Må l og Måtemåtik-vånskeligheder

Transkript

1 Må l og Måtemåtik-vånskeligheder Indholdsfortegnelse Indledning... 3 Problemformulering... 3 Metode... 3 Del 1: Matematikvanskeligheder... 4 Med eller i matematikvanskeligheder... 4 Regnehuller... 5 Årsager til matematikvanskeligheder:... 5 Medicinske/neurologiske:... 6 Psykologiske:... 6 Sociologiske:... 6 Didaktiske:... 6 Regnestrategier:... 7 Sprog, repræsentationer og mentale billeder... 8 Delkonklusion - del 1: Del 2: Mål, undervisning og evaluering Matematik på Grundskolens Mellemtrin og lærernes fagsyn Årsplaner og individuelle mål Mål og matematikvanskeligheder Undervisning: Lærebogen Åbne opgaver og undersøgelseslandskaber Hjælpemidler Evaluering: Delkonklusion - del 2:

2 Del 3: Matematikvejlederen Professionsidentitet og Erfaring MGM på Rolf Krake Udviklingsprojektet Prejektet Projektet Matematikvejledning Eksempel på vejledning - indskoling: Eksempel på vejledning - mellemtrin: Eksempel på vejledning - overbygning Delkonklusion - del Konklusion Perspektivering Referencer: Bilag Bilag

3 Må l og Måtemåtik-vånskeligheder Indledning Som matematiklærer og specialundervisningslærer har jeg ofte mødt elever der havde vanskeligheder med matematikfaget, men uden at jeg umiddelbart kunne konstatere nogle mangler i deres læringspotentiale. Jeg har især ofte oplevet børn med læsevanskeligheder, der havde svært ved at foretage selv de mest simple beregninger i hovedet, og jeg har overvejet hvorvidt dette skyldtes en særlig brist hos disse elever som fx dårlig arbejdshukommelse, eller om det snarere skyldtes mangelfuld undervisning. Kunne det tænkes, at lærerne pga. lave forventninger til elever med læsevanskeligheder havde sat mål for arbejdet med talforståelse og regnestrategier på et niveau der ikke passede til eleven? En dag jeg var på skolen i min uddannelsesorlov, mødte jeg en kollega på gangen. Hun spurgte mig straks hvornår jeg kom på skolen igen, så jeg kunne varetage noget specialundervisning. Hans, i den 4. klasse hun havde overtaget her efter sommerferien, kunne pludselig ikke finde ud af matematik, og hun glædede sig, til jeg kunne tage ham ud af klassen i matematiktimerne, så han kunne få noget hjælp. Jeg har fulgt klassen tæt, da det er en klasse med mange problemer, men jeg har aldrig tidligere hørt at Hans skulle have svært ved matematik. Det ligner jo en nærliggende tanke, når en elev i 4. klasse pludselig får svært ved matematik, at det hænger sammen med det skifte i bogsystemet der sker her, kombineret med et lærerskifte. Fra 3. klasses éngangsbog, bliver eleverne i 4. klasse stillet over for en grundbog med masser af tekst, og opgavebesvarelser der skal skrives ind i et hæfte. De mødes af en lærer, der er vant til at tale til 6. klasses elever, og som derfor måske ikke er helt opmærksom på hvor svært dette kan være for en ny elev på mellemtrinnet. Måske er det undervisningen der ikke passer til Hans. Den førnævnte lærer var meget fokuseret på at Hans skulle have hjælp, men den tanke at det måske var hende, der havde brug for hjælp til at lave en undervisning der passede til Hans, fik hun ikke. Det leder mig frem til følgende problemformulering: Problemformulering Hvorfor kommer nogle elever i matematikvanskeligheder, og hvordan kan vi støtte disse elever i den almindelige matematikundervisning, gennem øget fokus på mål, undervisning og evaluering? Hvordan kan jeg som matematikvejleder støtte denne proces? Metode I 1. del af denne opgave vil jeg bl.a. med hjælp fra Fælles Mål og Lena Lindenskov definere hvad jeg mener med matematikvanskeligheder, og hvilket sprogbrug der er hensigtsmæssigt at anvende på området. Med Björn Adler og H. C. Hansens hjælp skal vi se på hvad matematikvanskeligheder kan skyldes, og især de didaktiske årsager får en grundigere behandling. Gennem teori fra Snorre Ostad og Pernille Pind skal vi i 3

4 afsnittet Regnestrategier se på hvordan manglende strategioplæring kan bære en del af skylden for elevernes vanskeligheder, og med hjælp fra Marit Høines, Pernille Pind og Michael Wahl Andersen skal vi i Sprog, Repræsentationer og Mentale Billeder se på hvordan manglende undervisning i netop de tre dele kan være en del af årsagen. I 2. del vil fokus ligge på Mål, Undervisning og Evaluering. Med udgangspunkt i rapporten Matematik på Grundskolens Mellemtrin skal vi se på hvad en fokusering på mål og evaluering kan gøre for matematikundervisningen generelt, og elever i matematikvanskeligheder i særdeleshed, og på hvilke mål det er vi skal sætte for disse elever. Jeg vil ligeledes komme med mit bud på hvordan vi kan lave en undervisning, der tilgodeser alles behov, og en evaluering der faktisk evaluerer på de opstillede mål. I 3. del skal vi se på hvordan professionsidentiteten og erfaringens autoritet forhindrer lærerne i at ændre deres undervisning, og hvordan jeg som matematikvejleder kan være katalysator på dette område. Vi skal se på et konkret udviklingsprojekt, der kan hjælpe lærerne til at overvinde deres modstand mod forandring, og igangsætte et teamsamarbejde omkring mål, undervisning og evaluering. Endelig vil jeg komme med tre konkrete bud på, hvad en vejledningssamtale i matematik kunne tage udgangspunkt i. Del 1: Matematikvanskeligheder I Danmark har vi ikke nogen stor tradition for at bruge ressourcer på matematikvanskeligheder, hverken på ministerielt, kommunalt eller på skole-niveau (Lindenskov, 2010). Da jeg midt i halvfemserne startede som matematiklærer, var tanken om specialundervisning eller anden støtte til elever med vanskeligheder i matematik således ganske uhørt. Jeg husker stadig forundringen hos skolepsykologen, da jeg første gang henviste en elev til PPR (som dengang var den eneste mulighed for at få hjælp). Siden da er der heldigvis blevet rettet større opmærksomhed mod begrebet, og i Fælles Mål 2009 har man således reserveret et helt afsnit i undervisningsvejledningen til Elever med særlige behov (Undervisningsministeriet, 2009, s. 49). Fælles Mål lægger vægt på, at alle elever kan lære mere, og at det handler om at fokusere på det eleverne kan lære, og ikke så meget på hvad de ikke kan. Nogen egentlig definition på begrebet matematikvanskeligheder når de dog aldrig frem til, tvært imod konkluderer de, at der endnu ikke findes en klar, entydig og alment anvendt definition af matematikvanskeligheder (Ibid.). Med eller i matematikvanskeligheder Blandt matematikdidaktikere har der i længere tid kørt en diskussion om, hvad vi skal kalde de elever der har svært ved matematik. Fælles Mål anvender ord som elever med særlige behov eller elev med vanskeligheder. Flere påpeger dog (Lindenskov, 2010), at ord som disse sprogligt placerer problemet hos eleven, eller måske endda inde i eleven, som en slags dysfunktion. Helle Sejer Damkjær og Troels Lange betragter matematikvanskeligheder som en social konstruktion (Damkjær & Lange, 2006), der er bestemt af de sociale omgivelser eleven bliver placeret i, og disses forventninger. Elever i matematikvanskeligheder har ikke nødvendigvis svært ved matematik, kun ved den matematik de møder i situationen. Flere og flere taler derfor om elever i matematikvanskeligheder, fx (Lindenskov, 2010) (Hansen, 2006). Med denne lille sproglige finte, kan vi minde hinanden om, at det er eleven der er 4

