Supplerende opgaver. S1.3.1 Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Supplerende opgaver. S1.3.1 Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at"

Transkript

1 Supplerende opgaver Analyse Jørgen Vesterstrøm Forår 2004 S.3. Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at (A B C) (A B C) (A B) C og find en nødvendig og tilstrækkelig betingelse for at der gælder lighedstegn ovenfor. S.3.2 Sæt for t R A t = {(, y) R 2 y t 2 2t( t)} Bestem mængden t R A t, og illustrer med en figur i planen. S.3.3 Sæt for ethvert positivt r R C r = {(, y) R 2 ( r) 2 + y 2 < r 2 } Bestem mængden r>0 C r, og illustrer med en figur i planen. S.3.4 Lad f n være en følge af reelle funktioner på R. Antag at f() := sup n f n () < for ethvert R. For a R sættes A n = { f n () a}. Vis at A n = { f() a} n Hvad kan siges om mængderne { f n () < a} og { f() < a} n S.3.5 Lad f : X Y være en afbildning, og lad A X. Vis at f(ã) f(x) f(a). S.4. Lad A, B og C være delmængder af X( ). Sæt C = {A, B, C}, og lad A være mængdealgbraen frembragt af C. Vis at A består af højst 256 elementer. Giv et eksempel på at dette antal kan forekomme. Hvilke andre muligheder er der for antallet af mængder i A? S.4.2 Lad f : X Y være en funktion, og B en mængdealgebra på Y. Vis at {f (B) B B} er en mængdealgebra på X. S2.. Givet A R sættes B = A = { A}. Vis at sup B = inf A, og formuler og bevis en tilsvarende formel for inf B. S2..2 Vis at Lad f : R R R være en reel funktion af to variable. sup inf y f(, y) inf y sup f(, y)

2 2 og giv et eksempel på at skarp ulighed kan forekomme. S2.4. Definerer en reel talfølge ved = og 2 n+ = 2 n for n. Find lim n n og lim n n (Vink). S2.4.2 Lad n=0 a nz n være en kompleks potensrække. Sæt r := hvor l = lim n l n a n (incl. tilfældene 0 og ). Vis at rækken er konvergent for z < r og divergent for z > r. (Tekniske vink: Hvis z < r findes ε > 0 så z (l + ε) <. 2 Hvis z > r, findes ε > 0 så z (l ε) > ). S2.4.3 Sætning i Lindstrøm udsiger ikke alt det der fremgår af beviset. Check at følgende vises: Hvis følgen (a n ) voksende og opad begrænset, eksisterer lim n a n og er lig med sup n a n. Overvej at dette også er rigtigt for voksende følger der ikke nødvendigvis er begrænsede opadtil ( + = + ). Formuler og bevis en tilsvarende sætning for aftagende følger. Indse herved at for en vilkårlig reel følge (b n ) gælder at inf b k = lim b k, sup n k n sup n k n altså at definitionerne af lim sup n b n i Mat-noterne og HLR stemmer overens. Vis til sidst det tilsvarende for lim inf n b n. S2.5. Lad a være et reelt tal, og antag at A [a, ) er en mængde som opfylder (i) a A (ii) [a, ) A A (iii) A ε > 0 : [, + ε) A Vis at A = [a, ). S2.5.2 Lad f og g være kontinuerte reelle funktioner på R. Antag at f() = g() for alle Q (de rationale tal). Vis at f = g. S3.2. Antag at A B R. Vis at m A m B. Antag yderligere at m A <. Vis at m (B Ã) m B m A S3.3. Lad A og B være delmængder af R med A [0, ) og B (, 0). Vis at m (A B) = m (A) + m (B) S3.3.2 Lad (E n ) være en følge af målelige delmængder af R med E E 2 E n. Vis at (Vink) m( n E n ) = lim n m(e n ) = sup m(e n ) n S3.3.3 Betragt for hvert reelt tal a mængden { R n N : n < < n + a n } Vis at mængden er målelig (endda åben) og beregn dens mål.

3 S3.3.4 Antag at E R opfylder (ii) i Prop 3.5, altså at ε > 0 O åben : O E og m (O E) < ε. Udnyt dette for hvert ε = n til at finde O n, og sæt G = O n. Vis herved (iv) i samme prop. Vis til sidst at (iv) medfører (i): E er målelig, ved at omskrive E passende vha. G. S3.3.4 Antag at E R opfylder (ii) i Prop 3.5, altså at ε > 0 O åben : O E og m (O E) < ε. Udnyt dette for hvert ε = n til at finde O n, og sæt G = O n. Vis herved (iv) i samme prop. Vis til sidst at (iv) medfører (i): E er målelig, ved at omskrive E passende vha. G. S3.3.5 Antag at (E n ) er en følge af målelige mængder der alle er indeholdt i [0, ]. Antag at lim sup m(e n ) > 0. Opgaven går (bl.a.) ud på at vise der findes så E n for uendelig mange E n. Sæt først E = { E n for uendelig mange n}. (a) Vis at E = n= k n E k, specielt at E er målelig. (b) Vis dernæst m( k n E k) sup k n m(e k ). (c) Slut heraf at m(e) lim sup n m(e n ). (d) Vis det ønskede. (e) Hvor bruges at mængderne er indeholdt i samme begrænsede mængde (her [0, ]). S3.3.6 (Cantormængden). Fjern fra [0, ] den midterste åbne tredjedel (, 2). Restmængden C 3 3 = [0, ] [ 2, ] er en disjunkt forening 3 3 af to lukkede intervaller. Fjern igen den midterste tredjedel fra hvert af disse intervaller. Hver fremkommer C 2 som disjunkt forening af fire lukkede intervaller. Mængden C 3 konstrueres tilsvarende. Beskriv og tegn C 3, herunder beregn m(c 3 ). Således fortsættes. Undersøg C n. Fællesmængden C = C n (altså alle de punkter der ikke bliver fjernet) kaldes for Cantormængden. Vis at m(c) = 0 Det følgende går ud på at vise at C alligevel er stor : Den er utællelig. Først beskrives C i tretalssystemet. Ethvert [0, ] har en trialbrøksfremstilling = 0 (3), a a 2 a 3..., hvormed menes = a n n= 3 n hvor a n er et af cifrene 0, eller 2. Det at at visse tal har flere trialbrøksfremstillinger, f = 0 3 3, 000 = 0 3, , er grunden til de forsigtige formuleringer i det følgende. Overvej at C netop når har en trialbrøksfremstilling med a = 0 eller 2. Hvordan kan C 2 beskrives? Og C n? Indse herved at C netop når har en trialbrøksfremstilling med lutter 0 og 2 (altså ingen -taller). Til sidst defineres F : C [0, ] ved F () = a n/2 n= for = 2 n a n n= 3 n. Vis at F er surjektiv og dermed at C ikke er tællelig. Bemærkning. C er vistnok den først kendte fraktal. Den kan skrives som en disjunkt forening C = E E 2, hvor de to E er fremgår af C ved en multiplikation (ligedannethedstransformation) af C med faktor 3. Hvis det på nogen måde er muligt at tillægge mængden en dimension d, må den opfylde ( 3 )d + ( 3 )d =, hvoraf d = log 2 log

