Analyse 1, Prøve maj Lemma 2. Enhver konstant funktion f : R R, hvor f(x) = a, a R, er kontinuert.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Analyse 1, Prøve maj Lemma 2. Enhver konstant funktion f : R R, hvor f(x) = a, a R, er kontinuert."

Transkript

1 Alyse, Prøve. mj 9 Alle hevisiger til TL er hevisiger til Klkulus 6, Tom Lidstrøm. Direkte opgvehevisiger til Klkulus er givet med TLO, ellers er lle hevisiger til steder i de overordede fsit. Hevises der til e Note, er dee til Tilføjelser og Rettelser til TL, og for Opgver er det til de tilsvrede opgver på ugesedlere. Opgve Først vil det være på plds t deere e stmfuktio på et åbet, ubegræset itervl thi deitioe TL s. 377 øverst ikke helt syes t række, d de ku dækker lukkede itervller. Deitio Stmfuktio på åbet, ubegræset itervl. Vi siger, t e fuktio F :, b R er stmfuktio til f :, b R eller, t e fuktio F er stmfuktio til f på, b, hvis F x fx for lle x, b og hvis F er kotiuert på, b. Vi tillder, t og b k være hhv. og. Nu viser vi et lille lemm: Lemm. Ehver kostt fuktio f : R R, hvor fx, R, er kotiuert. Bevis. Ld ε > være givet. For givet b R skl vi de et δ >, så t år x ligger i deitiosmægde for f og x b < δ, er fx fb < ε. Me sætter vi δ ε, hr vi d, t fx fb < δ ε. Når x ligger i deitiosmægde for f og x b < δ, hr vi så, t fx fb < ε, hvorpå f er kotiuert i b jf. TL 5... Der skl des e stmfuktio til fuktioe x si x os x på itervllet,. Ld f :, R være givet ved fx x si x os x. Vi vil udersøge fuktioe F :, R givet ved F x x si x. Vi ved fr TL 6..3 dieretitio f elemetære fuktioer, t six osx, t x x x og t /x x x /x,

2 lle for x,. F x k des ved TL 6..4 her beyttes iv og i og TL For lle x, hr vi d, t F x x TL 6..4iv si x si + x si x x x TL 6..5 x os + x si x x x TL 6..4i x os x x os x os x fx, x x + x si + x si x x + x si x hvor vi udervejs beytter vores vide fr TL D er F x fx, og dette for lle x,. Fuktioere x x og x six er kotiuerte overlt hvor de er deeret jf. TL s. 4, ltså i R, smt fuktioe x jf. Lemm. D fuktioere x og x x ligeledes er kotiuerte, er fuktioe x x kotiuert jf. TL 5..5, på,. D er fuktioe x x kotiuert på, jf. TL Fuktioe x si x er d kotiuert på, jf. TL 5..7, hvorpå produktfuktioe x x si x er kotiuert jf. TL Herf ser vi, t F er kotiuert på,. D gælder pr. Deitio, t F er e stmfuktio til f. Vi er ltså kommet frem til, t e stmfuktio til x si x os x på itervllet, er x si. x b Vi skl vise itegrbilitet for fuktioe h : [, ] R, idet h er givet ved x, x [, hx, x x, x, ] Først vil vi vise, t h er begræset. Der gælder for lle x [,, t hx x x < d x x for x ; for x gælder, t hx, og for x, ] gælder, t hx x x d x for x, ]. D hr vi, t hx for lle x [, ], hvorpå h er begræset jf. TL 5.4., d vi hr fudet et reelt tl M, så hx M for lle x [, ].

3 3 Vi lder først fuktioere h og h været givet ved { x, x [, h x, x og {, x h x x, x, ] Ld edvidere f og f være givet ved f x x, x [, ] og f x x, x [, ]. f og f er hhv. voksede og ftgede, idet x < x f x < f x for x, x [, ] og x < x x > x x f x > f x x for x, x [, ], hvorpå de er mootoe og itegrble jf. TL Dieresfuktioere h f og h f er itegrble jf. Opgve C, idet {, x [, h f x x, x og { x, x h f x, x, ] og vi derpå hr t mægdere A {x [, ] h f x } { } og B {x [, ] h f x } { } er edelige. Me d er h f + h f og h f + h f itegrble jf. TL 8.5.5ii. Idet h x hx for lle x [, ], og h er itegrbel på [, ], må h også være itegrbel på [, ], d h blot er e idskrækig f h på itervllet [, ]. Det idses ligeledes, t h er itegrbel på [, ], d h er itegrbel, og h x hx for lle x [, ]. D h er itegrbel på [, ] og [, ], gælder pr. Note Idskudsregle, versio, d h er begræset og,, t h er itegrbel på hele itervllet [, ], og dermed t h er itegrbel. D eksisterer hx dx, og k bestemmes idet vi beytter Note Idskudsregle, versio, d h er itegrbel på et fsluttet og begræset itervl [, ]: hx dx hvilket følger f, t hx dx + h x dx + hx dx h x dx f x dx + f x dx, h x dx TL 8.5.5ii f x + h f x dx f x dx + h f x dx f x dx,

4 4 idet vi beytter TL 8.5.5ii smt. Opgve C på itegrlet h f x dx. Smme idses for h og f, hvorpå vi ltså hr, t hx dx x dx + x dx. Idet x og x x er kotiuerte fuktioer, er også x x e kotiuert fuktio, jf. TL Fuktioe F x x er e stmfuktio til f på [, ] jf. TL s. 377 øverst, idet F x x x x x f x for x, jf. TL 6..3 og TL 6..4i, og d F er kotiuert på [, ] jf. TL 5..5, idet fuktioere x og x x er kotiuerte på [, ] jf. Lemm fr delspørgsmål og TL s. 4. Fuktioe F x x x er e stmfuktio til f på [, ] jf. TL s. 377, idet F x x x x x x x f x for x, jf. TL 6..3 og TL 6..4iii, og d F er kotiuert på [, ] jf. TL 5..5, idet fuktioere x, x, x x og x x er kotiuerte jf. Lemm fr delspørgsmål og TL s. 4. D gælder ved TL 8.3.4, d x x og x x er kotiuerte, t hx dx [ x x dx + ] x dx [ + x ] x Der skl vises, t e begræset fuktio f : [, b] R, der er itegrbel på lle delitervller [, b] for lle, b er itegrbel på itervllet [, b], og t + fx dx. Bevis. Atg, t f : [, b] R er begræset og itegrbel på lle delitervller [, b] for lle, b. Der gælder pr. TL 8.3., d f er begræset, t fx dx fx dx fx dx + fx dx + fx dx fx dx. og

5 5 D f er begræset, er begge vestresider ltså klrt deerede og eksisterer som værdier i R. Eftersom oveståede gælder, k vi også tge græseværdie for gåede imod fr højre på begge sider: på vestresidere er tllet ikke fhægigt f på oge måde, d og b er holdt fst. Imidlertid k vi ikke umiddelbrt sige, t højresidere på smme måde er upåvirkede d begge leds værdier fhæger f, og vi får: + + fx dx + fx dx + fx dx fx dx Her kue m frygte, t udtrykkee på højresidere ikke eksisterede, me d vestresidere eksisterer, eksisterer højresidere også som værdier i R. D vi hr, t lim + + fx dx, og jf. bemærkige på TL s. 376 midte, må lim + lim + fx dx også eksistere, idet vi hr pr. TL 5.4.3ii, t lim + fx dx + TL 5.4.3ii lim fx dx + + lim + fx dx, fx dx. fx dx. lim + fx dx og fx dx fx dx hvorpå sidste græseværdi eksisterer smme k udføres for uderitegrlet. Vi hr ltså jf. TL 5.4.5i, t + + fx dx + lim + fx dx + lim + fx dx + lim + fx dx + lim + fx dx fx dx. og Me d f vr itegrbel på [, b] for lle, b, må der ltså gælde, t fx dx fx dx for lle, b, hvormed + + fx dx fx dx, hvorpå f jf. TL 8.. er itegrbel på [, b], d overitegrlet for f over [, b] ses t være lig uderitegrlet for smme. D ser vi, idet fx dx fx dx

