Tidsskrift for fysik Efterår 2008 Nr. 151

Transkript

1 Gamma Γ Tidsskrift for fysik Efterår 2008 Nr. 151

2 Gamma Gamma er grundlagt i 1971 og finansieres af Niels Bohr Institutet. Bladet udkommer 4 gange om året og fås gratis ved henvendelse til redaktionen. Vi beder dog vore læsere om at afhente Gamma på en skole, et institut eller vores hjemmeside, hvis man har mulighed for det. Redaktion: Silja Heilmann (SH) Katrine Rude Laub (KRL)(ansv.) Michael F. Artych (MA) Om Forsiden Det kan være svært som fermion at finde ud af, hvordan man skaffer sin masse. Illustration: Silja Heilmann Skribenter: Thomas R.N. Jansson (TJ) Adresse: Gamma Niels Bohr Institutet Blegdamsvej København Ø Tlf: gamma@nbi.dk Redaktionstid: Se den aktuelle redaktionstid på vores hjemmeside. Adresseændring: Meddeles til postvæsenet, hvis man modtager Gamma uden kuvert, og til redaktionen, hvis man modtager bladet i kuvert. Afbestillinger skal ske på hjemmesiden. Abonnementsnummer (tallet bagefter f.eks KHC ) bedes oplyst. Artikler: Vi modtager gerne artikler, debatindlæg og kommentarer. Vi foretrækker kommunikation over og manuskripter i L A TEX eller txt format, men Microsoft Word og Corel Wordperfect filer modtages også. Eftertryk tilladt med kildeangivelse. ISSN NBI-tryk oplag 2700

3 Fortale Kære læser Gammas redaktion har de seneste år været udsat for et naturligt frafald af redaktører. (Selv gammaredaktører studerer ikke evigt.) Desværre er der ikke kommet nogen nye til trods gentagne opfordringer. Vi vil naturligvis gøre, hvad vi kan for at videreføre Gamma, men vi har brug for nye kræfter til at hjælpe os. Formidling af videnskab er vigtigt både for samfundet som helhed og for formidleren, da evnen til at kunne beskrive sit fag på en inspirerende og tilstrækkelig simple måde er i høj kurs. Gamma er et perfekt sted at øve sig - både som redaktør og skribent. Et godt eksempel ses i Mads Toudal Frandsens opfølger på sin artikel i Gamma 148. Denne gang argumenteres for, at den eftersøgte Higgspartikel kan vise sig at være overflødig. Leise Borg har bidraget med en artikel om, hvordan øret fungerer. Desuden bringer vi en anmeldelse af bogen Kvantespring i det 20. århundrede. Til slut er der som altid nye udfordringer fra vores iderige og utrættelige opgavestiller Mogens Esrom Larsen, samt besvarelser på sidste nummers opgaver - deriblandt en indsendt af en af vores flittige læsere, Hedda Gottschalck. God læselyst Gamma

4 Nyheder og meddelelser Katrine Rude Laub (KRL) Usynlighedskappe mod tsunamier I stedet for at bygge stærkere boreplatforme, der kan modstå ødelæggende tsunamier, er det måske lettere simpelthen at få dem til at forsvinde. Personerne bag ideen er en sammenslutning af franske og engelske fysikere fra Centre National de la Recherche Scientifique, Aix-Marseille Universite og University of Liverpool. Gennem laboratorieeksperimenter har de udviklet en slags hullet dige, der virker som en usynlighedskappe på vandbølger. Princippet bag minder om det, der anvendes i de talrige forsøg på at lave optiske usynlighedskapper. Diget bøjer bølgerne så de passerer uden om genstanden i centrum. Tsunamien bevæger sig lige forbi med lille Eksperimenter viser, at forhindringer arrangeret i bestemte mønstre kan gøre objekter usynlige for vandbølger. Foto: M. Farhat, S. Enoch, S. Guenneau og A.B. Movchan eller ingen effekt. Hvis designet virker lige så godt i stor skala som i laboratoriet vil boreplatforme og måske endda kystlinjer og små øer kunne gøres effektivt usynlige for tsunamier. Den fulde artikel kan læses i en (i skrivende stund) kommende udgave af Physical Review Letters. Kilder: [1] KRL 4

5 Gamma 151 Nyheder og meddelelser Vil du være med til at lave Gamma? Gamma har nu været i gang i 37 år og det slider lidt på redaktørerne. Nu har Gamma brug for dig og dine medstuderende til at tage den gyldne fakkel op og føre Gamma videre! Som redaktør får du ud over heltestatus kontakt til en masse af instituttets studerende og forskere, indblik i deres arbejde og nyt fra forskningsfronten. Det er desuden en yderst lærerig proces at få et blad til at udkomme. Gemmer der sig en redaktør i dig så skriv snarest til gamma@nbi.dk Redaktionen 5

6 Nyheder og meddelelser Gamma 151 6

7 Technicolor ved LHC Af Mads T. Frandsen Mads T. Frandsen er ph.d.-studerende ved Niels Bohr Institutet og High Energy Physics Center, Syddansk Universitet. nbi. dk Resumé I denne artikel vil jeg beskrive Technicolor som en mulig forklaring på mekanismen bag det elektrosvage symmetribrud i det tidlige univers. Det store LHC projekt ved CERN er netop bygget til at afdække denne mekanisme i løbet af de kommende år og til at be- eller afkræfte hvorvidt Technicolor eller en anden udvidelse af Standard Modellen, som f.eks Supersymmetri, ligger bag. En del af mit PhD projekt består netop i at undersøge hvor godt LHC vil kunne observere nogle bestemte Technicolor teorier der er udviklet her på Niels Bohr Institutet for få år siden og som nu undersøges intensivt flere steder i verden. Jeg viser tilsidst nogle af de første resultater fra denne undersøgelse. 1 Introduktion Det enorme LHC eksperiment ved CERN er bygget til at afsløre hvad der skete i et af historiens mest skelsættende øjeblikke, da universet undergik den såkaldte elektrosvage faseovergang og det elektrosvage symmetribrud fandt sted, ca sekunder efter Big Bang. Som vi forstår det idag var alle elementarpartiklerne masseløse før denne faseovergang. Da universet havde udvidet sig tilpas meget og den typiske energi i partikel kollisoner var nede omkring 1 TeV, altså ca sekunder efter Big Bang, gennemgik universet denne faseovergang til en ny fase hvor 7