4 4 S3.3.7 Antag at E er en begrænset delmængde af R, f E [a, b] =: I. Antag at m (E) + m (I Ẽ) = m (I) Opgaven går ud på at vise at det sikrer måleligheden af E. Da størrelsen m (I) m (I Ẽ) kan fortolkes som det indre mål af E, ser vi at målelighed i dette tilfælde hænger på at indre mål = ydre mål. () Gør rede for at der findes målelige mængder G og G 2 så G E, G 2 I Ẽ og m (G ) + m (G 2 ) = m (I) (2) Vis at m(g G 2 ) = 0 (3) Vis at G E er en nulmængde (4) Vis at E er målelig. S3.5. Vis følgende n.o.-regler (a) f = f n.o. og g = g n.o f + g = f + g n.o. (b) f n 0 n.o. n f n 0 n.o. (mere præcist: Rækken er konvergent n.o. og... ) Find andre sådanne regler, og bevis dem. S3.5.2 Lad f : R R være kontinuert. Vis at f er målelig. S3.5.3 Lad f : D R være målelig. Vis at funktionen sin f() er målelig. S3.5.4 Lad f være en reel funktion på den målelige mængde E R. Vis at f er målelig hvis og kun hvis f (O) er målelig for alle åbne mængder O R S3.6. Betragt grænseovergangen f n () = n 0 på [0,). Lad ε > 0 og δ > 0 (og begge mindre end ). Prop sikrer så eksistensen af N N og A [0, ) så () m(a) < δ og (2) f n () < ε for n N og / A. Angiv N og A eksplicit (som funktioner af ε og δ). S4.2. Øverst s. 79 bruges at ϕ 0 hvis blot ϕ 0 n.o. på E E ( stadig med ϕ simpel og m(e) < ). Vis dette vha. den kanoniske fremstilling. S4.2.2 Lad f 0 være målelig og begrænset på E hvor m(e) <. Vis Markovs ulighed: E m({ f() δ}) f ( δ > 0) δ S4.2.3 Lad f være som ovenfor. Antag f = 0. Vis at f = 0 n.o. E (vink: sæt δ = ). n S4.2.4 Lad f være kontinuert på [0, ]. Beregn lim n 0 f(n )d (og vis eksistensen) vha. prop 4.6.

5 S4.2.5 Sæt f n () = n for 0 < < n og 0 ellers. Vis at f n() 0 for alle, men at f n()d l 0. Strider det mod prop 4.6? π S4.2.6 Find lim n (cos 0 )2n d S4.2.7 Lad f være begrænset og målelig på E hvor m(e) <. Antag at E E 2 er en voksende følge af målelige mængder med n E n = E. Vis at lim E n f = f E S4.3. Find integralet over [, ) af funktionen f() = 2 ved at bruge sætningen om monoton konvergens på en passende følge (f n ) af begrænsede målelige funktioner med m({ f n () 0}) < S4.3.2 Her skal vises et par ubeviste delpåstande i to beviser i HLR. (i) Vis (i beviset for prop. 8 s. 86) at k() g(). (ii) Vis (i beviset for Fatou s Lemma s. 87) at h n sup h, og at h n = 0 uden for E. S4.4. (i) Lad f være en positiv målelig funktion på E. Antag f <. Vis at f < n.o. E (ii) (Beppo Levis sætning) Lad (u n ) være en følge af positive målelige funktioner på E. Antag at u E n <. Vis at rækken u n () er konvergent (med endelig sum) for n.a.. (iii) Lad (A n ) være en følge af målelige delmængder af R. Antag at m(a n ) <. Vis at for n.a gælder at tilhører højst endelig mange A n. S4.4.2 Find lim n 2π 0 (cos 4)n d S4.4.3 Find integralet over (0, ) af funktionen f() = ved at skære ned til (, ) (dvs. se på f n n() = f()χ [/n,] ()) og bruge en passende konvergenssætning. Slut at funktionen sin er integrabel på (0, ). S4.4.4 (Beppo Levis sætning med vilkårligt fortegn, cf. S4.4.) (i) Lad (u n ) være en følge af målelige funktioner på E. Antag at E u n <. Vis at rækken u n () er konvergent for n.a.. (ii) Lad f() := u n () være den n.o. definerede funktion på E. Vis at f er integrabel på E (uanset hvad f sættes til på undtagelsesmængden), og at E f = E u n. S5.2. Lad F : [a, b] R være en monotont voksende funktion med F ([a, b]) = [F (a), F (b)] (dvs. værdimængden er et interval). Vis at F er kontinuert (analyser eventuelle springs effekt på værdimængden vha. HLR opg. 7a). S5.2.2 Cantorfunktionen (fra opg. S3.3.6) kan udvides til hele [0, ] så den bliver monoton. Først en uformel beskrivelse: Sæt F = 2 på den først fjernede midterste åbne tredjedel. Herefter F = 4 hhv. 3 4 på de to åbne midterste der fjernes i anden omgang. Fortsæt således. Ovenstående kan beskrives med trialbrøker. Hvis [0, ] C, har 5

6 6 en fremstilling = a n n= 3 n hvor ikke alle a n er 0 eller 2. Lad N være det mindste k med a k = og indse at Vis at F er kontinuert. F () = N n= a n /2 + a N 2 n 2 N S5.3. Lad f være integrabel på [a, b], og antag at det ubestemte integral F () = f(t)dt er overalt differentiabel med begrænset differentialkvotient. Udnyt Sætningen i Notat 5 og en passende sætning a fra HLR Kap 5. til at vise F = f n.o. S5.4. Lad F være en funktion af begrænset variation på [a, b]. Vis at hvis F er kontinuert, er T (= T a ) det også (Vink). S5.5. Lad ϕ være konveks på et interval (c, d), og lad f være en integrabel funktion på [a, b] hvis værdier ligger i (c, d). Vis følgende udgave af Jensens ulighed: b a b a ϕ(f(t))dt ϕ( b a b a f(t)dt) S Lad ϕ være konveks på (0, ). Vis at funktionen ϕ( ) er konveks. (Det er ret tricket uden antagelse om differentiabilitet). Undersøg om ϕ( ) er konveks. S5.5.3 (a) Lad f være en konveks funktion. Vis at f( ) f( )+f( 2 )+f( 3 ) 3 (b) Lad A, B og C være vinklerne i en plan trekant. Vis at sin A + sin B + sin C (c) (for dem der har sinusrelationerne present) Vis at a+b+c 3 3R, hvor a, b og c er siderne i trekanten og R radius i den omskrevne cirkel. S6.. Lad f() = for 0 < For hvilke p gælder f L p? S6..2 Find en funktion f på (0, ) såf / L 3, men f L p for p < 3. S6..3 Vis at L r (0, ) L p (0, ) for r p. S6..4 Lad f() = ln for 0 <. Vis at f / L, og at f L p for alle p med p <. S6.2. Antag at f n f og g n g, begge i p-middel. Vis at f n + g n f + g, også i p-middel. Vis også at f n p f p. S6.2.2 Antag at f n f i p-middel, og at g n g i q-middel, hvor p og q opfylder p + q =. Vis at f n g n fg i -middel. S6.3. Antag om følgen (f n ) i L p at f n f n.o, og at der findes h L p så f n h for alle n. Vis at f n f i p-middel.

