M I K E A U E R B A C H. c a

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "M I K E A U E R B A C H. c a"

Transkript

1 M A T E M A T I K A 1 M I K E A U E R B A C H B c a h A b C x H

2 Matematik A1 4. udgave, 2017 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne er skrevet vha. tekstformateringsprogrammet LATEX, se og Figurer og diagrammer er fremstillet i pgf/tikz, se Disse og andre noter kan downloades fra cbna

3 Forord Disse matematiknoter dækker kernestoffet (og en smule mere) for det første halve år i et studieretningsforløb på A-niveau på stx. Noterne er skrevet med det formål at have en grundbog, som kun indeholder den grundliggende matematiske teori. I forbindelse med samarbejde i studieretningen eller med andre fag er det derfor nødvendigt at supplere med eksempler og andet materiale, der dækker konkrete anvendelser. Til gengæld dækker noterne den rent matematiske fremstilling af kernestoffet på stx, hvilket ifølge min opfattelse gør dem velegnede til en første behandling af stoffet samt i forbindelse med eksamenslæsningen. Til slut en stor tak til de mange matematikkolleger, der er kommet med rettelser og gode ændringsforslag. De fejl og mangler, der stadig måtte findes, er naturligvis udelukkende mit ansvar. Mike Auerbach Tornbjerg Gymnasium 3

4

5 Indhold 1 Logaritmer Titalslogaritmen Den naturlige logaritme Eksponentielle funktioner Potensfunktioner Grafen for en potensfunktion Potensvækst Proportionalitet Potensregression Trigonometri Trekanter Sinus, cosinus og tangens Trigonometri i retvinklede trekanter Inverse trigonometriske funktioner Arealet af en trekant Sinusrelationerne Cosinusrelationerne Trigonometriske funktioner Radianer Cosinus og sinus som funktioner Ligninger med cos og sin Tangens Polynomier Parallelforskydning af grafer Andengradspolynomier Andengradsligninger Koefficienternes betydning Faktorisering Polynomier af højere grad Bibliografi 55 Indeks 56 5

6

7 Logaritmer TITALSLOGARITMEN Titalslogaritmen (log) er en funktion som bl.a. anvendes, når man skal løse ligninger af typen 10 x = k, hvor k er et tal. Funktionen log er defineret på følgende måde: Definition 1.1 Tallet log(k) er det tal, som løser ligningen 10 x = k. Ud fra definition 1.1 kan man bl.a. udlede, at log(10) = 1 da 10 1 = 10 log(100) = 2 da 10 2 = 100 log(1000) = 3 da 10 3 = 1000 log(10 n ) = n.. På samme måde som x virker modsat x 2, virker log(x) modsat 10 x. Hvis man skal løse ligningen x 2 = 49 får man som bekendt løsningen x = 49. Tallet 49 kan bestemmes grafisk ved at se på grafen for y = x 2. Her finder man 49 på andenaksen, og finder dernæst 49 på førsteaksen. Skal man løse 10 x = 60, kan man benytte samme fremgangsmåde. Her tegner man blot grafen for 10 x, finder 60 på andenaksen og finder så log(60) på førsteaksen. Det kan her aflæses, at log(60) = 1,78 (se figur 1.1). Det er selvfølgelig besværligt at skulle aflæse, hver gang man skal løse en ligning, og derfor er det heldigt, at lommeregnere er udstyret med en log-knap = (2) y = x = 7 (a) Her aflæses 5 2 og (2) y = 10 x (1) Eksempel 1.2 Hvis man skal løse ligningen 10 x = 6, gøres følgende: 10 x = 6 x = log(6) x = 0,7782. Tallet log(6) regnes ud på lommeregneren (1) 1 log(60) = 1,78 (b) Her aflæses log(60). Figur 1.1: På samme måde som x virker modsat x 2, virker log(x) modsat 10 x.

8 8 1 Logaritmer Nu er det jo ikke specielt interessant kun at kunne løse ligninger, hvori der indgår 10 x hvad nu, hvis der stod 2 x eller 7 x? For at løse disse ligninger bruger man følgende sætning, som bevises i afsnit 1.1 nedenfor. Sætning 1.3 Ligningen a x = k har løsningen x = log(k) log(a). Eksempel 1.4 Ligningen 4 x = 23 løses på følgende måde 4 x = 23 x = log(23) log(4) x = 2,262. Regneregler for titalslogaritmen 1 Dette skyldes, at f.eks. log(10 2 ) er løsning til ligningen 10 x = 10 2, som har løsningen x = 2. En lignende udregning kan man lave for alle positive tal. Da titalslogaritmen virker modsat 10 x gælder der, at 1 log(10 x ) = x og 10 log(x) = x. Det kan udnyttes til at vise tre regneregler: Sætning 1.5 For titalslogaritmen gælder følgende: 1. log(a b) = log(a) + log(b). 2. log ( a b ) = log(a) log(b). 3. log(a r ) = r log(a). 2 I beviset udnytter man desuden, at n 10 m = 10 m+n, n 10 m = 10 n m og 3. (10 n ) m = 10 n m. Bevis For at bevise de tre regneregler udnyttes, at a = 10 log(a) og b = 10 log(b) For log(a b) gælder, at log(a b) = log (10 log(a) 10 log(b)) ( = log 10 log(a)+log(b)) = log(a) + log(b). 2. For log ( ) a b gælder, at ( ( a ) log = log b 10 log(a) 10 log(b) ) ( = log 10 log(a) log(b)) = log(a) log(b). 3. For log(a r ) gælder, at (( log(a r ) = log 10 log(a)) r ) ( = log 10 r log(a)) = r log(a). Hermed er sætningen bevist. Eksempel 1.6 Nogle af de ting, man kan udlede af sætning 1.5 er bl.a. at log(10x) = log(10) + log(x) = 1 + log(x),

9 1.2 Den naturlige logaritme 9 ( x log = log(x) log(10) = log(x) 1, ( 10) ) 1 log = log(x 1 ) = 1 log(x) = log(x). x Især regel 3 i sætning 1.5 er anvendelig. Den anvendes i første omgang til at bevise sætning 1.3: Bevis (For sætning 1.3) Hvis man skal løse ligningen a x = k anvendes log på begge sider, og man får a x = k log(a x ) = log(k). Nu anvender man 3) i sætning 1.5, så ligningen kommer til at hedde x log(a) = log(k) x = log(k) log(a), hvilket beviser sætningen. 1.2 DEN NATURLIGE LOGARITME Eulers tal Tallet e, også kaldet Eulers tal, spiller en stor rolle i matematikken. Det er lige som π et irrationelt tal. 3 e har altså et uendeligt antal decimaler. Med 24 decimalers nøjagtighed er e = 2, Et irrationelt tal, er et tal, som ikke kan skrives som en brøk. Irrationelle tal er kendetegnet ved, at de har uendeligt mange decimaler, og at der intet gentagende mønster er i decimalerne. e dukker op mange steder, men her ses kun på, hvordan tallet bruges i forbindelse med den naturlige logaritme. Den naturlige logaritme Ligesom titalslogaritmen (log) er defineret ud fra tallet 10, er den naturlige logaritme defineret ud fra tallet e. Definition 1.7 Den naturlige logaritme, ln, defineres ved, at ln(k) er det tal, der løser ligningen e x = k (hvor e er Eulers tal). Ud fra denne definition kan man bl.a. udlede, at ln(e x ) = x og e ln(x) = x. Da den naturlige logaritme er defineret på næsten samme måde som titalslogaritmen (blot ud fra et andet tal), gælder der nogle af de samme regneregler:

10 10 1 Logaritmer Sætning 1.8 For den naturlige logaritme gælder følgende: 1. ln(a b) = ln(a) + ln(b). 2. ln ( a b ) = ln(a) ln(b). 3. ln(a r ) = r ln(a). Beviset for sætningen forløber på fuldstændigt samme måde som beviset for sætning 1.5 og overlades som en øvelse til læseren. Sammenhængen mellem log og ln 4 Det sidste lighedstegn følger af regel 3 i sætning 1.5. Det viser sig, at der er en simpel sammenhæng mellem de to logaritmefunktioner log og ln. Hvis man tager udgangspunkt i, at x = e ln(x) kan man stille følgende udregning op: 4 log(x) = log(e ln(x) ) = ln(x) log(e). Heraf får man, at der gælder log(x) = log(e) ln(x). Hvis man regner på udtrykket log(a) log(b) får man så log(a) log(b) = log(e) ln(a) log(e) ln(b) = ln(a) ln(b). Hvis man dividerer logaritmer, er det altså ligegyldigt, om man bruger log eller ln (man skal dog huske ikke at blande dem). 1.3 EKSPONENTIELLE FUNKTIONER En eksponentiel funktion f (x) = b a x skrives ofte på en anden måde. Idet a = e ln(a), kan en eksponentiel funktion nemlig skrives som ( f (x) = b a x = b e ln(a)) x = b e ln(a) x. Dette skrives så som f (x) = b e kx (hvor k = ln(a)). Eksempel 1.9 Den eksponentielle funktion y = 4,6 9,1 x kan skrives som fordi ln(9,1) = 2,2. f (x) = 4,6 e 2,2x, For en eksponentiel funktion f (x) = b a x gælder der som bekendt, at funktionen er voksende, hvis a > 1 og aftagende, hvis 0 < a < 1. Da k = ln(a) kan man udlede, at der for den eksponentielle funktion f (x) = b e kx gælder

11 1.3 Eksponentielle funktioner Funktionen er voksende, hvis k > Funktionen er aftagende, hvis k < 0. Man skelner derfor nogle gange mellem voksende og aftagende eksponentielle funktioner, ved at dele op i to tilfælde, således at man skriver 1. f (x) = b e kx, når funktionen er voksende. 2. f (x) = b e kx, når funktionen er aftagende. På denne måde er k altid et positivt tal, og fortegnet regnes ikke som en del af k. Der findes flere gode grunde til at skrive en eksponentiel funktion på denne måde. Én af grundene er, at man hvis man skal regne med enheder kan få regnestykket til at gå op. En anden god grund hænger sammen med en gren af matematikken, der hedder differentialregning; forklaringen herpå må vente til senere. Fordoblings- og halveringskonstanter For en voksende eksponentiel funktion, kan man som bekendt beregne fordoblingskonstanten T 2 vha. formlen T 2 = ln(2) ln(a). Hvis den voksende eksponentielle funktion er på formen f (x) = b e kx bliver dette i stedet til 5 5 Her udnytter man, at k = ln(a). T 2 = ln(2) k (når f (x) = b e kx ). Hvis en aftagende eksponentiel funktion skrives på formen y = b e kx (bemærk fortegnet), har man, at k = ln(a), derfor kan man skrive halveringskonstanten, som 6 T 1 2 = ln( ) 1 2 k = ln(2 1 ) 1 ln(2) = = ln(2). k k k 6 At 1 2 = 2 1 følger af potensregnereglen a n = 1 a n. Halveringskonstanten kan altså beregnes ud fra formlen T 1 = ln(2) 2 k (når f (x) = b e kx ).