6 6 for lle, b jf. TL 8.., idet f for lle, b vr itegrbel på [, b], t fx dx + + fx dx, hvilket vr hvd øskedes vist, idet vi brugte TL 8.. ved første lighedsteg, idet f er itegrbel på [, b]. d Vi betrgter fuktioe g : [, ] R givet ved {, x gx x si x os x, x, ] og lder h være fuktioe fr delspørgsmål b. Der skl rgumeteres for t g + h er itegrbel. Vi vil vise, t g er itegrbel på [, ]. Vi vil derfor først vurdere x si x os x for x, ]: x si x x os si + x x x os TL.. x si + x os x x si + os x x + < 4, hvor vi ved beyttede, t x for lle x, ] og siy smt osy for lle y,, og til llersidst beyttede, t <. D også < 4, k vi kokludere ved TL 5.3., t g er begræset, idet gx < 4 for lle x [, ]. Vores strtegi er ret klr u; vi vil beytte resulttet fr delspørgsmål til t vise, t g er itegrbel. Me d kræves først, t g er itegrbel på lle delitervller [, ], hvor,. K vi dog vise, t g er kotiuert på et vilkårligt delitervl [, ], k vi beytte Alyses Fudmetlsætig, TL 8.3.3, som d siger, t g vil være itegrbel på dette delitervl. Ld derfor et, være givet. Fuktioere x, x, x, x x, x six, x osx er kotiuerte for lle x R jf. Lemm fr delspørgsmål og TL s. 4. D x og x x er kotiuerte, er fuktioe x x kotiuert for x >, hvorpå fuktioe x x er kotiuert for x > jf. TL D er fuktioere x si x og x os x kotiuerte for x > jf. TL 5..7, idet si og os er kotiuerte på hele R. Me d er fuktioere x x si x og x os x jf. TL 5..5 for x >, og dierese f disse, x x si x os x er jf. TL 5..5 kotiuert for x >.

7 7 D >, er fuktioe derfor kotiuert på itervllet [, ], og derfor itegrbel på dette jf. TL Me d er fuktioe itegrbel på [, ] for lle,, og pr. delspørgsmål får vi, t g er itegrbel på [, ]. Derfor gælder jf. TL 8.5.5ii, t sumfuktioe g + h også er itegrbel, d vi fdt i delspørgsmål b, t h vr itegrbel. Itegrlet gx + hx dx skl desude bestemmes. Vi hr jf. TL 8.5.5ii, t gx + hx dx gx dx + Nu gestår det bre t vise værdie f begge itegrler. hx dx. D vi ved fr, t x si x er e stmfuktio på lle lukkede itervller [, ], hvor >, til x si x os x idet betigelsere for t være e stmfuktio jf. TL s. 377 øverst også er opfyldt her; grude til overvejelse er selvfølgelig det lukkede itervl [, ], ved vi jf. TL 8.3.4, t for > er [ gx dx x si si x] si si. Vi vil vise, t lim + gx dx lim [ + si ]. Ld derfor ε > være givet. Vi skl de et δ >, så si < ε for lle, som opfylder, t < < δ. Ld derfor δ ε og < < δ; d får vi, t si si si < δ ε ε, idet si ku tger værdier i itervllet fr til og d < δ jf. tgelse om vores. Altså hr vi for lle, som opfylder, t < < δ, t si < ε, hvor vi hr det øskede jf. TL Altså hr vi jf. resulttere i delspørgsmål b og, t Opgve gx + hx dx lim + gx dx + hx dx gx dx Ude t beytte stmfuktioer skl der rgumeteres for, t x dx 4.

8 8 Ld fuktioe f : [, ] R være givet ved fx x. Idet ehedsirkles ligig er x + y, k vi isolere y i dee: vi får herpå, t y x, dvs. y x. Det står klrt, t x og y, for t de k opfylde ligige thi ellers må summe f kvdrtere være større ed, hvorpå de ikke gør det. Lder vi y, får vi d, t y y, og edelig, t y x. Vi foretger ltså e idskrækig f de værdier, som x og y kue tge; lod vi først y, giver dee ye ligig i hvert fld ikke hele ehedsirkle, me ku de øvre del i. og. kvdrt dette ses også, idet udtrykket x ikke tger egtive værdier i R d relet f ehedsirkle, som hr rdius, er, er relet f dee øvre hlve ehedsirkel turligvis, d vi hr skåret hlvdele f irkle fr. Lder vi derpå x, får vi derpå e kvrtirkel i. kvdrt, hvis rel d er de hlve ehedsirkels hlverede, emlig 4. Med dee idskrækig fås etop, t det give y x i ligige er lig fx, idet vi lod f være deeret på [, ]. Idet vi kigger på to give x, x, så x < x, gælder, t x < x x < x x < x x < x x < x, d kvdrtrodsfuktioe er voksede. Vi ser ltså her, t for lle x er fx, ltså positiv, smt t f er begræset og mootot ftgede. D er f itegrbel jf. TL Arelet begræset f grfe for f, x-kse og y-kse er d jf. TL 8.6. givet ved x dx, me d dette rel etop er relet f de omtlte kvrtirkel, er x dx 4. b Der skl rgumeteres for, t lim k 4. Vi vil lve e Riem-sum for fuktioe f : [, ] R givet ved fx x. Vores iddelig til dee Riem-sum skl være e ligeiddelig i lige store dele f [, ], så vores iddelig er ltså på forme Π { x, x,,...,, x }, således t x k k. Vi hr ltså sørget for, t x k x k k k hele tl k. for lle

9 9 Vi lver u et udvlg U {,,..., }, således t k x k k. Det er let t se, t dette udvlg opfylder betigelsere for t være et udvlg, idet k x k [x k, x k ] for lle k, jf. TL s. 389 midte. Vores Riem-sum RΠ, U er d jf. TL 8.5. givet ved RΠ, U f k x k x k. Vi hvde med Π sørget for, t x k x k ; d f k f k, hr vi så, t k RΠ, U f k. Dette k omskrives: RΠ, U k k k k k, idet >, d dette vr tllet f delitervller, hvilket selvfølgelig er positivt. Idet lle delitervller hr smme lægde x k x k, vil mskebredde Π år, jf. e bemærkig i TL Vi hr ltså vlgt vores iddelig Π og udvlg U, så Π. Me d hr vi ved TL 8.5.4, t 4 x dx lim RΠ, U lim hvilket vr, hvd vi øskede t vise. k, Vi skl vise, t der for lle hele tl gælder vurderigere 4 k. Vi lvede i b e iddelig Π { x,,,...,, } f det lukkede itervl [,]. Med fuktioe f : [, ] R givet ved fx x hr vi for dee iddelig jf. beviset for TL 8..4 og idet vi jo ved, t f er itegrbel, t NΠ fx dx 4 ØΠ. Det oveståede giver selvfølgelig ku meig for hele tl, idet er tllet f delitervller, som turligvis er helt og positivt det er uderforstået

