DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse. Asymmetric Traveling Salesman Problem

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse. Asymmetric Traveling Salesman Problem"

Transkript

1 DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse Asymmetric Travelig Salesma Problem David Pisiger, Efterår 2004 Dette er de ade obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse. Opgave skal afleveres seest 7. december 2004 kl i DIKU s 1. delsadmiistratio. Besvarelse skal udarbejdes i grupper på e til tre deltagere. Læs veligst hele opgaveformulerige igeem ide du går igag. Idledig Et IP-problem ka ofte formuleres på mage måder. Selv om de matematisk set er ækvivalete, ka e stærk formulerig være at foretrække, idet de er tættere på det kovekse hylster ideholdede alle IP-løsiger til problemet [8]. Travelig Salesma Problemet (TSP) er et klassisk, svært optimerigsproblem som vi ku ka løse takket være stærke formuleriger af problemet [2, 3, 4, 5]. Opgaves formål er at eksperimetere med forskellige formuleriger af TSP samt at kostruere e simpel brach-ad-cut algoritme. Travelig Salesma Problemet Lad der være givet e komplet graf G V E hvor hver kat i j E har e tilhørede omkostig c i j. Vi atager at problemet ikke ødvedigvis er symmetrisk, dvs. der ka være situatioer hvor c i j c ji. Travelig Salesma Problemet har til opgave at fide de korteste Hamilto kreds i grafe, dvs. e kreds som besøger alle kuder etop ee gag, og som miimerer de tilhørede omkostig af katere. Lad betege atallet af kuder i V. For at formulere problemet som et IP problem, ka ma idføre beslutigsvariablee x i j 1 hvis kat i j idgår i kredse 0 ellers for i j 1. For at gøre skrivemåde emmere vil vi i det følgede atage at x ii 0 for i 1. 1

2 Idet ma skal akomme til hver kude etop ee gag, og skal forlade hver kude ee gag, vil e aiv formulerig af TSP være miimize subject to i 1 i 1 c i j x i j j 1 x i j 1 j 1 (1) x i j 1 i 1 j 1 x i j 0 1 i j 1 Oveståede begræsiger kaldes assigmet begræsiger. Opgave 1 Vis at e LP-optimal løsig til oveståede problem automatisk er heltallig. Desværre er formulerige (1) ikke tilstrækkelig til at løse TSP, idet e optimal løsig til (1) ka ideholde delture. For at forhidre disse foreslog Datzig, Fulkerso og Johso [1] at ma tilføjer følgede delturbegræsiger i S j V S x i j x ji 2 (2) for alle S V hvor 2 S 2. Disse begræsiger kaldes ofte DFJ-begræsiger. Opgave 2 Bevis at ulighedere (2) elimierer alle delture (også delture der er lægere ed 2), og agiv hvor mage uligheder der vil være. Miller, Tucker og Zemli [6] foreslog e formulerig som forhidrer delture, me som ku er polyomielt stor. Idee er at idføre ogle ye variable u i for hver kude, som agiver rækkefølge af kude i ture. Kude 1 har altid u 1 1 og hvis u i k betyder det at kude i er de k te besøgte kude på ture. Ude tab af geeralitet ka vi sætte u 1 1, og dermed må 2 u i for alle øvrige kuder i V 1. Edvidere skal vi kræve at hvis kat i j beyttes i ture, så skal u j u i 1 (3) for alle i 1 og j 2 hvor i j. Disse begræsiger kaldes MTZ-begræsiger. Opgave 3 Formuler MTZ begræsigere som IP-model. Agiv hvor mage uligheder der vil være. Tilføj e rutie som geererer ulighedere i programmet. Opgave 4 Løs problemet med begge formuleriger (DFJ og MTZ), ved brug af rammeprogrammet beskrevet sidst i opgave. Agiv modelles størrelse (i bytes), samt løsigstid for CPLEX. 2

3 Trods MTZ formuleriges polyomielle størrelse, er der i litterature ikke rapporteret avedelser af dee model som kue løse TSP problemer med mere ed 50 kuder. Dette skyldes at MTZ formulerige er svagere ed DFJ formulerige som vi vil askueliggøre i æste opgave. Opgave 5 Lad C være e kreds i grafe, og S c at begræsigere (2) medfører at V mægde af kuder der idgår i kredse. Vis x i j S c 1 (4) i S c j S c Summer begræsigere (3) formuleret som IP-model over alle kater i j C. Vis at ma dermed får ulighede S x i j c S c (5) 1 i j C Hvilke af ulighedere er stærkest, og hvilke af formulerigere ville ma derfor foretrække? Opgave 6 Fid de edre græseværdi for alle istaser af type ved brug af: assigmet -begræsigere alee assigmet -begræsigere og MTZ-begræsigere Begge relakseriger løses til LP-optimalitet. Rapporter køretid og edre græseværdi for hver istas og for hver af de relakseriger. Vi vil u udvikle e simpel cuttig plae algoritme til at fide e edre græseværdi til TSP. 1 Start med e simpel formulerig, der ku ideholder assigmet -begræsigere 2 repeat 3 Løs modelle til LP-optimalitet med CPLEX 4 Separer de mest overtrådte DFJ-begræsig 5 Såfremt ige DFJ-begræsiger er overtrådt, break 6 Tilføj de separerede ulighed til modelle 7 forever 8 Udskriv de edre græseværdi Opgave 7 Beskriv og implemeter e polyomiel algoritme, som i liie 4 ka separere de mest overtrådte DJF-begræsig (2). Agiv algoritmes køretid i store-o otatio. Opgave 8 For alle istaser af type fid e edre græseværdi ved at bruge oveståede cuttig plae algoritme. Rapporter køretid og edre græseværdi for hver istas. 3

4 For at fide e IP-optimal løsig til TSP problemet må oveståede cuttig plae algoritme kombieres med e brach-ad-boud algoritme. De resulterede brach-ad-cut algoritme ka i pricippet kostrueres på to måder: 1 Ma separerer samtlige overtrådte DFJ-begræsiger ide brach-ad-boud algoritme forgreer på e variabel. 2 Brach-ad-boud algoritme løser problemet til IP-optimalitet ide æste DFJ-begræsig separeres. Opgave 9 Løs så store problemer af type som muligt med begge variater af brachad-cut algoritme. Rapporter køretid, atal cuts geereret, og atal brach-ad-boud kuder besøgt. Opgave 10 Diskuter forskelle på de to brach-ad-cut algoritmer, og foreslå forbedriger. Istaser Følgede istaser er (med få udtagelser) hetet fra TSPLIB hjemmeside [9] og koverteret til et format der er emt at idlæse. Alle istaser fides på kursets hjemmeside. 4