12

13 Potensfunktioner 2 Definition 2.1 En potensfunktion er en funktion af typen f (x) = b x a, x > 0, hvor a og b er to konstanter, og b > 0. Bemærk, at en potensfunktion kun er defineret for positive værdier af x. Dette skyldes, at der findes værdier af a, hvor x a ikke er defineret for alle tal. 1 Idet det også er et krav, at b > 0, så vil en potensfunktions graf kun befinde sig i første kvadrant, dvs. både første- og andenkoordinaten for punkter på funktionens graf vil være positive. 1 Et eksempel er x 1, som er det samme som x 1. Da man ikke må dividere med 0 er denne funktion ikke defineret for x = 0. For en potensfunktion giver det altså ikke mening at tale om en skæring med andenaksen, idet funktionen slet ikke er defineret for x = 0. Til gengæld kan man udlede, at en potensfunktion f (x) = b x a altid vil gå gennem punktet (1,b), idet f (1) = b 1 a = b. Et par eksempler på potenssammenhænge kunne være de følgende. Eksempel 2.2 Arealet A af en cirkel med radius r er A = π r 2. Her er der altså en potenssammenhæng mellem radius r og arealet A. De to konstanter a og b er hhv. a = 2 og b = π. Eksempel 2.3 Hastigheden af en tsunamibølge v (i km/h) er en potensfunktion af havdybden d (i meter),[1] v = 11,2 d 0,5. Her er a = 0,5 og b = 11,2. 13

14 14 2 Potensfunktioner (2) a > 1 a = GRAFEN FOR EN POTENSFUNKTION Tallet a i definition 2.1 kaldes eksponenten. Dette tal bestemmer, hvorledes grafen for en potensfunktion ser ud. På figur 2.1 kan man se, hvordan grafens udseende ændrer sig med forskellige værdier af a. Generelt gælder der følgende sætning. Sætning 2.4 For en potensfunktion f (x) = b x a gælder, at b 0 < a < 1 a = 0 1. Hvis a > 0 er funktionen voksende. 2. Hvis a < 0 er funktionen aftagende. 1 a < 0 (1) Figur 2.1: Grafen for en potensfunktion kan se ud på flere måder. f (x 2 ) f (x 1 ) (2) P(x 1 ; y 1 ) x 1 x 2 Q(x 2 ; y 2 ) (1) Figur 2.2: To punkter på grafen for en potensfunktion. Hvis man har grafen for en potensfunktion, kan man bestemme de to konstanter a og b ved at aflæse to punkter på grafen. (Se figur 2.2.) Sætning 2.5 Hvis grafen for en potensfunktion f (x) = b x a går gennem punkterne P(x 1 ; y 1 ) og Q(x 2 ; y 2 ), så er a = ( ) y2 log y 1 log( x2 x 1 ) og b = Bevis Hvis P(x 1 ; y 1 ) og Q(x 2 ; y 2 ) ligger på grafen for f (x) = b x a, så er y 1 x a 1. y 2 = b x a 2 y 1 = b x a 1 (2.1) Disse to ligninger kan man dividere med hinanden, hvorved man får y 2 y 1 = bx a 2 bx a 1 y 2 y 1 = x a 2 x a 1 y 2 y 1 = ( x2 x 1 ) a. Da dette er en eksponentiel ligning, bliver man nødt til at tage logaritmen på begge sider, for at løse ligningen. Man får så log log log ( y2 y 1 ( y2 y 1 ) y 1 ( y2 ) = log (( x2 ) = a log log( x2 x 1 ) = a. ) a ) x 1 ( x2 x 1 )

15 2.2 Potensvækst 15 Hermed er formlen for a bevist. For at bevise formlen for b, ser man på ligning (2.1): y 1 = b x a 1 y 1 x a 1 = b. Så er formlen for b ligeledes bevist. 2.2 POTENSVÆKST En potensfunktion vokser på den specielle måde, at hvis den uafhængige variabel bliver ganget med en fast værdi, så ganges den afhængige variabel også med en fast værdi. 2 Der gælder nemlig følgende sætning. 2 Dog ikke den samme faste værdi. Sætning 2.6 For en potensfunktion f (x) = b x a gælder, at hvis x ganges med et tal k, så ganges funktionsværdien f (x) med k a. Bevis Hvis x ganges med k, så bliver den nye funktionsværdi f (k x). Men f (k x) = b (k x) a = b k a x a = k a b x a = k a f (x). Altså ganges funktionsværdien med k a. Eksempel 2.7 I tabel 2.1 kan man se, hvordan funktionen f (x) = 4x 3 vokser. I denne funktions forskrift er eksponenten a = 3. Hvis x ganges med 2 bliver y derfor ganget med 2 3, dvs. 8. Eksempel 2.8 En potensfunktion f (x) = b x 2 har en graf, der går gennem punktet (3;7). Her kender man ikke værdien af b, men man kan alligevel finde et andet punkt, som funktionen går igennem. Hvis man ganger x med 4, 3 får man den nye værdi 3 4 = 12. Den nye funktionsværdi får man da ved at gange den gamle (7) med 4 2 (idet eksponenten a = 2). Dette giver Tabel 2.1: Vækst af f (x) = 4x x y Der er intet specielt ved tallet 4, det kunne have været hvilket som helst positivt tal = 7 16 = 112. Funktionens graf går altså også igennem (12;112). At gange med et tal svarer til at lægge en procentdel til eller trække en procentdel fra. Tallet k i sætning 2.6 svarer på sin vis til en fremskrivningsfaktor. Fremskrivningsfaktoren k kan i stedet skrives som 1 + r x, hvor r x er vækstraten af den uafhængige variabel x. Tallet k a bliver så en fremskrivningsfaktor for den afhængige variabel y, sådan at k = 1 + r x og k a = 1 + r y. Dette kan sammenfattes i en sætning.

16 16 2 Potensfunktioner Sætning 2.9 Hvis x-værdien for en potensfunktion f (x) = b x a har vækstraten r x, så har funktionsværdien vækstraten r y, hvor 1 + r y = (1 + r x ) a. Eksempel 2.10 Funktionen f (x) = 4,2 x 0,5 er en voksende funktion. Hvis x vokser med 80% svarer det til, at r x = 0,80. Dvs. 1 + r y = (1 + 0,80) 0,5 = 1,342. r y må så være 0,342, hvilket svarer til 34,2%. Hver gang x vokser med 80% vokser y altså med 34,2%. Eksempel 2.11 Funktionen f (x) = 5x 2 er en aftagende funktion med a = 2. Hvis x vokser med 40% er r x = 0,40, dvs. 1 + r y = (1 + 0,40) 2 = 0,510. Det svarer til, at r y = 0,510 1 = 0,490 = 49%. Hvis x vokser med 40% falder y altså med 49%. Eksempel 2.12 Hvis man om en funktion f (x) = 2x 3 ved, at y er vokset med 50%, hvor mange procent er så x vokset? Dette finder man ud af ved at sætte r y = 0,50 ind i formlen, så man får 1 + 0,50 = (1 + r x ) 3. Denne ligning løser man: 1 + 0,50 = (1 + r x ) 3 3 1,50 = 1 + rx 3 1,50 1 = rx 0,145 = r x. x er altså vokset med 14,5%, hvis y er vokset med 50%. 2.3 PROPORTIONALITET To variable y og x siges at være ligefrem proportionale, når y = k x, hvor k er en konstant. Hvis man i stedet for k kalder konstanten b, har man sammenhængen y = b x = b x 1,

17 2.4 Potensregression 17 der er en potenssammenhæng, med a = 1. På samme måde er omvendt proportionalitet også en potenssammenhæng. To variable x og y er nemlig omvendt proportionale, når x y = k, hvilket også kan skrives som 4 4 I omskrivningen bruges, at 1 x n = x n. y = b x = b 1 x = b x 1. Omvendt proportionalitet er altså en potenssammenhæng, hvor a = 1. Det giver følgende sætning. Sætning 2.13 For en potenssammenhæng y = b x a gælder, 1. Hvis a = 1 er y og x ligefrem proportionale. 2. Hvis a = 1 er y og x omvendt proportionale. En ligefrem proportionalitet kan altså beskrives ved potensfunktionen f (x) = b x. Grafen for denne funktion er en ret linje gennem (0;0), 5 dvs. der er i princippet også tale om en lineær funktion med hældningskoefficient b, der skærer andenaksen i 0. Ligefrem proportionalitet kan altså både opfattes som en potensfunktion med eksponent 1 og som en lineær funktion, der skærer andenaksen i 0. 5 Strengt taget skal x > 0, for at man kan tale om en potensfunktion, men i dette tilfælde er der ikke noget til hinder for at lade x antage negative værdier. 2.4 POTENSREGRESSION Hvis man har en række målepunkter, der kan beskrives vha. en potensmodel, kan man (lige som for lineære og eksponentielle modeller) finde frem til forskriften for den potensfunktion, der passer bedst på målepunkterne, vha. regression. I dette tilfælde taler man om potensregression. 6 På figur 2.3 ses en række målepunkter. Vha. computerberegninger kan man finde frem til den potensmodel, der passer bedst på målepunkterne. Hvordan dette gøres afhænger af, hvilket program, man anvender. Grafen og ligningen for denne model ses indtegnet på figuren. 6 Da både den uafhængige og den afhængige variabel er positive for en potensfunktion, må ingen af målepunkterne have koordinater, der er negative eller 0. (2) y = 0,0033x 3, (1) Figur 2.3: En potensfunktions forskrift kan findes vha. potensregression.

