16. december. Resume sidste gang

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "16. december. Resume sidste gang"

Transkript

1 16. december Resume sidste gang Abstrakt problem, konkret instans, afgørlighedsproblem Effektiv kodning (pol. relateret til binær kodning) Sprog L : mængden af instanser for et afgørlighedsproblem hvor svaret er 1 P = {L : L genkendes af en algoritme i polynomiel tid} NP = {L : L verificeres af en polynomieltids algoritme} P NP Q er NP -fuldstændig hvis og kun hvis Q NP og R NP : R pol Q CIRCUIT-SAT er NP -fuldstændig 1

2 Essentielle spørgsmål: NP = P? Et problem Q kaldes NP -fuldstændigt 1 Q NP 2 R NP : R pol Q NP NPC P Sætning Hvis der findes et NP -fuldstændigt problem som er løseligt i polynomiel tid, så er NP = P. Hvis et problem i NP ikke kan løses i polynomiel tid så kan ingen NP -fuldstændige problemer løses i polynomiel tid. 2

3 Oversigt, idag Bevise at en række problemer er NP -fuldstændige. Yderligere eksempler kan findes i Garey and Johnson CIRCUIT-SAT SAT CLIQUE 3CNF-SAT SUBSET-SUM VERTEX-COVER HAM-CYCLE TSP Beviser ikke (2) fra grunden, men bruger reduktion CIRCUIT-SAT har givet os foden inden døre men CIRCUIT-SAT er for generel 3

4 Hjælpesætning Hvis L er et sprog hvor L pol L for et problem L NPC så er L NP -hårdt. Hvis endvidere L NP så L NPC Teknik til bevis af L NPC 1 Bevis at L NP (dvs kan verificeres i poly. tid) 2 Vælg et kendt NP -fuldstændigt problem L 3 Beskriv en algoritme f som afbilder L L 4 Bevis at f opfylder x L f (x) L for alle x {0,1} 5 Bevis at f kører i polynomiel tid. 4

5 Opfyldning af logiske formler En logisk formel opbygges af boolske variable: x 1,...,x n boolske operatorer: paranteser Eksempel NOT AND OR medfører hvis og kun hvis φ = ((x 1 x 2 ) (( x 1 x 3 ) x 4 )) x 2 Opfyldende tildeling af sandhedsværdier: x 1 = 0,x 2 = 0,x 3 = 1,x 4 = 1 Afgørlighedsproblem SAT = {< φ >: φ kan opfyldes} 5

6 SAT er NP -fuldstændig Bevisets gang 1 Bevis at SAT NP (dvs kan verificeres i poly. tid) 2 Vælg et kendt NP -fuldstændigt problem L 3 Beskriv en algoritme f som afbilder CIRCUIT-SAT SAT 4 Bevis at f opfylder x CIRCUIT-SAT f (x) SAT for alle x {0,1} 5 Bevis at f kører i polynomiel tid. Naiv algoritme f udtrykker output af gate ved input x 1 x 2 Polynomiel algoritme f Sæt boolske variable på alle ledninger Opskriv formel som viser sammenhæng mellem indgange og udgang for hver formel som kræver output = 1. 6

7 SAT er NP -fuldstændig x 1 x 2 x 5 x 8 x 6 x 9 x 10 x 3 x 4 x Tilhørende formel φ = x 10 (x 4 x 3 ) (x 5 (x 1 x 2 )) (x 6 x 4 ) (x (x 1 x 2 x 4 )) (x 8 (x 5 x 6 )) (x 9 (x 6 x )) (x 10 (x x 8 x 9 ))

8 3CNF-SAT er NP -fuldstændig CNF er Konjunktiv Normal Form Konjunktion: a b Disjunktion: a b En formel er på CNF hvis den er en konjunktion af en række disjunktioner af logiske variable eller disses negationer. literal: variabel x eller negation x. clausul: et OR-udtryk af literaler CNF-formel: et AND-udtryk af clausuler 3CNF-formel har præcis 3 forskellige literaler pr. clausul (bruges ved bevis af CLIQUE) Eksempel φ = (x 1 x 1 x 2 ) (x 3 x 2 x 4 ) ( x 1 x 3 x 4 ) Afgørlighedsproblem 3CNF-SAT = {< φ >: φ kan opfyldes} 8

9 3CNF-SAT er NP -fuldstændig 1 Bevis at 3CNF-SAT NP 2 Vælg et kendt NP -fuldstændigt problem SAT 3 Beskriv en algoritme f som afbilder SAT 3CNF- SAT 4 Bevis at f opfylder x SAT f (x) 3CNF-SAT for alle x {0,1} 5 Bevis at f kører i polynomiel tid. Reduktions-algoritme f : givet logisk udtryk Byg parse-træ til evaluering fan-in 2 Indfør nye variable y i til at angive output af hver intern knude Opskriv ækvivalent udtryk φ som AND-udtryk Hvert AND-udtryk omskrives til CNF Clausuler med for få literaler suppleres op til 3 9

10 3CNF-SAT er NP -fuldstændig Givet instans af SAT φ = ((x 1 x 2 ) (( x 1 x 3 ) x 4 )) x 2 Generer parse-træ y 2 x 2 y 3 y 4 x 1 x 2 y 6 x 4 x 1 x 3 Opskriv ækvivalent AND-udtryk φ = y 1 (y 1 (y 2 x 2 )) (y 2 (y 3 y 4 )) (y 3 (x 1 x 2 )) (y 4 y 5 ) (y 5 (y 6 x 4 ) (y 6 ( x 1 x 3 )) y 5 y 1 = φ 0 φ 1... φ m Hvis hver clausul φ i er på CNF, så er φ på CNF. 10

11 3CNF-SAT er NP -fuldstændig Sandhedstabel for φ 1 y 1 y 2 x 2 (y 1 (y 2 x 2 )) φ 1 er falsk når φ 1 = (y 1 y 2 x 2 ) (y 1 y 2 x 2 ) (y 1 y 2 x 2 ) ( y 1 y 2 x 2 ) De-Morgans lov φ 1 = ( y 1 y 2 x 2 ) ( y 1 y 2 x 2 ) ( y 1 y 2 x 2 ) (y 1 y 2 x 2 ) Nu er φ = φ 0 φ 1 φ 2... φ m på CNF Hver clausul har højst 3 literaler Alle literaler i clausul er forskellige 11

12 3CNF-SAT er NP -fuldstændig Clausuler med 2 literaler: C i = (l 1 l 2 ) erstattes af C i = (l 1 l 2 p) (l 1 l 2 p) hvor p er en ny variabel. Clausuler med 1 literal: C i = (l 1 ) erstattes af C i = (l 1 p q) (l 1 p q) (l 1 p q) (l 1 p q) hvor p,q er nye variable. 12

