Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015"

Transkript

1 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015

2 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1 til og med 100. b) En mængde B indeholder alle rationelle tal større end 1 3 og mindre end 7. c) En mængde C indeholder alle tal i 4-tabellen. d) En mængde D indeholder alle positive ulige tal. e) En mængde E indeholder alle de reelle talsæt (x, y), hvor y er 3 gange x. Opgave 2 Opskriv følgende mængder på listeform a) {x R 4x 2 4x 3 = 0} b) {x Z 4x 2 4x 3 = 0} c) {x N x går op i 12} Opgave 3 Reducer følgende intervaller hvis muligt. a) Bestem (4, 7) [5, 9] og (4, 7) [5, 9]. b) Bestem ( 2, 9) (8, 10] og ( 2, 9) [8, 10]. c) Bestem [ 2, 5] ( 3, 9] og [ 2, 5] ( 3, 9]. d) Bestem [0, 4] ( 5, 11] og [0, 4] ( 5, 11]. e) Bestem ( 2, 1] (2, 5] og ( 2, 1] (2, 5]. 1

3 Opgave 4 Betragt mængderne A = {1, 2, 3, 4} B = {3, 5, 7, 9} C = {2, 4, 6, 8} a) Tegn et Venn-diagram af de tre mængder. b) Bestem A B c) Bestem A C d) Bestem A B C e) Bestem A B C Opgave 5 Lad A, B, C være mængder. Tegn Venn-diagrammer der illustrerer følgende situationer: a) A B C b) A C, B C og A B = c) A B C, men hverken A eller B er delmængder af C. Opgave 6 Tegn følgende mængder i et koordinatsystem a) A = {1, 2, 3} {1, 2, 3} b) B = {(x, y) R 2 x + y 1}. c) C = [2, 4) ( 1, 3]. d) D = {(x, y) R 2 y = 2x + 1}. e) E = {(x, y) R 2 x + y 1}. Opgave 7 (svær) a) En mængde C indeholder alle de punkter i R 2, der ligger inden i (og altså ikke på) en cirkel med radius 1 og centrum i (0, 0). Opskriv mængden med korrekt mængdenotation. b) En mængde K indeholder alle de punkter i R 3, der ligger inden i eller på en kugle med radius 2 og centrum i punktet (0, 0, 0). Opskriv mængden med korrekt mængdenotation. 2

4 Opgave 8 Betragt mængderne C 1 = {(x, y) R 2 (x 1) 2 + y 2 = 1} C 2 = {(x, y) R 2 (x + 1) 2 + y 2 = 1} Bestem C 1 C 2. Opgave 9 (svær) I denne opgave betragter vi planen R 2. a) Opskriv mængden af alle de punkter, som har afstanden 1 eller mindre til punktet (2, 2). b) Opskriv mængden af alle de punkter, som har afstanden r eller mindre til punktet (a, b), hvor a, b, r R. Opgave 10 (Georg Mohr konkurrencen, 2. runde 1991) Betragt den reelle talplan R 2. a) Bestem mængden af alle de punkter, der ligger dobbelt så langt fra punktet P = (3, 0) som fra punktet O = (0, 0). b) Tegn mængden. Opgave 11 a) Vis at {x R 1 x 2 < 16} {x R x > 1 5 } b) Vis at {(x, y) R 2 x 2 + y 2 1} {(x, y) R 2 1 x 1, 1 y 1} Opgave 12 (svær) Bestem og vis at din påstand er korrekt. Opgave 13 (svær) Bestem og vis at din påstand er korrekt. n=1 n=1 [ 1, 1 1 n ] [ 1, 1 1 n ] 3

5 Opgave 14 I denne opgave skal vi vise, at et rektangel, hvor den ene side har længden 2 og den anden side er uendelig lang kan dækkes af uendeligt mange enhedscirkler uden at cirklerne på noget sted stikker ud over rektanglets kanter. Lad os først få et overblik over vores rektangel. a) Tegn mængden i et koordinatsystem. R = {(x, y) R 2 1 y 1} Mængden af punkter, der ligger i en cirkelskive med radius r og centrum i (a, b), hvor a, b R betegnes C((a, b), r) = {(x, y) (x a) 2 + (y b) 2 r 2 } Lad os nu betragte mængderne C t ((t, 0), 1) = {(x, y) (x t) 2 + y 2 1} for alle t R. Disse mængder udgør en familie med R som indeksmængde. b) Tegn foreningen af familiens mængder t R C t i et koordinatsystem c) Vis at C t = R t R Mængden af punkter, der ligger på en periferien af en cirkel med radius r og centrum i (a, b), hvor a, b R betegnes Betragt nu mængderne P ((a, b), r) = {(x, y) (x a) 2 + (y b) 2 = r 2 } P t ((t, 0), 1) = {(x, y) (x t) 2 + y 2 = 1} for alle t R. Disse mængder udgør en familie med R som indeksmængde. d) Vis at t R P t = t R C t 4

6 Funktionsbegrebet Opgave 15 Vi betragter funktionen f : R R givet ved forskriften Bestem f(0), f(2) og f( 2). f(x) = 3x 2 Opgave 16 Vi betragter funktionen g : R R givet ved forskriften Løs ligningen g(x) = 18. g(x) = 2x + 3 Opgave 17 Vi betragter funktionerne f og g, som de er defineret i opgave 15 og 16. Lad G f grafen for f og lad G g betegne grafen for g. a) Tegn graferne for de to funktioner i et koordinatsystem. betegne b) Opskriv graferne med korrekt mængdenotation. c) Bestem G f G g. (HINT: Løs ligning f(x) = g(x)) Opgave 18 Vi får at vide, at om en funktion f : R R gælder, at den kan beskrives med en regel på formen f(x) = ax + b hvor a, b R. Desuden får vi at vide, at f(0) = 0 og f(2) = 4. Bestem a og b. Opgave 19 Vi betragter funktionen p : R R givet ved forskriften Bestem k så p( 2) = 0. p(x) = 4x 2 + 4kx + k 2 Opgave 20 Vi betragter funktionen f : R R givet ved forskriften Bestem a så f(a) = 0. f(x) = ax + a Opgave 21 Det oplyses at en funktion f : R R opfylder at f(xy) = f(x) + f(y) x, y R Vis at f(1) = 0. Vis herefter at f( 1 ) = f(x) for alle x R. x 5

7 Opgave 22 Vi betragter en funktion f, som opfylder for alle reelle tal x. Bestem f(2). Opgave 23 (GM 1999) En funktion f opfylder f(x + 1) = xf(x) + 2 f(x) + xf(1 x) = x for alle reelle tal x. Bestem tallet f(2). Bestem en forskrift for f. 6

