Den Brownske Bevægelse
|
|
- Lucas Andresen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Den Brownske Bevægelse N.J. Nielsen 1 Notation I dette notesæt vil vi generelt benytte samme notation som i det øvrige undervisningsmateriale i MM23. For ethvert n N betegner B n Borelalgebraen på R, og hvis (Ω, F, P ) er et sandsynlighedsrum, X : Ω R n en stokastisk variabel, lader vi X(P ) betegne fordelingsmålet (billedmålet) på R n for X, dvs X(P )(A) = P (X 1 (A)) for alle A B n. (1.1) Hvis n N, lader vi, betegne det indre produkt (prikproduktet) på R n, dvs for alle x = (x 1, x 2,..., x n ) R n og alle y = (y 1, y 2,..., y n ) R n har vi x, y = x j y j. (1.2) Alle vektorrum, som optræder i disse noter, antages at være reelle, med mindre andet er nævnt. Endelig vil vi lade m n betegne Lebesguemålet på R n og sætter m = m 1. 2 Karakteristiske funktioner og normalfordelingen Vi starter med følgende definition: Definition 2.1 Lad n N og lad µ være et Borel-sandsynlighedsmål på R n. Den karakteristiske funktion ϕ µ : R n C for µ er defineret ved: ϕ µ (y) = e i y,x dµ(x) for alle y R n. (2.1) R n Følgende eksempel viser at der er en forbindelse mellem Fouriertransformen og karakteristiske funktioner. 1
2 Eksempel 2.2 Lad h L 1 (R), h med µ(a) = A h(x)dx = 1. Sæt h(x)dx for alle A B. (2.2) Da gælder ϕ µ (y) = 2πĥ( y) for alle y R (ĥ betegner Fouriertransformen). Vi har nemlig for alle y R ϕ µ (y) = e iyx dµ(x) = I MM56 har vi vist følgende sætning i tilfældet n = 1. Sætning 2.3 Tilordningen µ ϕ µ er en-entydig. e iyx h(x)dx = 2πĥ( y). (2.3) En klassisk sætning af Bochner giver sammen med Sætning 2.3, at tilordningen µ ϕ µ giver en en-entydig korrespondance mellem Borel-sandsynlighedsmål på R n og de kontinuerte, ikke-negativt definite funktioner fra R n til R. Definition 2.4 Lad (Ω, F, P ) være et sandsynlighedsrum og lad X : Ω R n være en stokastisk variabel. Den karakteristiske funktion ϕ X for X defineres som ϕ X = ϕ X(P ). Dette giver ϕ X (y) = e i y,x dx(p ) = e i y,x dp (2.4) R n Ω for alle y R n. Det fremgår umiddelbart af Sætning 2.3 og Definition 2.4, at to n-dimensionale stokastiske variable (ikke nødvendigvis defineret på samme sandsynlighedsrum) har samme fordeling, hvis og kun hvis deres karakteristiske funktioner er ens. Vi minder om, at en symmetrisk, reel n n matrix C kaldes positiv definit, hvis Cx, x > for alle x R n \ {}. (2.5) Vi vil nu definere og kort beskrive normalfordelte stokastiske variable. Vi får mest brug for det 1-dimensionale tilfælde, men i beviser som involverer uafhængighed er det ofte nødvendigt også at betragte flerdimensionale normalfordelinger. Vi indfører følgende definition Definition 2.5 Lad C være en symmetrisk, positiv definit n n matrix og lad ξ = (ξ 1, ξ 2,..., ξ n ) R n. En n-dimensional stokastisk variabel X siges at være normalfordelt N(ξ, C), hvis X har en tæthedsfunktion f givet ved for alle x R n. f(x) = 1 (2π) n/2 (det C) 1 2 exp( 1 2 C 1 (x ξ), x ξ ) (2.6) 2
3 Eksempel 2.6 Lad (Ω, F, P ) være et sandsynlighedsrum og lad X : Ω R være en stokastisk variabel, ξ R og σ >. X siges at være normalfordelt N(ξ, σ 2 ), hvis X har en tæthedsfunktion f givet ved Det ses forholdsvis let at EX = ξ og V X = σ 2. f(x) = 1 σ 2π exp( 1 2σ 2 (x ξ)2 ). (2.7) For at retfærdiggøre definition 2.5 skal vi vise, at funktionen f givet ved (2.6) faktisk er en tæthedsfunktion, dvs f og R n f dm n = 1. I MM56 har vi vist, at fgivet ved (2.7) er en tæthedsfunktion i det 1-dimensionale tilfælde. Vi får brug for følgende lemma, som er velkendt fra MM51 og MM56: Lemma 2.7 Der gælder følgende formel Ved integraltransformation fås: e 1 2 x2 dx = 2π. (2.8) exp( 1 2σ 2 (x ξ)2 )dx = σ 2π. (2.9) Lemmaet giver umiddelbart, at funktionen f givet ved (2.7) er en tæthedsfunktion. For at vise at det også gælder i højere dimensioner får vi brug for lidt lineær algebra. Sætning 2.8 Funktionen f givet ved (2.6) er en tæthedsfunktion. Bevis: Lad os for simpelhedens skyld antage at ξ =. Da C og dermed C 1 er symmetrisk, har R n en ortonormal basis (e j ) n bestående af egenvektorer for C 1. Lad λ j være egenværdien svarende til e j. Da C 1 er positiv definit, ses det at λ j > for alle 1 j n. For ethvert x R n har vi x = x, e j e j (2.1) og dermed og Lad U : R n R n være defineret ved C 1 x = C 1 x, x = λ j x, e j e j (2.11) λ j x, e j 2. (2.12) Ux = ( x, e j ) n for alle x R n. (2.13) 3
4 U er en isometri, da vi for alle x R n har Ux 2 = x, e j 2 = x, e j e j 2 = x 2, og det er også let at se, at U er på. Da Lebesguemålet er rotationsinvariant er U(m n ) = m n.vi finder nu exp( 1 R 2 C 1 x, x )dm n (x) = exp( 1 λ j x, e j 2 )dm n (x) (2.14) n R 2 n = exp( 1 λ j (Ux) 2 R 2 j)dm n (x) n = exp( 1 λ j x 2 R 2 j)dm n (x) n n = exp( 1 2 λ jx 2 j)dx j = (2π) n/2 1 n λ j = (2π) n/2 1 det C 1 = (2π)n/2 det C, hvor vi ved det tredie lighedstegn har benyttet at Lebesguemålet m n er rotationsinvariant (eller sagt på en anden måde: vi transformerer integralet med U, som har en Jacobiant med numerisk værdi 1), og ved det femte lighedstegn har benyttet Lemma 2.7. Beviset for den næste sætning overlades til læseren: Sætning 2.9 Lad n N og lad ξ og C = (c jk ) være som i Definition 2.5. Hvis X = (X j ) n er en n-dimensional stokastisk variabel, som er normaltfordelt N(ξ, C), så gælder der: EX = ξ (2.15) Cov(X j, X k ) = E(X j ξ j )(X k ξ k ) = c jk 1 j, k n. (2.16) Vi vil nu udregne den karakteristiske funktion for en normalfordelt stokastisk variabel. I fandt vi dette i dimension 1, se [3] eller sætning 2.11 nedenfor. I [3] viste vi også følgende lemma, som vi også her får brug for. Lemma 2.1 For ethvert y R gælder e 1 2 (x iy)2 dx = 2π. (2.17) 4
5 Bevis: Beviset kræver kompleks funktionsteori, så vi giver kun en skitse. For ethvert N N lader vi R N betegne rektanglet bestemt ved punkterne N, N, N iy og N iy. Da funktionen e 1 2 z2 er holomorf i C, vil 1 2 z2 dz =, (2.18) R N e hvor vi har integreret langs randen af rektanglet i positiv omløbsretning (mod uret). Integralet spaltes nu i kurveintegralerne langs de fire sider. Det ses umiddelbart, at integralerne langs de lodrette sider går mod for N. Sammen med (2.18) giver dette e 1 2 (x iy) dx = e 1 2 x2 dx = 2π. (2.19) Vi starter med at finde den karakteristiske funktion for en en-dimensional normalfordelt stokastisk variabel. Sætning 2.11 Lad (Ω, F, P ) være et sandsynlighedsrum, og X : Ω R en stokastisk variabel. X er normalfordelt N(ξ, σ 2 ), hvis og kun hvis ϕ X (y) = e 1 2 σ2 y 2 e iyξ for alle y R. (2.2) Bevis: Lad først X være normalfordelt N(, 1). Vi finder da ϕ X (y) = = e iyx dx(p )(x) (2.21) 1 2π = e 1 2 y2 1 2π e iyx e 1 2 x2 dx = e 1 2 y2 1 2π e iyx e 1 2 x2 e 1 2 y2 dx e 1 2 (x iy)2 dx = e 1 2 y2. Antag nu at X er normalfordelt N(ξ, σ 2 ) og sæt Z = X ξ, Da Z er normalfordelt N(, 1) σ og X = ξ + σz, får vi af det ovenstående ϕ X (y) = e iyx(w) dp (w) (2.22) = e iξy e iyσz dp = e iξy ϕ Z (σy) = e iξy e 1 2 y2 σ 2. 5