13 Klike i en graf En klike i en ikke-orienteret graf G = (V,E) er en delmængde V V af knuder således at (v i,v j ) E for alle v i,v j V. Afgørlighedsproblem CLIQUE = {< G,k >: G har en klike af størrelse k}

14 CLIQUE er NP -fuldstændig 1 Bevis at CLIQUE NP 2 Vælg et kendt NP -fuldstændigt problem 3CNF-SAT 3 Beskriv en algoritme f som afbilder 3CNF-SAT CLIQUE 4 Bevis at f opfylder x 3CNF-SAT f (x) CLIQUE for alle x {0,1} 5 Bevis at f kører i polynomiel tid. Reduktions-algoritme f : Givet udtryk på 3CNF φ = C 1 C 2... C k hver clausul C r har 3 forskellige literaler (l r 1,lr 2,lr 3 ). For eksempel φ = (x 1 x 2 x 3 ) ( x 1 x 2 x 3 ) (x 1 x 2 x 3 ) som kan tilfredsstilles med x 1 = 0,x 2 = 0,x 3 = 1. 14

15 CLIQUE er NP -fuldstændig Motivation φ = (x 1 x 2 x 3 ) ( x 1 x 2 x 3 ) (x 1 x 2 x 3 ) knude repræsenterer literal: Literal sand knude vælges i klike sikrer at kun en literal fra hver klausul vælges ved ikke at have kanter mellem disse. graf skal være konsistent: ej kant mellem x og x. klike størrelse er k. i udtrykket φ skal mindst en literal i hver klausul være sand knude vælges. 15

16 CLIQUE er NP -fuldstændig Konstruerer graf For hver clausul C r = (l1 r lr 2 lr 3 ) indfør 3 knuder v r 1,vr 2,vr 3. Indfør en kant mellem v r i og v s j hvis r s dvs. li r og l s j er i forskellige clausuler li r er ikke negation af l s j (literaler er konsistente). k (klike størrelse) er antal clausuler. For det givne eksempel φ = (x 1 x 2 x 3 ) ( x 1 x 2 x 3 ) (x 1 x 2 x 3 ) Får vi C 1 = x 1 x 2 x 3 C 2 = x 1 x 2 x 3 C 3 = x 1 x 2 x 3 Maksimal klike x 2, x 3 og x 3. Variable svarende til knuder som ikke er i kliken kan sættes arbitrært i φ 16

17 CLIQUE er NP -fuldstændig φ er en reduktion: Antag φ har en tilfredsstillende tildeling. Så findes k literaler fra hver sin clausul som alle er sande. Vælg disse som klike. Klike størrelse er korrekt Der findes kanter mellem alle par af knuder i kliken Antag G har en klike af størrelse k. Sæt literal til sand, hvis tilhørende knude er valgt. Hvis nogle variable ikke defineres på denne vis, kan de sættes arbitrært. Ingen konflikter opstår (dvs. f.eks. x 1 = 1 og x 1 = 1) En literal i hver clausul er sand 1

18 Knudeoverdækning En knudeoverdækning af en ikke orienteret graf G = (V,E) er en delmængde af V V så (u,v) E u V eller v V (eller begge) Størrelsen af en knudeoverdækning er k = V. Knudeoverdækningsproblemet søger den mindste overdækning i grafen Afgørlighedsproblem VERTEX-COVER = {< G,k > : grafen G har en knudeoverdækning af størrelse k} 18

19 VERTEX-COVER er NP -fuldstændig 1 Bevis at VERTEX-COVER NP 2 Vælg et kendt NP -fuldstændig problem CLIQUE 3 Beskriv en algoritme f som afbilder CLIQUE VERTEX-COVER 4 Bevis at f opfylder x CLIQUE f (x) VERTEX-COVER for alle x {0,1} 5 Bevis at f kører i polynomiel tid. Reduktions-algoritme f : CLIQUE VERTEX-COVER f :< G,k > < G, V k > 19

20 VERTEX-COVER er NP -fuldstændig Reduktion Antag at G har klike V V med V = k. Vil vise at V V er en knudeoverdækning i G af størrelse V k Antag at G har en knudeoverdækning V V hvor V = V k. Vil vise at V V er en klike af størrelse V V = k. 20

21 Resume Teknik til at bevise at problem P NPC CIRCUIT-SAT er NP -fuldstændig SAT er NP -fuldstændig 3CNF-SAT er NP -fuldstændig CLIQUE er NP -fuldstændig VERTEX-COVER er NP -fuldstændig Overraskende resultater Alle ovenstående problemer er polynomielt ækvivalente Reduktion kan gøres mellem vidt forskellige problemer Siden klassen af NP -fuldstændige problemer indeholder tusinder af problemer, har vi grund til at tro at en polynomiel algoritme ikke findes for nogen af dem. 21

22 To ekstra beviser I projektopgave P3 skal bruges at MAX-CUT er NP -fuldstændigt Viser 3CNF-SAT pol 3CNF-NAESAT Viser 3CNF-NAESAT pol MAXCUT Skematisk bevis, læs selv detaljer 22

23 3CNF-NAESAT er NP -fuldstændig φ = (x 1 x 1 x 2 ) (x 3 x 2 x 4 ) ( x 1 x 3 x 4 ) Afgørlighedsproblem { 3CNF-NAESAT = < φ >: Bemærk at φ automatisk bliver sand hver clausul indeholder sand og falsk literal } Bevis 1 Bevis at 3CNF-NAESAT NP 2 Vælg et kendt NP -fuldstændigt problem: 3CNF-SAT 3 Beskriv en algoritme f som afbilder 3CNF-SAT 3CNF-NAESAT 4 Bevis at f opfylder x 3CNF-SAT f (x) 3CNF-NAESAT for alle x {0,1} 5 Bevis at f kører i polynomiel tid. 23

24 Reduktion Givet 3CNF-SAT udtryk hvor φ = C 1 C 2... C n C i = (l i 1 li 2 li 3 ) Konstruer 3CNF-NAESAT udtryk ψ = C 1 C 2... C n ved at erstatte hver clausul C i med C i = (l i 1 l i 2 z i ) ( z i l i 3 b) hvor z i er en ny variabel for hver klausul, og b er en ny variabel for hele udtrykket ψ. Eksempel Givet 3CNF-SAT udtryk φ = (x 1 x 4 x 2 ) (x 3 x 2 x 4 ) ( x 1 x 3 x 4 ) konstruer ψ = (x 1 x 4 z 1 ) ( z 1 x 2 b) (x 3 x 2 z 2 ) ( z 2 x 4 b) ( x 1 x 3 z 3 ) ( z 3 x 4 b) 24

