Kap. 1: Integralregning byggende på stamfunktioner.

Transkript

1 - - Kp. : Itegrlregig yggede på stmfuktioer... Specielle egesker ved fuktioer. Defiitio... E fuktio f siges t være egræset i et itervl I, hvis f er defieret i itervllet, og hvis der fides to tl k og K, så der for lle I gælder, t: k f() K Fig.. Øvelse... Afgør hvilke f følgede fuktioer f der er egræsede i itervllet I, år: ) f() = 5 si(), I = R ) f() =, I = ] ; [ + c) f() =, I = ] ;[ d) f() =, I = R + + Defiitio... ) E fuktio f siges t være positiv (eller mere korrekt: ikke-egtiv) i et itervl I, hvis f er defieret i I, og hvis f() for lle I. (Se figur. ) ) E fuktio g siges t være egtiv (eller mere korrekt: ikke-positiv) i et itervl I, hvis g er defieret i I, og hvis g() for lle I. (Se figur. ) y y Fig.. ) Fig.. ) Ps på, t de sproglige fordel ved eævelse positiv fuktio i stedet for ikke-egtiv fuktio ikke fører til e logisk ulempe, hvor m tror, t f() >. Fuktioe k stdigvæk godt tge fuktiosværdie (Se figur.. )). Og tilsvrede med eævelse egtiv fuktio. Det er ltså p.gr.. de sproglige fordel, t vi i dee og tillder os t vede eævelsere positiv fuktio hhv. egtiv fuktio, selvom de mere korrekte eævelser er: ikke-egtiv hhv. ikkepositiv fuktio. Stee Betze: Mtemtik for Gymsiet. Itegrlregig. Teori, vedelser og modeller.

2 - 4 - Øvelse..4. Afgør, om følgede fuktioer er positive fuktioer, egtive fuktioer eller ige f delee: ) f() = + 7 ) f() =, < 4 c) f() = + (cos() +,5) + 4 Defiitio..5. E fuktio f siges t være stykkevis mooto, hvis des defiitiosmægde k opdeles i edeligt mge delitervller idefor hvilke f ete er voksede, ftgede eller kostt, evt. ortset fr itervledepuktere. (Se figur.) Vi veder også eævelse: stykkevis mooto i et itervl I. De eeste forskel er, t defiitiosmægde erstttes f itervllet I. Fig.. Øvelse..6. Opdel defiitiosmægde for hver f følgede fuktioer i itervller som ført i defiitio..5. ) f() = ) f() = + c) f() = 6 Øvelse..7. Fuktioe f() = si, ] ;] er kotiuert. Argumetér for, t f ikke er stykkevis mooto. Defiitio..8. E fuktio f siges t være stykkevis kotiuert, hvis des defiitiosmægde k opdeles i edeligt mge delitervller idefor hvilke f er kotiuert, evt. ortset fr itervledepuktere. Vi veder også eævelse: stykkevis kotiuert i et itervl I. De eeste forskel er, t defiitiosmægde erstttes f itervllet I. Øvelse..9. Gør rede for, t fuktioe på figur. er stykkevis kotiuert i I = [ ; ]. Beskriv de relevte delitervller og om edepuktere er med eller ej. Stee Betze: Mtemtik for Gymsiet. Itegrlregig. Teori, vedelser og modeller.

3 Stmfuktioer. Defiitio... E fuktio F siges t være stmfuktio til e fuktio f i et itervl I, hvis: F () = f() for lle I (ltså hvis F differetieret giver f). Hvis er et itervledepukt for I, som er med i I, så er det uderforstået, t der er tle om F + () eller F () Eksempel... ) Fuktioe F() = si er stmfuktio til fuktioe f() = cos i hele R, idet der for lle gælder, t (si ) = cos Me emærk, t fuktioere: si( ), si() og si() + ligeledes er stmfuktioer til cos, idet det kostte led forsvider ved differetitioe. 4 ) Fuktioe er stmfuktio til fuktioe 4, idet ( ) = 4 4 Eksempel.. Fuktioe l + c, hvor c er e vilkårlig kostt, er e stmfuktio til åde i R + og i R. For hvis >, så er ( l + c ) = ( l ) = (l ) = Og hvis <, så er ( l + c ) = ( l ) = (l( )) = ( ) = ( ) = hvor vi i de sidste omskrivig hr rugt dels, t = for egtive, dels regeregle for differetitio f e smmest fuktio. Øvelse..4. Bestem e stmfuktio til hver f fuktioere: ) f() = ) f() = c) f() = si( ) d) f() = e e) f() = f) f() = g) f() = h) f() = + t () i) f() =,7 + Øvelse..5. Bestem e stmfuktio til: ) f(s) = s ) g(p) = p + c) h(y) = 8 5y y På iderside f dee ogs omslg er der ført e tel over e række kedte fuktioer, deres stmfuktioer og deres differetilkvotiet. Stmfuktioeres rigtighed k kotrolleres ved t differetiere dem og se, t det giver de tilsvrede fuktio. Dette overldes som e øvelse til læsere. Me det skl fremhæves, t der i de følgede tekst gives rgumeter for, hvord vi hr fudet (eller k fide!) de førte stmfuktioer. De er jo ikke re tryllet frem. Stee Betze: Mtemtik for Gymsiet. Itegrlregig. Teori, vedelser og modeller.

4 - 6 - I forlægelse f eksempel.. og.. emærkes, t vi overlt i koloe over stmfuktioer k lægge e vilkårlig (e såkldt ritrær ) kostt k til, idet e såd kostt forsvider ved differetitio. Som ævt gælder der, t hvis e fuktio f hr e stmfuktio F, så er lle fuktioer f type F + k, hvor k er e kostt, også stmfuktioer til f. Omvedt ser vi, t hvis F og G er stmfuktioer til de smme fuktio f i et itervl I, så hr vi: F () = f () og G () = f () for lle I og dermed gælder der: G () F () = dvs. ( G() F()) = for lle I. Hvis e fuktios differetilkvotiet er i et itervl, så er fuktioe kostt. Der fides derfor e kostt k, så G() F() = k, dvs. G() = F() + k. I lt hr vi dermed vist følgede sætig: Sætig..6. Hvis e fuktio f hr e stmfuktio F i et itervl I, så hr de uedeligt mge stmfuktioer. Og smtlige stmfuktioer til f i itervllet I er f forme: F + k, hvor k er e kostt. Herudfr k vi u idse, t der gælder følgede sætig: Sætig..7. Ld f være e fuktio, som i et itervl I hr e stmfuktio F, og ld ( o, y o ) være et pukt i ple, hvor o I. D hr f etop é stmfuktio i I, hvis grf går igeem puktet ( o, y o ). Bevis: D e vilkårlig stmfuktio til f i I hr forme F + k, og d der skl gælde, t F( o ) + k = y o er der ku e mulighed for værdie f k, emlig: k = y o F( o ). For dee værdi f k er det øskede imidlertid også opfyldt, hvormed sætige er evist. Eksempel..8. Vi vil fide e stmfuktio F til fuktioe f() = i itervllet I = R +, så grfe for F går igeem puktet (4,7), dvs. som opfylder, t F(4) = 7. D fuktioe er e stmfuktio til f (kotrollér!) får vi ifølge sætig..6, t der fides e kostt k, så F() = + k. D F(4) = 7 fides k således: 5 7 = k k = Vi fider ltså, t: F() = + 5, R + Fig..4 Stee Betze: Mtemtik for Gymsiet. Itegrlregig. Teori, vedelser og modeller.

5 - 7 - Øvelse..9. Bestem de stmfuktio Q til fuktioe: q() = +, >, som opfylder, t Q(4) = Øvelse... Bestem e fuktiosforskrift for fuktioe h, idet det er givet, t: h () = e og h() =.. Uestemte itegrler. Defiitio... Som etegelse for e (vilkårlig) stmfuktio til e give fuktio f vedes ofte symolet: f () d f kldes også for et uestemt itegrle f f, () d og år vi fider e stmfuktio til f så siger vi, t itegrerer f. I opskrivige f itegrlet kldes fuktioe f ofte for itegrde. Fordele ved etegelse f () d for e stmfuktio til f frem for t klde de F er, t m i udtrykket f () d k se, hvilke fuktio f vi fider stmfuktioe til. Vi k derfor f.eks. skrive: i stedet for: cos d = si F() = si er e stmfuktio til cos Det skl emærkes, t m ofte skriver d i stedet for: d. Vi hr således, t d = (+ k) Idholdet i defiitio.. k også formuleres således: Hvis F er e stmfuktio til f i et itervl I, så skriver vi F() = f () d og vi siger, t F fremkommer ved t itegrere f. f () d er ltså e fuktio (e stmfuktio til f). Af defiitio.. ser vi, t der gælder følgede: f og ( ) ( f ()d) = f () ( ) ()d = F() F () = f () Reglere ( ) og ( ) kldes ofte itegrtiosprøve, idet m k ruge disse til t kotrollere, om det er korrekt, t e give fuktio hr e de give fuktio som stmfuktio. Det vr fktisk dee fremggsmåde der lev omtlt s. 5 ederst i foridelse med stmfuktiostelle. Bemærk, t hvis f er e differetiel fuktio, så er f e stmfuktio til f, dvs. f () d = f() Vi k herf se, hvorfor m ofte siger, t itegrtio er de modstte regigsrt f differetitio. Stee Betze: Mtemtik for Gymsiet. Itegrlregig. Teori, vedelser og modeller.

6 - 8 - Eksempel... ) Fuktioe F() = F () er stmfuktio til fuktioe f() =, idet der gælder: = ( ) = = f () Vi k derfor skrive: d = Fuktioer som: +, 5, + 8, 6 eller geerelt: + k er også stmfuktioer til, idet det kostte led forsvider ved differetitio (jfr. sætig..6). Vi ør derfor skrive: d = + k, hvor k er e vilkårlig ( ritrær ) kostt. ) Der gælder: + si()) d = cos() + k, idet ( cos() + k) = ( si()) = + si() ( Øvelse..: Bestem følgede uestemte itegrler: ) 8 d ) d c) d 5 Øvelse..4. Opskriv stmfuktiosformlere,,, 4, 5, 6, 9,,,, 4, 6, 7 fr stmfuktiostelle på omslget ved hjælp f itegrlteget og rgumeter for deres rigtighed. I forlægelse f øvelse..4, eksempel.. og sætig..6 skl det fremhæves, t der til hver f stmfuktioere k lægges e vilkårlig kostt, idet dee forsvider ved differetitio. E stmfuktio til e give fuktio er ltså ikke helt etydig fstlgt. Værdie f kostte k i e kokret situtio fstlægges ud fr kedsk til e fuktiosværdi for stmfuktioe (jfr. sætig..7, eksempel..8, øvelse..9 og.., smt edeståede eksempel..5 og øvelse..6). Eksempel..5. Vi vil fide de stmfuktio F til fuktioe f() =,8, hvis grf går igeem puktet (,) Vi hr (kotrollér!), t: F() =,8 d =,8 + c, hvor kostte (der her kldes c) edu er ukedt. Værdie f c fstlægges ud fr krvet om, t F() =, hvorf vi får: l,8 =,8 + c c =,85 l,8 De søgte stmfuktio hr ltså forskrifte: F() =,8 +,85 =,46,8 +, 85 l,8 Øvelse..6. Bestem til hver f de følgede fuktioer e stmfuktio, hvis grf går igeem puktet: (,) ) f() = ) f() = e c) f() = 8,7 d) f() =,6 +,6 e) f() = e,9 Stee Betze: Mtemtik for Gymsiet. Itegrlregig. Teori, vedelser og modeller.

7 Regeregler for uestemte itegrler. Til hjælp ved estemmelse f stmfuktioer (uestemte itegrler) gælder e række regeregler, hvor vi i første omgg vil omtle de mere simple f dem: Sætig.4.. Ld f og g være to fuktioer, der hr stmfuktioere og ld k R være e kostt. Der gælder d følgede regler: k f () d = k f () d ) ) ( f () g()) d = f () d + c) ( f () g()) d = f () d + g() d g() d F() = f () d og G () = g() d Bevis: De tre regler følger f, t år F og G er stmfuktioer til f og g, så er kf, F + G og F G stmfuktioer til hhv. kf, f + g og f g. Og dette gælder, idet : ( kf) () = k F () = k f () ( F + G) () = F () + G () = f () + g() ( F G) () = F () G () = f () g() Eksempel.4.. Ved vedelse f de tre regler i sætig.4. ser vi: ( + 9 7) d d d + = 9 d = 5 4 d d + 9 d r+ = = hvor vi også hr eyttet formle: r d = og det fktum, t e stmfuktio til e r + kostt er kostte gge de vrile. Det skl emærkes, t med lidt øvelse k m sprige direkte fr første til sidste led i de oveståede omskrivig. 7 d 7 Øvelse.4.: Udreg følgede uestemte itegrler: ) ( ) d ) d c) (5si + 44e ) d Øvelse.4.4. Bestem følgede stmfuktioer: ) log () d ) log( ) d Vejledig: Aved sætig.4. ) og det fktum, t: log c () = l l c Stee Betze: Mtemtik for Gymsiet. Itegrlregig. Teori, vedelser og modeller.

8 - - Delvis itegrtio. Sætig.4.5. (Delvis Itegrtio) Ld f og g være kotiuerte fuktioer defieret i et itervl I. Atg desude, t g er differetiel i I og t g er kotiuert, smt t F er e stmfuktio til f i I. Der gælder d, t f ()g() d = F() g() F() g () d Dee metode kldes delvis (eller prtiel) itegrtio, idet vi ikke får udreget itegrlet helt, me får det udtrykt ved et yt itegrle (som så forhåetlig er lettere t rege ud). Bevis: Ud fr regle om differetitio f et produkt får vi: ( F() g()) = F () g() + F() g () = f () g() + F() g () og hermed: ( F() g()) d = f ()g() d + F() g () d D ( F() g()) d = F() g() idses regle ved t flytte leddet F() g () d modstte side f lighedsteget. over på de Eksempel.4.6. Vi vil estemme e stmfuktio til fuktioe Vi sætter f() = får vi ifølge sætig.4.5, t 5 ( + ) d 5 ( + ) og g() =. D F() = De søgte stmfuktio er ltså: 6 ( + 5 ), dvs. vi vil estemme: ( + ) d 6 ) 6 = ( + ) ( + ) d 6 6 = ( + ) ( + ) d = ( + ) ( + ) ( ) ( + ) ( + er e stmfuktio til f, og d g () = (+ e ritrær kostt). (Læsere opfordres til t kotrollere dette ved vedelse f itegrtiosprøve). 5 Øvelse.4.7. Udreg følgede uestemte itegrler: ) e d ) s e ds s Øvelse.4.8. Vis v.hj.. delvis itegrtio, t: l( ) d = l() + k (r. 5 i stmfuktiostelle) (Vejledig: Betrgt l() i stedet for l() ). Øvelse.4.9. Bestem d ved delvis itegrtio. Bestem derefter det smme itegrle ud fr: = Stee Betze: Mtemtik for Gymsiet. Itegrlregig. Teori, vedelser og modeller.

9 - - Itegrtio ved sustitutio. Sætig.4.. (Itegrtio ved sustitutio). Ld fuktioe g være defieret og differetiel i et itervl I med kotiuert fledet fuktio g, og ld f være e kotiuert fuktio som opfylder, t Vm(g) Dm(f). Der gælder d, t: f (g()) g () d = f (t) dt, hvor t = g() og dt = g () d. Dee metode kldes itegrtio ved sustitutio, idet vi hr sustitueret (idst, erstttet) t i stedet for g(), og dermed liver dt = g ()d (i overesstemmelse med reglere for differetiler). De vrile, vi sustituerer for g(), k turligvis kldes lt muligt det ed t, f.eks. s, p eller u re ikke, idet er optget som vriel i g(). Bevis: Ld F være e stmfuktio til f. Ud fr forudsætigere i sætige k vi de og differetiere de smmestte fuktio F(g()), for I. Og ud fr regle om differetitio f e smmest fuktio får vi dermed, t: og dermed: ( F(g())) = F (g()) g () = f (g()) g () (g()) g ()d = (F(g())) f d = F(g()) = F(t), hvor t = g() D F(t) = f (t) dt er sætige hermed evist. Eksempel.4.. Vi vil estemme 4 d ved vedelse f itegrtio ved sustitutio. Vi skl derfor lede efter e smmest fuktio f(g()) i itegrde 4 = 4 Vi ser t e mulighed er: g() = 4 og f() =. et i tællere er ført ed ved side f røke, me det geerer selvfølgelig, så vi må håe på, t det forsvider i sustitutiosprocesse. Vi sætter t = g() = 4 hvormed vi får: dt = d. Der står desværre ikke d, me ku d i itegrlet. Dette prolem fhjælpes ved ete t sige: dt = d dt = d eller: d = d 4 4 hvor vi i det sidste tilfælde åde hr gget og divideret med for t opå det øskede udtryk. I egge tilfælde får vi: d = dt = t = 4 4 t hvor vi i sidste led hr erstttet t med g() = 4, idet vi turligvis skl hve stmfuktioe til udtrykt ved de hér vedte vrile, dvs.. Vi får ltså: d = Stee Betze: Mtemtik for Gymsiet. Itegrlregig. Teori, vedelser og modeller.

10 - - Øvelse.4.. Bestem følgede uestemte itegrler v.hj.. sustitutio: ) + 8 d ) (v ) dv c) 4m m + 9 dm Øvelse Udreg følgede uestemte itegrler: ) d p ) 5p e dp Øvelse.4.4. Vis formlere 7, 8,, 8, 9, og i stmfuktiostelle v.hj.. sustitutio. Specielle forhold ved og specielle udregiger f uestemte itegrler. Vi ser, t der åde i formle for delvis itegrtio og i formle for itegrtio ved sustitutio optræder et produkt f to fuktioer. Og i egge tilfælde får vi et yt itegrle, som så forhåetlig er emmere t udrege ed det opridelige. Når m i e kokret situtio skl rige e f metodere i vedelse, k m lmideligvis eytte det fktum, t der ved sustitutio skl forekomme e smmest fuktio. Me dette er ikke ok, for reste f fuktioe skl (på ær e kostt) psse med g ()d, hvilket ikke ltid er tilfældet. Som tidligere omtlt er itegrtio de modstte regigsrt f differetitio. Me medes differetitio k gries ret rutiemæssigt / værktøjsmæssigt, så ygger itegrtio ofte på opgveløseres ituitio og erfrig, og så turligvis på e kott vide om regeregler og visse stmfuktioer. E særlig udgve f itegrtio ved sustitutio hr vi, hvor sustitutiosprocesse ikke mtcher fuldstædig med formle, me hvor vi vi sustitutioe k omskrive itegrde til oget, der er emmere t itegrere. Eksempel Vi vil udrege itegrlet d. Vi sætter t = +. Dermed får vi dels, t dt = d, dels t 5 ( + ) = t. Vi k derfor omskrive således: 5 t d = 5 5(t ) dt = 5 5 ( ) dt 5 5 ( + ) t t = 4 t 5 5 t dt t dt 4 = 5 t + t 4 Som i eksempel.4. veder vi u tilge til de opridelige vrile, og får dermed: 5 d = ( + ) + ( + ) 5 ( + ) (Læsere opfordres til t kotrollere resulttet ved vedelse f itegrtiosprøve). Øvelse.4.6. Bereg følgede uestemte itegrler: ) d ) y cos(y + 7) dy Stee Betze: Mtemtik for Gymsiet. Itegrlregig. Teori, vedelser og modeller.

