Supplement til Kreyszig

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Supplement til Kreyszig"

Transkript

1 Supplemet til Kreyszig Forelæsigsoter til Matematik F Idholdsfortegelse side 1. Numerisk itegratio. Fejlvurderig af trapez og Simpso algoritmere 1. Dekompoerig af brøker (Laplace trasformatio) 3. Permutatioer og kombiatioer, teorem Moivre s sætig 5 5. χ -fordelig og Studet s t-fordelig 8 6. Cetral limit teoremet og ophobigslove Regressio ( Midste kvadraters metode ) 17 Jes Jese Ørsted Laboratoriet, NBIfAFG, December

2 Supplemet til Kreyszig 1 1. Numerisk itegratio. Fejlvurderig af trapez og Simpso algoritmere Kreyszig bestemmer fejle af trapezmetode til at være; (3 )i 17.5 (side 959 i 7. udgave), ɛ = h3 1 f (t) for det ite deliterval mellem x i og x i+1 = x i + h. Itervallets lægde er x = h og x i <t<x i+1.igræseh haves,atx i+1 x i = x og dɛ dx ɛ x = ɛ b h = h 1 f dɛ b (x) ɛ = dx h a dx 1 f (x)dx a og vi får dermed ɛ(trapez) = h 1 [f (b) f (a)] + O(h 3 ) (1.1) Korrektioere til dee fejlvurderig er af størrelsesordee h 3 (hvilket også gælder Kreyszig s resultater). I Simpsos tilfælde beyttes et. grads polyomium som tilærmelse for f(x) og afvigelse er, x x x, f(x) p (x) = 1 3! (x x )(x x 1 )(x x ) [ f (3) (x 1 )+ 1 4 (x x 1)f (4) (x 1 ) ] + O(h 5 ) De tredie afledede af vestre side er f (3) (x) og højre side af ligige giver f (3) (x 1 )+[x 1 4 (x +x 1 + x )]f (4) (x 1 )=f (3) (x 1 )+(x x 1 )f (4) (x 1 ). Idføres s =(x x 1 )/h fås ɛ = x x = h4 6 [f(x) p (x)]dx 1 (s +1)s(s 1)[ f (3) (x 1 )+ 1 4 hsf (4) (x 1 ) ] ds = h5 1 9 f (4) (x 1 ) Leddet proportioalt med h 4 forsvider ved itegratioe, og vi har derfor medtaget korrektioe til æste orde i h. Beyttes x = x x =h fås ved samme procedure som ovefor: ɛ(simpso) = h4 18 [f (b) f (a)] + O(h 5 ) (1.) Simpso algoritme er ikke som umiddelbart forvetet e 3. ordes, me e 4. ordes metode. De udledte udtryk for fejlee i de to tilfælde (1.1) og (1.) er lagt lettere at beytte og mere præcise ed Kreyszig s itervalafgræsiger af fejlee.

3 Supplemet til Kreyszig. Dekompoerig af brøker (Laplace trasformatio) I regiger med Laplace-trasformatioe sker det tit, at F (s) ereægte brudde ratioal fuktio, dvs. F (s) = P (s) Q m (s) hvor P (s) ogq m (s) erpolyomieris af te heholdsvis mte grad og <m (ægte). For at fide de iverse må F (s) dekompoeres til e sum af stambrøker: Beteger a i de m (ikl. komplekse) rødder i Q m (s), dvs. Q m (s) =K(s a 1 ) k (s a ) l,såerf(s) etydigt bestemt ved udtrykket b k F (s) = (s a 1 ) k + b k 1 (s a 1 ) k b (.1) s a 1 (s a ) l hvor kostatere i stambrøkeres tællere fides ved at sætte hele udtrykket på fælles brøkstreg med Q m i ævere og beytte, at dee brøks tæller skal være lig P (s). Er alle kostater i P (s) ogq (s) reelle vil evetuelle komplekse rødder optræde i kojugerede par, og d h (s α iβ) h + d h (s α + iβ) h = e h s + f h [(s α) + β ] h + + e 1 s + f 1 (s α) + β (.) dvs., at evetuelle komplekse led i (.1) ka erstattes med led svarede til højre side af ligig (.). Eksempel: F (s) = P 1 (s) Q 5 (s) = s 1 s (s )(s + s +1) = b s + b 1 s + c s + ds + e s + s +1 = (b + b 1 s)(s )(s + s +1)+cs (s + s +1)+(ds + e)s (s ) s (s )(s + s +1) Samles leddee i tællere for hver orde af s fås følgede ligiger: s 4 : b 1 + c + d = s 3 : b b 1 + c d + e = s : b b 1 + c e = s 1 : b b 1 =1 s : b = 1 b = 1 ; b 1 = 3 4 ; c = 8 1 d = 5 7 ; e = 1 7 Bemærk, at c ka bestemmes lagt lettere ved at gage brøkomskrivigere med s og derefter sætte s =, og tilsvarede for b (gag med s og sæt s =). 1 Beyttes omskrivige 7 5s +1 s + s +1 = 1 7 5(s + 1 ) 3 (s + 1 ) + 3 fås 4 f(t) =L 1 {F (s)} = 1 t et cos e t/( 34 t 3si 34 t ) NB: Mathematica dekompoerer brøker med kommadoe: Apart[brøk] c l

4 Supplemet til Kreyszig 3 3. Permutatioer og kombiatioer, teorem 3 Teorem 3 i.4 i 8. udgave af Kreyszig (teorem 4 i 3.3 i 7. udgave) lyder: Atallet af forskellige kombiatioer med k elemeter, der ka daes ud af forskellige elemeter, er ( ) ( ) + k 1 ude getagelser: med getagelser: k k Her vil vi gere bevise de sidste del af teoremet, ligig (4b). I dette tilfælde ka det ekelte elemet optræde fra til k gage i de forskellige kombiatioer. Læreboge foreslår at bevise sætige ved iduktio: Teoremet er korrekt for = 1 for e vilkårlig værdi af k: Der er ku de ee mulighed, at alle k elemeter er es. Teoremet atages korrekt for 1 elemeter (for e vilkårlig værdi af k), og skal med dee forudsætig vises at være gyldigt for elemeter: Vi starter med de 1 elemeter og daer alle mulige kombiatioer med k elemeter (med getagelser): ( ) 1+k 1 k. Til dette atal muligheder skal adderes dem, hvor det te elemet optræder 1 gag. Dette er lig med atallet af kombiatioer med k 1 elemeter valgt ud bladt de resterede 1elemeter: ( ) 1+k 1 1 k 1. Næste led er de kombiatioer, hvor det te elemet optræder to gage, og hvor der skal vælges k elemeter ud af de 1 elemeter osv., idtil vi år frem til, at alle k-elemeter er det te elemet. Dermed bliver det samlede atal kombiatioer: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + k + k 3 + k k k 1 k 1 som ka omskrives til ( ) ( ) k +s k +s = s= s s= Beyttes ligig (13) i boge (med k erstattet med og øverste sum græse 1medk) fås, at summe er lig ( ) ( ) ( ) k k 1 + k 1 = = Q.E.D k Ligig (13), som beyttes i beviset, ka ige bevises ved iduktio samt brug af ligig (11) (regeøvelse-opgave).

5 Permutatioer og kombiatioer, teorem 3 4 Alterativt bevis for Teorem 3 Teorem 3 ka omformuleres til, at atallet af måder k kugler ka fordeles i kasser er ( ) + k 1 k hvis der ikke er begræsiger på hvor mage kugler, der ka være i de ekelte kasser (svarede til Bose-statistik). E kugle i e kasse betyder at dee kasse (elemet) er udtrukket. De kasser stilles på erække,ogdek (sorte) kugler fordeles, fx som vist i figur a), hvor = k = 1. De k kugler plus de 1 skillevægge betragtes uder et, agivet som hvide kugler i figur b). E vilkårlig kombiatio ka fides ved at udvælge k af de hvide kugler i b) til at være sorte kugler og de resterede til at være skillevægge. Et eksempel er vist i figur c). Her er der er 1 kugle i 1. kasse, i. kasse, 1 i 3. kasse, i 4. kasse, osv. Atallet af kombiatioer er derfor det samme som atallet af måder, vi ka udvælge k af de 1+k hvide kugler i b) til at være sorte kugler, hvilket etop er ( ) + k 1 k a) b) c)

6 Supplemet til Kreyszig 5 4. Moivre s sætig Sadsylighedstæthede for biomialfordelige: f(x) = ( ) p x q x (x =, 1,,) (4.1) x (q =1 p) ka betragtes i to græser: (I) For og p, således at λ = p holdes kostat går biomialfordelige mod Poisso-fordelige: Idføres λ ka f(x) skrives f(x) = ( 1) ( x +1) x λ x x! ( 1 λ ) ( λ) x 1 (4.) hvor ( 1) ( x +1) x =1 ( 1 1 ) x 1 ) ( 1 1 (4.3) for og ( λ) λ ( 1) λ ( 1)( ) λ 3 1 =1 + 1!! 3! 3 + =1 λ + ( 1 1 ) λ! ( 1 1 )( ) λ 3 1 3! + 1 λ + λ! λ3 + = e λ 3! Sidste faktor i (4.) går mod 1, dvs. (4.4) f(x) λx x! e λ for (4.5) som er Poisso-sadsylighedstæthede med middelværdi µ = λ. (II) Ud fra biomial-fordelige ka vi å frem til e kotiuert fordelig ved at fastholde p uder græseovergage.hervedgår middelværdie µ = p og spredige σ = pq begge mod. Dette ødvediggør e ormerig af de opridelige stokastiske variabel X, som erstattes med Z = X µ (4.6) σ Igræse bliver Z e kotiuert stokastisk variabel, og f(z =(x µ)/σ) går over i stadard ormalfordelige med middelværdie og spredige 1, dvs. f(z) φ(z), eller år x er heltallig, F (x) Φ(z =(x +.5 µ)/σ) svarede til ligig (11) på side 19 (1189) i 8. (7.) udgave af boge (De Moivre og Laplace s græseværdisætig).

