Basal Statistik. Simpel lineær regression. Simpel lineær regression. Data. Faculty of Health Sciences

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Basal Statistik. Simpel lineær regression. Simpel lineær regression. Data. Faculty of Health Sciences"

Transkript

1 Faculty of Health Sciences Simpel lineær regression Basal Statistik Regressionsanalyse. Lene Theil Skovgaard 21. februar 2017 Regression og korrelation Simpel lineær regression Todimensionale normalfordelinger Korrelation vs. regression Modelkontrol Diagnostics Hjemmesider: 1 / 76 2 / 76 Simpel lineær regression Data Retningsbestemt relation (men ikke nødvendigvis kausal) mellem to kvantitative (kontinuerte) variable: Y: Respons eller outcome, afhængig (dependent) variabel X: Forklarende variabel, kovariat (somme tider Independent/uafhængig - meget uheldigt!) Gennemgående eksempel at tænke på: Y =blodtryk, X =alder Sammenhørende registreringer (x i, y i ), for en række individer eller units, i = 1,, n: Bemærk: x i erne kan vælges på forhånd! Det er smart, fordi man kan designe sig til mere præcise estimater Det er farligt, hvis man har tænkt sig at benytte korrelationer (mere om det senere) 3 / 76 4 / 76

2 Eksempel I Eksempel II Sammenhæng mellem kolinesteraseaktivitet (KE) og tid til opvågning (TID) Outcome: TID Forklarende variabel: KE Konklusioner: Hvor lang tid forventer vi til opvågning, baseret på en måling af KE? Hvor stor er usikkerheden på denne prediktion? Sammenligning af lungekapacitet (FEV 1 ) for rygere og ikke-rygere Problem: FEV 1 afhænger også af f.eks. højde Outcome: FEV 1 Forklarende variable: højde, rygevaner Konklusioner: Hvor meget dårligere er lungefunktionen hos rygere? 5 / 76 6 / 76 Eksempel fra bogen Scatter plot Hvilken sammenhæng er der mellem fastende blodsukkerniveau og sammentrækningsevne for venstre hjertekammer hos diabetikere? (n=23) Kode s. 69 OBS BLODSUKKER VCF Outcome: Y=vcf, %/sec. Kovariat: X=blodsukker, mmol/l Er der nogen sammenhæng her? 7 / 76 8 / 76

3 Matematisk model Fortolkning Ligningen for en ret linie: Y = α + βx Intercept α: Skæring med Y-akse Hældning β α: intercept, afskæring (skæring med Y-akse) Sammentrækningsevnen for en diabetiker med en blodsukkerværdi på 0. Samme enheder som outcome. Som regel en utilladelig ekstrapolation! β: hældning, regressionskoefficient Forskellen i sammentrækningsevne hos 2 diabetikere, der afviger i blodsukkerværdi med 1 mmol/l. Ofte parameteren med størst interesse. Enheder som Outcomes enheder pr. kovariats enhed. 9 / / 76 Statistisk model Estimation Y i = α + βx i + ε i, ε i N (0, σ 2 ) uafh. ε i erne er residualerne, dvs. afvigelserne (i Y) fra observeret til forventet. Mindste kvadraters metode: Bestem α og β, så kvadratafvigelsessummen n i=1 (y i (α + βx i )) 2 = n ε 2 i i=1 bliver mindst mulig. Resultat (estimater): ˆβ = S xy S xx = ni=1 (x i x)(y i ȳ) ni=1 (x i x) 2, ˆα = ȳ ˆβ x 11 / / 76

4 Output fra regressionsanalyse i SAS Kode s. 70 Dependent Variable: vcf Sum of Source DF Squares Mean Square F Value Pr > F Model Error Corrected Total R-Square Coeff Var Root MSE vcf Mean Source DF Type I SS Mean Square F Value Pr > F blodsukker Source DF Type III SS Mean Square F Value Pr > F blodsukker Standard Parameter Estimate Error t Value Pr > t Intercept <.0001 blodsukker Vigtige informationer fra output Hældning (slope, vises i output under betegnelsen blodsukker, fordi det er koefficienten til denne), ˆβ = , med tilhørende spredning (standard error) Spredningen omkring linien (Root MSE), s = ˆσ = Denne størrelse benyttes til konstruktion af prediktionsgrænser (kommer senere), som er normalområder for given blodsukkerværdi. Parameter 95% Confidence Limits Intercept blodsukker / / 76 Estimeret regressionslinie Kode s. 70 Forventet værdi for specifikke værdier af kovariaten Fittede (predikterede, forventede) værdier: ŷ i = ˆα + ˆβx i Forventet værdi af vcf for en diabetiker med blodsukker 10mmol/l: = 1.32 Estimeret regressionslinie: vcf= blodsukker men hvad med usikkerheden (s.e.) for denne? 15 / / 76

5 Forventet værdi for specifikke værdier af kovariaten, II Estimaterne fra regressionsanalysen Usikkerheder på disse kan ikke udregnes ved at kombinere s.e. på hhv. intercept og hældning! Dette skyldes, at intercept og hældning er (negativt) korrelerede: Højt intercept giver lav hældning - og omvendt. Lad computeren gøre det (se kode s. 71) Standard Parameter Estimate Error t Value Pr > t blodsukker= <.0001 Parameter 95% Confidence Limits blodsukker= Regressionsanalysen indeholder 3 parametre: 2 hørende til linien (intercept og hældning) 1, som er spredningen omkring linien (σ): den biologiske variation af vcf for folk med samme blodsukker-værdi Variansen omkring regressionslinien (σ 2 ) estimeres ved s 2 = 1 n 2 n (y i ˆα ˆβx i ) 2 i=1 ca. gennemsnitlig kvadratisk afstand, blot er n (antallet af observationer) erstattet af n 2 (antallet af frihedsgrader), her / / 76 Spredning omkring regressionslinie Usikkerhed på estimaterne Da man ikke kan forstå eller fortolke varianser direkte, tager vi straks kvadratrod: s = s 2 som er estimat for spredningen omkring regressionslinien som benævnes i SAS (lidt uheldigt ): Root Mean Square Error, forkortet Root MSE i output. i SPSS (heller ikke så sigende ): Standard Error of the Estimate Estimatet er , med de samme enheder som outcome vcf uheldigt, fordi det ikke er en standard error, men en standard deviation 19 / 76 Hvor gode er skønnene over de ukendte parametre α og β? Hvor meget anderledes resultater kunne vi forvente at finde ved en ny undersøgelse? Det kan vises, at ˆβ N (β, σ2 S xx ) dvs. hældningen er præcist bestemt, hvis observationerne ligger tæt på linien (σ 2 lille) variationen i x-værdier (S xx ) er stor 20 / 76

6 Konfidensinterval = Sikkerhedsinterval T-test for parameter=0 Estimeret usikkerhed på ˆβ: s.e.( ˆβ) = s S xx Dette estimat kaldes standard error for ˆβ, eller generelt standard error of the estimate (s.e.e.) Vi bruger det til at konstruere et 95% konfidensinterval ˆβ ± t 97.5% (n 2) s.e.( ˆβ) = ˆβ ± ca.2 s.e.( ˆβ) = ± = (0.0002, ) Vi kan også teste, typisk H 0 : β = 0 ved t-testet som her giver t = ˆβ t(n 2) s.e.( ˆβ) t = =2.10 t(21), P= dvs. lige på grænsen af det signifikante 21 / / 76 Og hvad med interceptet...? Når man har flere hypoteser... Man kan forestille sig situationer, hvor det er rimeligt at teste f.eks. H 0 : α = α 0 I så fald benyttes det tilsvarende t-test t = ˆα α 0 s.e.(ˆα) t(n 2) eller man udregner et 95% konfidensinterval for α: ± = (0.854, 1.342) Dette er bare ikke altid særligt interessant fordi interceptet i sig selv ikke er særligt interessant. Vi kan altså teste hypoteser om såvel α som β, men: Estimaterne for intercept og hældning er (negativt) korrelerede (her -0.92) Accepter ikke to sideordnede test Selv om vi kan acceptere test vedr. både α (f.eks. intercept=0) og β (f.eks. hældning 1) hver for sig, kan vi ikke nødvendigvis acceptere begge samtidig 23 / / 76

