DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse. Asymmetric Traveling Salesman Problem

Transkript

1 DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse Asymmetric Travelig Salesma Problem David Pisiger, Efterår 2004 Dette er de ade obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse. Opgave skal afleveres seest 7. december 2004 kl i DIKU s 1. delsadmiistratio. Besvarelse skal udarbejdes i grupper på e til tre deltagere. Læs veligst hele opgaveformulerige igeem ide du går igag. Idledig Et IP-problem ka ofte formuleres på mage måder. Selv om de matematisk set er ækvivalete, ka e stærk formulerig være at foretrække, idet de er tættere på det kovekse hylster ideholdede alle IP-løsiger til problemet [8]. Travelig Salesma Problemet (TSP) er et klassisk, svært optimerigsproblem som vi ku ka løse takket være stærke formuleriger af problemet [2, 3, 4, 5]. Opgaves formål er at eksperimetere med forskellige formuleriger af TSP samt at kostruere e simpel brach-ad-cut algoritme. Travelig Salesma Problemet Lad der være givet e komplet graf G V E hvor hver kat i j E har e tilhørede omkostig c i j. Vi atager at problemet ikke ødvedigvis er symmetrisk, dvs. der ka være situatioer hvor c i j c ji. Travelig Salesma Problemet har til opgave at fide de korteste Hamilto kreds i grafe, dvs. e kreds som besøger alle kuder etop ee gag, og som miimerer de tilhørede omkostig af katere. Lad betege atallet af kuder i V. For at formulere problemet som et IP problem, ka ma idføre beslutigsvariablee x i j 1 hvis kat i j idgår i kredse 0 ellers for i j 1. For at gøre skrivemåde emmere vil vi i det følgede atage at x ii 0 for i 1. 1

2 Idet ma skal akomme til hver kude etop ee gag, og skal forlade hver kude ee gag, vil e aiv formulerig af TSP være miimize subject to i 1 i 1 c i j x i j j 1 x i j 1 j 1 (1) x i j 1 i 1 j 1 x i j 0 1 i j 1 Oveståede begræsiger kaldes assigmet begræsiger. Opgave 1 Vis at e LP-optimal løsig til oveståede problem automatisk er heltallig. Desværre er formulerige (1) ikke tilstrækkelig til at løse TSP, idet e optimal løsig til (1) ka ideholde delture. For at forhidre disse foreslog Datzig, Fulkerso og Johso [1] at ma tilføjer følgede delturbegræsiger i S j V S x i j x ji 2 (2) for alle S V hvor 2 S 2. Disse begræsiger kaldes ofte DFJ-begræsiger. Opgave 2 Bevis at ulighedere (2) elimierer alle delture (også delture der er lægere ed 2), og agiv hvor mage uligheder der vil være. Miller, Tucker og Zemli [6] foreslog e formulerig som forhidrer delture, me som ku er polyomielt stor. Idee er at idføre ogle ye variable u i for hver kude, som agiver rækkefølge af kude i ture. Kude 1 har altid u 1 1 og hvis u i k betyder det at kude i er de k te besøgte kude på ture. Ude tab af geeralitet ka vi sætte u 1 1, og dermed må 2 u i for alle øvrige kuder i V 1. Edvidere skal vi kræve at hvis kat i j beyttes i ture, så skal u j u i 1 (3) for alle i 1 og j 2 hvor i j. Disse begræsiger kaldes MTZ-begræsiger. Opgave 3 Formuler MTZ begræsigere som IP-model. Agiv hvor mage uligheder der vil være. Tilføj e rutie som geererer ulighedere i programmet. Opgave 4 Løs problemet med begge formuleriger (DFJ og MTZ), ved brug af rammeprogrammet beskrevet sidst i opgave. Agiv modelles størrelse (i bytes), samt løsigstid for CPLEX. 2

3 Trods MTZ formuleriges polyomielle størrelse, er der i litterature ikke rapporteret avedelser af dee model som kue løse TSP problemer med mere ed 50 kuder. Dette skyldes at MTZ formulerige er svagere ed DFJ formulerige som vi vil askueliggøre i æste opgave. Opgave 5 Lad C være e kreds i grafe, og S c at begræsigere (2) medfører at V mægde af kuder der idgår i kredse. Vis x i j S c 1 (4) i S c j S c Summer begræsigere (3) formuleret som IP-model over alle kater i j C. Vis at ma dermed får ulighede S x i j c S c (5) 1 i j C Hvilke af ulighedere er stærkest, og hvilke af formulerigere ville ma derfor foretrække? Opgave 6 Fid de edre græseværdi for alle istaser af type ved brug af: assigmet -begræsigere alee assigmet -begræsigere og MTZ-begræsigere Begge relakseriger løses til LP-optimalitet. Rapporter køretid og edre græseværdi for hver istas og for hver af de relakseriger. Vi vil u udvikle e simpel cuttig plae algoritme til at fide e edre græseværdi til TSP. 1 Start med e simpel formulerig, der ku ideholder assigmet -begræsigere 2 repeat 3 Løs modelle til LP-optimalitet med CPLEX 4 Separer de mest overtrådte DFJ-begræsig 5 Såfremt ige DFJ-begræsiger er overtrådt, break 6 Tilføj de separerede ulighed til modelle 7 forever 8 Udskriv de edre græseværdi Opgave 7 Beskriv og implemeter e polyomiel algoritme, som i liie 4 ka separere de mest overtrådte DJF-begræsig (2). Agiv algoritmes køretid i store-o otatio. Opgave 8 For alle istaser af type fid e edre græseværdi ved at bruge oveståede cuttig plae algoritme. Rapporter køretid og edre græseværdi for hver istas. 3