7 Moivre s sætig 6 I beviset udyttes det, at det ku er opførsle af f(x) ietætomegafx = µ, der er afgørede, f(x) hvis x µ > rσ, hvorr er af størrelsesordee 5. Det betyder at omege relativt set, rσ/µ = r pq/p for,ogdermed at vi dels ka beytte Stirligs formel for alle faktorere i biomialkoefficiete, over x, og dels udytte e rækkeudviklig mht. /µ, hvor =x µ: Avedes Stirligs formel [ligig (7) side 167 (1163)] i (4.1) fås: π e f(x) πxx x e x π( x)( x) x e +x px q x = πx( x) ( ) p x ( q ) x (4.7) x x Rækkeudvikles kvadratrode til te orde i erstattes de af 1/ πpq. For det æste led fås: ( ) p x [ =exp x l ( µ ) ] [ =exp (µ + )l ( µ ) ] x x µ + hvor og dermed ( p x l ( µ µ + ) ( ) = l 1+ µ µ + 1 ) ] [ x exp [ =exp p x µ ( ) µ ] (x p) p (4.8) og helt aalogt ( ) q x exp [q ( x) x ] [ ] ( x q) =exp q q (4.9) Gager vi de to faktorer samme fås ( ) p x ( ) q x exp [ x x p + ] [ ] =exp (1 p) p(1 p) og år pq = p(1 p) erstattes med σ bliver slutresultatet f(x) 1 [ ] σ π exp (x µ) σ (4.1) som er gyldigt i græse µ = p 1. Det ka tilføjes, at beyttes samme fremgagsmåde ka det vises at sadsylighedstæthede for Poisso fordelige for store værdier af µ ka tilærmes med de ormale fordelig (4.1) med σ = µ. Bemærk, at boges tabel A6 over Poisso-fordelige ku medtager værdier af µ 5. For større værdier af µ ka ma beytte F (x) Φ((x +.5 µ)/ µ), år x er heltallig.

8 Moivre s sætig Figure viser sadsylighedstæthede for e biomialfordelig med p =.3 og = 5, og 4 (puktere) og de tilsvarede ormale fordeligstæthed (de kotiuerte kurver).

9 Supplemet til Kreyszig 8 5. χ -fordelig og Studet s t-fordelig χ -fordelige afhæger ku af atallet af frihedsgrader, og er defieret ved: Y = Ui (5.1) hvor U i,forhverti, er e uafhægig stokastisk variabel med e frekvesfuktio, som er de stadardiserede ormale fordeligstæthed: φ(u i )= 1 e u i / π Y er de stokastiske variabel svarede til χ (bemærk, at χ opfattes som e betegelse for e variabel y som er ikke-egativ). Fordeligsfuktioe F (χ ) er produktet af frekvesfuktioere (idbyrdes uafhægige stokastiske variable) itegreret over volumeet givet ved y = u i χ : F (χ )= du y χ 1 du du (π) e y/ (5.) Fuktioe, der skal itegreres, afhæger ku af r = y, som ka opfattes som radie af e -dimesioal kugle. Volumeet af de -dimesioal kugle er V = r C, hvor ehedskugles volume (se appedix) er C = π Γ(1 + ) (5.3) og Γ(1 + a) =aγ(a) er gammafuktioe. Volumeet V ka fides ved itegratio af overfladearealet S (r) =dv /dr = r 1 C mht. r. I ligig (5.) ka vi ude videre itegrere over alle de 1 frihedsgrader, der er uafhægige af y = r, hvilket giver: og dermed, at F (χ )= r= χ S (r)(π) e r / dr (5.4) f (χ )=F (χ )= df dr dr dχ = S ( χ ) (π) e χ / 1 = ( χ ) 1 π Γ(1 + e χ / 1 )(π) eller f (χ 1 ( ) )= χ 1 e χ / Γ( ) som er sadsylighedstæthede for χ -fordelige med frihedsgrader. χ χ (5.5) (5.6)

10 χ -fordelig og Studet s t-fordelig 9 Det ka vises, at middelværdie og variase af χ -fordelige er heholdsvis og : χ = χ f (χ )dχ = (5.7) σ (χ )= χ 4 χ = χ 4 f (χ )dχ = For at udlede teorem 3 i 3.3 (teorem 4 i 4.6) betragter vi de stokastiske størrelse S = 1 (X i µ) (5.8) hvor X i er ormalt fordelt med middelværdie µ og variase σ,ogdermeder S σ = ( ) Xi µ = Ui (5.9) σ beskrevet ved χ -fordelige med -frihedsgrader [højreside er de samme som i ligig (5.1)]. Idfører vi de stokastiske middelværdi X = 1 X i (5.1) ka (5.8) omskrives til S = [ (Xi X)+(X µ) ] = (X i X) + (X µ) (5.11) i i idet ligig (5.1) medfører, at produktet mellem de to led i de firkatede paretes summerer til. Dermed har vi, at S σ = ( Xi X σ ) ( ) X µ + σ/ (5.1) Ifølge 3.3 teorem 1 ( 4.6 teorem ) er X ormalfordelt med middelværdie µ og variase σ /, dvs.atsidsteledpå højre side af (5.1) etop er kvadratet på e stokastisk variabel, som har e stadardiserede ormalfordelig, og dermed, at dette led har e χ -fordelig med 1 frihedsgrad. Af defiitioe (5.1) fremgår det umiddelbart, at summe af to (uafhægige) χ -fordeliger med frihedsgradere 1 og er givet ved χ -fordelige med 1 + frihedsgrader. Det ka vises, at de to led på højre side af (5.1) er statistisk uafhægige (kovariase er ), hvoraf følger, at første led har e χ -fordelig med 1 frihedsgrader. De stokastiske variabel S defieres ved ligige: S = 1 ( Xi X ) σ ( ) Xi X = (5.13) 1 1 σ Sammeliges med (5.1) ses, at ( 1) S er e stokastisk variabel, som har e σ χ -fordelig med 1 frihedsgrader (teorem 3).

11 χ -fordelig og Studet s t-fordelig 1 Kofidesitervallet udledes ud fra P ( c 1 ( 1) S σ c ) = F (c ) F (c 1 )=γ (5.14) som er opfyldt med F (c 1 )=(1 γ)/ ogf (c )=(1+γ)/, hvor fordeligsfuktioe F er χ -fordelige med 1 frihedsgrader (tabel A1). For et ekelt udfald (stikprøve) atager S værdie s og eller hvor { CONF γ c1 ( 1) s σ c } CONF γ { 1 c s σ 1 c 1 s } (5.15a) s = 1 1 (x i x) ; x = 1 x i (5.15b) Dette resultat ka formuleres lidt aderledes. Vi ka direkte udytte at fordeligsfuktioe for S er faktore σ /( 1) gage χ -fordelige med 1 frihedsgrader, dvs.: og S = σ 1 χ σ (S )= S 4 S ( σ ) σ = (χ ) 1 1 = 1 = σ ( 1) = σ (5.16a) 1 σ 4 σ4 ( 1) = ( 1) 1 (5.16b) σ, ude argumet, er variase af de opridelige fordelig for X, ogerde størrelse vi forsøger at bestemme ud fra stikprøve samme med e vurderig af resultatets pålidelighed. Vi skal seere se ( the cetral limit theorem ), at år 1kaχ -fordelige tilærmes med ormalfordelige med samme middelværdi og varias. Dette ka udyttes til at sige, at hvis 1vil de stokastiske variabel S være beskrevet ved ormalfordelige med middelværdie σ og variase σ 4 /( 1), eller efter lidt regig CONF γ { s 1+c 1 σ s 1 c 1 } ; Φ(c )= γ +1 eller udtrykt på e mere foreklet, og tilærmet ( 1), måde: ; 1 (5.17a) σ s ± c 1 s (5.17b) hvor c =1.96, hvis vi beytter et 95% kofidesiveau.

12 χ -fordelig og Studet s t-fordelig 11 Studet s t-fordelig: Vi har etop betragtet de stokastiske variabel U = X µ σ/ hvor U er χ -fordelt med 1 frihedsgrad. For at vurdere pålidelighedsitervallet vedebestemmelseaf µ ud fra stikprøveværdie af variase betragter vi u istedet T = X µ S/ = U σ (5.18) S Ifølge (5.13) er S σ = Y p p hvor Y p har e χ -fordelig med p = 1 frihedsgrader. Dvs. vi har (5.19) T p = Y 1 Y p med Y 1 = U (5.) og dermed er fordeligsfuktioe G(t /p) for de stokastiske variabel T /p bestemt, som arealet af f 1 (y 1 )f p (y p )overområdet, hvor y 1 /y p t /p G(t /p) = y p = yp t /p y 1 = f 1 (y 1 )f p (y p )dy 1 dy p (5.1) Defiitioe af fordeligsfuktioer medfører, at G(t /p) =±[F t (t) F t ( t)], hvor + ( ) svarertilt positiv (egativ). Dermed ka t-frekvesfuktioe, f t (t) =F t(t), bestemmes som f t (t) =± d(t /p) dg(t /p) [ dt d(t =( t /p) f1 (y /p) 1 ) ] y1=ypt /p y pf p (y p )dy p (5.) og beyttes ligig (5.6) fås [ 1 f t (t) =( t /p) y 1 ] π 1 e y 1 / = t p π p t 1 p+1 Γ( p ) y 1 =y p t /p (y p ) p 1 e (1+ t p )y p/ dy p 1 y p p Γ( p )(y p ) p 1 e yp/ dy p hvor itegralet udreges til [ ] p+1 Γ( p+1 1+t /p ), og dermed slutresultatet (5.3) f t (t) = 1 Γ( p+1 ) (1+ t pπ Γ( p ) p ) p+1 (5.4)

13 χ -fordelig og Studet s t-fordelig 1 som er frekvesfuktioe for T i ligig (5.18) med p = 1. Hermed har vi udledt teorem i 3.3 (teorem 3 i 4.6). Idet frekvesfuktioe er lige, f t (t) =f t ( t), har vi at P ( c T = X µ S/ c) = F t (c) F t ( c) =F t (c) 1=γ (5.5) således at F t (c) =(1+γ)/, hvor F t er Studet s t-fordelig med 1 frihedsgrader (tabel A9). Kofidesitervallet er derefter bestemt ved CONF γ { c x µ s/ c } { eller CONF γ x cs µ x + cs } (5.6) E ærmere aalyse af χ og Studet s t fordeligere ka fides som Mathematica programmer på hjemmeside. Teorem 4 i 3.3 (teorem 5 i 4.6), det såkaldte Cetral limit theorem, fortæller at begge fordeliger ærmere sig ormalfordelige, år atallet af frihedsgrader vokser. Som ævt har χ - fordelige med frihedsgrader middelværdie µ = og variase σ =. For Studet s t-fordelig med p frihedsgrader fås: T = ; σ (T )= T T = p (p 3) (5.7) p Variase divergerer og er dermed ikke defieret for p = 1 og p =. Atager vi ige at 1, så betyder cetral limit teoremet at F t (c) Φ(c/σ(T )). Idføres c = c/σ(t )fås at σ(t ) 1, og dermed at c c igræsep = 1 1, og (5.6) ka tilærmes med { CONF γ x c s µ x + c s } ; Φ(c )= γ +1 ; 1 (5.8a) eller µ x ± c s (5.8b) Reultatet ka forbedres (ubetydeligt) ved at erstatte c med c = c 1 3. Bemærk, at år 1 er resultatet det samme, som hvis s ka erstattes med σ, svarede til teorem 1. Dvs., at i dee græse er usikkerhede på bestemmelse af σ ud fra s ude betydig for vurderige af hvor pålideligt µ bestemmes af x.

