FRAKTALER. Hans Fogedby Institut for fysik og astronomi

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "FRAKTALER. Hans Fogedby Institut for fysik og astronomi"

Transkript

1 FRAKTALER Hans Fogedby Institut for fysik og astronomi

2 OVERSIGT Hvad er en fraktal Lidt historie Fraktaler i matematikken Den fraktale dimension Fraktaler i fysikken Fraktaler i biologien Fraktaler som pynt FRAKTALER 2

3 Hvad er en fraktal Clouds are not spheres, mountains are not cones, coastlines are not circles,, and bark is not smooth,, nor does lightning travel in a straight line Mandelbrot 1983 Ny geometrisk beskrivelse af skala-invariante, eller selvsimilære genstande i naturvidenskaberne og matematikken. Fraktaler karakteriseres af den såkaldte fraktale dimension D. Menger s svamp Natur svamp FRAKTALER 3

4 Ligedannethed FRAKTALER 4

5 Ligedannethed Jonathan Swift ( ) FRAKTALER 5

6 Lidt historie Leibnitz: Rekursiv ligedannethed Weierstrass Monsterfunktion Hilbert og Peano s Monsterkurver Koch s kurve og Cantor s fraktale støv Richardson: Kystlinie s længde Poincare,, Julia, Mandelbrot: Iteration af funktioner i den komplekse plan Witten og Sander: Diffusionsbegrænset aggregering (DLA) FRAKTALER 6

7 Fraktaler i matematikken Weierstrass monsterfunktion Von Koch s kurve Hilbert og Peano Cantor Julia og Mandelbrot FRAKTALER 7

8 Weierstrass monster funktion 1 a Fa ( x) = sin( π k x) a π k k = 1 Kurve sammenhængende, men knæk på alle skalaer k = 1 k x = x+ x + x + x +.. Karl Weierstrass ( ) FRAKTALER 8

9 Von Koch s kurve Kurve sammenhængende, men knæk på alle skalaer Helge von Koch ( ) FRAKTALER 9

10 Hilbert og Peano Den rumfyldende Peano-kurve vendte op og ned på traditional matematik. Vilenkin udtrykte de således: Alt er gået fra hinanden! Det er svært at forklare den effekt Peano's resultat havde på den matematiske verden. Det syntes som om alt var ruiner, at alle basale matematiske begreber havde tabt deres betydning. David Hilbert ( ) Giuseppe Peano ( ) FRAKTALER 10

11 Hilbert Kurve FRAKTALER 11

12 Georg Cantor Grundlagde mængdeteori Indførte de uendelige tal (kardinaltal) Revolutionerede matematikken Nogle citater: Jeg placerer mig selv i modsætning til de udbredte forestillinger vedrørende det matematiske uendelighedsbegreb (Cantor) Fra hans paradis skal ingen udvise os (Hilbert) Cantorism er en sygdom som matematikken må komme sig over (Poincare) Georg Cantor ( ) Tågesnak (Weyl) FRAKTALER 12

13 Cantor-mængden Cantor-mængden kan ikke tælles Canter-mængden har ingen længde Cantor-mængden er en fraktal Procedure: Først fjernes en tredjedel, dernæst fjernes en tredjedel af tredjedelene, etc. L = 1 Hvad fjerner vi: FRAKTALER 13

14 Kvadratisk Julia-mængde x = x y + y 2 2 n+ 1 n n n+ 1 n n Julia-mængder konstant = 2 x y + konstant Julia-mængden består af de punkter i x-y planen som ikke forsvinder væk når vi itererer Gaston Julia ( ) FRAKTALER 14

15 Benoit Mandelbrot Clouds are not spheres, mountains are not cones, coastlines are not circles, and bark is not smooth, nor does lightning travel in a straight line Indførte betegnelsen fraktal Demonstrerede anvendelse af fraktal geometri i matematikken og fysikken Bog: The Fractal Geometry of Nature Benoit Mandelbrot FRAKTALER 15

16 Mandelbrot-mængden Mandelbrot click Kan Zoomes click Automatisk click FRAKTALER 16

17 Den fraktale dimension Dæk genstanden med N kasser med sidelængde a. N(a) vil afhænge af a Gør kasserne mindre og mindre. N(a) vil afhænge af a ifølge en potenslov log D N = a N = D log a D er den fraktale dimension FRAKTALER 17

18 Gensyn med Koch-kurven N(a)=a -D, D fraktale dimension N(1) = 1, N(1/3) = 4, N(1/9)=16,.. N(1/3 n )=4 n D Koch =log4/log3 ~ < D Koch <2 Koch-kurven har en dimension større end én Koch-kurven er ulden Koch-kurven er uendelig lang Repræsenterer en matematisk kystlinje FRAKTALER 18

19 Gensyn med Cantor mængden N(a)=a -D, D fractal dimension N(1) = 1, N(1/3) = 2, N(1/9)=4,.. N(1/3 n )=2 n D Cantor =log2/log3 ~ < D Cantor <1 Cantor-mængden har en dimension mindre end én Cantor-mængden er som støv Cantor-mængden har ingen længde FRAKTALER 19

20 Lewis Fry Richardson Matematiker, fysiker og psykolog Beskæftigede sig med vejrudsigter Matematisk analyse af krig. Bog: Dødelige konflikters statistik Teori for turbulens i væsker Forskning i længden af kyster og landegrænser Lewis Fry Richardson ( ) FRAKTALER 20

21 Englands kystlinje Richardson stillede spørgsmålet: Hvor lang er Englands kyst S Længde (Målestok), s'te potens Log(Længde) S Log(Målestok) S kaldes skalerings-eksponenten Google Earth S= Englands vestkyst S= Tysklands landegrænse S= Portugal s landegrænse S= Sydafrikas kystlinje FRAKTALER 21

