(studienummer) (underskrift) (bord nr)

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "(studienummer) (underskrift) (bord nr)"

Transkript

1 Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 20 sider. Skriftlig prøve: 15. december 2012 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af (studienummer) (underskrift) (bord nr) Opgavesættet består af 30 spørgsmål af multiple choice typen fordelt på 10 opgaver. Besvarelserne af multiple choice spørgsmålene anføres ved at udfylde skemaet på forsiden (denne side), med numrene på de svarmuligheder, du mener er de korrekte. Et forkert svar kan rettes ved at sværte det forkerte svar over og anføre det rigtige i stedet. Er der tvivl om meningen med en rettelse, eller er der anført flere end ét nummer ved et spørgsmål, betragtes spørgsmålet som ubesvaret. Kladde, mellemregninger eller andet tillægges ingen betydning, kun svarene i tabellen tæller. Der gives 5 point for et korrekt multiple choice svar og 1 for et ukorrekt svar. Ubesvarede spørgsmål eller et 6-tal (svarende til ved ikke ) giver 0 point. Det antal point, der kræves for, at et sæt anses for tilfredstillende besvaret, afgøres endeligt ved censureringen af sættene. Den endelige besvarelse af opgaverne gøres ved at udfylde nedenstående skema. Aflever KUN skemaet! Opgave I.1 I.2 I.3 I.4 II.1 II.2 III.1 III.2 III.3 IV.1 Spørgsmål (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) Svar Opgave IV.2 IV.3 IV.4 V.1 V.2 V.3 VI.1 VI.2 VII.1 VII.2 Spørgsmål (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18) (19) (20) Svar Opgave VII.3 VII.4 VIII.1 VIII.2 IX.1 IX.2 IX.3 X.1 X.2 X.3 Spørgsmål (21) (22) (23) (24) (25) (26) (27) (28) (29) (30) Svar Husk at forsyne opgavesættet med dit nummer. Sættets sidste side er nr 20; blad lige om og se, at den er der. Fortsæt på side 2 1

2 Multiple choice opgaver Der gøres opmærksom på, at ideen med opgaverne er, at der er ét og kun ét rigtigt svar på de enkelte spørgsmål. Endvidere er det ikke givet, at alle de anførte alternative svarmuligheder er meningsfulde. Opgave I På et stort fuldautomatisk produktionsanlæg skubbes der på tilfældige tidspunkter emner ud på et sidebånd, hvorfra de automatisk føres til et kontrolanlæg. Produktionsanlægget er indstillet på en sådan måde at antallet af emner, der sendes til kontrolanlægget i middel er 1.6 emne pr. minut. Indføres den stokastiske variabel X, der beskriver antallet af emner til kontrol pr. minut, antages det, at X følger en poissonfordeling. Spørgsmål I.1 (1) Sandsynligheden for, at der i et givet minut ankommer mere end 5 emner til kontrolanlægget bliver: 1 Ca. 97.6% 2 Ca. 2.4% 3 Ca. 0.6% 4 Ca. 32% 5 Ca. 1.6% Spørgsmål I.2 (2) Sandsynligheden for, at der i en 5 minutters periode ankommer højst 8 emner til kontrolanlægget bliver: 1 Ca. 59.3% 2 Ca. 54.7% 3 Ca. 1.4% 4 Ca. 97.0% 5 Ca. 45.3% Fortsæt på side 3 2

3 Spørgsmål I.3 (3) De operatører, der har ansvaret for kontrolanlægget, mener, at antallet af emner, der ankommer til kontrol, er lavere end det ønskede. Der foretages derfor en optælling af antallet af emner, der ankommer i perioder på 10 minutter. Der er registreret 8 tilfældige perioder á 10 minutter. Følgende data er fundet: Det kan nu antages, at en normalfordeling, N(µ, σ 2 ), kan bruges som en god tilnærmelse til fordelingen af antal emner i løbet af 10 minutter. Vi ønsker at teste hypotesen (på niveau α = 0.05) H 0 : µ = 16 ( Korrekt niveau ) H 1 : µ < 16 ( For lavt niveau ) Resultatet af undersøgelsen bliver: (Både konklusion og argument skal være i orden) 1 Der er et korrekt niveau, idet den relevante P-værdi er netop Der er et korrekt niveau, idet den relevante P-værdi er klart under Der er et korrekt niveau, idet den relevante P-værdi er klart over Der er et dokumenteret for lavt niveau, idet den relevante P-værdi er klart over Der er et dokumenteret for lavt niveau, idet den relevante P-værdi er klart under Fortsæt på side 4 3

4 Spørgsmål I.4 (4) Ledelsen lavede en tilsvarende optælling, men baserede den på 10 perioder á 5 minutter, og fik følgende antal: De ønsker at få et 90% konfidensinterval for µ - middelværdien for antal emner i 5 minutter, men UDEN at basere det på en antagelse om at normalfordeling kan bruges, og kører følgende i R x=c(8,7,5,10,8,7,7,8,9,8) k = my_bootstrap_samples = replicate(k, sample(x, replace = TRUE)) my_bootstrap_means = apply(my_bootstrap_samples, 2, mean) quantile(my_bootstrap_means,c(0.001,0.01,0.025,0.05,0.1,0.9,0.95,0.975,0.99,0.995)) Og får fra sidste linie følgende fraktiler for bootstrap-fordelingen: 0.1% 1% 2.5% 5% 10% 90% 95% 97.5% 99% 99.5% Det ønskede konfidensinterval baseret på ovenstående er: 1 8 ± [7.0; 8.3] 3 8 ± [6.4; 8.7] 5 [6.7; 8.6] Fortsæt på side 5 4

5 Opgave II En maskine til check af computerchip anvender i middel 65 millisekunder pr. check med en spredning på 4 millisekunder. En nyere maskine, som man overvejer at anskaffe, anvender i middel 54 millisekunder pr. check med en spredning på 3 millisekunder. Det forudsættes, at checktiderne kan antages normalfordelt og uafhængige. Spørgsmål II.1 (5) Sandsynligheden for at tidsbesparelsen pr. check ved anvendelsen af den nye maskine er under 10 millisekunder bliver: 1 Ca. 95% 2 Ca. 39% 3 Ca. 0.0% 4 Ca. 16% 5 Ca. 42% Spørgsmål II.2 (6) Middelværdi (µ) og spredning (σ) for den samlede tidsanvendelse til check af 100 chips på den nye maskine bliver: 1 µ = = 16200ms og σ = = 900ms 2 µ = = 5400ms og σ = = 30ms 3 µ = = 5400ms og σ = = 300ms 4 µ = = 16200ms og σ = = 300ms 5 µ = 54ms og σ = = 300ms Fortsæt på side 6 5

6 Opgave III Et supermarked har netop fået en delikatesseafdeling, der ønsker at fremstille sin egen hjemmelavede remoulade. For at finde den bedste opskrift udføres en smagstest. Der anvendes 4 forskellige slags dressing og 3 forskellige typer pickles i testen. Smagsvurderingen af den enkelte remoulade foretages på en kontinuert skala fra 0 til 5. Følgende måledata blev fundet: I en R-kørsel for tovejs variansanalyse: Dressing type Række- Pickles type A B C D gennemsnit I II III Søjlegennemsnit anova(lm(smag~pickles+dressing)) fås følgende output: (hvor visse af værdierne dog er erstattet er symbolerne A, B, C, D, E og F) > anova(lm(smag~pickles+dressing)) Analysis of Variance Table Response: Smag Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) Pickles A E Dressing B F Residuals C D Spørgsmål III.1 (7) Værdierne for A, B, og C er: 1 A = 3, B = 4 og C = 6 2 A = 3, B = 4 og C = 12 3 A = 2, B = 3 og C = 6 4 A = 2, B = 3 og C = 12 5 A = 2, B = 3 og C = 15 Fortsæt på side 7 6

