Sandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Sandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen"

Transkript

1 Sandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark

2 Dagens emner afsnit 6.1 og 6.2 Betingede diskrete fordelinger P(Y = y X = x) = P(X=x,Y=y) P(X=x) P(Y = y) = x P(X = x)p(y = y X = x) Betinget middelværdi (det diskrete tilfælde) E(Y X = x) = y yp(y = y X = x) E(Y X) en stokastisk variabel E(Y) = E X (E Y (Y X)) = x P(X = x)e(y X = x) E(g(X,Y) X = x) = E(g(x,Y) X = x) E(XY X) = XE(Y X) Bo Friis Nielsen 11/ forelæsning 10 2

3 En virksomhed, der producerer elektriske pærer har afdelinger i to byer. Fabrikken i by A står for 2 af produktionen. Resten 3 produceres i by B, udaf disse er 1% defekte. Spørgsmål 1 Hvor stor en andel af det samlede antal pærer der produceres af virksomheden fremstilles som intakte i by B? Spørgsmålet kan ikke besvares pga. manglende oplysninger 6 Ved ikke Bo Friis Nielsen 11/ forelæsning 10 3

4 Spørgsmål 2 Man får nu den yderligere oplysning at defektprocenten for pærer produceret i by A er (altså er 1 ud af 200 i gennemsnit defekt). Givet en pære er defekt, hvad er da sandsynligheden for, at den er produceret i by B Ved ikke Bo Friis Nielsen 11/ forelæsning 10 4

5 Københavnske boliger 1989 (antal) Antal beboere: værelse værelser værelser værelser værelser værelser Bo Friis Nielsen 11/ forelæsning 10 5

6 Københavnske boliger 1989 (antal) Antal beboere: værelse værelser værelser værelser værelser værelser En bolig er således her karakteriseret ved to egenskaber størrelse - X og antal beboere - Y Bo Friis Nielsen 11/ forelæsning 10 5

7 Relative andele Antal beboere værelse 0,011 0,085 0,007 0,001 0,000 0,000 0,000 2 værelser 0,017 0,264 0,096 0,014 0,003 0,001 0,001 3 værelser 0,009 0,112 0,104 0,032 0,013 0,003 0,002 4 værelser 0,005 0,044 0,052 0,023 0,016 0,004 0,002 5 værelser 0,002 0,010 0,016 0,009 0,007 0,002 0,001 6 værelser 0,002 0,006 0,010 0,006 0,006 0,002 0,002 Bo Friis Nielsen 11/ forelæsning 10 6

8 Relative andele Antal beboere værelse 0,011 0,085 0,007 0,001 0,000 0,000 0,000 2 værelser 0,017 0,264 0,096 0,014 0,003 0,001 0,001 3 værelser 0,009 0,112 0,104 0,032 0,013 0,003 0,002 4 værelser 0,005 0,044 0,052 0,023 0,016 0,004 0,002 5 værelser 0,002 0,010 0,016 0,009 0,007 0,002 0,001 6 værelser 0,002 0,006 0,010 0,006 0,006 0,002 0,002 Disse relative andele kan fortolkes som sandsynligheder, f.eks. P(X = 1,Y = 0) = 0,011 - for hvilket stokastisk eksperiment? Bo Friis Nielsen 11/ forelæsning 10 6

9 Antallet af beboere i en 3 værelses bolig

10 Antallet af beboere i en 3 værelses bolig Hvis nogen har valgt en tilfældig bolig, og fortæller os at den har tre værelser, hvilken sandsynlighedsfordeling vil vi så tillægge antallet af beboere?

11 Antallet af beboere i en 3 værelses bolig Hvis nogen har valgt en tilfældig bolig, og fortæller os at den har tre værelser, hvilken sandsynlighedsfordeling vil vi så tillægge antallet af beboere? Fra rækken med 3 værelses boliger i tabellerne har vi: Beboere: Alle Antal:

12 Antallet af beboere i en 3 værelses bolig Hvis nogen har valgt en tilfældig bolig, og fortæller os at den har tre værelser, hvilken sandsynlighedsfordeling vil vi så tillægge antallet af beboere? Fra rækken med 3 værelses boliger i tabellerne har vi: Beboere: Alle Antal: Andel: 0,009 0,112 0,104 0,032 0,013 0,003 0,002 0,275

13 Antallet af beboere i en 3 værelses bolig Hvis nogen har valgt en tilfældig bolig, og fortæller os at den har tre værelser, hvilken sandsynlighedsfordeling vil vi så tillægge antallet af beboere? Fra rækken med 3 værelses boliger i tabellerne har vi: Beboere: Alle Antal: Andel: 0,009 0,112 0,104 0,032 0,013 0,003 0,002 0,275 Andel af 3 værelses 0,031 0,407 0,379 0,115 0,049 0,012 0,007 1,000

14 Antallet af beboere i en 3 værelses bolig Hvis nogen har valgt en tilfældig bolig, og fortæller os at den har tre værelser, hvilken sandsynlighedsfordeling vil vi så tillægge antallet af beboere? Fra rækken med 3 værelses boliger i tabellerne har vi: Beboere: Alle Antal: Andel: 0,009 0,112 0,104 0,032 0,013 0,003 0,002 0,275 Andel af 3 værelses 0,031 0,407 0,379 0,115 0,049 0,012 0,007 1,000 Når vi ved at boligen har 3 værelser, normerer vi sandsynlighederne så de summerer til 1 henover 3-værelsers boliger.

15 Betinget sandsynlighed/fordeling Husk formlen for den betingede sandsynlighed af hændelsen Y = y, givet hændelsen X = x (kapitel 1):

16 Betinget sandsynlighed/fordeling Husk formlen for den betingede sandsynlighed af hændelsen Y = y, givet hændelsen X = x (kapitel 1): P(Y = y X = x) = P(Y = y X = x) P(X = x) = P(Y = y,x = x) P(X = x)

17 Betinget sandsynlighed/fordeling Husk formlen for den betingede sandsynlighed af hændelsen Y = y, givet hændelsen X = x (kapitel 1): P(Y = y X = x) = P(Y = y X = x) P(X = x) = P(Y = y,x = x) P(X = x) Betragter vi x som en fast parameter i dette udtryk og y som en variabel, er P(Y = y X = x) en sandsynlighedsfordeling for en stokastisk variabel (check det!). Vi kalder den Den betingede fordeling af Y givet X = x.

18 Betinget sandsynlighed/fordeling Husk formlen for den betingede sandsynlighed af hændelsen Y = y, givet hændelsen X = x (kapitel 1): P(Y = y X = x) = P(Y = y X = x) P(X = x) = P(Y = y,x = x) P(X = x) Betragter vi x som en fast parameter i dette udtryk og y som en variabel, er P(Y = y X = x) en sandsynlighedsfordeling for en stokastisk variabel (check det!). Vi kalder den Den betingede fordeling af Y givet X = x. Konkret får vi

19 Betinget sandsynlighed/fordeling Husk formlen for den betingede sandsynlighed af hændelsen Y = y, givet hændelsen X = x (kapitel 1): P(Y = y X = x) = P(Y = y X = x) P(X = x) = P(Y = y,x = x) P(X = x) Betragter vi x som en fast parameter i dette udtryk og y som en variabel, er P(Y = y X = x) en sandsynlighedsfordeling for en stokastisk variabel (check det!). Vi kalder den Den betingede fordeling af Y givet X = x. Konkret får vi P(Y = y X = 3)

20 Betinget sandsynlighed/fordeling Husk formlen for den betingede sandsynlighed af hændelsen Y = y, givet hændelsen X = x (kapitel 1): P(Y = y X = x) = P(Y = y X = x) P(X = x) = P(Y = y,x = x) P(X = x) Betragter vi x som en fast parameter i dette udtryk og y som en variabel, er P(Y = y X = x) en sandsynlighedsfordeling for en stokastisk variabel (check det!). Vi kalder den Den betingede fordeling af Y givet X = x. Konkret får vi P(Y = y X = 3) = P(Y = y,x = 3) P(X = 3)

21 Betinget sandsynlighed/fordeling Husk formlen for den betingede sandsynlighed af hændelsen Y = y, givet hændelsen X = x (kapitel 1): P(Y = y X = x) = P(Y = y X = x) P(X = x) = P(Y = y,x = x) P(X = x) Betragter vi x som en fast parameter i dette udtryk og y som en variabel, er P(Y = y X = x) en sandsynlighedsfordeling for en stokastisk variabel (check det!). Vi kalder den Den betingede fordeling af Y givet X = x. Konkret får vi P(Y = y X = 3) = P(Y = y,x = 3) P(X = 3) = P(X = 3,Y = y) 0,275

