Moderne acceleratorers fysik og anvendelse

Transkript

1 Moderne acceleratorers fysik og anvendelse Forelæsning 4b, uge 6/08, mandag d. 4/2 16:15-17:00 Kapitel 6 i Wilson: Imperfections and multipoles. Cirkeldiagrammet Closed-orbit distortions Orbitkorrektion Kort intro til dispersion (fra kap.5, mere næste mandag) Chromaticitet WINAgile eksempel : Injektion i ASTRID

2 Beam ændring med kicker Størst følsomhed for vinkelændringer i område med høj betafunktion, i.e. stor rumlig udstrækning og lille divergens. Stor beta i en given retning forekommer ved en q-pol der fokuserer i den samme retning, dvs. ved QF i x-retningen og QD i z-retningen.

3 Cirkeldiagrammet Halvakserne i faseellipsen er x = εβ og x' = ε β NB: Trykfejl i bogen: Vi kan nu indføre x = x og p = β x Herved bliver ellipsen til en cirkel, på hvis omkreds koordinaterne for en partikel bevæger sig Q gange rundt på én omgang i maskinen. Hvis den starter i A på figuren, er den altså i B efter én omgang. Vinkelen mellem A og B er så frac(q)*2π. (frac er decimaldelen) (NB: I figuren er Q=27.6)

4 Transformation af cirkeldiagrammet Man kan lave en yderligere koordinattransformation, således at faseellipsen ikke blot bliver en cirkel, men at den transformerede fasevinkel varierer 2π for hver omgang i ringen. Transformationen er: F er en funktion af afvigelsen fra det ideelle B-felt, og således 0 i det ideelle tilfælde. Hill s ligning bliver da ligningen for en harmonisk oscillator med tvangskraft g (g er 0 i det ideelle tilfælde). Løsningen, den harmoniske oscillator ser sådan ud: Mange udregninger bliver så en del simplere. Man skal altså transformere sine koordinater, lave udregninger i det simplere rum, og transformere tilbage igen.

5 Effekt af et kick Ændring af closed orbit med en kort dipol, der tændes langsomt: Vigtigt: Ovenstående figur viser closed orbit, ikke partikelbaner!

6 Max orbit distortion efter et kick Fejl: φ skal være ψ i denne figur Her er vist en enkelt omgang i ringen. Closed orbit følger jo Hill s ligning, og er altså en cosinus. Her er det samme vist i et (x,p) cirkeldiagram. Udregning af a giver, at max afvigelse fra x=0 er proportional med β K *β(s), hvor β K er β på kicket s plads. 2π - ββ Δ( Bl a = 2sin( πq) Bρ K )

7 Closed-orbit bumps Her ses effekten af to bumperdipoler der er placeret netop en halv betatronperiode fra hinanden. Som det fremgår ændres beamet kun mellem dipolerne. Bemærk udtrykket for Δy. Her er der benyttet tre dipoler til at lave et bump der ikke behøver være en halv periode langt.

8 En typisk beam position monitor, eller pick-up. Ved at måle (R-L)/(R+L) fås et tal mellem -1 og +1 der angiver positionen. Der anbringes ofte et sæt, således at man får både x og z positionen. Vi har 8 sæt af denne type pick-up på ASTRID, plus 3 sæt button-pick-ups.

9 Orbitkorrektion Betragt en ring, hvor vi har n sæt korrektionsdipoler og n sæt pick-ups. Lad Δ i være vinkelændringen (prop. med feltet) i korrektor nummer i, og lad y 1 være positionen i pick-up nummer i. Man kan så beregne eller måle de enkelte elementer i en n*n matrix G hvor element G pq angiver positionsændringen på pick-up p fra korrektionen Δ q på korrektor q. Hvis matricen inverteres kan man udfra målte positioner udregne de korrektorsettings der er nødvendige for at bringe beamet til at ligge i en given position på alle pick-ups.

10 Resonant conditions, Q-værdi Den maximale beamekskursion i closed orbit som følge af et kick eller en dipolfejl er ββ K Δ( Bl) a = 2sin( πq) Bρ Heraf fremgår, at heltallige Q værdier er fatale, da a da bliver uendelig. Dette er klart, idet en heltallig Q-værdi fysisk betyder, at beamet modtager samme kick i samme retning i hvert omløb, og derfor hurtigt tabes. I en quadrupol vil en fejl bevirke for stor afbøjning enten væk fra eller imod central orbit uanset fortegnet af x, og halv-heltals værdier af Q vil derfor føre til resonans. Helt generelt skal man undgå at lq h +mq v = p, hvor p er et heltal. Summen l + m kaldes resonansens orden. Jo lavere orden, jo mere fatal (og hurtigtvirkende) er resonansen.

11 Q-diagram I figuren er vist linier for resonanser op til 5. Jo lavere orden en resonans har, jo længere væk fra den bør man vælge sit arbejdspunkt. Jo større åbent område man vælger den i, jo bedre.

12 ASTRID tune diagram til 4. orden

13 Dispersion (preview) En dispersion forskellig fra 0 bevirker at en partikelbane vil afvige fra idealbanen i position hvis den ikke har den nominelle impuls. Dispersion er en funktion af s, og vi har altså: x( s) = D( s) Δp p Dispersion er, ligesom f.eks. β en maskinparameter, der er fastlagt af lattice. En dipolmagnet giver dispersion, og derfor er horisontal dispersion normalt dominerende. På et sted med dispersion vil en lav-og højimpuls partikelbane altså ligge på hver sin side af central orbit. Dette har konsekvenser for fokuseringen i en quadrupol.

14 Kromaticitet Eksempel på de fejl der opstår ved fokusering i en quadrupol i et område med dispersion. Høj- og lav-impulspartikler rammer linsen på hver sin side af central orbit.

15 Korrigering af kromaticitet: Sextupolmagnet Til venstre ses en horisontal sextupol, der kan korrigere kromaticitet. Til højre ses et Q-pol/Sextupol par fra oven. Det er vigtigt, at sextupolen sidder i et høj-β område, dvs tæt på en fokuserende q-pol. Da vil den være fokuserende i den ene side, og defokuserende i den anden. På central orbit er effekten nul. I vertikal retning er effekten af sextupolen mindre, da β er mindre. NB: Sextupoler kobler vertikal og horisontal bevægelse.

16 Kromaticitet Kromaticitet måles ved at ændre beamets impuls og se hvordan forkuseringen, dvs. Q-værdien ændres. Hvis Q-værdien ændres ΔQ ved en impulsændring på Δp defineres kromaticiteten Q : (Som symbol for kromaticitet benyttes ofte ξ). Vi har definitionen af k for en q-pol: men da Br er proportional med p er Og altså (fra afsnit 6.3) dvs Kromaticiteten er altså: Q =

17 Måling af kromaticitet En impulsændring kan laves ved at ændre RF-frekvensen. Dispersion sikrer, at en partikel med højere impuls følger en længere bane i dipolerne, og dermed har en lavere omløbsfrekvens. Ved at ændre frekvensen ændres altså positionen i Q-polerne og derved Q-værdien, p.g. af dispersion. En sådan måling er vist i figuren. Målingen foretages i et lille område nær den nominelle tune. Kromaticiteten er nu givet ved liniens hældning. Kromaticitet kan også måles ved at ændre feltet i dipolerne og måle tuneskiftet.