7 S6.3.2 Lad f n være en følge i L (0, ) givet ved f n () = n for 0 n. Undersøg om følgen er konvergent i -middel, og om den er konvergent n.o. S6.3.3 (a) Lad y og y 2 være reelle tal. Vis at y + y + 2 y y 2. (b) Lad (f n ) være en følge i L p med lim n f n = f i p-middel. Vis at f + n er i L p, og at lim n f + n = f + i p-middel. S.2. Denne opgave går ud på at vise at for målelige (overalt endelige) funktioner f og g på (X, B, µ) og h kontinuert på R 2 er den sammensatte funktion h(f(), g()) også målelig på X (a) Lad O R 2 være en åben mængde. Vis at O er en højst tællelig forening af åbne rektangler: O = I n J n hvor I n og J n er åbne intervaller (b) Lad I og J være åbne intervaller. Vis at { (f(), g() I J} er målelig. (c) Gør rede for at { h(f(), g()) > α} = { (f(), g() h (α, )}, og slut vha. (a) og (b) det ønskede resultat. S.2.2 Lad (X, B, µ) være et målrum, og lad f og g være målelige funktioner som opfylder at de er nul uden for en mængde med endeligt mål. Vis at mængden er målelig med endeligt mål. { X f() + g() 0} S.3. Betragt målrummet (N, P(N), ν) hvor ν er tællemålet på (N, P(N)), altså ν(a) = antal elementer i A = n A for alle A N. (a) Vis at en reel funktion på N er integrabel hvis og kun hvis n f(n) <, og at fdν = n f(n) i bekræftende fald. (b) Lad a mn være en dobbeltfølge af reelle tal. Antag om den at () a mn b n med n b n < (2) lim m a mn = a n findes for alle n Vis (Vink) at lim m n a mn = n a n S.3.2 (a) Lad a mn være en dobbeltfølge af reelle tal med a mn 0 for alle m og n. Antag at lim m a mn = a n findes for alle n. Vis at n a n lim m n a mn (b) Lad b n være en følge af reelle tal med b n 0. Vis at n b n = lim m n b n( m )n S.7. Vis at L (0, ) L 2 (0, ) og L 2 (0, ) L (0, ). S2.. Lad X være en mængde, og definerer µ ved µ (A) = for = A X og µ ( ) = 0. Vis at µ er et ydre mål. Find alle de µ -målelige delmængder. S2..2 Lad for hvert n N µ n være et ydre mål på X. Vis at der ved µ (A) = n µ n(a) defineres et ydre mål på X. Vis at hvis E er µ n-målelig for alle n, er E også µ -målelig. 7

8 8 S2..3 Betragt betingelserne der optræder for ydre mål. Udgave nr. 2 af betingelse iii (på s. 289) kaldes herefter iv. Vis at betingelse i og iii sammen medfører ii. Vis (som hævdet) at i, ii og iv medfører iii. S2.4. (det todimensionale Lebesgue mål). Det todimensionale Lebesguemål m 2 (på R 2 ) defineres ved m 2 = m m (a) Vis at åbne mængder i R 2 er målelige (brug opg. S.2.(a)). (b) Vis at enhver kontinuert funktion er målelig. (c) Gør rede for at hvis E R er målelig, er E R R 2 det også. (d) Lad f være målelig på R. Vis at funktionen (, y) f() på R 2 er målelig. (e) Lad f og g være målelige funktioner på R. Vis at funktionen f()g(y) på R 2 er målelig. S2.4.2 Lad f være defineret på [0, ] [0, ] ved { ( + y) α hvis + y > 0 f(, y) = 0 hvis + y = 0 hvor α R. Undersøg for hvilke værdier af α funktionen f er integrabel, og udregn integralet for disse α. S2.4.3 Lad f være defineret på R 2 ved f(, y) = e y 2e 2y. Vis at de to itererede integraler 0 f(, y)ddy og 0 f(, y)dyd eksisterer, men er forskellige (Vink). Strider det mod Fubinis sætning? S2.4.4 Lad f være defineret på [0, ] [0, ] ved { y α hvis y f(, y) = 0 hvis = y hvor α R. Undersøg for hvilke værdier af α funktionen f er integrabel, og udregn integralet for disse α. S2.4.5 Vis at HLR Prop. 2.8 (Fubini for mængder) gælder hvis ) antagelsen om λ(e) < stryges, men 2) X og Y antages at være σ-endelige. FN. Vis at l p l s for p s (l er mængden af begrænsede følger = ( n ) med normen = sup n n ). Vis også p s FN.2 Antag at l p for et p <. Vis at lim s,s p s = FN.3 Lad der for hvert r N være givet r l p (hvert r har formen r = ( r n) n=). Antag at lim r = 0 i l p. Vis at lim r r n = 0 for hvert n. Gælder det omvendte? FN.4 Vis at mængden af punkter = ( n ) i (det reelle) l p med mindst én positiv koordinat er en åben mængde.

9 Er mængden åben i l p? { = (, 2,..., n,... ) n > 0 for alle n} FN.5 Lad (V, ) være et normeret rum. Vis at enhedskuglen { V } er en lukket konveks mængde. Vis at hvis to normer på V har samme enhedskugle, da stemmer de to normer overens. FN.6 Lad f være en kontinuert funktion på [0, ], og antag 0 f()n d = 0 for alle n = 0,, 2, 3,... Vis at f = 0 (Vink). FN.7 Lad C ([a, b]) være vektorrummet af komplekse, kontinuert differentiable funktioner på [a, b]. Vis at der ved f = ma t er defineret en norm på C ([a, b]). Vis at rummet er et Banachrum. f(t) + ma f (t) t FN.8 Betragt mængden P af (restriktioner af) polynomier på [0, ]. Vis at P er tæt i L (0, ) ved at udnytte at mængden af kontinuerte funktioner er tæt i L (0, ) (jf. HLR Prop. 5.8 anden påstand som vi ikke har vist). FN3.. Lad f L 2 (0, ), og sæt g(t) = tf(t). Vis at g 2 f 2. Vis herved at operatoren T : L 2 (0, ) L 2 (0, ) givet ved (T f)(t) = tf(t) opfylder T. Vis at for ε > 0 findes f L 2 (0, ) med f 2 så g 2 ε. Slut heraf T =. S0.2. Lad S : X Y og T : Y Z være lineære operatorer på normerede rum. Vis at T S er lineær og T S T S. Vink S2.4. Undersøg polynomiet ( ( 2 ) 2 på intervallet [0, ], og vis herved at og S3.3.2 E n = (E n E n ) (E 2 E ) er en disjunkt forening. S5.4. For at vise at Ta er højrekontinuert i c vælges til ε > 0 dels ) et δ > 0 så F () F (c) ε for c < δ og 2) dels en inddeling af [c, b] med t Tc b ε. Ved at videreinddele kan vi antage at første delepunkt z opfylder z c < δ Herefter fås at Ta z Ta c = Tc b Tz b t + ε Tz b F (z) F (c) + Tz b + ε Tz b F (z) F (c) + ε 2ε S.3. Betragt funktionsfølgen (f m ) m= givet ved f m (n) = a mn S2.4.3 Forsøg ikke at udregne integralerne, men kun deres fortegn. FN.6 Slut i rækkefølge: f()g()d = 0 for ) g et polynomium, 2) g kontinuert og 3) et specielt valg af g 0. 9