7 Spørgsmål III.2 (8) Værdierne for D, E, og F er: 1 D = 0.95, E = 1.96 og F = D = 0.633, E = 3 og F = 4 3 D = 5.86, E = 2 og F = 3 4 D = 5.86, E = 3.84 og F = D = 0.633, E = 1.55 og F = Spørgsmål III.3 (9) Med et testniveau på α = 5% bliver konklusionen på analysen: 1 Kun valg af dressing har signifikant indflydelse på smagen 2 Kun valg af pickles har signifikant indflydelse på smagen 3 Såvel valg af dressing som valg af pickles har signifikant indflydelse på smagen 4 Hverken valg af dressing eller valg af pickles har signifikant indflydelse på smagen 5 Ingen af ovenstående Fortsæt på side 8 7

8 Opgave IV Til produktion af messingventiler modtages råmateriale (messing i stænger) fra 2 forskellige leverandører. Der udtages nogle prøveemner fra leverancerne fra hver af de to leverandører. Trækbrudstyrken for emnerne bestemmes, og følgende resultater er fundet: Leverandør 1: n 1 = 15, x 1 = 223.5N/mm 2, s 1 = 7.23N/mm 2 Leverandør 2: n 2 = 20, x 2 = 220.4N/mm 2, s 2 = 4.49N/mm 2 Som en mulig hjælp findes der med følgende fire R-kommandoer: round(qf(c(0.001,0.01,0.025,0.05,0.1,0.9,0.95,0.975,0.99,0.995),14,19),3) round(qf(c(0.001,0.01,0.025,0.05,0.1,0.9,0.95,0.975,0.99,0.995),15,20),3) round(qf(c(0.001,0.01,0.025,0.05,0.1,0.9,0.95,0.975,0.99,0.995),19,14),3) round(qf(c(0.001,0.01,0.025,0.05,0.1,0.9,0.95,0.975,0.99,0.995),20,15),3) en række fraktiler (afrundet til 3 decimaler) for fire forskellige F-fordelinger. Resultatet af disse vises i output-vinduet i R som følger: > round(qf(c(0.001,0.01,0.025,0.05,0.1,0.9,0.95,0.975,0.99,0.995),14,19),3) [1] > round(qf(c(0.001,0.01,0.025,0.05,0.1,0.9,0.95,0.975,0.99,0.995),15,20),3) [1] > round(qf(c(0.001,0.01,0.025,0.05,0.1,0.9,0.95,0.975,0.99,0.995),19,14),3) [1] > round(qf(c(0.001,0.01,0.025,0.05,0.1,0.9,0.95,0.975,0.99,0.995),20,15),3) [1] Spørgsmål IV.1 (10) Med et signifikansniveau på α = 5%, kan der ikke påvises nogen forskel i varianserne for de 2 leverancer idet: 1 F (20, 15) = < F (15, 20) = < F (14, 19) = > F (15, 20) = < F 0.05 (19, 14) = 2.4 < Fortsæt på side 9 8

9 Spørgsmål IV.2 (11) Følgende hypotese ønskes testet, idet det her forudsættes at σ 2 1 = σ2 2 : H 0 : µ 1 = µ 2 H 1 : µ 1 µ 2 Med et signifikansniveau på 5% kan der ikke påvises nogen forskel i middelværdierne for de 2 leverancer idet t-værdi og P-værdi for dette test bliver: (begge skal være i orden) 1 t = og P-værdi> t = og P-værdi> t = og P-værdi< t = og P-værdi< t = og P-værdi< 0.05 Spørgsmål IV.3 (12) Idet der altså ikke er forskel i niveauet for de to leverandører kan man slå data sammen for de to og finde et 99% konfidensinterval for middelværdien som: (Nogle beregningsstørrelser for det samlede datasæt: n = 35, x = 221.7, s = 5.93) ± t ± t ± t ± t ± t Spørgsmål IV.4 (13) Der planlægges en undersøgelse af en ny leverandør. Man forventer, at spredningen for denne vil være omtrent 6, altså σ = 6N/mm 2. Man ønsker, at et 99% konfidensinterval for middelværdien i denne nye undersøgelse skal have en bredde på ±1N/mm 2. Hvor mange prøveemner skal udtages for at opnå dette? 1 (1.96 6/1) (1.96 6/2) ( ) ( ) (1.96 6/0.1) Fortsæt på side 10 9

10 Opgave V Når messing skal anvendes i en produktion er materialets elasticitetsmodul E ofte af betydning for funktionen. Elasticitetsmodulet for 6 forskellige messinglegeringer måles. 5 prøveemner fra hver legering testes. Måleresultaterne fremgår af nedenstående tabel, hvor det målte elasticitetsmodul er angivet i GPa: I en R-kørsel for envejs variansanalyse: Messinglegering M1 M2 M3 M4 M5 M anova(lm(elasmodul~legering)) fås følgende output: (hvor visse af værdierne dog er erstattet er symbolerne A, B og C) > anova(lm(elasmodul~legering)) Analysis of Variance Table Response: ElasModul Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) Legering A e-05 Residuals B C Spørgsmål V.1 (14) Værdierne for A, B, og C er: 1 A = 25, B = 5 og C = A = 6, B = 25 og C = A = 30, B = 6 og C = A = 6, B = 30 og C = A = 5, B = 24 og C = Fortsæt på side 11 10

11 Spørgsmål V.2 (15) Forudsætningerne for at anvende envejs variansanalysen er: (Vælg det svar der mest korrekt lister samtlige antagelser og IKKE lister unødvendige antagelser) 1 Data skal være normalfordelt inden for hver gruppe, uafhængige og varianserne for hver gruppe må ikke afvige signifikant fra hinanden 2 Data skal være lognormalfordelt inden for hver gruppe og uafhængige 3 Data skal være normalfordelt og have omtrent samme gennemsnit og varians inden for hver gruppe 4 Data må ikke være for store eller for små 5 Data skal være normalfordelte inden for hver gruppe og have omtrent samme IQR-værdi i hver gruppe Spørgsmål V.3 (16) Et 95% konfidensinterval for forskellen på messinglegering 1 og 2 bliver: ± t ( ) ± t ( ) ± t ( ) ± t ( ) ± t ( ) 24 Fortsæt på side 12 11

12 Opgave VI Det er en almindelig antagelse, at en studerendes opfattelse af undervisningens kvalitet i et givet fag hænger sammen med den studerendes niveau i faget. For at undersøge om dette gælder er følgende data indsamlet: Der indgår 125 besvarelser i ovenstående skema. Karakter- Vurdering af undervisningens kvalitet gruppe GOD MIDDEL DÅRLIG HØJ 22.4% 7.2% 4% MIDDEL 18.4% 8.8% 11.2% LAV 11.2% 5.6% 11.2% Spørgsmål VI.1 (17) For at undersøge om antagelsen holder, skal følgende størrelse beregnes: 1 ( )2 + (9 9.07)2 + ( )2 + ( )2 + ( )2 + ( )2 + ( )2 + (7 7.56)2 + ( ) ( )2 + (9 9.07)2 + ( )2 + ( )2 + ( )2 + ( )2 + ( )2 + (7 7.56)2 + ( ) ( )2 + ( )2 + (4 8.87)2 + ( )2 + ( )2 + ( )2 + ( )2 + ( )2 + ( ) ( )2 + ( )2 + (4 8.87)2 + ( )2 + ( )2 + ( )2 + ( )2 + ( )2 + ( ) ( )2 + ( )2 + (4 8.87)2 + ( )2 + ( )2 + ( )2 + ( )2 + ( )2 + ( ) Spørgsmål VI.2 (18) Antallet af frihedsgrader (DF) og den kritiske grænse (Q) ved det relevante test på et 5% niveau bliver: 1 DF = 124 og Q = DF = 1 og Q = DF = 2 og Q = DF = 4 og Q = DF = 3 og Q = 7.82 Fortsæt på side 13 12

