Supplerende opgaver. S1.3.1 Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Supplerende opgaver. S1.3.1 Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at"

Transkript

1 Supplerende opgaver Analyse Jørgen Vesterstrøm Forår 2004 S.3. Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at (A B C) (A B C) (A B) C og find en nødvendig og tilstrækkelig betingelse for at der gælder lighedstegn ovenfor. S.3.2 Sæt for t R A t = {(, y) R 2 y t 2 2t( t)} Bestem mængden t R A t, og illustrer med en figur i planen. S.3.3 Sæt for ethvert positivt r R C r = {(, y) R 2 ( r) 2 + y 2 < r 2 } Bestem mængden r>0 C r, og illustrer med en figur i planen. S.3.4 Lad f n være en følge af reelle funktioner på R. Antag at f() := sup n f n () < for ethvert R. For a R sættes A n = { f n () a}. Vis at A n = { f() a} n Hvad kan siges om mængderne { f n () < a} og { f() < a} n S.3.5 Lad f : X Y være en afbildning, og lad A X. Vis at f(ã) f(x) f(a). S.4. Lad A, B og C være delmængder af X( ). Sæt C = {A, B, C}, og lad A være mængdealgbraen frembragt af C. Vis at A består af højst 256 elementer. Giv et eksempel på at dette antal kan forekomme. Hvilke andre muligheder er der for antallet af mængder i A? S.4.2 Lad f : X Y være en funktion, og B en mængdealgebra på Y. Vis at {f (B) B B} er en mængdealgebra på X. S2.. Givet A R sættes B = A = { A}. Vis at sup B = inf A, og formuler og bevis en tilsvarende formel for inf B. S2..2 Vis at Lad f : R R R være en reel funktion af to variable. sup inf y f(, y) inf y sup f(, y)

2 2 og giv et eksempel på at skarp ulighed kan forekomme. S2.4. Definerer en reel talfølge ved = og 2 n+ = 2 n for n. Find lim n n og lim n n (Vink). S2.4.2 Lad n=0 a nz n være en kompleks potensrække. Sæt r := hvor l = lim n l n a n (incl. tilfældene 0 og ). Vis at rækken er konvergent for z < r og divergent for z > r. (Tekniske vink: Hvis z < r findes ε > 0 så z (l + ε) <. 2 Hvis z > r, findes ε > 0 så z (l ε) > ). S2.4.3 Sætning i Lindstrøm udsiger ikke alt det der fremgår af beviset. Check at følgende vises: Hvis følgen (a n ) voksende og opad begrænset, eksisterer lim n a n og er lig med sup n a n. Overvej at dette også er rigtigt for voksende følger der ikke nødvendigvis er begrænsede opadtil ( + = + ). Formuler og bevis en tilsvarende sætning for aftagende følger. Indse herved at for en vilkårlig reel følge (b n ) gælder at inf b k = lim b k, sup n k n sup n k n altså at definitionerne af lim sup n b n i Mat-noterne og HLR stemmer overens. Vis til sidst det tilsvarende for lim inf n b n. S2.5. Lad a være et reelt tal, og antag at A [a, ) er en mængde som opfylder (i) a A (ii) [a, ) A A (iii) A ε > 0 : [, + ε) A Vis at A = [a, ). S2.5.2 Lad f og g være kontinuerte reelle funktioner på R. Antag at f() = g() for alle Q (de rationale tal). Vis at f = g. S3.2. Antag at A B R. Vis at m A m B. Antag yderligere at m A <. Vis at m (B Ã) m B m A S3.3. Lad A og B være delmængder af R med A [0, ) og B (, 0). Vis at m (A B) = m (A) + m (B) S3.3.2 Lad (E n ) være en følge af målelige delmængder af R med E E 2 E n. Vis at (Vink) m( n E n ) = lim n m(e n ) = sup m(e n ) n S3.3.3 Betragt for hvert reelt tal a mængden { R n N : n < < n + a n } Vis at mængden er målelig (endda åben) og beregn dens mål.

3 S3.3.4 Antag at E R opfylder (ii) i Prop 3.5, altså at ε > 0 O åben : O E og m (O E) < ε. Udnyt dette for hvert ε = n til at finde O n, og sæt G = O n. Vis herved (iv) i samme prop. Vis til sidst at (iv) medfører (i): E er målelig, ved at omskrive E passende vha. G. S3.3.4 Antag at E R opfylder (ii) i Prop 3.5, altså at ε > 0 O åben : O E og m (O E) < ε. Udnyt dette for hvert ε = n til at finde O n, og sæt G = O n. Vis herved (iv) i samme prop. Vis til sidst at (iv) medfører (i): E er målelig, ved at omskrive E passende vha. G. S3.3.5 Antag at (E n ) er en følge af målelige mængder der alle er indeholdt i [0, ]. Antag at lim sup m(e n ) > 0. Opgaven går (bl.a.) ud på at vise der findes så E n for uendelig mange E n. Sæt først E = { E n for uendelig mange n}. (a) Vis at E = n= k n E k, specielt at E er målelig. (b) Vis dernæst m( k n E k) sup k n m(e k ). (c) Slut heraf at m(e) lim sup n m(e n ). (d) Vis det ønskede. (e) Hvor bruges at mængderne er indeholdt i samme begrænsede mængde (her [0, ]). S3.3.6 (Cantormængden). Fjern fra [0, ] den midterste åbne tredjedel (, 2). Restmængden C 3 3 = [0, ] [ 2, ] er en disjunkt forening 3 3 af to lukkede intervaller. Fjern igen den midterste tredjedel fra hvert af disse intervaller. Hver fremkommer C 2 som disjunkt forening af fire lukkede intervaller. Mængden C 3 konstrueres tilsvarende. Beskriv og tegn C 3, herunder beregn m(c 3 ). Således fortsættes. Undersøg C n. Fællesmængden C = C n (altså alle de punkter der ikke bliver fjernet) kaldes for Cantormængden. Vis at m(c) = 0 Det følgende går ud på at vise at C alligevel er stor : Den er utællelig. Først beskrives C i tretalssystemet. Ethvert [0, ] har en trialbrøksfremstilling = 0 (3), a a 2 a 3..., hvormed menes = a n n= 3 n hvor a n er et af cifrene 0, eller 2. Det at at visse tal har flere trialbrøksfremstillinger, f = 0 3 3, 000 = 0 3, , er grunden til de forsigtige formuleringer i det følgende. Overvej at C netop når har en trialbrøksfremstilling med a = 0 eller 2. Hvordan kan C 2 beskrives? Og C n? Indse herved at C netop når har en trialbrøksfremstilling med lutter 0 og 2 (altså ingen -taller). Til sidst defineres F : C [0, ] ved F () = a n/2 n= for = 2 n a n n= 3 n. Vis at F er surjektiv og dermed at C ikke er tællelig. Bemærkning. C er vistnok den først kendte fraktal. Den kan skrives som en disjunkt forening C = E E 2, hvor de to E er fremgår af C ved en multiplikation (ligedannethedstransformation) af C med faktor 3. Hvis det på nogen måde er muligt at tillægge mængden en dimension d, må den opfylde ( 3 )d + ( 3 )d =, hvoraf d = log 2 log