18

19 Trigonometri 3 Trigonometri betyder trekantsmåling. Før man kaster sig over trigonometrien, giver det derfor mening at opsummere et par generelle ting om trekanter. 3.1 TREKANTER I en trekant er der tre vinkler. Der gælder følgende kendte sætning, som ikke bevises. Sætning 3.1 Summen af vinklerne i en trekant er 180 : u + v + w = 180. u v w Fra hvert hjørne i en trekant kan man tegne følgende tre linjer: Medianen som er en linje fra en vinkelspids til midten af den modstående side. Vinkelhalveringslinjen som går fra en vinkelspids til den modstående side, sådan at den halverer vinklen. Højden der går fra en vinkelspids vinkelret på den modstående side. Hvis trekanten er stumpvinklet, 1 kan højden ligge uden for trekanten. Disse tre typer af linjer er illustreret på figur En trekant kaldes stumpvinklet, hvis en af vinklerne er stump, dvs. større end 90. Højden står som sagt vinkelret på den modstående side. Den side, som højden står vinkelret på, kalder man grundlinjen, og den bruges sammen med højden, når man beregner en trekants areal. Der gælder følgende meget kendte sætning om sammenhængen mellem en trekants areal, dens højde og grundlinje: 19

20 20 3 Trigonometri Figur 3.1: Hvert hjørne i en trekant har tilknyttet en median, en vinkelhalveringslinje og en højde. Bemærk, at en højde kan ligge uden for trekanten. m v (a) Median m. (b) Vinkelhalveringslinje, v. h h (c) Højde, h. (d) Højde, der falder uden for trekanten. Sætning 3.2 Arealet T af en trekant er det halve af højden ganget med grundlinjen: T = 1 2 h g. h g C AC BC A AB Figur 3.2: Sider og vinkler i ABC. B Notation Når man skal tale om siderne og vinklerne i en trekant, er det vigtigt, at man har en notation, som entydigt forklarer, hvad man taler om. Man følger derfor den konvention, der er illustreret på figur 3.2: Vinkelspidserne benævnes med store bogstaver, og siderne benævnes ved de punkter, de går mellem. A b c Figur 3.3: ABC, hvor siderne benævnes a, b og c. A B C AD C a C D B Nogle gange benævner man også siderne ud fra den vinkel, de ligger overfor. Siden over for vinkel A benævnes så med a, osv. Dette ses på figur 3.3. Notationen, hvor man bruger små bogstaver som navne til siderne, duer i princippet kun, hvis man har én trekant at kigge på. Hvis man har en mere kompliceret figur med flere punkter end tre, kan der nemlig være flere sider, der kan siges at ligge over for en bestemt vinkel notationen med små bogstaver bliver da ikke længere entydig. I den situation vil det være fornuftigst at kalde siderne AB, BC osv. Hvis man har en figur med mere end tre punkter, kan der også nogle gange opstå en situation, hvor det ikke er entydigt at benævne en vinkel med ét bogstav, f.eks. A. I disse situationer benævner man i stedet en vinkel vha. 3 bogstaver. C AD er f.eks. den vinkel, man får tegnet op, når man tegner fra punkt C til punkt A til punkt D (se figur 3.4). Figur 3.4: A kan være 3 forskellige vinkler på denne figur; derfor kalder man den markerede vinkel C AD.

21 3.1 Trekanter 21 Ensvinklede trekanter To trekanter, hvor vinklerne er parvis lige store, kaldes ensvinklede. Dette kan også defineres på følgende måde. Definition 3.3 Hvis der for to trekanter ABC og A B C gælder, at A = A, B = B og C = C, så kaldes de to trekanter ensvinklede. Hvis to trekanter er ensvinklede, vil den ene være en forstørret eller formindsket kopi af den anden. Der gælder følgende sætning. Sætning 3.4 Hvis ABC og A B C er ensvinklede med A = A, B = B og C = C, så er forholdet mellem de ensliggende 2 sider ens, dvs. a a = b b = c c. B B c a c a A b C A b C 2 To sider er ensliggende, når de ligger mel- Eksempel 3.5 Hvis ABC og DEF er ensvinklede, sådan at lem to ens vinkler A = D, B = E, og C = F, og man tillige ved, at a = 2, b = 3, e = 9 og f = 12, så kan man beregne længden af de resterende sider. Først tegner man en skitse (den behøver ikke være målfast), for at få et overblik: E c =? B a = 2 f = 12 d =? A b = 3 C D e = 9 F

22 22 3 Trigonometri Figur 3.5: I en ligebenet trekant er to af siderne lige lange, i en ligesidet er alle sider lige lange, og i en retvinklet trekant er den ene vinkel ret. (a) En ligebenet trekant (b) En ligesidet trekant. (c) En retvinklet trekant. Herefter ser man på forholdet mellem de ensliggende sider. I dette tilfælde er d a = e b = f c. Indsætter man de kendte værdier, får man Dvs. og 9 3 = 12 c d 2 = 9 3 d 2 = 9 3 = 12 c. c d = = 6, 12 = 3 9 c = = 4. Nu kender man altså alle sidelængderne i de to trekanter. Specielle trekanter Der findes tre typer af trekanter, som det er vigtigt at kende navnene på. Det er ligebenede trekanter, ligesidede trekanter og retvinklede trekanter. Disse er illustreret på figur 3.5. hypotenuse katete katete Figur 3.6: Siderne i en retvinklet trekant. I en retvinklet trekant har siderne også specielle navne. Den side, der ligger over for den rette vinkel kaldes hypotenusen, mens de to andre sider kaldes kateter (se figur 3.6). For retvinklede trekanter gælder der følgende sætning. Sætning 3.6: Pythagoras sætning I en retvinklet trekant ABC, hvor C er den rette vinkel, gælder der, at B a 2 + b 2 = c 2. c a A b C 3 Kvadratet på... betyder»opløftet i 2. potens«. Kvadratet på a betyder f.eks. a 2. Hvis man i stedet for at referere til en konkret trekant ABC bruger de navne, siderne i en retvinklet trekant har, kan Pythagoras sætning også udtrykkes på følgende måde: 3

23 3.2 Sinus, cosinus og tangens 23 Sætning 3.7: Pythagoras sætning I en retvinklet trekant er summen af kvadraterne på kateterne lig kvadratet på hypotenusen, dvs. (første katete) 2 + (anden katete) 2 = (hypotenusen) 2. Eksempel 3.8 Hvis man om en retvinklet trekant ved, at den ene katete har længden 5, og hypotenusen har længden 13, kan man beregne længden af den sidste katete vha. Pythagoras sætning. Længden af den sidste katete, kan man kalde x. Sætter man de oplyste værdier ind i Pythagoras sætning, får man ligningen x 2 = Dvs. x 2 = = = 144. Længden af den sidste katete er så x = 144 = SINUS, COSINUS OG TANGENS Hvis man skal kunne beregne manglende sider og vinkler i en trekant, er det nødvendigt at finde sammenhænge mellem sider og vinkler i trekanter. Her viser det sig, at det er praktisk at definere de tre trigonometriske funktioner sinus, cosinus og tangens. På figur 3.7 er der tegnet et koordinatsystem med en enhedscirkel, dvs. en cirkel med centrum i (0;0) og radius 1. Vinklen v, hvis ene ben ligger langs førsteaksen, og det andet ben skærer cirklen i punktet P er også indtegnet. Punktet P kalder man vinklens retningspunkt. Vinkler afsættes altid på enhedscirklen på den måde, at man starter på førsteaksen og derefter går mod uret (positiv omløbsretning). Hvis vinklen er negativ, går man dog med uret rundt. (2) 1 P(cos(v); sin(v)) sin(v) v cos(v) 1 (1) De tre funktioner defineres nu på følgende måde: Definition 3.9 Lad P være retningspunktet for vinklen v. Så er 1. cos(v) lig med P s førstekoordinat. 2. sin(v) lig med P s andenkoordinat. 3. tan(v) = sin(v) cos(v). Bemærk, at tan(v) kun er defineret for de vinkler, hvor cos(v) 0. Figur 3.7: Sinus og cosinus til en vinkel aflæses vha. enhedscirklen. Vha. disse funktioner bliver det nu muligt at omregne mellem længder og vinkler, idet v jo er en vinkel, mens cos(v) og sin(v) er koordinater, dvs. en form for længder.

24 24 3 Trigonometri Tabel 3.1: Værdien af cos(v) og sin(v) for forskellige vinkler. v cos(v) sin(v) 20 0,940 0, ,707 0, ,5 0, ,174 0,985 I tabel 3.1 kan man se nogle værdier af cosinus og sinus. Af tabellen kan man f.eks. se, at cos(60 ) = 0,5 og sin(60 ) = 0,866. Det betyder, at hvis vinklen v på figur 3.7 er 60, så har punktet P koordinaterne (0,5;0,866). Af figur 3.7 kan man også se, at hvis vinklen v ligger mellem 90 og 180 er cos(v) negativ. Dette ses også i tabellen. Da sin(v) og cos(v) er koordinater til et punkt på enhedscirklen, som jo har radius 1, følger det i øvrigt, at både sin(v) og cos(v) må ligge mellem 1 og 1, altså at 1 cos(v) 1 og 1 sin(v) 1. Ved at se på symmetri i enhedscirklen, kan man udlede følgende sætning, der ikke bevises: Sætning 3.10 Hvis v er en vinkel, så er 1. cos(90 v) = sin(v) 2. sin(90 v) = cos(v) 3. cos( v) = cos(v) 4. sin( v) = sin(v) 5. cos(180 v) = cos(v) 6. sin(180 v) = sin(v) Idet radius i enhedscirklen er 1, gælder der også følgende sammenhæng mellem cosinus og sinus, som kan udledes ved at anvende Pythagoras sætning: Sætning 3.11: Grundrelationen mellem cosinus og sinus Lad v være en vinkel. Så er cos(v) 2 + sin(v) 2 = TRIGONOMETRI I RETVINKLEDE TREKANTER I første omgang ses på, hvordan de trigonometriske funktioner kan bruges til beregninger i en retvinklet trekant. På figur 3.8 er en retvinklet trekant tegnet ind i et koordinatsystem. Samtidig er der tegnet en enhedscirkel, hvor A også ligger placeret. Man kan nu finde cos(a) og sin(a) som sidelængder i den lille markerede trekant. De findes som den lodrette, hhv. vandrette afstand, man ser på figur 3.8 (jf. definition 3.9). tan(a) er hældningskoefficienten til linjen AB på figuren. 4 De to trekanter er ensvinklede, og hypotenuserne er hhv. 1 og c. Dvs. ABC er c gange så stor, som den lille trekant; omvendt er den lille trekant altså c gange mindre end ABC. Den udfyldte trekant er ensvinklet med ABC. Hypotenusen i den lille trekant er 1, idet den er radius i cirklen. Idet hypotenusen i trekant ABC er c, kan man altså beregne sidelængderne i den lille trekant ved at dele sidelængderne i trekant ABC med c. 4