22 Fraktaler i fysikken DLA Udladninger Kolloider og elektroder Viskøs fingerdannelse Flammefront og snefald FRAKTALER 22

23 Diffusionsbegrænset aggregering (DLA) Komputer-simulering af model for vækst Foreslået af Witten og Sander (1981) Tilføj kim i midten Lad partikler diffunderer ind fra omkredsen Hvis en partikel rammer kim-partiklen sidder den fast Der dannes en forgrenet struktur (diffusions begrænset) Aggregatet har en fraktal dimension Diffusion Limited Aggregation (DLA) FRAKTALER 23

24 DLA s fraktale dimension Analyser morfologien af DLA klyngen ved hjælp af den fraktale dimension D N ( R) R R størrelsen af klyngen N(R) aggregerede partikler inden for en radius R D = 2 for kompakt vækst D < 2 for fraktal vækst Log-log plot af N(R) mod R Hældningen giver den fraktale dimension D DLA s fraktale dimension D 1.7 FRAKTALER 24

25 Overfladeudladning Udladninger Udladningsmønster i en plastikblok Opladet ved hjælp af 2 MeV elektroner FRAKTALER 25

26 Kolloider og elekroder FRAKTALER 26

27 Viskøs fingerdannelse Farvet vand sprøjtet ind i vådt ler At presse olie ud af klipper FRAKTALER 27

28 Flammefront og snefald Udbredelse af flammefront Snefald på rude Komputersimulering FRAKTALER 28

29 Fraktaler i biologien Bakteriekoloni Komputergenereret fraktal Fraktal vækst af bacillus subtilis Eksperiment udført af Matsushita og Fujikawa Der iagttages fraktal vækst DLA-lignende mønstre Fraktal dimension D ~1.72 FRAKTALER 29

30 Visne blade Vissen bladkant Self-similær Koch-kurve FRAKTALER 30

31 Koraller og blomkål Skala-invariant blomkål Skala-invariant koralvækst FRAKTALER 31

32 Fraktaler som pynt FRAKTALER 32

33 Blue metal FRAKTALER 33

34 Medusa FRAKTALER 34

35 Druer FRAKTALER 35

36 Slut FRAKTALER 36

Kaos og fraktaler i dynamiske systemer. Bodil Branner Institut for Matematik Danmarks Teniske Universitet (DTU)

Kaos og fraktaler i dynamiske systemer. Bodil Branner Institut for Matematik Danmarks Teniske Universitet (DTU) Kaos og fraktaler i dynamiske systemer Bodil Branner Institut for Matematik Danmarks Teniske Universitet (DTU) UNF Matematik Camp 2010 Oversigt tre simple eksempler på klassiske fraktaler deterministiske

Læs mere

Projekt 5.9. Geometriske fraktaler og fraktale dimensioner

Projekt 5.9. Geometriske fraktaler og fraktale dimensioner Projekt 5.9. Geometriske fraktaler og fraktale dimensioner Indhold 1. Fraktaler og vækstmodeller... 2 2. Kløverøen... 2 3. Fraktal dimension... 4 3.1 Skridtlængdemetoden... 4 3.2 Netmaskemetoden... 7 3.3

Læs mere

Fraktaler. Vejledning. Et snefnug

Fraktaler. Vejledning. Et snefnug Fraktaler Vejledning Denne note kan benyttes i gymnasieundervisningen i matematik i 1g, eventuelt efter gennemgangen af emnet logaritmer. Min hensigt har været at give en lille introduktion til en anderledes

Læs mere

Fraktaler en helt ny form for matematik

Fraktaler en helt ny form for matematik Manus: Math 4 / Fraktal Manusark nr. 1 Fraktaler en helt ny form for matematik 5 10 15 20 25 30 35 Det var en sensation, da den polskfødte matematiker og filosof Benoit Mandelbrot i 1975 præsenterede sine

Læs mere

Fra tilfældighed over fraktaler til uendelighed

Fra tilfældighed over fraktaler til uendelighed Fra tilfældighed over fraktaler til uendelighed Tilfældighed Hvor tilfældige kan vi være? I skemaet ved siden af skal du sætte 0 er og 1-taller, ét tal i hvert felt. Der er 50 felter. Du skal prøve at

Læs mere

Fraktaler Mandelbrots Mængde

Fraktaler Mandelbrots Mængde Fraktaler Mandelbrots Mængde Foredragsnoter Af Jonas Lindstrøm Jensen Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Indhold Indhold 1 1 Indledning 3 2 Komplekse tal 5 2.1 Definition.......................................

Læs mere

Fra tilfældighed over fraktaler til uendelighed

Fra tilfældighed over fraktaler til uendelighed Fra tilfældighed over fraktaler til uendelighed Dette undervisningsforløb har jeg lavet til et forløb på UCC Nordsjælland for særligt interesserede elever i 8. klasse. Alt, der står med rødt, er henvendt

Læs mere

På opdagelse i Mandelbrot-fraktalen En introduktion til programmet Mandelbrot

På opdagelse i Mandelbrot-fraktalen En introduktion til programmet Mandelbrot Jørgen Erichsen På opdagelse i Mandelbrot-fraktalen En introduktion til programmet Mandelbrot Hvad er en fraktal? Noget forenklet kan man sige, at en fraktal er en geometrisk figur, der udmærker sig ved

Læs mere

Smuk matematik eller hvorfor vejrudsigten aldrig passer?