11 - - Eksempel.4.7. Vi vil estemme følgede itegrler: ) si () d ) cos () d c) t () d Ad ): D cos() = si () ser vi, t si () = cos(), hvorf vi får, t: si () d = d cos() d = si() = si() 4 Ad ): D cos() = cos () ser vi, t cos () = + cos(), hvorf vi får, t: cos () d = d + cos() d = + si() = si() + 4 Ad c): D t () = + t (), ser vi, t t () d = ( + t ())d d = t Disse tre formler er ført i stmfuktiostelle (r., og 4) gest i oge. Eksempel.4.8. M E logistisk vækstfuktio er e fuktio f forme:, hvor M, c og k er kostter km + c e (k ). Såde fuktioer omtles i Appedi. M km Vi vil evise, t: d = l e + c km + c e k km km M M e Brøke ide i itegrlteget forlæges med e. Vi får: d = d km km + c e e + c I dette sidste itegrl veder vi sustitutioe: t = e km + c og dt = km e km d, hvormed det k omskrives således: M e e km km + c Hvis vi i dette udtryk idsætter, t t = d = k dt t = l t. k e km + c, så får vi de øskede formel. (Nr. 5 i telle) Som det forhåetlig er fremgået vi tekste og de tilhørede øvelser og opgver, så er der i pricippet -4 fremggsmåder ved itegrtio: Fremggsmåder ved eregig f itegrler/stmfuktioer: ) M k direkte gekede fuktioe og fide des stmfuktio ) M k omskrive/opdele itegrde og rege på det herved fremkome ye udtryk ) M k vede regereglere for itegrtio her tækes specielt på delvis itegrtio og itegrtio ved sustitutio 4) M k lde de tre foregåede pricipper på pssede vis. M k selvfølgelig også (om ed det må eteges som midre mtemtisk ) fide itegrde i e itegrltel som f.eks. stmfuktiostelle gest i dee og. Stee Betze: Mtemtik for Gymsiet. Itegrlregig. Teori, vedelser og modeller.

12 Areler og estemte itegrler. Vi etrgter e fuktio f defieret i et itervl [ ;]. Hvis f er positiv, kotiuert og stykkevis mooto (jfr. fsit.), så k vi defiere relfuktioe A() som de fuktio, der til ethvert [ ;] tilorder relet A() f de puktmægde, som ligger imellem grfe og førstek- ; (se figur.5). se idefor itervllet [ ] Bemærk, t A() =, og t A() er relet uder hele grfe, dvs. A() er relet f puktmægde M = {(, y) y f () } Fig..5 Der gælder u følgede sætig: Sætig.5.. Ld f være e positiv, kotiuert og stykkevis mooto fuktio defieret i itervllet [ ;], og ld A() være de tilsvrede relfuktio. D gælder, t A er e stmfuktio til f, dvs. A () = f () Bevis: Ld o ] ; [ være vilkårligt vlgt. Vi vil vise, t der i dette pukt gælder, t A ( o ) = f ( o ). Vi vil først udersøge, hvd der sker til højre for o. D f er stykkevis mooto, er f ete voksede, ftgede eller kostt i et område til højre for o. Vi vil her tge, t f er voksede. (Hvis f er ftgede eller kostt, er eviset helt logt). For > o (hvor er ideholdt i det omtlte område) får vi (jfr. figur.6), t f ( ) ( ) < A() A( ) < f () ( ) o o o o Fig..6 Ved divisio med o, som er positiv, får vi: f ( o ) < A() A( o ) o < f (). Vi ser ltså, t differeskvotiete for A er klemt ide imellem f( o ) og f(). D f er kotiuert hr vi specielt, t f () f ( ) for +, hvorf vi ser, t: o A() A( o o o ) f ( o ) for o + Stee Betze: Mtemtik for Gymsiet. Itegrlregig. Teori, vedelser og modeller.

13 - 5 - Vi vil u se på, hvd der sker til vestre for o. D f er stykkevis mooto, er f ete voksede, ftgede eller kostt i et område til vestre for o. Vi vil her tge, t f er ftgede. (Hvis f er voksede eller kostt, er eviset helt logt). På smme måde som ovefor ser vi, t for < o (hvor er ideholdt i det omtlte område) gælder: f ( o ) ( o ) < A( o ) A() < f () ( o ) (Læsere opfordres til t tege e figur, der illustrerer situtioe). A( o ) A() Ved divisio med o, som er positiv, får vi: f ( o ) < < f (). Og d der gælder: A( o ) A() o = A() A( o o ) o ser vi ige, t differeskvotiete for A er klemt ide imellem f( o ) og f(). D f er kotiuert hr vi, t: f () f ( o ) for o hvorf vi ser, t: A() A( o ) f ( o ) o for o D f( o ) således er græseværdi for differeskvotiete for A åde fr højre og fr vestre i o, ser vi hermed i lt, t: A() A( o ) f ( o ) o for o dvs. t A er differetiel i o, og t A ( o ) = f ( o ). Hvis o er et f edepuktere eller, så får vi direkte f første hhv. de del f eviset, t A + ( ) f ( ) eller A ( ) f ( ). Hermed er sætige evist. o = o o = o I forlægelse f sætig.5. skl det emærkes, t e tilstrækkelig etigelse for t e fuktio hr e stmfuktio fktisk ku er, t fuktioe er kotiuert, idet der gælder følgede sætig: Sætig.5.. Hvis f er e kotiuert fuktio defieret i et itervl I, så hr f e stmfuktio F i I. Sætig.5. vises ikke her (de evises i kpitel ). Bemærk, t sætig.5. ikke fortæller, hvord vi fider stmfuktioe ku t de eksisterer. Sætige er ltså e såkldt eksistessætig og de omtles her dels for t sikre det teoretiske fudmet for de følgede emer, dels for fuldstædighedes skyld. Ld os vede tilge til idholdet i sætig.5.. De siger ltså, t hvis vi hr e positiv, kotiuert og stykkevis mooto fuktio f defieret i et itervl [ ;], så hr de e stmfuktio i dette itervl (og det er relfuktioe). Hvis F er e eller de stmfuktio til f, så gælder der ifølge sætig..6, t der fides e kostt k, så A() = F() + k. D A() = ser vi ved t idsætte =, t: k = F(), hvormed vi får, t: A() = F() F(). Hvis vi specielt idsætter = i dette udtryk, får vi: A() = F() F(). D A() som ævt er lig ;, ser vi, t dette rel k udreges som F() F(). med relet uder grfe i itervllet [ ] Stee Betze: Mtemtik for Gymsiet. Itegrlregig. Teori, vedelser og modeller.

14 - 6 - Hvis G er e de stmfuktio til f i itervllet, så fides der ifølge sætig..6 e kostt c, så G() = F() + c. Hermed får vi specielt, t G() G() = (F() + c) (F() + c) = F() F(). Der gælder ltså, t uset hvilke stmfuktio til f vi eytter, så er relet f puktmægde M = {(, y) y f () }, dvs. relet uder grfe, lig med stmfuktioes værdi i mius stmfuktioes værdi i. Af eregigstekiske årsger idfører vi symolet: [ F ()] for differese F() F() D F() = () d følgede defiitio: Defiitio.5.. f k vi derfor skrive: [ ] F () = [ f ()d]. Vi giver i dee smmehæg Ld f være e fuktio, der er defieret og hr e stmfuktio F i itervllet [ ;] Ved det estemte itegrle f ()d forstås tllet F() F().. Vi hr ltså: f ()d = [ f ()d] = [ ()] F = F() F(). f ()d læses: Itegrlet fr til f f() eller Det estemte itegrle f f fr til. Bemærk, t dee defiitio ikke ygger på oget med, t f skl være positiv, kotiuert eller stykkevis mooto (som det vr tilfældet i idledige til dette fsit i foridelse med relfuktioe). Fuktioe f skl re hve e stmfuktio F. Eksempel.5.4. Hvis vi ser på fuktioe f() = 4, så hr f stmfuktioe F() = 4, hvormed vi f.eks. får, t: [ ] 4)d ( = 4 = 4 ( ( ) 4( )) = Spørgsmålet er så, hvd dette tl etyder, eller: hvilke etydig det k tillægges. Dette vil være e del f emet i det følgede. Hvis vi komierer de oveståede iformtioer i dette fsit, så får vi følgede sætig: Sætig.5.5. Hvis f er e positiv, kotiuert og stykkevis mooto fuktio defieret i et itervl [ ;], så er relet f puktmægde M imellem grfe og førstekse givet ved: Arel(M) = f ()d Fig..7 Stee Betze: Mtemtik for Gymsiet. Itegrlregig. Teori, vedelser og modeller.

15 - 7 - Eksempel.5.6. ) Hvis f() = k, hvor k er e positiv kostt, så er: f ()d = d k k k k ( = = relet f det skrverede område på edeståede figur.8 k = [ ] ), så er: [ ] = = 4 ) Hvis f() = f ()d = d = relet f det skrverede område på edeståede figur.9., så er: c) Hvis f() = f () d = d = = relet f det skrverede område på edeståede figur.. ( ) = Fig..8 Fig..9 Fig.. Resulttet i pukt ) og ) kedte vi egetlig godt, idet der lot er tle om relet f et rektgel hhv. relet f e trekt. Itegrlregiges styrke i geometrisk smmehæg ses edst i pukt c), hvor vi ikke kedte resulttet på forhåd, idet vi ikke hr dre måder t udrege det på. Eksempel.5.7. Vi vil estemme relet A uder grfe for fuktioe log i itervllet fr til. Vi hr: A = log () d = l d = l l = (( l + c ( l + c)) = d l = [ l + c ] ( l 9) = l l l,5 Det søgte rel er ltså,5. Bemærk, t værdie f kostte c er ude etydig, idet c forsvider i eregige. Dette gælder i udregige f ethvert estemt itegrle. Øvelse.5.8. Udreg de to estemte itegrler: d og 4 Lv to figurer, der viser grfere for fuktioere og d, og skrver de relevte områder. Det skl emærkes, t det i opskrivige f det estemte itegrle er ude etydig, hvd vi klder de vrile. Vi hr således: f ()d = f (y)dy = f (t) dt = f (r)dr Stee Betze: Mtemtik for Gymsiet. Itegrlregig. Teori, vedelser og modeller.

16 - 8 - Det skl edvidere emærkes, t med de idførte ottio er de ovefor omtlte relfuktio A for e positiv, kotiuert, stykkevis mooto fuktio f givet ved: A() = f (t)dt D A () = f () ser vi, t f (t)dt som fuktio f er e stmfuktio til f. Itegrlteget optræder hermed fktisk i tre forskellige etydiger: ) f (t) dt (uestemt itegrle) er e vilkårlig stmfuktio til f. ) f (t)dt er e estemt stmfuktio til f (relfuktioe). ) f (t)dt (estemt itegrle) er et tl (relet uder grfe for f). Hvis vi u etrgter e egtiv, kotiuert og stykkevis mooto fuktio f defieret i et itervl [ ;], så er f e tilsvrede positiv fuktio. Og grfe for f fremkommer ved t spejle grfe for f i førstekse (se figur.). Vi ser hermed, t puktmægdere M og M* på figur. hr smme rel, dvs. Arel(M) = Arel(M*). Hvis F er e stmfuktio til f, så er F e stmfuktio til f. Fig.. Vi ser hermed i lt, t Arel(M) = Arel(M*) = ( F)() ( F)() = (F() F()) = hvor vi hr rugt sætig.5.5 og defiitio.5.. Vi hr hermed idset, t der gælder følgede sætig: Sætig.5.9. Hvis f er e egtiv, kotiuert og stykkevis mooto fuktio f defieret i et itervl [ ;], så er relet f puktmægde M imellem grfe og førstekse givet ved: Arel(M) = Hermed hr vi også, t f ()d f ()d = Arel(M) f ()d Fig.. Øvelse.5.. Bestem relet f puktmægde mellem.kse og grfe for f, idet f() = 4, [- ; ] Stee Betze: Mtemtik for Gymsiet. Itegrlregig. Teori, vedelser og modeller.

17 - 9 - Edelig vil vi gere se på e fuktio, som åde tger positive og egtive værdier (se figur.). For t kue hådtere dette, skl vi først se på følgede: Vi etrgter e fuktio f, som er defieret og hr e stmfuktio F i itervllet [ ;]. Hvis c er et tl mellem og (dvs. < c < ), så hr vi: F() F() = F() F(c) + F(c) F(), hvilket ifølge defiitio.5. k skrives således: f ()d = c f ()d + f ()d c Dee regel kldes idskudssætige for estemte itegrler. Det er klrt, t der k idskydes flere ed ét pukt c, hvilket vi vil ruge i det følgede. Hvis f er e kotiuert, stykkevis mooto fuktio, som tger åde positive og egtive fuktiosværdier (f.eks. som vist på figur.), så får vi ved vedelse f idskudssætige, t f ()d = c f ()d + d c f ()d + d Ifølge sætig.5.5 er c f ()d + d f ()d f ()d lig Fig.. Fig.. med relet f puktmægde over førstekse mellem grfe og kse. Og ifølge sætig.5.9 er d c f ()d lig med mius relet f puktmægde uder førstekse mellem grfe og kse. D det er klrt, t dee eregig k geerliseres til t dække e vilkårlig kotiuert, stykkevis mooto fuktio, ser vi, t der gælder følgede sætig: Sætig.5.. Ld f være e kotiuert, stykkevis mooto fuktio defieret i et itervl[ ;]. Hvis f åde tger positive og egtive fukti- ;, så gælder der, t: osværdier i[ ] f ()d = Arel(M o ) Arel(M u ) hvor M o og M u er puktmægdere over hhv. uder førstekse, imellem grfe og kse. Fig..4 Øvelse.5.. På figur.5 er givet relere f ogle puktmæger i foridelse med fuktioer f og g. Bestem følgede estemte itegrler v.hj.. figure: ) 7 f () d ) f ()d c) g ()d d) 7 g ()d 7 f () d Fig..5 Stee Betze: Mtemtik for Gymsiet. Itegrlregig. Teori, vedelser og modeller.

18 - - Eksempel.5.. Fuktioe f() = og tger åde positive og egtive fuktiosværdier. Og vi ser, t: [ 4 ] d = = 4 [ 4 ] d = = ( 4 4 ) = = 4 Læsere opfordres til t tege e figur, der illustrerer situtioere. (Jfr. sætig.5.). Øvelse.5.4. ) Bestem e stmfuktio til fuktioe f() = (jfr. sætig.4.). Teg grfe for f i itervllet [ ;7 ] Udreg 6 ( + + 5) d v.hj.. de fude stmfuktio og illustrerer situtioe. ) Bestem e stmfuktio til fuktioe f() = cos() (jfr. sætig.4.5) ;7. Teg grfe for f i itervllet [ ] Udreg 6 cos() d v.hj.. de fude stmfuktio og illustrerer situtioe. I det oveståede hr vi ku etrgtet det estemte itegrle f ()d, hvor <. Vi vil u udvide dette egre til også t omftte de situtio, hvor de to itegrtiosgræser er es, eller hvor de ederste græse er større ed de øverste. Vi giver i dee smmehæg følgede defiitio: Defiitio.5.5. Ld f være e fuktio, der er defieret og hr e stmfuktio F i et itervl I. ) Hvis I sætter vi pr. defiitio: f ()d = ) Hvis, I, og hvis <, så sætter vi pr. defiitio: f ()d = f ()d 5 Vi hr ltså f.eks., t: ( + ) d = ( + ) d. 5 Bemærk i øvrigt, t åde pukt ) og ) i defiitio.5.5 stemmer overes med defiitio.5. (kotrollér dette!), smt t e reletrgtig også direkte giver pukt ) i defiitioe. Stykkevis kotiuerte fuktioer. Idtil u hr vi fsit.5 ku eskæftiget os med kotiuerte fuktioer (defieret i et itervl I, hvor der lmideligvis gælder, t I = [ ;]. Jfr. tekste.). Vi vil u se på, hvd der sker, hvis f ikke er kotiuert, me ku stykkevis kotiuert i [ ;] (jfr. defiitio..8). Vi vil yderligere forudsætte, t f er egræset og stykkevis mooto (jfr. defiitio.. og..5) Stee Betze: Mtemtik for Gymsiet. Itegrlregig. Teori, vedelser og modeller.

19 - - Af hesy til det følgede vil vi først evise følgede sætig: Sætig.5.6. Hvis f er e stykkevis kotiuert fuktio, der er egræset og stykkevis mooto, og hvis p og q (p < q) er edepukter for et f de itervller, som defiitiosmægde for f er iddelt i og hvori f er kotiuert, så hr f() e græseværdi åde fr højre i p og fr vestre i q. Bevis: Ld I være itervllet fr p til q. Der er d fire muligheder: ) Både p og q tilhører I, dvs. p I q I, svrede til t: I = [ p ; q ] ) p tilhører I, me q gør ikke, dvs. p I q I, svrede til t: I = [ p ; q [ ) p tilhører ikke I, me q gør, dvs. p I q I, svrede til t: I = ] p ; q ] 4) Hverke p eller q tilhører I, dvs. p I q I, svrede til t: I = ] p ; q [ Ad ): Her er f kotiuert i det lukkede egræsede itervl I = [ p ; q ], og sætige følger direkte f defiitioe på kotiuitet i et itervl. De to græseværdier er her f(p) og f(q). Ad ): Her er f kotiuert i I = [ p ; q [, og pr. defiitio hr vi, t f hr e græseværdi fr højre i p (som er lig med f(p)). Vi vil derfor fokusere på, hvd der sker for gåede mod q fr vestre. D f er stykkevis mooto, fides der et itervl J til vestre for q, hvor f ete er voksede eller ftgede. Ld os som på figur.6 tge, t f er voksede i J. (Hvis f er ftgede J forløer rgumettioe helt tilsvrede). p q Vi hr dermed, t f er voksede og kotiuert i itervllet J I Fig..6 (dvs. det midste f de to itervller). Det ses herf, t der ku er é f to muligheder: ) Der fides et tl s, så f() s for q, eller ) f() for q D vi imidlertid hr forudst, t f er egræset, er mulighed ) udelukket, hvormed mulighed ) gælder, og det øskede er evist. Ad ) og Ad 4) klres på smme måde som i d ). Detljere overldes til læsere. Hermed er sætige evist. Eksempel.5.7. Forudsætigere i.5.6 om stykkevis mooto hhv. egræset fuktio k ikke udværes: ) Fuktioe f() = si( ) er kotiuert for >, me f hr ige græseværdi for + (f() ærmer sig lle tl i itervllet [ ; ]). Me f er heller ikke stykkevis mooto. ) Fuktioe g() =, ] ; ] er åde kotiuert og mooto, me de hr ige græseværdi for + (Der gælder, t: g() for +). Me g er heller ikke egræset. I forlægelse f og på ggrud f sætig.5.6 giver vi følgede defiitio: Stee Betze: Mtemtik for Gymsiet. Itegrlregig. Teori, vedelser og modeller.

20 - - Defiitio.5.8. Ld f være e egræset, stykkevis mooto og stykkevis kotiuert fuktio, og ld p og q (p < q) være edepuktere for et f de itervller, som defiitiosmægde for f er iddelt i og hvori f er kotiuert. Fuktioe LP f defieret ved: limf (), = p p+ LPf () = f (), ] p;q [ limf (), = q q p ;q kldes de loklt plomerede fuktio f f i itervllet [ ] Øvelse.5.9. Betrgt fuktioe f hvis grf ses på figur.. Iddel itervllet fr til i fire delitervller, og teg grfe for hver f de loklt plomerede fuktioer f f i disse itervller. Det overldes som e øvelse til læsere t rgumetere for, t der gælder følgede sætig: Sætig.5.. Ld f være e egræset, stykkevis mooto og stykkevis kotiuert fuktio, og ld p og q (p < q) være edepuktere for et f de itervller, som defiitiosmægde for f er iddelt i og hvori f er kotiuert. Om de loklt plomerede fuktio LP f f f i itervllet [ p ;q ] gælder: p ;q. LP er kotiuert i itervllet [ ] ) f ) Hvis LP f er positiv, så er f positiv (evt. ortset fr i puktere p og q), og relet uder grfe p ;q. p e stmfuktio til f i i- for f i itervllet ] p ;q [ er lig med relet uder grfe for LP f i itervllet [ ] LP er positiv, så er relfuktioe for LP f i itervllet [ ;q ] tervllet ] p ;q [ ) Hvis f Med motivtio i defiitio.5.8, sætig.5., sætig.5.5 og idskudssætige giver vi følgede defiitio: Defiitio.5.. Ld f være e egræset, stykkevis mooto og stykkevis kotiuert fuktio defieret i itervllet [ ;], og ld p og q (p < q) være edepuktere for et f de itervller, som[ ;] er iddelt i og hvori f er kotiuert. Vi sætter pr. defiitio: q p f () d = q p LP f () d Hvis, c, d og, hvor < c < d <, er edepuktere for de itervller, som itervllet [ ;] iddelt i i reltio til f s stykkevise kotiuitet, så sætter vi pr. defiitio: f ()d = c f ()d + d f ()d + c f ()d d Og tilsvrede hvis der er flere eller færre itervldelepukter. er Stee Betze: Mtemtik for Gymsiet. Itegrlregig. Teori, vedelser og modeller.