14 χ -fordelig og Studet s t-fordelig 13 Appedix Ehedskugles volume i dimesioer, C, ka bestemmes ved at udrege itegralet I = e (x 1 +x + +x) dx 1 dx dx (5.9) dels direkte, som et produkt af Gauss itegraler: e x dx = π I = π (5.3) dels ved at udytte at fuktioe uder itegraltegee ku afhæger af de radiære variabel r (x 1 + x + + x ) 1/. Volumeet af e -dimesioal kugle med radius r er r V (r) = dx 1 dx dx = S (r )dr = r C (5.31) og dermed dv = S (r)dr = r 1 C dr. Det betyder, at udføres alle de 1 itegratioer i (5.9), der er uafhægige af r, fås I = S (r) e r dr = r 1 C e r dr (5.3) 1 = C z 1 e z dz = C Γ( )=C Γ(1 + ) Ved at sammeholde de to resultater for I,fås C = π Γ(1 + ) (5.33)

15 Supplemet til Kreyszig Cetral limit teoremet og ophobigslove Vi skal supplere boge med ogle vigtige resultater. Vi vil starte med at betragte de momet-geererede fuktio, som idføres i.7 opgave 14( 3.5 opgave og 3.6 opgave 16 19): som har egeskabe: G(t) = e tx etx f(x)dx = e tx if(x i ) ( d X ) G(t) = dt i t= (6.1) For de to diskrete fordeliger, heholdsvis biomialfordelige (µ = p, σ = pq) og Poisso-fordelige, har vi fra boges opgaver, at G bi (t) =(pe t + q) og G P (t) =e µ e µet (6.) For Gauss-fordelige er: G(t) = e tx = 1 σ (x µ) ] π e[tx σ dx hvor ekspoete ka omskrives til og dermed, at tx (x µ) σ = µt + 1 σ t (x µ σ t) σ G(t) =e (µt+ 1 σ t ) 1 σ (x µ σ t) π e σ dx Gauss-itegralet er uafhægigt af at µ er erstattet af µ + σ t, og resultatet for de momet-geererede fuktio for ormalfordelige er: G(t) =e (µt+ 1 σ t ) (6.3) Geerelt har vi, at hvis Y er e liearkombiatio af to uafhægige stokastiske variable X 1 og X, Y = a 1 X 1 + a X så er de momet-geererede fuktio for y-fordelige produktet af de to momet-geererede fuktioer G 1 (a 1 t)ogg (a t)forx 1 -ogx -fordeligere: G y (t) = e ty = e ta 1X 1 e ta X = e ta 1X 1 e ta X = G 1 (a 1 t)g (a t) (6.4)

16 Cetral limit teoremet og ophobigslove 15 Disse to resultater, (6.3 og (6.4), ka beyttes til at eftervise teorem 1 i 3.3 (teorem 1 i 4.6): Summe af to uafhægige stokastiske variable, Y = X 1 +X, som begge har ormalfordeliger med middelværdi µ 1, µ og varias σ1, σ har ormalfordelige med µ = µ 1 + µ og σ = σ1 + σ. Ifølge (6.4) er G y (t) =G 1 (t)g (t) =e (µ 1t+ 1 σ 1 t) e (µ t+ 1 σ t) = e [(µ 1+µ )t+ 1 (σ 1 +σ )t ] (6.5) som er de momet-geererede fuktio for de agive y-fordelig. [ Idskud: Frekvesfuktioe for Y = X 1 + X,bestemtvedvilkårlige (kotiuerte) frekvesfuktioer, f 1 (x) ogf (x), ka skrives som et foldigsitegral: F (y) er produktet af de to frekvesfuktioer itegreret over arealet y = x 1 + x y eller x y x 1,dvs.: y x1 F (y) = f 1(x 1 )f (x )dx 1 dx = f 1(x 1 )F (y x 1 )dx 1 x 1 = x = eller f(y) =F (y) = f 1(x)f (y x)dx (6.6) Foldigsitegralet optræder fx år e resoaskurve, f 1 (x), udmåles med e eksperimetel usikkerhed beskrevet ved e opløsigsfuktio, R(x) = f (x) med µ =. Atages begge fuktioer at være (eller kue tilærmes med) Gauss-fuktioer, bliver resultatet e Gauss-fuktio cetreret omkrig µ 1 med variase σ1 + σ.] Vi har tidligere vist, at biomialfordelige for store værdier af ka tilærmes med ormalfordelige (med µ = p og σ = pq), og tilsvarede for Poissofordelige (for µ 5). Resultatere (6.3) og (6.4) ka u beyttes til at bevise de geerelle sætig the cetral limit theorem : Atag X i, i =1,..., er uafhægige stokastiske variable, som beskrives ved frekvesfuktioere f i (x i ) (der alle ka være forskellige) med middelværdi µ i og varias σi. De stokastiske variabel har følgede egeskaber: (i) Middelværdie er µ = Y = 1 (ii) Variase er σ = 1 i σ i Y = 1 X i (6.7) i µ i

17 Cetral limit teoremet og ophobigslove 16 (iii) Fordeligsfuktioe for Z = Y µ vil (asymptotisk) Φ(z) (de stadardiserede ormalfordelig) for σ. Bemærk, at teoremet i dee udgave er mere geerelt ed læreboges versio, teorem 4 i 3.3 (teorem 5 i 4.6). Puktere (i) og (ii) følger direkte af teorem 1 og i.9 ( 3.8). Pukt (iii) ka bevises ved at udytte (6.4), geeraliseret til led med a i =1/, dvs. G y (t) = G i (t/) E Taylor-rækkeudviklig af G i (t/) =G i () + G i ()(t/) +1 G i ()(t/) giver ærmest defiitiosmæssigt: ( ) t G i =1+µ i t + 1 (σ i + µ i ) t + =exp [ µ i t + 1 σ i og dermed, at for 1: G y (t) [ t exp µ i + 1 t ] [ 1 σ i =exp µ i t + 1 i t ] ( ) 1 + O 3 1 ] σi t som etop, ifl. (6.3), er de momet-geererede fuktio for ormalfordelige med middelværdi µ (i) og varias σ (ii). i Ophobigslove ka betragtes som et korrolar til the cetral limit theorem. Er Y e geerel fuktio af X i (i =1,...,) ka vi tilærmelsesvis erstatte fuktioe med et lieært udtryk i et område omkrig X i eres middelværdier: Y = ψ(x 1,...,X ) ψ ( X 1,..., X ) + ( ) ψ X i X j = X j ( Xi X i ) Hvis de forskellige variable har e Gauss-fordelig, eller hvis der er mage forskellige bidrag (usikkerhedsberegiger!), vil Y, ifl. heholdsvis (6.5) og (6.7), (tilærmelsesvis) have e ormalfordelig med middelværdie Y = ψ ( X 1,..., X ) (6.8a) og variase σ = i ( ) ψ X i X j = X j σ i (6.8b)

18 Supplemet til Kreyszig Regressio ( Midste kvadraters metode ) E stikprøvemålig af Y som fuktio af x giver talpar (x 1,y 1 ),..., (x,y ). Det atages, at der ikke er oge usikkerhed forbude med målige af x (almidelig variabel), mes Y er e stokastisk variabel der for e bestemt, fastholdt x-værdi har e ormalfordelig med middelværdie Y = µ(x) =κ + κ 1 x og variase σy. Fuktioe µ(x) kaldes for regressioskurve til Y som fuktio af x, heraf avet på de aalyse vi skal foretage. Variase σy atages at være uafhægig af x, ogviøskeratbestemmedeto kostater, κ og κ 1,udfrade talpar i stikprøve og at vurdere pålidelighede af resultatet, år de to parametre erstattes med de tilsvarede stikprøveværdier k og k 1. Idføres betegelse y i = k + k 1 x i (7.1) er opgave at bestemme k og k 1,således at værdiere y i y i for alle i. Maximum likelihood metode fører til resultatet, at de mest sadsylige værdier af de to parametre bestemmes ved at miimere summe af de kvadratiske afvigelser (yi y i ), dvs. ved at miimere fuktioe q = ( ) yi k k 1 x i (7.) mht. k og k 1. Miimumet er bestemt af ligigere: q = (y k i k k 1 x i )= q = (y k i k k 1 x i )x i = 1 eller k + k 1 xi = y i k xi + k 1 x i = (7.3) x i y i hvor alle summer går fra i =1tili =. Resultatet af dee midste kvadraters metode er, i overesstemmelse med 3.9 eller 18.5 ( 4.1 eller 19.5), D = x i ( ) xi x k = i yi x i xi y i D k 1 = x i y i x i yi D (7.4) De rette liiebestemt ( afdisseligiger går igeem måledataeres tygdepukt 1 (x T,y T )= xi, 1 ) yi,dvs.: y T = k + k 1 x T og y i = 1 yi = y T (7.5)