22 Betinget sandsynlighed/fordeling Husk formlen for den betingede sandsynlighed af hændelsen Y = y, givet hændelsen X = x (kapitel 1): P(Y = y X = x) = P(Y = y X = x) P(X = x) = P(Y = y,x = x) P(X = x) Betragter vi x som en fast parameter i dette udtryk og y som en variabel, er P(Y = y X = x) en sandsynlighedsfordeling for en stokastisk variabel (check det!). Vi kalder den Den betingede fordeling af Y givet X = x. Konkret får vi P(Y = y X = 3) = som i tabellen P(Y = y,x = 3) P(X = 3) = P(X = 3,Y = y) 0,275

23 Betinget fordeling afsnit 6.1 Bo Friis Nielsen 11/ forelæsning 10 9

24 Betinget fordeling afsnit 6.1 For fastholdt værdi af X = x kan Y variere over hele eller dele af sit udfaldsrum. Bo Friis Nielsen 11/ forelæsning 10 9

25 Betinget fordeling afsnit 6.1 For fastholdt værdi af X = x kan Y variere over hele eller dele af sit udfaldsrum. Vi kalder fordelingen af Y for fastholdt X = x for den betingede fordeling af Y givet X = x P(Y = y X = x) Bo Friis Nielsen 11/ forelæsning 10 9

26 Betinget fordeling afsnit 6.1 For fastholdt værdi af X = x kan Y variere over hele eller dele af sit udfaldsrum. Vi kalder fordelingen af Y for fastholdt X = x for den betingede fordeling af Y givet X = x P(Y = y X = x) = P(X = x,y = y) P(X = x) Vi har den meget vigtige: P(Y = y) Bo Friis Nielsen 11/ forelæsning 10 9

27 Betinget fordeling afsnit 6.1 For fastholdt værdi af X = x kan Y variere over hele eller dele af sit udfaldsrum. Vi kalder fordelingen af Y for fastholdt X = x for den betingede fordeling af Y givet X = x P(Y = y X = x) = P(X = x,y = y) P(X = x) Vi har den meget vigtige: P(Y = y) = x P(Y = y X = x) Bo Friis Nielsen 11/ forelæsning 10 9

28 Betinget fordeling afsnit 6.1 For fastholdt værdi af X = x kan Y variere over hele eller dele af sit udfaldsrum. Vi kalder fordelingen af Y for fastholdt X = x for den betingede fordeling af Y givet X = x P(Y = y X = x) = P(X = x,y = y) P(X = x) Vi har den meget vigtige: P(Y = y) = x P(Y = y X = x) = x P(Y = y X = x)p(x = x) Reglen om gennemsnit af betingede fordelinger Bo Friis Nielsen 11/ forelæsning 10 9

29 Opgave I en bestemt by har 10% af familierne ingen børn, 20 % har et barn, 40% har to børn, 20 % har tre børn og 10 % har fire børn. Antag, at der er 50% chance for, at det enkelte barn er en pige uafhængigt af antallet af børn i familien. Bestem sandsynlighedsfordelingen for antallet af piger i en familie. Bo Friis Nielsen 11/ forelæsning 10 10

30 Opgave I en bestemt by har 10% af familierne ingen børn, 20 % har et barn, 40% har to børn, 20 % har tre børn og 10 % har fire børn. Antag, at der er 50% chance for, at det enkelte barn er en pige uafhængigt af antallet af børn i familien. Bestem sandsynlighedsfordelingen for antallet af piger i en familie. Vi definerer først relevante stokastiske variable: Bo Friis Nielsen 11/ forelæsning 10 10

31 Opgave I en bestemt by har 10% af familierne ingen børn, 20 % har et barn, 40% har to børn, 20 % har tre børn og 10 % har fire børn. Antag, at der er 50% chance for, at det enkelte barn er en pige uafhængigt af antallet af børn i familien. Bestem sandsynlighedsfordelingen for antallet af piger i en familie. Vi definerer først relevante stokastiske variable:c antallet af børn i en familie, Bo Friis Nielsen 11/ forelæsning 10 10

32 Opgave I en bestemt by har 10% af familierne ingen børn, 20 % har et barn, 40% har to børn, 20 % har tre børn og 10 % har fire børn. Antag, at der er 50% chance for, at det enkelte barn er en pige uafhængigt af antallet af børn i familien. Bestem sandsynlighedsfordelingen for antallet af piger i en familie. Vi definerer først relevante stokastiske variable:c antallet af børn i en familie, og G antallet af piger i en familie. Bo Friis Nielsen 11/ forelæsning 10 10

33 Opgave I en bestemt by har 10% af familierne ingen børn, 20 % har et barn, 40% har to børn, 20 % har tre børn og 10 % har fire børn. Antag, at der er 50% chance for, at det enkelte barn er en pige uafhængigt af antallet af børn i familien. Bestem sandsynlighedsfordelingen for antallet af piger i en familie. Vi definerer først relevante stokastiske variable:c antallet af børn i en familie, og G antallet af piger i en familie. I en familie med C = c børn finder vi P(G = i C = c) Bo Friis Nielsen 11/ forelæsning 10 10

34 Opgave I en bestemt by har 10% af familierne ingen børn, 20 % har et barn, 40% har to børn, 20 % har tre børn og 10 % har fire børn. Antag, at der er 50% chance for, at det enkelte barn er en pige uafhængigt af antallet af børn i familien. Bestem sandsynlighedsfordelingen for antallet af piger i en familie. Vi definerer først relevante stokastiske variable:c antallet af børn i en familie, og G antallet af piger i en familie. I en familie med C = c børn finder vi P(G = i C = c) = c ( ) i ( ) c i 1 1, i 2 2 Bo Friis Nielsen 11/ forelæsning 10 10

35 Opgave I en bestemt by har 10% af familierne ingen børn, 20 % har et barn, 40% har to børn, 20 % har tre børn og 10 % har fire børn. Antag, at der er 50% chance for, at det enkelte barn er en pige uafhængigt af antallet af børn i familien. Bestem sandsynlighedsfordelingen for antallet af piger i en familie. Vi definerer først relevante stokastiske variable:c antallet af børn i en familie, og G antallet af piger i en familie. I en familie med C = c børn finder vi P(G = i C = c) = c ( ) i ( ) c i 1 1, i = 0,...c i 2 2 Bo Friis Nielsen 11/ forelæsning 10 10

36 Vi fandt for en familie med C = c børn P(G = i C = c) = c ( ) i ( ) c i 1 1, i 2 2

37 Vi fandt for en familie med C = c børn P(G = i C = c) = c ( ) i ( ) c i 1 1, i = 0,...c i 2 2

38 Vi fandt for en familie med C = c børn P(G = i C = c) = c ( ) i ( ) c i 1 1, i = 0,...c i 2 2 Vi skal nu finde den ubetingede fordeling af antallet af piger G Vi benytter reglen om gennemsnittet af betingede sandsynligheder (boksen side 41 eller Chapter 1 summary side 73). P(G = 0)

39 Vi fandt for en familie med C = c børn P(G = i C = c) = c ( ) i ( ) c i 1 1, i = 0,...c i 2 2 Vi skal nu finde den ubetingede fordeling af antallet af piger G Vi benytter reglen om gennemsnittet af betingede sandsynligheder (boksen side 41 eller Chapter 1 summary side 73). P(G = 0) = P(G = 0 C = 0)

40 Vi fandt for en familie med C = c børn P(G = i C = c) = c ( ) i ( ) c i 1 1, i = 0,...c i 2 2 Vi skal nu finde den ubetingede fordeling af antallet af piger G Vi benytter reglen om gennemsnittet af betingede sandsynligheder (boksen side 41 eller Chapter 1 summary side 73). P(G = 0) = P(G = 0 C = 0)P(C = 0)

41 Vi fandt for en familie med C = c børn P(G = i C = c) = c ( ) i ( ) c i 1 1, i = 0,...c i 2 2 Vi skal nu finde den ubetingede fordeling af antallet af piger G Vi benytter reglen om gennemsnittet af betingede sandsynligheder (boksen side 41 eller Chapter 1 summary side 73). P(G = 0) = P(G = 0 C = 0)P(C = 0)+P(G = 0 C = 1)

42 Vi fandt for en familie med C = c børn P(G = i C = c) = c ( ) i ( ) c i 1 1, i = 0,...c i 2 2 Vi skal nu finde den ubetingede fordeling af antallet af piger G Vi benytter reglen om gennemsnittet af betingede sandsynligheder (boksen side 41 eller Chapter 1 summary side 73). P(G = 0) = P(G = 0 C = 0)P(C = 0)+P(G = 0 C = 1)P(C = 1)