Smuk matematik eller hvorfor vejrudsigten aldrig passer? Smuk matematik eller hvorfor vejrudsigten aldrig passer? Indhold 1. Vejrudsigter 2. Solsystemet 3. Lemminger 4. Fraktaler Overordnet handler det hele om kaos. Vejrudsigter Matematikken der beskriver vejret

Læs mere

Årsplan 2015/2016. Uge 33-43. Tal - Eleven har viden om regningsarternes hierarki. Mundtlig evaluering Skriftlige prøver Kan kan næsten cirkel

Årsplan 2015/2016. Uge 33-43. Tal - Eleven har viden om regningsarternes hierarki. Mundtlig evaluering Skriftlige prøver Kan kan næsten cirkel Kompetencemål: - Eleven kan handle med dømmekraft i komplekse situationer med matematik - Eleven kan anvende reelle tal og algebraiske udtryk i matematiske undersøgelser - Eleven kan forklare geometriske

Læs mere

Billeder af Julia-mængder

Billeder af Julia-mængder 1 Billeder af Julia-mængder af Gert Buschmann Vi identificerer planen med de komplekse tal og lader f(z) være en afbildning af planen på sig selv som er defineret og kontinuert-differentiabel næsten overalt.

Læs mere

Naturvidenskab. En fællesbetegnelse for videnskaberne om naturen, dvs. astronomi, fysik, kemi, biologi, naturgeografi, biofysik, meteorologi, osv

Naturvidenskab. En fællesbetegnelse for videnskaberne om naturen, dvs. astronomi, fysik, kemi, biologi, naturgeografi, biofysik, meteorologi, osv Naturvidenskab En fællesbetegnelse for videnskaberne om naturen, dvs. astronomi, fysik, kemi, biologi, naturgeografi, biofysik, meteorologi, osv Naturvidenskab defineres som menneskelige aktiviteter, hvor

Læs mere

Udvalgsaksiomet. Onsdag den 18. november 2009

Udvalgsaksiomet. Onsdag den 18. november 2009 Udvalgsaksiomet Onsdag den 18. november 2009 Eksempler Fourier udvikling af f(x)=x 4 3 5 10 2 1 1 2 0 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61 63 1 2 3 4

Læs mere

Fraktaler. Mandelbrots Mængde. Foredragsnoter. Af Jonas Lindstrøm Jensen. Institut For Matematiske Fag Århus Universitet

Fraktaler. Mandelbrots Mængde. Foredragsnoter. Af Jonas Lindstrøm Jensen. Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Fraktaler Mandelbrots Mængde Foredragsnoter Af Jonas Lindstrøm Jensen Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Indhold Indhold 1 1 Komplekse tal 3 1.1 Definition.......................................

Læs mere

Variable. 1 a a + 2 3 a 5 2a 3a + 6 a + 5 3a a 2 a 2 a 2 5 7 15 5 21 5 25 0 2 0 6 9 0 9 4 0 1 3 3 3 9 3 1 0 0 2 0 5 6 5 0 0 2,5 1,5 4 7,5 4 0

Variable. 1 a a + 2 3 a 5 2a 3a + 6 a + 5 3a a 2 a 2 a 2 5 7 15 5 21 5 25 0 2 0 6 9 0 9 4 0 1 3 3 3 9 3 1 0 0 2 0 5 6 5 0 0 2,5 1,5 4 7,5 4 0 Variable 1 a a + 2 3 a 5 2a 3a + 6 a + 5 3a a 2 a 2 a 2 5 7 15 5 21 5 25 0 2 0 6 9 0 9 4 0 1 3 3 3 9 3 1 0 0 2 0 5 6 5 0 0 2,5 1,5 4 7,5 4 0 2 a x = 5 b x = 1 c x = 1 d y = 1 e z = 0 f Ingen løsning. 3

Læs mere

July 23, 2012. FysikA Kvantefysik.notebook

July 23, 2012. FysikA Kvantefysik.notebook Klassisk fysik I slutningen af 1800 tallet blev den klassiske fysik (mekanik og elektromagnetisme) betragtet som en model til udtømmende beskrivelse af den fysiske verden. Den klassiske fysik siges at

Læs mere

Fraktaler INTRO. FRAKTALER M l 57

Fraktaler INTRO. FRAKTALER M l 57 Fraktaler De fleste figurer, I arbejder med i matematiktimerne, har rette linjer eller glatte kurver fx rektangler og cirkler Disse figurer kan ofte bruges til at beskrive menneskeskabte ting som fx bygninger

Læs mere

3. KLASSE UNDERVISNINGSPLAN MATEMATIK!

3. KLASSE UNDERVISNINGSPLAN MATEMATIK! Lærer: Sussi Sønnichsen Forord til matematik i 3. klasse Vi vil arbejde med bogsystemet Matematrix 3A & 3B, Alinea, samt kopiark til systemet. Jeg vil differentiere undervisningen og vil foruden de stillesiddende

Læs mere

Matematik i indskolingen - de mindste børn

Matematik i indskolingen - de mindste børn Matematik i indskolingen - de mindste børn De mindste børn Børn kan godt lide at eksperimentere og undersøge. Disse erfaringer tager børnene med sig, når de møder i skolen første gang. De har fx lagt puslespil,

Læs mere

Klassisk kaos. Kaotiske systemer. Visse regulariteter universalitet

Klassisk kaos. Kaotiske systemer. Visse regulariteter universalitet Klassisk kaos 11.1 Deterministiske bevægelsesligninger kan under visse omstændigheder udvise løsninger som er uforudsigelige, dvs. løsninger der opfører sig kaotisk: Faserum Forudsigelige Integrable systemer

Læs mere

Fraktaler: Viskøse Fingre og DLA

Fraktaler: Viskøse Fingre og DLA Fraktaler: Viskøse Fingre og DLA Projekt nr. 2012-16 af Alexander Valentin Nielsen (17/11-90), Maximillian Fornitz Vording (23/7-91), Sofie Janas (06/11-92) og Solvej Knudsen (4/10-89) Vejleder: Jeppe

Læs mere

Forord. Dette materiale er ophavsretligt beskyttet og må ikke videregives

Forord. Dette materiale er ophavsretligt beskyttet og må ikke videregives Baggrunden for tilblivelsen af denne bog er to serier af forelæsninger, som jeg arrangerede på Folkeuniversitetet i 2010 og 2011. De omhandlede forskellige matematiske emner og tiltrak mange deltagere.