8 Technicolor ved LHC Gamma 151 den elektrosvage symmetri var brudt og W og Z bosonerne var blevet massive. Hvis Standard Modellen er korrekt og Higgs partiklen stod bag faseovergangen var det også her at de andre massive elementarpartikler vi kender dvs alle fermionerne, quarkerne, elektronerne osv., fik deres masse. Hvis alle partikler i stedet var forblevet masseløse under universets udvidelse, hvis der altså ikke havde forekommet en sådan pludselig faseovergang, ville universet idag have været at sammenligne med en enorm diffus gas. Og i særdeleshed ville vi ikke have været her! Det er derfor en bogstaveligt talt skelsættende begivenhed som LHC vil forsøge at afdække. I denne artikel vil jeg beskrive, hvordan Standard Modellen og Higgs partiklen ikke rigtig giver en forklaring på, men nærmere en parametrisering af, den elektrosvage faseovergang. I stedet for vil jeg beskrive Technicolor som en mulig teori bag den elektrosvage faseovergang. 2 Standard Modellen I et foregående nr. af Gamma beskrev jeg kort og hektisk Standard Modellen, Higgs mekanismen og Higgs partiklen. Her gentager jeg kort den beskrivelse. Standard modellen er en SU(3) c SU(2) W U(1) Y (2.1) gauge teori hvor SU(3) c gauge teorien beskriver den stærke kernekraft der virker på quarkerne via de 8 kraftbærende gauge bosoner, kaldet gluonerne. SU(2) W U(1) Y gauge teorien beskriver den elektrosvage kernekraft via 3+1 kraftbærende gauge bosoner kaldet Weak og Hypercharge (!). De sidste to gauge symmetrier har vi imidlertid ikke direkte bevis for. De var kun symmetrier i den tidlige fase af universet før det elektrosvage symmetribrud. I den brudte fase som vi befinder os i idag, er denne del af gauge symmetrien brudt til det vi kender som elektromagnetisme SU(2) W U(1) Y U(1) EM, (2.2) hvor U(1) EM er den ubrudte gauge symmetri der beskriver elektromagnetisme. I universets nuværende fase er der altså i virkeligheden kun 8+1 8

9 Gamma 151 Mads T. Frandsen masseløse gauge bosoner, gluonerne og fotonen, mens de resterende 3 gauge bosoner fra det tidlige univers blev massive under faseovergangen, det er dem vi kalder W og Z bosonerne. Hvad der lå bag denne elektrosvage faseovergang er som nævnt et af de helt store ubesvarede spørgsmål i Standard Modellen; ubesvaret fordi denne faseovergang i Standard Modellen udelukkende er en partikels fortjeneste, Higgs partiklen, og vi har indtil nu ikke fundet noget bevis for dens eksistens. Umiddelbart er det ikke det eneste problem, for den måde hvorpå en evt. Higgs partikel ville forklare det elektrosvage symmetribrud er både mangelfuld og problematisk: 1) Higgs partiklen er en skalar elementarpartikel og ingen andre elementarpartikler har vist sig at være skalare partikler indtil nu - Det er lidt af et pseudo-argument, men det er stadig tankevækkende givet hvor mange forskellige elementarpartikler vi kender. 2) Standard Modellen med Higgs partiklen er en (teknisk) unaturlig teori pga. hierarki problemet: Kvantefluktuationer vil tilsyneladende drive Higgs partiklens masse unaturligt stor, på en måde der synes at gøre teorien inkonsistent i sidste ende. 3) Ingen førende pop/rock artister støtter Higgs partiklen. Der er flere problemer som vi ikke behøver at komme ind på her. 3 Technicolor Hvis vi antager at Higgs partiklen virkelig ikke findes og det i stedet er en Technicolor teori der ligger bag det elektrosvage symmetribrud har vi ikke de ovennævnte problemer. 1) Technicolor involverer kun nye fermioner hvis egenskaber ikke er væsensforskellige fra de quarker vi allerede kender i naturen. 2) Technicolor er teknisk naturlig og uden et hierarkiproblem pr. konstruktion fordi Technicolor er en ren gauge teori som altid er naturlig. Det vil vi vende tilbage til. 3) Coldplay støtter Technicolor! (For den stærkest mulige suggestive effekt af denne artikel anbefales det at afspille Life in Technicolor under læsningen.) For at anskueliggøre ideen i Technicolor er vi nødt til at genkalde et par egenskaber af QCD sektoren, dvs SU(3) c delen af Standard Modellen 9

10 Technicolor ved LHC Gamma 151 for sig selv og derefter Higgs-sektoren. 3.1 QCD sektoren Der er to relaterede egenskaber fra QCD vi er nødt til at beskrive for at kunne forstå Technicolor: Confinement og chiralt symmetribrud. Se også Kim Splittorffs artikel i Gamma 128. Isoleret fra resten af Standard Modellen er QCD beskrevet af en meget simpel Lagrange funktion bestående af fermioner (quarker) og gauge bosoner (gluoner). L = 1 4 F µνf µν + iū L γ µ D µ u L + iū R γ µ D µ u R + i d L γ µ D µ d L + i d R γ µ D µ d R F µν = µ A ν ν A µ + ig c [A µ, A ν ], D µ u L = µ u L + ig c A µ u L. (3.1) u L og u R er Weyl fermioner der tilsammen udgør u quarken og tilsvarende for de andre quarker, jeg har kun medtaget u og d quarkerne her. L(eft) og R(ight) referer til helicitet der er relateret til spin, spin op og spin ned. F µν er feltstyrke tensoren og A µ er potential feltet for gluonerne i analogi med potentialet i elektromagnetisme. g c er en koblingskonstant der bestemmer styrken af vekselvirkningen mellem gluonerne og quarkerne. I virkeligheden er g c (t) en funktion af energiskalaen t for en given vekselvirkning. Det viser sig at g c (t) < 1 ved høje energier, og g c (t) > 1 ved lave energier. Derfor gælder der at g c (t) 1 ved en bestemt energi som eksperimentelt kan bestemmes til Λ QCD 200MeV. Her bryder perturbationsteori baseret på den ovenstående Lagrange funktion sammen 1. Det er i overensstemmelse med eksperimenter fordi vi ikke observerer frie quarker, men derimod pioner og andre mesoner som protoner og neutroner ved lave energier. Via gluonerne er quarkerne bundet i disse tilstande ved lave energier dvs ca E < 1GeV. Dette fænomen er også en faseovergang og kaldes confinement faseovergangen fra en deconfined fase bestående af quarker og gluoner ved høje energier til en confined 1 Men det betyder ikke at Lagrangen ikke længere beskriver fysikken korrekt, man må blot anvende perturbative metoder... 10