4 For at fide e IP-optimal løsig til TSP problemet må oveståede cuttig plae algoritme kombieres med e brach-ad-boud algoritme. De resulterede brach-ad-cut algoritme ka i pricippet kostrueres på to måder: 1 Ma separerer samtlige overtrådte DFJ-begræsiger ide brach-ad-boud algoritme forgreer på e variabel. 2 Brach-ad-boud algoritme løser problemet til IP-optimalitet ide æste DFJ-begræsig separeres. Opgave 9 Løs så store problemer af type som muligt med begge variater af brachad-cut algoritme. Rapporter køretid, atal cuts geereret, og atal brach-ad-boud kuder besøgt. Opgave 10 Diskuter forskelle på de to brach-ad-cut algoritmer, og foreslå forbedriger. Istaser Følgede istaser er (med få udtagelser) hetet fra TSPLIB hjemmeside [9] og koverteret til et format der er emt at idlæse. Alle istaser fides på kursets hjemmeside. 4

5 istas beskrivelse 5 rad5 tilfældigt geererede katvægte 10 rad10 tilfældigt geererede katvægte 8 borholm afstade mellem otte byer på Borholm 14 burma14 14 byer i Burma, geografisk afstad 17 gr17 17 byer i Tysklad 21 gr21 21 byer i Tysklad 24 gr24 24 byer i Tysklad 48 gr48 48 byer i Tysklad 120 gr byer i Tysklad 29 bays29 29 byer i Bayer (street distace) 29 bayg29 29 byer i Bayer (geographic distace) 42 swiss42 42 byer i Schweiz (Fricker) 17 br17 asymmetrisk TSP (Repetto) 34 ftv33 asymmetrisk TSP (Fischetti) 36 ftv35 asymmetrisk TSP (Fischetti) 39 ftv38 asymmetrisk TSP (Fischetti) 45 ftv44 asymmetrisk TSP (Fischetti) 48 ftv47 asymmetrisk TSP (Fischetti) 56 ftv55 asymmetrisk TSP (Fischetti) 71 ftv70 asymmetrisk TSP (Fischetti) 171 ftv170 asymmetrisk TSP (Fischetti) 48 ry48p asymmetrisk TSP (Fischetti) 323 rbg323 Stacker crae applicatio (Ascheuer) 358 rbg358 Stacker crae applicatio (Ascheuer) 403 rbg403 Stacker crae applicatio (Ascheuer) 443 rbg443 Stacker crae applicatio (Ascheuer) 535 si535 TSP (M. Hofmeister) 1032 si1032 TSP (M. Hofmeister) De optimale løsigsværdi er agivet i hovedet af de fleste istaser. De ederste istaser kræver at programmets tabeller udvides. Noter Til opgave beyttes et rammeprogram som er skrevet i C og som varetager kommuikatioe med CPLEX. Da der ku er ogle få CPLEX-liceser til rådighed på DIKU, vil rammeprogrammet højst bruge CPLEX i 60 sekuder, hvorpå licese frigives. CPLEX liceser er tilgægelige på Liux pc er samt SUN maskier. For at beytte CPLEX er det ødvedigt at tilføje følgede liie i si fil.!#"$ %#& #'% ( )*+( %#)#,-%-*%*.-( /1032#(4 eller på de ye maskier: 5

6 !#"$ % )#.%*.-(/%*.-(/ %-*%*#.-(/ 032#(4 Rammeprogrammet fides på kursets hjemmeside samme med e makefil til at oversætte det. Der beyttes et meget simpelt iterface til CPLEX: IP-modelle skrives til e fil hvorpå rammeprogrammet kalder CPLEX med file som iddata. Det ka være hesigtsmæssigt at tilføje sit eget logi-av til dee fil, for at udgå koflikt med adre brugere. Det simple iterface gør det emt at fide fejl i IP-modelle, idet ma ka avede CPLEX iteraktivt med de geererede iput fil: Skriv 1 i kommadoliie, og idlæs datafile med. Såfremt der er sytaxfejl i IP-modelle vil CPLEX rapportere disse. Ellers kaldes og CPLEX vil rapportere om modelle er ubegræset ( ubouded ), har et tomt løsigsrum ( ifeasible ), eller ligede. Bemærk at edb-afdelige er ved at istallere ye førstedelsmaskier, hvilket måske ka give problemer med afviklig af CPLEX på disse. Start derfor på opgave i god tid. E liste over tilgægelige 1-dels maskier ka fås med kommadoe., Litteratur [1] G. B. Datzig, D. R. Fulkerso, ad S. M. Johso, Solutio of a Large-Scale Travelig Salesma Problem, Operatios Research, 2 (1954) [2] bico/, home page of Bill Cook at Rice Uiversity. [3] [4] E. Lawler, J. K. Lestra, A. H. G. Riooy Ka, ad D. B. Shmoys, eds., The Travelig Salesma Problem: A Guided Tour of Combiatorial Optimizatio, Wiley, Chichester, UK, 1985 [5] A. Lagevi, F. Soumis, ad J. Desrosiers, Classificatio of travellig salesma formulatios, Oper. Res. Lett., 9 (1990), pp [6] C. E. Miller, A. W. Tucker, ad R. A. Zemli, Iteger programmig formulatios ad travelig salesma problems, J. ACM, 7 (1960), pp [7] M. Padberg, ad T.-Y. Sug, A aalytical compariso of differet formulatios of the travellig salesma problem, Math. Programmig, 52 (1991), pp [8] L. A. Wolsey, Iteger Programmig, Wiley, Chichester, UK, [9] [10] kevi/dissert/ode11.html 6