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Juni 2000 MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Opgave 1. (a) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen y 8y + 16y = 0. (b) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen

Læs mere

Eksamensnoter til Analyse 1

Eksamensnoter til Analyse 1 ksamensnoter til Analyse 1 Martin Geisler gimpster@daimi.au.dk Sommer 23 Indledning Disse noter gennemgår de 26 spørgsmål stillet til den mundtlige eksamen i Analyse 1 ved Aarhus Universitet sommeren 23.

Læs mere

Mat H /05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb

Mat H /05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb Mat H 1 2004/05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb Nødvendige og tilstrækkelige betingelser for ekstremum, konkave og konvekse funktioner. Fremstillingen i Kapitel 13.1 2 af Sydsæters bog [MA1] suppleres her med

Læs mere

Gamle eksamensopgaver (MASO)

Gamle eksamensopgaver (MASO) EO 1 Gamle eksamensopgaver (MASO) Opgave 1. (Vinteren 1990 91, opgave 1) a) Vis, at rækken er divergent. b) Vis, at rækken er konvergent. Opgave 2. (Vinteren 1990 91, opgave 2) Gør rede for at ligningssystemet

Læs mere

Potensrækker. Morten Grud Rasmussen 1 10. november 2015. Definition 1 (Potensrække). En potensrække er en uendelig række på formen

Potensrækker. Morten Grud Rasmussen 1 10. november 2015. Definition 1 (Potensrække). En potensrække er en uendelig række på formen Potensrækker Morten Grud Rasmussen 1 10 november 2015 Definition og konvergens af potensrækker Definition 1 Potensrække) En potensrække er en uendelig række på formen a n pz aq n, 1) hvor afsnittene er

Læs mere

Analyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X).

Analyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 3. og 6. september 2013 Gennemgå bevis for Sætning 2.10 Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Bevis. Der findes en injektion X P(X), fx givet ved x

Læs mere

MASO Uge 1. Relle tal Følger. Jesper Michael Møller. 10. september Department of Mathematics University of Copenhagen

MASO Uge 1. Relle tal Følger. Jesper Michael Møller. 10. september Department of Mathematics University of Copenhagen MASO Uge 1 Relle tal Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen 10. september 2018 Oversigt Relle tal Notation Tal Største og mindste element, mindste overtal og største undertal

Læs mere

Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 03

Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 03 IMFUFA Carsten Lunde Petersen Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 0 Hvor ikke andet er angivet er henvisninger til W.R.Wade An Introduction to analysis. Opgave a) Idet udtrykket e x2 cos

Læs mere

= λ([ x, y)) + λ((y, x]) = ( y ( x)) + (x y) = 2(x y).

= λ([ x, y)) + λ((y, x]) = ( y ( x)) + (x y) = 2(x y). Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 17. og 20. september 2013 Supplerende opgave 1 Lad λ være Lebesgue-målet på R og lad A B(R). Definér en funktion f : [0, ) R ved f(x) = λ(a [ x, x]). Vis, at f(x)

Læs mere

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 3. fjerdedel

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 3. fjerdedel MATEMATIK Eksamensopgaver Juni 995 Juni 200, 3. fjerdedel August 998 Opgave. Lad f : R \ {0} R betegne funktionen givet ved f(x) = ex x for x 0. (a) Find eventuelle lokale maksimums- og minimumspunkter

Læs mere

Analyse 1, Prøve 4 Besvarelse

Analyse 1, Prøve 4 Besvarelse Københavns Universitet Prøve ved Det naturvidenskabelige Fakultet juni 2011 1 Analyse 1, Prøve 4 Besvarelse Lad Opgave 1 (50%) M = {T R 2 T er en åben trekant} og lad A : M R være arealfunktionen, dvs.

Læs mere

Analyse 2. Bevis af Fatous lemma (Theorem 9.11) Supplerende opgave 1. Øvelser

Analyse 2. Bevis af Fatous lemma (Theorem 9.11) Supplerende opgave 1. Øvelser Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 24. og 27. september 203 Bevis af Fatous lemma (Theorem 9.) Hvis (u j ) j er en følge af positive, målelige, numeriske funktioner (dvs. med værdier i [, ]) over

Læs mere

MASO Uge 1. Relle tal Følger. Jesper Michael Møller. 7. september Department of Mathematics University of Copenhagen

MASO Uge 1. Relle tal Følger. Jesper Michael Møller. 7. september Department of Mathematics University of Copenhagen MASO Uge 1 Relle tal Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen 7. september 2016 Formålet med MASO Integer sequences Oversigt Relle tal Notation Tal Overtal og undertal Største

Læs mere

Konvergens i L 1 -forstand. Definition af L 1 -seminorm. Topologi i pseudometrisk rum. Seminorm til norm

Konvergens i L 1 -forstand. Definition af L 1 -seminorm. Topologi i pseudometrisk rum. Seminorm til norm Definition af L 1 -seminorm Konvergens i L 1 -forstand Lad (X, E, µ) være et målrum. Husk at L(µ) er et reelt vektorrum. Vi definerer f 1 = f dµ for f L Definition En følge af funktioner f 1, f 2, L siges

Læs mere

1.1. n u i v i, (u, v) = i=1

1.1. n u i v i, (u, v) = i=1 1.1 1. Hilbert rum 1.1. Hilbert rum og deres geometri. Definition 1.1. Et komplekst vektor rum V kaldes et indre produkt rum (eller præ-hilbert rum), når det er forsynet med en funktion (, ): V V C, som

Læs mere

Kalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger

Kalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Kalkulus - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Mads Friis 8. januar 05 Indhold Grundlæggende uligheder Grænseovergange 3 3 Kontinuitet 9 4 Følger 0 5 Perspektivering 4 Grundlæggende uligheder Sætning

Læs mere

Afgør for hver af følgende rækker om den er divergent, betinget konvergent eller absolut konvergent. 2 n. n=1 2n (n + 1)2 1 = 2(n + n+1