11 Gamma 151 Mads T. Frandsen fase bestående af pioner og andre bundne tilstande ved lave energier. En meget simplificeret analogi kunne være når vand køles ned og molekylestrukturen ved tilpas lav temperatur bliver confined i en bestemt gitterstruktur også kendt som is. Pionerne, π +, π, π 0 som består af u og d quarker er bemærkelsesværdigt meget lettere end andre bundne tilstande som protonerne og neutronerne i den confined fase pga. en meget vigtig underliggende symmetri. QCD Lagrange funktionen har en SU(2) L SU(2) R symmetri, kaldet chiral symmetri, mellem u og d quarkerne. u L,R er jo blot komplekse (Grassman) tal (funktioner af rumtiden) så hvis vi skriver Lagrange funktionen L = 1 4 F µνf µν ) + i (ū L dl γ µ D µ u L d L + i ) (ū R dr γ µ D µ ses det at Lagrange funktionen er invariant under rotationerne u R, d R (3.2) u L d L g L u L, d L (ū L dl ) (ū L dl ) g L (3.3) Bar symbolet i ū er dybest set bare kompleks konjugering, g L SU(2) L er en SU(2) matrice (L og R er blot symboler der viser at vi kan foretage rotationer med to vilkårlige separate SU(2) matricer) som kendt fra kvantemekanik og tilsvarende med R felterne. I confinement fasen hvor quarkerne er bundne er også den chirale symmetri brudt til en diagonal undergruppe SU(2) V af SU(2) L SU(2) R. Pionerne er lette fordi de er de partikelexcitationer der svarer til de i alt 3 brudte symmetriretninger, dvs de er såkaldte Goldstone bosoner. Faktisk ville pionerne være præcist masseløse hvis den chirale symmetri var eksakt i den ubrudte deconfined fase. Det har vi påstået den er i QCD set i isolation, men det er den ikke i naturen fordi quarkerne er koblet til resten af Standard Modellen. Men den approksimative chirale symmetri er stadig skyld i at pionerne er lette, ca 10 gange så lette som protonen og neutronen. Ved helt lave energier kan QCD derfor beskrives af en ny Lagrange funktion som består af et matrixfelt af pionerne og en yderligere skalar bunden tilstand (sigma mesonen) og som kender til den chirale symmetri, dvs transformerer under 11

12 Technicolor ved LHC Gamma 151 den chirale symmetri M = 1 2 (σ + i τ π), M g L Mg R L M = Tr[ µ M µ M] +... (3.4) τ er de tre Pauli matricer. Moralen af den ovenstående smøre er: Gauge teorier som QCD ovenfor har 2 meget vigtige egenskaber: Confinement og chiralt symmetribrud. De genererer dynamisk en faseovergang ved lave energier der bryder den chirale SU(2) L SU(2) R symmetri og binder (confinement) fermionerne i bundne tilstande der svarer til pionerne, protonerne osv. i QCD. Det spektakulære er at en sådan gauge teori, i modsætning til vand der fryser til isfasen, er et fundamentalt system uden nogle frie parametre, så faseovergangen er i streng forstand forklaret når den er påvist i sådan en gauge teori i og med teorien. 3.2 Higgs sektoren Lad os nu betragte Higgs sektoren af Standard Modellen for at forstå hvordan en Technicolor teori lignende QCD vil kunne spille Higgs partiklens rolle bedre end Higgs partiklen selv. Higgs feltet i standard modellen er et komplekst skalart felt som er en doublet under SU(2) W dvs. i vektor repræsentationen af SU(2) W. Det har altså 4 frihedsgrader og vi kan beskrive det som en kompleks 2 vektor eller som et 2x2 matrix felt H = 1 π 2 + iπ 1 M = 1 (σ + i τ π). (3.5) 2 σ iπ 3 2 τ er igen de tre Pauli matricer og σ, π 1,..., π 3 er nu de fire frihedsgrader i Higgs feltet, der allerede ligner hvad vi så i ovenstående afsnit. Koblingen af Higgs feltet til den elektrosvage kraft kan beskrives gennem den kovariante afledte D µ M = µ M igw µ M + ig MB µ, W µ = W a µτ a, B µ = B µ τ 3 2. (3.6) W og B beskriver de 3+1 elektrosvage gauge bosoner og g, g er de elektrosvage koblingskonstanter svarende til g c for QCD. Higgs sektoren af 12

13 Gamma 151 Mads T. Frandsen Standard Modellen kan beskrives koncist ved Lagrange funktionen L = Tr[D µ M D µ M] M H 2 4 Tr[M M] M H 2 8v Tr[M M] 2, (3.7) 2 hvor M H er Higgs partiklens masse. Den elektrosvage faseovergang kan nu forstås på følgende måde. hvis MH 2 > 0 kan man overbevise sig om at Higgs feltet vil have middelværdien nul i universet som følge af det ovenstående potentiale < M j i >= 0. Dvs både Lagrange funktionen og grundtilstanden, universets vacuum er symmetrisk under den elektrosvage symmetri. Hvis imidlertid MH 2 < 0 er potentialets minimum eller vacuum tilstanden givet ved < M j i >= vδ i j (3.8) hvor værdien af v 250 GeV er relateret til Fermi-konstanten er skalaen for W og Z bosonernes masse. Vacuumet i universet er nu ikke længere tomt men nærmere som om hele universet var blevet magnetiseret i en bestemt retning...det kan man så klø sig lidt i hovedet over hvad det skal betyde! I hvert fald er universets vakuum ikke længere invariant under elektrosvage rotationer. En anden vigtig symmetri af Higgs Lagrange funktionen kaldes Custodial symmetry. I grænsen hvor den elektrosvage kraft er nul, dvs g, g 0 har Higgs Lagrangen en SU(2) L SU(2) R global symmetri hvis MH 2 > 0, men den er brudt til den diagonal undergruppe SU(2) V når MH 2 < 0 (præcis samme mønster som det chirale symmetribrud i QCD!). Denne symmetri er meget vigtig fordi som konsekvens heraf er forholdet mellem W og Z bosonens M 2 W M 2 Z = g2 g 2 +g 2 masse bestemt, selvom størrelsen ikke er det (den er i stedet bestemt af værdien af v). I virkeligheden er g, g 0 og symmetrien er eksplicit brudt af den elektrosvage vekselvirkning (præcis ligesom den chirale symmetri i QCD i virkeligheden var eksplicit pga koblingen til resten af Standard Modellen!) til SU(2) L U(1) R som bryder til en diagonal U(1) V når MH 2 < 0, men denne brudte symmetri bestemmer altså alligevel en meget vigtig relation mellem W og Z bosonernes masse. Endnu en lang smøre hvor moralen er: Higgs sektoren har nogle symmetrier og symmetribrud som er meget besnærende lig de symmetrier og symmetribrud vi finder i QCD. I QCD er det confinement faseovergangen og det relaterede chirale symmetribrud som sker dynamisk. I Higgs sektoren er det det elektrosvage symmetribrud som sker fordi Higgs partiklens 13

