C R. Figur 1 Figur 2. er eksempler på kredsløbsfunktioner. Derimod er f.eks. indgangsimpedansen

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "C R. Figur 1 Figur 2. er eksempler på kredsløbsfunktioner. Derimod er f.eks. indgangsimpedansen"

Transkript

1 Kredsløbsfunktioner Lad os i det følgende betragte kredsløb, der er i hvile til t = 0. Det vil sige, at alle selvinduktionsstrømme og alle kondensatorspændinger er nul til t = 0. I de Laplace-transformerede billedkredsløb repræsenteres begyndelsesbetingelserne af uafhængige generatorer. Disse er altså 0. Vi forestiller os endvidere, at kredsløbene heller ikke indeholder andre uafhængige generatorer bortset fra kredsløbenes input. Til t = 0 påvirker vi et sådant kredsløbet med et input x(t), der repræsenterer enten en uafhængig spændingskilde eller en uafhængig strømkilde. Inputtets Laplace-transformerede er X (s). Ud fra billedkredsløbet og de tilhørende kredsløbsligninger kan vi bestemme den Laplace-transformerede Y (s) af kredsløbets output y(t). Dette output kan enten kan være en strøm eller en spænding i kredsløbet. Da billedkredsløbet ikke indeholder uafhængige generatorer vil Y (s) have formen Y (s) = H(s)X (s) og kredsløbets output y(t) kan bestemmes som den invers Laplace-transformerede af Y (s). Forholdet mellem de Laplace-transformerede af output og input, altså funktionen H(s), kaldes en kredsløbsfunktion eller en overføringsfunktion for kredsløbet. Et kredsløb kan altså have flere overføringsfunktioner, afhængigt af hvad man definerer som input og output. i (t) I (s) v (t) L C v 2 (t) sl V (s) sc V 2 (s) Figur Figur 2 For kredsløbet i figur er input en uafhængig spændingsgenerator v(t). I figur 2 er vist det tilsvarende Laplace-transformerede billedkredsløb med den uafhængige spændinsgenerator V (s). Indgangs-admittansen Y (s) = I (s) V (s) og spændingsforstærkningen A v (s) = V 2(s) V (s) er eksempler på kredsløbsfunktioner. Derimod er f.eks. indgangsimpedansen Z(s) = V (s) I (s) ikke en kredsløbsfunktion, da i (t) ikke er en uafhængig generator. Hvis vi ønskede, at indgangsimpedansen skulle være en kredsløbsfunktion, må vi erstatte den uafhængige spændingsgenerator v (t) med en uafhængig strømgenerator i (t).

2 ational overføringsfunktion Da de kredsløb vi betragter kun indeholder modstande, kondensatorer, selvinduktioner og afhængige generatorer, vil H(s) være en rational funktion af s, det vil sige en funktion på formen b ms m b m s m b 0 a n s n a n s n a 0 hvor koefficienterne b k og a k alle er reelle. Ved faktorisering kan H(s) skrives som (s z )(s z 2 ) (s z m ) (s p )(s p 2 ) (s p m ) ødderne z 0,...,z m i tællerpolynomiet er overføringsfunktionens nulpunkter (zeros), mens rødderne p 0,...,p n er overføringsfunktionens poler. Da både tæller- og nævnerpolynomierne har reelle koefficienter vil både polerne og nulpunkterne være enten reelle eller være komplekst konjugerede par. Hvis vi giver kredsløbet et input, hvor den Laplace-transformerede af inputtet er X (s) = svarende til at x(t) = δ(t), altså at inputtet er en impuls, så er Y (s) = H(s), og hermed er outputtet y(t) = h(t). Den invers Laplace-transformerede af overføringsfunktionen H(s) er altså kredsløbets svar på en impulspåvirkning. Man kalder af den grund også h(t) for overføringsfunktionens impulsrespons. Fra H(s) til h(t) Lad os kort repetere fra matematikken, hvordan vi ved hjælp af partialbrøksopspaltning kan bestemme h(t) ud fra H(s). NårH(s) er en ægte brøk, vil h(t) for t 0 bestå af en sum af tidsfunktioner, der har formen Ae pt, svarende til hver pol af første orden i H(s). Erp en pol af rte orden bliver de tilsvarende tidsfunktioner af formen A n t n e pt, n =,...,r Bemærk at funktionerne Ae pt er komplekse når p er kompleks. Hvis p er reel svarende til en partialbrøk bliver tidsfunktionen A s p h(t) = Ae pt () også reel, altså en eksponentialfunktion med en tidskonstant τ = /p. Nårp er kompleks er p også altid pol i H(s). Hvis vi lader p = α jβ,ogdermedp = α jβ,harvi og så bliver tidsfunktionen A s α jβ A s α jβ h(t) = 2 A e αt cos ( ωt arg(a) ) (2) altså et sinusformet signal med vinkelfrekvens ω overlejret en eksponentialfunktion med tidskonstanten τ = /α. 2

