Statistik og Sandsynlighedsregning 2

Transkript

1 Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Lineære transformationer, middelværdi og varians Helle Sørensen Uge 8, onsdag SaSt2 (Uge 8, onsdag) Lineære transf. og middelværdi 1 / 15

2 Program I formiddag: Fordeling af Y /f (X ) Fordeling af min(x 1,...,X n ). Fordeling af AX + µ (lineær transformation) I eftermiddag Det sidste fra i formiddag... Eksamen Blok , opgave 1 SaSt2 (Uge 8, onsdag) Lineære transf. og middelværdi 2 / 15

3 Fordeling af Z = Y /f (X ) Det kan være nyttigt at kunne finde fordelingen af Z = Y /f (X ) for forskellige funktioner f. Sætning (X,Y ) kontinuert med tæthed p og X koncentreret på mængde M. Givet funktion f : R R med f > 0 på M. Så er Z = Y /f (X ) kontinuert og har tæthed q(z) = p(x,f (x)z)f (x)dx, z R Bevis: Som for summen, men nu med ikke-lineær substitution u = y/f (x). Korollarer for tre vigtige specialtilfælde: f (x) = 1/x svarende til Z = XY. f (x) = x svarende til Z = Y /X. f (x) = x svarende til Z = Y / X. SaSt2 (Uge 8, onsdag) Lineære transf. og middelværdi 3 / 15

4 Eksempel 6.3.8: kvotient af to eksponentialford. X og Y uafhængige, begge eksponentialfordelte med parameter 1. Hvad er tætheden for Z = Y /X? Specialtilfælde af F -fordelingen (kapitel 8). SaSt2 (Uge 8, onsdag) Lineære transf. og middelværdi 4 / 15

5 Eksempel: fordeling af minimum X 1,X 2,...,X n uafhængige med samme fordeling og dermed samme fordelingsfunktion, F. Hvad er fordelingen af Y = min(x 1,...,X n )? Kan ikke bruge nogle af sætningerne Regn på fordelingsfunktionen for Y : F Y (y) = P(Y y) = 1 P(Y > y) Hvordan kan Y > y udtrykkes vha. X i er? Specialtilfælde: X 1,...,X n ligefordelt på [0,1] (eksempel 6.3.9). SaSt2 (Uge 8, onsdag) Lineære transf. og middelværdi 5 / 15

6 Transf. af endimensionale kontinuerte fordelinger Husk transformationssætningen fra det endimensionale tilfælde: Sætning Y = t(x ) er kontinuert med tæthed q givet ved { p(t q(y) = 1 (y))/ t (t 1 (y)) y (v,h) 0 ellers NB. d dy t 1 (y) = 1/t (t 1 (y)), så q(y) = p(t 1 (y)) d dy t 1 (y) på (v,h) Specielt for t(x) = ax + b: q(y) = 1 ( ) y b a p a Kan vi generalisere dette til det flerdimensionale tilfælde? SaSt2 (Uge 8, onsdag) Lineære transf. og middelværdi 6 / 15

7 Lineær transformation Notation: X er søjlevektoren med elementer X 1,...,X n. Tilsvarende med Y, x og y. Sætning (X 1,...,X n ) kontinuert med simultan tæthed p. A n n-matrix med det(a) 0. Definer Y = AX. Så er (Y 1,...,Y n ) kontinuert og har simultan tæthed q(y) = p(a 1 y) det(a 1 ) = p(a 1 y)/ det(a) Desuden: Hvis V = AX + µ hvor µ er en søjlevektor i R n, så er V kontinuert med tæthed q(v) = p(a 1 (v µ)) det(a 1 ) = p(a 1 (v µ))/ det(a) SaSt2 (Uge 8, onsdag) Lineære transf. og middelværdi 7 / 15

8 Lineær transformation Ser på n = 2. ( a11 a NB: Hvis A = 12 a 21 a 22 ), er Bevis : Y 1 = a 11 X 1 + a 12 X 2, Y 2 = a 21 X 1 + a 22 X 2, Se på rektanglet K h = [y 1,y 1 + h] [y 2,y 2 + h] Regn på P(Y K h ) hvad er det vi vil vise? A 1 eksisterer (hvorfor?), A 1 = ( b11 b 12 b 21 b 22 Hvad er A 1 K h = {A 1 z z K h }? ). SaSt2 (Uge 8, onsdag) Lineære transf. og middelværdi 8 / 15