19 Regressio ( Midste kvadraters metode ) 18 Hvis vi erstatter y i i ligig (7.4) med de tilsvarede stokastiske variabel Y = Y i for x = x i har vi at de stokastiske variable (K og K 1 ) svarede til k og k 1 er fuktioer af de forskellige Y i, og vi ka beytte ophobigslove (6.8) til at bestemme stikprøveværdiere af variasere for κ og κ 1, som vi skal betege s (k )ogs (k 1 ). I e eksperimetel situatio vil stadardafvigelse af y i (σ y ) ofte være ukedt, me atager vi, at de er de samme for alle målepuktere (alle i) kadet vises, at (Y i Y i ) /σy har e χ -fordelige med frihedsgrader. Beviset beytter e omskrivig af [Y i µ(x i )] /σy helt parallelt med ligig (5.1). Frihedsgradere reduceres her med, fordi vi skal beytte to parametre, k og k 1, til at bestemme µ(x i ) ud fra stikprøve. Aalogt med (5.15), eller (5.17), har vi derfor at σ y s(y), hvor s (y) = 1 (y i y i ) ; y i = k + k 1 x i (7.6) Hvis vi øsker at vurdere, hvor stor e tiltro vi ka have til resultatet, er fremgagsmåde de samme som i ligigere (5.14) (5.17) med de eeste forskel at 1 skal erstattes med. Dvs. groft set (95% kofides) er σy s (y)[1 ± 8/( )], år er oget større ed 1. Efter at s(y) er bestemt ka ophobigslove (6.8) udyttes til at berege stikprøve-variase af k : eller xj s (k )= ( ) k s (y) = ( x j x ) i s (y) y i i D [ = ( ) x ( ) j xj x j + ( ) ] xj x s (y) j D s (k )= x j D s (y) (7.7) Helt aalogt ka variase af k 1 udreges til: s (k 1 )= D s (y) (7.8) Kofidesitervallere for κ og κ 1 ka herefter bestemmes på samme måde, som beyttet ved udregige af kofidesitervallet for µ, (5.5) (5.8). Parametere c, som agiver forholdet mellem de halve lægde af kofidesitervallet og stadardafvigelse, er givet ved Studet s t-fordelig med frihedsgrader: F t (c) = 1+γ (7.9)

20 Regressio ( Midste kvadraters metode ) 19 og derefter har vi, at CONF γ { k1 cs(k 1 ) κ 1 k 1 + cs(k 1 ) } (7.1) og det helt aaloge udtryk for κ. K og K 1 er ikke stokastisk uafhægige. Det er derimod tilfældet for K 1 og tygdepuktsværdie Y T =(1/) Y (x i )med de teoretiske middelværdi µ T =(1/) µ(x i ). Der ka derfor opås e bedre karakteristik af regressioskurve ved at beytte stikprøveværdiere k 1 og y T i stedet for k 1 og k. Kofidesitervallet for µ T er bestemt af samme Studet s t-fordelig (samme c) som ovefor, og idet y T =(1/) y i fås CONF γ { yt cs(y T ) µ T y T + cs(y T ) }, s(y T )= s(y) (7.11) Ma ka sige, at det er tilstrækkeligt at agive stikprøveværdiere af stadardafvigelsere, s(y), s(k ), s(k 1 ), og s(y T ), idet vurderigere af hvor godt σ y, κ, κ 1 og µ T er bestemt, med god tilærmelse, ka afledes af ormalfordelige, hvis 1. Dermed ved vi for eksempel, at c i (7.1) (7.11) er ca., hvis vi forlager 95% kofides, eller 1, hvis vi øjes med 68,6% kofides. Fremstillige ovefor ka geeraliseres på forskellige måder: I) Lieær regressio med polyomier af højere grad ed 1: Avedes midste kvadraters metode på e stikprøve, hvor regressioskurve er et adegrads polyomium y i = k + k 1 x i + k x i fås følgede ligigssystem: k + k 1 xi + k x i = y i k xi + k 1 x i + k x 3 i = x i y i (7.1) k x i + k 1 x 3 i + k x 4 i = x i y i se boges 18.5 ( 19.5 i 7. udgave). Bemærk, at udtrykket er lieært i regressiosparametree, k, k 1 og k. II) Hvis σ y = σ y (x)afhægerafxbetyder det, at de fuktio der skal miimeres for at bestemme de mest sadsylige værdier af k og k 1,er: q = ( ) yi y i = σ y (x i ) ( ) yi k k 1 x i (7.13) σ y (x i ) De geerelle, ikke-lieære regressiosmetode som præseteres edefor i pukt IV er avedelig i dette tilfælde. Her foretages miimerige ved iteratio. III) Lieær regressio i det tilfælde hvor både X og Y er stokastiske variable. Det atages at for e fastholdt værdi af parametere i vil X og Y være stokastisk uafhægige og begge ormalfordelte med middelværdiere µ x (i) og µ y (i) og

21 Regressio ( Midste kvadraters metode ) stadardafvigelsere σ x (i) ogσ y (i). Stadardafvigelsere atages uafhægige af i og vi idfører forholdet ξ = σ x /σ y. Regressioskurve atages lieær µ y = κ + κ 1 µ x, og udtrykt vha. stikprøveværdiere er opgave at fide de bedst mulige værdier af k og k 1 i ligige y i = k + k 1 x i (7.14) således at (x i, y i ) (x i,y i ) for alle i. I dette tilfælde er fuktioe der skal miimeres: ) ( ) yi y q = ( i xi x + i = 1 ( ) (y σ y σ x σy i k k 1 x i ) xi x + i ξ (7.15) Her er der + ubekedte størrelser k, k 1,ogx i (alle i). q ka miimeres mht. x i ved e geometrisk betragtig: trasformér til et koordiatsystem, hvor x erstattes af x/ξ, og bestem de korteste afstad mellem puktet (x i /ξ, y i )oget pukt (x i /ξ, y i )på de rette liie y i = k + ξk 1 x i /ξ. Resultatet er q(k,k 1 )=Mi [ q(k,k 1, x i )σ y Idføres følgede parametre: ] = 1 1+(ξk 1 ) (y i k k 1 x i ) (7.16) D αβ = α i β i α i βi ; α T = 1 αi (7.17) hvor α og β betyder ete x eller y, såerq(k,k 1 ) miimal år k 1 = 1 [ ] F ± 1+F ξ ; F = D xx ξ D yy ξd xy (7.18) k = y T k 1 x T Forteget fora kvadratrode er bestemt ved, at k 1 har samme forteg som D xy (og r). Bemærk at liie går geem tygdepuktet, se (7.5). Variasere udreges på samme måde som i (7.6) (7.8): s (y) = 1 s (k 1 )= D xx + ξ D yy D xy (y i k k 1 x i ) 1+(ξk 1 ) = k 1s (y) = k 1 1+a ar ( )[1 + (ξk 1 ) ] D yy [ r 1 ( a + 1 )] r a (7.19) s (k )=x T s (k 1 )+ 1 [1 + (ξk 1) ]s (y); s (x) =ξ s (y) Korrelatioskoefficiete ( 3.1 i 8. udgave af Kreyszig) er defieret r = s xy s x s y = D xy Dxx D yy og a = k 1 D xx D yy (7.)

22 Regressio ( Midste kvadraters metode ) 1 Vi ka skele mellem tre hovedtilfælde: i) (ξk 1 ) 1 k 1 = D xy ; ii) (ξk D 1 ) 1 k 1 = D yy ; eller xx D xy iii) (ξk 1 ) 1 k1 = D yy = k D 1 (i)k 1 (ii) ( geometrisk middelværdi ). xx Hvis korrelatioskoefficiete r ±1 bliver resultatet for regressiosliie uafhægigt af ξ og er dermed uafhægigt af om spredige skyldes usikkerhed på målige af x eller y eller af begge størrelser. Med de forudsætig, at der er e lieær sammehæg mellem x og y, ka vi omvedt slutte, at det er ku hvis r ikke er tæt på 1, at det er afgørede at vurdere om usikkerhede på x er betydede (ξ k 1 1) eller ej. I figurere edefor aalyseres måledatasættet (x, y) = (, 6), (4, 1), (6, 3), (1, 3), (1, 9), (14, 8), (16, ), (18, 11), (3, 11), og (5, 8). Korrelatioskoefficiete for disse 1 talsæt er r =.618 og de ederste figur viser resultatet år spredige alee skyldes usikkerhed på y, hvorimod de øverste viser resultatet år det atages, at usikkerhedere på x og y er lige betydede [tilfælde iii) ξk 1 = 1]. Begge regressiosliier går geem tygdepuktet (x T,y T )=(13, 6.), me har forskellige hældiger. Liiestykkere på hversideafmålepuktere har lægdere: s(x) = 5.8, s(y) =.45 i øverste figur og s(y) = 3.11 i ederste. Når stadardafvigelsere som her er bestemt af måleresultatere, vil regressioskurve skære liiestykkere omkrig målepuktere i ca. /3 af tilfældee k 1 =.48 s(k 1 ) =.41 k =.7 s(k ) = k 1 =.98 s(k 1 ) =.134 k =.34 s(k ) =