21 - - Det overldes til læsere t rgumetere for, t hvis vi i sætig.5.5, sætig.5.9 og sætig.5. ersttter ordet kotiuert med ordee egræset, stykkevis kotiuert, så gælder disse sætiger stdigvæk hvis vi forudsætter, t f er e egræset, stykkevis mooto og stykkevis kotiuert fuktio ;, så gælder idskudssætige og defiitio.5.5 også for f. defieret i itervllet [ ] Eksempel.5.. På figur.7 ses grfe for e positiv, egræset, stykkevis kotiuert og stykkevis mooto fuktio f. Arelet f de skrverede puktmægde M uder grfe for f ereges som: Arel(M) = f ()d = c f ()d + c f ()d Fig..7 Det ses, t vi hermed hr været i std til t udvide teorie for estemte itegrler fr kotiuerte fuktioer til egræsede, stykkevis kotiuerte fuktioer, idet der i egge tilfælde forudsættes, t fuktioere er stykkevis mootoe. Det er dermed i prksis vskeligt om ed ikke umuligt t fide fuktioer, som ikke er dækket id f teorie. Vi slutter dette udvidelsesfsit med eksempler på, hvd vi ikke hr fået med og hvd restriktioe til egræsede fuktioer etyder. Eksempel.5.. Betrgt fuktioere f() =, = og g() =, ] ;], =, ] ;] Begge fuktioer er stykkevis kotiuerte og stykkevis mootoe i itervllet [ ;] dem er egræsede. (Læsere opfordres til t tege e skitse f grfere). Hvis vi u ser på t f ()d og t g () d, hvor < t <, så får vi:, og ige f t t f ()d = [ l ] = l l t = l t og dermed: t t g () d = [ ] t = t og dermed: t f ()d for t +. g () d for t + Vi ser dermed, t det vil være muligt t tilskrive det estemte itegrle g ()d e værdi, emlig tllet, selvom g er uegræset (!), hvorimod oget sådt ikke er muligt for f. Vi k derfor tillde os t skrive: d =, hvorimod itegrlet fr til f f() ikke er defieret Stee Betze: Mtemtik for Gymsiet. Itegrlregig. Teori, vedelser og modeller.

22 Regeregler for estemte itegrler. I lighed med uestemte itegrler fides e række regeregler for estemte itegrler, og også her strter vi med de mest simple f dem: Sætig.6.. Ld f og g være to fuktioer, der er defieret og hr stmfuktioere F og G i itervllet [ ;] og ld k R være e kostt. Der gælder d følgede regler: ) k f ()d = k f () d ) ( f () + g())d = f ()d + g() d c) ( f () g())d = f ()d g() d Bevis: Ifølge sætig.4. og defiitio.5. hr vi følgede: Ad ): k f () d = [ ] kf () = kf() kf() = k(f() F()) = k f () d Ad ): ( f () + g())d = [ F () + G() ] = F() + G() (F() + G()) = F() F() + G() G() = + f () d g() d Ad c): Alogt til ). Hermed er sætige evist. Eksempel.6.. Ifølge sætig.6.. pkt. ), ) og c), smt defiitio.5.. hr vi, t : + )d + = 8 4 ( ) = 6 ( = [ ] Øvelse.6.. Udreg følgede estemte itegrler: ) d ) + ( ) d c) 5 d 4 8 d) ( + 4) d Øvelse.6.4. Bestem med midst decimlers øjgtighed løsigere til ligige: ( t )dt = Forudsætigere om f og g i sætig.6. er, t de egge hr e stmfuktio i [ ;]. Ifølge sætig.5. er dette l.. opfyldt, hvis f og g egge er kotiuerte i [ ;]. Me som vi seere skl se, (se s. ) gælder sætig.6. også for stykkevis kotiuerte fuktioer, hvis de er egræsede og stykkevis mootoe. 5 Stee Betze: Mtemtik for Gymsiet. Itegrlregig. Teori, vedelser og modeller.

23 - 5 - Ved vedelse f sætig.6. c) og sætig.5.5 fremkommer følgede sætig: Sætig.6.5. Ld f og g være to kotiuerte, stykkevis mootoe fuktioer defieret i itervllet [ ;]. Hvis f() g() for lle [ ;], så er relet f puktmægde M imellem de to fuktioers grfer givet ved: Arel(M) = ( g() f ())d Fig..8 Bevis: (se figur.9). Tllet fides, idet f er kotiuert i et lukket, egræset itervl, hvormed miimum f f() eksisterer. Hvis vi prllelforskyder grfere for f og g stykket k opd.kse, så får vi grfere for fuktioere f() + k og g() + k (se figur.) Ld k være et tl, som er midre ed lle fuktiosværdier for f i [ ;] Fig..9 Fig.. Området M* imellem disse to grfer hr smme rel som M, og d åde f() + k og g() + k er positive fuktioer, hr vi: Arel (M) = Arel(M*) = ( g() + k)d ( f () + k)d = (( g() + k) (f () + k))d = ( g() f ())d Bemærk, t hvis f (og dermed g) er e positiv fuktio, så k vi vælge k =, hvormed M* = M. Hermed er sætige evist. Eksempel.6.6. Vi vil estemme relet f området imellem grfere for fuktioere: p() = og l () =. Først estemmes skærigspuktere mellem grfere (for t få itegrtiosgræsere): p() = l () = = = = 5 Fig.. Stee Betze: Mtemtik for Gymsiet. Itegrlregig. Teori, vedelser og modeller.

24 - 6 - Ifølge sætig.6.5 er det søgte rel givet ved (kotrollér udregige): 5 5 (l() p())d = ( ( 5 + 4))d = ( + 6 5)d = Øvelse.6.7. Bestem relet f puktmægde imellem grfere for f og g givet ved: f() = + 7 ;5,, [ ] og g() = [ ;5 ] idet der først gøres rede for, t g() f() for lle [ ;5 ]. Skitsér de etrgtede puktmægde. 5 Øvelse.6.8. Bestem relet f de puktmægde, der fgræses f grfere for fuktioere f og g, hvor f() = 4 og g() = 6 Øvelse.6.9. Teg puktmægde M og estem relet f M, idet M = {(, y) 9 y } Som vi seere skl se (side ), gælder sætig.6.5 også, hvis ordet kotiuerte i forudsætigere for fuktioere f og g ædres til: egræsede, stykkevis kotiuerte. Delvis itegrtio for estemte itegrler. Sætig.6.. (Delvis Itegrtio) Ld f og g være kotiuerte fuktioer defieret i et itervl I = [ ;]. Atg desude, t g er differetiel i I og t g er kotiuert, smt t F er e stmfuktio til f i I. Der gælder d, t f ()g() d = [ F()g() ] F()g () d Bevis: Ifølge eviset for sætig.4.5 hr vi: f () g() = ( F() g()) F() g () Herf får vi ifølge sætig.6. c), t: Og d ( F() g()) d = [ F() g() ] f ()g() d = (F() g()) d F()g er sætige evist. Eksempel.6.. Ved udregig f l() d ved delvis itegrtio vælges f() = og g() = l(). Vi ser, t: l() d = [ l ] d = 8 l d 8 = [ ] l = l =, 76 9 ()d Stee Betze: Mtemtik for Gymsiet. Itegrlregig. Teori, vedelser og modeller.

25 - 7 - Øvelse Udreg ( + ) 4 d ved delvis itegrtio. Øvelse.6.. Udreg følgede itegrler: ) 5 e d 5 ) 5 e d Eksempel.6.4. Vi vil erege π / e si d ved delvis itegrtio. Både e og si hr de egesk, t de (stort set) giver smme resultt om m differetierer dem eller itegrerer dem. Der er derfor frit vlg og vi vælger t sætte f() = e og g() = si i sætig.6.. D e hr stmfuktio e og d (si ) = cos får vi: π / π / / π e si d = [ e si ] e cos d Det sidste itegrl k vi imidlertid ikke umiddelrt estemme. Me ved t vede delvis itegrtio på dette får vi: / e π cos d = [ e cos ] e ( si ) d π / / π Idsættes dette resultt i det oveståede, får vi: og hermed: π / π / e si d = [ e si ] π / π / e si d = [ e si ] π / hvorefter vi ved divisio med fider, t π / / π = [ e cos ] + e si d π π / / π [ e cos ] e si d π / [ e cos ] = (e si e si ) (e cos e cos) π / e si d = π / e + π / π ( =,95) π / = e + Itegrtio ved sustitutio for estemte itegrler. Sætig.6.5. (Itegrtio ved sustitutio). Ld fuktioe g være defieret og differetiel i et itervl I = [ ;] med kotiuert fledet fuktio g, og ld f være e kotiuert fuktio som opfylder, t Vm(g) Dm(f). Der gælder d, t: f (g()) g () d = F(g()) F(g()) hvor F er e stmfuktio til f, eller derledes udtrykt, t: g() f (g()) g () d = f (t) dt, hvor t = g() og dt = g ()d g() Det ses, t år går fr til, så går t fr g() til g(). Stee Betze: Mtemtik for Gymsiet. Itegrlregig. Teori, vedelser og modeller.

26 - 8 - Bevis: Ifølge eviset for sætig.4. hr vi, t: f (g()) g () d = F(g()), hvorf vi ser, t: g() f (g()) g ()d = [ F(g()) ] = F(g()) F(g( = [ (t)] Hermed er sætige evist. )) F g() = g() f (t)dt g() Eksempel.6.6. Vi vil erege + d ved sustitutio. Vi skl derfor lede efter e smmest fuktio f(g()) i itegrde =. Vi ser t e mulighed er: g() = + og f() =. + + et i tællere er ført ed ved side f røke, me det geerer selvfølgelig, så vi må håe på, t det forsvider i sustitutiosprocesse. Ved sustitutioe: t = g() = + og dt = g ()d = d (og dermed: = t = g() t = og: = t = g() t = ), ser vi, t: + d = = l 5 dt [ l t ] = (l l ) = =, 847 t Eksempel.6.7. Itegrlet π / 4 5 si () cos d k ereges ved sustitutioe: u = si(), du = cos()d. Vi får d: π / 4 5 si () cos d = Øvelse.6.8. Udreg følgede estemte itegrler: si( π / 4) si() 5 6 / u du = [ ] u = ) + 4 d ) ( ) 9 d c) π π 6 / / si 6 = 6 48 e cos d Øvelse.6.9. Udreg følgede itegrler: ) l( + ) d ) l( + ) d Eksempel.6.. Betrgt fuktioe f givet ved: f() = + Grfe for f ser ud som vist på figur.. Grfe for f, førstekse og liie med ligige = fgræser e puktmægde T. Bemærk, t d T fgræses (f grfe, førstekse og liie = ), må T være det skrverede område. Fig.. Stee Betze: Mtemtik for Gymsiet. Itegrlregig. Teori, vedelser og modeller.

27 - 9 - Vi vil fide relet f T. Ifølge sætig.5.5 ser vi, t Arel(T) = + d Ved vedelse f sustitutioe: u = g() = + og du = d (og dermed: = u = og = u =, jfr. eksempel.6.6), ser vi, t Arel(T) = d = du = [ ] l u = (l l) = l =,454 + u Det søgte rel hr ltså de ekskte værdi l og de tilærmede værdi,454. Eksempel.6.. Vi vil erege d. Der er tle om et estemt itegrle, og der er lgt op til sustitutio. 4 Vi vil imidlertid i første omgg iteressere os for det tilsvrede uestemte itegrle d 4 dvs. e stmfuktio til itegrde. Dee k fides ved sustitutio for uestemte itegrler, og i eksempel.4. fik vi: d = 4. Ud fr defiitio.5. får vi herefter, t: 4 d = 4 = ( 4) =. 4 Vi k ltså erege et estemt itegrle ved først ud fr regereglere for uestemte itegrler t fide e stmfuktio til itegrde, og derefter idsætte itegrtiosgræsere som fstlgt i defiitio.5.. Dee fremggsmåde er også tydet vedt i øvelse.6. og.6.9. Itegrtio ved omvedt sustitutio for estemte itegrler Hvis formle for itegrtio ved sustitutio: læses fr højre mod vestre, så får vi: g() g() f (g()) g ()d = f (t) dt (sætig.6.5) ( ) q f (t)dt p = f (g()) g () d, hvor p = g() og q = g(). Hvis vi derfor står overfor e situtio, hvor vi skl udrege et itegrle: q f (t)dt, som ikke k p ereges på dre måder, så k vi forsøge t lede efter e smrt fuktio g(), som k sustitueres i stedet for t ltså: t = g() og dt = g ()d hvormed itegrlet q f (t)dt k omskrives til: p f (g()) g ()d, hvor og opfylder, t g() = p og g() = q. Og dette skl selvfølgelig være på e såd måde, t det ye itegrle liver emmere t erege ed det opridelige. Forudsætige for t dette k gøres er, t fuktioe g hr ogle egesker: g skl være differetiel, g skl være kotiuert, der skl fides to tl og, så g() = p og g() = q, og således t fuktioe f(g()) er defieret i [; ] eller [; ] (fhægig f om < eller > ) Stee Betze: Mtemtik for Gymsiet. Itegrlregig. Teori, vedelser og modeller.

28 - - I formle ( ) k de vrile kldes, hvd vi hr lyst til f.eks.: eller q p f (y)dy = f (g(s)) g (s)ds, hvor y = g(s) og dy = g (s)ds q f ( α)dα = f (g( ψ)) g ( ψ) dψ, hvor α = g(ψ) og dα = g (ψ)dψ p Specielt k vi eytte eævelsere: q f ()d Vi k her smle iformtioere i følgede sætig: Sætig.6.. (Itegrtio ved omvedt sustitutio) Ld f være e kotiuert fuktio defieret i itervllet [p; q]. p = f (g(t)) g (t) dt, hvor = g(t) og d = g (t)dt For t udrege q f ()d k vi lede efter e fuktio g, som opfylder, t: p der fides to tl og, så g() = p og g() = q, og således t såvel g som fuktioe f g er defieret i itervllet [; ] eller [; ] (fhægig f om < eller > ) g er differetiel og g er kotiuert. q Der gælder d, t: f ()d = f (g(t)) g (t) dt, hvor = g(t) og d = g (t)dt p De store udfordrig ved t vede omvedt sustitutio er t gætte e fuktio g med de øskede egesker, heruder specielt t det ye itegrle liver emmere t rege ud ed det opridelige. Eksempel Vi vil erege itegrlet d, og ved t lysere på situtioe idser vi, t ige ( + ) f de hidtil førte eregigspricipper k ruges. Ved t lysere mulighede for omvedt sustitutio giver leddet + måske tke om, t + t (t) dels k omskrives til oget med cos(t), dels t differetilkvotiete f t(t) etop er + t (t), hvorfor vi prøver, om sustitutioe = t(t) k riges til t fugere. D g(t) = t(t) er differetiel, og d g (t) = + t (t) er kotiuert, er de sidste f etigelsere til g i sætig.6. opfyldt. Vi skl derfor løse ligigere: g() = og g() = 6 på e såd måde, t de første etigelse til g i sætig.6. også liver opfyldt. Vi skl l.. sikre, t g(t) er defieret i itervllet mellem og. D: t( ) = =, π, hvor er et vilkårligt helt tl, og tilsvrede: t( ) = 6 =,456 + π, ser vi, t e mulighed er: =,7854 og =,456. I dette itervl er såvel g som (f g)(t) = f (g(t)) = defieret, hvormed de første ( g(t) ) + forudsætig/etigelse til g er opfyldt. Vi k derfor vede formle for omvedt sustitutio: D = t(t) giver: d = 6 ( + ) d (+ t (t)) dt, får vi i lt:,456 ( + t (t)) = dt,7854 ( + t (t)),456 = dt, t (t), 456 =,7854 cos t dt Stee Betze: Mtemtik for Gymsiet. Itegrlregig. Teori, vedelser og modeller.

29 - - hvor vi i de sidste omskrivig hr rugt, t, 456 får vi (kotrollér), t:,7854 t dt 6 Det søgte resultt er ltså: d ( + ) + t (t) =. V.hj.. eksempel.4.7 ) cos (t) cos = [ t si(t ) ], 456 4, =,466 =,466 Øvelse.6.4. Bereg itegrlere: ) d ) d Vejledig: ) Aved omvedt sustitutio med = t t. ) Noget tilsvrede. Eksempel.6.5. (Arel f cirkel) Vi vil v.hj.. itegrlregig evise, t relet f e cirkel med rdius r er lig med πr. Dette vil vi gøre ved t vise, t de på figur. viste hlvcirkel hr relet π r. Fig.. Hvis (,y) er et pukt på hlvcirkle, så hr vi ifølge Pythgors eller cirkles ligig, t + y = r og dermed (idet y > ), t: y = r, r r. De kurve, der giver de hlve cirkelperiferi er således grfe for fuktioe: f() = r, r r Hlvcirkles rel A er derfor givet ved: r r A = f ()d = r r r d Vi vil vede sætig.6. (omvedt sustitutio) til t udrege dette estemte itegrle. Vi vælger sustitutioe: = g(t) = r cos(t) og dermed: d = r si(t)dt. D g(t) er differetiel i R og d g (t) = r si(t) er kotiuert i R, er sustitutioe mulig, hvis vi k fide to tl og, som opfylder t: g() = r og g() = r, smt t: f(g(t)) = r (r cos(t)) er defieret i [; ] eller [; ] (fhægig f om < eller > ). D (r cos(t)) r for lle tl t, er f(g(t)) defieret for lle t R. Vi skl derfor lot hve fudet og som opfylder, t: r cos() = r og r cos() = r. Vi ser, t vi k vælge = π og =. Stee Betze: Mtemtik for Gymsiet. Itegrlregig. Teori, vedelser og modeller.

30 - - Alt i lt får vi dermed: D r A = r r d = r r cos t ( r si t)dt = π π r cos t si t dt cos t = si t = si t = si t, hvor umeriskteget k fjeres idet si t i itervllet [ ;π ], ser vi, t π π A = r si t si t dt = r si t dt = [ r t si(t) ] π 4 hvor vi i sidste omskrivig hr eyttet eksempel.4.7 ). Ved t idsætte græsere får vi: A = r ( π si(π) + si( )) = r π = πr hvormed det øskede er evist. 4 4 Stykkevis kotiuerte fuktioer og regeregler for itegrler Regereglere i sætig.6.., dvs. ) k f ()d = k f () d ) ( f () + g())d = f ()d + g() d c) ( f () g())d = f ()d g() d gælder, år forudsætigere for f og g, dvs. t f og g er defieret og hr e stmfuktio i [ ;], er opfyldt. Og dette er l.. tilfældet, hvis f og g er kotiuerte i [ ;] (jfr. sætig.5.). Disse regler gælder imidlertid også, hvis f og g er egræsede, stykkevis kotiuerte og stykkevis mootoe i [ ;]. Dette idses således (vi ser på regel ) de dre forløer tilsvree): D f er stykkevis kotiuert, k itervllet [ ;] iddeles i edeligt mge itervller idefor hvilke f er kotiuert (evt. ortset fr edepuktere). Det smme gælder for g. Hvis vi eytter itervldelepuktere for åde f og g, får vi i lt iddelt [ ;] i edeligt mge delitervller idefor hvilke åde f og g er kotiuerte (evt. ortset fr edepuktere). I hvert f disse delitervller er f + g kotiuert, ligesom f + g er egræset og stykkevis mooto, idet åde f og g er det. Hvis vi ser på et vilkårligt delitervl [ p ;q], så gælder der, t LP f+g () = LP f () + LP g () (Overvej! Jfr. defiitio.5.8). Ifølge oveståede regel ), sætig.5. ) og defiitio.5. får vi u, t: q q q q q q (f () + g())d = LP + = + = + p f g () d LP p p f ()d LP p g () d f ()d p g() d p Hvis vi herefter veder idskudssætige (defiitio.5. sidste del), så ser vi, t regel ) gæl- ;. der for f +g i hele itervllet [ ] i pssede delitervller og ved vedelse f idskudssætige idses, t sætig.6.5 (rel mellem to fuktioers grfer) også gælder, hvis f og g er egræsede, stykkevis kotiuerte og stykkevis mootoe, idet sætig.5. iddrges i rgumettioe. På præcis smme måde dvs. ved iddelig f [ ;] Stee Betze: Mtemtik for Gymsiet. Itegrlregig. Teori, vedelser og modeller.