8 Modeller med funktioner Opgave 24 En bil kører ud af en vej med en konstant hastighed på 75 km/t. Definer en funktion, f, der beskriver, hvor langt bilen er nået som funktion af tiden, t. Det betyder, at du skal vælge et domæne, et kodomæne og opstille en forskrift for funktionen. Opgave 25 To taxaselskaber har forskellige priser. Selskab 1 har et startgebyr på 30 kr.,og prisen pr. km er 21 kr. Selskab 2 har et startgebyr på 10 kr. og prisen pr. km er 26 kr. a) Opstil prisen for en taxatur hos hhv. selskab 1 og selskab 2 som funktion af antal km. b) Hvilket selskab er billigst at køre med, hvis turen er 5 km lang? c) Findes der nogen ture, hvor de to selskaber er lige dyre? Hvilke(n)? Opgave 26 Anne og Peter løber om kap på en bane. De tager begge skridt af 1,6 meter, men Peter tager sine skridt 1,5 gange så hurtigt som Anne. Anne starter 8 meter inde på banen, mens Peter starter fra starten. a) Definer en funktion, A(x), der angiver hvor langt Anne er kommet på banen som funktion af antal skridt, x, hun har taget. b) Definer en funktion, P(x), der angiver hvor langt Peter er kommet, som funktion af antal skridt Anne har taget, x. c) Hvor mange skridt når Anne at tage inden Peter har indhentet hende? 7

9 Polynomier Opgave 27 Bestem rødderne i følgende polynomier. Bestem desuden f(0) for hvert polynomium. a) f(x) = x 2 1 b) f(x) = x 2 + 5x + 6 c) f(x) = x 2 5x 6 d) f(x) = 2x 2 + 6x + 4 e) f(x) = x 2 + 5x 6 f) f(x) = x 3 x 2 6x g) f(x) = 4x 2 x + 2 Opgave 28 Bestem toppunktet for følgende polynomier og skitser dem. a) f(x) = x 2 1 b) f(x) = x 2 + 5x + 6 c) f(x) = x 2 5x 6 d) f(x) = 2x 2 + 6x + 4 e) f(x) = x 2 + 5x 6 f) f(x) = 4x 2 x + 2 Opgave 29 En funktion f : R R, som opfylder at f( x) = f(x) kaldes en lige funktion, mens en funktion som opfylder f( x) = f(x) kaldes en ulige funktion. Vis at funktionen givet ved forskriften g(x) = x 4 + x 2 er en lige funktion. Hvilken linje er alle lige funktioner symmetrisk omkring? Vis herefter at funktionen givet ved forskriften f(x) = x 3 + x er en ulige funktion. Hvilke linjer er alle ulige funktioner spejlinger omkring? 8

10 Sammensatte funktioner Opgave 30 Definer funktionerne f : R R, g : R R og h : R R ved følgende forskrifter f(x) = 1 3 x + 2, g(x) = 3x2, h(x) = 3x 6 Bestem forskriften for følgende sammensatte funktioner a) f g(x) b) g f(x) c) h g(x) d) f h(x) e) h f(x) Hvad gælder om funktionerne f og h? 9

11 Inverse funktioner Opgave 31 Tegn følgende funktioner og afgør ud fra grafen, om de er injektive, surjektive eller bijektive. Find den inverse, hvis den eksisterer. a) f : R R, hvor f(x) = 2x b) f : R R, hvor f(x) = 4x c) f : R R, hvor f(x) = ax d) f : R R, hvor f(x) = 2x + 1 e) f : R R, hvor f(x) = 3x + 3 f) f : R R, hvor f(x) = ax + b Opgave 32 Tegn følgende funktioner (evt. på computer) og afgør ud fra grafen, om de er injektive, surjektive eller bijektive. Vælg X og Y (så store som muligt), så funktionen bliver bijektiv, og find herefter den inverse funktion. a) f : X Y, hvor f(x) = x 2 b) f : X Y, hvor f(x) = x 3 c) f : X Y, hvor f(x) = x d) f : X Y, hvor f(x) = 1 x e) f : X Y, hvor f(x) = x 2 + 2x (svær) Opgave 33 Betragt funktionen f : R R givet ved forskriften f(x) = x 3 + 2x 2 Du får at vide, at f har lokalt maksimum i x = 4. Indel R i intervaller, så f er injektiv på 3 hvert interval. 10

12 Generelle egenskaber ved funktioner Lad f : X Y være en funktion og lad A X være en delmængde af X. Mængden f(a) = {y Y x A : f(x) = y} kaldes billedet af A under f. Intuitivt indeholder mængden alle funktionsværdierne hørende til elementerne i A. Opgave 34 Betragt funktionen f : R R givet ved forskriften a) Bestem f([ 1, 1]) b) Bestem f( ) c) Bestem f(r) f(x) = x 2 Opgave 35 Betragt nu funktionen f : R R givet ved forskriften a) Løs ligningen f(x) = 0. b) Tegn en skitse af grafen for f. f(x) = x 3 4x c) Bestem f({r 1, r 2, r 3 }), hvor r 1, r 2 og r 3 betegner rødderne, som du fandt i spørgsmål a). Lad f : X Y være en funktion og lad B Y være en delmængde af Y. Mængden f 1 (B) = {x X f(x) B} kaldes urbilledet af B under f. Intuitivt indeholder mængden alle x X, hvor funktionsværdien af x ligger i B. 11

13 Opgave 36 Betragt funktionen f : R R givet ved forskriften a) Bestem f 1 ({0}) b) Bestem f 1 ([ 5, 0]) c) Bestem f 1 ({8}) d) Bestem f 1 ({ 10}) f(x) = 2x 2 + 2x 4 Opgave 37 Vi betragter funktionen f : X Y og delmængderne A, B X og C, D Y. Afgør om følgende udsagn er sande. Hvis du mener et udsagn er sandt, skal du bevise det, og hvis du mener det er falsk, skal du give et modeksempel. a) f(a) f(b) = f(a B) b) f(a) f(b) = f(a B) c) f 1 (C) f 1 (D) = f 1 (C D) d) f 1 (C) f 1 (D) = f 1 (C D) 12

14 Eksponentielle udviklinger Opgave 38 Du har 1000 kr., som du gerne vil sætte i banken. Banken giver dig 5% i rente pr. år. a) Opstil en funktion f : N Q, der beskriver hvor mange penge, du har stående på din konto efter x år. b) Hvorfor er funktionens domæne N? c) Hvor mange penge har du på din konto efter 10 år? Opgave 39 Forstil dig, at du har et stykke papir med arealet 100cm 2. Du folder nu papiret på midten. Herefter folder du igen papiret på midten, osv. a) Hvor stort er arealet, når du har foldet papiret 3 gange? 4 gange? b) Opstil en funktion f : N Q, der beskriver hvor stort arealet er, når du har foldet papiret x gange. c) Hvorfor er funktionens kodomæne Q? d) Omskriv forskriften for f, så den har formen f(x) = ba x. 13