7 Hypotetisk eksempel Variationsopspaltning Forklaring til de øverste linier i output s. 13: n SS total = (y i ȳ) 2 = SS model + SS error i=1 Total variation = variation, som kan forklares + variation, som ikke kan forklares x er en god forklarende variable, hvis SS model er stor i forhold til SS error Jeg foretrækker at kalde SS error for SS residual / / 76 Determinationskoefficient, R 2 Korrelationen Den andel af variationen (i y), der kan forklares ved modellen: R 2 = SS model SS total Her finder vi determinationskoefficienten: R 2 = 0.17, dvs. vi kan forklare 17% af variationen i vcf v.hj.a. variablen blodsukker. Determinationskoefficienten er kvadratet på korrelationskoefficienten mellem vcf og blodsukker (som dermed er r = 0.17 = 0.42) Kode til korrelationer s. 72 Korrelationen r mellem to variable måler I hvor høj grad ligner scatter plottet en ret linie? Ikke: Hvor nær ligger punkterne ved den rette linie? Korrelationskoefficienten estimeres ved: r = r xy = S ni=1 xy (x i x)(y i ȳ) = ni=1 Sxx S yy (x i x) 2 n i=1 (y i ȳ) 2 antager værdier mellem -1 og 1 (0 = uafhængighed) +1 og -1 svarer til perfekt lineær sammenhæng, hhv. positiv og negativ 27 / / 76

8 Todimensional normalfordelingstæthed, r=0 Todimensional normalfordelingstæthed, r=0.9 Korrelation 0 Alle lodrette snit giver normalfordelinger med samme middelværdi og samme varians Korrelation 0.9 Udpræget retning i figuren 29 / / 76 Konturkurver Regression kontra korrelation Regressionsmodellen Y i = α + βx i + ε i, ε i N (0, σ 2 ) siger, at de betingede fordelinger af Y, givet X, er normalfordelinger, med samme varians σ 2 (samme spredning σ) og med middelværdier, der afhænger lineært af X. Konturkurver for en normalfordeling bliver ellipser 31 / / 76

9 Regression kontra korrelation, II Test af hældning vs test af korrelation Antagelserne til brug for fortolkning af en korrelation er skrappere end for regressionsanalysen, fordi: Her er der også et krav om normalfordeling på x i erne!! Hvis ikke dette krav er opfyldt, kan man ikke fortolke korrelationskoefficienten!...men man kan godt teste, om den er 0. Det er en og samme sag De to estimater (for korrelation og hældning) er 0 på samme tid r xy = ˆβ Sxx S yy Test for β = 0 er identisk med test for ρ xy = 0 men fortolkningen af de to størrelser er vidt forskellig: ˆβ fortolkes i substans-termer, med forståelige enheder r xy er skala-uafhængig - og meget vanskelig at tillægge nogen virkelig mening 33 / / 76 Pas på med fortolkning af korrelation Hvornår bruger vi så korrelationen Hold ˆβ og s 2 fast: 1 r 2 xy = s 2 s 2 + ˆβ 2 Sxx n 2 S xx stor 1-r 2 xy tæt på 0 r 2 xy tæt på 1 r 2 xy kan gøres vilkårlig tæt på 1 ved at sprede x erne hvordan mon? Til at teste om der er en sammenhæng Brug gerne Spearman korrelation og slip for så mange antagelser, men så får man også kun en P-værdi Til at sammenligne styrken af sammenhænge mellem mange variable, målt på de samme individer I observationelle studier uden selektion: Her kan korrelationen fortolkes, hvis der er tale om en todimensional normalfordeling men spørgsmålet er stadig, om det giver den information, der er ønskelig 35 / / 76

10 Eksempler Sammenligning af målemetoder Spørgsmål: Hvor meget stiger blodtrykket med alderen? Svar: Korrelationen er hellere: 5mmHg per år, med CI=(3.7, 6.3) Spørgsmål: Er rygning mere skadeligt for kvinder end for mænd? Svar: Næh, for korrelationen mellem pakkeår og FEV 1 er 0.62 for mænd er og kun 0.49 for kvinder... Pas på: Dette kan skyldes en større spredning på variablen rygning blandt mænd, og behøver altså ikke at have noget at gøre med effekten af rygning I en sådan situation giver det ingen mening at benytte korrelation! Korrelationen udtrykker sammenhæng, ikke overensstemmelse (der er f.eks. en sammenhæng mellem alder og blodtryk, men der er naturligvis ikke overensstemmelse) Naturligvis er der sammenhæng mellem to målemetoder, der foregiver at måle det samme, så det behøver man ikke teste (ellers er der i hvert fald noget helt galt) Man skal i stedet kvantificere differenserne mellem de to metoder, og udregne limits of agreement (på relevant skala) 37 / / 76 Konfidensgrænser for linien Prediktionsgrænser for enkeltindivider For hver værdi af kovariaten (her x =blodsukker): Fittede (predikterede, forventede) værdier er selve linien: ŷ i = ˆα + ˆβx i Konfidensgrænser for denne linie (smalle grænser) benyttes til sammenligning med andre grupper af personer man benytter spredningen s konf = s 1 n + (x i x) 2 Sxx Disse grænser bliver vilkårligt snævre, når antallet af observationer øges. De kan ikke bruges til diagnostik! Normalområder for sammentrækningsevne (y), for givet x=blodsukker (brede grænser): De benyttes til at afgøre, om en ny person er atypisk i forhold til normen (diagnostik), idet de omslutter ca. 95% af fremtidige observationer, også for store n. man benytter spredningen s pred = s n + (x i x) 2 Sxx Disse grænser bliver ikke nævneværdigt snævrere, når antallet af observationer øges. 39 / / 76

11 Konfidens- og prediktionsgrænser Summa summarum om grænser Se kode s. 73 De smalle grænser, konfidensgrænser: svarer til standard error bruges til at vurdere sikkerheden i estimatet afhænger kraftigt af værdien af kovariaten De brede grænser, prediktionsgrænser: svarer til standard deviation kaldes også normalområder eller referenceområder bruges til at diagnosticere individuelle patienter udregnes approksimativt ved ±2 spredninger (Root MSE) 41 / / 76 Har vi gjort det godt nok? Modelkontrol Modellens konklusioner er kun rimelige, hvis modellen selv er rimelig. Modelkontrol: Passer modellen rimeligt til data? Diagnostics: Passer data til modellen? Eller er der indflydelsesrige observationer eller outliers? Check af disse to forhold burde naturligvis foretages fra begyndelsen, men da de kræver fit af modellen, kan de først foretages efterfølgende. Den statistiske model var Y i = α + βx i + ε i, ε i N (0, σ 2 ) uafhængige Hvilke antagelser skal vi checke her? linearitet varianshomogenitet (ε i erne har samme spredning) normalfordelte afvigelser (ε i erne) Obs: Intet krav om normalfordeling på x i erne!! 43 / / 76

12 Grafisk modelkontrol Residualplots Fokus er her på residualerne = modelafvigelserne = observeret værdi - fittet værdi: ˆε i = y i ŷ i eller en modifikation af disse: Normerede/Standardiserede (Studentized) PRESS (leave-one-out), kan også normeres Residualer (af passende type) plottes mod den forklarende variabel x i for at checke linearitet (se efter krumninger, buer) de fittede værdier ŷ i for at checke varianshomogenitet (se efter trompeter) fraktildiagram eller histogram for at checke normalfordelingsantagelsen (se efter afvigelse fra en ret linie) 45 / / 76 Diagnostics Panel - kode s.74 Vurdering af lineariteten Residualer plottet mod kovariaten, med overlejret udglatning (kode s. 74): 47 / / 76

13 Afvigelser fra modellen Afhjælpning af problemer Linearitet: Hvis lineariteten ikke holder i rimelig grad, bliver modellen ufortolkelig. Hvad gør man så? tilføjer flere kovariater, f.eks. alder, køn, medicin etc. transformerer variablene med logaritmer - ligegyldigt hvilken, se s kvadratrod, invers benytter lineære splines ( knæk-linier, kommer senere) foretager ikke-lineær regression 49 / / 76 Afhjælpning af problemer, II Trompetfacon Varianshomogenitet: Hvis varianshomogeniteten ikke holder i rimelig grad, mister vi styrke, og prediktionsgrænser bliver upålidelige! Hvad gør man så? I tilfælde af trompetfacon: Transformation af Y med logaritmer Vægtet regression... (Non-parametriske metoder... men så får vi ingen kvantificeringer) betyder, at residualernes variation (og dermed størrelse) er større for højere niveauer af outcome - ofte i form af Konstant relativ spredning = konstant variationskoefficient Variationskoefficient = spredning middelværdi Dette sker ofte, når man måler på små positive størrelser, og løsningen er (sædvanligvis) at transformere outcome Y med en logaritme 51 / / 76