Læs mere

Matematikkens metoder illustreret med eksempler fra ligningernes historie. Jessica Carter Institut for Matematik og Datalogi, SDU 12.

Matematikkens metoder illustreret med eksempler fra ligningernes historie. Jessica Carter Institut for Matematik og Datalogi, SDU 12. illustreret med eksempler fra ligningernes historie Institut for Matematik og Datalogi, SDU 12. april 2019 Matematiklærerdag, Aarhus Universitet I læreplanen for Studieretningsprojektet står: I studieretningsprojektet

Læs mere

SAMFUNDSVIDENSKABELIG METODE

SAMFUNDSVIDENSKABELIG METODE SAMFUNDSVIDENSKABELIG METODE Kristina Bakkær Simonsen INSTITUT FOR STATSKUNDSKAB Hvem er jeg? Kristina Bakkær Simonsen Ph.D.-studerende på Institut for Statskundskab, afdeling for politisk sociologi Interesseret

Læs mere

Skønheden begynder med

Skønheden begynder med Skønheden begynder med En matematisk fraktal den lille tabel Matematik på C-niveau er obligatorisk i alle 4 gymnasiale ungdomsuddannelser: Hf, hhx, htx, stx I denne lille pjece kan du få et indtryk af,

Læs mere

Mere om differentiabilitet

Mere om differentiabilitet Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget

Læs mere

Kommentarer til den ægyptiske beregning Kommentarer til den ægyptiske beregning... 5

Kommentarer til den ægyptiske beregning Kommentarer til den ægyptiske beregning... 5 Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8 Projekter: Kapitel - Projektet er delt i to små projekter, der kan laves uafhængigt af hinanden. Der afsættes fx - timer til vejledning med efterfølgende

Læs mere

6. Samf A, Mat A, Naturgeografi B,

6. Samf A, Mat A, Naturgeografi B, Studieretningsbeskrivelse for 6. Samf A, Mat A, Naturgeografi B, I studieretningerne sætter de tre fag præg på undervisningen i klassens øvrige fag. Det sker gennem et samarbejde mellem to eller flere

Læs mere

AT-1. Oktober 09 + December 10 + November 11. CL+JW. Stenhus. side 1/5

AT-1. Oktober 09 + December 10 + November 11. CL+JW. Stenhus. side 1/5 AT-1. Oktober 09 + December 10 + November 11. CL+JW. Stenhus. side 1/5 1. 2. 3. 4. AT-1. Metodemæssig baggrund. Oktober 09. (NB: Til inspiration da disse papirer har været anvendt i gamle AT-forløb med

Læs mere

Naturens fraktale geometri

Naturens fraktale geometri to vidt forskellige ting. Ganske små forskelle kan være ansvarlige for udvælgelsen af helt andre udviklingsbaner. Det er derfor ofte kun muligt at belyse de kvalitative aspekter, det vil sige fænomenernes

Læs mere

MatematiKan og Fælles Mål

MatematiKan og Fælles Mål MatematiKan og Fælles Mål MatematiKan er et digitalt værktøj til matematik. Det hører til gruppen af interaktive CAS værktøjer. Denne type digitale værktøjer er kendetegnet ved, at de har en delvis blank

Læs mere

Mattip om. Geometri former og figurer. Du skal lære: Kan ikke Kan næsten Kan. At finde og tegne former og figurer

Mattip om. Geometri former og figurer. Du skal lære: Kan ikke Kan næsten Kan. At finde og tegne former og figurer Mattip om Geometri former og figurer Du skal lære: At finde og tegne former og figurer Kan ikke Kan næsten Kan At beregne omkreds og areal af figurer Om forskellige typer trekanter At finde højde og grundlinje

Læs mere

Læs selv om UENDELIGHED. Erik Bjerre og Pernille Pind Forlaget Mañana

Læs selv om UENDELIGHED. Erik Bjerre og Pernille Pind Forlaget Mañana Læs selv om UENDELIGHED Erik Bjerre og Pernille Pind Forlaget Mañana Læs selv om UENDELIGHED Erik Bjerre og Pernille Pind Forlaget Mañana 2 Uendelighed - et matematisk symbol Der kan være uendeligt lang

Læs mere

FP9. Matematisk problemløsning. 9.-klasseprøven. December 2015

FP9. Matematisk problemløsning. 9.-klasseprøven. December 2015 FP9 9.-klasseprøven Matematisk problemløsning December 2015 1 I praktik i en boghandel 2 I praktik som murer 3 I praktik som journalist 4 I praktik som arkitekt 5 Sekskanter 6 Retvinklede og ligesidede

Læs mere

Forløbet Stoffernes opbygning behandler stofs faseovergange, tilstandsformer, kogepunkt og smeltepunkt.

Forløbet Stoffernes opbygning behandler stofs faseovergange, tilstandsformer, kogepunkt og smeltepunkt. Stoffernes opbygning Niveau: 7. klasse Varighed: 5 lektioner Præsentation: Forløbet Stoffernes opbygning behandler stofs faseovergange, tilstandsformer, kogepunkt og smeltepunkt. Det er vigtigt overfor

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin maj-juni 15/16 Institution Favrskov Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold stx Fysik C Signe Agerholm Clausen 1d fyc Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Læs mere

Fraktaler Af Hans Marius Kjærsgaard

Fraktaler Af Hans Marius Kjærsgaard Fraktaler Af Hans Marius Kjærsgaard Side 1 Indholdsfortegnelse Indledning... 2 Prolemformulering... 3 Grundlæggende teori og introduktion til IFS... 3 Definition af gruppens iterativ systemet... 3 Beregning

Læs mere

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal.

