiation ikke helt det samme. Det er en kende sværere at afgøre, hvad ændringen i f er i forhold til små ændringer i de uafhængige variable, da man umuligt kan antage, at funktionsværdien stiger lige meget, uanset 18 af 42

19 ad hvilken akse, man bevæger sig hen ad (man har eksempelvis tre akser i et koordinatsystem, når man har to uafhængige variable). Til dette bruger man en retningsafledt: Definition 7 (Kro (2003), p.69). Antag at funktionen f : A R er defineret som en delmængde A af R n, og at a er et indre punkt i A. Betragt r R n som en vektor. Den retningsafledte til f i punktet a og retningen r er givet ved: 1 Forudsat at grænsen eksisterer. f (a; r) = lim h 0 f(a + hr) f(a) h Definitionen fortæller os, lidt mere jordnært, at man nærmer sig punkterne a + hr, hvis man starter i punktet a og bevæger sig r enheder i en given retning. Forskellen mellem f(a+hr) og f(a) er af sagens natur et udtryk for, hvor meget funktionen ændrer sig. Hele udtrykket, f(a+hr) f(a) h, fortæller derfor, hvor meget funktionen ændrer sig pr. længdeenhed (hvis det altså var r, man brugte som længdeenhed) (Kro 2003, p.69). Eksempel 2. Formålet er at beregne den retningsafledte f (a; r) af funktion, f(x, y) = x 2 + y 2, når a = (5, 0) og r = (3, 2). Derfor ses det, at: a + hr = (5, 0) + h(3, 2) = (5 + 3h, 2h). Sættes det ind i funktionen, giver det: (5 + 3h) 2 + (2h) 2 = 9h h h 2 = 13h h Samme ræsonnering giver, at f(a) = f(5, 0) = 5 2 = 25. Vi kan nu føre udtrykke sammen: f f(a + hr) f(a) (13h h + 25) 25 13h h (a; r) = lim = lim = lim h 0 h h 0 h h 0 h h divideres op i tælleren, hvorefter grænseværdien tages: lim (13h + 30) = 30 h 0 Vi finder længden af r ift. origo (0,0). Dette gøres vha. sætning 3: ( ) a Sætning 3 ((Bregendahl et al. 2007a), p.189). Lad a =. Da er længden af a bestemt ved b a = a 12 + a 2 2 r er en vektor, da den har en retning og en størrelse. Længden er r = = 13. Bevæger man sig derfor h 13 i samme retning som r, vil f ændres med f (a; r) h. I eksemplet så vi, at f (a; r) = 30, derfor må f (a; r) h = 30 h. Havde man haft et andet eksempel hvor r = 1, havde f (a; r) blot været grafens hældningen (i r s retning), hvilket er mere håndgribeligt. 1 A af R n betyder, at der er tale om det kartesiske produkt med n-tupler. Et indre punkt betyder, at punktet ligger midt i definitionsmængden, altså at x ɛ er et indre punkt i A, hvis ɛ > 0 sådan at y y x < ɛ : y A. 19 af 42

20 6.4. Partiel differentiation. En retningsafledt beskriver ændringen i f ift. en given retning, men vi er i denne opgave ikke interesseret i en given retning, men derimod en bestemt retning (nemlig i en af variablene, som man ændrer på). Heldigvis kan man introducere et nyt værktøj: partiel differentiation. Med dette kan man tage en funktion af mange variable og anvende de regneregler, man bruger til differentiation af funktioner af én variabel. Man kan dog ikke bare uden videre anvende disse regneregler, som vi vil vise hvorfor Den k-te enhedvekor. En enhedsvektor, eller basisvektor, er en vektor med størrelsen 1, der er parallel med en af akserne (Bregendahl et al. 2007a, p.183). Er der to akser, kan de to enhedsvektorer benævnes i og j. Har man derimod et koordinatsystem med n akser (og derfor n variable), taler man om den k-te enhedsvektor e k i R n som vektoren: e k = Altså er e k en enhedsvektor, som er parallel k-aksen med en størrelse på 1. Retningsafledte generaliserer altså begrebet partiel differentiation, da partiel differentiation forsøger at finde ændringen ift. en specifik akse Definition af partiel differentiation. Definition 8 (Kro (2003), p.70). Lad f : A R være en funktion af n variable og lad a være et indre punkt i A. Den k-te partielle afledte δf δx k (a) er den retningsafledte af f i retningen af den k-te enhedsvektor, e k ; det vil sige: δf δx k (a) = f (a, e k ) Hvis f (a; e k ) er defineret. I selve definitionen har vi også vist notationen, man anvender: δf δx i. Lille delta, δ, fortæller, at her er tale om partiel differentiation. Tælleren af brøken viser, hvilken funktion, der differentieres. Nævneren af brøken viser, hvilken variabel, der differentieries i forhold til. Definitionen af partiel differentiation fortæller en, at man kigger på hældningen af en funktionen parallelt med en af koordinatakserne. Pensler man definition 8 ud vha. definition af en retningsafledt (afsnit 6.3, side18), ses det at: 20 af 42

21 δf (a) = f f(a + he k ) f(a) (a, e k ) = lim δx k h 0 h Det gælder at e k = r, hvorfor man finder den retningsafledte i forhold til enhedsvektoren, e k. δf f(a 1, a 2,..., a k + h,..., a n ) f(a 1, a 2,..., a k,..., a n ) (a) = lim δx k h 0 h Af ovenstående bemærker man to ting: udtrykket minder om differenskvotient, som blev defineret i afsnit 6.2.4, side 18, og der er mange variable, hvor der ikke sker en ændring. De variable kan vi trække fra hinanden i tælleren og få: δf f(a k + h) f(a k ) (a) = lim δx k h 0 h Definitionen af partiel differentiation er blevet meget mere håndgribelig. Det ses nu meget tydeligt, at man kan differentiere et udtryk y = f(x 1, x 2,..., x k,..., x n ) med hensyn til x k ved ganske enkelt at sætte alle de andre variable til at være konstanter. Et jordnært eksempel for at vise den praktiske anvendelse er nu på sin plads: Eksempel 3. I Mikronesien producerer man bananer. Det årlige høstudbytte af bananer angives i 1000 tons. Når det regner i Mikronesien, regner det jævnt, og nedbøren pr. time er ens. Når det ikke regner, er himlen helt skyfri. Det samme gælder for solskin. Følgende sammenhæng gælder: høst = regn sol + 2 sol regn Mere regn og sol betyder altså flere bananer. Differentieres der med hensyn til regnen, bliver differentialkvotienten: δhøst = sol δregn Høstudbyttet stiger altså med tons = 500 tons plus det dobbelte af antallet af solskinstimer, når nedbøren øges med en times regn. Eksemplet er regnet med inspiration fra Kristensen (1995, p.113). Det var ganske vist et meget simpelt eksempel, men vi vil benytte partiel differentiation i mere avancerede sammenhænge i afsnit af 42

22 6.5. Geometrisk tolkning af partielt afledte. Funktioner af to variable har den grafiske form af et plan: Figur 3. f(x; y) = 3 x + 3 y Grafen kan beskrives som et fjeld, hvor en enkelt person står i punktet, P = (x 0, y 0, f(x 0, y 0 )). Dette betyder, at personen så er f(x 0, y 0 ) enheder over landskabet. Pointen er så, at hvis personen kigger ud over landskabet, vil måden landskabet opfører sig på afhænge af den retning vi ser i. Kigger man i x-aksens retning, vil f x(x 0, y 0 ) være et mål for stejlheden af landskabet i x-aksens retning. I figur 3 er f x(x 0, y 0 ) positiv, da vi ved at gå i x-aksens retning ville gå opad. På samme måde er f y(x 0, y 0 ) et udtryk for stejlheden i y-aksens retning. I figur3 er også f y(x 0, y 0 ) positiv. Går man i y-aksens retning, går man derfor også opad. Dette indebærer dog, at man ikke snubler og falder ud af fjeldet, da den jo er afgrænset til 1. kube (Sydsætter 1978, p.236) C 1 -funktioner. Det er dog, som tidligere vist i afsnit 6.2.2, side 17, om kontinuitet og afsnit 6.2.5, side 18, om differentiabilitet, ikke muligt at differentiere alle funktioner. Er de usammenhængende eller uglatte, kan det eksempelvis ikke lade sig gøre. Derfor introducerer vi nu et kriterium, der skal afgøre om en funktion er pæn at differentiere partielt: C 1. Definition 9. En funktion f defineret på en åben mængde A, er C 1 dersom de partielt afledte eksisterer på A og er kontinuerlige (Kro 2003, p.71). Definitionen implicerer altså, at en funktions definitionsmængde skal være åben, og det kan virke en kende urimeligt, især ift. nogle af de funktioner, vi vil beskæftige os med senere. Man kan dog godt tillade sig at indskrænke definitionsmængden en lille smule, så man kun betragter mængdens indre, hvorfor man i stedet undersøger, om en funktion er C 1 i definitionsmængdens indre. 22 af 42