43 Vi fandt for en familie med C = c børn P(G = i C = c) = c ( ) i ( ) c i 1 1, i = 0,...c i 2 2 Vi skal nu finde den ubetingede fordeling af antallet af piger G Vi benytter reglen om gennemsnittet af betingede sandsynligheder (boksen side 41 eller Chapter 1 summary side 73). P(G = 0) = P(G = 0 C = 0)P(C = 0)+P(G = 0 C = 1)P(C = 1) + +P(G = 0 C = 4)

44 Vi fandt for en familie med C = c børn P(G = i C = c) = c ( ) i ( ) c i 1 1, i = 0,...c i 2 2 Vi skal nu finde den ubetingede fordeling af antallet af piger G Vi benytter reglen om gennemsnittet af betingede sandsynligheder (boksen side 41 eller Chapter 1 summary side 73). P(G = 0) = P(G = 0 C = 0)P(C = 0)+P(G = 0 C = 1)P(C = 1) + +P(G = 0 C = 4)P(C = 4)

45 Vi fandt for en familie med C = c børn P(G = i C = c) = c ( ) i ( ) c i 1 1, i = 0,...c i 2 2 Vi skal nu finde den ubetingede fordeling af antallet af piger G Vi benytter reglen om gennemsnittet af betingede sandsynligheder (boksen side 41 eller Chapter 1 summary side 73). P(G = 0) = P(G = 0 C = 0)P(C = 0)+P(G = 0 C = 1)P(C = 1) + +P(G = 0 C = 4)P(C = 4) 4 = P(G = 0 C = c)p(c = c) c=0

46 Vi fandt for en familie med C = c børn P(G = i C = c) = c ( ) i ( ) c i 1 1, i = 0,...c i 2 2 Vi skal nu finde den ubetingede fordeling af antallet af piger G Vi benytter reglen om gennemsnittet af betingede sandsynligheder (boksen side 41 eller Chapter 1 summary side 73). P(G = 0) = P(G = 0 C = 0)P(C = 0)+P(G = 0 C = 1)P(C = 1) = ( ) P(G = 0 C = 4)P(C = 4) 4 = P(G = 0 C = c)p(c = c) c=0 ( ) ( ) ( ) ( )

47 Vi fandt for en familie med C = c børn P(G = i C = c) = c ( ) i ( ) c i 1 1, i = 0,...c i 2 2 Vi skal nu finde den ubetingede fordeling af antallet af piger G Vi benytter reglen om gennemsnittet af betingede sandsynligheder (boksen side 41 eller Chapter 1 summary side 73). P(G = 0) = P(G = 0 C = 0)P(C = 0)+P(G = 0 C = 1)P(C = 1) = ( ) P(G = 0 C = 4)P(C = 4) 4 = P(G = 0 C = c)p(c = c) c=0 ( ) ( ) ( ) ( ) =

48 Det var for 0 piger. For de andre muligheder får vi: P(G = i) = 4 j=0 P(G = i C = j)p(c = j) Det vil sige: Bo Friis Nielsen 11/ forelæsning 10 12

49 Det var for 0 piger. For de andre muligheder får vi: P(G = i) = 4 j=0 P(G = i C = j)p(c = j) Det vil sige: P(G = 4) = = Bo Friis Nielsen 11/ forelæsning 10 12

50 Det var for 0 piger. For de andre muligheder får vi: P(G = i) = 4 j=0 P(G = i C = j)p(c = j) Det vil sige: P(G = 4) = = P(G = 1) = 2 5 P(G = 3) = , P(G = 2) = = 1 20 Bo Friis Nielsen 11/ forelæsning 10 12

51 Det var for 0 piger. For de andre muligheder får vi: P(G = i) = 4 j=0 P(G = i C = j)p(c = j) Det vil sige: P(G = 4) = = P(G = 1) = 2 5 Den generelle formel er: P(Y = y) P(G = 3) = , P(G = 2) = = 1 20 Bo Friis Nielsen 11/ forelæsning 10 12

52 Det var for 0 piger. For de andre muligheder får vi: P(G = i) = 4 j=0 P(G = i C = j)p(c = j) Det vil sige: P(G = 4) = = P(G = 1) = 2 5 Den generelle formel er: P(G = 3) = , P(G = 2) = = 1 20 P(Y = y) = x Bo Friis Nielsen 11/ forelæsning 10 12

53 Det var for 0 piger. For de andre muligheder får vi: P(G = i) = 4 j=0 P(G = i C = j)p(c = j) Det vil sige: P(G = 4) = = P(G = 1) = 2 5 Den generelle formel er: P(G = 3) = , P(G = 2) = = 1 20 P(Y = y) = x P(Y = y X = x) Bo Friis Nielsen 11/ forelæsning 10 12

54 Det var for 0 piger. For de andre muligheder får vi: P(G = i) = 4 j=0 P(G = i C = j)p(c = j) Det vil sige: P(G = 4) = = P(G = 1) = 2 5 Den generelle formel er: P(G = 3) = , P(G = 2) = = 1 20 P(Y = y) = x P(Y = y X = x)p(x = x) Bo Friis Nielsen 11/ forelæsning 10 12

55 Man kaster tre mønter. De mønter, der lander plat kastes igen. Lad X betegne antallet af krone efter første kast og Y betegne antallet af krone efter andet kast (0 X Y 3). Spørgsmål 3 Angiv den betingede fordeling f Y (y X = x) = P(Y = y X = x) af Y for X = x 1 f Y (y X = x) = 3! y!(3 y)! 2 f Y (y X = x) = (3 x)! (y x)!(3 y)! 1 8, y = x,..., x, y = x,...,3 3 f Y (y X = x) = 1 4 x, y = x,...,3 4 f Y (y X = x) = (3+x)! (y+x)!(3 y)! 5 f Y (y X = x) = (3+x)! (y+x)!(3 y)! 6 Ved ikke x, y = x,...,3 1 8, y = x,...,3 Bo Friis Nielsen 11/ forelæsning 10 13

56 Uafhængighed og betingede fordelinger Hvis X og Y er uafhængige har vi og dermed P(X = x,y = y) = P(X = x) P(Y = y) P(Y = y X = x) = P(Y = y) Omvendt, hvis dette holder x,y, må X og Y være uafhængige. Altså: X og Y er uafhængige, hvis og kun hvis den betingede fordeling af Y givet X er identisk med den ubetingede fordeling af Y. Med andre ord: Hvis X ikke indeholder information of Y. Bo Friis Nielsen 11/ forelæsning 10 14

57 Middelantallet af beboere i en treværelses bolig Beboere: Alle Andele 0,031 0,407 0,379 0,115 0,049 0,012 0,007 1,000 Bo Friis Nielsen 11/ forelæsning 10 15

58 Middelantallet af beboere i en treværelses bolig Beboere: Alle Andele 0,031 0,407 0,379 0,115 0,049 0,012 0,007 1,000 Hvis vi ved at boligen er treværelses, beregner vi middelværdien i den betingede fordeling: Betinget middelværdi afsnit 6.2 E(Y X = x) = y yp(y = y X = x) E(Y X = 3) = 0, ,007 = 1,808 Bo Friis Nielsen 11/ forelæsning 10 15

59 Betinget middelværdi som stokastisk variabel

60 Betinget middelværdi som stokastisk variabel Hvad er en stokastisk variabel?

61 Betinget middelværdi som stokastisk variabel Hvad er en stokastisk variabel? Vi kan tænke på den som en variabel hvis værdi fastlægges gennem et (stokastisk) eksperiment, vi ikke har udført endnu

62 Betinget middelværdi som stokastisk variabel Hvad er en stokastisk variabel? Vi kan tænke på den som en variabel hvis værdi fastlægges gennem et (stokastisk) eksperiment, vi ikke har udført endnu Her er sådan en konstruktion: 1. Vælg en tilfældig bolig.

63 Betinget middelværdi som stokastisk variabel Hvad er en stokastisk variabel? Vi kan tænke på den som en variabel hvis værdi fastlægges gennem et (stokastisk) eksperiment, vi ikke har udført endnu Her er sådan en konstruktion: 1. Vælg en tilfældig bolig. 2. Lad X være antallet af værelser i boligen.

64 Betinget middelværdi som stokastisk variabel Hvad er en stokastisk variabel? Vi kan tænke på den som en variabel hvis værdi fastlægges gennem et (stokastisk) eksperiment, vi ikke har udført endnu Her er sådan en konstruktion: 1. Vælg en tilfældig bolig. 2. Lad X være antallet af værelser i boligen. 3. Lad Z være det gennemsnitlige antal beboere blandt alle de boliger, der har X værelser.

65 Betinget middelværdi som stokastisk variabel Hvad er en stokastisk variabel? Vi kan tænke på den som en variabel hvis værdi fastlægges gennem et (stokastisk) eksperiment, vi ikke har udført endnu Her er sådan en konstruktion: 1. Vælg en tilfældig bolig. 2. Lad X være antallet af værelser i boligen. 3. Lad Z være det gennemsnitlige antal beboere blandt alle de boliger, der har X værelser. Vi ser at Z = E(Y X) er en stokastisk variabel.

