Supplerende opgaver. S1.3.1 Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at
|
|
- Jørgen Kronborg
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Supplerende opgaver Analyse Jørgen Vesterstrøm Forår 2004 S.3. Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at (A B C) (A B C) (A B) C og find en nødvendig og tilstrækkelig betingelse for at der gælder lighedstegn ovenfor. S.3.2 Sæt for t R A t = {(, y) R 2 y t 2 2t( t)} Bestem mængden t R A t, og illustrer med en figur i planen. S.3.3 Sæt for ethvert positivt r R C r = {(, y) R 2 ( r) 2 + y 2 < r 2 } Bestem mængden r>0 C r, og illustrer med en figur i planen. S.3.4 Lad f n være en følge af reelle funktioner på R. Antag at f() := sup n f n () < for ethvert R. For a R sættes A n = { f n () a}. Vis at A n = { f() a} n Hvad kan siges om mængderne { f n () < a} og { f() < a} n S.3.5 Lad f : X Y være en afbildning, og lad A X. Vis at f(ã) f(x) f(a). S.4. Lad A, B og C være delmængder af X( ). Sæt C = {A, B, C}, og lad A være mængdealgbraen frembragt af C. Vis at A består af højst 256 elementer. Giv et eksempel på at dette antal kan forekomme. Hvilke andre muligheder er der for antallet af mængder i A? S.4.2 Lad f : X Y være en funktion, og B en mængdealgebra på Y. Vis at {f (B) B B} er en mængdealgebra på X. S2.. Givet A R sættes B = A = { A}. Vis at sup B = inf A, og formuler og bevis en tilsvarende formel for inf B. S2..2 Vis at Lad f : R R R være en reel funktion af to variable. sup inf y f(, y) inf y sup f(, y)
2 2 og giv et eksempel på at skarp ulighed kan forekomme. S2.4. Definerer en reel talfølge ved = og 2 n+ = 2 n for n. Find lim n n og lim n n (Vink). S2.4.2 Lad n=0 a nz n være en kompleks potensrække. Sæt r := hvor l = lim n l n a n (incl. tilfældene 0 og ). Vis at rækken er konvergent for z < r og divergent for z > r. (Tekniske vink: Hvis z < r findes ε > 0 så z (l + ε) <. 2 Hvis z > r, findes ε > 0 så z (l ε) > ). S2.4.3 Sætning i Lindstrøm udsiger ikke alt det der fremgår af beviset. Check at følgende vises: Hvis følgen (a n ) voksende og opad begrænset, eksisterer lim n a n og er lig med sup n a n. Overvej at dette også er rigtigt for voksende følger der ikke nødvendigvis er begrænsede opadtil ( + = + ). Formuler og bevis en tilsvarende sætning for aftagende følger. Indse herved at for en vilkårlig reel følge (b n ) gælder at inf b k = lim b k, sup n k n sup n k n altså at definitionerne af lim sup n b n i Mat-noterne og HLR stemmer overens. Vis til sidst det tilsvarende for lim inf n b n. S2.5. Lad a være et reelt tal, og antag at A [a, ) er en mængde som opfylder (i) a A (ii) [a, ) A A (iii) A ε > 0 : [, + ε) A Vis at A = [a, ). S2.5.2 Lad f og g være kontinuerte reelle funktioner på R. Antag at f() = g() for alle Q (de rationale tal). Vis at f = g. S3.2. Antag at A B R. Vis at m A m B. Antag yderligere at m A <. Vis at m (B Ã) m B m A S3.3. Lad A og B være delmængder af R med A [0, ) og B (, 0). Vis at m (A B) = m (A) + m (B) S3.3.2 Lad (E n ) være en følge af målelige delmængder af R med E E 2 E n. Vis at (Vink) m( n E n ) = lim n m(e n ) = sup m(e n ) n S3.3.3 Betragt for hvert reelt tal a mængden { R n N : n < < n + a n } Vis at mængden er målelig (endda åben) og beregn dens mål.
3 S3.3.4 Antag at E R opfylder (ii) i Prop 3.5, altså at ε > 0 O åben : O E og m (O E) < ε. Udnyt dette for hvert ε = n til at finde O n, og sæt G = O n. Vis herved (iv) i samme prop. Vis til sidst at (iv) medfører (i): E er målelig, ved at omskrive E passende vha. G. S3.3.4 Antag at E R opfylder (ii) i Prop 3.5, altså at ε > 0 O åben : O E og m (O E) < ε. Udnyt dette for hvert ε = n til at finde O n, og sæt G = O n. Vis herved (iv) i samme prop. Vis til sidst at (iv) medfører (i): E er målelig, ved at omskrive E passende vha. G. S3.3.5 Antag at (E n ) er en følge af målelige mængder der alle er indeholdt i [0, ]. Antag at lim sup m(e n ) > 0. Opgaven går (bl.a.) ud på at vise der findes så E n for uendelig mange E n. Sæt først E = { E n for uendelig mange n}. (a) Vis at E = n= k n E k, specielt at E er målelig. (b) Vis dernæst m( k n E k) sup k n m(e k ). (c) Slut heraf at m(e) lim sup n m(e n ). (d) Vis det ønskede. (e) Hvor bruges at mængderne er indeholdt i samme begrænsede mængde (her [0, ]). S3.3.6 (Cantormængden). Fjern fra [0, ] den midterste åbne tredjedel (, 2). Restmængden C 3 3 = [0, ] [ 2, ] er en disjunkt forening 3 3 af to lukkede intervaller. Fjern igen den midterste tredjedel fra hvert af disse intervaller. Hver fremkommer C 2 som disjunkt forening af fire lukkede intervaller. Mængden C 3 konstrueres tilsvarende. Beskriv og tegn C 3, herunder beregn m(c 3 ). Således fortsættes. Undersøg C n. Fællesmængden C = C n (altså alle de punkter der ikke bliver fjernet) kaldes for Cantormængden. Vis at m(c) = 0 Det følgende går ud på at vise at C alligevel er stor : Den er utællelig. Først beskrives C i tretalssystemet. Ethvert [0, ] har en trialbrøksfremstilling = 0 (3), a a 2 a 3..., hvormed menes = a n n= 3 n hvor a n er et af cifrene 0, eller 2. Det at at visse tal har flere trialbrøksfremstillinger, f = 0 3 3, 000 = 0 3, , er grunden til de forsigtige formuleringer i det følgende. Overvej at C netop når har en trialbrøksfremstilling med a = 0 eller 2. Hvordan kan C 2 beskrives? Og C n? Indse herved at C netop når har en trialbrøksfremstilling med lutter 0 og 2 (altså ingen -taller). Til sidst defineres F : C [0, ] ved F () = a n/2 n= for = 2 n a n n= 3 n. Vis at F er surjektiv og dermed at C ikke er tællelig. Bemærkning. C er vistnok den først kendte fraktal. Den kan skrives som en disjunkt forening C = E E 2, hvor de to E er fremgår af C ved en multiplikation (ligedannethedstransformation) af C med faktor 3. Hvis det på nogen måde er muligt at tillægge mængden en dimension d, må den opfylde ( 3 )d + ( 3 )d =, hvoraf d = log 2 log