23 Regressio ( Midste kvadraters metode ) IV) Geerel, ikke-lieær regressio. Vi starter med forudsætigere, at vi har e stikprøve med talpar (x 1,y 1 ),..., (x,y ), hvor der ikke er oge usikkerhed forbude med x. Regressioskurve Y = µ(x) atagesatværeere geerel fuktio af x, specificeret ved hjælp af p parametre β 1,...,β p, Y = g(x; β 1,...,β p )=g(x; β) (7.14) hvor β beteger de p dimesioale vektor (β 1,...,β p ). Fuktioe, der skal miimeres er: ( ) yi g(x q = i ; β) (7.15) hvor s i er stadardafvigelse på målige af Y for x = x i (bestemt eksperimeteltellervurderetpå ade måde). Hvis der er mere ed et par parametre vil dette udtryk kue udvikle mage lokale miima, og det vil være svært at fide det rigtige, som ikke ødvedigvis er det absolutte miimumspukt. Metode aveder e iteratio, dvs. vi starter ud med at gætte e løsig β og derefter at udersøge opførsle af q i ærhede af dette pukt. For at gøre dette udyttes e rækkeudviklig af g(x i ; β) til første orde i β β, og følgede p matrix opstilles: {A} ij = g(x i ; β) (7.16) β j β=β og A T beteger de traspoerede matrix. For at opskrive resultatet skal vi idføre {L } ij = δ ij ; y = ( y 1 g(x 1 ; β ),y g(x ; β ),...,y g(x ; β ) ) (7.17) s i L er e (diagoal) matrix og y e dimesioal vektor. E bedre bestemmelse af miimumspuktet (i ærhede af β ) ka herefter fides ved at udrege: β = ( A T L A ) 1 AT L y (7.18) Er β = β et miimumspukt vil β være ulvektore. Hvis ikke, erstattes β med β + β og regige getages. Dette skema getages derefter idtil ma er ået frem til e tilfredsstillede iterativ løsig. I miimumspuktet er variase af de forskellige parametre bestemt ved: s i s (β i )={ ( A T L A ) 1 } ii (7.19) Hvis s i er kostat, s i = s(y), forekles regigere, idet L ka erstattes med ehedsmatrice, år blot det sidste resultat (7.19) multipliceres med s (y). Er s i ikke kedt på ade måde skal der gode argumeter til for ikke at atage e kostat stadardafvigelse. Accepteres dee atagelse ka s(y) bestemmes af stikprøve påheltaalogmåde som i det lieære tilfælde: s y (y) = (7.) p Bemærk, at vi må forlageat er større ed (eller til ød lig med) p, for at atallet af ubekedte ikke skal blive større ed det atal bidiger der er.

Den flerdimensionale normalfordeling

Den flerdimensionale normalfordeling De flerdimesioale ormalfordelig Stokastiske vektorer Ved e stokastisk vektor skal vi forstå e vektor, hvor de ekelte kompoeter er sædvalige stokastiske variable. For de stokastiske vektor Y = Y,..., Y

Læs mere

Definition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0.

Definition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0. Repetitio: Normalfordelige Ladmåliges fejlteori Lektio Trasformatio af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/udervisig/lf13 Istitut for Matematiske Fag Aalborg Uiversitet

Læs mere

hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i

hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i Normalfordeliger For at e stokastisk variabel X ka være ormalfordelt, skal X agive værdie af e eller ade målig, f.eks. tid, lægde, vægt, beløb osv. Notatioe er: Xi ~ N( μ, σ hvor i er observatiosummeret,

Læs mere

Elementær Matematik. Polynomier

Elementær Matematik. Polynomier Elemetær Matematik Polyomier Ole Witt-Hase 2008 Køge Gymasium Idhold 1. Geerelle polyomier...1 2. Divisio med hele tal....1 3. Polyomiers divisio...2 4. Polyomiers rødder....4 5. Bestemmelse af røddere

Læs mere

vejer (med fortegn). Det vil vi illustrere visuelt og geometrisk for (2 2)-matricer og (3 3)-matricer i enote 6.

vejer (med fortegn). Det vil vi illustrere visuelt og geometrisk for (2 2)-matricer og (3 3)-matricer i enote 6. enote 5 enote 5 Determiater I dee enote ser vi på kvadratiske matricer. Deres type er altså for 2, se enote 4. Det er e fordel, me ikke absolut ødvedigt, at kede determiatbegrebet for (2 2)-matricer på

Læs mere

Statistik 8. gang 1 KONFIDENSINTERVALLER. Konfidensintervaller: kapitel 11. Valg og test af fordelingsfunktion

Statistik 8. gang 1 KONFIDENSINTERVALLER. Konfidensintervaller: kapitel 11. Valg og test af fordelingsfunktion Statistik 8. gag 1 KONIDENSINTERVALLER Kofidesitervaller: kapitel 11 Valg og test af fordeligsfuktio Statistik 8. gag 11. KONIDENS INTERVALLER Et kofides iterval udtrykker itervallet hvori de rigtige værdi

Læs mere

Spørgsmål 3 (5 %) Bestem sandsynligheden for at et tilfældigt valgt vindue har en fejl ved listerne, når man ved at der er fejl i glasset.

Spørgsmål 3 (5 %) Bestem sandsynligheden for at et tilfældigt valgt vindue har en fejl ved listerne, når man ved at der er fejl i glasset. STATISTIK Skriftlig evaluerig, 3. semester, madag de 30. auar 006 kl. 9.00-3.00. Alle hælpemidler er tilladt. Opgaveløsige forsyes med av og CPR-r. OPGAVE Ved e produktio af viduer er der mulighed for,

Læs mere

Sætning: Middelværdi og varians for linearkombinationer. Lad X 1,X 2,...,X n være stokastiske variable. Da gælder. Var ( a 0 + a 1 X a n X n

Sætning: Middelværdi og varians for linearkombinationer. Lad X 1,X 2,...,X n være stokastiske variable. Da gælder. Var ( a 0 + a 1 X a n X n Ladmåliges fejlteori Lektio 3 Estimatio af σ Dobbeltmåliger Geometrisk ivellemet Lieariserig - rw@math.aau.dk Istitut for Matematiske Fag Aalborg Uiversitet Repetitio: Middelværdi og Varias Sætig: Middelværdi

Læs mere

antal gange krone sker i første n kast = n

antal gange krone sker i første n kast = n 1 Uge 15 Teoretisk Statistik, 5. april 004 1. Store tals lov Eksempel: møtkast Koverges i sadsylighed Tchebychevs ulighed Sætig: Store tals lov. De cetrale græseværdisætig 3. Approksimatio af sadsyligheder

Læs mere

Dagens program. Estimation: Kapitel Eksempler på middelrette og/eller konsistente estimator (de sidste fra sidste forelæsning)

Dagens program. Estimation: Kapitel Eksempler på middelrette og/eller konsistente estimator (de sidste fra sidste forelæsning) Dages program Estimatio: Kapitel 9.4-9.7 Eksempler på middelrette og/eller kosistete estimator (de sidste fra sidste forelæsig) Ko desiterval for store datasæt kap. 9.4 Ko desiterval for små datasæt kap.

Læs mere

Statistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab

Statistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab Statistik ved Bachelor-uddaelse i folkesudhedsvideskab Græseværdisætiger Det hadler om geemsit Statistikere elsker geemsit Det er oplagt e god ide at tage geemsit. Hvis jeg f.eks skal gætte på vægte af

Læs mere

Stikprøvefordelinger og konfidensintervaller

Stikprøvefordelinger og konfidensintervaller Stikprøvefordeliger og kofidesitervaller Stikprøvefordelige for middelværdi De Cetrale Græseværdi Sætig Egeskaber Ved Estimatore Kofidesitervaller t-fordelige Estimator og estimat E stikprøve statistik

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet.

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet. Matematik A Studetereksame Forsøg med digitale eksamesopgaver med adgag til iterettet Forberedelsesmateriale Vejledede opgave Forår 0 til stx-a-net MATEMATIK Der skal afsættes 6 timer af holdets sædvalige

Læs mere

Test i to populationer. Hypotesetest for parrede observationer Test for ens varians Gensyn med flyskræk!

Test i to populationer. Hypotesetest for parrede observationer Test for ens varians Gensyn med flyskræk! Test i to populatioer Hypotesetest for parrede observatioer Test for es varias Gesy med flyskræk! Afhægige og uafhægige stikprøver Ved e uafhægig stikprøve udtages e stikprøve fra hver gruppe.. Mæd og

Læs mere

Økonometri 1. Inferens i den lineære regressionsmodel 29. september Økonometri 1: F7 1

Økonometri 1. Inferens i den lineære regressionsmodel 29. september Økonometri 1: F7 1 Økoometri 1 Iferes i de lieære regressiosmodel 9. september 006 Økoometri 1: F7 1 Dages program Opsamlig af hemmeopgave om Mote Carlo eksperimeter Mere om hypotesetest: Ekelt lieær restriktio på koefficieter

Læs mere

Undersøgelse af numeriske modeller

Undersøgelse af numeriske modeller Udersøgelse af umeriske modeller Formål E del af målsætige med dette delprojekt er at give kedskab til de begræsiger, fejl og usikkerheder, som optræder ved modellerig. I de forbidelse er følgede udersøgelse

Læs mere

Motivation. En tegning

Motivation. En tegning Motivatio Scatter-plot at det mådelige salg mod det måedlige reklamebudget. R: plot(salg ~ budget, data = salg) Økoometri Lektio Simpel Lieær Regressio salg 400 450 500 550 20 25 30 35 40 45 50 budget

Læs mere

Diskrete og kontinuerte stokastiske variable

Diskrete og kontinuerte stokastiske variable Diskrete og kotiuerte stokastiske variable Beroulli Biomial fordelig Negativ biomial fordelig Hypergeometrisk fordelig Poisso fordelig Kotiuerte stokastiske variable Uiform fordelig Ekspoetial fordelig

Læs mere

24. januar Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 1 Uge 1, tirsdag. Niels Trolle Andersen, Afdelingen for Biostatistik.