5 istas beskrivelse 5 rad5 tilfældigt geererede katvægte 10 rad10 tilfældigt geererede katvægte 8 borholm afstade mellem otte byer på Borholm 14 burma14 14 byer i Burma, geografisk afstad 17 gr17 17 byer i Tysklad 21 gr21 21 byer i Tysklad 24 gr24 24 byer i Tysklad 48 gr48 48 byer i Tysklad 120 gr byer i Tysklad 29 bays29 29 byer i Bayer (street distace) 29 bayg29 29 byer i Bayer (geographic distace) 42 swiss42 42 byer i Schweiz (Fricker) 17 br17 asymmetrisk TSP (Repetto) 34 ftv33 asymmetrisk TSP (Fischetti) 36 ftv35 asymmetrisk TSP (Fischetti) 39 ftv38 asymmetrisk TSP (Fischetti) 45 ftv44 asymmetrisk TSP (Fischetti) 48 ftv47 asymmetrisk TSP (Fischetti) 56 ftv55 asymmetrisk TSP (Fischetti) 71 ftv70 asymmetrisk TSP (Fischetti) 171 ftv170 asymmetrisk TSP (Fischetti) 48 ry48p asymmetrisk TSP (Fischetti) 323 rbg323 Stacker crae applicatio (Ascheuer) 358 rbg358 Stacker crae applicatio (Ascheuer) 403 rbg403 Stacker crae applicatio (Ascheuer) 443 rbg443 Stacker crae applicatio (Ascheuer) 535 si535 TSP (M. Hofmeister) 1032 si1032 TSP (M. Hofmeister) De optimale løsigsværdi er agivet i hovedet af de fleste istaser. De ederste istaser kræver at programmets tabeller udvides. Noter Til opgave beyttes et rammeprogram som er skrevet i C og som varetager kommuikatioe med CPLEX. Da der ku er ogle få CPLEX-liceser til rådighed på DIKU, vil rammeprogrammet højst bruge CPLEX i 60 sekuder, hvorpå licese frigives. CPLEX liceser er tilgægelige på Liux pc er samt SUN maskier. For at beytte CPLEX er det ødvedigt at tilføje følgede liie i si fil.!#"$ %#& #'% ( )*+( %#)#,-%-*%*.-( /1032#(4 eller på de ye maskier: 5

6 !#"$ % )#.%*.-(/%*.-(/ %-*%*#.-(/ 032#(4 Rammeprogrammet fides på kursets hjemmeside samme med e makefil til at oversætte det. Der beyttes et meget simpelt iterface til CPLEX: IP-modelle skrives til e fil hvorpå rammeprogrammet kalder CPLEX med file som iddata. Det ka være hesigtsmæssigt at tilføje sit eget logi-av til dee fil, for at udgå koflikt med adre brugere. Det simple iterface gør det emt at fide fejl i IP-modelle, idet ma ka avede CPLEX iteraktivt med de geererede iput fil: Skriv 1 i kommadoliie, og idlæs datafile med. Såfremt der er sytaxfejl i IP-modelle vil CPLEX rapportere disse. Ellers kaldes og CPLEX vil rapportere om modelle er ubegræset ( ubouded ), har et tomt løsigsrum ( ifeasible ), eller ligede. Bemærk at edb-afdelige er ved at istallere ye førstedelsmaskier, hvilket måske ka give problemer med afviklig af CPLEX på disse. Start derfor på opgave i god tid. E liste over tilgægelige 1-dels maskier ka fås med kommadoe., Litteratur [1] G. B. Datzig, D. R. Fulkerso, ad S. M. Johso, Solutio of a Large-Scale Travelig Salesma Problem, Operatios Research, 2 (1954) [2] bico/, home page of Bill Cook at Rice Uiversity. [3] [4] E. Lawler, J. K. Lestra, A. H. G. Riooy Ka, ad D. B. Shmoys, eds., The Travelig Salesma Problem: A Guided Tour of Combiatorial Optimizatio, Wiley, Chichester, UK, 1985 [5] A. Lagevi, F. Soumis, ad J. Desrosiers, Classificatio of travellig salesma formulatios, Oper. Res. Lett., 9 (1990), pp [6] C. E. Miller, A. W. Tucker, ad R. A. Zemli, Iteger programmig formulatios ad travelig salesma problems, J. ACM, 7 (1960), pp [7] M. Padberg, ad T.-Y. Sug, A aalytical compariso of differet formulatios of the travellig salesma problem, Math. Programmig, 52 (1991), pp [8] L. A. Wolsey, Iteger Programmig, Wiley, Chichester, UK, [9] [10] kevi/dissert/ode11.html 6

Introduktion til optimering og operationsanalyse. Asymmetric Traveling Salesman Problem

Introduktion til optimering og operationsanalyse. Asymmetric Traveling Salesman Problem Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse Asymmetric Travelig Salesma Problem David Pisiger, Efterår 2003 Dette er de ade obligatoriske projektopgave på kurset Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse.

Læs mere

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Bin Packing Problemet

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Bin Packing Problemet DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Bi Packig Problemet David Pisiger, Projektopgave 2 Dette er de ade obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse.