23 Alle de funktioner, vi beskæftiger os med, antager vi, er C 1 -funktioner, da det så ikke vil være nødvendigt, at vurdere om hver enkelt funktion er kontinuert og differentiabel, og det giver os desuden muligheden for anvende partiel differentiation Totaldifferentiation. Partiel differentiation beskæftiger sig kun med én variabel og én retning, men det er ikke urimeligt at ville differentiere i forhold til alle variable. Her introduceres begrebet totaldifferentiation. Betragter vi en funktion, f(x, y) i et koordinat-system med 3 akser vil den partielt afledede ift. x beskrive ændringen i f, når x varieres, mens y holdes konstant. Det omvendte forholder sig med den partielt afledte ift. y. Differentialkvotienten, δf δx beskriver en retning, mens ændringen, x, beskriver en størrelse. Derfor kan man beskrive dem som vektorer, da de har både retning og længde. Lægger man vektorerne, δf δf δx x og δy y sammen, får man den resulterende vektor og derfor den sammenlagte ændring. Se figur 4 Definition 10. Det totale differentiale af en funktion, f, er: df = δf δx 1 x 1 + δf δx 2 x δf δx n x n Dette er det totale differentiale. Groft skitseret differentierer man en funktion partielt med hensyn til to eller flere variable, hvorefter man lægger produkterne af ændringerne og differentialkvotienterne sammen. Figur 4. Et tredimensionelt koordinatsystem set oppefra, der viser den samlede ændring af en funktion, f 23 af 42

24 7. Skatteletteleser og offentlige investeringer Med disse matematiske redskaber kan vi nu finde den øjeblikkelige ændring i nationalindkomsten, når en eller flere af de eksogene variable ændres. Vi vil i de følgende analyser benytte partiel differentiation til ligningen i udtrykket, vi opstillede i afsnit 5.5 på side Offentlige investeringer. G kan variere, alt imens de resterende eksogene variable betragtes som konstanter. Eftersom marginalforbrugskvoten, marginalskatteprocenten og marginalimportkvoten er faste størrelser i denne atemporale model, må multiplikatoren være en konstant, 1 altså: K = (1 c (1 t)+z) ( (22) (23) δy δg = 1 (1 c (1 t) + z) (Ī + Ḡ + X Z 0 + C 0 c T 0 + c R ) = ( K (Ī + Ḡ + X Z 0 + C 0 c T 0 + c R )) ) Da de samme regneregler gælder for partial differentiation som ved almindelig differentiation, kan multiplikatoren sættes ud for en parentes: (24) δy δg = K (Ī + Ḡ + X Z 0 + C 0 c T 0 + c R ) Eftersom G = 1 og idet de resterende variable betragtes som konstanter, følger dette: (25) δy δg = K ( c 0 + c 0) (26) = K (27) = 1 (1 c (1 t) + z) En offentlig investering, G, påvirker Y : Y = 1 (1 c (1 t) + z) G 7.2. Skattelettelser. At skille effekten af skattelettelse ad er en kende mere vanskeligt, bl.a. fordi der opereres med en indkomstafhængig og en indkomstuafhængig skat. Første trin er den indkomstuafhængige skat, T 0 : (28) (29) δy δt 0 = ( K (Ī + Ḡ + X Z 0 + C 0 c T 0 + c R )) = (K ( c 1 + c 0)) (30) (31) (32) = K ( c) 1 = (1 c (1 t) + z) ( c) = ( c) (1 c (1 t) + z) 24 af 42

25 Det gælder så, at en lettelse af den indkomstuafhængige skat medfører en ændring i Y : Y = Med hensyn til den indkomstafhængige skat: ( c) (1 c (1 t) + z) T 0 Y = 1 (1 c (1 t) + z) (Ī + Ḡ + X Z 0 + C 0 c T 0 + c R ) = Ī + Ḡ + X Z 0 + C 0 c T 0 + c R (1 c (1 t) + z) Den indkomstafhængige skat differentieres da efter reglen om differentiation af en brøk (Bregendahl et al. 2007b, p.207): Sætning 4. ( f g ) = g f f g g 2 (33) (34) δy δt = (1 c(1 t) + z) 0 (G + I + X Z 0 + C 0 c T 0 + c R) c (1 c(1 t) + z) 2 ) = ( c) (1 c(1 (t + t)) + z) 2 ) (G + I + X Z 0 + C 0 c T 0 + c R) En ændring i t afhænger faktisk af den endelig skattesats, t, hvorfor skattesatsen plus ændringen bruges i modellen (t + t). 25 af 42

26 8. Differentialkvotienternes betydning 8.1. Offentlige investeringer. Ændringen i nationalindkomsten ift. ændringer i de offentlige investeringer er: Y = 1 (1 c (1 t) + z) G = G (1 c (1 t) + z) For en maksimal multiplikator, må det derfor gælde at c 1 og t 0 og z = 0. Ønsker man derfor en stor ændring i nationalindkomsten som følge af en offentlig investering, må man - set ud fra modellens rammer - sørge for at befolkningen har den størst mulige disponible indkomst, bruger hele sin indkomst på forbrug og udelukkende forbruger indenlandske varer Skattelettelser. Der var jo to former for skattelettelser. Den samlede skattelettelse betragtes: Y = c (G + I + X Z 0 + C 0 c (T 0 + T 0 ) + c R) ( c) (1 c(1 (t + t)) + z) 2 t+ (1 c (1 (t + t)) + z) T 0 En skattelettelse er af sagens natur et meget vagt begreb: det giver ikke sig selv, hvilken slags skat, der henvises til. Men med ovenstående udtryk gør det ingen forskel. Er der eksempelvis ingen lettelse i den indkomstuafhængige skat, vil T 0 = 0, hvilket alene efterlader den indkomstafhængige skat. Det bemærkes dog, at multiplikatoreffekten af en ændring i t også afhænger af T 0, hvorfor der tages hensyn til dette i ligningen. Antager vi, at T 0 = 0, kan vi dog nøjes med at kigge på ændringen i t til at starte med: Y = c (G + I + X Z 0 + C 0 c (T 0 + T 0 ) + c R) (1 c(1 (t + t)) + z) 2 t Multiplikatorvirkningen for en skatteændring vil altid være negativ, da man kigger på effekterne af en stigning i skatten, og det er klart, at den vil have negative effekter (her gælder samme ræsonnering som tidligere blot med modsatte fortegn). En skattelettelse vil da bevæge sig den anden vej, og multiplikatorvirkningen bliver positiv. En lavere skat medfører en større disponibel indkomst, hvorfor det er klart, at marginalforbrugskvoten er imperativ til at afgøre, hvor stor en del af denne disponible indkomst, vi anvender. Betragter vi udelukkende tælleren, ser vi, at den består af to elementer: 1 c (G + I + X Z 0 + C 0 c T 0 + c R) Det er simpel matematik at forstå, at for g > 0: ( ) f lim = f g 26 af 42