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. Tre slags gennemsnit Allan C. Malmberg Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. For mange skoleelever indgår

Læs mere

Emil, Nicklas, Jeppe, Robbin Projekt afkodning

Emil, Nicklas, Jeppe, Robbin Projekt afkodning Skal man omskrive noget om til en kompakt tekst, eller til specifikt sprog, så kan matematiken være et meget fornuftigt alternativ. Matematiken er et sprog som mange forstår, eller i hvert fald kan lære

Læs mere

Kan formler overraske?

Kan formler overraske? Kan formler overraske? Af Neli Demitrova Institute of Mathematics and Informatics Bulgarian Academy of Sciences 1 Introduktion I vore dage kan man se computerfremstillede fraktale mønstre alle vegne, lige

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Årsplan for matematik i 0.kl. Herborg Friskole 2013/2014

Årsplan for matematik i 0.kl. Herborg Friskole 2013/2014 Uge Emne Trinmål for faget Læringsmål for emnet 33 Opstart 34 - Relationer 35 36-38 39-40 41 42 43-48 Tallene 1-10 Geometriske figurer Aktiv Rundt i Danmark Tale om sprog Lægge mærke til naturfaglige fra

Læs mere

Bedømmelseskriterier Naturfag

Bedømmelseskriterier Naturfag Bedømmelseskriterier Naturfag Grundforløb 2 rettet mod social- og sundhedsuddannelsen Social- og sundhedsassistentuddannelsen NATURFAG NIVEAU E... 2 NATURFAG NIVEAU C... 5 Gældende for prøver afholdt på

Læs mere

www.aalborg-friskole.dk Sohngårdsholmsvej 47, 9000 Aalborg, Tlf.98 14 70 33, E-mail: kontor@aalborg-friskole.dk

www.aalborg-friskole.dk Sohngårdsholmsvej 47, 9000 Aalborg, Tlf.98 14 70 33, E-mail: kontor@aalborg-friskole.dk www.aalborg-friskole.dk Sohngårdsholmsvej 47, 9000 Aalborg, Tlf.98 14 70 33, E-mail: kontor@aalborg-friskole.dk Årsplan for matematik i 8.klasse I timerne vil vi bruge bogen matematiktak 8.klasse, programmer

Læs mere

Gymnasieøvelse i Skanning Tunnel Mikroskopi (STM)

Gymnasieøvelse i Skanning Tunnel Mikroskopi (STM) Gymnasieøvelse i Skanning Tunnel Mikroskopi (STM) Institut for Fysik og Astronomi Aarhus Universitet, Sep 2006. Lars Petersen og Erik Lægsgaard Indledning Denne note skal tjene som en kort introduktion

Læs mere

8 danske succeshistorier 2002-2003

8 danske succeshistorier 2002-2003 8 danske T E K N I S K - V I D E N S K A B E L I G F O R S K N I N G succeshistorier 2002-2003 Statens Teknisk-Videnskabelige Forskningsråd Små rør med N A N O T E K N O L O G I stor betydning Siliciumteknologien,

Læs mere

- et matematisk symbol

- et matematisk symbol 2 Uendelighed - et matematisk symbol Der kan være uendeligt lang tid til en fødselsdag eller til juleaften. Man kan også synes, at Brian eller Conny er uendeligt dum, eller man kan snakke om, at verdensrummet

Læs mere

Computeren repræsenterer en teknologi, som er tæt knyttet til den naturvidenskabelige tilgang.

Computeren repræsenterer en teknologi, som er tæt knyttet til den naturvidenskabelige tilgang. Den tekniske platform Af redaktionen Computeren repræsenterer en teknologi, som er tæt knyttet til den naturvidenskabelige tilgang. Teknologisk udvikling går således hånd i hånd med videnskabelig udvikling.

Læs mere

Forord 3 Strukturen i denne bog 6

Forord 3 Strukturen i denne bog 6 Indhold i Epsilon Forord 3 Strukturen i denne bog 6 Introduktion til del I. De naturlige tal 10 1 Børns talbegreber og regneoperationer omkring de første skoleår 12 Tal og det at tælle 15 Det indledende

Læs mere

I Begyndelsen var Tomheden. Click here if your download doesn"t start automatically

I Begyndelsen var Tomheden. Click here if your download doesnt start automatically I Begyndelsen var Tomheden Click here if your download doesn"t start automatically I Begyndelsen var Tomheden Per Bruus-Jensen I Begyndelsen var Tomheden Per Bruus-Jensen Forklarer vor fysiske verden som

Læs mere

2) foretage beregninger i sammenhæng med det naturfaglige arbejde, 4) arbejde sikkerhedsmæssigt korrekt med udstyr og kemikalier,

2) foretage beregninger i sammenhæng med det naturfaglige arbejde, 4) arbejde sikkerhedsmæssigt korrekt med udstyr og kemikalier, Formål Faget skal give eleverne indsigt i det naturfaglige grundlag for teknik, teknologi og sundhed, som relaterer sig til et erhvervsuddannelsesområde. For niveau E gælder endvidere, at faget skal bidrage

Læs mere

Naturvidenskabelig metode

Naturvidenskabelig metode Naturvidenskabelig metode Introduktion til naturvidenskab Naturvidenskab er en betegnelse for de videnskaber der studerer naturen gennem observationer. Blandt sådanne videnskaber kan nævnes astronomi,

Læs mere

T.N. Thiele Centret for Anvendt Matematik. Naturvidenskaberne

T.N. Thiele Centret for Anvendt Matematik. Naturvidenskaberne i Naturvidenskaberne Institut for Matematiske Fag Det Naturvidenskabelige Fakultet Aarhus Universitet 23. marts 2007 Mission Thiele Centret er etableret med det formål at stimulere forskning og forskeruddannelse

Læs mere

Almen Matematisk Dannelse

Almen Matematisk Dannelse Almen Matematisk Dannelse af De Studerende ved kurset Almen Matematisk Dannelse Foråret 2002 Matematisk Afdeling KU Foråret 2002 Indledning Disse noter er skrevet af de studerende på et kursus med titlen