14 Technicolor ved LHC Gamma 151 masse M H som ændrer sig fra MH 2 > 0 til M H 2 < 0 og et Higgs felt som på mystisk vis gennemtrænger universets vakuum! 3.3 Technicolor Nu gør vi en meget nærliggende observation: Vi så at QCD netop har en SU(2) L SU(2) R global symmetry og vi så at QCD selv bryder denne symmetri dynamisk til en diagonal undergruppe SU(2) V ved lave energier 200 MeV. Vi kan antage at der findes en QCD lignende teori/kraft mere i universet, Technicolor, og at den elektrosvage gauge gruppe er en undergruppe i den globale symmetrigruppe SU(2) L SU(2) R af denne teori. Den globale symmetri bryder dynamisk ved lave energier til SU(2) V og når det sker bryder den electrosvage undergruppe dynamisk også til U(1) EM. W og Z bosonerne vil automatisk få det korrekte masseforhold fra Technipionerne pga den chirale symmetri i denne teori og vi har virkelig forklaret symmetribruddet fordi det fulgte af en egenskab i en fundamental parameterløs teori, Technicolor teorien. Vi skal altså blot antage at den nye Standard Model har en ny Technicolor gauge gruppe, f.eks SU(3) c SU(2) W U(1) Y SU(2) T C (3.9) Lagrange funktionen fra den nye Technicolor sektor vil rumme en del der til forveksling ligner Higgs Lagrange funktionen ovenfor, men nu vil vi tænke på π 1,..., π 3 som Technipioner. Higgs partiklen vil være en bunden tilstand af Techniquarker, analogen til den partikel vi i QCD kaldte sigma partiklen. Ideen i Technicolor er altså en simpel og vigtigst af alt dynamisk forklaring på det elektrosvage symetribrud. I modsætning til Higgs forklaringen hvor ingenting forklarer hvorfor Higgs partiklen pludselig får en middelværdi. Det er samtidig en type teori som vi allerede ved naturen benytter sig af i andre tilfælde hvor der er behov for symmetribrud: Det chirale symmetri brud i QCD og også f.eks. Cooper pairing i superledning sker ved en analog type dynamik. 14

15 Gamma 151 Mads T. Frandsen 3.4 Minimal Walking Technicolor og LHC signaler I virkeligheden kræver det lidt arbejde at finde realistiske Technicolor modeller set i lyset af indirekte constraints på Technicolor teorier fra det foregående LEP eksperiment ved CERN og Tevatron eksperimentet ved Fermilab. Jeg undersøger to bestemte Technicolor teorier kaldet (Next to) Minimal Walking Technicolor som blev konstrueret her på NBI [1] Der foregår i øjeblikket meget forskning, bla. ved hjælp af (super-)computer simulationer i USA og Storbritanien, i at forstå disse teorier. En del af denne forskning er opsummeret i et antal præsentationer ved en nylig konference afholdt på Syddansk Universitet [2]. I denne sidste del af artiklen vil jeg kort beskrive de første LHC resultater for disse teorier [3] baseret på en Lagrange funktion [4] i stil med den skitseret i Eq. (3.4) der beskriver disse teorier ved den energi som er relevant for LHC. Her kan interesserede læsere finde flere detaljer og referencer om modellerne. Pointen er at hvis ikke LHC vil kunne observere signaler fra sådanne teorier så er det ikke særlig frugtbart at spekulere på hvorvidt de kan beskrive det elektrosvage symmetribrud eller ej. Det første skridt er da at undersøge hvorvidt disse teorier overhovedet kan skelnes fra Standard Modellen ved LHC og i næste omgang hvorvidt de kan skelnes fra andre bud på teorien bag det elektrosvage symmetribrud som f.eks. Supersymmetri. Her vil vi kun bekymre os om det første. Den simpleste af de to technicolor teorier forudsiger eksistensen af en Higgs partikel og nogle nye tunge vektor bosoner R 1 ±,0 og R 2 ±,0 der er analoger til W ±, Z vektor bosonerne, men tungere. Disse nye partikler er altså alle sammen bundne tilstande af techni-quarker. Udover de nye partikler er der to vigtige frie parametre: en ny masseskala M A og en ny effektiv kobling mellem de bundne tilstande g. Massen af R 1,2 er således bestemt af M A mens massen af W ±, Z er bestemt af v præcis som i Standard Modellen. Fig. 3.1 viser hvilke værdier af g og M A som er tilladte (det midterste område) bl.a. i lyset af LEP og Tevatron. F.eks. er det stribede område ikke tilladt, for så skulle signaler fra teorien allerede være set ved Tevatron. Fig. 3.2 viser massen af R 1,2 som funktion af g og M A. S er en anden parameter som ikke er fri. Problemet med at observere en teori der ligger ud over Standard Modellen er at i langt de fleste tilfælde, og også her, vil de nye partikler henfalde så hurtigt at de ikke kan observeres direkte ved LHC. Derfor er vi nødt 15

16 Technicolor ved LHC Gamma 151 Figur 3.1: Tilladte værdier af g og M A (Den store indrammede midterste region) og værdier der allerede kan udelukkes (de ydre regioner) af f.eks data fra det tidligere Tevatron eksperiment ( regionen til venstre for den stejle kurve i nederste venstre hjørne) samt det tidligere LEP eksperiment ved CERN (regionen under den fladere kurve i nederste venstre hjørne Mass Spectrum (TeV) R ± 2,0 Mass Spectrum (TeV) R ± 2, S=0.3 g = R ± 1, S=0.3 g = R ± 1,0 M A (TeV) M A (TeV) Figur 3.2: Masse spektret M R ±,0 som funktion af M A for g = 2 (venstre) og g = 5 1,2 (hoejre). De fulde linier er for R 1,2, ± mens de punkterede linier er for R1,