3 Lad os bestemme impulsresponsen for et system med overføringsfunktionen 2s s 2 3s 2 Denne funktion har nulpunkt i s =/2og poler i s =ogs =2. H(s) kan partialbrøksopspaltes til s 3 s 2 Impulsressponsen bliver således h(t) =e t 3e 2t for t 0 Tidsfunktionen e 2t svarende til polen s =2erdominerende i starten, hvorefter den dør ud. Tidsfunktionen e t svarende til polen s =erden dominerende senere hen. Vi siger, at polen i s =2er hurtigere end polen i s =. Et nulpunkts placering kan ikke direkte aflæses på impulsresponsen. Tællerens rolle i overføringsfunktionen vil være at bestemme koefficienterne i partialbrøksopspaltningen og dermed virkningen af de enkelte tidsfunktioner i den samlede impulsrespons. Et nulpunkt, der ligger tæt på en pol, vil (næsten) forkorte polen ud, svarende til at virkningen af den tilsvarende tidsfunktion vil blive lille. Bemærk at impulsresponsen også kaldes for systemets naturlige respons og de nævnte tidsfunktioner kaldes systemets egensvingninger. Stabilitet Vi lægger mærke til, at alle egensvingninger i overføringsfunktionens impulsrespons indeholder et led med en reel eksponentialfunktion, se () og (2). Hvis det tilsvarende kredsløb skal være stabilt skal alle disse tidsfunktioner gå mod 0 for t. Alle eksponenterne skal altså være negative. Som det ses af de ovenstående udregninger er tidskonstanten τ =/α, hvorα er polens negative reeldel (når p er reel er p = α). For at kredsløbet skal være stabilt er det altså nødvendigt, at overføringsfunktionens poler har negativ reeldel. Det vil sige, at de skal ligge i det komplekse plans venstre halvdel. Dette stabilitetskriterium er imidlertid baseret på, at kredsløbet påvirkes med en impuls. I praksis er det imidlertid vigtigere at vide om et system, der påvirkes af en hvilken som helst begrænset påvirkning, giver output, der også er begrænset. Heldigvis kan det vises, at såfremt h(t) er stabil ved impulspåvirkning, så er det stabilt for en vilkårlig, begrænset påvirkning. i(t) I (s) v (t) L 3i(t) V (s) sl 3I (s) Figur 3 Figur 4 Undersøg om kredsløbet i figur 3 er stabilt for kredsløbsfunktionen Y (s) = I (s)/v (s). Vi bestemmer først billedkredsløbet (begyndelsesbetingelserne er nul), se figur 4. Ved hjælp af kredsløbsligninger kan Y (s) 3

4 bestemmes til Y (s) = /(sl 2). Overføringsfunktionen har altså en (reel) pol i s = 2/L. Denne pol er positiv; kredsløbet er således ustabilt. DC-forstærkning Las os betragte et stabilt kredsløb med overføringsfunktionen Y (s)/ X (s) = H(s). Påvirker vi fra t = 0 dette kredsløb med en konstant værdi, x(t) = k, (en DC-værdi) vil outputtet efter en indsvingningstid (i teorien uendelig lang tid, i praksis ofte få sekunder) også få en konstant værdi, som vi betegner y( ) for at markere, at vi har ventet længe nok. Da X (s) = k/s er Y (s) = k/s H(s) Ved anvendelse af Laplace-transformationens slutværdisætning fås Kredsløbets DC-forstærkning H(0) er således lim y(t) = s lim Y (s) t s 0 y( ) = kh(0) A DC = H(0) = y( )/k. Vi kan konstatere, at et kredsløbs dynamiske egenskaber er bestemt ud fra overføringsfunktionens poler og nulpunkter, og at de statiske egenskaber er repræsenteret i DC-forstærkningen. Lad os bestemme en overføringsfunktion for et kredsløb med et nulpunkt i s =, poler i s =2 ± j3 og med en DC-forstærkning A DC =. Overføringsfunktionen har følgende form K s (s 2 3 j)(s 2 3 j) = K s s 2 4s 3 og indsætter vi s = 0 finder vi DC-forstærkningen. Vi kan således bestemme K ved A DC = H(0) = K/3 = K = 3 Overføringsfunktionen bliver således BEMÆK: K er ikke DC-forstærkningen. 3(s ) s 2 4s 3 4

5 Frekvensanalyse Lad os betragte et kredsløb. der er beskrevet ved hjælp af overføringsfunktionen Y (s) X (s) Lad inputtet x(t) være en sinusformet strøm eller spænding. For at gøre udregninger simple antager vi i første omgang at have amplituden og fasevinklen 0. x(t) = cos(ωt) Signalets Laplace-transformerede er s X (s) = s 2 ω 2 Den Laplace-transformerede af outputtet bliver så s Y (s) = H(s) s 2 ω = H(s) s 2 (s jω)(s jω) En partialbrøksopspaltningen giver (idet vi for enkeltheds skyld antager rødder af første orden) Y (s) = k k n k 0 s p s p n s jω k 0 s jω hvor p l,...,p n er poler i overføringsfunktionen H(s). Tidsfunktionen svarende til Y (s) bliver y(t) = k e pt k n e p nt 2 k }{{} 0 cos ( ωt arg(k 0 ) ) }{{} y (t) y (t) Hvis vi antager, at systemet er stabilt, altså at alle poler ligger i venstre halvplan, vil alle systemets egensvingninger, repræsenteret ved y (t), dø ud. Outputtet vil så ende med kun at bestå af y (t), der er et sinusformet svarende til den sinusformede påvirkning x(t) = cos(ωt). Værdien k 0 svarende til polen s = jω kan bestemmes som (jvf. reglerne for partialbrøksopspaltning) s k 0 = Y (s)(s jω) = H(s) = H( jω) s= jω s jω s= jω 2 og dermed y (t) = H( jω) cos ( ωt arg(k 0 ) ). Den vigtige observation her er, at hvis et stabilt kredsløb påvirkes med et sinusformet signal med en vinkelfrekvens ω vil outputtet være sinusformet med samme frekvens, og med en amplitude og fase, der er en funktion af ω. Disse størrelser kan bestemmes ud fra kredsløbets overføringsfunktion som vist ovenfor. Bemærk at man ofte betegner et sinusformet signal med fast frekvens som stationært. Da det betragtede kredsløb er lineært og tidsinvariant, vil en påvirkning med et signal x(t) = A cos(ωt θ) for a fastholdt frekvens ω resultere i et stationært output, der har en amplitude, der er A gange større, og som har en faseforskydning på θ i forhold til en påvirkning med amplitude og fase 0. Således er outputtet y(t) = A H( jω) cos ( ωt arg ( H( jω) ) θ ) 5