6 Antag derefter at ϕ X er af formen (2.2) og lad Y være normalfordelt N(ξ, σ 2 ). Ifølge det allerede viste vil ϕ Y = ϕ X, og af entydighedssætningen for karakteristiske funktioner fås nu, at X har samme fordeling som Y. Vi vil nu vise den analoge sætning til Sætning 2.11 for flerdimensionale normalfordelinger. Sætning 2.12 Lad (Ω, F, P ) være et sandsynlighedsrum, n N og X : Ω R n en stokastisk variabel. Hvis ξ R n og C er en symmetrisk, positiv definit n n matrix, så er X normalfordelt N(ξ, C) hvis og kun hvis ϕ X (y) = e i ξ,y exp( 1 2 Cy, y ) for alle y Rn. (2.23) Bevis: Lad først X være normalfordelt N(, C) og lad (e j ) n, (λ j ) n og U være valgt som i Sætning 2.8. Ved benyttelse af (2.12) finder vi det C(2π) n/2 ϕ X (y) = exp(i y, x ) exp( 1 R 2 C 1 x, x )dm n (x) (2.24) n = exp(i x, e j y, e j ) exp( 1 λ j x, e j 2 )dm n (x) R 2 n = exp( 1 1 n y, e j 2 ) exp( 1 2 λ j R 2 ( 1 λ j x, e j i y, e j ) 2 )dm n (x) n λj = exp( 1 n 2 Cy, y ) exp( 1 2 ( 1 λ j (Ux) j i y, e j ) 2 )dm n (x) λj = exp( 1 2 Cy, y ) = exp( 1 2 Cy, y ) n R n R n n exp( 1 2 ( 1 λ j x j i y, e j ) 2 )dm n (x) λj = exp( 1 2 Cy, y )(2π)n/2 det C. exp( 1 2 ( 1 λ j x j i y, e j ) 2 dx j λj Vi har i de ovenstående regninger benyttet Lemma 2.7 og Lemma 2.1. Hvis X er normalfordelt N(ξ, C) så er Z = X ξ normalfordelt N(, C), så vi finder ϕ X (y) = e i y,x dp = e i y,ξ+z dp = e i ξ,y ϕ Z (y) = e i ξ,y e 1 2 Cy,y (2.25) for alle y R n. Ω Ω Resten af sætningen følger af entydighedssætningen for karakteristiske funktioner. 6
7 I det følgende vil vi kalde en n-dimensional stokastisk variabel X for normalfordelt, hvis der findes et ξ R n og en ikke-negativ definit matrix C, så ϕ X opfylder (2.23). Vi kræver så ikke længere, at C er invertibel. Denne generalisering af normalfordelte stokastiske variable har betydning, når vi betragter linearkombinationer og grænseværdier af (sædvanlige) normalfordelte stokastiske variable. Eksempelvis kan vi betragte en konstant c R som en normalfordelt stokastisk variabel med middelværdi c og varians. Vi vil nu karakterisere n-dimensionale normalfordelte stokastiske variable ved egenskaberne af deres koordinatfunktioner. Sætning 2.13 Lad (Ω, F, P ) være et sandsynlighedsrum, og lad X j : Ω R være stokastiske variable. Hvis X = (X 1, X 2,..., X n ): Ω R n, så er følgende to udsagn ækvivalente: (i) X er normalfordelt (ii) Enhver linearkombination af X j erne er normalfordelt. Bevis: (i) = (ii). Lad X være normalfordelt N(ξ, C), lad t 1, t 2,..., t n R og sæt Y = n t jx j. Vi skal vise, at Y er normalfordelt. Hvis t = (t 1, t 2,..., t n ), så ser vi straks, at t, X = Y. Med denne observation får vi for ethvert y R: ϕ Y (y) = exp(iyy )dp = = ϕ X (yt) = e iy ξ,t exp( 1 2 y2 Ct, t ). exp(i yt, X )dp (2.26) Sætning 2.11 giver nu, at Y er normalfordelt med middelværdi ξ, t og varians Ct, t. (ii) = (i). For ethvert i j, k n sætter vi c jk = E(X j EX j )(X k EX k ) (2.27) og lader C = (c kj ), ξ = (EX 1, EX 2,..., EX n ). Vi vil vise, at X er normalfordelt N(ξ, C). Lad y = (y 1, y 2,..., y n ) R n være vilkårlig. Da y, X = n y jx j, følger det af forudsætningerne, at y, X er normalfordelt med E y, X = y, EX og varians V ( y, X ) = E( y, X EX ) 2 (2.28) = E( y j (X j EX j )) 2 = j=k y j y k c jk = Cy, y. (2.28) giver specielt at C er ikke-negativ definit. Vi finder nu ved anvendelse af Sætning 2.11 ϕ X (y) = exp(i y, X )dp = ϕ y,x (1) = exp(i y, ξ 1 Cy, y ), (2.29) 2 Ω 7
8 hvilket ifølge Sætning 2.12 giver, at X er normalfordelt N(ξ, C). Hvis N er en familie af stokastiske variable på et sandsynlighedsrum (Ω, F, P ), så kaldes elementerne i N for ukorrelerede, hvis cov(x, Y ) = E(X EX)(Y EY ) = for alle X, Y N. Det følger umiddelbart, at hvis N er uafhængig, så er elementerne i N ukorrelerede. Vi skal nu se, at det omvendte gælder for visse mængder af normalfordelte stokastiske variable. Sætning 2.14 Lad (Ω, F, P ) være et sandsynlighedsrum og lad X j : Ω R være stokastiske variable, så X = (X 1, X 2,..., X n ): Ω R n er normalfordelt. Hvis X j erne er ukorrelerede, er de uafhængige. Bevis: Lad ξ R n og C være covariansmatricen for X. Af forudsætningen følger at det er en diagonalmatrix med σ 2 j = (V (X j ) i diagonalen. Hvis f betegner tæthedsfunktionen for X, og f j betegner tæthedsfunktionen for X j, 1 j n, så er f(x 1, x 2,..., x n ) = (2π) n/2 n ( 1 σ j ) exp( 1 2 ( x j σ j ) 2 ) = f j (x 1, x 2,..., x n ), (2.3) hvor vi har benyttet Sætning 2.13 til at slutte at X j er normalfordelt for ethvert 1 j n. (2.3) viser, at {X 1, X 2,..., X n } er uafhængigt. Hvis vi kombinerer Sætning 2.13 med det foregående får vi Sætning 2.15 Lad (Ω, F, P ) og lad M L 2 (P ) være et underrum, således at ethvert Y M er normalfordelt. Hvis N M er en delmængde, hvis elementer er ukorrelerede, så er N uafhængig. Bevis: Lad n N og X 1, X 2,..., X n N, og sæt X = (X 1, X 2,..., X n ). Da enhver linearkombination af X j erne tilhører M, er X normalfordelt ifølge Sætning Da X j erne er ukorrelerede, er de uafhængige ifølge Sætning Dette viser at N er uafhængig. Dette giver følgende nyttige korollar. Korollar 2.16 Lad M L 2 (P ) være som i Sætning 2.15, og lad N M være en delmængde, hvis elementer alle har middelværdi. N er da uafhængig, hvis og kun hvis det er en ortogonalmængde. Vi nævner også følgende velkendte sætning. Sætning 2.17 Lad (Ω, F, P ) være et sandsynlighedsrum og X j : Ω R uafhængige, normalfordelte stokastiske variable. Da gælder (i) X = (X 1, X 2,..., X n ) er normalfordelt. 8
9 (ii) Enhver linearkombination af X j erne er normalfordelt. Bevis: (i) følger ved direkte udregning, og (ii) følger af (i) ved benyttelse af Sætning Vi slutter dette afsnit med følgende sætning, som vi ofte skal benytte i det følgende: Sætning 2.18 Lad (X k ) L 2 (P ) være en følge af normalfordelte stokastiske variable. Hvis X k X i L 2 (P ), så er X normalfordelt. Bevis: For ethvert k N sætter vi ξ k = EX k, σ 2 k = V (X k), ξ = E(X), og σ 2 = V (X). Da X k X i L 2 (P ), finder bi ξ k = E(X k ) E(X) = ξ (2.31) og σ 2 k = E(X k E(X k )) 2 E(X E(X)) = σ 2. (2.32) Vi vil vise, at X er normalfordelt N(ξ, σ 2 ). For ethvert y R finder vi ϕ X (y) ϕ Xk (y) e iyx e iyx k dp (2.33) Ω y X k X dp y X k X 2 for k således at ϕ Xk (y) ϕ X (y) for alle y R. Ω Da X k er normalfordelt N(ξ k, σk 2 ), giver Sætning 2.11 at der for ethvert y R gælder ϕ Xk (y) = exp(iyξ k 1 2 σ2 ky 2 ) exp(iyξ 1 2 σ2 y 2 ). (2.34) Dette viser, at ϕ X (y) = exp(iyξ 1 2 σ2 y 2 ) for alle y R, (2.35) således at X er normalfordelt N(ξ, σ 2 ). Bemrkning: I Sætning 2.18 kan det sagtens forekomme at σ = således at X er en konstant. Ved at kombinere Sætning 2.18 med Sætning 2.13 er det let at få en flerdimensionel version af Sætning Denne version kan dog også let fås direkte. 3 Den Brownske bevægelse I dette afsnit vil vi vise eksistensen af den vigtige stokastiske proces, som nu kaldes den Brownske bevægelse, og undersøge dens basale egenskaber. Processen er opkaldt efter botanikeren Brown, som i 1828 observerede, at når han opslemmede blomsterpollen i vand, så bevægede pollenkornene sig på en tilsyneladende tilfældig 9