4 4 S3.3.7 Antag at E er en begrænset delmængde af R, f E [a, b] =: I. Antag at m (E) + m (I Ẽ) = m (I) Opgaven går ud på at vise at det sikrer måleligheden af E. Da størrelsen m (I) m (I Ẽ) kan fortolkes som det indre mål af E, ser vi at målelighed i dette tilfælde hænger på at indre mål = ydre mål. () Gør rede for at der findes målelige mængder G og G 2 så G E, G 2 I Ẽ og m (G ) + m (G 2 ) = m (I) (2) Vis at m(g G 2 ) = 0 (3) Vis at G E er en nulmængde (4) Vis at E er målelig. S3.5. Vis følgende n.o.-regler (a) f = f n.o. og g = g n.o f + g = f + g n.o. (b) f n 0 n.o. n f n 0 n.o. (mere præcist: Rækken er konvergent n.o. og... ) Find andre sådanne regler, og bevis dem. S3.5.2 Lad f : R R være kontinuert. Vis at f er målelig. S3.5.3 Lad f : D R være målelig. Vis at funktionen sin f() er målelig. S3.5.4 Lad f være en reel funktion på den målelige mængde E R. Vis at f er målelig hvis og kun hvis f (O) er målelig for alle åbne mængder O R S3.6. Betragt grænseovergangen f n () = n 0 på [0,). Lad ε > 0 og δ > 0 (og begge mindre end ). Prop sikrer så eksistensen af N N og A [0, ) så () m(a) < δ og (2) f n () < ε for n N og / A. Angiv N og A eksplicit (som funktioner af ε og δ). S4.2. Øverst s. 79 bruges at ϕ 0 hvis blot ϕ 0 n.o. på E E ( stadig med ϕ simpel og m(e) < ). Vis dette vha. den kanoniske fremstilling. S4.2.2 Lad f 0 være målelig og begrænset på E hvor m(e) <. Vis Markovs ulighed: E m({ f() δ}) f ( δ > 0) δ S4.2.3 Lad f være som ovenfor. Antag f = 0. Vis at f = 0 n.o. E (vink: sæt δ = ). n S4.2.4 Lad f være kontinuert på [0, ]. Beregn lim n 0 f(n )d (og vis eksistensen) vha. prop 4.6.

5 S4.2.5 Sæt f n () = n for 0 < < n og 0 ellers. Vis at f n() 0 for alle, men at f n()d l 0. Strider det mod prop 4.6? π S4.2.6 Find lim n (cos 0 )2n d S4.2.7 Lad f være begrænset og målelig på E hvor m(e) <. Antag at E E 2 er en voksende følge af målelige mængder med n E n = E. Vis at lim E n f = f E S4.3. Find integralet over [, ) af funktionen f() = 2 ved at bruge sætningen om monoton konvergens på en passende følge (f n ) af begrænsede målelige funktioner med m({ f n () 0}) < S4.3.2 Her skal vises et par ubeviste delpåstande i to beviser i HLR. (i) Vis (i beviset for prop. 8 s. 86) at k() g(). (ii) Vis (i beviset for Fatou s Lemma s. 87) at h n sup h, og at h n = 0 uden for E. S4.4. (i) Lad f være en positiv målelig funktion på E. Antag f <. Vis at f < n.o. E (ii) (Beppo Levis sætning) Lad (u n ) være en følge af positive målelige funktioner på E. Antag at u E n <. Vis at rækken u n () er konvergent (med endelig sum) for n.a.. (iii) Lad (A n ) være en følge af målelige delmængder af R. Antag at m(a n ) <. Vis at for n.a gælder at tilhører højst endelig mange A n. S4.4.2 Find lim n 2π 0 (cos 4)n d S4.4.3 Find integralet over (0, ) af funktionen f() = ved at skære ned til (, ) (dvs. se på f n n() = f()χ [/n,] ()) og bruge en passende konvergenssætning. Slut at funktionen sin er integrabel på (0, ). S4.4.4 (Beppo Levis sætning med vilkårligt fortegn, cf. S4.4.) (i) Lad (u n ) være en følge af målelige funktioner på E. Antag at E u n <. Vis at rækken u n () er konvergent for n.a.. (ii) Lad f() := u n () være den n.o. definerede funktion på E. Vis at f er integrabel på E (uanset hvad f sættes til på undtagelsesmængden), og at E f = E u n. S5.2. Lad F : [a, b] R være en monotont voksende funktion med F ([a, b]) = [F (a), F (b)] (dvs. værdimængden er et interval). Vis at F er kontinuert (analyser eventuelle springs effekt på værdimængden vha. HLR opg. 7a). S5.2.2 Cantorfunktionen (fra opg. S3.3.6) kan udvides til hele [0, ] så den bliver monoton. Først en uformel beskrivelse: Sæt F = 2 på den først fjernede midterste åbne tredjedel. Herefter F = 4 hhv. 3 4 på de to åbne midterste der fjernes i anden omgang. Fortsæt således. Ovenstående kan beskrives med trialbrøker. Hvis [0, ] C, har 5

6 6 en fremstilling = a n n= 3 n hvor ikke alle a n er 0 eller 2. Lad N være det mindste k med a k = og indse at Vis at F er kontinuert. F () = N n= a n /2 + a N 2 n 2 N S5.3. Lad f være integrabel på [a, b], og antag at det ubestemte integral F () = f(t)dt er overalt differentiabel med begrænset differentialkvotient. Udnyt Sætningen i Notat 5 og en passende sætning a fra HLR Kap 5. til at vise F = f n.o. S5.4. Lad F være en funktion af begrænset variation på [a, b]. Vis at hvis F er kontinuert, er T (= T a ) det også (Vink). S5.5. Lad ϕ være konveks på et interval (c, d), og lad f være en integrabel funktion på [a, b] hvis værdier ligger i (c, d). Vis følgende udgave af Jensens ulighed: b a b a ϕ(f(t))dt ϕ( b a b a f(t)dt) S Lad ϕ være konveks på (0, ). Vis at funktionen ϕ( ) er konveks. (Det er ret tricket uden antagelse om differentiabilitet). Undersøg om ϕ( ) er konveks. S5.5.3 (a) Lad f være en konveks funktion. Vis at f( ) f( )+f( 2 )+f( 3 ) 3 (b) Lad A, B og C være vinklerne i en plan trekant. Vis at sin A + sin B + sin C (c) (for dem der har sinusrelationerne present) Vis at a+b+c 3 3R, hvor a, b og c er siderne i trekanten og R radius i den omskrevne cirkel. S6.. Lad f() = for 0 < For hvilke p gælder f L p? S6..2 Find en funktion f på (0, ) såf / L 3, men f L p for p < 3. S6..3 Vis at L r (0, ) L p (0, ) for r p. S6..4 Lad f() = ln for 0 <. Vis at f / L, og at f L p for alle p med p <. S6.2. Antag at f n f og g n g, begge i p-middel. Vis at f n + g n f + g, også i p-middel. Vis også at f n p f p. S6.2.2 Antag at f n f i p-middel, og at g n g i q-middel, hvor p og q opfylder p + q =. Vis at f n g n fg i -middel. S6.3. Antag om følgen (f n ) i L p at f n f n.o, og at der findes h L p så f n h for alle n. Vis at f n f i p-middel.