Læs mere

Kvadratisk 0-1 programmering. David Pisinger

Kvadratisk 0-1 programmering. David Pisinger Kvadratisk - programmerig David Pisiger 27-8 MAX-CUT problemet Givet e ikke-orieteret graf G = (V, E) er MAX-CUT problemet defieret som MAX-CUT = {< G > : fid et sit S, T i grafe G som maksimerer atal

Læs mere

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Følsomhed af Knapsack Problemet

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Følsomhed af Knapsack Problemet DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Følsomhed af Kapsack Problemet David Pisiger, Projektopgave 1 Dette er de første obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig

Læs mere

Sprednings problemer. David Pisinger

Sprednings problemer. David Pisinger Spredigs problemer David Pisiger 2001 Idledig Jukfood A/S er e amerikask kæde af familierestaurater der etop er ved at etablere sig i Damark. E massiv reklamekampage med de to slogas vores fritter er de

Læs mere

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, Følsomhed af Knapsack Problemet

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, Følsomhed af Knapsack Problemet DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Følsomhed af Kapsack Problemet David Pisiger, Projektopgave 1 Dette er de første obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig

Læs mere

Branch-and-bound. Indhold. David Pisinger. Videregående algoritmik, DIKU ( )

Branch-and-bound. Indhold. David Pisinger. Videregående algoritmik, DIKU ( ) Brach-ad-boud David Pisiger Videregåede algoritmik, DIK (005-06) 6 Kvalitet af græseværdifuktioe 3 6. Eksempler på domias....................... 3 7 Kritiske og Semikritiske delproblemer 34 8 Kuste at

Læs mere

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar 2008 1. Kombinatorik

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar 2008 1. Kombinatorik Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 Kombiatori Disse oter er e itrodutio til ombiatori og starter helt fra bude, så e del af det idledede er siert edt for dig allerede, me der ommer også hurtigt

Læs mere

Analyse af algoritmer. Algoritmedesign med internetanvendelser ved Keld Helsgaun. Køretid. Algoritmebegrebet D. E. Knuth (1968)

Analyse af algoritmer. Algoritmedesign med internetanvendelser ved Keld Helsgaun. Køretid. Algoritmebegrebet D. E. Knuth (1968) Algoritmedesig med iteretavedelser ved Keld Helsgau Aalyse af algoritmer Iput Algoritme Output E algoritme er e trivis metode til løsig af et problem i edelig tid 1 2 Algoritmebegrebet D. E. Kuth (1968)

Læs mere

Analyse 1, Prøve maj 2009

Analyse 1, Prøve maj 2009 Aalyse, Prøve 5. maj 009 Alle hevisiger til TL er hevisiger til Kalkulus (006, Tom Lidstrøm). Direkte opgavehevisiger til Kalkulus er agivet med TLO, ellers er alle hevisiger til steder i de overordede

Læs mere

Introduktion til uligheder

Introduktion til uligheder Itroduktio til uligheder, marts 0, Kirste Rosekilde Itroduktio til uligheder Dette er e itroduktio til ogle basale uligheder om det aritmetiske geemsit, det geometriske geemsit, det harmoiske geemsit og

Læs mere

Formelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6

Formelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6 Dee udgave er til geemkig på ettet. Boge ka købes for kr. 5 hos EH-Mat. E y og udvidet udgave med title»symbol- og formelskrivig«er udkommet september 00. Se mere om de her. Idholdsfortegelse Formelskrivig

Læs mere

De reelle tal. Morten Grud Rasmussen 5. november Se Sætning 3.6 og 3.7 for forskellige formuleringer af egenskaben og dens negation.

De reelle tal. Morten Grud Rasmussen 5. november Se Sætning 3.6 og 3.7 for forskellige formuleringer af egenskaben og dens negation. De reelle tal Morte Grud Rasmusse 5. ovember 2015 Ordede mægder Defiitio 3.1 (Ordet mægde). pm, ăq kaldes e ordet mægde såfremt: For alle x, y P M gælder etop ét af følgede: x ă y, x y, y ă x @x, y, z

Læs mere

Elementær Matematik. Polynomier

Elementær Matematik. Polynomier Elemetær Matematik Polyomier Ole Witt-Hase 2008 Køge Gymasium Idhold 1. Geerelle polyomier...1 2. Divisio med hele tal....1 3. Polyomiers divisio...2 4. Polyomiers rødder....4 5. Bestemmelse af røddere

Læs mere

Motivation. En tegning

Motivation. En tegning Motivatio Scatter-plot at det mådelige salg mod det måedlige reklamebudget. R: plot(salg ~ budget, data = salg) Økoometri Lektio Simpel Lieær Regressio salg 400 450 500 550 20 25 30 35 40 45 50 budget

Læs mere

Den grådige metode 2

Den grådige metode 2 Algoritmedesig 1 De grådige metode De grådige metode Et problem løses ved at foretage e række beslutiger Beslutigere træffes e ad gage i e eller ade rækkefølge Hver beslutig er baseret på et grådighedskriterium

Læs mere

HASTIGHEDSKORT FOR DANMARK VHA. GPS

HASTIGHEDSKORT FOR DANMARK VHA. GPS HASTIGHEDSKORT FOR DANMARK VHA. GPS Ove Aderse xcalibur@cs.aau.dk Istitut for Datalogi Aalborg Uiversitet Harry Lahrma lahrma@pla.aau.dk Trafikforskigsgruppe Aalborg Uiversitet Kristia Torp torp@cs.aau.dk

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 7. Ligninger, polynomier og asymptoter

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 7. Ligninger, polynomier og asymptoter Matematikkes mysterier - på et obligatorisk iveau af Keeth Hase 7. Ligiger, polyomier og asymptoter Hvad er e asymotote? Og hvorda fides de? 7. Ligiger, polyomier og asymptoter Idhold 7.0 Idledig 7.1 Udsag

Læs mere

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar Kombinatorik

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar Kombinatorik Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 Kombiatori Disse oter er e itrodutio til ombiatori og starter helt fra bude, så e del af det idledede er siert edt for dig allerede, me der ommer også hurtigt

Læs mere

Supplerende noter II til MM04

Supplerende noter II til MM04 Supplerede oter II til MM4 N.J. Nielse 1 Uiform koverges af følger af fuktioer Vi starter med følgede defiitio: Defiitio 1.1 Lad S være e vilkårlig mægde og (X, d et metrisk rum. E følge (f af fuktioer

Læs mere

Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier

Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier Noter om polyomier, Kirste Rosekilde, Marts 2006 1 Polyomier Disse oter giver e kort itroduktio til polyomier, og de fleste sætiger æves ude bevis. Udervejs er der forholdsvis emme opgaver, mes der til

Læs mere

hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i

hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i Normalfordeliger For at e stokastisk variabel X ka være ormalfordelt, skal X agive værdie af e eller ade målig, f.eks. tid, lægde, vægt, beløb osv. Notatioe er: Xi ~ N( μ, σ hvor i er observatiosummeret,

Læs mere

vejer (med fortegn). Det vil vi illustrere visuelt og geometrisk for (2 2)-matricer og (3 3)-matricer i enote 6.

vejer (med fortegn). Det vil vi illustrere visuelt og geometrisk for (2 2)-matricer og (3 3)-matricer i enote 6. enote 5 enote 5 Determiater I dee enote ser vi på kvadratiske matricer. Deres type er altså for 2, se enote 4. Det er e fordel, me ikke absolut ødvedigt, at kede determiatbegrebet for (2 2)-matricer på

Læs mere

Definition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0.