25 x 3CNF-SAT f (x) 3CNF-NAESAT Antag at φ er sand, udvid løsning til 1 Hvis l i 1 = li 2 = TRUE så z i = FALSE 2 Hvis l i 1 = li 2 = FALSE så z i = TRUE 3 Hvis l i 1 li 2 så z i = FALSE 4 b = FALSE ψ = (x 1 x 4 z 1 ) ( z 1 x 2 b) (x 3 x 2 z 2 ) ( z 2 x 4 b) ( x 1 x 3 z 3 ) ( z 3 x 4 b) x 3CNF-SAT f (x) 3CNF-NAESAT Givet udtryk ψ = C 1 C 2... C n tag variable x 1,...,x n og tildel dem til φ. Hvis φ er sand så slut Hvis φ er falsk, så findes klausul C i = (l i 1 li 2 li 3 ) hvor (l i 1 li 2 li 3 ) alle er falske. Da b er falsk, og en af z i og z i altid er falsk, fandtes en klausul i Ψ hvor alle literaler var falske. 25

26 MAX-CUT Afgørlighedsproblem { MAX-CUT = < G,K >: der findes et cut S,T med mindst K kanter mellem S og T } Hvis < G,K > er givet ved ovenstående graf, og K = 6 findes en ja-instans S = {1,2,3}, T = {4,5,6}. 26

27 MAX-CUT er NP -fuldstændig 1 Bevis at MAX-CUT NP 2 Vælg et kendt NP -fuldstændigt problem 3CNF-NAESAT 3 Beskriv en algoritme f som afbilder 3CNF-NAESAT MAX-CUT 4 Bevis at f opfylder x 3CNF-NAESAT f (x) MAX-CUT for alle x {0,1} 5 Bevis at f kører i polynomiel tid. Reduktion Reduktions-algoritme f : Givet udtryk på 3CNF φ = C 1 C 2... C k hver clausul C r har 3 forskellige literaler (l r 1,lr 2,lr 3 ). For eksempel φ = (x 1 x 2 x 3 ) ( x 1 x 2 x 3 ) (x 1 x 2 x 3 ) tilfredsstilles med x 1 = 0,x 2 = 0,x 3 = 1. φ = (0 1 0) (1 0 1) (0 0 1) 2

28 Reduktion φ = (x 1 x 2 x 3 ) ( x 1 x 2 x 3 ) (x 1 x 2 x 3 ) hver variabel x i repræsenteres af to knuder x i og x i x i x i for hver klausul (x 1 x 2 x 3 ) tegnes trekant x 2 x 1 x 3 mellem hvert par af knuder x i og x i tegnes 2n i kanter, hvor n i er antal forekomster af x i og x i i φ x 1 x 1 cutstørrelse sættes til K = 8k hvor k er antal klausuler 28

29 Eksempel på reduktion φ = (x 1 x 2 x 3 ) ( x 1 x 2 x 3 ) (x 1 x 2 x 3 ) x 1 x 1 x 2 x 2 K = 8k = 24 x 3 x 3 Fortolkning af snit (S, T) Knuder i S svarer til at variabel er TRUE Knuder i T svarer til at variabel er FALSE Vi skal sikre at x i og x i er i forskellige mængder Hvis en trekant (klausul) splittes op af (S,T) så er en literal sand og en anden falsk En trekant (klausul) bidrager med 2 kanter uanset hvordan den splittes op 29

30 MAX-CUT medfører 3CNF-NAESAT Antag at MAX-CUT med G = (V,E) og K = 8k er sand Første 6k kanter Vi kan antage at snittet adskiller variable fra deres negation da en literal højst bidrager med n i kanter i klausulerne, hvilket ikke overstiger antal kanter mellem x i og x i. Antal kanter mellem x i og x i for i = 1,...,m er 6k da antal literaler er 3k. Resterende 2k kanter Må komme fra klausuler (trekanter) Hver klausul bidrager med 2 kanter i snit, så alle må være blevet splittet Opsplitning af en trekant betyder at en literal er sand og en literal er falsk 3CNF-NAESAT medfører MAX-CUT Simpel (prøv selv) 30

16. marts P NP. Essentielle spørgsmål: NP P? Et problem Q kaldes NP -fuldstændigt 1 Q NP 2 R NP : R pol Q. Resume sidste gang

16. marts P NP. Essentielle spørgsmål: NP P? Et problem Q kaldes NP -fuldstændigt 1 Q NP 2 R NP : R pol Q. Resume sidste gang 16. marts Resume sidste gang Abstrakt problem konkret instans afgørlighedsproblem Effektiv kodning (pol. relateret til binær kodning) Sprog L : mængden af instanser for et afgørlighedsproblem hvor svaret

Læs mere

Sprog L : mængden af instanser for et afgørlighedsproblem

Sprog L : mængden af instanser for et afgørlighedsproblem 26. marts Resume sidste to gang Sprog L : mængden af instanser for et afgørlighedsproblem hvor svaret er 1. P NP L : L genkendes af en algoritme i polynomiel tid L : L verificeres af en polynomiel tids

Læs mere

Hamiltonkreds, den handelsrejsendes problem, delmængdesum-problemet

Hamiltonkreds, den handelsrejsendes problem, delmængdesum-problemet , den handelsrejsendes problem, delmængdesum-problemet Videregående algoritmik Cormen et al. 34.5.3 34.5.5 Fredag den 19. december 2008 1 N P-fuldstændige problemer 1 N P-fuldstændige problemer 2 Reduktion

Læs mere

Tirsdag 12. december David Pisinger

Tirsdag 12. december David Pisinger Videregående Algoritmik, DIKU 2006/07 Tirsdag 12. december David Pisinger Resume sidste to gang Sprog L : mængden af instanser for et afgørlighedsproblem hvor svaret er 1. P = {L : L genkendes af en algoritme

Læs mere

dks Noter Michael Lind Mortensen, illio 24. juni 2010

dks Noter Michael Lind Mortensen, illio 24. juni 2010 dks Noter Michael Lind Mortensen, illio 24. juni 2010 Indhold 1 P, NP and NPC. 4 1.1 Disposition............................ 4 1.2 Emne detaljer........................... 4 1.2.1 Def. Problemer, Sprog,

Læs mere

Klasserne af problemer, der kan løses i deterministisk og i ikke-deterministisk polynomiel tid; polynomiel reduktion; N P-fuldstændighed

