GEOMETRI-TØ, UGE 12. A σ (R) = A f σ (f(r))
|
|
- Cecilie Vestergaard
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 GEOMETRI-TØ, UGE 12 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imfaudk Opvarmningsopgave 1, [P] 632 Vis at Ennepers flade σ(u, v) = ( u u 3 /3 + uv 2, v v 3 /3 + vu 2, u 2 v 2), hvor u, v ( 3 2, 3 2 ) er konformt parametriseret Bevis Først og fremmest kan vi som altid få, at parametriseringen rent faktisk er en lokal parametrisering ved at vise de skridt, der nu skal vises (bemærk at σ ikke er injektiv på R 2 ) Ifølge kommentaren efter Korollar 634 er det nok at vise, at første fundamentalform er på formen λ(u, v)(du 2 + dv 2 ) for λ glat Vi finder, at σ u = (1 u 2 + v 2, 2vu, 2u), σ v = (2uv, 1 v 2 + u 2, 2v) E = (1 3u 2 + v 2 ) 2 + 4v 2 u 2 + 4u 2 = 1 2u 2 + u 4 + 2v 2 2u 2 v 2 + v 4 + 4v 2 u 2 + 4u 2 = 1 + 2u 2 + u 4 + 2v 2 + 2u 2 v 2 + v 4, F = 2uv 2u 3 v + 2uv 3 + 2vu 2v 3 u + 2vu 3 4uv = 0, G = 2u 2 v 2 + (1 v 2 + u 2 ) 2 + 4v 2 = 4u 2 v u 2 + u 4 2v 2 2u 2 v 2 + v 4 + 4v 2 = E, som ønsket Opvarmningsopgave 2, [P] 646 Bevis sætning 645: En lokal diffeomorfi f : S 1 S 2 er ækviareal, hvis og kun hvis der for alle fladelapper σ på S 1 og f σ på S 2 gælder E 1 G 1 F 2 1 = E 2 G 2 F 2 2 Bevis Hvis ligningen holder, følger resultatet af definitionen på areal, ˆ A σ (R) = σ u σ v dudv R da Proposition 642 fortæller os, at σ u σ v = E 1 G 1 F 2 1 Hvis omvendt f er ækviareal, er for alle R Dermed kan vi konkludere, at A σ (R) = A f σ (f(r)) σ u σ v = (f σ) u (f σ) v, for hvis de to er forskellige, er de forskellige i en lille omegn, vi dermed kan integrere over og få en modstrid med arealligheden Dermed har vi, at E 1 G 1 F1 2 = E 2 G 2 F2 2 Opvarmningsopgave 3, [P] 711 Udregn anden fundamentalform for den elliptiske paraboloide Bevis Vi regner og finder, at σ(u, v) = (u, v, u 2 + v 2 ) σ u = (1, 0, 2u), σ v = (0, 1, 2v), N = σ u σ v ( 2u, 2v, 1) = σ u σ v 4u2 + 4v 2 + 1, σ uu = (0, 0, 2), σ uv = (0, 0, 0), σ vv = (0, 0, 2), 2 L = σ uu N = 4u2 + 4v 2 + 1, M = σ uv N = 0, N = σ vv N = L 1
2 2 GEOMETRI-TØ, UGE 12 [P] 634 Lad Φ : U V være en diffeomorfi mellem åbne delmængder af R 2 og skriv Φ(u, v) = (f(u, v), g(u, v)), hvor f og g er glatte funktioner i u-v-planen Vis at Φ er konform, hvis og kun hvis, der enten gælder f u = g v, f v = g u, eller f u = g v og f v = g u Vis at det JΦ > 0 i første tilfælde og det JΦ < 0 i det andet Bevis Følgende bevis er inspireret af, at ligningerne blot er Cauchy Riemanns differentialligninger Det første tilfælde svarer præcis til, at Φ er holomorf (og det andet til, at Φ er anti-holmorf ) Ifølge Korollar 634 er Φ konform, hvis og kun hvis den første fundamentalform skalerer under anvendelse af Φ Husk at første fundamentalform for planen er E = 1, F = 0, G = 1 De tilsvarende bliver under Φ til E Φ = (f u, g u ), (f u, g u ) = fu 2 + gu, 2 F Φ = f u g u + f v g v, G Φ = fv 2 + gv 2 Her står, at Φ er konform, hvis og kun hvis fu 2 + gu 2 = fv 2 + gv 2 og f u g u + f v g v = 0 Heraf følger, at hvis et af de to sæt ligninger er opfyldt, er Φ konform Betragt nu z u = f u + ig u, z v = f v + ig v Udtrykt i termer af disse bliver ovenstående ligninger til z u z u = z v z v og z u z v = z u z v Hvis z u 0 og z v 0, har vi z v z v /z u = z u z v /z v, hvilket giver, at zu 2 = zv 2 Det betyder, at z u = ±iz v Tilfældet + giver, at f u + ig u = if v g v og tilfældet, at f u + ig u = if v + g v Ved at tage real- hhv imaginærdel i de to ligninger fås de to ønskede tilfælde Hvis enten z u eller z v er 0, er den anden det også Specielt er f u = f v = g u = g u = 0, og ligningerne er opfyldt Jacobianten af Φ er det JΦ = det v = f u g v f v g u I det første tilfælde står her f 2 u + g 2 u og i det andet tilfælde g 2 v f 2 v Resultatet følger g u Bevis #2 Her er et meget bedre bevis: Lad J være Jacobimatricen for Φ Så har vi for to uger siden set, at 1 0 λ = J t 1 0 J = J t J, hvis og kun hvis Φ er konform, idet vi i første lighed som ovenfor bruger, at dette er ækvivalent 1 med, at første fundamentalform skalerer ved brug af Φ Her står, at λ J er en ortogonalmatrix Hvis det J > 0, betyder det, at der findes et θ, så cos θ sin θ = 1 v sin θ cos θ λ g u g v Påstanden i opgaven følger direkte I tilfældet det J < 0, findes θ så cos θ sin θ = 1 v, sin θ cos θ λ g u g v som igen giver det ønskede [P] 511 (i) Vis at x 2 + y 2 + z 4 = 1 er en glat flade Bevis Mængden er nulpunktsmængden for funktionen f : R 3 R givet ved Gradienten af denne funktion er g v f(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 4 1 f = (2x, 2y, 4z 3 ), som ses kun at være nul, hvis (x, y, z) = 0 Specielt er dette aldrig tilfældet på fladen selv, og den er glat if Sætning 511 [P] 721 Udregn Gaussafbildningen G af paraboloiden S givet ved z = x 2 + y 2 Hvad er billedet af G?