Definition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0. Repetitio: Normalfordelige Ladmåliges fejlteori Lektio Trasformatio af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/udervisig/lf13 Istitut for Matematiske Fag Aalborg Uiversitet

Læs mere

Dagens program. Estimation: Kapitel Eksempler på middelrette og/eller konsistente estimator (de sidste fra sidste forelæsning)

Dagens program. Estimation: Kapitel Eksempler på middelrette og/eller konsistente estimator (de sidste fra sidste forelæsning) Dages program Estimatio: Kapitel 9.4-9.7 Eksempler på middelrette og/eller kosistete estimator (de sidste fra sidste forelæsig) Ko desiterval for store datasæt kap. 9.4 Ko desiterval for små datasæt kap.

Læs mere

antal gange krone sker i første n kast = n

antal gange krone sker i første n kast = n 1 Uge 15 Teoretisk Statistik, 5. april 004 1. Store tals lov Eksempel: møtkast Koverges i sadsylighed Tchebychevs ulighed Sætig: Store tals lov. De cetrale græseværdisætig 3. Approksimatio af sadsyligheder

Læs mere

Lys og gitterligningen

Lys og gitterligningen Fysik rapport: Lys og gitterligige Forfatter: Bastia Emil Jørgese.z Øvelse blev udført osdag de 25. jauar 202 samme med Lise Kjærgaard Paulse 2 - Bastia Emil Jørgese Fysik rapport (4 elevtimer), februar

Læs mere

Claus Munk. kap. 1-3

Claus Munk. kap. 1-3 Claus Muk kap. 1-3 1 Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Pris og kurs Effektive reter 2 1 Obligatioer Grudlæggede Itro Debitor

Læs mere

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 1-3. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 1-3. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Claus Muk kap. - 3 Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Effektive reter 2 Obligatioer Grudlæggede Itro Obligatioer Grudlæggede Itro

Læs mere

Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner

Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner Projekter: Kapitel 4 Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Kotiuitet og kotiuerte fuktioer Ord som kotiuert og kotiuerlig

Læs mere

Gamle eksamensopgaver. Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504)

Gamle eksamensopgaver. Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504) Gamle eksamesopgaver Diskret Matematik med Avedelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504) Istitut for Matematik& Datalogi Syddask Uiversitet, Odese Alle sædvalige hjælpemidler(lærebøger, otater etc.), samt

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet.

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet. Matematik A Studetereksame Forsøg med digitale eksamesopgaver med adgag til iterettet Forberedelsesmateriale Vejledede opgave Forår 0 til stx-a-net MATEMATIK Der skal afsættes 6 timer af holdets sædvalige

Læs mere

Renteformlen. Erik Vestergaard

Renteformlen. Erik Vestergaard Reteformle Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2010. Billeder: Forside: istock.com/ilbusca Side 4: istock.com/adresrimagig Desude ege illustratioer. Erik Vestergaard

Læs mere

NOTAT Det daglige arbejde med blisterpakninger

NOTAT Det daglige arbejde med blisterpakninger Sige Friis Christiase 7. maj 2015 NOTAT Det daglige arbejde med blisterpakiger I paeludersøgelse 55 i DSRs medlemspael blev deltagere stillet e række spørgsmål om deres arbejde med blisterpakiger. Afrapporterige

Læs mere

Projekt 1.3 Brydningsloven

Projekt 1.3 Brydningsloven Projekt 1.3 Brydigslove Når e bølge, fx e lysbølge, rammer e græseflade mellem to stoffer, vil bølge ormalt blive spaltet i to: Noget af bølge kastes tilbage (spejlig), hvor udfaldsvikle u er de samme

Læs mere

9. Binomialfordelingen

9. Binomialfordelingen 9. Biomialfordelige 9.. Gekedelse Hvert forsøg ka ku resultere i to mulige udfald; succes og fiasko. I modsætig til poissofordelige er atallet af forsøg edeligt. 9.. Model X : Stokastisk variabel, der

Læs mere

- et værktøj til fejlrettende QR-koder. Projekt 0.3 Galois-legemerne. Indhold. Hvad er matematik? A, i-bog

- et værktøj til fejlrettende QR-koder. Projekt 0.3 Galois-legemerne. Indhold. Hvad er matematik? A, i-bog Projekt 0.3 Galois-legemere GF é ëp û - et værktøj til fejlrettede QR-koder Idhold De karakteristiske egeskaber ved de tre mest almidelige talsystemer, og... De kommutative, associative og distributive

Læs mere

Branchevejledning. ulykker indenfor. lager. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros

Branchevejledning. ulykker indenfor. lager. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros Brachevejledig ulykker idefor lager området Brachearbejdsmiljørådet for trasport og egros Baggrud Udersøgelser på lager- og trasportområdet har vist, at beskrivelse af hædelsesforløbet ved udfyldelse

Læs mere

Bølgefunktioner Alle partikler, som har en hvilemasse, er kendetegnet ved en kompleks bølgefunktion

Bølgefunktioner Alle partikler, som har en hvilemasse, er kendetegnet ved en kompleks bølgefunktion Modere Fysik 4 Side af 7 Schrödigerligige Forrige to gage: Idførelse af kvatiserigsbegrebet (for lyseergi og for elektroers eergi) samt partikel-bølge-dualitete, hvilket førte til e helt y teori, kvatemekaikke

Læs mere

Længde [cm] Der er frit vandspejle i sandkassen. Herudover er sandkassen åben i højden cm i venstresiden og 0-20 cm i højresiden.