5 den centrale. Som når Olav Lunde taler om Matematikmestring (Lunde, 2009A), kan vi fokusere på hvad eleven magter og kan lære, og mindre på en dysfunktion hos eleven, da en diagnose rettet alene mod forhold i barnet tenderer mod at gøre alle ansvarsfri, det være sig skole, kammerater, familie og barn (Lindenskov & Weng, 2005, s. 61). Elever i matematikvanskeligheder har således vundet stor udbredelse, og det er også den betegnelse jeg vil anvende i denne opgave. Den svageste elevgruppe vil jeg slet og ret kalde de svageste. Det skal her bemærkes, at man ikke behøver at være i matematikvanskeligheder, bare fordi man fx tilhører den svageste tredjedel af en klasse. Regnehuller Mens Elever i matematikvanskeligheder fortæller noget om eleven, kan vi ligeledes mangle et begreb til at beskrive det der er svært. Altså selve vanskelighederne. Her har Lindenskov og Weng (Lindenskov & Weng, 2005) introduceret begrebet regnehuller. Begrebet tydeliggør, at alle kan noget matematik. Der er altid noget udenom hullerne. Begrebet siger også noget om, hvad man kan gøre for at hjælpe elever i matematikvanskeligheder. Man kan fx reparere hullet hvis det er muligt. Er det ikke det, må man lære at gå udenom, altså at finde en anden og mere besværlig måde at løse problemet på, eller man kan bygge en bro over hullet ved fx at lade eleverne anvende en lommeregner (Pind, 2009, s. 25). En af styrkerne ved begrebet er, at det dækker alle typer vanskeligheder en elev kan have. Der er altid noget der mangler, og noget udenom. Hvor Adler med sit begreb Dyskalkuli (Adler, 2008) primært fokuserer på hullerne, og Lunde med sin Matematikmestring (Lunde, 2009A) primært fokuserer på det der er udenom, bygger begrebet regnehuller bro mellem disse begreber. Der er både huller, noget eleven ikke kan som hos Adler, men også noget uden om, noget eleven mestrer som ved Olav Lunde. Begrebet har været kritiseret for, ved at anvende ordet regne, primært at fokusere på regnevanskeligheder, men der kan jo også findes geometrihuller, statistikhuller, modelleringshuller osv. (Damkjær & Lange, 2006, s. 90). Man kunne jo passende anvende begrebet matematikhuller i stedet. Lindenskov og Weng argumenterer dog for, at ord der vedrører regning når bredere ud til almindelige mennesker, end ord der indeholder matematik (Lindenskov & Weng, 2006). Når jeg i denne opgave skriver regnehuller, dækker begrebet således i min terminologi over hele matematikfaget. Årsager til matematikvanskeligheder: Svenskeren A. Engström deler årsagerne til matematikvanskeligheder op i fire kategorier (Hansen, 2006, s ): 1. Medicinske/neurologiske 2. Psykologiske 3. Sociologiske 4. Didaktiske Flere af disse kategorier kan naturligvis optræde samtidigt hos den enkelte elev. Det er i denne opgave især de didaktiske årsager der er interessante, men jeg skal kort redegøre for de øvrige: 5

6 Medicinske/neurologiske: Vanskeligheder der skyldes en dysfunktion hos eleven. Björn Adler anvender i sin definition begrebet dyskalkuli om elever med specifikke vanskeligheder i matematik, i modsætning til elever med generelle vanskeligheder (Adler, 2008). Elever med dyskalkuli er meget svingende i deres præstation og klarer sig ofte normalt i andre fag. De vil i en psykologtest få en spredt profil. Elever med generelle matematikvanskeligheder klarer sig derimod jævnt lavt, og svinger ikke fra den ene dag til den anden. Diagnosen dyskalkuli er imidlertid ikke medicinsk anerkendt, og flere andre er kommet med bud på andre definitioner. Jeg har i denne opgave valgt at anvende Björn Adlers definition, da den giver en god anvendelig adskillelse mellem elever med specifikke og generelle vanskeligheder. Diagnose-børn kan ligeledes have svært ved at udnytte deres potentiale i matematik optimalt. Disse diagnoser vedrører ikke matematik specifikt, og jeg vil derfor ikke gå nærmere ind i denne diskussion i denne opgave. Psykologiske: Elever der, ikke pga. manglende potentiale, men primært pga. matematikangst og andre blokeringer, havner i matematikvanskeligheder. Det kan skyldes tidligere oplevelser af ikke at slå til i matematik, som efterhånden vokser sig større og udløser en følelse af frygt, spænding og angst (Hansen, 2006). Matematikængstelse kan være vigtig at få bugt med, da forsøg viser at den tilsyneladende kan lægge beslag på dele af korttidshukommelsen, og derved hæmme evnen til regneoperationer og problemløsning (Hansen, 2006, s. 36). Björn Adler bruger begrebet pseudodyskalkuli om disse elever (Adler, 2008, s ). De er svære at skelne fra elever med dyskalkuli, men vil klare sig bedre og mere jævnt i en psykologtest. Dog scorer de lavt på følelsesmæssige blokeringer som lavt selvværd. Pseudodyskalkuli kan også skyldes sociologiske aspekter, hvis man i familien har tradition for at have svært ved matematik, eller didaktiske aspekter hvis den er udløst af forfejlet undervisning. Sociologiske: Elever der ikke gennem opvæksten har udviklet det nødvendige grundlag for matematiklæring, såsom sprog, talremser og talsymboler, kan have svært ved at lære matematik (Hansen, 2006, s. 37). Ligeledes kan den kultur man vokser op i have betydning, hvis undervisningens forsøg på at knytte an til førskolematematikken rammer uden for elevens kultur. Dette kan især have betydning for tosprogede elever. Sociale kår, som fx boligforhold kan have betydning, ligesom det kan være problematisk, hvis forældrene har en forventning om at eleven ikke lykkes i matematik, typisk fordi de selv har haft den oplevelse. Didaktiske: De didaktiske faktorer er matematikfaglige vanskeligheder, der er opstået som en følge af den undervisning eleven har fået. Det er nærliggende at konkludere, at det er skolen, undervisningsplanen eller selve undervisningen, der fører til mange matematikvanskeligheder. (Hansen et al. 2006, s. 42). 6