7 S6.3.2 Lad f n være en følge i L (0, ) givet ved f n () = n for 0 n. Undersøg om følgen er konvergent i -middel, og om den er konvergent n.o. S6.3.3 (a) Lad y og y 2 være reelle tal. Vis at y + y + 2 y y 2. (b) Lad (f n ) være en følge i L p med lim n f n = f i p-middel. Vis at f + n er i L p, og at lim n f + n = f + i p-middel. S.2. Denne opgave går ud på at vise at for målelige (overalt endelige) funktioner f og g på (X, B, µ) og h kontinuert på R 2 er den sammensatte funktion h(f(), g()) også målelig på X (a) Lad O R 2 være en åben mængde. Vis at O er en højst tællelig forening af åbne rektangler: O = I n J n hvor I n og J n er åbne intervaller (b) Lad I og J være åbne intervaller. Vis at { (f(), g() I J} er målelig. (c) Gør rede for at { h(f(), g()) > α} = { (f(), g() h (α, )}, og slut vha. (a) og (b) det ønskede resultat. S.2.2 Lad (X, B, µ) være et målrum, og lad f og g være målelige funktioner som opfylder at de er nul uden for en mængde med endeligt mål. Vis at mængden er målelig med endeligt mål. { X f() + g() 0} S.3. Betragt målrummet (N, P(N), ν) hvor ν er tællemålet på (N, P(N)), altså ν(a) = antal elementer i A = n A for alle A N. (a) Vis at en reel funktion på N er integrabel hvis og kun hvis n f(n) <, og at fdν = n f(n) i bekræftende fald. (b) Lad a mn være en dobbeltfølge af reelle tal. Antag om den at () a mn b n med n b n < (2) lim m a mn = a n findes for alle n Vis (Vink) at lim m n a mn = n a n S.3.2 (a) Lad a mn være en dobbeltfølge af reelle tal med a mn 0 for alle m og n. Antag at lim m a mn = a n findes for alle n. Vis at n a n lim m n a mn (b) Lad b n være en følge af reelle tal med b n 0. Vis at n b n = lim m n b n( m )n S.7. Vis at L (0, ) L 2 (0, ) og L 2 (0, ) L (0, ). S2.. Lad X være en mængde, og definerer µ ved µ (A) = for = A X og µ ( ) = 0. Vis at µ er et ydre mål. Find alle de µ -målelige delmængder. S2..2 Lad for hvert n N µ n være et ydre mål på X. Vis at der ved µ (A) = n µ n(a) defineres et ydre mål på X. Vis at hvis E er µ n-målelig for alle n, er E også µ -målelig. 7

8 8 S2..3 Betragt betingelserne der optræder for ydre mål. Udgave nr. 2 af betingelse iii (på s. 289) kaldes herefter iv. Vis at betingelse i og iii sammen medfører ii. Vis (som hævdet) at i, ii og iv medfører iii. S2.4. (det todimensionale Lebesgue mål). Det todimensionale Lebesguemål m 2 (på R 2 ) defineres ved m 2 = m m (a) Vis at åbne mængder i R 2 er målelige (brug opg. S.2.(a)). (b) Vis at enhver kontinuert funktion er målelig. (c) Gør rede for at hvis E R er målelig, er E R R 2 det også. (d) Lad f være målelig på R. Vis at funktionen (, y) f() på R 2 er målelig. (e) Lad f og g være målelige funktioner på R. Vis at funktionen f()g(y) på R 2 er målelig. S2.4.2 Lad f være defineret på [0, ] [0, ] ved { ( + y) α hvis + y > 0 f(, y) = 0 hvis + y = 0 hvor α R. Undersøg for hvilke værdier af α funktionen f er integrabel, og udregn integralet for disse α. S2.4.3 Lad f være defineret på R 2 ved f(, y) = e y 2e 2y. Vis at de to itererede integraler 0 f(, y)ddy og 0 f(, y)dyd eksisterer, men er forskellige (Vink). Strider det mod Fubinis sætning? S2.4.4 Lad f være defineret på [0, ] [0, ] ved { y α hvis y f(, y) = 0 hvis = y hvor α R. Undersøg for hvilke værdier af α funktionen f er integrabel, og udregn integralet for disse α. S2.4.5 Vis at HLR Prop. 2.8 (Fubini for mængder) gælder hvis ) antagelsen om λ(e) < stryges, men 2) X og Y antages at være σ-endelige. FN. Vis at l p l s for p s (l er mængden af begrænsede følger = ( n ) med normen = sup n n ). Vis også p s FN.2 Antag at l p for et p <. Vis at lim s,s p s = FN.3 Lad der for hvert r N være givet r l p (hvert r har formen r = ( r n) n=). Antag at lim r = 0 i l p. Vis at lim r r n = 0 for hvert n. Gælder det omvendte? FN.4 Vis at mængden af punkter = ( n ) i (det reelle) l p med mindst én positiv koordinat er en åben mængde.