25 3.3 Trigonometri i retvinklede trekanter 25 (2) B Figur 3.8: En retvinklet trekant, hvor vinklen A er lagt i (0,0) i et koordinatsystem. sin(a) og cos(a) kan findes som længder i den lille 1 cos(a) markerede trekant, der er ensvinklet med trekant ABC. c a A sin(a) 1 b C (1) Da den lodrette katete i den lille trekant er sin(a), og den lodrette katete i ABC er a, må der derfor gælde, at sin(a) = a c. I den lille trekant er den vandrette katete cos(a), og i ABC er den vandrette katete lig b. Derfor må cos(a) = b c. Ud fra dette kan man også finde en formel for tan(a), idet tan(a) = sin(a) cos(a) = a / b c c = a c c b = a b. Alt dette kan opsummeres i følgende sætning. Sætning 3.12 I en retvinklet trekant ABC, hvor C er den rette vinkel er sin(a) = a c, cos(a) = b c og tan(a) = a b. Nu er det jo ikke alle trekanter, der hedder ABC. Sætning 3.12 skrives derfor også nogle gange op på følgende måde. Sætning 3.13 I en retvinklet trekant, hvor v er én af de spidse vinkler, er modstående katete sin(v) =, hypotenusen hosliggende katete cos(v) =, hypotenusen

26 26 3 Trigonometri v Hypotenuse Hosliggende katete til v Modstående katete til v Figur 3.9: Sidernes navne i forhold til den spidse vinkel v. tan(v) = modstående katete hosliggende katete. Betegnelserne»modstående«og»hosliggende«katete henviser til, om kateten ligger over for (modstående) eller op til (hosliggende) vinklen. Se også figur 3.9. Vha. formlerne i sætning 3.13 er det muligt at beregne alle sider og vinkler i en retvinklet trekant, hvis blot man kender mindst én side og enten en af de spidse vinkler eller en side mere. Størrelsen af f.eks. sin(32 ) eller cos(51 ) kan nemlig beregnes vha. en lommeregner. Eksempel 3.14 I en retvinklet trekant DEF er D = 30 og EF = 7. En skitse af trekanten ser således ud: E 7 D 30 F 5 Resultatet regnes ud på en lommeregner. Siden EF er den modstående katete til D, og DE er hypotenusen, så ifølge sætning 3.13 er sin(30 ) = 7 DE. Denne ligning løses, og man får 5 DE = 7 sin(30 ) = 14. Den sidste side kan nu bestemmes vha. Pythagoras sætning, og den sidste vinkel bestemmes ud fra, at vinkelsummen i en trekant er 180. Eksempel 3.15 Hvis man skal bestemme længden af kateten DF i trekanten fra eksempel 3.14, kan dette gøres ved at benytte tangens. Siden DF er den hosliggende katete til D, og EF er den modstående, får man ifølge sætning 3.13, at Løser man denne ligning, får man tan(30 ) = 7 DF. DF = 7 tan(30 ) = 12, INVERSE TRIGONOMETRISKE FUNKTIONER I afsnit 3.3 blev det gennemgået, hvordan man kan beregne siderne i en retvinklet trekant ud fra sinus, cosinus og tangens. I dette afsnit ses til

27 3.5 Arealet af en trekant 27 gengæld på, hvordan man finder en vinkel, hvis man kender dens sinus, cosinus eller tangens. Til dette bruger man de»inverse trigonometriske funktioner«sin 1, cos 1 og tan 1. 6 De tre funktioner bruges til at løse ligninger, hvor man kender sinus, cosinus eller tangens til den ubekendte. Eksempel 3.16 For at løse ligningen cos(v) = 0,8 bruges cos 1 : cos(v) = 0,8 v = cos 1 (0,8). 6 De tre funktioner kaldes undertiden også arccos, arcsin og arctan.»arc«står for arcus, som betyder»bue«på latin. arcsin er altså den bue (vinkel), hvis sinus har en bestemt værdi. I computerprogrammer kaldes de tre funktioner i øvrigt ofte asin, acos og atan. cos 1 (0,8) regnes ud på en lommeregner, og man får v = cos 1 (0,8) = 36,9. Eksempel 3.17 Ligningen sin(b) = 0,5 løses således: sin(b) = 0,5 B = sin 1 (0,5) = 30. Eksempel 3.18 I en retvinklet trekant ABC er AC = 5 og BC = 3. En skitse af trekanten ser således ud: B 3 A 5 C Siden AC er den hosliggende katete til A, og siden BC er den modstående katete. Ifølge sætning 3.13 er tan(a) = 3 5 = 0,6. Løsningen til ligningen tan(a) = 0,6 finder man ved at benytte tan 1, så tan(a) = 0,6 A = tan 1 (0,6) = 30,96. Den sidste vinkel kan så bestemmes ud fra, at vinkelsummen i en trekant er 180, og den sidste side kan bestemmes vha. Pythagoras sætning. 3.5 AREALET AF EN TREKANT I de foregående afsnit er det blevet gennemgået, hvordan man kan regne sider og vinkler ud i retvinklede trekanter. Der er dog masser af trekanter, der ikke er retvinklede, og for disse gælder der nogle andre sammenhænge. Det viser sig, at man kan udlede formler, der gælder for vilkårlige trekanter 7 ved at dele en trekant op i to retvinklede, og derefter bruge de formler, der gælder for retvinklede trekanter. F.eks. gælder der følgende sætning. 7 At trekanten er»vilkårlig«betyder, at der ikke er nogen specielle krav for hverken sidernes eller vinklernes størrelse; den kan altså se ud på en hvilken som helst måde

28 28 3 Trigonometri Sætning 3.19 B Arealet T af en trekant ABC er T = 1 2 a b sin(c ), c h B a T = 1 2 a c sin(b), T = 1 2 b c sin(a). A b Figur 3.10: Trekant ABC med højden h B indtegnet. Vinkel C er spids. H C Bevis I første omgang antages, at vinklen C er spids. I ABC tegnes højden h B fra B (se figur 3.10). Iflg. sætning 3.2 er arealet af ABC givet ved T = 1 2 h B b. (3.1) Men da BC H er retvinklet gælder der også (sætning 3.13), at B sin(c ) = h B a h B = a sin(c ). c a h B Dette udtryk for h B kan sættes ind i ligningen (3.1), og man får så T = 1 2 a sin(c ) b = 1 2 a b sin(c ). A b Figur 3.11: Trekant ABC med højden h B indtegnet. Vinkel C er stump. C H Hvis vinkel C er stump, ser situationen ud som på figur Her gælder, at BC H = 180 C. Ifølge sætning 3.10 betyder det, at sin( BC H) = sin(180 C ) = sin(c ). Ser man på den retvinklede BC H, finder man, at dvs. sin( BC H) = h B a, sin(c ) = h B a, og man ender derfor med den samme formel som i det spidsvinklede tilfælde. Dette er kun et bevis for den ene af formlerne i sætning Men hvis man ser nærmere på formlerne i sætningen, opdager man, at der i alle tre formler optræder to sider og den mellemliggende vinkel. Det er derfor ikke nødvendigt, at give et selvstændigt bevis for alle tre formler, idet det faktisk drejer sig om den samme formel skrevet på tre forskellige måder. Hvis man blot husker, at der i formlen indgår to af siderne og den mellemliggende vinkel, kan man hurtigt skrive arealformlen op for en hvilken som helst trekant. Eksempel 3.20 I ABC er B = 47, a = 9 og c = 5. En skitse af trekanten ser sådan ud:

29 3.6 Sinusrelationerne 29 B c = 5 47 a = 9 A C Arealet af denne trekant er T = 1 2 a c sin(b) = sin(47 ) = 16,5. Eksempel 3.21 I DEF er d = 4 og E = 75. Hvis man yderligere får at vide, at arealet af trekanten er 13, så kan man beregne siden f og derved få tegnet en skitse af trekanten. Først bemærker man, at de sider, der støder op til E er siderne d og f. Derfor kan man vha. sætning 3.19 opstille formlen T = 1 2 d f sin(e). Sætter man de kendte størrelser ind i formlen, får man ligningen 13 = f sin(75 ). Denne ligning har løsningen f = Siden f har altså længden 6, sin(75 ) = 6, SINUSRELATIONERNE Vha. sætning 3.19 kan man udlede følgende sætning. Sætning 3.22: Sinusrelationerne I en trekant ABC gælder der og sin(a) a a sin(a) = = sin(b) b b sin(b) = = sin(c ) c, c sin(c ). Bevis De tre formler i sætning 3.19 er tre formler for arealet af den samme trekant. Der må derfor gælde, at 1 2 b c sin(a) = 1 2 a c sin(b) = 1 2 a b sin(c ).

30 30 3 Trigonometri I denne dobbeltligning kan man dividere med 1 2 a b c på alle»sider«, og man får så 1 2 b c sin(a) a b c = a c sin(b) a b c = a b sin(c ) 1 2 a b c. Nu forkorter man så meget som muligt, og tilbage står der sin(a) hvorved sætningen er bevist. a = sin(b) b = sin(c ) c, A c = 8 B 47 a = 5 Figur 3.12: En trekant med to kendte sider, og én kendt vinkel. C Sinusrelationerne siger, at forholdet mellem sinus til en vinkel og den side, der ligger over for vinklen er konstant i en given trekant. Hvis man kender en vinkel og en side over for hinanden i en trekant, og man kender en vinkel eller en side mere, er det derfor muligt at beregne resten af siderne og vinklerne i trekanten. Eksempel 3.23 I ABC er C = 47, a = 5 og c = 8. En skitse af trekanten kan ses på figur Iflg. sinusrelationerne (sætning 3.22) er dvs. sin(a) a = sin(c ) c, sin(a) 5 = sin(47 ) 8 sin(a) = sin(47 ) 8 5 = 0,4571. Derfor er A = sin 1 (0,4571) = 27,2. Vinkel B kan nu bestemmes ud fra, at vinkelsummen er 180, og den sidste side kan så også bestemmes vha. sinusrelationerne (se evt. næste eksempel). B 34 Eksempel 3.24 I ABC er A = 62, B = 34 og b = 7. En skitse kan ses på figur Ifølge sinusrelationerne er a sin(a) = b sin(b), dvs. a sin(62 ) = 7 sin(34 ) a = 7 sin(34 ) sin(62 ) = 11,1. A 62 b = 7 Figur 3.13: En trekant med to kendte vinkler og én kendt side. C Den sidste vinkel kan beregnes ud fra, at vinkelsummen er 180, og den sidste side, kan bestemmes på samme måde som siden a.