Afgør for hver af følgende rækker om den er divergent, betinget konvergent eller absolut konvergent. 2 n. n=1 2n (n + 1)2 1 = 2(n + n+1 Analyse Reeksamen 00 Rasmus Sylvester Bryder 5. august 0 Opgave Afgør for hver af følgende rækker om den er divergent, betinget konvergent eller absolut konvergent. ( ) n n +3n+7 n= n + For alle n N vil

Læs mere

Taylorudvikling I. 1 Taylorpolynomier. Preben Alsholm 3. november Definition af Taylorpolynomium

Taylorudvikling I. 1 Taylorpolynomier. Preben Alsholm 3. november Definition af Taylorpolynomium Taylorudvikling I Preben Alsholm 3. november 008 Taylorpolynomier. Definition af Taylorpolynomium Definition af Taylorpolynomium Givet en funktion f : I R! R og et udviklingspunkt x 0 I. Find et polynomium

Læs mere

Hilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum

Hilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum Chapter 3 Hilbert rum 3.1 Indre produkt rum I det følgende skal vi gøre brug af komplekse såvel som reelle vektorrum. Idet L betegner enten R eller C minder vi om, at et vektorrum over L er en mængde E

Læs mere

Eksamen 2014/2015 Mål- og integralteori

Eksamen 2014/2015 Mål- og integralteori Eksamen 4/5 Mål- og integralteori Københavns Universitet Institut for Matematiske Fag Formalia Eksamensopgaven består af 4 opgaver med ialt spørgsmål Ved bedømmelsen indgår de spørgsmål med samme vægt

Læs mere

Gult Foredrag Om Net

Gult Foredrag Om Net Gult Foredrag Om Net University of Aarhus Århus 8 th March, 2010 Introduktion I: Fra Metriske til Topologiske Rum Et metrisk rum er en mængde udstyret med en afstandsfunktion. Afstandsfunktionen bruges

Læs mere

Taylors formel. Kapitel Klassiske sætninger i en dimension

Taylors formel. Kapitel Klassiske sætninger i en dimension Kapitel 3 Taylors formel 3.1 Klassiske sætninger i en dimension Sætning 3.1 (Rolles sætning) Lad f : [a, b] R være kontinuert, og antag at f er differentiabel i det åbne interval (a, b). Hvis f (a) = f

Læs mere

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra

Læs mere

2. Fourierrækker i en variabel

2. Fourierrækker i en variabel .1. Fourierrækker i en variabel I Kapitel II 7 blev der indført, dels funktionsrummene L p (X, µ) (mere udførligt skrevet L p (X, E, µ)), dels rummene L p (X, µ), der fås af L p (X, µ) ved at funktioner

Læs mere

af koblede differentialligninger (se Apostol Bind II, s 229ff) 3. En n te ordens differentialligning

af koblede differentialligninger (se Apostol Bind II, s 229ff) 3. En n te ordens differentialligning EKSISTENS- OG ENTYDIGHEDSSÆTNINGEN Vi vil nu bevise eksistens- og entydighedssætningen for ordinære differentialligninger. For overskuelighedens skyld vil vi indskrænke os til at undersøge een 1. ordens

Læs mere

Differentialkvotient af cosinus og sinus

Differentialkvotient af cosinus og sinus Differentialkvotient af cosinus og sinus Overgangsformler cos( + p ) = cos sin( + p ) = sin cos( -) = cos sin( -) = -sin cos( p - ) = - cos sin( p - ) = sin cos( p + ) = -cos sin( p + ) = -sin (bevises

Læs mere

Besvarelse, Eksamen Analyse 1, 2013

Besvarelse, Eksamen Analyse 1, 2013 Københavns Universitet Prøve ved Det naturvidenskabelige Fakultet juni 23 Besvarelse, Eksamen Analyse, 23 Opgave Lad, for n N, funktionen f n : [, ) R være givet ved NB. Trykfejl. Burde være x. f n (x)

Læs mere

Indhold. Litteratur 11

Indhold. Litteratur 11 Indhold Forord ii 00-sættet 1 Opgave 1....................................... 1 Spørgsmål (a).................................. 1 Spørgsmål (b).................................. 1 Spørgsmål (c)..................................

Læs mere

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby 24 En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby Det er velkendt for de fleste, at differentiabilitet af en reel funktion f medfører kontinuitet af f, mens det modsatte ikke gælder

Læs mere

Projekt 1.4 De reelle tal og 2. hovedsætning om kontinuitet

Projekt 1.4 De reelle tal og 2. hovedsætning om kontinuitet Projekt 1.4 De reelle tal og 2. hovedsætning om kontinuitet Mens den 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner kom forholdsvis smertefrit ud af intervalrusebetragtninger, så er 2. hovedsætning betydeligt

Læs mere

DesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof

DesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof DesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof Preben Alsholm Efterår 008 01 Lineært ligningssystem Lineært ligningssystem Et lineært ligningssystem: a 11 x 1 + a 1 x + + a 1n x n = b 1 a 1 x 1 + a x + +

Læs mere

GEOMETRI-TØ, UGE 8. X = U xi = {x i } = {x 1,..., x n }, U α, U α = α. (X \ U α )

GEOMETRI-TØ, UGE 8. X = U xi = {x i } = {x 1,..., x n }, U α, U α = α. (X \ U α ) GEOMETRI-TØ, UGE 8 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imf.au.dk. Opvarmningsopgave 1. Lad X være en mængde og T familien af alle delmængder

Læs mere

ANALYSE 1. Uge 7, 4. juni juni, 2007

ANALYSE 1. Uge 7, 4. juni juni, 2007 ANALYSE 1 Uge 7, 4. juni - 10. juni, 2007 Forelæsninger Mandag 4. juni Formålet med denne dags forelæsninger er at etablere en overgang til emnet metriske rum, hvis hovedformål er at udvide begreber som

Læs mere

GEOMETRI-TØ, UGE 6. . x 1 x 1. = x 1 x 2. x 2. k f

GEOMETRI-TØ, UGE 6. . x 1 x 1. = x 1 x 2. x 2. k f GEOMETRI-TØ, UGE 6 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imfaudk Opvarmningsopgave 1 Lad f : R 2 R være tre gange kontinuert differentierbar

Læs mere

Tonelli light. Eksistensbeviset for µ ν gav målet. for G E K ved succesiv integration. Alternativ definition:

Tonelli light. Eksistensbeviset for µ ν gav målet. for G E K ved succesiv integration. Alternativ definition: Tonelli light Eksistensbeviset for µ ν gav målet ( ) λ(g) = G (x, y)dν(y) dµ(x) for G E K ved succesiv integration. Alternativ definition: ( ) λ(g) = G (x, y)dµ(x) dν(y). Som λ(a B) = µ(a)ν(b) gælder λ(a

Læs mere

Foldningsintegraler og Doobs martingale ulighed

Foldningsintegraler og Doobs martingale ulighed Foldningsintegraler og Doobs martingale ulighed N.J. Nielsen Indledning I dette notat vil vi vise en sætning om foldningsintegraler, som blev benyttet trin 2 i onstrutionen af Itointegralet, gennemgå esempel

Læs mere

[BM] Mål- og integralteori, af Christian Berg og Tage Gutmann Madsen, Københavns Universitet, 2001.