9 Er mængden åben i l p? { = (, 2,..., n,... ) n > 0 for alle n} FN.5 Lad (V, ) være et normeret rum. Vis at enhedskuglen { V } er en lukket konveks mængde. Vis at hvis to normer på V har samme enhedskugle, da stemmer de to normer overens. FN.6 Lad f være en kontinuert funktion på [0, ], og antag 0 f()n d = 0 for alle n = 0,, 2, 3,... Vis at f = 0 (Vink). FN.7 Lad C ([a, b]) være vektorrummet af komplekse, kontinuert differentiable funktioner på [a, b]. Vis at der ved f = ma t er defineret en norm på C ([a, b]). Vis at rummet er et Banachrum. f(t) + ma f (t) t FN.8 Betragt mængden P af (restriktioner af) polynomier på [0, ]. Vis at P er tæt i L (0, ) ved at udnytte at mængden af kontinuerte funktioner er tæt i L (0, ) (jf. HLR Prop. 5.8 anden påstand som vi ikke har vist). FN3.. Lad f L 2 (0, ), og sæt g(t) = tf(t). Vis at g 2 f 2. Vis herved at operatoren T : L 2 (0, ) L 2 (0, ) givet ved (T f)(t) = tf(t) opfylder T. Vis at for ε > 0 findes f L 2 (0, ) med f 2 så g 2 ε. Slut heraf T =. S0.2. Lad S : X Y og T : Y Z være lineære operatorer på normerede rum. Vis at T S er lineær og T S T S. Vink S2.4. Undersøg polynomiet ( ( 2 ) 2 på intervallet [0, ], og vis herved at og S3.3.2 E n = (E n E n ) (E 2 E ) er en disjunkt forening. S5.4. For at vise at Ta er højrekontinuert i c vælges til ε > 0 dels ) et δ > 0 så F () F (c) ε for c < δ og 2) dels en inddeling af [c, b] med t Tc b ε. Ved at videreinddele kan vi antage at første delepunkt z opfylder z c < δ Herefter fås at Ta z Ta c = Tc b Tz b t + ε Tz b F (z) F (c) + Tz b + ε Tz b F (z) F (c) + ε 2ε S.3. Betragt funktionsfølgen (f m ) m= givet ved f m (n) = a mn S2.4.3 Forsøg ikke at udregne integralerne, men kun deres fortegn. FN.6 Slut i rækkefølge: f()g()d = 0 for ) g et polynomium, 2) g kontinuert og 3) et specielt valg af g 0. 9

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Juni 2000 MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Opgave 1. (a) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen y 8y + 16y = 0. (b) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen

Læs mere

Eksamensnoter til Analyse 1

Eksamensnoter til Analyse 1 ksamensnoter til Analyse 1 Martin Geisler gimpster@daimi.au.dk Sommer 23 Indledning Disse noter gennemgår de 26 spørgsmål stillet til den mundtlige eksamen i Analyse 1 ved Aarhus Universitet sommeren 23.

Læs mere

= λ([ x, y)) + λ((y, x]) = ( y ( x)) + (x y) = 2(x y).

= λ([ x, y)) + λ((y, x]) = ( y ( x)) + (x y) = 2(x y). Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 17. og 20. september 2013 Supplerende opgave 1 Lad λ være Lebesgue-målet på R og lad A B(R). Definér en funktion f : [0, ) R ved f(x) = λ(a [ x, x]). Vis, at f(x)

Læs mere

Potensrækker. Morten Grud Rasmussen 1 10. november 2015. Definition 1 (Potensrække). En potensrække er en uendelig række på formen

Potensrækker. Morten Grud Rasmussen 1 10. november 2015. Definition 1 (Potensrække). En potensrække er en uendelig række på formen Potensrækker Morten Grud Rasmussen 1 10 november 2015 Definition og konvergens af potensrækker Definition 1 Potensrække) En potensrække er en uendelig række på formen a n pz aq n, 1) hvor afsnittene er

Læs mere

Analyse 2. Bevis af Fatous lemma (Theorem 9.11) Supplerende opgave 1. Øvelser

Analyse 2. Bevis af Fatous lemma (Theorem 9.11) Supplerende opgave 1. Øvelser Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 24. og 27. september 203 Bevis af Fatous lemma (Theorem 9.) Hvis (u j ) j er en følge af positive, målelige, numeriske funktioner (dvs. med værdier i [, ]) over

Læs mere

Analyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X).

Analyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 3. og 6. september 2013 Gennemgå bevis for Sætning 2.10 Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Bevis. Der findes en injektion X P(X), fx givet ved x

Læs mere

Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 03

Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 03 IMFUFA Carsten Lunde Petersen Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 0 Hvor ikke andet er angivet er henvisninger til W.R.Wade An Introduction to analysis. Opgave a) Idet udtrykket e x2 cos

Læs mere

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 3. fjerdedel

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 3. fjerdedel MATEMATIK Eksamensopgaver Juni 995 Juni 200, 3. fjerdedel August 998 Opgave. Lad f : R \ {0} R betegne funktionen givet ved f(x) = ex x for x 0. (a) Find eventuelle lokale maksimums- og minimumspunkter

Læs mere

Hilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum

Hilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum Chapter 3 Hilbert rum 3.1 Indre produkt rum I det følgende skal vi gøre brug af komplekse såvel som reelle vektorrum. Idet L betegner enten R eller C minder vi om, at et vektorrum over L er en mængde E

Læs mere

MASO Uge 1. Relle tal Følger. Jesper Michael Møller. 7. september Department of Mathematics University of Copenhagen

MASO Uge 1. Relle tal Følger. Jesper Michael Møller. 7. september Department of Mathematics University of Copenhagen MASO Uge 1 Relle tal Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen 7. september 2016 Formålet med MASO Integer sequences Oversigt Relle tal Notation Tal Overtal og undertal Største

Læs mere

Taylorudvikling I. 1 Taylorpolynomier. Preben Alsholm 3. november Definition af Taylorpolynomium

Taylorudvikling I. 1 Taylorpolynomier. Preben Alsholm 3. november Definition af Taylorpolynomium Taylorudvikling I Preben Alsholm 3. november 008 Taylorpolynomier. Definition af Taylorpolynomium Definition af Taylorpolynomium Givet en funktion f : I R! R og et udviklingspunkt x 0 I. Find et polynomium

Læs mere

2. Fourierrækker i en variabel

2. Fourierrækker i en variabel .1. Fourierrækker i en variabel I Kapitel II 7 blev der indført, dels funktionsrummene L p (X, µ) (mere udførligt skrevet L p (X, E, µ)), dels rummene L p (X, µ), der fås af L p (X, µ) ved at funktioner

Læs mere

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra

Læs mere

af koblede differentialligninger (se Apostol Bind II, s 229ff) 3. En n te ordens differentialligning

af koblede differentialligninger (se Apostol Bind II, s 229ff) 3. En n te ordens differentialligning EKSISTENS- OG ENTYDIGHEDSSÆTNINGEN Vi vil nu bevise eksistens- og entydighedssætningen for ordinære differentialligninger. For overskuelighedens skyld vil vi indskrænke os til at undersøge een 1. ordens

Læs mere

Projekt 1.4 De reelle tal og 2. hovedsætning om kontinuitet

Projekt 1.4 De reelle tal og 2. hovedsætning om kontinuitet Projekt 1.4 De reelle tal og 2. hovedsætning om kontinuitet Mens den 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner kom forholdsvis smertefrit ud af intervalrusebetragtninger, så er 2. hovedsætning betydeligt