4 4 S3.3.7 Antag at E er en begrænset delmængde af R, f E [a, b] =: I. Antag at m (E) + m (I Ẽ) = m (I) Opgaven går ud på at vise at det sikrer måleligheden af E. Da størrelsen m (I) m (I Ẽ) kan fortolkes som det indre mål af E, ser vi at målelighed i dette tilfælde hænger på at indre mål = ydre mål. () Gør rede for at der findes målelige mængder G og G 2 så G E, G 2 I Ẽ og m (G ) + m (G 2 ) = m (I) (2) Vis at m(g G 2 ) = 0 (3) Vis at G E er en nulmængde (4) Vis at E er målelig. S3.5. Vis følgende n.o.-regler (a) f = f n.o. og g = g n.o f + g = f + g n.o. (b) f n 0 n.o. n f n 0 n.o. (mere præcist: Rækken er konvergent n.o. og... ) Find andre sådanne regler, og bevis dem. S3.5.2 Lad f : R R være kontinuert. Vis at f er målelig. S3.5.3 Lad f : D R være målelig. Vis at funktionen sin f() er målelig. S3.5.4 Lad f være en reel funktion på den målelige mængde E R. Vis at f er målelig hvis og kun hvis f (O) er målelig for alle åbne mængder O R S3.6. Betragt grænseovergangen f n () = n 0 på [0,). Lad ε > 0 og δ > 0 (og begge mindre end ). Prop sikrer så eksistensen af N N og A [0, ) så () m(a) < δ og (2) f n () < ε for n N og / A. Angiv N og A eksplicit (som funktioner af ε og δ). S4.2. Øverst s. 79 bruges at ϕ 0 hvis blot ϕ 0 n.o. på E E ( stadig med ϕ simpel og m(e) < ). Vis dette vha. den kanoniske fremstilling. S4.2.2 Lad f 0 være målelig og begrænset på E hvor m(e) <. Vis Markovs ulighed: E m({ f() δ}) f ( δ > 0) δ S4.2.3 Lad f være som ovenfor. Antag f = 0. Vis at f = 0 n.o. E (vink: sæt δ = ). n S4.2.4 Lad f være kontinuert på [0, ]. Beregn lim n 0 f(n )d (og vis eksistensen) vha. prop 4.6.
5 S4.2.5 Sæt f n () = n for 0 < < n og 0 ellers. Vis at f n() 0 for alle, men at f n()d l 0. Strider det mod prop 4.6? π S4.2.6 Find lim n (cos 0 )2n d S4.2.7 Lad f være begrænset og målelig på E hvor m(e) <. Antag at E E 2 er en voksende følge af målelige mængder med n E n = E. Vis at lim E n f = f E S4.3. Find integralet over [, ) af funktionen f() = 2 ved at bruge sætningen om monoton konvergens på en passende følge (f n ) af begrænsede målelige funktioner med m({ f n () 0}) < S4.3.2 Her skal vises et par ubeviste delpåstande i to beviser i HLR. (i) Vis (i beviset for prop. 8 s. 86) at k() g(). (ii) Vis (i beviset for Fatou s Lemma s. 87) at h n sup h, og at h n = 0 uden for E. S4.4. (i) Lad f være en positiv målelig funktion på E. Antag f <. Vis at f < n.o. E (ii) (Beppo Levis sætning) Lad (u n ) være en følge af positive målelige funktioner på E. Antag at u E n <. Vis at rækken u n () er konvergent (med endelig sum) for n.a.. (iii) Lad (A n ) være en følge af målelige delmængder af R. Antag at m(a n ) <. Vis at for n.a gælder at tilhører højst endelig mange A n. S4.4.2 Find lim n 2π 0 (cos 4)n d S4.4.3 Find integralet over (0, ) af funktionen f() = ved at skære ned til (, ) (dvs. se på f n n() = f()χ [/n,] ()) og bruge en passende konvergenssætning. Slut at funktionen sin er integrabel på (0, ). S4.4.4 (Beppo Levis sætning med vilkårligt fortegn, cf. S4.4.) (i) Lad (u n ) være en følge af målelige funktioner på E. Antag at E u n <. Vis at rækken u n () er konvergent for n.a.. (ii) Lad f() := u n () være den n.o. definerede funktion på E. Vis at f er integrabel på E (uanset hvad f sættes til på undtagelsesmængden), og at E f = E u n. S5.2. Lad F : [a, b] R være en monotont voksende funktion med F ([a, b]) = [F (a), F (b)] (dvs. værdimængden er et interval). Vis at F er kontinuert (analyser eventuelle springs effekt på værdimængden vha. HLR opg. 7a). S5.2.2 Cantorfunktionen (fra opg. S3.3.6) kan udvides til hele [0, ] så den bliver monoton. Først en uformel beskrivelse: Sæt F = 2 på den først fjernede midterste åbne tredjedel. Herefter F = 4 hhv. 3 4 på de to åbne midterste der fjernes i anden omgang. Fortsæt således. Ovenstående kan beskrives med trialbrøker. Hvis [0, ] C, har 5