15 Opgave 40 Du har besluttet dig for, at du har brug for en tur i en varm sauna. Men saunaen er kun stuetemperatur, dvs. 20 C. Efter du har tændt for saunaen kan du se på saunaens termometer, at temperaturen i saunaen stiger med 4 C pr. minut indtil temperaturen i saunaen er 80 C. Herefter er temperaturen konstant. a) Opstil en funktion f : [0, ) R, der beskriver temperaturudviklingen i saunaen. b) Hvorfor er funktionens domæne [0, )? c) Hvorfor er funktionens kodomæne R? Efter halv time i saunaen har du fået nok. Derfor slukker du for saunaen og åbner vinduet for at køle saunaen ned igen. Antag at det er vinter og temperaturen udenfor er 0 C. Når vinduet åbnes falder temperaturen hurtigt i starten, men efterhånden som temperaturen i saunaen nærmer sig 0 C falder temperaturen langsommere, fordi forskellen i temperatur udenfor og inden i saunaen bliver mindre. For at kunne beskrive temperaturudviklingen har du besluttet at indsamle data om temperaturudviklingen. Da saunaen når op på 80 C åbner du vinduet og kigger på saunaens termometer. Hvert minut noterer du temperaturen, hvilket fører til følgende skema. Tid i minutter Temperatur i C ,8 58,32 d) Hvor mange procent falder temperaturen hvert minut? e) Antag at temperaturen bliver ved med at falde på denne måde. Opstil en funktion f : [0, ) R, der beskriver temperaturen i saunaen efter vinduet er åbnet som funktion af tiden. f) Opstil en funktion der beskriver temperaturen i saunaen fra du tænder den, til den er fuldstændigt afkølet. g) Skitser funktionen i et koordinatsystem. 14

16 Eksponential- og logaritmefunktioner Opgave 41 Udregn følgende. a) log 8 (64) = b) log 3 (27) = c) log 3 (1) = d) log 4 (64) = e) log 4 (1) = f) log 2 (2) = Opgave 42 Vi betragter funktionen f : R R + givet ved forskriften f(x) = a x, hvor a > 1. a) Bestem f(0) for ethvert a. b) Hvad sker der med f(x) når x bliver meget negativ (nærmer sig )? c) Antager funktionen nogensinde værdien 0? Hvorfor? Hvorfor ikke? d) Hvad sker der med f(x), når x bliver meget stor? e) Skitser grafen for f. Opgave 43 Vi betragter funktionen g : R + R givet ved forskriften g(x) = log a (x), hvor a R +. a) Bestem g(1) for ethvert a. b) Hvad sker der med g(x) når x nærmer sig 0? c) Bestem g(0). Har udtrykket mening? Hvorfor? Hvorfor ikke? d) Har log a (x) mening for x < 0? Hvorfor? Hvorfor ikke? e) Hvad sker der med g(x), når x bliver meget stor? f) Skitser grafen for g. g) Sammenlign din skitse af g med din skitse af f fra opgave 42. Hvad ser du? 15

17 Opgave 44 (svær) Lad a, b R +. a) Vis at ln(a) + ln(b) = ln(ab) b) Vis at ln(a) ln(b) = ln( a b ) c) Vis at ln(a n ) = n ln(a) d) Vis at ln(x) = ln(a) log a (x) Opgave 45 Benyt logaritmeregnereglerne til at reducere følgende udtryk mest muligt. a) ln(8) + ln(2) ln(4) = b) ln(8) + ln(4) ln(2) = c) ln(4) 2 ln(2) = d) ln(4) ln(2) + ln(5) = e) ln(81) ln(9) ln(3) = f) ln(e) ln(1) + ln(e 2 ) + ln(6) ln(2) + ln(3) = Opgave 46 Løs følgende ligninger. a) ln(5x) = 0 b) 10 x = 7 c) ln(x) = 1, 3 d) ln(4x) = 1 e) ln(12x + 40) = 2 f) e ln(x 1)+1 = e Opgave 47 (opgave 38 fortsat) Hvor mange år går der, før der står (mere end) 1 mio. kr på kontoen? Opgave 48 (opgave 39 fortsat) Hvor mange gange skal papiret foldes, hvis arealet skal være mindre end 1cm 2? 16

18 Trigonometriske funktioner Opgave 49 Brug enhedscirklen til at bestemme følgende værdier for sinus og cosinus. a) cos(0) = b) sin(0) = c) cos( π 2 ) = d) sin( π 2 ) = e) cos(π) = f) sin(π) = g) cos( 3 2 π) = h) sin( 3 2 π) = i) cos(2π) = j) sin(2π) = Opgave 50 a) Argumenter ud fra enhedscirklen for at cos( π 4 ) = sin( π 4 ). b) Bestem cos( π ). (HINT: Brug Pythagoras sætning) 4 c) Bestem sin( 3 4 π) Opgave 51 På næste side finder du en skitse af enhedscirklen. Angiv koordinater til alle punkter, der er markeret på skitsen. Udnyt dine resultater fra opgave 49 og opgave 50. Opgave 52 Vi har set at grader og radianer er to sider af samme sag, nemlig at måle vinklers størrelse. Benyt nu enhedscirklen til at omregne fra grader til radianer. a) En vinkel V er 90 grader. Hvor mange radianer er vinklen? b) En cirkel er 360 grader. Hvor mange radianer er en cirkel? c) En vinkel U er 60 grader. Hvor mange radianer er vinklen? d) Kan du opstille en generel formel for hvordan man omregner fra grader til radianer? 17

19 y π 2 3π 4 π 4 π 2π x 5π 4 7π 4 3π 2

20 Opgave 53 Vis at sin 2 (x) + cos 2 (x) = 1. (HINT: Brug samme ide som i opgave 50 spørgsmål b)) Opgave 54 Vi betragter to ligedannede trekanter ABC og A 1 B 1 C 1. At trekanterne er ligedannede betyder, at den ene er en forstørrelse af den anden, altså Specielt har de to trekanter ens vinkler. a) Vis at a 1 a = b 1 b = c 1 c b) Vis nu at b c = b 1 c 1 a k = a 1, b k = b 1, c k = c 1, k R Det oplyses nu at trekanterne er retvinklede og c = 1. Herunder ses en skitse af de to trekanter. c) Vis at cos(a) = b 1 c 1 d) Vis at sin(a) = a 1 c 1 Betragt en vilkårlig retvinklet trekant. De to korte sider kaldes kateter, mens den længste side kaldes hypotenusen. Lad V betegne en af de to spidse vinkler. e) Forklar hvorfor følgende formler altid gælder cos(v ) = hosliggende katete hypotenusen sin(v ) = modstående katete hypotenusen 19