17 Gamma 151 Mads T. Frandsen Number of events/ fb -1 S= g = M ll (GeV) Number of events/ fb -1 S= g = M ll (GeV) Figur 3.3: Dilepton invariant mass distribution M ll for pp R1,2 0 l + l signal and background processes. We consider g = 2, 5 respectively and masses M A = 0.5 Tev (purple), M A = 1 Tev (red), M A = 1.5 Tev (green) and M A = 2 Tev (blue). til at identificere nogle processer hvor de nye partikler spiller en indirekte rolle. F.eks vil de nye partikler påvirke produktionen af elektron-positron par i proton-proton kollisionerne ved LHC. Når de to protoner kollidere kan R1,2 0 blive produceret af kollisionsenergien og derefter henfalde til et elektron-positron par. Den samme process vil foregå i Standard modellen når en Z partikel produceres og henfalder til et sådant par. I fig. 3.3 viser jeg hvordan produktionen vil se ud i Standard Modellen (grå flade) som funktion af elektron-positron parrets invariante masse og hvordan det vil se ud i Technicolor modellen for 4 forskellige værdier af M A = 0.5, 1, 1.5, 2 TeV og g = 2, 5. Moralen er at hvis Technicolor modellen er realiseret i naturen vil der være et overskud af producerede elektron-positron par med invariant masse omkring massen af de nye R 1,2 partikler. Det er de store farvede toppe på figuren. Det kan også ses at dette signal er meget mindre ved højere værdier af koblingen g på den højre figur, men så er der andre processer der vil udvise et tydeligere signal som vist til højre figur 3.4. hvor det ikke er elektron-positron par. Men produktion af elektron-positron par sammen med en muon og muon-neutrino par der plottes. Igen er detaljerne ikke så vigtige men mere moralen: At LHC vil være i stand til at observere disse teorier i langt størstedelen af parameter- 17

18 Technicolor ved LHC Gamma 151 Number of events/ fb S=0.3 g = M T 3l (GeV) Number of events/ fb S=0.3 g = M T 3l (GeV) Figur 3.4: M T 3l mass distribution for pp R± 1,2 ZW ± 3lν signal and background processes. We consider g = 2, 5 respectively and masses M A = 0.5 Tev (purple), M A = 1 Tev (red), M A = 1.5 Tev (green) and M A = 2 Tev (blue). rummet, det vil sige de tilladte værdier af parametrene, f.eks massen af R 1,2 partiklerne. Her er det vigtigt at huske at disse parametre principielt er bestemt af den underliggende Technicolor teori, men vi har desværre ikke idag de fornødne redskaber, udover meget tidskrævende computersimulationer (som er undervejs) til at beregne deres værdi præcist fordi det er et ikke-perturbativt problem. Alligevel er der mange metoder der kan give forskellige estimater af disse parametres værdier, som jeg ikke vil komme ind på her. Men ved at måle placeringen af de toppe set på figurene vil LHC kunne bestemme værdien disse parametre og forhåbentlig bestemme den eksakte underliggende teori. 4 Konklusion Jeg har i denne artikel forsøgt at beskrive hvordan Technicolor teorier giver en naturlig og dynamisk forstaålse af det elektrosvage symmetribrud, i modsaæning til baåe Standard Modellen alene eller f.eks Supersymmetriske versioner af Standard Modellen. Dernæst har jeg meget kort anskueliggjort at disse teorier faktisk kan falsificeres eller verificeres ved LHC. Med LHC s færdiggørelse er vi gået ind i en ekstremt spændende 18

19 Gamma 151 Mads T. Frandsen tid, der forhåbentlig vil lede os til at forstå det elektrosvage symmetribrud og dermed massens oprindelse - og Technicolor er igen blevet et meget aktivt forskningsområde. Der er imidlertid stadig meget der mangler i vores teoretiske forståelse af gauge teorier som QCD og Technicolor idag, udover skrible- og grublerier er simulationer og numeriske løsninger af disse teorier i øjeblikket med til at forbedre denne forstålse og det har aldrig før været mere velmotiveret at forsøge at løse disse problemer. Ydermere er de potentielle LHC signaler af disse teorier ikke nær så godt studerede som f.eks. i Supersymmetriske teorier så også her er der nok at tage fat på mens ingeniørerne får lappet LHC! Litteratur [1] F. Sannino and K. Tuominen, Orientifold theory dynamics and symmetry breaking, Phys. Rev. D 71, (2005) [arxiv:hep-ph/ ]. [2] [3] A. Belyaev, R. Foadi, M. T. Frandsen, M. Jarvinen, A. Pukhov and F. Sannino, arxiv: [hep-ph]. [4] R. Foadi, M. T. Frandsen, T. A. Ryttov and F. Sannino, Minimal Walking Technicolor: Set Up for Collider Physics, Phys. Rev. D 76, (2007) [arxiv: [hep-ph]]. [5] R. Foadi, M. T. Frandsen and F. Sannino, Constraining Walking and Custodial Technicolor, Phys. Rev. D 77, (2008) [arxiv: [hep-ph]]. 19

20 .

21 Den menneskelige cochlea Af Leise Borg Leise Borg er netop blevet cand.scient. Artiklen bygger på hendes speciale i biofysik Introduktion Hørelsen er en vigtig sans for mennesket, både for at sikre overlevelse, men også når det kommer til sociale aspekter. At kunne høre, er evnen til at omforme trykbølger i luft til et specifikt mønster af neurale respons, som hjernen oversætter som opfattelsen af lyd. Man kan beskrive denne proces ved hjælp af en række signalbehandlingstrin langs det auditoriske system. Det auditoriske system består af den perifære del og den centrale del, hvor det centrale auditoriske system består af de dele af hjernen der er involveret i opfattelsen af lyd. Det perifære auditoriske system består af det ydre øre, mellemøret og det indre øre. I det ydre øre eksisterer signalet, som vibrationer i luft i ørekanalen og i mellemøret eksisterer signalet som vibrationer i hammeren, ambolten og stigbøjlen, som er de mindste knogler i kroppen. I det indre øre, bestående af cochlearen (høresneglen), eksisterer signalet som vibrationer i væske. I figur 4 ses cochlearen. Signalbehandlingen i det auditoriske system er meget kompleks og indeholder lineære og ikke-lineære trin, feedback-loops mellem cochlearen og hjernen, udveksling af information imellem ørene og de to hjernehalvdele og så fremdeles. Det er derfor umuligt præcist at beskrive den signalbehandling som foregår i det auditoriske system, men tilnærmelser er mulige. Når vibrationerne i den væskefyldte cochlea bevæger sig mod toppen inden i det sneglelignende organ, inducerer de vibrationer i en membran 21