10 i det følgede. Vi vil u de NΠ og ØΠ, hvilket ku er muligt, idet f er begræset, jf. TL s D vi fdt i delspørgsmål, t f vr mootot ftgede, vil der for lle k og for lle d k [x k, x k ] gælde, t x k d k x k fx k fd k fx k. Idet vi som år vi deerer uder- og oversumme sætter M k sup{fx x [x k, x k ]} og m k if{fx x [x k, x k ]}, er ltså gældede i dette tilfælde, t M k fx k og m k fx k, d disse sup og if for oveståede lukkede itervller ligger i itervllere selv. Vi hr u pr. deitio på udersum NΠ og oversum ØΠ, jf. TL s. 366, idet vi i Π sørgede for, t x k x k og t x k k, t ØΠ NΠ M k x k x k fx k k, og m k x k x k k. fx k Vi idfører u det udvlg U, som vi beyttede i delspørgsmål b. Med dette fdt vi, t Riem-summe RΠ, U vr givet ved RΠ, U k k. Dette udtryk k vi trække fr på lle sider f ulighedstegee i, hvorpå vi får, t NΠ RΠ, U 4 k ØΠ RΠ, U. Nu ser vi, t NΠ RΠ, U k k, og t ØΠ RΠ, U k k.

11 Idet vi substituerer summtiosidies m k i de første sum og derpå vælger t skifte idex tilbge til k evt. jf. TL s. 3 ederst, får vi derpå, t m ØΠ RΠ, U m k k, k k idet vi ved tredje lighedsteg lder e msse led gå ud med hide, d udtrykkee uder sumtegee er es. Idet vi u hr bestemt NΠ RΠ, U og ØΠ RΠ, U, får vi, år vi kobler dette id i, t 4 k, for lle hele tl, hvilket vr hvd øskedes vist. Vi k ltså vurdere 4 med e fvigelse på uder ud fr sumudtrykket Opgve 3 Først et lemm: k. Lemm 3. Ehver kostt fuktio f : R R, hvor fx, R, hr græseværdi for x. Bevis. Ld ε > være givet. Vi skl jf. TL 5.4. de et N R, så fx < ε for lle x N. Me d k vi vælge N ε, således, t fx < N ε, d N >. D vil gælde, t fx < ε for lle x N. Altså er lim x fx jf. TL Der skl fgøres om itegrlet er koverget eller diverget. e x + x dx Vi hr først og fremmest for lle x, x R, t x x x x. Idet e x er e voksede fuktio, k vi kokludere, t x x e x e x,

12 og ltså overordet, t x x e x e x, hvorpå vi ser, t e x er e ftgede fuktio på hele R. Der vil ltså gælde, d, t e e. D e x er e ftgede fuktio, gælder for x, t e e x. For x gælder ltså, t e x e x, idet vi jo udersøger for x. For smme vil ligeledes gælde, t e x + x x + x x, idet vi blot lægger smme tl x til på begge sider f ulighedsteget. Gger vi d over kors, får vi edeligt, t x e x + x for x. Ld u f, g : [, R, hvor f er givet ved fx e x + x, og g ved gx x. Idet x > for lle x, er x >, hvorpå gx x > for lle x. g er ltså positiv. D fuktioere x og x x er kotiuerte jf. TL s. 4 og Lemm, er fuktioe x x også kotiuert jf. TL D fuktioere x x og x er kotiuerte sidste jf. Lemm fr, er fuktioe x x kotiuert jf. TL 5..5, d x >. Me d er x x og dermed g kotiuert jf. TL 5..7, d x >. Idet x > og e x > for lle x, er summe e x + x og des reiprokke e x + x ligeledes større ed for x, hvorpå fx > for x ; f er ltså positiv. Idet fuktioe x x er kotiuert, er x x kotiuert jf. TL 5..5, idet dee er dierese f de kostte fuktio x, som er kotiuert, og x x. D fuktioe x e x er kotiuert jf. TL s. 4, er de smmestte fuktio x e x også kotiuert jf. TL 5..7; fuktioe x e x + x er d kotiuert jf. TL 5..5, hvorpå x e x + x er kotiuert jf. TL 5..5, idet x er kotiuert jf. Lemm, og d e x + x > for lle x. Vi slutter herf, t f ltså også er kotiuert. Vi hr u, t fx e x + x x gx for lle x [,. D vi ligeledes hr, t f og g er positive, kotiuerte fuktioer, k vi beytte smmeligigskriteriet, TL 9.5., på disse to! Vi vil udersøge om x dx divergerer. Sætter vi f x x, hr vi, t f x dx divergerer jf. TL D lim x gx f x lim x x x lim x > jf. Lemm 3 fr delspørgsmål d, gælder pr. græsesmmeligigskriteriet, TL 9.5.3ii, t også gx dx x dx divergerer. D ltså x dx er diverget, gælder jf. smmeligigskriteriet, TL 9.5.ii, t itegrlet er diverget. e x + x dx

Opgave 1. a) f : [a, b] R er en begrænset funktion for hvilken. A ε = {x [a + ε, b] f(x) 0}

Opgave 1. a) f : [a, b] R er en begrænset funktion for hvilken. A ε = {x [a + ε, b] f(x) 0} Opgve ) f : [, b] R er e begræset fuktio for hvilke er edelig for ethvert < ε < b. Vi skl vise t f er itegrbel og t A ε = { [ + ε, b] } d =. Vi bemærker først t f er itegrbel på [, b] hvis og ku hvis de

Læs mere

Analyse 1, Prøve maj 2009

Analyse 1, Prøve maj 2009 Aalyse, Prøve 5. maj 009 Alle hevisiger til TL er hevisiger til Kalkulus (006, Tom Lidstrøm). Direkte opgavehevisiger til Kalkulus er agivet med TLO, ellers er alle hevisiger til steder i de overordede

Læs mere

Kap. 1: Integralregning byggende på stamfunktioner.

Kap. 1: Integralregning byggende på stamfunktioner. - - Kp. : Itegrlregig yggede på stmfuktioer... Specielle egesker ved fuktioer. Defiitio... E fuktio f siges t være egræset i et itervl I, hvis f er defieret i itervllet, og hvis der fides to tl k og K,

Læs mere

Komplekse tal Matematik og naturfag i verdensklasse, 2004. Komplekse tal

Komplekse tal Matematik og naturfag i verdensklasse, 2004. Komplekse tal Komplekse tl Mtemtik og turfg i verdesklsse, 004 Komplekse tl Dette mterile er ereget til udervisig i mtemtik i gymsiet. Der forudsættes kedsk til løsig f degrdsligiger, trigoometri og e lille smule vektorregig.

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et højt niveau. 1. Integralregning

Matematikkens mysterier - på et højt niveau. 1. Integralregning Mtemtikkes mysterier - på et højt iveu f Keeth Hse. Itegrlregig Hvd er relet f de skrverede puktmægde? . Itegrlregig Idhold. Stmfuktioer og det uestemte itegrl. Regeregler for det uestemte itegrl 7 Prtiel

Læs mere

Grundlæggende matematiske begreber del 1 Mængdelære Talmængder Tal og regneregler Potensregneregler Numerisk værdi Gennemsnit

Grundlæggende matematiske begreber del 1 Mængdelære Talmængder Tal og regneregler Potensregneregler Numerisk værdi Gennemsnit Grudlæggede mtemtiske begreber del 1 Mægdelære Tlmægder Tl og regeregler Potesregeregler Numerisk værdi Geemsit x-klssere Gmmel Hellerup Gymsium 1 Idholdsfortegelse MÆNGDELÆRE... 3 TAL... 9 De turlige

Læs mere

Projekt 4.1 Potensbegrebet og geometriske rækker

Projekt 4.1 Potensbegrebet og geometriske rækker Hvd er mtemtik? C, i-bog ISBN 978 87 766 499 8 Projekter: pitel 4 Projekt 4. Potesbegrebet og geometriske rækker Vi hr defieret e ekspoetiel vækst, som e vækstmodel, hvor de fhægige vribel, - værdie, fremskrives

Læs mere

Kap 1. Procent og Rentesregning

Kap 1. Procent og Rentesregning Idhold Kp. Procet og Retesregig.... Regig med proceter.... Reteformle.... Geemsitlig retefod (vækstrte)... Kp Opsprigs- og gældsuiteter...5. Auiteter...5. Sumformel for e kvotietrække...5. Opsprigsuitet...6.