Længde [cm] Der er frit vandspejle i sandkassen. Herudover er sandkassen åben i højden cm i venstresiden og 0-20 cm i højresiden. Vadtrasportmodel Formål For beregig af vadtrasporte i sadkasse er der lavet e boksmodel. Formålet med boksmodelle er at beskrive vadtrasporte i sadkasse. Herover er formålet at bestemme de hydrauliske

Læs mere

og Fermats lille sætning

og Fermats lille sætning Projekter: Kaitel 0. Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruer og Fermats lille sætig Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruere ( { 0 }, ) og Fermats lille sætig Vi aveder moduloregig og restklasser mage

Læs mere

Asymptotisk optimalitet af MLE

Asymptotisk optimalitet af MLE Kapitel 4 Asymptotisk optimalitet af MLE Lad Y 1, Y 2,... være uafhægige, idetisk fordelte variable med værdier i et rum (Y,K). Vi har givet e model (ν θ ) θ Θ for fordelige af Y 1 (og dermed også for

Læs mere

Sandsynlighedsteori 1.2 og 2 Uge 5.

Sandsynlighedsteori 1.2 og 2 Uge 5. Istitut for Matematiske Fag Aarhus Uiversitet De 27. jauar 25. Sadsylighedsteori.2 og 2 Uge 5. Forelæsiger: Geemgage af emere karakteristiske fuktioer og Mometproblemet afsluttes, og vi starter på afsittet

Læs mere

Undersøgelse af numeriske modeller

Undersøgelse af numeriske modeller Udersøgelse af umeriske modeller Formål E del af målsætige med dette delprojekt er at give kedskab til de begræsiger, fejl og usikkerheder, som optræder ved modellerig. I de forbidelse er følgede udersøgelse

Læs mere

Talfølger og -rækker

Talfølger og -rækker Da Beltoft og Klaus Thomse Aarhus Uiversitet 2009 Talfølger og -rækker Itroduktio til Matematisk Aalyse Zeos paradoks om Achilleus og skildpadde Achilleus løber om kap med e skildpadde. Achilleus løber

Læs mere

Hvis man vil lægge 15% til 600, så kan det gøres ved at udregne, hvor meget 15% af 600 er lig med og lægge det til det oprindelige beløb:

Hvis man vil lægge 15% til 600, så kan det gøres ved at udregne, hvor meget 15% af 600 er lig med og lægge det til det oprindelige beløb: 0BRetesegig BTæk i femskivigsfaktoe! I dette tillæg skal vi se, at begebet femskivigsfaktoe e yttigt til at fostå og løse foskellige poblemstillige idefo pocet- og etesegig. 3B. Lægge pocet til elle tække

Læs mere

Mikroøkonomi, matematik og statistik Eksamenshjemmeopgave 14. 20. december 2007

Mikroøkonomi, matematik og statistik Eksamenshjemmeopgave 14. 20. december 2007 Mikroøkoomi, matematik og statistik Eksameshjemmeopgave 14. 20. december 2007 Helle Buzel, Tom Egsted og Michael H.J. Stæhr 14. december 2007 R E T N I N G S L I N I E R F O R E K S A M E N S H J E M M

Læs mere

Om Følger og Rækker. Nyttige Grænseværdier. Nyttige Rækker. Carsten Lunde Petersen. lim. lim = 0. lim (1 + x n n )n = e x. n n n.

Om Følger og Rækker. Nyttige Grænseværdier. Nyttige Rækker. Carsten Lunde Petersen. lim. lim = 0. lim (1 + x n n )n = e x. n n n. IMFUFA Carste Lude Peterse Om Følger og Ræer Nyttige Græseværdier lim = 1 lim! = x = 0! lim lim (1 + x ) = e x! lim = e 1 Nyttige Ræer 1 p < p > 1 1 log p ( + 1) < p > 1 x = = x 1 x for x < 1 og Z, diverget

Læs mere

Videregående Algoritmik. David Pisinger, DIKU. Reeksamen, April 2005

Videregående Algoritmik. David Pisinger, DIKU. Reeksamen, April 2005 Vderegåede Algortmk Davd Psger, DIKU Reeksame, Aprl 5 Bsecto problemet Gvet e uvægtet graf G = (V, E) samt et heltal k. E bsecto af grafe G er e opdelg af kudere V to lge store mægder S og T. MAX-BISECTION

Læs mere

Prisfastsættelse af digitale goder - Microsoft

Prisfastsættelse af digitale goder - Microsoft Iteretøkoomi: risfastsættelse af digitale goder Afleveret d. 9 maj 003 Af Julie ech og Malee Aja org risfastsættelse af digitale goder - Microsoft Af Julie ech og Malee Aja org.0.0 DIGITALE GODER....0.0

Læs mere

cos(t), v(t) = , w(t) = e t, z(t) = e t.

cos(t), v(t) = , w(t) = e t, z(t) = e t. Aalyse Øvelser Rasmus Sylvester Bryder. og. oktober 3 Bevis for Cotiuity lemma Theorem. Geemgås af Michael Staal-Olse. Bevis for Lemma.8 Dee har vi faktisk allerede vist; se Opgave 9.5 fra Uge. Det er

Læs mere

Bjørn Grøn. Analysens grundlag

Bjørn Grøn. Analysens grundlag Bjør Grø Aalyses grudlag Aalyses grudlag Side af 4 Idholdsfortegelse Kotiuerte og differetiable fuktioer 3 Differetial- og itegralregiges udviklig 5 3 Hovedsætiger om differetiable fuktioer 8 Opgaver til

Læs mere

Baggrundsnote til sandsynlighedsregning

Baggrundsnote til sandsynlighedsregning Baggrudsote til sadsylighedsregig Kombiatorik. Multiplikatiospricippet E mægde beståede af forskellige elemeter kaldes her e -mægde. Elemetere i e m-mægde og elemetere i e -mægde ka parres på i alt m forskellige

Læs mere

Cykelfysik. Om udveksling og kraftoverførsel

Cykelfysik. Om udveksling og kraftoverførsel Cykelfysik 1/7 Cykelfysik Om udvekslig og kaftoveføsel Idhold 2. Kaftoveføsel og abejde...2 3. Abejde ved cykelkøsel...4 4. Regeeksemple fo e acecykel...5 5. Det e hådt at køe op ad bakke...6 6. Simple

Læs mere

DK / -- MAG SYSTEM. Gulvrengøring

DK / -- MAG SYSTEM. Gulvrengøring DK / -- MAG SYSTEM Gulvregørig Mag System Kocept 2 www.vermop.com Di fordel Mag System Iovativt og ekeltståede Mag System fra VERMOP står for e helt y måde at fiskere vaskbetræk på fremførere (eller skaftet)