6 6 en fremstilling = a n n= 3 n hvor ikke alle a n er 0 eller 2. Lad N være det mindste k med a k = og indse at Vis at F er kontinuert. F () = N n= a n /2 + a N 2 n 2 N S5.3. Lad f være integrabel på [a, b], og antag at det ubestemte integral F () = f(t)dt er overalt differentiabel med begrænset differentialkvotient. Udnyt Sætningen i Notat 5 og en passende sætning a fra HLR Kap 5. til at vise F = f n.o. S5.4. Lad F være en funktion af begrænset variation på [a, b]. Vis at hvis F er kontinuert, er T (= T a ) det også (Vink). S5.5. Lad ϕ være konveks på et interval (c, d), og lad f være en integrabel funktion på [a, b] hvis værdier ligger i (c, d). Vis følgende udgave af Jensens ulighed: b a b a ϕ(f(t))dt ϕ( b a b a f(t)dt) S Lad ϕ være konveks på (0, ). Vis at funktionen ϕ( ) er konveks. (Det er ret tricket uden antagelse om differentiabilitet). Undersøg om ϕ( ) er konveks. S5.5.3 (a) Lad f være en konveks funktion. Vis at f( ) f( )+f( 2 )+f( 3 ) 3 (b) Lad A, B og C være vinklerne i en plan trekant. Vis at sin A + sin B + sin C (c) (for dem der har sinusrelationerne present) Vis at a+b+c 3 3R, hvor a, b og c er siderne i trekanten og R radius i den omskrevne cirkel. S6.. Lad f() = for 0 < For hvilke p gælder f L p? S6..2 Find en funktion f på (0, ) såf / L 3, men f L p for p < 3. S6..3 Vis at L r (0, ) L p (0, ) for r p. S6..4 Lad f() = ln for 0 <. Vis at f / L, og at f L p for alle p med p <. S6.2. Antag at f n f og g n g, begge i p-middel. Vis at f n + g n f + g, også i p-middel. Vis også at f n p f p. S6.2.2 Antag at f n f i p-middel, og at g n g i q-middel, hvor p og q opfylder p + q =. Vis at f n g n fg i -middel. S6.3. Antag om følgen (f n ) i L p at f n f n.o, og at der findes h L p så f n h for alle n. Vis at f n f i p-middel.
7 S6.3.2 Lad f n være en følge i L (0, ) givet ved f n () = n for 0 n. Undersøg om følgen er konvergent i -middel, og om den er konvergent n.o. S6.3.3 (a) Lad y og y 2 være reelle tal. Vis at y + y + 2 y y 2. (b) Lad (f n ) være en følge i L p med lim n f n = f i p-middel. Vis at f + n er i L p, og at lim n f + n = f + i p-middel. S.2. Denne opgave går ud på at vise at for målelige (overalt endelige) funktioner f og g på (X, B, µ) og h kontinuert på R 2 er den sammensatte funktion h(f(), g()) også målelig på X (a) Lad O R 2 være en åben mængde. Vis at O er en højst tællelig forening af åbne rektangler: O = I n J n hvor I n og J n er åbne intervaller (b) Lad I og J være åbne intervaller. Vis at { (f(), g() I J} er målelig. (c) Gør rede for at { h(f(), g()) > α} = { (f(), g() h (α, )}, og slut vha. (a) og (b) det ønskede resultat. S.2.2 Lad (X, B, µ) være et målrum, og lad f og g være målelige funktioner som opfylder at de er nul uden for en mængde med endeligt mål. Vis at mængden er målelig med endeligt mål. { X f() + g() 0} S.3. Betragt målrummet (N, P(N), ν) hvor ν er tællemålet på (N, P(N)), altså ν(a) = antal elementer i A = n A for alle A N. (a) Vis at en reel funktion på N er integrabel hvis og kun hvis n f(n) <, og at fdν = n f(n) i bekræftende fald. (b) Lad a mn være en dobbeltfølge af reelle tal. Antag om den at () a mn b n med n b n < (2) lim m a mn = a n findes for alle n Vis (Vink) at lim m n a mn = n a n S.3.2 (a) Lad a mn være en dobbeltfølge af reelle tal med a mn 0 for alle m og n. Antag at lim m a mn = a n findes for alle n. Vis at n a n lim m n a mn (b) Lad b n være en følge af reelle tal med b n 0. Vis at n b n = lim m n b n( m )n S.7. Vis at L (0, ) L 2 (0, ) og L 2 (0, ) L (0, ). S2.. Lad X være en mængde, og definerer µ ved µ (A) = for = A X og µ ( ) = 0. Vis at µ er et ydre mål. Find alle de µ -målelige delmængder. S2..2 Lad for hvert n N µ n være et ydre mål på X. Vis at der ved µ (A) = n µ n(a) defineres et ydre mål på X. Vis at hvis E er µ n-målelig for alle n, er E også µ -målelig. 7
8 8 S2..3 Betragt betingelserne der optræder for ydre mål. Udgave nr. 2 af betingelse iii (på s. 289) kaldes herefter iv. Vis at betingelse i og iii sammen medfører ii. Vis (som hævdet) at i, ii og iv medfører iii. S2.4. (det todimensionale Lebesgue mål). Det todimensionale Lebesguemål m 2 (på R 2 ) defineres ved m 2 = m m (a) Vis at åbne mængder i R 2 er målelige (brug opg. S.2.(a)). (b) Vis at enhver kontinuert funktion er målelig. (c) Gør rede for at hvis E R er målelig, er E R R 2 det også. (d) Lad f være målelig på R. Vis at funktionen (, y) f() på R 2 er målelig. (e) Lad f og g være målelige funktioner på R. Vis at funktionen f()g(y) på R 2 er målelig. S2.4.2 Lad f være defineret på [0, ] [0, ] ved { ( + y) α hvis + y > 0 f(, y) = 0 hvis + y = 0 hvor α R. Undersøg for hvilke værdier af α funktionen f er integrabel, og udregn integralet for disse α. S2.4.3 Lad f være defineret på R 2 ved f(, y) = e y 2e 2y. Vis at de to itererede integraler 0 f(, y)ddy og 0 f(, y)dyd eksisterer, men er forskellige (Vink). Strider det mod Fubinis sætning? S2.4.4 Lad f være defineret på [0, ] [0, ] ved { y α hvis y f(, y) = 0 hvis = y hvor α R. Undersøg for hvilke værdier af α funktionen f er integrabel, og udregn integralet for disse α. S2.4.5 Vis at HLR Prop. 2.8 (Fubini for mængder) gælder hvis ) antagelsen om λ(e) < stryges, men 2) X og Y antages at være σ-endelige. FN. Vis at l p l s for p s (l er mængden af begrænsede følger = ( n ) med normen = sup n n ). Vis også p s FN.2 Antag at l p for et p <. Vis at lim s,s p s = FN.3 Lad der for hvert r N være givet r l p (hvert r har formen r = ( r n) n=). Antag at lim r = 0 i l p. Vis at lim r r n = 0 for hvert n. Gælder det omvendte? FN.4 Vis at mængden af punkter = ( n ) i (det reelle) l p med mindst én positiv koordinat er en åben mængde.