3 GEOMETRI-TØ, UGE 12 3 Bevis Denne opgave har vi allerede løst som del af ugeseddelopgave 2 på ugeseddel 10 Her fandt vi, at G(u, v) = N σ (u, v) = ( 2u, 2v, 1) 4u2 + 4v 2 + 1, og at billedet af G præcis er den åbne øvre halvdel af sfæren [P] 714 Hvordan ændrer anden fundamentalform sig ved en isometri af R 3? Eller en dilation? Bevis Betragt σ = Rσ + a Som tidligere finder vi, at σ u = Rσ u, σ v = Rσ v, σ uu = Rσ uu, σ uv = Rσ uv, σ vv = Rσ vv, Ñ = ±RN, hvor fortegnet er det(r) Det følger, at L = ±L, M = ±M, Ñ = ±N Antag nu, at σ = aσ, a R \ {0} Da vil alle afledte også blot skaleres med faktoren a, mens N forbliver uændret Altså vil alle koefficienterne i anden fundamentalform også skalere med en faktor a [P] 713 Lad σ(ũ, ṽ) være en reparametrisering af σ(u, v) med (u, v) = Φ(ũ, ṽ) Bevis, at L M M Ñ = ±J t L M J, M N hvor J er Jacobimatricen for Φ, og fortegnet afhænger af fortegnet af det(j) Udled af den tilsvarende opgave om første fundamentalformer, at anden fundamentalform er uændret under en orienteringsbevarende reparametrisering Bevis Lad os bare tjekke resultatet for L Husk at vi sidste gang så, at ( 1 σũ = Dσ J = 0) u σ u + ( u σ v, J = Ved at differentiere disse produkter mht ũ får vi, at σũũ = 2 u 2 σ u + u σ u + 2 v 2 σ v + σ v = 2 u 2 σ u + u ( u u σ u + ) σ u + 2 v 2 σ v + ( u u σ v + ) σ v 2 2 = 2 u 2 σ u + 2 v u 2 σ v + σ uu + σ vv + 2 u σ uv u ṽ ṽ Fra formlen nederst side 84 får vi, at Ñ = σ ũ σṽ σũ σṽ = det J σ u σ v = sign(det J)N det J σ u σ v Specielt ved vi hermed, at σ u, Ñ = σ v, Ñ = 0 Heraf kan vi konkludere, at 2 2 u L = σũũ, Ñ = σ uu, Ñ + σ vv, Ñ + 2 u σ uv, Ñ ( ( u ) 2 ) 2 = sign(det J) L + N + 2 u M Lignende formler kan findes for M og Ñ og ved indsættelse ser man, at matrixligningen stemmer For at se sidste påstand i opgaven, oversætter vi først problemet til lineær algebra Hvis b er en basis for T p S med tilhørende koefficienter til anden fundamentalform L b, M b, N b, og v = (v 1, v 2 ) b er w = (w 1, w 2 ) b er elementer i T p S opskrevet i basen b, så er t v1 Lb M v, w = b w1 v 2 M b N b w 2 )
4 4 GEOMETRI-TØ, UGE 12 ) (ṽ1 Lad i forbindelse med vores opgave = J 1 v1 (og tilsvarende for w) være koefficienterne ṽ 2 for en vektor i hver af de to baser, relateret ved basisskiftmatricen J Da er [ ] t [ ] [ ] v, w = J 1 v1 J t L M J J 1 w1 v 2 M N w 2 t v1 L M w1 = = v, w v 2 M N w 2 [P] 562 Bevis sætning 151 og dens analog for niveaukurver i R 3 (opgave 152) Denne siger følgende: Lad f(x, y) være en glat funktion Antag at for ethvert punkt på niveaukurven v 2 C = {(x, y) R 2 f(x, y) = 0} gælder, at ikke både f/ x og f/ y er 0 Hvis p = (x 0, y 0 ) er et punkt på C med koordinater, da findes en regulær parametriseret kurve γ(t) defineret på en åben omegn af 0, så γ(0) = p, og γ(t) C for alle t Opgave 152 siger følgende: Find på et lignende udsagn for niveaukurver i R 3 givet ved f(x, y, z) = g(x, y, z) = 0 Bevis Vi følger idéen fra beviset for sætning 511, der står på side 118 Lad os antage, at f/ y 0 i p (det andet tilfælde er analogt) og definer afbildningen F : W R 2 ved F (x, y) = (x, f(x, y)), hvor W er definitionsområdet for f Da er F glat og har Jacobimatrix 1 0 JF =, f x som er invertibel i p, da vi havde antaget, at f y 0 Da findes if invers funktion-sætningen en åben omegn V i R 2 omkring F (x 0, y 0 ) = (x 0, f(x 0, y 0 )) = (x 0, 0) og en glat