22 Den menneskelige cochlea Gamma 151 Figur 0.1: Den menneskelige cochlea. kaldet basilarmembranen, som løber langs cochlearen. Basilarmembranen fungerer som en frekvensanalysator idet signaler af forskellige frekvenser inducerer maksimale vibrationer på forskellige steder af basilarmembranen, afhængigt af frekvensen af signalet: I starten af basilarmembranen svares der kraftigst på signaler med høje frekvenser, hvor enden af basilarmembranen i toppen af cochlearen svarer kraftigst på signaler af lavere frekvenser. På denne måde opfører basilarmembranen sig som om den indeholdt et sæt af båndpasfiltre, som overfører nogle frekvenser og dæmper andre, som vist i figur 4 til venstre. Dette plot viser størrelsesresponset af et filter centreret ved 9 khz-punktet i en chinchillas (en gnaver på størrelse med en kanin) basilarmembran. Udover at have et størrelsesrepons, har filtrene også et faserespons, som beskriver hvor mange perioder signaler af bestemte frekvenser forskinkes af filteret. Filtrene betegnes også som de auditoriske filtre og de beskrives fuldstændigt af deres størrelses- og faserespons. Størrelsesresponset i de menneskelige auditoriske filtre er velkendt og kan måles ved for eksempel psykofysiske eksperimenter, hvor testpersoner besvarer spørgsmål om hørbarheden af specifikke stimuli (modsat fysiologiske målinger, hvor basilarmembranens bevægelser, for eksempel, kan måles direkte ved brug af optiske teknikker). Faseresponset af de menneskelige auditoriske filtre, 22

23 Gamma 151 Leise Borg Figur 0.2: Størrelsesrespons (til venstre) og faserespons (til højre). derimod, er historisk set i høj grad blevet negligeret, idet man har ment at denne information ikke er af nævneværdig betydning og idet det er umuligt at måle ved fysiologiske eksperimenter uden at ødelægge cochlearen. Det er desuden svært at måle faseresponset ved psykofysiske eksperimenter, idet det involverer meget små tidslige forskinkelser af de forskellige frekvenskomponenter i signalet - forskinkelser som er så små, at de ikke er direkte hørbare. Et faserespons af en chinchillas basilarmembran, målt ved fysiologiske målinger, er vist i figur 4 til højre. Teori og eksperimenter Der findes dog en muliged ved med psykofysiske målinger og ved brugen af et helt specifikt stimulus, at sige noget om den menneskelige basilarmembrans faserespons, eller rettere den anden afledede af faseresponset. Dette stimulus hedder Schroeders tonekompleks og består af et antal frekvenskomponenter. Alle komponenterne er tildelt en startfase. Det betyder at alle komponenterne er forsinkede i forhold til hinanden og dermed at komponenternes sinusfunktioner, topper på forskellige tider. Komplekset er beskrevet således: m(t) = n 2 n=n 1 A 0 sin(2πnf 0 t + θ n ), 23

24 Den menneskelige cochlea Gamma 151 hvor n angiver komponenterne fra n 1 til n 2, nf 0 er frekvensen af komponent n og f 0 kaldes fundamentalfrekvensen og er den spektrale afstand imellem hver frekvenskomponent. θ n er startfasen af komponent n og A 0 er amplituden. Startfasen som hver komponent tildeles, er afhængigt af det samlede antal frekvenskomponenter, N, samt faktoren C: πn(n 1) θ n = C N (0.1) C antager normalt værdier mellem -1 og 1 for at undgå for store spektrale overlap mellem frekvenskomponenterne og med denne faktor, kan der skrues på faseforholdet mellem frekvenskomponenterne. Den forsinkelse der er imellem frekvenskomponenterne kan med den rette C-værdi komme til at matche faseresponset i basilarmembranen, således at dette faserespons udligner startfasen mellem frekevenskomponenterne og får komponenterne til at toppe næsten samtidigt efter basilarmembranens filtrering. Denne teori kan forklares af psykofysiske eksperimenter i et paradigme der kaldes maskering. Maskering er den proces hvormed tærskelværdien for hørbarheden af en lyd hæves ved tilstedeværelsen af en anden (maskerende) lyd. Dette fænomen kendes fra hverdagen: Det er for eksempel sværere at høre hvad din sidemand siger mens forelæseren snakker, end når han tier. I eksperimentet bruges Schroeders tonekompleks som masker og tærskelværdien af en tone, som er spektralt centreret i maskeren, findes. Hvis man kun medregner størrelsesresponset og glemmer at der findes et faserespons i basilarmembranen, ville man forudsige en konstant tærskelværdi som funktion af C fordi stimulussen indeholder samme frekvenskomponenter, som dæmpes ens af størrelsesresponset, uanset C s værdi. Virkeligheden er, at tærskelværdien ændres som funktion af C, som vist i figur 0.3. Her er tærskelværdier for hørbarheden af et signal i maskeren vist som funktion af C for 5 testpersoner og deres gennemsnit. Dette er et overraskende resultat, selv for fagfolk. Forklaringen bag ændringen i tærskelværdierne er faseresponset af det filter, som basilarmembranen bruger til at detektere tonen: Des lavere tærskelværdien bliver, des bedre matcher basilarmembranens faserespons det indkommende stimulus faseforhold. Men hvorfor leder det til en lavere tærskelværdi? Svaret er listening in the dips-effekten, som illustreret i figur 0.4. Her er outputtet af masker (blå) og signal (rød), som er filtreret af en basilarmembranmodel vist. Til 24

25 Gamma 151 Leise Borg Signal threshold (db SPL) SF TPI PK db 16 db db EGE LB Mean db 19 db 17 db C Figur 0.3: Tærskelværdier for en tone med frekvensen 1000 Hz. A 0 = 1, n 1 = 4, n 2 = 16, f 0 = 100 og N = 13. venstre har maskeren C-værdien -1 og til højre er den 1. Det er let at forestille sig, at i tilfældet til højre med C=1 vil det være nemmere at høre tonen imellem toppene i maskeren, hvor maskeringsenergien er lav. Dette vil lede til en lav tærskelværdi. Til venstre er maskerens energi mere konstant og da signalet er gemt bag maskeren er det derfor sværere at detektere signalet. Hvis det antages at alle frekvenskomponenterne topper samtidigt efter basilarmembranens filtrering i tilfældet med C=1 (hvilket, som det fremgår af figur 0.4 (b), er en sandsynlig antagelse), må basilarmembranens faserespons præcis matche faseforholdet af frekvenskomponenterne i maskeren. Dette faseforhold er afhængigt af de indkomne frekvenser i stimuliet (se ligning 0.1, hvor n = f/f 0 ), og derfor kan det ikke bruges direkte til at sige noget om basilarmembranens faserespons, idet dette ikke er afhængigt af stimulussen, men derimod altid giver det samme respons uanset frekvensen af stimulussen. For at eliminere frekvensafhængighe- 25