[BM] Mål- og integralteori, af Christian Berg og Tage Gutmann Madsen, Københavns Universitet, 2001. INTEGRATIONS- OG FOURIERTEORI 2. februar 2009 Oversigt nr. 1 Lærebogen for kurset er [BM] Mål- og integralteori, af Christian Berg og Tage Gutmann Madsen, Københavns Universitet, 2001. Den skulle være

Læs mere

8 Regulære flader i R 3

8 Regulære flader i R 3 8 Regulære flader i R 3 Vi skal betragte særligt pæne delmængder S R 3 kaldet flader. I det følgende opfattes S som et topologisk rum i sportopologien, se Definition 5.9. En åben omegn U af p S er således

Læs mere

n=1 er veldefineret for alle følger for hvilke højresiden er endelig. F.eks. tilhører følgen

n=1 er veldefineret for alle følger for hvilke højresiden er endelig. F.eks. tilhører følgen 2 Hilbert rum 2. Eksempler på Hilbert rum Vi skal nu først forsøge at begrunde, at de indre produkt rum af funktioner eller følger, som blev indført i Kapitel, ikke er omfattende nok til vores formål.

Læs mere

Masterprojekt udarbejdet af Søren Naundrup Vejleder Steen Andersson

Masterprojekt udarbejdet af Søren Naundrup Vejleder Steen Andersson ELEMENTÆR MÅLTEORI SØREN NAUNDRUP Masterprojekt udarbejdet af Vejleder Steen Andersson Dato 19. december 2014. Indholdsfortegnelse 1. Indledning 3 2. σ-algebraer og deres egenskaber 3 2.1. Om σ-algebraer.

Læs mere

MM502+4 forelæsningsslides

MM502+4 forelæsningsslides MM502+4 forelæsningsslides uge 11+12 1, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm, delvis på baggrund af lignende materiale udarbejdet af Mikael Rørdam 1 I nærværende forbindelse er 11 + 12 23 1 Egenskaber for

Læs mere

Den homogene ligning. Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning. d n y dt n. an 1 + any = 0 (1.2) dt. + a1 d n 1 y dt n 1

Den homogene ligning. Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning. d n y dt n. an 1 + any = 0 (1.2) dt. + a1 d n 1 y dt n 1 1/7 Den homogene ligning Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning a 0 d n y dt n + a1 d n 1 y dt n 1 hvor a 0,..., a n R og a 0 0. Vi skriver ligningen på kort form som + + dy

Læs mere

[BM] Mål- og integralteori, af Christian Berg og Tage Gutmann Madsen, Københavns Universitet, 2001.

[BM] Mål- og integralteori, af Christian Berg og Tage Gutmann Madsen, Københavns Universitet, 2001. INTEGRATIONS- OG FOURIERTEORI 31. januar 2012 Oversigt nr. 1 Lærebogen for kurset er [BM] Mål- og integralteori, af Christian Berg og Tage Gutmann Madsen, Københavns Universitet, 2001. Den skulle være

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2 Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket

Læs mere

NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET. MI 2007 Obligatorisk opgave 4

NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET. MI 2007 Obligatorisk opgave 4 NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET. MI 2007 Obligatorisk opgave 4 Sættet består af 3 opgaver med ialt 15 delopgaver. Besvarelsen vil blive forkastet, medmindre der er gjort et

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Kalkulus 1 Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund Signe Baggesen 10. januar 2015 Slide 1/54

t a l e n t c a m p d k Kalkulus 1 Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund Signe Baggesen 10. januar 2015 Slide 1/54 Slide 1/54 Indhold 1 2 3 4 5 Slide 2/54 Indhold 1 2 3 4 5 Slide 3/54 1) Hvad er et aksiom? Slide 4/54 1) Hvad er et aksiom? 2) Hvorfor har vi brug for aksiomer? The Monty Hall Problem Slide 4/54 1) Hvad

Læs mere

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

Integration m.h.t. mål med tæthed

Integration m.h.t. mål med tæthed Integration m.h.t. mål med tæthed Sætning (EH 11.7) Lad ν = f µ på (X, E). For alle g M + (X, E) gælder at gdν = g f dµ. Bevis: Standardbeviset: 1) indikatorfunktioner 2) simple funktioner 3) M + -funktioner.

Læs mere

Fundamentale begreber fra Analysen. Introduktion. De reelle tal. Carsten Lunde Petersen

Fundamentale begreber fra Analysen. Introduktion. De reelle tal. Carsten Lunde Petersen IMFUFA Carsten Lunde Petersen Fundamentale begreber fra Analysen Introduktion Disse noter udgør et meget ltreret udkik over de grundlæggende begreber i reel analyse. Noten indeholder meget lidt om det

Læs mere

Funktion af flere variable

Funktion af flere variable Funktion af flere variable Preben Alsholm 6. oktober 2008 1 Funktion af flere variable 1.1 Punktmængder i R k : Definitioner Punktmængder i flerdimensionale rum: Definitioner q Normen af x 2 R k er kxk

Læs mere

Analyse 1. Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund. 25. maj 2018

Analyse 1. Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund. 25. maj 2018 Analyse 1 Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund 25. maj 2018 Indhold Introduktion Aksiomer og den matematiske metode Formalistisk struktur Mængder Introduktion Definitioner Delmængder Fællesmængde og foreningsmængde

Læs mere

Polynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6

Polynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 Indhold 1 Polynomier 2 Polynomier 2 Polynomiumsdivision 4 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 4 Koefficienter 8 5 Polynomier med heltallige koefficienter 9 6 Mere om polynomier med heltallige koefficienter

Læs mere

5.3 Konvergens i sandsynlighed Konvergens i sandsynlighed 55. Hvis vi regner den karakteristiske funktion for X, v ud i argumentet 1, fås

5.3 Konvergens i sandsynlighed Konvergens i sandsynlighed 55. Hvis vi regner den karakteristiske funktion for X, v ud i argumentet 1, fås 5.3. Konvergens i sandsynlighed 55 BEVIS: Lad φ 1, φ 2,... og φ være de karakteristiske funktioner for X 1, X 2,... og X. Hvis vi regner den karakteristiske funktion for X, v ud i argumentet 1, fås φ X,v

Læs mere

Program. Statistik og Sandsynlighedsregning. Eksempler. Sandsynlighedstæthed og sandsynlighedsmål

Program. Statistik og Sandsynlighedsregning. Eksempler. Sandsynlighedstæthed og sandsynlighedsmål Program Statistik og Sandsynlighedsregning Sandsynlighedstætheder og kontinuerte fordelinger på R Varians og middelværdi Normalfordelingen Susanne Ditlevsen Uge 48, tirsdag Tætheder og fordelingsfunktioner

Læs mere

Funktionsrum. Kapitel 1. 1.1 Funktionsrummet L = L(X, E, µ)

Funktionsrum. Kapitel 1. 1.1 Funktionsrummet L = L(X, E, µ) Kapitel Funktionsrum. Funktionsrummet L = L(X, E, µ) For et vilkårligt målrum (X,E,µ) er mængdenl=l(x,e,µ) afµ-integrable funktioner f :X R et reelt vektorrum ifølge Theorem 7.3 i [EH]. Hvis vi indfører

Læs mere

Noter til Perspektiver i Matematikken

Noter til Perspektiver i Matematikken Noter til Perspektiver i Matematikken Henrik Stetkær 25. august 2003 1 Indledning I dette kursus (Perspektiver i Matematikken) skal vi studere de hele tal og deres egenskaber. Vi lader Z betegne mængden

Læs mere

Sandsynlighedsteori 1.1 Uge 44.