Klasserne af problemer, der kan løses i deterministisk og i ikke-deterministisk polynomiel tid; polynomiel reduktion; N P-fuldstændighed Klasserne af problemer, der kan løses i deterministisk og i ikke-deterministisk polynomiel tid; polynomiel reduktion; N P-fuldstændighed Videregående algoritmik Cormen et al. 34.1 34.3 Fredag den 12. december

Læs mere

Sidste gang Motivation Definitioner Approximations-algoritme for knudeoverdækning Approximations-algoritme for TSP med trekantsulighed

Sidste gang Motivation Definitioner Approximations-algoritme for knudeoverdækning Approximations-algoritme for TSP med trekantsulighed Approximations-algoritmer Sidste gang Motivation Definitioner Approximations-algoritme for knudeoverdækning Approximations-algoritme for TSP med trekantsulighed Negativt resultat om generel TSP Approximations-algoritme

Læs mere

Hamilton-veje og kredse:

Hamilton-veje og kredse: Hamilton-veje og kredse: Definition: En sti x 1, x 2,...,x n i en simpel graf G = (V, E) kaldes en hamiltonvej hvis V = n og x i x j for 1 i < j n. En kreds x 1, x 2,...,x n, x 1 i G kaldes en hamiltonkreds

Læs mere

01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides

01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides 01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides Thomas Bolander 1 Udsagnslogik 1.1 Formler og sandhedstildelinger symbol står for ikke eller og ( A And) hvis... så... hvis og kun hvis...

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42 Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder

Læs mere

Baggrundsnote om logiske operatorer

Baggrundsnote om logiske operatorer Baggrundsnote om logiske operatorer Man kan regne på udsagn ligesom man kan regne på tal. Regneoperationerne kaldes da logiske operatorer. De tre vigtigste logiske operatorer er NOT, AND og. Den første

Læs mere

Boolsk algebra For IT studerende

Boolsk algebra For IT studerende Boolsk algebra For IT studerende Henrik Kressner Indholdsfortegnelse Indledning...3 Logiske kredsløb...4 Eksempel:...4 Operatorer...4 NOT operatoren...5 AND operatoren...5 OR operatoren...6 XOR operatoren...7

Læs mere

Datalogisk indsigt Der findes problemer som kan løses effektivt (polynomiel

Datalogisk indsigt Der findes problemer som kan løses effektivt (polynomiel 9. marts NP -fuldstændighed Datalogisk indsigt Der findes problemer som kan løses effektivt (polynomiel tid) Der findes problemer som ikke kan løses effektivt Der findes problemer som slet ikke kan løses

Læs mere

Approximations-algoritmer. Løsningsmetoder for NP -hårde opt.problemer

Approximations-algoritmer. Løsningsmetoder for NP -hårde opt.problemer Motivation Definitioner Approximations-algoritme for nudeoverdæning Approximations-algoritme for TSP med treantsulighed Negativt resultat om generel TSP Approximations-algoritme for SET-OVERING Fuldt polynomiel-tids

Læs mere

.. if L(u) + w(u, v) < L(v) then.. begin... L(v) := L(u) + w(u, v)... F (v) := u.. end. med længde L(z)}

.. if L(u) + w(u, v) < L(v) then.. begin... L(v) := L(u) + w(u, v)... F (v) := u.. end. med længde L(z)} Procedure Dijkstra(G = (V, E): vægtet sh. graf,. a, z: punkter) { Det antages at w(e) > 0 for alle e E} For alle v V : L(v) := L(a) := 0, S := while z / S begin. u := punkt ikke i S, så L(u) er mindst

Læs mere

Selvreference i begrænsningsresultaterne

Selvreference i begrænsningsresultaterne Selvreference i begrænsningsresultaterne Thomas Bolander, IMM, DTU. tb@imm.dtu.dk To pointer: (1) Der skal kun meget lidt udover selvreference til for at få de klassiske logiske begrænsningsresultater.

Læs mere

Løs til optimalitet i eksponentiel tid Find tilnærmet løsning i polynomielt tid Optimeringsproblemer kan ikke altid verificeres i polynomiel

Løs til optimalitet i eksponentiel tid Find tilnærmet løsning i polynomielt tid Optimeringsproblemer kan ikke altid verificeres i polynomiel I dag Løsning af NP -hårde optimeringsproblemer Repetition: branch-and-bound Flere begreber Konkret eksempel: TSP Lagrange relaxering Parallel branch-and-bound 1 Opsummering Løsning af NP -hårde optimeringsproblemer

Læs mere

Henrik Bulskov Styltsvig

Henrik Bulskov Styltsvig Matematisk logik Henrik Bulskov Styltsvig Datalogiafdelingen, hus 42.1 Roskilde Universitetscenter Universitetsvej 1 Postboks 260 4000 Roskilde Telefon: 4674 2000 Fax: 4674 3072 www.dat.ruc.dk Disposition

Læs mere

Udsagnslogik. Anker Mørk Thomsen. 6. december 2013

Udsagnslogik. Anker Mørk Thomsen. 6. december 2013 Udsagnslogik Anker Mørk Thomsen 6. december 2013 Logiske Udsagn Sætningstyper Spørgende (interrogative): Hvor længe bliver du i byen? Befalinger (imperative): Gå tilvenstre efter næste sving? Ønsker (optative):

Læs mere

Videregående Algoritmik. Version med vejledende løsninger indsat!

Videregående Algoritmik. Version med vejledende løsninger indsat! Videregående Algoritmik DIKU, timers skriftlig eksamen, 1. april 009 Nils Andersen og Pawel Winter Alle hjælpemidler må benyttes, dog ikke lommeregner, computer eller mobiltelefon. Opgavesættet består

Læs mere

BOSK F2011, 1. del: Udsagnslogik

BOSK F2011, 1. del: Udsagnslogik ( p q) p q February 1, 2011 Sandhedsværdier og udsagnsvariable I dag handler det om logiske udsagn. Mere præcist om de logiske udsagn vi kan bygge ud fra sandhedsværdier, udsagnsvariable og logiske konnektiver.

Læs mere

Logik. Af Peter Harremoës Niels Brock

Logik. Af Peter Harremoës Niels Brock Logik Af Peter Harremoës Niels Brock December 2009 1 Indledning Disse noter om matematisk logik er en videreudbygning af det, som står i bogen MAT A [1]. Vi vil her gå lidt mere systematisk frem og være

Læs mere

Reeksamen i Diskret Matematik

Reeksamen i Diskret Matematik Reeksamen i Diskret Matematik Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet 21. august 2015 Nærværende eksamenssæt består af 10 nummererede sider med ialt 17 opgaver. Tilladte hjælpemidler:

Læs mere

Sammenhængskomponenter i grafer

Sammenhængskomponenter i grafer Sammenhængskomponenter i grafer Ækvivalensrelationer Repetition: En relation R på en mængde S er en delmængde af S S. Når (x, y) R siges x at stå i relation til y. Ofte skrives x y, og relationen selv

Læs mere

Logik. Helge Elbrønd Jensen og Tom Høholdt Fortolket af Michael Elmegård og Øistein Wind-Willassen.