31 - -.7 Uegetlige itegrler I foridelse med estemte itegrler hr vi idtil u ku eskæftiget os med fuktioer defieret i et lukket, egræset itervl f type [ ;]. Me mge (ok de fleste) f de fuktioer vi hr set på i eksempler, øvelser og opgver k defieres i større itervller (f.eks. er fuktioere cos, l og lle defieret i itervllet R+ ). Nogle f disse fuktioer hr følgede egesk: Defiitio.7... ) Ld f være e fuktio, som er defieret og hr e stmfuktio i et itervl f type [ ; [ Hvis K f ()d hr e græseværdi for K, så siger vi, t f er (uegetlig) itegrel i itervllet [ ; [, og vi eteger græseværdie med: f () d. Vi hr ltså: f () d = ) På smme måde defieres f () d for e fuktio f, der er defieret og hr e stmfuktio i et itervl f type ] ; ], ved: K lim ( f () d ) K f () d = lim ( f ()d ) k k hvis græseværdie på højre side f lighedsteget eksisterer. c) E fuktio, som er defieret og hr e stmfuktio i hele R siges t være (uegetlig) itegrel i R, hvis det for lle R gælder, t f er uegetlig itegrel i ] ; ] og i [ ; [. I ekræftede fld sættes f () d = f () d + f ()d Itegrler f type f () d, f () d og f () d kldes uegetlige itegrler. Ofte vedes sprogruge, t f () d er koverget, år de omtlte græseværdi eksisterer. I modst fld siger vi, t det er diverget. Og tilsvrede for de øvrige typer f uegetlige itegrler. Eksempel.7.. Fuktioe f() = er itegrel i [ ; [, idet K K = d = +, hvorf vi ser, t: K K d for K, dvs: d =. Vi k hermed tillde os t sige, t det uedelige område uder grfe for f svrede til [ ; [ k tilskrives det edelige rel. (Se figur.4) Fig..4 Stee Betze: Mtemtik for Gymsiet. Itegrlregig. Teori, vedelser og modeller.

32 - 4 - Øvelse.7.. Argumetér for, t fuktioe g() = ikke er itegrel i [ ; [, dvs. d er diverget. Teg e skitse f grfe for g, skrvér det relevte område, og kommetér resulttet. Øvelse.7.4. Argumetér for, t fuktioe f() = ikke er uegetlig itegrel i itervllet [ ; [. Øvelse.7.5. Bereg lim K K d. ( + ) Skitsér grfe for fuktioe ( + ) og overvej, hvd græseværdie står for. Øvelse.7.6. Udreg værdie f hvert f følgede uegetlige itegrler: ),4 e d ),4 8 d 5 Ude evis omtles følgede regler. (Læsere der er iteresseret i et evis hevises til oge Logritme-, ekspoetil- og potesfuktioer og mtemtiske modeller, Kpitel 5). r ) For lle > og lle r > gælder: for log ) For lle r > og lle c > gælder: c for r Disse regler k ruges ved udregig f visse uegetlige itegrler. Øvelse.7.7. Udreg følgede: ) 5 5 d ) l d 6, (Vejledig: Aved delvis itegrtio) c) 7 5 d d) log d, Ifølge det foregåede ser det ud til, t vi må forvete om e fuktio f, t f() for, hvis det uegelige itegrle skl være koverget. Me som øvelse.7. og.7.4 viser, er dette ikke tilstrækkeligt til t sikre kovergese. Stee Betze: Mtemtik for Gymsiet. Itegrlregig. Teori, vedelser og modeller.

33 - 5 - Kp. : Modeller og specielle vedelser f itegrlregig... Middelsummer. Arelers etydig. Vi vil i de æste pr eksempler vise, hvord reler k tillægges etydig i kokrete situtioer: Eksempel... Ved et kommult vdværk er der istlleret e hstighedstæller, som løede udskriver e kurve over udstrømigshstighede fr vdværket. Vi får på dee måde registreret, hvor mge liter vd, der pr. miut strømmer ud ved forskellige tidspukter. Nedeståede figur. viser såd e kurve over udstrømigshstighede u(t) som fuktio f tide t i et givet døg: Fig.. Vi vil fide de smlede mægde vd, som i løet f det pågældede døg er strømmet ud. Hvis vdets udstrømigshstighed vr kostt lig med liter pr. miut, så kue vi emt fide det smlede tl liter vd. Vi skulle d lot gge liter/miut med tllet f miutter i et døg, dvs. med 44 miutter, hvormed vi ville få det smlede vdforrug: 44. liter. Nu er u(t) imidlertid ikke kostt. Me hvis vi idskræker os til et øjelik t etrgte tidsitervllet til, så ser vi, t her idefor er u(t) prktisk tlt kostt. Hvis vi derfor tger, t u(t) er kostt lig med u( 5 ) i dette tidsitervl, så er vdforruget i det pågældede tidsitervl lig med: u( 5 ) liter/miut miutter = 65 liter/mi. mi. = 495 liter Hvis vi etrgter figur., så ser vi, t størrelse u( 5 ) er lig med relet f rektglet med højde u( 5 ) og redde. Tilsvrede k vi hvis vi tger t u(t) er kostt i tidsitervllet fr 5 til 6 fide vdforruget i dette tidsrum som relet f rektglet med højde u(5 45 ) og redde, dvs. som størrelse u(5 45 ). Stee Betze: Mtemtik for Gymsiet. Itegrlregig. Teori, vedelser og modeller.

34 - 6 - Ved getge vedelse f dee tkegg ser vi, t det totle rel uder kurve (dvs. mellem kurve og.kse) svrer til det smlede vdforrug i det pågældede døg. Vi k derfor skrive: Smlede vdforrug = 44 u (t)dt Vi ser også, t dette rel, dvs. vdforruget, tilærmelsesvist er givet ved summe: u( 5 ) + u( 45 ) + + u( 5 ) + u( 45 ). Ved t udrege dee sum k vi ltså estemme (e tilærmet værdi) for vdforruget. Dette resultt liver turligvis mere øjgtigt, hvis vi vælger kortere tidsitervller, idet tgelse om, t u(t) er kostt i disse itervller, liver edre. Eksempel... E grteriejer, som på si mrk hr e vidmølle, hr e ftle med det lokle elværk om, t år vidmølle hr overskudsproduktio f strøm, så sælges dee til elværket, medes grteriet utomtisk får tilført strøm fr elværket, hvis vidmølle ikke producerer ok. Grteriejere skl give elektricitetsværket øre pr. kwh (kilowtt-time: eergiehed for elektrisk strøm), medes h selv får 5 øre pr. kwh. For l.. t udersøge ordiges økoomiske spekter hr grteriejere over e 5-døgs periode fået foretget måliger over strømforsyige, og på de ggrud hr h kuet tege edeståede kurve over si idtægt pr. time fr vidmølle. Fig.. At de herved eskreve fuktio h(t) tger egtive værdier skyldes, t vidmølle til de pågældede tidspukter ikke producerer strøm ok, hvorfor grteriejere her hr e udgift, dvs. e egtiv idtægt. Vi vil fide grteriejeres smlede idtægt i løet f de 5 døg. (Bemærk, t vi hr iddelt.kse i timer, således t de 5 døg i lt udgør timer). Hvis vi f.eks. etrgter tidsitervllet fr time til time 5, så ser vi, t h(t) her stort set er lig med 64 øre pr. time. Grteriejere hr derfor tjet c = øre i det pågældede tidsitervl. Dette tl er etop relet f de tilsvrede søjle på figur.. Stee Betze: Mtemtik for Gymsiet. Itegrlregig. Teori, vedelser og modeller.

35 - 7 - Hvis vi på smme måde etrgter tidsitervllet fr time 75 til time 8, så er h(t) her c. lig med 8 øre pr. time. Idtægte i dette tidsitervl er derfor c. 8 5 = 4 øre. Bemærk, t dette tl er lig med mius relet f de tilsvrede søjle på figur.. Vi får derfor de smlede ettoidtægt i hele periode ved t erege relet over.kse og uder kurve mius relet uder.kse og over kurve. Og dette er (ifølge sætig.5.) etop det estemt itegrle f h(t). Vi hr ltså: Smlede ettoidtægt = h (t) dt, Og vi ser, t dette itegrle tilærmelsesvist k ereges som summe f e række led f type h(t) t, hvor t er lægde f et lille tidsitervl og t er et tl idefor dette tidsitervl. Bemærk i øvrigt, t 58 h (t) dt og h (t) dt giver hhv. grteriejeres smlede positive 58 idtægt og hs smlede egtive idtægt (dvs. hs udgift). Idskudssætige vedt på dette, dvs. h (t) dt = 58 h (t) dt + 58 h (t) dt siger således, t grteriejeres smlede ettoidtægt er lig med hs egetlige idtægt plus hs egtive idtægt (dvs. mius hs udgifter), hvilket æppe virker overrskede på oge. Ud over t vise, hvord relere k tillægges etydig, omtler de oveståede eksempler også, t et estemt itegrle k ereges tilærmelsesvist som e sum f ogle led. Dee tkegg k vi geerlisere som omtlt i det følgede delfsit. Middelsum Ld f være e kotiuert og stykkevis mooto fuktio defieret i et itervl [ ; ]. Dette itervl iddeles i e række små delitervller ved delepuktere:,,, 4,..., +, hvor = og = + (se figur., hvor = 9, ltså hvor der er 9 delitervller). Fig.. t + V.hj.. f disse tl og delepukter des summe (se Appedi om summtiosteg): Idefor hvert delitervl vælges et tl: t [ ; ], t [ ; ],., [ ; ]. Stee Betze: Mtemtik for Gymsiet. Itegrlregig. Teori, vedelser og modeller.

36 - 8 - f (ti ) (i+ i ) = f (t) ( ) + f (t) ( ) f (t ) (+ ) i = Hvis itervlredde i+ i eteges i, k summe skrives således: f (ti) i i = Ud fr disse etrgtiger ser det ud til, t f ()d f (ti) i i = år lot lle delitervller er tilstrækkeligt små. Og pproimtioe liver edre, jo fiere vi iddeler itervllet [;]. For ehver iddelig f itervllet [;] og for ethvert vlg f tlmægde {, t, t,..., } t t (disse tl k vælges på uedelig mge måder) svrede til dee iddelig kldes summe: m s = i = f (t ) i i for e middelsum for f svrede til de give iddelig. Det oveståede resultt k dermed udtrykkes således: Det estemte itegrle k pproimeres f e middelsum for f, og pproimtioe liver edre, jo fiere vi iddeler itervllet [;]. Vi opsmler iformtioe i følgede sætig: Sætig... Hvis f er e kotiuert og stykkevis mooto fuktio defieret i itervllet [ ; ], så k det estemte itegrle f ()d pproimeres vilkårligt godt f e middelsum m s for f i [ ; ], lot iddelige er fi ok, hvilket mere præcist k formuleres således: For ethvert positivt tl ε fides der e middelsum m s for f i itervllet [ ; ], så m s f () d < ε Udertide tillder m sig også t skrive: i= f (t ) f () d for IF i i hvor IF står for iddeliges fihed, dvs. lægde f det lægste delitervl. Sætige er sdsyliggjort ovefor. Et mere formelt evis gives i kpitel. Numerisk itegrtio. De metode til t estemme e tilærmet værdi f et estemt itegrle, som er omtlt i sætig.. og på figur., kldes umerisk itegrtio. De k vedes, år itegrtio skl udføres på e computer, år m ikke keder fuktiosforskrifte for fuktioe, me ku hr e grf, eller år m ikke k estemme e stmfuktio til de etrgtede fuktio. Stee Betze: Mtemtik for Gymsiet. Itegrlregig. Teori, vedelser og modeller.

37 - 9 - Som det fremgår f det følgede, fides der dre umeriske metoder ed (geerelle) middelsummer til eregig f estemte itegrler: Ved umerisk itegrtio vælger vi ofte for emheds skyld t lde lle delitervller være lige lge lot de holdes tilstrækkeligt små. Hvis der er delitervller, så er itervlredde ltså givet ved: =, og de pproimerede (middel)sum k skrives som: ( f (ti ) ) i = For emheds skyld vælger vi udertide t lde puktere t, t, t, t4,..., t være de vestre edepukter f itervllere, og vi tler d om e vestresum (se figur.4.): V = ( i = f ( i ) ) Eller vi vælger t lde puktere t, t, t, t4,..., t være de højre edepukter f itervllere, og vi tler d om e højresum (se figur.4.): H = + ( f ( i = i ) ) Fig..4 Vi k imidlertid få e edre pproimtio ved t eytte e såkldt trpezsum, der fremkommer som tydet på figur.5. Vi ser, t trpezsumme T etop er geemsitsværdie f V og H, dvs. T = V + H ), ltså ( f (i) ) i T = ( ( f (i) ) + + ( ) i = = hvilket k omskrives til (kotrollér!!): Fig..5 T = f () + f (i) + f (+ ) i= Vi vil u give et eksempel på vedelse f dee trpezsumsformel. Stee Betze: Mtemtik for Gymsiet. Itegrlregig. Teori, vedelser og modeller.

38 - 4 - Eksempel..4. Vi vil estemme e tilærmet værdi f det estemte itegrle: 5 ( ) d ved t iddele itervllet [ ; 5] i 5 lige lge delitervller. (Bemærk, t dette æppe k kldes e særlig fi iddelig). Først estemmer vi de relevte fuktiosværdier for f() = : f() D = får vi f trpezsumsformle, t: 5 T 5 = f ( ) + f ( ) + f ( ) i 6 i= =,8 hvormed vi ser, t = ( ( ) ) 5 ( ) d,8. (Læsere opfordres til t tege e figur, der illustrerer udregige). Det skl emærkes, t det hér etrgtede itegrle k ereges v.hj.. de tidligere omtlte regler. Foretges dee eregig (for smmeligiges skyld!), så fider vi: 5 ( ) d = [ 4] + +, 467 = Det ses ltså, t selvom de vedte iddelig som omtlt ikke er særlig fi, så får vi fktisk et godt resultt ved pproimtioe med trpezsumsformle (hér: e fvigelse på,7 %). Øvelse..5. Udreg værdie f itegrlet: 4 e d ved vedelse f umerisk itegrtio. (Iddel itervllet [ ; 4] i 6 lige store delitervller, og fid dels de tilsvrede trpez-sum, dels de tilsvrede middelsum, hvor delitervlleres midtpukter vedes). 5 Middelværdi f fuktio. Vi idleder omtle f middelværdi for e fuktio i et itervl ved t se på et eksempel: Eksempel..6. På figur.6 (se æste side) ses temperture f(t) ved Meteorologisk Istitut som fuktio f tide e give dg. Vi vil udersøge, hvord middeltemperture ide for det give døg estemmes. Hvis vi et øjelik forestiller os de (urelistiske) situtio, t temperture vr o C i tidsrummet [ ; 4], 5 o C i tidsrummet [4 ; ] og o C i tidsrummet [ ; 4], så må vi for t udrege middeltemperture tge højde for, t der vr 5 o C i doelt så lg tid som o C, og t der vr o C i tre gge så lg tid som de o C. Vi k sige, t i de 4 tidseheder (timer), som vi etrgter, vr der o C i de 4 4 f dem, 5 o C i de 8 f dem og o C i de 4 4 f dem. Og vi fider derfor middeltemperture m ved t sige: Stee Betze: Mtemtik for Gymsiet. Itegrlregig. Teori, vedelser og modeller.

39 - 4-4 m = = = 6, dvs. m = 6, o C. De forskellige temperturer er ltså vægtet med de røkdel f hele tidsitervllet, som de forekommer i. Fig..6 Hvis vi u veder tilge til figur.6 og foretger e iddelig f [ ; 4] i delitervller, idefor hvilke vi med tilærmelse k sige, t temperture er kostt, så ser vi, t middeltemperture m cirk er lig med: m f (t) + f (t) f (t ) idet temperture er c. lig med f(t i ) i så stor e røkdel f de 4 timer, som i udgør, dvs. i 4 Ved t omskrive på dee sum får vi: m (f (t ) + f (t 4 ) f (t ) ) = f (ti) i 4 i= hvorf vi ser, t m er cirk lig med 4 gge e middelsum for f i itervllet [ ; 4]. Ved t gøre iddeliges fihed midre og midre ser vi, t vi k sætte: m = 4 f (t)dt 4 Ispireret f eksempel..6 giver vi følgede defiitio: Defiitio..7. For e kotiuert, stykkevis mooto fuktio f defieret i et itervl [ ; ] kldes tllet m = f ()d for middelværdie (geemsitsværdie) f fuktioe i itervllet [ ; ]. Bemærk, t hvis m er geemsitsværdie for f i [ ; ], så er m (-) = f () d. Hvis f specielt er e positiv fuktio, så er m ltså højde og redde i et rektgel med smme rel som relet uder grfe for f. Stee Betze: Mtemtik for Gymsiet. Itegrlregig. Teori, vedelser og modeller.

40 - 4 - Eksempel..8. Betrgt fuktioe f() = + 7. Grfe for f er teget på figur.7. Vi vil estemme geemsitsværdie m f f i [ ; 5]. Vi fider (kotrollér!), t: 5 5 m = f () d = ( + 7) d = 5 (Jfr. figur.7). Øvelse..9. Bestem middelværdie f: ) f() = si i [ ; π] ) g() = e + e i [ ; ] Teg skitser, der illustrerer situtioere. Fig..7 Eksempel... De vekselstrøm, som vi heter ud f e stikkotkt i vægge (dvs. som vi får fr elektricitetsværket), vrierer siusformet med tide, og de k eskrives ved e fuktio I(t) givet ved: I(t) = I m si(t), hvor I(t) er strømstyrke til tide t, I m er de mksimlt forekommede strømstyrke og er e kostt. D strømme sviger med frekvese 5 Hz (dvs. udfører 5 hele svigiger pr. sekud), er svigigstide T givet ved: T = sek. D I (t + T) = I(t) (overvej!) 5 ser vi, t si( (t + T)) = si(t), hvorf vi får, t: (t + T) = t + π og dermed: T = π. Alt i lt får vi, t = 5 π, hvormed I(t) k gives ved: I(t) = I m si(π t). Når e elektrisk pærer lyser, så liker de i virkelighede gge i løet f et sekud, idet strømstyrke I(t) er ul gge i løet f ét sekud. Dette registreres ikke f øjet, som i stedet for opftter pæres middellysstyrke. E elektrisk pæres lysstyrke fhæger f de effekt (dvs. de eergi pr. tidsehed, f.eks. 6W-pære eller 75W-pære), som omsættes i pæres glødetråd. Hvis dee glødetråds modstd er R, så viser m i fysik, t effekte P er givet ved: P = R I, dvs. P(t) = R I(t) D pæres registrerede lysstyrke er middellysstyrke, vil vi fide de tilsvrede middeleffekt i løet f é svigig. D svigigstide som ævt er sek., får vi, idet vi f.eks. etrgter tids- 5 itervllet [ ; ], t 5 /5 /5 P = P(t) dt = 5 R I si (π t) dt middel 5 Ved sustitutioe u = π t, du = π dt og dermed: m du π = dt ser vi (kotrollér!), t: Stee Betze: Mtemtik for Gymsiet. Itegrlregig. Teori, vedelser og modeller.

41 - 4 - P middel = π 5 R I m si (u) du π Ifølge eksempel.4.7 ) hr vi, t: [ u si(u) ] π π si (u)du = = π si(4π) ( si()) = π og dermed, t P middel = RI m Middeleffekte er ltså hlvdele f de mksimle effekt RI m. M defierer effektivværdie for e vekselstrøm som de kostte strømstyrke I eff, der i e modstd R giver smme effekt som vekselstrømmes middeleffekt. Vi hr d, t RI eff = Pmiddel = RI m hvorf vi får, t Ieff = I m =,77 Im Ifølge Ohm s lov hr vi, t U = R I, hvor U er spædigsforskelle over modstde. Hvis vi sætter Ueff = R Ieff, så får vi: Ueff = R Ieff =,77 R Im =,77 Um Effektivværdie f vekselspædige er ltså,77 gge de mksimle spædigsforskel. Når der opgives, t stikkotkte giver Volt (V) vekselspædig, så er det etop effektivværdie, som opgives. Vi k herf se, t de mksimle spædigsforskel er givet ved: U U eff m = = V = V,77,77 Stikkotkte giver derfor momett spædigsforskelle på op til Volt. Rumfget f et omdrejigslegeme. Ld f være e kotiuert, stykkevis mooto fuktio defieret i itervllet [ ; ] t f() for lle [ ; ], og tg først, (dvs. t f er e positiv fuktio). Vi vil estemme rumfget f det omdrejigslegeme, som fremkommer ved t rotere grfe for f 6 o omkrig.kse (se figur.8). Fig..8 Stee Betze: Mtemtik for Gymsiet. Itegrlregig. Teori, vedelser og modeller.