9 Er mængden åben i l p? { = (, 2,..., n,... ) n > 0 for alle n} FN.5 Lad (V, ) være et normeret rum. Vis at enhedskuglen { V } er en lukket konveks mængde. Vis at hvis to normer på V har samme enhedskugle, da stemmer de to normer overens. FN.6 Lad f være en kontinuert funktion på [0, ], og antag 0 f()n d = 0 for alle n = 0,, 2, 3,... Vis at f = 0 (Vink). FN.7 Lad C ([a, b]) være vektorrummet af komplekse, kontinuert differentiable funktioner på [a, b]. Vis at der ved f = ma t er defineret en norm på C ([a, b]). Vis at rummet er et Banachrum. f(t) + ma f (t) t FN.8 Betragt mængden P af (restriktioner af) polynomier på [0, ]. Vis at P er tæt i L (0, ) ved at udnytte at mængden af kontinuerte funktioner er tæt i L (0, ) (jf. HLR Prop. 5.8 anden påstand som vi ikke har vist). FN3.. Lad f L 2 (0, ), og sæt g(t) = tf(t). Vis at g 2 f 2. Vis herved at operatoren T : L 2 (0, ) L 2 (0, ) givet ved (T f)(t) = tf(t) opfylder T. Vis at for ε > 0 findes f L 2 (0, ) med f 2 så g 2 ε. Slut heraf T =. S0.2. Lad S : X Y og T : Y Z være lineære operatorer på normerede rum. Vis at T S er lineær og T S T S. Vink S2.4. Undersøg polynomiet ( ( 2 ) 2 på intervallet [0, ], og vis herved at og S3.3.2 E n = (E n E n ) (E 2 E ) er en disjunkt forening. S5.4. For at vise at Ta er højrekontinuert i c vælges til ε > 0 dels ) et δ > 0 så F () F (c) ε for c < δ og 2) dels en inddeling af [c, b] med t Tc b ε. Ved at videreinddele kan vi antage at første delepunkt z opfylder z c < δ Herefter fås at Ta z Ta c = Tc b Tz b t + ε Tz b F (z) F (c) + Tz b + ε Tz b F (z) F (c) + ε 2ε S.3. Betragt funktionsfølgen (f m ) m= givet ved f m (n) = a mn S2.4.3 Forsøg ikke at udregne integralerne, men kun deres fortegn. FN.6 Slut i rækkefølge: f()g()d = 0 for ) g et polynomium, 2) g kontinuert og 3) et specielt valg af g 0. 9
MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel
Juni 2000 MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Opgave 1. (a) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen y 8y + 16y = 0. (b) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen
Læs mereEksamensnoter til Analyse 1
ksamensnoter til Analyse 1 Martin Geisler gimpster@daimi.au.dk Sommer 23 Indledning Disse noter gennemgår de 26 spørgsmål stillet til den mundtlige eksamen i Analyse 1 ved Aarhus Universitet sommeren 23.
Læs mereMat H /05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb
Mat H 1 2004/05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb Nødvendige og tilstrækkelige betingelser for ekstremum, konkave og konvekse funktioner. Fremstillingen i Kapitel 13.1 2 af Sydsæters bog [MA1] suppleres her med
Læs mereGamle eksamensopgaver (MASO)
EO 1 Gamle eksamensopgaver (MASO) Opgave 1. (Vinteren 1990 91, opgave 1) a) Vis, at rækken er divergent. b) Vis, at rækken er konvergent. Opgave 2. (Vinteren 1990 91, opgave 2) Gør rede for at ligningssystemet
Læs merePotensrækker. Morten Grud Rasmussen 1 10. november 2015. Definition 1 (Potensrække). En potensrække er en uendelig række på formen
Potensrækker Morten Grud Rasmussen 1 10 november 2015 Definition og konvergens af potensrækker Definition 1 Potensrække) En potensrække er en uendelig række på formen a n pz aq n, 1) hvor afsnittene er
Læs mereAnalyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X).
Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 3. og 6. september 2013 Gennemgå bevis for Sætning 2.10 Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Bevis. Der findes en injektion X P(X), fx givet ved x
Læs mereMASO Uge 1. Relle tal Følger. Jesper Michael Møller. 10. september Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 1 Relle tal Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen 10. september 2018 Oversigt Relle tal Notation Tal Største og mindste element, mindste overtal og største undertal
Læs mereBesvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 03
IMFUFA Carsten Lunde Petersen Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 0 Hvor ikke andet er angivet er henvisninger til W.R.Wade An Introduction to analysis. Opgave a) Idet udtrykket e x2 cos
Læs mere= λ([ x, y)) + λ((y, x]) = ( y ( x)) + (x y) = 2(x y).
Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 17. og 20. september 2013 Supplerende opgave 1 Lad λ være Lebesgue-målet på R og lad A B(R). Definér en funktion f : [0, ) R ved f(x) = λ(a [ x, x]). Vis, at f(x)
Læs mereMATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 3. fjerdedel
MATEMATIK Eksamensopgaver Juni 995 Juni 200, 3. fjerdedel August 998 Opgave. Lad f : R \ {0} R betegne funktionen givet ved f(x) = ex x for x 0. (a) Find eventuelle lokale maksimums- og minimumspunkter
Læs mereAnalyse 1, Prøve 4 Besvarelse
Københavns Universitet Prøve ved Det naturvidenskabelige Fakultet juni 2011 1 Analyse 1, Prøve 4 Besvarelse Lad Opgave 1 (50%) M = {T R 2 T er en åben trekant} og lad A : M R være arealfunktionen, dvs.