26 Den menneskelige cochlea Gamma Amplitude 0 Amplitude Time (s) Time (s) (a) Signal og masker (C=-1). (b) Signal og masker (C=1). Figur 0.4: Illustration af effekten af listening in the dips. den, bruges den anden afledede af startfasen af stimulussen, som er d 2 θ df = C 2π 2 Nf0 2, C = 1 og konstant, som ønsket. Den anden afledede af startfasen matcher faseresponset på en sådan måde at faseresponet har samme størrelse men modsat fortegn: d 2 θ df = 2π 2 Nf0 2 }{{} anden afledede af startfasen = d 2 φ filter df 2 2π Nf 2 0 }{{} anden afledede af basilarmembranens faserespons Den anden afledede af basilarmembranens faserespons er altså en negativ konstant, hvilket betyder at faseresponset selv ligner en parabel i området omkring centerfrekvensen af filteret (ved 1 khz). Ved undersøgelse af andre frekvensområder (resultaterne som her er presenteret undersøger kun faseresponset af filteret omkring 1000 Hz) findes andre konstanter, idet minimummet af C varierer. Chinchillaens faserepons i figur 4, kan godt sammenlignes med en parabel omkring centerfrekvensen, CF (som her er 9 khz), så noget tyder på, at faseresponset i den menneskelige basilarmembran minder om faseresponset i chinchillaens faserespons. Denne viden kan bruges til at forbedre kvaliteten af høreapparater og til at optimere modeller der beskriver signalbehandlingen i basilarmembranen, hvilket er et meget vigtigt redskab til forbedring af forståelsen af lydopfattelsen og signalbehandlingen i det auditoriske system. 26

27 Boganmeldelser Annus mirabilis Kvantespring i den 20. århundrede - astronomi og fysik mod det nye årtusinde Redigeret af John Rosendal Nielsen 191 sider, ill. Fysikforlaget, kr I anledningen af 100-året for Einsteins mirakuløse år 1905, hvor Einstein udgav 4 banebrydende artikler, har Fysiklærerforeningen valgt at udgive bogen Kvantespring i det 20. århundrede, der beskriver 10 fysiske og astronomiske vigtige begivenheder i det forløbne århundrede. Bogen er skrevet med henblik på undervisning i gymnasiet, men egner sig lige så godt til almindeligt fysikinteresserede læsere. Da jeg selv startede i gymnasiet havde jeg lige læst bogen Videnskab eller Gud, som er en debatbog fra 1998, hvor en række forskere formidler store spørgsmål og svar. Jeg blev dybt fascineret og tillægger bogen noget af æren for, at jeg begyndte at læse fysik. Da jeg fik Kvantespring i det 20. århundrede til anmeldelse, håbede jeg på at få samme oplevelse, nemlig at bogen ville være lige så inspirerende og velformidlet, hvilket den også viste sig at være. Hvert kapitel er skrevet af forskellige forfattere og forklaringsgraden varierer derfor en smule, men generelt set synes jeg bogen slipper godt fra balancegangen mellem at være en historisk gennemgang og en lærebog i fysik. Det historiske aspekt gør fysikken mere levende og formler, 27

28 Boganmeldelser Gamma 151 i en begrænset mængde, giver bogen nogle konkrete størrelser at sætte i et historisk perspektiv. Med et faldende antal studerende på de naturvidenskablige studier, er det vigtigt, at der af og til bliver skrevet inspirerende bøger. Netop inden for fysikken er der sket en række landvindinger, som ikke bare påvirker forskere, men hele verdens udvikling. Der er derfor ingen tvivl om bogens berettigelse, og man kan kun håbe, at landets gymnastelever bliver inspireret af læsningen og vælger at forfølge fysikken på universitetet. Kapitlerne er alle omkring 20 sider lange, hvilket giver plads til at være oplysende og alligevel være så begrænsede, at mindre interessante detaljer ikke medtages. Emner der gennemgås i bogen er kvantemekanik, relativitetsteori, atomteori, astrofysik, atombomber, partikelfysik, Apolloprojektet, computere, kaosfysik og satellitastronomi. Jeg vil ikke gennemgå kapitlernes indhold her, da alt stoffet højst sandsynligt er velkendt af Gammas læsere. Selv om alle emner tidligere er blevet formidlet overbevisende i separate populærvidenskabelige bøger, er den kronologiske samling af emnerne i Kvantespring i det 20. århundrede ikke noget, jeg har set før. Det er nok utopisk at regne med, at gymnasieelever vil læse meget mere end et par udvalgte kapitler, men man kunne ønske det for dem, da de netop da ville indse, hvor mange store begivenheder fysikken har bidraget med i det 20. århundrede. Bogen er rigt illustreret, og kapitlerne virker derfor let tilgængelige. Sidste kapitel, der handler om satellitastronomi, er specielt velillustreret med klassiske astronomiske billeder som f.eks. Hubbles Ultra Deep Field, men kapitlet, som er det korteste i bogen, er i mine øjne en smule for kort til at nå at følge op på alle billederne. Dette er uden tvivl et bevidst valg, og selv om man kunne ønske sig mere, er disse billeder en pæn afslutning på en overordnet set ganske anbefalelsesværdig bog. TJ 28

29 Paradokser og Opgaver Mogens Esrom Larsen og Katrine Rude Laub Vi modtager meget gerne læserbesvarelser af opgaverne, samt forslag til nye opgaver enten per mail eller per almindelig post (se adresse på bagsiden). Første indsendte, korrekte løsning til en af de stillede opgaver bringes i næste nummer af Gamma. Opgave En tryllekunst Tryllekunstneren og hans assistent præsenterer publikum for 8 mønter på en række. Tryllekunstneren instruerer publikum om opgaven og forlader lokalet. Publikum vælger nu for hver mønt, om den skal være krone eller plat. Derefter oplyser publikum assistenten om deres foretrukne mønt, fx nr 5 fra venstre. Nu vender assistenten én af mønterne om efter sit valg. Tryllekunstneren kommer ind fra kulissen og udpeger den foretrukne mønt. Hvordan bærer de sig ad? Hvad er den hemmelige kode? Opgave En sum I Amer. Math. Monthly April 2008 stilles som problem en opgave af Michael Poghosyan, Yerevan State University, Yerevan, Armenien. Vis identiteten n k=0 ( n k) 2 (2k + 1) ( ) 2n = 2k 2 4n (n!) 4 (2n)!(2n + 1)! Opgave Sokker, der passer til hinanden Når sandsynligheden for at få to røde sokker er 1 2, når man trækker to tilfældigt ud af en sæk med røde og sorte sokker, hvor mange er der så af hver farve i sækken? 29