31 3.6 Sinusrelationerne 31 Sinusfælden Det viser sig, at man skal være en smule påpasselig, når man bestemmer vinkler vha. sinusrelationerne. Funktionen sin 1, som man bruger til at isolere vinkler med, giver nemlig altid et resultat mellem 0 og 90 ; men i en trekant kan en vinkel være op til 180 og det viser sig, at for en given sinus-værdi, findes der to vinkler, der kan give denne værdi. Ser man på figur 3.14, kan man se, at vinklen v og vinklen 180 v har retningspunkter (P og P på figuren), der har samme andenkoordinat. Dvs. sin(180 v) = sin(v). (2) Ud fra dette kan man argumentere for, at når man har ligningen sin(v) = y, så kan der være to løsninger. De to løsninger er v = sin 1 (y) og v = 180 sin 1 (y). P v v P 1 (1) Eksempel 3.25 I trekant ABC er A = 56, a = 7 og b = 8. Vha. sinusrelationerne kan man beregne B, idet sin(b) = sin(a). b a Dette giver ligningen Figur 3.14: To vinkler med samme sinus. sin(b) 8 = sin(56 ) 7 sin(b) = sin(56 ) 7 8 = 0,9475. Denne ligning har to løsninger, den ene er 8 og den anden er B = sin 1 (0,9475) = 71,3, 8 Der findes to løsninger til en ligning som sin(b) = 0,9475, netop fordi sin(71,3 ) = sin(108,7 ), så begge disse vinkler løser ligningen. B = 180 sin 1 (0,9475) = 108,7. Trekant ABC kan altså se ud på to forskellige måder: B a = 7 B A a = C A b = 8 b = 8 C Hvis man bliver bedt om at bestemme de resterende sider og vinkler i ABC bliver man altså nødt til at regne på to forskellige trekanter. Der findes derfor ikke én men to løsninger, og den ene er ikke mere rigtig end den anden.

32 32 3 Trigonometri Selvom ligningen sin(v) = y altid har to løsninger, er det ikke sikkert at begge løsninger giver mening. Dette ses i næste eksempel. Eksempel 3.26 Her ses på trekanten ABC, hvor A = 45, a = 15 og b = 12. Sinusrelationerne giver sin(b) = sin(a), b a hvorfra man får ligningen sin(b) 12 = sin(45 ) 15 sin(b) = sin(45 ) = 0,5657. Denne ligning har to løsninger, B = sin 1 (0,5657) = 34,4 og B = 180 sin 1 (0,5657) = 145,6. Den sidste løsning ( B = 145,6 ) er godt nok en løsning til ligningen sin(b) = 0,5657, men det er ikke en løsning, der giver mening. Vinkelsummen i en trekant er nemlig 180, og der er i forvejen en vinkel på 45. Så kan der ikke også være en vinkel på 145,6 i trekanten, og denne løsning kasseres derfor. Altså er der kun én mulig størrelse for vinkel B, nemlig 34, COSINUSRELATIONERNE Sinusrelationerne kan bruges i de tilfælde, hvor man kender en vinkel og en side, der ligger over for hinanden. Gør man ikke det, kan man kun beregne yderligere sider og vinkler ved at benytte cosinusrelationerne. Sætning 3.27: Cosinusrelationerne I en trekant ABC gælder der, at a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos(a) cos(a) = b2 + c 2 a 2 2 b c b 2 = a 2 + c 2 2 a c cos(b) cos(b) = a2 + c 2 b 2 2 a c c 2 = a 2 + b 2 2 a b cos(c ) cos(c ) = a2 + b 2 c 2. 2 a b Formlerne på højre side i sætning 3.27 er blot en omskrivning af formlerne på venstre side. Hvis man ser nærmere på formlerne på venstre side, bemærker man, at alle tre formler gør det muligt at beregne en side, hvis man kender vinklen overfor og de to andre sider. Indholdet i alle tre formler er altså på sin vis det samme, så det er kun nødvendigt at bevise den ene af dem.

33 3.7 Cosinusrelationerne 33 Bevis I første omgang antages det, at vinkel C er spids. I trekanten ABC tegnes højden h fra B. Fodpunktet for højden kaldes H (se figur 3.15). Bruger man Pythagoras sætning på de retvinklede trekanter AB H og BC H, får man c 2 = h 2 + (b x) 2 og a 2 = h 2 + x 2. A c b x Figur 3.15: Trekant ABC med højden h. Vinkel C er spids. h B H x a C I begge disse ligninger kan man isolere h 2, så man får c 2 (b x) 2 = h 2 og a 2 x 2 = h 2. Nu har man to udtryk, der begge er lig h 2. Disse to udtryk må derfor også være lig hinanden, dvs. c 2 (b x) 2 = a 2 x 2 c 2 = a 2 x 2 + (b x) 2 c 2 = a 2 x 2 + b 2 + x 2 2 b x c 2 = a 2 + b 2 2 b x. (3.2) For at komme videre, udnytter man, at BC H er retvinklet, og derfor giver sætning 3.13, at cos(c ) = x a x = a cos(c ). B Dette resultat kan indsættes i ligningen (3.2), og man får c 2 = a 2 + b 2 2 b a cos(c ). Hvis vinkel C er stump, ser situationen ud som på figur Her kan man bruge Pythagoras sætning på de to retvinklede trekanter AB H og BC H, og man får c 2 = h 2 + (b + x) 2 og a 2 = h 2 + x 2. Regner man på disse to ligninger på samme måde som i det spidsvinklede tilfælde, får man c 2 = a 2 + b b x, (3.3) som adskiller sig fra (3.2), idet der er et andet fortegn på det sidste led. A b c Figur 3.16: Trekant ABC med højden h. Vinkel C er stump. C x a h H Ser man på trekant BC H finder man nu, at cos( BC H) = h a h = a cos( BC H). Men BC H = 180 C, dvs. sætning 3.10 giver cos( BC H) = cos(180 C ) = cos(c ), og dvs. h = a cos( BC H) = a cos(c ). Indsætter man dette i (3.3) får man igen c 2 = a 2 + b 2 2 a b cos(c ).

34 34 3 Trigonometri A B b = 10 a = 7 39 Figur 3.17: Trekant, hvor man kender to sider og en mellemliggende vinkel. C Cosinusrelationerne kan bruges til at beregne en side, hvis man kender de to andre sider i en trekant, samt vinklen overfor. Dette svarer til formlerne på venstre side i sætning Alternativt kan man bruge cosinusrelationerne til at beregne en vinkel, hvis man kender alle tre sider i en trekant dette svarer til formlerne på højre side i sætningen. Eksempel 3.28 I trekant ABC er C = 39, a = 7 og b = 10. En skitse af trekanten kan ses på figur Siden c kan beregnes vha. en cosinusrelation. Iflg. sætning 3.27 er c 2 = a 2 + b 2 2 a b cos(c ) = cos(39 ) = 40,20, hvilket betyder, at c = 40,20 = 6,3. A c = 4 b = 6 B a = 3 Figur 3.18: Trekant, hvor man kender alle sider. C Da man nu kender alle sider, kan én af de sidste to vinkler også bestemmes vha. en cosinusrelation (se næste eksempel). Alternativt kan man bestemme en af de sidste to vinkler vha. sinusrelationerne. Eksempel 3.29 I dette eksempel ses på en trekant ABC, hvor a = 3, b = 6 og c = 4 (se figur 3.18). Iflg. cosinusrelationerne kan A beregnes ud fra formlen Heraf får man cos(a) = b2 + c 2 a 2 2bc = A = cos 1 (0,9858) = 26,4. = 0,8958. De resterende vinkler kan beregnes på samme måde.

35 Trigonometriske funktioner 4 De tre trigonometriske funktioner sin, cos og tan, som kan bruges til at beregne sider og vinkler i geometriske figurer, kan også opfattes som egentlige matematiske funktioner. Når man regner på geometriske figurer, måles vinkler i grader, dvs.i udtrykket sin(x) er x en vinkel i grader. Det viser sig, at hvis man i stedet bruger en anden form for vinkelmål, så bliver nogle af de matematiske formler, der involverer trigonometriske funktioner, simplere. 4.1 RADIANER En cirkel svarer som bekendt til en vinkel på 360. Men der er jo intet selvfølgeligt ved, at det lige skal være 360, der definerer en hel omdrejning. Man kunne lige så godt have valgt ethvert andet tal 1. Et vinkelmål, man ofte bruger i matematikken, bygger på, at man måler vinkler som længden af en cirkelbue. Tanken er den følgende: Man kan måle en vinkels størrelse som længden af den bue, den spænder over. Denne buelængde er en del af en cirkel, så dens længde afhænger selvfølgelig af, hvilken radius, der er, i den cirkel, man tegner. Men hvis man så dividerer med radius, får man et forhold, der er uafhængigt af radius. Dette vinkelmål kaldes radianer. 1 Faktisk er tallet 360 et levn fra det babyloniske 60-talssystem.[3] Definition 4.1 En vinkels størrelse i radianer v måles som forholdet mellem den bue, vinklen spænder over, og radius i cirklen, v = b r. b r 35

