Studerende: Ole Lund Jensen Dato: Overordnet emne: Symbolske dynamiske systemer.

Transkript

1 Specialekontrakt Studerende: Ole Lund Jensen Dato: Vejleder: Søren Eilers Censor: Anders Jensen 1. Forventet indhold Overordnet emne: Symbolske dynamiske systemer. Hovedfokus: Kvantitativ analyse af invarianter for stærk skift-ækvivalens. Overordnet målsætning: Stærk skiftækvivalens for matricer er en fundamental ækvivelensrelation fra teorien for symbolske dynamiske systemer. Det er formentlig uafgørligt hvorvidt to matricer er stærk skiftækvivalente, men for konkrete, små matricer, er der megen teori til rådighed for at afgøre sådanne spørgsmål. Specialets konkrete mål er at ved hjælp af computerbaserede værktøjer systematisk søge at besvare så mange af spørgsmålene om stærk skiftækvivalens for (små og irreducible) matricer, som muligt. Herved opnås: En database over kendte svar og åbne spørgsmål; Indsigt i hvorvidt og hvordan de teoretiske værktøjer lader sig automatisere; Et kvantitativt overblik over slagkraften af disse metoder, indbyrdes såvel som i kombination. Særligt det sidste punkt synes at have stor betydning i forståelsen af stærk skiftækvivalens, og kan således defineres som den faglige hovedmålsætning med specialet. Problemkatalog: Hvor effektiv en invariant opnås ved at betragte samlingen af Bowen-Franks grupper baseret på polynomierne p 1,..., p n der alle har første og sidste koefficient lig ±1? Hvordan vælges polynomierne mest effektivt, når n er givet på forhånd? I [JK] lykkedes det at automatisere udregningen af de mest elementære invarianter for stærk skiftækvivalens. Dette var muligt 1

2 da disse invarianter befinder sig indenfor fagfeltet lineær algebra, for hvilke meget effektive programpakker eksisterer. Men mange andre invarianter og metoder er funderet i mere avanceret matematik. Lader nogen af følgende interessante invarianter og metoder (ikke prioriterede!) sig automatisere? Hvor effektive er de? Algoritmen til afgørelse af skiftækvivalens ([KR88],[KR79]) Automorfigrupper, sign-gyration number ([Wag99], [KRW99]) Dimensionsgrupper ([LM95, p. 251]) Idealklasser ([LM95, p. 416]) Köllmers metode ([LM95, p. 249], [PT82, p. 80]) Similaritet ([LM95, p. 237], [Bak83] [New72, p. 49]) Den ultimative invariant er fuldstændig, i den forstand at hvis invarianterne stemmer, så er matricerne stærk skiftækvivalente. I særlige tilfælde kan man ved hjælp af similaritet vise, at invarianter som Jordan form er fuldstændige. Er det effektivt at inddrage teori af denne type til at afklare spørgsmål om stærk skiftækvivalens? ([Bak83, p. 302], [CK80]) 2. Forudsætninger, indledende studier mm.: Forudsætninger: Fundamentale resultater om symbolske dynamiske systemer ([LM95, 1 4 & 6 7.2], [JK]). Kendskab til brug af computerbaserede værktøjer. Indledende arbejde: Forbedring af metoden fra [JK] til at ved afsøgning af rummet af elementære ækvivalenser etablere stærk skiftækvivalens mellem givne matricer Studium af programpakker som Maple, Mathematica, Pari, Magma, Kash med henblik på at vurdere deres egnethed i projektet. 3. Aktiviteter: kommunikation frem til ultimo 00, herefter regelmæssige møder. 2

3 4. Tidsplan: Specialet afleveres: Specialeforedrag: , kl i Aud 4 5. Produkt: En specialerapport, af omfang ca. 60% af et sædvanligt speciale, hvori der redegøres for den teoretiske baggrund for arbejdet, og de opnåede kvantitative resultater summeres. Sprog: dansk eller engelsk. En teknisk rapport, hvori der kort redegøres for hvordan de kvantitative resultater er opnåede. Sprog: engelsk. En www-portal til den udarbejdede database, hvor der kan gives adgang til de opnåede resultater. Sprog: engelsk. 6. Bedømmelseskriterier (ikke prioriterede!): Specialerapport Afspejler specialet selvstændigt arbejde? Er de faglige argumenter matematisk korrekte? Er der tilføjet detaljer til forskningsartikelbaseret stof i passende omfang? Er eventuel bevisudeladelse og resultatimport ekspositorisk og logisk forsvarlige? Er specialet veldisponeret, sammenhængende og logisk arrangeret? Demonstreres forståelse for specialeemnets sammenhæng med anden matematik? Er der lokaliseret og inddraget øvrig litteratur i passende omfang? Eksperiment & teknisk rapport: Er den overordnede målsætning opnået? Er eksperimentet dokumenteret i en sådan grad at det kan reproduceres af andre? 3

4 Portal: Tilbydes der robust og logisk adgang til databasen? Er der adgang til referencer til benyttet teori? Søren Eilers Ole Lund Jensen 4

5 Litteratur [Bak83] [CK80] [JK] [KR79] [KR88] Kirby A. Baker, Strong shift equivalence of 2 2 matrices of nonnegative integers, Ergodic Theory Dynamical Systems 3 (1983), no. 4, Joachim Cuntz og Wolfgang Krieger, Topological Markov chains with dicyclic dimension groups, J. Reine Angew. Math. 320 (1980), Ole Lund Jensen og Eik Kristensen, Stærk skift-ækvivalens af 2 2-matricer. Fagprojekt, Københavns Universitet, K. H. Kim og F. W. Roush, Some results on decidability of shift equivalence, J. Combin. Inform. System Sci. 4 (1979), no. 2, Ki Hang Kim og Fred W. Roush, Decidability of shift equivalence, Dynamical systems (College Park, MD, ), Springer, Berlin, 1988, pp [KRW99] K. H. Kim, F. W. Roush og J. B. Wagoner, The shift equivalence problem, Math. Intelligencer 21 (1999), no. 4, [LM95] [New72] [PT82] [Wag99] Douglas Lind og Brian Marcus, An introduction to symbolic dynamics and coding, Cambridge University Press, Cambridge, Morris Newman, Integral matrices, Academic Press, New York, 1972, Pure and Applied Mathematics, Vol. 45. William Parry og Selim Tuncel, Classification problems in ergodic theory, Cambridge University Press, Cambridge, 1982, Statistics: Textbooks and Monographs, 41. J. B. Wagoner, Strong shift equivalence theory and the shift equivalence problem, Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 36 (1999), no. 3,