30 Paradokser og opgaver Gamma 151 Opgave Travle duellanter Duellerne i Travløse er sjældent fatale. Hver kombattant møder op på et tilfældigt tidspunkt mellem 5 og 6 om morgenen på den aftalte dag, venter 5 min på sin modstander, og går igen, hvis denne ikke er mødt op. Ellers slås de to. Hvad er sandsynligheden for, at det kommer til kamp? Opgave Eksponentielt Når man får at vide, at tallet 2 29 er 9 cifret, og at de 9 cifre alle er forskellige, kan man så uden at udregne tallet bestemme, hvilket ciffer der mangler? Opgave Trekantet En trekant er tegnet på ternet papir, så alle tre hjørner er i skæringspunkter (punkter med heltallige koordinater). Lad nu r være antallet af skæringspunkter på randen og i antallet af skæringspunkter i det indre af trekanten. Vis, at arealet af trekanten er Svar Keglespil i r 1 Krake skal vælte kegle nummer 6. Derved inddeles rækken af kegler i grupper af 1, 3 og 7. Uanset hvilke(n) kegle(r) Harald herefter vælter, vil Krake kunne vinde spillet ved at være den, der vælter den sidste kegle. Hvis Harald skulle have vundet, skulle han som det første have væltet kegle nummer 7. Der ville så stå to grupper af 6 kegler. Uanset hvordan Krake herefter spiller, skal Harald bare gøre det samme i den anden gruppe. Svar Politi på patrulje Hedda Gottschalck har sendt os denne besvarelse på opgaven fra sidste nummer, hvor en politimand skal forbi flest muligt huse, men kun må 30

31 Gamma 151 Paradokser og opgaver dreje efter at have passeret et ulige antal huse og ikke gå på den samme strækning to gange. Det er lykkedes Hedda at få politimanden forbi alle husene. Svar Indhegnede Får Nedenfor ses hvordan 21 får kan indhegnes i 4 rektangler, således at hver indhegning indeholder et lige antal par og et enkelt halvt par. 31

32 Paradokser og opgaver Gamma 151 Svar Firkantet E D G F A M O Q C N B Lad C være et vilkårligt punkt på liniestykket AB mellem A og B, og tegn halvcirkler til samme side over diametrene AB, AC og CB. Lad D være det punkt på halvcirklen AB, der har CD vinkelret på AB, og lad EF være fællestangenten til de to små halvcirkler. Vis, at ECF D er et rektangel. For at bevise, at ECF D er et rektangel, vil jeg bevise, at diagonalerne CD og EF er lige lange og halverer hinanden. Af symmetrigrunde kan vi antage R r, og da tilfældet R = r er såre nemt, vil jeg nøjes med at se på tilfældet R > r. Man ser, at MO = (R + r) R = r, OC = R r, og MN = R + r. Da radierne M E og N F er vinkelrette på fællestangenten EF, er de parallelle. Lad punktet G på ME være bestemt således, at GF MN. Så er MNF G et parallelogram, og der gælder GF = MN = R + r, MG = NF = r, og altså GE = R r. I de retvinklede trekanter OCD og GEF gælder om hypotenuserne OD = R + r = GF, og om kateterne OC = R r = GE. Altså er OCD kongruent med GEF, og følgelig er CD = EF som var den ene af de to påstande, jeg ville bevise. Jeg skal også bevise, at CD og EF har samme midtpunkt. Lad Q være midtpunktet af OC. Den midtpunktstransversal i OCD, der forbinder Q med midtpunktet af CD har længde 1 2 OD = (R + r)/2, og den er parallel med OD. Nu er Q også midtpunkt af siden MN i trapezet MNF E, så den midtpunktstransversal i dette trapez, der forbinder Q med midtpunktet af EF har længde 1 ( ME + NF ) = (R + r)/2, og den er parallel med 2 ME og NF. Vender vi tilbage til kongruensen mellem trekanterne OCD og GEF, 32

33 Gamma 151 Paradokser og opgaver får vi, at COD = EGF, og altså, at OD er parallel med ME. Heraf ses, at de to omtalte midtpunktstransversaler er sammenfaldende, og altså, at midtpunkterne af linjestykkerne CD og EF er sammenfaldende. Svar Trekantet A B D F E C Trekanten ABC er ligebenet med AB = AC, D er midtpunktet på BC, E på AC er det punkt, hvor ED er vinkelret på AC og F er midtpunktet af DE. Vis, at AF står vinkelret på BE. I trekanterne EDA og ECD er tilsvarende sider vinkelrette på hinanden: ED EC, DA CD, og AE DE. Det følger, at trekanterne er ensvinklede og derfor ligedannede, og man ser, at en rotation omkring E med vinklen π 2 efterfulgt af en multiplikation i forholdet EC / ED fører EAD over i EDC. Ved denne afbildning føres ED s midtpunkt F over i EC s midtpunkt G, og AF føres over i DG. Altså er AF DG, og da DG som midtpunktstransversal i BEC er parallel med BE, er AF vinkelret på BE, QED. Svar Kvadratisk n er et helt tal, så 2n + 1 er et kvadrattal. Vis, n + 1 er sum af to sukcessive kvadrattal. 33

34 Paradokser og opgaver Gamma 151 Hvis det ulige tal 2n + 1 er et kvadrattal m 2, er m ulige: m = 2k + 1, og 2n + 1 = 4k 2 + 4k + 1, der giver n + 1 = 2k 2 + 2k + 1 = k 2 + (k + 1) 2. hvormed det ønskede er bevist. Vi har under beviset benyttet, at m 2 kan fremstilles som (2 m 1), altså at m 2 = (2 m 1). Summen består af m led. Er m ulige vil det midterste led derfor være lig med m, hvilket også er udnyttet i beviset. 34

35 Gamma 151 Paradokser og opgaver 35

36 Afsender: Gamma Niels Bohr Institutet Blegdamsvej København Ø Returneres ved varig adresseændring MAGASINPOST B Fortale s 3 Nyheder og meddelelser s 4 Mads T. Frandsen Technicolor ved LHC s 7 Leise Borg Den menneskelige cochlea s 21 Boganmeldelser Redigeret af John Rosendal Nielsen: Kvantespring i den 20. århundrede - astronomi og fysik mod det nye årtusinde.... s 27 Paradokser og opgaver s 29 Indhold s 36