7 Problemerne kan fx opstå ved skole- eller lærerskift, hvor der opstår huller i elevens læring som følge af skiftet, eller hvor fx et skifte fra en lærer der underviser meget færdighedsbetonet og lærerbogsstyret, til den modsatte situation hvor læreren læggerstor vægt på forståelse og udvikling af egne algoritmer og metoder (Hansen, 2006, s. 40). I en sådan situation kan det være svært for eleven at forstå hvad målet med undervisningen egentlig er, da de mødes af to vidt forskellige syn på hvad der er væsentligt at lære (Ibid.). Den norske matematikforsker Hägblom siger: årsagen til matematikvanskeligheder ligger i skolens undervisningsform, mere præcist, at den opfattelse, som læreren og eleven har af matematikken, former, hvad der opfattes som væsentligt at lære. Hvis eleven får den opfattelse, at det først og fremmest drejer sig om regneoperationer og brug af formler, kan de fx få store problemer med at arbejde med problemløsningsopgaver, hvilket så igen påvirker elevens selvværdsfølelse negativt og dermed motivationen for at lære matematik. (Hansen, 2006, s. 42). Ud over lærernes fagsyn, kan der være en række andre områder hvor der direkte er sket en fejlagtig læring, fx fordi læreren ikke har været opmærksom på, at der i forskellige situationer kan være en uheldig medlæring, af det der foregår især på tavlen og i lærebøgerne (Ibid., s ). Elever, der kun har lært at opfatte subtraktion som en reduktion, kan få svært ved at finde en forskel - elever, der konsekvent har hørt kvadrater omtalt som firkanter, kan have svært ved at forstå rektangler, parallelogrammer og trapezer - elever, der altid arbejder med regning adskilt fra virkeligheden, eller som aldrig arbejder med regnehistorier, kan få svært ved at genkende regningsarterne i problemløsningsopgaver osv. En stor del af disse fejllæringer kunne efter min opfattelse være undgået, med en undervisning med øget fokus på regnestrategier og matematik og sprog. Jeg vil derfor give disse to områder en selvstændig behandling i det følgende: Regnestrategier: Den norske matematikdidaktiker Snorre Ostad har forsket i sammenhængen mellem elevers anvendelse af forskellige regnestrategier og deres matematiske udvikling. Han deler strategierne op i hhv. backupstrategier og retrievalstrategier. Backupstrategierne er de strategier, der involverer konkret optælling på fingre, centicubes, streger på papir el.lign., mens retrievalstrategierne bygger på at hente svaret frem fra hukommelsen, enten ved at eleven bare ved det, eller fx ved at man regrupperer til et andet udtryk man kender (fx 8+6 = 10+4 eller 6+6+2) (Ostad, 2008, s ). Ostad finder, at elever med en normal matematikudvikling (MN-elever), anvender langt flere forskellige strategier, end elever som mislykkes i matematik (MD-elever). Det er normalt at strategi-fattigdom præger eleverne i de yngste klasser, og at strategi-rigdom kendetegner elever i de ældste klasser, men MD-eleverne bliver tilsyneladende hængende i strategifattigdommen (Ostad, 2008, s. 22). Dertil kommer at MD-eleverne i stort omfang bliver hængende i Backup-strategier gennem hele grundskolen, hvor MNeleverne efterhånden anvender flere retrieval-strategier og mere avancerede backupstrategier. Det er derfor Ostads påstand, at de elever der tidligt i skoleforløbet er inde i en alsidig strategiudvikling, også vil fortsætte denne udvikling gennem hele skoleforløbet. Ifølge Ostad har forskning påvist en direkte sammenhæng mellem de strategier eleverne anvender under opgaveløsningen og kvaliteten på deres 7

8 matematikkundskaber. Han mener derfor, at det er sandsynliggjort, at matematikvanskeligheder kan forebygges, ved at eleverne får anledning til at tilegne sig hensigtsmæssige strategier i faget (Ostad, 2008, s. 38). Ostad hævder, at de traditionelle undervisningsmetoder i skolen lægger op til simple tællestrategier. Han mener især at engangsbøger i indskolingen, hvor opgave efter opgave er stillet op efter hinanden, og svaret skal skrives i en tom firkant, lægger op til at fange eleverne i ensidige tællestrategier (Ostad, 2008, s. 33). Problemet er, at den samme strategi anvendt igen og igen på den samme type opgave, til sidst vil fastlåse netop denne strategi til denne opgavetype, og helt forhindre eleven i at anvende alternative strategier. Ostad hævder, at allerede ved slutningen af 1. klasse kan eleverne være fastlåst i backup-strategierne (Ostad, 2008, s. 33 og 83). Som også Fælles Mål er inde på (Undervisningsministeriet, 2009, s. 49), er det normalt at specialundervisning i matematik har handlet om færdighedstræning i bøger fra tidligere årgange. Björn Adler er inde på det samme: Det er ikke ualmindeligt at barnet træner vanskelighederne flere timer hver dag i skolen og om aftenen. Problemerne bliver mere og mere synlige efter flere års træning, uden at der sker en direkte udvikling af regneevnen (Adler, 2008, s. 72). Ifølge Ostad er den ineffektive strategibrug blandt eleverne oftest forankret i mangelfulde strategikundskaber hos lærerne (Ostad, 2008, s. 101), og de kan derfor have svært ved at sætte læring og strategibrug på dagsordenen i undervisningen, sådan som Ostad anbefaler (Ostad, 2008, s. 100). Her kan en oversigt over Pernille Pinds eksempler på, hvordan man kan regne med konkrete materialer, regnestrategier og regnehistorier (Pind 2009), være til stor nytte for lærerne, samt lære eleverne at genkende de mange forskellige situationer fra tekststykker og hverdagen, som de enkelte regningsarter kan forekomme i. Se evt. eksempel i bilag 1. Sprog, repræsentationer og mentale billeder Den russiske psykolog L.S. Vygotsky er blevet en central person indenfor matematikdidaktikken pga. hans teori om sprog og begrebsdannelse. Vygotsky beskriver, hvordan små børn i 4-årsalderen taler højt med sig selv, når de skal løse et praktisk problem. Han konstaterer derfor, at talen og den konkrete handling udgør et samlet hele hos det fireårige barn. Ifølge Vygotsky orienterer sproget imidlertid ikke bare vores fysiske aktivitet, men også vores perception, hukommelse og tænkning (Skott, Jess, & Hansen, Vygotsky og den kulturhistoriske skole, 2008, s. 101). Enhver form for begrebsdannelse er altså bundet op på sprog. Ikke kun sådan at begrebet udvikles først, og man senere får sat ord på, men også således at sproget er afgørende for, hvordan vi kommer til at forstå det konkrete begreb (Ibid., s. 102). Marit Johnsen Høines anvender Vygotskys teori om, at sprog ikke er et resultat af begrebsudvikling, men en del af selve begrebet, til at forstå det at lære matematik som det at lære et nyt sprog. Vygotsky skelner mellem sprog af 1. og 2. orden. Sprog af 1. orden er direkte relateret til begrebet - er en del af begrebet - hvor sprog af 2. orden kræver et oversættelsesled. 8