6 Det er vigtigt at bemærke, at det ikke er nødvendigt at kende/undersøge H(s) i hele det komplekse plan (s er en kompleks variabel, så H(s) antager værdier i hele de komplekse plan) for at vide, hvordan inputfrekvenser hænger sammen med outputfrekvenser. Man kan nøjes med at kende H(s) på den imaginære akse, altså H( j ω). Derfor kaldes H( j ω) også for kredsløbets frekvenskarakteristik. Frekvenskarakteristikken H( j ω) bestemmes altså som funktionsværdierne for kredsløbets overføringsfunktion H(s) langs den imaginære akse s = jω. Vi kan med andre ord betragte den positive del af imaginæraksen som en vinkelfrekvensakse. Hvert punkt på denne svarer til en virkelig reel vinkelfrekvens. Vi har tidligere set, at H(s) for s = 0 er lig med kredsløbets DC-forstærkning, hvilket harmonerer med, at DC svarer til ω = 0. Deles H( jω) op i modulus og argument kan den komplekse funktion beskrives som to reelle fuktioner. Vi betegner A(ω) = H( jω) = H( jω) = A(ω) θ(ω) e ( H( jω) ) 2 Im ( H( jω) ) 2 amplitudekarakteristikken, da den er et udtryk for størrelsen af forstærkningen ved forskellige frekvenser, og vi betegner θ(ω) = arctan Im( H( jω) ) 2 e ( H( jω) ) 2 fasekarakteristikken. Disse to funktioner udtrykker, hvorledes kredsløbet påvirker amplituden og fasen for et stationært sinusformet signal som funktion af frekvensen. v i (t) C v o (t) Vi ønsker at bestemme amplitude- og fasekarakteristik for spændingsforstærkningen V o /V i for kredsløbet vist i figuren. Først bestemmes spændingsoverføringsfunktionen (almindelig spændingsdeling), V o(s) V i (s) = sc sc = sc og s = jω indsættes. H( jω) = jωc = arctan(ωc). ω 2 Amplitude- og fasekarakteristikkerne er vist på figuren her. 6

7 2 0 0 ω c 0 π 2 0 ω c Da amplituden af outputsignalet falder med stigende frekvens taler vi om en lavpaskarakteristik. Vi definerer grænsefrekvensen ω c som A V (ω c ) = A V (0) = (2) 2 hvilket medfører, at for det give kredsløb er ω c = C Frekvensområdet ω<ω c kaldes gennemgangsområdet, og ω>ω c kaldes dæmpningsområdet. Fasevinklen er 0 for ω = 0 og nærmer sig asymptotisk til π/2forω.forω = ω c er fasevinklen π/4. Bode-diagrammer Et plot at amplitude og fasekarakteristikken for en overføringsfunktion kaldes et Bode-plot eller Bode-diagram. Det er oplagt at tegne et Bode-plot ved hjælp af en computer, da det i sagens natur er besværligt at gøre det i hånden. I Matlab kan man lave en Bode-plot af overføringsfunktionen i ovenstående eksempel med følgende få linier (det kræver, at control-toolbox en er tilrådighed): > s = tf( s ); > = ; C = ; (vi har her valgt = C = ) > H = / (s**c) > bode(h) 7

3 Overføringsfunktion

3 Overføringsfunktion 1 3 Overføringsfunktion 3.1 Overføringsfunktion For et system som vist på figur 3.1 er overføringsfunktionen givet ved: Y (s) =H(s) X(s) [;] (3.1) Y (s) X(s) = H(s) [;] (3.2) Y (s) er den Laplacetransformerede

Læs mere

Øvelsesvejledning. Frekvenskarakteristikker Simulering og realisering af passive filtre.

Øvelsesvejledning. Frekvenskarakteristikker Simulering og realisering af passive filtre. ELT2, Passive filter, frekvenskarakteristikker Øvelsesvejledning Frekvenskarakteristikker Simulering og realisering af passive filtre. Øvelsen består af 3 dele: 1. En beregningsdel som du forventes at

Læs mere

Indhold. Figur 1: Blokdiagram over regulatorprincip

Indhold. Figur 1: Blokdiagram over regulatorprincip m M Indhold.1 Beskrivelse af regulatorer............................. 2.2 Krav til regulator................................. 2.3 Overføringsfunktion for det samlede system................... 4.3.1 Rodkurveundersøgelse..........................

Læs mere

Indhold. Figur 1: Blokdiagram over regulatorprincip

Indhold. Figur 1: Blokdiagram over regulatorprincip Indhold.1 Beskrivelse af regulatorer............................. 2.2 Krav til regulator................................. 2.2.1 Integrator anti-windup.......................... 4.3 Overføringsfunktion

Læs mere

Lineære systemer med hukommelse.

Lineære systemer med hukommelse. Lineær Response Teori. I responseteorien interesserer man sig for, hvad der kan siges generelt om sammenhængen mellem input φ(t) og output γ(t) for et system. Valg af variable. Det betragtede systems forskellige

Læs mere

Signalbehandling og matematik 1 (Tidsdiskrete signaler og systemer)

Signalbehandling og matematik 1 (Tidsdiskrete signaler og systemer) Signalbehandling og matematik 1 (Tidsdiskrete signaler og systemer) Session 1. Sekvenser, diskrete systemer, Lineære systemer, foldning og lineære tidsinvariante systemer Ved Samuel Schmidt sschmidt@hst.aau.dk

Læs mere

Matematik 1 Semesteruge 5 6 (1. oktober oktober 2001) side 1 Komplekse tal Arbejdsplan

Matematik 1 Semesteruge 5 6 (1. oktober oktober 2001) side 1 Komplekse tal Arbejdsplan Matematik 1 Semesteruge 5 6 (1. oktober - 12. oktober 2001) side 1 Komplekse tal Arbejdsplan I semesterugerne 5 og 6 erstattes den regulære undervisning (forelæsninger og fællestimer) af selvstudium med

Læs mere

KONDENSATORER (DC) Princip og kapacitans Serie og parallel kobling Op- og afladning

KONDENSATORER (DC) Princip og kapacitans Serie og parallel kobling Op- og afladning KONDENSATORER (DC) Princip og kapacitans Serie og parallel kobling Op- og afladning Dagsorden: Opladningens principielle forløb En matematisk tilgang til opladning (og kort om afladning afslutningsvis)

Læs mere

Svar til eksamen i Matematik F2 d. 23. juni 2016

Svar til eksamen i Matematik F2 d. 23. juni 2016 Svar til eksamen i Matematik F d. 3. juni 06 FORBEHOLD FOR FEJL! Bemærk, i modsætning til herunder, så skal det i besvarelsen fremgå tydeligt, hvordan polerne ndes og hvordan de enkelte residuer udregnes.