21 Opgave 55 (svær) I denne opgave skal du bevise additionsformlen for sinus sin(x + y) = sin(y) cos(x) + sin(x) cos(y) Delopgaverne vil give dig alle de byggesten du har brug for til at vise sætningen. Derfor er det vigtigt, at du løser delopgaverne i alfabetisk rækkefølge. Nendenfor ser du en skitse af enhedscirklen. Alle referencer til punkter og linjer i opgaven er til skitsen. Punkterne G og F er afsat ved at bevæge sig henholdsvis afstanden y og x + y langs enhedscirklen. a) Argumenter for at sin(x + y) = BE + DF. b) Argumenter for at BE = sin(y) OE. c) Argumenter for at OAC og CEF er ensvinklede. d) Argumenter for at då må OAC og DEF også være ensvinklede. e) Argumenter for at DF = cos(y) EF. Ovenstående kan kombineres til sin(x + y) = sin(y) OE + cos(y) EF Vi mangler altså blot at argumentere for, at OE = cos(x) og EF = sin(x). f) Argumenter for at OE = cos(x). (HINT: Drej figuren med uret) g) Argumenter for at EF = sin(x) h) Sætningen er nu vist. Men har vi vist sætningen for alle x, y R? Er det et problem? 20

22 Opgave 56 (svær) I denne opgave skal vi bruge additionsformlen for sinus til at vise additionsformlen for cosinus cos(x + y) = cos(x) cos(y) sin(x) sin(y) Vi viser først to delresultater, som der bliver brug for i det endelige bevis. ( a) Vis at sin x + π ) = cos(x). 2 ( b) Vis at sin(x) = cos x + π ) (. (HINT: Undersøg sin x + π 2 2 π ) ) 2 ( c) Vis additionsformlen for cosinus. (HINT: Udnyt at sin x + y + π ) = cos(x + y)) 2 Opgave 57 (svær) En funktion sige at være lige hvis f( x) = f(x) og ulige hvis f( x) = f(x). Vi skal nu vise, at sinus er en ulige funktion, og cosinus er en lige funktion. a) Vis at cos(x) sin( x) + cos( x) sin(x) = 0 b) Vis at cos(x) cos( x) sin(x) sin( x) = 1 Vi er nu klar til at vise sinus og cosinus er henholdsvis ulige og lige. Det gøres ved at opfatte ligningerne fra a) og b) som et kvadratisk ligningssysem, hvor cos( x) og sin( x) er variable. c) Løs ligningssystemet. cos(x) sin( x) + cos( x) sin(x) = 0 cos(x) cos( x) sin(x) sin( x) = 1 Hermed er det ønskede vist. 21

23 Grænseovergange Opgave 58 Bestem følgende grænseværdier. Tegn eventuelt graferne for funktionerne. a) Betragt f(x) = x og afgør f(x)? når x 0 b) Betragt f(x) = x og afgør f(x)? når x c) Betragt f(x) = 1 x d) Betragt f(x) = 1 x og afgør f(x)? når x 0 og afgør f(x)? når x e) Betragt f(x) = x 2 og afgør f(x)? når x 0 f) Betragt f(x) = x 2 og afgør f(x)? når x g) Betragt f(x) = x og afgør f(x)? når x 0 x2 h) Betragt f(x) = x og afgør f(x)? når x x2 Opgave 59 Bestem følgende grænseværdier. Tegn eventuelt graferne for funktionerne. a) Betragt f(x) = e x og afgør f(x)? når x 0 b) Betragt f(x) = e x og afgør f(x)? når x c) Betragt f(x) = e x og afgør f(x)? når x d) Betragt f(x) = ex x og afgør f(x)? når x e) Betragt f(x) = x og afgør f(x)? når x ex f) Betragt f(x) = x og afgør f(x)? når x ex Opgave 60 Bestem følgende grænseværdier. Tegn eventuelt graferne for funktionerne. a) Betragt f(x) = x og afgør f(x)? når x 0 b) Betragt f(x) = x og afgør f(x)? når x c) Betragt f(x) = d) Betragt f(x) = x x x x og afgør f(x)? når x og afgør f(x)? når x 0 22

t a l e n t c a m p d k Kalkulus 1 Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund Signe Baggesen 10. januar 2015 Slide 1/54

t a l e n t c a m p d k Kalkulus 1 Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund Signe Baggesen 10. januar 2015 Slide 1/54 Slide 1/54 Indhold 1 2 3 4 5 Slide 2/54 Indhold 1 2 3 4 5 Slide 3/54 1) Hvad er et aksiom? Slide 4/54 1) Hvad er et aksiom? 2) Hvorfor har vi brug for aksiomer? The Monty Hall Problem Slide 4/54 1) Hvad

Læs mere

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner

Læs mere

Matematik B1. Mike Auerbach. c h A H

Matematik B1. Mike Auerbach. c h A H Matematik B1 Mike Auerbach B c h a A b x H x C Matematik B1 2. udgave, 2015 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne er skrevet

Læs mere

Matematiske metoder - Opgaver

Matematiske metoder - Opgaver Matematiske metoder - Opgaver Anders Friis, Anne Ryelund 25. oktober 2014 Logik Opgave 1 Find selv på tre udtalelser (gerne sproglige). To af dem skal være udsagn, mens det tredje ikke må være et udsagn.

Læs mere

Matematik A1. Mike Auerbach. c h A H

Matematik A1. Mike Auerbach. c h A H Matematik A1 Mike Auerbach B c h a A b x H x C Matematik A1 2. udgave, 2015 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne er skrevet

Læs mere

Repetition til eksamen. fra Thisted Gymnasium

Repetition til eksamen. fra Thisted Gymnasium Repetition til eksamen fra Thisted Gymnasium 20. oktober 2015 Kapitel 1 Introduktion til matematikken 1. Fortegn Husk fortegnsregnereglerne for multiplikation og division 2. Hierarki Lær sætningen om regnearternes

Læs mere

Lektion 1. Tal. Ligninger og uligheder. Funktioner. Trigonometriske funktioner. Grænseværdi for en funktion. Kontinuerte funktioner.

Lektion 1. Tal. Ligninger og uligheder. Funktioner. Trigonometriske funktioner. Grænseværdi for en funktion. Kontinuerte funktioner. Lektion Tal Ligninger og uligheder Funktioner Trigonometriske funktioner Grænseværdi for en funktion Kontinuerte funktioner Opgaver Tal Man tænker ofte på de reelle tal, R, som en tallinje (uden huller).

Læs mere

Eksamensspørgsmål: Trekantberegning

Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Indhold Definition af Sinus og Cosinus... 1 Bevis for Sinus- og Cosinusformlerne... 3 Tangens... 4 Pythagoras s sætning... 4 Arealet af en trekant... 7 Vinkler... 8

Læs mere

Kapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4

Kapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4 Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri).