Læs mereAnalyse 2. Bevis af Fatous lemma (Theorem 9.11) Supplerende opgave 1. Øvelser
Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 24. og 27. september 203 Bevis af Fatous lemma (Theorem 9.) Hvis (u j ) j er en følge af positive, målelige, numeriske funktioner (dvs. med værdier i [, ]) over
Læs mereMASO Uge 1. Relle tal Følger. Jesper Michael Møller. 7. september Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 1 Relle tal Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen 7. september 2016 Formålet med MASO Integer sequences Oversigt Relle tal Notation Tal Overtal og undertal Største
Læs mereKonvergens i L 1 -forstand. Definition af L 1 -seminorm. Topologi i pseudometrisk rum. Seminorm til norm
Definition af L 1 -seminorm Konvergens i L 1 -forstand Lad (X, E, µ) være et målrum. Husk at L(µ) er et reelt vektorrum. Vi definerer f 1 = f dµ for f L Definition En følge af funktioner f 1, f 2, L siges
Læs mere1.1. n u i v i, (u, v) = i=1
1.1 1. Hilbert rum 1.1. Hilbert rum og deres geometri. Definition 1.1. Et komplekst vektor rum V kaldes et indre produkt rum (eller præ-hilbert rum), når det er forsynet med en funktion (, ): V V C, som
Læs mereKalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger
Kalkulus - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Mads Friis 8. januar 05 Indhold Grundlæggende uligheder Grænseovergange 3 3 Kontinuitet 9 4 Følger 0 5 Perspektivering 4 Grundlæggende uligheder Sætning
Læs mereAfgør for hver af følgende rækker om den er divergent, betinget konvergent eller absolut konvergent. 2 n. n=1 2n (n + 1)2 1 = 2(n + n+1
Analyse Reeksamen 00 Rasmus Sylvester Bryder 5. august 0 Opgave Afgør for hver af følgende rækker om den er divergent, betinget konvergent eller absolut konvergent. ( ) n n +3n+7 n= n + For alle n N vil
Læs mereTaylorudvikling I. 1 Taylorpolynomier. Preben Alsholm 3. november Definition af Taylorpolynomium
Taylorudvikling I Preben Alsholm 3. november 008 Taylorpolynomier. Definition af Taylorpolynomium Definition af Taylorpolynomium Givet en funktion f : I R! R og et udviklingspunkt x 0 I. Find et polynomium
Læs mereHilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum
Chapter 3 Hilbert rum 3.1 Indre produkt rum I det følgende skal vi gøre brug af komplekse såvel som reelle vektorrum. Idet L betegner enten R eller C minder vi om, at et vektorrum over L er en mængde E
Læs mereEksamen 2014/2015 Mål- og integralteori
Eksamen 4/5 Mål- og integralteori Københavns Universitet Institut for Matematiske Fag Formalia Eksamensopgaven består af 4 opgaver med ialt spørgsmål Ved bedømmelsen indgår de spørgsmål med samme vægt
Læs mereGult Foredrag Om Net
Gult Foredrag Om Net University of Aarhus Århus 8 th March, 2010 Introduktion I: Fra Metriske til Topologiske Rum Et metrisk rum er en mængde udstyret med en afstandsfunktion. Afstandsfunktionen bruges
Læs mereTaylors formel. Kapitel Klassiske sætninger i en dimension
Kapitel 3 Taylors formel 3.1 Klassiske sætninger i en dimension Sætning 3.1 (Rolles sætning) Lad f : [a, b] R være kontinuert, og antag at f er differentiabel i det åbne interval (a, b). Hvis f (a) = f
Læs mereNoter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.
Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra
Læs mere2. Fourierrækker i en variabel
.1. Fourierrækker i en variabel I Kapitel II 7 blev der indført, dels funktionsrummene L p (X, µ) (mere udførligt skrevet L p (X, E, µ)), dels rummene L p (X, µ), der fås af L p (X, µ) ved at funktioner
Læs mereaf koblede differentialligninger (se Apostol Bind II, s 229ff) 3. En n te ordens differentialligning
EKSISTENS- OG ENTYDIGHEDSSÆTNINGEN Vi vil nu bevise eksistens- og entydighedssætningen for ordinære differentialligninger. For overskuelighedens skyld vil vi indskrænke os til at undersøge een 1. ordens
Læs mereDifferentialkvotient af cosinus og sinus
Differentialkvotient af cosinus og sinus Overgangsformler cos( + p ) = cos sin( + p ) = sin cos( -) = cos sin( -) = -sin cos( p - ) = - cos sin( p - ) = sin cos( p + ) = -cos sin( p + ) = -sin (bevises
Læs mereBesvarelse, Eksamen Analyse 1, 2013
Københavns Universitet Prøve ved Det naturvidenskabelige Fakultet juni 23 Besvarelse, Eksamen Analyse, 23 Opgave Lad, for n N, funktionen f n : [, ) R være givet ved NB. Trykfejl. Burde være x. f n (x)
Læs mereIndhold. Litteratur 11
Indhold Forord ii 00-sættet 1 Opgave 1....................................... 1 Spørgsmål (a).................................. 1 Spørgsmål (b).................................. 1 Spørgsmål (c)..................................