14 Afhjælpning af problemer, III Normalfordeling (og varianshomogenitet) Normalfordelte residualer: Hvis normalfordelingen ikke holder i rimelig grad, mister vi styrke, og prediktionsgrænser bliver upålidelige! Hvad gør man så? I tilfælde af hale mod højre: Transformation med logaritmer (Non-parametriske metoder men så får vi ingen kvantificeringer) Antagelsen om normalfordeling (og til en vis grad varianshomogenitet) er ikke kritisk for selve fittet: Man får stadig gode estimater Pålidelige tests og konfidensintervaller fordi normalfordelingen som regel passer godt for estimatet ˆβ pga Den centrale grænseværdisætning, der siger at summer og andre funktioner af mange observationer bliver mere og mere normalfordelt. Men prediktionsgrænserne bliver misvisende og ufortolkelige!! 53 / / 76 Lidt om logaritmer måske genopfriskning...? Logaritmetransformation af outcome Alle logaritmefunktioner har et grundtal 10-tals logaritmen (log10) med grundtal 10 den såkaldt naturlige logaritme (log, før i tiden ofte kaldet ln) med grundtal e = tals logaritmen (log2) med grundtal 2 Alle logaritmer er proportionale, f.eks. for at opnå linearitet for at opnå ens spredninger (varianshomogenitet) for at opnå normalitet af residualerne Her er kun et enkelt (ret ubetydeligt) fif: Hvis fokus er på estimation af variationskoefficenten (se s. 52), kan man med fordel benytte den naturlige logaritme), idet log 2 (x) = log(x) log(2) = log 10(x) log 10 (2) Spredning(log(y)) Spredning(y) y = CV og det betyder derfor intet for resultatet, hvilken en, man benytter fordi man altid får det samme, når man tilbagetransformerer. Alligevel er der visse fif...: 55 / 76 dvs. en konstant variationskoefficient (CV) på Y betyder konstant spredning på log(y ) Når Y logaritmetransformeres, bliver effekten af kovariater (når de tilbagetransformeres) til faktorer, der skal ganges på. 56 / 76

15 Logaritmetransformation af kovariat Den forklarende variabel (x) transformeres altid for at opnå linearitet. Her kan med fordel anvendes 2-tals logaritmer, idet 1 enhed i log 2 (x) så svarer til en fordobling af x, der har konstant effekt. Hældningen β udtrykker altså effekten af en fordobling af kovariaten, og successive fordoblinger antages at have samme effekt. Man kan også gøre det endnu mere fortolkeligt ved at benytte logaritmen med grundtal f.eks. 1.1, svarende til en faktor 1.1, altså en 10% forøgelse af kovariat-værdien. 57 / 76 log 1.1 (x) = log 10(x) log 10 (1.1) Numeriske check af antagelserne er mulig, men bør kun bruges som en rettesnor Linearitet: Tilføj kvadreret kovariat, og test derefter, om 2.gradspolynomiet (parablen) er væsentlig bedre end linien Benyt lineære splines (knæk-linier, kommer senere) og test, om der overhovedet er et knæk Varianshomogenitet: De findes, men ikke i GLM Normalfordelingen: Der findes test, men de kan ikke generelt anbefales 58 / 76 Regression diagnostics Cooks afstand Understøttes konklusionerne af hele materialet? Eller er der observationer med meget stor indflydelse på resultaterne? Udelad den i te person og bestem nye estimater for samtlige parametre. Udregn Cook s afstand, et mål for ændringen i parameterestimater. Spalt evt. Cook s afstand ud i separate dele, som måler f.eks: Hvor mange s.e.( ˆβ 1 ) ændrer ˆβ 1 sig, hvis den i te person udelades? Kode s. 76 (se også DiagnosticsPanel tidligere, s. 47) En enkelt observation skiller sig ud i forhold til de øvrige Tommelfingerregel: Sammenlign med 4 n = / / 76

16 Cooks afstand spaltet i komponenter Hvor mange s.e.( ˆβ 1 ) er ændres f.eks. ˆβ, når den i te person udelades? Dependent Variable: vcf Output Statistics DFBETAS Obs Intercept blodsukker En enkelt observation (nr. 13, tilfældigvis) kan ændrer hældningsestimatet med mere end 1 standard error. Tommelfingerregel: Sammenlign med 2 n = / < Udeladelse af observation nr. 13 Estimeret linie: y = x ˆβ = ( ), t = Regressionsanalyse uden observation nr. 13 Estimeret linie: y = x 62 / 76 ˆβ = ( ), t = = 2.1, P = = 1.05, P = 0.31 Outliers To forskellige eksempler Observationer, der ikke passer ind i sammenhængen de er ikke nødvendigvis indflydelsesrige de har ikke nødvendigvis et stort residual på mulige outliers: Press-residualer Residualer, der fremkommer efter at den pågældende observation har været udelukket fra estimationen. (residualer without current observation) Man kan med fordel danne et nyt datasæt med predikterede værdier og residualer, se kode s / 76 Hvad gør vi i hver af disse situationer? 64 / 76

17 Udeladelse af enkeltobservationer? Confounding Hvad gør vi ved indflydelsesrige observationer og outliers? ser nærmere på dem, de er tit ganske interessante anfører et mål for deres indflydelse Hvornår kan vi udelade dem? hvis de ligger meget yderligt husk at afgrænse konklusionerne tilsvarende! (Kor)relationen er: positiv for mænd positiv for kvinder negativ for mennesker hvis man kan finde årsagen og da skal alle sådanne udelades! mere om dette senere (ved øvelserne) Eks: Kolesterol vs. chokoladeindtag 65 / / 76 Confounding, II APPENDIX (Kor)relationen er: tilsyneladende positiv 0 for hver aldersgruppe Programbidder svarende til diverse slides: Indlæsning og scatter plot, s. 69 Regressionsanalyse, s Korrelation, s. 72 Konfidens- og prediktionsgrænser, s. 73 Modelkontrol, s. 74 Diagnostics, s X og Y vokser begge med alderen (f.eks. kolesterol og blodtryk) 67 / / 76

18 Indlæsning og scatter plot Slide 8 data vcf; infile "http://staff.pubhealth.ku.dk/~lts/basal/data/vcf.txt" URL firstobs=2; input blodsukker vcf; proc sgplot data=vcf; scatter x=blodsukker y=vcf; eller proc gplot data=vcf; plot vcf*blodsukker; 69 / 76 Regressionsanalyse i SAS Slide 13 og 15 proc glm data=vcf; model vcf = blodsukker / clparm; og for at tegne linien skrives f.eks. proc sgplot data=vcf; reg x=blodsukker y=vcf / markerattrs=(color=blue) lineattrs=(color=red); eller proc gplot data=vcf; plot vcf*blodsukker; symbol v=circle c=red i=rl h=2 l=1; 70 / 76 Forventet værdi for specifikke værdier af kovariaten Korrelationer Slide 17 Her for en blodsukkerværdi på 10: proc glm data=vcf; model vcf=blodsukker / clparm; estimate blodsukker=10 intercept 1 blodsukker 10; Slide 27 proc corr pearson spearman; var vcf blodsukker; Pearson: betegner den sædvanlige korrelation baseret på en todimensional normalfordeling Spearman: betegner den nonparametrisk korrelation 71 / / 76

19 Konfidens- og prediktionsgrænser Slide 41 Konfidensgrænser: proc gplot data=vcf; plot vcf*blodsukker; symbol v=circle c=blue i=rlclm95; Modelkontrol Slide 47 og 48 ods graphics on; proc glm PLOTS=(DIAGNOSTICS RESIDUALS(smooth)) data=vcf; model vcf=blodsukker / clparm; ods graphics off; Prediktionsgrænser: proc gplot data=vcf; plot vcf*blodsukker; symbol v=circle c=blue i=rlcli95; Den pæne figur s. 41 fås formentlig automatisk, når der udføres en lineær regression. Ellers må man benytte ods graphics 73 / 76 danner DiagnosticsPanel med mange brugbare figurer, samt en figur til vurdering af lineariteten Hvis man vil have fuld kontrol over hele modelkontrollen kan man udregne predikterede værdier og residualer, samt gemme disse i et nyt datasæt (her kaldet ny) ved at tilføje linien output out=ny p=predicted r=residual; inden i GLM-koden 74 / 76 Regression diagnostics Cooks afstand, plottet mod kovariat Slide 60 og 61 Plot af Cooks afstand mod observationsnummer ses i DiagnosticsPanel, se s. 47 Vil man mere end det, kan man få dem ud i et nyt datasæt ved at tilføje/modificere output-sætningen output out=ny p=predicted r=residual cookd=cook; i GLM-linierne I proceduren REG kan Cooks afstand spaltes ud i koordinater: proc reg data=vcf; model vcf = blodsukker / influence; Slide 60 Efter at have gemt et mål for indflydelsen af den enkelte observation, i form af Cooks afstand (se output-sætning pãě forrige side), kan vi nu lave tegninger direkte: proc sgplot data=ny; scatter x=blodsukker y=cook / markerattrs=(symbol=circle color=blue size=15); 75 / / 76