13 Opgave VII På en uddannelse har man i et fag indført, at en projektopgave, der udføres i semesterets løb, er en del af evalueringsgrundlaget. For at kunne vurdere om det har ændret beståelsesprocenten og karakterniveauet i faget er følgende data indsamlet: Før indførelse Efter indførelse af projektopgave af projektopgave Antal studerende der er evalueret Antal studerende der dumpede 13 3 Gennemsnitskarakter x Stikprøvespredning s Lad p F ør betegne andelen, der dumpede før indførelse af projektopgave og p Efter den tilsvarende andel efter indførelse af projektopgave. Spørgsmål VII.1 (19) Testes følgende hypotese: H 0 : p F ør = p Efter H 1 : p F ør > p Efter bliver en gyldig teststørrelse u, den tilhørende P-værdi og en gyldig konklusionen: (begge værdier og konklusion skal være i orden) 1 u = 1.74 og P-værdi = Der kan på et 5% niveau påvises et fald i dumpeprocent 2 u = 2.82 og P-værdi = Der kan på et 5% niveau påvises et fald i dumpeprocent 3 u = 1.32 og P-værdi = Der kan ikke på et 5% niveau påvises et fald i dumpeprocent 4 u = 1.74 og P-værdi = Der kan ikke på et 10% niveau påvises et fald i dumpeprocent 5 u = 1.32 og P-værdi = Der kan ikke på et 10% niveau påvises et fald i dumpeprocent Fortsæt på side 14 13

14 Spørgsmål VII.2 (20) Idet det antages, at karaktererne er omtrentlig normalfordelt i hver gruppe, og at varianserne i de to grupper ikke afviger signifikant fra hinanden, testes følgende hypotese: H 0 : µ F ør = µ Efter H 1 : µ F ør < µ Efter Teststørrelse, P-værdi og konklusion for dette test bliver: (begge værdier og konklusion skal være i orden) 1 t = = 1.842, P-værdi=0.070: Der er på et 10% niveau ikke sket en forøgelse af ( ) 24 karaktergennemsnittet 2 t = = 0.786, P-værdi=0.217: Der er på et 5% niveau ikke sket en forøgelse af + ) ( karaktergennemsnittet 3 t = = 1.914, P-værdi=0.060: Der er på et 5% niveau ikke sket en forøgelse af + ) ( karaktergennemsnittet t = = 0.957, P-værdi=0.17: Der er på et 5% niveau ikke sket en forøgelse ( ) ( ) 24 af karaktergennemsnittet 5 t = = 1.842, P-værdi=0.035: Der er på et 5% niveau sket en forøgelse af ( ) karaktergennemsnittet Spørgsmål VII.3 (21) Et 95% konfidensinterval for karakterspredningen efter indførelse af projektopgave σ Efter bliver: < σ Efter < σ Efter ± σ Efter ± < σ Efter < < σ Efter < Fortsæt på side 15 14

15 Spørgsmål VII.4 (22) Den kritiske værdi for følgende hypotesetest for variansen for karakterne før indførelse af projektopgave σ 2 F ør : H 0 : σ 2 F ør = 2 2 bliver på niveau 1% (α = 0.01): H 1 : σ 2 F ør > Fortsæt på side 16 15

16 Opgave VIII Et firma fremstiller et elektronisk apparat, der skal anvendes i et meget stort temperaturområde. Firmaet ved, at øget temperatur forkorter apparatets levetid, og der udføres derfor et forsøg, hvor levetiden bestemmes som en funktion af temperaturen. Følgende data er fundet: Følgende er kørt i R: Temperatur i Celcius (t) Levetid i timer (y) t=c(10,20,30,40,50,60,70,80,90) y=c(420,365,285,220,176,117,69,34,5) summary(lm(y~t)) med resultaterne: Call: lm(formula = y ~ t) Residuals: Min 1Q Median 3Q Max Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) e-09 *** t e-07 *** --- Signif. codes: 0 *** ** 0.01 * Residual standard error: on 7 degrees of freedom Multiple R-squared: 0.984,Adjusted R-squared: F-statistic: on 1 and 7 DF, p-value: 1.505e-07 Spørgsmål VIII.1 (23) Et 95% konfidensinterval for hældningskoefficienten i den regressionsmodel, der ligger til grund for ovenstående kørsel, og som udtrykker levetiden som en lineær funktion af temperaturen, bliver: ± / ± ± ± ± / 9 Fortsæt på side 17 16

17 Spørgsmål VIII.2 (24) Kan man påvise en sammenhæng mellem temperatur og levetid på niveau 5%? (Både konklusion og argument skal være korrekt) 1 Ja, idet den relevante P-værdi er , som er klart mindre end Nej, idet forklaringsgraden er 0.98, som er større end Ja, idet forklaringsgraden er 0.98, som er klart større end Nej, idet den relevante P-værdi er , som er klart mindre end Ja, idet den relevante P-værdi er , som er klart mindre end 0.05 Opgave IX I en forbrugerundersøgelse er det vist, at der i mange supermarkeder er uoverensstemmelser mellem kassebonen og prisen på hylden. Bestyreren i et supermarked ønsker at holde styr på fejlprocenten, og indfører derfor følgende kontrol: I dagens løb udtages tilfældigt 40 forskellige varer. For disse varer kontrolleres det, om der er overensstemmelse mellem kassebonen og prisen på hylden. Bestyreren finder situationen under kontrol, hvis der højst findes 1 uoverensstemmelse, blandt de 40. Sandsynligheden for at situationen findes under kontrol, hvis procentdelen af fejlmærkede varer er 1% benævnes A. Sandsynligheden for at situationen findes under kontrol, hvis procentdelen af fejlmærkede varer er 10% benævnes B. Spørgsmål IX.1 (25) Værdien af A og B bliver: 1 A = og B = A = og B = A = og B = A = og B = A = og B = Fortsæt på side 18 17

18 Spørgsmål IX.2 (26) Som et ekstra tjek kontrolleredes en given dag i alt 120 forskellige varer, og ud af disse observeredes 15 fejl. Et 95% konfidensinterval for andelen af fejl bliver: ± / ± / ± / ± / ± /120 Spørgsmål IX.3 (27) Man ønsker nu at bestemme andelen af fejl i en bestemt butik med en præcision, så et 90% konfidensinterval bliver af bredden plus/minus Man forventer at andelen vil være i størrrelsesordenen Hvor mange varer skal man omtrentlig kontrollere for at opnå en sådan præcision? (1.645/0.02) varer (1.96/0.02) varer 3 ( /0.02) 2 96 varer (1.96/0.01) varer 5 (1.645/0.01) varer Fortsæt på side 19 18

19 Opgave X Udbyttet Y af en kemisk proces er en stokastisk variabel, hvis værdi formodes at være en lineær funktion af temperaturen X. Følgende data for sammenhængende værdier af x og y er fundet: Temperatur i Celcius(x) Udbytte i gram (y) Gennemsnit og spredning for hhv. Temperatur(x) og Udbytte (y) er: x = 50, s x = , ȳ = 55.4, s y = , og videre kan bruges at S xy = I opgaven anvendes den sædvanlige lineære regressionmodel: Y i = α + βx i + ε i, ε i N(0, σ 2 ), i = 1,..., 5 Spørgsmål X.1 (28) Kan man påvise en signifikant sammenhæng mellem udbytte og temperatur? (Såvel konklusion som argument skal være korrekt) 1 Nej, idet den relevante teststørrelse og P-værdi er hhv og Nej, idet den relevante teststørrelse og P-værdi er hhv og Ja, idet den relevante teststørrelse og P-værdi er hhv og Ja, idet den relevante teststørrelse og P-værdi er hhv og Nej, idet den relevante teststørrelse og P-værdi er hhv og Fortsæt på side 20 19