Læs mere

Lidt Om Fibonacci tal

Lidt Om Fibonacci tal Lidt om Fioi tl Lidt Om Fioi tl Idhold. Defiitio f Fioi tllee.... Kivl... 3. Telefokæder....3 4. E formel for Fioi tllee...4 Ole Witt-Hse 008 Lidt om Fioi tl. Defiitio f Fioi tllee Fioi tllee er opkldt

Læs mere

Differentiation af potensfunktioner

Differentiation af potensfunktioner Hvd er mtemti? B, i-bog ISBN 978 87 766 494 3 Hjemmesideevisig: Differetitio f potesfutioer, Kpitel 4, side 76 Differetitio f potesfutioer. Pscls tret og biomilformle Vi strter med t mide om t poteser

Læs mere

cos(t), v(t) = , w(t) = e t, z(t) = e t.

cos(t), v(t) = , w(t) = e t, z(t) = e t. Aalyse Øvelser Rasmus Sylvester Bryder. og. oktober 3 Bevis for Cotiuity lemma Theorem. Geemgås af Michael Staal-Olse. Bevis for Lemma.8 Dee har vi faktisk allerede vist; se Opgave 9.5 fra Uge. Det er

Læs mere

Finitisme og Konstruktivisme. 22. November 2010

Finitisme og Konstruktivisme. 22. November 2010 Fiitisme og Kostruktivisme 22. November 2010 Frktler Hilbert Mdelbrot Feigebum Lorez Lorez-Ligigere σ = 10 β = 8/3 ρ =28 Logistisk vækst x -> rx(1-x) Mdelbrots frktl z -> P c (z) = z 2 +c 0-> P c (0) ->P

Læs mere

Sandsynlighedsregning og statistisk

Sandsynlighedsregning og statistisk Figur : J. C. F. Guss 777 855 Sdsylighedsregig og sttistisk Peter Hremoës Niels Brock 6. pril Idledig Dette hæfte er lvet som supplemet til. udgve f boge Mt B. Der er lgt vægt på t give e bedre forståelse

Læs mere

Sammensætning af regnearterne - supplerende eksempler

Sammensætning af regnearterne - supplerende eksempler Mtetik på AVU Ekseplet til iveu F, E og D Sesætig f regertere - supplerede eksepler Poteser... Rødder... d 0-tls-poteser... e Sesætig f regertere Side Mtetik på AVU Ekseplet til iveu F, E og D Sesætig

Læs mere

Bogstavregning - supplerende eksempler. Reduktion... 54 b Ligninger... 54 d

Bogstavregning - supplerende eksempler. Reduktion... 54 b Ligninger... 54 d Mtetik på AVU Eksepler til iveu F, E og D Bogstvregig - supplerede eksepler Reduktio... Ligiger... d Bogstvregig Side Mtetik på AVU Eksepler til iveu F, E og D Reduktio M gger to preteser ed hide ved -

Læs mere

Du kan efter ønske opfatte integralet som et Riemann-integral eller et Lebesgue-integral (idet de to er identiske på C([a, b], C) jf. Theorem 11.8.

Du kan efter ønske opfatte integralet som et Riemann-integral eller et Lebesgue-integral (idet de to er identiske på C([a, b], C) jf. Theorem 11.8. Anlyse Øvelser Rsmus Sylvester Bryder. og 5. oktober 3 Supplerende opgve Ld C([, b], C) betegne rummet f lle kontinuerte funktioner f : [, b] C, hvor < b, og definér et indre produkt på C([, b], C) ved

Læs mere

Introduktion til uligheder

Introduktion til uligheder Itroduktio til uligheder, marts 0, Kirste Rosekilde Itroduktio til uligheder Dette er e itroduktio til ogle basale uligheder om det aritmetiske geemsit, det geometriske geemsit, det harmoiske geemsit og

Læs mere

Trigonometri. Matematik A niveau

Trigonometri. Matematik A niveau Trigonometri Mtemtik A niveu Arhus Teh EUX Niels Junge Trigonometri Sinus Cosinus Tngens Her er definitionen for Cosinus Sinus og Tngens Mn kn sige t osinus er den projierede på x-ksen og sinus er den

Læs mere

ANALYSE 1, 2014, Uge 3

ANALYSE 1, 2014, Uge 3 ANALYSE 1, 2014, Uge 3 Forelæsninger Tirsdg. Vi generliserer tlrækker til funktionsrækker ved t udskifte tllene med funktioner (TL Afsnit 12.5). Det svrer til forrige uges skridt fr tlfølger til funktionsfølger.

Læs mere

FUNKTIONER del 2 Rentesregning Eksponentielle udviklinger Trigonometriske funktioner Potensfunktioner Polynomier

FUNKTIONER del 2 Rentesregning Eksponentielle udviklinger Trigonometriske funktioner Potensfunktioner Polynomier FUNKTIONER del Retesregig Ekspoetielle udvikliger Trigoometriske fuktioer Potesfuktioer Polyomier -klssere Gmmel Hellerup Gymsium Idhold RENTESREGNING... 3 Kotiuert rete... EKSPONENTIELLE UDVIKLINGER...

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 17

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 17 Mtemtisk modellering og numeriske metoder Lektion 1 Morten Grud Rsmussen 8. november, 1 1 Numerisk integrtion og differentition [Bogens fsnit 19. side 84] 1.1 Grundlæggende om numerisk integrtion Vi vil

Læs mere

MATEMATISK FORMELSAMLING

MATEMATISK FORMELSAMLING MATEMATISK FORMELSAMLING GUX Grøld Mtemtisk formelsmlig til C-iveu, GUX Grøld Deprtemetet for uddelse 05 Redktio: Rsmus Aderse, Jes Thostrup MtemtiskformelsmligtilC-iveu GUX Grøld FORORD Dee formelsmlig

Læs mere

Kommentarer til VARIABLE

Kommentarer til VARIABLE Kommetrer til Fglige mål Kpitlet lægger op til, t elevere lærer vribelbegrebet t kede som et effektivt værktøj til t skbe sig overblik over komplekse problemstilliger. k udpege kostter og vrible med tilhørede

Læs mere

Grundlæggende matematiske begreber del 1 Mængdelære Talmængder Tal og regneregler Potensregneregler Numerisk værdi Gennemsnit

Grundlæggende matematiske begreber del 1 Mængdelære Talmængder Tal og regneregler Potensregneregler Numerisk værdi Gennemsnit Grudlæggede mtemtiske begreber del Mægdelære Tlmægder Tl og regeregler Potesregeregler Numerisk værdi Geemsit x-klssere Gmmel Hellerup Gymsium Idholdsfortegelse MÆNGDELÆRE... 3 TAL... 9 De turlige tl...