10 måde, hvor de hele tiden skiftede retning (prøv selv!). Dette fænomen forklarede han (korrekt) ved kornenes sammenstød med vandmolekyler, men har ellers ikke medvirket til udvikling af den matematiske teori for denne proces. Det første forsøg på at give en matematisk definition af processen blev gjort af franskmanden Bachelier, som i slutningen af det 19. århundrede prøvede at give en statistisk beskrivelse af de tilfældige kursudsving på aktiebørsen i Paris. Den første præcise matematiske definition blev givet af Norbert Wiener i 1923, og processen kaldes derfor også ofte for Wienerprocessen. Siden da har den Brownske bevægelse spillet en stor rolle inden for ren matematik, anvendt matematik og fysik, hvor den især benyttes i Einsteins relativitetsteori. I matematisk finansieringsteori spiller den Brownske bevægelse en altdominerende rolle, idet den er den genererende proces for næsten alle matematiske finansieringsmodeller. Dette er også tilfældet for Black-Scholes modellen, der som bekendt indbragte Nobelprisen i økonomi til skaberne. I det følgende lader vi (Ω, F, P ) være et fast sandsynlighedsrum. Vi starter med følgende definition: Definition 3.1 En stokastisk proces i kontinuert tid er en familie (X t ) t af reelle stokastiske variable, defineret på et sandsynlighedsrum (Ω, F, P ). Ved en stokastisk proces (X t ) t vil det ofte forekomme at vi kun betragter X t for t i et interval [, R]. Vi får brug for følgende definition: Definition 3.2 Lad (F t ) t være en familie af del-σ-algebraer af F, således at F s F t for alle s t. En stokastisk proces (X t ) t kaldes tilpasset, hvis X t er F t -målelig for ethvert t. Definition 3.3 Lad (F t ) være som i Definition 3.2, og lad (X t ) L 1 (P ) være en (F t )- tilpasset proces. (X t ) siges at være en submartingale, hvis X s E(X t F s ) for alle s < t. (3.1) Hvis der for alle s < t gælder lighedstegn i (3.1), kaldes (X t ) en martingale. (X t ) kaldes en supermartingale hvis ( X t ) er en submartingale. I MM513 har vi udviklet en teori om følger af stokastiske variable, som er martingales. Mange af vore resultater kan umiddelbart overføres til kontinuert tid. Man skal dog passe på, når det gælder konvergenssætninger og resultater, som omhandler stoptider. Følgende definition er vigtig. Definition 3.4 En proces (X t ) på (Ω, F, P ) kaldes kontinuert, hvis der for n.a. ω Ω gælder at funktionen t X t (ω) er kontinuert i t. 1
11 En proces (Y t ) siges at have en kontinuert version hvis der findes en kontinuert proces (X t ) således at P (X t = Y t ) = 1 for alle t. Hvis (X t ) er en proces på (Ω, F, P ), så kaldes funktionerne t X t (ω), ω Ω, for processens udfaldsfunktioner. Det er nu på tide at definere den Brownske bevægelse. Definition 3.5 En reel stokastisk proces (B t ) kaldes en Brownsk bevægelse startende i med drift ξ og varians σ 2, hvis følgende betingelser er opfyldt: (i) P (B = ) = 1 (ii) For alle s < t er B t B s normalfordelt N((t s)ξ, (t s)σ 2 ). (iii) For alle t 1 < t 2 < t 3 < t n er B t1, B t2 B t1,... B tn B tn 1 indbyrdes uafhængige. (B t ) kaldes en normeret Brownsk bevægelse hvis ξ = og σ 2 = 1. (B t ) kaldes en normeret Brownsk bevægelse hvis ξ = og σ 2 = 1. Den væsentligste opgave i dette afsnit er selvfølgelig at vise eksistensen af den Brownske bevægelse, dvs vi skal vise, at der findes et sandsynlighedsrum (Ω, F, P ) og en proces (B t ) på dette rum, som opfylder betingelserne i Definition 3.5. Det er selvfølgelig tilstrækkeligt at vise eksistensen af en normeret Brownsk bevægelse (B t ), thi så er (ξt+σb t ) en Brownsk bevægelse med drift ξ og varians σ 2. Vi skal faktisk vise et stærkere resultat, nemlig at den Brownske bevægelse har en kontinuert version. Når vi i det følgende taler om en Brownsk bevægelse (eller den Brownske bevægelse) vil vi altid tænke på en normeret Brownsk bevægelse. Vi skal benytte Hilbertrumsteori til konstruktionen og får brug for etpar sætninger om isometrier. I det følgende vil (, ) henholdsvis betegne det indre produkt henholdsvis normen i et vilkårligt Hilbertrum H. Hvis vi betragter forskellige Hilbertrum samtidigt, er det selvfølgelig lidt misbrug af notation at bruge samme betegnelser for de indre produkter og normerne i disse rum, men det er sædvane, og det letter notationen. Vi minder om polarisationsformlen Lemma 3.6 hvis H er et reelt vektorrum, så gælder: (x, y) = 1 4 ( x + y 2 x y 2 ) for alle x, y H. (3.2) Hvis H er et komplekst vektorrum, så gælder (x, y) = 1 4 ( x + y 2 x y 2 + i x + iy 2 i x iy 2 ). (3.3) Bevis: Regn højresiderne ud! 11
12 Definition 3.7 Lad H 1 og H 2 være Hilbertrum. En lineær afbildning T : H 1 H 2 kaldes en isometri, hvis T x = x for alle x H 1. Ved hjælp af Lemma 3.6 får vi Proposition 3.8 Lad H 1 og H 2 være Hilbertrum, og T : H 1 H 2 en lineær afbildning. Følgende udsagn er ækvivalente (i) T er en isometri. (ii) (T x, T y) = (x, y) for alle x, y H 1. Bevis: (i) = (ii). Brug polarisationsformlen på (x, y) og (T x, T y). (ii) = (i). Sæt y = x. Vi bemærker, at det følger af Proposition 3.8, at hvis T : H 1 H 2 er en isometri, og x, y H 1 er ortogonale, så er T x og T y også ortogonale. Den næste sætning viser, hvordan vi kan konstruere isometrier. Sætning 3.9 Lad H 1 være et Hilbertrum med en ortonormal basis (e n ) og lad (f n ) være en ortonormalfølge i et Hilbertrum H 2. Afbildningen T : H 1 H 2 defineret ved T x = er en isometri af H 1 ind i H 2. (x, e n )f n for alle x H 1 (3.4) n=1 Bevis: Vi må først vise, at T er veldefineret, dvs vi skal vise, at rækken i (3.4) er konvergent for ethvert x H 1. Lad dertil x H 1 være vilkårlig. Da (e n ) er en ortonormalfølge, vil n=1 (x, e n) 2 = x 2 <, og da (f n ) er en ortonormalfølge, vil n=1 (x, e n)f n være konvergent i H 2, således at T er veldefineret. T er klart lineær, da det indre produkt er lineært i første variabel. Vi finder desuden: T x 2 = (x, e n ) 2 = x 2, (3.5) n=1 hvilket viser at T er en isometri. Den næste definition er ny: Definition 3.1 Lad (Ω, F, P ) være et sandsynlighedsrum. Et lukket underrum H L 2 (P ) kaldes et Gaussisk Hilbertrum, hvis ethvert f H er normalfordelt med middelværdi. 12