27 lim g ( ) f = 0 g Elementet ( 1 c) betyder, at indholdet af parentensen (G + I + X Z 0 + C 0 c T 0 + c R) bliver negativt, medmindre indholdet selv bliver negativt. Hele brøken bliver negativ, medmindre nævneren er negativ. Nævneren kan imidlertid ikke være negativ, da den er opløftet i anden potens. (1 c(1 (t + t)) + z) 2 > 0 Vi kan herudfra udlede, at: Jo flere offentlige investeringer, desto større bliver multiplikatoreffekten Jo flere private investeringer, desto større bliver multiplikatoreffekten Jo større eksporten er, desto større bliver multiplikatoreffekten Jo større minimumsimporten er, desto lavere bliver multiplikatoreffekten Jo større minimumsforbruget er, desto større bliver multiplikatoreffekten Jo større den indkomstuafhængige skat er, desto lavere bliver multiplikatoreffekten Jo flere og større transfereringer, desto større bliver bliver multiplikatoreffekten Kriteriet for en skattelettelse, der ikke er direkte negativ, er: G + I + X + C 0 + c R > Z 0 + c T 0 Ønsker man at maksimere effekten af en skattelettelse, må G, I, C 0, R, mens Z 0 0, T 0 0, c 1, z 0 og t 0. Med andre ord, skal der være et maksimalt antal investeringer, offentlige såvel som private og en stor disponibel indkomst hos borgerne (altså mange overførselsindkomster og lav skat) Den indkomstsuafhængige skat er en kende mere simpel. Er t = 0, så: Y = ( c) (1 c (1 t) + z) T 0 Det er tydeligt, at man maksimerer effekten ved at lade c 1 mens t 0 og z 0. Jo mere vi forbruger, jo mindre skat vi betaler, og jo mindre vi importerer, desto større bliver effekten af en sænkelse af den indkomstuafhængige skat. I næste afsnit vil vi diskutere rimeligheden af denne model samt diskutere de overordnede forudsætninger og begrænsninger, som modellen hviler på. 27 af 42

28 9. Evaluering af modellen 9.1. Forudsætninger. I vores model gælder: Y = 1 (1 c (1 t) + z) [Ī + Ḡ + X Z 0 + C 0 c T 0 + c R ] 1 Den er delt op i en multiplikatordel: (1 c (1 t)+z) X Z 0 + C 0 c T 0 + c R]. samt en serie af eksogene variable: [Ī + Ḡ + Den keynesianske model argumenterer for, at lav efterspørgsel betyder lav produktion og dermed høj arbejdsløshed, hvilket vil tvinge økonomien ind i en selvforstærkende krise (eftersom arbejdsløshed medfører en endnu lavere efterspørgsel). I den keynesianske-model medfører ligevægtsindkomsten dog ikke automatisk fuld beskæftigelse. Forskellen mellem ligevægtsnationalindkomsten og den nationalindkomst, der kræves for, at et samfund har fuld beskæftigelse, kaldes output-gabet. En stat kan da vælge at sætte ind og forsøge at lukke output-gabet med ekspansiv finanspolitik, som f.eks. skattelettelser eller offentlige investeringer(brink 2001, p.210) Fuldkommen konkurrence. Modellen er baseret på forudsætningen om et marked i perfekt ligevægt, hvor Y = SE. Det betyder dog, at der på markedet skal herske fuldkommen konkurrence: Definition 11 (Kureer og Lundgren (2006), p.71). Et marked har fuldkommen konkurrence, hvis 1) Antallet af købere og sælgere er så stort, at ingen køber eller sælger dominerer markedet 2) Alle produkter er homogene (uden præferencegrader) 3) Fuld gennemsigtighed på markedet. Gennemsigtighed betyder, at alle borgere har fuldt kendskab til priserne på alle varer fra alle udbyder. Fuldkommen konkurrence er mere et teoretisk begreb end et praktisk begreb, og der er kun få markeder, hvor det rent faktisk eksisterer. At der hersker fuldkommen konkurrence i et helt land er derfor en alt for idealistisk antagelse Korrelationer. Modellen bygger endvidere på en række korrelationer, som man antager er sande Y = C + I + G - jo mere vi forbruger og investerer, jo mere producerer vi. C = C 0 + c Y D - jo mere vi har til rådighed, jo mere forbruger vi Med andre ord forudsættes det, at der rent faktisk eksisterer matematiske forhold, der kan modellere folks ageren, hvilket møder stærk kritik fra discipliner som neuroøkonomi og keynesianismens nemesis, monetarismen. Det er ikke krav, at modellen kan modellere virkeligheden perfekt, men der skal dog være tale om en rimelig approksimation. Især forbrugsfunktionen kan på dette 28 af 42

29 punkt anklages for at være en kende simplistisk, idet den kun tager én faktor med, selvom der er adskillige variable, der afgør, hvor meget vi forbruger Efterspørgselsbaseret produktion. Selve rygraden i modellen - og i den keynesianske teori - er, at produktionen sættes i gang, hvis der skabes efterspørgsel. Keynes var endvidere fortaler for markedsøkonomien og mente på den baggrund, at enhver produktion ville være profitabel for en virksomhed, idet priser og lønninger automatisk ville tilpasse sig et rentabelt niveau. Det er ikke omkostningerne, som virksomhederne skal være bekymrede for, men snarere manglende efterspørgsel. Med andre ord, så forudsættes det i vores model, at udbuddet altid tilpasser sig efterspørgsel (fuldstændigt elastisk udbud). Det virker urealistisk at forestille sig, at virksomheder ville være så fleksible, og desuden ville mange virksomheder udnytte stordriftsfordele og masseproducere varer, der lagerføres indtil (eller hvis) de kan sælges. I dagens verden står fagforeningerne også stærkt, hvorfor lønnen typisk fastsættes ud fra overenskomster. Dette gør løndannelsen særdeles ufleksibel ift. markedsudsving, hvorfor det er urealistisk at antage, at priser og lønninger automatisk ville tilpasse sig et rentabelt niveau Indkomst og produktion. En anden forudsætning er, at indkomst altid vil være lig med produktionen, og at der for hver krone, der tjenes, vil blive udbetalt lige så meget i løn, profit og/eller rente. Denne tankegang beskrives for første gang af økonomen Adam Smith (1776, p.34), idet han argumenterer for, at alle indtjeninger kommer af løn, profit og leje (leje af jord, penge mv.). Råvarerpriser vil kunne underopdeles i disse tre omkostninger, og det er netop denne forudsætning, der ligger til grund for den keynesianske model. Denne antagelse virker fuldstændig rimelig Konkurrenceevne. Det forudsættes, at den reale valutakurs, ɛ, som vi definerede i afsnit på side 14, er konstant. Med andre ord antages det, at der ikke er forskelle i inflationsog valutaniveauerne landene imellem. Forhold i konkurrenceevnen tages ud af betragtning, mens eksport- og importforhold forbliver i modellen Inflationære tendenser. Det hænger sammen med en anden grundlæggende antagelse: at øget aktivitet og lavere arbejdsløshed ikke vil have en effekt på pris- og lønstigninger, indtil der er opnået fuld beskæftigelse, hvorefter inflationen indtræder. En øget aktivitet vil medføre øgede priser, hvilket skader konkurrenceevnen - men denne betragtning er taget ud af modellen. Økonomen Hazlitt (1959) deler det samme synspunkt i sin bog, The Failure of New Economics. I modellen ser man derudover, hvordan en højere forbrugskvote - hvis marginalskatteprocenten var konstant og forskellig fra 1 - medfører en højere multiplikatoreffekt og derved en større stigning i BNP. Antager man, at lønningerne er på et relativt højt niveau, vil et øget forbrug ikke medføre en stigning på BNP på lang sigt - tværtimod. Det vil i stedet medføre en løn/pris-spiral og 29 af 42