20 Spørgsmål X.2 (29) Angiv et 95% konfidensinterval for det forventede udbytte ved en temperatur på x 0 = 80 grader celsius: ± ± ± ± ± 1.96 Spørgsmål X.3 (30) De fem residualer bliver: -1.4, 2.6, -1.4, 0.6 og Hvad er den øvre kvartil for residualerne? SÆTTET ER SLUT. GOD JUL! 20

(studienummer) (underskrift) (bord nr)

(studienummer) (underskrift) (bord nr) Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 20 sider. Skriftlig prøve: 1. december 2011 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, 02402 Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af (studienummer)

Læs mere

(studienummer) (underskrift) (bord nr)

(studienummer) (underskrift) (bord nr) Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 20 sider. Skriftlig prøve: 26. maj 2011 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, 02402 Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af (studienummer)

Læs mere

Side 1 af 19 sider. Danmarks Tekniske Universitet. Skriftlig prøve: 15. december 2007 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, 02402

Side 1 af 19 sider. Danmarks Tekniske Universitet. Skriftlig prøve: 15. december 2007 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, 02402 Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 19 sider. Skriftlig prøve: 15. december 2007 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, 02402 Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af (studienummer)

Læs mere

(studienummer) (underskrift) (bord nr)

(studienummer) (underskrift) (bord nr) Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 20 sider. Skriftlig prøve: 15. december 2008 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, 02402 Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af (studienummer)

Læs mere

(studienummer) (underskrift) (bord nr)

(studienummer) (underskrift) (bord nr) Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 19 sider. Skriftlig prøve: 14. december 2013 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, 02402 Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af (studienummer)

Læs mere

(studienummer) (underskrift) (bord nr)

(studienummer) (underskrift) (bord nr) Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 22 sider. Skriftlig prøve: 13. december 2010 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, 02402 Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af (studienummer)

Læs mere

(studienummer) (underskrift) (bord nr)

(studienummer) (underskrift) (bord nr) Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 21 sider. Skriftlig prøve: 27. maj 2010 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, 02402 Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af (studienummer)

Læs mere

Side 1 af 17 sider. Danmarks Tekniske Universitet. Skriftlig prøve: 25. maj 2007 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, 02402

Side 1 af 17 sider. Danmarks Tekniske Universitet. Skriftlig prøve: 25. maj 2007 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, 02402 Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 17 sider. Skriftlig prøve: 25. maj 2007 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, 02402 Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af (navn) (underskrift)

Læs mere

(studienummer) (underskrift) (bord nr)

(studienummer) (underskrift) (bord nr) Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 20 sider. Skriftlig prøve: 23. maj 2012 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, 02402 Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af (studienummer)

Læs mere

(studienummer) (underskrift) (bord nr)

(studienummer) (underskrift) (bord nr) Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 18 sider. Skriftlig prøve: 14. december 2009 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, 02402 Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af (studienummer)

Læs mere

Opgave I.1 I.2 II.1 II.2 III.1 III.2 IV.1 V.1 VI.1 VI.2 Spørgsmål (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) Svar

Opgave I.1 I.2 II.1 II.2 III.1 III.2 IV.1 V.1 VI.1 VI.2 Spørgsmål (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) Svar Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 18 sider. Skriftlig prøve: 15. december 2006 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, 02402 Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af (navn) (underskrift)

Læs mere

Oversigt. 1 Gennemgående eksempel: Højde og vægt. 2 Korrelation. 3 Regressionsanalyse (kap 11) 4 Mindste kvadraters metode

Oversigt. 1 Gennemgående eksempel: Højde og vægt. 2 Korrelation. 3 Regressionsanalyse (kap 11) 4 Mindste kvadraters metode Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 11: Kapitel 11: Regressionsanalyse Oversigt 1 Gennemgående eksempel: Højde og vægt 2 Korrelation 3 Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse

Læs mere

Forelæsning 11: Kapitel 11: Regressionsanalyse

Forelæsning 11: Kapitel 11: Regressionsanalyse Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 11: Kapitel 11: Regressionsanalyse Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800

Læs mere

Opgave I.1 II.1 II.2 II.3 III.1 IV.1 IV.2 IV.3 V.1 VI.1 Spørgsmål (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) Svar

Opgave I.1 II.1 II.2 II.3 III.1 IV.1 IV.2 IV.3 V.1 VI.1 Spørgsmål (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) Svar Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 19 sider. Skriftlig prøve: 30. maj 2006 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, 02402 Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af (navn) (underskrift)

Læs mere

Opgave I II III IV V VI Spørgsmål (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) Svar 5 4 4 2 3 1 1 5 4 1

Opgave I II III IV V VI Spørgsmål (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) Svar 5 4 4 2 3 1 1 5 4 1 Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 18 sider. Skriftlig prøve: 1. juni 2005 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, 02402 Tilladte hjælpemidler: Alle sædvanlige Dette sæt er besvaret af (navn)

Læs mere

Den endelige besvarelse af opgaverne gøres ved at udfylde nedenstående skema. Aflever KUN skemaet!

Den endelige besvarelse af opgaverne gøres ved at udfylde nedenstående skema. Aflever KUN skemaet! Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 19 sider. Skriftlig prøve: 2. juni 2008 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, 02402 Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af (studienummer)

Læs mere

(studienummer) (underskrift) (bord nr)

(studienummer) (underskrift) (bord nr) Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 20 sider. Skriftlig prøve: 27. maj 2014 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, 02402 Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af (studienummer)

Læs mere

Løsning til eksamen d.27 Maj 2010

Løsning til eksamen d.27 Maj 2010 DTU informatic 02402 Introduktion til Statistik Løsning til eksamen d.27 Maj 2010 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition, 7th edition]. Opgave I.1

Læs mere

Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 12: Variansanalyse. Per Bruun Brockhoff

Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 12: Variansanalyse. Per Bruun Brockhoff Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 12: Variansanalyse Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail:

Læs mere

02402 Vejledende løsninger til Splus-opgaverne fra hele kurset

02402 Vejledende løsninger til Splus-opgaverne fra hele kurset 02402 Vejledende løsninger til Splus-opgaverne fra hele kurset Vejledende løsning SPL3.3.1 Der er tale om en binomialfordeling med n =10ogp=0.6, og den angivne sandsynlighed er P (X =4) som i bogen også

Læs mere

men nu er Z N((µ 1 µ 0 ) n/σ, 1)!! Forkaster hvis X 191 eller X 209 eller

men nu er Z N((µ 1 µ 0 ) n/σ, 1)!! Forkaster hvis X 191 eller X 209 eller Type I og type II fejl Type I fejl: forkast når hypotese sand. α = signifikansniveau= P(type I fejl) Program (8.15-10): Hvis vi forkaster når Z < 2.58 eller Z > 2.58 er α = P(Z < 2.58) + P(Z > 2.58) =

Læs mere

CIVILINGENIØREKSAMEN Side 1 af 18 sider. Skriftlig prøve, den: XY. december 200Z Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)

CIVILINGENIØREKSAMEN Side 1 af 18 sider. Skriftlig prøve, den: XY. december 200Z Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr) CIVILINGENIØREKSAMEN Side 1 af 18 sider Skriftlig prøve, den: XY. december 200Z Kursus nr : 02405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af: (navn) (underskrift)

Læs mere

(studienummer) (underskrift) (bord nr)

(studienummer) (underskrift) (bord nr) Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 25 sider. Skriftlig prøve: 13. december 2016 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik (02323 og 02402) Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af

Læs mere

Skriftlig eksamen Science statistik- ST501

Skriftlig eksamen Science statistik- ST501 SYDDANSK UNIVERSITET INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI Skriftlig eksamen Science statistik- ST501 Torsdag den 21. januar Opgavesættet består af 5 opgaver, med i alt 13 delspørgsmål, som vægtes ligeligt.