Faculty of Health Sciences. Regressionsanalyse. Simpel lineær regression, Lene Theil Skovgaard. Biostatistisk Afdeling

Faculty of Health Sciences. Regressionsanalyse. Simpel lineær regression, Lene Theil Skovgaard. Biostatistisk Afdeling Faculty of Health Sciences Regressionsanalyse Simpel lineær regression, 28-2-2013 Lene Theil Skovgaard Biostatistisk Afdeling 1 / 67 Simpel lineær regression Regression og korrelation Simpel lineær regression

Læs mere

Opgavebesvarelse, brain weight

Opgavebesvarelse, brain weight Opgavebesvarelse, brain weight (Matthews & Farewell: Using and Understanding Medical Statistics, 2nd. ed.) Spørgsmål 1 Data er indlagt på T:/Basalstatistik/brain.txt og kan indlæses direkte i Analyst med

Læs mere

Program: 1. Repetition: p-værdi 2. Simpel lineær regression. 1/19

Program: 1. Repetition: p-værdi 2. Simpel lineær regression. 1/19 Program: 1. Repetition: p-værdi 2. Simpel lineær regression. 1/19 For test med signifikansniveau α: p < α forkast H 0 2/19 p-værdi Betragt tilfældet med test for H 0 : µ = µ 0 (σ kendt). Idé: jo større

Læs mere

Oversigt. 1 Gennemgående eksempel: Højde og vægt. 2 Korrelation. 3 Regressionsanalyse (kap 11) 4 Mindste kvadraters metode

Oversigt. 1 Gennemgående eksempel: Højde og vægt. 2 Korrelation. 3 Regressionsanalyse (kap 11) 4 Mindste kvadraters metode Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 11: Kapitel 11: Regressionsanalyse Oversigt 1 Gennemgående eksempel: Højde og vægt 2 Korrelation 3 Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse

Læs mere

Filen indeholder 45 linier, først en linie med variabelnavnene (bw og rmr) og derefter 44 datalinier, hver med disse to oplysninger.

Filen indeholder 45 linier, først en linie med variabelnavnene (bw og rmr) og derefter 44 datalinier, hver med disse to oplysninger. Opgavebesvarelse, Resting metabolic rate I filen rmr.txt findes sammenhørende værdier af kropsvægt (bw, i kg) og hvilende stofskifte (rmr, kcal pr. døgn) for 44 kvinder (Altman, 1991 og Owen et.al., Am.

Læs mere

Modul 11: Simpel lineær regression

Modul 11: Simpel lineær regression Forskningsenheden for Statistik ST01: Elementær Statistik Bent Jørgensen Modul 11: Simpel lineær regression 11.1 Regression uden gentagelser............................. 1 11.1.1 Oversigt....................................

Læs mere

Lineær regression. Simpel regression. Model. ofte bruges følgende notation:

Lineær regression. Simpel regression. Model. ofte bruges følgende notation: Lineær regression Simpel regression Model Y i X i i ofte bruges følgende notation: Y i 0 1 X 1i i n i 1 i 0 Findes der en linie, der passer bedst? Metode - Generel! least squares (mindste kvadrater) til

Læs mere

Multipel regression. M variable En afhængig (Y) M-1 m uafhængige / forklarende / prædikterende (X 1 til X m ) Model

Multipel regression. M variable En afhængig (Y) M-1 m uafhængige / forklarende / prædikterende (X 1 til X m ) Model Multipel regression M variable En afhængig (Y) M-1 m uafhængige / forklarende / prædikterende (X 1 til X m ) Model Y j 1 X 1j 2 X 2j... m X mj j eller m Y j 0 i 1 i X ij j BEMÆRK! j svarer til individ

Læs mere

Uge 43 I Teoretisk Statistik, 21. oktober Forudsigelser

Uge 43 I Teoretisk Statistik, 21. oktober Forudsigelser Uge 43 I Teoretisk Statistik,. oktober 3 Simpel lineær regressionsanalyse Forudsigelser Fortolkning af regressionsmodellen Ekstreme observationer Transformationer Sammenligning af to regressionslinier

Læs mere

1. Lav en passende arbejdstegning, der illustrerer samtlige enkeltobservationer.

1. Lav en passende arbejdstegning, der illustrerer samtlige enkeltobservationer. Vejledende besvarelse af hjemmeopgave Basal statistik, efterår 2008 En gruppe bestående af 45 patienter med reumatoid arthrit randomiseres til en af 6 mulige behandlinger, nemlig placebo, aspirin eller

Læs mere

Anvendt Statistik Lektion 7. Simpel Lineær Regression

Anvendt Statistik Lektion 7. Simpel Lineær Regression Anvendt Statistik Lektion 7 Simpel Lineær Regression 1 Er der en sammenhæng? Plot af mordraten () mod fattigdomsraten (): Scatterplot Afhænger mordraten af fattigdomsraten? 2 Scatterplot Et scatterplot

Læs mere

Basal statistik. 23. september 2008

Basal statistik. 23. september 2008 Basal statistik 23. september 2008 Korrelation og regression Simpel lineær regression Todimensionale normalfordelinger Korrelation vs. regression Modelkontrol Diagnostics Thomas Scheike, Biostatistisk

Læs mere

Epidemiologi og biostatistik. Uge 3, torsdag. Erik Parner, Institut for Biostatistik. Regressionsanalyse

Epidemiologi og biostatistik. Uge 3, torsdag. Erik Parner, Institut for Biostatistik. Regressionsanalyse Epidemiologi og biostatistik. Uge, torsdag. Erik Parner, Institut for Biostatistik. Lineær regressionsanalyse - Simpel lineær regression - Multipel lineær regression Regressionsanalyse Regressionsanalyser

Læs mere

Analysestrategi. Lektion 7 slides kompileret 27. oktober 200315:24 p.1/17

Analysestrategi. Lektion 7 slides kompileret 27. oktober 200315:24 p.1/17 nalysestrategi Vælg statistisk model. Estimere parametre i model. fx. lineær regression Udføre modelkontrol beskriver modellen data tilstrækkelig godt og er modellens antagelser opfyldte fx. vha. residualanalyse

Læs mere

Anvendt Statistik Lektion 8. Multipel Lineær Regression

Anvendt Statistik Lektion 8. Multipel Lineær Regression Anvendt Statistik Lektion 8 Multipel Lineær Regression 1 Simpel Lineær Regression (SLR) y Sammenhængen mellem den afhængige variabel (y) og den forklarende variabel (x) beskrives vha. en SLR: ligger ikke

Læs mere

12. september Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 4 Uge 3, torsdag. Niels Trolle Andersen, Afdelingen for Biostatistik. Regressionsanalyse

12. september Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 4 Uge 3, torsdag. Niels Trolle Andersen, Afdelingen for Biostatistik. Regressionsanalyse . september 5 Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning Uge, torsdag. Niels Trolle Andersen, Afdelingen for Biostatistik. Lineær regressionsanalyse - Simpel lineær regression - Multipel lineær regression

Læs mere

Epidemiologi og biostatistik. Uge 3, torsdag. Erik Parner, Afdeling for Biostatistik. Eksempel: Systolisk blodtryk

Epidemiologi og biostatistik. Uge 3, torsdag. Erik Parner, Afdeling for Biostatistik. Eksempel: Systolisk blodtryk Eksempel: Systolisk blodtryk Udgangspunkt: Vi ønsker at prædiktere det systoliske blodtryk hos en gruppe af personer. Epidemiologi og biostatistik. Uge, torsdag. Erik Parner, Afdeling for Biostatistik.