13 Bemrkning: I Definition 3.1 skal nulfunktionen tænkes på som normalfordelt med varians! Den næste sætning, som er en af hovedsætningerne, viser, at eksistensen af uendeligt dimensionale Gaussiske Hilbertrum er ækvivalent med eksistensen af Brownske bevægelser. Sætning 3.11 (i) Lad (Ω, F, P ) være et sandsynlighedsrym, således at der findes et uendeligt dimensionalt Gaussisk Hilbertrum H L 2 (P ). Da eksisterer der isometrier fra L 2 (, ) til H, og hvis T : L 2 (, ) H er en vilkårlig isometri, og vi sætter så er (B t ) en Brownsk bevægelse. B t = T (1 [,t] ) for alle t [, [, (3.6) (ii) Lad (Ω, F, P ) være et sandsynlighedsrum, hvorpå der findes en Brownsk bevægelse. Da findes et uendeligt dimensionalt Gaussisk Hilbertrum H L 2 (P ) og en isometri T : L 2 (, ) H, så (3.6) gælder. Bevis: (i) Da L 2 (, ) er et separabelt Hilbertrum, har det en ortonormal basis (f n ), og da H er uendeligt dimensionalt, kan vi finde en ortonormalfølge (g n ) H (bemærk, at alle g n erne er normalfordelte N(, 1) og uafhængige ifølge Korollar 2.16). Ifølge Sætning 3.9 findes der en isometri S af L 2 (, ) ind i H, således at Sf n = g n for alle n N. Lad nu T : L 2 (, ) L 2 (P ) være en vilkårlig isometri og definer (B t ) ved (3.6). Vi skal vise, at betingelserne (i) (iii) er opfyldte. Da = T () = B, er det klart at (i) gælder. Lad dernæst s < t. Da B t B s H, er den normalfordelt med middelværdi. Vi har endvidere: (B t B s ) 2 dp = B t B s 2 2 = T (1 ]s,t] ) 2 2 = 1 ]s,t] 2 2 = (t s), (3.7) Ω hvilket viser at B t B s har varians (t s). Lad dernæst t 1 < t 2 < t 3 < < t n. Da {1 [,t1 ], 1 ]t1,t 2 ],..., 1 ]tn 1,t n]} er en ortogonalmængde, følger det af Proposition 3.8, at {T (1 [,t1 ]), T (1 ]t1,t 2 ]),..., T (1 ]tn 1,t n])} er en ortogonalmængde, dvs at {B t1, B t2 B t1,..., B tn B tn 1 } er en ortogonalmængde. Det følger nu af Korollar 2.16, at B t1, B t2 B t1,..., B tn B tn 1 er indbyrdes uafhængige. Dette viser (i). (ii). Antag dernæst, at (B t ) t er en Brownsk bevægelse på (Ω, F, P ), og sæt H = span{b t t } L 2 (P ). Vi vil først vise at H er et Gaussisk Hilbertrum. Da alle B t erne har middelværdi, gælder det samme for alle elementer i H. Lad først g span{b t }. Vi kan da finde < t 1 < t 2 < < t n og (α j ) n R, således at g = n α jb tj. Hvis vi sætter β j = n k=j α k for alle 1 j n, ses det at g = β j (B tj B tj 1 ) (B t = ). (3.8) 13
14 Da B t1, B t2 B t1,..., B tn Btn 1 er indbyrdes uafhængige, følger det af Sætning 2.17 at g er normalfordelt. Lad nu g H være vilkårlig. Vi kan da finde en følge g n span{b t }, så g n g i L 2 (P ). Det ovenstående giver sammen med sætning 2.18 at g er normalfordelt, og vi har dermed vist at H er et Gaussisk Hilbertrum. Vi skal nu konstruere den ønskede isometri. Lad S L 2 (, ) være mængden af trappefunktioner. Hvis f S kan vi finde = t < t 2 < < t n og (α j ) n j= R, så og vi sætter Sf = f = α j 1 ]tj 1,t j ], (3.9) α j (B tj B tj 1 ). (3.1) Det overlades til læseren at vise at S er en veldefineret lineær afbildning fra S til H. Hvis f opfylder (3.9), så gælder Sf 2 2 = α j (B tj B tj 1 ) 2 2 = αj B 2 tj B tj = αj(t 2 j t j 1 ) = f 2 2, (3.11) hvilket viser at S : S H er en isometri. Vi vil nu udvide S til en isometri T : L 2 (, ) H. Lad f L 2 (, ). Da S er tæt i L 2 (, ), kan vi finde en følge (f n ) S, så f n f i L 2 (, ). Hvis n, m N, så følger det af (3.11), at Sf n Sf m 2 = S(f n f m ) 2 = f n f m 2, (3.12) hvilket viser, at (Sf n ) er en Cauchyfølge i H, og der findes derfor et F H, således at Sf n F i L 2 (P ). For at kunne definere T f = F, må vi vise, at F ikke afhænger af den valgte følge (f n ). Lad dertil (h n ) S, så h n f i L 2 (, ). Af det ovenstående følger, at lim n Sh n eksisterer i H. Vi definerer nu følgen (u k ) S ved u 2n 1 = f n, u 2n = h n for alle n = 1, 2,.... (3.13) Det er klart at u k f i L 2 (, ), og igen viser det ovenstående, at lim h Su k eksisterer i H. Da både (Sf n ) og (Sh n ) er delfølger af (Su k ), må der gælde F = lim n Sf n = lim k Su k = lim n Sh n, (3.14) således at F ikke afhænger af den valgte følge (f n ). Vi kan nu sætte T f = F. Det ses let, at T er en lineær afbildning fra L 2 (, ) til H, således at T f = Sf for alle f S. Hvis f L 2 (, ), og (f n ) S igen er valgt, så f n f i L 2 (, ), så følger det af (3.11), at T f 2 = lim n Sf n 2 = lim n f n 2 = f 2, (3.15) 14
15 således at T er en isometri. Det følger direkte af (3.1) at T (1 [,t] ) = B t for alle t. Bemrkning: Hvis (B t ) er en Brownsk bevægelse, T er den tilhørende isometri og f L 2 (, ), så kaldes T f for Ito-integralet af den deterministiske funktion f med hensyn til B t og betegnes fdb t. Ordet deterministisk udtrykker at f kun afhænger af tidsvariablen t. Itointegralet kan udvides til visse funktioner f(t, ω), t og ω Ω. At vi taler om et integral, skyldes konstruktionen af T i Sætning 3.11, (ii), som jo minder om den måde, man konstruerer integraler på. Itointegralet spiller en stor rolle i matematisk finansiering. Eksistensen af uendeligt dimensionale Gaussiske Hilbertrum følger af den næste sætning. Sætning 3.12 Der findes et sandsynlighedsrum (Ω, F, P ) og en følge (g n ) L 2 (P ) bestående af uafhængige stokastiske variable, som alle er normalfordelte N(, 1). span(g n ) er et Gaussisk Hilbertrum. Bevis: Eksistensen af (Ω, F, P ) og (g n ) blev vist i MM56, se [3] og [4]. Faktisk fandt vi, at vi kunne sætte (Ω, F, P ) = ([, 1], B, m 1 ). At span(g n ) er et Gaussisk Hilbertrum følger direkte af Sætning 2.17 og Sætning Den næste sætning samler vore hidtidige resultater, men giver også ny information. Sætning 3.13 Lad (Ω, F, P ) være et sandsynlighedsrum, således at der findes en følge (g n ) L 2 (P ) som i Sætning Da findes der en Brownsk bevægelse på (Ω, F, P ). Mere specifikt: Hvis (f n ) er en vilkårlig ortonormal basis for L 2 (, ), så konvergerer rækken t B t = f n (s)ds g n t (3.16) n=1 i L 2 (P ) og n.s. for alle t. (B t ) er en Brownsk bevægelse på (Ω, F, P ). Bevis: Det følger direkte af sætning 3.11 og 3.12, at der findes en Brownsk bevægelse på (Ω, F, P ). Da (f n ) er en ortonormal basis for L 2 (, ), findes der ifølge Sætning 3.9 en isometri T : L 2 (, ) L 2 (P ), så T f n = g n. T er givet ved T f = f(s)f n (s)ds g n, (3.17) n=1 hvor rækken konvergerer i L 2 (P ). Ifølge Sætning 3.11 er B t = T (1 [,t] ) en Brownsk bevægelse, og ved indsættelse i (3.17) fås t B t = T (1 [,t] ) = f n (s)ds g n for alle t. (3.18) n=1 Da alle summens led har middelværdi, og t E( f n (s)ds g n ) 2 = B t 2 2 = t <, (3.19) n=1 15