36 36 4 Trigonometriske funktioner π 2π 3 3π 4 5π π π π π 6 π 4 2π 3 π π Figur 4.1: Sammenhængen mellem grader og radianer. π 3 π 4 π 6 0 Da en cirkels omkreds er 2πr, kommer en hel omdrejning til at svare til 2π, og en ret vinkel (90 ) til at svare til π 2. Figur 4.1 viser sammenhængen mellem grader og radianer som vinkelmål. Da 2π i radianer svarer til en hel cirkel, og 360 også svarer til en hel cirkel, får man 360 = 2π 1 = π 180, dvs. man kan omregne fra grader til radianer ved at gange med 180. Omvendt kan man regne om fra radianer til grader ved at gange med 180 Eksempel 4.2 Hvad er vinklen 36 i radianer? For at svare på dette spørgsmål beregnes π π. 1 (2) 36 svarer altså til π π 180 = 36π 180 = π 5. (1) 3π 2π π π 2π 3π 1 1 (1) 3π 2π π π 2π 3π 1 (2) Figur 4.2: Graferne for funktionerne cos(x) (øverst) og sin(x) (nederst). Tabel 4.1: Funktionsværdier for cos og sin. x cos(x) sin(x) π 1 0 π π 4 π π π 1 0 3π π COSINUS OG SINUS SOM FUNKTIONER Når cosinus og sinus behandles som matematiske funktioner, cos(x) og sin(x), måles den uafhængige variabel x i radianer. Graferne for disse to funktioner kan ses på figur 4.2. Man kunne fristes til at tro, at fordi en cirkel svarer til 2π radianer, så har cos(x) og sin(x) kun funktionsværdier, når x ligger i intervallet mellem 0 og 2π, men dette er ikke rigtigt. Værdier af x, der ligger over 2π, svarer blot til, at man går mere end én omgang rundt i cirklen; mens de negative værdier svarer til, at man går modsat rundt. Funktionsværdierne vil så gentage sig selv for hver hel omgang, man går rundt i cirklen dette er beskrevet nærmere nedenfor. På graferne er førsteaksen inddelt i enheder af π. Dette skyldes, at det er ud for disse værdier, graferne skærer førsteaksen og antager deres maksima og minima. Nogle af funktionsværdierne for cos(x) og sin(x) kan ses i tabel 4.1. Periodicitet Ved at se på graferne for de to funktioner, kan man udlede, at de er periodiske. At en funktion er periodisk betyder, at funktionen så at sige»gentager sig selv«. Man kan se på graferne for cos(x) og sin(x), at hver gang man går 2π frem eller tilbage på førsteaksen, finder man de samme funktionsværdier. Dette skyldes, at cosinus og sinus er defineret ud fra enhedscirklen, og 2π svarer til en hel omgang rundt i cirklen. Derfor vil cos(x) og sin(x) have samme værdi, når x stiger eller falder med et helt tal gange 2π, dvs. cos(x + k 2π) = cos(x) sin(x + k 2π) = sin(x) hvor k er et helt tal.

37 4.3 Ligninger med cos og sin 37 Fordi de to funktioner er periodiske, kan de bruges til at beskrive en lang række fænomener i naturen, der udviser et gentagende mønster, som f.eks. bølger og svingninger. Eksempel 4.3 En fjeder, der svinger op og ned, kan beskrives ved hjælp af funktionen f (t) = a cos(ω 0 t + α), hvor f angiver udsvinget fra ligevægtspositionen, og t angiver tiden.[2] Konstanterne a, ω 0 og α afhænger af den konkrete situation. 4.3 LIGNINGER MED COS OG SIN Fordi sinus og cosinus er periodiske, så vil ligninger med disse funktioner typisk have mere end én løsning og ofte uendeligt mange løsninger. Hvis man f.eks. skal løse ligningen sin(x) = a, hvor a er et eller andet tal, er en af løsningerne x = sin 1 (a). Men sin 1 giver kun den af løsningerne, der ligger mellem π 2 og π 2.2 På 2 Hvilket svarer til 90 og 90. figur 4.3 kan man se angivet på enhedscirklen, at der også er en anden løsning, som er givet ved (2) π sin 1 (a) 1 x = π sin 1 (a). a Idet man kan lægge et helt antal gange 2π til x og få de samme funktionsværdier, betyder det, at ligningen sin(x) = a har løsningerne sin 1 (a) 1 (1) x = sin 1 (a) + k 2π x = π sin 1 (a) + k 2π, k Z.»k Z«betyder, at k er et helt tal. Samme type argument kan man lave for ligningen cos(x) = a, sådan at man får følgende sætning. 3 Sætning 4.4 Når 1 a 1, gælder 1. Ligningen cos(x) = a har løsningerne x = cos 1 (a) + k 2π x = cos 1 (a) + k 2π, k Z. 2. Ligningen sin(x) = a har løsningerne x = sin 1 (a) + k 2π x = π sin 1 (a) + k 2π, k Z. Figur 4.3: Ligningen sin(x) = a har to løsninger mellem 0 og 2π. 3 Bemærk i øvrigt, at 1 a 1, idet funktionsværdierne for både cos og sin ligger i dette interval. 1 (1) 3π 2π π π 2π 3π 1 (2) Eksempel 4.5 Løsningerne til ligningen sin(x) = 0,7 Figur 4.4: Løsningerne til sin(x) = 0,7 kan findes ved at tegne grafen for sin(x) og linjen med ligningen y = 0,7 og aflæse skæringspunkternes førstekoordinater.

38 38 4 Trigonometriske funktioner kan bestemmes grafisk ved at tegne grafen for sin(x) og linjen med ligningen y = 0,7 og aflæse førstekoordinaterne til skæringspunkterne (se figur 4.4). Denne ligning har ifølge sætning 4.4 løsningerne x = sin 1 (0,7) + k 2π x = π sin 1 (0,7) + k 2π, k Z, 4 Her regner man ud, hvad sin 1 (0,7) og π sin 1 (0,7) rent faktisk giver. dvs. 4 x = 0, k 2π x = 2, k 2π, k Z. Eksempel 4.6 Ligningen 3cos(x) 1 = 0,8 løser man ved først at isolere cos(x): 3cos(x) 1 = 0,8 3cos(x) = 1,8 cos(x) = 0,6. Herefter bruger man sætning 4.4, og får x = cos 1 (0,6) + k 2π x = cos 1 (0,6) + k 2π, k Z, som kan reduceres til x = 0, k 2π x = 0, k 2π, k Z. Eksempel 4.7 Løsningerne til ligningen sin(2x 1) = 0,3 finder man også ved at bruge sætning 4.4. Nu står der 2x 1 i parentesen, så man får 2x 1 = sin 1 (0,3) + k 2π 2x 1 = π sin 1 (0,3) + k 2π, k Z. I disse to ligninger isolerer man x: x = sin 1 (0,3) + k 2π x = π sin 1 (0,3) + k 2π Reducerer man, fås 1, k 2π x = k 2π x =, 2 dvs. x = 0, k π x = 1, k π, k Z.

39 4.4 Tangens TANGENS I det ovenstående er tangens ikke blevet omtalt. Grafen for tan(x) kan ses på figur 4.5. Som man kan ane på figuren, går funktionsværdien mod hhv. når x nærmer sig ± π 2, ± 3π 2, ± 5π 2 osv. (2) Dette skyldes at tan(x) er defineret som tan(x) = sin(x) cos(x), 1 (1) og det er netop i disse værdier af x, at cos(x) = 0. 3π 2π π π 2π 3π Som man måske også kan se på figuren er tan(x) periodisk med perioden π. Ved at se på enhedscirklen og argumentere, som der blev gjort i foregående afsnit, kan man komme frem til følgende sætning, som ikke bevises her. Sætning 4.8 Ligningen tan(x) = a har løsningerne Figur 4.5: Grafen for tan(x). x = tan 1 (a) + k π, k Z. Eksempel 4.9 Ligningen tan(x) = 0,5 kan man løse ved at bruge sætning 4.8: x = tan 1 (0,5) + k π, k Z, dvs. Eksempel 4.10 Ligningen x = π 4 + k π, k Z. 4tan(x) + 7 = 10 løser man også ved at bruge sætning 4.8. Blot skal man her først isolere tan(x): 4tan(x) + 7 = 10 4tan(x) = 3 tan(x) = 3 4. Herefter kan man bruge sætningen, hvorved man får x = tan 1 ( 3 4 ) + k π, k Z, dvs. x = 0, k π, k Z.

40

41 Polynomier 5 Funktionen f (x) = 3x 2 + x 4 tilhører gruppen af polynomier, som er en type af funktioner, der anvendes i mange grene af matematikken. Det viser sig nemlig, at polynomier har mange pæne egenskaber. Den generelle definition på et polynomium er den følgende. Definition 5.1 Et polynomium er en funktion af typen, f (x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, hvor koefficienterne a 0,...,a n er reelle tal, a n 0. Tallet n, som skal være et helt, positivt tal, kaldes polynomiets grad. Nogle eksempler på polynomier kunne være: Førstegradspolynomium: f (x) = 3x + 1 Andengradspolynomium: g (x) = 4x 2 3x + 5 Tredjegradspolynomium: h(x) = x 3 + 7x 13 Fjerdegradspolynomium: m(x) = 8x 4 + 7x 2 Syttendegradspolynomium: p(x) = x x 9. Når man skriver forskriften for et polynomium op, sorterer man normalt leddene, sådan at eksponenterne står i rækkefølge med den højeste først. Dette er ikke strengt nødvendigt, men det gør, at man let kan finde graden af polynomiet, idet graden er den højeste eksponent. 1 Eksempel 5.2 Polynomiet f (x) = x + 4 3x 2 kan skrives som, 1 Et helt specielt tilfælde er i øvrigt polynomier af grad 0, som blot er konstante funktioner; dvs. f.eks. f (x) = 9 eller g (x) = 14. f (x) = 3x 2 + x + 4, hvorved det er nemmere at se, at det drejer sig om et andengradspolynomium. 41

M A T E M A T I K A 1

M A T E M A T I K A 1 M A T E M A T I K A 1 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK B c a h A b C x H Matematik A1 3. udgave, 2016 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle

Læs mere

Matematik A1. Mike Auerbach. c h A H

Matematik A1. Mike Auerbach. c h A H Matematik A1 Mike Auerbach B c h a A b x H x C Matematik A1 2. udgave, 2015 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne er skrevet

Læs mere

A U E R B A C H. c h A H

A U E R B A C H. c h A H M A T E M A T I K B 1 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK B c h a A b x H x C Matematik B1 4. udgave, 2017 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle

Læs mere

M A T E M A T I K B 1

M A T E M A T I K B 1 M A T E M A T I K B 1 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK B c h a A b x H x C Matematik B1 3. udgave, 2016 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle

Læs mere

Matematik B1. Mike Auerbach. c h A H

Matematik B1. Mike Auerbach. c h A H Matematik B1 Mike Auerbach B c h a A b x H x C Matematik B1 2. udgave, 2015 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne er skrevet

Læs mere

Matematik A. Bind 1. Mike Auerbach. c h A H

Matematik A. Bind 1. Mike Auerbach. c h A H Matematik A Bind 1 B c h a A b x H x C Mike Auerbach Matematik A, bind 1 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne

Læs mere

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner

Læs mere

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve 5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri). Interessen for figurer

Læs mere

Geometri, (E-opgaver 9d)

Geometri, (E-opgaver 9d) Geometri, (E-opgaver 9d) GEOMETRI, (E-OPGAVER 9D)... 1 Vinkler... 1 Trekanter... 2 Ensvinklede trekanter... 2 Retvinklede trekanter... 3 Pythagoras sætning... 3 Sinus, Cosinus og Tangens... 4 Vilkårlige

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Ensvinklede trekanter... 7 Pythagoras Sætning... 10 Øve vinkler i retvinklede trekanter... 15 Sammensatte opgaver....