afbildning G : V W, så W = G(V ) er åben og F : W V og G : V W er hinandens inverse Da V er åben findes et åbne intervaller I 1 og I 2, så x 0 I 1, 0 I 2 og I 1 I 2 V, og vi kan lige så godt antage, at V = I 1 I 2 Der findes nu en glat afbildning g : I 1 I 2 R, så og pr konstruktion gælder f y G(x, w) = (x, g(x, w)), (x, w) = F (G(x, w)) = F (x, g(x, w)) = (x, f(x, g(x, w))), så specielt er f(x, g(x, w)) = w for alle x I 1, w I 2 Definer nu γ : I 1 R 2 ved Da er γ(x) W og så γ(x) C og γ(x) = (x, g(x, 0)) = G(x, 0) f(γ(x)) = f(g(x, 0)) = f(x, g(x, 0)) = 0, γ(x 0 ) = G(x 0, 0) = F 1 (x 0, 0) = (x 0, y 0 ) Det er klart, at γ er glat, den er injektiv med invers (x, y) x, og den er regulær, da γ (x) = (1, g x (x, 0)) aldrig er 0 Egentlig kræver opgaven, at γ(0) = p, hvilket vi kan opnå ved i stedet at betragte I = I 1 x 0 og definere γ(t) = γ(t + x 0 ) på I Påstanden for det 3-dimensionale tilfælde bliver følgende: Lad C = {(x, y, z) R 3 f(x, y, z) = g(x, y, z) = 0} og lad p = (x 0, y 0, z 0 ) C Antag at matricen (fy g y f z g z )
5 GEOMETRI-TØ, UGE 12 5 er invertibel (lignende udsagn kunne konstrueres for (x, y) og (x, z)) Da findes en åben omegn I omkring x 0 og en regulær kurve γ : I C, så γ(x 0 ) = p Antag, at f og g begge er defineret på en åben mængde W og definer funktionen F : W R 3 ved F (x, y, z) = (x, f(x, y, z), g(x, y, z)) Vores antagelse er sat op, så Jacobimatricen f x f y f z g x g y g z er invertibel Invers funktion-sætningen giver os da en invers G : V W til F Lad g 1 og g 2 være de glatte funktioner, så Nu gælder (1) G(x, y, z) = (x, g 1 (x, y, z), g 2 (x, y, z)) (x, y, z) = F (G(x, y, z)) = F (x, g 1 (x, y, z), g 2 (x, y, z)) = (x, f(x, g 1 (x, y, z), g 2 (x, y, z)), g(x, g 1 (x, y, z), g 2 (x, y, z))) Definer kurven γ på et passende interval om x 0 ved Fra (1) får vi nu, at γ(x) = (x, g 1 (x, 0, 0), g 2 (x, 0, 0)) = G(x, 0, 0) (x, f γ(x), g γ(x)) = (x, 0, 0), så γ(x) C for alle x Da F (x 0, y 0, z 0 ) = (x 0, 0, 0) får vi endelig, at γ(x 0 ) = G(x 0, 0, 0) = F 1 (x 0, 0, 0) = (x 0, y 0, z 0 ) som ønsket Bemærk endelig, at γ er regulær pr konstruktion
8 Regulære flader i R 3
8 Regulære flader i R 3 Vi skal betragte særligt pæne delmængder S R 3 kaldet flader. I det følgende opfattes S som et topologisk rum i sportopologien, se Definition 5.9. En åben omegn U af p S er således
Læs mereOm første og anden fundamentalform
Geometri, foråret 2005 Jørgen Larsen 9. marts 2005 Om første og anden fundamentalform 1 Tangentrummet; første fundamentalform Vi betragter en flade S parametriseret med σ. Lad P = σu 0, v 0 være et punkt
Læs mereGEOMETRI-TØ, UGE 11. Opvarmningsopgave 2, [P] 6.1.1 (i,ii,iv). Udregn første fundamentalform af følgende flader
GEOMETRI-TØ, UGE Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imf.au.dk. Opvarmningsopgave, [P] 5... Find parametriseringer af de kvadratiske flader
Læs mereGEOMETRI-TØ, UGE 8. X = U xi = {x i } = {x 1,..., x n }, U α, U α = α. (X \ U α )
GEOMETRI-TØ, UGE 8 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imf.au.dk. Opvarmningsopgave 1. Lad X være en mængde og T familien af alle delmængder
Læs mereGEOMETRI-TØ, UGE 3. og resultatet følger fra [P] Proposition 2.3.1, der siger, at
GEOMETRI-TØ, UGE 3 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imf.au.dk. Opvarmningsopgave 1. Lad γ : (α, β) R 2 være en regulær kurve i planen.