Læs mere

A U E R B A C H. c h A H

A U E R B A C H. c h A H M A T E M A T I K B 1 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK B c h a A b x H x C Matematik B1 4. udgave, 2017 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle

Læs mere

M I K E A U E R B A C H. c a

M I K E A U E R B A C H. c a M A T E M A T I K A 1 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK B c a h A b C x H Matematik A1 4. udgave, 2017 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle

Læs mere

M A T E M A T I K A 1

M A T E M A T I K A 1 M A T E M A T I K A 1 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK B c a h A b C x H Matematik A1 3. udgave, 2016 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle

Læs mere

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve 5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri). Interessen for figurer

Læs mere

Geometri, (E-opgaver 9d)

Geometri, (E-opgaver 9d) Geometri, (E-opgaver 9d) GEOMETRI, (E-OPGAVER 9D)... 1 Vinkler... 1 Trekanter... 2 Ensvinklede trekanter... 2 Retvinklede trekanter... 3 Pythagoras sætning... 3 Sinus, Cosinus og Tangens... 4 Vilkårlige

Læs mere

M A T E M A T I K B 1

M A T E M A T I K B 1 M A T E M A T I K B 1 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK B c h a A b x H x C Matematik B1 3. udgave, 2016 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle

Læs mere

Løsning MatB - januar 2013

Løsning MatB - januar 2013 Løsning MatB - januar 2013 Opgave 1 (5%) a) Løs uligheden: 2 x > 5x 6. a) 2 x > 5x 6 2 + 6 > 5x + x 8 > 4x Divideres begge sider med 4 og uligheden vendes. Dvs. 8 4 < x x > 2 Løsningsmængden bliver L =]

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01

Læs mere

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side.

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side. Geometrinoter 1, januar 2009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 1 Disse noter omhandler grundlæggende sætninger om trekantens linjer, sammenhængen mellem en vinkel og den cirkelbue den spænder over, samt

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Pythagoras Sætning... 8 Retvinklede trekanter. Beregn den ukendte side markeret med et bogstav.... 9 Øve vinkler

Læs mere

06 Formler i retvinklede trekanter del 2

06 Formler i retvinklede trekanter del 2 06 Formler i retvinklede trekanter del 2 I del 2 udledes (nogle af) de generelle formler, der gælder for sinus, cosinus og tangens i retvinklede trekanter. Sætning 1 For enhver vinkel v gælder der BEVIS

Læs mere

Løsningsforslag Mat B August 2012

Løsningsforslag Mat B August 2012 Løsningsforslag Mat B August 2012 Opgave 1 (5 %) a) Løs uligheden: 2x + 11 x 1 Løsning: 2x + 11 x 1 2x x + 1 0 3x + 12 0 3x 12 Divideres begge sider med -3 (og husk at vende ulighedstegnet!) x 4 Opgave

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

Formelsamling Matematik C

Formelsamling Matematik C Formelsamling Matematik C Ib Michelsen Ikast 2011 Ligedannede trekanter Hvis to trekanter er ensvinklede har de proportionale sider (dvs. alle siderne i den ene er forstørrelser af siderne i den anden

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Ensvinklede trekanter... 7 Pythagoras Sætning... 10 Øve vinkler i retvinklede trekanter... 15 Sammensatte opgaver....

Læs mere

Inden der siges noget om komplekse tal, vil der i dette afsnit blive gennemgået en smule teori om trigonometriske funktioner.

Inden der siges noget om komplekse tal, vil der i dette afsnit blive gennemgået en smule teori om trigonometriske funktioner. Komplekse tal Mike Auerbach Odense 2012 1 Vinkelmål og trigonometriske funktioner Inden der siges noget om komplekse tal, vil der i dette afsnit blive gennemgået en smule teori om trigonometriske funktioner.

Læs mere

Enhedscirklen og de trigonometriske Funktioner

Enhedscirklen og de trigonometriske Funktioner Enhedscirklen og de trigonometriske Funktioner Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for

Læs mere

MATEMATIK C. Videooversigt

MATEMATIK C. Videooversigt MATEMATIK C Videooversigt Deskriptiv statistik... 2 Eksamensrelevant... 2 Eksponentiel sammenhæng... 2 Ligninger... 3 Lineær sammenhæng... 3 Potenssammenhæng... 3 Proportionalitet... 4 Rentesregning...

Læs mere

Matematik A. Bind 1. Mike Auerbach. c h A H

Matematik A. Bind 1. Mike Auerbach. c h A H Matematik A Bind 1 B c h a A b x H x C Mike Auerbach Matematik A, bind 1 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne

Læs mere

7 Trekanter. Faglige mål. Linjer i trekanter. Ligedannethed. Pythagoras. Trigonometri

7 Trekanter. Faglige mål. Linjer i trekanter. Ligedannethed. Pythagoras. Trigonometri 7 Trekanter Faglige mål Kapitlet Trekanter tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Linjer i trekanter: kende til højde, vinkelhalveringslinje, midtnormal og median, kunne tegne indskrevne og omskrevne

Læs mere

Matematik projekt. Klasse: Sh-mab05. Fag: Matematik B. Projekt: Trigonometri

Matematik projekt. Klasse: Sh-mab05. Fag: Matematik B. Projekt: Trigonometri Matematik projekt Klasse: Sh-mab05 Fag: Matematik B Projekt: Trigonometri Kursister: Anders Jørgensen, Kirstine Irming, Mark Petersen, Tobias Winberg & Zehra Köse Underviser: Vibeke Wulff Side 1 af 11

Læs mere

I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske objekter og begreber:

I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske objekter og begreber: INTRO Efter mange års pause er trigonometri med Fælles Mål 2009 tilbage som fagligt emne i grundskolens matematikundervisning. Som det fremgår af den følgende sides udpluk fra faghæftets trinmål, er en

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau maj 2016: Delprøven UDEN hjælpemidler 4 4

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau maj 2016: Delprøven UDEN hjælpemidler 4 4 Opgave 1: Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 016 4. maj 016: Delprøven UDEN hjælpemidler 4 3x 6 x 3x x 6 4x 4 x 1 4 Opgave : f x x 3x P,10 Punktet ligger på grafen for f, hvis dets koordinater indsat

Læs mere

Projektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik

Projektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Projektopgave 1 Navn: Jonas Pedersen Klasse:.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/9-011 Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Indledning Jeg har i denne opgave fået følgende opstilling.