16 giver [1], Korollar 2.3, eller [4], Sætning 12.2, at rækken i (3.18) konvergerer n.s. for ethvert t. Vi vil nu vise, at der findes en kontinuert version af den Brownske bevægelse, og da har vi ikke som hidtil frit valg af den ortonormale basis for L 2 (, ). Vi vil konstruere en ortonormal basis (f n ) for L 2 (, ) med den egenskab, at der findes et A F med P (A) = 1, således at hvis ω A, så konvergerer rækken (3.16) mod B t (ω) uniformt i t på ethvert kompakt delinterval af [, [. Dette vil give, at t B t (ω) er kontinuert for alle ω A, idet hvert led i rækken (3.16) jo er kontinuert i t. Konstruktionen af (f n ) er baseret på Haarsystemet med hjælp af Borel-Cantelli lemmaet. I det følgende lader vi ( h m ) være Haarsystemet som defineret i opgaverne, dvs. h 1 (t) = 1 for alle t [, 1]. (3.2) For alle k =, 1, 2,... og l = 1, 2,..., 2 k sættes 1 hvis t [(2l 2)2 k 1, (2l 1)2 k 1 [ h 2 +l(t) = 1 hvis t [(2l 1)2 k 1, 2l 2 k 1 [ k ellers. Vi normerer dette system i L 2 (, 1) og sætter h 1 = h 1 h 2 k +l = 2 k/2 h2 k +l for alle k =, 1, 2,... og l = 1, 2, 3,..., 2 k. (3.21) Det følger af den obligatoriske opgave i MM513, at (h m ) er en ortonormal basis for L 2 (, 1). Det følger af Sætning 3.13, at hvis (Ω, F, P ) er et sandsynlighedsrum, således at der findes en følge (g n ) L 2 (P ) som i Sætning 3.12, så er B t = m=1 t h m (s)ds g m t 1 (3.22) en Brownsk bevægelse for t [, 1]. Rækken konvergerer i L 2 (P ) og n.s., og det samme gælder, hvis vi omordner ledene; vi skal dog gøre opmærksom på, at den mængde med mål 1, hvorpå rækken konvergerer punktvis, afhænger af omordningen, og for ikke at komme i vanskeligheder med nulmængder vil vi fastlægge en rækkefølge. Vi skriver B t = t Vi kan nu vise h 1 (s)ds g k+1 k= m=2 k +1 t def h m (s)ds g m = m t h m (s)ds g m for alle t 1. Sætning 3.14 (B t ) t 1 givet ved (3.23) er en kontinuert Brownsk bevægelse. I beviset for sætningen får vi brug for følgende lemmaer: 16 (3.23)
17 Lemma 3.15 For alle k gælder 2 k+1 t m=2 k +1 h m(s)ds 2 k/2 1. Bevis: For ethvert 2 k < m 2 k+1 sætter vi S m (t) = t h m(s)ds for alle t 1. Hvis m = 2 k + l, 1 l 2 k, så følger det direkte af definitionen på h m, at grafen for S m er en trekant centreret i (2l 1)2 k 1 og med højde 2 k/2 1. For forskellige l overlapper disse trekanter ikke. Dette viser påstanden. Lemma 3.16 For alle k sætter vi G k (ω) = max{ g m (ω) 2 k < m 2 k+1 } for alle ω Ω. (3.24) Der findes en delmængde Ω Ω med P ( Ω) = 1, således at der for ethvert ω Ω findes et k(ω), således at G k (ω) k for alle k k(ω). Bevis: For ethvert x > finder vi 2 P ( g m > x} = e u2 /2 du π hvilket giver: Da P (G k > k) = P ( x 2 k +1 m=2 k +1 2 u 2 /2 π x x e u2 du = π x 1 e x2 /2, (3.25) ( g m > k)) = 2 k P ( g 1 > k) P (G k > k) k=1 2 π k 1 2 k e k2 /2 <, k=1 2 1 π k 2k e k2 /2. (3.26) følger det af Borel-Cantelli lemmaet, at P (G k k f.v.t.) = 1. Med Ω lig denne mængde følger påstanden. Bevis for Sætning 3.14: Lad Ω være som i Lemma 3.16 og lad ω Ω. Der findes da et k(ω) 1, således at G k (ω) k for alle k k(ω). Hvis k k(ω) er fast, så finder vi for alle t 1 2 k+1 m=2 k +1 t h m (s)ds g m (ω) 2 k+1 m=2 k +1 t h m (s)ds G k (ω) k 2 k/2 1. (3.27) Da k=1 k 2 k/2 1 <, følger det, at rækken 2 k+1 t k=k(ω) m=2 k +1 h m(s)dsg m (ω) konvergerer uniformt for t [, 1]. Dette viser at rækken B t (ω) = m t 17 h m (s)dsg m (ω) (3.28)
18 konvergerer uniformt for t [, 1]. Da funktionen S m er kontinuert, følger det at t B t (ω) er kontinuert. For at finde en kontinuert Brownsk bevægelse på [, [ definerer vi funktionerne h nm L 2 (+, ) ved { hm (t (n 1)) for t [n 1, n] h nm (t) = ellers n N, m N (3.29) og bemærker, at for ethvert n N er (h nm ) m=1 en ortonormal basis for L 2 (n 1, n), hvilket viser, at (h nm ) er en ortonormal basis for L 2 (, ). Vi har følgende sætning: Sætning 3.17 Lad (Ω, F, P ) være et sandsynlighedsrum, hvorpå der findes en følge af N(, 1)-fordelte stokastiske variable, og lad (g nm ) være en sådan. Definer B t = n=1 m t Da er (B t ) t en kontinuert Brownsk bevægelse. Bevis: Lad n N. For ethvert t [n, n + 1] finder vi B t (ω) B n (ω) = m t h nm (s)ds g nm for alle t. (3.3) n h n m(s)ds g n m(ω) for alle ω Ω. (3.31) Ifølge Sætning 3.14 findes der en mængde Ω n Ω med P ( Ω n ) = 1, så rækken (3.31) konvergerer uniformt på [n, n + 1] for ethvert ω Ω n. Dette giver, at t B t (ω) er kontinuert på [n, n + 1] for alle ω Ω n. Sættes Ω = Ω n=1 n, så er P ( Ω) = 1, og hvis ω Ω, så vil t B t (ω) være kontinuert på [, [. Lad nu (B t ) være en Brownsk bevægelse og lad for ethvert t F t betegne σ-algebraen frembragt af {B s s t}. Vi slutter med følgende sætning: Sætning 3.18 (B t, F t ) er en martingale. Bevis: Lad s < t. Det følger direkte af definitionen, at B t B s er uafhænging af {B u u s} og dermed også af F s. Vi finder derfor E(B t F s ) = E(B s F s ) + E(B t B s F s ) = B s + E(B t B s ) = B s (3.32) 18
19 Litteratur [1] Martin Jakobsen, Videregående Sandsynlighedsregning, Københavns Universitet. [2] M. Love, Probability Theory I, 4th edition, springer Verlag [3] N.J. Nielsen, Forelæsningsnotater til MM56, Forår 28. [4] D. Williams, Probabilty with maringales, Cambridge 2. 19
Indledning. 1 Martingalerepræsentationssætningen
Indledning I disse noter vil uddybe nogle af Øksendals resultater i afsnittene 4 og 7 samt give andre beviser for dem. Disse resultater er gennemgået til forelæsningerne. 1 Martingalerepræsentationssætningen
Læs mereEksamen 2014/2015 Mål- og integralteori
Eksamen 4/5 Mål- og integralteori Københavns Universitet Institut for Matematiske Fag Formalia Eksamensopgaven består af 4 opgaver med ialt spørgsmål Ved bedømmelsen indgår de spørgsmål med samme vægt
Læs merestandard normalfordelingen på R 2.
Standard normalfordelingen på R 2 Lad f (x, y) = 1 x 2 +y 2 2π e 2. Vi har så f (x, y) = 1 2π e x2 2 1 2π e y2 2, og ved Tonelli f dm 2 = 1. Ved µ(a) = A f dm 2 defineres et sandsynlighedsmål på R 2 målet
Læs mereLineære normale modeller (1) udkast. 1 Flerdimensionale stokastiske variable
E6 efterår 999 Notat 8 Jørgen Larsen 22. november 999 Lineære normale modeller ) udkast Ved hjælp af lineær algebra kan man formulere og analysere de såkaldte lineære normale modeller meget overskueligt
Læs mereReeksamen 2014/2015 Mål- og integralteori
Reeksamen 4/5 Mål- og integralteori Københavns Universitet Institut for Matematiske Fag Formalia Eksamensopgaven består af 4 opgaver med ialt spørgsmål. Ved bedømmelsen indgår de spørgsmål med samme vægt.