Læs mere

Eksamensopgave august 2009

Eksamensopgave august 2009 Ib Michelsen, Viborg C / Skive C Side 1 09-04-011 1 Eksmensopgve ugust 009 Opgve 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 1 Givet ovenstående ensvinklede treknter. D treknterne er ensvinklede, er

Læs mere

Elementær Matematik. Polynomier

Elementær Matematik. Polynomier Elemetær Matematik Polyomier Ole Witt-Hase 2008 Køge Gymasium Idhold 1. Geerelle polyomier...1 2. Divisio med hele tal....1 3. Polyomiers divisio...2 4. Polyomiers rødder....4 5. Bestemmelse af røddere

Læs mere

Integralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul

Integralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul Integrlregning del ( ( 6 Krsten Juul Indhold 6 Uestemt integrl8 6 Sætning om eksistens stmunktioner 8 6 Oplæg til "regneregler or integrl"8 6 Regneregler or uestemt integrl 9 68 Foreredelse til "integrtion

Læs mere

Bogstavregning. for gymnasiet og hf Karsten Juul. a a

Bogstavregning. for gymnasiet og hf Karsten Juul. a a Bogstvregning for gymnsiet og hf 010 Krsten Juul Til eleven Brug lynt og viskelæder når du skriver og tegner i hæftet, så du får et hæfte der er egenet til jævnligt t slå op i under dit videre rejde med

Læs mere

De reelle tal. Morten Grud Rasmussen 5. november Se Sætning 3.6 og 3.7 for forskellige formuleringer af egenskaben og dens negation.

De reelle tal. Morten Grud Rasmussen 5. november Se Sætning 3.6 og 3.7 for forskellige formuleringer af egenskaben og dens negation. De reelle tal Morte Grud Rasmusse 5. ovember 2015 Ordede mægder Defiitio 3.1 (Ordet mægde). pm, ăq kaldes e ordet mægde såfremt: For alle x, y P M gælder etop ét af følgede: x ă y, x y, y ă x @x, y, z

Læs mere

Pointen med Integration

Pointen med Integration Pointen med Integrtion Frnk Nsser 20. pril 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun nvendes til undervisning i klsser som bonnerer på MtBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er en

Læs mere

Statistik Lektion 4. Kovarians og korrelation Mere om normalfordelingen Den centrale grænseværdi sætning Stikprøvefordelingen

Statistik Lektion 4. Kovarians og korrelation Mere om normalfordelingen Den centrale grænseværdi sætning Stikprøvefordelingen Sttistik Lektio 4 Kovris og korreltio Mere om ormlfordelige De cetrle græseværdi sætig Stikprøvefordelige Repetitio: Kotiuerte stokstiske vrible f (x) er e sdsylighedstæthedsfuktio, hvis f ( x) 0 for lle

Læs mere

Matematik B-A. Trigonometri og Geometri. Niels Junge

Matematik B-A. Trigonometri og Geometri. Niels Junge Mtemtik B-A Trigonometri og Geometri Niels Junge Indholdsfortegnelse Indledning...3 Trigonometri...3 Sinusreltionen:...6 Cosinusreltionen...7 Dobbeltydighed...7 Smmendrg...8 Retvinklede treknter...8 Ikke

Læs mere

Supplerende noter II til MM04

Supplerende noter II til MM04 Supplerede oter II til MM4 N.J. Nielse 1 Uiform koverges af følger af fuktioer Vi starter med følgede defiitio: Defiitio 1.1 Lad S være e vilkårlig mægde og (X, d et metrisk rum. E følge (f af fuktioer

Læs mere

Matematikkens sprog INTRO

Matematikkens sprog INTRO Mtemtikkens sprog Mtemtik hr sit eget sprog, der består f tl og symboler fx regnetegn, brøkstreger bogstver og prenteser På mnge måder er det ret prktisk - det giver fx korte måder t skrive formler på.

Læs mere

ANALYSE 1, 2013, Uge 2

ANALYSE 1, 2013, Uge 2 ANALYSE 1, 2013, Uge 2 Forelæsninger Denne uges tem er uendelige rækker. Tirsdg: Tlrækker. En uendelig tlrække består ligesom en uendelig tlfølge f uendelig mnge tl. Forskellen mellem de to begreber består

Læs mere

Om Følger og Rækker. Nyttige Grænseværdier. Nyttige Rækker. Carsten Lunde Petersen. lim. lim = 0. lim (1 + x n n )n = e x. n n n.

Om Følger og Rækker. Nyttige Grænseværdier. Nyttige Rækker. Carsten Lunde Petersen. lim. lim = 0. lim (1 + x n n )n = e x. n n n. IMFUFA Carste Lude Peterse Om Følger og Ræer Nyttige Græseværdier lim = 1 lim! = x = 0! lim lim (1 + x ) = e x! lim = e 1 Nyttige Ræer 1 p < p > 1 1 log p ( + 1) < p > 1 x = = x 1 x for x < 1 og Z, diverget

Læs mere

Georg Mohr Konkurrencen Noter om uligheder. Søren Galatius Smith

Georg Mohr Konkurrencen Noter om uligheder. Søren Galatius Smith Georg Mohr Kokurrece Noter om uligheder Søre Galatius Smith. juli 2000 Resumé Kapitel geemgår visse metoder fra gymasiepesum, som ka bruges til at løse ulighedsopgaver, og ideholder ikke egetligt yt stof.

Læs mere

Sandsynlighedsteori 1.2 og 2 Uge 5.

Sandsynlighedsteori 1.2 og 2 Uge 5. Istitut for Matematiske Fag Aarhus Uiversitet De 27. jauar 25. Sadsylighedsteori.2 og 2 Uge 5. Forelæsiger: Geemgage af emere karakteristiske fuktioer og Mometproblemet afsluttes, og vi starter på afsittet

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet.

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet. Matematik A Studetereksame Forsøg med digitale eksamesopgaver med adgag til iterettet Forberedelsesmateriale Vejledede opgave Forår 0 til stx-a-net MATEMATIK Der skal afsættes 6 timer af holdets sædvalige

Læs mere

Matematikprojekt. Integralregning. Lavet af Arendse Morsing Gunilla Olesen Julie Slavensky Michael Hansen. 15 Oktober 2010

Matematikprojekt. Integralregning. Lavet af Arendse Morsing Gunilla Olesen Julie Slavensky Michael Hansen. 15 Oktober 2010 Mtemtikprojekt om Integrlregning Lvet f Arendse Morsing Gunill Olesen Julie Slvensky Michel Hnsen 15 Oktober 21 Indhold I Del 1................................ 3 I Generelt om stmfunktioner og integrler........

Læs mere

Sandsynlighedsregning og statistisk. J. C. F. Gauss ( ) Peter Haremoës Niels Brock. 9. april 2013

Sandsynlighedsregning og statistisk. J. C. F. Gauss ( ) Peter Haremoës Niels Brock. 9. april 2013 Sdsylighedsregig og sttistisk J. C. F. Guss 777 855 Peter Hremoës Niels Brock 9. pril 3 Idledig Dette hæfte er lvet som supplemet til. udgve f boge Mt B. Der er lgt vægt på t give e bedre forståelse for

Læs mere

Potens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul

Potens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul Potens- smmenhænge inkl. proportionle og omvendt proportionle vrible 010 Krsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse f hæftet "Eksponentielle smmenhænge, udgve ". Indhold 1. Hvd er en potenssmmenhæng?...1.