Læs mereGEOMETRI-TØ, UGE 6. . x 1 x 1. = x 1 x 2. x 2. k f
GEOMETRI-TØ, UGE 6 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imfaudk Opvarmningsopgave 1 Lad f : R 2 R være tre gange kontinuert differentierbar
Læs mereMinimalflader i R 3 : Weierstrassrepræsentation og Costas flade
Minimalflader i R 3 : Weierstrassrepræsentation og Costas flade 9. juni 0, Aarhus Bachelorprojekt af Mikkel Stouby Petersen, 009877 Vejleder: Lektor Andrew Swann AARHUS AU UNIVERSITET INSTITUT FOR MATEMATIK
Læs mereVektorfelter langs kurver
enote 25 1 enote 25 Vektorfelter langs kurver I enote 24 dyrkes de indledende overvejelser om vektorfelter. I denne enote vil vi se på vektorfelternes værdier langs kurver og benytte metoder fra enote
Læs mereMASO Uge 8. Invers funktion sætning og Implicit given funktion sætning. Jesper Michael Møller. Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 8 Invers funktion sætning og Implicit given funktion sætning Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 43 Formålet med MASO Oversigt Invertible og lokalt invertible
Læs mereDesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof
DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P
Læs mereTaylors formel. Kapitel Klassiske sætninger i en dimension
Kapitel 3 Taylors formel 3.1 Klassiske sætninger i en dimension Sætning 3.1 (Rolles sætning) Lad f : [a, b] R være kontinuert, og antag at f er differentiabel i det åbne interval (a, b). Hvis f (a) = f
Læs merez 1 = z 1z 1z 1 z 1 2 = z z2z 1 z 2 2
M å l e p u n k t R i e m a n n s k G e o m e t r i E 8 J a ko b L i n d b l a d B l a ava n d 2 5 3 6 7 5 27 oktober 28 I n s t i t u t fo r M at e m at i s k e Fag A a r h u s U n i v e r s i t e t indledning
Læs mereNoter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.
Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra
Læs mereDESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til.
DESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL 13 INSTITUT FOR MATEMATIK 1. Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til. 2. Aktiviteter mandag 13 17 2.1.
Læs mereIdenne note giver vi et eksempel på, hvorledes det er vigtigt at holde sig
Analyse : Eulers formel Sebastian rsted 9. maj 015 Idenne note giver vi et eksempel på, hvorledes det er vigtigt at holde sig for øje, hvor de matematiske resultater kommer fra, og hvad de baseres på;
Læs mereKortprojektioner L mm Længde og vinkelmåling på flader. Konforme og arealtro kort.
Kortprojektioner L4 2016 3.mm Længde og vinkelmåling på flader. Konforme og arealtro kort. Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet L4 maj 2016 Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner
Læs mereLineær Algebra - Beviser
Lineær Algebra - Beviser Mads Friis 8 oktober 213 1 Lineære afbildninger Jeg vil i denne note forsøge at give et indblik i, hvor kraftfuldt et værktøj matrix-algebra kan være i analyse af lineære funktioner
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 5 Morten Grud Rasmussen 19. september, 2013 1 Euler-Cauchy-ligninger [Bogens afsnit 2.5, side 71] 1.1 De tre typer af Euler-Cauchy-ligninger Efter at
Læs mereAndengradsligninger i to og tre variable
enote 0 enote 0 Andengradsligninger i to og tre variable I denne enote vil vi igen beskæftige os med andengradspolynomierne i to og tre variable som også er behandlet og undersøgt med forskellige teknikker
Læs mereSTEEN MARKVORSEN DTU COMPUTE 2016
STEEN MARKVORSEN DTU COMPUTE 2016 2 Indhold 1 Regulære flader i rummet 5 1.1 Det sædvanlige koordinatsystem i rummet..................... 5 1.2 Graf-flader for funktioner af to variable......................
Læs mereBevægelsens Geometri
Bevægelsens Geometri Vi vil betragte bevægelsen af et punkt. Dette punkt kan f.eks. være tyngdepunktet af en flue, et menneske, et molekyle, en galakse eller hvad man nu ellers har lyst til at beskrive.
Læs mereKurver og flader i geometri, arkitektur og design 23. lektion
Kurver og flader i geometri, arkitektur og design 23. lektion Department of Mathematical Sciences Aalborg University Denmark 9.5.2011 Normal- og hovedkrumninger i et fladepunkt Normalkrumningen k = k n
Læs mereLineær Algebra F08, MØ
Lineær Algebra F08, MØ Vejledende besvarelser af udvalgte opgaver fra Ugeseddel 3 og 4 Ansvarsfraskrivelse: Den følgende vejledning er kun vejledende. Opgaverne kommer i vilkårlig rækkefølge. Visse steder
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen Juni 2017
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 12. Juni 2017 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereImplicit givne og inverse funktioner
Implicit givne og inverse funktioner Morten Grud Rasmussen 1 11. april 2016 1 Implicit givne funktioner I lineær algebra har vi lært meget om at løse lineære ligningsystemer og om strukturen af løsningsmængden.