Læs mere

Termodynamik. Indhold. Termodynamik. Første og anden hovedsætning 1/18

Termodynamik. Indhold. Termodynamik. Første og anden hovedsætning 1/18 ermodyamik. Første og ade hovedsætig /8 ermodyamik Idhold. Isoterme og adiabatiske tilstadsædriger for gasser...3 3. ermodyamikkes. hovedsætig....5 4. Reversibilitet...6 5. Reversibel maskie og maksimalt

Læs mere

Bachelorprojekt for BSc-graden i matematik

Bachelorprojekt for BSc-graden i matematik D E T N A T U R V I D E N S K A B E L I G E F A K U L T E T K Ø B E N H A V N S U N I V E R S I T E T Bachelorprojekt for BSc-grade i matematik Mikkel Abrahamse & Sue Precht Reeh Ekstremal grafteori Vejleder:

Læs mere

Estimation ved momentmetoden. Estimation af middelværdiparameter

Estimation ved momentmetoden. Estimation af middelværdiparameter Statistik og Sadsylighedsregig 1 STAT kapitel 4.2 4.3 Susae Ditlevse Istitut for Matematiske Fag Email: susae@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susae Estimatio ved mometmetode Idimellem ka det være svært (eller

Læs mere

Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-bogen, Matematik for lærerstuderende

Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-bogen, Matematik for lærerstuderende Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-boge, Matematik for lærerstuderede Dette er førsteudgave af opgavebesvarelser udarbejdet i sommere 008. Dokumetet ideholder forslag til besvarelser af de fleste

Læs mere

TIMEGLASSETS FASER: Introen er et foto og nogle spørgsmål til hele kapitlet. Meningen med introen er, at du og

TIMEGLASSETS FASER: Introen er et foto og nogle spørgsmål til hele kapitlet. Meningen med introen er, at du og TIMEGLASSETS FASER: INTRO Itroe er et foto og ogle spørgsmål til hele kapitlet. Meige med itroe er, at du og di klasse skal få e ide om, hvad kapitlet hadler om, og hvad I skal lære. Prøv at svare på spørgsmålee

Læs mere

Tankegangskompetence. Kapitel 9 Algebraiske strukturer i skolen 353

Tankegangskompetence. Kapitel 9 Algebraiske strukturer i skolen 353 Takegagskompetece Hesigte med de følgede afsit er først og fremmest at skabe klarhed over de mere avacerede regeregler i skole og give resultatet i de almee form, der er karakteristisk for algebra. Vi

Læs mere

Et træ med x blade.. h lg(x) DVS. decision-træet vil en maks højde på lg n! blade. lg(n!) >= n*lg(n) -1.5n = Ө(n*lg(n))

Et træ med x blade.. h lg(x) DVS. decision-træet vil en maks højde på lg n! blade. lg(n!) >= n*lg(n) -1.5n = Ө(n*lg(n)) DM19 1. Iformatio-theoretic lower bouds kap. 8 + oter. Ma ka begræse de teoretiske græse for atallet af sammeligiger der er påkrævet for at sortere e liste af tal. Dette gøres ved at repræsetere sorterig-algoritme

Læs mere

Analyse 1, Prøve maj Lemma 2. Enhver konstant funktion f : R R, hvor f(x) = a, a R, er kontinuert.

Analyse 1, Prøve maj Lemma 2. Enhver konstant funktion f : R R, hvor f(x) = a, a R, er kontinuert. Alyse, Prøve. mj 9 Alle hevisiger til TL er hevisiger til Klkulus 6, Tom Lidstrøm. Direkte opgvehevisiger til Klkulus er givet med TLO, ellers er lle hevisiger til steder i de overordede fsit. Hevises

Læs mere

Vejledende besvarelser til opgaver i kapitel 15

Vejledende besvarelser til opgaver i kapitel 15 Vejledede besvarelser til opgaver i apitel 5 Opgave a) De teststatistier, ma aveder til at teste om to middelværdier er es, består af et estimat på forselle mellem middelværdiere,, divideret med et udtry

Læs mere

Sandsynlighedsregning

Sandsynlighedsregning Sadsylighedsregig E ote om sadsylighedsregig. Via basal sadsylighedsregig gøres læsere klar til forstå biomialfordelige. Herik S. Hase, Sct. Kud Versio 5.0 Opgaver til hæftet ka hetes her. PDF Facit til

Læs mere

Introduktion. Ide, mål og formål

Introduktion. Ide, mål og formål Itroduktio Dette er e itroduktio til forskigs- og udvikligsprojektet Udviklig af e eksemplarisk participatorisk model for implemeterig af redskaber til opsporig og tidlig idsats i relatio til potetielt

Læs mere

EGA Vejledning om EGA og monotont arbejde

EGA Vejledning om EGA og monotont arbejde EGA og mootot arbejde 04/09/02 14:27 Side 1 Orgaisatioer repræseteret i Idustries Brachearbejdsmiljøråd: Arbejdstagerside: Arbejdsgiverside: Dask Metal Specialarbejderforbudet Kvideligt Arbejderforbud

Læs mere

Den flerdimensionale normalfordeling

Den flerdimensionale normalfordeling De flerdimesioale ormalfordelig Stokastiske vektorer Ved e stokastisk vektor skal vi forstå e vektor, hvor de ekelte kompoeter er sædvalige stokastiske variable. For de stokastiske vektor Y = Y,..., Y

Læs mere

Bilag 5: DEA-modellen Bilaget indeholder en teknisk beskrivelse af DEA-modellen

Bilag 5: DEA-modellen Bilaget indeholder en teknisk beskrivelse af DEA-modellen Bilag 5: DEA-odelle Bilaget ideholder e teis besrivelse af DEA-odelle FRSYNINGSSERETARIATET FEBRUAR 2013 INDLEDNING... 3 INPUTSTYRET DEA-MDEL... 3 UTPUTSTYRET DEA-MDEL... 7 SALAAFAST... 12 2 Idledig Data

Læs mere

MAG SYSTEM. Gulvrengøring

MAG SYSTEM. Gulvrengøring DK MAG SYSTEM Gulvregørig Mag system Kocept E fremfører for alt. Det er helt yt: Ved Mag-systemet passer e fremfører til alle moptyper. Således ka de optimale arbejdsbredde, tekstilkvalitet og regørigsmetode