Læs mere

Klasseøvelser dag 2 Opgave 1

Klasseøvelser dag 2 Opgave 1 Klasseøvelser dag 2 Opgave 1 1.1. Vi sætter først working directory og data indlæses: library( foreign ) d

Læs mere

Løsning eksamen d. 15. december 2008

Løsning eksamen d. 15. december 2008 Informatik - DTU 02402 Introduktion til Statistik 2010-2-01 LFF/lff Løsning eksamen d. 15. december 2008 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition, 7th

Læs mere

CIVILINGENIØREKSAMEN Side?? af?? sider. Skriftlig prøve, den: 16. december 2004 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)

CIVILINGENIØREKSAMEN Side?? af?? sider. Skriftlig prøve, den: 16. december 2004 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr) CIVILINGENIØREKSAMEN Side?? af?? sider Skriftlig prøve, den: 6. december 2004 Kursus nr : 02405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af: (navn) (underskrift)

Læs mere

Et firma tuner biler. Antallet af en bils cylindere er givet ved den stokastiske variabel X med massetæthedsfunktionen

Et firma tuner biler. Antallet af en bils cylindere er givet ved den stokastiske variabel X med massetæthedsfunktionen STATISTIK Skriftlig evaluering, 3. semester, mandag den 6. januar 004 kl. 9.00-13.00. Alle hjælpemidler er tilladt. Opgaveløsningen forsynes med navn og CPR-nr. OPGAVE 1 Et firma tuner biler. Antallet

Læs mere

2 0.9245. Multiple choice opgaver

2 0.9245. Multiple choice opgaver Multiple choice opgaver Der gøres opmærksom på, at ideen med opgaverne er, at der er ét og kun ét rigtigt svar på de enkelte spørgsmål. Endvidere er det ikke givet, at alle de anførte alternative svarmuligheder

Læs mere

Statistik og Sandsynlighedsregning 2. Repetition og eksamen. Overheads til forelæsninger, mandag 7. uge

Statistik og Sandsynlighedsregning 2. Repetition og eksamen. Overheads til forelæsninger, mandag 7. uge Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Repetition og eksamen Overheads til forelæsninger, mandag 7. uge 1 Normalfordelingen Erfaringsmæssigt er normalfordelingen velegnet til at beskrive variationen i mange

Læs mere

Ovenstående figur viser et (lidt formindsket billede) af 25 svampekolonier på en petriskål i et afgrænset felt på 10x10 cm.

Ovenstående figur viser et (lidt formindsket billede) af 25 svampekolonier på en petriskål i et afgrænset felt på 10x10 cm. Multiple choice opgaver Der gøres opmærksom på, at ideen med opgaverne er, at der er ét og kun ét rigtigt svar på de enkelte spørgsmål. Endvidere er det ikke givet, at alle de anførte alternative svarmuligheder

Læs mere

Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik (02323, og 02593) (studienummer) (underskrift) (bord nr)

Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik (02323, og 02593) (studienummer) (underskrift) (bord nr) Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 26 sider. Skriftlig prøve: 16. august 2015 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik (02323, 02402 og 02593) Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret

Læs mere

Konfidensintervaller og Hypotesetest

Konfidensintervaller og Hypotesetest Konfidensintervaller og Hypotesetest Konfidensinterval for andele χ -fordelingen og konfidensinterval for variansen Hypoteseteori Hypotesetest af middelværdi, varians og andele Repetition fra sidst: Konfidensintervaller

Læs mere

Eksamen i Statistik for biokemikere. Blok

Eksamen i Statistik for biokemikere. Blok Eksamen i Statistik for biokemikere. Blok 2 2007. Vejledende besvarelse 22-01-2007, Niels Richard Hansen Bemærkning: Flere steder er der givet en argumentation (f.eks. baseret på konfidensintervaller)

Læs mere

Tema. Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber.

Tema. Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber. Tema Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber. Model og modelkontrol Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse. konfidensintervaller Vi tager udgangspunkt i Ex. 3.1 i

Læs mere

CIVILINGENIØREKSAMEN Side 1 af 16 sider. Skriftlig prøve, den: 16. december 2010 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)

CIVILINGENIØREKSAMEN Side 1 af 16 sider. Skriftlig prøve, den: 16. december 2010 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr) CIVILINGENIØREKSAMEN Side 1 af 16 sider Skriftlig prøve, den: 16. december 2010 Kursus nr : 02405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af: (navn) (underskrift)

Læs mere

3.600 kg og den gennemsnitlige fødselsvægt kg i stikprøven.

3.600 kg og den gennemsnitlige fødselsvægt kg i stikprøven. PhD-kursus i Basal Biostatistik, efterår 2006 Dag 1, onsdag den 6. september 2006 Eksempel: Sammenhæng mellem moderens alder og fødselsvægt I dag: Introduktion til statistik gennem analyse af en stikprøve

Læs mere

Økonometri Lektion 1 Simpel Lineær Regression 1/31

Økonometri Lektion 1 Simpel Lineær Regression 1/31 Økonometri Lektion 1 Simpel Lineær Regression 1/31 Simpel Lineær Regression Mål: Forklare variablen y vha. variablen x. Fx forklare Salg (y) vha. Reklamebudget (x). Statistisk model: Vi antager at sammenhængen

Læs mere

Tænk på a og b som to n 1 matricer. a 1 a 2 a n. For hvert i = 1,..., n har vi y i = x i β + u i.

Tænk på a og b som to n 1 matricer. a 1 a 2 a n. For hvert i = 1,..., n har vi y i = x i β + u i. Repetition af vektor-regning Økonometri: Lektion 3 Matrix-formulering Fordelingsantagelse Hypotesetest Antag vi har to n-dimensionelle (søjle)vektorer a 1 b 1 a 2 a =. og b = b 2. a n b n Tænk på a og

Læs mere

CIVILINGENIØREKSAMEN Side 1 af 16 sider. Skriftlig prøve, den: 28. maj 2010 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)

CIVILINGENIØREKSAMEN Side 1 af 16 sider. Skriftlig prøve, den: 28. maj 2010 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr) CIVILINGENIØREKSAMEN Side af 6 sider Skriftlig prøve, den: 8. maj 00 Kursus nr : 005 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af: navn underskrift bord nr Der

Læs mere

Økonometri: Lektion 5. Multipel Lineær Regression: Interaktion, log-transformerede data, kategoriske forklarende variable, modelkontrol

Økonometri: Lektion 5. Multipel Lineær Regression: Interaktion, log-transformerede data, kategoriske forklarende variable, modelkontrol Økonometri: Lektion 5 Multipel Lineær Regression: Interaktion, log-transformerede data, kategoriske forklarende variable, modelkontrol 1 / 35 Veksekvirkning: Motivation Vi har set på modeller som Price

Læs mere

Tema. Model og modelkontrol ( Fx. en normalfordelt obs. række m. kendt varians) Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse.