Læs mereEn differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby
24 En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby Det er velkendt for de fleste, at differentiabilitet af en reel funktion f medfører kontinuitet af f, mens det modsatte ikke gælder
Læs mereProjekt 1.4 De reelle tal og 2. hovedsætning om kontinuitet
Projekt 1.4 De reelle tal og 2. hovedsætning om kontinuitet Mens den 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner kom forholdsvis smertefrit ud af intervalrusebetragtninger, så er 2. hovedsætning betydeligt
Læs mereDesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof
DesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof Preben Alsholm Efterår 008 01 Lineært ligningssystem Lineært ligningssystem Et lineært ligningssystem: a 11 x 1 + a 1 x + + a 1n x n = b 1 a 1 x 1 + a x + +
Læs mereGEOMETRI-TØ, UGE 8. X = U xi = {x i } = {x 1,..., x n }, U α, U α = α. (X \ U α )
GEOMETRI-TØ, UGE 8 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imf.au.dk. Opvarmningsopgave 1. Lad X være en mængde og T familien af alle delmængder
Læs mereANALYSE 1. Uge 7, 4. juni juni, 2007
ANALYSE 1 Uge 7, 4. juni - 10. juni, 2007 Forelæsninger Mandag 4. juni Formålet med denne dags forelæsninger er at etablere en overgang til emnet metriske rum, hvis hovedformål er at udvide begreber som
Læs mereGEOMETRI-TØ, UGE 6. . x 1 x 1. = x 1 x 2. x 2. k f
GEOMETRI-TØ, UGE 6 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imfaudk Opvarmningsopgave 1 Lad f : R 2 R være tre gange kontinuert differentierbar
Læs mereTonelli light. Eksistensbeviset for µ ν gav målet. for G E K ved succesiv integration. Alternativ definition:
Tonelli light Eksistensbeviset for µ ν gav målet ( ) λ(g) = G (x, y)dν(y) dµ(x) for G E K ved succesiv integration. Alternativ definition: ( ) λ(g) = G (x, y)dµ(x) dν(y). Som λ(a B) = µ(a)ν(b) gælder λ(a
Læs mereFoldningsintegraler og Doobs martingale ulighed
Foldningsintegraler og Doobs martingale ulighed N.J. Nielsen Indledning I dette notat vil vi vise en sætning om foldningsintegraler, som blev benyttet trin 2 i onstrutionen af Itointegralet, gennemgå esempel
Læs mere[BM] Mål- og integralteori, af Christian Berg og Tage Gutmann Madsen, Københavns Universitet, 2001.
INTEGRATIONS- OG FOURIERTEORI 2. februar 2009 Oversigt nr. 1 Lærebogen for kurset er [BM] Mål- og integralteori, af Christian Berg og Tage Gutmann Madsen, Københavns Universitet, 2001. Den skulle være
Læs mere8 Regulære flader i R 3
8 Regulære flader i R 3 Vi skal betragte særligt pæne delmængder S R 3 kaldet flader. I det følgende opfattes S som et topologisk rum i sportopologien, se Definition 5.9. En åben omegn U af p S er således
Læs meren=1 er veldefineret for alle følger for hvilke højresiden er endelig. F.eks. tilhører følgen
2 Hilbert rum 2. Eksempler på Hilbert rum Vi skal nu først forsøge at begrunde, at de indre produkt rum af funktioner eller følger, som blev indført i Kapitel, ikke er omfattende nok til vores formål.
Læs mereMasterprojekt udarbejdet af Søren Naundrup Vejleder Steen Andersson
ELEMENTÆR MÅLTEORI SØREN NAUNDRUP Masterprojekt udarbejdet af Vejleder Steen Andersson Dato 19. december 2014. Indholdsfortegnelse 1. Indledning 3 2. σ-algebraer og deres egenskaber 3 2.1. Om σ-algebraer.
Læs mereMM502+4 forelæsningsslides
MM502+4 forelæsningsslides uge 11+12 1, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm, delvis på baggrund af lignende materiale udarbejdet af Mikael Rørdam 1 I nærværende forbindelse er 11 + 12 23 1 Egenskaber for
Læs mereDen homogene ligning. Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning. d n y dt n. an 1 + any = 0 (1.2) dt. + a1 d n 1 y dt n 1
1/7 Den homogene ligning Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning a 0 d n y dt n + a1 d n 1 y dt n 1 hvor a 0,..., a n R og a 0 0. Vi skriver ligningen på kort form som + + dy
Læs mere[BM] Mål- og integralteori, af Christian Berg og Tage Gutmann Madsen, Københavns Universitet, 2001.
INTEGRATIONS- OG FOURIERTEORI 31. januar 2012 Oversigt nr. 1 Lærebogen for kurset er [BM] Mål- og integralteori, af Christian Berg og Tage Gutmann Madsen, Københavns Universitet, 2001. Den skulle være
Læs mereDifferential- regning
Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7
Læs mereAffine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2
Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket
Læs mereNATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET. MI 2007 Obligatorisk opgave 4
NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET. MI 2007 Obligatorisk opgave 4 Sættet består af 3 opgaver med ialt 15 delopgaver. Besvarelsen vil blive forkastet, medmindre der er gjort et
Læs merematx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring
mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten
Læs meret a l e n t c a m p d k Kalkulus 1 Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund Signe Baggesen 10. januar 2015 Slide 1/54
Slide 1/54 Indhold 1 2 3 4 5 Slide 2/54 Indhold 1 2 3 4 5 Slide 3/54 1) Hvad er et aksiom? Slide 4/54 1) Hvad er et aksiom? 2) Hvorfor har vi brug for aksiomer? The Monty Hall Problem Slide 4/54 1) Hvad
Læs mereIntroduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak
Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk
Læs mereIntegration m.h.t. mål med tæthed
Integration m.h.t. mål med tæthed Sætning (EH 11.7) Lad ν = f µ på (X, E). For alle g M + (X, E) gælder at gdν = g f dµ. Bevis: Standardbeviset: 1) indikatorfunktioner 2) simple funktioner 3) M + -funktioner.