42 f itervllet [ ; ], og ld puktere Betrgt e vilkårlig iddelig,,, 4,..., + t, t, t, t4,..., t være tilfældigt vlgt idefor hvert f delitervllere. ; +, så ser vi, t de Hvis vi tger, t f stort set er kostt idefor hvert f itervllere [ i i ] del f rumfget, der svrer til [ ; ] f (t ) i i +, er lig med i i π, hvor i er redde f itervllet. Dette skyldes (jfr. figur.8 ) og figur.9), t vi får e fld cylider med højde h = i og rdius r = f(t i ) og rumfget f e cylider er π r h. Fig..9 Det smlede rumfg (volume) V er derfor tæt på summe: π f (ti ) i = π f (ti ) dvs. V er tæt på π gge e middelsum for fuktioe (f()). D f er kotiuert og stykkevis mooto, gør det smme sig gældede om f. Når vi lder iddeliges fihed gå mod, vil de ævte middelsum derfor (ifølge sætig..) gå mod f () d. Vi ser således, t V = π f () d Hvis f ikke er e positiv fuktio i [ ; ], så gælder dette udtryk lligevel, idet det for værdie f f() er ude etydig, om f() eller f(). Vi hr hermed evist følgede sætig: Sætig... Ld f være e kotiuert og stykkevis mooto fuktio defieret i [ ; ]. Rumfget V f det omdrejigslegeme, som fremkommer år grfe for f roteres 6 o omkrig.kse, er givet ved: i= i = i V = π f () d Fig.. Fig.. Eksempel... Puktmægde (, y) y }, som er skrveret på figur. (se æste side), { roteres omkrig.kse. Herved fremkommer der et omdrejigslegeme, som vi vil estemme rumfget V f. Ifølge sætig.. hr vi, t Stee Betze: Mtemtik for Gymsiet. Itegrlregig. Teori, vedelser og modeller.

43 V = π π 4 = [ ] 5 ( ) d = π 4 5 = 4π 4 d Hvis vi skl give V med f.eks. decimler, så får vi: V = 8,7 (Hvis ehedere på ksere f.eks. egge er cm, så liver resulttet: V = 8,7 cm ). Fig.. Øvelse... Vis v.hj.. fuktioe f i eksempel.6.5, t rumfget f e kugle med rdius r er lig med 4 π r Øvelse..4. Ld k > være e give kostt, og etrgt fuktioe: f() = k, [ ; h], hvor h er et givet positivt tl. ) Teg e skitse, som illustrerer grfe for f. ) Når grfe for f roteres 6 o om førstekse, fremkommer der e kegle. Fid rumfget for dee kegle, og rgumetér for, t det er lig med Gh, hvor G er keglegrudfldes rel og h er kegles højde. c) Beyt resulttet i pkt. ) til t lve e formel for rumfget f e keglestu Øvelse..5. Få ft i e eholder (f.eks. e ølflske eller e vse), som er rottiossymmetrisk omkrig e give kse. Beholdere k ltså tækes fremrgt som et omdrejigslegeme udfr grfe for e fuktio f (hvor f giver eholderes idvedige rdkurve ). Bestem v.hj.. e skydelære med tilps lge kæer de udvedige dimeter d() svrede til e del forskellige -værdier, f.eks. med ½ cm s mellemrum. (Med -værdier mees turligvis pukter på symmetrikse). d() Gør rede for, t f() = t(), hvor t() er eholdervægges tykkelse det pågældede sted. (For mge eholdere er t() ok kostt, hvorfor de k måles ved åige). Fid ved umerisk itegrtio eholderes idvedige volume V = π Fyld vd i eholdere og hæld derefter dette over i et målegls. Smmelig de to estemmelser f rumfget. I ppedi 4 er vist resultter og illede f e løsig til dee øvelse. f () d Lægde f e kurve. Ld f være e fuktio, der opfylder, t f er differetiel og stykkevis mooto i et itervl [ ; ] smt t de fledede fuktio f er kotiuert og stykkevis mooto. Vi vil estemme lægde f grfe for f., Stee Betze: Mtemtik for Gymsiet. Itegrlregig. Teori, vedelser og modeller.

44 Ld være et lille delitervl i [ ; ] med strtpukt o, ld f være de tilsvrede fuktiostilvækst, og s de tilsvrede tilvækst i kurvelægde (i lægde f grfe) (se figur. og. )). Figur. viser e del f grfe for f svrede til to forskellige værdier f tilvækste. Hvis er meget lille (se figur. )), så er det lille kurvestykke æste retliet, og vi får d e lille retviklet trekt med sidere, f og s. Ifølge Pythgors gælder der, t ( s) = ( ) + ( f ) og dermed, t f s = ( ) + ( f ) = + Hvis [ ; ] iddeles i små delitervller, så ses, t de smlede kurvelægde L (lægde f grfe) stort set er givet ved summe Fig. Fig. f L + i i = i i Når iddeliges fihed går mod ul, får vi specielt, t f går mod f ( ). Det ses ltså, t L stort set er e middelsum for fuktioe g() = + f (). D f er kotiuert og stykkevis mooto, gælder det smme om fuktioe g. Ifølge sætig.. ser vi derfor, t L = Vi hr hermed evist følgede sætig: Sætig f () Ld f være e fuktio, der opfylder, t f er differetiel og stykkevis mooto i et itervl [ ; ] smt t de fledede fuktio f er kotiuert og stykkevis mooto i [ ; ] Lægde f grfe for f er d givet ved: L = + f () d d, Eksempel..7. Vi vil fide lægde f grfe for fuktioe f() = i itervllet [ ;] ltså estemme itegrlet L = + 4 d.. D f () = skl vi Det er ikke helt simpelt t fide e stmfuktio til fuktioe + 4, så de umiddelre løsig vil være t vede grfregere eller et PC-mtemtikprogrm til ved umeriske metoder t foretge udregige. Vi får: L =,4789. Stee Betze: Mtemtik for Gymsiet. Itegrlregig. Teori, vedelser og modeller.

45 De iteresserede læser k imidlertid vi itegrtiosprøve kotrollere, t fuktioe t h(t) = + t + l t + + t er e stmfuktio til + t. Så v.hj.. sustitutioe t = og dt = d får vi: + 4 d = t dt + = t t l t t = ( 5 + l( + 5)) Ved udregig f dette ekskte fcit fås ige: L =,4789. Eksempel..8. Vi vil fide lægde L f e hlvcirkel ved vedelse f fuktioe f fr eksempel.6.5, dvs. f() = r, r r Først fider vi de fledede fuktio: f () = = r r r + r og derefter: + f () = + = = r r r r r hvormed vi ser, t: L = d r r r = r d r r Dette itegrle udreges ved t vede præcis de smme sustitutio som i eksempel.6.5 (se s.-ø), hvormed vi får: L = r ( r si t)dt = r π ( r si t)dt = π π si t r dt r r cos t r cos t cos t D cos t = si t = si t = si t, hvor umeriskteget k fjeres, idet si t i itervllet [ ;π ], ser vi, t L = π si t r dt = si t r π dt = r [ t ] π = r π D L er lægde f hlvcirkle, får vi ved t gge med det velkedte udtryk for cirkles omkreds: π r M ser ofte det oveståede (eller et tilsvrede) rgumet ført som et evis for, t cirkles omkreds er πr. At dette imidlertid ikke er holdrt k ses på følgede måde: Itegrtiosgræsere og π lev (som ført s. ederst) fudet ved t søge to tl og med de egesk, t r cos() = r og r cos() = r. Der vælges = π og =. Specielt vælges = π, idet skl psse i ligige: r cos() = r, dvs. cos() =. Me t = π er e løsig skyldes etop, t lægde f de hlve ehedscirkel er π, dvs. π. Vi eytter ltså, t vi keder lægde f de hlve cirkelue i ehedscirkle til t rgumetere for de oveståede eregig. At påstå, t vi ovefor eviser, t cirkles omkreds er πr, vil derfor være t rgumetere i rig. Me teoriere psser smukt med hide. Formle for cirkles omkreds kommer f, t π er defieret som forholdet mellem omkredse og dimetere i e cirkel. Stee Betze: Mtemtik for Gymsiet. Itegrlregig. Teori, vedelser og modeller.

46 Øvelse..9. Bestem lægde f grfe for fuktioe: ) g() = si(), π ) h() = l(), e Overflderelet f et omdrejigslegeme. Efter smme pricipper som ved estemmelse f lægde f e kurve, vil vi u fide et udtryk for overflderelet f et omdrejigslegeme, ltså f.eks. overflde f det legeme, der ses og er skrveret på figur.. Der gælder i dee smmehæg følgede sætig, hvis evis er ideholdt i løsige til de efterfølgede øvelse..4. Sætig... Ld f være e fuktio, der opfylder, t f er differetiel og stykkevis mooto i et itervl [ ; ], smt t de fledede fuktio f er kotiuert og stykkevis mooto i [ ; ]. Overflderelet S f det omdrejigslegeme, der fremkommer ved t rotere grfe for f 6 o om.kse, er d givet ved: S = π f () + f () d Fig..4 Eksempel... Vi vil (efter smme pricip som i eksempel..8) vede fuktioe f fr eksempel.6.5 til t fide overflde f e kugle med rdius r. Ved vedelse f sætig.. ser vi på smme måde som i eksempel..8, t det søgte rel S er givet ved: S = π r f () + f () d = π r r r r r d = πr r d = 4πr r r Vi ser hermed, t overflderelet f e kugle med rdius r er givet ved: 4πr. Eksempel... Overflderelet f det omdrejigslegeme der fremkommer, hvis grfe for h() = roteres omkrig førstekse (læsere opfordres til t tege e figur), er givet ved: S = π e + ( e ) d = π e + e d Ved umerisk itegrtio fides resulttet: S = 6,899. e, Øvelse... Bestem overflderelet f omdrejigslegemet der fremkommer, hvis grfe for fuktioe g roteres omkrig førstekse, idet g er givet ved: ) g() =, [ ; ] ) g() = si(), [ ;π ] I pukt ) øskes såvel et ekskt fcit som e tilærmet værdi. Stee Betze: Mtemtik for Gymsiet. Itegrlregig. Teori, vedelser og modeller.

47 Øvelse..4. Vi vil i dee øvelse geem esvrelse f e række spørgsmål evise sætig... ) Teg grfe for e fuktio f (vælg e reltiv simpel tegig som f.eks. figur.), og iddel itervllet [ ; ] i et vist tl delitervller. ) Udvælg foreløig ét f disse delitervller til ærmere udersøgelse. Kld dets redde for og f kosttér, t der som i eviset for sætig..6 gælder, t s = + c) Lv e skitse f e rottio om.kse f de del f grfe, der svrer til det vlgte delitervl. Kosttér, t der herved fremkommer e keglestu, og t overflde herf svrer til et kegleåd med lægde s f de skrå sideflde og med rdius c. lig med f (), hvor er et tl i det etrgtede delitervl, og hvor vi tger de umeriske værdi, idet fuktiosværdie kue være egtiv. d) Vi forlder u for et øjelik fuktioe f for t se på overfldereler f kegler og kegleåd. Teg e kegle (et kræmmerhus ). Argumeter for, t hvis rdius i kegles grudflde er r og højde i kegle er h, så er lægde l f sideflde i kegle er givet ved: l = h + r, og omkredse f grudflde er givet ved: πr. e) Argumetér for, t hvis vi skærer kegle op lgs e ret liie fr toppe til et pukt på grudfldes periferi og derefter folder kegle ud, så får vi et cirkeludsit f e cirkel C med rdius l. Og cirkeludsittets uelægde er πr. Lv e figur, der illustrere situtioe. f) Argumetér for, t cirkeludsittet udgør så stor e røkdel f cirkle C, som røke πr/πl giver, og t cirkeludsittets rel derfor er lig med: πl (πr/πl) g) Argumetér for, t overflderelet f e kegle er lig med πrl, hvor r er rdius i kegles grudflde og l er lægde f kegle skrå sideflde. h) Overvej, t et kegleåd er e kegle frreget e lidt midre kegle med smme åigsvikel (lv e figur), og t relet A f et kegleåd derfor er givet ved: A = πr l πr l, hvor ide heviser til de største og ide til de midste kegle. i) Teg et tværsit f figure fr pkt. h), og kostter, t der fremkommer to esviklede trekter, hvormed der gælder, t: l /r = l /r og derfor også, t: l r = l r j) Ld l være lægde f de skrå sideflde i kegleådet, dvs. l = l l. Argumetér for, t relet A f kegleådet (jfr. pukt h) er givet ved: A = π(r + r ) l r r k) Sæt r = + og rgumetér for, t: A = πr l, hvormed vi i lt k kokludere, t relet f et kegleåd er givet ved omkredse f cirkle i kegleådets midte gge med lægde f de skrå sideflde. l) Vi veder u tilge til fuktioe f og til oveståede pkt. c). Kosttér, t overflderelet f f kegleådet ifølge pukt k) er givet ved: π f () s = π f () +, hvor er midtpuktet f det etrgtede delitervl, og t de smlede overflde f omdrejigslegemet f derfor stort set er givet ved summe: π f ( + i i ) i = i i m) Aved defiitioe på differetilkvotiet, smt sætig.. til t rgumetere for, t vi hermed hr evist sætig... Stee Betze: Mtemtik for Gymsiet. Itegrlregig. Teori, vedelser og modeller.

48 Modeller Mægde f modeller (fglige vedelser) med itegrlregig er meget stor idefor æste ehver fskygig f turvideskelige fg (fysik, kemi, iologi, medici, geologi, meteorologi, osv.), me også i smfudsvideskelige fg, heruder økoomi. Som ved dre modeller er e f udfordrigere ved eskrivelse i e læreog i mtemtik, t for t kue rejde med det mtemtisk set iteresste skl der ofte e del fgligt forrejde til (forklrig på, hvd emet drejer sig om). Og dette ødvedige fglige forrejde k dels være gske kompliceret, dels være gske omfttede. I det følgede er der fokuseret på to fgområder: fysik og økoomi, og d ku i et egræset udvlg. Iteresserede læsere hevises til fglitterture for dre eksempler. Itegrlregiges styrke i foridelse med modellerig ligger primært i e f følgede egesker: ) Bestemte itegrler k ruges til opsummerig f mge små led f smme type ) Bestemte itegrler k ruges til eregig f fuktiostilvækster, hvis vi keder de fledede fuktio, idet der gælder: f () d = f () f () ) Uestemte itegrler ruges til t estemme stmfuktio, heruder til t estemme fuktioe selv, hvis vi keder des fledede fuktio, idet der gælder: f () d = f () + k Differetilkvotiete f kldes også for fuktioes ædrigshstighed, væksthstighede, mrgilfuktioe, græsefuktioe eller itesitetsfuktioe fhægig f de fglige smmehæg. I e række fglige smmehæge keder m dee fuktio, og ud fr dee estemmes de opridelige fuktio som ført i pkt. ), dvs. vi får de estemt ortset fr e kostt. Og hvis vi desude keder e fuktiosværdi for de søgte fuktio f, k de estemmes fuldstædig (kostte fides!). I foridelse med pkt. ) og ) er der ofte kyttet estemmelse f reler. I pkt. ) k der således være tle om t rejde med reler uder (eller i reltio til) væksthstighedsgrfer. Eksempel... På edeståede figur ses e kurve over produktioshstighede PH for et estemt kemiklie e give dg. Vi ser f.eks., t,5 timer ide i dgsproduktioe er produktioshstighede 58 kg/mi. D produktioshstighede er differetilkvotiete f de producerede mægde som fuktio f tide, dvs. PH(t) = PM (t), ser vi, t de smlede produktio SDP de pågældede dg er givet ved: SDP = 48 PH (t)dt, dvs. relet uder kurve. Bemærk, t d PH måles i kg pr. miut, skl tide på førstekse ædres til miutter ved itegrtioe. Fig..5 Stee Betze: Mtemtik for Gymsiet. Itegrlregig. Teori, vedelser og modeller.

49 - 5 - Vi hr i idledige til dette kpitel vist, hvord reler k tillægges etydig for kokrete modeller. Bemærk, t der i eksempel.. og eksempel.. fktisk er tle om itegrtio f itesitetsfuktioer (væksthstigheder), idet der er tle om hhv. udstrømigshstighede målt i liter pr. miut og idtjeigsitesitete målt i øre pr. time. Nogle eksempler fr fysik. Eksempel... (Sted, hstighed og ccelertio) Vi ser på et legeme, der evæger sig lgs e liie (f.eks. e il der kører ud f e vej). Hvis legemets positio til tide t kldes s(t), hvor s(t) måles i meter fr strtpuktet og t måles i sekuder, så er legemets hstighed v(t) til tide t givet ved: v(t) = s (t), og v(t) måles i m/sek. Og dets ccelertio (t) til tide t er givet ved: (t) = v (t) = s (t), hvor (t) måles i m/sek. Hvis vi tæker os, t vi keder (t), så k hstighede fides ved itegrtio. Specielt hr vi, t hvis vi ser på to tidspukter, t strt og t slut, så er hstighedsædrige i dette tidsitervl givet ved: v slut vstrt = v(tslut ) v(tstrt ) Hvis (t) er positiv, er hstighedsædrige ltså relet uder grfe for (t), der også kldes (t,)- kurve. Og hvis (t) tger åde positive og egtive værdier (f.eks. hvis m i ile til ogle tidspukter træder på speedere og til dre tidspukter på remse) som det ses på figur.6, så er hstighedsædrige lig med relet over.kse og uder (t,)-kurve mius relet uder.kse og over (t,)-kurve. = t t slut strt (t) dt Accelertio Fig..6 På smme måde k vi ud fr fuktioe v(t) fide de kørte strækig eller mere præcist: tilvækste i positioe i tidsitervllet fr t strt til t slut. Der gælder ltså, t: t slut s slut sstrt = s(tslut ) s(tstrt ) = v(t) dt t strt Arelet uder e (t,v)-kurve giver ltså de kørte strækig. Tid Eksempel... (Newto s de lov) Newtos. lov, som er e f fysikkes grudsætiger, siger, t de resulterede krft F på et legeme er lig med legemets msse m gge med dets ccelertio, dvs. F = m D = v = s, hvor v = v(t) er hstighede til tide t, og s = s(t) er legemets positio (sted) til tide t, k Newtos. lov derfor skrives således: F = m s eller s (t) = F m Hvis krfte F er kostt, så hr vi, idet v (t) = s (t) og dermed: v (t) = s (t), t v (t) = v (t)dt = s (t)dt = F F dt = t + c m m hvor c er e kostt. Stee Betze: Mtemtik for Gymsiet. Itegrlregig. Teori, vedelser og modeller.

50 - 5 - F F D v() = + c = c ser vi, t c er hstighede v o til tide. Vi får dermed: v (t) = t + vo m m Tilsvrede ser vi, idet s (t) = v(t), t F F s (t) = s (t)dt = v(t) dt = ( t + vo)dt = t + vo t + c m m hvor c er e kostt, som er lig med s(), dvs. positioe til tide, idet vi hr, t F s() = + v o + c = c m Kldes s() for s o får vi hermed: F t v o t s s (t) = + + o eller s (t) = t + v o t + o m s idet ccelertioe er givet ved: = F m. Når krfte er kostt, er smmehæge mellem tide t og strækige s(t) ltså givet ved et degrdspolyomium. Hvis krfte F er tygdekrfte, så hr vi: F = mg, hvor g er tygdeccelertioe. Idsættes dette i det oveståede får vi specielt, t: I tygdefeltet gælder: g t + v o t s o s (t) = + (Det skl her emærkes, t åde g og v o reges med forteg: g er positiv, hvis s-kse er eddrettet, og egtiv, hvis s-kse er opdrettet. v o er positiv, hvis legemet til t egyde med evæger sig i s-kses positive retig, og egtiv i modst fld). Hvis krfte ikke er kostt, k vi stdigvæk rejde med itegrtio som givet, og dermed fide e eskrivelse f legemets evægelse. Resulttet liver lot et det. Eksempel..4. (Kræfters rejde og potetiel eergi) Hvis e krft påvirker et legeme og dermed flytter legemet, siger vi, t krfte udfører et rejde på legemet og dermed tilfører legemet eergi. Hvis krfte F er kostt og rettet lgs forskydige s f legemet, så siger vi, t krfte hr udført rejdet A = F s. Hvis f.eks. tygdekrfte (jfr. eksempel..) flytter et legeme med msse m edd i e strækig med lægde h, så hr tygdekrfte udført rejdet: A = mgh. De eergi, der herved tilføres til legemet, liver til såkldt kietisk eergi (evægelseseergi) legemet får mere frt på. Hvis krfte ikke er kostt, me fhæger f legemets positio s, dvs. F = F(s), så må strækige fr strt til slut positio iddeles i e række små itervller idefor hvilke krfte med rimelighed k siges t være kostt. I hvert f disse delitervller fides krftes rejde som F(s) s, hvormed krftes smlede rejde A stort set er lig med summe: F (si ) s i, dvs. e middelsum for fuktioe F(s). Ved t lde iddeliges fihed gå mod ser vi, t det smlede rejde i = k udtrykkes ved: s A = s hvor s er strtpositioe og s er slutpositioe. F (s)ds Stee Betze: Mtemtik for Gymsiet. Itegrlregig. Teori, vedelser og modeller.