66 Betinget middelværdi som stokastisk variabel Hvad er en stokastisk variabel? Vi kan tænke på den som en variabel hvis værdi fastlægges gennem et (stokastisk) eksperiment, vi ikke har udført endnu Her er sådan en konstruktion: 1. Vælg en tilfældig bolig. 2. Lad X være antallet af værelser i boligen. 3. Lad Z være det gennemsnitlige antal beboere blandt alle de boliger, der har X værelser. Vi ser at Z = E(Y X) er en stokastisk variabel. Vi bruger sandsynlighedsregning til at udtrykke, hvad vi ved om dens opførsel.

67 Betinget middelværdi som stokastisk variabel Hvad er en stokastisk variabel? Vi kan tænke på den som en variabel hvis værdi fastlægges gennem et (stokastisk) eksperiment, vi ikke har udført endnu Her er sådan en konstruktion: 1. Vælg en tilfældig bolig. 2. Lad X være antallet af værelser i boligen. 3. Lad Z være det gennemsnitlige antal beboere blandt alle de boliger, der har X værelser. Vi ser at Z = E(Y X) er en stokastisk variabel. Vi bruger sandsynlighedsregning til at udtrykke, hvad vi ved om dens opførsel. I et eksperiment, hvor vi måler både X og Y, udtrykker den simultane fordeling, hvad vi ved om X s og Y s opførsel før eksperimentet.

68 Betingede forventningsværdier som stokastiske variable Z = E(Y X) er en stokastisk variabel. Bo Friis Nielsen 11/ forelæsning 10 17

69 Betingede forventningsværdier som stokastiske variable Z = E(Y X) er en stokastisk variabel. Den kan fastlægges uden at kende andet til realisationen (altså, hvilken bolig vi valgte) end X. Bo Friis Nielsen 11/ forelæsning 10 17

70 Betingede forventningsværdier som stokastiske variable Z = E(Y X) er en stokastisk variabel. Den kan fastlægges uden at kende andet til realisationen (altså, hvilken bolig vi valgte) end X. Vi kan altså skrive Z = g(x) Bo Friis Nielsen 11/ forelæsning 10 17

71 Betingede forventningsværdier som stokastiske variable Z = E(Y X) er en stokastisk variabel. Den kan fastlægges uden at kende andet til realisationen (altså, hvilken bolig vi valgte) end X. Vi kan altså skrive Z = g(x) for en passende funktion g. I dette tilfælde er g(x) givet ved algoritmen: Tag det gennemsnitlige antal beboere blandt de boliger der har x værelser. Bo Friis Nielsen 11/ forelæsning 10 17

72 Information og betingede fordelinger Lad X og Y være to stokastiske variable knyttet til samme eksperiment, og forestil jer en observatør der kun får adgang til X. Bo Friis Nielsen 11/ forelæsning 10 18

73 Information og betingede fordelinger Lad X og Y være to stokastiske variable knyttet til samme eksperiment, og forestil jer en observatør der kun får adgang til X. For hende vil den realiserede værdi af Y være ukendt, både før (a priori) og efter (a posteriori) eksperimentet udføres. Bo Friis Nielsen 11/ forelæsning 10 18

74 Information og betingede fordelinger Lad X og Y være to stokastiske variable knyttet til samme eksperiment, og forestil jer en observatør der kun får adgang til X. For hende vil den realiserede værdi af Y være ukendt, både før (a priori) og efter (a posteriori) eksperimentet udføres. For hende vil Y a priori være fordelt efter den ubetingede fordeling P(Y = y). Den vigtigste størrelse i denne fordeling er forventningsværdien E(Y). Bo Friis Nielsen 11/ forelæsning 10 18

75 Information og betingede fordelinger Lad X og Y være to stokastiske variable knyttet til samme eksperiment, og forestil jer en observatør der kun får adgang til X. For hende vil den realiserede værdi af Y være ukendt, både før (a priori) og efter (a posteriori) eksperimentet udføres. For hende vil Y a priori være fordelt efter den ubetingede fordeling P(Y = y). Den vigtigste størrelse i denne fordeling er forventningsværdien E(Y). Efter eksperimentet vil hun have adgang til informationen X = x. Derfor reviderer hun sin opfattelse af Y s fordeling til den betingede fordeling P(Y = y X = x). Den vigtigste størrelse i denne fordeling er den betingede forventningsværdi E(Y X = x). Bo Friis Nielsen 11/ forelæsning 10 18

76 Hvad er fordelingen af Z = E(Y X)? For boligeksemplet finder vi: x P(X = x) 0,104 0,396 0,275 0,145 0,046 0,033 E(Y X = x) 0,9902 1,3087 1,8079 2,1429 2,4139 2,6908 Bo Friis Nielsen 11/ forelæsning 10 19

77 Hvad er fordelingen af Z = E(Y X)? For boligeksemplet finder vi: x P(X = x) 0,104 0,396 0,275 0,145 0,046 0,033 E(Y X = x) 0,9902 1,3087 1,8079 2,1429 2,4139 2,6908 Dermed har vi direkte fordelingen af Z = E(Y X): z 0,9902 1,3087 1,8079 2,1429 2,4139 2,6908 P(Z = z) 0,104 0,396 0,275 0,145 0,046 0,033 Bo Friis Nielsen 11/ forelæsning 10 19

78 Hvad er forventningsværdien af Z = E(Y X)? Bo Friis Nielsen 11/ forelæsning 10 20

79 Hvad er forventningsværdien af Z = E(Y X)? Man har E(Y) = E(Z) = E(E(Y X)) = x E(Y X = x)p(x = x) Bo Friis Nielsen 11/ forelæsning 10 20

80 Hvad er forventningsværdien af Z = E(Y X)? Man har E(Y) = E(Z) = E(E(Y X)) = x E(Y X = x)p(x = x) Intuitivt: Informationen X = x vil ændre observatørens forventningsværdi af Y, men ikke i middel. Bo Friis Nielsen 11/ forelæsning 10 20

81 Hvad er forventningsværdien af Z = E(Y X)? Man har E(Y) = E(Z) = E(E(Y X)) = x E(Y X = x)p(x = x) Intuitivt: Informationen X = x vil ændre observatørens forventningsværdi af Y, men ikke i middel. I behøver ikke forstå dette i dybden, Bo Friis Nielsen 11/ forelæsning 10 20

82 Hvad er forventningsværdien af Z = E(Y X)? Man har E(Y) = E(Z) = E(E(Y X)) = x E(Y X = x)p(x = x) Intuitivt: Informationen X = x vil ændre observatørens forventningsværdi af Y, men ikke i middel. I behøver ikke forstå dette i dybden, men I skal kunne anvende ovenstående formel (opgave træner dette). Bo Friis Nielsen 11/ forelæsning 10 20

83 Hvad er forventningsværdien af Z = E(Y X)? Man har E(Y) = E(Z) = E(E(Y X)) = x E(Y X = x)p(x = x) Intuitivt: Informationen X = x vil ændre observatørens forventningsværdi af Y, men ikke i middel. I behøver ikke forstå dette i dybden, men I skal kunne anvende ovenstående formel (opgave træner dette). Den betingede middelværdi er et vigtigt begreb/redskab i anvendelserne (statistik, signalbehandling, billedbehandling) Bo Friis Nielsen 11/ forelæsning 10 20

84 For boligeksemplet: Vi havde fordelingen af Z = E(Y X): z 0,9902 1,3087 1,8079 2,1429 2,4139 2,6908 P(Z = z) 0,104 0,396 0,275 0,145 0,046 0,033 Bo Friis Nielsen 11/ forelæsning 10 21

85 For boligeksemplet: Vi havde fordelingen af Z = E(Y X): z 0,9902 1,3087 1,8079 2,1429 2,4139 2,6908 P(Z = z) 0,104 0,396 0,275 0,145 0,046 0,033 hvoraf E(Y) = E(Z) = , , ,033 = hvilket stemmer med hvad vi får direkte fra den marginale fordeling af Y. Bo Friis Nielsen 11/ forelæsning 10 21

86 Lad X 1 og X 2 være antal øjne i to kast med en almindelig terning. Lad nu X betegne minimum og Y betegne maximum af X 1 og X 2. Spørgsmål 4 E(Y X = 4) kan karakteriseres ved Ved ikke Bo Friis Nielsen 11/ forelæsning 10 22