30 en kraftigt voksende omkostningsinflation (Kureer og Lundgren 2006, p.342), hvilket forringer konkurrenceevnen, ændrer indkomst- og formuefordeling og skaber usikkerhed (Hazlitt 1959) Forbrugskvoten. Som det fremgår tydeligt af de udtryk, vi udledte (særligt afsnit 5.3.2, side 12, samt afsnit 5.3.6, side 13), er marginalforbrugskvoten stærkt forbundet med nationalindkomsten. Modellen forudsætter, at der ikke er nogen fare ved at undervurdere betydningen af opsparingskvoten, s. Faren ved dette ligger i, at opsparing er lig med investering (S = I), og at en økonomi vil udvikle sig langsomt uden investeringer, da der hverken foretages reinvesteringer eller nettoinvesteringer, hvilket betyder at produktionsapparatet blider slidt ned (Kureer og Lundgren 2006, p.46). Sammenhængen mellem I og S udledes ved at se på BNP fra hhv. husholdningernes og virksomhedernes side: (35) (36) (37) (38) BN P = C + I Virksomhederne Indkomst er lig forbrug og investering BN P = C + S Husholdningerne: Indkomst er lig forbrug og opsparing C + S = C + I S = I Sammenhæng mellem markederne. Sidst, tager modellen kun varemarkedet med i sin betragtning. I virkelighedens verden, vil pengemarkedet og valutamarkedet også stærkt relevant, da renten har betydning for de lånefinansierede private investeringer, kapitalstrømmene ind og ud af landet og derfor valutakurserne og derigennem konkurrenceevnen, som sætter sit spor på arbejdsløsheden, produktionen, indkomsten og faktisk også transfereringerne (flere arbejdsløse betyder flere overførselindkomster). Arbejdsmarkedet er heller ikke regnet med ind, hvorfor der mangler direkte korrelationer mellem finanspolitiske tiltag og deres effekt på arbejdsmarkedet. Det er en stor svaghed i modellen, men det var vi jo opmærksom på, idet vi allerede fra starten af havde valgt at afgrænse os til varemarkedet Begrænsninger. Modellen forsøger at beskrive et stykke virkelighed, men dertil har den sine begrænsninger, som vi vil forsøge at klarlægge Inflationær crowding out. I modellen er inflation og konkurrenceevne negligeret. Ekspansive finanspolitiske tiltag, som f.eks. skattelettelser og offentlige investeringer, har til formål at minimere output-gabet, men har nogle langsigtede virkninger, der ophæver de kortsigtede virkninger. På kort sigt ræsonnereres der: Øget efterspørgsel Øget produktion Øget indkomst Øget forbrug Ny øget efterspørgsel af 42

MAKROøkonomi. Kapitel 9 - Varemarkedet og finanspolitikken. Opgaver. Opgave 1. Forklar følgende figurer fra bogen:

MAKROøkonomi. Kapitel 9 - Varemarkedet og finanspolitikken. Opgaver. Opgave 1. Forklar følgende figurer fra bogen: MAKROøkonomi Kapitel 9 - Varemarkedet og finanspolitikken Opgaver Opgave 1 Forklar følgende figurer fra bogen: 1 Opgave 2 1. Forklar begreberne den marginale forbrugskvote og den gennemsnitlige forbrugskvote

Læs mere

Opgavebesvarelse - Øvelse 3

Opgavebesvarelse - Øvelse 3 Opgavebesvarelse - Øvelse 3 Opgave 3.2 Lad økonomien være karakteriseret ved følgende adfærdsligninger: a) Løs for ligevægts BNP: derved at vi bruger ligningen. b) Løs for den disponible indkomst: c) Løs

Læs mere

I dette kapitel beskrives varemarkedet, som er baggrunden for IS-kurven. Først ses der på, hvad BNP består af:

I dette kapitel beskrives varemarkedet, som er baggrunden for IS-kurven. Først ses der på, hvad BNP består af: Del 2 På kort sigt I de næste tre kapitler vil de værktøjer, du skal bruge for at kunne analysere en økonomi på kort sigt, blive gennemgået. Til at gøre dette er det vigtigste værktøj IS-LM-modellen, som

Læs mere

Udledning af multiplikatoreffekten

Udledning af multiplikatoreffekten Udledning af multiplikatoreffekten Af Thomas Schausen Et tværfagligt undervisningsmateriale i matematik og samfundsfag fra Materialet er udarbejdet med støtte fra Undervisningsministeriet, og kan frit

Læs mere

IS-relationen (varemarkedet) i en åben økonomi.

IS-relationen (varemarkedet) i en åben økonomi. IS-relationen (varemarkedet) i en åben økonomi. Det har ikke været nødvendigt at skelne mellem 1) Indenlandsk efterspørgsel efter varer 2) Efterspørgsel efter indenlandske varer For den åbne økonomi er

Læs mere

ØKONOMISKE PRINCIPPER II

ØKONOMISKE PRINCIPPER II ØKONOMISKE PRINCIPPER II 1. årsprøve, 2. semester Forelæsning 13 Pensum: Mankiw & Taylor kapitel 34 Claus Thustrup Kreiner www.econ.ku.dk/ctk/principperii Fra kapitel 33 AD-AS-diagrammet AD: Negativ hældning

Læs mere

Øvelse 11 - Opsummering af den lukkede økonomi

Øvelse 11 - Opsummering af den lukkede økonomi Øvelse 11 - Opsummering af den lukkede økonomi Tobias Markeprand 18. november 2008 X3 Opgave 1 C = 275 + 0, 75(Y T ) (Privat forbrug) I = 75 6, 25i (Investeringer) G = 350 (Offentligt forbrug) T = 387,

Læs mere

ØKONOMISKE PRINCIPPER B

ØKONOMISKE PRINCIPPER B ØKONOMISKE PRINCIPPER B 1. årsprøve, 2. semester Mankiw kap. 11: Aggregate Demand I: Building the IS-LM Model Jesper Linaa Fra kapitel 10: Lang sigt vs. kort sigt P LRAS SRAS AD Side 2 Lang sigt vs. kort

Læs mere

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

MAKROØKONOMI FRAKAPITEL9:LANGTSIGTVSKORTSIGT. Forskel i antagelser? Implikation for AS-AD diagram? 1. årsprøve, 2. semester.

MAKROØKONOMI FRAKAPITEL9:LANGTSIGTVSKORTSIGT. Forskel i antagelser? Implikation for AS-AD diagram? 1. årsprøve, 2. semester. FRAKAPITEL9:LANGTSIGTVSKORTSIGT MAKROØKONOMI Forskel i antagelser? Implikation for AS-AD diagram? 1. årsprøve, 2. semester Forelæsning 8 Aggregeret efterspørgsel I Pensum: Mankiw kapitel 10 Claus Thustrup

Læs mere

Mere om differentiabilitet

Mere om differentiabilitet Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget

Læs mere

Vejledende opgavebesvarelse Økonomisk kandidateksamen 2004II 1. årsprøve, Makroøkonomi

Vejledende opgavebesvarelse Økonomisk kandidateksamen 2004II 1. årsprøve, Makroøkonomi Vejledende opgavebesvarelse Økonomisk kandidateksamen 2004II 1. årsprøve, Makroøkonomi Claus Thustrup Kreiner Juni 2004 OPGAVE 1 1.1 Forkert. Møntningsgevinst beskriver en gevinst centralbanken/staten

Læs mere

Øvelse 17 - Åbne økonomier

Øvelse 17 - Åbne økonomier Øvelse 17 - Åbne økonomier Tobias Markeprand 20. januar 2009 Opgave 21.2 Betragt et land, der opererer under faste valutakurser, med den samlede efterspørgsel og udbud givet ved ligninger (21.1) og (21.2)

Læs mere

PeterSørensen.dk : Differentiation

PeterSørensen.dk : Differentiation PeterSørensen.dk : Differentiation Betydningen af ordet differentialkvotient...2 Sekant...2 Differentiable funktioner...3 Bestemmelse af differentialkvotient i praksis ved opgaveløsning...3 Regneregler:...3