Læs mere

Besvarelse til eksamen i Matematik F2, 2012

Besvarelse til eksamen i Matematik F2, 2012 Besvarelse til eksamen i Matematik F2, 202 Partiel besvarelse - har ikke inkluderet alle detaljer! Med forbehold for tastefejl. Opgave Find og bestem typen af alle singulariteter for følgende funktioner:

Læs mere

Impedans. I = C du dt (1) og en spole med selvinduktionen L

Impedans. I = C du dt (1) og en spole med selvinduktionen L Impedans I et kredsløb, der består af andre netværkselementer end blot lække (modstande) og kilder vil der ikke i almindelighed være en simpel proportional, tidslig sammenhæng mellem strøm og spænding,

Læs mere

Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C

Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C Opgaven består af tre dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene

Læs mere

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P

Læs mere

Skriftlig prøve i KDS

Skriftlig prøve i KDS Kredsløbsteori & dynamiske systemer for EIT2/16 Opgavesæt 02 160728HEb Kredsløbsteori & dynamiske systemer Skriftlig prøve i KDS Omprøve d. 16. august 2016 kl. 09.00-13.00. Ved bedømmelsen vægtes de 4

Læs mere

Figur 1.1: Blokdiagram over regulatorprincip

Figur 1.1: Blokdiagram over regulatorprincip Kapitel Design af effektregulering I dette kapitel gennemgås principperne bag regulering af motorer, der opstilles krav til, og der designes de to regulatorer til henholdsvis pitchregulering af sevomotoren

Læs mere

MM501 forelæsningsslides

MM501 forelæsningsslides MM501 forelæsningsslides uge 37, 2010 Produceret af Hans J. Munkholm 2009 bearbejdet af Jessica Carter 2010 1 Hvad er et komplekst tal? Hvordan regner man med komplekse tal? Man kan betragte udvidelsen

Læs mere

Lineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter

Lineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter enote 13 1 enote 13 Lineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter I forlængelse af enote 11 og enote 12 om differentialligninger, kommer nu denne enote omkring 2. ordens differentialligninger.

Læs mere

Indhold. 0.1 Beskrivelse af regulatorer

Indhold. 0.1 Beskrivelse af regulatorer Indhold. Beskrivelse af regulatorer................................. Overføringsfunktion for et reguleringssystem................ 2..2 Specifikationer til beskrivelse af systemet.................. 2.2

Læs mere

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer Chapter 4 Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer 4. Homogene systemer I teknikken møder man meget ofte modeller der leder til systemer af koblede differentialligninger. Et eksempel på et sådant system

Læs mere

Matematik F2 Opgavesæt 6

Matematik F2 Opgavesæt 6 Opgave 4: Udtryk funktionen f(θ) = sin θ ved hjælp af Legendre-polynomierne på formen P l (cos θ). Dvs. find koefficienterne a l i ekspansionen f(θ) = a l P l (cos θ) l= Svar: Bemærk, at funktionen er

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

KREDSLØBSTEORI 10 FORELÆSNINGER OM ELEKTRISKEKREDSLØB

KREDSLØBSTEORI 10 FORELÆSNINGER OM ELEKTRISKEKREDSLØB EE Basis, foråret 2010 KREDSLØBSTEORI 10 FORELÆSNINGER OM ELEKTRISKEKREDSLØB Jan H. Mikkelsen EE- Basis, Kredsløbsteori, F10, KRT4 1 Emner for idag Kondensatorer Spoler TidsaGængige kredsløb Universalformlen

Læs mere

DesignMat Lineære differentialligninger I

DesignMat Lineære differentialligninger I DesignMat Lineære differentialligninger I Preben Alsholm Uge 9 Forår 2010 1 Lineære differentialligninger af første orden 1.1 Normeret lineær differentialligning Normeret lineær differentialligning En

Læs mere

DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier

DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier Preben Alsholm Uge 8 Forår 010 1 Den komplekse eksponentialfunktion 1.1 Definitionen Definitionen Den velkendte eksponentialfunktion x e x vil

Læs mere

Diffusionsligningen. Fællesprojekt for FY520 og MM502. Marts Hans J. Munkholm og Paolo Sibani. Besvarelse fra Hans J.

Diffusionsligningen. Fællesprojekt for FY520 og MM502. Marts Hans J. Munkholm og Paolo Sibani. Besvarelse fra Hans J. Diffusionsligningen Fællesprojekt for FY50 og MM50 Marts 009 Hans J. Munkholm og Paolo Sibani Besvarelse fra Hans J. Munkholm 1 (a) Lad [x, x + x] være et lille delinterval af [a, b]. Den masse, der er

Læs mere

Total systembeskrivelse af AD1847

Total systembeskrivelse af AD1847 Total systembeskrivelse af AD1847 Af Anna Hampen Jens Jørgen Nielsen Johannes Bjerrum Johnny Nielsen 3.semester HIH Anna Hampen, Jens Nielsen, Johannes Bjerrum, Johnny Nielsen 1 Indholdsfortegnelse Indledning...3

Læs mere

z j 2. Cauchy s formel er værd at tænke lidt nærmere over. Se på specialtilfældet 1 dz = 2πi z

z j 2. Cauchy s formel er værd at tænke lidt nærmere over. Se på specialtilfældet 1 dz = 2πi z Matematik F2 - sæt 3 af 7 blok 4 f(z)dz = 0 Hovedemnet i denne uge er Cauchys sætning (den der står i denne sides hoved) og Cauchys formel. Desuden introduceres nulpunkter og singulariteter: simple poler,