Læs mereModule 1: Lineære modeller og lineær algebra
Module : Lineære modeller og lineær algebra. Lineære normale modeller og lineær algebra......2 Lineær algebra...................... 6.2. Vektorer i R n................... 6.2.2 Regneregler for vektorrum...........
Læs mereWigner s semi-cirkel lov
Wigner s semi-cirkel lov 12. december 2009 Eulers Venner Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Diagonalisering af selvadjungeret matrix Lad H være en n n matrix med komplekse
Læs mereNATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET. MI 2007 Obligatorisk opgave 4
NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET. MI 2007 Obligatorisk opgave 4 Sættet består af 3 opgaver med ialt 15 delopgaver. Besvarelsen vil blive forkastet, medmindre der er gjort et
Læs mereHilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum
Chapter 3 Hilbert rum 3.1 Indre produkt rum I det følgende skal vi gøre brug af komplekse såvel som reelle vektorrum. Idet L betegner enten R eller C minder vi om, at et vektorrum over L er en mængde E
Læs mereFoldningsintegraler og Doobs martingale ulighed
Foldningsintegraler og Doobs martingale ulighed N.J. Nielsen Indledning I dette notat vil vi vise en sætning om foldningsintegraler, som blev benyttet trin 2 i onstrutionen af Itointegralet, gennemgå esempel
Læs mereEn martingalversion af CLT
Kapitel 11 En martingalversion af CLT Når man har vænnet sig til den centrale grænseværdisætning for uafhængige, identisk fordelte summander, plejer næste skridt at være at se på summer af stokastiske
Læs mereElementær sandsynlighedsregning
Elementær sandsynlighedsregning Sandsynlighedsbegrebet Et udfaldsrum S er mængden af alle de mulige udfald af et eksperiment. En hændelse A er en delmængde af udfaldsrummet S. Den hændelse, der ikke indeholder
Læs mereEt eksempel på en todimensional normalfordeling Anders Milhøj September 2006
Et eksempel på en todimensional normalfordeling Anders Milhøj September 006 I dette notat gennemgås et eksempel, der illustrerer den todimensionale normalfordelings egenskaber. Notatet lægger sig op af
Læs merez 1 = z 1z 1z 1 z 1 2 = z z2z 1 z 2 2
M å l e p u n k t R i e m a n n s k G e o m e t r i E 8 J a ko b L i n d b l a d B l a ava n d 2 5 3 6 7 5 27 oktober 28 I n s t i t u t fo r M at e m at i s k e Fag A a r h u s U n i v e r s i t e t indledning
Læs mereDen todimensionale normalfordeling
Den todimensionale normalfordeling Definition En todimensional stokastisk variabel X Y siges at være todimensional normalfordelt med parametrene µ µ og når den simultane tæthedsfunktion for X Y kan skrives
Læs mereDefinition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0.
Landmålingens fejlteori Lektion 2 Transformation af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf12 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Repetition:
Læs mereEn martingalversion af CLT
Kapitel 9 En martingalversion af CLT Når man har vænnet sig til den centrale grænseværdisætning for uafhængige, identisk fordelte summander, plejer næste skridt at være at se på summer af stokastiske variable,
Læs mereMomenter som deskriptive størrelser. Hvad vi mangler fra onsdag. Momenter for sandsynlighedsmål
Hvad vi mangler fra onsdag Momenter som deskriptive størrelser Sandsynlighedsmål er komplicerede objekter de tildeler numeriske værdier til alle hændelser i en σ-algebra. Vi har behov for simplere, deskriptive
Læs mereHvad vi mangler fra onsdag. Vi starter med at gennemgå slides fra onsdag.
Hvad vi mangler fra onsdag Vi starter med at gennemgå slides 34-38 fra onsdag. Slide 1/17 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 6. December, 2013 Momenter som deskriptive størrelser Sandsynlighedsmål er
Læs mereDel II. Den lineære normale model
Del II Den lineære normale model 301 302 Kapitel 9 Normalfordelinger på vektorrum Vi vil i dette kapitel give en fremstilling af teorien for normalfordelinger (også kaldet Gaussiske fordelinger) på endeligdimensionale
Læs mere6.1 Reelle Indre Produkter
SEKTION 6.1 REELLE INDRE PRODUKTER 6.1 Reelle Indre Produkter Definition 6.1.1 Et indre produkt på et reelt vektorrum V er en funktion, : V V R således at, for alle x, y V, I x, x 0 med lighed x = 0, II
Læs mereGult Foredrag Om Net
Gult Foredrag Om Net University of Aarhus Århus 8 th March, 2010 Introduktion I: Fra Metriske til Topologiske Rum Et metrisk rum er en mængde udstyret med en afstandsfunktion. Afstandsfunktionen bruges
Læs mereLandmålingens fejlteori - Lektion 2. Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ. Definition: Normalfordelingen
Landmålingens fejlteori Lektion Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet En stokastisk variabel er en variabel,
Læs mereOm første og anden fundamentalform
Geometri, foråret 2005 Jørgen Larsen 9. marts 2005 Om første og anden fundamentalform 1 Tangentrummet; første fundamentalform Vi betragter en flade S parametriseret med σ. Lad P = σu 0, v 0 være et punkt
Læs mereFortolkning. Foldning af sandsynlighedsmål. Foldning af tætheder. Foldning af Γ-fordelinger Eksempel: Hvis X og Y er uafhængige og. Sætning (EH 20.
Foldning af sandsnlighedsmål Lad µ og ν være to sandsnlighedsmål på (R, B). Fortolkning Lad φ : R R være φ(, ) = + for (, ) R. Lad X og Y være to reelle stokastiske variable defineret på (Ω, F, P). Definition
Læs mereLandmålingens fejlteori - Lektion 2 - Transformation af stokastiske variable
Landmålingens fejlteori Lektion 2 Transformation af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf12 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/31 Repetition:
Læs mere5.3 Konvergens i sandsynlighed Konvergens i sandsynlighed 55. Hvis vi regner den karakteristiske funktion for X, v ud i argumentet 1, fås
5.3. Konvergens i sandsynlighed 55 BEVIS: Lad φ 1, φ 2,... og φ være de karakteristiske funktioner for X 1, X 2,... og X. Hvis vi regner den karakteristiske funktion for X, v ud i argumentet 1, fås φ X,v
Læs mereTaylors formel. Kapitel Klassiske sætninger i en dimension
Kapitel 3 Taylors formel 3.1 Klassiske sætninger i en dimension Sætning 3.1 (Rolles sætning) Lad f : [a, b] R være kontinuert, og antag at f er differentiabel i det åbne interval (a, b). Hvis f (a) = f
Læs mereKlassisk Taylors formel
p. 1/17 Klassisk Taylors formel Sætning Lad f : (a, b) R være n gange differentiabel. For x 0, x (a, b) findes et ξ mellem x 0 og x der opfylder at f(x) = f(x 0 )+ f (x 0 ) 1! (x x 0 )+...+ f(n 1) (x 0
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Uafhængighed og reelle transformationer Helle Sørensen Uge 8, mandag SaSt2 (Uge 8, mandag) Uafh. og relle transf. 1 / 16 Program I dag: Uafhængighed af kontinuerte
Læs mere1/41. 2/41 Landmålingens fejlteori - Lektion 1 - Kontinuerte stokastiske variable
Landmålingens fejlteori - lidt om kurset Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Kursusholder
Læs mereElementær sandsynlighedsregning
Elementær sandsynlighedsregning Sandsynlighedsbegrebet Et udfaldsrum S er mængden af alle de mulige udfald af et eksperiment. En hændelse A er en delmængde af udfaldsrummet S. Et sandsynlighedsmål er en
Læs merehvor a og b er konstanter. Ved middelværdidannelse fås videre
Uge 3 Teoretisk Statistik. marts 004. Korrelation og uafhængighed, repetition. Eksempel fra sidste gang (uge ) 3. Middelværdivektor, kovarians- og korrelationsmatrix 4. Summer af stokastiske variable 5.Den
Læs mereSupplerende opgaver. S1.3.1 Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at
Supplerende opgaver Analyse Jørgen Vesterstrøm Forår 2004 S.3. Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at (A B C) (A B C) (A B) C og find en nødvendig og tilstrækkelig betingelse for at der gælder lighedstegn
Læs mereAnalyse 2. Bevis af Fatous lemma (Theorem 9.11) Supplerende opgave 1. Øvelser
Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 24. og 27. september 203 Bevis af Fatous lemma (Theorem 9.) Hvis (u j ) j er en følge af positive, målelige, numeriske funktioner (dvs. med værdier i [, ]) over
Læs mereNoget om en symmetrisk random walks tilbagevenden til udgangspunktet
Random Walk-kursus 2014 Jørgen Larsen 14. oktober 2014 Noget om en symmetrisk random walks tilbagevenden til udgangspunktet Dette notat giver et bevis for at en symmetrisk random walk på Z eller Z 2 og
Læs mereDesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof
DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P
Læs mereTidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra
Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet Tidligere Eksamensopgaver MM55 Lineær Algebra Indhold Typisk forside.................. 2 Juni 27.................... 3 Oktober 27..................