9 Høines referer til drengen Ole, der har svage talbegreber, eller rettere, cifferbegreber. Han ved tilsyneladende meget om begrebet 3, han kan koble begrebet til en mængde på tre, men den anden vej går det ikke. Begrebet tre er 1. ordens sprog for Ole, men cifferet 3 er det ikke. Han mangler et oversættelsesled (Høines, 1993). Cifferet er ikke det samme som tallet, men blot en repræsentation for dette, som kræver oversættelse (Ibid. s, 61). Når man som lærer beder eleverne i indskolingen om at regne med tal (cifre) i matematikbogen, svarer det således til, at de skal problemløse og lære et fremmedsprog på samme tid (Ibid., s. 85). Problemløsning stiller ifølge Høines krav om, at det foregår på et sprog, der for eleven er af 1. orden (Ibid., s. 73). Det handler i stedet om, at skabe kundskaber eleven har et ejerforhold til, og som de kan bruge til noget, i stedet for bare at reproducere læreren eller lærebogen (Ibid., s. 60). Ifølge Björn Adler vil cifrene erstatte de konkrete materialer i takt med børnenes kognitive udvikling, men først i 10 års alderen er denne evne helt udbygget. Svagheder med talbegrebet peger mod problemer med sprogopfattelse (Adler, 2008, s. 27). Hvis vi skal undgå at elever havner i matematikvanskeligheder af didaktiske årsager, må vi altså i højere grad arbejde med talbehandling i indskolingen, uden brug af cifre. Det vigtige er ikke selve det at holde tallene tilbage, men mere det at man altid arbejder med talbehandling inden for kendt sprogbrug, fx gennem regnehistorier. Det er nemlig ikke baggrundskundskaberne der svigter, men mødet med den formelle matematik (Høines, 1993, s. 77). Et matematisk begreb (eller det mentale billede af begrebet) består ifølge Michael Wahl Andersen af hhv. konkrete materialer, skriftlig kommunikation, hverdagssituationer og mundtlig kommunikation. De fire dele er forskellige repræsentationer af begrebet, og sammen med relationerne mellem disse, danner de det Michael Wahl Andersen kalder begrebets mentale billede (Andersen, 2008, s. 31). Det er således ikke kun repræsentationerne i sig selv, det er vigtigt at arbejde med, men især relationerne imellem disse. Med gode stærke relationer, kommer de enkelte repræsentationer til at stå i direkte 9

10 forbindelse med begrebsindholdet, og vil være det Høines/Vygotsky kalder 1. ordens sprog. Er der ikke direkte forbindelse, kan de øvrige repræsentationer fungere som oversættelsesled (Høines, 1993, s. 71). Vi skal altså, som også Høines foreslår, arbejde med relationen mellem mængde og tal i den første tid i indskolingen, men ifølge Michael Wahl er det ikke nok at gøre dette udelukkende på én måde. Vi må både arbejde med konkrete materialer, relatere til hverdagen og anvende både skriftlig og mundtlig kommunikation. Arbejder vi med de enkelte repræsentationer adskilt fra hinanden, kan der opstå det Høines kalder parallel viden, hvor de enkelte dele kommer til at stå som adskilte områder for den enkelte elev (Høines, 1993, s. 69). Delkonklusion - del 1: Matematikvanskeligheder er en social konstruktion, der er bestemt af de sociale omgivelser eleven bliver placeret i, og det korrekte begreb er derfor elev i matematikvanskeligheder Begrebet Regnehuller dækker alle typer matematikvanskeligheder, og fokuserer på at der både er noget eleverne har svært ved, men også noget udenom - noget eleven kan Matematikvanskeligheder er ikke nødvendigvis en dysfunktion i eleven, følelsen af at være i vanskeligheder kommer kun fordi de voksne stiller opgaver der ikke passer til eleven Ensidig fokusering på tal, cifre og algoritmer kan skade eleverne Eleverne kommer i matematikvanskeligheder, fordi vi ikke har sikret børnene gode robuste begreber og strategier, gennem en grundig strategioplæring Vi må fokusere på matematik som et sprog, der handler om at etablere gode holdbare relationer mellem repræsentationerne for det enkelte matematiske begreb. Del 2: Mål, undervisning og evaluering Matematik på Grundskolens Mellemtrin og lærernes fagsyn I 2006 udkom evalueringsrapporten Matematik på Grundskolens Mellemtrin (MGM), (Hammer, 2006). I forordet til rapporten hedder det, at evalueringen vurderer arbejdet på skolerne med at omsætte formål og mål for faget til konkret undervisning. (Ibid., s. 7). Der ud over kommer rapporten med en lang række konkrete anbefalinger, til hvad man kan gøre for at forbedre matematikundervisningen. Vi har tidligere været inde på lærernes fagsyn, som en vigtig faktor for elever i matematikvanskeligheder. Dette felt har MGM undersøgt nærmere, da nogle af lærernes svar i undersøgelsen synes at pege i forskellige retninger. Det viser sig, at den gruppe af lærere der lægger stor vægt på at eleverne selv foretager undersøgelser, og at eleverne arbejder med udvikling af egne algoritmer og metoder, også lægger vægt på at inddrage elevernes personlige erfaringer. De planlægger i højere grad de enkelte undervisningsforløb med individuelle mål og forskelligt indhold for de enkelte elever, og anvender oftere logbog som evalueringsredskab (Hammer, 2006, s. 26). Her over for står nogle lærere, der planlægger undervisningen med samme mål og indhold for alle elever. Deres mål for arbejdet i klassen er mere faglige mål end kompetencemål, ligesom de generelt tillægger lærebøgerne større betydning (Hammer, 2006, s. 51). 10