Læs mere

Analytisk plangeometri 1

Analytisk plangeometri 1 1 Analytisk plangeometri 1 Kære 1. x, Vi begynder dag vores forløb om analytisk plangeometri. Dette bliver en udvidelse af ting i allerede kender til, så noget ved I i forvejen, mens andet bliver helt

Læs mere

Trigonometri. for 9. klasse. Geert Cederkvist

Trigonometri. for 9. klasse. Geert Cederkvist Trigonometri Ved konstruktion af bygningsværker, hvor der kræves stor nøjagtighed, er der ofte brug for, at man kan beregne sider og vinkler i geometriske figurer. Alle polygoner kan deles op i trekanter,

Læs mere

Introduktion til cosinus, sinus og tangens

Introduktion til cosinus, sinus og tangens Introduktion til cosinus, sinus og tangens Jes Toft Kristensen 24. maj 2010 1 Forord Her er en lille introduktion til cosinus, sinus og tangens. Det var et af de emner jeg selv havde svært ved at forstå,

Læs mere

User s guide til cosinus og sinusrelationen

User s guide til cosinus og sinusrelationen User s guide til cosinus og sinusrelationen Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for

Læs mere

Løsningsforslag MatB Juni 2014

Løsningsforslag MatB Juni 2014 Løsningsforslag MatB Juni 2014 Opgave 1 (5 %) a) Bestem en ligning for den rette linje l, der indeholder punkterne P( 2,4) og Q(4, 1) Løsning: Da de to punkter er givet kan vi beregne hældningen på følgende

Læs mere

Rettevejledning til Georg Mohr-Konkurrencen runde

Rettevejledning til Georg Mohr-Konkurrencen runde Rettevejledning til Georg Mohr-Konkurrencen 2006 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en opgave, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne oplysninger til

Læs mere

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011 Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation

Læs mere

Komplekse tal. Mike Auerbach. Tornbjerg Gymnasium, Odense 2015

Komplekse tal. Mike Auerbach. Tornbjerg Gymnasium, Odense 2015 Komplekse tal Mike Auerbach Tornbjerg Gymnasium, Odense 2015 Indhold 1 Vinkelmål og trigonometriske funktioner 2 1.1 Radianer................................................ 2 1.2 Cosinus og sinus som

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 3 Ligninger & formler 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver

Læs mere

Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a.

Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a. Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a. Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med

Læs mere

Matematik A August 2016 Delprøve 1

Matematik A August 2016 Delprøve 1 Anvendelse af løsningerne læses på hjemmesiden www.matematikhfsvar.page.tl Sættet løses med begrænset tekst og konklusion. Formålet er jo, at man kan se metoden, og ikke skrive af! Opgave 1 - Vektorer,

Læs mere

Trigonometri at beregne Trekanter

Trigonometri at beregne Trekanter Trigonometri at beregne Trekanter Pythagoras, en stor matematiker fandt ud af, at der i en retvinklet trekant summen af kvadraterne på kateterne er lig med kvadratet på hypotenusen. ( a 2 + b 2 = c 2 )

Læs mere

Problemløsning i retvinklede trekanter

Problemløsning i retvinklede trekanter Problemløsning i retvinklede trekanter Frank Villa 14. februar 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug

Læs mere

Løsningsforslag MatB Juni 2013

Løsningsforslag MatB Juni 2013 Løsningsforslag MatB Juni 2013 Opgave 1 (5 %) Et andengradspolynomium er givet ved: f (x) = x 2 4x + 3 a) Bestem koordinatsættet til toppunktet for parablen givet ved grafen for f Løsning: a) f (x) = x

Læs mere

Analyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X).

Analyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 3. og 6. september 2013 Gennemgå bevis for Sætning 2.10 Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Bevis. Der findes en injektion X P(X), fx givet ved x

Læs mere

Opgave 1 Til denne opgave anvendes bilag 1.

Opgave 1 Til denne opgave anvendes bilag 1. Opgave 1 Til denne opgave anvendes bilag 1. a) Undersøg figur 1. Mål og noter vinklerne Mål og noter længderne b) Undersøg figur 2. Mål og noter vinklerne Mål og noter længderne c) Undersøg figur 3. Mål

Læs mere

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8 Et af de helt store videnskabelige projekter i 1700-tallets Danmark var kortlægningen af Danmark. Projektet blev varetaget af Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskab og løb over en periode på et halvt

Læs mere

Løsningsforslag MatB Juni 2012

Løsningsforslag MatB Juni 2012 Løsningsforslag MatB Juni 2012 Opgave 1 (5 %) a) Isolér t i følgende udtryk: I = I 0 e k t t = I = I 0 e k t I I 0 = e k t ln( I I 0 ) = k t ln(e) ln( I I 0 ) k = ln(i) ln(i 0) k Opgave 2 (5 %) En funktion

Læs mere

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT.

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projektet kan bl.a. anvendes til et forløb, hvor en af målsætningerne er at lære om samspillet mellem værktøjsprogrammernes geometriske

Læs mere

MatematikB 2011 Supplerende stof Trigonometri og trekanter

MatematikB 2011 Supplerende stof Trigonometri og trekanter Trigonometriske funktioner Dette kapitel handler om de såkaldte trigonometriske funktioner, hvilket vil sige funktionsudtryk med sin, cos og tan Ikke kernestof på B Funktionerne vil kun forekomme i forbindelse

Læs mere

Matematik A-niveau Delprøve 1

Matematik A-niveau Delprøve 1 Matematik A-niveau Delprøve 1 Opgave 1 løsning: Andengradsligningen løses: x 2 + 2x 35 = 0 Den løses for diskriminanten. d = b 2 4ac Tallene indsættes. d = 2 2 4 1 ( 35) = 144 Vi regner for x. x = b ±

Læs mere

Matematik B-niveau STX 7. december 2012 Delprøve 1

Matematik B-niveau STX 7. december 2012 Delprøve 1 Matematik B-niveau STX 7. december 2012 Delprøve 1 Opgave 1 Af trekanterne ABC og DEF ses ABC med b = 6 og c = 10. Der bestemmes for a. Tallene indsættes Så sidelængden er regnet til 8. For at bestemme

Læs mere

TREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport)

TREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) Side 1 af 7 (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) TREKANTER Indledning Vi har valgt at bruge denne projektrapport til at udarbejde en oversigt over det mest grundlæggende materiale

Læs mere

Side 1 af 10. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2009/10

Side 1 af 10. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2009/10 Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2009/10 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Handelsskolen Sjælland Syd, Vordingborg

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2014. 22. maj 2014. 22. maj 2014: Delprøven UDEN hjælpemidler

Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2014. 22. maj 2014. 22. maj 2014: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 014 f x x 4x 6. maj 014. maj 014: Delprøven UDEN hjælpemidler Koordinatsættet til parablens toppunkt bestemmes ved først at udregne diskriminanten for

Læs mere

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Kapitel 2. Differentialregning A

Kapitel 2. Differentialregning A Kapitel 2. Differentialregning A Indhold 2.2 Differentiabilitet og tangenter til grafer... 2 2.3 Sammensat funktion, eksponential-, logaritme- og potensfunktioner... 7 2.4 Regneregler for differentiation

Læs mere

1hf Spørgsmål til mundtlig matematik eksamen sommer 2014

1hf Spørgsmål til mundtlig matematik eksamen sommer 2014 1. Procent og rente Vis, hvordan man beregner gennemsnitlig procentændring 2. Procent og rente Vis hvordan man beregner indekstal. 3. Procent og rente Vis, hvordan man kan beregne forskellige størrelser