24. januar Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 1 Uge 1, tirsdag. Niels Trolle Andersen, Afdelingen for Biostatistik. Epidemiologi og biostatistik. Forelæsig Uge, tirsdag. Niels Trolle Aderse, Afdelige for Biostatistik. Geerelt om kurset: - Formål - Forelæsiger - Øvelser - Forelæsigsoter - Bøger - EpiBasic: http://www.biostat.au.dk/teachig/software

Læs mere

Estimation ved momentmetoden. Estimation af middelværdiparameter

Estimation ved momentmetoden. Estimation af middelværdiparameter Statistik og Sadsylighedsregig 1 STAT kapitel 4.2 4.3 Susae Ditlevse Istitut for Matematiske Fag Email: susae@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susae Estimatio ved mometmetode Idimellem ka det være svært (eller

Læs mere

Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner

Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner Projekter: Kapitel 4 Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Kotiuitet og kotiuerte fuktioer Ord som kotiuert og kotiuerlig

Læs mere

Velkommen. Program. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Sandsynlighedstætheder og kontinuerte fordelinger på R. Praktiske ting og sager

Velkommen. Program. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Sandsynlighedstætheder og kontinuerte fordelinger på R. Praktiske ting og sager Program Statistik og Sadsylighedsregig 2 Sadsylighedstætheder og kotiuerte fordeliger på R Helle Sørese Uge 6, madag Velkomme I dag: Praktiske bemærkiger Hvad skal vi lave på SaSt2? Sadsylighedstætheder

Læs mere

9. Binomialfordelingen

9. Binomialfordelingen 9. Biomialfordelige 9.. Gekedelse Hvert forsøg ka ku resultere i to mulige udfald; succes og fiasko. I modsætig til poissofordelige er atallet af forsøg edeligt. 9.. Model X : Stokastisk variabel, der

Læs mere

Økonometri 1. Definition og motivation. Definition og motivation. Dagens program. Den multiple regressionsmodel 15. februar 2006

Økonometri 1. Definition og motivation. Definition og motivation. Dagens program. Den multiple regressionsmodel 15. februar 2006 Dages program Økoometri De multiple regressiosmodel 5. februar 006 Emet for dee forelæsig er de multiple regressiosmodel (Wooldridge kap 3.-3.3+appedix E.-E.) Defiitio og motivatio Fortolkig af parametree

Læs mere

Statistiske test. Efteråret 2010 Jens Friis, AAU. Hjemmeside :

Statistiske test. Efteråret 2010 Jens Friis, AAU. Hjemmeside : Statistiske test Efteråret 00 Jes Friis, AAU Hjemmeside : http://akaaudk/jfj Kotiuerte fordeliger Defiitio: Tæthedsfuktio E sadsylighedstæthedsfuktio på R er e itegrabel fuktio f : R [0; [ hvor f d = Defiitio:

Læs mere

Program. Middelværdi af Y = t(x ) Transformationssætningen

Program. Middelværdi af Y = t(x ) Transformationssætningen Program Statistik og Sadsylighedsregig 2 Trasformatio af kotiuerte fordeliger på R, flerdimesioale kotiuerte fordeliger, mere om ormalfordelige Helle Sørese Uge 7, osdag I formiddag: Opfølgig på trasformatiossætige

Læs mere

Sandsynlighedsteori 1.2 og 2 Uge 5.

Sandsynlighedsteori 1.2 og 2 Uge 5. Istitut for Matematiske Fag Aarhus Uiversitet De 27. jauar 25. Sadsylighedsteori.2 og 2 Uge 5. Forelæsiger: Geemgage af emere karakteristiske fuktioer og Mometproblemet afsluttes, og vi starter på afsittet

Læs mere

Kvantitative metoder 2

Kvantitative metoder 2 Dages program Kvatitative metoder De multiple regressiosmodel 6. februar 007 Emet for dee forelæsig er de multiple regressiosmodel (Wooldridge kap 3.- 3.+appedix E.) Defiitio og motivatio Fortolkig af

Læs mere

Løsninger til kapitel 7

Løsninger til kapitel 7 Løsiger til kapitel 7 Opgave 7.1 a) HpoStat giver resultatet: Pop. varias er ukedt, me 30, så Normalf. bruges approksimativt = 54,400 s 1.069,90 = 00,000 0,95 49,868 58,93 Dette betder, at med 95% sikkerhed

Læs mere

Generelle lineære modeller

Generelle lineære modeller Geerelle lieære modeller Regressiosmodeller med é uafhægig itervalskala variabel: Y e eller flere uafhægige variable: X,..,X k De betigede fordelig af Y givet X,..,X k atages at være ormal med e middelværdi,

Læs mere

Simpel Lineær Regression. Opsplitning af variationen Determinations koefficient Variansanalyse F-test Model-kontrol

Simpel Lineær Regression. Opsplitning af variationen Determinations koefficient Variansanalyse F-test Model-kontrol Simpel Lieær Regressio Opsplitig af variatioe Determiatios koefficiet Variasaalse F-test Model-kotrol Opbgig af statistisk model Specificer model Ligiger og atagelser Estimer parametre Modelkotrol Er modelle

Læs mere

Statistik Lektion 7. Hypotesetest og kritiske værdier Type I og Type II fejl Styrken af en test Sammenligning af to populationer

Statistik Lektion 7. Hypotesetest og kritiske værdier Type I og Type II fejl Styrken af en test Sammenligning af to populationer Statistik Lektio 7 Hpotesetest og kritiske værdier Tpe I og Tpe II fejl Strke af e test Sammeligig af to populatioer 1 Tri I e Hpotesetest E hpotesetest består af 5 elemeter: I. Atagelser Primært hvilke

Læs mere

Analyse 1, Prøve maj 2009

Analyse 1, Prøve maj 2009 Aalyse, Prøve 5. maj 009 Alle hevisiger til TL er hevisiger til Kalkulus (006, Tom Lidstrøm). Direkte opgavehevisiger til Kalkulus er agivet med TLO, ellers er alle hevisiger til steder i de overordede

Læs mere

Statistik Lektion 8. Parrede test Test for forskel i andele Test for ens varians Gensyn med flyskræk!

Statistik Lektion 8. Parrede test Test for forskel i andele Test for ens varians Gensyn med flyskræk! Statistik Lektio 8 Parrede test Test for forskel i adele Test for es varias Gesy med flyskræk! Afhægige og uafhægige stikprøver Ved e uafhægig stikprøve udtages e stikprøve fra hver gruppe.. Mæd og kviders

Læs mere

Sandsynlighedsregning 9. forelæsning Bo Friis Nielsen

Sandsynlighedsregning 9. forelæsning Bo Friis Nielsen Dages eer afsit 5.3 og 5.4 Siultae kotiuerte fordeliger P(X dx,y dy = f(x,ydxdy Sadsylighedsregig 9. forelæsig Bo Friis Nielse Mateatik og Coputer Sciece Daarks Tekiske Uiversitet 8 Kgs. Lygby Daark Eail:

Læs mere

Indholdsfortegnelse Generelt Diskrete stokastiske variable: Kontinuerte stokastiske variable: Regneregler for stokastiske variable

Indholdsfortegnelse Generelt Diskrete stokastiske variable: Kontinuerte stokastiske variable: Regneregler for stokastiske variable Idholdsfortegelse Geerelt:...3 Stokastisk variabel:...3 Tæthedsfuktio/sadsylighedsfuktio for stokastisk variabel:...3 Fordeligsfuktio/sumfuktio for stokastisk variabel:...3 Middelværdi:...4 Geemsit:...4

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 7. Ligninger, polynomier og asymptoter

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 7. Ligninger, polynomier og asymptoter Matematikkes mysterier - på et obligatorisk iveau af Keeth Hase 7. Ligiger, polyomier og asymptoter Hvad er e asymotote? Og hvorda fides de? 7. Ligiger, polyomier og asymptoter Idhold 7.0 Idledig 7.1 Udsag

Læs mere

29. januar Epidemiologi og biostatistik Forelæsning 2 Uge 1, torsdag 2. februar 2006 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik.

29. januar Epidemiologi og biostatistik Forelæsning 2 Uge 1, torsdag 2. februar 2006 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik. Epidemiologi og biostatistik Forelæsig Uge 1, torsdag. februar 006 ichael Væth, Afdelig for Biostatistik. Sammeligig af to middelværdier sikkerhedsitervaller statistisk test Sammeligig af to proportioer

Læs mere

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar 2008 1. Kombinatorik

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar 2008 1. Kombinatorik Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 Kombiatori Disse oter er e itrodutio til ombiatori og starter helt fra bude, så e del af det idledede er siert edt for dig allerede, me der ommer også hurtigt

Læs mere

Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier

Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier Noter om polyomier, Kirste Rosekilde, Marts 2006 1 Polyomier Disse oter giver e kort itroduktio til polyomier, og de fleste sætiger æves ude bevis. Udervejs er der forholdsvis emme opgaver, mes der til

Læs mere

Supplerende noter II til MM04

Supplerende noter II til MM04 Supplerede oter II til MM4 N.J. Nielse 1 Uiform koverges af følger af fuktioer Vi starter med følgede defiitio: Defiitio 1.1 Lad S være e vilkårlig mægde og (X, d et metrisk rum. E følge (f af fuktioer

Læs mere

Asymptotisk optimalitet af MLE

Asymptotisk optimalitet af MLE Kapitel 4 Asymptotisk optimalitet af MLE Lad Y 1, Y 2,... være uafhægige, idetisk fordelte variable med værdier i et rum (Y,K). Vi har givet e model (ν θ ) θ Θ for fordelige af Y 1 (og dermed også for

Læs mere

Baggrundsnote til sandsynlighedsregning

Baggrundsnote til sandsynlighedsregning Baggrudsote til sadsylighedsregig Kombiatorik. Multiplikatiospricippet E mægde beståede af forskellige elemeter kaldes her e -mægde. Elemetere i e m-mægde og elemetere i e -mægde ka parres på i alt m forskellige

Læs mere

Projekt 1.3 Brydningsloven

Projekt 1.3 Brydningsloven Projekt 1.3 Brydigslove Når e bølge, fx e lysbølge, rammer e græseflade mellem to stoffer, vil bølge ormalt blive spaltet i to: Noget af bølge kastes tilbage (spejlig), hvor udfaldsvikle u er de samme

Læs mere

cos(t), v(t) = , w(t) = e t, z(t) = e t.

cos(t), v(t) = , w(t) = e t, z(t) = e t. Aalyse Øvelser Rasmus Sylvester Bryder. og. oktober 3 Bevis for Cotiuity lemma Theorem. Geemgås af Michael Staal-Olse. Bevis for Lemma.8 Dee har vi faktisk allerede vist; se Opgave 9.5 fra Uge. Det er

Læs mere

Kvadratisk 0-1 programmering. David Pisinger

Kvadratisk 0-1 programmering. David Pisinger Kvadratisk - programmerig David Pisiger 27-8 MAX-CUT problemet Givet e ikke-orieteret graf G = (V, E) er MAX-CUT problemet defieret som MAX-CUT = {< G > : fid et sit S, T i grafe G som maksimerer atal

Læs mere

13. februar Resumé: En statistisk analyse resulterer ofte i : Et estimat ˆ θ med en tilhørende se( ˆ θ )

13. februar Resumé: En statistisk analyse resulterer ofte i : Et estimat ˆ θ med en tilhørende se( ˆ θ ) 3. februar 003 Epidemiologi og biostatistik. Uge, torag d. 3. februar 003 Morte Frydeberg, Istitut for Biostatistik. Type og type fejl Nogle specielle metoder: Test i RxC tabeller Test i x tabeller Fishers

Læs mere

og Fermats lille sætning

og Fermats lille sætning Projekter: Kaitel 0. Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruer og Fermats lille sætig Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruere ( { 0 }, ) og Fermats lille sætig Vi aveder moduloregig og restklasser mage

Læs mere

Vejledende opgavebesvarelser

Vejledende opgavebesvarelser Vejledede opgavebesvarelser 1. Atal hæder er lig med K(52,5), altså 2598960. Ved brug af multiplikatiospricippet ka atal hæder med 3 ruder og 2 spar udreges som K(13, 3) K(13, 2), hvilket giver 22308.