Læs mere

Introduktion til Optimering. DIKU, 4 timers skriftlig eksamen, 13. april 2007

Introduktion til Optimering. DIKU, 4 timers skriftlig eksamen, 13. april 2007 Itroduktio til Optimerig DIKU, 4 timers skriftlig eksame, 13. april 2007 Ket Aderse, David Pisiger Alle hjælpemidler må beyttes dog ikke lommereger eller computer. Besvarelse ka udarbejdes med blyat eller

Læs mere

Situationen er illustreret på figuren nedenfor. Her er også afsat nogle eksempler: Punktet på α giver anledning til punktet Q

Situationen er illustreret på figuren nedenfor. Her er også afsat nogle eksempler: Punktet på α giver anledning til punktet Q 3, 45926535 8979323846 2643383279 50288497 693993750 5820974944 592307864 0628620899 8628034825 34270679 82480865 3282306647 0938446095 505822372 535940828 4874502 84027093 85205559 6446229489 549303896

Læs mere

Bekendtgørelse om takstændringer i offentlig servicetrafik i trafikselskaber og hos jernbanevirksomheder m.v. (takststigningsloftet)

Bekendtgørelse om takstændringer i offentlig servicetrafik i trafikselskaber og hos jernbanevirksomheder m.v. (takststigningsloftet) Oversigt (idholdsfortegelse) Bilag 1 Bilag 2 Bilag 3 De fulde tekst Bekedtgørelse om takstædriger i offetlig servicetrafik i trafikselskaber og hos jerbaevirksomheder m.v. (takststigigsloftet) I medfør

Læs mere

Blisterpakninger i det daglige arbejde

Blisterpakninger i det daglige arbejde Bettia Carlse Marts 2013 Blisterpakiger i det daglige arbejde I paeludersøgelse 35 1 har 1.708 beskæftigede sygeplejersker besvaret e række spørgsmål om (hådterige af) blisterpakiger i det daglige arbejde.

Læs mere

Symmetrisk Traveling Salesman Problemet

Symmetrisk Traveling Salesman Problemet Symmetrisk Traveling Salesman Problemet Videregående Algoritmik, Blok 2 2008/2009, Projektopgave 2 Bjørn Petersen 9. december 2008 Dette er den anden af to projektopgaver på kurset Videregående Algoritmik,

Læs mere

29. januar Epidemiologi og biostatistik Forelæsning 2 Uge 1, torsdag 2. februar 2006 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik.

29. januar Epidemiologi og biostatistik Forelæsning 2 Uge 1, torsdag 2. februar 2006 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik. Epidemiologi og biostatistik Forelæsig Uge 1, torsdag. februar 006 ichael Væth, Afdelig for Biostatistik. Sammeligig af to middelværdier sikkerhedsitervaller statistisk test Sammeligig af to proportioer

Læs mere

De Platoniske legemer De fem regulære polyeder

De Platoniske legemer De fem regulære polyeder De Platoiske legemer De fem regulære polyeder Ole Witt-Hase jauar 7 Idhold. Polygoer.... Nogle topologiske betragtiger.... Eulers polyedersætig.... Typer af et på e kugleflade.... Toplasvikle i e regulær

Læs mere

Statistik Lektion 8. Parrede test Test for forskel i andele Test for ens varians Gensyn med flyskræk!

Statistik Lektion 8. Parrede test Test for forskel i andele Test for ens varians Gensyn med flyskræk! Statistik Lektio 8 Parrede test Test for forskel i adele Test for es varias Gesy med flyskræk! Afhægige og uafhægige stikprøver Ved e uafhægig stikprøve udtages e stikprøve fra hver gruppe.. Mæd og kviders

Læs mere

6 Populære fordelinger

6 Populære fordelinger 6 Populære fordeliger I apitel 4 itroducerede vi stoastise variabler so e åde at repræsetere udfald af et esperiet på. De stoastise variabler ue være både disrete (fx terigslag) og otiuerte (fx vareægder).

Læs mere

Leica Lino. Præcise, selvnivellerende punkt- og linje-lasere

Leica Lino. Præcise, selvnivellerende punkt- og linje-lasere Leica Lio Præcise, selvivellerede pukt- og lije-lasere Opsæt, tæd, klar! Med Leica Lio er alt i lod og perfekt lige Leica Lios projekterer lijer eller pukter med milimeterøjagtighed, så du har hædere fri

Læs mere

Test i to populationer. Hypotesetest for parrede observationer Test for ens varians Gensyn med flyskræk!

Test i to populationer. Hypotesetest for parrede observationer Test for ens varians Gensyn med flyskræk! Test i to populatioer Hypotesetest for parrede observatioer Test for es varias Gesy med flyskræk! Afhægige og uafhægige stikprøver Ved e uafhægig stikprøve udtages e stikprøve fra hver gruppe.. Mæd og

Læs mere

x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium

x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium SANDSYNLIGHEDSREGNING OG KOMBINATORIK x-klassere Gammel Hellerup Gymasium Idholdsfortegelse SANDSYNLIGHEDSREGNING... 3 SANDSYNLIGHEDSFELT... 3 DE STORE TALS LOV... 4 Sadsyligheder og frekveser:... 4 STOKASTISK

Læs mere

Branchevejledning. ulykker indenfor. godschauffør. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros

Branchevejledning. ulykker indenfor. godschauffør. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros Brachevejledig ulykker idefor godschauffør området Brachearbejdsmiljørådet for trasport og egros Baggrud Udersøgelser på lager- og trasportområdet har vist, at beskrivelse af hædelsesforløbet ved udfyldelse

Læs mere

Kvantemekanik 4 Side 1 af 11 Energi og tid. Hamiltonoperatoren

Kvantemekanik 4 Side 1 af 11 Energi og tid. Hamiltonoperatoren Kvateekaik 4 Side 1 af 11 ergi og tid Hailtooperatore Af KM3 fregik det, at ehver observabel er repræseteret ved e operator, f.eks. jf. udtryk (3.1) og (3.). Ispireret af det klassiske udtryk for kietisk

Læs mere

GENEREL INTRODUKTION.

GENEREL INTRODUKTION. Study Guide til Matematik C. OVERSIGT. Dee study guide ideholder følgede afsit - Geerel itroduktio. - Emeliste. - Eksame. - Bilag. Udervisigsmiisteriets bekedtgørelse for matematik C. GENEREL INTRODUKTION.