9 Foldning af normalfordelinger Antag at X og Y er uafhængige og at de begge er N(0,1)-fordelte. I mandags brugte vi sætning til at finde fordelingen af Z = X + Y : q(z) = φ(x)φ(z x)dx = 1 2π e x2 /2 (z x) 2 /2 dx = 1 2π e (x z/2)2 z 2 /4 dx 1 = 1 2 2π e z2 /4 1 e (x z/2)2 dx 2π 1 2 = 1 2 2π e z2 /4 så Z = X + Y er normalfordelt med middelværdi 0 og varians 2. SaSt2 (Uge 8, onsdag) Lineære transf. og middelværdi 9 / 15

10 Foldning af normalfordelinger Sætning Hvis X 1,...,X n er uafhængige og X i N(µ i,σi 2 ) så er summen X X n normalfordelt med middelværdi µ µ n og varians σ σ n 2. Bevis: Nok at se på n = 2 (resten klares ved induktion). U 1 og ( U 2 uafhængige ) N(0,1)-fordelte. Definer V = AU hvor α β V = hvor α β α 2 + β 2 = 1. Hvad er fordelingen af V? Se på U i = X i µ i σ i, og U = Hvad er fordelingen af U? σ 1 σ σ 2 2 U 1 + σ 2 σ σ 2 2 Skriv X 1 + X 2 vha. U. Hvad er fordelingen af X 1 + X 2? U 2 SaSt2 (Uge 8, onsdag) Lineære transf. og middelværdi 10 / 15

11 Middelværdi af transformation Husk sætning fra det endimensionale tilfælde: Y = t(x ) har middelværdi hvis og kun hvis I t(x) p(x)dx < og middelværdien er så E(Y ) = E(t(X )) = t(x)p(x) dx I Tilsvarende for transformationer af flerdimensionale stokastiske variable: Sætning (X 1,...,X n ) kontinuert med tæthed p. Funktion ψ : R 2 R. Så har ψ(x 1,...,X n ) middelværdi hvis og kun hvis R n ψ(x 1,...,x n ) p(x 1,...,x n )dx 1 dx n < og i så fald er E(ψ(X 1,...,X n )) = ψ(x 1,...,x n )p(x 1,...,x n )dx 1 dx n R n SaSt2 (Uge 8, onsdag) Lineære transf. og middelværdi 11 / 15

12 Middelværdi af transformation Kan altså undersøge om ψ(x 1,...,X n ) har middelværdi og beregne den vha. den simultane tæthed uden først at finde fordelingen af ψ(x 1,...,X n ). Kan fx. se på følgende: E(X X n ) ok hvis hvert X i har middelværdi E(X 1 X n ) ok hvis hvert X i har middelværdi Var(X X n ) = E [( (X X n ) E(X X n ) ) 2] ok hvis hvert X i har varians Kovarians, Cov(X,Y ) = E ( (X EX )(Y EY ) ) ok hvis X og Y har varians SaSt2 (Uge 8, onsdag) Lineære transf. og middelværdi 12 / 15

13 Regneregler og korrelation Regneregler: 1. E(X X n ) = E(X 1 ) + + E(X n ) 2. E(X 1 X n ) = E(X 1 ) E(X n ) hvis X 1,...,X n er uafhængige 3. Var(X X n ) = Var(X 1 ) + + Var(X n ) hvis X 1,...,X n er uafhængige 4. Cov(X,Y ) = E(XY ) E(X )E(Y ) 5. Flere regneregler om kovarians side 96 gælder også her! Bevis for 1. og 2. Korrelation Corr(X,Y ) = Cov(X,Y ) Var(X )Var(Y ) SaSt2 (Uge 8, onsdag) Lineære transf. og middelværdi 13 / 15

14 Korrelation Korrelation måler graden af lineær sammenhæng mellem to variable. SaSt2 (Uge 8, onsdag) Lineære transf. og middelværdi 14 / 15

15 Resume Vigtige ting fra i dag: Tæthed for AX + µ når vi kender tætheden for X Middelværdier og varianser i det flerdimensionale tilfælde Næste uge: Normalfordelingsteori Den flerdimensionale standardnormalfordeling Vigtige transformationer af normalfordelingen SaSt2 (Uge 8, onsdag) Lineære transf. og middelværdi 15 / 15