Sandsynlighedsteori 1.1 Uge 44. Institut for Matematiske Fag Aarhus Universitet Den 18. oktober 2004. Sandsynlighedsteori 1.1 Uge 44. Forelæsninger: Vi afslutter foreløbigt den rene mål- og integralteori med at gennemgå afsnittet Produktmål,

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

Wigner s semi-cirkel lov

Wigner s semi-cirkel lov Wigner s semi-cirkel lov 12. december 2009 Eulers Venner Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Diagonalisering af selvadjungeret matrix Lad H være en n n matrix med komplekse

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 8 Morten Grud Rasmussen 18. oktober 216 1 Fourierrækker 1.1 Periodiske funktioner Definition 1.1 (Periodiske funktioner). En periodisk funktion f er

Læs mere

Exponentielle familer, ark 2

Exponentielle familer, ark 2 1 Exponentielle familer, ark 2 Eksponentielle familier OPGAVE 21 Beksriv den eksponentielle familie på (R, B) givet ved følgende data: V er R med det sædvanlige indre produkt, den kanoniske stikprøvefunktion

Læs mere

Karakteristiske funktioner og Den Centrale Grænseværdisætning

Karakteristiske funktioner og Den Centrale Grænseværdisætning E6 efterår 1999 Notat 10 Jørgen Larsen 20. oktober 1999 Karakteristiske funktioner og Den Centrale Grænseværdisætning Karakteristiske funktioner som er nære slægtninge til Fourier-transformationen) er

Læs mere

MASO-Eksempler. x n. + 1 = 1 y n

MASO-Eksempler. x n. + 1 = 1 y n 3. oktober EXPL 1 Eksempel 1. Et par talfølger: (1 ( (3 (4 (5 (6 (7 (8 MASO-Eksempler,,,,,,..., n =, 1, 1, 1, 1, 1, 1,..., n = 1 1,, 1,, 1,, 1,..., n = (1 + ( 1 n /,, 1,,,, 3,..., n = n(1 + ( 1 n /4, 1,

Læs mere

z j 2. Cauchy s formel er værd at tænke lidt nærmere over. Se på specialtilfældet 1 dz = 2πi z

z j 2. Cauchy s formel er værd at tænke lidt nærmere over. Se på specialtilfældet 1 dz = 2πi z Matematik F2 - sæt 3 af 7 blok 4 f(z)dz = 0 Hovedemnet i denne uge er Cauchys sætning (den der står i denne sides hoved) og Cauchys formel. Desuden introduceres nulpunkter og singulariteter: simple poler,

Læs mere

3. Operatorer i Hilbert rum

3. Operatorer i Hilbert rum 3.1 3. Operatorer i Hilbert rum 3.1. Riesz repræsentationssætning og den adjungerede operator. Vi vil nu se mere systematisk på lineære afbildninger mellem Hilbert rum. Der er en tradition for at afbildninger

Læs mere

83 - Karakterisation af intervaller

83 - Karakterisation af intervaller 83 - Karakterisation af intervaller I denne opgave skal du bevise, at hvis A er en delmængde af R med følgende egenskab: x, y, z R : x, y A og x < z < y z A (1) så er A enten et interval eller en mængde

Læs mere

Hilbert rum. Chapter Indre produkt rum

Hilbert rum. Chapter Indre produkt rum Chapter 4 Hilbert rum 4.1 Indre produkt rum I det følgende skal vi gøre brug af komplekse såvel som reelle vektorrum. Idet L betegner enten R eller C minder vi om, at et vektorrum over L er en mængde E

Læs mere

Mere om differentiabilitet

Mere om differentiabilitet Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget

Læs mere

Appendix 1. Nogle egenskaber ved reelle tal.

Appendix 1. Nogle egenskaber ved reelle tal. - 0 - Appendi. Nogle egenskaber ved reelle tal. Som bekendt består de reelle tal R (dvs. alle tal på tallinien) af de rationale tal Q og de irrationale tal I, dvs. R = Q I. De rationale tal Q er mængden

Læs mere

Kompleks Funktionsteori

Kompleks Funktionsteori Kompleks Funktionsteori Formelræs Holomorfe funktioner Sætning. (Caucy-Riemans ligninger). Funktionen f : G C, f = u+iv er holomorf i z 0 = x 0 + iy 0 hvis og kun hvis i punktet (x 0, y 0 ). du dx = dv

Læs mere

Archimedes Princip. Frank Nasser. 12. april 2011

Archimedes Princip. Frank Nasser. 12. april 2011 Archimedes Princip Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

Vektorfelter langs kurver

Vektorfelter langs kurver enote 25 1 enote 25 Vektorfelter langs kurver I enote 24 dyrkes de indledende overvejelser om vektorfelter. I denne enote vil vi se på vektorfelternes værdier langs kurver og benytte metoder fra enote

Læs mere

Differentiation af sammensatte funktioner

Differentiation af sammensatte funktioner 1/7 Differentiation af sammensatte funktioner - Fra www.borgeleo.dk En sammensat funktion af den variable x er en funktion, vor x først indsættes i den såkaldte indre funktion. Resultatet fra den indre

Læs mere

Klassisk Taylors formel

Klassisk Taylors formel p. 1/17 Klassisk Taylors formel Sætning Lad f : (a, b) R være n gange differentiabel. For x 0, x (a, b) findes et ξ mellem x 0 og x der opfylder at f(x) = f(x 0 )+ f (x 0 ) 1! (x x 0 )+...+ f(n 1) (x 0

Læs mere

DesignMat Uge 8 Integration og elementære funktioner

DesignMat Uge 8 Integration og elementære funktioner DesignMat Uge 8 Integration og elementære funktioner Preben Alsholm Forår 008 Hyperbolske funktioner. sinh og cosh sinh og cosh Sinus hyperbolsk efineres sålees for alle x R sinh x = ex e x Cosinus hyperbolsk

Læs mere

ANALYSE 1, 2014, Uge 5

ANALYSE 1, 2014, Uge 5 ANALYSE, 204, Uge 5 Afleveringsfrist for Prøve 2 er Tirsdag den 20/5 kl 0:5. Forelæsninger Tirsdag Vi går videre med Afsnit 4 om uniform konvergens af Fourierrækker, hvor hovedsætningen er Sætning 4.3.