Læs mereMatematik F2 Opgavesæt 2
Opgaver uge 2 I denne uge kigger vi nærmere på Cauchy-Riemann betingelserne, potensrækker, konvergenskriterier og flertydige funktioner. Vi skal også se på integration langs en ve i den komplekse plan.
Læs mere3.1 Baser og dimension
SEKTION 3 BASER OG DIMENSION 3 Baser og dimension Definition 3 Lad V være et F-vektorrum Hvis V = {0}, så har V dimension 0 2 Hvis V har en basis bestående af n vektorer, så har V dimension n 3 Hvis V
Læs mereAsymptotisk testteori
Kapitel 8 Asymptotisk testteori Vi vil nu beskæftige os med den asymptotiske teori for estimation under pæne hypoteser og for test af disse hypoteser. Vi skal især undersøge det forhold at hvis den fulde
Læs mereDifferentialregning i R k
Differentialregning i R k Lad U R k være åben, og lad h : U R m være differentiabel. Den afledte i et punkt x U er Dh(x) = h 1 (x) x 1 h 2 (x) x 1. h m (x) x 1 h 1 (x) x 2... h 2 (x) x 2.... h m (x) x
Læs mereGeometriske grundbegreber 8. lektion
1 / 14 Geometriske grundbegreber 8. lektion Martin Raussen Institut for matematiske fag Aalborg Universitet 1.4.2008 2 / 14 (Regulære) parameterfremstillinger for en flade Eksempler Kurver på flader og
Læs mereAntag at. 1) f : R k R m er differentiabel i x, 2) g : R m R p er differentiabel i y = f(x), . p.1/18
Differentialregning i R k Kæderegel Lad U R k være åben, og lad h : U R m være differentiabel Antag at Den afledte i et punkt x U er Dh(x) = 1) f : R k R m er differentiabel i x, 2) g : R m R p er differentiabel
Læs mereDefinition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.
Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers
Læs mereNøgleord og begreber. Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.
Oversigt [LA] 3, 4, 5 Matrix multiplikation Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse
Læs mere4.1 Lineære Transformationer
SEKTION 41 LINEÆRE TRANSFORMATIONER 41 Lineære Transformationer Definition 411 ([L], s 175) Lad V, W være F-vektorrum En lineær transformation L : V W er en afbildning, som respekterer lineær struktur,
Læs mere= λ([ x, y)) + λ((y, x]) = ( y ( x)) + (x y) = 2(x y).
Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 17. og 20. september 2013 Supplerende opgave 1 Lad λ være Lebesgue-målet på R og lad A B(R). Definér en funktion f : [0, ) R ved f(x) = λ(a [ x, x]). Vis, at f(x)
Læs mereEKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET.. Beregn den retningsafledede D u f(0, 0).
EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x, y) = x cos(y) + y sin(x). ) Angiv gradienten f. 2) Lad u betegne
Læs mereMASO Uge 7. Differentiable funktioner. Jesper Michael Møller. Uge 7. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 7 Differentiable funktioner Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 7 Formålet med MASO Oversigt Differentiable funktioner R n R m Differentiable funktioner
Læs mereMatematik 1 Semesteruge 5 6 (30. september oktober 2002) side 1. Komplekse tal Arbejdsplan
Matematik Semesteruge 5 6 (30. september -. oktober 2002) side Komplekse tal Arbejdsplan I semesterugerne 5 og 6 erstattes den regulære undervisning (forelæsninger og fællestimer) af selvstudium med opgaveregning
Læs mere(Prøve)Eksamen i Calculus
(Prøve)Eksamen i Calculus Sæt 1, april 2011 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende (prøve)eksamenssæt består af 7 nummererede sider
Læs mereOversigt [LA] 3, 4, 5
Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers
Læs mereSupplement til Matematik 1GB. Jan Philip Solovej
Supplement til Matematik 1GB Jan Philip Solovej ii c 2001 Jan Philip Solovej, Institut for Matematiske Fag, Københavns Universitet. Alle har tilladelse til at reproducere hele eller dele af dette materiale
Læs mere6.1 Reelle Indre Produkter
SEKTION 6.1 REELLE INDRE PRODUKTER 6.1 Reelle Indre Produkter Definition 6.1.1 Et indre produkt på et reelt vektorrum V er en funktion, : V V R således at, for alle x, y V, I x, x 0 med lighed x = 0, II
Læs mereLineær Algebra, TØ, hold MA3
Lineær Algebra, TØ, hold MA3 Lad mig allerførst (igen) bemærke at et vi siger: En matrix, matricen, matricer, matricerne. Og i sammensætninger: matrix- fx matrixmultiplikation. Injektivitet og surjektivitet
Læs mereEksamen i Mat F, april 2006
Eksamen i Mat F, april 26 Opgave 1 Lad F være et vektorfelt, givet i retvinklede koordinater som: F x x F = F x i + F y j + F z k = F y = 2z F z y Udregn F og F: F = F x + F y + F z = 1 + +. F = F z F
Læs mereDanske besvarelser af udvalgte opgaver.