87 Lad X 1 og X 2 være antal øjne i to kast med en almindelig terning. Lad nu X betegne minimum og Y betegne maximum af X 1 og X 2. Spørgsmål 5 E(Y X) kan karakteriseres ved med P = 1 6,4 med P = 1 6, 9 2 med P = 1 6, med P = 1 6, 11 2 med P = 1 6,6 med P = med P = 36, 38 9 med P = 9 36, 33 7 med P = 7 36, 26 5 med P = 5 36, 17 3 med P = 3 36,6 med P = i=x i 1 7 X 5 X Ved ikke Bo Friis Nielsen 11/ forelæsning 10 23

88 Afsnit 6.1 og 6.2 Betingede diskrete fordelinger P(Y = y X = x) = P(X=x,Y=y) P(X=x) P(Y = y) = x P(X = x)p(y = y X = x) Betinget middelværdi (det diskrete tilfælde) E(Y X = x) = y yp(y = y X = x) E(Y X) en stokastisk variabel E(Y) = E X (E Y (Y X)) = x P(X = x)e(y X = x) E(g(X,Y) X = x) = E(g(x,Y) X = x) E(XY X) = XE(Y X) Bo Friis Nielsen 11/ forelæsning 10 24

Sandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen

Sandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen Sandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner afsnit 6.1 og 6.2 Betingede diskrete

Læs mere

Sandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen

Sandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen Sandsynlighedsregning 0. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner afsnit 6. og 6. Betingede diskrete

Læs mere

Sandsynlighedsregning 3. forelæsning Bo Friis Nielsen

Sandsynlighedsregning 3. forelæsning Bo Friis Nielsen Sandsynlighedsregning 3. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 28 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner Stokastiske variable: udfald

Læs mere

Sandsynlighedsregning 11. forelæsning Bo Friis Nielsen

Sandsynlighedsregning 11. forelæsning Bo Friis Nielsen Sandsynlighedsregning 11. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 28 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@imm.dtu.dk Dagens nye emner afsnit 6.3 (og 6.4 Betingede

Læs mere

Sandsynlighedsregning Stokastisk variabel

Sandsynlighedsregning Stokastisk variabel Sandsynlighedsregning Stokastisk variabel I eksperimenter knyttes ofte en talværdi til hvert udfald. S s X(s) R Definition: En stokastisk variabel X er en funktion defineret på S, der antager værdier på

Læs mere

Elementær sandsynlighedsregning

Elementær sandsynlighedsregning Elementær sandsynlighedsregning Sandsynlighedsbegrebet Et udfaldsrum S er mængden af alle de mulige udfald af et eksperiment. En hændelse A er en delmængde af udfaldsrummet S. Den hændelse, der ikke indeholder

Læs mere

Sandsynlighedsregning 8. forelæsning Bo Friis Nielsen

Sandsynlighedsregning 8. forelæsning Bo Friis Nielsen Sandsynlighedsregning 8. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 28 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner 5.1 og 5.2 Ligefordeling med to

Læs mere

DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 17 sider. Skriftlig prøve, den: 30. maj 2016 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)

DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 17 sider. Skriftlig prøve, den: 30. maj 2016 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr) DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side af 7 sider Skriftlig prøve, den: 0. maj 206 Kursus nr : 02405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Varighed : 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret

Læs mere

Elementær sandsynlighedsregning

Elementær sandsynlighedsregning Elementær sandsynlighedsregning Sandsynlighedsbegrebet Et udfaldsrum S er mængden af alle de mulige udfald af et eksperiment. En hændelse A er en delmængde af udfaldsrummet S. Et sandsynlighedsmål er en

Læs mere

3 Stokastiske variable 3.1 Diskrete variable

3 Stokastiske variable 3.1 Diskrete variable 3 Stokastiske variable 3.1 Diskrete variable Punktsandsnligheden benævnes P(x) = P(X = x). {x, P(x)} er en sandsnlighedsfordeling for den stokastiske variabel, X, hvis 1) P(x) $ 0 for alle værdier af x.

Læs mere

Statistik Lektion 2. Uafhængighed Stokastiske Variable Sandsynlighedsfordeling Middelværdi og Varians for Stok. Var.

Statistik Lektion 2. Uafhængighed Stokastiske Variable Sandsynlighedsfordeling Middelværdi og Varians for Stok. Var. Statistik Lektion Uafhængighed Stokastiske Variable Sandsynlighedsfordeling Middelværdi og Varians for Stok. Var. Repetition Stikprøve Stikprøvestørrelse n Stikprøvemiddelværdi Stikprøvevarians s Population

Læs mere

Dagens program. Afsnit Diskrete stokastiske variable Sandsynlighedsfunktioner Simultane fordelinger Betingede sandsynligheder

Dagens program. Afsnit Diskrete stokastiske variable Sandsynlighedsfunktioner Simultane fordelinger Betingede sandsynligheder Dagens program Afsnit 2.1-2.3 Diskrete stokastiske variable Sandsynlighedsfunktioner Simultane fordelinger Betingede sandsynligheder 1 Stokastiske variable (diskrete) Et eksperiment med usikkerhed beskrives

Læs mere

INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG c

INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG c INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG c AALBORG UNIVERSITET FREDRIK BAJERS VEJ 7 G 9220 AALBORG ØST Tlf.: 96 35 89 27 URL: www.math.aau.dk Fax: 98 15 81 29 E-mail: bjh@math.aau.dk Dataanalyse Sandsynlighed og stokastiske

Læs mere

Sandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen

Sandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen Sandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner: Afsnit 3.3 og 3.4 Varians/standardafvigelse

Læs mere

Sandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen

Sandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen Sandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner: Afsnit 3.3 og 3.4 Varians/standardafvigelse

Læs mere

Opgaver i sandsynlighedsregning

Opgaver i sandsynlighedsregning Afdeling for Teoretisk Statistik STATISTIK Institut for Matematiske Fag Preben Blæsild Aarhus Universitet 9. januar 005 Opgaver i sandsynlighedsregning Opgave Lad A og B være hændelser således at P(A)

Læs mere

Nanostatistik: Opgaver

Nanostatistik: Opgaver Nanostatistik: Opgaver Jens Ledet Jensen, 19/01/05 Opgaver 1 Opgaver fra Indblik i Statistik 5 Eksamensopgaver fra tidligere år 11 i ii NANOSTATISTIK: OPGAVER Opgaver Opgave 1 God opgaveskik: Når I regner

Læs mere

Sandsynlighedsregning 6. forelæsning Bo Friis Nielsen

Sandsynlighedsregning 6. forelæsning Bo Friis Nielsen Sandsynlighedsregning 6. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfn@dtu.dk Dagens emner: Afsnit 4.2, 4.3 og 4.4 Poissonprocessen/eksponentialfordelingen

Læs mere

Statistiske modeller

Statistiske modeller Statistiske modeller Statistisk model Datamatrice Variabelmatrice Hændelse Sandsynligheder Data Statistiske modeller indeholder: Variable Hændelser defineret ved mulige variabel værdier Sandsynligheder

Læs mere

For nemheds skyld: m = 2, dvs. interesseret i fordeling af X 1 og X 2. Nemt at generalisere til vilkårligt m.

For nemheds skyld: m = 2, dvs. interesseret i fordeling af X 1 og X 2. Nemt at generalisere til vilkårligt m. 1 Uge 11 Teoretisk Statistik 8. marts 2004 Kapitel 3: Fordeling af en stokastisk variabel, X Kapitel 4: Fordeling af flere stokastiske variable, X 1,,X m (på en gang). NB: X 1,,X m kan være gentagne observationer

Læs mere

Sandsynlighedsregning

Sandsynlighedsregning Mogens Bladt www2.imm.dtu.dk/courses/02405 28. September, 2007 Stokastiske variable Betragt 3 kast med en mønt. Så er udfaldsrummet Ω = {(p, p, p), (p, p, k), (p, k, p), (p, k, k), (k, p, p), (k, p, k),

Læs mere

Sandsynlighedsregning Oversigt over begreber og fordelinger

Sandsynlighedsregning Oversigt over begreber og fordelinger Tue Tjur Marts 2007 Sandsynlighedsregning Oversigt over begreber og fordelinger Stat. MØK 2. år Kapitel : Sandsynlighedsfordelinger og stokastiske variable En sandsynlighedsfunktion på en mængde E (udfaldsrummet)

Læs mere

Statistik Lektion 3. Simultan fordelte stokastiske variable Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen

Statistik Lektion 3. Simultan fordelte stokastiske variable Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen Statistik Lektion 3 Simultan fordelte stokastiske variable Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen Repetition En stokastisk variabel er en funktion defineret på S (udfaldsrummet, der antager

Læs mere

CIVILINGENIØREKSAMEN. Side 1 af 19 sider. Skriftlig prøve, den: 20. december 2006 Kursus nr : 02405. Kursus navn: Sandsynlighedsregning