Læs mere

z + w z + w z w = z 2 w z w = z w z 2 = z z = a 2 + b 2 z w

z + w z + w z w = z 2 w z w = z w z 2 = z z = a 2 + b 2 z w Komplekse tal Hvis z = a + ib og w = c + id gælder z + w = (a + c) + i(b + d) z w = (a c) + i(b d) z w = (ac bd) + i(ad bc) z w = a+ib c+id = ac+bd + i bc ad, w 0 c +d c +d z a b = i a +b a +b Konjugation

Læs mere

Integration. Frank Nasser. 15. april 2011

Integration. Frank Nasser. 15. april 2011 Integration Frank Nasser 15. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er en arkiveret

Læs mere

Noget om en symmetrisk random walks tilbagevenden til udgangspunktet

Noget om en symmetrisk random walks tilbagevenden til udgangspunktet Random Walk-kursus 2014 Jørgen Larsen 14. oktober 2014 Noget om en symmetrisk random walks tilbagevenden til udgangspunktet Dette notat giver et bevis for at en symmetrisk random walk på Z eller Z 2 og

Læs mere

Integration m.h.t. mål med tæthed

Integration m.h.t. mål med tæthed Integration m.h.t. mål med tæthed Sætning (EH 11.7) Lad ν = f µ på (X, E). For alle g M + (X, E) gælder at gdν = g f dµ. Bevis: Standardbeviset: 1) indikatorfunktioner 2) simple funktioner 3) M + -funktioner.

Læs mere

Nogle grundlæggende begreber

Nogle grundlæggende begreber BE2-kursus 2010 Jørgen Larsen 5. februar 2010 Nogle grundlæggende begreber Lidt simpel mængdelære Mængder består af elementer; mængden bestående af ingen elementer er, den tomme mængde. At x er element

Læs mere

Elementær Matematik. Funktioner og deres grafer

Elementær Matematik. Funktioner og deres grafer Elementær Matematik Funktioner og deres grafer Ole Witt-Hansen 0 Indhold. Funktioner.... Grafen for en funktion...3. grafers skæring med koordinat akser...4. To grafers skæringspunkter...4 3. Egenskaber

Læs mere

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013) Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer

Læs mere

Histogrammetoden For (x i, y i ) R 2, i = 1,..., n, ser vi på den gennemsnitlige. Histogrammetoden. Histogrammetoden.

Histogrammetoden For (x i, y i ) R 2, i = 1,..., n, ser vi på den gennemsnitlige. Histogrammetoden. Histogrammetoden. For ( i, y i ) R 2, i =,, n, ser vi på den gennemsnitlige længde: z = n hvor z i = i 2 + yi 2 Indfør tabellen samt vægtene Da er z i = n 2 i + y 2 i a k = #{i 00z i = k}, k N 0 z ned := ν k = a k n 00kν

Læs mere

MASO Uge 5. Topologi i euklidiske rum. Jesper Michael Møller. Uge 5. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen

MASO Uge 5. Topologi i euklidiske rum. Jesper Michael Møller. Uge 5. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen MASO Uge 5 Topologi i euklidiske rum Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 5 Formålet med MASO Oversigt Åbne og afsluttede mængder Det indre, det ydre, afslutningen,

Læs mere

Indledning. 1 Martingalerepræsentationssætningen

Indledning. 1 Martingalerepræsentationssætningen Indledning I disse noter vil uddybe nogle af Øksendals resultater i afsnittene 4 og 7 samt give andre beviser for dem. Disse resultater er gennemgået til forelæsningerne. 1 Martingalerepræsentationssætningen

Læs mere

13 Markovprocesser med transitionssemigruppe

13 Markovprocesser med transitionssemigruppe 13 Markovprocesser med transitionssemigruppe I nærværende kapitel vil vi antage at tilstandsrummet er polsk, hvilket sikrer, at der findes regulære betingede fordelinger. Vi skal se på eksistensen af Markovprocesser.

Læs mere

MASO Uge 5. Topologi i euklidiske rum. Jesper Michael Møller. Uge 5. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen

MASO Uge 5. Topologi i euklidiske rum. Jesper Michael Møller. Uge 5. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen MASO Uge 5 Topologi i euklidiske rum Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 5 Formålet med MASO Oversigt Åbne og afsluttede mængder Det indre, det ydre, afslutningen,

Læs mere

Løsningsforslag Mat B August 2012

Løsningsforslag Mat B August 2012 Løsningsforslag Mat B August 2012 Opgave 1 (5 %) a) Løs uligheden: 2x + 11 x 1 Løsning: 2x + 11 x 1 2x x + 1 0 3x + 12 0 3x 12 Divideres begge sider med -3 (og husk at vende ulighedstegnet!) x 4 Opgave

Læs mere

Om hypoteseprøvning (1)

Om hypoteseprøvning (1) E6 efterår 1999 Notat 16 Jørgen Larsen 11. november 1999 Om hypoteseprøvning 1) Det grundlæggende problem kan generelt formuleres sådan: Man har en statistisk model parametriseret med en parameter θ Ω;

Læs mere

Heisenbergs usikkerhedsrelationer. Abstrakt. Hvorfor? Funktionsrum. Nils Byrial Andersen Institut for Matematik. Matematiklærerdag 2013

Heisenbergs usikkerhedsrelationer. Abstrakt. Hvorfor? Funktionsrum. Nils Byrial Andersen Institut for Matematik. Matematiklærerdag 2013 Heisenbergs usikkerhedsrelationer Nils Byrial Andersen Institut for Matematik Matematiklærerdag 013 1 / 17 Abstrakt Heisenbergs usikkerhedsrelationer udtrykker at man ikke på samme tid både kan bestemme

Læs mere

Integration. Frank Villa. 8. oktober 2012

Integration. Frank Villa. 8. oktober 2012 Integration Frank Villa 8. oktober 2012 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 1

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

Funktioner af to variable

Funktioner af to variable enote 15 1 enote 15 Funktioner af to variable I denne og i de efterfølgende enoter vil vi udvide funktionsbegrebet til at omfatte reelle funktioner af flere variable; vi starter udvidelsen med 2 variable,

Læs mere

Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 2016

Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 2016 Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 16 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende

Læs mere

Aarhus Universitet 5. februar Meddelelse 2

Aarhus Universitet 5. februar Meddelelse 2 fdeling for Teoretisk Statistik IOSTTISTIK Institut for Matematiske Fag Preben læsild arhus Universitet 5. februar 2003 Meddelelse 2 Forelæsningerne i uge 6 (3-7.2) Ved forelæsningen den 4.2 gav Frank

Læs mere

1/41. 2/41 Landmålingens fejlteori - Lektion 1 - Kontinuerte stokastiske variable

1/41. 2/41 Landmålingens fejlteori - Lektion 1 - Kontinuerte stokastiske variable Landmålingens fejlteori - lidt om kurset Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Kursusholder

Læs mere