Læs mere

Makroøkonomi. Olivier Blanchard ch. 3: The Goods Market

Makroøkonomi. Olivier Blanchard ch. 3: The Goods Market Syddansk Universitet HD 1. del, Samfundsøkonomi Kapitel- og noteoversigt: 1. Den økonomiske model 2. Indkomstdannelsesmodellen Makroøkonomi Olivier Blanchard ch. 3: The Goods Market 3. Nærmere om samspillet

Læs mere

Vismandsspillet og makroøkonomi

Vismandsspillet og makroøkonomi Vismandsspillet og makroøkonomi Dette notat om makroøkonomi er skrevet af Henrik Adrian, Helge Gram Christensen, Morten Gjeddebæk og Ernst Jensen på et udviklingsseminar mellem matematik og samfundsfag

Læs mere

BEVISER TIL KAPITEL 3

BEVISER TIL KAPITEL 3 BEVISER TIL KAPITEL 3 Alle beviserne i dette afsnit bruger følgende algoritme fra side 88 i bogen. Algoritme: Fremgangsmåde til udledning af forskellige regneregler for differentiation af forskellige funktionstyper

Læs mere

Opgave X4. Tobias Markeprand. January 13, Vi betragter en økonomi med adfærdsligninger

Opgave X4. Tobias Markeprand. January 13, Vi betragter en økonomi med adfærdsligninger Opgave X4 Tobias Markeprand January 13, 2009 Vi betragter en økonomi med adfærdsligninger og ligevægtsligninger C = 60 + 0:8 (Y T ) I = 250 10i G = 150 N X = 400 0:1Y 500E T = 50 + 0:25Y M d = 0:25Y 10i

Læs mere

Effekterne af en produktivitetsstigning i den offentlige sektor med et konstant serviceniveau 1

Effekterne af en produktivitetsstigning i den offentlige sektor med et konstant serviceniveau 1 Effekterne af en produktivitetsstigning i den offentlige sektor med et konstant serviceniveau 1 26. september 2013 1. Indledning Følgende notat beskriver resultaterne af marginaleksperimenter til DREAM-modellen,

Læs mere

Øvelse 5. Tobias Markeprand. October 8, 2008

Øvelse 5. Tobias Markeprand. October 8, 2008 Øvelse 5 Tobias arkeprand October 8, 2008 Opgave 3.7 Formålet med denne øvelse er at analysere ændringen i indkomstdannelsesmodellen med investeringer der afhænger af indkomst/produktionen. Den positive

Læs mere

Besvarelse af opgaver - Øvelse 7

Besvarelse af opgaver - Øvelse 7 Besvarelse af opgaver - Øvelse 7 Tobias Markeprand 20. oktober 2008 IS-LM Opgave 5.7 Politik-blanding. Foreslå en politik-blanding til at opnå hvert af disse målsætninger: Svar: En stigning i Y med en

Læs mere

Rettevejledning til HJEMMEOPGAVE 2 Makro 1, 2. årsprøve, foråret 2007 Peter Birch Sørensen

Rettevejledning til HJEMMEOPGAVE 2 Makro 1, 2. årsprøve, foråret 2007 Peter Birch Sørensen Rettevejledning til HJEMMEOPGAVE 2 Makro 1, 2. årsprøve, foråret 2007 Peter Birch Sørensen Spørgsmål 1 : Ligning (1) er ligevægtsbetingelsen for varemarkedet i en åben økonomi. Det private forbrug afhænger

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

matx.dk Mikroøkonomi

matx.dk Mikroøkonomi matx.dk Mikroøkonomi Dennis Pipenbring 31. august 2011 Indold 1 Udbuds- og efterspørgselskurver 3 1.1 Lineær.............................. 4 1.2 Eksponentiel........................... 5 1.3 Potens..............................

Læs mere

Økonomiske Principper B

Økonomiske Principper B Økonomiske Principper B 1. årsprøve, 2. semester Forelæsning 9 Mankiw kapitel 11 Claus Thustrup Kreiner Forelæsning 9 (Mankiw kapitel 11) Økonomiske Principper B Claus Thustrup Kreiner 1 / 21 Fra kapitel

Læs mere

MAKRO 1. 2. årsprøve, forår 2007. Forelæsning 2. Mankiw kapitel 3. Peter Birch Sørensen. www.econ.ku.dk/okopbs/courses.htm

MAKRO 1. 2. årsprøve, forår 2007. Forelæsning 2. Mankiw kapitel 3. Peter Birch Sørensen. www.econ.ku.dk/okopbs/courses.htm MAKRO 1 2. årsprøve, forår 2007 Forelæsning 2 Mankiw kapitel 3 Peter Birch Sørensen www.econ.ku.dk/okopbs/courses.htm DEN GRUNDLÆGGENDE KLASSISKE MODEL: REPETITION Langsigtsmodel for en lukket økonomi.

Læs mere

ØKONOMISKE PRINCIPPER B

ØKONOMISKE PRINCIPPER B ØKONOMISKE PRINCIPPER B Forelæsning til studiepraktik baseret på Mankiw kap. 3: National Income: Where It Comes From and Where It Goes Jesper Linaa De Økonomiske Råd / Københavns Universitet Oktober 2016

Læs mere

Hjemmeopgavesæt 3, løsningsskitse

Hjemmeopgavesæt 3, løsningsskitse Hjemmeopgavesæt 3, løsningsskitse Teacher 16. december 2008 Opgave 1 Antag, at Phillipskurven for en økonomi er givet ved (B t er inflationen til tid t, B er den forventede inflation til tid t, : er mark-up

Læs mere

Indkomstdannelsesteori. Tema 7

Indkomstdannelsesteori. Tema 7 Indkomstdannelsesteori Tema 7 Udgangspunktet Nationalregnskabet er regnskabsmæssige identiteter; Nu kobles adfærd og adfærds betydning for det økonomiske forløb på; Tankerne om udbudsøkonomi negligeres,

Læs mere

Integralregning Infinitesimalregning

Integralregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement

Læs mere

Finanspolitik under finanskrisen

Finanspolitik under finanskrisen Finanspolitik under finanskrisen Hvorfor er det vanskeligt at føre den rigtige finanspolitik? Studieretningsprojekt Vejledt af: Sandru Surendran, 3.x Nakskov Gymnasium & HF Abstract This study examines

Læs mere

ØKONOMISKE PRINCIPPER II

ØKONOMISKE PRINCIPPER II ØKONOMISKE PRINCIPPER II 1. årsprøve, 2. semester Forelæsning 12 Pensum: Mankiw & Taylor kapitel 33 Claus Thustrup Kreiner www.econ.ku.dk/ctk/principperii Recap: Økonomien på langt sigt Kapitel 25: Vækst

Læs mere

MAKROØKONOMI ØKONOMIEN PÅ LANGT SIGT. Mankiw kap. 3, 6, 7 & årsprøve, 2. semester

MAKROØKONOMI ØKONOMIEN PÅ LANGT SIGT. Mankiw kap. 3, 6, 7 & årsprøve, 2. semester MAKROØKONOMI 1. årsprøve, 2. semester Forelæsning 2 Pensum: Mankiw kapitel 3 ØKONOMIEN PÅ LANGT SIGT Mankiw kap. 3, 6, 7 & 8. Husk grundlæggende forudsætning vedr. langt sigt: Priserne er fleksible. Statiske

Læs mere

Økonomer og økonomiske begreber af Joachim Ohrt Fehler, 2013. Download denne og mere på www.joachim.fehler.dk

Økonomer og økonomiske begreber af Joachim Ohrt Fehler, 2013. Download denne og mere på www.joachim.fehler.dk Økonomer og økonomiske begreber af Joachim Ohrt Fehler, 2013. Download denne og mere på www.joachim.fehler.dk Markedsøkonomi: En økonomi hvor priser og produktion bestemmes af udbud og efterspørgsel på

Læs mere

Differentiation. Frank Nasser. 11. juli 2011

Differentiation. Frank Nasser. 11. juli 2011 Differentiation Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Vejledende opgavebesvarelse Økonomisk kandidateksamen 2005I 1. årsprøve, Mikroøkonomi

Vejledende opgavebesvarelse Økonomisk kandidateksamen 2005I 1. årsprøve, Mikroøkonomi Vejledende opgavebesvarelse Økonomisk kandidateksamen 2005I 1. årsprøve, Mikroøkonomi Claus Thustrup Kreiner OPGAVE 1 1.1 Forkert. En isokvant angiver de kombinationer af inputs, som resulterer i en given

Læs mere

Betydningen af ordet differentialkvotient...2. Sekant...2

Betydningen af ordet differentialkvotient...2. Sekant...2 PeterSørensen.dk Differentiation Indold Betydningen af ordet differentialkvotient... Sekant... Differentiable funktioner...3 f (x) er grafens ældning i punktet med første-koordinaten x....3 Ikke alle grafpunkter

Læs mere

De økonomiske konsekvenser af højt uddannet merindvandring til den offentlige sektor 1.