CIVILINGENIØREKSAMEN. Side 1 af 19 sider. Skriftlig prøve, den: 20. december 2006 Kursus nr : 02405. Kursus navn: Sandsynlighedsregning CIVILINGENIØREKSAMEN Side af 9 sider Skriftlig prøve, den: 0. december 006 Kursus nr : 0405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af: navn underskrift bord

Læs mere

Definition. Definitioner

Definition. Definitioner Definition Landmålingens fejlteori Lektion Diskrete stokastiske variable En reel funktion defineret på et udfaldsrum (med sandsynlighedsfordeling) kaldes en stokastisk variabel. - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/

Læs mere

Anvendt Statistik Lektion 2. Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger

Anvendt Statistik Lektion 2. Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger Anvendt Statistik Lektion 2 Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger Sandsynlighed: Opvarmning Udfald Resultatet af et eksperiment kaldes et udfald. Eksempler:

Læs mere

Regneregler for middelværdier M(X+Y) = M X +M Y. Spredning varians og standardafvigelse. 1 n VAR(X) Y = a + bx VAR(Y) = VAR(a+bX) = b²var(x)

Regneregler for middelværdier M(X+Y) = M X +M Y. Spredning varians og standardafvigelse. 1 n VAR(X) Y = a + bx VAR(Y) = VAR(a+bX) = b²var(x) Formelsamlingen 1 Regneregler for middelværdier M(a + bx) a + bm X M(X+Y) M X +M Y Spredning varians og standardafvigelse VAR(X) 1 n n i1 ( X i - M x ) 2 Y a + bx VAR(Y) VAR(a+bX) b²var(x) 2 Kovariansen

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program

Kvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program Dagens program Afsnit 3.1-3.2 Middelværdi -Definition - Regneregler Betinget middelværdi Middelværdier af funktioner af stokastiske variable Loven om den itererede middelværdi Eksempler 1 Beskrivelse af

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Efterår 2006. Dagens program

Kvantitative Metoder 1 - Efterår 2006. Dagens program Dagens program Afsnit 2.4-2.5 Bayes sætning Uafhængige stokastiske variable - Simultane fordelinger - Marginale fordelinger - Betingede fordelinger Uafhængige hændelser - Indikatorvariable Afledte stokastiske

Læs mere

Et firma tuner biler. Antallet af en bils cylindere er givet ved den stokastiske variabel X med massetæthedsfunktionen

Et firma tuner biler. Antallet af en bils cylindere er givet ved den stokastiske variabel X med massetæthedsfunktionen STATISTIK Skriftlig evaluering, 3. semester, mandag den 6. januar 004 kl. 9.00-13.00. Alle hjælpemidler er tilladt. Opgaveløsningen forsynes med navn og CPR-nr. OPGAVE 1 Et firma tuner biler. Antallet

Læs mere

Oversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger. Per Bruun Brockhoff. Stokastiske Variable

Oversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger. Per Bruun Brockhoff. Stokastiske Variable Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program

Kvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program Dagens program Afsnit 3.1-3.2 Middelværdi -Definition - Regneregler Betinget middelværdi Middelværdier af funktioner af stokastiske variabler Loven om den itererede middelværdi Eksempler 1 Beskrivelse

Læs mere

Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder

Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 11, 2016 1/22 Kursusindhold: Sandsynlighedsregning og lagerstyring

Læs mere

Løsning til eksamen 16/

Løsning til eksamen 16/ 1 IMM - DTU 245 Probability 24-5-11 BFN/bfn Løsning til eksamen 16/12 23 Spørgsmål 1) 2 44% Man benytter formlen for skalering og positionsskift i forbindelse med varians og standardafvigelse, samt formlen

Læs mere

CIVILINGENIØREKSAMEN Side 1 af 18 sider. Skriftlig prøve, den: XY. december 200Z Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)

CIVILINGENIØREKSAMEN Side 1 af 18 sider. Skriftlig prøve, den: XY. december 200Z Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr) CIVILINGENIØREKSAMEN Side 1 af 18 sider Skriftlig prøve, den: XY. december 200Z Kursus nr : 02405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af: (navn) (underskrift)

Læs mere

Kursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M.

Kursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M. Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 9, 2015 Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen

Læs mere

Oversigt. Introduktion til Statistik. Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger

Oversigt. Introduktion til Statistik. Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger Introduktion til Statistik Forelæsning 2: og diskrete fordelinger Oversigt 1 2 3 Fordelingsfunktion 4 Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 017 Danmarks Tekniske Universitet 2800

Læs mere

Sandsynlighedsregning 2. forelæsning Bo Friis Nielsen

Sandsynlighedsregning 2. forelæsning Bo Friis Nielsen Sandsynlighedsregning 2. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Vigtigste nye emner i 2.1, 2.2 og 2.5

Læs mere

Hvad skal vi lave i dag?

Hvad skal vi lave i dag? p. 1/1 Hvad skal vi lave i dag? Repeterer lidt om diskrete sv. Standardfordelinger (binomial, Poisson, geometrisk) Stokastiske vektorer Diskrete stokastiske vektorer p. 2/1 Repetition Heltallige sv er

Læs mere

Nanostatistik: Stokastisk variabel

Nanostatistik: Stokastisk variabel Nanostatistik: Stokastisk variabel JLJ Nanostatistik: Stokastisk variabel p. 1/29 Repetition Ω: udfaldsrummet: alle de mulige udfald af et experiment P(A): ss for hændelsen A = frekvens i uafhængige gentagelser

Læs mere

Betingede sandsynligheder Aase D. Madsen

Betingede sandsynligheder Aase D. Madsen 1 Uge 12 Teoretisk Statistik 15. marts 2004 1. Betingede sandsynligheder Definition Loven om den totale sandsynlighed Bayes formel 2. Betinget middelværdi og varians 3. Kovarians og korrelationskoefficient

Læs mere

Note om Monte Carlo metoden

Note om Monte Carlo metoden Note om Monte Carlo metoden Kasper K. Berthelsen Version 1.2 25. marts 2014 1 Introduktion Betegnelsen Monte Carlo dækker over en lang række metoder. Fælles for disse metoder er, at de anvendes til at

Læs mere

Løsninger til kapitel 5

Løsninger til kapitel 5 1 Løsninger til kapitel 5 Opgave 51 Det nemmeste er her at omskrive alle sandsynlighederne til differenser mellem kumulerede sandsynligheder, dvs af sandsynligheder af formen, og derefter beregne disse

Læs mere

Anvendt Statistik Lektion 2. Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger

Anvendt Statistik Lektion 2. Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger Anvendt Statistik Lektion 2 Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger Sandsynlighed: Opvarmning Udfald Resultatet af et eksperiment kaldes et udfald. Eksempler:

Læs mere

Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo

Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte

Læs mere

Sandsynlighedsregning 7. forelæsning Bo Friis Nielsen

Sandsynlighedsregning 7. forelæsning Bo Friis Nielsen Sandsynlighedsregning 7. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 28 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfn@dtu.dk Dagens emner afsnit 4.5 og 4.6 (Kumulerede) fordelingsfunktion

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007

Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007 Dagens program Kapitel 8.7, 8.8 og 8.10 Momenter af gennemsnit og andele kap. 8.7 Eksempel med simulationer Den centrale grænseværdisætning (Central Limit Theorem) kap. 8.8 Simulationer Normalfordelte

Læs mere

Modul 2: Sandsynlighedsmodeller og diskrete stokastiske variable

Modul 2: Sandsynlighedsmodeller og diskrete stokastiske variable Forskningsenheden for Statistik ST501: Science Statistik Bent Jørgensen Modul 2: Sandsynlighedsmodeller og diskrete stokastiske variable 2.1 Sandsynlighedsbegrebet............................... 1 2.1.1

Læs mere

Statistik og Sandsynlighedsregning 2

Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Uafhængighed og reelle transformationer Helle Sørensen Uge 8, mandag SaSt2 (Uge 8, mandag) Uafh. og relle transf. 1 / 16 Program I dag: Uafhængighed af kontinuerte

Læs mere

Sandsynlighedsregning: endeligt udfaldsrum (repetition)

Sandsynlighedsregning: endeligt udfaldsrum (repetition) Program: 1. Repetition: sandsynlighedsregning 2. Sandsynlighedsregning fortsat: stokastisk variabel, sandsynlighedsfunktion/tæthed, fordelingsfunktion. 1/16 Sandsynlighedsregning: endeligt udfaldsrum (repetition)

Læs mere

Repetition. Diskrete stokastiske variable. Kontinuerte stokastiske variable

Repetition. Diskrete stokastiske variable. Kontinuerte stokastiske variable Normal fordelingen Normal fordelingen Egenskaber ved normalfordelingen Standard normal fordelingen Find sandsynligheder ud fra tabel Transformation af normal fordelte variable Invers transformation Repetition