Logik. Helge Elbrønd Jensen og Tom Høholdt Fortolket af Michael Elmegård og Øistein Wind-Willassen. Logik Helge Elbrønd Jensen og Tom Høholdt Fortolket af Michael Elmegård og Øistein Wind-Willassen. 25. juni 2014 2 Indhold 1 Matematisk Logik 5 1.1 Udsagnslogik.................................... 5 1.2

Læs mere

Bevisteknikker. Bevisteknikker (relevant både ved design og verifikation) Matematisk induktion. Matematisk induktion uformel beskrivelse

Bevisteknikker. Bevisteknikker (relevant både ved design og verifikation) Matematisk induktion. Matematisk induktion uformel beskrivelse Bevisteknikker Bevisteknikker (relevant både ved design og verifikation) Bevisførelse ved modstrid (indirekte bevis) Antag, at det givne teorem er falsk Konkluder, at dette vil føre til en modstrid Teorem:

Læs mere

Algoritmeskabeloner: Sweep- og søgealgoritmer C#-version

Algoritmeskabeloner: Sweep- og søgealgoritmer C#-version Note til Programmeringsteknologi Akademiuddannelsen i Informationsteknologi Algoritmeskabeloner: Sweep- og søgealgoritmer C#-version Finn Nordbjerg 1/9 Indledning I det følgende introduceres et par abstrakte

Læs mere

Om matematisk logik. Henning Christiansen, Troels Andreasen

Om matematisk logik. Henning Christiansen, Troels Andreasen Om matematisk logik Henning Christiansen, Troels Andreasen Contents 1 Indledning 3 2 Propositionel logik 5 2.1 Propositionelle logiksprog..................... 5 2.1.1 Syntaks...........................

Læs mere

M=3 kunde forbindelse. oprettet lokation Steinerkant

M=3 kunde forbindelse. oprettet lokation Steinerkant M=3 åben facilitet kunde forbindelse lukket facilitet oprettet lokation Steinerkant v Connected facility location-problemet min i f i y i + d j c ij x ij + M c e z e (1) j i e hvorom gælder: x ij 1 j (2)

Læs mere

Bevisteknikker (relevant både ved design og verifikation)

Bevisteknikker (relevant både ved design og verifikation) Bevisteknikker 1 Bevisteknikker (relevant både ved design og verifikation) Bevisførelse ved modstrid (indirekte bevis) Antag, at det givne teorem er falsk Konkluder, at dette vil føre til en modstrid Teorem:

Læs mere

Eksamen i Diskret Matematik

Eksamen i Diskret Matematik Eksamen i Diskret Matematik Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet 15. juni, 2015. Kl. 9-13. Nærværende eksamenssæt består af 12 nummererede sider med ialt 17 opgaver. Tilladte hjælpemidler:

Læs mere

Minimum udspændende Træer (MST)

Minimum udspændende Træer (MST) Minimum udspændende Træer (MST) Træer Et (frit/u-rodet) træ er en uorienteret graf G = (V, E) som er Sammenhængende: der er en sti mellem alle par af knuder. Acyklisk: der er ingen kreds af kanter. Træer

Læs mere

Statistik og Sandsynlighedsregning 2

Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Uafhængighed og reelle transformationer Helle Sørensen Uge 8, mandag SaSt2 (Uge 8, mandag) Uafh. og relle transf. 1 / 16 Program I dag: Uafhængighed af kontinuerte

Læs mere

Løs til optimalitet i eksponentiel tid Find tilnærmet løsning i polynomiel tid

Løs til optimalitet i eksponentiel tid Find tilnærmet løsning i polynomiel tid 6 april Løsning af N P -hårde problemer Løs til optimalitet i eksponentiel tid Find tilnærmet løsning i polynomiel tid Oversigt Grænseværdier (repetition) Branch-and-bound algoritmens komponenter Eksempler

Læs mere

13. december. Datalogiens største spørgsmål. Hvis kan bevise NP = P fås 1 million dollar

13. december. Datalogiens største spørgsmål. Hvis kan bevise NP = P fås 1 million dollar 3. december Datalogiens største spørgsmål NP -fuldstændighed Datalogisk indsigt Der findes problemer som kan løses effektivt (polnomiel tid) Der findes problemer som ikke kan løses effektivt Der findes

Læs mere

Skriftlig Eksamen Introduktion til lineær og heltalsprogrammering (DM515)

Skriftlig Eksamen Introduktion til lineær og heltalsprogrammering (DM515) Skriftlig Eksamen Introduktion til lineær og heltalsprogrammering (DM55) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Tirsdag den Juni 009, kl. 9 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater

Læs mere

Korteste veje i vægtede grafer. Længde af sti = sum af vægte af kanter på sti.

Korteste veje i vægtede grafer. Længde af sti = sum af vægte af kanter på sti. Korteste veje Korteste veje i vægtede grafer Længde af sti = sum af vægte af kanter på sti. Korteste veje i vægtede grafer Længde af sti = sum af vægte af kanter på sti. δ(u, v) = længden af en korteste

Læs mere

Gödels ufuldstændighedssætninger

Gödels ufuldstændighedssætninger Gödels ufuldstændighedssætninger Thomas Bolander, DTU Informatik Matematik: Videnskaben om det uendelige 2 Folkeuniversitetet i København, efteråret 2011 Thomas Bolander, FUKBH 11 s. 1/21 Gödels ufuldstændighedssætning

Læs mere

Introduktion til prædikatlogik

Introduktion til prædikatlogik Introduktion til prædikatlogik Torben Braüner Datalogisk Afdeling Roskilde Universitetscenter 1 Plan Symbolisering af sætninger Syntaks Semantik 2 Udsagnslogik Sætningen er den mindste syntaktiske enhed

Læs mere

Aalborg University. Synopsis. Titel: Traveling Salesman Problem

Aalborg University. Synopsis. Titel: Traveling Salesman Problem Aalborg University Department of Computer Science. Fredrik Bajers Vej 7E, 9220 Aalborg Ø. Titel: Traveling Salesman Problem Projektperiode: 16. maj 2003 til 20. juni 2003 Semester: BOS03 Gruppebetegnelse:

Læs mere

Variable. 1 a a + 2 3 a 5 2a 3a + 6 a + 5 3a a 2 a 2 a 2 5 7 15 5 21 5 25 0 2 0 6 9 0 9 4 0 1 3 3 3 9 3 1 0 0 2 0 5 6 5 0 0 2,5 1,5 4 7,5 4 0

Variable. 1 a a + 2 3 a 5 2a 3a + 6 a + 5 3a a 2 a 2 a 2 5 7 15 5 21 5 25 0 2 0 6 9 0 9 4 0 1 3 3 3 9 3 1 0 0 2 0 5 6 5 0 0 2,5 1,5 4 7,5 4 0 Variable 1 a a + 2 3 a 5 2a 3a + 6 a + 5 3a a 2 a 2 a 2 5 7 15 5 21 5 25 0 2 0 6 9 0 9 4 0 1 3 3 3 9 3 1 0 0 2 0 5 6 5 0 0 2,5 1,5 4 7,5 4 0 2 a x = 5 b x = 1 c x = 1 d y = 1 e z = 0 f Ingen løsning. 3

Læs mere

Induktive og rekursive definitioner

Induktive og rekursive definitioner Induktive og rekursive definitioner Denne note omhandler matematiske objekter, som formelt er opbygget fra et antal basale byggesten, kaldet basistilfælde eller blot basis, ved gentagen brug af et antal

Læs mere

Implikationer og Negationer

Implikationer og Negationer Implikationer og Negationer Frank Villa 5. april 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Kursus 02199: Programmering. Kontrol af programudførelsen. afsnit 3.1-3.5. if (indkomst > 267000) topskat = (indkomst-267000) * 0.

Kursus 02199: Programmering. Kontrol af programudførelsen. afsnit 3.1-3.5. if (indkomst > 267000) topskat = (indkomst-267000) * 0. Kursus 02199: Programmering afsnit 3.1-3.5 Anne Haxthausen IMM, DTU 1. Kontrol af programudførn (afsnit 3.1) 2. Valg-sætninger (if og switch) (afsnit 3.2 og 3.3) 3. Bloksætninger (afsnit 3.2) 4. Logiske

Læs mere

P2-gruppedannelsen for Mat og MatØk

P2-gruppedannelsen for Mat og MatØk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Danmark 1-02-2012 Vejledere Bo Hove E-mail: bh@thisted-gymnasium.dk 3 Mat grupper (semesterkoordinator) E-mail: diego@math.aau.dk. Web page: http://people.math.aau.dk/~diego/

Læs mere

Iteration af et endomorft kryptosystem. Substitutions-permutations-net (SPN) og inversion. Eksklusiv disjunktion og dens egenskaber

Iteration af et endomorft kryptosystem. Substitutions-permutations-net (SPN) og inversion. Eksklusiv disjunktion og dens egenskaber Produktsystemer, substitutions-permutations-net samt lineær og differentiel kryptoanalyse Kryptologi, fredag den 10. februar 2006 Nils Andersen (Stinson 3., afsnit 2.7 3.4 samt side 95) Produkt af kryptosystemer

Læs mere

Gödel: Über formal unentschiedbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I, 1931

Gödel: Über formal unentschiedbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I, 1931 Kommentar til 1 Gödel: Über formal unentschiedbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I, 1931 Denne afhandling af den 24-årige Kurt Gödel er blevet en klassiker. Det er vist den eneste

Læs mere

Skriftlig Eksamen Introduktion til lineær og heltalsprogrammering (DM515)

Skriftlig Eksamen Introduktion til lineær og heltalsprogrammering (DM515) Skriftlig Eksamen Introduktion til lineær og heltalsprogrammering (DM55) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Mandag den 2 Juni 2008, kl. 9 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater

Læs mere

INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET

INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET NSTTUT OR TO, RUS UNVRSTT Science and Technology SN lgoritmer og atastrukturer (00-ordning) ntal sider i opgavesættet (incl. forsiden): 11 (elleve) ksamensdag: redag den 1. august 015, kl. 9.00-.00 Tilladte

Læs mere

Projekt 3.5 faktorisering af polynomier

Projekt 3.5 faktorisering af polynomier Projekt 3.5 faktorisering af polynomier Hvilke hele tal går op i tallet 60? Det kan vi få svar på ved at skrive 60 som et produkt af sine primtal: 60 3 5 Divisorerne i 60 er lige præcis de tal, der kan

Læs mere

9. marts. NP -fuldstændighed. Datalogiens største spørgsmål. Hvis kan bevise NP P fås 1 million dollar

9. marts. NP -fuldstændighed. Datalogiens største spørgsmål. Hvis kan bevise NP P fås 1 million dollar 9. marts NP -fuldstændighed Datalogisk indsigt Der findes problemer som kan løses effektivt polynomiel tid) Der findes problemer som ikke kan løses effektivt Der findes problemer som slet ikke kan løses

Læs mere

DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET

DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET DTLOS NSTTUT, RUS UNVERSTET Det Naturvidenskabelige akultet ESMEN rundkurser i Datalogi ntal sider i opgavesættet (incl. forsiden): 7 (syv) Eksamensdag: Torsdag den 14. juni 007, kl. 9.00-1.00 Eksamenslokale:

Læs mere

BOSK F2012, 1. del: Prædikatslogik

BOSK F2012, 1. del: Prædikatslogik ε > 0. δ > 0. x. x a < δ f (x) L < ε February 8, 2012 Prædikater Vi skal lære om prædikatslogik lad os starte med prædikater. Et prædikat er et orakel der svarer ja eller nej. Eller mere præcist: Prædikater

Læs mere

Dynamisk programmering

Dynamisk programmering Dynamisk programmering Dynamisk programmering Optimeringsproblem: man ønsker at finde bedste den kombinatoriske struktur blandt mange mulige. Dynamisk programmering Optimeringsproblem: man ønsker at finde

Læs mere

INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET

INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET INSTITUT FOR DTOI, RUS UNIVERSITET Science and Technology ESEN lgoritmer og Datastrukturer (00-ordning) ntal sider i opgavesættet (incl. forsiden): (elleve) Eksamensdag: Fredag den. juni 0, kl. 9.00-.00

Læs mere

Perspektiverende Datalogikursus

Perspektiverende Datalogikursus Perspektiverende Datalogikursus Uge 1 - Algoritmer og kompleksitet Gerth Stølting Brodal 27. august 2004 1 Indhold Mere om Eksempler på beregningsproblemer Algoritmer og deres analyse Korrekthed af algoritmer

Læs mere

Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (dads)

Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (dads) Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (dads) Datalogisk Institut Aarhus Universitet Onsdag den. august 200, kl. 9.00.00 Opgave (25%) Lad A = A[] A[n] være et array af heltal. Længden af det længste

Læs mere

Skriftlig Eksamen Algoritmer og sandsynlighed (DM538)

Skriftlig Eksamen Algoritmer og sandsynlighed (DM538) Skriftlig Eksamen Algoritmer og sandsynlighed (DM538) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Fredag den 9 Januar 2015, kl. 10 14 Alle sædvanlige hjælpemidler(lærebøger, notater etc.) samt

Læs mere

Eksempel på muligt eksamenssæt i Diskret Matematik

Eksempel på muligt eksamenssæt i Diskret Matematik Eksempel på muligt eksamenssæt i Diskret Matematik Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet???dag den?.????, 20??. Kl. 9-13. Nærværende eksamenssæt består af 13 nummererede sider med

Læs mere

Hvad er formel logik?