Læs mere

30. august Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 3 Uge 2, torsdag d. 8. september 2005 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik.

30. august Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 3 Uge 2, torsdag d. 8. september 2005 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik. 30. august 005 Epidemiologi og biostatistik. Forelæsig 3 Uge, torag d. 8. september 005 Michael Væth, Afdelig for Biostatistik. Mere om kategoriske data Test for uafhægighed I RxC tabeller Test for uafhægighed

Læs mere

Konfidens intervaller

Konfidens intervaller Kofides itervaller Kofides itervaller for: Kofides iterval for middelværdi, varias kedt Kofides iterval for middelværdi, varias ukedt Kofides iterval for adel Kofides iterval for varias Bestemmelse af

Læs mere

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Bin Packing Problemet

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Bin Packing Problemet DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Bi Packig Problemet David Pisiger, Projektopgave 2 Dette er de ade obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse.

Læs mere

Gamle eksamensopgaver. Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504)

Gamle eksamensopgaver. Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504) Gamle eksamesopgaver Diskret Matematik med Avedelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504) Istitut for Matematik& Datalogi Syddask Uiversitet, Odese Alle sædvalige hjælpemidler(lærebøger, otater etc.), samt

Læs mere

Program. Ensidet variansanalyse Normalfordelingen. Antibiotika og nedbrydning af organisk materiale. Tegninger

Program. Ensidet variansanalyse Normalfordelingen. Antibiotika og nedbrydning af organisk materiale. Tegninger Faculty of Life Scieces Program Esidet variasaalyse Normalfordelige Claus Ekstrøm E-mail: ekstrom@life.ku.dk Esidet variasaalyse (oe-way ANOVA) Hvilke type data? Hvad er problemstillige? Variatio mellem

Læs mere

StudyGuide til Matematik B.

StudyGuide til Matematik B. StudyGuide til Matematik B. OVERSIGT. Dee study guide ideholder følgede afsit Geerel itroduktio. Emeliste. Eksame. Bilag 1: Udervisigsmiisteriets bekedtgørelse for matematik B. Bilag 2: Bilag 3: Uddrag

Læs mere

Georg Mohr Konkurrencen Noter om uligheder. Søren Galatius Smith

Georg Mohr Konkurrencen Noter om uligheder. Søren Galatius Smith Georg Mohr Kokurrece Noter om uligheder Søre Galatius Smith. juli 2000 Resumé Kapitel geemgår visse metoder fra gymasiepesum, som ka bruges til at løse ulighedsopgaver, og ideholder ikke egetligt yt stof.

Læs mere

STATISTIKNOTER Simple normalfordelingsmodeller

STATISTIKNOTER Simple normalfordelingsmodeller STATISTIKNOTER Simple ormalfordeligsmodeller Jørge Larse IMFUFA Roskilde Uiversitetsceter Februar 1999 IMFUFA, Roskilde Uiversitetsceter, Postboks 260, DK-4000 Roskilde. Jørge Larse: STATISTIKNOTER: Simple

Læs mere

Deskriptiv teori: momenter

Deskriptiv teori: momenter Kapitel 13 Deskriptiv teori: mometer Vi vil i dette og det følgede kapitel idføre e række begreber der bruges til at beskrive sadsylighedsmål på (R, B). Samtlige begreber udspriger i e eller ade forstad

Læs mere

Opsamling. Lidt om det hele..!

Opsamling. Lidt om det hele..! Opsamlig Lidt om det hele..! Kursus oversigt Hvad har vi været igeem: Deskriptiv statistik Sadsyligheder Stokastiske variable diskrete og kotiuerte Fordeliger Estimatio Test Iferes Sammeligig af middelværdier

Læs mere

Bjørn Grøn. Analysens grundlag

Bjørn Grøn. Analysens grundlag Bjør Grø Aalyses grudlag Aalyses grudlag Side af 4 Idholdsfortegelse Kotiuerte og differetiable fuktioer 3 Differetial- og itegralregiges udviklig 5 3 Hovedsætiger om differetiable fuktioer 8 Opgaver til

Læs mere

Vejledende besvarelser til opgaver i kapitel 15

Vejledende besvarelser til opgaver i kapitel 15 Vejledede besvarelser til opgaver i apitel 5 Opgave a) De teststatistier, ma aveder til at teste om to middelværdier er es, består af et estimat på forselle mellem middelværdiere,, divideret med et udtry

Læs mere

Sandsynlighedsteori 1.2

Sandsynlighedsteori 1.2 Forelæsigsoter til Sadsylighedsteori.2 Sved Erik Graverse Jauar 2006 Istitut for Matematiske Fag Det Naturvideskabelige Fakultet Aarhus Uiversitet. Mometproblemet. I dette afsit beteger X e stokastisk

Læs mere

Længde [cm] Der er frit vandspejle i sandkassen. Herudover er sandkassen åben i højden cm i venstresiden og 0-20 cm i højresiden.

Længde [cm] Der er frit vandspejle i sandkassen. Herudover er sandkassen åben i højden cm i venstresiden og 0-20 cm i højresiden. Vadtrasportmodel Formål For beregig af vadtrasporte i sadkasse er der lavet e boksmodel. Formålet med boksmodelle er at beskrive vadtrasporte i sadkasse. Herover er formålet at bestemme de hydrauliske

Læs mere

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar Kombinatorik

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar Kombinatorik Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 Kombiatori Disse oter er e itrodutio til ombiatori og starter helt fra bude, så e del af det idledede er siert edt for dig allerede, me der ommer også hurtigt

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Komplekse tal

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Komplekse tal MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Komplekse tal a b. udgave 004 FORORD Dette otat giver e kort idførig i teorie for komplekse tal, regeregler, røddere i polyomier bl.a. med heblik på avedelser ved løsig af lieære

Læs mere

Mikroøkonomi, matematik og statistik Eksamenshjemmeopgave 14. 20. december 2007

Mikroøkonomi, matematik og statistik Eksamenshjemmeopgave 14. 20. december 2007 Mikroøkoomi, matematik og statistik Eksameshjemmeopgave 14. 20. december 2007 Helle Buzel, Tom Egsted og Michael H.J. Stæhr 14. december 2007 R E T N I N G S L I N I E R F O R E K S A M E N S H J E M M

Læs mere

Skitse til notat om hvor de forskellige sandsynlighedsfordelinger kan tænkes at komme fra

Skitse til notat om hvor de forskellige sandsynlighedsfordelinger kan tænkes at komme fra E6 efterår 1999 Notat 8 Jørge Larse 12. oktober 1999 Skitse til otat om hvor de forskellige sadsylighedsfordeliger ka tækes at komme fra I statistik opererer ma i vid udstrækig med et lille atal»stadardfordeliger«.

Læs mere

Matematisk Modellering 1 Hjælpeark

Matematisk Modellering 1 Hjælpeark Matematisk Modellerig Hjælpeark Kaare B. Mikkelse 2005090 3. september 2007 Idhold Formler 2 2 Aalyse af k ormalfordelte prøver 2 2. Modelcheck............................................ 2 2.2 Test af

Læs mere

Teoretisk Statistik, 9. februar Beskrivende statistik

Teoretisk Statistik, 9. februar Beskrivende statistik Uge 7 I Teoretisk Statistik, 9 februar 004 Beskrivede statistik Kategoriserede variable 3 Kvatitative variable 4 Fraktiler for ugrupperede observatioer 5 Fraktiler for grupperede observatioer 6 Beliggeheds-

Læs mere

Lys og gitterligningen

Lys og gitterligningen Fysik rapport: Lys og gitterligige Forfatter: Bastia Emil Jørgese.z Øvelse blev udført osdag de 25. jauar 202 samme med Lise Kjærgaard Paulse 2 - Bastia Emil Jørgese Fysik rapport (4 elevtimer), februar

Læs mere

Tankegangskompetence. Kapitel 9 Algebraiske strukturer i skolen 353

Tankegangskompetence. Kapitel 9 Algebraiske strukturer i skolen 353 Takegagskompetece Hesigte med de følgede afsit er først og fremmest at skabe klarhed over de mere avacerede regeregler i skole og give resultatet i de almee form, der er karakteristisk for algebra. Vi

Læs mere

Asymptotisk estimationsteori

Asymptotisk estimationsteori Kapitel 5 Asymptotisk estimatiosteori De fleste eksperimeter har e idbygget størrelse, som regel kaldet eller N. Dette repræseterer typisk atallet af foretage måliger, atallet af udersøgte idivider, atallet

Læs mere

Estimation og test i normalfordelingen

Estimation og test i normalfordelingen af Birger Stjerholm Made Samfudlitteratur 07 Etimatio og tet i ormalfordelige Dee tekt ideholder et overblik over ogle grudlæggede pricipper for etimatio og tet i ormalfordelige i hyppigt forekommede ituatioer:

Læs mere

Tests for forskel i central tendens for data på ordinal- og intervalskala. Typer af statistiske test:

Tests for forskel i central tendens for data på ordinal- og intervalskala. Typer af statistiske test: Statistik for biologer 005-6, modul 7: Tests for forskel i cetral tedes for data på ordial- og itervalskala M7, slide M7, slide Typer af statistiske test: Parametrisk statistik: - Tester for forskel i

Læs mere

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Følsomhed af Knapsack Problemet

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Følsomhed af Knapsack Problemet DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Følsomhed af Kapsack Problemet David Pisiger, Projektopgave 1 Dette er de første obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig

Læs mere

x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium

x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium SANDSYNLIGHEDSREGNING OG KOMBINATORIK x-klassere Gammel Hellerup Gymasium Idholdsfortegelse SANDSYNLIGHEDSREGNING... 3 SANDSYNLIGHEDSFELT... 3 DE STORE TALS LOV... 4 Sadsyligheder og frekveser:... 4 STOKASTISK

Læs mere

Talfølger og -rækker

Talfølger og -rækker Da Beltoft og Klaus Thomse Aarhus Uiversitet 2009 Talfølger og -rækker Itroduktio til Matematisk Aalyse Zeos paradoks om Achilleus og skildpadde Achilleus løber om kap med e skildpadde. Achilleus løber

Læs mere

Sprednings problemer. David Pisinger

Sprednings problemer. David Pisinger Spredigs problemer David Pisiger 2001 Idledig Jukfood A/S er e amerikask kæde af familierestaurater der etop er ved at etablere sig i Damark. E massiv reklamekampage med de to slogas vores fritter er de

Læs mere

Eksempel 10.1 En autoregressiv proces af orden 1 (ofte blot kaldet en AR(1)- proces) pårhar et opdateringsskema (10.1) med funktionen. for y R.

Eksempel 10.1 En autoregressiv proces af orden 1 (ofte blot kaldet en AR(1)- proces) pårhar et opdateringsskema (10.1) med funktionen. for y R. Kapitel 0 Markovkæder Vi vil i det følgede studere processer Y 0, Y, Y 2,... med værdier irgivet på forme Y = f (Y +ǫ for =, 2,... (0. Her erǫ,ǫ 2,... e følge af iid støjvariable med middelværdi 0, alle

Læs mere

STATISTISK MODELLERING OG ANALYSE 19. DECEMBER 2008 ET MAT3-PROJEKT I BAYESIANSK INFERENS VEJLEDER: JAKOB G. RASMUSSEN GRUPPE: G4-115

STATISTISK MODELLERING OG ANALYSE 19. DECEMBER 2008 ET MAT3-PROJEKT I BAYESIANSK INFERENS VEJLEDER: JAKOB G. RASMUSSEN GRUPPE: G4-115 STATISTISK MODELLERING OG ANALYSE ET MAT3-PROJEKT I BAYESIANSK INFERENS 19. DECEMBER 2008 θ x VEJLEDER: JAKOB G. RASMUSSEN GRUPPE: G4-115 INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG Istitut for Matematiske Fag Fredrik

Læs mere

Introduktion til uligheder

Introduktion til uligheder Itroduktio til uligheder, marts 0, Kirste Rosekilde Itroduktio til uligheder Dette er e itroduktio til ogle basale uligheder om det aritmetiske geemsit, det geometriske geemsit, det harmoiske geemsit og

Læs mere

r n E[ X n ]/n! for alle r > 0 ifølge monoton konvergens, giver potensrækketeori, at ( ) er ækvivalent med, at ρ n E[ X n ]/n!

r n E[ X n ]/n! for alle r > 0 ifølge monoton konvergens, giver potensrækketeori, at ( ) er ækvivalent med, at ρ n E[ X n ]/n! Mometproblemet. Lad i dette afsit X betege e stokastisk variabel med mometer af ehver orde. Mometfølge (E[X ]) er derfor e vel defieret reel talfølge bestemt ved fordelige, og spørgsmålet om, de omvedt

Læs mere

KOMPLEKSE TAL x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium

KOMPLEKSE TAL x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium KOMPLEKSE TAL x-klassere Gammel Hellerup Gymasium Idholdsfortegelse E kort historie om imagiært og virkeligt... Tallegemet De Komplekse Tal... Idførelse af realdel og imagiærdel samt i... 8 Subtraktio,

Læs mere

Sammenligning af to grupper

Sammenligning af to grupper Sammeligig af to gruer Reetitio, heruder om kritiske værdier Sammeligig af to gruer Sammeligig af to middelværdier Sammeligig af to adele Sammeligig af to variaser yoteser og hyotesetest. E hyotese er

Læs mere

Bølgefunktioner Alle partikler, som har en hvilemasse, er kendetegnet ved en kompleks bølgefunktion

Bølgefunktioner Alle partikler, som har en hvilemasse, er kendetegnet ved en kompleks bølgefunktion Modere Fysik 4 Side af 7 Schrödigerligige Forrige to gage: Idførelse af kvatiserigsbegrebet (for lyseergi og for elektroers eergi) samt partikel-bølge-dualitete, hvilket førte til e helt y teori, kvatemekaikke

Læs mere

Modul 14: Goodness-of-fit test og krydstabelanalyse

Modul 14: Goodness-of-fit test og krydstabelanalyse Forskigsehede for Statistik ST01: Elemetær Statistik Bet Jørgese Modul 14: Goodess-of-fit test og krydstabelaalyse 14.1 Idledig....................................... 1 14.2 χ 2 -test i e r c krydstabel.............................

Læs mere

Renteformlen. Erik Vestergaard

Renteformlen. Erik Vestergaard Reteformle Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2010. Billeder: Forside: istock.com/ilbusca Side 4: istock.com/adresrimagig Desude ege illustratioer. Erik Vestergaard

Læs mere

Introduktion til Statistik

Introduktion til Statistik Itroduktio til Statistik 4. udgave Susae Ditlevse og Helle Sørese Susae Ditlevse, susae@math.ku.dk Helle Sørese, helle@math.ku.dk Istitut for Matematiske Fag Købehavs Uiversitet Uiversitetsparke 5 2100

Læs mere

- et værktøj til fejlrettende QR-koder. Projekt 0.3 Galois-legemerne. Indhold. Hvad er matematik? A, i-bog

- et værktøj til fejlrettende QR-koder. Projekt 0.3 Galois-legemerne. Indhold. Hvad er matematik? A, i-bog Projekt 0.3 Galois-legemere GF é ëp û - et værktøj til fejlrettede QR-koder Idhold De karakteristiske egeskaber ved de tre mest almidelige talsystemer, og... De kommutative, associative og distributive

Læs mere

Sandsynlighedsregning i biologi

Sandsynlighedsregning i biologi Om begrebet sadsylighed Sadsylighedsregig i biologi Hvis vi kaster e almidelig, symmetrisk terig, er det klart for de fleste af os, hvad vi meer, år vi siger, at sadsylighede for at få e femmer er 1/6.

Læs mere

Den grådige metode 2

Den grådige metode 2 Algoritmedesig 1 De grådige metode De grådige metode Et problem løses ved at foretage e række beslutiger Beslutigere træffes e ad gage i e eller ade rækkefølge Hver beslutig er baseret på et grådighedskriterium

Læs mere

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 1-3. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 1-3. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Claus Muk kap. - 3 Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Effektive reter 2 Obligatioer Grudlæggede Itro Obligatioer Grudlæggede Itro

Læs mere

Claus Munk. kap. 1-3

Claus Munk. kap. 1-3 Claus Muk kap. 1-3 1 Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Pris og kurs Effektive reter 2 1 Obligatioer Grudlæggede Itro Debitor

Læs mere

Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-bogen, Matematik for lærerstuderende

Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-bogen, Matematik for lærerstuderende Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-boge, Matematik for lærerstuderede Dette er førsteudgave af opgavebesvarelser udarbejdet i sommere 008. Dokumetet ideholder forslag til besvarelser af de fleste

Læs mere

Formelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6

Formelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6 Dee udgave er til geemkig på ettet. Boge ka købes for kr. 5 hos EH-Mat. E y og udvidet udgave med title»symbol- og formelskrivig«er udkommet september 00. Se mere om de her. Idholdsfortegelse Formelskrivig

Læs mere

IMFUFA TEKST NR TEKSTER fra ROSKILDE UNIVERSITETSCENTER. Jørgen Larsen

IMFUFA TEKST NR TEKSTER fra ROSKILDE UNIVERSITETSCENTER. Jørgen Larsen TEKST NR 435 2004 Basisstatistik 2. udgave Jørge Larse August 2006 TEKSTER fra IMFUFA INSTITUT ROSKILDE UNIVERSITETSCENTER FOR STUDIET AF MATEMATIK OG FYSIK SAMT DERES FUNKTIONER I UNDERVISNING, FORSKNING

Læs mere

STATISTISKE GRUNDBEGREBER

STATISTISKE GRUNDBEGREBER MOGENS ODDERSHEDE LARSEN STATISTISKE GRUNDBEGREBER 18 15 1 9 6 3 0 Histogram for ph 6,9 7,1 7,3 7,5 7,7 7,9 ph 13 udgave 013 FORORD Der er i dee bog søgt at give letlæst og askuelig fremstillig af de statistiske

Læs mere

De reelle tal. Morten Grud Rasmussen 5. november Se Sætning 3.6 og 3.7 for forskellige formuleringer af egenskaben og dens negation.

De reelle tal. Morten Grud Rasmussen 5. november Se Sætning 3.6 og 3.7 for forskellige formuleringer af egenskaben og dens negation. De reelle tal Morte Grud Rasmusse 5. ovember 2015 Ordede mægder Defiitio 3.1 (Ordet mægde). pm, ăq kaldes e ordet mægde såfremt: For alle x, y P M gælder etop ét af følgede: x ă y, x y, y ă x @x, y, z

Læs mere

Kapitel 10 KALIBRERING AF STRØMNINGSMODEL

Kapitel 10 KALIBRERING AF STRØMNINGSMODEL Kapitel 0 KALIBRERING AF STRØMNINGSMODEL Torbe Obel Soeborg Hydrologisk afdelig, GEUS Nøglebegreber: Kalibrerigsprotokol, observatiosdata, kalibrerigskriterier, idetificerbarhed, etydighed, parameterestimatio,

Læs mere