Læs mere

Vejledende løsninger til opgaver i kapitel 6

Vejledende løsninger til opgaver i kapitel 6 Vejledende løsninger til opgaver i kapitel Opgave 1: a) Den stokastiske variabel, X, der angiver, om en elev består, X = 1, eller dumper, X =, sin eksamen i statistik. b) En binomialfordelt variabel fremkommer

Læs mere

Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder

Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 19, 2016 1/26 Kursusindhold: Sandsynlighedsregning og lagerstyring

Læs mere

Teoretisk Statistik, 16. februar Generel teori,repetition

Teoretisk Statistik, 16. februar Generel teori,repetition 1 Uge 8 Teoretisk Statistik, 16. februar 2004 1. Generel teori, repetition 2. Diskret udfaldsrum punktssh. 3. Fordelingsfunktionen 4. Tæthed 5. Transformationer 6. Diskrete vs. Kontinuerte stokastiske

Læs mere

Nanostatistik: Stokastisk variabel

Nanostatistik: Stokastisk variabel Nanostatistik: Stokastisk variabel JLJ Nanostatistik: Stokastisk variabel p. 1/34 Repetition Ω: udfaldsrummet: alle de mulige udfald af et experiment P(A): ss for hændelsen A = frekvens i uafhængige gentagelser

Læs mere

StatDataN: Middelværdi og varians

StatDataN: Middelværdi og varians StatDataN: Middelværdi og varians JLJ StatDataN: Middelværdi og varians p. 1/33 Repetition Stokastisk variabel: funktion fra udfaldsrum over i de hele tal eller over i de reelle tal Ex: Ω = alle egetræer,

Læs mere

Matematik 3 SS. Københavns Universitet Naturvidenskabelig kandidateksamen, sommeren Opgaver til besvarelse i 3 timer fredag den 18. juni 1993.

Matematik 3 SS. Københavns Universitet Naturvidenskabelig kandidateksamen, sommeren Opgaver til besvarelse i 3 timer fredag den 18. juni 1993. Københavns Universitet Opgaver til besvarelse i 3 timer fredag den 18. juni 1993. Opgave 1 (50%) Det bemærkes, at en række af nedenstående spørgsmål kan besvares uafuængigt af de Øvrige spørgsmål (resultaterne,

Læs mere

Simulering af stokastiske fænomener med Excel

Simulering af stokastiske fænomener med Excel Simulering af stokastiske fænomener med Excel John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Det kan være en ret krævende læreproces at udvikle fornemmelse for mange begreber fra sandsynlighedsregningen

Læs mere

Hvad skal vi lave i dag?

Hvad skal vi lave i dag? p. 1/2 Hvad skal vi lave i dag? Eksempler på stokastiske variable. Ventetid på krone ved møntkast. Antal plat ved n kast. Antal radioaktive henfald. Ventetiden på en flyulykke. Udtrækning af tal i et interval.

Læs mere

4 Stokastiske variabler

4 Stokastiske variabler 4 Stokastiske variabler I kapitel 3 viste vi, hvordan man kan tilskrive sandsynligheder til forskellige hændelser, der knytter sig til et eksperiment. I praksis vil et eksperiment ofte involvere mange

Læs mere

Program. Statistik og Sandsynlighedsregning. Eksempler. Sandsynlighedstæthed og sandsynlighedsmål

Program. Statistik og Sandsynlighedsregning. Eksempler. Sandsynlighedstæthed og sandsynlighedsmål Program Statistik og Sandsynlighedsregning Sandsynlighedstætheder og kontinuerte fordelinger på R Varians og middelværdi Normalfordelingen Susanne Ditlevsen Uge 48, tirsdag Tætheder og fordelingsfunktioner

Læs mere

Sandsynligheder. Mængder Hændelser Sandsynligheder Regler for sandsynligheder

Sandsynligheder. Mængder Hændelser Sandsynligheder Regler for sandsynligheder Sandsynligheder Mængder Hændelser Sandsynligheder Regler for sandsynligheder Sandsynligheder En sandsynlighed er et kvantitativt mål for usikkerhed et mål der udtrykker styrken af vores tro på forekomsten

Læs mere

Sandsynlighedsregning 2. forelæsning Bo Friis Nielsen

Sandsynlighedsregning 2. forelæsning Bo Friis Nielsen Vigtigste nye emner i.,. og.5 Sandsynlighedsregning. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Siene Danmarks Tekniske Universitet 800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Binomialfordelingen

Læs mere

Program. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Middelværdi og varians. Eksempler fra sidst. Sandsynlighedstæthed og sandsynlighedsmål

Program. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Middelværdi og varians. Eksempler fra sidst. Sandsynlighedstæthed og sandsynlighedsmål Program Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Middelværdi og varians Helle Sørensen Uge 6, onsdag I formiddag: Tætheder og fordelingsfunktioner kort resume fra i mandags og et par eksempler mere om sammenhængen

Læs mere

Sandsynlighedsregning & Statistik

Sandsynlighedsregning & Statistik Jørgen Larsen Sandsynlighedsregning & Statistik for matematikstuderende 2006 Indhold Forord 5 Del I Sandsynlighedsregning 7 Indledning 9 Endelige udfaldsrum. Grundlæggende definitioner.....................

Læs mere

Statistik Lektion 2. Betinget sandsynlighed Bayes regel Diskrete stokastiske variable Middelværdi og varians for diskret SV Binomialfordelingen

Statistik Lektion 2. Betinget sandsynlighed Bayes regel Diskrete stokastiske variable Middelværdi og varians for diskret SV Binomialfordelingen Statistik Lektion etinget sandsynlighed ayes regel Diskrete stokastiske variable Middelværdi og varians for diskret SV inomialfordelingen Repetition Udfaldsrum S Hændelse S Simpel hændelse O i 1, 3 4,

Læs mere

Billedbehandling og mønstergenkendelse: Lidt elementær statistik (version 1)

Billedbehandling og mønstergenkendelse: Lidt elementær statistik (version 1) ; C ED 6 > Billedbehandling og mønstergenkendelse Lidt elementær statistik (version 1) Klaus Hansen 24 september 2003 1 Elementære empiriske mål Hvis vi har observationer kan vi udregne gennemsnit og varians

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Efterår 2006. Dagens program

Kvantitative Metoder 1 - Efterår 2006. Dagens program Dagens program Afsnit 1.7-1.8 Fødselsdagseksemplet, fra sidst Eksperimenterikkealleerligesandsynlige Diskrete sandsynlighedsfordelinger -Definition af sandsynligheder - Regneregler Hvad er sandsynligheder?

Læs mere

DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 17 sider. Skriftlig prøve, den: 19. december 2012 Kursus nr : 02405. (navn) (underskrift) (bord nr)

DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 17 sider. Skriftlig prøve, den: 19. december 2012 Kursus nr : 02405. (navn) (underskrift) (bord nr) DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side af 7 sider Skriftlig prøve, den: 9. december 0 Kursus nr : 0405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Varighed : 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret

Læs mere

Kønsproportion og familiemønstre.

Kønsproportion og familiemønstre. Københavns Universitet Afdeling for Anvendt Matematik og Statistik Projektopgave forår 2005 Kønsproportion og familiemønstre. Matematik 2SS Inge Henningsen februar 2005 Indledning I denne opgave undersøges,

Læs mere

2011.09.20 lth@campus.dk

2011.09.20 lth@campus.dk 2011.09.20 lth@campus.dk Intro Læseplan Beskrivende Statistik Sandsynligheder Ordet kommer fra Latin.: statisticum (statsrådgiver) Italiensk.: statistica (statsmand / politiker) Hvorfor statistik? Træk

Læs mere

Statistik og Sandsynlighedsregning 2

Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Lineære transformationer, middelværdi og varians Helle Sørensen Uge 8, onsdag SaSt2 (Uge 8, onsdag) Lineære transf. og middelværdi 1 / 15 Program I formiddag: Fordeling

Læs mere

hvor a og b er konstanter. Ved middelværdidannelse fås videre

hvor a og b er konstanter. Ved middelværdidannelse fås videre Uge 3 Teoretisk Statistik. marts 004. Korrelation og uafhængighed, repetition. Eksempel fra sidste gang (uge ) 3. Middelværdivektor, kovarians- og korrelationsmatrix 4. Summer af stokastiske variable 5.Den

Læs mere

Forelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup)

Forelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup) Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program

Kvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program Dagens program Kontinuerte fordelinger Simultane fordelinger Kovarians og korrelation Uafhængighed Betingede fordelinger - Middelværdi og varians - Sammenhæng med uafhængighed 1 Figur 1: En tæthedsfunktion

Læs mere

Bernoulli og binomial fordelingerne Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen

Bernoulli og binomial fordelingerne Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen Bernoulli og binomial fordelingerne Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen Repetition Lov om total sandsynlighed Bayes sætning P( B A) = P(A) = P(AI B) + P(AI P( A B) P( B) P( A B) P( B) +

Læs mere

Sandsynlighedsregning

Sandsynlighedsregning Mogens Bladt www2.imm.dtu.dk/courses/02405 7. September, 2007 Hvad er sandsynlighedsregning? Formel matematisk måde til at håndtere tilfældigheder. Dybest set en formalisering af udregninger med proportioner.