Læs mere

GEOMETRI-TØ, UGE 8. X = U xi = {x i } = {x 1,..., x n }, U α, U α = α. (X \ U α )

GEOMETRI-TØ, UGE 8. X = U xi = {x i } = {x 1,..., x n }, U α, U α = α. (X \ U α ) GEOMETRI-TØ, UGE 8 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imf.au.dk. Opvarmningsopgave 1. Lad X være en mængde og T familien af alle delmængder

Læs mere

Foldningsintegraler og Doobs martingale ulighed

Foldningsintegraler og Doobs martingale ulighed Foldningsintegraler og Doobs martingale ulighed N.J. Nielsen Indledning I dette notat vil vi vise en sætning om foldningsintegraler, som blev benyttet trin 2 i onstrutionen af Itointegralet, gennemgå esempel

Læs mere

8 Regulære flader i R 3

8 Regulære flader i R 3 8 Regulære flader i R 3 Vi skal betragte særligt pæne delmængder S R 3 kaldet flader. I det følgende opfattes S som et topologisk rum i sportopologien, se Definition 5.9. En åben omegn U af p S er således

Læs mere

Differentialkvotient af cosinus og sinus

Differentialkvotient af cosinus og sinus Differentialkvotient af cosinus og sinus Overgangsformler cos( + p ) = cos sin( + p ) = sin cos( -) = cos sin( -) = -sin cos( p - ) = - cos sin( p - ) = sin cos( p + ) = -cos sin( p + ) = -sin (bevises

Læs mere

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby 24 En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby Det er velkendt for de fleste, at differentiabilitet af en reel funktion f medfører kontinuitet af f, mens det modsatte ikke gælder

Læs mere

GEOMETRI-TØ, UGE 6. . x 1 x 1. = x 1 x 2. x 2. k f

GEOMETRI-TØ, UGE 6. . x 1 x 1. = x 1 x 2. x 2. k f GEOMETRI-TØ, UGE 6 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imfaudk Opvarmningsopgave 1 Lad f : R 2 R være tre gange kontinuert differentierbar

Læs mere

Tonelli light. Eksistensbeviset for µ ν gav målet. for G E K ved succesiv integration. Alternativ definition:

Tonelli light. Eksistensbeviset for µ ν gav målet. for G E K ved succesiv integration. Alternativ definition: Tonelli light Eksistensbeviset for µ ν gav målet ( ) λ(g) = G (x, y)dν(y) dµ(x) for G E K ved succesiv integration. Alternativ definition: ( ) λ(g) = G (x, y)dµ(x) dν(y). Som λ(a B) = µ(a)ν(b) gælder λ(a

Læs mere

MM502+4 forelæsningsslides

MM502+4 forelæsningsslides MM502+4 forelæsningsslides uge 11+12 1, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm, delvis på baggrund af lignende materiale udarbejdet af Mikael Rørdam 1 I nærværende forbindelse er 11 + 12 23 1 Egenskaber for

Læs mere

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2 Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Kalkulus 1 Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund Signe Baggesen 10. januar 2015 Slide 1/54

t a l e n t c a m p d k Kalkulus 1 Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund Signe Baggesen 10. januar 2015 Slide 1/54 Slide 1/54 Indhold 1 2 3 4 5 Slide 2/54 Indhold 1 2 3 4 5 Slide 3/54 1) Hvad er et aksiom? Slide 4/54 1) Hvad er et aksiom? 2) Hvorfor har vi brug for aksiomer? The Monty Hall Problem Slide 4/54 1) Hvad

Læs mere

[BM] Mål- og integralteori, af Christian Berg og Tage Gutmann Madsen, Københavns Universitet, 2001.

[BM] Mål- og integralteori, af Christian Berg og Tage Gutmann Madsen, Københavns Universitet, 2001. INTEGRATIONS- OG FOURIERTEORI 31. januar 2012 Oversigt nr. 1 Lærebogen for kurset er [BM] Mål- og integralteori, af Christian Berg og Tage Gutmann Madsen, Københavns Universitet, 2001. Den skulle være

Læs mere

Funktion af flere variable

Funktion af flere variable Funktion af flere variable Preben Alsholm 6. oktober 2008 1 Funktion af flere variable 1.1 Punktmængder i R k : Definitioner Punktmængder i flerdimensionale rum: Definitioner q Normen af x 2 R k er kxk

Læs mere

Fundamentale begreber fra Analysen. Introduktion. De reelle tal. Carsten Lunde Petersen

Fundamentale begreber fra Analysen. Introduktion. De reelle tal. Carsten Lunde Petersen IMFUFA Carsten Lunde Petersen Fundamentale begreber fra Analysen Introduktion Disse noter udgør et meget ltreret udkik over de grundlæggende begreber i reel analyse. Noten indeholder meget lidt om det

Læs mere

Wigner s semi-cirkel lov

Wigner s semi-cirkel lov Wigner s semi-cirkel lov 12. december 2009 Eulers Venner Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Diagonalisering af selvadjungeret matrix Lad H være en n n matrix med komplekse

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 8 Morten Grud Rasmussen 18. oktober 216 1 Fourierrækker 1.1 Periodiske funktioner Definition 1.1 (Periodiske funktioner). En periodisk funktion f er

Læs mere

Polynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6

Polynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 Indhold 1 Polynomier 2 Polynomier 2 Polynomiumsdivision 4 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 4 Koefficienter 8 5 Polynomier med heltallige koefficienter 9 6 Mere om polynomier med heltallige koefficienter

Læs mere

Noter til Perspektiver i Matematikken

Noter til Perspektiver i Matematikken Noter til Perspektiver i Matematikken Henrik Stetkær 25. august 2003 1 Indledning I dette kursus (Perspektiver i Matematikken) skal vi studere de hele tal og deres egenskaber. Vi lader Z betegne mængden

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

Mere om differentiabilitet

Mere om differentiabilitet Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget

Læs mere

5.3 Konvergens i sandsynlighed Konvergens i sandsynlighed 55. Hvis vi regner den karakteristiske funktion for X, v ud i argumentet 1, fås

5.3 Konvergens i sandsynlighed Konvergens i sandsynlighed 55. Hvis vi regner den karakteristiske funktion for X, v ud i argumentet 1, fås 5.3. Konvergens i sandsynlighed 55 BEVIS: Lad φ 1, φ 2,... og φ være de karakteristiske funktioner for X 1, X 2,... og X. Hvis vi regner den karakteristiske funktion for X, v ud i argumentet 1, fås φ X,v

Læs mere

Funktionsrum. Kapitel 1. 1.1 Funktionsrummet L = L(X, E, µ)