IMFUFA, INM Carsten Lunde Petersen Danske besvarelser af udvalgte opgaver. Introduction Forslag til besvarelse af udvalgte opgaver. Opgave 7.9: Vis, at en ikke plan glat kurve α : I R 3 i rummet forløber
Læs mereEksamen 2014/2015 Mål- og integralteori
Eksamen 4/5 Mål- og integralteori Københavns Universitet Institut for Matematiske Fag Formalia Eksamensopgaven består af 4 opgaver med ialt spørgsmål Ved bedømmelsen indgår de spørgsmål med samme vægt
Læs mereDesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof
DesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof Preben Alsholm Efterår 008 01 Lineært ligningssystem Lineært ligningssystem Et lineært ligningssystem: a 11 x 1 + a 1 x + + a 1n x n = b 1 a 1 x 1 + a x + +
Læs merex 2 + y 2 dx dy. f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) + 2 1) Angiv en ligning for tangentplanen til fladen z = f(x, y) i punktet
Eksamensopgaver fra Matematik Alfa 1 Naturvidenskabelig Kandidateksamen August 1999. Matematik Alfa 1 Opgave 1. Udregn integralet 1 1 y 2 (Vink: skift til polære koordinater.) Opgave 2. Betragt funktionen
Læs mereHilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum
Chapter 3 Hilbert rum 3.1 Indre produkt rum I det følgende skal vi gøre brug af komplekse såvel som reelle vektorrum. Idet L betegner enten R eller C minder vi om, at et vektorrum over L er en mængde E
Læs mereDen todimensionale normalfordeling
Den todimensionale normalfordeling Definition En todimensional stokastisk variabel X Y siges at være todimensional normalfordelt med parametrene µ µ og når den simultane tæthedsfunktion for X Y kan skrives
Læs mereSætning (Kædereglen) For f(u), u = g(x) differentiable er den sammensatte funktion F = f g differentiabel med
Oversigt [S] 3.5, 11.5 Nøgleord og begreber Kædereglen i en variabel Kædereglen to variable Test kædereglen Kædereglen i tre eller flere variable Jacobimatricen Kædereglen på matrixform Test matrixform
Læs mereTeoretiske Øvelsesopgaver:
Teoretiske Øvelsesopgaver: TØ-Opgave 1 Subtraktion division i legemer: Er subtraktion division med elementer 0 i legemer veldefinerede, eller kan et element b have mere end ét modsat element -b eller mere
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen Juni 2018
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 5. Juni 28 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereMatematik 1 Semesteruge 5 6 (1. oktober oktober 2001) side 1 Komplekse tal Arbejdsplan
Matematik 1 Semesteruge 5 6 (1. oktober - 12. oktober 2001) side 1 Komplekse tal Arbejdsplan I semesterugerne 5 og 6 erstattes den regulære undervisning (forelæsninger og fællestimer) af selvstudium med
Læs mere1 Om funktioner. 1.1 Hvad er en funktion?
1 Om funktioner 1.1 Hvad er en funktion? Man lærer allerede om funktioner i folkeskolen, hvor funktioner typisk bliver introduceret som maskiner, der tager et tal ind, og spytter et tal ud. Dette er også
Læs mereTrykfejlsliste - alle fejl Asymptotisk teori
9. januar 2005 Stat 2A / EH Trykfejlsliste - alle fejl Asymptotisk teori Denne liste indeholder alle de regulære fejl, slåfejl og stavefejl der er fundet i 2A-noterne indtil nu. 9 1 Forkert: x C x ro alle
Læs mereKurver og flader Aktivitet 15 Geodætiske kurver, Isometri, Mainardi-Codazzi, Teorema Egregium
Kurver og flader Aktivitet 15 Geodætiske kurver, Isometri, Mainardi-Codazzi, Teorema Egregium Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Kurver og Flader 2013 Lisbeth Fajstrup (AAU)
Læs mereIntegration m.h.t. mål med tæthed
Integration m.h.t. mål med tæthed Sætning (EH 11.7) Lad ν = f µ på (X, E). For alle g M + (X, E) gælder at gdν = g f dµ. Bevis: Standardbeviset: 1) indikatorfunktioner 2) simple funktioner 3) M + -funktioner.
Læs mereKompleks Funktionsteori
Kompleks Funktionsteori Formelræs Holomorfe funktioner Sætning. (Caucy-Riemans ligninger). Funktionen f : G C, f = u+iv er holomorf i z 0 = x 0 + iy 0 hvis og kun hvis i punktet (x 0, y 0 ). du dx = dv
Læs mereEksamen maj 2019, Matematik 1, DTU
Eksamen maj 2019, Matematik 1, DTU NB: Nedenstående udregninger viser flere steder mere end én metode. Det er der IKKE tid til eksamen! Ligeledes er der ikke krav om eller tid til at illustrere med plots.
Læs mereNATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET. MI 2007 Obligatorisk opgave 4
NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET. MI 2007 Obligatorisk opgave 4 Sættet består af 3 opgaver med ialt 15 delopgaver. Besvarelsen vil blive forkastet, medmindre der er gjort et
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 11
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 11 Morten Grud Rasmussen 17. oktober, 2013 1 Partielle differentialligninger 1.1 D Alemberts løsning af bølgeligningen [Bogens sektion 12.4 på side 553]
Læs mereLINALG JULENØD 2013 SUNE PRECHT REEH
LINALG JULENØD 203 SUNE PRECHT REEH Resumé I denne julenød skal vi se på lineær algebra for heltallene Z Hvad går stadig godt? og hvad går galt? I de reelle tal R kan vi for ethvert a 0 altid finde R som
Læs mere(c) Opskriv den reelle Fourierrække for funktionen y(t) fra (b), og afgør dernæst om y(t) er en lige eller ulige funktion eller ingen af delene.