Hvad er formel logik? Kapitel 1 Hvad er formel logik? Hvad er logik? I daglig tale betyder logisk tænkning den rationelt overbevisende tænkning. Og logik kan tilsvarende defineres som den rationelle tænknings videnskab. Betragt

Læs mere

Teoretiske Øvelsesopgaver:

Teoretiske Øvelsesopgaver: Teoretiske Øvelsesopgaver: TØ-Opgave 1 Subtraktion division i legemer: Er subtraktion division med elementer 0 i legemer veldefinerede, eller kan et element b have mere end ét modsat element -b eller mere

Læs mere

Ufuldstændighed, mængdelære og beregnelighed

Ufuldstændighed, mængdelære og beregnelighed Ufuldstændighed, mængdelære og beregnelighed Thomas Bolander, DTU Informatik Matematik: Videnskaben om det uendelige Folkeuniversitetet i København, efteråret 2009 Thomas Bolander, FUKBH 09 s. 1/27 Sidste

Læs mere

Matematiske metoder - Opgaver

Matematiske metoder - Opgaver Matematiske metoder - Opgaver Anders Friis, Anne Ryelund 25. oktober 2014 Logik Opgave 1 Find selv på tre udtalelser (gerne sproglige). To af dem skal være udsagn, mens det tredje ikke må være et udsagn.

Læs mere

Matematisk induktion

Matematisk induktion Induktionsbeviser MT01.0.07 1 1 Induktionsbeviser Matematisk induktion Sætninger der udtaler sig om hvad der gælder for alle naturlige tal n N, kan undertiden bevises ved matematisk induktion. Idéen bag

Læs mere

INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET

INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET INSTITUT FOR DTLOGI, RHUS UNIVERSITET Science and Technology EKSEN lgoritmer og Datastrukturer (00-ordning) ntal sider i opgavesættet (incl. forsiden): 11 (elleve) Eksamensdag: Torsdag den 1. juni 01,

Læs mere

Opskriv følgende funktioner efter stigende orden med hensyn til O-notationen: (logn) 5. 5n 2 5 logn. 2 logn

Opskriv følgende funktioner efter stigende orden med hensyn til O-notationen: (logn) 5. 5n 2 5 logn. 2 logn Eksamen august 0 Algoritmer og Datastrukturer (00-ordning) Side af sider Opgave (%) n +n er O(n )? Ja Nej n er O(n )? n+n er O(n. )? n+n er O(8n)? n logn er O(n )? Opgave (%) Opskriv følgende funktioner

Læs mere

Korteste veje i vægtede grafer. Længde af sti = sum af vægte af kanter på sti.

Korteste veje i vægtede grafer. Længde af sti = sum af vægte af kanter på sti. Korteste veje Korteste veje i vægtede grafer Længde af sti = sum af vægte af kanter på sti. Korteste veje i vægtede grafer Længde af sti = sum af vægte af kanter på sti. δ(u, v) = længden af en korteste

Læs mere

Perspektiverende Datalogi Klassiske Algoritmer

Perspektiverende Datalogi Klassiske Algoritmer Perspektiverende Datalogi Klassiske Algoritmer Gerth Stølting Brodal 1 Indhold Eksempler på beregningsproblemer Algoritmer og deres analyse Korrekthed af algoritmer Ressourceforbrug for algoritmer Kompleksitet

Læs mere

Skriftlig eksamen i Datalogi

Skriftlig eksamen i Datalogi Roskilde Universitetscenter side 1 af 9 sider Skriftlig eksamen i Datalogi Modul 1 Vinter 1999/2000 Opgavesættet består af 6 opgaver, der ved bedømmelsen tillægges følgende vægte: Opgave 1 5% Opgave 2

Læs mere

Tirsdag 18. december David Pisinger

Tirsdag 18. december David Pisinger Videregående Algoritmik, DIKU 00-08 Tirsdag 8. december David Pisinger Approximations-algoritmer Motivation Definitioner Approximations-algoritme for knudeoverdækning Approximations-algoritme for TSP trekantsulighed)

Læs mere

Perspektiverende Datalogikursus

Perspektiverende Datalogikursus Perspektiverende Datalogikursus Uge 1 - Algoritmer og kompleksitet Gerth Stølting Brodal 2. september 2005 1 Afleveringsopgaver... /\.. // \\ / \ / [] \ \\_// / \ / \ []._. ---------------- _ 2 Øvelse

Læs mere

Ligninger med reelle løsninger

Ligninger med reelle løsninger Ligninger med reelle løsninger Når man løser ligninger, er der nogle standardmetoder som er vigtige at kende. Her er der en kort introduktion til forskellige teknikker efterfulgt af opgaver hvor man kan

Læs mere

Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (DM507)

Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (DM507) Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (DM507) Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet, Odense Onsdag den 0. juni 009, kl. 9 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater, osv.)

Læs mere

8 Regulære flader i R 3

8 Regulære flader i R 3 8 Regulære flader i R 3 Vi skal betragte særligt pæne delmængder S R 3 kaldet flader. I det følgende opfattes S som et topologisk rum i sportopologien, se Definition 5.9. En åben omegn U af p S er således

Læs mere

DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET

DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET Det Naturvidenskabelige Fakultet EKSAMEN Grundkurser i Datalogi Antal sider i opgavesættet (incl. forsiden): 6 (seks) Eksamensdag: Fredag den 25. juni 200, kl. 9.00-.00

Læs mere

DM507 Algoritmer og datastrukturer

DM507 Algoritmer og datastrukturer DM507 Algoritmer og datastrukturer Forår 2012 Projekt, del II Institut for matematik og datalogi Syddansk Universitet 15. marts, 2012 Dette projekt udleveres i tre dele. Hver del har sin deadline, således

Læs mere

Oversættere Skriftlig eksamen onsdag d. 24. januar 2007

Oversættere Skriftlig eksamen onsdag d. 24. januar 2007 Københavns Universitet Naturvidenskabelig Embedseksamen Oversættere Skriftlig eksamen onsdag d. 24. januar 2007 Eksamenstiden er to timer. Opgavernes vægt i procent er angivet ved hver opgave. Den skriftlige

Læs mere

INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET

INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET STTUT R T, RUS UVRSTT Science and Technology S lgoritmer og atastrukturer (00-ordning) ntal sider i opgavesættet (incl. forsiden): (elleve) ksamensdag: Tirsdag den. august 0, kl. 9.00-.00 Tilladte medbragte

Læs mere

DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET

DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET Det Naturvidenskabelige Fakultet EKSAMEN Grundkurser i Datalogi Antal sider i opgavesættet (incl. forsiden): 6 (seks) Eksamensdag: Fredag den 24. juni 2011, kl.