Læs mere

Små og store varmepumper. n Bjarke Paaske n Teknologisk Institut n Telefon: +45 7220 2037 n E-mail: bjarke.paaske@teknologisk.dk

Små og store varmepumper. n Bjarke Paaske n Teknologisk Institut n Telefon: +45 7220 2037 n E-mail: bjarke.paaske@teknologisk.dk Små og store varmepumper Bjarke Paaske Tekologisk Istitut Telefo: +45 7220 2037 E-mail: bjarke.paaske@tekologisk.dk Ree stoffers tre tilstadsformer (faser) Fast stof (solid) Eksempel: is ved H 2 0 Væske

Læs mere

Georg Mohr Konkurrencen Noter om uligheder. Søren Galatius Smith

Georg Mohr Konkurrencen Noter om uligheder. Søren Galatius Smith Georg Mohr Kokurrece Noter om uligheder Søre Galatius Smith. juli 2000 Resumé Kapitel geemgår visse metoder fra gymasiepesum, som ka bruges til at løse ulighedsopgaver, og ideholder ikke egetligt yt stof.

Læs mere

StudyGuide til Matematik B.

StudyGuide til Matematik B. StudyGuide til Matematik B. OVERSIGT. Dee study guide ideholder følgede afsit Geerel itroduktio. Emeliste. Eksame. Bilag 1: Udervisigsmiisteriets bekedtgørelse for matematik B. Bilag 2: Bilag 3: Uddrag

Læs mere

Kompendie Komplekse tal

Kompendie Komplekse tal Kompedie Komplekse tal Prebe Holm 08-06-003 "!#!%$'&($)+*-,. cos(s + t) )0/ si(s + t) Trigoometri er måske ikke så relevat, år ma såda umiddelbart sakker om komplekse tal. Me faktisk avedes de trigoometriske

Læs mere

Estimation og test i normalfordelingen

Estimation og test i normalfordelingen af Birger Stjerholm Made Samfudlitteratur 07 Etimatio og tet i ormalfordelige Dee tekt ideholder et overblik over ogle grudlæggede pricipper for etimatio og tet i ormalfordelige i hyppigt forekommede ituatioer:

Læs mere

Med disse betegnelser gælder følgende formel for en annuitetsopsparing:

Med disse betegnelser gælder følgende formel for en annuitetsopsparing: Matema10k C-iveau, Fydelud Side 1 af 10 Auitetsopspaig De fides mage måde at spae op på. Vi vil he se på de såkaldte auitetsopspaig. Emet ka buges som e del af det suppleede stof, og det ka avedes som

Læs mere

A14 4 Optiske egenskaber

A14 4 Optiske egenskaber A4 4 Optiske egeskaber Brydigsideks Når lys træffer e græseflade mellem to materialer, kastes oget af lyset tilbage (refleksio), mes oget går igeem græseflade med foradret retig (brydig eller refraktio).

Læs mere

Psyken på overarbejde hva ka du gøre?

Psyken på overarbejde hva ka du gøre? Psyke på overarbejde hva ka du gøre? Idhold Hvorår kommer ma uder psykisk pres? 3 Hvad ka øge det psykiske pres på dit arbejde? 4 Typiske reaktioer 6 Hvorda forløber e krise? 7 Hvad ka du selv gøre? 9

Læs mere

Teoretisk Statistik, 9. februar Beskrivende statistik

Teoretisk Statistik, 9. februar Beskrivende statistik Uge 7 I Teoretisk Statistik, 9 februar 004 Beskrivede statistik Kategoriserede variable 3 Kvatitative variable 4 Fraktiler for ugrupperede observatioer 5 Fraktiler for grupperede observatioer 6 Beliggeheds-

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Komplekse tal

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Komplekse tal MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Komplekse tal a b. udgave 004 FORORD Dette otat giver e kort idførig i teorie for komplekse tal, regeregler, røddere i polyomier bl.a. med heblik på avedelser ved løsig af lieære

Læs mere

Indholdsfortegnelse Generelt Diskrete stokastiske variable: Kontinuerte stokastiske variable: Regneregler for stokastiske variable

Indholdsfortegnelse Generelt Diskrete stokastiske variable: Kontinuerte stokastiske variable: Regneregler for stokastiske variable Idholdsfortegelse Geerelt:...3 Stokastisk variabel:...3 Tæthedsfuktio/sadsylighedsfuktio for stokastisk variabel:...3 Fordeligsfuktio/sumfuktio for stokastisk variabel:...3 Middelværdi:...4 Geemsit:...4

Læs mere

Beregning af prisindeks for ejendomssalg

Beregning af prisindeks for ejendomssalg Damarks Saisik, Priser og Forbrug 2. april 203 Ejedomssalg JHO/- Beregig af prisideks for ejedomssalg Baggrud: e radiioel prisideks, fx forbrugerprisidekse, ka ma ofe følge e ideisk produk over id og sammelige

Læs mere

Statistik 8. gang 1 KONFIDENSINTERVALLER. Konfidensintervaller: kapitel 11. Valg og test af fordelingsfunktion

Statistik 8. gang 1 KONFIDENSINTERVALLER. Konfidensintervaller: kapitel 11. Valg og test af fordelingsfunktion Statistik 8. gag 1 KONIDENSINTERVALLER Kofidesitervaller: kapitel 11 Valg og test af fordeligsfuktio Statistik 8. gag 11. KONIDENS INTERVALLER Et kofides iterval udtrykker itervallet hvori de rigtige værdi

Læs mere

KOMPLEKSE TAL x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium

KOMPLEKSE TAL x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium KOMPLEKSE TAL x-klassere Gammel Hellerup Gymasium Idholdsfortegelse E kort historie om imagiært og virkeligt... Tallegemet De Komplekse Tal... Idførelse af realdel og imagiærdel samt i... 8 Subtraktio,

Læs mere

Skriftlig Eksamen Introduktion til lineær og heltalsprogrammering (DM515)

Skriftlig Eksamen Introduktion til lineær og heltalsprogrammering (DM515) Skriftlig Eksamen Introduktion til lineær og heltalsprogrammering (DM55) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Mandag den 2 Juni 2008, kl. 9 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater

Læs mere