Funktionsrum. Kapitel 1. 1.1 Funktionsrummet L = L(X, E, µ) Kapitel Funktionsrum. Funktionsrummet L = L(X, E, µ) For et vilkårligt målrum (X,E,µ) er mængdenl=l(x,e,µ) afµ-integrable funktioner f :X R et reelt vektorrum ifølge Theorem 7.3 i [EH]. Hvis vi indfører

Læs mere

Program. Statistik og Sandsynlighedsregning. Eksempler. Sandsynlighedstæthed og sandsynlighedsmål

Program. Statistik og Sandsynlighedsregning. Eksempler. Sandsynlighedstæthed og sandsynlighedsmål Program Statistik og Sandsynlighedsregning Sandsynlighedstætheder og kontinuerte fordelinger på R Varians og middelværdi Normalfordelingen Susanne Ditlevsen Uge 48, tirsdag Tætheder og fordelingsfunktioner

Læs mere

Kompleks Funktionsteori

Kompleks Funktionsteori Kompleks Funktionsteori Formelræs Holomorfe funktioner Sætning. (Caucy-Riemans ligninger). Funktionen f : G C, f = u+iv er holomorf i z 0 = x 0 + iy 0 hvis og kun hvis i punktet (x 0, y 0 ). du dx = dv

Læs mere

Exponentielle familer, ark 2

Exponentielle familer, ark 2 1 Exponentielle familer, ark 2 Eksponentielle familier OPGAVE 21 Beksriv den eksponentielle familie på (R, B) givet ved følgende data: V er R med det sædvanlige indre produkt, den kanoniske stikprøvefunktion

Læs mere

Appendix 1. Nogle egenskaber ved reelle tal.

Appendix 1. Nogle egenskaber ved reelle tal. - 0 - Appendi. Nogle egenskaber ved reelle tal. Som bekendt består de reelle tal R (dvs. alle tal på tallinien) af de rationale tal Q og de irrationale tal I, dvs. R = Q I. De rationale tal Q er mængden

Læs mere

MASO Uge 5. Topologi i euklidiske rum. Jesper Michael Møller. Uge 5. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen

MASO Uge 5. Topologi i euklidiske rum. Jesper Michael Møller. Uge 5. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen MASO Uge 5 Topologi i euklidiske rum Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 5 Formålet med MASO Oversigt Åbne og afsluttede mængder Det indre, det ydre, afslutningen,

Læs mere

Noget om en symmetrisk random walks tilbagevenden til udgangspunktet

Noget om en symmetrisk random walks tilbagevenden til udgangspunktet Random Walk-kursus 2014 Jørgen Larsen 14. oktober 2014 Noget om en symmetrisk random walks tilbagevenden til udgangspunktet Dette notat giver et bevis for at en symmetrisk random walk på Z eller Z 2 og

Læs mere

DesignMat Uge 8 Integration og elementære funktioner

DesignMat Uge 8 Integration og elementære funktioner DesignMat Uge 8 Integration og elementære funktioner Preben Alsholm Forår 008 Hyperbolske funktioner. sinh og cosh sinh og cosh Sinus hyperbolsk efineres sålees for alle x R sinh x = ex e x Cosinus hyperbolsk

Læs mere

z j 2. Cauchy s formel er værd at tænke lidt nærmere over. Se på specialtilfældet 1 dz = 2πi z

z j 2. Cauchy s formel er værd at tænke lidt nærmere over. Se på specialtilfældet 1 dz = 2πi z Matematik F2 - sæt 3 af 7 blok 4 f(z)dz = 0 Hovedemnet i denne uge er Cauchys sætning (den der står i denne sides hoved) og Cauchys formel. Desuden introduceres nulpunkter og singulariteter: simple poler,

Læs mere

Løsningsforslag Mat B August 2012

Løsningsforslag Mat B August 2012 Løsningsforslag Mat B August 2012 Opgave 1 (5 %) a) Løs uligheden: 2x + 11 x 1 Løsning: 2x + 11 x 1 2x x + 1 0 3x + 12 0 3x 12 Divideres begge sider med -3 (og husk at vende ulighedstegnet!) x 4 Opgave

Læs mere

z + w z + w z w = z 2 w z w = z w z 2 = z z = a 2 + b 2 z w

z + w z + w z w = z 2 w z w = z w z 2 = z z = a 2 + b 2 z w Komplekse tal Hvis z = a + ib og w = c + id gælder z + w = (a + c) + i(b + d) z w = (a c) + i(b d) z w = (ac bd) + i(ad bc) z w = a+ib c+id = ac+bd + i bc ad, w 0 c +d c +d z a b = i a +b a +b Konjugation

Læs mere

Heisenbergs usikkerhedsrelationer. Abstrakt. Hvorfor? Funktionsrum. Nils Byrial Andersen Institut for Matematik. Matematiklærerdag 2013

Heisenbergs usikkerhedsrelationer. Abstrakt. Hvorfor? Funktionsrum. Nils Byrial Andersen Institut for Matematik. Matematiklærerdag 2013 Heisenbergs usikkerhedsrelationer Nils Byrial Andersen Institut for Matematik Matematiklærerdag 013 1 / 17 Abstrakt Heisenbergs usikkerhedsrelationer udtrykker at man ikke på samme tid både kan bestemme

Læs mere

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning.

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Michael Knudsen 10. oktober 2005 1 Ligningsløsning Lad N = {0,1,2,...} betegne mængden af de naturlige tal og betragt ligningen ax + b = 0, a,b N,a 0. Findes

Læs mere

Aarhus Universitet 5. februar Meddelelse 2

Aarhus Universitet 5. februar Meddelelse 2 fdeling for Teoretisk Statistik IOSTTISTIK Institut for Matematiske Fag Preben læsild arhus Universitet 5. februar 2003 Meddelelse 2 Forelæsningerne i uge 6 (3-7.2) Ved forelæsningen den 4.2 gav Frank

Læs mere

Integration m.h.t. mål med tæthed

Integration m.h.t. mål med tæthed Integration m.h.t. mål med tæthed Sætning (EH 11.7) Lad ν = f µ på (X, E). For alle g M + (X, E) gælder at gdν = g f dµ. Bevis: Standardbeviset: 1) indikatorfunktioner 2) simple funktioner 3) M + -funktioner.