Læs mere

Filen indeholder variablenavne i første linie, og de ligger i rækkefølgen

Filen indeholder variablenavne i første linie, og de ligger i rækkefølgen Opgavebesvarelse, Resting metabolic rate I filen T:\Basalstatistik\rmr.txt findes sammenhørende værdier af kropsvægt (bw, i kg) og hvilende stofskifte (rmr, kcal pr. døgn) for 44 kvinder (Altman, 1991

Læs mere

Epidemiologi og Biostatistik

Epidemiologi og Biostatistik Kapitel 1, Kliniske målinger Epidemiologi og Biostatistik Introduktion til skilder (varianskomponenter) måleusikkerhed sammenligning af målemetoder Mogens Erlandsen, Institut for Biostatistik Uge, torsdag

Læs mere

Vejledende besvarelse af hjemmeopgave i Basal statistik for lægevidenskabelige forskere, forår 2013

Vejledende besvarelse af hjemmeopgave i Basal statistik for lægevidenskabelige forskere, forår 2013 Vejledende besvarelse af hjemmeopgave i Basal statistik for lægevidenskabelige forskere, forår 2013 I forbindelse med reagensglasbehandling blev 100 par randomiseret til to forskellige former for hormonstimulation.

Læs mere

Basal Statistik - SPSS

Basal Statistik - SPSS Faculty of Health Sciences Basal Statistik - SPSS Multipel regression. Lene Theil Skovgaard 10. oktober 2017 1 / 12 APPENDIX med instruktioner til SPSS-analyse svarende til nogle af slides Figurer: s.

Læs mere

1 Hb SS Hb Sβ Hb SC = , (s = )

1 Hb SS Hb Sβ Hb SC = , (s = ) PhD-kursus i Basal Biostatistik, efterår 2006 Dag 6, onsdag den 11. oktober 2006 Eksempel 9.1: Hæmoglobin-niveau og seglcellesygdom Data: Hæmoglobin-niveau (g/dl) for 41 patienter med en af tre typer seglcellesygdom.

Læs mere

Multipel Lineær Regression

Multipel Lineær Regression Multipel Lineær Regression Trin i opbygningen af en statistisk model Repetition af MLR fra sidst Modelkontrol Prædiktion Kategoriske forklarende variable og MLR Opbygning af statistisk model Specificer

Læs mere

Reeksamen i Statistik for Biokemikere 6. april 2009

Reeksamen i Statistik for Biokemikere 6. april 2009 Københavns Universitet Det Naturvidenskabelige Fakultet Reeksamen i Statistik for Biokemikere 6. april 2009 Alle hjælpemidler er tilladt, og besvarelsen må gerne skrives med blyant. Opgavesættet er på

Læs mere

Modul 6: Regression og kalibrering

Modul 6: Regression og kalibrering Forskningsenheden for Statistik ST501: Science Statistik Bent Jørgensen Modul 6: Regression og kalibrering 6.1 Årsag og virkning................................... 1 6.2 Kovarians og korrelation...............................

Læs mere

Normalfordelingen. Det centrale er gentagne målinger/observationer (en stikprøve), der kan beskrives ved den normale fordeling: 1 2πσ

Normalfordelingen. Det centrale er gentagne målinger/observationer (en stikprøve), der kan beskrives ved den normale fordeling: 1 2πσ Normalfordelingen Det centrale er gentagne målinger/observationer (en stikprøve), der kan beskrives ved den normale fordeling: f(x) = ( ) 1 exp (x µ)2 2πσ 2 σ 2 Frekvensen af observationer i intervallet

Læs mere

To samhørende variable

To samhørende variable To samhørende variable Statistik er tal brugt som argumenter. - Leonard Louis Levinsen Antagatviharn observationspar x 1, y 1,, x n,y n. Betragt de to tilsvarende variable x og y. Hvordan måles sammenhængen

Læs mere

Løsning til øvelsesopgaver dag 4 spg 5-9

Løsning til øvelsesopgaver dag 4 spg 5-9 Løsning til øvelsesopgaver dag 4 spg 5-9 5: Den multiple model Vi tilføjer nu yderligere to variable til vores model : Køn og kolesterol SBP = a + b*age + c*chol + d*mand hvor mand er 1 for mænd, 0 for

Læs mere

Lineær regression: lidt mere tekniske betragtninger om R 2 og et godt alternativ

Lineær regression: lidt mere tekniske betragtninger om R 2 og et godt alternativ Lineær regression: lidt mere tekniske betragtninger om R 2 og et godt alternativ Per Bruun Brockhoff, DTU Compute, Claus Thorn Ekstrøm, KU Biostatistik, Ernst Hansen, KU Matematik January 17, 2017 Abstract

Læs mere

Modul 12: Regression og korrelation

Modul 12: Regression og korrelation Forskningsenheden for Statistik ST01: Elementær Statistik Bent Jørgensen Modul 12: Regression og korrelation 12.1 Sammenligning af to regressionslinier........................ 1 12.1.1 Test for ens hældning............................

Læs mere

Basal statistik. Logaritmer og kovariansanalyse. Nyt eksempel vedr. sammenligning af målemetoder. Scatter plot af de to metoder

Basal statistik. Logaritmer og kovariansanalyse. Nyt eksempel vedr. sammenligning af målemetoder. Scatter plot af de to metoder Faculty of Health Sciences Logaritmer og kovariansanalyse Basal statistik Logaritmer. Kovariansanalyse Lene Theil Skovgaard 29. september 2015 Parret sammenligning, målemetoder med logaritmer Tosidet variansanalyse

Læs mere

Faculty of Health Sciences. Basal statistik. Logaritmer. Kovariansanalyse. Lene Theil Skovgaard. 29. september 2015

Faculty of Health Sciences. Basal statistik. Logaritmer. Kovariansanalyse. Lene Theil Skovgaard. 29. september 2015 Faculty of Health Sciences Basal statistik Logaritmer. Kovariansanalyse Lene Theil Skovgaard 29. september 2015 1 / 84 Logaritmer og kovariansanalyse Parret sammenligning, målemetoder med logaritmer Tosidet

Læs mere

Modelkontrol i Faktor Modeller

Modelkontrol i Faktor Modeller Modelkontrol i Faktor Modeller Julie Lyng Forman Københavns Universitet Afdeling for Anvendt Matematik og Statistik Statistik for Biokemikere 2003 For at konklusionerne på en ensidet, flersidet eller hierarkisk

Læs mere

Naturvidenskabelig Bacheloruddannelse Forår 2006 Matematisk Modellering 1 Side 1

Naturvidenskabelig Bacheloruddannelse Forår 2006 Matematisk Modellering 1 Side 1 Matematisk Modellering 1 Side 1 I nærværende opgavesæt er der 16 spørgsmål fordelt på 4 opgaver. Ved bedømmelsen af besvarelsen vægtes alle spørgsmål lige. Endvidere lægges der vægt på, at det af besvarelsen

Læs mere

n r x rs x r = 1 n r s=1 (x rs x r ) 2, s=1

n r x rs x r = 1 n r s=1 (x rs x r ) 2, s=1 (a) Denne opgave bygger på resultaterne fra 2 forsøg med epo-behandling af for tidligt fødte børn, idet gruppe 1 og 3 stammer fra første forsøg, mens gruppe 2 og 4 stammer fra det andet. Det må antages,

Læs mere

Filen indeholder 45 linier, først en linie med variabelnavnene (bw og rmr) og derefter 44 datalinier, hver med disse to oplysninger.

Filen indeholder 45 linier, først en linie med variabelnavnene (bw og rmr) og derefter 44 datalinier, hver med disse to oplysninger. Opgavebesvarelse, Resting metabolic rate I filen rmr.txt findes sammenhørende værdier af kropsvægt (bw, i kg) og hvilende stofskifte (rmr, kcal pr. døgn) for 44 kvinder (Altman, 1991 og Owen et.al., Am.