Tema. Model og modelkontrol ( Fx. en normalfordelt obs. række m. kendt varians) Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse. Tema Model og modelkontrol ( Fx. en normalfordelt obs. række m. kendt varians) Estimation af parametre. Fordeling. (Fx. x. µ) Hypotese og test. Teststørrelse. (Fx. H 0 : µ = µ 0 ) konfidensintervaller

Læs mere

Anvendt Statistik Lektion 7. Simpel Lineær Regression

Anvendt Statistik Lektion 7. Simpel Lineær Regression Anvendt Statistik Lektion 7 Simpel Lineær Regression 1 Er der en sammenhæng? Plot af mordraten () mod fattigdomsraten (): Scatterplot Afhænger mordraten af fattigdomsraten? 2 Scatterplot Et scatterplot

Læs mere

Ensidet eller tosidet alternativ. Hypoteser. tosidet alternativ. nul hypotese testes mod en alternativ hypotese

Ensidet eller tosidet alternativ. Hypoteser. tosidet alternativ. nul hypotese testes mod en alternativ hypotese Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 6: Kapitel 7: Hypotesetest for gennemsnit (one-sample setup). 7.4-7.6 Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik Bygning 305/324 Danmarks Tekniske Universitet

Læs mere

CIVILINGENIØREKSAMEN Side 1 af 16 sider. Skriftlig prøve, den: 27. maj 2011 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)

CIVILINGENIØREKSAMEN Side 1 af 16 sider. Skriftlig prøve, den: 27. maj 2011 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr) CIVILINGENIØREKSAMEN Side af 6 sider Skriftlig prøve, den: 27. maj 20 Kursus nr : 02405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af: (navn) (underskrift) (bord

Læs mere

Naturvidenskabelig Bacheloruddannelse Forår 2006 Matematisk Modellering 1 Side 1

Naturvidenskabelig Bacheloruddannelse Forår 2006 Matematisk Modellering 1 Side 1 Matematisk Modellering 1 Side 1 I nærværende opgavesæt er der 16 spørgsmål fordelt på 4 opgaver. Ved bedømmelsen af besvarelsen vægtes alle spørgsmål lige. Endvidere lægges der vægt på, at det af besvarelsen

Læs mere

2 X 2 = gennemsnitligt indhold af aktivt stof i én tablet fra et glas med 200 tabletter

2 X 2 = gennemsnitligt indhold af aktivt stof i én tablet fra et glas med 200 tabletter Opgave I I mange statistiske undersøgelser benytter man binomialfordelingen til at beskrive den tilfældige variation. Spørgsmål I.1 (1): For hvilken af følgende 5 stokastiske variable kunne binomialfordelingen

Læs mere

Normalfordelingen. Statistik og Sandsynlighedsregning 2

Normalfordelingen. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Repetition og eksamen T-test Normalfordelingen Erfaringsmæssigt er normalfordelingen velegnet til at beskrive variationen i mange variable, blandt andet tilfældige

Læs mere

2 X 2 = Antal mygstik på enpersoniløbetaf1minut

2 X 2 = Antal mygstik på enpersoniløbetaf1minut Opgave I I mange statistiske undersøgelser bygger man analysen på anvendelse af normalfordelingen til (eventuelt tilnærmelsesvist) at beskrive den tilfældige variation. Spørgsmål I.1 (1): Forén af følgende

Læs mere

Appendiks Økonometrisk teori... II

Appendiks Økonometrisk teori... II Appendiks Økonometrisk teori... II De klassiske SLR-antagelser... II Hypotesetest... VII Regressioner... VIII Inflation:... VIII Test for SLR antagelser... IX Reset-test... IX Plots... X Breusch-Pagan

Læs mere

(student number) (signature) (table number)

(student number) (signature) (table number) Technical University of Denmark Page 1 of 25 pages. Written examination: 13. december 2016 Course name and number: Introduktion til Statistik (02323 og 02402) Aids and facilities allowed: All The questions

Læs mere

Løsning til eksaminen d. 14. december 2009

Løsning til eksaminen d. 14. december 2009 DTU Informatik 02402 Introduktion til Statistik 200-2-0 LFF/lff Løsning til eksaminen d. 4. december 2009 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition,

Læs mere

Side 1 af 21 sider. Danmarks Tekniske Universitet. Skriftlig prøve: 15. december 2003. Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, 02402

Side 1 af 21 sider. Danmarks Tekniske Universitet. Skriftlig prøve: 15. december 2003. Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, 02402 Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 21 sider Skriftlig prøve: 15. december 2003 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, 02402 Tilladte hjælpemidler: Alle sædvanlige Dette sæt er besvaret af

Læs mere

Normalfordelingen. Statistik og Sandsynlighedsregning 2

Normalfordelingen. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Normalfordelingen Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Repetition og eksamen Erfaringsmæssigt er normalfordelingen velegnet til at beskrive variationen i mange variable, blandt andet tilfældige fejl på

Læs mere

MLR antagelserne. Antagelse MLR.1:(Lineære parametre) Den statistiske model for populationen kan skrives som

MLR antagelserne. Antagelse MLR.1:(Lineære parametre) Den statistiske model for populationen kan skrives som MLR antagelserne Antagelse MLR.1:(Lineære parametre) Den statistiske model for populationen kan skrives som y = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x 2 + + β k x k + u, hvor β 0, β 1, β 2,...,β k er ukendte parametere,

Læs mere

DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 17 sider. Skriftlig prøve, den: 30. maj 2016 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)

DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 17 sider. Skriftlig prøve, den: 30. maj 2016 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr) DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side af 7 sider Skriftlig prøve, den: 0. maj 206 Kursus nr : 02405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Varighed : 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret

Læs mere

En Introduktion til SAS. Kapitel 5.

En Introduktion til SAS. Kapitel 5. En Introduktion til SAS. Kapitel 5. Inge Henningsen Afdeling for Statistik og Operationsanalyse Københavns Universitet Marts 2005 6. udgave Kapitel 5 T-test og PROC UNIVARIATE 5.1 Indledning Dette kapitel

Læs mere

Hvis α vælges meget lavt, bliver β meget stor. Typisk vælges α = 0.01 eller 0.05

Hvis α vælges meget lavt, bliver β meget stor. Typisk vælges α = 0.01 eller 0.05 Statistik 7. gang 9. HYPOTESE TEST Hypotesetest ved 6 trins raket! : Trin : Formuler hypotese Spørgsmål der ønskes testet vha. data H : Nul hypotese Formuleres som en ligheds hændelse H eller H A : Alternativ

Læs mere

Reeksamen i Statistik for Biokemikere 6. april 2009

Reeksamen i Statistik for Biokemikere 6. april 2009 Københavns Universitet Det Naturvidenskabelige Fakultet Reeksamen i Statistik for Biokemikere 6. april 2009 Alle hjælpemidler er tilladt, og besvarelsen må gerne skrives med blyant. Opgavesættet er på

Læs mere

Forelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup)

Forelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup) Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske

Læs mere

Oversigt. 1 Motiverende eksempel: Højde-vægt. 2 Lineær regressionsmodel. 3 Mindste kvadraters metode (least squares)

Oversigt. 1 Motiverende eksempel: Højde-vægt. 2 Lineær regressionsmodel. 3 Mindste kvadraters metode (least squares) Kursus 02402/02323 Introducerende Statistik Forelæsning 8: Simpel lineær regression Oversigt Motiverende eksempel: Højde-vægt 2 Lineær regressionsmodel 3 Mindste kvadraters metode (least squares) Klaus

Læs mere

Kapitel 12 Variansanalyse

Kapitel 12 Variansanalyse Kapitel 12 Variansanalyse Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltzedk Elementær statistik F2011 Version 7 april 2011 1 / 43 Indledning Sammenligning af middelværdien i to grupper indenfor en stikprøve kan

Læs mere

DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 17 sider. Skriftlig prøve, den: 29. maj 2015 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)

DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 17 sider. Skriftlig prøve, den: 29. maj 2015 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr) DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side af 7 sider Skriftlig prøve, den: 9. maj 05 Kursus nr : 0405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Varighed : 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af:

Læs mere

Model. k = 3 grupper: hvor ǫ ij uafhængige og normalfordelte med middelværdi nul og varians σi 2, i = 1,2,3.