Læs mereFundamentale begreber fra Analysen. Introduktion. De reelle tal. Carsten Lunde Petersen
IMFUFA Carsten Lunde Petersen Fundamentale begreber fra Analysen Introduktion Disse noter udgør et meget ltreret udkik over de grundlæggende begreber i reel analyse. Noten indeholder meget lidt om det
Læs mereFunktion af flere variable
Funktion af flere variable Preben Alsholm 6. oktober 2008 1 Funktion af flere variable 1.1 Punktmængder i R k : Definitioner Punktmængder i flerdimensionale rum: Definitioner q Normen af x 2 R k er kxk
Læs mereAnalyse 1. Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund. 25. maj 2018
Analyse 1 Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund 25. maj 2018 Indhold Introduktion Aksiomer og den matematiske metode Formalistisk struktur Mængder Introduktion Definitioner Delmængder Fællesmængde og foreningsmængde
Læs merePolynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6
Indhold 1 Polynomier 2 Polynomier 2 Polynomiumsdivision 4 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 4 Koefficienter 8 5 Polynomier med heltallige koefficienter 9 6 Mere om polynomier med heltallige koefficienter
Læs mere5.3 Konvergens i sandsynlighed Konvergens i sandsynlighed 55. Hvis vi regner den karakteristiske funktion for X, v ud i argumentet 1, fås
5.3. Konvergens i sandsynlighed 55 BEVIS: Lad φ 1, φ 2,... og φ være de karakteristiske funktioner for X 1, X 2,... og X. Hvis vi regner den karakteristiske funktion for X, v ud i argumentet 1, fås φ X,v
Læs mereProgram. Statistik og Sandsynlighedsregning. Eksempler. Sandsynlighedstæthed og sandsynlighedsmål
Program Statistik og Sandsynlighedsregning Sandsynlighedstætheder og kontinuerte fordelinger på R Varians og middelværdi Normalfordelingen Susanne Ditlevsen Uge 48, tirsdag Tætheder og fordelingsfunktioner
Læs mereFunktionsrum. Kapitel 1. 1.1 Funktionsrummet L = L(X, E, µ)
Kapitel Funktionsrum. Funktionsrummet L = L(X, E, µ) For et vilkårligt målrum (X,E,µ) er mængdenl=l(x,e,µ) afµ-integrable funktioner f :X R et reelt vektorrum ifølge Theorem 7.3 i [EH]. Hvis vi indfører
Læs mereNoter til Perspektiver i Matematikken
Noter til Perspektiver i Matematikken Henrik Stetkær 25. august 2003 1 Indledning I dette kursus (Perspektiver i Matematikken) skal vi studere de hele tal og deres egenskaber. Vi lader Z betegne mængden
Læs mereSandsynlighedsteori 1.1 Uge 44.
Institut for Matematiske Fag Aarhus Universitet Den 18. oktober 2004. Sandsynlighedsteori 1.1 Uge 44. Forelæsninger: Vi afslutter foreløbigt den rene mål- og integralteori med at gennemgå afsnittet Produktmål,
Læs mereKalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015
Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1
Læs mereWigner s semi-cirkel lov
Wigner s semi-cirkel lov 12. december 2009 Eulers Venner Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Diagonalisering af selvadjungeret matrix Lad H være en n n matrix med komplekse
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 8 Morten Grud Rasmussen 18. oktober 216 1 Fourierrækker 1.1 Periodiske funktioner Definition 1.1 (Periodiske funktioner). En periodisk funktion f er
Læs mereExponentielle familer, ark 2
1 Exponentielle familer, ark 2 Eksponentielle familier OPGAVE 21 Beksriv den eksponentielle familie på (R, B) givet ved følgende data: V er R med det sædvanlige indre produkt, den kanoniske stikprøvefunktion
Læs mereKarakteristiske funktioner og Den Centrale Grænseværdisætning
E6 efterår 1999 Notat 10 Jørgen Larsen 20. oktober 1999 Karakteristiske funktioner og Den Centrale Grænseværdisætning Karakteristiske funktioner som er nære slægtninge til Fourier-transformationen) er
Læs mereMASO-Eksempler. x n. + 1 = 1 y n
3. oktober EXPL 1 Eksempel 1. Et par talfølger: (1 ( (3 (4 (5 (6 (7 (8 MASO-Eksempler,,,,,,..., n =, 1, 1, 1, 1, 1, 1,..., n = 1 1,, 1,, 1,, 1,..., n = (1 + ( 1 n /,, 1,,,, 3,..., n = n(1 + ( 1 n /4, 1,
Læs merez j 2. Cauchy s formel er værd at tænke lidt nærmere over. Se på specialtilfældet 1 dz = 2πi z
Matematik F2 - sæt 3 af 7 blok 4 f(z)dz = 0 Hovedemnet i denne uge er Cauchys sætning (den der står i denne sides hoved) og Cauchys formel. Desuden introduceres nulpunkter og singulariteter: simple poler,
Læs mere3. Operatorer i Hilbert rum
3.1 3. Operatorer i Hilbert rum 3.1. Riesz repræsentationssætning og den adjungerede operator. Vi vil nu se mere systematisk på lineære afbildninger mellem Hilbert rum. Der er en tradition for at afbildninger
Læs mere83 - Karakterisation af intervaller
83 - Karakterisation af intervaller I denne opgave skal du bevise, at hvis A er en delmængde af R med følgende egenskab: x, y, z R : x, y A og x < z < y z A (1) så er A enten et interval eller en mængde
Læs mereHilbert rum. Chapter Indre produkt rum
Chapter 4 Hilbert rum 4.1 Indre produkt rum I det følgende skal vi gøre brug af komplekse såvel som reelle vektorrum. Idet L betegner enten R eller C minder vi om, at et vektorrum over L er en mængde E
Læs mereMere om differentiabilitet
Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget
Læs mereAppendix 1. Nogle egenskaber ved reelle tal.
- 0 - Appendi. Nogle egenskaber ved reelle tal. Som bekendt består de reelle tal R (dvs. alle tal på tallinien) af de rationale tal Q og de irrationale tal I, dvs. R = Q I. De rationale tal Q er mængden
Læs mereKompleks Funktionsteori
Kompleks Funktionsteori Formelræs Holomorfe funktioner Sætning. (Caucy-Riemans ligninger). Funktionen f : G C, f = u+iv er holomorf i z 0 = x 0 + iy 0 hvis og kun hvis i punktet (x 0, y 0 ). du dx = dv
Læs mereArchimedes Princip. Frank Nasser. 12. april 2011
Archimedes Princip Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er
Læs mereVektorfelter langs kurver
enote 25 1 enote 25 Vektorfelter langs kurver I enote 24 dyrkes de indledende overvejelser om vektorfelter. I denne enote vil vi se på vektorfelternes værdier langs kurver og benytte metoder fra enote
Læs mereDifferentiation af sammensatte funktioner
1/7 Differentiation af sammensatte funktioner - Fra www.borgeleo.dk En sammensat funktion af den variable x er en funktion, vor x først indsættes i den såkaldte indre funktion. Resultatet fra den indre
Læs mereKlassisk Taylors formel
p. 1/17 Klassisk Taylors formel Sætning Lad f : (a, b) R være n gange differentiabel. For x 0, x (a, b) findes et ξ mellem x 0 og x der opfylder at f(x) = f(x 0 )+ f (x 0 ) 1! (x x 0 )+...+ f(n 1) (x 0
Læs mereDesignMat Uge 8 Integration og elementære funktioner
DesignMat Uge 8 Integration og elementære funktioner Preben Alsholm Forår 008 Hyperbolske funktioner. sinh og cosh sinh og cosh Sinus hyperbolsk efineres sålees for alle x R sinh x = ex e x Cosinus hyperbolsk
Læs mereANALYSE 1, 2014, Uge 5
ANALYSE, 204, Uge 5 Afleveringsfrist for Prøve 2 er Tirsdag den 20/5 kl 0:5. Forelæsninger Tirsdag Vi går videre med Afsnit 4 om uniform konvergens af Fourierrækker, hvor hovedsætningen er Sætning 4.3.