MATEMATIK 3 EN,MP 4. februar 2016 Eksamenopgaver fra 2011 2016 (jan. 2016) Givet at 0 for 0 < t < 1 mens e (t 1) cos(7(t 1)) for t 1, betragt da begyndelsesværdiproblemet for t > 0: y (t) + 2y (t) + 50y(t)
Læs mereLigningssystemer - nogle konklusioner efter miniprojektet
Ligningssystemer - nogle konklusioner efter miniprojektet Ligningssystemet Ax = 0 har mere end en løsning (uendelig mange) hvis og kun hvis nullity(a) 0 Løsningerne til et konsistent ligningssystem Ax
Læs mereVektoranalyse INDLEDNING. Indhold. 1 Integraltricks. Jens Kusk Block Jacobsen 21. januar 2008
Vektoranalyse Jens Kusk Block Jacobsen 21. januar 2008 INLENING ette er en opsamling af ting, jeg synes er gode at have ifbm vektoranalyse som præsenteret i kurset VEKANAE07 ved IMF på AU. Noten er dels
Læs mereFunktioner af to variable
enote 15 1 enote 15 Funktioner af to variable I denne og i de efterfølgende enoter vil vi udvide funktionsbegrebet til at omfatte reelle funktioner af flere variable; vi starter udvidelsen med 2 variable,
Læs mereModulpakke 3: Lineære Ligningssystemer
Chapter 4 Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer 4. Homogene systemer I teknikken møder man meget ofte modeller der leder til systemer af koblede differentialligninger. Et eksempel på et sådant system
Læs mereAnalyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X).
Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 3. og 6. september 2013 Gennemgå bevis for Sætning 2.10 Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Bevis. Der findes en injektion X P(X), fx givet ved x
Læs mereNøgleord og begreber
Oversigt [LA] 9 Nøgleord og begreber Helt simple determinanter Determinant defineret Effektive regneregler Genkend determinant nul Test determinant nul Produktreglen Inversreglen Test inversregel og produktregel
Læs mereEksamen i Calculus. Onsdag den 1. juni Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet
Eksamen i Calculus Onsdag den 1. juni 211 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider med ialt
Læs mere2.9. Dette er en god simpel projektion for områder nær Ækvator. Hvad er den inverse afbildning, f -1?
2.9 2.4 Kortprojektioner og kort. Den matematiske baggrund for kortprojektioner er differentialgeometri. Det basale begreb her er mangfoldighed, dvs. om ethvert punkt ligger en omegn, der ligner en del
Læs mereMatematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Digital eksamensopgave med adgang til internettet
Matematik A Studentereksamen Digital eksamensopgave med adgang til internettet Forberedelsesmateriale frs-matn/a-270420 Onsdag den 27. april 20 Forberedelsesmateriale til stx-a-net MATEMATIK Der skal afsættes
Læs mereAffine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2
Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket
Læs mere1 Vektorrum. MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA 6. oktober 2016 Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier
MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA 6. oktober 2016 Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier Grupperne forventes at regne en mængde af opgaver, som tilsammen dækker 100 point. De små opgaver giver hver 5 point,
Læs mereLineær algebra 1. kursusgang
Lineær algebra 1. kursusgang Eksempel, anvendelse To kendte punkter A og B på en linie, to ukendte punkter x 1 og x 2. A x 1 x 2 B Observationer af afstande: fra A til x 1 : b 1 fra x 1 til x 2 : b 2 fra
Læs mereSpor Matematiske eksperimenter. Komplekse tal af Michael Agermose Jensen og Uwe Timm.
Homografier Möbius transformationer Følgende tema, handler om homografier, inspireret af professor Børge Jessens noter, udgivet på Københavns Universitet 965-66. Noterne er herefter blevet bearbejdet og
Læs mereEksamen i Lineær Algebra
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske tekst på bagsiden, hvis du følger den danske version af prøven. Eksamen i Lineær Algebra Første
Læs mere1 Vektorrum. MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 4. oktober Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier
MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 4. oktober 2017 Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier Grupperne forventes at regne de små opgaver i afsnittene 1 5 i løbet af de første 4 halve dage. Dernæst tilføjes
Læs merestandard normalfordelingen på R 2.