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Lineære transformationer, middelværdi og varians Helle Sørensen Uge 8, onsdag SaSt2 (Uge 8, onsdag) Lineære transf. og middelværdi 1 / 15 Program I formiddag: Fordeling
Læs mere4 Oversigt over kapitel 4
IMM, 2002-09-14 Poul Thyregod 4 Oversigt over kapitel 4 Introduktion Hidtil har vi beskæftiget os med data. Når data repræsenterer gentagne observationer (i bred forstand) af et fænomen, kan det være bekvemt
Læs mereKarakteristiske funktioner og Den Centrale Grænseværdisætning
E6 efterår 1999 Notat 10 Jørgen Larsen 20. oktober 1999 Karakteristiske funktioner og Den Centrale Grænseværdisætning Karakteristiske funktioner som er nære slægtninge til Fourier-transformationen) er
Læs mereLandmålingens fejlteori - Repetition - Kontinuerte stokastiske variable - Lektion 3
Landmålingens fejlteori Repetition - Kontinuerte stokastiske variable Lektion 4 - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf10 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 29. april
Læs mereSkriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM02)
SYDDANSK UNIVERSITET ODENSE UNIVERSITET INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM2) Fredag d. 2. januar 22 kl. 9. 3. 4 timer med alle sædvanlige skriftlige
Læs mereMM501 forelæsningsslides
MM501 forelæsningsslides uge 40, 2010 Produceret af Hans J. Munkholm bearbejdet af JC 1 Separabel 1. ordens differentialligning En generel 1. ordens differentialligning har formen s.445-8 dx Eksempler
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program
Dagens program Afsnit 6.1 Den standardiserede normalfordeling Normalfordelingen Beskrivelse af normalfordelinger: - Tæthed og fordelingsfunktion - Middelværdi, varians og fraktiler Lineære transformationer
Læs mereProgram. Statistik og Sandsynlighedsregning. Eksempler. Sandsynlighedstæthed og sandsynlighedsmål
Program Statistik og Sandsynlighedsregning Sandsynlighedstætheder og kontinuerte fordelinger på R Varians og middelværdi Normalfordelingen Susanne Ditlevsen Uge 48, tirsdag Tætheder og fordelingsfunktioner
Læs mere8 Regulære flader i R 3
8 Regulære flader i R 3 Vi skal betragte særligt pæne delmængder S R 3 kaldet flader. I det følgende opfattes S som et topologisk rum i sportopologien, se Definition 5.9. En åben omegn U af p S er således
Læs mereOm hypoteseprøvning (1)
E6 efterår 1999 Notat 16 Jørgen Larsen 11. november 1999 Om hypoteseprøvning 1) Det grundlæggende problem kan generelt formuleres sådan: Man har en statistisk model parametriseret med en parameter θ Ω;
Læs mereProdukt og marked - matematiske og statistiske metoder
Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 19, 2016 1/26 Kursusindhold: Sandsynlighedsregning og lagerstyring
Læs mereØlopgaver i lineær algebra
Ølopgaver i lineær algebra 30. maj, 2010 En stor del af de fænomener, vi observerer, er af lineær natur. De naturlige matematiske objekter i beskrivelsen heraf bliver vektorrum rum hvor man kan lægge elementer
Læs mere1 Beviser for fornyelsessætningen
Hvordan beviser man fornyelsessætningen? 1 1 Beviser for fornyelsessætningen I dette notat skal vi diskutere, hvorman man kan bevise fornyelsessætningen. Vi vil starte med at se på tilfældet, hvor ventetidsfordelingen
Læs mereAarhus Universitet 5. februar Meddelelse 2
fdeling for Teoretisk Statistik IOSTTISTIK Institut for Matematiske Fag Preben læsild arhus Universitet 5. februar 2003 Meddelelse 2 Forelæsningerne i uge 6 (3-7.2) Ved forelæsningen den 4.2 gav Frank
Læs mereMM501/MM503 forelæsningsslides
MM501/MM503 forelæsningsslides uge 50, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm 1 Separabel 1. ordens differentialligning En generel 1. ordens differentialligning har formen dx Eksempler = et udtryk, der indeholder
Læs mereBrownsk Bevægelse fra pollenkorn til matematisk blomst
HCØ-dage 2007 Brownsk Bevægelse fra pollenkorn til matematisk blomst Niels Richard Hansen Institut for Matematiske Fag Forskningsgruppe: Statistik og Sandsynlighedsregning Præsentation ved HCØ-dage 2007.
Læs mereStatistik Lektion 3. Simultan fordelte stokastiske variable Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen
Statistik Lektion 3 Simultan fordelte stokastiske variable Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen Repetition En stokastisk variabel er en funktion defineret på S (udfaldsrummet, der antager
Læs mereaf koblede differentialligninger (se Apostol Bind II, s 229ff) 3. En n te ordens differentialligning
EKSISTENS- OG ENTYDIGHEDSSÆTNINGEN Vi vil nu bevise eksistens- og entydighedssætningen for ordinære differentialligninger. For overskuelighedens skyld vil vi indskrænke os til at undersøge een 1. ordens
Læs mereProgram. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Middelværdi og varians. Eksempler fra sidst. Sandsynlighedstæthed og sandsynlighedsmål
Program Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Middelværdi og varians Helle Sørensen Uge 6, onsdag I formiddag: Tætheder og fordelingsfunktioner kort resume fra i mandags og et par eksempler mere om sammenhængen
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Middelværdi og varians Helle Sørensen Uge 6, onsdag SaSt2 (Uge 6, onsdag) Middelværdi og varians 1 / 18 Program I formiddag: Tætheder og fordelingsfunktioner kort resume
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program
Dagens program Afsnit 6.1. Ligefordelinger, fra sidst Den standardiserede normalfordeling Normalfordelingen Beskrivelse af normalfordelinger: - Tæthed og fordelingsfunktion - Middelværdi, varians og fraktiler
Læs mereLandmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable
Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/41 Landmålingens fejlteori - lidt om kurset
Læs mereAgenda Sandsynlighedsregning. Regneregler (kap. 3-4) Fordelinger og genkendelse af fordelinger (kap. 3-5) Simultane, marginale og betingede
Agenda Sandsynlighedsregning. Regneregler (kap. 3-4) Fordelinger og genkendelse af fordelinger (kap. 3-5) Simultane, marginale og betingede fordelinger (kap. 4) Middelværdi og varians (kap. 3-4) Fordelingsresultater
Læs mere= λ([ x, y)) + λ((y, x]) = ( y ( x)) + (x y) = 2(x y).
Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 17. og 20. september 2013 Supplerende opgave 1 Lad λ være Lebesgue-målet på R og lad A B(R). Definér en funktion f : [0, ) R ved f(x) = λ(a [ x, x]). Vis, at f(x)
Læs mereModulpakke 3: Lineære Ligningssystemer
Chapter 4 Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer 4. Homogene systemer I teknikken møder man meget ofte modeller der leder til systemer af koblede differentialligninger. Et eksempel på et sådant system
Læs mereKursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte
Læs mereSandsynlighedsteori 1.1 Uge 44.
Institut for Matematiske Fag Aarhus Universitet Den 18. oktober 2004. Sandsynlighedsteori 1.1 Uge 44. Forelæsninger: Vi afslutter foreløbigt den rene mål- og integralteori med at gennemgå afsnittet Produktmål,
Læs mereTeoretisk Statistik, 9 marts nb. Det forventes ikke, at alt materialet dækkes d. 9. marts.
Teoretisk Statistik, 9 marts 2005 Empiriske analoger (Kap. 3.7) Normalfordelingen (Kap. 3.12) Opsamling på Kap. 3 nb. Det forventes ikke, at alt materialet dækkes d. 9. marts. 1 Empiriske analoger Betragt
Læs mereLokalt ekstremum DiploMat 01905
Lokalt ekstremum DiploMat 0905 Preben Alsholm Institut for Matematik, DTU 6. oktober 00 De nition Et stationært punkt for en funktion af ere variable f vil i disse noter blive kaldt et egentligt saddelpunkt,
Læs mereHistogrammetoden For (x i, y i ) R 2, i = 1,..., n, ser vi på den gennemsnitlige
Histogrammetoden For (x i, y i ) R 2, i = 1,..., n, ser vi på den gennemsnitlige længde: z = 1 n hvor z i = xi 2 + yi 2. n z i = 1 n i=1 n i=1 x 2 i + y 2 i Indfør tabellen samt vægtene Da er a k = #{i
Læs mereLineær Algebra, TØ, hold MA3
Lineær Algebra, TØ, hold MA3 Lad mig allerførst (igen) bemærke at et vi siger: En matrix, matricen, matricer, matricerne. Og i sammensætninger: matrix- fx matrixmultiplikation. Injektivitet og surjektivitet
Læs mereANALYSE 1, 2014, Uge 5
ANALYSE, 204, Uge 5 Afleveringsfrist for Prøve 2 er Tirsdag den 20/5 kl 0:5. Forelæsninger Tirsdag Vi går videre med Afsnit 4 om uniform konvergens af Fourierrækker, hvor hovedsætningen er Sætning 4.3.