De økonomiske konsekvenser af højt uddannet merindvandring til den offentlige sektor 1. De økonomiske konsekvenser af højt uddannet merindvandring til den offentlige sektor 1. November 4, 2015 Indledning. Notatet opsummerer resultaterne af et marginaleksperiment udført til DREAM modellen.

Læs mere

Øvelsessæt til Makroøkonomi

Øvelsessæt til Makroøkonomi Øvelsessæt til Makroøkonomi 1 2009 Oversigt over øvelsesgange: 24. april 2009: Introduktion til faget Opgaverne 2.3, 2.4 og 2.5 på side 38 i 4. Udgave og 59 i 5. udgave af Macroeconomics 15. maj 2009:

Læs mere

MAKRO 1 BAG AD-KURVEN: IS-LM-MODELLEN. I kapitel 9 analyseres en forsimplet AS-AD-model. AD-kurven: MV = PY. 2. årsprøve

MAKRO 1 BAG AD-KURVEN: IS-LM-MODELLEN. I kapitel 9 analyseres en forsimplet AS-AD-model. AD-kurven: MV = PY. 2. årsprøve BAG AD-KURVEN: IS-LM-MODELLEN MAKRO 1 2. årsprøve Forelæsning 9 I kapitel 9 analyseres en forsimplet AS-AD-model. AD-kurven: MV = PY. AS-kurven: Langt sigt, Y = Ȳ. Kortsigt, P = P med passiv tilpasning

Læs mere

Lynprøve. Makroøkonomi, 1. årsprøve, foråret Nogle svar

Lynprøve. Makroøkonomi, 1. årsprøve, foråret Nogle svar Opgave 1. Lynprøve Makroøkonomi, 1. årsprøve, foråret 2005 Nogle svar 1.1 Korrekt. Dette er jo Fisher-effekten baseret på Fisher-ligningen, i = r + π eller "more precisely written" i = r + π e. Realrenten

Læs mere

Differentialregning. Ib Michelsen

Differentialregning. Ib Michelsen Differentialregning Ib Michelsen Ikast 2012 Forsidebilledet Tredjegradspolynomium i blåt med rød tangent Version: 0.02 (18-09-12) Denne side er (~ 2) Indholdsfortegnelse Introduktion...5 Definition af

Læs mere

MAKRO årsprøve. Forelæsning 8. Pensum: Mankiw kapitel 10. Peter Birch Sørensen.

MAKRO årsprøve. Forelæsning 8. Pensum: Mankiw kapitel 10. Peter Birch Sørensen. MAKRO 1 2. årsprøve Forelæsning 8 Pensum: Mankiw kapitel 10 Peter Birch Sørensen www.econ.ku.dk/pbs/courses.htm BAG AD-KURVEN: IS-LM-MODELLEN I kapitel 9 analyserede vi en forsimplet AS-AD-model. AD-kurven:

Læs mere

Opgave 1c. Der er ikke bundet likviditet i anlægsaktiver.

Opgave 1c. Der er ikke bundet likviditet i anlægsaktiver. Opgave 1c I perioden er lageret formindsket, men en omsætningshastighed på 3 gange er ikke godt. Der er alt for mange penge ude at hænge hos varedebitorene, de skal gerne hjem igen hurtigere. Det er positivt,

Læs mere

Differentialregning Infinitesimalregning

Differentialregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Differentialregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne differentialregning, og anskuer dette som et derligere redskab til vækst og funktioner. Noterne er supplement til kapitel

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

Kapitel 3 Lineære sammenhænge

Kapitel 3 Lineære sammenhænge Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk

Læs mere

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

Økonomiske principper B. Hjemmeopgave #2. Foråret 2010. Af Kirstine Vester, hold 3 Afleveres uge 15

Økonomiske principper B. Hjemmeopgave #2. Foråret 2010. Af Kirstine Vester, hold 3 Afleveres uge 15 Økonomiske principper B Hjemmeopgave #2 Foråret 2010 Af Kirstine Vester, hold 3 Afleveres uge 15 OPGAVE 1 1.1 Nominel rente og realrente. Den rente banker udbetaler kaldes den nominelle rente og real renten

Læs mere

Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser

Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2016 juni 2017 Institution Tønder Handelsskole og Det Blå Gymnasium Tønder, Martin Hammerichsvej 3,

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

MAKRO 1 DEN GRUNDLÆGGENDE KLASSISKE MODEL. Lukket økonomi (åben økonomi i kap. 5).

MAKRO 1 DEN GRUNDLÆGGENDE KLASSISKE MODEL. Lukket økonomi (åben økonomi i kap. 5). DEN GRUNDLÆGGENDE KLASSISKE MODEL Lukket økonomi (åben økonomi i kap. 5). MAKRO 1 2. årsprøve Langt sigt. Grundantagelse: Fleksible priser og lønninger naturlig ressourceudnyttelse, BNP udbudsbestemt.

Læs mere

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0 MaB Sct. Knud Gymnasium, Henrik S. Hansen % [FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers..0 Indhold Funktioner... Entydighed... Injektiv...

Læs mere

Funktioner og ligninger

Funktioner og ligninger Eleverne har både i Kolorit på mellemtrinnet og i Kolorit 7 matematik grundbog arbejdet med funktioner. I 7. klasse blev funktionsbegrebet defineret, og eleverne arbejdede med forskellige måder at beskrive

Læs mere

Phillipskurven: Inflation og arbejdsløshed

Phillipskurven: Inflation og arbejdsløshed Phillipskurven: Inflation og arbejdsløshed Vores udgangspunkt er AS-kurven, dvs. relationen mellem prisniveau og output så der er ligevægt på arbejdsmarkedet, og der har følgende form P = ( + µ) P e F

Læs mere

MAKRO 1. 2. årsprøve, forår 2007. Forelæsning 5. Pensum: Mankiw kapitel 5. Peter Birch Sørensen. www.econ.ku.dk/okopbs/courses.htm

MAKRO 1. 2. årsprøve, forår 2007. Forelæsning 5. Pensum: Mankiw kapitel 5. Peter Birch Sørensen. www.econ.ku.dk/okopbs/courses.htm MAKRO 1 2. årsprøve, forår 2007 Forelæsning 5 Pensum: Mankiw kapitel 5 Peter Birch Sørensen www.econ.ku.dk/okopbs/courses.htm DEN ÅBNE ØKONOMI LUKKET vs. ÅBEN ØKONOMI: Handel: Eksport og import af varer

Læs mere

MAKRO årsprøve. Forelæsning 9. Pensum: Mankiw kapitel 11. Peter Birch Sørensen.