11 lærerprofession.dk - et site om lærerpraksis og professionsudvikling folkeskolen.dk 2013 Disse lærere overser åbenbart helt, at mange af færdighederne i dag er ændrede eller overflødiggjorte af tekniske hjælpemidler, og det kan få store konsekvenser for de svageste elever. I Fælles Mål fremhæves det: Den lette adgang til lommeregnere og computere medfører, at hensigten med talarbejdet er ændret. Elevernes arbejde med beregningsmetoder sigter mod deres forståelse af regningsarternes anvendelse, mod deres talforståelse og mod deres udvikling af generelle matematiske kompetencer. Det er ikke et mål, at eleverne kan bruge bestemte algoritmer til beregning. (Undervisningsministeriet, 2009, s. 52). Det handler om at kunne bruge matematikken til noget, at kunne handle hensigtsmæssigt i situationer, som rummer en bestemt slags matematisk udfordring (FM2009, s. 38). Årsplaner og individuelle mål Ifølge MGM anvender lærerne generelt i for lille omfang målsætning for undervisningen i matematik, bl.a. fordi det kommer bag på mange lærere at lærebogen ikke altid følger Fælles Mål (Hammer, 2006). Årsplanerne er som regel mest en emneoversigt, der ikke fungerer som plan for undervisningen, og MGM anbefaler derfor, at matematiklærerne tager udgangspunkt i arbejdet med at fastsætte mål for undervisningen og for eleverne når de udarbejder årsplaner (Hammer, 2006, s. 44). De konstaterer desuden, at arbejdet med at differentiere undervisningen i matematik ikke er tilstrækkeligt udviklet. Dette hænger sammen med, at det stadig er ualmindeligt at lærerne udarbejder mål for enkelte eller for grupper af elever (Ibid., s. 54). MGM anbefaler derfor: at matematiklærerne arbejder med mål på forskellige niveauer som udgangspunkt for differentiering af undervisningen (Ibid., s. 55). Nogle vil måske spørge, hvordan vi kan arbejde med mål på forskellige niveauer, når vi alle er forpligtet på trinmålene. Dette giver Fælles Mål selv svaret på, da trinmålene skal betragtes som undervisningsmål og ud fra disse skal læreren fastlægge læringsmål for eleverne (Undervisningsministeriet, 2009, s. 43). Ifølge MGM skal man ud fra årsplanen have en fornemmelse af, hvad der forventes at eleverne har lært, når året er omme. Derefter kan lærerne så udarbejde konkrete læringsmål, når planlægningen af et emne går i gang, herunder også mål for den enkelte eller for grupper af elever. Arbejdet med målsætning på forskellige niveauer ser altså således ud: Undervisningsmål (Trinmål) Årsplan Læringsmål/Elevmål Men hvad er det så, vi skal sætte mål for hos de svageste elever, og hvordan gør vi det? Det vil jeg komme ind på i det næste afsnit. Mål og matematikvanskeligheder Hvis vi som matematiklærere skal arbejde med mål på forskellige niveauer, bliver det væsentligt at overveje hvilke mål vi skal sætte for de svageste elever. Michael Wahl Andersen har i en artikel fra 1999 præsenteret idéen om de fire F er - Fakta, Færdighed, Forståelse og Fortrolighed, som de fire indholdselementer i elevernes matematikkundskaber (Andersen, 11

12 1999). Han stiller dem op i rækkefølge, men hævder samtidig, at: Det er muligt at have forståelse uden færdighed og færdighed uden forståelse (Ibid., s. 21). Hvis dette skal stå til troende, er de fire F er ikke en kronologisk rækkefølge, men i hvert fald de tre første er selvstændige områder, som vi kan arbejde med adskilt fra de andre. Fortrolighed Fakta Færdighed Forståelse For de svageste elever kan det betyde, at vi må overveje hvilke matematiske kompetencer der er vigtigst for den enkelte elevs fremtid, og hvilken matematik eleven dermed bør arbejde med lige nu (Pind, 2009). Bent Lindhardt har kaldt det need to know og nice to know (Lindhardt, Giv dem en tanke, 2003), hvor need to know dækker over det vi ikke kan leve uden at vide. Vi må sætte mål, hvor fakta og færdigheder kun indgår på et niveau, som eleverne magter, men hvor der til gengæld også bliver sat mål for forståelsen. Det er ifølge Fælles Mål udbredt blandt matematiklærere at tænke, at forståelsen kommer efterhånden, hvis bare eleven træner længe nok, men der er lidt eller intet der tyder på dette (Undervisningsministeriet, 2009, s. 49). Mange lærere forklarer deres fokus på færdighederne med, at så kan eleverne da i det mindste noget, men Pernille Pind mener ikke at det kan bruges til noget: Fokus alene på færdighederne svarer til at lære eleverne at blive lommeregnere. Det er unyttigt. Lommeregnere er til rådighed overalt, og det vil aldrig lykkes at gøre eleverne til andet end middelmådige lommeregnere (Pind, 2009, s. 28). Man skal i stedet anvende mere tid på at finde ud af hvad der skal regnes, og mindre tid på at foretage udregninger, (Ibid.). Undervisning: Lærebogen Det er veldokumenteret at lærebogen fylder meget i matematikundervisningen i den danske folkeskole (Hammer, 2006, s. 40). Bogen er ofte det overordnede udgangspunkt for lærernes planlægning, og skolens matematikbogssystem er også helt afgørende for lærernes valg af indhold i undervisningen (Ibid.). Ifølge Fælles Mål kan lærebogen være til stor hjælp, men man skal være opmærksom på, at undervisningen ikke skal tage udgangspunkt i bøgerne, men i børnene, og læreren må altid vurdere om en bestemt lærebog har noget at bidrage med (Undervisningsministeriet, 2009, s. 45). På Rolf Krake Skolen har vi anskaffet bogsystemet Matematrix. Jeg har tidligere i modulet Matematik, Læremidler og Computere analyseret dette system grundigt (Hedegaard, 2010). En god lærebog skal have 12

13 både informationsbærende tekst, opgaver og opslagstekster (Lindhardt, 2009), og her klarer Matematrix sig godt, men desværre har især en del matematiklærere uden linjefag en holdning til, at man skal løse alle opgaver i bogen for at sikre at stoffet er lært. I Matematrix er der langt flere opgaver, end det med rimelighed er muligt for eleverne at løse, og der er derfor stor risiko for, at en sådan undervisning vil tvinge eleverne til udenadslære. Det er dog også meningen, at man skal vælge ud i opgaverne, og herigennem differentiere undervisningen. Vi skal altså bruge bogen som en opgavesamling, hvorfra vi kan vælge de opgaver ud, som er relevante for de mål vi har sat for den enkelte elev. I praksis kan det gøres ved at udlevere en arbejdsplan til hver elev (eller gruppe af elever), hvorpå de kan se hvilke opgaver de skal arbejde med. På en sådan plan kan både indgå opgaver fra bogsystemet, men også andre opgaver læreren har fundet eller selv udarbejdet. Se fx (Hansen, 2006, s. 123). I en sådan undervisning må lektier være noget andet end resten af siden. I stedet kan hjemmearbejdet være sider fra arbejdsbogen, en lille matematisk undersøgelse, ugeopgaver el. lign. I alle tilfælde er det vigtigt for elever i matematikvanskeligheder, at lektien er noget de magter - noget de selv kan lave indenfor overkommelig tid. Åbne opgaver og undersøgelseslandskaber Fælles Mål opfordrer til, at man arbejder med åbne opgaver, der i sig selv giver mulighed for undervisningsdifferentiering, ved at opgaven kan løses på flere niveauer (Undervisningsministeriet, 2009, s ). Ole Skovsmose har beskrevet, hvordan opgaver i matematik kan stilles i enten Opgaveparadigmet eller i Undersøgelseslandskaber, og opgaverne kan stilles i tre forskellige læringsmiljøer: Ren matematik, semivirkelighed eller realiteternes verden (Skovsmose, 1999). Ud fra dette opstiller Skovsmose en matrix, der kan bruges til at kategorisere opgaver i matematik: Skovsmoses Læringsmiljøer : Opgaveparadigmet Undersøgelseslandskaber Referencer til ren matematik (1) (2) Referencer til en semi-virkelighed (3) (4) Reelle referencer (5) (6) Bruger man modellen på Matematrix, vil man se at over 90 % af opgaverne i grund- og arbejdsbog lægger op til en reproducerende aktivitetsform i læringsmiljø 1 og 3 (Hedegaard, 2010). Som vi tidligere har været inde på, bør en stor del af undervisningen af elever i matematikvanskeligheder handle om at finde ud af hvad der skal regnes snarere end at regne (Pind, 2009, s. 28). Vi bliver derfor nødt til at forholde os til denne situation. Åbne opgaver kan give den konstruktive medlæring i matematik, at eleverne ser, at matematik er et fag, hvor det ikke er nok at høre svaret, men også forudsætningerne for svaret. (Pind, 2009, s. 34) I den virkelige verden er de fleste opgaver åbne. I den type opgaver kan eleverne svare på tre forskellige niveauer. De 13