Læs mereLineær Algebra F08, MØ
Lineær Algebra F08, MØ Vejledende besvarelser af udvalgte opgaver fra Ugeseddel 3 og 4 Ansvarsfraskrivelse: Den følgende vejledning er kun vejledende. Opgaverne kommer i vilkårlig rækkefølge. Visse steder
Læs mereSandsynlighedsregning Oversigt over begreber og fordelinger
Tue Tjur Marts 2007 Sandsynlighedsregning Oversigt over begreber og fordelinger Stat. MØK 2. år Kapitel : Sandsynlighedsfordelinger og stokastiske variable En sandsynlighedsfunktion på en mængde E (udfaldsrummet)
Læs mereANALYSE 1. Uge 7, 4. juni juni, 2007
ANALYSE 1 Uge 7, 4. juni - 10. juni, 2007 Forelæsninger Mandag 4. juni Formålet med denne dags forelæsninger er at etablere en overgang til emnet metriske rum, hvis hovedformål er at udvide begreber som
Læs mereHilbert rum. Chapter Indre produkt rum
Chapter 4 Hilbert rum 4.1 Indre produkt rum I det følgende skal vi gøre brug af komplekse såvel som reelle vektorrum. Idet L betegner enten R eller C minder vi om, at et vektorrum over L er en mængde E
Læs mereMATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 3. fjerdedel
MATEMATIK Eksamensopgaver Juni 995 Juni 200, 3. fjerdedel August 998 Opgave. Lad f : R \ {0} R betegne funktionen givet ved f(x) = ex x for x 0. (a) Find eventuelle lokale maksimums- og minimumspunkter
Læs mereNATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET.
NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET. Eksamen i Statistik 1TS Teoretisk statistik Den skriftlige prøve Sommer 2005 3 timer - alle hjælpemidler tilladt Det er tilladt at skrive
Læs mereBorel-σ-algebraen. Definition (EH 1.23)
Borel-σ-algebraen Definition (EH 1.23) Borel-σ-algebraen B k på R k er σ-algebraen frembragt af de åbne mængder O k. Andre frembringersystemer for B k : De afsluttede mængder. De åbne kasser I k (k = 1,
Læs mereBetingning med en uafhængig variabel
Betingning med en uafhængig variabel Sætning Hvis X er en reel stokastisk variabel med første moment og Y er en stokastisk variabel uafhængig af X, så er E(X Y ) = EX. Bevis: Observer at D σ(y ) har formen
Læs mere3.1 Baser og dimension
SEKTION 3 BASER OG DIMENSION 3 Baser og dimension Definition 3 Lad V være et F-vektorrum Hvis V = {0}, så har V dimension 0 2 Hvis V har en basis bestående af n vektorer, så har V dimension n 3 Hvis V
Læs mereBesvarelse, Eksamen Analyse 1, 2013
Københavns Universitet Prøve ved Det naturvidenskabelige Fakultet juni 23 Besvarelse, Eksamen Analyse, 23 Opgave Lad, for n N, funktionen f n : [, ) R være givet ved NB. Trykfejl. Burde være x. f n (x)
Læs mereForelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs mereRepetition. Diskrete stokastiske variable. Kontinuerte stokastiske variable
Normal fordelingen Normal fordelingen Egenskaber ved normalfordelingen Standard normal fordelingen Find sandsynligheder ud fra tabel Transformation af normal fordelte variable Invers transformation Repetition
Læs mereNote om Monte Carlo metoden
Note om Monte Carlo metoden Kasper K. Berthelsen Version 1.2 25. marts 2014 1 Introduktion Betegnelsen Monte Carlo dækker over en lang række metoder. Fælles for disse metoder er, at de anvendes til at
Læs mereMATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel
Juni 2000 MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Opgave 1. (a) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen y 8y + 16y = 0. (b) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen
Læs mereLineære 1. ordens differentialligningssystemer
enote 7 enote 7 Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses Der bruges egenværdier og egenvektorer i løsningsproceduren,
Læs mereSupplerende note om Hilbertrum og Banachrum
Supplerende note om Hilbertrum og Banachrum Jimi Lee Truelsen Om Noten Vi vil i denne note uddybe nogle af emnerne fra de første 3 apitler af [Ve] og komme med nogle eksempler. Det drejer sig især om begreberne
Læs mereIntegration m.h.t. mål med tæthed
Integration m.h.t. mål med tæthed Sætning (EH 11.7) Lad ν = f µ på (X, E). For alle g M + (X, E) gælder at gdν = g f dµ. Bevis: Standardbeviset: 1) indikatorfunktioner 2) simple funktioner 3) M + -funktioner.
Læs mereSandsynlighedsregning 11. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 11. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 28 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@imm.dtu.dk Dagens nye emner afsnit 6.3 (og 6.4 Betingede
Læs mereINSTITUT FOR MATEMATISKE FAG c
INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG c AALBORG UNIVERSITET FREDRIK BAJERS VEJ 7 G 9220 AALBORG ØST Tlf.: 96 35 89 27 URL: www.math.aau.dk Fax: 98 15 81 29 E-mail: bjh@math.aau.dk Dataanalyse Sandsynlighed og stokastiske
Læs mereDen homogene ligning. Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning. d n y dt n. an 1 + any = 0 (1.2) dt. + a1 d n 1 y dt n 1
1/7 Den homogene ligning Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning a 0 d n y dt n + a1 d n 1 y dt n 1 hvor a 0,..., a n R og a 0 0. Vi skriver ligningen på kort form som + + dy
Læs mereEt eksperiment beskrives af et udfaldsrum udstyret med et. alle mulige resultater af eksperimentet
Sandsynlighedsteori Et eksperiment beskrives af et udfaldsrum udstyret med et sandsynlighedsmål, (X, E, ν). Udfaldsrummet X indeholder alle mulige resultater af eksperimentet men ofte også yderligere elementer
Læs mereSylvesters kriterium. Nej, ikke mit kriterium. Sætning 9. Rasmus Sylvester Bryder
Sætning 9 Sylvesters kriterium Nej, ikke mit kriterium Rasmus Sylvester Bryder Inspireret af en statistikers manglende råd om hvornår en kvadratisk matrix er positivt definit uden at skulle ud i at bestemme
Læs mereSandsynlighedsteori. Sandsynlighedsteori. Sandsynlighedsteori Et eksperiment beskrives af et udfaldsrum udstyret med et. Et Bayesiansk argument
Sandsynlighedsteori Sandsynlighedsteori Et eksperiment beskrives af et udfaldsrum udstyret med et sandsynlighedsmål, (, E, ν). Et eksperiment beskrives af et udfaldsrum udstyret med et sandsynlighedsmål,
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 8 Morten Grud Rasmussen 18. oktober 216 1 Fourierrækker 1.1 Periodiske funktioner Definition 1.1 (Periodiske funktioner). En periodisk funktion f er
Læs mereDiagonalisering. Definition (diagonaliserbar)
1 Diagonalisering 2 Definition (diagonaliserbar) Lad A være en n n-matrix. A siges at være diagonaliserbar hvis A er similær med en diagonal matrix, dvs. A = PDP 1, hvor D er en n n diagonal matrix og
Læs mereTema. Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber.
Tema Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber. Model og modelkontrol Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse. konfidensintervaller Vi tager udgangspunkt i Ex. 3.1 i
Læs mereStokastisk integration med anvendelser
tokastisk integration med anvendelser Frank Hansen 23. januar 24 Indhold 1 Mål og integralteori 3 1.1 Målrum........................................ 3 1.2 Mål og udvidelse af mål..............................
Læs mereOversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger. Per Bruun Brockhoff.
Kursus 242 Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik Bygning 35/324 Danmarks Tekniske Universitet 28 Lyngby Danmark e-mail:
Læs merePunktmængdetopologi. Mikkel Stouby Petersen. 1. marts 2013
Punktmængdetopologi Mikkel Stouby Petersen 1. marts 2013 I kurset Matematisk Analyse 1 er et metrisk rum et af de mest grundlæggende begreber. Et metrisk rum (X, d) er en mængde X sammen med en metrik
Læs mereKursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte
Læs mere