Læs mere

Circuit Theory. A collection of examination problems 1991-2006. Magnus Danielsen. NVDRit 2010:09

Circuit Theory. A collection of examination problems 1991-2006. Magnus Danielsen. NVDRit 2010:09 1 Circuit Theory A collection of examination problems 1991-2006 Magnus Danielsen NVDRit 2010:09 2 Heiti / Title Circuit Theory A collection of examination problems 1991-2006 Høvundar / Authors Magnus Danielsen

Læs mere

Mere om differentiabilitet

Mere om differentiabilitet Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget

Læs mere

Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Afleveringsopgave 1

Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Afleveringsopgave 1 Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet 1 Lineær Algebra (LinAlg) Afleveringsopgave 1 Eventuelle besvarelser laves i grupper af - 3 personer og afleveres i to eksemplarer med 3 udfyldte

Læs mere

Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 3. Januar 2017

Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 3. Januar 2017 Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 3. Januar 17 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende

Læs mere

Den harmoniske svingning

Den harmoniske svingning Den harmoniske svingning Teori og en anvendelse Preben Møller Henriksen Version. Noterne forudsætter kendskab til sinus og cosinus som funktioner af alle reelle tal, dvs. radiantal. I figuren nedenunder

Læs mere

Løsningsforslag til opgavesæt 5

Løsningsforslag til opgavesæt 5 Matematik F Matematik F Løsningsforslag til opgavesæt 5 Opgave : Se kursushjemmesiden. Opgave : a) π dθ 5 + 4 sin θ = e iθ, = ie iθ dθ, dθ = i sin θ = eiθ e iθ i = i(5 + 4( / )) = i = + 5i Integranden

Læs mere

Fourier transformationen

Fourier transformationen MODUL 6 Fourier transformationen Forfattere: Øistein WIND-WILLASSEN & Michael ELMEGÅRD 4. juni 4 Indhold Fourier transformationen 5. Definition og oprindelse.............................. 5.. Funktioner

Læs mere

Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2017

Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2017 Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 12. Juni 2017 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende

Læs mere

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013) Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer

Læs mere

Thevenin / Norton. 1,5k. Når man går rundt i en maske, vil summen af spændingsstigninger og spændingsfald være lig med 0.

Thevenin / Norton. 1,5k. Når man går rundt i en maske, vil summen af spændingsstigninger og spændingsfald være lig med 0. Maskeligninger: Givet følgende kredsløb: 22Vdc 1,5k 1Vdc Når man går rundt i en maske, vil summen af spændingsstigninger og spændingsfald være lig med. I maskerne er der sat en strøm på. Retningen er tilfældig

Læs mere

Spektrumrepræsentation

Spektrumrepræsentation Spektrumrepræsentation (Kapitel 3) Jens D. Andersen Datalogisk Institut Københavns Universitet p.1/35 $ $ $ Spektrumrepræsentation Matematisk repræsentation af en sinusoide: hvor "! er en fasor. Mere komplicerede

Læs mere

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning.

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Michael Knudsen 10. oktober 2005 1 Ligningsløsning Lad N = {0,1,2,...} betegne mængden af de naturlige tal og betragt ligningen ax + b = 0, a,b N,a 0. Findes

Læs mere

Note om Laplace-transformationen

Note om Laplace-transformationen Note om Laplace-transformationen Den harmoniske oscillator omskrevet til et ligningssystem I dette opgavesæt benyttes laplacetransformationen til at løse koblede differentialligninger. Fordelen ved at

Læs mere

1 monotoni & funktionsanalyse

1 monotoni & funktionsanalyse 1 monotoni & funktionsanalyse I dag har vi grafregnere (TI89+) og programmer på computer (ex.vis Derive og Graph), hvorfor det ikke er så svært at se hvordan grafen for en matematisk funktion opfører sig

Læs mere

Modellering og styring af mobile robotter

Modellering og styring af mobile robotter Modellering og styring af mobile robotter Dina Friesel Kongens Lyngby 2007 IMM-PHD-2007-70 Technical University of Denmark Informatics and Mathematical Modelling Building 321, DK-2800 Kongens Lyngby, Denmark

Læs mere

IMPEDANSBEGREBET - SPOLEN. Faseforskydning mellem I og U Eksempel: R, X og Z I og U P, Q og S. Diagrammer

IMPEDANSBEGREBET - SPOLEN. Faseforskydning mellem I og U Eksempel: R, X og Z I og U P, Q og S. Diagrammer AC IMPEDANSBEGREBET - SPOLEN Faseforskydning mellem I og U Eksempel: R, X og Z I og U P, Q og S Diagrammer Spolens faseforskydning: En spole består egentlig af en resistiv del (R) og en ideel reaktiv del

Læs mere

KREDSLØBSTEORI 10 FORELÆSNINGER OM ELEKTRISKEKREDSLØB

KREDSLØBSTEORI 10 FORELÆSNINGER OM ELEKTRISKEKREDSLØB EE Basis, foråret 2009 KREDSLØBSTEORI 10 FORELÆSNINGER OM ELEKTRISKEKREDSLØB Jan H. Mikkelsen EE- Basis, Kredsløbsteori, F10, KRT2 1 Emner for idag Thevenin og Norton ækvivalenter Virkelige kilder SuperposiLon

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 8 Morten Grud Rasmussen 18. oktober 216 1 Fourierrækker 1.1 Periodiske funktioner Definition 1.1 (Periodiske funktioner). En periodisk funktion f er

Læs mere

Den ideelle operationsforstærker.

Den ideelle operationsforstærker. ELA Den ideelle operationsforstærker. Symbol e - e + v o Differensforstærker v o A OL (e + - e - ) - A OL e ε e ε e - - e + (se nedenstående figur) e - e ε e + v o AOL e - Z in (i in 0) e + i in i in v

Læs mere

IMPEDANSBEGREBET - KONDENSATOREN. Faseforskydning mellem I og U Eksempel: R, X og Z I og U P, Q og S. Diagrammer

IMPEDANSBEGREBET - KONDENSATOREN. Faseforskydning mellem I og U Eksempel: R, X og Z I og U P, Q og S. Diagrammer AC IMPEDANSBEGREBET - KONDENSATOREN Faseforskydning mellem I og U Eksempel: R, X og Z I og U P, Q og S Diagrammer Kondensatorens faseforskydning: En kondensator består alene af ideel reaktiv del (X C ),

Læs mere

Hold 6 Tirsdag. Kristian Krøier, Jacob Christiansen & Thomas Duerlund Jensen Fag: ELA Lærer: Jan Petersen (JPe) Dato for aflevering: 29.