14 lærerprofession.dk - et site om lærerpraksis og professionsudvikling folkeskolen.dk 2013 lette svar, er fx de svar der går op og er lette at regne ud. De svære svar, er svar der ikke går op, eller hvor der fx skal anvendes brøker. De smarte svar, er generaliseringer, som fx y =, rundet op til nærmeste hele tal, eller svar der indeholder nul (Ibid.). Som det også er tilfældet for Matematrix, er mange opgaver i matematikbøger desværre ganske lukkede (Skott, Jess, & Hansen, 2008, s. 223). Skott, Jess og Hansen foreslår derfor, at man arbejder med problem posing - at formulere problemer. Herved kan både læreren, men faktisk også eleverne, efterhånden lære at omformulere de lukkede opgaver i lærebøgerne, til mere åbne opgaver. De foreslår tre veje til at omformulere opgaver så de bliver mere åbne (Ibid., s. 226): Man kan som lærer: Fjerne noget information i det oprindelige oplæg o Fx erstatte Find den gennemsnitlige hastighed for en bus, der kører 192 km på 4 timer, med Find den gennemsnitlige hastighed for en bus der kører 192 km. Erstatte noget af den oprindelige information med andre oplysninger o Fx erstatte Find vinkel A og B i en trekant, hvis vinkel C er 24 med Find vinkel A, B og C i en trekant, hvis B = 3A Tilføje ny information til opgaven (herunder også yderligere spørgsmål, eller præsentation af mulige svar) o Fx erstatte Find ud af hvad to filur-is og to isvafler koster, med hvilke is fra prisskiltet kan du købe for 75 kr? Ved at arbejde med dette får man som lærer mulighed for at arbejde med åbne opgaver, også selv om man støtter sig til bogen, og ved jævnligt at anvende denne metode får eleverne mulighed for også selv at formulere åbne opgaver fx som ekstraopgaver. Hjælpemidler Vi har tidligere set på vigtigheden af at lade elever i matematikvanskeligheder anvende lommeregneren til regneoperationerne, for at give dem mulighed for at anvende al deres energi på problemløsningen, men der findes også andre typer hjælpemidler. Pernille Pind fremhæver fire typer (Pind, 2009, s. 38): Illustrationer Illustrationer er først og fremmest lærerens værktøj, hvor man fx vha. en mælkekarton kan illustrere rumindhold, og herigennem knytte an til hverdagen. Støtte Eleven kan anvende en kugleramme på snor, eller fx en oversigt over de gode talvenner, som støtte for talbehandlingen. Det er elevens hjælpemidler, og de skal altid være til rådighed. Del af færdighed Nogle hjælpemidler en del af en færdighed. Fx er linealen en integreret del af færdigheden Længdemåling. Erstatning Man kan erstatte færdighederne med et hjælpemiddel. Især de elektroniske hjælpemidler, kan være til stor hjælp. Lommeregneren kan erstatte en lang divisions-udregning, regnearket kan tegne et cirkeldiagram, et 14

15 CAS-værktøj kan klare en lang ligningsløsning, og et geometriprogram kan tegne uden bøvl med blyant, lineal og vinkelmåler. En del elever med specifikke vanskeligheder har automatiseringsvanskeligheder, men uden at de nødvendigvis har problemer med forståelsen (Adler, 2008, s. 75). Disse elever kan have stort udbytte af en undervisning, der fokuserer på forståelsen, og lader eleverne anvende lommeregneren til regnearbejdet. Det synes i den situation oplagt - og i stil med at give nærsynede briller - at anerkende lommeregneren som et nyttigt hjælpemiddel og så bruge den frigjorte undervisningstid på overslagsregning, forståelse af regneoperationerne og deres anvendelsesområder (Hansen, 2006, s. 50). Brugen af værktøjsprogrammer rummer generelt et stort potentiale for at kunne støtte elevernes begrebsdannelse, og læreren får mulighed for at udfordre eleven uden at overtage styringen. Brugen af åbne værktøjsprogrammer giver mulighed for, at eleverne selv kan opbygge dynamiske repræsentationer af matematiske sammenhænge og selv tage kontrollen over en computerbaseret undersøgelse heraf. Netop dette forhold skaber principielt nye muligheder for elevernes tilegnelse af matematiske begreber (Blomhøj, 2002, s. 87). Som eksempel kan nævnes den klassiske opgave, hvor en flok høns og får er løbet ud i en indhegning. En mand har talt 35 hoveder og 94 ben, men hvor mange får og høns er der? En regnesvag elev, der er vant til at anvende computeren som hjælpemiddel, vil let kunne løse dette problem med et regneark. I løbet af kort tid kan alle kombinationer undersøges vha. en simpel formel: Ligeledes, kan man forestille sig Geogebra eller trekantsværktøjet i WordMat anvendt til at løse en opgave som: Hvor høj er skolens flagstang, hvis der i en afstand af 35 m. er en vinkel på 16 til stangens top? Her kan en smartphone i øvrigt anvendes til at måle vinklen, hvis man vil forsøge det i praksis. Ud over at fungere som hjælpemiddel, kan geometriske undersøgelser generelt være en god arbejdsform til at oparbejde evnen til matematisk problemløsning. Ifølge Van de Walle er det de typer og antal af 15