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Eksamen 02105, F14 side 1 af 14 Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 22. maj 2014. Kursusnavn: Algoritmer og datastrukturer 1 Kursusnummer: 02105 Hjælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. Det

Læs mere

Grundlæggende køretidsanalyse af algoritmer

Grundlæggende køretidsanalyse af algoritmer Grundlæggende køretidsanalyse af algoritmer Algoritmers effektivitet Størrelse af inddata Forskellige mål for køretid Store -notationen Klassiske effektivitetsklasser Martin Zachariasen DIKU 1 Algoritmers

Læs mere

Grådige algoritmer. Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer.

Grådige algoritmer. Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Grådige algoritmer Grådige algoritmer Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Grådige algoritmer Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for

Læs mere

Grådige algoritmer. Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer.

Grådige algoritmer. Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Grådige algoritmer Grådige algoritmer Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Grådige algoritmer Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for

Læs mere

Kvadratisk 0-1 programmering. David Pisinger

Kvadratisk 0-1 programmering. David Pisinger Kvadratisk - programmerig David Pisiger 27-8 MAX-CUT problemet Givet e ikke-orieteret graf G = (V, E) er MAX-CUT problemet defieret som MAX-CUT = {< G > : fid et sit S, T i grafe G som maksimerer atal

Læs mere

1 < 2 og 1 > 2 (2.1) er begge udsagn. Det første er sandt det andet er falsk. Derimod er

1 < 2 og 1 > 2 (2.1) er begge udsagn. Det første er sandt det andet er falsk. Derimod er Kapitel 2 Logik Dette kapitel omhandler matematiske udsagn og prædikater. I et formelt kursus om logik opstiller man helt præcise regler for hvilke tegnstrenge, der kan tillades i opbygningen af udsagn

Læs mere

Analyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X).

Analyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 3. og 6. september 2013 Gennemgå bevis for Sætning 2.10 Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Bevis. Der findes en injektion X P(X), fx givet ved x

Læs mere

Grafer og graf-gennemløb

Grafer og graf-gennemløb Grafer og graf-gennemløb Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges). Dvs. ordnede par af knuder. Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges).

Læs mere

Grafer og graf-gennemløb

Grafer og graf-gennemløb Grafer og graf-gennemløb Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges). Dvs. ordnede par af knuder. Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges).

Læs mere

Boolesk Algebra og det binære talsystem - temahæfte informatik. Oprindelse.

Boolesk Algebra og det binære talsystem - temahæfte informatik. Oprindelse. Boolesk Algebra og det binære talsystem - temahæfte informatik. I dette hæfte arbejdes der med to-tals systemet og logiske udtryk. Vi oplever at de almindelige regneregler også gælder her, og vi prøver

Læs mere

Algoritmisk geometri

Algoritmisk geometri Algoritmisk geometri 1 Intervalsøgning 2 Motivation for intervaltræer Lad der være givet en database over ansatte i en virksomhed Ansat Alder Løn Ansættelsesdato post i databasen Antag, at vi ønsker at

Læs mere

Noget om en symmetrisk random walks tilbagevenden til udgangspunktet

Noget om en symmetrisk random walks tilbagevenden til udgangspunktet Random Walk-kursus 2014 Jørgen Larsen 14. oktober 2014 Noget om en symmetrisk random walks tilbagevenden til udgangspunktet Dette notat giver et bevis for at en symmetrisk random walk på Z eller Z 2 og

Læs mere

Tirsdag 5. december David Pisinger

Tirsdag 5. december David Pisinger Videregående Algoritmik, DIKU 2006/07 Tirsdag 5. december David Pisinger NP -fuldstændighed Datalogisk indsigt Problemer som kan løses effektivt (polnomiel tid) Problemer som ikke kan løses effektivt Problemer

Læs mere

af koblede differentialligninger (se Apostol Bind II, s 229ff) 3. En n te ordens differentialligning

af koblede differentialligninger (se Apostol Bind II, s 229ff) 3. En n te ordens differentialligning EKSISTENS- OG ENTYDIGHEDSSÆTNINGEN Vi vil nu bevise eksistens- og entydighedssætningen for ordinære differentialligninger. For overskuelighedens skyld vil vi indskrænke os til at undersøge een 1. ordens

Læs mere

Om sandhed, tro og viden

Om sandhed, tro og viden Om sandhed, tro og viden Flemming Topsøe Institut for Matematiske Fag Københavns Universitet http://www.math.ku.dk/ topsoe med mange manuskripter se specielt http://www.math.ku.dk/ topsoe/sandhednatfest09.pdf

Læs mere

Grådige algoritmer. Et algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer.

Grådige algoritmer. Et algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Grådige algoritmer Grådige algoritmer Et algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Grådige algoritmer Et algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer.

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

Noter til Perspektiver i Matematikken

Noter til Perspektiver i Matematikken Noter til Perspektiver i Matematikken Henrik Stetkær 25. august 2003 1 Indledning I dette kursus (Perspektiver i Matematikken) skal vi studere de hele tal og deres egenskaber. Vi lader Z betegne mængden

Læs mere

dpersp Uge 40 - Øvelser Internetalgoritmer

dpersp Uge 40 - Øvelser Internetalgoritmer Øvelse 1 dpersp Uge 40 - Øvelser Internetalgoritmer (Øvelserne 4 og 6 er afleveringsopgaver) a) Hver gruppe får en terning af instruktoren. Udfør 100 skridt af nedenstående RandomWalk på grafen, som også

Læs mere

DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET

DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET Det Naturvidenskabelige Fakultet EKSAMEN Grundkurser i Datalogi Algoritmer og Datastrukturer (00-ordning) Antal sider i opgavesættet (incl. forsiden): 6 (seks) Eksamensdag:

Læs mere

Funktionsterminologi

Funktionsterminologi Funktionsterminologi Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette

Læs mere