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 7. Ligninger, polynomier og asymptoter

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 7. Ligninger, polynomier og asymptoter Matematikkes mysterier - på et obligatorisk iveau af Keeth Hase 7. Ligiger, polyomier og asymptoter Hvad er e asymotote? Og hvorda fides de? 7. Ligiger, polyomier og asymptoter Idhold 7.0 Idledig 7.1 Udsag

Læs mere

Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner

Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner Projekter: Kapitel 4 Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Kotiuitet og kotiuerte fuktioer Ord som kotiuert og kotiuerlig

Læs mere

Om Riemann-integralet. Noter til Matematik 1

Om Riemann-integralet. Noter til Matematik 1 Om Riemnn-integrlet. Noter til Mtemtik 1 Jon Johnsen Institut for Mtemtiske Fg, Alborg Universitet Fredrik Bjers Vej 7G, 9220 Ålborg Ø 3. december 2001 1 Indledning Integrlregning går tilbge til Newtons

Læs mere

... ... ... ... ... ... ... b > 0 og x > 0, vil vi kalde en potensfunktion. 492 10. Potensfunktioner

... ... ... ... ... ... ... b > 0 og x > 0, vil vi kalde en potensfunktion. 492 10. Potensfunktioner POTENSFUNKTIONER 0 49 0. Potensfunktioner POTENSFUNKTIONER DEFINITION En funktion med forskriften f( )= b hvor b > 0 og > 0 vil vi klde en potensfunktion. I MAT C kpitel så vi t hvis skl være et vilkårligt

Læs mere

TAL OG BOGSTAVREGNING

TAL OG BOGSTAVREGNING TAL OG BOGSTAVREGNING De elementære regnerter I mtemtik kn vi regne med tl, men vi kn også regne med bogstver, som gør det hele en smugle mere bstrkt. Først skl vi se lidt på de fire elementære regnerter,

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 12

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 12 Mtemtisk modellering numeriske metoder Lektion 12 Morten Grud Rsmussen 21. oktober, 213 1 Prtielle differentilligninger 1.1 Løsning f vrmeligningen vh. Fourierrækker [Bens sektion 12.6 på side 558] Vi

Læs mere

Ny Sigma 9, s Andengradsfunktioner med regneforskrift af typen y = ax + bx + c, hvor a 0.

Ny Sigma 9, s Andengradsfunktioner med regneforskrift af typen y = ax + bx + c, hvor a 0. Ny Sigm 9, s 110 Andengrdsfunktioner med regneforskrift f typen y = x + x + c, hvor 0 Lineære funktioner (førstegrdsfunktioner) med regneforskrift f typen y = αx + β Grfen for funktioner f disse typer

Læs mere

J 5aaa-Tfahhabhanfabna : aa-tfahhabhaø+ab+a. øt4bb4nøbfa. i 5 5abf7øTøh.4.7j9a. a a a

J 5aaa-Tfahhabhanfabna : aa-tfahhabhaø+ab+a. øt4bb4nøbfa. i 5 5abf7øTøh.4.7j9a. a a a M ic4btf+c S C J 5-Tfhhbhfb : -Tfhhbhø+b+ 5 S 5 S 5 j xbø4bt J x y 54 5F4b.1 5F4bf C : P ( C S S 35 øbf5p S 1 2 S D S S 5, C : P b+5 S øbf S S 5 g C : P S S 4 S 5, b+1 5b1 : 8 4 S 1 5 S 5hTF 5 øbh1 5 j

Læs mere

Lektion 6 Bogstavregning

Lektion 6 Bogstavregning Lektion Bogstvregning Formler... Reduktion... Ligninger... Lektion Side 1 Formler En formel er en slgs regne-opskrift, hvor mn med bogstver viser, hvorledes noget skl regnes ud. F.eks. formler til beregning

Læs mere

Trigonometri. Trigonometri. Sinus og cosinus... 2 Tangens... 6 Opgaver... 9. Side 1

Trigonometri. Trigonometri. Sinus og cosinus... 2 Tangens... 6 Opgaver... 9. Side 1 Trigonometri Sinus og osinus... 2 Tngens... 6 Opgver... 9 Side Sinus og osinus Til lle vinkler hører der to tl, som kldes osinus og sinus. Mn finder sinus og osinus til en vinkel ved t tegne vinklen midt

Læs mere

Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk. Erik Vestergaard, 2009.

Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk. Erik Vestergaard, 2009. Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Erik Vestergrd, 009. Billeder: Forside: Collge f billeder: istock.com/titoslck istock.com/yuri Desuden egne fotos og illustrtioner Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk

Læs mere

Kvadratisk 0-1 programmering. David Pisinger

Kvadratisk 0-1 programmering. David Pisinger Kvadratisk - programmerig David Pisiger 27-8 MAX-CUT problemet Givet e ikke-orieteret graf G = (V, E) er MAX-CUT problemet defieret som MAX-CUT = {< G > : fid et sit S, T i grafe G som maksimerer atal

Læs mere

Eksamen Analyse 1, Juni 2015, Besvarelse 1. Opgave 1. ( ln x) q x p dx =

Eksamen Analyse 1, Juni 2015, Besvarelse 1. Opgave 1. ( ln x) q x p dx = Eksmen Anlyse, Juni 25, Besvrelse Ld p >, q, og r. Opgve () Vis t integrlet ( ln x)r x p dx konvergerer. [Vink: Smmenlign med x s for pssende vlgt s.] ( ln x)q x p dx. [Vink: Anvend (b) Bevis formlen (

Læs mere

INTEGRALREGNING. Opgaver til noterne kan findes her. PDF. Facit til opgaverne kan hentes her. PDF. Version: 5.0

INTEGRALREGNING. Opgaver til noterne kan findes her. PDF. Facit til opgaverne kan hentes her. PDF. Version: 5.0 INTEGRALREGNING Version: 5.0 Noterne gennemgår egreerne: integrl og stmfunktion, og nskuer dette som et redsk til estemmelse f l.. reler under funktioner. Opgver til noterne kn findes her. PDF Fcit til

Læs mere

Eksponentielle Sammenhænge

Eksponentielle Sammenhænge Kort om Eksponentielle Smmenhænge 011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder pensum i eksponentielle smmenhænge for gymnsiet og hf. Indhold 1. Procenter på en ny måde... 1. Hvd er en eksponentiel smmenhæng?....

Læs mere

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Integrationsprincippet og Keplers tønderegel

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Integrationsprincippet og Keplers tønderegel Integrtionsprincippet og Keplers tønderegel. side Institut for Mtemtik, DTU: Gymnsieopgve Integrtionsprincippet og Keplers tønderegel Littertur: H. Elrønd Jensen, Mtemtisk nlyse, Institut for Mtemtik,

Læs mere

Note til Spilteori Mikro 2. år 2. semester Erik Bennike. Note til Spilteori

Note til Spilteori Mikro 2. år 2. semester Erik Bennike. Note til Spilteori Note tl Splteor Mkro. år. semester Erk Beke Note tl Splteor Gos s. - Splteor eskæftger sg med sttoer hvor der er strtegsk fhægghed geter mellem. Nytte for de ekelte get fhæger således kke lee f ege hdlger

Læs mere

Projekt 1.3 Brydningsloven

Projekt 1.3 Brydningsloven Projekt 1.3 Brydigslove Når e bølge, fx e lysbølge, rammer e græseflade mellem to stoffer, vil bølge ormalt blive spaltet i to: Noget af bølge kastes tilbage (spejlig), hvor udfaldsvikle u er de samme

Læs mere

Talfølger og -rækker

Talfølger og -rækker Da Beltoft og Klaus Thomse Aarhus Uiversitet 2009 Talfølger og -rækker Itroduktio til Matematisk Aalyse Zeos paradoks om Achilleus og skildpadde Achilleus løber om kap med e skildpadde. Achilleus løber