16 erfaringer et barn har, der er afgørende for deres geometriske tænkning, hvorimod alder og faktaviden betyder mindre (Van de Walle, 2001, s. 4). Her er geometriprogrammer som Geogebra et oplagt værktøj så også de svage elever kan komme til at arbejde med erfaring frem for faktaviden. Evaluering: Af Matematik på Grundskolens Mellemtrin fremgår det, at den mest anvendte evalueringsform i matematik er prøver og tests, hvorimod portefølje og logbog kun anvendes i meget lille omfang (Hammer, 2006, s. 57). De summative tests, der kan afdække de færdigheder, som vi har set måske har mindre betydning for elever i matematikvanskeligheder er altså dominerende, hvorimod de formative evalueringsformer, der kunne afdække forståelse og fortrolighed, kun anvendes i det små. I undervisningsvejledningen henviser man til de førnævnte fire F er, fakta, færdighed, forståelse og fortrolighed, som fire forskellige niveauer man kan evaluere på. Problemet er, at summative tests kun kan evaluere fakta og færdigheder, hvorimod kompetencebeskrivelsen og trinmålene for faget sigter mod et højere kundskabsniveau (Undervisningsministeriet, 2009, s. 48). Som matematiklærere må vi derfor anvende evalueringsformer, der også giver eleverne mulighed for at demonstrere viden på forståelses- og fortrolighedsniveau. Færdighedstests kan derfor ikke stå alene som evalueringsform (Ibid.). Det er særligt interessant, at lærerne på de deltagende skoler i MGM vurderer, at portefølje har en relativ høj grad af anvendelighed som evalueringsform, selvom den ikke anvendes i særligt stort omfang (Hammer, 2006, s. 58). Her er der altså et stort udviklingspotentiale inden for den formative evaluering, og porteføljen har desuden den fordel at den kan anvendes som samlemappe for andre evalueringsformer. Det er interessant, at lærerne kender evalueringsformen og finder den anvendelig, men åbenbart alligevel er usikre på hvordan den kan udnyttes optimalt. MGM anbefaler: at matematiklærerne i fællesskab diskuterer og reflekterer over muligheder og begrænsninger ved forskellige evalueringsredskaber, og at de opbygger samlinger af procesværktøjer, der kan bruges til at registrere og fastholde progressionen i elevernes læring. (Hammer et al., s. 59). Jeg foreslår at man anvender portefølje i matematikundervisningen, men at man gør systemet lidt mere fleksibelt end i den alm. udviklingsportefølje, da jeg mener det er de begrænsninger der ligger i dette der afholder lærerne fra at anvende metoden. Mappen skal i stedet, ud over det eleverne selv vælger ud, indeholde diverse evalueringer af hvert emne i matematik, herunder også ark udleveret af læreren og diverse selvevalueringer, evalueringer fra matematikbogssystemet osv. Det bliver så nødvendigt med en indholdsfortegnelse for fagets arbejde i dette skoleår, som naturligvis hænger sammen med årsplanen, ligesom en forside til hvert emne, evt. med de opstillede mål for emnet, kunne give god mening. Se evt. (Arnfast & Wontherghem, 2004). 16

17 Delkonklusion - del 2: Der er behov for at lærerne sætter mål for deres undervisning, både når det gælder årsplan, de enkelte emner og de enkelte elever De fire F er er ikke en kronologisk rækkefølge - vi kan sætte adskilte mål for færdigheder og forståelse Vi må holde os for øje, hvad der er need to know og nice to know for den enkelte elev Vi skal tage udgangspunkt i børnene - ikke i bøgerne Vi må arbejde med åbne opgaver der kan løses på flere niveauer Vi må opbygge en samling af formative evalueringsværktøjer, der med porteføljen som samlemappe kan evaluere på de opstillede mål Del 3: Matematikvejlederen Vi har set, at lærernes fagsyn kan have stor betydning, såvel for hvordan eleverne opfatter hvad der er vigtigt at lære i matematik, som for lærernes forhold til målsætning og evaluering. Det kan imidlertid undre, at de lærere der underviser meget færdighedsbetonet ikke ændrer deres fagsyn, når Fælles Mål og rapporter som KOM-rapporten og Matematik på Grundskolens Mellemtrin nu peger på vigtigheden af en eksperimenterende og undersøgende undervisning med kompetencer. For at forstå det, og for at forstå hvad jeg som matematikvejleder kan gøre, vil jeg kigge nærmere på professionsidentiteten. Professionsidentitet og Erfaring Mange vil antage, at det at tage en uddannelse er det der skal til, for at blive medlem af en profession. Steen Wackerhausen hævder imidlertid, at professionsidentiteten først og fremmest dannes ved, at man arbejder sammen med de andre i professionen, og ser hvad de gør, stiller spørgsmål til, og opfatter som selvfølgeligt. Professionsidentiteten er det som hos den enkelte praktiker ligger bag og manifesteres i den pågældende praktikers praksis (Wackerhausen, 2004, s. 14). Teori betyder mindre, det handler om praksis - det som medlemmer af vores profession gør. Professionsidentiteten sikrer på den måde, at erfaret viden og kundskaber ikke går tabt med generationerne, men der ligger også den store fare heri, at forkerte antagelser, stivsind og uvidenhed kan videreføres, også selv om der er ny viden på området, der kunne tilbagevise dette (Wackerhausen, 2004). Som matematiklærere spejler man sig også i tidligere generationer. Ikke kun nuværende kolleger, professionsidentiteten kan også være dannet allerede da man selv gik i skole. Man husker sin egen matematiklærer, og forsøger på bedste vis at føre undervisningen fra dengang videre (Saugstad, 2004, s. 205). Da man ofte er alene i klasselokalet, er der i dagligdagen ingen kolleger at spejle sig i, og det kan derfor nemt blive matematikbogen man følger. Ofte vil der desuden være et professions-eksternt pres, for at man skal blive ved med at gøre som jeres slags gør (Wackerhausen, 2004, s. 18). Som lærer vil dette pres typisk komme fra forældrene, der jo kender professionen fra da de selv gik i skole. 17

18 Man kan undres over, hvorfor lærerne ikke ændrer praksis, når der kommer nye læseplaner for faget. Hertil siger Wackerhausen: professionsfællers relativt fælles identitet lader sig ikke ændre signifikant ved små ændringer på curriculum eller enkeltstående kurser, da den daglige praksis i mindre grad er styret af eksplicitte antagelser, boglig viden, artikulerede principper og bevidste overvejelser end af habituerede og selvfølgeliggjorte handlingsrutiner (Wackerhausen, 2004, s. 17). Her kan frekvensen af læseplaner de senere år altså også have en betydning. Hvis der kun kommer læseplaner én gang hvert 20. år, er det noget man lægger mærke til, men de senere år er de kommet jævnligt (1995, 2000, 2003, 2009). Det kan være medvirkende årsag til denne habituering. Lærerne siger bare nå nu igen, og fortsætter så som altid. Professionsidentiteten er således primært dannet på baggrund af erfaringer fra praksis, men ifølge Tone Kvernbekk er det ikke altid at vi ser det vi tror: Konklusioner og tolkninger regnes ofte for direkte observationer, så det, der faktisk er en tolkning, anses for en direkte opfattelse af, hvordan verden er. Men det er vigtigt at være bevidst om, at det er muligt at drage en forkert konklusion, selv om observationen er rigtig (Kvernbekk, 2003, s. 176). Den lærer der hævder, at han har erfaring for at hans undervisning virker, bygger måske denne erfaring på forkerte observationer, som at eleverne når mange opgaver i bogen på en time, eller at klassen klarer sig godt i færdighedstests. Man kan overveje hvorfor lærerne ikke ændrer praksis, når der kommer læseplaner eller forskning der modsiger denne, men som Wackerhausen er Kvernbekk inde på erfaringens autoritet. Der er en fast tro på, at førstehåndserfaringer er ufejlbarlige, og at forskerne derfor må tage fejl, (Kvernbekk, 2003, s. 184). Det er altså dette jeg er oppe mod som matematikvejleder og skal forsøge at gøre noget ved. Spørgsmålet er så, hvordan situationen egentlig er på Rolf Krake Skolen? MGM på Rolf Krake For at undersøge om situationen er den samme på vores skole, som den beskrives i MGM, har jeg i modulet Undersøgelse af Pædagogisk Praksis lavet en børneversion af spørgeskemaet fra MGM (Hedegaard, 2012). Jeg har taget de spørgsmål fra lærerundersøgelsen, der siger noget om den konkrete undervisning, og lavet dem om til elevspørgsmål for at se om eleverne oplever det samme som lærerne. Som i den oprindelige undersøgelse, har jeg kun spurgt eleverne på mellemtrinnet, for at kunne sammenligne med lærernes svar. Min konklusion er: Samlet set er den generelle tendens, at børnene oplever en lærerbogsstyret undervisning, hvor der godt nok varieres mellem forskellige arbejdsformer, og hvor der arbejdes med sprog og egne algoritmer, men kun i det omfang bogens struktur tillader det. Matematiske hjælpemidler anvendes kun i det omfang det fremgår af bogen, læreren finder ikke selv på situationer hvor de kan anvendes, og tilføjer ikke selv åbne opgaver i ret stort omfang, ligesom der ikke arbejdes med matematiske undersøgelser og matematik fra virkeligheden (Hedegaard, 2012). 18