Læs mere

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fra onsdag den 28. maj til torsdag den 29. maj 2008 Forord

Læs mere

Pythagoras og andre sætninger

Pythagoras og andre sætninger Pythagoras og andre sætninger Pythagoras Pythagoras fra den græske ø Samos levede i det 6. århundrede f.v.t. fra ca. 580 til ca. 500. Han lægger som sagt navn til den sætning, vi tidligere har nævnt,

Læs mere

GUX. Matematik. B-Niveau. Fredag den 29. maj 2015. Kl. 9.00-13.00. Prøveform b GUX151 - MAB

GUX. Matematik. B-Niveau. Fredag den 29. maj 2015. Kl. 9.00-13.00. Prøveform b GUX151 - MAB GUX Matematik B-Niveau Fredag den 29. maj 2015 Kl. 9.00-13.00 Prøveform b GUX151 - MAB 1 Matematik B Prøvens varighed er 4 timer. Delprøven uden hjælpemidler består af opgaverne 1 til 6 med i alt 6 spørgsmål.

Læs mere

MM501 forelæsningsslides

MM501 forelæsningsslides MM501 forelæsningsslides uge 37, 2010 Produceret af Hans J. Munkholm 2009 bearbejdet af Jessica Carter 2010 1 Hvad er et komplekst tal? Hvordan regner man med komplekse tal? Man kan betragte udvidelsen

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Juni 2017 Institution HANSENBERG Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold htx Matematik A Irina Kristensen

Læs mere

RENTES REGNING SIMULATION LANDMÅLING MÅLSCORE I HÅNDBO . K R I S T I A N S E N KUGLE G Y L D E N D A L

RENTES REGNING SIMULATION LANDMÅLING MÅLSCORE I HÅNDBO . K R I S T I A N S E N KUGLE G Y L D E N D A L SIMULATION 4 2 RENTES REGNING F I NMED N H REGNEARK. K R I S T I A N S E N KUGLE 5 LANDMÅLING 3 MÅLSCORE I HÅNDBO G Y L D E N D A L Faglige mål: Anvende simple geometriske modeller og løse simple geometriske

Læs mere

Differentialkvotient af cosinus og sinus

Differentialkvotient af cosinus og sinus Differentialkvotient af cosinus og sinus Overgangsformler cos( + p ) = cos sin( + p ) = sin cos( -) = cos sin( -) = -sin cos( p - ) = - cos sin( p - ) = sin cos( p + ) = -cos sin( p + ) = -sin (bevises

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj 2009 Institution Herningsholm Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HTX Matematik B og A (1.år)

Læs mere

Trigonometri. Store konstruktioner. Måling af højde

Trigonometri. Store konstruktioner. Måling af højde Trigonometri Ordet trigonometri er sammensat af de to ord trigon og metri, hvor trigon betyder trekant og metri kommer af det græske ord metros, som kan oversættes til måling. Så ordet trigonometri er

Læs mere

Ib Michelsen: Matematik C, Geometri 2011 Version 7.1 03-10-11 rettet fejl side 47 sin G:\_nyBog\1-2-trig\nyTrigonometri12.odt

Ib Michelsen: Matematik C, Geometri 2011 Version 7.1 03-10-11 rettet fejl side 47 sin G:\_nyBog\1-2-trig\nyTrigonometri12.odt Trigonometri Vinkel v sin(v) Vinkel v sin(v) Vinkel v sin(v) 0,00 0,00 30,00 0,50 60,00 0,87 1,00 0,02 31,00 0,52 61,00 0,87 2,00 0,03 32,00 0,53 62,00 0,88 3,00 0,05 33,00 0,54 63,00 0,89 4,00 0,07 34,00

Læs mere

Matematik A, STX. Vejledende eksamensopgaver

Matematik A, STX. Vejledende eksamensopgaver Matematik A, STX EKSAMENSOPGAVER Vejledende eksamensopgaver 2015 Løsninger HF A-NIVEAU AF SAEID Af JAFARI Anders J., Mark Af K. & Saeid J. Anders J., Mark K. & Saeid J. Kun delprøver 2 Kun delprøve 2,

Læs mere

Contents. Introduktion 2

Contents. Introduktion 2 Contents Introduktion 2 Differentialregning 2 Grænseværdi................................ 2 Tid/distance................................ 2 Regler og eksempler............................ 3 Differentiering

Læs mere

MATEMATIK C. Videooversigt

MATEMATIK C. Videooversigt MATEMATIK C Videooversigt Deskriptiv statistik... 2 Eksamensrelevant... 2 Eksponentiel sammenhæng... 2 Ligninger... 3 Lineær sammenhæng... 3 Potenssammenhæng... 4 Proportionalitet... 4 Rentesregning...

Læs mere

Opgave 1 - Lineær Funktioner. Opgave 2 - Funktioner. Opgave 3 - Tredjegradsligning

Opgave 1 - Lineær Funktioner. Opgave 2 - Funktioner. Opgave 3 - Tredjegradsligning Sh*maa03 1508 Matematik B->A, STX Anders Jørgensen, delprøve 1 - Uden hjælpemidler Følgende opgaver er regnet i hånden, hvorefter de er skrevet ind på PC. Opgave 1 - Lineær Funktioner Vi ved, at år 2001

Læs mere

Matematik A-niveau 22. maj 2015 Delprøve 2. Løst af Anders Jørgensen og Saeid Jafari

Matematik A-niveau 22. maj 2015 Delprøve 2. Løst af Anders Jørgensen og Saeid Jafari Matematik A-niveau 22. maj 2015 Delprøve 2 Løst af Anders Jørgensen og Saeid Jafari Opgave 7 - Analytisk Plangeometri Delopgave a) Vi starter ud med at undersøge afstanden fra punktet P(5,4) til linjen

Læs mere

Matematik B 2F Mundtlig eksamen Juni - 2011

Matematik B 2F Mundtlig eksamen Juni - 2011 1. Lineære funktioner Du skal vælge dele af dine emneopgave med ovenstående titel og redegøre nærmere herfor Redegør for a og b s betydning for udseendet af grafen for den lineære funktion og bestemmelse

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni, 2015 Institution Frederiksberg HF Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) HF Matematik C Kasper Jønsson

Læs mere

M A T E M A T I K A 2

M A T E M A T I K A 2 M A T E M A T I K A 2 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK (2) f 4 () Matematik A2 2. udgave, 206 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle

Læs mere

Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med geometri at:

Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med geometri at: Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a. Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med

Læs mere

Løsningsforslag MatB Jan 2011

Løsningsforslag MatB Jan 2011 Løsningsforslag MatB Jan 2011 Opgave 1 (5 %) Funktionen f er givet ved forskriften f (x) = ln(x 2) + x 2. a) Bestem definitionsmængden for f. b) Beregn f (x). Løsning: a) f (x) = ln(x 2) + x 2 Da den naturlige