Læs mere

Analyse 1, Prøve 2 Besvarelse

Analyse 1, Prøve 2 Besvarelse Københavns Universitet Prøve ved Det naturvidenskabelige Fakultet maj Analyse, Prøve Besvarelse Opgave (3%) (a) (%) Bestem mængden af x R for hvilke rækken ( + (x) n ) er konvergent og angiv sumfunktionen

Læs mere

Vektorfelter langs kurver

Vektorfelter langs kurver enote 25 1 enote 25 Vektorfelter langs kurver I enote 24 dyrkes de indledende overvejelser om vektorfelter. I denne enote vil vi se på vektorfelternes værdier langs kurver og benytte metoder fra enote

Læs mere

Integration. Frank Villa. 8. oktober 2012

Integration. Frank Villa. 8. oktober 2012 Integration Frank Villa 8. oktober 2012 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 1

Læs mere

Indledning. 1 Martingalerepræsentationssætningen

Indledning. 1 Martingalerepræsentationssætningen Indledning I disse noter vil uddybe nogle af Øksendals resultater i afsnittene 4 og 7 samt give andre beviser for dem. Disse resultater er gennemgået til forelæsningerne. 1 Martingalerepræsentationssætningen

Læs mere

Idenne note giver vi et eksempel på, hvorledes det er vigtigt at holde sig

Idenne note giver vi et eksempel på, hvorledes det er vigtigt at holde sig Analyse : Eulers formel Sebastian rsted 9. maj 015 Idenne note giver vi et eksempel på, hvorledes det er vigtigt at holde sig for øje, hvor de matematiske resultater kommer fra, og hvad de baseres på;

Læs mere

Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet

Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Komplekse Tal 20. november 2009 UNF Odense Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Fra de naturlige tal til de komplekse Optælling af størrelser i naturen De naturlige tal N (N

Læs mere

Dette materiale er ophavsretligt beskyttet og må ikke videregives

Dette materiale er ophavsretligt beskyttet og må ikke videregives Grundlæggende mål- og integralteori Grundlæggende mål- og integralteori Steen Thorbjørnsen Aarhus Universitetsforlag Grundlæggende mål- og integralteori Steen Thorbjørnsen og Aarhus Universitetsforlag

Læs mere

Polynomium Et polynomium. Nulpolynomiet Nulpolynomiet er funktionen der er konstant nul, dvs. P(x) = 0, og dets grad sættes per definition til.

Polynomium Et polynomium. Nulpolynomiet Nulpolynomiet er funktionen der er konstant nul, dvs. P(x) = 0, og dets grad sættes per definition til. Polynomier Polynomier Polynomium Et polynomium P(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 Disse noter giver en introduktion til polynomier, centrale sætninger om polynomiumsdivision, rødder og koefficienter

Læs mere

Gruppeteori. Michael Knudsen. 8. marts For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel.

Gruppeteori. Michael Knudsen. 8. marts For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel. Gruppeteori Michael Knudsen 8. marts 2005 1 Motivation For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel. Eksempel 1.1. Lad Z betegne mængden af de hele tal, Z = {..., 2, 1, 0,

Læs mere

Nogle grundlæggende begreber

Nogle grundlæggende begreber BE2-kursus 2010 Jørgen Larsen 5. februar 2010 Nogle grundlæggende begreber Lidt simpel mængdelære Mængder består af elementer; mængden bestående af ingen elementer er, den tomme mængde. At x er element

Læs mere

Oversigt [S] 8.7, 8.8, 8.9

Oversigt [S] 8.7, 8.8, 8.9 Oversigt [S] 8.7, 8.8, 8.9 Nøgleord og begreber Potensrækker og opgaver Binomialformlen Binomialkoefficienter Binomialrækken Taylor polynomier Vurdering af Taylor s restled Eksponentialrækken konvereger

Læs mere

1/41. 2/41 Landmålingens fejlteori - Lektion 1 - Kontinuerte stokastiske variable

1/41. 2/41 Landmålingens fejlteori - Lektion 1 - Kontinuerte stokastiske variable Landmålingens fejlteori - lidt om kurset Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Kursusholder

Læs mere

Første konstruktion af Cantor mængden

Første konstruktion af Cantor mængden DYNAMIK PÅ CANTOR MÆNGDEN KLAUS THOMSEN Første konstruktion af Cantor mængden For de fleste der har hørt on Cantor-mængden, er den blevet defineret på flg måde: I = 0 I = I = 0 0 OSV Cantor mængden C er

Læs mere

Statistik og Sandsynlighedsregning 2

Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Normalfordelingen og transformation af kontinuerte fordelinger Helle Sørensen Uge 7, mandag SaSt2 (Uge 7, mandag) Normalford. og transformation 1 / 16 Program Paretofordelingen,

Læs mere

Punktmængdetopologi. Mikkel Stouby Petersen. 1. marts 2013

Punktmængdetopologi. Mikkel Stouby Petersen. 1. marts 2013 Punktmængdetopologi Mikkel Stouby Petersen 1. marts 2013 I kurset Matematisk Analyse 1 er et metrisk rum et af de mest grundlæggende begreber. Et metrisk rum (X, d) er en mængde X sammen med en metrik

Læs mere

Momenter som deskriptive størrelser. Hvad vi mangler fra onsdag. Momenter for sandsynlighedsmål

Momenter som deskriptive størrelser. Hvad vi mangler fra onsdag. Momenter for sandsynlighedsmål Hvad vi mangler fra onsdag Momenter som deskriptive størrelser Sandsynlighedsmål er komplicerede objekter de tildeler numeriske værdier til alle hændelser i en σ-algebra. Vi har behov for simplere, deskriptive

Læs mere

DesignMat Lineære differentialligninger I

DesignMat Lineære differentialligninger I DesignMat Lineære differentialligninger I Preben Alsholm Uge 9 Forår 2010 1 Lineære differentialligninger af første orden 1.1 Normeret lineær differentialligning Normeret lineær differentialligning En

Læs mere

UENDELIG, MERE UENDELIG, ENDNU MERE UENDELIG, Indledning

UENDELIG, MERE UENDELIG, ENDNU MERE UENDELIG, Indledning UENDELIG, MERE UENDELIG, ENDNU MERE UENDELIG, ESBEN BISTRUP HALVORSEN 1 Indledning De fleste kan nok blive enige om, at mængden {a, b, c} er større end mængden {d} Den ene indeholder jo tre elementer,

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

Løsning af præmieopgaven: Famøs årgang 22, nr. 1

Løsning af præmieopgaven: Famøs årgang 22, nr. 1 26 Opgaveløsninger Knæk og bræk Løsninger til sidste bloks opgaver Sune Precht Reeh Jeg antager som udgangspunkt at pinden i opgaverne er uden tykkelse og er formet som et ret linjestykke af længde l.