Læs mere

1 1 t 10 1. ( ) x 2 4. + k ================= sin( x) + 4 og har graf gennem (0,2), dvs F(0) = 2. + 4x + k

1 1 t 10 1. ( ) x 2 4. + k ================= sin( x) + 4 og har graf gennem (0,2), dvs F(0) = 2. + 4x + k 0x-MA (0.0.08) _ opg (3:07) Integrtion ved substitution ( x + 7) 9 t x + 7 > t 9 t 0 + k 0 0 ( x + 7)0 + k b) x x + 4 t x + 4 > 3 x t t t x 3 t x x + k 3 t t + k ( ) x 4 3 x + 4 + + k c) cos( x)

Læs mere

Geometrinoter 2. Brahmaguptas formel Arealet af en indskrivelig firkant ABCD kan tilsvarende beregnes ud fra firkantens sidelængder:

Geometrinoter 2. Brahmaguptas formel Arealet af en indskrivelig firkant ABCD kan tilsvarende beregnes ud fra firkantens sidelængder: Geometrinoter 2, jnur 2009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 2 Disse noter omhndler sætninger om treknter, trekntens ydre røringscirkler, to cirklers rdiklkse smt Simson- og Eulerlinjen i en treknt.

Læs mere

MM501 forelæsningsslides

MM501 forelæsningsslides MM501 forelæsningsslides uge 39, 009 Produceret f Hns J. Munkholm 1 Linerisering s. 66-67 Lineriseringen f f omkring x =, er den lineære funktion, der hr tngenten som grf. Klder mn den L er forskriften

Læs mere

Analyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X).

Analyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 3. og 6. september 2013 Gennemgå bevis for Sætning 2.10 Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Bevis. Der findes en injektion X P(X), fx givet ved x

Læs mere

BEVISER TIL SÆTNINGER I BOGEN

BEVISER TIL SÆTNINGER I BOGEN MTEMK Mtemtik o hh C-iveu BEVISER TIL SÆTNINGER I BOGEN Dette e e smlig ove lle e sætige og evise e e i oge. Det e met som suppleee mteile isæ til e eleve, e skl hve mtemtik på B- elle -iveu. ee i ku metget

Læs mere

Længde [cm] Der er frit vandspejle i sandkassen. Herudover er sandkassen åben i højden cm i venstresiden og 0-20 cm i højresiden.

Længde [cm] Der er frit vandspejle i sandkassen. Herudover er sandkassen åben i højden cm i venstresiden og 0-20 cm i højresiden. Vadtrasportmodel Formål For beregig af vadtrasporte i sadkasse er der lavet e boksmodel. Formålet med boksmodelle er at beskrive vadtrasporte i sadkasse. Herover er formålet at bestemme de hydrauliske

Læs mere

Formelsamling Matematik C Indhold

Formelsamling Matematik C Indhold Formelsmling Mtemtik C Indhold Eksempler på besvrelser, lin, eksp, pot, geo... Tl, regneopertioner og ligninger... 6 Ligninger... 7 Geometri... 0 Funktioner og modeller... 3 Lineær funktion... 3 Procentregning...

Læs mere

Lektion 5 Det bestemte integral

Lektion 5 Det bestemte integral f(x) dx = F (b) F () Lektion 5 Det bestemte integrl Definition Integrlregningens Middelværdisætning Integrl- og Differentilregningens Hovedsætning Bereging f bestemte integrler Regneregler Arel mellem

Læs mere

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX)

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) Silkeorg -0- MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) FACITLISTE Udrejdet f mtemtiklærere fr HF, HHX, HTX & STX. PS: Hvis du opdger

Læs mere

3. Vilkårlige trekanter

3. Vilkårlige trekanter 3. Vilkårlige treknter 3. Vilkårlige treknter I dette fsnit vil vi beskæftige os med treknter, der ikke nødvendigvis er retvinklede. De formler, der er omtlt i fsnittet om retvinklede treknter, kn ikke

Læs mere

Program. Middelværdi af Y = t(x ) Transformationssætningen

Program. Middelværdi af Y = t(x ) Transformationssætningen Program Statistik og Sadsylighedsregig 2 Trasformatio af kotiuerte fordeliger på R, flerdimesioale kotiuerte fordeliger, mere om ormalfordelige Helle Sørese Uge 7, osdag I formiddag: Opfølgig på trasformatiossætige

Læs mere

Hvordan Leibniz opfandt integralregningen

Hvordan Leibniz opfandt integralregningen Hvord Leiiz opdt itegrlregige 0 Krste Juul EglÄdere Isc Newto (6-) opdt i 66 itegrlregige. Tskere Gottried Wilhelm Leiiz (66-6) opdt i 6 itegrlregige. Ige dem oetliggjorde deres opidelse med det smme.

Læs mere

Eksempel 10.1 En autoregressiv proces af orden 1 (ofte blot kaldet en AR(1)- proces) pårhar et opdateringsskema (10.1) med funktionen. for y R.

Eksempel 10.1 En autoregressiv proces af orden 1 (ofte blot kaldet en AR(1)- proces) pårhar et opdateringsskema (10.1) med funktionen. for y R. Kapitel 0 Markovkæder Vi vil i det følgede studere processer Y 0, Y, Y 2,... med værdier irgivet på forme Y = f (Y +ǫ for =, 2,... (0. Her erǫ,ǫ 2,... e følge af iid støjvariable med middelværdi 0, alle

Læs mere

Rettevejledning til HJEMMEOPGAVE 1 Makro 1, 2. årsprøve, foråret 2007 Peter Birch Sørensen

Rettevejledning til HJEMMEOPGAVE 1 Makro 1, 2. årsprøve, foråret 2007 Peter Birch Sørensen Rettevejledig til HJEMMEOPGAVE Makro, 2. årsprøve, foråret 2007 Peter Birch Sørese Opgave... Udsaget er forkert. De omtalte skatteomlægig må atages at øge beskæftigelse p.gr.a. e positiv substitutioseffekt

Læs mere

Bjørn Grøn. Analysens grundlag

Bjørn Grøn. Analysens grundlag Bjør Grø Aalyses grudlag Aalyses grudlag Side af 4 Idholdsfortegelse Kotiuerte og differetiable fuktioer 3 Differetial- og itegralregiges udviklig 5 3 Hovedsætiger om differetiable fuktioer 8 Opgaver til

Læs mere

Kalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger

Kalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Kalkulus - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Mads Friis 8. januar 05 Indhold Grundlæggende uligheder Grænseovergange 3 3 Kontinuitet 9 4 Følger 0 5 Perspektivering 4 Grundlæggende uligheder Sætning

Læs mere

Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler

Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler Oversigt over forskellige tper f funktioner Omvendt proportionlitet og hperler.grdsfunktioner og prler Eksponentilfunktioner Potensfunktioner Lektion 7s Side

Læs mere

gudmandsen.net y = b x a Illustration 1: potensfunktioner i 5 forskellige grupper

gudmandsen.net y = b x a Illustration 1: potensfunktioner i 5 forskellige grupper gudmndsen.net Dette dokument er publiceret på http://www.gudmndsen.net/res/mt_vejl/. Ophvsret: Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution

Læs mere

Undersøgelse af numeriske modeller

Undersøgelse af numeriske modeller Udersøgelse af umeriske modeller Formål E del af målsætige med dette delprojekt er at give kedskab til de begræsiger, fejl og usikkerheder, som optræder ved modellerig. I de forbidelse er følgede udersøgelse