Læs mere

Om at finde bedste rette linie med Excel

Om at finde bedste rette linie med Excel Om at finde bedste rette linie med Excel Det er en vigtig og interessant opgave at beskrive fænomener i naturen eller i samfundet matematisk. Dels for at få en forståelse af sammenhængende indenfor det

Læs mere

Matematik Færdigheds- og vidensmål (Geometri og måling )

Matematik Færdigheds- og vidensmål (Geometri og måling ) Matematik Færdigheds- og vidensmål (Geometri og måling ) Kompetenceområde Klassetrin Faser 1 Eleven kan kategorisere Efter klassetrin Eleven kan anvende geometriske begreber og måle Eleven kan kategorisere

Læs mere

1b. Mat A, Kemi A, Fys B

1b. Mat A, Kemi A, Fys B Studieretningsbeskrivelse for 1b. Mat A, Kemi A, Fys B I studieretningerne sætter de tre fag præg på undervisningen i klassens øvrige fag. Det sker gennem et samarbejde mellem to eller flere fag om et

Læs mere

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET I kapitlet skal eleverne arbejde med fire forskellige vinkler på algebra de præsenteres på kapitlets første mundtlige opslag. De fire vinkler er algebra som et redskab til at løse matematiske problemer.

Læs mere

Matematisk æstetik. Jonas Lindstrøm Jensen, ph.d-studerende. 28. oktober 2009

Matematisk æstetik. Jonas Lindstrøm Jensen, ph.d-studerende. 28. oktober 2009 28. oktober 2009 er et tal, nemlig φ = 1 + 5 2 1.6803398874989... Vi taler som regel om, at forholdet mellem to tal a og b er det gyldne snit, altså at a b = φ. Fx er 62 = 1.631578947 φ. 38 Fibonaccitallene

Læs mere

På opdagelse i det matematiske laboratorium En introduktion til eksperimentel matematik

På opdagelse i det matematiske laboratorium En introduktion til eksperimentel matematik københavns universitet På opdagelse i det matematiske laboratorium En introduktion til eksperimentel matematik Rune Johansen Ørsted 14. november, 2018 Dias 1/23 Overblik 1 Eksperimentel matematik? 2 Visualisering

Læs mere

Udviklingsprogrammet FREMTIDENS DAGTILBUD LÆRINGSTEMA NATUR- FÆNOMENER

Udviklingsprogrammet FREMTIDENS DAGTILBUD LÆRINGSTEMA NATUR- FÆNOMENER Udviklingsprogrammet FREMTIDENS DAGTILBUD LÆRINGSTEMA NATUR- FÆNOMENER Indhold 3 Indledning 4 Naturfænomener i Fremtidens Dagtilbud 6 Læringsområde Tal og mængder 8 Læringsområde Mønstre og former 10 Læringsområde

Læs mere

brikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt

brikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra 2+ preben bernitt brikkerne. Tal og algebra 2+ 1. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-35-0 2008 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt

Læs mere

Matematik interne delprøve 09 Tesselering

Matematik interne delprøve 09 Tesselering Frederiksberg Seminarium Opgave nr. 60 Matematik interne delprøve 09 Tesselering Line Købmand Petersen 30281023 Hvad er tesselering? Tesselering er et mønster, der består af en eller flere figurer, der

Læs mere

Webinar - Matematik. 1. Fælles Mål 2014. 2. Relationsmodellen og et forløbsplanlægningsskema

Webinar - Matematik. 1. Fælles Mål 2014. 2. Relationsmodellen og et forløbsplanlægningsskema Webinar - Matematik 1. Fælles Mål 2014 2. Relationsmodellen og et forløbsplanlægningsskema 3. Et eksempel på et forløb om areal og omkreds på mellemtrinnet 4. Relationsmodellen som refleksionsmodel Alle

Læs mere

Excel regneark. I dette kapitel skal I arbejde med noget af det, Excel regneark kan bruges til. INTRO EXCEL REGNEARK

Excel regneark. I dette kapitel skal I arbejde med noget af det, Excel regneark kan bruges til. INTRO EXCEL REGNEARK Excel regneark Et regneark er et computerprogram, der bl.a. kan regne, tegne grafer og lave diagrammer. Regnearket kan bruges i mange forskellige sammenhænge, når I arbejder med matematik. Det kan gøre

Læs mere

Jitt og projekter. Projektorganiseret undervisning og Just in time teaching. Forsøg udført på en 1.g (2.g) naturvidenskabelig studieretning

Jitt og projekter. Projektorganiseret undervisning og Just in time teaching. Forsøg udført på en 1.g (2.g) naturvidenskabelig studieretning Jitt og projekter Projektorganiseret undervisning og Just in time teaching Forsøg udført på en 1.g (2.g) naturvidenskabelig studieretning Bente Ramskov Andersen og Morten Høyrup Ribe Katedralskole Fagene

Læs mere

Vejr. Matematik trin 2. avu

Vejr. Matematik trin 2. avu Vejr Matematik trin 2 avu Almen voksenuddannelse 10. december 2008 Vejr Matematik trin 2 Skriftlig matematik Opgavesættet består af: Opgavehæfte Svarark Hæftet indeholder følgende opgaver: 1 Klimarekorder

Læs mere

NORDJYSK ASTRONOMISK FORENING FOR AMATØRER. Formandsberetning 2014 Årets gang i NAFA: Vi er nu 81 medlemmer i NAFA. Sidste år 88 medlemmer

NORDJYSK ASTRONOMISK FORENING FOR AMATØRER. Formandsberetning 2014 Årets gang i NAFA: Vi er nu 81 medlemmer i NAFA. Sidste år 88 medlemmer Formandsberetning 2014 Årets gang i NAFA: Vi er nu 81 medlemmer i NAFA. Sidste år 88 medlemmer Tirsdag d. 7. januar: Medlemsmøde i Observatoriet EXOPLANETER. v. lektor Hans Kjeldsen, Institut for Fysik