Læs mere

DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier

DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier Preben Alsholm Uge 8 Forår 010 1 Den komplekse eksponentialfunktion 1.1 Definitionen Definitionen Den velkendte eksponentialfunktion x e x vil

Læs mere

6.1 Reelle Indre Produkter

6.1 Reelle Indre Produkter SEKTION 6.1 REELLE INDRE PRODUKTER 6.1 Reelle Indre Produkter Definition 6.1.1 Et indre produkt på et reelt vektorrum V er en funktion, : V V R således at, for alle x, y V, I x, x 0 med lighed x = 0, II

Læs mere

Funktioner af to variable

Funktioner af to variable enote 15 1 enote 15 Funktioner af to variable I denne og i de efterfølgende enoter vil vi udvide funktionsbegrebet til at omfatte reelle funktioner af flere variable; vi starter udvidelsen med 2 variable,

Læs mere

Program. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Middelværdi og varians. Eksempler fra sidst. Sandsynlighedstæthed og sandsynlighedsmål

Program. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Middelværdi og varians. Eksempler fra sidst. Sandsynlighedstæthed og sandsynlighedsmål Program Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Middelværdi og varians Helle Sørensen Uge 6, onsdag I formiddag: Tætheder og fordelingsfunktioner kort resume fra i mandags og et par eksempler mere om sammenhængen

Læs mere

z 1 = z 1z 1z 1 z 1 2 = z z2z 1 z 2 2

z 1 = z 1z 1z 1 z 1 2 = z z2z 1 z 2 2 M å l e p u n k t R i e m a n n s k G e o m e t r i E 8 J a ko b L i n d b l a d B l a ava n d 2 5 3 6 7 5 27 oktober 28 I n s t i t u t fo r M at e m at i s k e Fag A a r h u s U n i v e r s i t e t indledning

Læs mere

Projekt 2.2 Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion

Projekt 2.2 Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion ISBN 978877664974 Projekter: Kapitel. Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Vi har i Bbogens kapitel 4 afsnit

Læs mere

Algebra - Teori og problemløsning

Algebra - Teori og problemløsning Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.

Læs mere

MASO Uge 6. Følger i euklidiske rum Ekstremværdisætningen. Jesper Michael Møller. Department of Mathematics University of Copenhagen.

MASO Uge 6. Følger i euklidiske rum Ekstremværdisætningen. Jesper Michael Møller. Department of Mathematics University of Copenhagen. MASO Uge 6 Følger i euklidiske rum Ekstremværdisætningen Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 6 Formålet med MASO Oversigt Følger i R n Konvergens, delfølger Det

Læs mere

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner

Læs mere

Lineær Algebra F08, MØ

Lineær Algebra F08, MØ Lineær Algebra F08, MØ Vejledende besvarelser af udvalgte opgaver fra Ugeseddel 3 og 4 Ansvarsfraskrivelse: Den følgende vejledning er kun vejledende. Opgaverne kommer i vilkårlig rækkefølge. Visse steder

Læs mere

Implicit givne og inverse funktioner

Implicit givne og inverse funktioner Implicit givne og inverse funktioner Morten Grud Rasmussen 1 11. april 2016 1 Implicit givne funktioner I lineær algebra har vi lært meget om at løse lineære ligningsystemer og om strukturen af løsningsmængden.

Læs mere

Teoretiske Øvelsesopgaver:

Teoretiske Øvelsesopgaver: Teoretiske Øvelsesopgaver: TØ-Opgave 1 Subtraktion division i legemer: Er subtraktion division med elementer 0 i legemer veldefinerede, eller kan et element b have mere end ét modsat element -b eller mere

Læs mere

Banach-Tarski Paradokset

Banach-Tarski Paradokset 32 Artikeltype Banach-Tarski Paradokset Uden appelsiner Andreas Hallbäck Langt de fleste af os har nok hørt om Banach og Tarskis såkaldte paradoks fra 1924. Vi har hørt diverse poppede formuleringer af

Læs mere

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011 Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation

Læs mere

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P

Læs mere

Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Afleveringsopgave 1

Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Afleveringsopgave 1 Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet 1 Lineær Algebra (LinAlg) Afleveringsopgave 1 Eventuelle besvarelser laves i grupper af - 3 personer og afleveres i to eksemplarer med 3 udfyldte

Læs mere

SUPPLERENDE OPGAVER TIL KOMPLEKS FUNKTIONSTEORI F2005

SUPPLERENDE OPGAVER TIL KOMPLEKS FUNKTIONSTEORI F2005 SUPPLERENDE OPGAVER TIL KOMPLEKS FUNKTIONSTEORI F2005 0. maj, 2005 version nr. 8 JØRGEN VESTERSTRØM Indledende bemærkninger De foreliggende opgaver udgør et supplement til lærebogens opgaver. Afsnitsnummereringerne

Læs mere

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013) Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer

Læs mere

Matematik F2 Opgavesæt 2

Matematik F2 Opgavesæt 2 Opgaver uge 2 I denne uge kigger vi nærmere på Cauchy-Riemann betingelserne, potensrækker, konvergenskriterier og flertydige funktioner. Vi skal også se på integration langs en ve i den komplekse plan.

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 5 Morten Grud Rasmussen 19. september, 2013 1 Euler-Cauchy-ligninger [Bogens afsnit 2.5, side 71] 1.1 De tre typer af Euler-Cauchy-ligninger Efter at

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 16 Morten Grud Rasmussen 6. november, 2013 1 Interpolation [Bogens afsnit 19.3 side 805] 1.1 Interpolationspolynomier Enhver kontinuert funktion f på

Læs mere

Oversigt [S] 4.5, 5.10

Oversigt [S] 4.5, 5.10 Oversigt [S] 4.5, 5.0 Nøgleord og begreber Ubestemte udtryk l Hospitals regel l Hospitals regel 2 Test l Hospitals regel Uegentlige integraler Test uegentlige integraler Uegentlige integraler 2 Test uegentlige

Læs mere

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, oktober 2008, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan

Læs mere

Parameterkurver. Et eksempel på en rapport

Parameterkurver. Et eksempel på en rapport x Parameterkurver Et eksempel på en rapport Parameterkurver 0x MA side af 7 Hypocykloiden A B Idet vi anvender startværdierne for A og B som angivet, er en generel parameterfremstilling for hypocykloiden

Læs mere

1 Vektorrum. MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 4. oktober Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier

1 Vektorrum. MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 4. oktober Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 4. oktober 2017 Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier Grupperne forventes at regne de små opgaver i afsnittene 1 5 i løbet af de første 4 halve dage. Dernæst tilføjes

Læs mere

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Transformationsgeometri: Inversion. Kirsten Rosenkilde, august Inversion

Transformationsgeometri: Inversion. Kirsten Rosenkilde, august Inversion Transformationsgeometri: Inversion. Kirsten Rosenkilde, august 2007 1 Inversion Inversion er en bestemt type transformation af planen, og ved at benytte transformation på en geometrisk problemstilling

Læs mere