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Pythagoras Sætning... 8 Retvinklede trekanter. Beregn den ukendte side markeret med et bogstav.... 9 Øve vinkler

Læs mere

Matematik B. Bind 1. Mike Auerbach. c h A H

Matematik B. Bind 1. Mike Auerbach. c h A H Matematik B Bind 1 B c h a A b x H x C Mike Auerbach Matematik B, bind 1 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne

Læs mere

Kapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4

Kapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4 Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri).

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

Matematik projekt. Klasse: Sh-mab05. Fag: Matematik B. Projekt: Trigonometri

Matematik projekt. Klasse: Sh-mab05. Fag: Matematik B. Projekt: Trigonometri Matematik projekt Klasse: Sh-mab05 Fag: Matematik B Projekt: Trigonometri Kursister: Anders Jørgensen, Kirstine Irming, Mark Petersen, Tobias Winberg & Zehra Köse Underviser: Vibeke Wulff Side 1 af 11

Læs mere

MATEMATIK C. Videooversigt

MATEMATIK C. Videooversigt MATEMATIK C Videooversigt Deskriptiv statistik... 2 Eksamensrelevant... 2 Eksponentiel sammenhæng... 2 Ligninger... 3 Lineær sammenhæng... 3 Potenssammenhæng... 3 Proportionalitet... 4 Rentesregning...

Læs mere

TREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport)

TREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) Side 1 af 7 (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) TREKANTER Indledning Vi har valgt at bruge denne projektrapport til at udarbejde en oversigt over det mest grundlæggende materiale

Læs mere

Trigonometri at beregne Trekanter

Trigonometri at beregne Trekanter Trigonometri at beregne Trekanter Pythagoras, en stor matematiker fandt ud af, at der i en retvinklet trekant summen af kvadraterne på kateterne er lig med kvadratet på hypotenusen. ( a 2 + b 2 = c 2 )

Læs mere

Matematik 2011/2012 Skovbo Efterskole Trigonometri. Trigonometri

Matematik 2011/2012 Skovbo Efterskole Trigonometri. Trigonometri Trigonometri Spidse og stumpe vinkler En vinkel kaldes spids, når den er mindre end 90. En vinkel kaldes ret, når den er 90. En vinkel kaldes stump, når den er større end 90. En vinkel kaldes lige, når

Læs mere

Formelsamling C-niveau

Formelsamling C-niveau Formelsamling C-niveau Maj 2017 Indhold C-niveau 1 Tal og Regnearter 3 1.1 Regnearternes hierarki................................... 3 1.1.1 Regneregler..................................... 3 1.2 Parenteser..........................................

Læs mere

Introduktion til cosinus, sinus og tangens

Introduktion til cosinus, sinus og tangens Introduktion til cosinus, sinus og tangens Jes Toft Kristensen 24. maj 2010 1 Forord Her er en lille introduktion til cosinus, sinus og tangens. Det var et af de emner jeg selv havde svært ved at forstå,

Læs mere

Enhedscirklen og de trigonometriske Funktioner

Enhedscirklen og de trigonometriske Funktioner Enhedscirklen og de trigonometriske Funktioner Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for

Læs mere

Matematik for stx C-niveau

Matematik for stx C-niveau Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Matematik for stx C-niveau Frydenlund Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Matema10k Matematik for stx

Læs mere

Trigonometri. for 9. klasse. Geert Cederkvist

Trigonometri. for 9. klasse. Geert Cederkvist Trigonometri Ved konstruktion af bygningsværker, hvor der kræves stor nøjagtighed, er der ofte brug for, at man kan beregne sider og vinkler i geometriske figurer. Alle polygoner kan deles op i trekanter,

Læs mere

Pythagoras og andre sætninger

Pythagoras og andre sætninger Pythagoras og andre sætninger Pythagoras Pythagoras fra den græske ø Samos levede i det 6. århundrede f.v.t. fra ca. 580 til ca. 500. Han lægger som sagt navn til den sætning, vi tidligere har nævnt,

Læs mere

Repetition til eksamen. fra Thisted Gymnasium

Repetition til eksamen. fra Thisted Gymnasium Repetition til eksamen fra Thisted Gymnasium 20. oktober 2015 Kapitel 1 Introduktion til matematikken 1. Fortegn Husk fortegnsregnereglerne for multiplikation og division 2. Hierarki Lær sætningen om regnearternes

Læs mere

Problemløsning i retvinklede trekanter

Problemløsning i retvinklede trekanter Problemløsning i retvinklede trekanter Frank Villa 14. februar 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug

Læs mere

Eksamensspørgsmål: Trekantberegning

Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Indhold Definition af Sinus og Cosinus... 1 Bevis for Sinus- og Cosinusformlerne... 3 Tangens... 4 Pythagoras s sætning... 4 Arealet af en trekant... 7 Vinkler... 8

Læs mere

GEOMETRI og TRIGONOMETRI del 2

GEOMETRI og TRIGONOMETRI del 2 GEOMETRI og TRIGONOMETRI del x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indholdsfortegnelse COS, SIN, TAN og RETVINKLEDE TREKANTER... 3 Vinkler målt i radianer:... 6 Grundrelationen:... 8 Overgangsformler:...

Læs mere

06 Formler i retvinklede trekanter del 2

06 Formler i retvinklede trekanter del 2 06 Formler i retvinklede trekanter del 2 I del 2 udledes (nogle af) de generelle formler, der gælder for sinus, cosinus og tangens i retvinklede trekanter. Sætning 1 For enhver vinkel v gælder der BEVIS

Læs mere

Lektion 1. Tal. Ligninger og uligheder. Funktioner. Trigonometriske funktioner. Grænseværdi for en funktion. Kontinuerte funktioner.

Lektion 1. Tal. Ligninger og uligheder. Funktioner. Trigonometriske funktioner. Grænseværdi for en funktion. Kontinuerte funktioner. Lektion Tal Ligninger og uligheder Funktioner Trigonometriske funktioner Grænseværdi for en funktion Kontinuerte funktioner Opgaver Tal Man tænker ofte på de reelle tal, R, som en tallinje (uden huller).

Læs mere

User s guide til cosinus og sinusrelationen

User s guide til cosinus og sinusrelationen User s guide til cosinus og sinusrelationen Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for

Læs mere

M A T E M A T I K A 2

M A T E M A T I K A 2 M A T E M A T I K A 2 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK (2) f 4 () Matematik A2 2. udgave, 206 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle

Læs mere

M A T E M A T I K. # e z. # a. # e x. # e y A U E R B A C H M I K E. a z. a x

M A T E M A T I K. # e z. # a. # e x. # e y A U E R B A C H M I K E. a z. a x M A T E M A T I K B A M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK z a z # e z # a a x # e x ay # e y y x Matematik B A. udgave, 206 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes

Læs mere

Ib Michelsen: Matematik C, Geometri 2011 Version 7.1 03-10-11 rettet fejl side 47 sin G:\_nyBog\1-2-trig\nyTrigonometri12.odt

Ib Michelsen: Matematik C, Geometri 2011 Version 7.1 03-10-11 rettet fejl side 47 sin G:\_nyBog\1-2-trig\nyTrigonometri12.odt Trigonometri Vinkel v sin(v) Vinkel v sin(v) Vinkel v sin(v) 0,00 0,00 30,00 0,50 60,00 0,87 1,00 0,02 31,00 0,52 61,00 0,87 2,00 0,03 32,00 0,53 62,00 0,88 3,00 0,05 33,00 0,54 63,00 0,89 4,00 0,07 34,00

Læs mere

M A T E M A T I K G R U N D F O R L Ø B E T

M A T E M A T I K G R U N D F O R L Ø B E T M A T E M A T I K G R U N D F O R L Ø B E T M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Matematik: Grundforløbet 3. udgave, 2016 Disse noter er skrevet til matematikundervisning

Læs mere

Formelsamling Matematik C

Formelsamling Matematik C Formelsamling Matematik C Ib Michelsen Ikast 2011 Ligedannede trekanter Hvis to trekanter er ensvinklede har de proportionale sider (dvs. alle siderne i den ene er forstørrelser af siderne i den anden

Læs mere

Undersøgelser af trekanter

Undersøgelser af trekanter En rød tråd igennem kapitlet er en søgen efter svar på spørgsmålet: Hvordan kan vi beregne os frem til længder, vi ikke kan komme til at måle?. Hvordan kan vi fx beregne højden på et træ eller et hus,

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 22. maj 2015: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Ligningen løses ved at isolere x i det åbne udsagn: 4 x 7 81 4 x 88 88 x 22 4 Opgave 2: y 87 0,45 x Det

Læs mere

Matematik Grundforløbet

Matematik Grundforløbet Matematik Grundforløbet Mike Auerbach (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Matematik: Grundforløbet 2. udgave, 2015 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Kalkulus 1 Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund Signe Baggesen 10. januar 2015 Slide 1/54

t a l e n t c a m p d k Kalkulus 1 Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund Signe Baggesen 10. januar 2015 Slide 1/54 Slide 1/54 Indhold 1 2 3 4 5 Slide 2/54 Indhold 1 2 3 4 5 Slide 3/54 1) Hvad er et aksiom? Slide 4/54 1) Hvad er et aksiom? 2) Hvorfor har vi brug for aksiomer? The Monty Hall Problem Slide 4/54 1) Hvad

Læs mere

Matematik for hf C-niveau

Matematik for hf C-niveau Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Matematik for hf C-niveau Frydenlund Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Matema10k Matematik for hf C-niveau

Læs mere

Løsningsforslag Mat B August 2012

Løsningsforslag Mat B August 2012 Løsningsforslag Mat B August 2012 Opgave 1 (5 %) a) Løs uligheden: 2x + 11 x 1 Løsning: 2x + 11 x 1 2x x + 1 0 3x + 12 0 3x 12 Divideres begge sider med -3 (og husk at vende ulighedstegnet!) x 4 Opgave

Læs mere

Geometri, (E-opgaver 9b & 9c)

Geometri, (E-opgaver 9b & 9c) Geometri, (E-opgaver 9b & 9c) Indhold GEOMETRI, (E-OPGAVER 9B)... 1 Arealet af en er ½ højde grundlinje... 1 Vinkelsummen i en er altid 180... 1 Ensvinklede er... 1 Retvinklede er... Sinus,... FORMLER...