Læs mere

Kort om Potenssammenhænge

Kort om Potenssammenhænge Øvelser til hæftet Kort om Potenssmmenhænge 2011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder bl.. mnge småspørgsmål der gør det nemmere for elever t rbejde effektivt på t få kendskb til emnet. Indhold 1. Ligning

Læs mere

Tankegangskompetence. Kapitel 9 Algebraiske strukturer i skolen 353

Tankegangskompetence. Kapitel 9 Algebraiske strukturer i skolen 353 Takegagskompetece Hesigte med de følgede afsit er først og fremmest at skabe klarhed over de mere avacerede regeregler i skole og give resultatet i de almee form, der er karakteristisk for algebra. Vi

Læs mere

Regneregler for brøker og potenser

Regneregler for brøker og potenser Regneregler for røker og potenser Roert Josen 4. ugust 009 Indhold Brøker. Eksempler......................................... Potenser 7. Eksempler......................................... 8 I de to fsnit

Læs mere

Lys og gitterligningen

Lys og gitterligningen Fysik rapport: Lys og gitterligige Forfatter: Bastia Emil Jørgese.z Øvelse blev udført osdag de 25. jauar 202 samme med Lise Kjærgaard Paulse 2 - Bastia Emil Jørgese Fysik rapport (4 elevtimer), februar

Læs mere

Bachelorprojekt for BSc-graden i matematik

Bachelorprojekt for BSc-graden i matematik D E T N A T U R V I D E N S K A B E L I G E F A K U L T E T K Ø B E N H A V N S U N I V E R S I T E T Bachelorprojekt for BSc-grade i matematik Mikkel Abrahamse & Sue Precht Reeh Ekstremal grafteori Vejleder:

Læs mere

Integrationsteknikker

Integrationsteknikker Integrtionsteknikker Frnk Vill. jnur 14 Dette dokument er en del f MtBog.dk 8-1. IT Teching Tools. ISBN-13: 978-87-9775--9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 1 Numerisk integrtion.1

Læs mere

Diverse. Ib Michelsen

Diverse. Ib Michelsen Diverse Ib Michelsen Ikst 2008 Forsidebilledet http://www.smtid.dk/visen/billede.php?billedenr69 Version: 0.02 (2-1-2009) Diverse (Denne side er A-2 f 32 sider) Indholdsfortegnelse Regning med procent

Læs mere

Pythagoras sætning. I denne note skal vi give tre forskellige beviser for Pythagoras sætning:

Pythagoras sætning. I denne note skal vi give tre forskellige beviser for Pythagoras sætning: Pythgors sætning I denne note skl i gie tre forskellige eiser for Pythgors sætning: Pythgors sætning I en retinklet treknt, hor den rette inkel etegnes med, gælder: + = eis 1 Ld os tegne et stort kdrt

Læs mere

Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier

Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier Noter om polyomier, Kirste Rosekilde, Marts 2006 1 Polyomier Disse oter giver e kort itroduktio til polyomier, og de fleste sætiger æves ude bevis. Udervejs er der forholdsvis emme opgaver, mes der til

Læs mere

Arctan x = x x3 3 + x5 (En syvende berømt række er binomialrækken, [S] 8.8.) Eksempel

Arctan x = x x3 3 + x5 (En syvende berømt række er binomialrækken, [S] 8.8.) Eksempel Oversigt [S] 8.5, 8.6, 8.7, 8.0 Nøgleord og begreber Seks berømte potensrækker Potensrække Konvergensrdius Differentition og integrtion f potensrækker Tylor og McLurin rækker August 00, opgve 4 Den geometriske

Læs mere

TAL OG REGNEREGLER. Vi ser nu på opbygningen af et legeme og noterer os samtidig, at de reelle tal velkendte regneoperationer + og er et legeme.

TAL OG REGNEREGLER. Vi ser nu på opbygningen af et legeme og noterer os samtidig, at de reelle tal velkendte regneoperationer + og er et legeme. TAL OG REGNEREGLER Inden for lgeren hr mn indført egreet legeme. Et legeme er en slgs konstruktion, hvor mn fstsætter to regneregler og nogle sætninger (ksiomer), der gælder for disse. Pointen med en sådn

Læs mere

antal gange krone sker i første n kast = n

antal gange krone sker i første n kast = n 1 Uge 15 Teoretisk Statistik, 5. april 004 1. Store tals lov Eksempel: møtkast Koverges i sadsylighed Tchebychevs ulighed Sætig: Store tals lov. De cetrale græseværdisætig 3. Approksimatio af sadsyligheder

Læs mere

og Fermats lille sætning

og Fermats lille sætning Projekter: Kaitel 0. Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruer og Fermats lille sætig Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruere ( { 0 }, ) og Fermats lille sætig Vi aveder moduloregig og restklasser mage

Læs mere

Dæmonen. Efterbehandlingsark C. Spørgsmål til grafen over højden.

Dæmonen. Efterbehandlingsark C. Spørgsmål til grafen over højden. Efterbehndlingsrk C Dæmonen Nedenfor er vist to grfer for bevægelsen i Dæmonen. Den første grf viser hvor mnge gnge du vejer mere eller mindre end din normle vægt. Den nden grf viser højden. Spørgsmål

Læs mere

UGESEDDEL 52. . Dette gøres nedenfor: > a LC

UGESEDDEL 52. . Dette gøres nedenfor: > a LC UGESEDDE 52 Opgve 1 Denne opgve er et mtemtisk eksempel på Ricrdo s én-fktor model, der præsenteres i Krugmn & Obstfeld kpitel 2 side 12-19. Denne model beskriver hndel som et udslg f komprtive fordele

Læs mere

Regneregler. 1. Simple regler for regning med tal.

Regneregler. 1. Simple regler for regning med tal. Regneregler. Simple regler for regning med tl. Vi rejder l.. med følgende fire regningsrter: plus (), minus ( ), gnge () og dividere (: eller røkstreg, se senere), eller med fremmedord : ddition, sutrktion,

Læs mere

Projekt 10.3 Terningens fordobling

Projekt 10.3 Terningens fordobling Hvd er mtemtik? C, i-og Projekt 0.3 Terningens fordoling Elementerne indeholder, hvd mn kn deduere sig til og konstruere ud fr de få givne ksiomer. Mn kn derfor i en vis forstnd sige, t l den viden, der

Læs mere

Velkommen. Program. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Sandsynlighedstætheder og kontinuerte fordelinger på R. Praktiske ting og sager

Velkommen. Program. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Sandsynlighedstætheder og kontinuerte fordelinger på R. Praktiske ting og sager Program Statistik og Sadsylighedsregig 2 Sadsylighedstætheder og kotiuerte fordeliger på R Helle Sørese Uge 6, madag Velkomme I dag: Praktiske bemærkiger Hvad skal vi lave på SaSt2? Sadsylighedstætheder

Læs mere

Projekt 2.1 Det gyldne snit og Fibonaccitallene

Projekt 2.1 Det gyldne snit og Fibonaccitallene ISN 978-87-7066-498- Projekter: Kpitel. Projekt. Det glde sit og Fiboccitllee Projekt. Det glde sit og Fiboccitllee Fordsætiger: Kedskb til ligedethed. Grdlæggede geometrisk vide. Kedskb til degrdsligige.

Læs mere

Krumningsradius & superellipsen

Krumningsradius & superellipsen Krumningsrdius & suerellisen Side /5 Steen Toft Jørgensen Krumningsrdius & suerellisen Formålet med dette mini-rojekt er t erhverve mtemtisk viden om krumningsrdius f en kurve og nvende denne viden å det

Læs mere