Læs mere

Aristoteles om uendelighed

Aristoteles om uendelighed Aristoteles om uendelighed Af Charlotte Stefansen En af de stridigheder man møder inden for matematik vedrører, om man kan tillade brugen af uendeligheder. Groft sagt kan man dele opfattelser af matematik

Læs mere

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 8.A Lærer: Henrik Stillits Fagområde/ emne Færdighedsregning - Typer af opgaver - Systematik

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 8.A Lærer: Henrik Stillits Fagområde/ emne Færdighedsregning - Typer af opgaver - Systematik Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 8.A Lærer: Henrik Stillits Fagområde/ emne Færdighedsregning - Typer af opgaver - Systematik Periode Mål Eleverne skal: 32/33 Få kendskab til opgavetypen og få rutine.

Læs mere

Jes S. Jørgensen Matematiklærer på Espergærde Gymnasium MATEMATIK

Jes S. Jørgensen Matematiklærer på Espergærde Gymnasium MATEMATIK Jes S. Jørgensen (JJ@eg-gym.dk) Matematiklærer på Espergærde Gymnasium MATEMATIK Ungdomsudd. : Bedre fange de nye elever Folkeskolen : Bedre forberede til gymnasiet Den gode start Vise hvad matematik er

Læs mere

Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur

Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur En matematisk struktur er et meget abstrakt dyr, der kan defineres på følgende måde: En mængde, S, af elementer {s 1, s 2,,s n }, mellem hvilke der findes

Læs mere

Benjamin Franklin Prøv ikke at gentage forsøget!

Benjamin Franklin Prøv ikke at gentage forsøget! E1 Elektrostatik 1. Elektrisk ladning Benjamin Franklin Prøv ikke at gentage forsøget! Vi har tidligere lært, at ethvert legeme tiltrækker ethvert andet legeme med gravitationskraften, eller massetiltrækningskraften.

Læs mere

Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528)

Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528) Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Tirsdag den 20 Januar 2009, kl. 9 13 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater etc.) samt brug

Læs mere

U = φ. R = ρ l A. Figur 1 Sammenhængen mellem potential, φ og spændingsfald, U: U = φ = φ 1 φ 2.

U = φ. R = ρ l A. Figur 1 Sammenhængen mellem potential, φ og spændingsfald, U: U = φ = φ 1 φ 2. Ohms lov Vi vil samle os en række byggestene, som kan bruges i modelleringen af fysiske systemer. De første to var hhv. en spændingskilde og en strømkilde. Disse elementer (sources) er aktive og kan tilføre

Læs mere

Historie: Eksempler på emner og opgaveformuleringer

Historie: Eksempler på emner og opgaveformuleringer Historie: Eksempler på emner og opgaveformuleringer Historie: Eksempler på emner Historie - engelsk Martin Luther King og De Sorte Pantere deres forskellige måder at kæmpe på The Blitz IRA Nordirland Forhold

Læs mere

Drengenes viden om pyramider

Drengenes viden om pyramider Fibonacieprojekt Pyramider - Matematik 7. klasse - Lundergårdskolen 1. Elevernes observationer: Eleverne startede med at sidde alene og skrive hvad de vidste om pyramider. Eleverne var delt i en drenge-

Læs mere

Gödels ufuldstændighedssætninger

Gödels ufuldstændighedssætninger Gödels ufuldstændighedssætninger Thomas Bolander, DTU Informatik Matematik: Videnskaben om det uendelige 2 Folkeuniversitetet i København, efteråret 2011 Thomas Bolander, FUKBH 11 s. 1/21 Gödels ufuldstændighedssætning

Læs mere

Symmetrier og Mønstre Symmetri, molekylær gastronomi og livets kemi, Karl Anker Jørgensen, Kemi Symmetri og netværk i biologiens verden, Jens Mogens O

Symmetrier og Mønstre Symmetri, molekylær gastronomi og livets kemi, Karl Anker Jørgensen, Kemi Symmetri og netværk i biologiens verden, Jens Mogens O Offentlige foredrag i naturvidenskab nat.au.dk/foredrag Det Naturvidenskabelige Fakultet, Aarhus Universitet Folkeuniversitetet i Århus Symmetrier og mønstre Symmetrier og Mønstre Symmetri, molekylær gastronomi

Læs mere

π can never be expressed in numbers. William Jones og John Machins algoritme til beregning af π

π can never be expressed in numbers. William Jones og John Machins algoritme til beregning af π can never be expressed in numbers. William Jones og John Machins algoritme til beregning af. Oprindelsen til symbolet Første gang vi møder symbolet som betegnelse for forholdet mellem en cirkels omkreds

Læs mere

tjek.me Forårskatalog 2018 Matematik By Knowmio

tjek.me Forårskatalog 2018 Matematik By Knowmio tjek.me Forårskatalog 2018 Matematik Velkommen til tjek.me forårskatalog for matematik 1. til 9. klasse tjek.me er et online, spilbaseret evalueringsværktøj, som giver indsigt i elevernes progression.