Læs mere

(tæt på N(0,1) hvis n ikke alt for lille). t i god til at checke for outliers som kan have stor indflydelse på estimaterne s 2 og ˆσ 2 e i

(tæt på N(0,1) hvis n ikke alt for lille). t i god til at checke for outliers som kan have stor indflydelse på estimaterne s 2 og ˆσ 2 e i Da er r i = e i ˆσ ei t(n 3) (tæt på N(0,1) hvis n ikke alt for lille). Program 1. lineær regression: opgave 3 og 13 (sukker-temperatur). 2. studentiserede residualer, multipel regression. Tommelfinger-regel:

Læs mere

Vejledende besvarelse af hjemmeopgave, forår 2015

Vejledende besvarelse af hjemmeopgave, forår 2015 Vejledende besvarelse af hjemmeopgave, forår 2015 En stikprøve bestående af 65 mænd og 65 kvinder er blevet undersøgt med henblik på at se på en evt. sammenhæng mellem kropstemperatur og puls. På hjemmesiden

Læs mere

Besvarelse af opgave om Vital Capacity

Besvarelse af opgave om Vital Capacity Besvarelse af opgave om Vital Capacity hentet fra P. Armitage & G. Berry: Statistical methods in medical research. 2nd ed. Blackwell, 1987. Spørgsmål 1: Indlæs data og konstruer en faktor (klassevariabel)

Læs mere

Model. (m separate analyser). I vores eksempel er m = 2, n 1 = 13 (13 journalister) og

Model. (m separate analyser). I vores eksempel er m = 2, n 1 = 13 (13 journalister) og Model M 0 : X hi N(α h + β h t hi,σ 2 h ), h = 1,...,m, i = 1,...,n h. m separate regressionslinjer. Behandles som i afsnit 3.3. (m separate analyser). I vores eksempel er m = 2, n 1 = 13 (13 journalister)

Læs mere

Perspektiver i Matematik-Økonomi: Linær regression

Perspektiver i Matematik-Økonomi: Linær regression Perspektiver i Matematik-Økonomi: Linær regression Jens Ledet Jensen H2.21, email: jlj@imf.au.dk Perspektiver i Matematik-Økonomi: Linær regression p. 1/34 Program for i dag 1. Indledning: sammenhæng mellem

Læs mere

Vejledende besvarelse af hjemmeopgave, forår 2016

Vejledende besvarelse af hjemmeopgave, forår 2016 Vejledende besvarelse af hjemmeopgave, forår 2016 Udleveret 1. marts, afleveres senest ved øvelserne i uge 13 (29. marts-1. april) Denne opgave fokuserer på at beskrive niveauet af hormonet AMH (højt niveau

Læs mere

Løsning til eksaminen d. 14. december 2009

Løsning til eksaminen d. 14. december 2009 DTU Informatik 02402 Introduktion til Statistik 200-2-0 LFF/lff Løsning til eksaminen d. 4. december 2009 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition,

Læs mere

Statistik og Sandsynlighedsregning 2. Repetition og eksamen. Overheads til forelæsninger, mandag 7. uge

Statistik og Sandsynlighedsregning 2. Repetition og eksamen. Overheads til forelæsninger, mandag 7. uge Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Repetition og eksamen Overheads til forelæsninger, mandag 7. uge 1 Normalfordelingen Erfaringsmæssigt er normalfordelingen velegnet til at beskrive variationen i mange

Læs mere

MLR antagelserne. Antagelse MLR.1:(Lineære parametre) Den statistiske model for populationen kan skrives som

MLR antagelserne. Antagelse MLR.1:(Lineære parametre) Den statistiske model for populationen kan skrives som MLR antagelserne Antagelse MLR.1:(Lineære parametre) Den statistiske model for populationen kan skrives som y = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x 2 + + β k x k + u, hvor β 0, β 1, β 2,...,β k er ukendte parametere,

Læs mere

Økonometri: Lektion 2 Multipel Lineær Regression 1/27

Økonometri: Lektion 2 Multipel Lineær Regression 1/27 Økonometri: Lektion 2 Multipel Lineær Regression 1/27 Multipel Lineær Regression Sidst så vi på simpel lineær regression, hvor y er forklaret af én variabel. Der er intet, der forhindre os i at have mere

Læs mere

Statistik Lektion 16 Multipel Lineær Regression

Statistik Lektion 16 Multipel Lineær Regression Statistik Lektion 6 Multipel Lineær Regression Trin i opbygningen af en statistisk model Repetition af MLR fra sidst Modelkontrol Prædiktion Kategoriske forklarende variable og MLR Opbygning af statistisk

Læs mere

Variansanalyse i SAS. Institut for Matematiske Fag December 2007

Variansanalyse i SAS. Institut for Matematiske Fag December 2007 Københavns Universitet Statistik for Biokemikere Det naturvidenskabelige fakultet Institut for Matematiske Fag December 2007 Variansanalyse i SAS 2 Tosidet variansanalyse Residualplot Tosidet variansanalyse

Læs mere

Statistik Lektion 17 Multipel Lineær Regression

Statistik Lektion 17 Multipel Lineær Regression Statistik Lektion 7 Multipel Lineær Regression Polynomiel regression Ikke-lineære modeller og transformation Multi-kolinearitet Auto-korrelation og Durbin-Watson test Multipel lineær regression x,x,,x

Læs mere

Økonometri Lektion 1 Simpel Lineær Regression 1/31

Økonometri Lektion 1 Simpel Lineær Regression 1/31 Økonometri Lektion 1 Simpel Lineær Regression 1/31 Simpel Lineær Regression Mål: Forklare variablen y vha. variablen x. Fx forklare Salg (y) vha. Reklamebudget (x). Statistisk model: Vi antager at sammenhængen

Læs mere

Module 3: Statistiske modeller

Module 3: Statistiske modeller Department of Statistics ST502: Statistisk modellering Pia Veldt Larsen Module 3: Statistiske modeller 31 ANOVA 1 32 Variabelselektion 4 321 Multipel determinationskoefficient 5 322 Variabelselektion med

Læs mere

Øvelser til basalkursus, 5. uge. Opgavebesvarelse: Knogledensitet hos unge piger

Øvelser til basalkursus, 5. uge. Opgavebesvarelse: Knogledensitet hos unge piger Øvelser til basalkursus, 5. uge Opgavebesvarelse: Knogledensitet hos unge piger I alt 112 piger har fået målt knogledensitet (bone mineral density, bmd) i 11-års alderen (baseline værdi). Pigerne er herefter

Læs mere

Ovenstående figur viser et (lidt formindsket billede) af 25 svampekolonier på en petriskål i et afgrænset felt på 10x10 cm.

Ovenstående figur viser et (lidt formindsket billede) af 25 svampekolonier på en petriskål i et afgrænset felt på 10x10 cm. Multiple choice opgaver Der gøres opmærksom på, at ideen med opgaverne er, at der er ét og kun ét rigtigt svar på de enkelte spørgsmål. Endvidere er det ikke givet, at alle de anførte alternative svarmuligheder

Læs mere

Simpel Lineær Regression: Model

Simpel Lineær Regression: Model Simpel Lineær Regression: Model Sidst så vi på simpel lineære regression. Det er en statisisk model på formen y = β 0 + β 1 x + u, hvor fejlledet u, har egenskaben E[u x] = 0. Dette betyder bl.a. E[y x]

Læs mere

Faculty of Health Sciences. Logistisk regression: Kvantitative forklarende variable

Faculty of Health Sciences. Logistisk regression: Kvantitative forklarende variable Faculty of Health Sciences Logistisk regression: Kvantitative forklarende variable Susanne Rosthøj Biostatistisk Afdeling Institut for Folkesundhedsvidenskab Københavns Universitet sr@biostat.ku.dk Sammenhæng

Læs mere

k normalfordelte observationsrækker (ensidet variansanalyse)

k normalfordelte observationsrækker (ensidet variansanalyse) k normalfordelte observationsrækker (ensidet variansanalyse) Lad x ij, i = 1,...,k, j = 1,..., n i, være udfald af stokastiske variable X ij og betragt modellen M 1 : X ij N(µ i, σ 2 ). Estimaterne er

Læs mere

Epidemiologi og Biostatistik

Epidemiologi og Biostatistik Epidemiologi og Biostatistik Kliniske målinger (Kapitel. +.1 + 11.-11 + 1.1-) Introduktion til skilder (varianskomponenter) måleusikkerhed sammenligning af målemetoder Mogens Erlandsen, Institut for Biostatistik

Læs mere

Økonometri lektion 5 Multipel Lineær Regression. Inferens Modelkontrol Prædiktion

Økonometri lektion 5 Multipel Lineær Regression. Inferens Modelkontrol Prædiktion Økonometri lektion 5 Multipel Lineær Regression Inferens Modelkontrol Prædiktion Multipel Lineær Regression Data: Sæt af oservationer (x i, x i,, x ki, y i, i,,n y i er den afhængige variael x i, x i,,

Læs mere

Eksamen i Statistik for biokemikere. Blok

Eksamen i Statistik for biokemikere. Blok Eksamen i Statistik for biokemikere. Blok 2 2007. Vejledende besvarelse 22-01-2007, Niels Richard Hansen Bemærkning: Flere steder er der givet en argumentation (f.eks. baseret på konfidensintervaller)

Læs mere

Tænk på a og b som to n 1 matricer. a 1 a 2 a n. For hvert i = 1,..., n har vi y i = x i β + u i.