MAKRO årsprøve. Forelæsning 9. Pensum: Mankiw kapitel 11. Peter Birch Sørensen. MAKRO 1 2. årsprøve Forelæsning 9 Pensum: Mankiw kapitel 11 Peter Birch Sørensen www.econ.ku.dk/pbs/courses.htm IS-LM-MODELLEN, BAGGRUND 1. Klassiske modeller: BNP bestemt fra udbudssiden alay = AF ( K,

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 2015-16 Institution Tønder Handelsskole, Martin Hammerichsvej 3, DK - 6270 Tønder http://www.toha.dk, e-mail:

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Keynesiansk Konjunkturteori. Carl-Johan Dalgaard Økonomisk Institut Københavns Universitet

Keynesiansk Konjunkturteori. Carl-Johan Dalgaard Økonomisk Institut Københavns Universitet Keynesiansk Konjunkturteori Carl-Johan Dalgaard Økonomisk Institut Københavns Universitet 1 Agenda Hvordan adskiller keynesiansk makroteori sig fra konjunkturmodellen drøftet i kapitel 7? Konstruktion

Læs mere

Mundell-Fleming Henrik Johansen, april 2010. Mundell-Fleming

Mundell-Fleming Henrik Johansen, april 2010. Mundell-Fleming Mundell-Fleming Denne note vil gennem effekterne af først en stigning i prisniveauet og efterfølgende en stigning i det internationale renteniveau for hhv. flydende og faste kurser for følgende Mundell-Fleming

Læs mere

Indledning. Tekniske forudsætninger for beregningerne. 23. januar 2014

Indledning. Tekniske forudsætninger for beregningerne. 23. januar 2014 Vurdering af krav til arbejdsstyrke og arbejdstid, hvis Danmark hhv. skal være lige så rigt som Sverige eller blot være blandt de 10 rigeste lande i OECD 1 i 2030 23. januar 2014 Indledning Nærværende

Læs mere

Introduktion til Modelanalyse Note til Økonomiske Principper B

Introduktion til Modelanalyse Note til Økonomiske Principper B Introduktion til Modelanalyse Note til Økonomiske Principper B ved Claus Thustrup Kreiner Gitte Yding Michaelsen Hans Jørgen Whitta-Jacobsen Introduktion til modelanalyse Claus Thustrup Kreiner Gitte Yding

Læs mere

ØKONOMISKE PRINCIPPER II

ØKONOMISKE PRINCIPPER II ØKONOMISK PRINCIPPR II 1. årsprøve, 2. semester Forelæsning 11 Pensum: Mankiw & Taylor kapitel 32 Claus Thustrup Kreiner www.econ.ku.dk/ctk/principperii Introduktion Kapitel 31 Åben versus lukket økonomi

Læs mere

1 monotoni & funktionsanalyse

1 monotoni & funktionsanalyse 1 monotoni & funktionsanalyse I dag har vi grafregnere (TI89+) og programmer på computer (ex.vis Derive og Graph), hvorfor det ikke er så svært at se hvordan grafen for en matematisk funktion opfører sig

Læs mere

Indkomstdannelse og beskæftigelse

Indkomstdannelse og beskæftigelse J.Andersen og H.Keiding: Introduktion til Nationaløkonomi Kapitel 7, side 1 Kapitel 7 Indkomstdannelse og beskæftigelse 1. Makroøkonomisk teori og makrookonomiske modeller Hvordan bærer valutaspekulanten

Læs mere

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby 24 En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby Det er velkendt for de fleste, at differentiabilitet af en reel funktion f medfører kontinuitet af f, mens det modsatte ikke gælder

Læs mere

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner

Læs mere

Rettevejledning til eksamensopgave i Makroøkonomi, 2. årsprøve: Økonomien på kort sigt Eksamenstermin 2005 II

Rettevejledning til eksamensopgave i Makroøkonomi, 2. årsprøve: Økonomien på kort sigt Eksamenstermin 2005 II Rettevejledning til eksamensopgave i Makroøkonomi, 2. årsprøve: Økonomien på kort sigt ksamenstermin 25 II Ad spørgsmål 1: n permanent finanspolitisk lempelse i euroland vil i modellen (1) til (3) manifestere

Læs mere

MAKRO 1 DEN ÅBNE ØKONOMI. LUKKET vs. ÅBEN ØKONOMI: Handel: Eksport og import af varer og tjenesteydelser. 2. årsprøve

MAKRO 1 DEN ÅBNE ØKONOMI. LUKKET vs. ÅBEN ØKONOMI: Handel: Eksport og import af varer og tjenesteydelser. 2. årsprøve DEN ÅBNE ØKONOMI MAKRO 1 2. årsprøve Forelæsning 6 Pensum: Mankiw kapitel 5 Hans Jørgen Whitta-Jacobsen econ.ku.dk/okojacob/makro-1-e06/makro LUKKET vs. ÅBEN ØKONOMI: Handel: Eksport og import af varer

Læs mere

ØKONOMISKE PRINCIPPER B

ØKONOMISKE PRINCIPPER B ØKONOMISKE PRINCIPPER B Forelæsning til studiepraktik baseret på Mankiw kap. 3: National Income: Where It Comes From and Where It Goes Kamilla Holmgaard, Jesper Linaa De Økonomiske Råd / Københavns Universitet

Læs mere

MAKRO 1. 2. årsprøve. Forelæsning 10. Pensum: Mankiw kapitel 12. Peter Birch Sørensen. www.econ.ku.dk/pbs/courses.htm

MAKRO 1. 2. årsprøve. Forelæsning 10. Pensum: Mankiw kapitel 12. Peter Birch Sørensen. www.econ.ku.dk/pbs/courses.htm MAKRO 1 2. årsprøve Forelæsning 10 Pensum: Mankiw kapitel 12 Peter Birch Sørensen www.econ.ku.dk/pbs/courses.htm IS-LM MODELLEN FOR ÅBEN ØKONOMI: MUNDELL-FLEMMING MODELLEN BAGGRUND: 1. Langt sigt: Klassisk

Læs mere

Funktionsterminologi

Funktionsterminologi Funktionsterminologi Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette

Læs mere

MAKROØKONOMI AS-AD ANALYSEN. Fra Kapitel 9: hvad angav hhv. SRAS, LRAS og AD? 1. årsprøve, 2. semester. Forelæsning 11.

MAKROØKONOMI AS-AD ANALYSEN. Fra Kapitel 9: hvad angav hhv. SRAS, LRAS og AD? 1. årsprøve, 2. semester. Forelæsning 11. AS-AD ANALYSEN MAKROØKONOMI Fra Kapitel 9: hvad angav hhv. SRAS, LRAS og AD? 1. årsprøve, 2. semester Forelæsning 11 Aggregeret udbud Pensum: Mankiw kapitel 13 Claus Thustrup Kreiner www.econ.ku.dk/cth/makro.htm

Læs mere

Vurdering af krav til arbejdsstyrke og arbejdstid, hvis Danmark i år 2020 skal være det 10. rigeste land i verden eller i OECD 1

Vurdering af krav til arbejdsstyrke og arbejdstid, hvis Danmark i år 2020 skal være det 10. rigeste land i verden eller i OECD 1 Vurdering af krav til arbejdsstyrke og arbejdstid, hvis Danmark i år 2020 skal være det 10. rigeste land i verden eller i OECD 1 29. november 2011 Indledning Nærværende notat redegør for de krav, der skal

Læs mere

Keynes og Piketty: Vækst og fordeling i det 21. århundrede. Jesper Jespersen Roskilde Universitet jesperj@ruc.dk

Keynes og Piketty: Vækst og fordeling i det 21. århundrede. Jesper Jespersen Roskilde Universitet jesperj@ruc.dk Keynes og Piketty: Vækst og fordeling i det 21. århundrede Jesper Jespersen Roskilde Universitet jesperj@ruc.dk Introduktion til makroøkonomisk uenighed 1. (Makro)økonomi er ikke en eksakt videnskab 2.