Læs mere

Simulering af stokastiske fænomener med Excel

Simulering af stokastiske fænomener med Excel Simulering af stokastiske fænomener med Excel John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Det kan være en ret krævende læreproces at udvikle fornemmelse for mange begreber fra sandsynlighedsregningen

Læs mere

DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 16 sider. Skriftlig prøve, den: 17. december 2015 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)

DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 16 sider. Skriftlig prøve, den: 17. december 2015 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr) DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 16 sider Skriftlig prøve, den: 17. december 015 Kursus nr : 0405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Varighed : 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til sandsynlighedsregning (side 434)

Forslag til løsning af Opgaver til sandsynlighedsregning (side 434) Forslag til løsning af Opgaver til sandsynlighedsregning (side 434) Opgave Vi kan selv vælge, om vi vil arbejde med ordnet eller uordnet udtagelse, hvis vi blot sikrer, at vi er konsekvente i vores valg,

Læs mere

CIVILINGENIØREKSAMEN Side 1 af 16 sider. Skriftlig prøve, den: 16. december 2010 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)

CIVILINGENIØREKSAMEN Side 1 af 16 sider. Skriftlig prøve, den: 16. december 2010 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr) CIVILINGENIØREKSAMEN Side 1 af 16 sider Skriftlig prøve, den: 16. december 2010 Kursus nr : 02405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af: (navn) (underskrift)

Læs mere

Lad os som eksempel se på samtidigt kast med en terning og en mønt:

Lad os som eksempel se på samtidigt kast med en terning og en mønt: SANDSYNLIGHEDSREGNING Stokastisk eksperiment Et stokastisk eksperiment er et eksperiment, hvor vi fornuftigvis ikke på forhånd kan have en formodning om resultatet af eksperimentet Til gengæld kan vi prøve

Læs mere

Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable

Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/41 Landmålingens fejlteori - lidt om kurset

Læs mere

DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 16 sider. Skriftlig prøve, den: 24. maj 2012 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)

DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 16 sider. Skriftlig prøve, den: 24. maj 2012 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr) DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side af 6 sider Skriftlig prøve, den: 24. maj 2 Kursus nr : 02405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Varighed : 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af:

Læs mere

Repetition Stokastisk variabel

Repetition Stokastisk variabel Repetition Stokastisk variabel Diskret stokastisk variabel Udfaldsrum endelige eller tællelige mange antal elementer Sandsynlighedsfunktion f(x) er ofte tabellagt Udregning af sandsynligheder P( a < X

Læs mere

Landmålingens fejlteori - Repetition - Kontinuerte stokastiske variable - Lektion 3

Landmålingens fejlteori - Repetition - Kontinuerte stokastiske variable - Lektion 3 Landmålingens fejlteori Repetition - Kontinuerte stokastiske variable Lektion 4 - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf10 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 29. april

Læs mere

Sandsynlighedsregning & Statistik

Sandsynlighedsregning & Statistik Sandsynlighedsregning & Statistik for matematikstuderende Jørgen Larsen 2006 Roskilde Universitet Teksten er sat med skriften Kp-Fonts ved hjælp af KOMA- Script og LATEX. Tegningerne er fremstillet med

Læs mere

CIVILINGENIØREKSAMEN. Side 1 af 18 sider. Skriftlig prøve, den: 2. juni 2009 Kursus nr : 02405. Kursus navn: Sandsynlighedsregning

CIVILINGENIØREKSAMEN. Side 1 af 18 sider. Skriftlig prøve, den: 2. juni 2009 Kursus nr : 02405. Kursus navn: Sandsynlighedsregning CIVILINGENIØREKSAMEN Side 1 af 18 sider Skriftlig prøve, den: 2. juni 2009 Kursus nr : 02405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af: (navn) (underskrift)

Læs mere

Agenda Sandsynlighedsregning. Regneregler (kap. 3-4) Fordelinger og genkendelse af fordelinger (kap. 3-5) Simultane, marginale og betingede

Agenda Sandsynlighedsregning. Regneregler (kap. 3-4) Fordelinger og genkendelse af fordelinger (kap. 3-5) Simultane, marginale og betingede Agenda Sandsynlighedsregning. Regneregler (kap. 3-4) Fordelinger og genkendelse af fordelinger (kap. 3-5) Simultane, marginale og betingede fordelinger (kap. 4) Middelværdi og varians (kap. 3-4) Fordelingsresultater

Læs mere

Et eksempel på en todimensional normalfordeling Anders Milhøj September 2006

Et eksempel på en todimensional normalfordeling Anders Milhøj September 2006 Et eksempel på en todimensional normalfordeling Anders Milhøj September 006 I dette notat gennemgås et eksempel, der illustrerer den todimensionale normalfordelings egenskaber. Notatet lægger sig op af

Læs mere

Binomialfordelingen. Binomialfordelingen. Binomialfordelingen

Binomialfordelingen. Binomialfordelingen. Binomialfordelingen Statistik og Sandsynlighedsregning 1 MS kapitel 3 Susanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag Email: susanne@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susanne Definition 3.2.1 Lad X 1, X 2,..., X n være uafhængige

Læs mere

{ } { } {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )}

{ } { } {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )} Stokastisk eksperiment Et stokastisk eksperiment er et eksperiment, hvor vi fornuftigvis ikke på forhånd kan have en formodning om resultatet af eksperimentet. Til gengæld kan vi prøve at sige noget om,

Læs mere

MATEMATIK ( 5 h ) DATO: 8. juni 2009

MATEMATIK ( 5 h ) DATO: 8. juni 2009 EUROPÆISK STUDENTEREKSAMEN 2009 MATEMATIK ( 5 h ) DATO: 8. juni 2009 PRØVENS VARIGHED: 4 timer (240 minutter) TILLADTE HJÆLPEMIDLER Europaskolernes formelsamling Ikke-grafisk, ikke-programmerbar lommeregner

Læs mere

1/41. 2/41 Landmålingens fejlteori - Lektion 1 - Kontinuerte stokastiske variable

1/41. 2/41 Landmålingens fejlteori - Lektion 1 - Kontinuerte stokastiske variable Landmålingens fejlteori - lidt om kurset Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Kursusholder

Læs mere

Oversigt over nyttige fordelinger

Oversigt over nyttige fordelinger Oversigt over nyttige fordelinger Helene Regitze Lund Wandsøe November 14, 2011 1 Bernoulli-fordelingen 1 Når et eksperiment har to mulige udfald: succes eller fiasko. X er en stokastisk variabel med følgende

Læs mere

Supplement til kapitel 7: Approksimationen til normalfordelingen, s. 136

Supplement til kapitel 7: Approksimationen til normalfordelingen, s. 136 Supplement til kapitel 7: Approksimationen til normalfordelingen, s. 36 Det er besværligt at regne med binomialfordelingen, og man vælger derfor ofte at bruge en approksimation med normalfordeling. Man

Læs mere

Lidt historisk om chancelære i grundskolen

Lidt historisk om chancelære i grundskolen Lidt historisk om chancelære i grundskolen 1976 1.-2.klassetrin Vejledende forslag til læseplan:.det tilstræbes endvidere at eleverne i et passende talmaterialer kan bestemme for eksempel det største tal,

Læs mere

CIVILINGENIØREKSAMEN Side 1 af 16 sider. Skriftlig prøve, den: 20. december 2011 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)

CIVILINGENIØREKSAMEN Side 1 af 16 sider. Skriftlig prøve, den: 20. december 2011 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr) CIVILINGENIØREKSAMEN Side 1 af 16 sider Skriftlig prøve, den: 20. december 2011 Kursus nr : 02405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af: (navn) (underskrift)

Læs mere

Landmålingens fejlteori - Sandsynlighedsregning - Lektion 1

Landmålingens fejlteori - Sandsynlighedsregning - Lektion 1 Landmålingens fejlteori Sandsynlighedsregning Lektion 1 - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf10 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 23. april 2009 1/28 Landmålingens

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007

Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007 Dagens program Kapitel 4: Diskrete fordelinger Afsnit 4.1-4.2, 4.7: Bernoulli fordeling Binomial fordeling Store Tals Lov (Laws of Averages, Laws of Large Numbers) 1 Bernoulli fordeling Kvantitative Metoder

Læs mere