Standard normalfordelingen på R 2 Lad f (x, y) = 1 x 2 +y 2 2π e 2. Vi har så f (x, y) = 1 2π e x2 2 1 2π e y2 2, og ved Tonelli f dm 2 = 1. Ved µ(a) = A f dm 2 defineres et sandsynlighedsmål på R 2 målet
Læs mereKurve- og plan-integraler
enote 22 1 enote 22 Kurve- og plan-integraler Vi vil her med udgangspunkt i de metoder og resultater der er opstillet i enote 21 vise, hvordan Riemann-integralerne derfra kan benyttes til blandt andet
Læs mereEksempler Determinanten af en kvadratisk matrix. Calculus Uge
Oversigt [LA] 8 Her skal du lære om 1. Helt simple determinanter 2. En udvidelse der vil noget 3. Effektive regneregler 4. Genkend determinant nul 5. Produktreglen 6. Inversreglen 7. Potensreglen 8. Entydig
Læs mereGradienter og tangentplaner
enote 16 1 enote 16 Gradienter og tangentplaner I denne enote vil vi fokusere lidt nærmere på den geometriske analyse og inspektion af funktioner af to variable. Vi vil især studere sammenhængen mellem
Læs mereGamle eksamensopgaver (MASO)
EO 1 Gamle eksamensopgaver (MASO) Opgave 1. (Vinteren 1990 91, opgave 1) a) Vis, at rækken er divergent. b) Vis, at rækken er konvergent. Opgave 2. (Vinteren 1990 91, opgave 2) Gør rede for at ligningssystemet
Læs mereMATEMATIK 3 EN,MP 17. september 2014 Oversigt nr. 1
MATEMATIK 3 EN,MP 7. september 204 Oversigt nr. Her bringes en samling af de gamle eksamensopgaver: (jan. 204) Betragt begyndelsesværdiproblemet y (t) + 7y (t) + 2y(t) = e t sin(2t) for t > 0, y(0) = 2,
Læs mereMATEMATIK 3 ET,MP, FYS, NANO 29. august 2012 Oversigt nr. 1
ET,MP, FYS, NANO 29. august 202 Oversigt nr. Litteratur: I Matematik 3 bruger vi i efteråret 202 følgende bog: E. Kreyzig: Advanced engineering mathematics, 0. udg., Wiley, 20. Beskrivelse: Kurset vil
Læs mereMASO-Eksempler. x n. + 1 = 1 y n
3. oktober EXPL 1 Eksempel 1. Et par talfølger: (1 ( (3 (4 (5 (6 (7 (8 MASO-Eksempler,,,,,,..., n =, 1, 1, 1, 1, 1, 1,..., n = 1 1,, 1,, 1,, 1,..., n = (1 + ( 1 n /,, 1,,,, 3,..., n = n(1 + ( 1 n /4, 1,
Læs mereEksamen i Mat F, april 2006
Eksamen i Mat F, april 26 Opgave Lad F være et vektorfelt, givet i retvinklede koordinater som: Udregn F og F: F x F = F x i + F y j + F z k = F y = z 2 F z xz y 2 F = F x + F y + F z = + + x. F = F z
Læs mereEgenværdier og egenvektorer
1 Egenværdier og egenvektorer 2 Definition Lad A være en n n matrix. En vektor v R n, v 0, kaldes en egenvektor for A, hvis der findes en skalar λ således Av = λv Skalaren λ kaldes en tilhørende egenværdi.
Læs mereMASO Uge 9 Eksempler på Eksamensopgaver
MASO Uge 9 Eksempler på Eksamensopgaver Martin Søndergaard Christensen Eksamen 2013B Eksamen 2013B Opgave 2 Findes der komplekse tal z 1 og z 2 så z 1 + z 2 = 2, z 1 z 2 = 3 Eksamen 2013B Opgave 2 Findes
Læs mereKalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger
Kalkulus - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Mads Friis 8. januar 05 Indhold Grundlæggende uligheder Grænseovergange 3 3 Kontinuitet 9 4 Følger 0 5 Perspektivering 4 Grundlæggende uligheder Sætning
Læs mereTØ-opgaver til uge 45
TØ-opgaver til uge 45 Først laver vi en liste over de ligninger med mere i [IPT], der skal bruges: [1]: Ligning (2.5) på side 4. [2]: Ligning (2.6) på side 5. [3]: Sætning 3.1, ligning (3.3) på side 7.
Læs mereUGESEDDEL 9 LØSNINGER. Sydsæter Theorem 1. Sætning om implicitte funktioner for ligningen f(x, y) = 0.
UGESEDDEL 9 LØSNINGER Sydsæter 531 Theorem 1 Sætning om implicitte funktioner for ligningen f(x, y) = 0 Lad f(x, y) være C 1 i mængden A R n og lad (x 0, y 0 ) være et indre punkt i A hvor f(x 0, y 0 )
Læs mereNote om endelige legemer
Note om endelige legemer Leif K. Jørgensen 1 Legemer af primtalsorden Vi har i Lauritzen afsnit 2.1.1 set følgende: Proposition 1 Lad n være et positivt helt tal. Vi kan da definere en komposition + på
Læs mereEksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. Hele rummet uden z aksen
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 019 Opgave 1 (6 point) En
Læs mereEksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. x 2 + y 2 1 Hele rummet uden z aksen
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 19 Opgave 1 (6 point) En funktion
Læs mereLineære Afbildninger. enote 8. 8.1 Om afbildninger
enote 8 enote 8 Lineære Afbildninger Denne enote undersøger afbildninger mellem vektorrum af en bestemt type, nemlig lineære afbildninger Det vises, at kernen og billedrummet for lineære afbildninger er
Læs mereOversigt Matematik Alfa 1, August 2002
Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Læs mereMM502+4 forelæsningsslides
MM502+4 forelæsningsslides uge 9, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm, delvis på baggrund af lignende materiale udarbejdet af Mikael ørdam 1 Egentlige og uegentlige dobbeltintegraler: efinition (Egentlige
Læs mereEksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. x 2 + y 2 1 Hele rummet uden z aksen
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 019 Opgave 1 (6 point) En
Læs mere