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hfe Matematik B Line Dorthe

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau maj 2016: Delprøven UDEN hjælpemidler 4 4

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau maj 2016: Delprøven UDEN hjælpemidler 4 4 Opgave 1: Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 016 4. maj 016: Delprøven UDEN hjælpemidler 4 3x 6 x 3x x 6 4x 4 x 1 4 Opgave : f x x 3x P,10 Punktet ligger på grafen for f, hvis dets koordinater indsat

Læs mere

MATEMATIK C. Videooversigt

MATEMATIK C. Videooversigt MATEMATIK C Videooversigt Deskriptiv statistik... 2 Eksamensrelevant... 2 Eksponentiel sammenhæng... 2 Ligninger... 3 Lineær sammenhæng... 3 Potenssammenhæng... 4 Proportionalitet... 4 Rentesregning...

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Juni 2013/2014 Institution Frederiksberg hf-kursus Uddannelse Fag og niveau Hf Matematik C Lærer(e) Manisha de Montgomery Nørgård (MAN) og Daniel Christensen (DC) - barselsvikar.

Læs mere

I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske objekter og begreber:

I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske objekter og begreber: INTRO Efter mange års pause er trigonometri med Fælles Mål 2009 tilbage som fagligt emne i grundskolens matematikundervisning. Som det fremgår af den følgende sides udpluk fra faghæftets trinmål, er en

Læs mere

Side 1 af 10. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2009/10

Side 1 af 10. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2009/10 Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2009/10 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Handelsskolen Sjælland Syd, Vordingborg

Læs mere

Matematik - et grundlæggende kursus. Dennis Cordsen Pipenbring

Matematik - et grundlæggende kursus. Dennis Cordsen Pipenbring Matematik - et grundlæggende kursus Dennis Cordsen Pipenbring 22. april 2006 2 Indhold I Matematik C 9 1 Grundlæggende algebra 11 1.1 Sprog................................ 11 1.2 Tal.................................

Læs mere

Gør rede for begrebet fremskrivningsfaktor og giv eksempler på anvendelse heraf.

Gør rede for begrebet fremskrivningsfaktor og giv eksempler på anvendelse heraf. Eksamensspørgsmål i ma til 1p sommeren 2009 (revideret) 1. Procent- og rentesregning Gør rede for begrebet fremskrivningsfaktor og giv eksempler på anvendelse heraf. Forklar formlen til kapitalfremskrivning

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

MatematikB 2011 Supplerende stof Trigonometri og trekanter

MatematikB 2011 Supplerende stof Trigonometri og trekanter Trigonometriske funktioner Dette kapitel handler om de såkaldte trigonometriske funktioner, hvilket vil sige funktionsudtryk med sin, cos og tan Ikke kernestof på B Funktionerne vil kun forekomme i forbindelse

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 200/2010 Institution Herning HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hf Matematik C, HF Johnny

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2016 Institution Horsens HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe Matematik C Bodil Krongaard

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2014 - Juni 2015 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Herning HF og VUC Hf Matematik

Læs mere

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 side1 Der undervises efter: TGF Claus Jessen, Peter Møller og Flemming Mørk : Tal, Geometri og funktioner. Gyldendal 1997 EKS Knud Nissen : TI-84 familien

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/juni 2015 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold 2hf Matematik C Thomas Pedersen

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse for 1ama

Undervisningsbeskrivelse for 1ama Undervisningsbeskrivelse for 2016-2017 Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni, 2017 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Horsens HF og VUC HF2 Matematik

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2015 Institution VUC Fredericia Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe Matematik B Susanne Holmelund

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj 2013/2014 Institution Frederiksberg hf-kursus Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf Matematik B (hf-enkeltfag)

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 22. maj 2015: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Ligningen løses ved at isolere x i det åbne udsagn: 4 x 7 81 4 x 88 88 x 22 4 Opgave 2: y 87 0,45 x Det

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Skoleåret 2014/15, eksamen maj-juni 2015 Institution Kolding HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2015 Institution Horsens HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe Matematik C Signe Skovsgaard

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2016 Institution

Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2016 Institution Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2016 Institution Marie Kruses Skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Stx Matematik A Angela

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Januer-maj 15 Institution Kolding HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hfe Matematik C Glenn Aarhus

Læs mere

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side.

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side. Geometrinoter 1, januar 2009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 1 Disse noter omhandler grundlæggende sætninger om trekantens linjer, sammenhængen mellem en vinkel og den cirkelbue den spænder over, samt

Læs mere

Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion

Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion VVS-branchens efteruddannelse Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion Med de trigonometriske funktioner, kan der foretages

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Skoleår 2014/2015, eksamen maj-juni 2015 Institution Kolding HF&VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni, 2015 Institution Frederiksberg HF Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) HF Matematik C Kasper Jønsson

Læs mere

Svar på opgave 322 (September 2015)

Svar på opgave 322 (September 2015) Svar på opgave 3 (September 05) Opgave: En sekskant har sidelængder 7 7. Bestem radius i den omskrevne cirkel hvis sekskanten er indskrivelig. Besvarelse: ny version 6/0-05. metode. Antag at sekskanten

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni, 2016 Institution Frederiksberg HF Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) HF Matematik C Kasper Jønsson

Læs mere

7 Trekanter. Faglige mål. Linjer i trekanter. Ligedannethed. Pythagoras. Trigonometri

7 Trekanter. Faglige mål. Linjer i trekanter. Ligedannethed. Pythagoras. Trigonometri 7 Trekanter Faglige mål Kapitlet Trekanter tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Linjer i trekanter: kende til højde, vinkelhalveringslinje, midtnormal og median, kunne tegne indskrevne og omskrevne

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 14/15 Institution Horsens HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hfe Matematik B Mette

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Skoleår efterår 16, eksamen december 2016 Institution Kolding HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold

Læs mere

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.

Læs mere

M A T E M A T I K B 2

M A T E M A T I K B 2 M A T E M A T I K B 2 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK (2) f a x b () Matematik B2 2. udgave, 206 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle

Læs mere

Løsningsforslag MatB Juni 2014

Løsningsforslag MatB Juni 2014 Løsningsforslag MatB Juni 2014 Opgave 1 (5 %) a) Bestem en ligning for den rette linje l, der indeholder punkterne P( 2,4) og Q(4, 1) Løsning: Da de to punkter er givet kan vi beregne hældningen på følgende

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Retur Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/juni 2016 Institution VUC Syd Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) 2-årigt hf Hf matematik C Hanne

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Maj- juni, 14-15 Horsens HF & VUC HF 2- årigt Matematik

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December-januar 15/16 Institution Kolding HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe Matematik C

Læs mere

RENTES REGNING SIMULATION LANDMÅLING MÅLSCORE I HÅNDBO . K R I S T I A N S E N KUGLE G Y L D E N D A L

RENTES REGNING SIMULATION LANDMÅLING MÅLSCORE I HÅNDBO . K R I S T I A N S E N KUGLE G Y L D E N D A L SIMULATION 4 2 RENTES REGNING F I NMED N H REGNEARK. K R I S T I A N S E N KUGLE 5 LANDMÅLING 3 MÅLSCORE I HÅNDBO G Y L D E N D A L Faglige mål: Anvende simple geometriske modeller og løse simple geometriske

Læs mere

Inden der siges noget om komplekse tal, vil der i dette afsnit blive gennemgået en smule teori om trigonometriske funktioner.

Inden der siges noget om komplekse tal, vil der i dette afsnit blive gennemgået en smule teori om trigonometriske funktioner. Komplekse tal Mike Auerbach Odense 2012 1 Vinkelmål og trigonometriske funktioner Inden der siges noget om komplekse tal, vil der i dette afsnit blive gennemgået en smule teori om trigonometriske funktioner.

Læs mere

Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a.

Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a. Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a. Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 2014, skoleåret 13/14 Institution Herning HF oh VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hf Matematik

Læs mere

Gør rede for begrebet fremskrivningsfaktor og giv eksempler på anvendelse heraf.

Gør rede for begrebet fremskrivningsfaktor og giv eksempler på anvendelse heraf. Eksamensspørgsmål 1a sommeren 2009 (reviderede) 1. Procent- og rentesregning Gør rede for begrebet fremskrivningsfaktor og giv eksempler på anvendelse heraf. Forklar renteformlen og forklar hvorledes hver

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 15/16 Institution Horsens HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hfe Matematik B Bodil

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/juni 2015 Institution Herning HF og VUC (657248) Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf Matematik C,

Læs mere

Forklar hvad betyder begrebet procent og hvordan man beregner det. Forklar, hvordan man lægger procenter til og trækker procenter fra.

Forklar hvad betyder begrebet procent og hvordan man beregner det. Forklar, hvordan man lægger procenter til og trækker procenter fra. 1. Procent og rente Forklar hvad betyder begrebet procent og hvordan man beregner det. Forklar, hvordan man lægger procenter til og trækker procenter fra. Gør rede for begrebet fremskrivningsfaktor. Vis,

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Skoleår 15/16, eksamen maj-juni 2016 Institution Kolding HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Januar-maj 15 Institution Kolding HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hfe Matematik C Glenn Aarhus

Læs mere

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2 Matematik Grundforløbet (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Mike Auerbach Matematik: Grundforløbet 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 14/15 Institution Th. Langs HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold Hf Mat C Viktor Kristensen

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Skoleår 15/16, eksamen maj-juni 2016 Institution Kolding HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold 2-årig

Læs mere

M A T E M A T I K A 3

M A T E M A T I K A 3 M A T E M A T I K A 3 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK z a z # e z # a a x # e x ay # e y y x Matematik A3. udgave, 206 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold

Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold Hf Matematik C-B Pia Hald ph@kvuc.dk

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-Juni 2016 Institution VUC Vest Esbjerg Afdeling, Eksamens nr. 582 / Skolenummer 561 248 Uddannelse Fag

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Sommer 2015 Institution Horsens HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe Matematik C Niels Just Mikkelsen mac3 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb Forløb

Læs mere