Tænk på a og b som to n 1 matricer. a 1 a 2 a n. For hvert i = 1,..., n har vi y i = x i β + u i. Repetition af vektor-regning Økonometri: Lektion 3 Matrix-formulering Fordelingsantagelse Hypotesetest Antag vi har to n-dimensionelle (søjle)vektorer a 1 b 1 a 2 a =. og b = b 2. a n b n Tænk på a og

Læs mere

Basal statistik. 21. oktober 2008

Basal statistik. 21. oktober 2008 Basal statistik 21. oktober 2008 Den generelle lineære model Repetition af variansanalyse og multipel regression Interaktion Parametriseringer Kovariansanalyse Esben Budtz-Jørgensen, Biostatistisk Afdeling

Læs mere

Tema. Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber.

Tema. Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber. Tema Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber. Model og modelkontrol Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse. konfidensintervaller Vi tager udgangspunkt i Ex. 3.1 i

Læs mere

Tema. Model og modelkontrol ( Fx. en normalfordelt obs. række m. kendt varians) Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse.

Tema. Model og modelkontrol ( Fx. en normalfordelt obs. række m. kendt varians) Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse. Tema Model og modelkontrol ( Fx. en normalfordelt obs. række m. kendt varians) Estimation af parametre. Fordeling. (Fx. x. µ) Hypotese og test. Teststørrelse. (Fx. H 0 : µ = µ 0 ) konfidensintervaller

Læs mere

Faculty of Health Sciences. Basal statistik. Den generelle lineære model mv. Lene Theil Skovgaard. 14. marts 2017

Faculty of Health Sciences. Basal statistik. Den generelle lineære model mv. Lene Theil Skovgaard. 14. marts 2017 Faculty of Health Sciences Basal statistik Den generelle lineære model mv. Lene Theil Skovgaard 14. marts 2017 1 / 96 Den generelle lineære model mv. Ikke-lineære sammenhænge Opbygning af modeller Sammenligning

Læs mere

Anvendt Statistik Lektion 9. Variansanalyse (ANOVA)

Anvendt Statistik Lektion 9. Variansanalyse (ANOVA) Anvendt Statistik Lektion 9 Variansanalyse (ANOVA) 1 Undersøge sammenhæng Undersøge sammenhænge mellem kategoriske variable: χ 2 -test i kontingenstabeller Undersøge sammenhæng mellem kontinuerte variable:

Læs mere

Anvendt Statistik Lektion 9. Variansanalyse (ANOVA)

Anvendt Statistik Lektion 9. Variansanalyse (ANOVA) Anvendt Statistik Lektion 9 Variansanalyse (ANOVA) 1 Undersøge sammenhæng Undersøge sammenhænge mellem kategoriske variable: χ 2 -test i kontingenstabeller Undersøge sammenhæng mellem kontinuerte variable:

Læs mere

Vejledende besvarelse af hjemmeopgave

Vejledende besvarelse af hjemmeopgave Vejledende besvarelse af hjemmeopgave Basal statistik, efterår 2013 Udleveret 1. oktober, afleveres senest ved øvelserne i uge 44 (29. oktober-1. november) I forbindelse med en undersøgelse af vitamin

Læs mere

Økonometri: Lektion 2 Multipel Lineær Regression 1/33

Økonometri: Lektion 2 Multipel Lineær Regression 1/33 Økonometri: Lektion 2 Multipel Lineær Regression 1/33 Simpel Lineær Regression: Model Sidst så vi på simpel lineære regression. Det er en statisisk model på formen y = β 0 +β 1 x +u, hvor fejlledet u,

Læs mere

En Introduktion til SAS. Kapitel 5.

En Introduktion til SAS. Kapitel 5. En Introduktion til SAS. Kapitel 5. Inge Henningsen Afdeling for Statistik og Operationsanalyse Københavns Universitet Marts 2005 6. udgave Kapitel 5 T-test og PROC UNIVARIATE 5.1 Indledning Dette kapitel

Læs mere

Statistik Lektion 4. Variansanalyse Modelkontrol

Statistik Lektion 4. Variansanalyse Modelkontrol Statistik Lektion 4 Variansanalyse Modelkontrol Eksempel Spørgsmål: Er der sammenhæng mellem udetemperaturen og forbruget af gas? Y : Forbrug af gas (gas) X : Udetemperatur (temp) Scatterplot SPSS: Estimerede

Læs mere

Løsning til eksamen d.27 Maj 2010

Løsning til eksamen d.27 Maj 2010 DTU informatic 02402 Introduktion til Statistik Løsning til eksamen d.27 Maj 2010 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition, 7th edition]. Opgave I.1

Læs mere

Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo

Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte

Læs mere

Program. Modelkontrol og prædiktion. Multiple sammenligninger. Opgave 5.2: fosforkoncentration

Program. Modelkontrol og prædiktion. Multiple sammenligninger. Opgave 5.2: fosforkoncentration Faculty of Life Sciences Program Modelkontrol og prædiktion Claus Ekstrøm E-mail: ekstrom@life.ku.dk Test af hypotese i ensidet variansanalyse F -tests og F -fordelingen. Multiple sammenligninger. Bonferroni-korrektion

Læs mere

Hypoteser om mere end to stikprøver ANOVA. k stikprøver: (ikke ordinale eller højere) gælder også for k 2! : i j

Hypoteser om mere end to stikprøver ANOVA. k stikprøver: (ikke ordinale eller højere) gælder også for k 2! : i j Hypoteser om mere end to stikprøver ANOVA k stikprøver: (ikke ordinale eller højere) H 0 : 1 2... k gælder også for k 2! H 0ij : i j H 0ij : i j simpelt forslag: k k 1 2 t-tests: i j DUER IKKE! Bonferroni!!

Læs mere

Program. Logistisk regression. Eksempel: pesticider og møl. Odds og odds-ratios (igen)

Program. Logistisk regression. Eksempel: pesticider og møl. Odds og odds-ratios (igen) Faculty of Life Sciences Program Logistisk regression Claus Ekstrøm E-mail: ekstrom@life.ku.dk Odds og odds-ratios igen Logistisk regression Estimation og inferens Modelkontrol Slide 2 Statistisk Dataanalyse

Læs mere

Epidemiologi og Biostatistik Opgaver i Biostatistik Uge 10: 13. april

Epidemiologi og Biostatistik Opgaver i Biostatistik Uge 10: 13. april Århus 8. april 2011 Morten Frydenberg Epidemiologi og Biostatistik Opgaver i Biostatistik Uge 10: 13. april Opgave 1 ( gruppe 1: sp 1-4, gruppe 5: sp 5-9 og gruppe 6: 10-14) I denne opgaveser vi på et

Læs mere

Phd-kursus i Basal Statistik, Opgaver til 2. uge

Phd-kursus i Basal Statistik, Opgaver til 2. uge Phd-kursus i Basal Statistik, Opgaver til 2. uge Opgave 1: Sædkvalitet Filen oeko.txt på hjemmesiden indeholder datamateriale til belysning af forskellen i sædkvalitet mellem SAS-ansatte og mænd, der lever

Læs mere

Økonometri: Lektion 5. Multipel Lineær Regression: Interaktion, log-transformerede data, kategoriske forklarende variable, modelkontrol

Økonometri: Lektion 5. Multipel Lineær Regression: Interaktion, log-transformerede data, kategoriske forklarende variable, modelkontrol Økonometri: Lektion 5 Multipel Lineær Regression: Interaktion, log-transformerede data, kategoriske forklarende variable, modelkontrol 1 / 35 Veksekvirkning: Motivation Vi har set på modeller som Price

Læs mere

Faculty of Health Sciences. Basal Statistik. Begreber. Parrede sammenligninger. Lene Theil Skovgaard. 6. september 2016

Faculty of Health Sciences. Basal Statistik. Begreber. Parrede sammenligninger. Lene Theil Skovgaard. 6. september 2016 Faculty of Health Sciences Basal Statistik Begreber. Parrede sammenligninger. Lene Theil Skovgaard 6. september 2016 1 / 88 APPENDIX Programbidder svarende til diverse slides: Indlæsning af vitamin D datasæt,