51 - 5 - Der fides syv forskellige eergiformer: kietisk eergi, potetiel eergi, termisk eergi, elektrisk eergi, kemisk eergi, kereeergi og stråligseergi. Vi vil her se lidt ærmere på potetiel eergi. Potetiel eergi kldes også eliggehedseergi, idet de skyldes, t det legeme der esidder eergie efider sig et estemt sted i et krftfelt: E vse, der står på e hylde, hr e potetiel eergi, idet de gere vil flde ed, hvis de får lov (her er krftfeltet ltså tygdefeltet) og dermed omde si potetielle eergi til kietisk eergi. E kugle der sidder fst i ede f e udstrkt fjeder, hr e potetiel eergi, idet de gere vil flyttes f fjedere id mod dees ligevægtspositio, hvis de ellers får lov (her kommer krftfeltet ltså fr fjedere) og dermed omde si potetielle eergi til kietisk eergi. E ldig q, der efider sig i ærhede f e de ldig Q, hr e potetiel eergi, idet de gere vil lde sig flytte f de elektriske tiltrækigs- eller frstødigskrft, hvis de ellers får lov. Nulpuktet for potetiel eergi defieres som det etrgtede legemes eergi, år det er i e give velvlgt positio. I tygdefeltet k m frit vælge ulpuktet, me vælger ofte gulvet eller jordoverflde, der hvor m efider sig. For e fjeder vælges ulpuktet i de positio, der svrer til fjederes ligevægtspositio, og for e elektrisk ldig vælges ulpuktet i e positio uedeligt lgt væk (dvs. tilstrækkeligt lgt væk) fr de de ldig. De potetielle eergi E pot (P) i et givet pukt P defieres som det rejde e ydre krft skl udføre for t flytte legemet fr ulpuktet for de potetielle eergi O til puktet P. Tygdefelt: Hvis e ydre krft (f.eks. e håd) skl flytte et legeme (f.eks. e vse) op fr gulvet og til e hylde i højde h over gulvet, så skl dee krft præcis være så stor, t de efter t evægelse er st i gg, etop ophæver tygdekrfte. Krfte skl ltså hve størrelse F = mg. Det rejde krfte udfører er d givet ved A = F s = mg h = mgh. De potetielle eergi i tygdefeltet i højde h over ulpuktet er ltså givet ved: E pot (h) = mgh Fjederfelt: På figur.7 ses et legeme (et lod), der er st på e fjeder. Der er rgt e tlliie (e s-kse) med ulpukt i loddets ligevægtspositio (dvs. i det pukt, hvor loddet k hæge stille). Hvis loddet er væk fr ligevægtspositioe, er det påvirket f e krft fr fjedere id imod ligevægtspositioe. Ifølge Hookes lov er dee krft proportiol med, hvor lgt væk loddet er fr ligevægtspositioe, dvs. F fjeder (s) = k s. Miusset skyldes, t hvis s er positiv, så er krfte rettet i egtiv retig, og hvis s er egtiv, så er krfte rette i positiv retig. Fig..7 Størrelse k kldes fjederkostte og er et udtryk for, hvor stiv fjedere er. Hvis vi skl fide de potetielle eergi f loddet, år det efider sig i et givet pukt s o, så skl vi fide det rejde, som e ydre krft (f.eks. fr e håd) skl udføre for t føre loddet fr ulpuktet til puktet s o. Dee ydre krft F skl hele tide efter t evægelse er st i gg flcere fjederkrfte, dvs. være lige så stor som dee, me modst rettet, ltså: F = ks. s A = s s F (s)ds = s o ks ds = [ ] ks = k s o Stee Betze: Mtemtik for Gymsiet. Itegrlregig. Teori, vedelser og modeller.

52 De potetielle eergi i et fjederfelt i fstd s o fr ligevægtsstillige er ltså givet ved: E pot (s o ) = k s o Elektrisk felt fr puktldig: De elektriske krftpåvirkig F el på e ldig q, som efider sig i fstde r fr e de ldig Q, er givet ved Couloms lov : F el = kc Q q r k c kldes Coulom-kostte ( k c = 8,99 9 Nm /C, hvor N er krftehede N og C er ldigsehede Coulom). Ldiger q og Q reges med forteg. (Læsere opfordres til t kotrollere, t krfte er e tiltrækigskrft (dvs. krfte peger id mod Q) eller e frstødigskrft (dvs. krfte peger væk fr Q) fhægig f om ldigere hr forskelligt forteg eller smme forteg). Q r q F el Fig..8 Som ulpukt for de elektriske potetielle eergi vælges e positio uedeligt lgt fr Q. Hvis e ydre krft F skl føre ldige q fr de potetielle eergis ulpukt til positioe r o, så skl krfte (som i de foregåede tilfælde) hele tide være lige så stor og modst rettet som F el Dee ydre krfts smlede rejde A ved t føre ldige fr ulpuktet for de potetielle eergi (dvs. uedelig lgt væk) til positioe r o liver derfor: r A = Q q r k c dr = k cqq dr = r k cqq dr r r r Værdie f det uegetlige itegrle udreges således (jfr. defiitio.7.): K r dr K = lim ( dr ) = lim r r K r K r = lim + = r K K r o r o Q q Alt i lt ser vi dermed, t de ydre krfts rejde A er givet ved: A = k c. ro De potetielle eergi f e ldig q i et elektrisk felt omkrig e puktldig Q er ltså givet Q q ved: E pot (r) = k c r hvor r er fstde fr Q til q, og hvor Q og q reges med forteg. (Hvis f.eks. Q er positiv og q er egtiv, som vi hr det med e elektro omkrig e tomkere, så er de potetielle eergi egtiv, hvilket svrer fit til, t der skl tilføres eergi for t fjere ldige q fr Q). Øvelse..5. ) Teg grfe for de ydre krft F(s) = ks, s [ ;s o ] i reltio til fjedere fr eksempel..4. Forklr, t det i eksemplet udregede rejde svrer til relet uder dee grf. Q q ) Skitser grfe for de ydre krft F(r) = kc, r ] ; [ i reltio til ldigere fr eksempel..4, idet det tges, t Q og q hr hver sit forteg. r Forklr, t det i eksemplet udregede rejde svrer til relet uder dee grf i itervllet r o ;. [ [ Stee Betze: Mtemtik for Gymsiet. Itegrlregig. Teori, vedelser og modeller.

53 Eksempel..6 (Afstdskvdrtlove). Selve fstdskvdrtlove er geemgået i ppedi 5, hvortil der hevises. I det følgede fokuseres på ruge f fstdskvdrtlove i reltio til e prolemstillig, hvor itegrtio er e ødvedig discipli. Og for morsks skyld er prolemstillige st id i særlige evetyrlige rmmer. De kedte rumhelt Nuke Skytlker (NS) hr erfret, t de uderskøe prisesse Lulu B (LB) er i fre, idet hedes rumski er gået i stykker og de lede Ft O Bo er på vej i sit rumski for t tge hede til fge. De gode Nuke Skytlker keder si mtemtik og ved, t de korteste vej imellem to pukter er e ret liie og vil derfor så hurtigt som muligt vi e ret liie flyve direkte over til Lulu s rumski. Prolemet er re, t hs rumski efider sig æste på de modstte side f plete R-7 i forhold til Lulu s rumski (se figur.9, som ikke giver de korrekte idyrdes størrelsesforhold). Og t flyve tæt fori R-7 er forudet med stor risiko p.gr.. stråligsfre selv for e helt som Nuke. R-7 er emlig e lille, me overopfyldt ffldsplet for rdioktivt ffld. R-7 NS = M d = r (t) LB = M Fig..9 Vi vil erege de smlede stråligsmægde pr. m, som NS s rumski udsættes for ved flyvige lgs de rette liie fr = M til = M. Me vi strter med t se på, hvord m geerelt ereger de smlede stråligsmægde pr. m som i et tidsitervl fr t til t rmmer et givet ojekt. Itesitete I er tl stråligsprtikler pr. sekud pr. m. Hvis itesitete er kostt, så er stråligsmægde, der i løet f et tidsitervl t rmmer m, givet ved: I t. I tidsitervllet fr t til t er de smlede stråligsmægde pr. m ltså givet ved: I (t t ). Hvis itesitete derimod ædres med tide, (dvs. hvis I er e fuktio f tide t, således t I(t) giver itesitete til tide t), så er stråligsmægde, som rmmer m i løet f et lille tidsitervl t omkrig tidspuktet t givet ved: I(t) t. ( t skl være så lille, t itesitete stort set k etrgtes som kostt lig med I(t) i tidsitervllet). De smlede stråligsmægde S, der rmmer m i tidsitervllet fr tide t til tide t, er derfor summe f e stor mægde led f type I(t) t, dvs. t S = t I (t)dt Hvis vi sætter tide t =, år NS er i = M og t = T år NS er i = M, så er de smlede stråligsmægde pr. m, som rmmer NS s rumski, givet ved: S = T I (t)dt Stråligsitesitete opfylder fstdskvdrtlove (se eksempel A.5.!). P.gr.. rumskiets evægelse ædres fstde r til R-7 hele tide, dvs. r er e fuktio f tide t. Ifølge Pythgors får vi: r(t) = (t) + d (se figur.9), hvorf vi ser, t stråligsitesitete I i virkelighede er e fuktio f, som er e fuktio f t, dvs. Stee Betze: Mtemtik for Gymsiet. Itegrlregig. Teori, vedelser og modeller.

54 I(t) = I((t)) = I (t) + d hvor I er itesitete i fstde km fr R-7, og hvor r og dermed (t) og d måles i km (jfr. eksempel A.5.). T Vi ser u, t S = I dt (t) + d Hvis Nuke s rumski flyver med hstighede v, så hr vi (overvej!), t (t) = M + v t, og dermed T S = I dt ( M + v t) + d Ved sustitutioe: = M + v t (og dermed: d = vdt, t = = M og t = T = M + vt) M og ved vedelse f, t T =, ser vi (kotrollér!), t følgede omskriviger gælder: v I M+ vt I M I M S = d = M v d = + d M + v d d M v d + Hvis vi i det sidste itegrle veder sustitutioe: s = d får vi edelig (kotrollér!), t: hvor = M M og =. d d I S = ds v d s + For t udrege dette sidste itegrle veder vi et lille trick (vi eytter omvedt sustitutio), idet vi sætter s = t(p). Dette er muligt, idet Vm(t) = R, så for ehver værdi f s fides e værdi p π π. p, så s = t(p), og vi k edd idskræke os til t se på ] ; [ Med sustitutioe s = t(p) hr vi: ds = ( + t(p) )dp. Hvis α, β ] π [ = t(α) og = t(β), så k itegrlet omskrives således: I S = ds = v d β I + t(p) dp = s + v d α β dp t(p) + v d α I ; π ( ) vælges, så I I = [ p] β α dvs. S = ( β α). v d M M M D β = t () = t ( ) og α = t () = t ( ) = t ( ) (overvej!), ser vi: d d d d v d S = I t v d M d Læsere opfordres til t overveje rimelighede f, t S er proportiol med I, omvedt proportiol med v og i øvrigt vokser med voksede værdi f M og med ftgede værdi f d. Imedes vi hr foretget disse eregiger, hr vores helt Nuke Skytlker for lægst glemt lt om stråligsfrer og givet sig på vej mod LB. Så ld os prøve t fide ud f, hvilke smlet stråligsmægde h liver udst for på flyveture. Der er følgede dt til eregige: Stee Betze: Mtemtik for Gymsiet. Itegrlregig. Teori, vedelser og modeller.

55 Rumskiets hstighed er v = 5 km/sek, fstde M = 6. km, fstde d = 4 km og stråligsitesitete i km s fstd fr R-7 er I =,8 stråligsprtikler pr. sek. pr. m. 8 Vi fider d: 8,8 6 5 S = t =,465 stråligsprtikler pr. m De smlede stråligsmægde er ltså,465 stråligsprtikler pr. m. (Bemærk, t d ehede på (t) og d som ævt skl være i km, idet I er itesitete i km s fstd, så skl M og v t også gives i km (idet (t) = M + v t). Tide t måles i smme tidsehed som idgår i givelse f itesitete, dvs. sekuder, idet tidsehede skl gå ud ved udregig f stråligsmægde I(t) t. v skl ltså gives i km/sek. Når dette er sikret, spiller ehedere på v, d og M herefter ige rolle for eregige f de smlede stråligsmægde S). C. 7 % f strålige psserer igeem rumskiets vægge og id til Nuke. D h vejer 8 kg og vi k rege med t hs overflderel i stråliges retig er c.,9 m ser vi, t h pr. kg 5,465,7,9 kropsvægt c. udsættes for: =,54 stråligsprtikler pr. kg. 8 Disse stråligsprtikler hr e geemsitlig eergi på, MeV (meg elektrovolt), hvilket svrer 6 9 til,,6 J =,76 J. (J = Joule). De smlede stråligseergi pr. kg kropsvægt, dvs. de smlede stråligsdosis, er derfor givet ved:,54,76 =, J/kg. Stråligsdosis måles ofte i ehede rem ( rem =, J/kg) Vi ser derfor, t vores helt Nuke er levet udst for e stråligsdosis på rem på si redigsmissio for prisesse Lulu. Vi k ikke så godt lde læsere sidde uforløst tilge, så det skl fortælles t jo, Nuke åede t redde Lulu fr de lede Ft O Bo. Og sdelig: Nuke og Lulu idgik de hellige kosmiske pgt og levede lykkeligt til hs dges ede. De iteresserede læser k f.eks. vi Iterettet udersøge, om e stråligsdosis på rem er skdelig og i givet fld hvor skdelig. Nogle eksempler fr økoomi. Bsle erhvervsøkoomiske egreer. I de følgede eksempler rejdes med egreer som omsætig, omkostiger, græseomsætig, græseomkostiger, vrile omkostiger, profit og dækigsidrg. Disse egreer er geemgået i Appedi 6, der er ret omfttede ( sider). Appediet k imidlertid ude prolem læses selvom m spriger over de mtemtiske eskrivelse f fsætigsfuktioer (4 forskellige modeller) og f omsætigsfuktioer (4 tilhørede modeller), smt over smtlige øvelser. Dette ekstr stof er medtget for helhede og de særligt iteresserede læsers skyld. Ofte er det såvel i modeltekisk som i prktisk smmehæg emmere t fstlægge et udtryk for græseomkostiger eller græseomsætig ed et udtryk for omkostigere eller omsætige selv. Og som det fremgår f de følgede eksempler, k vi ud fr disse græsefuktioer erege totlomkostigsfuktioe, omsætigsfuktioe, profitfuktioe, osv.. Stee Betze: Mtemtik for Gymsiet. Itegrlregig. Teori, vedelser og modeller.

56 Eksempel..7. Vi ser på produktio f e give vre, hvor græseomkostigere, dvs. tilvækste i omkostigere pr. etr produceret vreehed, er givet ved: Gromk(q) = + q 4 Græseomkostigere estår ltså dels f e fst værdi, dels f et led, hvis størrelse fhæger f, hvor mge eheder q, der produceres. D græseomkostigere er differetilkvotiete f de totle omkostiger, dvs. Gromk(q) = Tomk (q), ser vi, t: Tomk(q) = Gromk(q) dq ( + q)dq = q + q c = hvor c er e kostt. Hvis vi yderligere ved, t f.eks. Tomk(5) = 56. kr. (dvs. t de totle omkostiger ved produktio f 5 stk. er lig med 56. kr.), så k c, og dermed Tomk(q) estemmes: Tomk(5) = c = 56. c = 97.5 hvormed vi ser, t Tomk(q) = q + q D Tomk() = 97.5 ser vi, t tllet 97.5 kr. er de fst omkostiger (FC) ved produktioe, medes reste f udtrykket for Tomk(q) er de smlede vrile omkostiger VC(q) ved produktio f q eheder, dvs. VC(q) = + q. q 8 Eksempel..8. ) De smlede vrile omkostiger VC(q o ) ved produktio f q o eheder er (jfr. eksempel..7) givet ved: VC(q o ) = Tomk(q o ) FC = Tomk(q o ) Tomk() = o q Gromk (q)dq hvor Gromk(q) er græseomkostigsfuktioe og FC er de fste omkostiger. Der gælder ltså: q VC(q o ) = o Gromk (q) dq ) Omsætige Oms(q) f e give vre er det smlede elø, der tilgår virksomhede ved slg f q eheder f vre. D der om omsætigsfuktioe specielt gælder, t Oms() =, ser vi, t Oms(q o ) = Oms(q o ) Oms() = o Groms (q)dq hvor Groms(q) er græseomsætigsfuktioe ved slget f de pågældede vre (dvs. Groms(q) er tilvækste i omsætig pr. etr solgt vreehed, Groms(q) = Oms (q)). c) De mksimle idtjeig (profit) i foridelse med produktio og slg f e give vre fides ved e produktiosstørrelse q o, hvor Groms(q o ) = Gromk(q o ). (Se ppedi 6). Hvis Pr(q) = Oms(q) Tomk(q) er profitfuktioe ved produktio og slg f q vreeheder, så k de mksimle profit fides som: Pr(q o ) = Oms(q o ) Tomk(q o ). Ifølge det oveståede får vi d (overvej!): q o Pr(q o ) = (Groms(q) Gromk(q)) dq FC Pr. defiitio f dækigsidrget DB(q) ser vi hermed også, t DB(q o ) = q o ( Groms(q) Gromk(q)) dq hvormed vi hr et udtryk til udregig f dækigsidrget ud fr græsefuktioere. q Stee Betze: Mtemtik for Gymsiet. Itegrlregig. Teori, vedelser og modeller.

57 Øvelse..9. ) Græseomsætige for e vre tges t være givet ved:,8q + 75 kr. pr. stk., år fsætige q efider sig i itervllet [ ;48 ]. Bestem e forskrift for omsætigsfuktioe. ) Græseomkostigere for de smme vre tges t være:,75q q + kr. pr. stk., år produktiosstørrelse efider sig i itervllet: [ ;4 ]. Bestem de værdi f q, hvor der er mksimlt dækigsidrg (husk t gøre rede for, t det er et mksimum) og estem det mksimle dækigsidrg. c) De totle omkostiger ved produktio f stk. er.. kr. Bestem et udtryk for totlomkostigsfuktioe. Eksempel... Virksomhede Clepper mrkedsfører e y type miljøvelige køkkeruller. Virksomhede reger med t kue erore e vis del f mrkedet, således t det solgte tl køkkeruller s(t) pr. dg efter e kortere eller lægere idtrægigsperiode år op på værdie M, hvor mrkedet må siges t være mættet. Det er klrt, t slget pr. dg vokser mest frit (uhidret) i egydelse (i tide efter lcerige på mrkedet), me t vækste i slget pr. dg efterhåde remses op, jo tættere slget kommer på mætigsværdie M. Vi k derfor med rimelighed tge, t forøgelse s i slget pr. dg er proportiol med åde det ktuelle slgstl pr. dg, med fstde til mætige, og med t, hvis t er lille, dvs. s = k s(t) (M s(t)) t hvor k er proportiolitetsfktore. (Overvej rimelighede f disse tgelser!!). Ved t dividere med t på egge sider f lighedsteget og udytte, t t er lille, får vi i lt, t slgstllet pr. dg opfylder følgede ligig: s (t) = k s(t) (M s(t)) Ifølge sætig A.. i Appedi fides e positiv kostt c, således t slget s(t) pr. dg, hvor t er tide efter itroduktioe på mrkedet, opfylder ligige: M s(t) = kmt + c e hvor M er de forvetede mætigsværdi for produktet på mrkedet, og hvor k er e kostt som fortæller oget om produktets idtrægigshstighed på mrkedet. Slgstllet pr. dg k ltså eskrives ved e logistisk vækstfuktio. Belært f erfriger med idtrægigshstigheder på mrkedet for dre produkter estimerer Clepper, t størrelse km =,4. Det viste sig desude, t der i egydelse lev solgt stk. pr. dg, smt t der efter 5 dge lev solgt c. stk. pr. dg. På ggrud f disse iformtioer vil vi estemme værdiere f kosttere M og c i modelle. M Vi hr, t: s() = = M = ( + c),4 + c e M og: s(5) = = M = ( + c e ),4 5 + c e Disse to udtryk for M sættes lig med hide, og c isoleres. Derved får vi (kotrollér!), t: c = 4,56 og dermed, t: M = 556. Kostte c er ude ehed og M hr ehede stk. pr. dg. Vi ser dermed, t fuktioe s(t) hr forskrifte: Stee Betze: Mtemtik for Gymsiet. Itegrlregig. Teori, vedelser og modeller.