Model. k = 3 grupper: hvor ǫ ij uafhængige og normalfordelte med middelværdi nul og varians σi 2, i = 1,2,3. Model Program (8.15-10): 1. ensidet variansanalyse. 2. forsøgsplanlægning: blocking. Bruger nu to indices: i = 1,...,k for gruppenr. og j = 1,...,n i for observation indenfor gruppe. k = 3 grupper: µ 1

Læs mere

Anvendt Statistik Lektion 6. Kontingenstabeller χ 2- test [ki-i-anden-test]

Anvendt Statistik Lektion 6. Kontingenstabeller χ 2- test [ki-i-anden-test] Anvendt Statistik Lektion 6 Kontingenstabeller χ 2- test [ki-i-anden-test] Kontingenstabel Formål: Illustrere/finde sammenhænge mellem to kategoriske variable Opbygning: En celle for hver kombination af

Læs mere

Anvendt Statistik Lektion 8. Multipel Lineær Regression

Anvendt Statistik Lektion 8. Multipel Lineær Regression Anvendt Statistik Lektion 8 Multipel Lineær Regression 1 Simpel Lineær Regression (SLR) y Sammenhængen mellem den afhængige variabel (y) og den forklarende variabel (x) beskrives vha. en SLR: ligger ikke

Læs mere

Reminder: Hypotesetest for én parameter. Økonometri: Lektion 4. F -test Justeret R 2 Aymptotiske resultater. En god model

Reminder: Hypotesetest for én parameter. Økonometri: Lektion 4. F -test Justeret R 2 Aymptotiske resultater. En god model Reminder: Hypotesetest for én parameter Antag vi har model Økonometri: Lektion 4 F -test Justeret R 2 Aymptotiske resultater y = β 0 + β 1 x 2 + β 2 x 2 + + β k x k + u. Vi ønsker at teste hypotesen H

Læs mere

Oversigt. 1 Intro: Regneeksempel og TV-data fra B&O. 2 Model og hypotese. 3 Beregning - variationsopspaltning og ANOVA tabellen

Oversigt. 1 Intro: Regneeksempel og TV-data fra B&O. 2 Model og hypotese. 3 Beregning - variationsopspaltning og ANOVA tabellen Kursus 02402/02323 Introducerende Statistik Forelæsning 10: Envejs variansanalyse, ANOVA Oversigt 1 Intro: Regneeksempel og TV-data fra B&O 2 Model og hypotese Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik

Læs mere

Kapitel 12 Variansanalyse

Kapitel 12 Variansanalyse Kapitel 12 Variansanalyse Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltzedk Elementær statistik F2011 Version 7 april 2011 1 Indledning 2 Ensidet variansanalyse 3 Blokforsøg 4 Vekselvirkning 1 Indledning 2 Ensidet

Læs mere

Nanostatistik: Opgavebesvarelser

Nanostatistik: Opgavebesvarelser Nanostatistik: Opgavebesvarelser JLJ Nanostatistik: Opgavebesvarelser p. 1/16 Pakkemaskine En producent hævder at poserne indeholder i gennemsnit 16 ounces sukker. Data: 10 pakker sukker: 16.1, 15.8, 15.8,

Læs mere

Normalfordelingen. Det centrale er gentagne målinger/observationer (en stikprøve), der kan beskrives ved den normale fordeling: 1 2πσ

Normalfordelingen. Det centrale er gentagne målinger/observationer (en stikprøve), der kan beskrives ved den normale fordeling: 1 2πσ Normalfordelingen Det centrale er gentagne målinger/observationer (en stikprøve), der kan beskrives ved den normale fordeling: f(x) = ( ) 1 exp (x µ)2 2πσ 2 σ 2 Frekvensen af observationer i intervallet

Læs mere

CIVILINGENIØREKSAMEN Side 1 af 18 sider. Skriftlig prøve, den: PQ. juli 200Z Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)

CIVILINGENIØREKSAMEN Side 1 af 18 sider. Skriftlig prøve, den: PQ. juli 200Z Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr) CIVILINGENIØREKSAMEN Side 1 af 18 sider Skriftlig prøve, den: PQ. juli 200Z Kursus nr : 02405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af: (navn) (underskrift)

Læs mere

DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 17 sider. Skriftlig prøve, den: 19. december 2012 Kursus nr : 02405. (navn) (underskrift) (bord nr)

DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 17 sider. Skriftlig prøve, den: 19. december 2012 Kursus nr : 02405. (navn) (underskrift) (bord nr) DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side af 7 sider Skriftlig prøve, den: 9. december 0 Kursus nr : 0405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Varighed : 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret

Læs mere

Økonometri: Lektion 4. Multipel Lineær Regression: F -test, justeret R 2 og aymptotiske resultater

Økonometri: Lektion 4. Multipel Lineær Regression: F -test, justeret R 2 og aymptotiske resultater Økonometri: Lektion 4 Multipel Lineær Regression: F -test, justeret R 2 og aymptotiske resultater 1 / 35 Hypotesetest for én parameter Antag vi har model y = β 0 + β 1 x 2 + β 2 x 2 + + β k x k + u. Vi

Læs mere

Opgave 1 Betragt to diskrete stokastiske variable X og Y. Antag at sandsynlighedsfunktionen p X for X er givet ved

Opgave 1 Betragt to diskrete stokastiske variable X og Y. Antag at sandsynlighedsfunktionen p X for X er givet ved Matematisk Modellering 1 (reeksamen) Side 1 Opgave 1 Betragt to diskrete stokastiske variable X og Y. Antag at sandsynlighedsfunktionen p X for X er givet ved { 1 hvis x {1, 2, 3}, p X (x) = 3 0 ellers,

Læs mere

Program. t-test Hypoteser, teststørrelser og p-værdier. Hormonkonc.: statistisk model og konfidensinterval. Hormonkoncentration: data

Program. t-test Hypoteser, teststørrelser og p-værdier. Hormonkonc.: statistisk model og konfidensinterval. Hormonkoncentration: data Faculty of Life Sciences Program t-test Hypoteser, teststørrelser og p-værdier Claus Ekstrøm E-mail: ekstrom@life.ku.dk Resumé og hængepartier fra sidst. Eksempel: effekt af foder på hormonkoncentration

Læs mere

CIVILINGENIØREKSAMEN Side 1 af 16 sider. Skriftlig prøve, den: 20. december 2011 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)

CIVILINGENIØREKSAMEN Side 1 af 16 sider. Skriftlig prøve, den: 20. december 2011 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr) CIVILINGENIØREKSAMEN Side 1 af 16 sider Skriftlig prøve, den: 20. december 2011 Kursus nr : 02405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af: (navn) (underskrift)

Læs mere

Program: 1. Repetition: p-værdi 2. Simpel lineær regression. 1/19

Program: 1. Repetition: p-værdi 2. Simpel lineær regression. 1/19 Program: 1. Repetition: p-værdi 2. Simpel lineær regression. 1/19 For test med signifikansniveau α: p < α forkast H 0 2/19 p-værdi Betragt tilfældet med test for H 0 : µ = µ 0 (σ kendt). Idé: jo større

Læs mere

Kursus 02402/02323 Introducerende Statistik

Kursus 02402/02323 Introducerende Statistik Kursus 02402/02323 Introducerende Statistik Forelæsning 8: Simpel lineær regression Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark

Læs mere

Oversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger. Per Bruun Brockhoff.

Oversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger. Per Bruun Brockhoff. Kursus 242 Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik Bygning 35/324 Danmarks Tekniske Universitet 28 Lyngby Danmark e-mail:

Læs mere

Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger

Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800

Læs mere

Kapitel 7 Forskelle mellem centraltendenser

Kapitel 7 Forskelle mellem centraltendenser Kapitel 7 Forskelle mellem centraltendenser Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltze.dk Elementær statistik F2011 1 / 29 Indledning 1. z-test for ukorrelerede data 2. t-test for ukorrelerede data med ens

Læs mere

Statistik Lektion 20 Ikke-parametriske metoder. Repetition Kruskal-Wallis Test Friedman Test Chi-i-anden Test

Statistik Lektion 20 Ikke-parametriske metoder. Repetition Kruskal-Wallis Test Friedman Test Chi-i-anden Test Statistik Lektion 0 Ikkeparametriske metoder Repetition KruskalWallis Test Friedman Test Chiianden Test Run Test Er sekvensen opstået tilfældigt? PPPKKKPPPKKKPPKKKPPP Et run er en sekvens af ens elementer,

Læs mere

Hypoteser om mere end to stikprøver ANOVA. k stikprøver: (ikke ordinale eller højere) gælder også for k 2! : i j

Hypoteser om mere end to stikprøver ANOVA. k stikprøver: (ikke ordinale eller højere) gælder også for k 2! : i j Hypoteser om mere end to stikprøver ANOVA k stikprøver: (ikke ordinale eller højere) H 0 : 1 2... k gælder også for k 2! H 0ij : i j H 0ij : i j simpelt forslag: k k 1 2 t-tests: i j DUER IKKE! Bonferroni!!

Læs mere

Test nr. 5 af centrale elementer 02402

Test nr. 5 af centrale elementer 02402 QuizComposer 2001- Olaf Kayser & Gunnar Mohr Contact: admin@quizcomposer.dk Main site: www.quizcomposer.dk Test nr. 5 af centrale elementer 02402 Denne quiz angår forståelse af centrale elementer i kursus

Læs mere

Test nr. 6 af centrale elementer 02402

Test nr. 6 af centrale elementer 02402 QuizComposer 2001- Olaf Kayser & Gunnar Mohr Contact: admin@quizcomposer.dk Main site: www.quizcomposer.dk Test nr. 6 af centrale elementer 02402 Denne quiz angår forståelse af centrale elementer i kursus

Læs mere

Anvendt Statistik Lektion 9. Variansanalyse (ANOVA)

Anvendt Statistik Lektion 9. Variansanalyse (ANOVA) Anvendt Statistik Lektion 9 Variansanalyse (ANOVA) 1 Undersøge sammenhæng Undersøge sammenhænge mellem kategoriske variable: χ 2 -test i kontingenstabeller Undersøge sammenhæng mellem kontinuerte variable:

Læs mere

Test nr. 4 af centrale elementer 02402

Test nr. 4 af centrale elementer 02402 QuizComposer 2001- Olaf Kayser & Gunnar Mohr Contact: admin@quizcomposer.dk Main site: www.quizcomposer.dk Test nr. 4 af centrale elementer 02402 Denne quiz angår forståelse af centrale elementer i kursus

Læs mere

Lineær regression. Simpel regression. Model. ofte bruges følgende notation:

Lineær regression. Simpel regression. Model. ofte bruges følgende notation: Lineær regression Simpel regression Model Y i X i i ofte bruges følgende notation: Y i 0 1 X 1i i n i 1 i 0 Findes der en linie, der passer bedst? Metode - Generel! least squares (mindste kvadrater) til

Læs mere

Mindste kvadraters tilpasning Prædiktion og residualer Estimation af betinget standardafvigelse Test for uafhængighed Konfidensinterval for hældning

Mindste kvadraters tilpasning Prædiktion og residualer Estimation af betinget standardafvigelse Test for uafhængighed Konfidensinterval for hældning 1 Regressionsproblemet 2 Simpel lineær regression Mindste kvadraters tilpasning Prædiktion og residualer Estimation af betinget standardafvigelse Test for uafhængighed Konfidensinterval for hældning 3

Læs mere

Statistik II 4. Lektion. Logistisk regression

Statistik II 4. Lektion. Logistisk regression Statistik II 4. Lektion Logistisk regression Logistisk regression: Motivation Generelt setup: Dikotom(binær) afhængig variabel Kontinuerte og kategoriske forklarende variable (som i lineær reg.) Eksempel:

Læs mere

To-sidet varians analyse

To-sidet varians analyse To-sidet varians analyse Repetition En-sidet ANOVA Parvise sammenligninger, Tukey s test Model begrebet To-sidet ANOVA Tre-sidet ANOVA Blok design SPSS ANOVA - definition ANOVA (ANalysis Of VAriance),

Læs mere

Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo

Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte

Læs mere

Besvarelser til øvelsesopgaver i uge 6

Besvarelser til øvelsesopgaver i uge 6 Besvarelser til øvelsesopgaver i uge 6 Opgave 7.46, side 228 (7ed 7.28, side 244 og 6ed: 7.28, side 240) Vi tænker os, at vi har data for emissionen {x 1, x 2,..., x n }, når det pågældende device er monteret.

Læs mere

DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side?? af?? sider. Skriftlig prøve, den: 18. december 2014 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)

DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side?? af?? sider. Skriftlig prøve, den: 18. december 2014 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr) DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side?? af?? sider Skriftlig prøve, den: 8. december 04 Kursus nr : 040 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Varighed : 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret

Læs mere

enote 5: Simpel lineær regressions analyse Kursus 02402/02323 Introducerende Statistik Oversigt

enote 5: Simpel lineær regressions analyse Kursus 02402/02323 Introducerende Statistik Oversigt enote 5: Simpel lineær regressions analse Kursus 02402/02323 Introducerende Statistik Forelæsning 8: Simpel lineær regression To variable: og Beregn mindstekvadraters estimat af ret linje Inferens med

Læs mere

Oversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 9: Inferens for andele (kapitel 10) Per Bruun Brockhoff

Oversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 9: Inferens for andele (kapitel 10) Per Bruun Brockhoff Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 9: Inferens for andele (kapitel 10) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800

Læs mere

Ikke-parametriske metoder. Repetition Wilcoxon Signed-Rank Test Kruskal-Wallis Test Friedman Test Chi-i-anden Test

Ikke-parametriske metoder. Repetition Wilcoxon Signed-Rank Test Kruskal-Wallis Test Friedman Test Chi-i-anden Test Ikkeparametriske metoder Repetition Wilcoxon SignedRank Test KruskalWallis Test Friedman Test Chiianden Test Run Test Er sekvensen opstået tilfældigt? PPPKKKPPPKKKPPKKKPPP Et run er en sekvens af ens elementer,

Læs mere

Anvendt Statistik Lektion 9. Variansanalyse (ANOVA)

Anvendt Statistik Lektion 9. Variansanalyse (ANOVA) Anvendt Statistik Lektion 9 Variansanalyse (ANOVA) 1 Undersøge sammenhæng Undersøge sammenhænge mellem kategoriske variable: χ 2 -test i kontingenstabeller Undersøge sammenhæng mellem kontinuerte variable:

Læs mere

Multipel Lineær Regression

Multipel Lineær Regression Multipel Lineær Regression Trin i opbygningen af en statistisk model Repetition af MLR fra sidst Modelkontrol Prædiktion Kategoriske forklarende variable og MLR Opbygning af statistisk model Specificer

Læs mere