Hold 6 Tirsdag. Kristian Krøier, Jacob Christiansen & Thomas Duerlund Jensen Fag: ELA Lærer: Jan Petersen (JPe) Dato for aflevering: 29. ELA journal: Øvelse 3 Grundlæggende Op. Amp. Koblinger. Dato for øvelse:. nov. 00 & 9. nov. 00 Hold 6 Tirsdag Kristian Krøier, Jacob Christiansen & Thomas Duerlund Jensen Fag: ELA Lærer: Jan Petersen (JPe)

Læs mere

Bremseventiler - hvor skal blenden sidde

Bremseventiler - hvor skal blenden sidde Bremseventiler - hvor skal blenden sidde Af Peter Windfeld Rasmussen Bremseventiler anvendes i hydrauliske systemer -som navnet siger- til at bremse og fastholde byrder. Desuden er det med bremseventilen

Læs mere

Algebra med Bea. Bea Kaae Smit. nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering

Algebra med Bea. Bea Kaae Smit. nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Algebra med Bea Bea Kaae Smit nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende regler 7 3.1 Tal..........................

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet

Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Komplekse Tal 20. november 2009 UNF Odense Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Fra de naturlige tal til de komplekse Optælling af størrelser i naturen De naturlige tal N (N

Læs mere

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære

Læs mere

Matematik for økonomer 3. semester

Matematik for økonomer 3. semester Matematik for økonomer 3. semester cand.oecon. studiet, 3. semester Planchesæt 2 - Forelæsning 3 Esben Høg Aalborg Universitet 10. september 2009 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Esben

Læs mere

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition Kursusgang 3 Repetition - froberg@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 16. september 2008 1/19 Betingelser for nonsingularitet af en Matrix

Læs mere

Fononiske Båndgab. Køreplan Matematik 1 - FORÅR 2004

Fononiske Båndgab. Køreplan Matematik 1 - FORÅR 2004 Fononiske Båndgab Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2004 1 Baggrund Bølgeudbredelse i materialer og medier (som f.eks. luft) er et fænomen, der kendes af alle og som observeres i forskellige former i

Læs mere

Funktionsfamilier. Frank Villa. 19. august 2012

Funktionsfamilier. Frank Villa. 19. august 2012 Funktionsfamilier Frank Villa 19. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere

Læs mere

Algebra - Teori og problemløsning

Algebra - Teori og problemløsning Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.

Læs mere

Inden der siges noget om komplekse tal, vil der i dette afsnit blive gennemgået en smule teori om trigonometriske funktioner.

Inden der siges noget om komplekse tal, vil der i dette afsnit blive gennemgået en smule teori om trigonometriske funktioner. Komplekse tal Mike Auerbach Odense 2012 1 Vinkelmål og trigonometriske funktioner Inden der siges noget om komplekse tal, vil der i dette afsnit blive gennemgået en smule teori om trigonometriske funktioner.

Læs mere

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009 Komplekse tal Jan Scholtyßek 29.04.2009 1 Grundlag Underlige begreber er det, der opstår i matematikken. Blandt andet komplekse tal. Hvad for fanden er det? Lyder...komplekst. Men bare roligt. Så komplekst

Læs mere

KREDSLØBSTEORI 10 FORELÆSNINGER OM ELEKTRISKEKREDSLØB

KREDSLØBSTEORI 10 FORELÆSNINGER OM ELEKTRISKEKREDSLØB EE Basis, foråret 2010 KREDSLØBSTEORI 10 FORELÆSNINGER OM ELEKTRISKEKREDSLØB Jan H. Mikkelsen EE- Basis, Kredsløbsteori, F10, KRT1 1 Emner for idag IntrodukEon El kurset Kredsløbsteori Formål og indhold

Læs mere

Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning

Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning Chapter 3 Modulpakke 3: Egenværdier 3.1 Indledning En vektor v har som bekendt både størrelse og retning. Hvis man ganger vektoren fra højre på en kvadratisk matrix A bliver resultatet en ny vektor. Hvis

Læs mere

1 v out. v in. out 2 = R 2

1 v out. v in. out 2 = R 2 EE Basis 200 KRT3 - Løsningsforslag 2/9/0/JHM Opgave : Figur : Inverterende forstærker. Figur 2: Ikke-inverterende. Starter vi med den inverterende kobling så identificeres der et knudepunkt ved OPAMP

Læs mere

KONDENSATORER (DC) Princip og kapacitans Serie og parallel kobling Op- og afladning

KONDENSATORER (DC) Princip og kapacitans Serie og parallel kobling Op- og afladning KONDENSATORER (DC) Princip og kapacitans Serie og parallel kobling Op- og afladning Parallel kobling af kondensatorer: Side 1 DC Kondensatoren - parallelkobling Parallel kobling af kondensatorer: Hvis

Læs mere

Kompleks Funktionsteori

Kompleks Funktionsteori Kompleks Funktionsteori Formelræs Holomorfe funktioner Sætning. (Caucy-Riemans ligninger). Funktionen f : G C, f = u+iv er holomorf i z 0 = x 0 + iy 0 hvis og kun hvis i punktet (x 0, y 0 ). du dx = dv

Læs mere

Matematik 1 Semesteruge 4 5 (25. september - 6. oktober 2006) side 1 Komplekse tal Arbejdsplan