58 - 6 - s(t) = ,56 e,4t 5 s(t) Grfe for fuktioe s(t), t [ ;5] ses på figur.. 4 Vi vil ruge modelle til t erege det smlede slg i løet f de første 7 dge. D vi hr slg pr. dg op f.kse og tl dge ud f.kse, er det smlede slg S(7) i løet f de første 7 dge givet ved: S(7) = 7 s (t) dt dvs S(7) = dt,4t + 4,56 e Fig.. t M km Ifølge sætig A..4 gælder der: d = l(e + c), hvor vi hr udeldt kostte q, d de lligevel forsvider ved udregige f det estemte itegrle. Vi ser, t det er km + c e k ødvedigt t fide værdie f kostte k for t kue udrege itegrlet. D km =,4 og 6 M = 556 ser vi, t k = 7,75795, hvormed vi k udrege S(7). Vi får (kotrollér!): ,4t S(7) = dt =,4t l(e + 4,56) 6 = ,56 e 7,75795 Ifølge modelle sælges der ltså stk. i løet f de 7 første dge. Øvelse... E virksomhed mrkedsfører e y type vskepulver og reger med, t det solgte tl kg s(t) pr. dg tilærmelsesvist k eskrives ved e logistisk vækstfuktio: s(t) = ct + e hvor, og c er de kostter, der fstlægger modelle. (Bemærk, t = M, = c og c = km i sætig A.., me som ekedt k m vgive sie kostter og vrile, som m vil). Virksomhede estimerer på ggrud f e mrkedslyse og tidligere erfriger, t det ye produkt efterhåde k erore e mrkedsdel, som svrer til e fsætig på c. 8 kg pr. dg. I egydelse lev der solgt c. 5 kg pr. dg, og efter 45 dge lev der solgt c. 4 kg pr. dg. ) Bereg ud fr disse iformtioer værdiere f prmetree, og c. (Vejledig: Bestem først værdie f ved t se på t ). ) Teg grfe for s(t), t [ ;] c) Bereg det smlede slg i løet f de første dge. Stee Betze: Mtemtik for Gymsiet. Itegrlregig. Teori, vedelser og modeller.

59 - 6 - Kp. : E teoretisk tilgg til estemte itegrler mm. Idledig I de foregåede tekst er egreere uestemt itegrl og estemt itegrl ygget op på egreere stmfuktio og rel: I defiitio.. idførte vi det uestemte itegrle f e fuktio f som e vilkårlig stmfuktio til f. Me det forudsætter, t f hr e stmfuktio! I sætig.5. eviste vi så, t hvis f er kotiuert, positiv og stykkevis mooto, så hr de e stmfuktio, emlig relfuktioe. Me det forudsætter, t puktmægde uder e grf hr et rel! Og det er ikke turgivet, som det seere vil live vist i et eksempel i dette kpitel. I defiitio.5. idførte vi det estemte itegrle f e fuktio f v.hj.. e stmfuktio til f, hvormed estemte itegrler ku er defieret for fuktioer, der hr e stmfuktio (i hvert fld stykkevist i delitervller jfr. fsittet om stykkevis kotiuerte fuktioer (s. ff)). Koklusioe på dette er l.., t der skl skes et ordetligt fudmet i smmehæge mellem fuktioers grfer og reler, og t der derfor skl skes et ordetligt grudlg for relegreet. Veje til dette fører vi egreet itegrilitet, som vi derfor først vil se på. Og vi veter lægst muligt med t iddrge relegreet, idtil det liver ødvedigt t tge ft på. Over-, uder- og middelsummer. Vi etrgter e egræset fuktio f defieret i et itervl [ ; ] gælder, t der fides to tl k og K, så k f() K for lle [ ; ] (jfr. defiitio..). Vi foretger e iddelig f itervllet [ ; ], dvs. e fuktio, hvorom der i delitervller v.hj.. delepuktere,,,,, +, hvor = og + =. (Jfr. figur.). For hvert delitervl [ i ; i + ] vælges dels et tl t i [ i ; i+ ], dels to tl k i og K i som opfylder, t k i f() K i for lle [ i ; i + ] ;. hvilket er muligt, d f er egræset. På figur. er dette vist for itervllet [ ] 4 For ethvert vlg f tlmægde { } Fig.. t, t,..., kldes summe: t f (ti ) (i+ i ) = f (t) ( ) + f (t) ( ) f (t ) (+ ) i = som omtlt s. 8 for e middelsum m s for f svrede til iddelige,,,,, +. Og hvis itervlredde i+ i eteges i, k summe skrives således: m s = f (ti) i i = Stee Betze: Mtemtik for Gymsiet. Itegrlregig. Teori, vedelser og modeller.

60 - 6 - Vi idfører u egreere udersum og oversum på følgede måde: Ved e udersum s og e oversum S for f svrede til de give iddelig forstår vi følgede summer: s = k i i = k + k k i = S = K i i = K + K K i = hvor k ere og K ere er vlgt som eskrevet ovefor. D det gælder for lle t i, t k i f(t i ) K i, opår vi t: s m s S. Middelsummer er ltså spærret ide imellem e udersum og e oversum. Størrelse S s giver derfor, hvor stor vritio der højst k være for middelsummere svrede til e give iddelig. Vi ser således, t hvis vi k gøre størrelse S s midre ved t gøre iddeliges fihed midre, så er de mulige vritio i de tilsvrede middelsummer midre. Størrelse S s er givet ved: S s = ( K k) + (K k ) (K k ) = ( K i = i k ) På figur. er S s lig med det smlede rel f de skrverede rektgler. (Vi etrgter f tege- ; ). mæssige årsger e temmelig grov iddelig,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9, f [ ] i i Fig.. Hvis vi på figur. tilføjer edu et delepukt, f.eks. mellem 6 og 7 (se figur.), så er de ovefor estemte summer s og S stdigvæk udersum og oversum for f. Dette ses f, t d ; ; 6 og for k 6 f() K 6 for lle [ 6 7 ], så gælder dette turligvis også for lle [ ] lle [ ]. ; 7 Fig.. Stee Betze: Mtemtik for Gymsiet. Itegrlregig. Teori, vedelser og modeller.

61 - 6 - Som tydet på figur. ser vi imidlertid, t vi med det ye delepukt evetuelt k gøre fstde mellem mellem udersum og oversum midre, idet de skrverede rektglers rel er midre ed relet f det større rektgel. Vi ser således, t vi ved t tilføje delepukter til e give iddelig muligvis k gøre S s midre, idet vi evetuelt hr fået e midre oversum og smtidig e større udersum. Det emærkes, t år vi således tilføjer et (eller flere) delepukter til e give iddelig, så siger vi, t vi foretger e videre-iddelig f itervllet. Øvelse.. ) Teg grfe for fuktioe: f() =, [ ; ] Fid de størst mulige udersum, e middelsum og de midst mulige oversum svrede til e iddelig f itervllet [ ; ] i 5 lige store delitervller. ) Foretg smme eregig med lige store delitervller, og kommetér resulttet. ; ; c) Getge pkt. ) og ), idet vi i stedet for itervllet [ ] ser på itervllet [ ] Adskillelse f summer Sætig.. Ld f være e egræset fuktio defieret i et itervl [ ; ]. D gælder, t ehver udersum for f er midre ed ehver oversum for f. Dette k også udtrykkes således: Hvis s er e vilkårligt vlgt udersum for f svrede til e give iddelig f [ ; ] e vilkårligt vlgt oversum for f svrede til e de iddelig f [ ; ], så gælder, t: s S Bevis:, og hvis S er Ld I etege iddelige (dvs. mægde f delepukter) f [ ; ] svrede til s, og ld I tilsvrede etege iddelige f [ ; ] svrede til S. Hvis vi u grdvist (ét efter ét) tilføjer de dele- I f [ ; ]. pukter fr I til I, som ikke llerede er med i I, så får vi iddelige Som omtlt ovefor k s stdigvæk etrgtes som e udersum svrede til dee videreiddelig f I, ligesom S stdigvæk k etrgtes som e oversum svrede til de tilsvrede videreiddelig f I. På dee måde liver s e udersum svrede til iddelige I I og S liver e oversum svrede til de smme iddelig I I, hvormed vi ser, t s S. I Defiitio.. Et givet fst tl T siges t skille eller t dskille mægde f udersummer og mægde f oversummer for e give egræset fuktio f defieret i et itervl [ ; ], hvis der gælder følgede: For ehver udersum s og ehver oversum S gælder der, t: s T S Nu er det på ige måde givet, t der overhovedet fides et sådt tl T svrede til e give fuktio f, me dette sikres f følgede sætig: Stee Betze: Mtemtik for Gymsiet. Itegrlregig. Teori, vedelser og modeller.

62 Sætig.4. Hvis f er e egræset fuktio defieret i et itervl [ ; ], så fides der midst ét tl T, som dskiller mægde f udersummer og mægde f oversummer for f. Bevis: Ld s være e vilkårlig vlgt udersum for f, og ld S være e vilkårligt vlgt oversum for f. D gælder ifl. sætig., t s S. Der er u to muligheder: s = S og s < S. Hvis s = S, så sætter vi T = s = S. Dette tl T dskiller mægde f udersummer og mægde f oversummer for f. For hvis vi f.eks. tger, t der fides e udersum s* som er større ed T, så vil s* også være større ed S, og dermed hr vi e udersum, der er større ed e oversum, hvilket er i strid med sætig.. Hvis s < S, så etrgtes midtpuktet q f itervllet [ s ;S ]. Der er u tre muligheder: ) Der fides e oversum S, som er midre ed q, og vi etrgter d summere s og S ) Der fides e udersum s, som er større ed q, og vi etrgter d summere s og S. ) Hvis hverke ) eller ) er opfyldt, sætter vi T = q, og vi d færdige, idet lle oversummer er større ed eller lig med q og lle udersummer er midre ed eller lig med q. Hvis pkt. ikke idtrf, veder vi de to fude summer (s og S eller s og S) og egyder rgumetet forfr (hvor S u er S eller hvor s u er s ). På dee måde får vi ete udersum = oversum (dvs. s = S) eller pkt. ) opfyldt på et eller det tidspukt og vi er d som omtlt færdige eller også får vi e række itervller f type [ s ;S ], som ligger idei hide, og hvor redde f et itervl højst er hlvt så stor som redde f det foregåede itervl, dvs. vi får e såkldt ruse. Ifølge itervlsmmesævrigsksiomet (se ppedi 7) fstlægger dee ruse præcis ét tl, som vi vil klde T. Vi skl u lot rgumetere for, t dette tl T opfylder det øskede, dvs. t lle udersummer for f er midre ed eller lig med T og t lle oversummer for f er større ed eller lig med T. Ld os først se på udersummere. Der vedes et idirekte evis, så vi tger, t der fides e udersum s*, så s* > T, og skulle så gere få e modstrid frem. Sæt ε = s* T. D lægdere f itervllere i de etrgtede ruse går mod, idet de midst hlveres i hvert skridt, vil der fides et itervl [ s ; S ] i ruse (det itervl, der fremkommer efter skridt, hvor er tilstrækkelig stor), hvorom der gælder, t S s < ε D T [ ; ] s T S s* Fig..4 s S ser vi, t S < s*, hvormed vi hr fudet e oversum for f, som er midre ed e udersum for f, og dette er i strid med sætig.. Atgelse om, t der fides e udersum s*, som er større ed T, k ltså ikke være opfyldt, hvormed vi ser, t lle udersummer er midre ed eller lig med T. Beviset for oversummer forløer tilsvrede og overldes til læsere. Stee Betze: Mtemtik for Gymsiet. Itegrlregig. Teori, vedelser og modeller.

63 Ifølge sætig.4 fides der ltså midst ét tl, som dskiller udersummere og oversummere for e egræset fuktio f defieret i et itervl [ ; ]. Me spørgsmålet er også, om der fides mere ed ét tl, der dskiller uder- og oversummer?! Eksempel.5. Ld fuktioe f være givet ved: år er rtiol f() = år er irrtiol, [ ; ] vi etrgter, så vil smtlige delitervller ideholde åde rtiole og irrtiole tl (se ppedi 7), og dermed vil det for lle oversummer S og lle udersummer s gælde, t S og s. Vi ser dermed, t lle tl T mellem og dskiller mægde f udersummer og mægde f oversummer, dvs. der er uedeligt mge tl med dee egesk. Om dee fuktio gælder, t uset hvilke iddelig f itervllet [ ; ] Så svret på det rejste spørgsmål er ifølge eksempel.5, t der k være mge tl, der dskiller uder- og oversummer for e give fuktio. I det følgede får vi rug de æste sætig: Sætig.6.. D er følgede to udsg esetydede: ) Der fides etop ét tl T, der dskiller udersummere og oversummere for f ) For ethvert ε > fides e oversum S og e udersum s for f, så S s < ε Ld f være e egræset fuktio defieret i et itervl [ ; ] Bevis: Vi geemfører eviset ved først t vise, t udsg ) medfører udsg ) (dvs. ) )), og derefter t udsg ) medfører udsg ) (dvs. ) )). ) ): Her forudsætter vi ltså, t der fides etop ét tl T, som dskiller udersummer og oversummer. Ld ε > være vilkårligt vlgt. Vi skl u vise, t der fides e udersum s og e oversum S, så S s < ε. Betrgt tllet T + ε/ (læsere opfordres til t tege e tlliie). D T + ε/ > T, dskiller tllet T + ε/ ikke uder- og oversummere. Der må derfor fides e oversum S, som er midre ed T + ε/, dvs. S < T + ε/. På smme måde ses, t der må fides e udersum s, så s > T ε/. Me herf ses i lt, t S s < ε. ) ): Her forudsætter vi, t der for ethvert ε > fides e oversum S og e udersum s for f, så S s < ε, og vi skl vise, t der fides etop ét tl T, der dskiller udersummere og oversummere for f. Ifølge sætig.4 fides der midst et sådt tl T. Så vi skl evise, t der ikke fides mere ed ét tl T, som dskiller. Dette gøres ved et idirekte evis. Vi tger derfor, t der fides to forskellige tl T og T, som dskiller, og d de to tl er forskellige, må det ee være midre ed det det. Vi tæker os, t T < T. Vi sætter u ε* = T T. Ifølge forudsætigere fides der e udersum s og e oversum S, så S s < ε*. D lle oversummer er større ed eller lig med T, hr vi specielt, t S T, og d lle udersummer er midre ed eller lig med T, hr vi specielt, t s T. Dette giver os: S s T T = ε*, hvilket strider imod, t S s < ε* Hermed er sætige evist. Stee Betze: Mtemtik for Gymsiet. Itegrlregig. Teori, vedelser og modeller.

64 Itegrilitet Vi strter med t evise følgede sætig: Sætig.7. Ld f være e egræset fuktio defieret i et itervl [ ; ]. Hvis der fides etop ét tl T, som dskiller udersummere og oversummere for f, så vil middelsummere m s for f gå imod T, år iddeliges fihed IF går mod, dvs. T for IF m s Dette k mere præcist og formelt formuleres på følgede måde: Hvis der fides etop ét tl T, som dskiller udersummere og oversummere for f, så gælder der: For ethvert tl ε > fides der e middelsum m s for f, så T < ε Bevis: Iddelige fihed er som omtlt s. 8 lægde f det lægste delitervl i de etrgtede iddelig. Og vi skl ltså vise, t for ethvert ε > er det muligt t fide e middelsum m s for f svrede ;, så der gælder, t m s T < ε. til e tilstrækkelig fi iddelig f [ ] Ld ε > være vilkårligt vlgt. Ifølge forudsætige om, t der fides etop ét tl T, der dskiller udersummer og oversummer, giver sætig.6 os, t der fides e udersum s og e oversum S, ; svrede til s, og så S s < ε. Ld I etege iddelige (dvs. mægde f delepukter) f [ ] ld I tilsvrede etege iddelige f [ ; ] svrede til S, og ld m s være e vilkårlig middelsum svrede til videreiddelige I I. D gælder der (overvej!), t s m s S. D vi smtidig hr, t s T S, ser vi i lt, t T S s < ε, hvor umeriskteget er ød- m s vedigt, idet vi ikke ved om m s er større eller midre ed T. Hermed er det øskede evist. m s På ggrud f det oveståede k vi u give følgede defiitio. Defiitio.8. E fuktio f, der er defieret og egræset i et itervl [ ; ], siges t være itegrel i [ ; ] hvis der fides etop ét tl T, som dskiller udersummere og oversummere for f. Tllet T kldes det estemte itegrle f f og skrives: T = f ()d, På ggrud f defiitio.8, sætig.6 og sætig.7 k vi u føre følgede (overvej!): Stee Betze: Mtemtik for Gymsiet. Itegrlregig. Teori, vedelser og modeller.

65 Sætig.9. Ld f være e egræset fuktio defieret i et itervl [ ; ]. D gælder: ) Følgede to udsg er esetydede: ) f er itegrel i [ ; ] ) For ethvert ε > fides e oversum S og e udersum s for f, så S s < ε ) Hvis f er itegrel i [ ; ], så vil middelsummere m s for f gå mod itegrlet f f, år iddeliges fihed IF går mod, dvs. m s f ()d for IF dvs.: For ethvert tl ε > fides der e middelsum m s for f, så m s f () d < ε Eksempel.. Ld f() = k, [ ; ] oversum for f (svrede til de iddelig f [ ; ], som ku hr to delepukter og ), og d k( ) smtidig er de eeste mulige middelsum (overvej dette), ser vi, t f er itegrel i [ ; ] og t, være e kostt fuktio. D tllet k( ) åde er e udersum og e kd = k( )., Hvis vi ser på fuktioe f omtlt i eksempel.5, så er der mere ed ét tl, der dskiller udersummere og oversummere for f, hvorfor f ikke er itegrel. Me som vi skl se, er det lidt f e mtemtisk spidsfidighed, t der overhovedet fides fuktioer, som ikke er itegrle. De fleste f de egræsede fuktioer, vi etrgter, er itegrle. Når vi ud fr defiitio.8 og sætig.9 ) skl vise, t e give forelgt fuktio er itegrel, så skl vi ete vise, t der etop fides ét tl, som dskiller udersummere og oversummere for fuktioe, eller t der for ethvert ok så lille, vilkårligt vlgt ε > gælder, t der fides e udersum s og e oversum S, så S s < ε. Det sidste er ofte det emmeste t gå til. Som eksempel herpå vil vi evise følgede sætig: Sætig.. Ld f være e egræset fuktio defieret i et itervl [ ; ] Hvis f er mooto, så er f itegrel.. Bevis: Vi fører eviset for e voksede fuktio. Beviset for e ftgede fuktio er helt tilsvrede. Ld,,,,, +, være e iddelig f [ ; ]. (Se figur.5, hvor = 7). D f er voksede, k vi vælge k er og K ere i hhv. udersum og oversum, således t k = f( ) k = K = f( ) Stee Betze: Mtemtik for Gymsiet. Itegrlregig. Teori, vedelser og modeller.