Læs mere

Øvelse 13 - Rente og inflation

Øvelse 13 - Rente og inflation Øvelse 13 - Rente og inflation Tobias Markeprand 1. december 2008 Opgave 14.4 Beregn realrenten ved hhv den nøjagtige formel og den approksimative formel for hvert af de følgende tilfælde a) i = 6% og

Læs mere

5.2 Forklar, hvilken rolle henholdsvis pengeinstitutterne og Nationalbanken spiller i pengeskabelsen?

5.2 Forklar, hvilken rolle henholdsvis pengeinstitutterne og Nationalbanken spiller i pengeskabelsen? 5.1 Redegør for, hvad begrebet pengepolitik omfatter. 5.2 Forklar, hvilken rolle henholdsvis pengeinstitutterne og Nationalbanken spiller i pengeskabelsen? 5.3 Siden finanskrisen begyndelse i 2007 har

Læs mere

Funktion af flere variable

Funktion af flere variable Funktion af flere variable Preben Alsholm 6. oktober 2008 1 Funktion af flere variable 1.1 Punktmængder i R k : Definitioner Punktmængder i flerdimensionale rum: Definitioner q Normen af x 2 R k er kxk

Læs mere

Projekt 2.2 Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion

Projekt 2.2 Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion ISBN 978877664974 Projekter: Kapitel. Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Vi har i Bbogens kapitel 4 afsnit

Læs mere

Økonomi. Studieleder: Lektor, cand.polit. Lise Lyck.

Økonomi. Studieleder: Lektor, cand.polit. Lise Lyck. Økonomi Studieleder: Lektor, cand.polit. Lise Lyck. Vi er alle økonomer - i den daglige hverdag. Alle kender til at måtte økonomisere, fordi ind-komsten ikke slår til over for alle de ting, vi har behov

Læs mere

fundament for AGL Charlotte Bruun 28. marts, 2007 Lektor Institut for Økonomi, Politik og Forvaltning Aalborg Universitet

fundament for AGL Charlotte Bruun 28. marts, 2007 Lektor Institut for Økonomi, Politik og Forvaltning Aalborg Universitet Lektor Institut for Økonomi, Politik og Forvaltning Aalborg Universitet empiriske AGL 28. marts, 2007 empiriske empiriske Makroøkonometriske AGL kalibrering dynamiske AGL Den offentlige sektor AGL empiriske

Læs mere

ØKONOMISKE PRINCIPPER II

ØKONOMISKE PRINCIPPER II ØKONOMISKE PRINCIPPER II 1. årsprøve, 2. semester Forelæsning 1 Pensum: Mankiw & Taylor kapitel 23 og 24 Claus Thustrup Kreiner www.econ.ku.dk/ctk/principperii Genstandsfelt for økonomisk teori I. Individers/beslutningstagers

Læs mere

December Scenarier for velstandseffekten af udviklingen i Nordsøen. Udarbejdet af DAMVAD Analytics

December Scenarier for velstandseffekten af udviklingen i Nordsøen. Udarbejdet af DAMVAD Analytics December 2016 Scenarier for velstandseffekten af udviklingen i Nordsøen Udarbejdet af DAMVAD Analytics For information on obtaining additional copies, permission to reprint or translate this work, and

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet Matematik A Studentereksamen Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet st131-matn/a-6513 Mandag den 6 maj 13 Forberedelsesmateriale til st A Net MATEMATIK Der skal

Læs mere

MAKROØKONOMI FRA KAPITEL 10-11: IS-LM-MODELLEN

MAKROØKONOMI FRA KAPITEL 10-11: IS-LM-MODELLEN FRA KAPITEL 10-11: IS-LM-MODELLEN MAKROØKONOMI 1. årsprøve, 2. semester Forelæsning 10 Åben økonomi på kortsigt Pensum: Mankiw kapitel 12 Claus Thustrup Kreiner www.econ.ku.dk/cth/makro.htm Har udledt

Læs mere

MAKROØKONOMI DEN KLASSISKE MODEL OG ØKONOMIEN PÅ LANGT SIGT. Grundlæggende antagelse om, at priserne er fuldt fleksible. 1. årsprøve, 2.

MAKROØKONOMI DEN KLASSISKE MODEL OG ØKONOMIEN PÅ LANGT SIGT. Grundlæggende antagelse om, at priserne er fuldt fleksible. 1. årsprøve, 2. MAKROØKONOMI 1. årsprøve, 2. semester Forelæsning 7 Introduktion til kort sigt og økonomiske fluktuationer Pensum: Mankiw kapitel 9 Claus Thustrup Kreiner www.econ.ku.dk/cth/makro.htm DEN KLASSISKE MODEL

Læs mere

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011 Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation

Læs mere

Hjemmeopgave 2. Makroøkonomi, 1. årsprøve, foråret 2003 Hans Jørgen Whitta-Jacobsen

Hjemmeopgave 2. Makroøkonomi, 1. årsprøve, foråret 2003 Hans Jørgen Whitta-Jacobsen Hjemmeopgave 2 Makroøkonomi, 1. årsprøve, foråret 2003 Hans Jørgen Whitta-Jacobsen Opgavebesvarelse afleveres til holdlærer i uge 15. Opgave 1 Vurdér og begrund kort, om hvert af følgende udsagn er korrekt,

Læs mere

Hjemmeopgave 3. Makro 1, 2. årsprøve, efteråret 2007 Hans Jørgen Whitta-Jacobsen

Hjemmeopgave 3. Makro 1, 2. årsprøve, efteråret 2007 Hans Jørgen Whitta-Jacobsen Hjemmeopgave 3 Makro 1, 2. årsprøve, efteråret 2007 Hans Jørgen Whitta-Jacobsen Opgavebesvarelse afleveres til holdlærer i uge 46. Opgave 1. Empirisk opgave I det vedlagte figurbilag gælder Figur 1 og

Læs mere

Opvarmningsopgaver. Gang parentesen ud: Forkort brøken: Gang parentesen ud: (1.5 + x) 2 (1 + x) 3. Forkort brøken. Gang parentesen ud: (x 0 + x) 3

Opvarmningsopgaver. Gang parentesen ud: Forkort brøken: Gang parentesen ud: (1.5 + x) 2 (1 + x) 3. Forkort brøken. Gang parentesen ud: (x 0 + x) 3 eks. Intro til differentialregning side 1 Opvarmningsopgaver 10. november 2012 12:58 Gang parentesen ud: Forkort brøken: Gang parentesen ud: (1.5 + x) 2 (1 + x) 3 Gang parentesen ud: Forkort brøken (x

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 2014-15 Institution Tønder Handelsskole, Martin Hammerichsvej 3, DK - 6270 Tønder http://www.toha.dk, e-mail:

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01

Læs mere

Forøgelse af ugentlig arbejdstid i den offentlige sektor 1

Forøgelse af ugentlig arbejdstid i den offentlige sektor 1 Forøgelse af ugentlig arbejdstid i den offentlige sektor 1 15. november 2011 Indledning I nærværende notat belyses effekten af et marginaleksperiment omhandlende forøgelse af arbejdstiden i den offentlige

Læs mere

Finanspolitisk stød til ADAM og til en VAR-model

Finanspolitisk stød til ADAM og til en VAR-model Danmarks Statistik MODELGRUPPEN Arbejdspapir Nicoline Wiborg Nagel 9. November 216 Dan Knudsen Finanspolitisk stød til ADAM og til en VAR-model Resumé: Dette papir sammenligner reaktionerne på et finanspolitisk

Læs mere

Differentiation i praksis

Differentiation i praksis Differentiation i praksis Frank Villa 7. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere

Læs mere

Differentiation af Trigonometriske Funktioner

Differentiation af Trigonometriske Funktioner Differentiation af Trigonometriske Funktioner Frank Villa 15. oktober 01 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-01. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her.

Læs mere

MM501 forelæsningsslides

MM501 forelæsningsslides MM50 forelæsningsslides uge 36, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm Nogle talmængder s. 3 N = {, 2, 3, } omtales som de naturlige tal eller de positive heltal. Z = {0, ±, ±2, ±3, } omtales som de hele

Læs mere

ØKONOMISKE PRINCIPPER II

ØKONOMISKE PRINCIPPER II ØKONOMISKE PRINCIPPER II 1. årsprøve, 2. semester Forelæsning 9 Pensum: Mankiw & Taylor kapitel 30 Claus Thustrup Kreiner www.econ.ku.dk/ctk/principperii Introduktion Hvorfor har vi ikke enøre mønter mere?

Læs mere