Matematik 1 Semesteruge 4 5 (25. september - 6. oktober 2006) side 1 Komplekse tal Arbejdsplan Matematik 1 Semesteruge 4 5 (25. september - 6. oktober 2006 side 1 Komplekse tal Arbejdsplan I semesterugerne 4 og 5 erstattes den regulære undervisning (forelæsninger og fællestimer af selvstudium med

Læs mere

Komplekse tal i elektronik

Komplekse tal i elektronik Januar 5 Komplekse tal i elektronik KOMPLEKSE tal er ideelle til beregning på elektriske og elektroniske kredsløb hvori der indgår komponenter, der ved vekselspændinger fase-forskyder strømme og spændinger,

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Skriftlig prøve Kredsløbsteori Onsdag 3. Juni 2009 kl (2 timer) Løsningsforslag

Skriftlig prøve Kredsløbsteori Onsdag 3. Juni 2009 kl (2 timer) Løsningsforslag Skriflig prøve Kredsløbseori Onsdag 3. Juni 29 kl. 2.3 4.3 (2 imer) øsningsforslag Opgave : (35 poin) En overføringsfunkion, H(s), har formen: Besem hvilke poler og nulpunker der er indehold i H(s) Tegn

Læs mere

Anvendelse af den diskrete fouriertransformation

Anvendelse af den diskrete fouriertransformation KAPITEL SYV Anvendelse af den diskrete fouriertransformation En meget anvendt beregningsprocedure inden for digital signalbehandling er den diskrete fouriertransformation (i det følgende forkortet til

Læs mere

DiMS 2010 Uge 7,

DiMS 2010 Uge 7, DiMS 2010 Uge 7, 18.10.10 24.10.10 Læsevejledning Emnerne i denne uge er polynomier og komplekse tal. De kan ikke siges at henhøre under diskret matematik som sådan og er ikke dækket af KBR, så vi skal

Læs mere

Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder

Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder Olav Geil Skal man sende en fødselsdagsgave til fætter Børge, så pakker man den godt ind i håb om, at kun indpakningen er beskadiget ved modtagelsen. Noget

Læs mere

Prøveeksamen MR1 januar 2008

Prøveeksamen MR1 januar 2008 Skriftlig eksamen Matematik 1A Prøveeksamen MR1 januar 2008 Tilladte hjælpemidler Alle sædvanlige hjælpemidler er tilladt (lærebøger, notater, osv.), og også elektroniske hjælpemidler som lommeregner og

Læs mere

Lektion 12. højere ordens lineære differentiallininger. homogene. inhomogene. eksempler

Lektion 12. højere ordens lineære differentiallininger. homogene. inhomogene. eksempler Lektion 12 2. ordens lineære differentialligninger homogene inhomogene eksempler højere ordens lineære differentiallininger 1 Anden ordens lineære differentialligninger med konstante koefficienter A. Homogene

Læs mere

Thevenin / mayer-norton Redigeret

Thevenin / mayer-norton Redigeret 6/12217 Thevenin eller MayerNortonomformninger er en måde, at omregne et kredsløb, så det fx bliver lettere at overskue. Maskeligninger: Først ses her lidt på traditionel løsning af et kredsløb: Givet

Læs mere

Elektromagnetisme 14 Side 1 af 10 Elektromagnetiske bølger. Bølgeligningen

Elektromagnetisme 14 Side 1 af 10 Elektromagnetiske bølger. Bølgeligningen Elektromagnetisme 14 Side 1 af 1 Bølgeligningen Maxwells ligninger udtrykker den indbyrdes sammenhæng mellem de elektromagnetiske felter samt sammenhængen mellem disse felter og de feltskabende ladninger

Læs mere

Matematik A. Højere teknisk eksamen. Forberedelsesmateriale. htx112-mat/a-26082011

Matematik A. Højere teknisk eksamen. Forberedelsesmateriale. htx112-mat/a-26082011 Matematik A Højere teknisk eksamen Forberedelsesmateriale htx112-mat/a-26082011 Fredag den 26. august 2011 Forord Forberedelsesmateriale til prøverne i matematik A Der er afsat 10 timer på 2 dage til

Læs mere

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul Asymptoter for standardforsøgene i matematik i gymnasiet 2003 Karsten Juul Indledning om lodrette asymptoter Lad f være funktionen bestemt ved =, 2. 2 Vi udregner funktionsværdierne i nogle -værdier der

Læs mere

MM501 forelæsningsslides

MM501 forelæsningsslides MM50 forelæsningsslides uge 36, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm Nogle talmængder s. 3 N = {, 2, 3, } omtales som de naturlige tal eller de positive heltal. Z = {0, ±, ±2, ±3, } omtales som de hele

Læs mere

Elektrodynamik Lab 1 Rapport

Elektrodynamik Lab 1 Rapport Elektrodynamik Lab 1 Rapport Indhold Fysik 6, EL Bo Frederiksen (bo@fys.ku.dk) Stanislav V. Landa (stas@fys.ku.dk) John Niclasen (niclasen@fys.ku.dk) 1. Transienter og RC-kredsløb 1.1 Formål 1. Teori 1.3

Læs mere

Skriftlig omprøve i matematik 4

Skriftlig omprøve i matematik 4 Matematik 4 for E4+D4/08 Opgavesæt 04 080812HEb Skriftlig omprøve i matematik 4 Omprøve d. 18. august 2008 kl. 09.00-13.00. Ved bedømmelsen vægtes de 6 opgaver således: Opgave 1: 20% (Kompleks funktionsteori

Læs mere

Temaøvelse i differentialligninger Biokemiske Svingninger

Temaøvelse i differentialligninger Biokemiske Svingninger Temaøvelse i differentialligninger Biokemiske Svingninger Rev. 12. november 2009 I denne temaøvelse studerer vi en simpel model for gærglykolyse. Vi starter i Del 1 med at beskrive modellen. Denne model

Læs mere

Noter til Komplekse tal i elektronik. Højtaler Bas, lavpasled, Mellemtone, Diskant