Læs mere

Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet

Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Komplekse Tal 20. november 2009 UNF Odense Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Fra de naturlige tal til de komplekse Optælling af størrelser i naturen De naturlige tal N (N

Læs mere

Svar på opgave 322 (September 2015)

Svar på opgave 322 (September 2015) Svar på opgave 3 (September 05) Opgave: En sekskant har sidelængder 7 7. Bestem radius i den omskrevne cirkel hvis sekskanten er indskrivelig. Besvarelse: ny version 6/0-05. metode. Antag at sekskanten

Læs mere

Funktionsundersøgelse. Rasmus Sylvester Bryder

Funktionsundersøgelse. Rasmus Sylvester Bryder Funktionsundersøgelse Rasmus Sylvester Bryder 7. november 2008 Dette projekt aeveres i forbindelse med LA T EX 2ε-kurset vejledningsuge 2, 2008-09 på KU; til projektet benyttes noter givet til opgaveløsning.

Læs mere

Matematik - et grundlæggende kursus. Dennis Cordsen Pipenbring

Matematik - et grundlæggende kursus. Dennis Cordsen Pipenbring Matematik - et grundlæggende kursus Dennis Cordsen Pipenbring 22. april 2006 2 Indhold I Matematik C 9 1 Grundlæggende algebra 11 1.1 Sprog................................ 11 1.2 Tal.................................

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU 2g

MATEMATIK A-NIVEAU 2g NETADGANGSFORSØGET I MATEMATIK APRIL 2009 MATEMATIK A-NIVEAU 2g Prøve April 2009 1. delprøve: 2 timer med formelsamling samt 2. delprøve: 3 timer med alle hjælpemidler Hver delprøve består af 14 spørgsmål,

Læs mere

Gør rede for begrebet fremskrivningsfaktor og giv eksempler på anvendelse heraf.

Gør rede for begrebet fremskrivningsfaktor og giv eksempler på anvendelse heraf. Eksamensspørgsmål 1a sommeren 2009 (reviderede) 1. Procent- og rentesregning Gør rede for begrebet fremskrivningsfaktor og giv eksempler på anvendelse heraf. Forklar renteformlen og forklar hvorledes hver

Læs mere

MM501 forelæsningsslides

MM501 forelæsningsslides MM50 forelæsningsslides uge 36, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm Nogle talmængder s. 3 N = {, 2, 3, } omtales som de naturlige tal eller de positive heltal. Z = {0, ±, ±2, ±3, } omtales som de hele

Læs mere

Matematik 2011/2012 Skovbo Efterskole Trigonometri. Trigonometri

Matematik 2011/2012 Skovbo Efterskole Trigonometri. Trigonometri Trigonometri Spidse og stumpe vinkler En vinkel kaldes spids, når den er mindre end 90. En vinkel kaldes ret, når den er 90. En vinkel kaldes stump, når den er større end 90. En vinkel kaldes lige, når

Læs mere

Flemmings Maplekursus 1. Løsning af ligninger a) Ligninger med variabel og kun en løsning.

Flemmings Maplekursus 1. Løsning af ligninger a) Ligninger med variabel og kun en løsning. Flemmings Maplekursus 1. Løsning af ligninger a) Ligninger med variabel og kun en løsning. Ligningen løses 10 3 Hvis vi ønsker løsningen udtrykt som en decimalbrøk i stedet: 3.333333333 Løsningen 3 er

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

Matematik B-niveau 31. maj 2016 Delprøve 1

Matematik B-niveau 31. maj 2016 Delprøve 1 Matematik B-niveau 31. maj 2016 Delprøve 1 Opgave 1 - Ligninger og reduktion (a + b) (a b) + b (a + b) = a 2 ab + ab b 2 + ab + b 2 = a 2 + ab Opgave 2 - Eksponentiel funktion 23 + 2x = 15 2x 2 = 8 x =

Læs mere

Gør rede for begrebet fremskrivningsfaktor og giv eksempler på anvendelse heraf.

Gør rede for begrebet fremskrivningsfaktor og giv eksempler på anvendelse heraf. Eksamensspørgsmål i ma til 1p sommeren 2009 (revideret) 1. Procent- og rentesregning Gør rede for begrebet fremskrivningsfaktor og giv eksempler på anvendelse heraf. Forklar formlen til kapitalfremskrivning

Læs mere

Kapitel 3 Lineære sammenhænge

Kapitel 3 Lineære sammenhænge Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk

Læs mere

1 Differentialkvotient

1 Differentialkvotient gudmandsen.net Ophavsret Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er tilladt i ikke-kommercielle sammenhænge, sålænge dette foregår med tydelig kildeangivelse. Al anden

Læs mere

Løsningsforslag 27. januar 2011

Løsningsforslag 27. januar 2011 Løsningsforslag 27. januar 2011 Opgave 1 (5%) Isolér t i udtrykket: 3x + 4 = 2x + t t 3x + 4 = 2x + t t og t 0 t(3x + 4) = 2x + t 3tx + 4t t = 2x t(3x + 4 1) = 2x t = 2x 3x + 3 og G = R\{-1} Opgave 2 (5%)

Læs mere

Matematik A STX december 2016 vejl. løsning Gratis anvendelse - læs betingelser!

Matematik A STX december 2016 vejl. løsning  Gratis anvendelse - læs betingelser! Matematik A STX december 2016 vejl. løsning www.matematikhfsvar.page.tl Gratis anvendelse - læs betingelser! Opgave 1 Lineær funktion. Oplysningerne findes i opgaven. Delprøve 1: Forskrift Opgave 2 Da

Læs mere

Forklar hvad betyder begrebet procent og hvordan man beregner det. Forklar, hvordan man lægger procenter til og trækker procenter fra.

Forklar hvad betyder begrebet procent og hvordan man beregner det. Forklar, hvordan man lægger procenter til og trækker procenter fra. 1. Procent og rente Forklar hvad betyder begrebet procent og hvordan man beregner det. Forklar, hvordan man lægger procenter til og trækker procenter fra. Gør rede for begrebet fremskrivningsfaktor. Vis,

Læs mere

Værktøjskasse til analytisk Geometri

Værktøjskasse til analytisk Geometri Værktøjskasse til analytisk Geometri Frank Villa. september 04 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-0. IT Teaching Tools. ISBN-3: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1

Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Opgave 1 Løs ligningen: 3(2 x+1)=4 x+9 Løsning 3(2 x+1)=4 x+9 6 x+3=4 x+9 6 x+3 3=4 x+9 3 6 x=4 x+6 6x 4 x=4 x+6 4 x 2 x=6 2 x 2 = 6 2 x=3 Opgave 2 P(3,1) er

Læs mere