Læs mere

Guide til Condes. Indhold:

Guide til Condes. Indhold: Guide til Condes Udarbejdet af Kim Højmark i 2008 Revideret december 2012 / Nicolaj Nielsen Denne vejledning guider dig igennem de mest basale elementer af Condes, så du bliver i stand til at anvende Condes

Læs mere

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Matematiske færdigheder Grundlæggende færdigheder - plus, minus, gange, division (hele tal, decimaltal og brøker) Identificer

Læs mere

Matematikkommission Læreplaner og it

Matematikkommission Læreplaner og it INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG, KU Matematikkommission Læreplaner og it Matematikkommissionsrapport CAS indtager imidlertid for matematik en særstilling blandt de digitale teknologier: CAS er entydigt matematisk,

Læs mere

Anden grads polynomier og populations dynamik

Anden grads polynomier og populations dynamik matkt@imf.au.dk Institut for Matematiske Fag Det Naturvidenskabelige Fakultet Aarhus Universitet 23. marts 2007 P = antal individer i en population Mennesker, mider, blomster, bakterier eller noget helt

Læs mere

Om produktiviteten i den offentlige sektor. Martin Paldam Økonomisk Institut, Århus Om mig: http://www.martin.paldam.dk

Om produktiviteten i den offentlige sektor. Martin Paldam Økonomisk Institut, Århus Om mig: http://www.martin.paldam.dk Om produktiviteten i den offentlige sektor Martin Paldam Økonomisk Institut, Århus Om mig: http://www.martin.paldam.dk 1 Danmarks Statistik, 2008. 60 år i tal, Danmark siden 2. verdenskrig. Med CD-rom.

Læs mere

Årsplan for matematik 4.kl 2013-2014 udarbejdet af Anne-Marie Kristiansen (RK)

Årsplan for matematik 4.kl 2013-2014 udarbejdet af Anne-Marie Kristiansen (RK) Matematikundervisningen vil i år ændre sig en del fra, hvad eleverne kender fra de tidligere år. vil få en fælles grundbog, hvor de ikke må skrive i, et kladdehæfte, som de skal skrive i, en arbejdsbog

Læs mere

Uddybning Undervisning form IT Færdigheds- og vidensmål

Uddybning Undervisning form IT Færdigheds- og vidensmål Årsplan 2016/17 Fag Matematik 9.kl Gymnastikefterskolen Stevns Lærer Christina Permin Caspersen Årgang 2016/17 Undervisningen opbygges således, at eleverne igennem deres daglige arbejde med matematikken

Læs mere

Kvantemekanik. Atomernes vilde verden. Klaus Mølmer. unı vers

Kvantemekanik. Atomernes vilde verden. Klaus Mølmer. unı vers Kvantemekanik Atomernes vilde verden Klaus Mølmer unı vers Kvantemekanik Atomernes vilde verden Kvantemekanik Atomernes vilde verden Af Klaus Mølmer unı vers Kvantemekanik Atomernes vilde verden Univers

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2013 Institution Campus Vejle, VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe Matematik A Pia Kejlberg

Læs mere

Årsplan for matematik i 2. klasse 2013-14

Årsplan for matematik i 2. klasse 2013-14 Årsplan for matematik i 2. klasse 2013-14 Klasse: 2. Fag: Matematik Lærer: Ali Uzer Lektioner pr. uge: 5(mandag, tirsdag, onsdag, torsdag, fredag) Formål for faget matematik Formålet med undervisningen

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2016 Marie

Læs mere

Yngre Talenters efterårsprogram Akademiet for Talentfulde Unge Øst

Yngre Talenters efterårsprogram Akademiet for Talentfulde Unge Øst Yngre Talenters efterårsprogram 2018 Akademiet for Talentfulde Unge Øst Indholdsfortegnelse Programoversigt s. 3 Når mennesker må flygte s. 4 Kend din hjerne s. 5 Matematisk introduktion s. 6 Hvad er EU?

Læs mere

Hvem sagde variabelkontrol?

Hvem sagde variabelkontrol? 73 Hvem sagde variabelkontrol? Peter Limkilde, Odsherreds Gymnasium Kommentar til Niels Bonderup Doh n: Naturfagsmaraton: et (interesseskabende?) forløb i natur/ teknik MONA, 2014(2) Indledning Jeg læste

Læs mere

WORKSHOP 1C, DLF-kursus, Brandbjerg Højskole, den 25. november 2015

WORKSHOP 1C, DLF-kursus, Brandbjerg Højskole, den 25. november 2015 WORKSHOP 1C, DLF-kursus, Brandbjerg Højskole, den 25. november 2015 opstille og synliggøre læringsmål knyttet til repræsentation og symbolbehandling på forskellige klassetrin udvikle og vurdere undervisningsaktiviteter

Læs mere

Gödels ufuldstændighedssætninger

Gödels ufuldstændighedssætninger Gödels ufuldstændighedssætninger Thomas Bolander, DTU Informatik UNF foredrag, HCØ, 13. april 2010 Thomas Bolander, UNF, F10 s. 1/34 Introduktion En populær formulering af Gödel s (første) ufuldstændighedssætning

Læs mere

Projekt 3.1 Pyramidestub og cirkelareal

Projekt 3.1 Pyramidestub og cirkelareal Projekt. Pyramidestub og cirkelareal - i tilknytning til afsnit., især for A Indhold Rumfanget af en pyramidestub... Moderne metode... Ægyptisk metode... Kommentarer til den ægyptiske beregning... Arealet

Læs mere

TRIGONOMETRI, 4 UGER, 9.KLASSE.

TRIGONOMETRI, 4 UGER, 9.KLASSE. TRIGONOMETRI, 4 UGER, 9.KLASSE. FRA FÆLLES MÅL Målsætninger for undervisningsforløbet er opsat efter kompetence, færdigheds og vidensmål samt læringsmål i lærersprog. Geometri og måling Fase 3 Geometriske

Læs mere

Symmetri og matematik i natur og forståelse

Symmetri og matematik i natur og forståelse Institut for Matematik Aarhus Universitet 26. september 2017 Felix Kleins Erlangen program (1872) Geometriske objekter skal klassificeres ved egenskaber, der er invariante under transformationer (symmetrier)

Læs mere

10.klasse. Naturfaglige fag: Matematik, Fysik/kemi. Matematik. Formål for faget matematik

10.klasse. Naturfaglige fag: Matematik, Fysik/kemi. Matematik. Formål for faget matematik 10.klasse Naturfaglige fag: Matematik, Fysik/kemi Matematik Formål for faget matematik Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at

Læs mere