Læs mere

Simpel Lineær Regression

Simpel Lineær Regression Simpel Lineær Regression Mål: Forklare variablen y vha. variablen x. Fx forklare Salg (y) vha. Reklamebudget (x). Vi antager at sammenhængen mellem y og x er beskrevet ved y = β 0 + β 1 x + u. y: Afhængige

Læs mere

Basal Statistik - SPSS

Basal Statistik - SPSS Faculty of Health Sciences Basal Statistik - SPSS Kovariansanalyse. Lene Theil Skovgaard 3. oktober 2017 1 / 12 APPENDIX med instruktioner til SPSS-analyse svarende til nogle af slides Bland-Altman plot,

Læs mere

Oversigt. 1 Motiverende eksempel: Højde-vægt. 2 Lineær regressionsmodel. 3 Mindste kvadraters metode (least squares)

Oversigt. 1 Motiverende eksempel: Højde-vægt. 2 Lineær regressionsmodel. 3 Mindste kvadraters metode (least squares) Kursus 02402/02323 Introducerende Statistik Forelæsning 8: Simpel lineær regression Oversigt Motiverende eksempel: Højde-vægt 2 Lineær regressionsmodel 3 Mindste kvadraters metode (least squares) Klaus

Læs mere

enote 5: Simpel lineær regressions analyse Kursus 02402/02323 Introducerende Statistik Oversigt

enote 5: Simpel lineær regressions analyse Kursus 02402/02323 Introducerende Statistik Oversigt enote 5: Simpel lineær regressions analse Kursus 02402/02323 Introducerende Statistik Forelæsning 8: Simpel lineær regression To variable: og Beregn mindstekvadraters estimat af ret linje Inferens med

Læs mere

Dagens Emner. Likelihood-metoden. MLE - fortsat MLE. Likelihood teori. Lineær regression (intro) Vi har, at

Dagens Emner. Likelihood-metoden. MLE - fortsat MLE. Likelihood teori. Lineær regression (intro) Vi har, at Likelihood teori Lineær regression (intro) Dagens Emner Likelihood-metoden M : X i N(µ,σ 2 ) hvor µ og σ 2 er ukendte Vi har, at L(µ,σ 2 1 ) = ( 2πσ 2)n/2 e 1 2 P n (xi µ)2 er tætheden som funktion af

Læs mere

Konfidensintervaller og Hypotesetest

Konfidensintervaller og Hypotesetest Konfidensintervaller og Hypotesetest Konfidensinterval for andele χ -fordelingen og konfidensinterval for variansen Hypoteseteori Hypotesetest af middelværdi, varians og andele Repetition fra sidst: Konfidensintervaller

Læs mere

Statistik II 4. Lektion. Logistisk regression

Statistik II 4. Lektion. Logistisk regression Statistik II 4. Lektion Logistisk regression Logistisk regression: Motivation Generelt setup: Dikotom(binær) afhængig variabel Kontinuerte og kategoriske forklarende variable (som i lineær reg.) Eksempel:

Læs mere

Vejledende besvarelse af hjemmeopgave, forår 2017

Vejledende besvarelse af hjemmeopgave, forår 2017 Vejledende besvarelse af hjemmeopgave, forår 2017 På hjemmesiden http://publicifsv.sund.ku.dk/~lts/basal17_1/hjemmeopgave/hjemmeopgave.txt ligger data fra 400 fødende kvinder. Der er tale om et uddrag

Læs mere

Module 4: Ensidig variansanalyse

Module 4: Ensidig variansanalyse Module 4: Ensidig variansanalyse 4.1 Analyse af én stikprøve................. 1 4.1.1 Estimation.................... 3 4.1.2 Modelkontrol................... 4 4.1.3 Hypotesetest................... 6 4.2

Læs mere

Nanostatistik: Lineær regression

Nanostatistik: Lineær regression Nanostatistik: Lineær regression JLJ Nanostatistik: Lineær regression p. 1/41 Sammenhænge Funktionssammenhæng: y er en funktion af x. Ex: Hvis jeg kender afstanden mellem to galakser så kender jeg også

Læs mere

Et eksempel på en todimensional normalfordeling Anders Milhøj September 2006

Et eksempel på en todimensional normalfordeling Anders Milhøj September 2006 Et eksempel på en todimensional normalfordeling Anders Milhøj September 006 I dette notat gennemgås et eksempel, der illustrerer den todimensionale normalfordelings egenskaber. Notatet lægger sig op af

Læs mere

Kursus 02402/02323 Introducerende Statistik

Kursus 02402/02323 Introducerende Statistik Kursus 02402/02323 Introducerende Statistik Forelæsning 8: Simpel lineær regression Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark

Læs mere

Økonometri: Lektion 6 Emne: Heteroskedasticitet

Økonometri: Lektion 6 Emne: Heteroskedasticitet Økonometri: Lektion 6 Emne: Heteroskedasticitet 1 / 32 Konsekvenser af Heteroskedasticitet Antag her (og i resten) at MLR.1 til MLR.4 er opfyldt. Antag MLR.5 ikke er opfyldt, dvs. vi har heteroskedastiske

Læs mere

(studienummer) (underskrift) (bord nr)

(studienummer) (underskrift) (bord nr) Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 18 sider. Skriftlig prøve: 14. december 2009 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, 02402 Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af (studienummer)

Læs mere

Opgave 1 Betragt to diskrete stokastiske variable X og Y. Antag at sandsynlighedsfunktionen p X for X er givet ved

Opgave 1 Betragt to diskrete stokastiske variable X og Y. Antag at sandsynlighedsfunktionen p X for X er givet ved Matematisk Modellering 1 (reeksamen) Side 1 Opgave 1 Betragt to diskrete stokastiske variable X og Y. Antag at sandsynlighedsfunktionen p X for X er givet ved { 1 hvis x {1, 2, 3}, p X (x) = 3 0 ellers,

Læs mere

Faculty of Health Sciences. Basal statistik. Lille SAS Manual. Lene Theil Skovgaard. 31. januar 2017

Faculty of Health Sciences. Basal statistik. Lille SAS Manual. Lene Theil Skovgaard. 31. januar 2017 Faculty of Health Sciences Basal statistik Lille SAS Manual Lene Theil Skovgaard 31. januar 2017 1 / 42 Selve sproget Siderne 9-18 Indlæsning (9-12) Definition af nye variable (13) Missing values / Manglende

Læs mere

Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder

Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 19, 2016 1/26 Kursusindhold: Sandsynlighedsregning og lagerstyring

Læs mere

Program. 1. Varianskomponent-modeller (Random Effects) 2. Transformation af data. 1/12

Program. 1. Varianskomponent-modeller (Random Effects) 2. Transformation af data. 1/12 Program 1. Varianskomponent-modeller (Random Effects) 2. Transformation af data. 1/12 Dæktyper og brændstofforbrug Data fra opgave 10.43, side 360: cars 1 2 3 4 5... radial 4.2 4.7 6.6 7.0 6.7... belt

Læs mere

Økonometri: Lektion 7 Emne: Prædiktionsintervaller, RESET teset, proxy variable og manglende data.

Økonometri: Lektion 7 Emne: Prædiktionsintervaller, RESET teset, proxy variable og manglende data. Økonometri: Lektion 7 Emne: Prædiktionsintervaller, RESET teset, proxy variable og manglende data. 1 / 32 Motivation Eksempel: Savings = β 0 + β 1 Income + u Vi ved allerede, hvordan vi estimerer regresseionlinjen:

Læs mere

Opgaver til ZAR II. Afdeling for Anvendt Matematik og Statistik Michael Sørensen Oktober Opgave 1

Opgaver til ZAR II. Afdeling for Anvendt Matematik og Statistik Michael Sørensen Oktober Opgave 1 Københavns Universitet Afdeling for Anvendt Matematik og Statistik Statistik for biokemikere Inge Henningsen Michael Sørensen Oktober 2003 Opgaver til ZAR II Opgave 1 Et datasæt består af 20 observationer.

Læs mere

Korrelation Pearson korrelationen

Korrelation Pearson korrelationen -9- Eidemiologi og biostatistik. Forelæsning Uge, torsdag. Niels Trolle Andersen, Afdelingen for Biostatistik. Korrelation Kliniske målinger - Kliniske målinger og variationskilder - Estimation af størrelsen

Læs mere