66 k = K = f( ) k = K = f( ) K = f( + ) Fig..5 S s er lig med det smlede rel f de skrverede rektgler. Og hvis vi stler disse rektgler ovepå hide (se figure), så ser vi, t S s er midre ed eller lig med p (f() f()), hvor p er lægde f det største delitervl, dvs. p er iddeliges fihed. Ved t gøre p tilstrækkelig lille k vi få gjort S s så lille, som vi øsker. Dette idses således: ε Hvis ε > er e vilkårligt givet (uderforstået lille) positiv værdi, så sætter vi p = (f () f ()) Hvis vi u vælger e iddelig med fihede p, så gælder der om de ovefor eskreve udersum s og oversum S, t: S s p (f() f()) = dvs. S s < ε. Hermed er sætige evist. Øvelse.. (f () ε (f () f ()) f ()) Giv e egrudelse for, t fuktioe f() =, [ ;] Gøre rede for, t hvis vi iddeler [ ;] i lige store delitervller, så er = ε, er itegrel ( ) s = e udersum for f svrede til etrgtede iddelig, og S = er e oversum for f svrede til de etrgtede iddelig. Kotrollér for lig med,, 4, 5 og 6, t der gælder følgede formel: = 6 ( + ) ( + ) < ε Stee Betze: Mtemtik for Gymsiet. Itegrlregig. Teori, vedelser og modeller.

67 Formle gælder for lle heltllige værdier f, hvilket k vises ved et såkldt iduktiosevis. Me vi vil ikke komme yderligere id på dette hér. Vis v.hj.. de etrgtede formel, t s = og t S = Ld gå mod uedelig (dvs. ld iddeliges fihed gå mod ), og estem derved: d Eksempel.. Vi etrgter e fuktio f, som er itegrel i [ ; ]. Vi ædrer u dee fuktio i ét ekelt pukt o og klder de derved fremkome fuktio g, dvs. q, år = o g() = f (), år o hvor q f( o ). (Se figur.6 )). og t: g ()d = f ()d Vi vil u rgumetere for, t fuktioe g er itegrel i [ ; ] Fig..6 De eeste forskel på summere for f og for g er et led, hvis størrelse svrer til det skrverede rel på figur.6 ). Og år iddeliges fihed går mod, så liver dee forskel forsvidede lille, hvormed det øskede idses. Vi emærker, t hvis to fuktioer er es ortset fr i et edeligt tl pukter, og hvis de ee fuktio er itegrel, så er de de fuktio også itegrel, og de to itegrler er es. For ifølge det oveståede resultt k vi lot ædre de ee fuktio til de de pukt for pukt. Af dette få vi specielt, t e itegrel fuktios værdier i edepuktere f et itegrtiositervl er ude etydig for itegrlets værdi. Fuktioere f og f på edeståede figur.7 hr således smme itegrl fr til. Fig..7 Stee Betze: Mtemtik for Gymsiet. Itegrlregig. Teori, vedelser og modeller.

68 - 7 - Vi er u klr til t vise e f de fgørede sætiger: Sætig.4. Hvis f er e kotiuert fuktio defieret i [ ; ], så er f itegrel i [ ; ] Bevis:, tger f såvel et mksimum som et mii- D f er kotiuert i et lukket, egræset itervl [ ; ] mum i [ ; ]. Hermed ser vi, t f er e egræset fuktio. Vi vil u eytte sætig.9 ) til t evise, t f er itegrel. Ld derfor ε > være vilkårligt vlgt. Vi skl d vise, t der fides e udersum s og e oversum S ;, så S s < ε. for f i [ ] Ld,,,,, + være e vilkårlig iddelig f [ ; ]. D f er kotiuert i hvert f itervllere [ ; + ], k vi sætte k = mi f ( og K = m f ( (Se figur.8) i i i ) [ ; ] i i + i ) [ ; ] i i + Summere: Fig..8 s = k i i = k + k k i = S = K i i = K + K K i = liver d hhv. e udersum og e oversum for f svrede til de give iddelig. ε Hvis det for lle ideks i (dvs. for lle delitervller [ i ; i + ]) gælder, t Ki ki <, så kldes iddelige for e ε-uiform iddelig f [ ; ]. (Ordet uiform etyder esrtet. Det ruges f.eks. også i foridelse med uiform kotiuitet. Vi vil ikke komme yderligere id på. Me de iteresserede læser k fide mere om det i litterture). D vi skl omtle egreet e ε-uiform iddelig dskillige gge i det følgede, idfører vi følgede korte eævelse: EUI. Hvis der fides e EUI, så hr vi: S s = ( Ki ki) i < i = dvs. hvis vi hr e EUI f [ ; ] i = ε i ε = i = i ε = ( ) = ε, så opfylder de give udersum s og oversum S, t S s < ε, hvor med det øskede er evist. Stee Betze: Mtemtik for Gymsiet. Itegrlregig. Teori, vedelser og modeller.

69 - 7 - Vi skl ltså vise, t for det give (me vilkårligt vlgte) ε fides der e EUI f [ ; ] Dette gør vi ved t føre et idirekte evis. Argumetet forløer således: Atg derfor, t der ikke fides e EUI f [ ; ]!!. Herf får vi, t der ete ikke fides e EUI f vestre hlvdel eller f højre hlvdel f itervllet (idet hvis der er e EUI for hver f de to hlvdele, så er der også e EUI f hele itervllet). Ld os f.eks. tæke os, t der ikke fides e EUI f højre hlvdel f itervllet. Hvis vi idskræker os til t se på dette itervl, så k det ige deles i to hlvdele, hvorom der gælder, t midst e f dem ikke hr e EUI. Således k vi fortsætte, hvormed vi får e itervl-ruse (se ppedi 7), hvor det om hvert itervl i ruse gælder, t der ikke eksisterer e EUI f itervllet. E såd ruse estemmer etop ét pukt, som vi vil klde o. D f er kotiuert i [ ; ], er f specielt kotiuert i o. Ifølge defiitioe på kotiuitet i et pukt får vi, t der fides e omeg ω( o ) (dvs. et symmetrisk itervl) omkrig o, hvorom der gælder: ω( o ) ε f () f (o) <. ( ) D lægde f itervllere i ruse går mod, vil disse itervller fr et eller det skridt (ld os klde det ), være e delmægde f ω( o ). Vi ser hermed, t det om itervllet I gælder, t: I ε f () f (o) <. ( ) Herf får vi (overvej!), t: ε ε ε m f () mi f () = m f () f( o ) + f( o ) mi f () < + =, I I I I ( ) ( ) hvormed vi ser, t der fides e EUI f I eståede f lot to pukter (I s edepukter). Me hermed hr vi opået e modstrid. For ifølge tgelse og de herf følgede kostruktio f ; ikke hr e EUI k ltså ikke ruse hr ige itervller i ruse e EUI. Atgelse om, t [ ] holde, hvormed vi ser, t der fides e EUI f [ ; ]. Hermed er sætige evist. Vi ved u, t mootoe fuktioer er itegrle, og t kotiuerte fuktioer er itegrle. Det er imidlertid ikke lle fuktioer, som er kotiuerte eller mootoe. Me prktisk tlt lle de fuktioer, vi møder, er stykkevis kotiuerte og/eller stykkevis mootoe, dvs. deres defiitiosmægder k iddeles i et edeligt tl delitervller (eller evt. edepukter), hvori fuktioe er kotiuert, eller hvori fuktioe er ete voksede, ftgede eller kostt (se figur.). For t vise, t e stykkevis kotiuert eller e stykkevis mooto fuktio er itegrel, må vi hve e sætig som siger, t hvis e fuktio er itegrel i de (edeligt mge) delitervller, som ; ;. udgør itervllet [ ], så er fuktioe også itegrel i [ ] Følgede sætig, som kldes idskudssætige, giver os det øskede: Sætig.5. (Idskudssætige) Ld f være e egræset fuktio defieret i [ ; ], og ld ] ; [ Der gælder d følgede: ;c Hvis f er itegrel i [ ] og i [ c ; ], så er f itegrel i [ ; ] Og i ekræftede fld hr vi: f ()d = c f ()d + f ()d c c være vilkårligt vlgt., og omvedt. Stee Betze: Mtemtik for Gymsiet. Itegrlregig. Teori, vedelser og modeller.

70 - 7 - Bevis: Atg først, t f er itegrel i [ ; ], og ld ε være et vilkårligt vlgt lille positivt tl. Ifølge sætig.9 ) hr vi, t der fides e udersum s for f og e oversum S for f svrede til e tilstrækkelig fi iddelig f [ ; ], således t: S s < ε. Hvis c ikke er et delepukt i dee iddelig, k vi ifølge side 6-6 lot tilføje c som delepukt (lve e videre-iddelig). Herved er s og S stdigvæk hhv. udersum og oversum for f. Vi k herefter skrive: S = S + S og s = s + s hvor S er de del f S, som stmmer fr [ ;c ], og hvor S er de del f S, som stmmer fr [ c ; ] og tilsvrede med s og s. Herved liver s og s udersummer for f i hhv. [ ;c ] og [ c ; ], og S og S liver de tilsvrede oversummer for f. D S s og S s, d S s = (S + S ) (s + s ) = (S s ) + (S s ) og d S s < ε ser vi, t: S s < ε og S s < ε. Vi hr således til et vilkårligt vlgt ε > fudet e udersum s og e oversum S for f i [ ;c ] S s < ε. Ifølge sætig.9 ) er f derfor itegrel i [ ;c ]. Tilsvrede ses, t f er itegrel i [ c ; ]. Atg u omvedt, t f er itegrel i [ ;c ] og i [ c ; ] D ε >, og d f er itegrel i [ ;c ] og e oversum S for f svrede til e tilstrækkelig fi iddelig f [ ;c ] På tilsvrede måde estemmes s og S fr [ c ; ], så S s < ε., og ld ε > være vilkårligt vlgt., så, hr vi ifølge sætig.9 ), t der fides e udersum s, således t S s < ε Hvis vi u sætter S = S + S og s = s + s, så er S e oversum for f og s e udersum for f sv- ;, og desude gælder der, t: rede til e iddelig f [ ] dvs. S s < ε. S s = (S + S ) (s + s ) = (S s ) + (S s ) < Ifølge sætig.9 ) hr vi hermed idset, t f er itegrel i [ ; ] Hermed er første del f sætige evist. ; Atg u, t f er itegrel i [ ] - og dermed også i [ ;c ] og [ c ; ]. Hvis m s og m s er middelsummer for f i hhv. [ ;c ] og [ c ; ], så er for f i [ ; ]. ε + ε = ε. m s = m s + m s e middelsum D middelsummere m s går imod c f ()d, år iddeliges fihed går mod, og tilsvrede middelsummere m s går imod f ()d, år iddeliges fihed går mod, så vil middelsummere f forme c m s gå mod c f ()d + f ()d. c D vi desude ved om lle middelsummere m s for f i [ ; ], t de går imod f ()d, år iddeliges fihed går mod, så må vi hve, t: f ()d = c f ()d + f ()d. c Hermed er sætige evist. Stee Betze: Mtemtik for Gymsiet. Itegrlregig. Teori, vedelser og modeller.

71 - 7 - V.hj.. idskudssætige vil vi u udvide itegrlegreet til også t omftte f ()d, år. Idet vi øsker, t idskudssætige skl gælde, ser vi ved t lde = c, t: f ()d = f ()d + f ()d. Dette giver os, t vi må sætte: f ()d =. D vi ligeledes vil hve, t f ()d + f ()d = f ()d (= ) skl gælde, vi må sætte: f ()d = f ()d. Vi fører derfor følgede defiitio: Defiitio.6. Ld f være e itegrel fuktio. Vi sætter d: f ()d = og f ()d = f ()d Øvelse.7. Gør v.hj.. defiitio.6 og sætig.5 rede for, t f ()d = c f ()d + f ()d gælder for lle mulige plceriger f, og c i forhold til hide (f.eks. c < < eller < < c) og ikke ku for < c < som i sætig.5. c Idtil u hr vi fudet e msse resultter om itegrilitet, me selve udregig f itegrlere (ltså estemmelse f de værdi, der dskiller uder- og oversummer), hr ikke været meget omtlt, og estemmelse f værdie er d foregået med e del esvær (jfr. eksempel. og øvelse.). Dette prolem fhjælpes i de fleste tilfælde f følgede sætig evt. i komitio med eksempel. og sætig.5. Sætig.8. Hvis f er itegrel i itervllet [ ; ] der, t Bevis:, og hvis f hr e stmfuktio F i dette itervl, så gælder f ()d = F() F() Ld,,,,, + være e vilkårlig iddelig f [ ; ] t F() F() = F( + ) F( ) = F( + ) F( ) + F( ) F( ) hvor vi hr trukket F( ) fr og lgt det til ige. Hvis vi gør tilsvrede med leddee ( ), F( )..., F( ) F. Vi hr d, (idet = og = + ),, så får vi: F() F() = F( ) F( )) + (F( ) F( )) + (F( ) F( )) (F( ) F( )) ( + Stee Betze: Mtemtik for Gymsiet. Itegrlregig. Teori, vedelser og modeller.

72 D F er differetiel i [ ; ] og dermed i lle delitervllere, får vi ifølge differetilregiges middelværdisætig, t der i hvert itervl ] ; + [ fides et tl t i, således t F( i+ ) hvor vi hr rugt, t F = f. Herf ser vi, t F() F() = f (t F( i ) = F (ti ) (i+ ) + f (t i i i ) ) = f (t ) i i f (t ) dvs. F() F() er lig med e middelsum for f svrede til de give iddelig f [ ; ] For hver iddelig f [ ; ]. vil vi således få, t F() F() er lig med e middelsum for f. D vi ved, t middelsummere for f går imod et etydigt estemt tl, år iddeliges fihed går mod, ser vi, t dette tl må være F() F(). D vi også ved, t tllet er f ()d, hr vi hermed, t f ()d = F() F() Hermed er sætige evist. Vi hr u på ggrud f de teoretiske tilgg til estemte itegrler vi summer og itegrilitet etleret e sætig, som stemmer overes med defiitio.5. fr de mere prgmtisk orieterede tilgg til emet i kpitel. Det etyder, t lle sætiger og regler i fsit.5,.6 og.7, som ikke omhdler reler, også gælder for det i kpitel defierede itegrlegre. Om de idgåede fuktioer skl lot føres de tillægsforudsætig, t de er itegrle. Læsere, der øsker t se eksempler på udregig f estemte itegrler, hevises derfor til kpitel. Som det fremgår f sætig.8, vil det være rrt t kue rejde med itegrle fuktioer, der hr e stmfuktio. Vi hr llerede evist, t e kotiuert fuktio er itegrel (se sætig.4). Vi vil derfor u evise, t e kotiuert fuktio hr e stmfuktio (jfr. sætig.5.): Sætig.9. Ld f være e kotiuert fuktio defieret i et itervl I, og ld q I være et vilkårligt vlgt tl. Hvis vi for lle I sætter F() = f (t) dt q så er fuktioe F e stmfuktio til f i I. Der gælder ltså, t F () = f() for lle idre pukter i I, hvis er et vestre edepukt for I, som er med i I, så er F + () = f (), og hvis er et højre edepukt for I, som er med i I, så er F () = f (). Bevis: F() er defieret for lle I, idet f er kotiuert og dermed itegrel i itervllet [q;] eller [;q] Ifølge defiitioe på differetiilitet skl vi for et vilkårligt o I udersøge differeskvotiete F() F( o ) for gåede mod o (evt. fr højre eller vestre i et itervledepukt eller ). o Ifølge idskudssætige for itegrler hr vi: Stee Betze: Mtemtik for Gymsiet. Itegrlregig. Teori, vedelser og modeller.

73 F() F( o ) = o f (t)dt f (t)dt = q q f (t)dt + f (t)dt = q q o o f (t)dt Atg først, t > o : D f er kotiuert i det lukkede, egræsede itervl [ o ;], tger f åde et mimum K og et miimum k i [ o ;]. Vi sætter ltså: k = mi f (t) og K = mf (t). t [ ;] t [ ;] o Vi får d: k ( o ) f (t)dt K ( o ) o Overvej dette, f.eks. ved uder- og oversumsetrgtiger, åde år f tger positive og egtive fuktiosværdier!!. Ifølge det oveståede hr vi således, t: k ( ) F() F( ) K ( ) o o og ved divisio med o (som er positiv), får vi: k F() F( o ) o K Atg deræst, t < o : D f er kotiuert i det lukkede, egræsede itervl [; o ], tger f åde et mimum K og et miimum k i [; o ]. Vi sætter ltså: k = mi f (t) og K = mf (t). t [ ] t [ ] o Vi får d (overvej!): k (o ) f (t)dt K (o ) dvs. k ( ) F( ) F() K ( ) o ; o og ved divisio med o (som er positiv), får vi: Ved t forlæge røke med får vi edelig: o k k o o o ; o o F( o ) F() K. F() F( o ) K. Vi ser dermed, t dee doeltulighed åde gælder for < o og > o Hvis vi u lder gå mod o (evt. fr højre eller vestre, hvis o er et edepukt for I), så giver kotiuitete f f, t åde k og K går mod f( o ). Me d ligger imellem k og K, ser vi, F() F( o ) t også F() F( o o ) går mod f( o ) for gåede mod o. Vi får derfor, t F er differetiel i o og t F ( o ) = f( o ). (Hvis o er et vestre itervledepukt, som er med i I, får vi F + ( o ) = f( o ). Og tilsvrede med et højre itervledepukt). Hermed er sætige evist. Ifølge sætig.8 k vi udrege estemte itegrler, lot vi keder e stmfuktio, og ifølge sætig.9 hr e kotiuert fuktio e stmfuktio. Så lt skulle være i de skøeste orde. Vi hr for e række stdrdfuktioer fudet deres tilsvrede stmfuktioer (se omslget på oge), og vi hr e række regeregler til t fide stmfuktioer for dre mere komplekse fuktioer, me det er lligevel lgtfr givet, t vi ltid k fide et fuktiosudtryk for e stmfuktio til e give kotiuert fuktio, selvom vi ifølge sætig.9 ved, t stmfuktioe eksisterer. Prøv f.eks. t fide e stmfuktioer til fuktioere f og g givet ved: f () = og g () = si() + e o o Stee Betze: Mtemtik for Gymsiet. Itegrlregig. Teori, vedelser og modeller.

74 Arelegreet i ple. Arelegreet ygger på ogle grudlæggede ksiomer, dvs. udsg/sætiger, hvis idhold der er geerel eighed om forufte og korrekthede f. Såde ksiomer evises derfor ikke, me opskrives som gyldige forudsætiger for det øvrige rejde med emet. Desude skl der føres ogle defiitioer til fstlæggelse f de egreer, vi rejder med. (Det skl emærkes, t der er dygtige mtemtikere, som igeem tide hr rejdet på t rige tllet f ksiomer for de mtemtiske teori ed på et miimum, således t m ud fr dette miimum på sedig vis k rgumetere for (evise) udsg, der tidligere vr opfttet som ksiomer. Dette ligger imidlertid lgt udefor rmmere f dee og). Aksiom : De tomme mægde Ø hr et rel f størrelse, dvs. A(Ø) =. Aksiom : Et rektgel hr et rel, som er givet ved rektglets lægde (l ) gge dets redde (), dvs. A(rektgel) = l Aksiom : Digole i et rektgel deler rektglet i to lige store retviklede trekter, som hver hr et rel, der er hlvt så stort som relet f rektglet, dvs. A(retviklet trekt) = l Aksiom 4: Et liiestykke hr et rel f størrelse, dvs. A(liiestykke) =. Aksiom 5: Hvis e puktmægde M hr et rel, så gælder, t A(M). Aksiom 6: Hvis to puktmægder M og M hver for sig hr et rel, og hvis M og M er prvis disjukte (evt. ortset fr e fælles kt eståede f et edeligt tl liiestykker), så hr puktmægde M M et rel, og der gælder, t: A( M M ) = A(M ) + A(M ). Defiitio.. ) Ved e geerel polygo (se figur.9) forstår vi et smmehægede, flukket, egræset område i ple, der fgræses f et edeligt tl liiestykker, som ikke skærer hide. ) Dee tomme mægde Ø reges f prktiske grude for e polygo. c) Ved e polygoområde (Se figur.) forstår vi foreigsmægde f et edeligt tl geerelle polygoer, der er prvis disjukte (evt. ortset fr e fælles kt eståede f et edeligt tl liiestykker) ) Fig..9 ) Stee Betze: Mtemtik for Gymsiet. Itegrlregig. Teori, vedelser og modeller.