19 Jeg kan ud af undersøgelsen bl.a. se, at der sjældent arbejdes med matematiske undersøgelser, og at 57 % af eleverne vurderer, at de kun sjældent eller aldrig må anvende lommeregner i matematik. I en sådan undervisning vil elever i matematikvanskeligheder få det meget svært, da vi jo netop har set, at anvendelsen af hjælpemidler som lommeregnere har stor betydning for dem. Overordnet bekræfter undersøgelsen altså de tendenser, vi allerede har set i MGM. Udviklingsprojektet Prejektet Som vi har set, har professionsidentiteten og erfaringens autoritet, en stor del af skylden for at lærerne ikke ændrer praksis på trods af nye læseplaner. Før vi kan udvikle undervisningen, må vi altså have overvundet denne modstand mod forandring. Ifølge Knud Illeris ligger det største udviklingspotentiale i de situationer, hvor vi først skal overvinde en modstand. I modstanden ligger muligheden for en akkommodation, eller en radikal innovation (Darsø, 2003) gemt, og det er derfor vigtigt at vi anerkender, og befordrer modstanden, for at komme i kontakt med det største udviklingspotentiale (Illeris, 2006, s. 179). Men modstanden skal jo overvindes, hvis vi vil have udvikling, og til det formål har jeg i modulet Pædagogisk Udviklingsarbejde udviklet et prejekt (Hedegaard, 2012). Der er ikke tale om et egentligt udviklingsprojekt, det kommer først bagefter, men snarere de indledende øvelser, hvor jeg gennem en interessentanalyse har analyseret mig frem til hvorfra en evt. modstand vil komme. Det viser sig, at den primære modstand vil komme fra de lærere, som både mangler linjefag, og som har valgt at undervise i matematik, fordi de betragter det som et fag, der ikke kræver så meget forberedelse og mødeaktivitet. Ud fra Lotte Darsøs innovationsprocesmodel (Darsø, 2003), har jeg udviklet fire kursusgange, der er beregnet på at forstyrre lærernes fagsyn. Der arbejdes med de fire parametre relationer, koncepter, ikkeviden og viden, som alle er nødvendige, hvis innovationsprocessen skal lykkes. Her i kraftigt forkortet version (Hedegaard, 2012), se evt. bilag 2 for samlet oversigt: 1. Arbejde med relationer. Lærerne fortæller på skift, om noget de er grebet af. Formålet er primært at skabe bedre relationer i fagteamet. 2. Koncepter Lærerne arbejder med konceptet Matematikundervisning. Hvad er god matematikundervisning og hvad er det vi gerne vil, at børnene skal kunne, når de forlader skolen? 3. Ikke-viden 4. Viden Lærerne arbejder med alt det der normalt aldrig bliver italesat. Hvad jeg ikke ved, eller hvad jeg ikke kan, i min profession som matematiklærer. Lærerne udarbejder 8 plakater der beskriver de matematiske kompetencer i børnesprog. Målet er at skabe mere viden om Fælles Mål. 19

20 Her stopper prejektet fra pædagogisk udviklingsarbejde, og vi er forhåbentligt klar til at gå i gang med det egentlige projekt. Projektet I det egentlige projekt vil jeg især fokusere på samarbejde i lærerteams, samt på det arbejde med målundervisning-evaluering, som vi har set kan have afgørende betydning for undervisningsdifferentieringen, og dermed også for elever i matematikvanskeligheder. Det er mit håb, at skolens ledelse i en opstartsperiode vil være villig til at bevilge nogle ekstra timer til fælles forberedelse, fx til at mødes 1 time ti gange på et skoleår, så projektet kan blive løbet i gang. Opstarten på projektet bliver, at lærerne på de enkelte årgangsteams udarbejder årsplaner for det kommende skoleår, med udgangspunkt i Fælles Mål, og med mål for såvel kompetencerne som de matematiske emner. I årsplanerne skal også indgå planer for hvornår der evt. skal arbejdes med større matematiske undersøgelser/læringslandskaber. I hele dette arbejde, kan jeg som matematikvejleder naturligvis tilkaldes. Herefter mødes de enkelte årgangsteams forud for hvert emne i matematik, hvor de i fællesskab ud fra den fastlagte årsplan, fastlægger læringsmål for det næste emne. Sammen udarbejder de herefter mål på fx tre niveauer for hhv. mellemgruppen, de svage, og de dygtige. Igen, kan jeg naturligvis indkaldes til møderne, hvis lærerne ønsker det. Det er vigtigt at målene er så konkrete, at eleverne selv kan vurdere om de har nået målet. På det samme møde, hvor lærerne sætter mål for det næste emne, kan de ligeledes overveje evalueringen af det emne der er i gang lige nu. Ud fra de opstillede mål finder lærerne nogle formative evalueringsmetoder, der kan anvendes til netop dette emne. Med tiden skal alle disse evalueringer samles i den samling af procesværktøjer som der omtales i MGM, og hvorfra lærerne kan hente inspiration. Ud fra årsplanen udarbejdes der en indholdsfortegnelse med undervisningsmål til porteføljemappen, og til hvert emne en forside med de konkrete mål for netop dette emne. Hvis lærerne ønsker det, kan de ligeledes uddelegere forberedelsen af den konkrete undervisning, fx så én lærer finder opgaver og udarbejder undervisningsplan til mellemgruppen, en anden gør det samme til de dygtige og en til de svage. Det er mit håb, at lærerne vil se så store fordele i dette arbejde, at de vil fortsætte samarbejdet, også når der ikke længere er bevilget ekstra tid til dette. Sideløbende med dette arbejde i årgangsteams, er det vigtigt at hele fagudvalget mødes til vidensdeling, og her får mulighed for at fremhæve den gode historie til inspiration for andre. På disse fællesmøder kan der ligeledes være undervisning i forskellige emner, som lærerne efterspørger. Emner for disse fælles undervisningsgange kunne fx være, formativ evaluering, matematiske undersøgelser, anvendelse af CAS-programmer, eksperimenterende undervisning med Geogebra og Excel, hvordan man omformulerer lukkede opgaver til åbne, faglig læsning i matematik, regnestrategier og regnehistorier osv. 20