Læs merez + w z + w z w = z 2 w z w = z w z 2 = z z = a 2 + b 2 z w
Komplekse tal Hvis z = a + ib og w = c + id gælder z + w = (a + c) + i(b + d) z w = (a c) + i(b d) z w = (ac bd) + i(ad bc) z w = a+ib c+id = ac+bd + i bc ad, w 0 c +d c +d z a b = i a +b a +b Konjugation
Læs mereIntegration. Frank Nasser. 15. april 2011
Integration Frank Nasser 15. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er en arkiveret
Læs mereNoget om en symmetrisk random walks tilbagevenden til udgangspunktet
Random Walk-kursus 2014 Jørgen Larsen 14. oktober 2014 Noget om en symmetrisk random walks tilbagevenden til udgangspunktet Dette notat giver et bevis for at en symmetrisk random walk på Z eller Z 2 og
Læs mereIntegration m.h.t. mål med tæthed
Integration m.h.t. mål med tæthed Sætning (EH 11.7) Lad ν = f µ på (X, E). For alle g M + (X, E) gælder at gdν = g f dµ. Bevis: Standardbeviset: 1) indikatorfunktioner 2) simple funktioner 3) M + -funktioner.
Læs mereNogle grundlæggende begreber
BE2-kursus 2010 Jørgen Larsen 5. februar 2010 Nogle grundlæggende begreber Lidt simpel mængdelære Mængder består af elementer; mængden bestående af ingen elementer er, den tomme mængde. At x er element
Læs mereElementær Matematik. Funktioner og deres grafer
Elementær Matematik Funktioner og deres grafer Ole Witt-Hansen 0 Indhold. Funktioner.... Grafen for en funktion...3. grafers skæring med koordinat akser...4. To grafers skæringspunkter...4 3. Egenskaber
Læs mereIntroduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)
Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer
Læs mereHistogrammetoden For (x i, y i ) R 2, i = 1,..., n, ser vi på den gennemsnitlige. Histogrammetoden. Histogrammetoden.
For ( i, y i ) R 2, i =,, n, ser vi på den gennemsnitlige længde: z = n hvor z i = i 2 + yi 2 Indfør tabellen samt vægtene Da er z i = n 2 i + y 2 i a k = #{i 00z i = k}, k N 0 z ned := ν k = a k n 00kν
Læs mereMASO Uge 5. Topologi i euklidiske rum. Jesper Michael Møller. Uge 5. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 5 Topologi i euklidiske rum Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 5 Formålet med MASO Oversigt Åbne og afsluttede mængder Det indre, det ydre, afslutningen,
Læs mereIndledning. 1 Martingalerepræsentationssætningen
Indledning I disse noter vil uddybe nogle af Øksendals resultater i afsnittene 4 og 7 samt give andre beviser for dem. Disse resultater er gennemgået til forelæsningerne. 1 Martingalerepræsentationssætningen
Læs mere13 Markovprocesser med transitionssemigruppe
13 Markovprocesser med transitionssemigruppe I nærværende kapitel vil vi antage at tilstandsrummet er polsk, hvilket sikrer, at der findes regulære betingede fordelinger. Vi skal se på eksistensen af Markovprocesser.
Læs mereMASO Uge 5. Topologi i euklidiske rum. Jesper Michael Møller. Uge 5. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 5 Topologi i euklidiske rum Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 5 Formålet med MASO Oversigt Åbne og afsluttede mængder Det indre, det ydre, afslutningen,
Læs mereLøsningsforslag Mat B August 2012
Løsningsforslag Mat B August 2012 Opgave 1 (5 %) a) Løs uligheden: 2x + 11 x 1 Løsning: 2x + 11 x 1 2x x + 1 0 3x + 12 0 3x 12 Divideres begge sider med -3 (og husk at vende ulighedstegnet!) x 4 Opgave
Læs mereOm hypoteseprøvning (1)
E6 efterår 1999 Notat 16 Jørgen Larsen 11. november 1999 Om hypoteseprøvning 1) Det grundlæggende problem kan generelt formuleres sådan: Man har en statistisk model parametriseret med en parameter θ Ω;
Læs mereHeisenbergs usikkerhedsrelationer. Abstrakt. Hvorfor? Funktionsrum. Nils Byrial Andersen Institut for Matematik. Matematiklærerdag 2013
Heisenbergs usikkerhedsrelationer Nils Byrial Andersen Institut for Matematik Matematiklærerdag 013 1 / 17 Abstrakt Heisenbergs usikkerhedsrelationer udtrykker at man ikke på samme tid både kan bestemme
Læs mereIntegration. Frank Villa. 8. oktober 2012
Integration Frank Villa 8. oktober 2012 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 1
Læs merei x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0
BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den
Læs mereFunktioner af to variable
enote 15 1 enote 15 Funktioner af to variable I denne og i de efterfølgende enoter vil vi udvide funktionsbegrebet til at omfatte reelle funktioner af flere variable; vi starter udvidelsen med 2 variable,
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 2016
Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 16 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereAarhus Universitet 5. februar Meddelelse 2
fdeling for Teoretisk Statistik IOSTTISTIK Institut for Matematiske Fag Preben læsild arhus Universitet 5. februar 2003 Meddelelse 2 Forelæsningerne i uge 6 (3-7.2) Ved forelæsningen den 4.2 gav Frank
Læs mere1/41. 2/41 Landmålingens fejlteori - Lektion 1 - Kontinuerte stokastiske variable
Landmålingens fejlteori - lidt om kurset Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Kursusholder
Læs mere