Noter til Komplekse tal i elektronik. Højtaler Bas, lavpasled, Mellemtone, Diskant Noter til Komplekse tal i elektronik. Eksempler på steder, hvor der bruges kondensatorer og spoler i elektronik: Equalizer Højtaler Bas, lavpasled, Mellemtone, Diskant Selektive forstærkere. Når der er

Læs mere

Komplekse tal i elektronik

Komplekse tal i elektronik 3/-8 Komplekse tal i elektronik KOMPLEKSE tal er ideelle til beregning på elektriske og elektroniske kredsløb hvori der indgår komponenter, der ved vekselspændinger fase -forskyder strømme og spændinger,

Læs mere

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Kapitel 10. B-felt fra en enkelt leder. B (t) = hvor: B(t) = Magnetfeltet (µt) I(t) = Strømmen i lederen (A) d = Afstanden mellem leder og punkt (m)

Kapitel 10. B-felt fra en enkelt leder. B (t) = hvor: B(t) = Magnetfeltet (µt) I(t) = Strømmen i lederen (A) d = Afstanden mellem leder og punkt (m) Kapitel 10 Beregning af magnetiske felter For at beregne det magnetiske felt fra højspændingsledninger/kabler, skal strømmene i alle ledere (fase-, jord- og eventuelle skærmledere) kendes. Den inducerede

Læs mere

Opgave 1 Opskriv følgende vinkler i radianer 180, 90, 135, 270, 60, 30.

Opgave 1 Opskriv følgende vinkler i radianer 180, 90, 135, 270, 60, 30. Opgaver Polære koordinater Opgave 1 Opskriv følgende vinkler i radianer 180, 90, 15, 70, 60, 0. Opgave Bestem sin π Opgave. Et punkt p i xy-planen er givet ved de kartesiske koordinater,. Bestem p s polære

Læs mere

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller Komplekse tal En tilegnelse af stoffet i dette appendix kræver at man løser opgaverne Komplekse tal viser sig uhyre nyttige i fysikken, f.eks til løsning af lineære differentialligninger eller beskrivelse

Læs mere

Fononiske Båndgab. Køreplan Matematik 1 - FORÅR 2005

Fononiske Båndgab. Køreplan Matematik 1 - FORÅR 2005 Fononiske Båndgab Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2005 1 Baggrund Bølgeudbredelse i materialer og medier (som f.eks. luft) er et fænomen, der kendes af alle og som observeres i forskellige former i

Læs mere

Af: Valle Thorø Fil.: Oscilloscopet Side 1 af 10

Af: Valle Thorø Fil.: Oscilloscopet Side 1 af 10 Oscilloscopet Kilde: http://www.doctronics.co.uk/scope.htm Følgende billede viser forsiden på et typisk oscilloskop. Nogle af knapperne og deres indstillinger forklares i det følgende.: Blokdiagram for

Læs mere

OPGAVER 1. Approksimerende polynomier. Håndregning

OPGAVER 1. Approksimerende polynomier. Håndregning OPGAVER 1 Opgaver til Uge 4 Store Dag Opgave 1 Approksimerende polynomier. Håndregning a) Find for hver af de følgende funktioner deres approksimerende polynomiumer af første og anden grad med udviklingspunkt

Læs mere

Analog Øvelser. Version. A.1 Afladning af kondensator. Opbyg følgende kredsløb: U TL = 70 % L TL = 50 %

Analog Øvelser. Version. A.1 Afladning af kondensator. Opbyg følgende kredsløb: U TL = 70 % L TL = 50 % A.1 Afladning af kondensator Opbyg følgende kredsløb: U TL = 70 % L TL = 50 % Når knappen har været aktiveret, ønskes lys i D1 i 30 sekunder. Brug formlen U C U start e t RC Beskriv kredsløbet Find komponenter.

Læs mere

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner

Læs mere

Et udtryk på formena n kaldes en potens med grundtal a og eksponent n. Vi vil kun betragte potenser hvor grundtallet er positivt, altså a>0.

Et udtryk på formena n kaldes en potens med grundtal a og eksponent n. Vi vil kun betragte potenser hvor grundtallet er positivt, altså a>0. Konkrete funktioner Potenser Som udgangspunkt er brugen af potenser blot en forkortelse for at gange et tal med sig selv et antal gange. Hvis a Rskriver vi a 2 for a a a 3 for a a a a 4 for a a a a (1).

Læs mere

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære

Læs mere

Bevægelsens Geometri

Bevægelsens Geometri Bevægelsens Geometri Vi vil betragte bevægelsen af et punkt. Dette punkt kan f.eks. være tyngdepunktet af en flue, et menneske, et molekyle, en galakse eller hvad man nu ellers har lyst til at beskrive.

Læs mere

Lyd, højtalerprincip og harmoniske. Højtaler princip

Lyd, højtalerprincip og harmoniske. Højtaler princip Lyd, højtalerprincip og harmoniske. Højtaler princip Oscilloscopet Kilde: http://www.doctronics.co.uk/scope.htm Følgende billede viser forsiden på et typisk oscilloskop. Nogle af knapperne og deres indstillinger

Læs mere

Eksperimentel matematik Kommentarer til tag-med opgaver

Eksperimentel matematik Kommentarer til tag-med opgaver Eksperimentel matematik Kommentarer til tag-med opgaver Hypotesedannelse I har alle produceret grafer af typen 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0. 0.2 0.3 0.4 0.5 (de lilla punkter er fundet ved en strenglængde på 35,

Læs mere

Projektopgave Observationer af stjerneskælv

Projektopgave Observationer af stjerneskælv Projektopgave Observationer af stjerneskælv Af: Mathias Brønd Christensen (20073504), Kristian Jerslev (20072494), Kristian Mads Egeris Nielsen (20072868) Indhold Formål...3 Teori...3 Hvorfor opstår der

Læs mere

Digitale periodiske signaler

Digitale periodiske signaler KAPITEL FEM Digitale periodiske signaler For digitale signaler, som er periodiske, gælder det, at for alle n vil hvor det hele tal er perioden. g(n + ) = g(n), (5.) Af udtrykkene ses det, at periodiske

Læs mere